流体力学习题答案.

当k , 0时，对于流线有 v0 v0 v0 y sin(kx) (kx) x ku0 ku0 u0
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8.二维空间稳定速度流场为: u=x2-y2,v= -2xy 试导出其流线形态。
1 3 f ( x, y ) x y y 3
2
32
解：由流线方程可知
dx dy 2 2 2 xydx ( x y )dy 0 u v
将 t 0, x 0, y 0代入上式 则 x u0t , 代入上式得
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v0 y sin(ku0 )t ku0 v0 x 消去t后得， y sin(ku0 ) ku0 u0
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2）求流线
由已知条件代入流线微分方程得：
dx dy u0 v0 cos(kx t ) 分离变量得： v0 cos(kx t ) dx dy u0 v0 解得：y sin(kx t ) c ku0
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由流线方程
dx dy vx vy
有
dx 5 1 xt 2

dy 5 1 ( y 2)t 2
解得：
x c( y 2)
代入已知条件解得：c = 201 所求流线方程为：
1）是否稳态流动
2）是否可压缩流场
3）是否有旋流动
j
无旋
x
(-) i
Ω
k
z
y
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解：1）由拉格朗日流场得速度分量为
dx 2a ( 2 t / k ) vx e dt k dy b t / k vy e dt k dz c t / k vz e dt k
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由已知条件得
52
52
试求tBiblioteka Baidu1时刻过x=2.01, y=2.01点的流线。
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x 2at , y 2 bt
52
52
解：由迹线方程可得拉格朗日变数
x 5 2 5 2 a t , b ( y 2)t 2
再由迹线方程得
dx 5 3 2 1 vx 5at xt dt 2 dy 5 32 5 1 vy bt ( y 2)t dt 2 2

2 1 1 k k k 0
所以是不可压缩流场。
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3）各涡量分量为
v z v y x 0 y z v x v z y 0 z x v y v x z 0 x y
为无旋流动。
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10.已知迹线方程：
x 2at , y 2 bt
29
这是任一时刻流线的全体。
当t=0时流线族为：
v0 y sin(kx) c ku0 将x 0, y 0代入上式得：c 0 则流线方程为 v0 y sin(kx) ku0
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3）流线与迹线的比较
当k , 0时，对于迹线有 v0 x v0 y sin(ku0 ) x ku0 u0 u 0
a xe
2t / k
, b ye
t / k
, c ze
t / k
代入速度分量式得
2x y z vx , v y , vz k k k
所以，该流动为稳态流动。
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2）不可压缩流场的判断准则是
v 0 v x v y v z v x y z
式中k为常数。
试求通过(1,0,1)点的流线方程。
y 0 流线方程为 1 x z
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解：由于流线微分方程为：
dx dy dz vx vy vz
dx dy 当 vx v y
dx dy 即： 2kx 2ky
则： ln x ln c1 ln y
即：y c1 x
这是任一瞬时流线的全体，即为流线族， 当t=t0时的流线族为：
11
x y c1 1 At0
将x=x0,y=y0,代入上式得：
2
x0 c1 y0 代入上式得 1 At0
2
( x x0 ) y y0 1 At0
2
2
则上式为该流场流线方程。
12
4.已知流场的速度为： vx=2kx， vy=2ky,，vz= - 4kz
14
将x=1,y=0代入上式得：c1=0,所以y=0 当
dx dz vx vz
dx 时： 即： 2kx
dz 4kz
1 则： ln x ln z ln c2 2
c2 即：x z
将x=1,z=1代入上式得：c2=1
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1 所以：x z
y 0 则流线方程为 1 x z
2
2
vx=1+At, vy=2x。
试确定t = t0时，通过（x0,y0）点 流线方程，A为常数。
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解：以vx、vy,代入流线微分方程： dx dy dx dy 得： vx vy 1 At 2x
2 xdx 分离变量得： dy 1 At 2 x 解得：y c1 1 At
第二章 流体运动学基本概念复习
按时间影响：稳态与非稳态
按空间影响：一二三维
流动分类
基本 概念
描述流体运 拉格朗日法---质点 二者关系 动的方法 欧拉法---场 迹线和流线：迹线方程和流线方程
→
有旋流动与无旋流动：涡量 Ω
流体的不可压缩条件： v=0
1
3.已知流场的速度
( x x0 ) y y0 1 At0
上式左侧恰好为某个函数的全微分。即有
f 2 xy , x
f x y y
2 2
2
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1 3 积分得 f ( x, y ) x y y c 3
9.给定拉格朗日流场
x ae
( 2t / k )
, y be , z ce
t/k
稳态
不可压缩
t/k
其中k为常数。试判断：
空间流线
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7. 给定速度场：

v u0 i v0 cos(kx t ) j


其中，u0，v0，k，α均为常数。试求在t=0时 刻通过点（0，0）的流线和迹线方程。若k， α趋近于零，试比较这两条曲线。
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解：1）求迹线
v x u0 , v y v0 cos(kx t ) dx 则有 u0 , dt x u0t c1 得： c1 0 dy v0 cos(kx t ) dt