九年级数学下册第二章2.2.4二次函数的图象和性质导学案
九年级数学下册第二章二次函数2.2二次函数图象与性质教案
二次函数图像性质教学课题 2.2 二次函数图像性质（1）课时安排教学目标知识与技能1．能够利用描点法作出函数y=x2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质．2．猜想并能作出y=-x2的图象，能比较它与y=x2的图象的异同.问题解决1．经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．2．由函数y=x2的图象及性质，对比地学习y＝-x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．情感价值1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．教学重点作出函数y＝±x2的图象，并根据图象认识和理解二次函数y＝±x2的性质.教学难点由y=x2的图象及性质对比地学习y＝-x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点.教具准备投影片、三角板学具准备三角板教师活动学生活动一、课前展示二、新知索引三、运用新知1、寻找生活中的抛物线展示图形；2、(1)二次函数的概念；（2）画函数的图象的主要步骤.合作学习（探究二次函数y＝±x2的图象和性质）活动内容：1.用描点法画二次函数y=x2的图象，并与同桌交流。
2.观察图象，探索二次函数y=x2的性质，提出问题：（1）你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.（2）图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?（3）图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?（4）当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？（5）当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？学生思考，代表发言学生分组交流，自己画图小组讨论图像性质oyx A四、变式引申你是如何知道的？3.二次函数y =－x 2的图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象4.它与二次函数y =x 2的图象有什么关系？与同伴进行交流。
二次函数的图象和性质课教案
二次函数的图象和性质优质课教案第一章：引言教学目标：1. 让学生了解二次函数的概念和重要性。
2. 引导学生通过实际问题情境，感受二次函数的应用。
教学内容：1. 引入二次函数的概念，给出一般形式的二次函数表达式：y = ax^2 + bx + c。
2. 通过实际问题情境，让学生观察二次函数的图象和性质。
教学活动：1. 引入二次函数的概念，引导学生理解二次函数的三个参数a、b、c的含义。
2. 通过实际问题情境，让学生观察二次函数的图象和性质，例如：抛物线的开口方向、顶点的坐标等。
教学评价：1. 检查学生对二次函数概念的理解程度。
2. 评估学生在实际问题情境中观察二次函数图象和性质的能力。
第二章：二次函数的图象教学目标：1. 让学生掌握二次函数图象的基本特征。
2. 培养学生通过图象分析二次函数性质的能力。
教学内容：1. 介绍二次函数图象的基本特征，包括开口方向、顶点、对称轴等。
2. 引导学生通过图象分析二次函数的增减性和最值问题。
教学活动：1. 利用多媒体展示不同a值的二次函数图象，引导学生观察开口方向的变化。
2. 让学生通过图象分析二次函数的增减性和最值问题，例如：找出函数的最大值或最小值。
教学评价：1. 检查学生对二次函数图象基本特征的掌握程度。
2. 评估学生在图象分析中解决问题的能力。
第三章：二次函数的性质教学目标：1. 让学生了解二次函数的顶点公式及其应用。
2. 培养学生通过二次函数性质解决实际问题的能力。
教学内容：1. 介绍二次函数的顶点公式：顶点坐标为(-b/2a, c b^2/4a)。
2. 引导学生通过二次函数的性质解决实际问题，例如：求函数的最值、对称轴等。
教学活动：1. 让学生通过实际问题情境，应用顶点公式求解二次函数的最值、对称轴等问题。
2. 引导学生利用二次函数的性质解决实际问题，例如：求解抛物线与直线的交点等。
教学评价：1. 检查学生对二次函数顶点公式的掌握程度。
2. 评估学生在实际问题中应用二次函数性质解决问题的能力。
北师大版九年级数学下册二次函数图像与性质2导学案
y＝2x2的顶点坐标是（，），y＝2x2+1的顶点坐标是（，）
3、完成随堂P33做一做(5分钟)
五、课堂总结：(2分钟)
六、布置作业:P34，2
学生自主参与、合作探究、展示交流并予以评价
课
堂
检
测
1．抛物线y=-x2-5可以看作是抛物线经过向平移个单位得到。
③顶点是：(，)，且从图像看它有最点，则函数y有最值，即当x=时y有最值是
承上启下
明确学习目标
学生自主参与、合作探究、展示交流并予以评价
根据解答过程总结方法
流
程
2、观察y＝2x2与y＝2x2+1图象总结y＝ax2+c图像与性质
①抛物线y=ax2+c可以由抛物线y=ax2经过向（c>0）或向(c<0)平移个单位得到。y＝ax2+c的开口方向由决定，当a>0时，开口向上；当时，开口向下。②对称轴是，当a>0时，在对称轴左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而。 且函数y当x=0时ymin=。当a<时，在对称轴左侧，
2．抛物线y=x2+4的开口方向，对称轴是，在对称轴左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而；顶点坐标是，当x=时，y有最值为。
3．已知：二次函数y＝ax2+1的图像与反比列函数y= 的图像有一个公共点是（-1，-1）。（1）求二次函数及反比例函数解析式；（2）在同一坐标系中画出它们的图形，说明x取何值时，二次函数与反比例函数都随x的增大而
在规定时间内独立完成
教师公布答案后以分数衡量教学效果
教后
二次函数的性质与图像教案
二次函数的性质与图像教案一、教学目标：1. 理解二次函数的定义和标准形式；2. 掌握二次函数的性质，包括对称轴、顶点、开口方向等；3. 能够绘制和分析二次函数的图像；4. 能够应用二次函数解决实际问题。
二、教学内容：1. 二次函数的定义和标准形式；2. 二次函数的性质：对称轴、顶点、开口方向；3. 二次函数的图像：抛物线的基本形状；4. 实际问题中的应用。
三、教学方法：1. 讲授法：讲解二次函数的定义、性质和图像；2. 案例分析法：分析实际问题中的二次函数；3. 互动讨论法：引导学生参与课堂讨论，巩固知识点；4. 实践操作法：让学生动手绘制二次函数的图像，加深理解。
四、教学准备：1. 教学PPT：包含二次函数的定义、性质、图像及实际问题；2. 练习题：用于巩固所学知识；3. 绘图工具：如直尺、圆规等，用于绘制二次函数的图像。
五、教学过程：1. 导入：通过一个实际问题引入二次函数的概念；2. 讲解：讲解二次函数的定义、性质和图像，引导学生理解；3. 案例分析：分析实际问题中的二次函数，让学生学会应用；4. 互动讨论：引导学生参与课堂讨论，巩固知识点；5. 实践操作：让学生动手绘制二次函数的图像，加深理解；6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点；7. 布置作业：让学生通过练习题巩固所学知识。
六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对二次函数定义和性质的理解；2. 练习题：布置针对性的练习题，评估学生对二次函数图像分析的能力；3. 小组讨论：评估学生在团队合作中解决问题的能力；4. 作业反馈：收集学生作业，评估其对课堂所学知识的掌握程度。
七、教学拓展：1. 探讨二次函数在实际生活中的应用，如抛物线镜面、物理运动等；2. 介绍二次函数相关的数学历史故事，激发学生兴趣；3. 引导学生探究二次函数的其它性质，如最大值、最小值等；4. 组织数学竞赛，提高学生的学习积极性。
八、教学反思：1. 反思教学方法：根据学生反馈，调整教学方法，提高教学效果；2. 反思教学内容：确保教学内容符合学生认知水平，适当调整难度；3. 反思教学过程：关注学生在课堂上的参与度，优化教学过程；4. 及时与学生沟通：了解学生的学习需求，调整教学策略。
北师大版九年级数学下册《二次函数的图象与性质(3)》导学案-新版
第二章 二次函数《二次函数的图象与性质（第3课时）》学案学习内容:北师大版九年级下册第二章第二节第3课时.学习目标: 会画二次函数2)(h x a y -=和k h x a y +-=2)(的图象，正确地说出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，能理解它们的图象与抛物线2ax y =的图象的关系，理解k h a ,,对二次函数图象的影响.学习重点: 二次函数k h x a y +-=2)(的图象与性质.学习难点: 二次函数k h x a y +-=2)(图象与图象2ax y =之间的关系，k h a ,,对二次函数图象的影响.学习过程: 回忆一下：二次函数22x y =的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 .二次函数322+=x y 的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 .它图象可以由22x y =的图象向 平移 个单位得到.探究一：2)(h x a y -=的图象和性质独立完成课本37页上“做一做”，完成后小组内交流. 1、完成下表：观察上表，比较22x 与2)1(2-x 的值，它们有什么样的关系？2、在同一坐标系中作出22x y =与2)1(2-=x y 的图象. 完成后同伴交流：你是怎样作的?3、结合图象，议一议交流：二次函数2)1(2-=x y 的图象与二次函数22x y =的图象有什么关系？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？当x 取哪些值时，y 的值随x 值的增大而增大？当x 取哪些值时，y 的值随x 值的增大而减小？4、结论:将22x y =的图象向 平移 个单位就得到2)1(2-=x y 的图象.5、猜一猜：2)1(2+=x y 的图象是怎么样的？它的图象与22x y =的图象之间有什么样的关系？画图验证一下！猜测：将22x y =的图象向 平移 个单位就得到2)1(2+=x y 的图象. 结论：二次函数22x y =、2)1(2-=x y 、2)1(2+=x y 的图象都是 ，并且形状 ，只是位置不同.将22x y =的图象向 平移 单位,就得到2)1(2-=x y 的图象; 将22x y =的图象向 平移 单位,就得到2)1(2+=x y 的图象.探究二：k h x a y +-=2)(的图象和性质 1、小组活动：（1）合情推理：由二次函数22x y =的图象，你能得到2122-=x y ，2)3(2+=x y ，21)3(22-+=x y 的图象吗？你是怎么样得到的？ 将22x y =的图象向 平移 单位,就得到2122-=x y 的图象；将22x y =的图象向 平移 单位,就得到2)3(2+=x y 的图象； 将22x y =的图象先向 平移 单位, 再向 平移 单位,就得到21)3(22-+=x y 的图象.（2）画图验证后寻找规律，说一说图象的变化将引起表达式如何变化，以及表达式的变化将引起图象如何变化.（3）议一议：二次函数k h x a y +-=2)(的图象与2ax y =有什么关系？2、总结规律,填写表格:-(y+=2)xkha(1) 的符号决定抛物线的开口方向(2)对称轴是直线(3)顶点坐标是随堂练习课本习题2.4 1、2、3拓展提高：1)若抛物线y=－x2向左平移2个单位,再向下平移4个单位所得抛物线的解析式是________2)如何将抛物线y=2(x－1)2+3经过平移得到抛物线y=2x2？3) 将抛物线y=2(x －1) 2+3经过怎样的平移得到抛物线y=2(x+2) 2－1？4)若抛物线y=2(x－1) 2+3沿x轴方向平移后,经过(3,5),平移后的抛物线的解析式是______ _.。
【精品学习】九年级数学下册第2章二次函数2.2二次函数的图象与性质2.2.3二次函数的图象与性质教案
2.2.3二次函数的图像与性质一、教学目标1.经历探索二次函数y=ax 2+bx+c 的图象的作法和性质的过程. 2.体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性.3.能够作出y=a （x-h ）2和y=a （x-h ）2+k 的图象，并能理解它与y=ax 2的图象的关系.理解a ，h 和k 对二次函数图象的影响.4.能够正确说出y=a （x-h ）2+k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 二、课时安排 1课时 三、教学重点能够作出y=a （x-h ）2和y=a （x-h ）2+k 的图象，并能理解它与y=ax 2的图象的关系.理解a ，h 和k 对二次函数图象的影响.四、教学难点正确说出y=a （x-h ）2+k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 五、教学过程 （一）导入新课 1.函数 2132y x =+ 的图象的顶点坐标是 ；开口方向是 ；最 值是 .2.函数y=-2x 2+3的图象可由函数 的图象向 平移 个单位得到.3.把函数y=-3x 2的图象向下平移2个单位可得到函数__________的图象. （二）讲授新课探究一：在同一坐标系中画出下列函数的图象：2223 ; 3 2 ; 3(1).y x y x y x ==+=-思考：它们的图象之间有什么关系？明确：23y x =的图像向上平移两个单位得到232y x =+的图像，向左平移一个单元得到23(1)y x =-。
函数y=ax 2与y=a(x-h)2的图象关系：2 (0)y ax a =≠的图像向右平移h （h ﹥0）个单位(向左平移︱h ︱（h ﹤0）个单位) 函数y=a （x-h ）2的图象，探究二：画出二次函数y=3（x-1）2+2的图象，并与二次函数y=3x 2的图象进行比较，说明它们之间的关系.明确：23y x =的图像向上平移两个单位得到232y x =+的图像，向右平移一个单元得到y=3（x-1）2+2。
（三）探究归纳平移规律：2y ax =的图像向上（下）平移k 个单位得到2y ax k =+；2y ax =的图像向右（左）平移k 个单位得到2()y a x h =-；2y ax =的图像向上平移k 个单位得到2y ax k =+；2y ax =的图像向上（下）平移k 个单位再向左（右）平移h 个单位得到2()y a x h k =-+；（四）归纳小结1.y=a(x-h)2+k 的图象的特征.（五）随堂检测1.（无锡·中考）下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点(0，1)的是( ). A.y=(x －2)2+1 B.y=(x+2)2+1 C.y=(x －2)2－3 D.y=(x+2)2－32．（西宁·中考）将抛物线22(1)y x =-向左平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为 _______________.3．（襄樊·中考）将抛物线 212y x =-先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的表达式为____________．4．（宁夏·中考）把抛物线 2y x =- 向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为（ ）A. 2(1)3y x =--+B. 2(1)3y x =-++C. 2(1)3y x =---D. 2(1)3y x =-+-5．（荆州·中考）若把函数y=x 的图象用E （x ，x ）记，函数y=2x+1的图象用E （x ，2x+1）记，…,则 E （x ，221x x -+）可以由E （x,2x ）怎样平移得到？ （ ） A.向上平移１个单位 B.向下平移１个单位 C.向左平移１个单位 D.向右平移１个单位 【答案】1.选C.根据以直线x=2为对称轴可知选项A ，C 符合，再根据图象经过点(0，1)知选项C 符合.2. 2y 2x =3. 21322y x x =-++或21(1)22y x =--+ 4. 选B 5. 选D.六．板书设计2.2.3二次函数的图像与性质七、作业布置 课本P38练习1、2 练习册相关练习 八、教学反思。
九年级数学下册《二次函数的图像与性质》教学教案（通用3篇）
九年级数学下册《二次函数的图像与性质》教学教案（通用3篇）九年级数学下册《二次函数的图像与性质》教学篇1【知识与技能】1.会用描点法画函数y=ax2(a＞0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质.2.体会数形结合的转化,能用y=ax2(a＞0)的图象和性质解决简单的实际问题.【过程与方法】经历探索二次函数y=ax2(a＞0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.【情感态度】通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数y=ax2(a＞0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性.【教学重点】1.会画y=ax2(a＞0)的图象.2.理解,掌握图象的性质.【教学难点】二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程.一、情境导入，初步认识问题1 请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么形状呢?问题2 如何用描点法画一个函数图象呢?【教学说明】①略；②列表、描点、连线.二、思考探究，获取新知探究1 画二次函数y=ax2(a＞0)的图象.画二次函数y=ax2的图象.【教学说明】①要求同学们人人动手,按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x2的图象，同学们画好后相互交流、展示，表扬画得比较规范的同学.②从列表和描点中,体会图象关于y轴对称的特征.③强调画抛物线的三个误区.误区一:用直线连结,而非光滑的曲线连结,不符合函数的变化规律和发展趋势.如图(1)就是y=x2的图象的错误画法.误区二：并非对称点,存在漏点现象,导致抛物线变形.如图(2)就是漏掉点(0,0)的y=x2的图象的错误画法.误区三:忽视自变量的取值范围,抛物线要求用平滑曲线连点的同时,还需要向两旁无限延伸,而并非到某些点停止.九年级数学下册《二次函数的图像与性质》教学教案篇2 【知识与技能】1.会用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象.2.会用配方法求抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、开口方向、对称轴、y随x的增减性.3.能通过配方求出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大或最小值；能利用二次函数的性质求实际问题中的最大值或最小值.【过程与方法】1.经历探索二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的作法和性质的过程，体会建立二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)对称轴和顶点坐标公式的必要性.2.在学习y=ax2+bx+c(a≠0)的性质的过程中，渗透转化（化归）的思想.【情感态度】进一步体会由特殊到一般的化归思想,形成积极参与数学活动的意识.【教学重点】①用配方法求y=ax2+bx+c的顶点坐标；②会用描点法画y=ax2+bx+c的图象并能说出图象的性质.【教学难点】能利用二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标公式，解决一些问题，能通过对称性画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象.一、情境导入，初步认识请同学们完成下列问题.1.把二次函数y=-2x2+6x-1化成y=a(x-h)2+k的形式.2.写出二次函数y=-2x2+6x-1的开口方向，对称轴及顶点坐标.3.画y=-2x2+6x-1的图象.4.抛物线y=-2x2如何平移得到y=-2x2+6x-1的图象.5.二次函数y=-2x2+6x-1的y随x的增减性如何？【教学说明】上述问题教师应放手引导学生逐一完成，从而领会y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k的转化过程.二、思考探究，获取新知探究1 如何画y=ax2+bx+c图象，你可以归纳为哪几步？学生回答、教师点评：一般分为三步：1.先用配方法求出y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标.2.列表,描点,连线画出对称轴右边的部分图象.3.利用对称点,画出对称轴左边的部分图象.探究2 二次函数y=ax2+bx+c图象的性质有哪些？你能试着归纳吗？九年级数学下册《二次函数的图像与性质》教学教案篇3 【知识与技能】1.会用描点法画函数y=ax2(a＜0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质.2.体会数形结合的转化,能用y=ax2(a＜0)的图象与性质解决简单的实际问题.【过程与方法】经历探索二次函数y=ax2(a＜0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.【情感态度】通过动手画图,同学之间交流讨论,达到对二次函数y=ax2(a≠0)图【教学重点】①会画y=ax2(a<0)的图象；②理解、掌握图象的性质.【教学难点】二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会.【知识与技能】1.会用描点法画函数y=ax2(a＜0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质.2.体会数形结合的转化,能用y=ax2(a＜0)的图象与性质解决简单的实际问题.【过程与方法】经历探索二次函数y=ax2(a＜0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.【情感态度】通过动手画图,同学之间交流讨论,达到对二次函数y=ax2(a≠0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学习的积极性.【教学重点】①会画y=ax2(a<0)的图象；②理解、掌握图象的性质.【教学难点】二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会.【知识与技能】1.会用描点法画函数y=ax2(a＜0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质.2.体会数形结合的转化,能用y=ax2(a＜0)的图象与性质解决简单的实际问题.【过程与方法】经历探索二次函数y=ax2(a＜0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.【情感态度】通过动手画图,同学之间交流讨论,达到对二次函数y=ax2(a≠0)图【教学重点】①会画y=ax2(a<0)的图象；②理解、掌握图象的性质. 【教学难点】二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会.。
九年级下册《二次函数的图像与性质》数学教案
九年级下册《二次函数的图像与性质》数学教案标题：九年级下册《二次函数的图像与性质》数学教案
一、教学目标
1. 知识目标：理解并掌握二次函数的概念、图像及其性质。
2. 技能目标：能够通过描点法绘制二次函数图像，通过观察图像判断函数的性质。
3. 情感态度价值观目标：培养学生分析问题、解决问题的能力，提高他们对数学的兴趣。
二、教学重难点
1. 教学重点：理解和掌握二次函数的图像和性质。
2. 教学难点：通过图像理解和应用二次函数的性质。
三、教学方法
采用启发式教学法、讲授法和实践操作法相结合的方式进行教学。
四、教学过程
1. 导入新课：通过复习一次函数的知识，引导学生思考如何将一次函数推广到二次函数，激发学生的学习兴趣。
2. 新课讲解：
(1) 二次函数的概念和表达式；
(2) 二次函数的图像：a>0, a=0, a<0三种情况下的图像特征；
(3) 二次函数的性质：顶点坐标、对称轴、开口方向等。
3. 实践操作：让学生分组合作，通过描点法绘制不同类型的二次函数图像，并讨论其性质。
4. 总结反馈：教师总结本节课的主要内容，对学生的表现进行反馈。
五、作业布置
设计一些习题，包括画图题和计算题，以帮助学生巩固所学知识。
六、教学反思
在教学结束后，反思本节课的教学效果，找出存在的问题，以便改进。
九年级数学下册 2.2 二次函数的图象与性质导学案1(新版)北师大版
二次函数的图象与性质【学习目标】 课标要求：经历探索二次函数2x y ±=的图象的作法和性质的过程， 获得利用图象研究函数性质的经验； 目标达成：经历探索二次函数2x y ±=的图象的作法和性质的过程， 获得利用图象研究函数性质的经验； 学习流程： 【课前展示】【自学导航】1二次函数y=x 2图象 2 练习【合作探究】（一）独立思考，解决问题 作出二次函数2x y =的图象：（1）列表：观察2x y =的表达式，选择适当的x 值，填写下表：（2）描点：在直角坐标系中描点：（3）用光滑的曲线连接各点，便得到函数2x y =的图象（二）师生探究，合作交流1.观察上面的图像，回答下列各题（1）试描述图象的形状、开口方向（2）图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？（3）当x＜0时，x增大，y如何变化？x＞0时呢？（4）当x取什么值时，y的值最小？最小的值是什么？你是如何知道的？（5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找出几对对称点？2．下面我们系统地总结一下．2xy=的图象的性质．(1)图像形状是，开口方向是．(2)它的图象有最点（填高或低），最点坐标是( )．(3)它是对称图形，对称轴是．在对称轴左侧，y随x的增大而；在对称轴的右侧，y随x的增大而．(4)图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的，同时也是图象的最低点，坐标为(0，0)．(5)因为图象有最低点，所以函数有最值(填大或小)，即当0=x时，0y．=最小3．在上面同一个直角坐标系中作出二次函数2x=的图象y-【展示提升】1.点A (2，4)在二次函数2x y =的图像上吗？请分别写出点A 关于x 轴的对称点B 的坐标、关于y 轴的对称点C 的坐标、关于原点O 的对称点D 的坐标,点B 、C 、D 在二次函数2x y =的图像上吗？在二次函数2x y -=的图像上吗？2.已知抛物线2ax y =经过点A （1，－4），求（1）函数的关系式；（2）x ＝4时的函数值(3)y ＝－8时的x 的值。
数学北师大版九年级下册二次函数的图像与性质(第一课时)导学案
二次函数的图像与性质（第一课时）目标导向【学习目标】1.经历探索二次函数2x y =的图像的作法和性质的过程，获得利用图像研究函数性质的经验；2.能够利用描点法作出二次函数2x y =的图像，并能根据图像认识和理解二次函数2x y =的性质；3.能够作出二次函数2x y -=的图像，并能够比较出与2x y =的图像的异同，初步建立二次函数表达式与图像之间的联系. |【重点】二次函数2x y =与2x y -=的图像特点. 【难点】二次函数2x y =图像特点的探索过程.自学导向1．预读教材P32—P34，了解本节课基本内容，并标记知识点. 2．完成练习册《学考精练》P125课前练兵. 3．相关知识链接：⑴二次函数的概念：一般地，若两个变量y x ,之间的对应关系可以表示成_______(c b a ,,是常数，______)的形式，则称y 是x 的二次函数. $⑵画函数图像的一般步骤为：______、______、______.合作导向探究点·一：二次函数2x y =的图像的画法（1）观察2x y =得关系式，选择适当的x 值，并计算出相应的y 值，完成下表：x …… -3 | -2-1 0 1 2 3 ……2x y =）……【……（2）在平面直角坐标系中描点.xy–1–2–3–4–5–6–7–812345678–1–2–3–412345678910O（3）用平滑的曲线连接各点，得二次函数2x y =的图像.【针对练习】作出二次函数2x y -=的图像.xy–1–2–3–4–5–6–7–812345678–1–2–3–4–5–6–7–8–9–10123O【归纳小结】二次函数2x y =与2x y -=的图像是一条_______.》探究点·二：二次函数2x y =与2x y -=的图像和性质观察思考，认真完成下表： 二次函数2x y =2x y -=大致图像xyO《xyO图像形状 开口方向对称轴 <顶点坐标增减性当0<x 时，y 的值随x 值得增大而____；当0>x 时，y 的值随x值得增大而____当0<x 时，y 的值随x 值得增大而____；当0>x 时，y 的值随x值得增大而____、最值当x =____时，y 有最___值为___ 当x =____时，y 有最___值为___若把二次函数2x y =的图像和二次函数2x y -=的图像画在同一平面直角坐标系中，则两图像既关于_______对称，又关于_______成中心对称. 【针对练习】1．比较二次函数y=x 2与y=﹣x 2的图象，下列结论错误的是（ ） A ．对称轴相同 B ．顶点相同]C ．图象都有最高点D ．开口方向相反2.已知点A （-1，m ），B （-2，n ）在二次函数y=x 2的图像上，则m______n （填“>”“<”或“=”）拓展导向 自测反馈 【基础达标】1.下列点不在二次函数y=x 2图像上的是（ ）A.(-1，1)B.(1，-1)C.(2，4)D.(-2，4)…2．抛物线y=，y=x 2，y=﹣x 2的共同性质是：①都是开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以y 轴为对称轴；④都关于x 轴对称．其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3.点（x 1,y 1）， (x 2,y 2)都在二次函数y=﹣x 2的图像上，如果x 1< x 2<0,那么y 1与 y 2的大小关系是（ ）A. y 1< y 2<0B. y 2 < y 1<0C. y 1> y 2>0D. y 2> y 1>04. 设正方形的边长为a ，面积为S ，试作出S 随a 的变化而变化的图象．5.若点A （2，m ）在抛物线y=x 2上，求点A 关于y 轴对称点B 的坐标，并判断点B 是否也在抛物线y=x 2上.？【能力提升】1.已知a<-1，点（a-1，y 1）, （a ，y 2）, （a+1，y 3）都在y=x 2的图像上，则（ ） A. y 1< y 2< y 3 B. y 1< y 3 <y 2 C. y 3 < y 2< y 1 D. y 2 < y 1< y 32．如图，⊙O 的半径为2．C 1是函数y=x 2的图象，C 2是函数y=﹣x 2的图象，则阴影部分的面积是 ．课堂总结{通过这节课我学会了____________________________________________________，我还有疑问_________________________________________________________________.课后作业《学考精炼》P125—P126。
北师大版九年级下册第二章二次函数2.2 二次函数的图象与性质(第1课时) 教学设计
第二章 二次函数《二次函数的图象与性质（第1课时）》一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在前面已经学习过一次函数、反比例函数，经历过探索、分析和建立两个变量之间的一次函数、反比例函数关系的过程，并学会了用描点法画函数图象的方法.在本章第一节课中，又学习了二次函数的概念，经历了探索和表示二次函数关系的过程，获得了用二次函数表示变量之间关系的体验.学生活动经验基础：在学习一次函数、反比例函数过程中，学会了用描点法画函数图象的方法，学生已具备了一定的作图能力，并经历了利用一次函数、反比例函数图象探索函数性质的活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数形结合的必要性和重要性，获得了一些探究函数图象和性质的数学活动经验基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.二、教学任务分析教科书基于学生对二次函数的概念认识，提出了本课的具体学习任务：能利用描点法画函数2x y ±=的图象，并能根据图象认识和理解二次函数2x y ±=的性质.为此，本节课的教学目标是：知识与技能1．能够利用描点法画函数2x y =的图象，能根据图象认识和理解二次函数2x y =的性质．2．猜想并能作出2x y -=的图象，能比较它与2x y =的图象的异同． 过程与方法1．经历探索二次函数2x y =的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．2．由函数2x y =的图象及性质，对比地学习2x y -=的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．情感与态度1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．教学重点：作出函数2x ±的图象，并根据图象认识和理解二次函数2x y ±=的性质.教学难点：由2x y =的图象及性质对比地学习2x y -=的图象及性质，并能比较出它们的异同点.教学过程分析（一）创设问题情境，引入新课［师］我们在学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征.知道正比例函数的图象是过原点的一条直线.一般地一次函数的图象是不过原点的一条直线，反比例函数的图象是双曲线.上节课我们学习了二次函数的一般形式为c bx ax y ++=2（其中c b a 、、均为常数且0≠a ）.那么它的图象是否也为直线或双曲线呢？本节课我们将一起来研究有关问题.（二）新课讲解1、作函数2x y =的图象［师］一次函数的图象是一条直线.二次函数的图象是什么形状呢？让我们先看最简单的二次函数2x y =.大家还记得画函数图象的一般步骤吗？［生］记得. 列表，描点，连线.［师］非常正确，下面就请同学们跟我按上面的步骤作出2x y =的图象.（1）列表：（2）在直角坐标系中描点.（3）用光滑的曲线连结各点，便得到函数图象.［师］同学们有没有什么疑惑？们都是直接用直线来连接各点的，我这里画出的是折线图，难道不对吗？［师］这个问题提得好.二次函数图象是到底用直线连接还是用光滑的曲线来连接更为合理呢？不知同学们考虑这个问题没有：列表时我们取的点都是整数点，在整数点之间还有许多小数的点并未取，如自变量1与2之间还有无数个小数，假设我们把点取得更多一些我们就能看出二次函数图象的真正面貌了.不妨取20个点试试，再取50个点试试.[生]老师，我明白了，取的点足够多时我们就能看出其本来面貌的.2、议一议对于二次函数2x y =的图象，（1）你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流.（2）图象与x 轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？（3）当0<x 时，随着值的增大，的值如何变化？当0>x 时呢？（4）当x 取什么值时，y 的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？（5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请找出几对对称点，并与同伴进行交流.［生］（1）图象的形状是一条曲线，就像抛出的物体所进行的路线的倒影.（2）图象与x 轴有交点，交于原点，交点坐标就是（0，0）.（3）当0<x 时，图象在y 轴的左侧随着x 值的增大，y 的值逐渐减小；当0>x 时，图象在y 轴的右侧，随着x 值的增大，y 的值逐渐增大.（4）观察图象可知，当x=0时，y 的值最小，最小值为0.（5）观察图象是轴对称图形，它的对称轴是y 轴，从刚才的列表中可找到对应点（-1，1）和（1，1）；（-2，4）和（2，4）；（-3，9）和（3，9）.［师］大家分析判断能力很棒，下面我们系统地总结一下.3、2x y =的图象的性质［师］二次函数________2的图象是一条x y =，它的开口________,且关于______对称.对称轴与抛物线的交点是抛物线的________,它是图象的_________.同学们在补充一下：［生］（1）最低点坐标是（0，0）.（2）在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大.（3）图象与x 轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为（0，0）.（4）因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x ＝0时，y 最小值＝0.4、做一做PPT 显示：2x y -=二次函数图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象.它与二次函数2x y =的图象有什么关系？与同伴进行交流.［师］请大家按照画图的步骤作出函数2x y -=的图象.［生］2x y -=的图象如右图：形状还是抛物线，只是它的开口方向向下，它与2x y =的图象形状相同，方向相反，这两个图形可以看作是关于x［师］下面我们试着讨论2x y -=的图象的性质.［生］（1）抛物线的开口方向是向下.（2）它的图象有最高点，最高点坐标是（0，0）.（3）它是轴对称图形，对称轴是y 轴.在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小.（4）图象与x 轴有交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最高点，坐标为（0，0）.（5）因为图象有最高点，所以函数有最大值，当0=x 时，y 最大值＝0.［师］大家总结得非常棒.5、2x y =函数与的2x y -=图象的比较.我们观察函数2x y =与2x y -=的图象，并对图象的性质作系统的研究，现在我们再来比较一下它们的图象的异同点.（1）、开口方向不同，2x y =开口向上，2x y -=开口向下.（2）、函数值随自变量增大的变化趋势不同，在2x y =图象上，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随x 着的增大而减小，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大.在2x y -=的图象上正好相反.（3）、在2x y =中y 有最小值，即0=x 时，y 最小值＝0；在2x y -=中，y 有最大值.即当0=x 时，y 最大值＝0.（4）、2x y =有最低点，2x y -=有最高点.相同点：（1）、图象都是抛物线.（2）、图象都与x 轴交于点（0，0）.（3）、图象都关于y 轴对称.联系：它们的图象关于x 轴对称.6、思考拓展.［师］从上面的比较中，还有没有什么问题要提出来？［生］从2x y =和2x y -=两个二次函数的解析式来比较，只是相差一个符号，而图象的张口方向却正好相反.那么二次函数的图象的开口方向到底跟什么有关呢？［师］很善于思考.我们现在来看这几个二次函数的图象22x y =、23x y =（二次项系数均为正值），再来看另几个二次函数图象22x y -=、23x y -=（二次项系数均为负值），你们发现了什么规律？［生1］原来二次项系数为正时，抛物线开口朝上，二次项系数为负时，抛物线开口朝下.［生2]老师，我还发现从二次项系数的绝对值来看，绝对值越大，开口越小，绝对值越小，开口越大.［师］说得非常好，对于2ax y =这类二次函数来说，a 与其张口大小、张口方向都有关系.（并就本节整体内容进行总结，并给学生以感想的时间.）（三）布置作业设计思路：先通过列表描点连线初步得到2x y =的图象，进而通过增加满足函数的点数感悟此函数的真正图象，并通过观察图象来了解2x y =函数图象的性质特征.利用相同办法同时研究2x y -=图象的性质，并对两函数进行对比，体会造成图象不同的原因，并进而引发学生产生是不是二次函数二次项系数a 为正开口向上、二次项系数为负开口向下的疑问并画图验证，而由此又生发出a 的绝对值对其张口大小的思考，教师通过课件解惑并归纳.。
最全二次函数概念的图像与性质导学案完整版.doc
第二节 二次函数的图像与性质(第1课时)环节一 回顾旧知，导入新课。
1.一次函数的图像是 ，反比例函数的图像是 。
2.画函数图象的一般步骤是什么？， ， .环节二 小组合学，探究新知。
1.试画出二次函数y=x 2的图像。
（1.2.3组黑色笔完成）（1）列表（2）描点 （3）连线2. 试画出二次函数y=-x 2的图像。
（4.5.6组黑色笔完成）3. 在1中画出二次函数y ＝2x 2的图象（1.2.3组红色笔完成） 在2中画出二次函数y ＝-2x 2的图象（4.5.6组红色笔完成）环节三：归纳总结，提炼升华。
反思小结：1.当a>0时，a 越大，a ，抛物线开口 。
当a<0时，a 越小，a ，抛物线开口 。
综上：对于任意a ≠0，a越大， 抛物线开口 。
环节四:达标检测，反馈提高 A 组1．二次函数2x y =的函数图像为_________,开口______,顶点坐标为______对称轴为________ 二次函数2-x y =的函数图像为_________,开口______,顶点坐标为______对称轴为________2.判断正误（1）函数y = x2与y = －x2的图像都是抛物线（ ）； （2）函数y = x2与y = －x2的图像对称轴都是x 轴 （ ）； （3）函数y = x2与y = －x2的图像形状相同，开口方向相反（ ） （4）抛物线y = 3x2在x 轴的下方(除顶点外)（ ）（5）在抛物线y = -5x2左侧， y 随着x 的增大而增大（ ） 3.已知72)2(--=ax a y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大，则=a 。
4.设边长为x 的正方形的面积为y ，y 是x 的二次函数，该函数的图象是下列各图形中（ ）B 组：1．在函数y = x 2上有两点，（－1，y 1），（－3，y 2），那么y 1，y 2，0的大小关系是（ ）A .y 1 ＜ y 2 ＜0 B. y 2 ＜ y 1 ＜0 C. y 1 ＞ y 2 ＞0 D. y 2 ＞ y 1 ＞02、直线1+-=x y 与抛物线2x y =有（ ）A ．1个交点B . 2个交点C ．3个交点D ．没有交点3、如图边长为2的正方形ABCD 的中心在直 角坐标系的原点O ，AD ∥x 轴，抛物线y = x 2和 y = －x 2别经过A ，B ，C ，D 点，将正方形成几部 分，则图中阴影部分的面积为 ．探索乐趣 ：课下猜想并验证抛物线y = 3x2与y = 3x2+4之间有什么关系？它们是轴对称图形吗？开方方向，对称轴、定点坐标分别是什么？温馨提示：只有不断的思考,才会有新的发现;只有量的变化,才会有质的进步.赠送以下资料《二次函数的应用》中考题集锦10题已知抛物线222(0)y x mx m m =+-≠．（1）求证：该抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）过点(0)P n ，作y 轴的垂线交该抛物线于点A 和点B （点A 在点P 的左边），是否存在实数m n ，，使得2AP PB =？若存在，则求出m n ，满足的条件；若不存在，请说明理由．答案：解：（1）证法1：22229224m y x mx m x m ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当0m ≠时，抛物线顶点的纵坐标为2904m -<， ∴顶点总在x 轴的下方．而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（或者，当0m ≠时，抛物线与y 轴的交点2(02)m -，在x 轴下方，而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．）证法2 ：22241(2)9m m m ∆=-⨯⨯-=，当0m ≠时，290m >，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点． （2）存在实数m n ，，使得2AP PB =．设点B 的坐标为()t n ，，由2AP PB =知，①当点B 在点P 的右边时，0t >，点A 的坐标为(2)t n -，，且2t t -，是关于x的方程222x mx m n +-=的两个实数根．2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即294n m >-．且(2)t t m +-=-（I ），2(2)t t m n -=--（II ）由（I ）得，t m =，即0m >．将t m=代入（II ）得，0n =．∴当0m >且0n =时，有2AP PB =．②当点B 在点P 的左边时，0t <，点A 的坐标为(2)t n ，，且2t t ，是关于x 的方程222x mx m n +-=的两个实数根． 2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即 294n m >-．且2t t m +=-（I ），222t t m n =--（II ）由（I ）得，3mt =-，即0m >． 将3m t =-代入（II ）得，2209n m =-且满足294n m >-． ∴当0m >且2209n m =-时，有2AP PB =第11题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间t （秒）间的关系式为210S t t =+，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（ ）Ａ．24米 Ｂ．12米Ｃ．米 Ｄ．6米答案：Ｂ第12题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示．（2）求出图（2）中表示的种植成本单价z （元）与上市时间t （天）（0t >）的函数关系式；（3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？ （说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500克．）答案：解：（1）依题意，可建立的函数关系式为：2160(0120)380(120150)220(150180)5t t y t t t ⎧-+<<⎪⎪=<⎨⎪⎪+⎩，，． ≤ ≤≤ （2）由题目已知条件可设2(110)20z a t =-+． 图象过点85(60)3，，2851(60110)203300a a ∴=-+∴=．． 21(110)20300z t ∴=-+ (0)t >．（3）设纯收益单价为W 元，则W =销售单价-成本单价． )图(1)图(2)(天)故22221160(110)20(0120)3300180(110)20(120150)3002120(110)20(150180)5300t t t W t t t t t ⎧-+---<<⎪⎪⎪=---<⎨⎪⎪+---⎪⎩，，． ≤ ≤≤ 化简得2221(10)100(0120)3001(110)60(120150)3001(170)56(150180)300t t W t t t t ⎧--+<<⎪⎪⎪=-+<⎨⎪⎪--+⎪⎩，，． ≤ ≤≤①当21(10)100(0120)300W t t =--+<<时，有10t =时，W 最大，最大值为100； ②当21(110)60(120150)300W t t =--+<≤时，由图象知，有120t =时，W 最大，最大值为2593；③当21(170)56(150180)300W t t =--+≤≤时，有170t =时，W 最大，最大值为56．综上所述，在10t =时，纯收益单价有最大值，最大值为100元．第13题如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． （1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式． （2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取7=）（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取5=）答案：解：（1）（3分）如图，设第一次落地时， 抛物线的表达式为2(6)4y a x =-+． 由已知：当0x =时1y =． 即1136412a a =+∴=-，． ∴表达式为21(6)412y x =--+．（或21112y x x =-++）（2）（3分）令210(6)4012y x =--+=，．212(6)4861360x x x ∴-===-<．≈，（舍去）． ∴足球第一次落地距守门员约13米．（3）（4分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD根据题意：CD EF =（即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位）212(6)412x ∴=--+解得1266x x =-=+1210CD x x ∴=-=． 1361017BD ∴=-+=（米）． 解法二：令21(6)4012x --+=．解得16x =-，2613x =+．∴点C 坐标为（13，0）．设抛物线CND 为21()212y x k =--+．将C 点坐标代入得：21(13)2012k --+=．解得：11313k =-（舍去），2667518k =+++=．21(18)212y x =--+ 令210(18)212y x ==--+，0．118x =-，21823x =+． 23617BD ∴=-=（米）． 解法三：由解法二知，18k =， 所以2(1813)10CD =-=， 所以(136)1017BD =-+=． 答：他应再向前跑17米．第14题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元． （1）基地的菜农共修建大棚x （公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y （万元），写出y 关于x的函数关系式．（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可）（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．答案：（1）()227.5 2.70.90.30.9 4.5y x x x x x x =-++=-+． （2）当20.9 4.55x x -+=时，即2945500x x -+=，153x =，2103x =从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建53公顷大棚． （3）设3年内每年的平均收益为Z （万元）()()2227.50.90.30.30.3 6.30.310.533.075Z x x x x x x x =-++=-+=--+（10分）不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益． ②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．③当20.3 6.30x x -+=时，10x =，221x =．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反而会亏本．（说其中一条即可）第15题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件．（1）求出月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）； （2）求出月销售利润z （万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（3）请你通过（2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润不低于480万元．答案：略．第16题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，为什么？（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？答案：（1）由题意可知抛物线经过点()()()024682A P B ，，，，，设抛物线的方程为2y ax bx c =++ 将A P D ，，三点的坐标代入抛物线方程． 解得抛物线方程为21224y x x =-++ （2）令4y =，则有212244x x -++=解得1244x x =+=-212x x -=>∴货车可以通过．（3）由（2）可知21122x x -=>∴货车可以通过．第17题如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，线段10EF =．在EF 上取一点M ，分别以EM MF ，为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD ．令M N x=，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？答案：解：矩形MFGN ∽矩形ABCD ，MN MFAD AB∴=． 2AB AD MN x ==，，2MF x ∴=．102EM EF MF x ∴=-=-． (102)S x x ∴=-2210x x =-+ 2525222x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴当52x =时，S 有最大值为252．第18题某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润A y （万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系：A y kx =，并且当投资5万元时，可获利润2万元．信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润B y （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系：2B y ax bx =+，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；（2）如果企业同时对AB ，两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？答案：解：（1）当5x =时，12250.4y k k ===，，， 0.4A y x ∴=，当2x =时， 2.4B y =；当4x =时， 3.2B y =．2.4423.2164a ba b =+⎧∴⎨=+⎩解得0.21.6a b =-⎧⎨=⎩∴20.2 1.6B y x x =-+．（2）设投资B 种商品x 万元，则投资A 种商品(10)x -万元，获得利润W 万元，根据题意可得220.2 1.60.4(10)0.2 1.24W x x x x x =-++-=-++ 20.2(3) 5.8W x ∴=--+当投资B 种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元，所以投资A 种商品7万元，B 种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5.8万元．第19题如图所示，图（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m ，支柱3350m A B =，5根支柱1122334455A B A B A B A B A B ，，，，之间的距离均为15m ，1515B B A A ∥，将抛物线放在图（2）所示的直角坐标系中．（1）直接写出图（2）中点135B B B ，，的坐标； （2）求图（2）中抛物线的函数表达式； （3）求图（1）中支柱2244A B A B ，的长度．答案：（1）1(30)B -，0，3(030)B ，，5(300)B ，； （2）设抛物线的表达式为(30)(30)y a x x =-+，把3(030)B ，代入得(030)(030)30y a =-+=．B A D MFB 图(1)图(2)l130a =-∴． ∵所求抛物线的表达式为：1(30)(30)30y x x =--+． （3）4B ∵点的横坐标为15， 4B ∴的纵坐标4145(1530)(1530)302y =--+=． 3350A B =∵，拱高为30，∴立柱44458520(m)22A B =+=． 由对称性知：224485(m)2A B A B ==。
2.2.4二次函数的图像与性质4(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数的基本概念。二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数，a≠0。它在数学、物理等学科中具有重要应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析抛物线的开口方向、对称轴、顶点等性质，了解二次函数在实际问题中的应用。
其次，在课堂教学中，我要更加注重与学生的互动。通过提问、让学生举例等方式，激发学生的思考，引导他们主动参与课堂讨论。这样既能帮助学生巩固知识点，也能培养他们的表达能力和团队合作精神。
此外，实践活动的设计也非常重要。在本节课的实践活动中，我发现有些同学对二次函数在实际生活中的应用还不够了解。在今后的教学中，我应多设计一些贴近生活的实例，让学生亲身体验二次函数在现实中的应用，提高他们对知识点的兴趣和认识。
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，通过二次函数图像与性质的学习，使学生能够分析并解决与之相关的实际问题。
2.培养学生的逻辑思维与推理能力，让学生通过观察、分析、归纳二次函数图像与性质，形成对二次函数的深刻理解。
3.培养学生的空间想象能力，通过绘制和分析二次函数图像，提高学生对抛物线形状及其变换的认识。
-结合生活实例，分析二次函数在实际问题中的应用。
2.教学难点
（1）理解a、b、c对二次函数图像的影响。
- a的取值对抛物线开口方向的影响。
- b、c的取值对抛物线位置及与y轴交点的影响。
（2）抛物线的对实际问题中的应用。
（3）二次函数图像变换的规律。
-抛物线的平移、伸缩、翻转对函数表达式的影响。
-举例解释图像变换的规律。
（4）将实际问题抽象为二次函数模型。
-分析实际问题的数量关系，建立二次函数模型。
九年级数学下册第2章二次函数2.2二次函数的图象与性质2.2.4二次函数的图象与性质导学案
2.2.4二次函数的图像与性质预习案一、预习目标及范围：1.经历探索y=ax 2+bx+c 的图象特征，会用配方法求其对称轴、顶点坐标公式.2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决一些数学问题.预习范围：P37-38二、预习要点二次函数c bx ax y ++=2的图象是 ，它的顶点坐标是( ， )，对称轴是 (当0=b 时， 对称轴是 ).(1)若0>a ，开口向 ,当=x 时，函数c bx ax y ++=2有最值 .当<x 时,y 随x 的增大而 ; 当>x 时,y 随x 的增大而 .(2)若0<a ，开口向 ,当=x 时，函数c bx ax y ++=2有最 值 .当<x 时,y 随x 的增大而 ; 当>x 时,y 随x 的增大而 .三、预习检测根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： ()21y 2x 12x 13;=-+()22y 5x 80x 319;=-+-()()13y 2x x 2;2=--（） ()()()4y 32x 12x .=+-探究案一、合作探究活动内容1：活动1：小组合作我们知道,作出二次函数y=3x 2的图象,通过平移抛物线y=3x 2可以得到二次函数y=3x 2-6x+5的图象.那是怎样平移的呢？只要将表达式右边进行配方就可以知道了. 配方后的表达式通常称为配方式或顶点式y=3x 2-6x+5 =3(x-1)2+2把二次函数y=ax ²+bx+c 的化为顶点式： 2y ax bx c =++2b c a x x a a=++（） 2222(222b b b c a x x a a a a ⎡⎤=+⋅+-+⎢⎥⎣⎦（）） 2224()24b ac b a x a a ⎡⎤-=++⎢⎥⎣⎦224().24b ac b a x a a-=++ 这个结果通常称为顶点坐标公式.活动2：探究归纳顶点坐标公式224().24b ac b y a x a a-=++ 因此,二次函数y=ax ²+bx+c 的图象是一条抛物线 它的对称轴是直线：.2b x a=- 它的顶点坐标是; 24,).24b ac b a a--( 活动内容2：典例精析如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y= 9400x ²+ 910x+10表示,而且左、右两条抛物线关于y 轴对称．⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？你有哪些计算方法？与同伴进行交流.【解析】（1）将函数y=9400x²+910x+10配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离;2229y(x40x)104009(x40x400)14009(x20)1400=++=+++=++∴这条抛物线的顶点坐标是（-20,1）由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m.（2）299y x x1040010=++左边的钢缆的表达式为()29x20 1.400=++且左右两条钢缆关于y轴对称，∴右边的钢缆的表达式为：()29y x201400=-+这条抛物线的顶点坐标是（20,1）∴这两条钢缆最低点之间的距离为：()202040.m--=当然，还有别的方法建立关系式进行解题，同学们可以试试。
九年级数学下册第2章二次函数2.2二次函数的图象与性质2.2.2二次函数的图象与性质导学案新版北师大
2.2.2二次函数图像与性质预习案一、预习目标及范围：1．使学生会用描点法画二次函数y=ax2c（a≠0）的图象．2．使学生能根据图象认识和理解二次函数的性质，说出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标．预习范围：P3536二、预习要点二次函数y=ax2c的性质（对比y=ax2的性质）函数y=ax2y=ax2c图象（草图）图象（形状）对称轴开口方向增减性a>0时，在对称轴的左侧（即x 0时）y随x的增大而，在对称轴的右侧（即x 0时）y随x的增大而 . a<0时，在对称轴的左侧（即x 0时）y随x的增大而，在对称轴的右侧（即x 0时）y随x的增大而 .顶点坐标最值a>0时，函数有最值，是；a<0时，函数有最值，是；a>0时，函数有最值，是；a<0时，函数有最值，是；平移规律平移规律：____________________________,函数caxy+=2的图象可由2axy=的图象向平移个单位得到。
三、预习检测1.物体从某一高度落下，已知下落的高度h(m)和下落的时间t(s)的关系为h=4.9t2, h 是t的________函数，它的图象是_____ ________，顶点坐标为_______.2.上题中若物体从100米高的地方落下，它离地面的高度h(m)与下落时间t(s)的关系为h=1004.9t2,则h是t的_____函数，图象是_______________________，顶点坐标是___________.探究案活动内容1：活动1：小组合作探究一在下列平面直角坐标系中，作出y=2x2的图象x 2 1 0 1 2 y=2x28 2 0 2 8问题：它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？在下列平面直角坐标系中，作出y=x²及y=2x²的图象探究二、3x²及y=3x²的图象会有哪些特点？函数y=3x²y=3x²探究三、y=ax2（a≠0）的图象有哪些特征？探究四、二次函数y=2x21、y=2x21与二次函数y=2x2的图象有什么相同与不同？动手验证一下你的想法.探究五、二次函数y=3x212, y=3x2的图象与二次函数y=3x2 的图象有什么关系？明确：二次函数y=3x212由二次函数y=3x2的图象向上平移（12）个单位二次函数y=3x212由二次函数y=3x2的图象向下平移（12）个单位探究六、二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象与y=ax 2c （a ≠0）的图象有什么异同？ 函数 关系式 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标y=ax 2y=ax 2c活动2：探究归纳y=ax 2c 的图象是由 y=ax 2的图象上下平移得到的 当c>0 时，向上平移c 个单位 当c<0 时，向下平移︱c ︱个单位. 二、随堂检测1.（乐山·中考）将抛物线y=x 2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ）.A. 2(2)y x =-+B. 22y x =-+ C. 22y x =-- D. 2(2)y x =--2．（济南·中考）在平面直角坐标系中，抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．03．坐标平面上有一函数y=24x 2-48的图象，其顶点坐标为（ ） A.(0，-2) B.(1，-24) C.(0，-48) D.(2，48)4．（郴州·中考）将抛物线y=x 21向下平移2个单位，•则此时抛物线的解析式是_____________．5．（西宁·中考）小汽车刹车距离s （m ）与速度v （km/h ）之间的函数关系式为21s ,100v =一辆小汽车速度为100km/h ，在前方80m 处停放一辆故障车，此时刹车有危险（填“会”或“不会”）.参考答案预习检测：1.二次；抛物线在第一象限的部分；（0,0）2. 二次；抛物线在第一象限的部分；（0,100）随堂检测1. 解析选A.抛物线可以经过适当的平移得到，其平移规律是：“h左加右减”即自变量加减左右移.2.选B.3. 选C.4. y=x2－15. 会。
北师大版九年级数学下册：第二章 2.2.3《二次函数的图象和性质》精品教学设计
北师大版九年级数学下册：第二章 2.2.3《二次函数的图象和性质》精品教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册第二章2.2.3《二次函数的图象和性质》的内容，主要介绍二次函数的图象和性质。
通过本节课的学习，使学生掌握二次函数的图象特征，了解二次函数的顶点坐标、开口方向等性质，并能运用这些性质解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次函数的定义、标准式、顶点式等基本知识。
但对于二次函数的图象和性质，部分学生可能还有一定的困难。
因此，在教学过程中，要关注学生的个体差异，引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主探究二次函数的图象和性质。
三. 教学目标1.理解二次函数的图象特征，掌握二次函数的顶点坐标、开口方向等性质。
2.能够运用二次函数的性质解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、分析能力、归纳能力。
四. 教学重难点1.二次函数的图象特征。
2.二次函数的顶点坐标、开口方向等性质。
3.运用二次函数的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生认识二次函数的图象和性质。
2.启发式教学法：引导学生观察、分析、归纳二次函数的图象和性质。
3.小组合作学习：鼓励学生相互讨论、交流，共同探究二次函数的图象和性质。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次函数的图象和性质。
2.练习题：准备适量练习题，巩固学生对二次函数图象和性质的理解。
3.教学道具：准备一些道具，如图片、模型等，帮助学生直观地理解二次函数的图象和性质。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如抛物线运动、人脸识别等，引导学生认识二次函数的图象和性质。
2.呈现（10分钟）展示二次函数的图象，如y=x2、y=-x2等，引导学生观察并分析二次函数的图象特征。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，总结二次函数的顶点坐标、开口方向等性质。
教师巡回指导，给予鼓励和指导。
4.巩固（10分钟）学生独立完成练习题，教师及时批改，指出错误并给予讲解。