2021年高中数学第一章三角函数1.4.正弦函数余弦函数的性质1课时训练含解析新人教A版必修

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高中数学第一章1.4.1正弦函数余弦函数的图象1.4.2正弦函数余弦函数的性质学案含解析新人教A版必修4

1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质考试标准知识导图学法指导1.本节内容以三角函数的图象及其性质为主，因此在学习过程中应先学会作图，然后利用图象研究函数的性质．2．深刻理解五点的取法，特别是非正常周期的五点．3．注意所有的变换是图象上的点在移动，是x 或y 在变化而非ωx .4．运用整体代换的思想，令ωx ＋φ＝t ，借助y ＝sin t ，y ＝cos t 的图象和性质研究函数y ＝sin(ωx ＋φ)，y ＝cos(ωx ＋φ)的图象和性质．第1课时正弦函数、余弦函数的图象正弦曲线与余弦曲线及其画法状元随笔 1.关于正弦函数y ＝sin x 的图象(1)正弦函数y ＝sin x ，x∈[2k π，2(k ＋1)π]，k∈Z 的图象与x ∈[0,2π]上的图形一致，因为终边相同角的同名三角函数值相等．(2)正弦函数的图象向左、右无限延伸，可以由y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图象向左右平移得到(每次平移2π个单位)．2．“几何法”和“五点法”画正、余弦函数的比较(1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出正、余弦函数图象的方法. 该方法作图较精确，但较为烦琐．(2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法．提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，自变量与函数值均为实数，因此在x 轴、y 轴上可以统一单位，这样作出的图象正规便于应用．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“五点法”作正、余弦函数的图象时的“五点”是指图象上的任意五点．( )(2)正弦函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π2上的图象相同．( )(3)正弦函数、余弦函数的图象分别向左、右无限延伸．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．以下对正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( )A ．在x ∈[2k π，2(k ＋1)π](k ∈Z )上的图象形状相同，只是位置不同B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间C ．关于x 轴对称D ．与y 轴仅有一个交点解析：画出y ＝sin x 的图象，根据图象可知A ，B ，D 三项都正确．答案：C3．下列图象中，是y ＝－sin x 在[0,2π]上的图象的是( )解析：函数y ＝－sin x 的图象与函数y ＝sin x 的图象关于x 轴对称，故选D. 答案：D4．用“五点法”作函数y ＝cos 2x ，x ∈R 的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是________________．解析：令2x ＝0，π2，π，3π2和2π，得x ＝0，π4，π2，34π，π.答案：0，π4，π2，34π，π类型一用“五点法”作三角函数的图象例1 用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝sin x ＋12，x ∈[0,2π]；(2)y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]．【解析】 (1)按五个关键点列表：(2)列表：作函数图象需要先列表再描点，最后用平滑曲线连线．方法归纳作形如y ＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b )，x ∈[0,2π]的图象的三个步骤跟踪训练1 画出函数y ＝3＋2cos x 的简图．解析：(1)列表，如下表所示(2)利用五点作图法画简图．类型二正、余弦函数曲线的简单应用例2 根据正弦曲线求满足sin x ≥－32在[0,2π]上的x 的取值范围．【解析】在同一坐标系内作出函数y ＝sin x 与y ＝－32的图象，如图所示．观察在一个闭区间[0,2π]内的情形，满足sin x ≥－32的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π，2π，所以满足sin x ≥－32在[0,2π]上的x 的范围是{x 0≤x ≤43π或5π3≤x ≤2π}.或⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π，2π在同一坐标系内作y ＝sin x 与y ＝－32的图象，利用图象求x 的范围. 方法归纳利用三角函数图象解sin x >a (或cos x >a )的三个步骤 (1)作出直线y ＝a ，y ＝sin x (或y ＝cos x )的图象． (2)确定sin x ＝a (或cos x ＝a )的x 值． (3)确定sin x >a (或cos x >a )的解集．[注意] 解三角不等式sin x >a ，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x ∈[0,2π]范围内x 的取值范围，然后根据终边相同角的同名三角函数值相等，写出原不等式的解集．跟踪训练2 根据余弦曲线求满足cos x ≤12的x 的取值范围．解析：作出余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x 的集合为[π3＋2k π，5π3＋2k π]，k ∈Z .在同一坐标内作y ＝cos x 与y ＝12的图象，利用图象求x 的范围.1.4.1-2.1[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列对函数y ＝cos x 的图象描述错误的是( ) A ．在[0,2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同 B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间 C ．关于x 轴对称 D ．与y 轴只有一个交点解析：观察余弦函数的图象知：y ＝cos x 关于y 轴对称，故C 错误．答案：C2．下列各点中，不在y ＝sin x 图象上的是( ) A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1C.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，－1 D ．(π，1) 解析：y ＝sin x 图象上的点是(π，0)，而不是(π，1)．答案：D3．不等式sin x >0，x ∈[0,2π]的解集为( ) A ．[0，π] B ．(0，π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2解析：由y ＝sin x 在[0,2π]的图象可得．答案：B 4．点M ⎝⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：点M 在y ＝sin x 的图象上，代入得－m ＝sin π2＝1，∴m ＝－1.答案：C5．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( )A ．重合B ．形状相同，位置不同C ．关于y 轴对称D ．形状不同，位置不同解析：根据正弦曲线的作法过程，可知函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象位置不同，但形状相同．答案：B二、填空题(每小题5分，共15分) 6．下列叙述正确的有________．(1)y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象关于点P (π，0)成中心对称； (2)y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象关于直线x ＝π成轴对称； (3)正弦、余弦函数的图象不超过直线y ＝1和y ＝－1所夹的范围．解析：分别画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]和y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，由图象观察可知(1)(2)(3)均正确．答案：(1)(2)(3)7．关于三角函数的图象，有下列说法： (1)y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象关于y 轴对称； (2)y ＝cos(－x )与y ＝cos|x |的图象相同；(3)y ＝|sin x |与y ＝sin(－x )的图象关于x 轴对称； (4)y ＝cos x 与y ＝cos(－x )的图象关于y 轴对称．其中正确的序号是________．解析：对(2)，y ＝cos(－x )＝cos x ，y ＝cos|x |＝cos x ，故其图象相同；对(4)，y ＝cos(－x )＝cos x ，故其图象关于y 轴对称，由作图可知(1)(3)均不正确．答案：(2)(4)8．直线y ＝12与函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点坐标是________．解析：令sin x ＝12，则x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋56π，又∵x ∈[0,2π]，故x ＝π6或56π.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，12三、解答题(每小题10分，共20分)9．利用“五点法”作出函数y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)的简图．解析：(1)取值列表：(2)10．根据y ＝cos x 的图象解不等式：－32≤cos x ≤12，x ∈[0,2π]．解析：函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π3≤x ≤5π6或7π6≤x ≤5π3. [能力提升](20分钟，40分)11．已知函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为( )A ．4B ．8C ．2πD ．4π解析：依题意，由余弦函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0和点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0成中心对称，可得y ＝2cosx (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成的封闭图形的面积为2π×2＝4π.答案：D12．函数y ＝2cos x －2的定义域是________．解析：要使函数有意义，只需2cos x －2≥0，即cos x ≥22.由余弦函数图象知(如图)，所求定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z .答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z 13．利用“五点法”作出y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，52π的图象．解析：列表如下：14．利用图象变换作出下列函数的简图：(1)y＝1－cos x，x∈[0,2π]；(2)y＝|sin x|，x∈[0,4π]．解析：(1)首先用“五点法”作出函数y＝cos x，x∈[0,2π]的简图，再作出y＝cos x，x∈[0,2π]的简图关于x轴对称的简图，即y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图，将y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图向上平移1个单位即可得到y＝1－cos x，x∈[0,2π]的简图，如图所示．(2)首先用“五点法”作出函数y＝sin x，x∈[0,4π]的简图，再将该简图在x轴下方的部分翻折到x轴的上方，即得到y＝|sin x|，x∈[0,4π]的简图，如图所示．。

课时作业1：1.4.2　正弦函数、余弦函数的性质(一)

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)一、基础过关1．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π 答案 D2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω等于( ) A ．5 B ．10 C ．15 D ．20答案 B3．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数答案 B解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝－cos 2x ， ∴f (x )＝－cos 2x .又f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )，∴f (x )是最小正周期为π的偶函数．4．下列函数中，不是周期函数的是( )A ．y ＝|cos x |B ．y ＝cos|x |C ．y ＝|sin x |D ．y ＝sin|x |答案 D解析画出y ＝sin|x |的图象，易知．5．定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－π2，0时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫－5π3的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32答案 D解析 f ⎝⎛⎭⎫－5π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝－f ⎝⎛⎭⎫－π3 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝sin π3＝32. 6．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期为________．答案 π解析 T ＝2π2＝π. 7．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos(π＋x )；(2)f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x ；(3)f (x )＝e sin x ＋e －sin xe sin x －e －sin x . 解 (1)x ∈R ，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos(π＋x ) ＝－sin 2x ·(－cos x )＝sin 2x cos x .∴f (－x )＝sin(－2x )cos(－x )＝－sin 2x cos x＝－f (x )．∴该函数是奇函数．(2)对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1，∴1＋sin x ≥0,1－sin x ≥0.∴f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x 的定义域为R .∵f (－x )＝1＋sin (－x )＋1－sin (－x )＝1－sin x ＋1＋sin x ＝f (x )，∴该函数是偶函数．(3)∵e sin x －e －sin x ≠0，∴sin x ≠0，∴x ∈R 且x ≠k π，k ∈Z .∴定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝e sin (－x )＋e －sin (－x )e sin (－x )－e－sin (－x ) ＝e －sin x ＋e sin xe －sin x －e sin x ＝－f (x )，∴该函数是奇函数．二、能力提升8．下列函数中，周期为2π的是( )A ．y ＝sin x 2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝⎪⎪⎪⎪sin x 2 D ．y ＝|sin 2x |答案 C解析 y ＝sin x 2的周期为T ＝2π12＝4π； y ＝sin 2x 的周期为T ＝2π2＝π； y ＝⎪⎪⎪⎪sin x 2的周期为T ＝2π； y ＝|sin 2x |的周期为T ＝π2. 故选C.9．若函数f (x )＝sin(12x －φ)是偶函数，则φ的一个取值为( ) A ．2 010π B ．－π8 C ．－π4 D ．－π2答案 D解析当φ＝－π2时，f (x )＝sin(12x ＋π2)＝cos 12x 为偶函数，故选D. 设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)＝________. 答案 3 解析 ∵f (x )＝sin π3x 的周期T ＝2ππ3＝6. ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)＝335[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＝335⎝⎛⎭⎫sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＋sin 2π ＋f (335×6＋1)＋f (335×6＋2)＋f (335×6＋3)＝335×0＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝sin π3＋sin 23π＋sin π ＝ 3.11．已知f (x )是以π为周期的偶函数，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，求当x ∈⎣⎡⎦⎤52π，3π时，f (x )的解析式．解 x ∈⎣⎡⎦⎤52π，3π时，3π－x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ， ∴f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x .又∵f (x )是以π为周期的偶函数，∴f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤52π，3π. 12.已知函数f (x )＝log 12|sin x |. (1)求其定义域和值域；(2)判断其奇偶性；(3)判断其周期性，若是周期函数，求其最小正周期．解 (1)∵|sin x |>0，∴sin x ≠0，∴x ≠k π，k ∈Z .∴函数的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }．∵0<|sin x |≤1，∴log 12|sin x |≥0， ∴函数的值域为{y |y ≥0}．(2)函数的定义域关于原点对称，∵f (－x )＝log 12|sin(－x )| ＝log 12|sin x |＝f (x )， ∴函数f (x )是偶函数．(3)∵f (x ＋π)＝log 12|sin(x ＋π)| ＝log 12|sin x |＝f (x )， ∴函数f (x )是周期函数，且最小正周期是π.三、探究与拓展13．已知函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝－1f (x )(f (x )≠0)． (1)求证：函数f (x )是周期函数．(2)若f (1)＝－5，求f (f (5))的值．(1)证明 ∵f (x ＋2)＝－1f (x )， ∴f (x ＋4)＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )， ∴f (x )是周期函数，4就是它的一个周期．(2)解 ∵4是f (x )的一个周期． ∴f (5)＝f (1)＝－5，∴f (f (5))＝f (－5)＝f (－1)＝－1f (－1＋2)＝－1f (1)＝15.。

高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质二学案含解析新人教A版必修

学习资料1．4。

2 正弦函数、余弦函数的性质(二）内容标准学科素养 1。

掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．2。

掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小． 3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ）及y ＝A cos （ωx ＋φ)的单调区间。

应用直观想象提升数学运算发展逻辑推理授课提示:对应学生用书第26页[基础认识］知识点一正弦、余弦函数的定义域、值域阅读教材P 37～38，思考并完成以下问题正弦函数y ＝sin x ，余弦函数y ＝cos x ,x ∈R ,有最值吗？值域如何？（1)y ＝sin x ，x ∈[0，2π]图象的最高点坐标、最低点坐标是多少？提示：错误!、错误!.（2)y ＝cos x ，x ∈[0，2π］图象的最高点、最低点坐标是多少？提示：（0，1）、(2π，1），(π,－1)．(3）如果sin x ＝1，cos x ＝1，(x ∈R )，x 的值是多少？sin x ＝－1,cos x ＝－1呢?提示：x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，x ＝2k π，k ∈Z 。

x ＝错误!π＋2k π，k ∈Z ，x ＝π＋2k π，k ∈Z .知识梳理可得如下性质：由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ，值域都是R ．对于正弦函数y ＝sin x ,x ∈R ，有：当且仅当x ＝2k π＋错误!（k ∈Z ）时,取得最大值1；当且仅当x ＝2k π＋错误!π(k ∈Z ）时,取得最小值－1。

对于余弦函数y ＝cos x ，x ∈R ，有:当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1；当且仅当x ＝2k π＋π,k ∈Z 时，取得最小值－1. y ＝sin x ,x ∈R 的值域为[－1，1］． y ＝cos x ，x ∈R 的值域为［－1，1]．知识点二正弦、余弦函数的单调性思考并完成以下问题y ＝sin x ，y ＝cos x 都有单调变化,单调区间如何表示？(1)观察正弦函数y ＝sin x ，x ∈错误!的图象,正弦函数在错误!上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？提示：错误!单调递增―→错误!，k ∈Z 单调递增，错误!单调递减―→错误!，k ∈Z 单调递减．（2）观察余弦函数y ＝cos x ，x ∈[－π,π]的图象．余弦函数在[－π，π］上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？提示：[－π，0］单调递增―→［－π，＋2k π，2k π］，k ∈Z 单调递增［0，π]单调递减―→［2kπ，2kπ＋π］，k∈Z单调递减．知识梳理正弦函数余弦函数图象单调性在错误!，（k∈Z)上递增,在错误!，（k∈Z)上递减在［－π＋2kπ,2kπ］，k∈Z上递增，在［2kπ，2kπ＋π],k∈Z上递减1．在下列区间中,使y＝sin x为增函数的是（）A．［0，π]B。

高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第1课时)习题课

【证明】 f(x＋2)＝f((x＋1)＋1)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴f(x)是周期函数且 2 是它的一个周期．
(2)若函数
f(x)是以π2
为周期的偶函数，且
π f( 3
)＝1，求
f(－167π
)
的值．【思路分析】将－176π利用周期性转化为π3 ，进而求值．
π 【解析】 ∵f(x)的周期为 2 ，且为偶函数，
【解析】 (1)∵x∈R，f(x)＝sin(34x＋3π2 )＝－cos34x，∴f(－ x)＝－cos3（－4 x）＝－cos34x＝f(x)．
∴函数 f(x)＝sin(34x＋3π2 )为偶函数． (2)f(x)＝（1－c1o＋s2sxi）nx＋sinx＝sin12＋x＋sinsixnx＝sinx，但函数应满足 1＋sinx≠0，
思考题 3 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sinx－x tanx； (2)f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)； (3)f(x)＝1c－oss2inxx； (4)f(x)＝ 1－cosx＋ cosx－1. 【答案】 (1)偶函数 (2)奇函数 (3)非奇非偶函数 (4)既是奇函数又是偶函数
(1)①要判断奇偶性的函数是三角函数型的复合函数． ②sin(34x＋3π 2 )＝－cos34x.
(2)①所判断的函数是以公式形式给出的； ②f(x)的定义域可求，即 sinx＋1≠0. 解答本题中的(1)可先利用诱导公式化简 f(x)，再利用 f(－x) 与 f(x)的关系加以判断．解答本题中的(2)可先分析 f(x)的定义域，然后再利用定义加以分析．
∴函数的定义域为{x|x∈R，且 x≠2kπ＋32π，k∈Z}． ∵函数的定义域不关于原点对称， ∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．探究 3 (2)中易忽视 f(x)的定义域而进行非等价变形，得 f(x) ＝sinx（1＋1＋sinsxinx）＝sinx，从而导致结果错误．判断函数的奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称，再看 f(－x)与 f(x)的关系．

1.4.1正弦函数、余弦函数的图象知识点归纳与练习(含详细答案)

第一章三角函数 §1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象课时目标 1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．1．正弦曲线、余弦曲线2．“五点法”画图画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是_________________________；画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是__________________________． 3．正、余弦曲线的联系依据诱导公式cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向________平移π2个单位长度即可．知识点归纳：1．正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础．2．五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一．一、选择题1．函数y ＝sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A ．x 轴 B ．y 轴C ．直线y ＝xD ．直线x ＝π22．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向右平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式为( )A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x3．函数y ＝－sin x ，x ∈[－π2，3π2]的简图是( )4．在(0,2π)内使sin x >|cos x |的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 B.⎝⎛⎦⎤π4，π2∪⎝⎛⎦⎤5π4，3π2 C.⎝⎛⎭⎫π4，π2 D.⎝⎛⎭⎫5π4，7π4 5．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )A ．4B ．8C ．2πD ．4π 6．方程sin x ＝lg x 的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 题号 1 2 3 4 5 6 答案 7．函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象向右平移π2个单位后所得图象对应的函数解析式是__________．8．函数y ＝2cos x ＋1的定义域是________________． 9．方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是________．10．设0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为________．三、解答题11．利用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)； (2)y ＝－1－cos x (0≤x ≤2π)．12．分别作出下列函数的图象．(1)y＝|sin x|，x∈R；(2)y＝sin|x|，x∈R.能力提升13．求函数f(x)＝lg sin x＋16－x2的定义域．14．函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．§1.4 三角函数的图象与性质 1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象答案知识梳理2．(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，－1，(2π，0) (0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫32π，0，(2π，1) 3．左作业设计1．D 2.B 3.D 4．A [∵sin x >|cos x |，∴sin x >0，∴x ∈(0，π)，在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0，π)与y ＝|cos x |，x ∈(0，π)的图象，观察图象易得x ∈⎝⎛⎭⎫π4，34π.] 5．D [作出函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象，函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝2围成的平面图形，如图所示的阴影部分．利用图象的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC 的面积，又∵|OA |＝2，|OC |＝2π， ∴S 平面图形＝S 矩形OABC ＝2×2π＝4π.]6．C [用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图象．描出点⎝⎛⎭⎫110，－1，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图所示．由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．]7．y ＝－cos x解析 y ＝sin x 2π−−−−−−→向右平移个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2 ∵sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ，∴y ＝－cos x . 8.⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z 解析 2cos x ＋1≥0，cos x ≥－12，结合图象知x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋2π3，k ∈Z . 9．2解析作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象，如图所示，由图象，可知原方程有两个实数解．10.⎣⎡⎦⎤π4，5π4解析由题意知sin x －cos x ≥0，即cos x ≤sin x ，在同一坐标系画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与 y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示：观察图象知x ∈[π4，54π]．11．解利用“五点法”作图 (1)列表：X 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x1121描点作图，如图所示．(2)列表：X0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 －1 0 1 －1－cos x－2－1－1－2描点作图，如图所示．12．解 (1)y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π) (k ∈Z )．其图象如图所示，(2)y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (x ≥0)－sin x (x <0)，其图象如图所示，13．解由题意，x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >016－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4sin x >0，作出y ＝sin x 的图象，如图所示．结合图象可得：x ∈[－4，－π)∪(0，π)．14．解 f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x x ∈[0，π]，－sin x x ∈(π，2π].图象如图，若使f (x )的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k 的取值范围是(1,3)．。

高中数学第一章三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(2)课时训练(含解析)新人教A版必修4

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)课时目标 1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域或最值.2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能用单调性比较大小.3.会求函数y＝A sin(ωx ＋φ)及y＝A cos(ωx＋φ)的单调区间．函数y＝sin x y＝cos x图象定义域____________值域____________奇偶性____________周期性最小正周期：______最小正周期：______单调性在__________________________________上单调递增；在__________________________________________________上单调递减在__________________________________________上单调递增；在______________________________上单调递减最值在________________________时，y max＝1；在________________________________________时，y min＝－1在______________时，y max＝1；在__________________________时，y min＝－1一、选择题1．若y＝sin x是减函数，y＝cos x是增函数，那么角x在( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( )A．sin α>sin β B．sin β>sin αC．sin α≥sin β D．sin α与sin β的大小不定3．函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为( )A.[]－1，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，544．函数y＝|sin x|的一个单调增区间是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－π4，π4B.⎝⎛⎭⎪⎫π4，3π4C.⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2D.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π5．下列关系式中正确的是( )A．sin 11°<cos 10°<sin 168°B．sin 168°<sin 11°<cos 10°C．sin 11°<sin 168°<cos 10°D．sin 168°<cos 10°<sin 11°6．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)题号 1 2 3 4 5 6 答案7．函数y ＝sin(π＋x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π的单调增区间是____________． 8．函数y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π6)的值域是________．9．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________________．10．设|x |≤π4，函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是______．三、解答题11．求下列函数的单调增区间． (1)y ＝1－sin x2；(2)y ＝log 12(cos 2x )．12．已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．能力提升13．已知sin α>sin β，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，β∈⎝⎛⎭⎪⎫π，32π，则( ) A ．α＋β>π B．α＋β<πC ．α－β≥－32πD ．α－β≤－32π14．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32 C ．2 D ．31．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)单调区间的方法是：把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋32π (k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断． 3．求三角函数值域或最值的常用求法将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方、或利用函数的单调性等来确定y 的范围．1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)答案知识梳理R R [－1,1] [－1,1] 奇函数偶函数 2π 2π [－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )[π2＋2k π，3π2＋2k π] (k ∈Z ) [－π＋2k π，2k π] (k ∈Z ) [2k π，π＋2k π] (k ∈Z ) x ＝π2＋2k π (k ∈Z )x ＝－π2＋2k π (k ∈Z ) x ＝2k π (k ∈Z ) x ＝π＋2k π (k ∈Z )作业设计 1．C 2.D3．C [y ＝sin 2x ＋sin x －1＝(sin x ＋12)2－54当sin x ＝－12时，y min ＝－54；当sin x ＝1时，y max ＝1.]4．C [由y ＝|sin x |图象易得函数单调递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π为y ＝|sin x |的单调递增区间．]5．C [∵sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°， cos 10°＝sin (90°－10°)＝sin 80°由三角函数线得sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.]6．A [因为函数周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合．故选A.] 7.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π 8．[0,2]解析 ∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3.∴0≤sin(2x ＋π3)≤1，∴y ∈[0,2]9．b <c <a解析 ∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2，∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2. ∵b <c <a . 10.1－22解析 f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x＝－(sin x －12)2＋54∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22.∴当sin x ＝－22时，f (x )min ＝1－22. 11．解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z . ∴y ＝1－sin x2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )．(2)由题意得cos 2x >0且y ＝cos 2x 递减．∴x 只须满足：2k π<2x <2k π＋π2，k ∈Z .∴k π<x <k π＋π4，k ∈Z .∴y ＝log 12(cos 2x )的增区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π4，k ∈Z . 12．解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －x 3≤23π，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，易知a ≠0. 当a >0时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1， f (x )min ＝－3a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝12－63b ＝－23＋123.当a <0时，f (x )max ＝－3a ＋b ＝1， f (x )min ＝2a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧－3a ＋b ＝12a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63b ＝19－123.13．A [∵β∈⎝⎛⎭⎪⎫π，32π， ∴π－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，且sin(π－β)＝sin β. ∵y ＝sin x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0上单调递增， ∴sin α>sin β⇔sin α>sin(π－β) ⇔α>π－β⇔α＋β>π.]14．B [要使函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则应有T 4≤π3或34T ≤π4，即2π4ω≤π3或6πω≤π，解得ω≥32或ω≥6. ∴ω的最小值为32，故选B.]。

高一数学必修四教案：1.4.2正弦、余弦函数的性质(一)Word版含答案

1.4.2正弦、余弦函数的性质教学目标：1、知识与技能掌握正弦函数和余弦函数的性质． 2、过程与能力目标通过引导学生观察正、余弦函数的图像，从而发现正、余弦函数的性质，加深对性质的理解．并会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间．3、情感与态度目标渗透数形结合思想，培养学生辩证唯物主义观点．教学重点：正、余弦函数的周期性；正、余弦函数的奇、偶性和单调性。

教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用；正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用。

正弦、余弦函数的性质(一)教学过程：一、复习引入： 1．问题：（1）今天是星期一，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？2正弦函数()sin f x x =性质如下：（观察图象） 1︒ 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；2︒ 规律是：每隔2π重复出现一次（或者说每隔2k π,k ∈Z 重复出现） 3︒ 这个规律由诱导公式sin(2k π+x)=sinx 可以说明结论：象这样一种函数叫做周期函数。

文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；符号语言：当x 增加2k π（k Z ∈）时，总有(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==．也即：（1）当自变量x 增加2k π时，正弦函数的值又重复出现；（2）对于定义域内的任意x ，sin(2)sin x k x π+=恒成立。

–– π2π2π-2π5ππ-2π-5π- Ox y1 1-余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。

二、讲解新课：1．周期函数定义：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：f (x +T)=f (x )那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

问题：（1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin()sin 636πππ+=，能否说23π是它的周期？（2）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k π，k Z ∈且0k ≠）（3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ，*k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？（是，其原因为：()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+）2、说明：1︒周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T ∈M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；2︒“每一个值”只要有一个反例，则f (x )就不为周期函数（如f (x 0+t)≠f (x 0)） 3︒T 往往是多值的（如y=sinx 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做f (x )的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期） y=sinx, y=cosx 的最小正周期为2π （一般称为周期）从图象上可以看出sin y x =，x R ∈；cos y x =，x R ∈的最小正周期为2π；判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？（()f x c =没有最小正周期）3、例题讲解例1 求下列三角函数的周期： ①x y cos 3= ②x y 2sin =（3）12sin()26y x π=-，x R ∈．解：（1）∵3cos(2)3cos x x π+=，∴自变量x 只要并且至少要增加到2x π+，函数3cos y x =，x R ∈的值才能重复出现，所以，函数3cos y x =，x R ∈的周期是2π．（2）∵sin(22)sin 2()sin 2x x x ππ+=+=，∴自变量x 只要并且至少要增加到x π+，函数sin 2y x =，x R ∈的值才能重复出现，所以，函数sin 2y x =，x R ∈的周期是π．（3）∵1112sin(2)2sin[()]2sin()262626x x x πππππ-+=+-=-， ∴自变量x 只要并且至少要增加到x π+，函数sin 2y x =，x R ∈的值才能重复出现，所以，函数sin 2y x =，x R ∈的周期是π．练习1。

高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质一训练含解析新人教A版必修

学习资料第一章三角函数1．4 三角函数的图象与性质1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质（一)[A 组学业达标]1．函数f (x ）＝x ＋sin x ，x ∈R( ）A ．是奇函数，但不是偶函数B ．是偶函数，但不是奇函数C ．既是奇函数，又是偶函数D ．既不是奇函数，又不是偶函数答案：A2．下列函数中，周期为错误!的是( ） A ．y ＝cos 4xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x 4D ．y ＝sin x 2 解析：对于A,∵cos 4错误!＝cos （2π＋4x ）＝cos 4x ，∴T ＝错误!;对于B ，∵sin 2错误!＝sin （π＋2x )＝－sin 2x ,∴T ≠错误!.同理可知C ，D 的周期均不是错误!。

答案:A3．函数f （x ）＝2｜sin x ｜的最小正周期为( ）A ．2πB 。

错误!C ．πD 。

错误! 解析：∵sin （x ＋π)＝－sin x ，|sin x |＝｜－sin x ｜，∴f (x ＋π)＝f （x )，∴函数f （x )＝2|sin x |的最小正周期为π。

故选C.答案：C4．函数①y ＝x 2sin x ；②y ＝sin x ，x ∈[0，2π］;③y ＝sin x ,x ∈［－π,π]；④y ＝x cos x 中，奇函数的个数为( ） A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：C5．下列函数中，周期为2π的偶函数是（ ) A ．y ＝sin 错误!B ．y ＝sin 2xC ．y ＝｜sin 错误!|D ．y ＝|sin 2x | 答案:C6．若函数f (x )的定义域为R ,最小正周期为错误!，且满足f (x ）＝错误!则f 错误!＝________．解析：∵T ＝3π2，∴f 错误!＝f 错误!＝f 错误!＝sin 错误!π＝错误!.答案：错误!7．已知f（n)＝sin错误!（n∈Z)，则f(1)＋f（2）＋…＋f(100)＝________．解析:f(1)＋f(2）＋…＋f(8)＝0，f(9)＋f(10)＋…＋f(16）＝0，依次循环,f（1）＋f(2）＋…＋f（100)＝0＋f（97)＋f（98)＋f(99)＋f(100）＝错误!＋1.答案：错误!＋18．若f(x)是R上的偶函数,当x≥0时，f（x)＝sin x,则f(x）的解析式是________．解析:当x〈0时，－x>0,f（－x)＝sin(－x）＝－sin x.∵f(－x）＝f(x),∴x〈0时，f(x）＝－sin x。

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)学案(含答案)

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（一）学案（含答案）14.2正弦函数正弦函数..余弦函数的性质余弦函数的性质一一学习目标1.了解周期函数.周期.最小正周期的定义.2.会求函数yAsinx 及yAcosx的周期.3.掌握函数ysinx，ycosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性知识点一函数的周期性1对于函数fx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有fxTfx，那么函数fx就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期2如果在周期函数fx的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做fx的最小正周期知识点二正弦函数.余弦函数的周期性由sinx2ksinx，cosx2kcosxkZ 知，ysinx与ycosx都是周期函数，2kkZ且k0都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2.知识点三正弦函数.余弦函数的奇偶性1对于ysinx，xR，恒有sinxsinx，所以正弦函数ysinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称2对于ycosx，xR，恒有cosxcosx，所以余弦函数ycosx是偶函数，余弦曲线关于y轴对称1函数fxx2满足f36f3，所以fxx2是以6为周期的周期函数提示周期函数需满足对定义域内每一个值x，都有fxTfx，对于fxx2，f00，f06f636，f0f06，fxx2不是以6为周期的周期函数2ycos2x是偶函数3任何周期函数都有最小正周期提示常函数fxc，任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期4y|sinx|是周期函数题型一三角函数的周期性例1求下列函数的最小正周期1ysin2x3xR；2y|sinx|xR考点正弦.余弦函数的周期性题点正弦.余弦函数的周期性解1方法一令z2x3，因为xR，所以zR.函数fxsinz的最小正周期是2，即变量z只要且至少要增加到z2，函数fxsinzzR的值才能重复取得而z22x322x3，所以自变量x只要且至少要增加到x，函数值才能重复取得，所以函数fxsin2x3xR的最小正周期是.方法二fxsin2x3的最小正周期为22.2因为y|sinx|sinx，2kx2k，sinx，2k0，1cosx0，得1cosx0的最小正周期为23，则f.考点正弦.余弦函数的周期性题点正弦.余弦函数的周期性答案32解析由已知223，得3，所以fx3cos3x3，所以f3cos333cos33cos2332.4已知aR，函数fxsinx|a|，xR为奇函数，则a.考点正弦.余弦函数的奇偶性与对称性题点正弦.余弦函数的奇偶性答案0解析因为fxsinx|a|，xR为奇函数，所以f0sin0|a|0，所以a0.5已知函数fxaxbsinx1，若f20207，则f2020.考点正弦.余弦函数的奇偶性与对称性题点正弦.余弦函数的对称性答案5解析由f20202020absin20xx，得2020absin20206，f20202020absin202012020absin20xx15.1求函数的最小正周期的常用方法1定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使fxTfx 成立的T.2图象法，即作出yfx的图象，观察图象可求出T，如y|sinx|.3结论法，一般地，函数yAsinx其中A，，为常数，A0，0，xR的周期T2.2判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键如果定义域关于原点对称，再看fx与fx的关系，从而判断奇偶性。

高中数学：1.4.1正弦函数、余弦函数的图象 Word版含答案

第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图象学习目标1.能借助正弦线画出正弦函数的图象,并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象.2.能熟练运用“五点法”作图.学习过程一、课前准备(预习课本P30~P33,找出疑惑之处)遇到一个新的函数,画出它的图象,通过观察图象获得对它的性质的直观认识是研究函数的基本方法,那么,一般采用什么方法画图象?二、新课导学问题1:在直角坐标系内把单位圆十二等分,分别画出对应角的正弦线.问题2:在相应坐标系内,在x轴上标出12个角(实数表示),把单位圆中12个角的正弦线进行右移.问题3:通过刚才描点(x0,sin x0),把一系列点用光滑曲线连结起来,你能得到什么?问题4:观察所得函数的图象,有五个点在确定形状中起着关键作用,哪五个点?问题5:如何作y=sin x,x∈R的图象?问题6:用以前学过的诱导公式cos x=(用正弦式表示),那么y=cos x的图象怎样作?三、典型例题【例题】作下列函数的简图.(1)y=1+sin x,x∈[0,2π];(2)y=-cos x.探究1:如何利用y=sin x,x∈(0,2π)的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到:(1)y=1+sin x,x∈(0,2π)的图象?(2)y=sin(x-)的图象?探究2:如何利用y=cos x,x∈(0,2π)的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到y=-cos x,x ∈(0,2π)的图象?探究3:如何利用y=cos x,x∈(0,2π)的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到y=2-cos x,x ∈(0,2π)的图象?探究4:不用作图,你能判断函数y=sin(x-)和y=cos x的图象有何关系吗?请在同一坐标系中画出它们的简图,以验证你的猜想.四、课堂练习1.函数y=sin(a≠0)的定义域为()A.RB.[-1,1]C.[-]D.[-3,3]2.在[0,2π]上,满足sin x≥的x的取值范围是()A.[0,]B.[]C.[]D.[,π]3.用“五点法”作y=2sin x+1,x∈[0,2π]的图象.4.结合图象,判断方程sin x=x的实数解的个数.五、小结反思六、达标检测1.用“五点法”作函数y=2sin2x的图象时,首先应描出的五点横坐标可以是()A.0,,π,,2πB.0,,πC.0,π,2π,3π,4πD.0,2.在[0,2π]内,不等式sin x<-的解集是()A.(0,π)B.()C.()D.(,2π)3.方程sin x=的根的个数是()A.7B.8C.9D.104.用“五点法”画出y=2sin x在[0,2π]内的图象时,应取的五个点为.5.函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象与直线y=-的交点有个.6.若sin x=2m+1且x∈R,则m的取值范围是.参考★答案★一、课前准备一般采用列表、描点、连线的方式作图.二、新课导学问题1:在直角坐标系的x轴上任取一点O1,以O1为圆心作单位圆,从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.问题2:在单位圆中画出对应于角0,,…,2π的正弦线(等价于“列表”).把角x的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合,则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点(等价于“描点”).问题3:用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来,就得到正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象.问题4:五个关键点是:(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0).问题5:根据终边相同的同名三角函数值相等,所以函数y=sin x,x∈[2kπ,2(k+1)π,k∈Z且k≠0)的图象与函数y=sin x,x∈[0,2π)的图象的形状完全一致.于是我们只要将y=sin x,x∈[0,2π)的图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动,每次移动的距离为2π,就得到y=sin x,x∈R的图象.用几何画板软件演示:把角x(x∈R)的正弦线平行移动,使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合,则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sin x的图象.问题6:根据诱导公式cos x=sin(x+),可以把正弦函数y=sin x的图象向左平移单位长度即得余弦函数y=cos x的图象.三、典型例题【例题】解:(1)列表得x0 π2πsin x0 1 0 -1 0y 1 2 1 0 1简图为(2)列表得x0 π2πcos x 1 0 -1 0 1y-1 0 1 0 -1简图为探究1:解:(1)将图象y=sin x上的点向上平移1个单位长度,即可得到y=1+sin x的图象;(2)将图象y=sin x上的点向右平移个单位长度,即可得到y=sin(x-)的图象.探究2:解:作y=cos x,x∈(0,2π)的图象关于x轴的对称图形即可得到y=-cos x,x∈(0,2π)的图象.探究3:解:先作y=cos x,x∈(0,2π)的图象关于x轴对称的图象即可得到y=-cos x,x∈(0,2π)的图象,再将得到的图象向上平移2个单位长度,即可得到y=2-cos x,x∈(0,2π)的图象.探究4:解:y=sin(x-)=cos x,这两个函数相等,图象重合.四、课堂练习1.A2.B3.解:列表得x0 π2πsin x0 1 0 -1 0y 1 3 1 -1 1简图为4.解:在同一坐标系中作出y=x和y=sin x的图象,如图由图象知y=x和y=sin x的图象只有一个交点,即方程x=sin x只有一个根.五、小结反思在区间[0,2π]上正、余弦函数图象上起关键作用的五个点分别是它的最值点及其与坐标轴的交点(平衡点).函数的图象可通过描点、平移、伸缩、对称等手段得到.六、达标检测1.B2.C3.A4.(0,0),(,2),(π,0),(π,-2),(2π,0)5.26.[-1,0]。

高中数学第一章三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第1课时正弦函数、余弦函数的性质

第1课时正弦函数、余弦函数的性质（一）【基础练习】1．下列函数中，周期为π的是( ) A ．y ＝|sin x | B ．y ＝|sin 2x | C ．y ＝cos x4D ．y ＝sin x【答案】A【解析】A 中函数的周期为T ＝π，B 中函数的周期为T ＝π2，C 中函数的周期为T ＝8π，D 中函数的周期为T ＝2π.故选A ．2．(2019年某某内江期末)函数y ＝sin πx 的图象与x 轴的两个相邻交点间的距离为( )A ．πB ．2πC ．1D ．2【答案】C【解析】函数y ＝sin πx 的图象与x 轴的两个相邻交点间的距离，即为函数最小正周期的一半，而最小正周期T ＝2ππ＝2，故所求距离为1.故选C ．3．(2018年某某日照一模)函数y ＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数【答案】A【解析】函数y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－sin 2x ，故是奇函数且最小正周期为2π2＝π.故选A ． 4．在函数①y ＝cos |2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2，④y ＝sin |x |中，最小正周期为π的所有偶函数为( )A ．①②B ．①②③C ．②④D ．①③【答案】A【解析】函数 ①y ＝cos |2x |＝cos 2x 为偶函数且周期为2π2＝π，故①满足条件；②y＝|cos x |的最小正周期为π且是偶函数，故满足条件；③y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝|cos 2x |的周期为12·2π2＝π2且是偶函数，故不满足条件；④y ＝sin |x |没有周期性，故不满足条件．故选A ．5．若函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0＜φ＜π)是偶函数，则φ＝________. 【答案】π2【解析】若函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0＜φ＜π)是偶函数，则φ＝π2.6．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋π6的最小正周期是π，则a ＝________. 【答案】±2【解析】∵y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ax ＋π6的最小正周期是π， ∴必有3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a x ＋π＋π6＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋π6＋a π＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋π6，∴|a π|＝2π，∴a ＝±2.7．求下列函数的周期：(1)y ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －1；(2)y ＝|sin 2x |.【解析】(1)∵－2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12x ＋4π－1＝－2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －1－2π ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －1， ∴函数y ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －1的周期是4π.(2)∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝|sin(2x ＋π)| ＝|－sin 2x |＝|sin 2x |，∴y ＝|sin 2x |的周期是π2.8．判断下列函数的奇偶性． (1)y ＝1－sin x ； (2)y ＝－3sin x .【解析】(1)对于函数y ＝f (x )＝1－sin x ，由于它的定义域为R ，关于原点对称，f (－x )＝1＋sin x ，故f (－x )≠f (x )且f (－x )≠－f (x )，故f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)对于函数y ＝g (x )＝－3sin x ，由于它的定义域为R ，关于原点对称，g (－x )＝－3sin(－x )＝3sin x ＝－g (x )，即g (－x )＝－g (x )，故f (x )是奇函数．9．y ＝sin x ，x ∈[0,2π]是周期函数吗？为什么？将区间改为[0，＋∞)呢？当x ∈[0，＋∞)时，－2π是它的一个周期吗？【解析】当x ∈[0,2π]时，y ＝sin x 不是周期函数． ∵当x ＝π2时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin π2＝1，而π2＋2π不在定义域内没有意义， ∴当x ∈[0,2π]时，y ＝sin x 不是周期函数．若将区间改为[0，＋∞)，而2π是它的一个周期，f (x ＋2π)＝sin(x ＋2π)＝sin x ＝f (x )，而－2π不是它的一个周期，因为，当x ＝π2时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin π2＝1，而π2－2π＝－32π∉[0，＋∞)，无意义．【能力提升】10．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( )A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】D【解析】T ＝2πk4＝8πk≤2，∴k ≥4π.又k ∈N *，∴k 最小为13.故选D ．11．(2019年某某某某期末)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )是以π为周期的周期函数，当π6≤x ≤π2时，f (x )＝sin x ＋a ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＝( )A ．32B ．－12C ．12D ．－32【答案】B【解析】由f (x )是奇函数可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，由f (x )是以π为周期的周期函数可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin π2＋a ＝a ＋1，故a ＝－1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin π6－1＝－12.故选B ．12．函数y ＝|sin x |＋|cos x |的最小正周期为( ) A ．π2B ．πC ．2πD ．4π【答案】A【解析】∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝|sin x |＋|cos x |，∴原函数的最小正周期为π2. 13．(2018年某某某某一模)若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值为________．【答案】0【解析】∵函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为2πω＝π2，∴ω＝4.故有f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3，故有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin π＝0.。

高中数学第一章三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)学案(含解析)

1．4.2正弦函数、余弦函数的性质第一课时正弦函数、余弦函数的性质（一)正弦、余弦函数的周期性[提出问题］问题1：终边相同的角的三角函数值有什么关系？提示：相等．即sin（2kπ＋x）＝sin x,cos(2kπ＋x)＝cos x(k∈Z)．问题2：正弦曲线具有什么特点?提示：“周而复始”，每隔2π就重复一次．问题3：余弦曲线是否也具有上述特点？提示:是．［导入新知]1．函数的周期性(1）对于函数f(x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时,都有f（x＋T）＝f(x)，那么函数f(x)就叫周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．2．正弦、余弦函数的周期性正弦函数y＝sin x（x∈R）和余弦函数y＝cos x(x∈R)都是周期函数，2kπ（k∈Z,且k≠0)都是它们的周期．最小正周期为2π.[化解疑难］细解周期函数（1)一定要强调是对定义域内的每一个值都有f(x＋T）＝f(x）成立，即x的任意性，否则不能说y＝f（x)是周期函数．（2)并非所有周期函数都有最小正周期．例如，对于常数函数f(x)＝c(c为常数，x∈R)，所有非零实数T都是它的周期,最小正数不存在，所以常数函数没有最小正周期．（3)在周期函数y＝f（x)中，若x∈D,则x＋nT∈D（n∈Z)，从而要求周期函数的定义域一定为无限集,且无上下界.正弦、余弦函数的奇偶性［提出问题问题1：正弦曲线、余弦曲线各有怎样的对称性？提示:正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y轴对称．问题2:诱导公式sin(－x)＝－sin x，cos（－x）＝cos x体现了函数的什么性质？提示：奇偶性．［导入新知]正弦、余弦函数的奇偶性正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．[化解疑难］函数y＝A sin(ωx＋φ)(Aω≠0）或y＝A cos（ωx＋φ）（Aω≠0)奇偶性的判断方法由于函数y＝A sin ωx(Aω≠0）是奇函数，y＝A cos ωx(Aω≠0）是偶函数，因此判断函数y＝A sin（ωx＋φ)(Aω≠0）或y＝A cos（ωx＋φ)（Aω≠0）是否具备奇偶性，关键是看它们能否通过诱导公式转化为y＝A sin ωx（Aω≠0)或y＝A cos ωx（Aω≠0）．函数的周期[例1］求下列三角函数的周期:（1）y＝3sin x，x∈R；(2）y＝cos 2x，x∈R；（3）y＝sin错误!，x∈R；(4）y＝|cos x｜,x∈R。