人教A版(2019)高中数学《双曲线》导学课件1

当点P在双曲线的中 心时，不可能作出一 条直线与双曲线只有 一个公共点。
P
人教A版（2019）高中数学《双曲线》 导学课 件1（ 公开课 课件）
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过点P且与双曲线只 有一个公共点的直 线最多有4条
也就是说过点P作与 双曲线只有一个公共 点的直线条数可能是 4条、3条、2条、0条
b a
）与双曲
重合：无交点；平行：有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,
Δ>0
直线与双曲线相交（两个交点）
Δ=0
直线与双曲线相切
Δ<0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
直线与双曲线相离
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解法二：设存在被点 B 平分的弦 MN，设 M(x1，y1)、N(x2， y2)．
则 x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且xx2212－－yy221222＝＝11，.
① ②
①－②得(x1＋x2)(x1－x2)－12(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∴kMN＝xy11－－yx22＝2，故直线 MN：y－1＝2(x－1)．
[解析] 解法一：设被 B(1,1)所平分的弦所在的直线方程 为 y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程 x2－y22＝1，得(k2－2)x2－ 2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0.
∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0. 解得 k<32，且 x1＋x2＝2kk2k－－21. ∵B(1,1)是弦的中点， ∴kkk2－－21＝1，∴k＝2>32. 故不存在被点 B(1,1)所平分的弦．
直线与双曲线的位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
判断方法
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数
（3） ∆<0
相切 ∆=0
相交 ∆>0
含
含
焦
含
焦 点
点
焦 点
区
区
区
域
域
域
内
外
内
P
P
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当点P在双曲线上时，能
作3条直线与双曲线只有
当 2－k2≠0 时，x1＋x2＝2k2－3k22，x1x2＝3kk22－＋22，
|AB|＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2 ＝ 1＋k2 2k2－3k222－12kk2－2＋28
＝ 1＋k2
16k2＋1 k2－22
＝4|k12＋－k22|＝4，
解得 k＝±22，故这样的直线有 3 条．
3.过原点与双曲线 x2 y2 1 交于两点的直线斜率的
。
O
X
2.B(3,0)
3.C(4,0) 4.D(0,0).答案又是怎样的?
1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.
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例题讲解
例3：如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点，求k的取值范围
4k2+20(1-k2)>0
解：等价于
1-k2≠0 x1+x2=
-
2 2 <0
- <k<-1
- x1x2=
2 >0
4、如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4左、右支各1个公共点，求k的取值范围
解：等价于
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4k2+20(1-k2)>0
y－1＝2x－1
由x2－y22＝1
消去 y 得，2x2－4x＋3＝0，
Δ＝－8<0.
这说明直线 MN 与双曲线不相交，故被点 B 平分的弦不存
在．
名师辨误作答
练习： 已知双曲线 x2－y42＝1，过点 P(1,1)的直线 l 与双 曲线只有一个公共点，求直线 l 的斜率 k 的值．
[错解] 设 l：y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程，得(4－k2)x2 －(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.由题意，Δ＝(2k－2k2)2－4(4－ k2)·(－k2＋2k－5)＝0，所以 k＝52.
判断直线与双曲线位置关系的处理程序
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
相交（一个交点）
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得到一元二次方程 计算判别式
>0 =0 <0 相交 相切 相离
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∴ Δ = 4 k 2 8 - k 2 - 4 k 2 - 4 8 - k 2 - 4 > 0 2
弦 A B 的 中 点 是 P 1 ,8, ∵ 由中 2点 坐 3标 得 公 k式 =与 1韦 达 定 理 , 得 - k k 8 2 - - 4 k = 13
2
直 线 AB的 方 程 为 y-8= 1x 1
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∴ - <k<
且k≠ 1
方程(*)有两个不等的根
- <k< 且k≠ 1
思考？ 人教A版（2019）高中数学《双曲线》导学课件1（公开课课件）
1、如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4只有1个公共点，求k的取值范围
解：等价于(*)只有一解。①当1-k2=0时，即k= 1(*)只有一解
1 6y1y18x1x2,
直 线 AB的 斜 率 为 y1y11, x1x2 2
直 线 AB的 方 程 为 y-8=1x1
2 即 直 线 A B 的 方 程 为 x - 2 y + 1 5 = 0
例 5、已知双曲线的方程为 x2－y22＝1.
试问：是否存在被点 B(1,1)平分的 弦？如果存在，求出弦所在的直线方程， 如果不存在，请说明理由．
② 当1-k2≠0时，△=0，即k=
(*)只有一解
2、如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4右支有两个公共点，求k的取值范围
4k2+20(1-k2)>0
解：等价于
1-k2≠0 x1+x2=
-
2 2 >0
1<k<
- x1x2=
2 >0
3、如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4左支有两个公共点，求k的取值范围
线的右支有两个 交点,实际上给出
相异的公共点，则应满足
了 方程 解的
1k20
0
(x12)(x22)0
1k2 0 0
(x1x2)40
范围,涉及到二次 方程的根的分布 问题.解题时需要
注意!
(x12)(x22)0 x1x22(x1x2)40
解得 1 k 5 2
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特别注意：
直线与双曲线的位置关系中：
一解不一定相切，相交不一定 两解，两解不一定同支
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例1:
过P 点 (0,3)的直 l与 线双C 曲 ： x2线 y2 1仅有 4
典型例题: 双曲线的中点弦问题
例4.以P（1，8）为中点作双曲线为y2-4x2=4的一条 弦AB，求直线AB的方程。
解法一： （1） 当过P点的直线AB和x轴垂直时，直线被双曲线
截得的弦的中点不是P点。 （2） 当过P点的直线AB和x轴不垂直时，设其斜率为k．
则直线AB的方程为y-8=k（x-1）
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理论分析：
y = kx+ m
x2 a2
-
y2 b2
消去y，得: =1
(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0
1.二次项系数为0时，直线L（K= 线的渐近线平行或重合。
2 即 直 线 A B 的 方 程 为 x - 2 y + 1 5 = 0
解法二:设Ax1, y1,Bx2, y2,则
yy122244xx122244,
y 1 y 1 y 1 y 1 4 x 1 x 2 x 1 x 2 ,
弦 A B 的 中 点 是 P 1 ,8, x1x22 ,y1y2 1 6 .
一、选择题
1．直线 y＝31(x－72)与双曲线x92－y2＝1 交点个数是(
)
A．0
B．1
C．2
D．4
[答案] B
[解析] 直线与渐近线平行， ∴有一个交点．
2．过双曲线 x2－y22＝1 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A、 B 两点，若|AB|＝4，则这样的直线 l 有( )
A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条
一个公共点。
P
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当点P在其中一条渐近 线上（中心除外）时， 一条是切线，一条是与 另一条渐近线平行。
P
当点P在含焦点区域 内时，两条是分别与 两条渐近线平行。
P
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取值范围是
，4
33
2
23，
典型例题: 双曲线中的垂直问题
例6、直线y-ax-1=0和曲线3x2-y2=1相交，交点为
A、B，当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐
标原点。
解：将y=ax+1代入3x2-y2=1
得(3-a2)x2-2ax-2=0, 它有两个实根，必须△>0,
1-k2≠0
- x1x2=
2 <0
-1<k<1
（2）解：将直线 ykx1代入双曲线方程 x y 4 人教A版（2019）高中数学《双曲线》导学课件1（公开课课件）
22
化简整理 (1k2)x22k x50
由韦达定理得：x1x21 2kk2;x1x2注1 :x5 k直22-线（y与※2）双=曲4
要使直线与双曲线的右支有两个
[答案] C
[解析] 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线 l 的斜率不存在
x＝ 3 时，其方程为 x＝ 3，由x2－y22＝1 ，得 y＝±2，
∴|AB|＝|y1－y2|＝4 满足题意．当直线 l 的斜率存在时，其
y＝kx－ 3
方程为 y＝k(x－ 3)，由x2－y22＝1
，
得(2－k2)x2＋2 3k2x－3k2－2＝0.
由yy2--84=xk2=x4-1,得
k2-4x2+2kk-8x+8-k2-4=0
例4.以P（1，8）为中点作双曲线为y2-4x2=4的一条 弦AB，求直线AB的方程。
k 2 - 4 x 2 + 2 k k - 8 x + 8 - k 2 - 4 = 0 1
设 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 , 则 x 1 , x 2 是 方 程 1 的 两 个 不 等 实 根 .
一个公共点 l的， 方求 程直 。线
解
设l的方程y为k： x3
：
由 xy2 ky42x314k2x26kx130
1 当 4 k 2 0 时 , k 2 , 此 l : y 2 时 x 3
2 当 4 k 2 0 时 ,由 6 k 2 4 4 k 2 1 3 0 ,
[辨析] 错因在于忽视了 4－k2＝0，即 l 与双曲线的渐近 线平行时，l 与双曲线只有一个交点也符合题意．另外没有考 虑直线 l 斜率不存在的情况．
[正解] 可分两种情况：(1)直线 l 斜率不存在时，l：x＝1 与双曲线相切，符合题意；(2)直线 l 斜率存在时，设 l 方程为 y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程，得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－ k2＋2k－5＝0，当 4－k2＝0 时，k＝±2，即 l 与双曲线的渐近 线平行时，l 与双曲线只有一个公共点；当 4－k2≠0 时，令 Δ ＝0，所以 k＝52.综上，k＝52或 k＝±2 或 k 不存在．
解：由 y=kx-1 得(1-k2)x2+2kx-5=0(*) 即方程无解
x2-y2=4
1-k2≠0
∴
△=4k2+20(1-k2)<0
k> 或k< -
∴ k> 或k< 引申1：如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有两个公共点，求k的取值范围
解：直线一双曲线有两个公共点
1-k2≠0 △=4k2+20(1-k2)>0
得 k 1,此 3l:y 时 1x 3 3
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2.过点P(1,1)与双曲线
x2 9
y2 16
1
只有
Y
一个
交点的直线 共有___4____条.
（1，1）
变式:将点P(1,1)改为 1.A(3,4)