《统计学原理》第四章 综合指标 (2)

第四章 综合指标 第一节 总量指标一、总量指标的意义总量指标：反映社会经济现象在一定时间、地点、条件下的总规模或总水平。

其表现形式是绝对数，是一个有名数。

总量指标的作用：1、是从数量上认识社会经济现象的起点。

2、是制定政策、编制计划、实行社会经济管理的基本依据。

3、是计算相对指标、平均指标以及其他各种分析指标的基础。

二、总量指标的种类1、总量指标按其反映的内容不同分为⎪⎩⎪⎨⎧数量标志值的总和总体标志总量：各单位含的单位数总体单位总量：总体包2、总量指标按其反映的时间状况不同分为⎩⎨⎧时点指标时期指标3、总量指标按其采用的计量单位不同分为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧劳动量指标价值指标实物指标三、总量指标的计算第二节 相对指标一、相对指标的概念和作用相对指标（统计相对数）：是两个有联系的指标数值对比的结果。

相对指标的特点：把两个对比的具体数值抽象化，以集中反映事物之间的数量关系。

二、相对指标的表现形式相对指标的表现形式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧千分数百分数成数倍数、系数无名数有名数三、常用的相对指标1、计划完成相对指标%100⨯=计划任务数实际完成数例、某企业产量计划规定本月的产量要达到200万吨，实际达到220万吨，问该企业的产量计划完成情况如何？解：计划完成百分比%100⨯=计划任务数实际完成数%110%100200220=⨯=例、某企业成本计划规定甲产品的单位成本要降到50元/件，实际降到48元/件，问该企业的成本计划完成情况如何？解：计划完成百分比%100⨯=计划任务数实际完成数%96%1005048=⨯=例、某企业产值计划规定本年的产值要比上年增长10%，实际增长15%，问该企业的产值计划完成情况如何？计划完成百分比%100⨯=计划任务数实际完成数%5.104%100%101%151=⨯++=注意：计划完成相对指标的评价：收入收益性质的指标（一般规定应达到的最低限额），计划完成百分比大于100%为超额完成计划，小于100%为没有完成计划；成本费用性质的指标（一般规定应达到的最高限额），计划完成百分比小于100%为超额完成计划，大于100%为没有完成计划。

长期计划的检查⎩⎨⎧到的累计数—计划中规定全期应达—累计法达到的水平—计划中只规定末年应—水平法2、结构相对指标=总体全部数值总体部分数值×100%3、比例相对指标=总体中另一部分的数值总体中某部分的数值4、比较相对指标%100⨯=指标数值另一空间条件下的同类标数值某空间条件下的某一指5、强度相对指标：是两个性质不同、但有一定联系的属于不同总体的总量指标对比，用来表明现象的强度、密度和普遍程度。

6、动态相对指标（发展速度）=基期水平报告期水平×100%四、正确运用相对指标的原则 1、注意两个对比指标的可比性可比性⎪⎩⎪⎨⎧致计算方法、计算价格一总体范围及指标口径、系经济内容上具有内在联2、相对指标要和总量指标结合起来运用第三节 平均指标一、平均指标的概念、特点、作用及种类平均指标：是指在同质总体内将各单位某一数量标志的差异抽象化，用以反映总体在具体条件下的一般水平的指标。

平均指标的特点：将各单位的数量差异抽象化；同类现象才能计算平均指标；反映总体变量值的集中趋势。

平均指标的作用：便于对比分析；是判断事物的数量标准或参考；可用于分析现象之间的依存关系和进行数量上的估算。

平均指标⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧众数中位数位置平均数几何平均数调和平均数算术平均数数值平均数二、算术平均数=总体单位总量总体标志总量要求：总体各单位是同质的，分子和分母是同一总体的标志总量与单位总量，且具有一一对应关系,这是平均数和强度相对数的区别。

算术平均数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∑∑∑资料已分组加权算术平均数：资料未分组简单算术平均数：fxfx nxx（一）简单算术平均数例如，现有一组数据：79，52，68，85，93，77，82，86，74，80。

其算术平均数x =nxxxn+++216.771080748682779385685279=+++++++++=（二）加权算术平均数计算公式为：x =∑∑f xf 其中，x 代表各组的变量值（或组中值），f 代表各组的次数。

例： 某班《统计学原理》成绩统计表如下，求该班学生的平均成绩。

表2-3-2 某班《统计学原理》成绩统计表解：该班学生的《统计学原理》平均成绩为：x =∑∑fxf 2.7650381021119153255116519751585395==++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分）注意：1、对于组距数列，用上式计算出来的平均数只是真实平均数的近似值； 2、各组次数f 称为权数；3、真正起权衡轻重作用的是各组频率∑ff。

加权算术平均数的数值大小实际上是受各组变量值x 和结构相对数两个因素的影响；例：某车间工人按生产的产品合格率分组资料如下，试求平均合格率。

解：x =∑∑fxf 2830628%9530%856%75++⨯+⨯+⨯=x =∑∑'ff x 8001200200800%951200%85200%75++⨯+⨯+⨯=4、权数是由实际经济现象的内在联系所决定，由相对数和平均数计算其算术平均数时，首先要考虑到该相对数或平均数的基本计算公式，认清其分子、分母是什么，然后选择其分母指标为权数。

5、算术平均数的大小容易受到极大值的影响。

如：{ 200，350，410，580，630，790，840，920，1030，10000 } x ＝1575（三）算术平均数的数学性质（1）算术平均数与总体单位数的乘积等于总体各单位标志值的总和。

即：∑=x x n ， ∑∑=xff x（2）若各个变量值都加（减）任意数A ，则平均数也要加（减）A 。

即：Ax A x ±=±（3）若每个变量值都乘（除）以任意数A ，则平均数也要乘（除）以A 。

即：x A Ax =，Ax A x =（4）各个变量值与算术平均数的离差之和等于0。

即：0)(=-∑x x ， 0)(=-∑fx x（5）各个变量值与算术平均数的离差平方之和等于最小值。

即：min)(2=∑-x x ， min)(2=∑-f x x三、调和平均数——各个变量值倒数的算术平均数的倒数调和平均数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==∑∑∑xm m H xn H 加权调和平均数：简单调和平均数：11、简单调和平均数例：某市场上有三种等级的橘子，一级橘子每千克1.2元，二级橘子每千克1元，三级橘子每千克0.8元，问：（1）若各买一千克，平均每千克多少元？（2）若三种橘子各用一元钱去买，买得的橘子的平均价格是多少？解：因为平均价格=货币支出/橘子重量，所以 （1）138.012.1=++=x （元/千克）（2）8.01112.113++=x =0.97（元/千克）2、加权调和平均数在统计工作中，常常会遇到只有各组标志总量而缺少总体单位数的变量数列资料，此时就需要用加权调和平均数的形式求平均数。

其计算公式为：∑∑=xm m H 其中，m i 为权数（各组标志总量），且f x m iii =∑∑∑∑∑∑===f f x xf x f x ii iiii i i xm m H注意：1、若数据中有0，则不能计算调和平均数。

2、调和平均数的大小容易受到极小值的影响。

如：{ 0.01，1，1.1，1.2，1.4，1.5，1.6，1.8，1.9，2 }, H=0.094 在计算平均数时，应先弄清楚该指标的基本公式（总体单位总量总体标志总量），然后对照所掌握的资料，若掌握的是比值的分母（总体单位总量），则计算算术平均数；若掌握的是比值的分子（各组标志总量），则计算调和平均数。

例：根据下表资料求平均计划完成百分比。

解：==计划产量实际产量计划完成百分比∑∑xm m%1151200%1053800%952500%85600120038002500600++++++=四、几何平均数（对数平均数）——各变量值的连乘积的n 次方根 几何平均数又称为“对数平均数”，它是n 个数据x 1，x 2，…，x n的连乘积的n 次方根。

几何平均数特别适合于计算平均速度。

1、简单几何平均数简单几何平均数的计算公式为：G nnx xx ⨯⨯=⨯ 21=n x ∏两边取对数则有：lgG=n1(lgx 1+lgx 2+…+lgx n )=∑=ni ix n1lg 1例1、某厂生产某种产品需经过三道工序，三道工序的合格率分别为95%、92%、98%，求该企业产品的平均合格率。

解：企业产品的总合格率为95%、92%和98%的连乘积。

因此，平均合格率为：G ＝nx ∏＝3%98%92%95⨯⨯＝94.9684%例2、某地区2004年的工业总产值比2003年增长6%,2005年比2004年增长8%，2006年比2005年增长3%，2007年比2006年增长5%。

求该地区2004至2007年间工业总产值的年平均增长率。

解：年平均增长率为1%105%103%108%1064-⨯⨯⨯=G2、加权几何平均数若数据x 1出现f 1次，x 2出现f 2次，……，x k出现f k次，则它们的几何平均数为：=G ∑∏ffx例3、一笔存款在银行存了7年，其中有1年的利率为3.14%,有2年的利率为2.76%,有4年的利率为3.68%,求平均利率。

解：设存入N 元钱，则7年后的本利和为：N⨯⨯⨯%68.103%76.102%14.10342所以，平均利率为1742%68.103%76.102%14.103-⨯⨯=G几何平均数的特点：①数列中有数值为零或负数，就无法计算几何平均数；②它受极端值影响较小；③几何平均数的应用范围较窄，它适用于反映特定现象的平均水平，即现象的总量不等于各数值的总和，而是等于各数值的连乘积的情况。

五、中位数（M e ）各单位标志值按大小顺序排列后，处于中间位置上的标志值就是中位数。

中位数的位置⎪⎩⎪⎨⎧+221n n 组距数列：：资料未分组、单项数列1、由未分组资料确定中位数例如，数据组{ 53，64，68，71，77，80，85，86，89，94 }的中位数位置为5.5211021=+=+n ，中位数5.7828077=+=Me。

2、由单项数列资料确定中位数例：根据下表资料计算某班学生年龄的中位数。

表2-3-5 某班学生年龄统计表解：中位数的位置为5.25215021=+=+n ，根据上表中的向上累计次数可知，中位数在第三组的第18个数和第19个数中间，为20岁。

3、由组距数列资料确定中位数步骤：（1）计算各组的累计次数（或累计频率）；（2）按公式2n确定中位数的位置；其中，∑==ki if n 1。

（3）根据累计次数确定中位数所在组；（4）用线性插值法按比例推算中位数的近似值。