一元二次方程的解法大全

一元二次方程的解法大全【直接开平方法解一元二次方程】

把方程ax2+c＝0(a≠0)，

这解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。

例：用直接开平方法解方程：

1．9x2-25＝0；

2．(3x+2)2-4＝0；

4．(2x+3)2＝3(4x+3)．

解：1．9x2-25＝0

9x2＝25

2．(3x+2)2-4＝0

(3x+2)2＝4

3x+2＝±2

3x＝-2±2

∴x1＝x2＝3．

4．(2x+3)2＝3(4x+3)

4x2+12x+9＝12x+9

4x2＝0

∴x1＝x＝0．

【配方法解一元二次方程】

将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c＝0(a≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax2+bx＝-c；方程的两边都除以二次项系数，使二次项系数为1，如

x2+

例：用配方法解下列方程：

1．x2-4x-3＝0；2．6x2+x＝35；

3．4x2+4x+1＝7；4．2x2-3x-3＝0．

解：1．x2-4x-3＝0

x2-4x＝3

x2-4x+4＝3+4

(x-2)2＝7

2．6x2+x＝35

3．4x2+4x+1＝7

4．2x2-3x-3＝0

【公式法解一元二次方程】

一元二次方程ax2+bx+c＝0(a

广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a，b，c的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法

＝0(a≠0)的求根公式。

例：用公式法解一元二次方程：

2．2x2+7x-4＝0；

4．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0，求x)．

2．2x2+7x-4＝0

∵a＝2，b＝7，c＝-4．

b2-4ac＝72-4×2×(-4)＝49+32＝81

4．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0)

x2-3ax+2a2-ab-b2＝0

∵a＝1，b＝-3a，c＝2a2-ab-b2

b2-4ac＝(-3a)2-4×1×(2a2+ab-b2)

＝9a2-8a2-4ab+4b2

＝a2-4ab+4b2

＝(a-2b)2

当(a-2b≥0)时，得

【不完全的一元二次方程的解法】

在不完全的一元二次方程中，一次项与常数至少缺一项。即b与c至少一个等于零，这类项方程从形式与解法上比一般一元二次方程要简单，因此要研究这类方程最简捷的解法，从规律上看有两种方法：一是因式分解，二是直接开平方法：

例：解下列一元二次方法：

3．(m2+1)x2＝0；4．16x2-25＝0．

3．(m2+1)x2＝0；其中m2+1＞0，x2＝0．

∴x1＝x2＝0．4．16x2-25＝0

6x2＝25