人教A版(2019)高中数学《双曲线》导学课件1
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3.2.1双曲线及其标准方程 高二数学同步精品课件(新人教A版2019选择性必修第一册)
A.\37+4
B.137—4
C.\37—25
D.37+25
解 析 ：(1)因为API+|AF₂I=|API+|AF₁I-2 √5, 所以要求|AP|+ AF₂ l的最小值，只需求|AP|+|AF₁ I的最小值.如图，连接 F₁P 交双 曲线的右支于点Ao.当点A 位于点A₀ 处时， |AP|+|AF₁ | 最小，最小 值为IPF₁I= √ [3-(-3)²]+1²= √37. 故API+AF₂l 的最小值为 √37—
坐标代入，得b²=9. 故所求双曲线的标准方程
题型一求双曲线的标准方程 例 1 根据下列条件，求双曲线的标准方程.
(2)与双曲线
有相同的焦点，且经过点(32,2);
解析：(2)法一：∵焦点相同， ∴设所求双曲线的标准方程为 ∴c²=16+4=20, 即 a²+b²=20.① ∵双曲线经过点(32,2),
曲线(除F₁,F₂ 两点外),方程
当
当 k=—1 时，轨迹为圆(除 F₁,F₂ 两点外),方程为x²+y²= a²(x≠±a).
[基础自测]
1.判断正误(正确的画“ √ ”,错误的画“×”) (1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离) 的点的轨迹是双曲线. ( × ) (2)双曲线标准方程中的两个参数a 和b 确定了双曲线的形状和 大小，是双曲线的定形条件. ( √ ) (3)双曲线的焦点 F₁,F₂ 的位置是双曲线的定位条件，它决定 了双曲线标准方程的类型. ( √ ) (4)点P 到两定点F₁(一2,0),F₂(2,0) 的距离之差为6,则点P 的 轨迹为双曲线的一支. ( × )
C=2sin
人教A版(2019)双曲线课件PPT1
变式：9x2 16 y2 144
解:化为标准方程为 x2 y2 1
实轴长: 2a 6 9 16
虚轴长: 2b 8
焦点坐标: (5,0),(5,0)
顶点坐标: (3, 0), (3, 0)
离心率:
e c 5 a3
渐近线方程:
y4x 3
解：
y2 x2 =1
9 16
实轴长: 2a 6 虚轴长: 2b 8
人教A版（2019）双曲线课件PPT1
知识 再现
类比 研究
探究 论证
Байду номын сангаас
例题 解析
巩固 练习
课堂 小结
1.双曲线的几何性质（范围，对称性，顶点，离心率，渐近线）
(1)由双曲线的标准方程得出双曲线的几何性质；
(2)由几何性质求双曲线的标准方程，要注意先确定焦点所在的 位置。
2.数学思想：类比思想和数形结合思想.
y a x b
人教A版（2019）双曲线课件PPT1
（必做）习题2.3A组3,4题 （选做）思考题1,2题
人教A版（2019）双曲线课件PPT1
人教A版（2019）双曲线课件PPT1 人教A版（2019）双曲线课件PPT1
离心率可以刻画 椭圆的扁平程度，双 曲线的离心率刻画双 曲线的什么几何特征？
y
B2
b
A1
a A2
o
x
b c2 a2 ( c )2 1 e2 1
B1
a
a
a
当e (1,)时，b (0,),且e增大, b 也增大
a
a
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知识 再现
类比 研究
探究 论证
图形
y
解:化为标准方程为 x2 y2 1
实轴长: 2a 6 9 16
虚轴长: 2b 8
焦点坐标: (5,0),(5,0)
顶点坐标: (3, 0), (3, 0)
离心率:
e c 5 a3
渐近线方程:
y4x 3
解：
y2 x2 =1
9 16
实轴长: 2a 6 虚轴长: 2b 8
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知识 再现
类比 研究
探究 论证
Байду номын сангаас
例题 解析
巩固 练习
课堂 小结
1.双曲线的几何性质（范围，对称性，顶点，离心率，渐近线）
(1)由双曲线的标准方程得出双曲线的几何性质；
(2)由几何性质求双曲线的标准方程，要注意先确定焦点所在的 位置。
2.数学思想：类比思想和数形结合思想.
y a x b
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（必做）习题2.3A组3,4题 （选做）思考题1,2题
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人教A版（2019）双曲线课件PPT1 人教A版（2019）双曲线课件PPT1
离心率可以刻画 椭圆的扁平程度，双 曲线的离心率刻画双 曲线的什么几何特征？
y
B2
b
A1
a A2
o
x
b c2 a2 ( c )2 1 e2 1
B1
a
a
a
当e (1,)时，b (0,),且e增大, b 也增大
a
a
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知识 再现
类比 研究
探究 论证
图形
y
双曲线及其标准方程课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册
双曲线标准方程
高中数学 选择性必修第一册
北师大版
方程探究
y
x
焦点在y轴上标准方程是什么？
高中数学 选择性必修第一册 北师大版
方程探究
求双曲线的方程
高中数学 选择性必修第一册
例题讲解
北师大版
例2 已知双曲线的两个焦点分别是 ₁（ − ，）, ₂（，）,该双曲线
上的点到两个焦点距离之差的绝对值是6，求该双曲线的标准方程.
a
b
____________________
图形
标准方程
焦点
a，b，c的关系
F1(0，－c)，F2(0，c)
____________________
2－a2
c
b2＝_______
高中数学 选择性必修第一册 北师大版
课堂小结
注意点：
(1)方程左边是两个数的平方差，等号右边为1
(2)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在
定义探究
探究
1.取一条拉链，拉开它的一部分；
MF1 MF
2.取一张白纸，在纸上任选两点F1,F2;
3.在拉链拉开的两边上取不对称两点，分别固定
在点F1,F2上(|F2F|<|F1F2|);
4.把笔尖放在拉头点M处，随着拉链逐渐拉开或
者闭拢，能得到怎样的图形呢？
5.若拉链上被固定的两点互换，又会出现什么情
这两个定点 ₁, ₂叫作双曲线的焦点，
两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距.即|F1F2|=2c
高中数学 选择性必修第一册 北师大版
思考
1、平面内到两定点F1，F2的距离的差等于非零常数2a
(小于|F1F2 |)的点的轨迹是什么？
双曲线及其标准方程 课件-高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
l
什么？
如图，双曲线的焦距为2( > 0)，焦点1 ，2 的坐标分
别是(0， − )，(0, )，，的意义同上，这时双曲线的
2
方程是 2
2
− 2
的标准方程.
= 1( > 0， > 0)，这个方程也是双曲线
新知探索
辨析1.判断正误.
2
(1)在双曲线标准方程 2
2
(2)方程
l
动点满足什么几何条件？两圆交点的轨迹是什么形状？
新知探索
我们发现，在|| < |1 2 | < || + ||的条件下，点在线段外运动时，
l
当点靠近定点1 时，|2 | − |1 | = ||；当点靠近定点2 时，|1 | −
|2 | = ||.总之，点与两个定点1 ，2 距离的差的绝对值||是一个常数
）.
D.−1 < < 2或 > 2
练习
方法技巧：
2
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为
< 0时，方程表示双曲线.
> 0，
若
则方程表示焦点在轴上的双曲线；
< 0，
< 0，
若
则方程表示焦点在轴上的双曲线.
> 0，
2
+
= 1，则当
练习
2
变2.若曲线
运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.
练习
2
变1.已知双曲线：
9
2
−
16
= 1的左、右焦点分别为1 ，2 ，为双曲线的右支上一
点，且|2 | = |1 2 |，则∆1 2 的面积等于__________.
什么？
如图，双曲线的焦距为2( > 0)，焦点1 ，2 的坐标分
别是(0， − )，(0, )，，的意义同上，这时双曲线的
2
方程是 2
2
− 2
的标准方程.
= 1( > 0， > 0)，这个方程也是双曲线
新知探索
辨析1.判断正误.
2
(1)在双曲线标准方程 2
2
(2)方程
l
动点满足什么几何条件？两圆交点的轨迹是什么形状？
新知探索
我们发现，在|| < |1 2 | < || + ||的条件下，点在线段外运动时，
l
当点靠近定点1 时，|2 | − |1 | = ||；当点靠近定点2 时，|1 | −
|2 | = ||.总之，点与两个定点1 ，2 距离的差的绝对值||是一个常数
）.
D.−1 < < 2或 > 2
练习
方法技巧：
2
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为
< 0时，方程表示双曲线.
> 0，
若
则方程表示焦点在轴上的双曲线；
< 0，
< 0，
若
则方程表示焦点在轴上的双曲线.
> 0，
2
+
= 1，则当
练习
2
变2.若曲线
运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.
练习
2
变1.已知双曲线：
9
2
−
16
= 1的左、右焦点分别为1 ，2 ，为双曲线的右支上一
点，且|2 | = |1 2 |，则∆1 2 的面积等于__________.
3.2.1 双曲线及其标准方程课件高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册(共32页PPT)
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
P {M || MF1 | | MF2 || 2a ， 0 2a | F1F2 |} .
因为 | MF1 | (x c)2 y2 ，| MF2 | (x c)2 y2 ， 所以 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a .①
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得 (c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 ) ，
B.若 C 为双曲线，则t 3 或t 1 D.若 C 为双曲线，则焦距为定值
3 t 0 解析：A：C 为椭圆,则 t 1 0 ，可得1 t 3 ，且t 2 ，正确；
3 t t 1
B：C 为双曲线，则 (3 t)(t 1) 0 ，可得t 3 或t 1，正确；
C： t 2 时，方程为 x2 y2 1，即曲线 C 表示圆，正确；
双曲线也具有对称性，直线 F1F2 是它的一条对称轴，
取经过两焦点 F1 和 F2 的直线为 x 轴，线段 F1F2 的垂直平
分线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系 Oxy.设 M (x, y) 是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为 2c(c 0) ，
y F1 O
M(x,y)
x F2
那么，焦点 F1 ， F2 的坐标分别是 (c,0) ， (c,0) ，又设 || MF1 | | MF2 || 2a （a 为大于 0 的常数）.
x2 b2
1a
0, b
0，
焦点位置不确定时，亦可设为 Ax2 +By2 1 AB 0 .
寻关系
根据已知条件列出关于a，b（A，B）的方程组
得方程
解方程组，将a，b（A，B）代入所设方程即为所求
课堂巩固
A 1.“ k 4 ”是“方程 x2 y2 1 表示的曲线是双曲线”的( ) k2 4k
人教高中数学必修《双曲线》精品PPT1
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差 的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹 叫做双曲线. ||MF1|－|MF2||=2a ① 两个定点F1、F2 ——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c——焦距. 说明：(1) 2a<2c；(2) 2a>0；
① |MF1|－|MF2|=|F2F|=2a ② |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a 由①②可得：
2.3.1双曲线及其标准方程
1. 椭圆平: 面内与两定点F1、F2的距离的和 等于常数2a(2a>|F1F2|>0)的点的轨迹.
|MF1|+|MF2|=2a( 2a>2c>0) 点M的轨迹是椭圆
若2a=2c,
点M的轨迹是线段F1F2；
若2a＜2c，
点M的轨迹不存在。
3.引入问题： 若把椭圆中的距离“和”改为距离”差”
[例2] 如果方程
x2
y2
1
2m m1
表示双曲线，求m的取值范围.
思考：
方程 x2 y2 1表示焦点在y轴
2m m1
双曲线时，则m的取值范围__________.
[例2] 如果方程
x2
y2
1
2m m1
表示双曲线，求m的取值范围.
思考：
方程 x2 y2 1表示焦点在y轴
2m m1
双曲线时，则m的取值范围___m_<_－__2___.
[例3] 已知A,B两地相距800m,在A地 听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为 340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
yP
x
A
B
[例3] 已知A,B两地相距800m,在A地 听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为 340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
人教A版(2019)双曲线PPT下载1
1 25
y2
1
y2 25
x2 75
1
1 75
x2
1 25
y2
1
人教A版（ 2019） 双曲线 PPT下 载1
人教A版（ 2019） 双曲线 PPT下 载1
x2 a2
y2 b2
1
1 a2
x2
+
1 b2
y
2
1
y2 a2
x2 b2
1
1 b2
x2
1 a2
y2 =1
mx2 ny2 1
人教A版（ 2019） 双曲线 PPT下 载1
例2、已知双曲线经过点 M 3,2 7 , N 6 2,7 ， 求双曲线的标准方程.
解法1：当焦点在x轴上，设所求双曲线方程为：
代入M
解得：a
2
x2 a2
y2 b2
1a
0,b
0
3,2 7 , N 6 2, 7 ，得：
75, b2 25 ，舍去，
9 a2 72 a2
28 b2 49 b2
标准方程
x2 a2
y2 b2
1
(a 0，b 0)
y2 a2
x2 称中心
x a 或 x a x轴 ，y轴 原点O
y a 或 y a
人教A版（ 2019） 双曲线 PPT下 载1
标准方程
x2 a2
y2 b2
1
(a 0，b 0)
y2 a2
9 a2
2 4 a2
1
x2 a2
y2 4 a2
1
c2a0
a2 3
所以所求双曲线方程为： x2 y2 1
3
人教A版（ 2019） 双曲线 PPT下 载1
人教A版高中数学《双曲线》PPT完美课件1
O
X
问题三: 人教A版高中数学《双曲线》PPT完美课件1
若直线y=kx-1与双曲线4x2-y2=1无公共点，实数k的取值 范围是什么？说明位置关系。
人教A版高中数学《双曲线》PPT完美 课件1
问题三: 人教A版高中数学《双曲线》PPT完美课件1
若直线y=kx-1与双曲线4x2-y2=1无公共点，实数k的取值 范围是什么？说明位置关系。
问题一:
直线y=kx-1与双曲线4x2-y2=1有且只有一个公共点，求直 线方程，说明位置关系。
解 ： 联 立 4 y x 2 k y x 2 1 1 得 (4 - k 2 )x 2 + 2 k x - Y2 = 0
O
X
问题二
若直线y=kx-1与双曲线4x2-y2=1有两个不同公共点，实数 k的取值范围是什么？说明位置关系。
得到一元二次方程
计算判别式
>0
=0
<0
相交 相切 相离
人教A版高中数学《双曲线》PPT完美 课件1
练习:
1、已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直 线与双曲线
(1)交于异支两点；
-1＜k＜1 ；
(2)与左支交于两点.
- 5 k 1 2
解 ： x y 2 = -k y 2 由 - = x 1 4 得 x （ 2 ， 1 -k 2 ） 2 k x 5 0
问题二: 人教A版高中数学《双曲线》PPT完美课件1
若直线y=kx-1与双曲线4x2-y2=1有两个不同公共点，实数 k的取值范围是什么？说明位置关系。
解 ： 联 立 4 y x 2 k y x 2 1 1 得 (4 - k 2 )x 2 + 2 k x Y- 2 = 0
《双曲线》_PPT完整版人教版1
94
1.
a 3 ，b 2， c 9 4 5 . 4
2
4
2
∴ 离心率 e 5 . 3
《双曲线》教学分析人教版1-精品课 件ppt( 实用版)
《双曲线》教学分析人教版1-精品课 件ppt( 实用版)
变式1
求以椭圆
x2 13
y2 3
1的焦点为焦点，以直线
y
1 2
x为
渐近线的双曲线方程。
所求双曲线的渐近线为 x y 0 21
4 （2）焦点在 y 轴，焦距是 16， e 4 ;
3 （3）以椭圆 x2 y2 1 的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点；
85
（4）一个焦点是 F1（-6，0）的等轴双曲线.
解：(1) 2a 8, c 5 , a4
a 4, c 5, b2 c2 a2 9. 故所求标准方程为：x2 y2 1.
例3 求与双曲线
x2 y2 1 共渐近线且过点 (2
16 9
3， 3)
的双曲线方程及离心率．
解：设与已知双曲线共渐近线的双曲线方程为 x2 y2 0
16 9
∵ 点 (2 3， 3)在双曲线上，
12 9 1
16 9 4 故所求双曲线方程为：x2 y2
16 9
1 4
即
y2 x2
2.3.2 双曲线的简单几何性质（1）
思考回顾 椭圆的简单几何性质 ？
①范围; ②对称性; ③顶点; ④离心率等
双曲线是否具有类似的性质呢?
图象
方程 性质
A1 F1
y B1
O
B2
M
A2
F2 x
范围
| x | a，| y | b
B1 A1 A2
B2
1.
a 3 ，b 2， c 9 4 5 . 4
2
4
2
∴ 离心率 e 5 . 3
《双曲线》教学分析人教版1-精品课 件ppt( 实用版)
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变式1
求以椭圆
x2 13
y2 3
1的焦点为焦点，以直线
y
1 2
x为
渐近线的双曲线方程。
所求双曲线的渐近线为 x y 0 21
4 （2）焦点在 y 轴，焦距是 16， e 4 ;
3 （3）以椭圆 x2 y2 1 的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点；
85
（4）一个焦点是 F1（-6，0）的等轴双曲线.
解：(1) 2a 8, c 5 , a4
a 4, c 5, b2 c2 a2 9. 故所求标准方程为：x2 y2 1.
例3 求与双曲线
x2 y2 1 共渐近线且过点 (2
16 9
3， 3)
的双曲线方程及离心率．
解：设与已知双曲线共渐近线的双曲线方程为 x2 y2 0
16 9
∵ 点 (2 3， 3)在双曲线上，
12 9 1
16 9 4 故所求双曲线方程为：x2 y2
16 9
1 4
即
y2 x2
2.3.2 双曲线的简单几何性质（1）
思考回顾 椭圆的简单几何性质 ？
①范围; ②对称性; ③顶点; ④离心率等
双曲线是否具有类似的性质呢?
图象
方程 性质
A1 F1
y B1
O
B2
M
A2
F2 x
范围
| x | a，| y | b
B1 A1 A2
B2
课件高中数学人教A版选修课件-双曲线及其标准方程PPT课件_优秀版1
确位置.
例5 已知点A(－5，0),B(5，0),直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是 ,求点M的轨迹方程.
例1 若方程
表示的曲线是双曲线，求k的取值范围.
(2)若a＝0，即|MF1|－|MF2|＝0，则点M的轨迹是什么？
靠近点F2的一支单曲线.
当AB＜0时，表示双曲线.
因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
2,3)的双曲
因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
线的标准方程. 这是双曲线的一个重要应用.
以F1，F2为端点的两条射线 当A＝0，B＞0，或A＞0，B＝0时，表示两条平行直线； 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线． 当A＝0，B＞0，或A＞0，B＝0时，表示两条平行直线； 当A＞0，B＞0，A≠B时，表示椭圆； 中，参数a，b，c的几何意义如何？ 在什么条件下，方程Ax2－By2＝1表示双曲线？ 在求轨迹方程时，若动点具有椭圆或双曲线的几何特征，一般先指出轨迹图形，再求出相关数据，然后写出轨迹方程，但要注意变量的范围，并在结论中注明.
双曲线
的焦点坐标是什么？
当A、B变化时，方程Ax2＋By2＝1可以表示哪些类型的曲线？
中，参数a，b，c的几何意义如何？
答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准
确位置.
当A＝0，B＞0，或A＞0，B＝0时，表示两条平行直线；
因为|AB|>680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的在靠近B处的双曲线一支上.
例1 若方程
表示的曲线是双曲线，求k的取值范围.
2
在求轨迹方程时，若动点具有椭圆或双曲线的几何特征，一般先指出轨迹图形，再求出相关数据，然后写出轨迹方程，但要注意变量的范围，并在结论中注明.
人教A版(2019)双曲线免费课件1
人教A版（2019）双曲线免费课件1
例 1 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋 转所成的曲面（如图（1））．它的最小半径为 12m，上口半径 为 13m，下口半径为 25m，高为 55m．试建立适当的坐标系， 求出此双曲线的方程（精确到 1m）．
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例 1 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋 转所成的曲面（如图（1））．它的最小半径为 12m，上口半径 为 13m，下口半径为 25m，高为 55m．试建立适当的坐标系， 求出此双曲线的方程（精确到 1m）．
问题 1 求此双曲线的方程，应从何处着手？ 分析题目条件，正确理解题意．
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追问 1 双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面是我们学过 的哪种曲面？
人教A版（2019）双曲线免费课件1
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追问 1 双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面是我们学过 的哪种曲面？
旋转面．
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人教A版（2019）双曲线免费课件1
追问 1 双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面是我们学过 的哪种曲面？
例 1 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋 转所成的曲面（如图（1））．它的最小半径为 12m，上口半径 为 13m，下口半径为 25m，高为 55m．试建立适当的坐标系， 求出此双曲线的方程（精确到 1m）． 问题 1 求此双曲线的方程，应从何处着手？
人教A版（2019）双曲线免费课件1
1(a
0,
b
0)
F1(c, 0) ， F2 (c, 0)
焦点在 y 轴上
y2 a2
双曲线及其标准方程课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
③ 列式
MF1 MF2 2a
F2 x
④化简
将上述方程化为：
x c2 y 2 x c2 y 2
2
cx
a
a
移项两边平方后整理得：
2a
x c 2 y 2
2
2
2
2 2
2
2
2
两边再平方后整理得： c a x a y a c a
x2 y2
∴可设双曲线方程为: 2 2 1 (a>0,b>0).
a
b
2
2
2
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b =5 －3 =16.
x2ห้องสมุดไป่ตู้
y2
1 ( x ≥ 3) .
所以点 P 的轨迹方程为
9
16
巩固练习
练习3（课本P121练习T1)
(1)焦点在x轴上，a=4,b=3
√
(2)焦点在x轴上，经过点（-√，-√），（ ，√）
3.2.1 双曲线及其标准方程
第一课时
了解双曲线的定义、几何图形和标准方
程的推导过程.提升逻辑推理、数学运算的数
学素养
01
学习目标
02
03
掌握双曲线的标准方程及其求法,提升数
学运算的核心素养
能利用双曲线的定义和标准方程解决一
些实际应用问题,提升数学建模的核心素养.
一、情境引入：生活中的双曲线
二、复习回顾
下面，我们分别用数学实验和信息技术探究一下。
三、观察分析，感知概念
A
P
B
l
如图，在直线l上取两个定点A，B，
高中数学人教A版_双曲线_PPT说课稿1
直线与双曲线的关系
学习目标 1、会判断直线与双曲线的交点个数； 2、会求有关弦长的问题； 3、会求有关中点弦的问题
题型一——直线和双曲线交点个数的判断
例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取
值范围,使直线与双曲线
(1)没有公共点; (1)k＜ 5 或k＞ 5 ；
2
2
(2)有两个公共点; (2) 5 ＜k＜ 5 ；且k1
（ 2 ） 已 知 双 曲 线 焦 点 F ( 3 ， O ) ,） 直 线 l过 点 F 与 双 曲 线 交 于 A 、 B 两 点 ， 线 段 A B 的 中 点 M ( - 1 2 ,- 1 5 ) ， 求 双 曲 线 方 程
练 习 ： 已 知 双 曲 线 x2y2 1 ,过 点 P （ 2 ,1 ） 能 否 作 一 条 直 线 l, 2
共有_______条.
②相切一点: ③相 离:
△=0 △＜0
(5)与左支交于两点. 特别注意直线与双曲线的
3、会求有关中点弦的问题
位置关系中： Δ<0
直线与双曲线相离
种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点，一个交点或两个交点)
(2) ＜k＜ ；
(3)只有一个公共点;
异侧:
＜0
一解不一定相切，相交不一定 一点: 直线与渐进线平行
已3、知会直求线有y=关k中x-1点与弦双的曲问线题x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直线与双曲线
A(1()3没,4有) 公共点;
(b52)与-a左2k支2)交x2于-2两km点a2. x+a2(m2+b2)=0
(种2)类:相＜离k;相＜切;相；交(0个交点，一个交点，一个交点或两个交点)
学习目标 1、会判断直线与双曲线的交点个数； 2、会求有关弦长的问题； 3、会求有关中点弦的问题
题型一——直线和双曲线交点个数的判断
例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取
值范围,使直线与双曲线
(1)没有公共点; (1)k＜ 5 或k＞ 5 ；
2
2
(2)有两个公共点; (2) 5 ＜k＜ 5 ；且k1
（ 2 ） 已 知 双 曲 线 焦 点 F ( 3 ， O ) ,） 直 线 l过 点 F 与 双 曲 线 交 于 A 、 B 两 点 ， 线 段 A B 的 中 点 M ( - 1 2 ,- 1 5 ) ， 求 双 曲 线 方 程
练 习 ： 已 知 双 曲 线 x2y2 1 ,过 点 P （ 2 ,1 ） 能 否 作 一 条 直 线 l, 2
共有_______条.
②相切一点: ③相 离:
△=0 △＜0
(5)与左支交于两点. 特别注意直线与双曲线的
3、会求有关中点弦的问题
位置关系中： Δ<0
直线与双曲线相离
种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点，一个交点或两个交点)
(2) ＜k＜ ；
(3)只有一个公共点;
异侧:
＜0
一解不一定相切，相交不一定 一点: 直线与渐进线平行
已3、知会直求线有y=关k中x-1点与弦双的曲问线题x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直线与双曲线
A(1()3没,4有) 公共点;
(b52)与-a左2k支2)交x2于-2两km点a2. x+a2(m2+b2)=0
(种2)类:相＜离k;相＜切;相；交(0个交点，一个交点，一个交点或两个交点)
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y－1＝2x－1
由x2－y22＝1
消去 y 得，2x2－4x＋3＝0，
Δ＝－8<0.
这说明直线 MN 与双曲线不相交，故被点 B 平分的弦不存
在．
名师辨误作答
练习： 已知双曲线 x2－y42＝1，过点 P(1,1)的直线 l 与双 曲线只有一个公共点，求直线 l 的斜率 k 的值．
[错解] 设 l：y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程，得(4－k2)x2 －(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.由题意，Δ＝(2k－2k2)2－4(4－ k2)·(－k2＋2k－5)＝0，所以 k＝52.
由yy2--84=xk2=x4-1,得
k2-4x2+2kk-8x+8-k2-4=0
例4.以P（1，8）为中点作双曲线为y2-4x2=4的一条 弦AB，求直线AB的方程。
k 2 - 4 x 2 + 2 k k - 8 x + 8 - k 2 - 4 = 0 1
设 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 , 则 x 1 , x 2 是 方 程 1 的 两 个 不 等 实 根 .
当 2－k2≠0 时，x1＋x2＝2k2－3k22，x1x2＝3kk22－＋22，
|AB|＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2 ＝ 1＋k2 2k2－3k222－12kk2－2＋28
＝ 1＋k2
16k2＋1 k2－22
＝4|k12＋－k22|＝4，
解得 k＝±22，故这样的直线有 3 条．
3.过原点与双曲线 x2 y2 1 交于两点的直线斜率的
人教A版（2019）高中数学《双曲线》 导学课 件1（ 公开课 课件）
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理论分析：
y = kx+ m
x2 a2
-
y2 b2
消去y，得: =1
(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0
1.二次项系数为0时，直线L（K= 线的渐近线平行或重合。
[解析] 解法一：设被 B(1,1)所平分的弦所在的直线方程 为 y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程 x2－y22＝1，得(k2－2)x2－ 2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0.
∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0. 解得 k<32，且 x1＋x2＝2kk2k－－21. ∵B(1,1)是弦的中点， ∴kkk2－－21＝1，∴k＝2>32. 故不存在被点 B(1,1)所平分的弦．
一个公共点。
P
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当点P在其中一条渐近 线上（中心除外）时， 一条是切线，一条是与 另一条渐近线平行。
P
当点P在含焦点区域 内时，两条是分别与 两条渐近线平行。
P
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判断直线与双曲线位置关系的处理程序
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
相交（一个交点）
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得到一元二次方程 计算判别式
>0 =0 <0 相交 相切 相离
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2 即 直 线 A B 的 方 程 为 x - 2 y + 1 5 = 0
解法二:设Ax1, y1,Bx2, y2,则
yy122244xx122244,
y 1 y 1 y 1 y 1 4 x 1 x 2 x 1 x 2 ,
弦 A B 的 中 点 是 P 1 ,8, x1x22 ,y1y2 1 6 .
∴ Δ = 4 k 2 8 - k 2 - 4 k 2 - 4 8 - k 2 - 4 > 0 2
弦 A B 的 中 点 是 P 1 ,8, ∵ 由中 2点 坐 3标 得 公 k式 =与 1韦 达 定 理 , 得 - k k 8 2 - - 4 k = 13
2
直 线 AB的 方 程 为 y-8= 1x 1
当点P在双曲线的中 心时，不可能作出一 条直线与双曲线只有 一个公共点。
P
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过点P且与双曲线只 有一个公共点的直 线最多有4条
也就是说过点P作与 双曲线只有一个公共 点的直线条数可能是 4条、3条、2条、0条
[辨析] 错因在于忽视了 4－k2＝0，即 l 与双曲线的渐近 线平行时，l 与双曲线只有一个交点也符合题意．另外没有考 虑直线 l 斜率不存在的情况．
[正解] 可分两种情况：(1)直线 l 斜率不存在时，l：x＝1 与双曲线相切，符合题意；(2)直线 l 斜率存在时，设 l 方程为 y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程，得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－ k2＋2k－5＝0，当 4－k2＝0 时，k＝±2，即 l 与双曲线的渐近 线平行时，l 与双曲线只有一个公共点；当 4－k2≠0 时，令 Δ ＝0，所以 k＝52.综上，k＝52或 k＝±2 或 k 不存在．
一、选择题
1．直线 y＝31(x－72)与双曲线x92－y2＝1 交点个数是(
)
A．0
B．1
C．2
D．4
[答案] B
[解析] 直线与渐近线平行， ∴有一个交点．
2．过双曲线 x2－y22＝1 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A、 B 两点，若|AB|＝4，则这样的直线 l 有( )
A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条
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∴ - <k<
且k≠ 1
方程(*)有两个不等的根
- <k< 且k≠ 1
思考？ 人教A版（2019）高中数学《双曲线》导学课件1（公开课课件）
1、如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4只有1个公共点，求k的取值范围
解：等价于(*)只有一解。①当1-k2=0时，即k= 1(*)只有一解
解法二：设存在被点 B 平分的弦 MN，设 M(x1，y1)、N(x2， y2)．
则 x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且xx2212－－yy221222＝＝11，.
① ②
①－②得(x1＋x2)(x1－x2)－12(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∴kMN＝xy11－－yx22＝2，故直线 MN：y－1＝2(x－1)．
b a
）与双曲
重合：无交点；平行：有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,
Δ>0
直线与双曲线相交（两个交点）
Δ=0
直线与双曲线相切
Δ<0
直线与双曲线相离
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特别注意：
直线与双曲线的位置关系中：
一解不一定相切，相交不一定 两解，两解不一定同支
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例1:
过P 点 (0,3)的直 l与 线双C 曲 ： x2线 y2 1仅有 4
4k2+20(1-k2)>0
解：等价于
1-k2≠0 x1+x2=
-
2 2 <0
- <k<-1
- x1x2=
2 >0
4、如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4左、右支各1个公共点，求k的取值范围
解：等价于
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4k2+20(1-k2)>0
取值范围是
，4
33
2
23，
典型例题: 双曲线中的垂直问题
例6、直线y-ax-1=0和曲线3x2-y2=1相交，交点为
A、B，当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐
标原点。
解：将y=ax+1代入3x2-y2=1
得(3-a2)x2-2ax-2=0, 它有两个实根，必须△>0,
。
O
X
2.B(3,0)
3.C(4,0) 4.D(0,0).答案又是怎样的?
1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.
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例题讲解
例3：如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点，求k的取值范围
[答案] C
[解析] 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线 l 的斜率不存在
x＝ 3 时，其方程为 x＝ 3，由x2－y22＝1 ，得 y＝±2，
∴|AB|＝|y1－y2|＝4 满足题意．当直线 l 的斜率存在时，其
y＝kx－ 3
方程为 y＝k(x－ 3)，由x2－y22＝1
，
得(2－k2)x2＋2 3k2x－3k2－2＝0.
② 当1-k2≠0时，△=0，即k=
(*)只有一解
2、如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4右支有两个公共点，求k的取值范围
4k2+20(1-k2)>0
解：等价于
1-k2≠0 x1+x2=
-
2 2 >0
1<k<
- x1x2=