数据库模式的分解无损连接性教案
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这是一个自项向下的算法。它自然地形成一棵对 R<U,F>的二又分解树。R<U,F>的分解树不一定是
唯一的。这与步骤(3)中具体选定的X→A有关。
算法5 转换为BCNF的无损连接分解。
例， 设关系模式W(CTHRSG)的属性分别表示课程 名、任课教师名、上课时间、上课教室、选修的 学生学号、成绩等含义。W上的函数依赖集F： {C → T，HR → C，TH→R，CS → G，HS → R}
（2）对F中的每个一函数依赖X→Y，构成一个关系 模式Ri(X,Y)，Ri为3NF,ρ＝{R1,R2,…,Rn}
（3）如果每个Ri不包含R的候选键，那么把候选键 作为一个模式放入ρ中。 ρ即为所求。
3.9.4 模式分解算法
例，设有关系R(F,G,H,I,J)， FD={F→I,J→I,I→G,GH→I,IH→F}，将分解为 3NF,并具有无损连接性和保持依赖性。
ρ={R1(ABC), R2(CD),R3(DE)}。 那么ρ相对于F是否无损分解？
算法2 判别一个分解的无损连接性
R1(ABC), R2(CD),R3(DE) F={AB→C，C→D，D→E}
初始表：
A
B
C
D
E
R1 a1 a2 a3 b14 b15
R2 b21 b22 a3 a4 b25
R3 b31 b32 b33
3.9.3 保持函数依赖的模式分解（续）
例如，将S－L（Sno， Sdept， Sloc） F={ Sno→Sdept,Sdept→Sloc,Sno→Sloc} 分解为下面二个关系模式(第四种分解)：
ND(Sno, Sdept) ， DL(Sdept, Sloc) 该分解保持了函数依赖(具有无损连接性)。
算法终止。 (3)设ρ中Ri<Ui,Fi>不属于BCNF，那么必有X→AFi＋
( A X)，且X非Ri的超码。对Ri进行分解： σ＝{S1,S2}，US1＝XA，US2＝Ui－{A}，以σ代替 Ri<Ui,Fi>返回第(2)步。 由于U中属性有限，因而有限次循环后算法5一定 会终止。
算法5 转换为BCNF的无损连接分解。
算法2 判别一个分解的无损连接性
A AB a1
F={A→B，C→D}
BC D
A BCD
a2 b13 b14 AB a1 a2 b13 b14
BC b21 a2 a3 b24 BC b21 a2 a3 a4
CD b31 b32 a3 a4 CD b31 b32 a3 a4
ρ是有损分解
3.9.4 模式分解算法
• 算法1 判别一个二元分解的无损连接性。 若F＋中至少存在如下函数依赖中的一个： （1）（U1∩U2）→U1－U2 （2）（U1∩U2）→U2－U1
则ρ={ R1<U1>，R2<U2>}是R的无损分解。反之也
成立。 如：模式S-L（Sno， Sdept， Sloc） 分解为2个模式：
ND(Sno, Sdept) ，NL(Sno, Sloc) 则是无损分解。
3.9.3 保持函数依赖的模式分解(续)
• 如果一个分解具有无损连接性，则它能够保证不 丢失信息。
• 如果一个分解保持了函数依赖，则它可以减轻或 解决各种异常情况。
• 分解具有无损连接性和分解保持函数依赖是两个 互相独立的标准。具有无损连接性的分解不一定 能够保持函数依赖；同样，保持函数依赖的分解 也不一定具有无损连接性。
显然，模式W上只有一个键，是HS。
解：要把W分解成BCNF模式集，可以首先考虑CS
→ G，据算法，应把CTHRSG分解成CSG和CTHRS。
为进一步分解，计算出πCSG (F)＝{CS → G }， πCTHRS (F) ＝{C → T，HR →C，TH → R，HS → R}。模式CTHRS的键是HS。
算法2 判别一个分解的无损连接性
②逐一检查F中的每个函数依赖，并修改元素，方法是： 1、取F中一函数依赖X→Y(从第一个开始，到最后一个取完结束)， 2、找出X所对应的列中具有相同符号的行。 （如X列中有某两个值均 为a3的行,则算是相同的两行，如果是有两个下标的则不是相同符号， 如a31） 3、考察这些行中Y列的元素，若其中有aj，则全部改为aj，否则全部改 bmj，其中m是这些行的行号最小值。 4、若在某次更改后，有一行是a1a2…an，那么ρ相对于F是无损分解， 算法结束。 对F中的每个函数依赖进行一次上述的处置，称对F的一次扫描。
3.9.4 模式分解算法
例，设R（A,B,C,D,E），Fmin={ A→B，C→D}。 则， ρ＝{R1（A,B)，R2（C,D）,R3（E）}
是保持函数依赖的分解。
3.9.4 模式分解算法
算法4 转换为3NF既有无损连接性又保持函数依赖 的分解 。 （1）对关系模式R中的函数依赖集F进行“极小化” 处理，然后把最小依赖集中那些左部相同的FD用 合并性合并起来，处理后的函数依赖集仍记为F；
3.9.3 保持函数依赖的模式分解 (续)
对于关系模式S-L：
• 第1种分解方法既不具有无损连接性，也未保持函 数依赖。
• 第2种分解方法未保持函数依赖，也不具有无损连 接性。
• 第3种分解方法具有无损连接性，但未保持函数依 赖。
• 第4种分解方法既具有无损连接性，又保持了函数 依赖。
3.9.4 模式分解算法
算法2 判别一个分解的无损连接性
设ρ＝{R1<U1，F1>，R2<U2，F2>，…，Rk<Uk，Fk>}
是R<U，F>的一个分解，U＝{A1,…, An} ①构造一张k行n列的表格。每列对应一个属性Aj，
每行对应一个模式Ri。如果Aj属于Ui，那么在表格 的第i行第j列处填上符号aj，否则填上bij。
R6（HJ）}
3.9.4 模式分解算法
课后习题： 已知，关系模式R(A,B,C,D,E)，R的最小依 赖集Fmin={A→B，C→D}。 试将R分解为3NF,并具有无损连接性和保持 函数依赖性。
3.9.4 模式分解算法
算法5 转换为BCNF的无损连接分解。 (1)关系模式R的分解ρ，初始时ρ={R<U,F>}。 (2)检查ρ中各关系模式是否均属于BCNF。若是，则
算法5 转换为BCNF的无损连接分解。
显然CSG已是BCNF，而CTHRS必须进一步分 解。如考虑C→T，则把CTHRS分解成CT和 CHRS， πCT (F) ＝{C →T}， πCHRS (F) ＝{CH → R，HS → R，HR → C}。HS是 CHRS的键。 CHRS再分解一次，利用CH→R分解成CHR和 CHS，2模式均满足BCNF。 分解结束。
–分解1只具有无损连接性, 分解2不具有无损连 接性。
A
B
C
AB a1
a2
AC a1
a2
a3
A
B
C
AB a1
a2
BC
a2
a3
算法2 判别一个分解的无损连接性
例3，设关系模式R(ABCD)，R分解成 ρ={R1(AB), R2(BC),R3(CD)}。 如果R上成立的函数依赖集 F={A→B，C→D}， 那么ρ相对于F是否无损分解？
算法3（合成法）转换为3NF的保持函数依赖的分解。 （1）对关系模式R中的函数依赖集F进行“极小化”
处理，处理后的函数依赖集仍记为F； （2）若有X→AF，且XA=U，则ρ={R}，算法终止； （3）找出不在F中出现的属性，将它们构成一个关系
模式，并把这些属性从R中去掉，把剩余的属性仍 记为U。
算法3 转换为3NF的保持函数依赖的分解
最后结果： A
B
C
R1 a1
a2
a3
R2 b21 b22 a3
R3 b31 b32 b33
a4 a5
D
E
a4 1 a5 2
a4
a5 2
a4 a5
ρ相对于F是无损分解
算法2 判别一个分解的无损连接性
例2，R(A，B，C)， F={ AB，CB}
–分解ρ1={R1(A,B)，R2(A,C)} –分解ρ2={R1(A,B)，R1(B,C)} 分析两种分解的无损连接性？
算法2 判别一个分解的无损连接性
③比较扫描前后，表有无变化。如有变化， 则返回第②步处理，否则，算法结束，则 ρ相对于F是有损分解。 如果发生循环，那么前次扫描至少应使该 表减少一个符号，表中符号有限，因此循 环必然会终止。
算法2 判别一个分解的无损连接性
例1，设关系模式R(ABCDE)， F={AB→C，C→D，D→E}， R分解成
• 算法1 判别一个二元分解的无损连接性 • 算法2 判别一个分解的无损连接性 • 算法3（合成法）转换为3NF的保持函数依赖的分
解。 • 算法4 转换为3NF既有无损连接性又保持函数依
赖的分解 。 • 算法5 （分解法）转换为BCNF的无损连接分解 • 算法6 达到4NF的具有无损连接性的分解。
3.9.4 模式分解算法
2. SL分解为下面二个关系模式： NL(Sno, Sloc)， DL(Sdept, Sloc)
3. 将SL分解为下面二个关系模式： ND(Sno, Sdept) ，NL(Sno, Sloc)
3.9.2 无损源自文库解（续）
第3种分解方法具有无损连接性。 问题: （1）没有保持原关系中的函数依赖，即 S-L中的函数依赖Sdept→Sloc没有投影到关系模 式ND、NL上。 （2）存在冗余和操作异常。
3.9 （关系）模式的分解
分解的定义：
关系模式R<U，F>的一个分解是指ρ ＝{R1<U1，
F1>，R2<U2，F2>，…，Rn<Un，Fn>}
其中U＝U1∪U2∪…∪Un ，并且不存在Ui Uj,1≤i,j≤n，Fi是F在Ui上的投影。
函数依赖集合{X→Y| X→Y∈ F＋∧XYUi}的 一个覆盖(等价)Fi叫做F在属性Ui上的投影。
3.9.2 无损分解
无损分解定义：关系模式R<U,F>的一个分解
ρ={ R1<U1,F1>，R2<U2,F2>， …，Rn<Un,Fn>}，对于R的任
一关系r，都有r为其在各Ui(1=1,…,n)上的投影的(自然) 连接,即r=πU1(r) ⋈πU2(r) ⋈… ⋈πUn(r)，则称关系模式
R的这个分解ρ具有无损连接性（Lossless join）。
3.9.2 无损分解（续）
4. 将SL分解为下面二个关系模式： ND(Sno, Sdept) ， DL(Sdept, Sloc) 该分解保持了函数依赖(且具有无损连接性)。
3.9.3 保持函数依赖的模式分解
定义：设关系模式R<U,F>被分解为若干个关系模式 R1<U1,F1>，R2<U2,F2>，…，Rn<Un,Fn> 其中 U=U1∪U2∪…∪Un，且不存在Ui Uj，Fi为F在Ui上 的投影），若F所逻辑蕴含的函数依赖一定也由分 解得到的某个关系模式中的函数依赖Fi所逻辑蕴含， 则称关系模式R的这个分解是保持函数依赖的 （Preserve dependency）。
• 具有无损连接性的分解保证不丢失信息。 • 无损连接性不一定能解决插入异常、删除异常、修改复杂、
数据冗余等问题。
3.9.2 无损分解（续）
例：S-L（Sno， Sdept， Sloc） F={ Sno→Sdept,Sdept→Sloc,Sno→Sloc} S-L∈2NF，分解方法可以有多种：
1. S-L分解为三个关系模式： SN(Sno) ，SD(Sdept)，SL(Sloc)
（4）对F按具有相同左部的原则分组(假定分为k组)， 每一组函数依赖Fi所涉及的全部属性形成一个属性 集Ui。若Ui Uj(i≠j)，就去掉Ui。于是 ρ={R1<U1，F1>，R2<U2，F2>，…，Rk<Uk，Fk>} 构 成R<U，F>的一个保持函数依赖的分解，并且每个 Ri(Ui,Fi)均属于3NF且保持函数依赖。
3.9 模式的分解
3.9.1 关系模式分解的标准 • 把低一级的关系模式分解为若干个高一级的关系模
式的方法并不是唯一的
• 只有能够保证分解后的关系模式与原关系模式等价， 分解方法才有意义 “等价”概念的三种定义：
（1）分解具有无损连接性。 （2）分解要保持函数依赖性。 （3）分解既要保持函数依赖，又要具有无损连接性。
解：HJ是L类属性，所以候选键至少包含HJ，另 外，(HJ)＋ ＝{FGHIJ}，所以HJ是唯一的候选键。 （1）求出最小依赖集
Fmin=F={F→I,J→I,I→G,GH→I,IH→F}
3.9.4 模式分解算法
(2) 将关系分解为： ρ＝{ R1(FI),R2(JI),R3(IG),R4(GHI),R5(IHF)} (3) ρ并上候选键： ρ＝{R1（FI）,R2(JI),R3(IG),R4(GHI),R5(IHF)，
唯一的。这与步骤(3)中具体选定的X→A有关。
算法5 转换为BCNF的无损连接分解。
例， 设关系模式W(CTHRSG)的属性分别表示课程 名、任课教师名、上课时间、上课教室、选修的 学生学号、成绩等含义。W上的函数依赖集F： {C → T，HR → C，TH→R，CS → G，HS → R}
（2）对F中的每个一函数依赖X→Y，构成一个关系 模式Ri(X,Y)，Ri为3NF,ρ＝{R1,R2,…,Rn}
（3）如果每个Ri不包含R的候选键，那么把候选键 作为一个模式放入ρ中。 ρ即为所求。
3.9.4 模式分解算法
例，设有关系R(F,G,H,I,J)， FD={F→I,J→I,I→G,GH→I,IH→F}，将分解为 3NF,并具有无损连接性和保持依赖性。
ρ={R1(ABC), R2(CD),R3(DE)}。 那么ρ相对于F是否无损分解？
算法2 判别一个分解的无损连接性
R1(ABC), R2(CD),R3(DE) F={AB→C，C→D，D→E}
初始表：
A
B
C
D
E
R1 a1 a2 a3 b14 b15
R2 b21 b22 a3 a4 b25
R3 b31 b32 b33
3.9.3 保持函数依赖的模式分解（续）
例如，将S－L（Sno， Sdept， Sloc） F={ Sno→Sdept,Sdept→Sloc,Sno→Sloc} 分解为下面二个关系模式(第四种分解)：
ND(Sno, Sdept) ， DL(Sdept, Sloc) 该分解保持了函数依赖(具有无损连接性)。
算法终止。 (3)设ρ中Ri<Ui,Fi>不属于BCNF，那么必有X→AFi＋
( A X)，且X非Ri的超码。对Ri进行分解： σ＝{S1,S2}，US1＝XA，US2＝Ui－{A}，以σ代替 Ri<Ui,Fi>返回第(2)步。 由于U中属性有限，因而有限次循环后算法5一定 会终止。
算法5 转换为BCNF的无损连接分解。
算法2 判别一个分解的无损连接性
A AB a1
F={A→B，C→D}
BC D
A BCD
a2 b13 b14 AB a1 a2 b13 b14
BC b21 a2 a3 b24 BC b21 a2 a3 a4
CD b31 b32 a3 a4 CD b31 b32 a3 a4
ρ是有损分解
3.9.4 模式分解算法
• 算法1 判别一个二元分解的无损连接性。 若F＋中至少存在如下函数依赖中的一个： （1）（U1∩U2）→U1－U2 （2）（U1∩U2）→U2－U1
则ρ={ R1<U1>，R2<U2>}是R的无损分解。反之也
成立。 如：模式S-L（Sno， Sdept， Sloc） 分解为2个模式：
ND(Sno, Sdept) ，NL(Sno, Sloc) 则是无损分解。
3.9.3 保持函数依赖的模式分解(续)
• 如果一个分解具有无损连接性，则它能够保证不 丢失信息。
• 如果一个分解保持了函数依赖，则它可以减轻或 解决各种异常情况。
• 分解具有无损连接性和分解保持函数依赖是两个 互相独立的标准。具有无损连接性的分解不一定 能够保持函数依赖；同样，保持函数依赖的分解 也不一定具有无损连接性。
显然，模式W上只有一个键，是HS。
解：要把W分解成BCNF模式集，可以首先考虑CS
→ G，据算法，应把CTHRSG分解成CSG和CTHRS。
为进一步分解，计算出πCSG (F)＝{CS → G }， πCTHRS (F) ＝{C → T，HR →C，TH → R，HS → R}。模式CTHRS的键是HS。
算法2 判别一个分解的无损连接性
②逐一检查F中的每个函数依赖，并修改元素，方法是： 1、取F中一函数依赖X→Y(从第一个开始，到最后一个取完结束)， 2、找出X所对应的列中具有相同符号的行。 （如X列中有某两个值均 为a3的行,则算是相同的两行，如果是有两个下标的则不是相同符号， 如a31） 3、考察这些行中Y列的元素，若其中有aj，则全部改为aj，否则全部改 bmj，其中m是这些行的行号最小值。 4、若在某次更改后，有一行是a1a2…an，那么ρ相对于F是无损分解， 算法结束。 对F中的每个函数依赖进行一次上述的处置，称对F的一次扫描。
3.9.4 模式分解算法
例，设R（A,B,C,D,E），Fmin={ A→B，C→D}。 则， ρ＝{R1（A,B)，R2（C,D）,R3（E）}
是保持函数依赖的分解。
3.9.4 模式分解算法
算法4 转换为3NF既有无损连接性又保持函数依赖 的分解 。 （1）对关系模式R中的函数依赖集F进行“极小化” 处理，然后把最小依赖集中那些左部相同的FD用 合并性合并起来，处理后的函数依赖集仍记为F；
3.9.3 保持函数依赖的模式分解 (续)
对于关系模式S-L：
• 第1种分解方法既不具有无损连接性，也未保持函 数依赖。
• 第2种分解方法未保持函数依赖，也不具有无损连 接性。
• 第3种分解方法具有无损连接性，但未保持函数依 赖。
• 第4种分解方法既具有无损连接性，又保持了函数 依赖。
3.9.4 模式分解算法
算法2 判别一个分解的无损连接性
设ρ＝{R1<U1，F1>，R2<U2，F2>，…，Rk<Uk，Fk>}
是R<U，F>的一个分解，U＝{A1,…, An} ①构造一张k行n列的表格。每列对应一个属性Aj，
每行对应一个模式Ri。如果Aj属于Ui，那么在表格 的第i行第j列处填上符号aj，否则填上bij。
R6（HJ）}
3.9.4 模式分解算法
课后习题： 已知，关系模式R(A,B,C,D,E)，R的最小依 赖集Fmin={A→B，C→D}。 试将R分解为3NF,并具有无损连接性和保持 函数依赖性。
3.9.4 模式分解算法
算法5 转换为BCNF的无损连接分解。 (1)关系模式R的分解ρ，初始时ρ={R<U,F>}。 (2)检查ρ中各关系模式是否均属于BCNF。若是，则
算法5 转换为BCNF的无损连接分解。
显然CSG已是BCNF，而CTHRS必须进一步分 解。如考虑C→T，则把CTHRS分解成CT和 CHRS， πCT (F) ＝{C →T}， πCHRS (F) ＝{CH → R，HS → R，HR → C}。HS是 CHRS的键。 CHRS再分解一次，利用CH→R分解成CHR和 CHS，2模式均满足BCNF。 分解结束。
–分解1只具有无损连接性, 分解2不具有无损连 接性。
A
B
C
AB a1
a2
AC a1
a2
a3
A
B
C
AB a1
a2
BC
a2
a3
算法2 判别一个分解的无损连接性
例3，设关系模式R(ABCD)，R分解成 ρ={R1(AB), R2(BC),R3(CD)}。 如果R上成立的函数依赖集 F={A→B，C→D}， 那么ρ相对于F是否无损分解？
算法3（合成法）转换为3NF的保持函数依赖的分解。 （1）对关系模式R中的函数依赖集F进行“极小化”
处理，处理后的函数依赖集仍记为F； （2）若有X→AF，且XA=U，则ρ={R}，算法终止； （3）找出不在F中出现的属性，将它们构成一个关系
模式，并把这些属性从R中去掉，把剩余的属性仍 记为U。
算法3 转换为3NF的保持函数依赖的分解
最后结果： A
B
C
R1 a1
a2
a3
R2 b21 b22 a3
R3 b31 b32 b33
a4 a5
D
E
a4 1 a5 2
a4
a5 2
a4 a5
ρ相对于F是无损分解
算法2 判别一个分解的无损连接性
例2，R(A，B，C)， F={ AB，CB}
–分解ρ1={R1(A,B)，R2(A,C)} –分解ρ2={R1(A,B)，R1(B,C)} 分析两种分解的无损连接性？
算法2 判别一个分解的无损连接性
③比较扫描前后，表有无变化。如有变化， 则返回第②步处理，否则，算法结束，则 ρ相对于F是有损分解。 如果发生循环，那么前次扫描至少应使该 表减少一个符号，表中符号有限，因此循 环必然会终止。
算法2 判别一个分解的无损连接性
例1，设关系模式R(ABCDE)， F={AB→C，C→D，D→E}， R分解成
• 算法1 判别一个二元分解的无损连接性 • 算法2 判别一个分解的无损连接性 • 算法3（合成法）转换为3NF的保持函数依赖的分
解。 • 算法4 转换为3NF既有无损连接性又保持函数依
赖的分解 。 • 算法5 （分解法）转换为BCNF的无损连接分解 • 算法6 达到4NF的具有无损连接性的分解。
3.9.4 模式分解算法
2. SL分解为下面二个关系模式： NL(Sno, Sloc)， DL(Sdept, Sloc)
3. 将SL分解为下面二个关系模式： ND(Sno, Sdept) ，NL(Sno, Sloc)
3.9.2 无损源自文库解（续）
第3种分解方法具有无损连接性。 问题: （1）没有保持原关系中的函数依赖，即 S-L中的函数依赖Sdept→Sloc没有投影到关系模 式ND、NL上。 （2）存在冗余和操作异常。
3.9 （关系）模式的分解
分解的定义：
关系模式R<U，F>的一个分解是指ρ ＝{R1<U1，
F1>，R2<U2，F2>，…，Rn<Un，Fn>}
其中U＝U1∪U2∪…∪Un ，并且不存在Ui Uj,1≤i,j≤n，Fi是F在Ui上的投影。
函数依赖集合{X→Y| X→Y∈ F＋∧XYUi}的 一个覆盖(等价)Fi叫做F在属性Ui上的投影。
3.9.2 无损分解
无损分解定义：关系模式R<U,F>的一个分解
ρ={ R1<U1,F1>，R2<U2,F2>， …，Rn<Un,Fn>}，对于R的任
一关系r，都有r为其在各Ui(1=1,…,n)上的投影的(自然) 连接,即r=πU1(r) ⋈πU2(r) ⋈… ⋈πUn(r)，则称关系模式
R的这个分解ρ具有无损连接性（Lossless join）。
3.9.2 无损分解（续）
4. 将SL分解为下面二个关系模式： ND(Sno, Sdept) ， DL(Sdept, Sloc) 该分解保持了函数依赖(且具有无损连接性)。
3.9.3 保持函数依赖的模式分解
定义：设关系模式R<U,F>被分解为若干个关系模式 R1<U1,F1>，R2<U2,F2>，…，Rn<Un,Fn> 其中 U=U1∪U2∪…∪Un，且不存在Ui Uj，Fi为F在Ui上 的投影），若F所逻辑蕴含的函数依赖一定也由分 解得到的某个关系模式中的函数依赖Fi所逻辑蕴含， 则称关系模式R的这个分解是保持函数依赖的 （Preserve dependency）。
• 具有无损连接性的分解保证不丢失信息。 • 无损连接性不一定能解决插入异常、删除异常、修改复杂、
数据冗余等问题。
3.9.2 无损分解（续）
例：S-L（Sno， Sdept， Sloc） F={ Sno→Sdept,Sdept→Sloc,Sno→Sloc} S-L∈2NF，分解方法可以有多种：
1. S-L分解为三个关系模式： SN(Sno) ，SD(Sdept)，SL(Sloc)
（4）对F按具有相同左部的原则分组(假定分为k组)， 每一组函数依赖Fi所涉及的全部属性形成一个属性 集Ui。若Ui Uj(i≠j)，就去掉Ui。于是 ρ={R1<U1，F1>，R2<U2，F2>，…，Rk<Uk，Fk>} 构 成R<U，F>的一个保持函数依赖的分解，并且每个 Ri(Ui,Fi)均属于3NF且保持函数依赖。
3.9 模式的分解
3.9.1 关系模式分解的标准 • 把低一级的关系模式分解为若干个高一级的关系模
式的方法并不是唯一的
• 只有能够保证分解后的关系模式与原关系模式等价， 分解方法才有意义 “等价”概念的三种定义：
（1）分解具有无损连接性。 （2）分解要保持函数依赖性。 （3）分解既要保持函数依赖，又要具有无损连接性。
解：HJ是L类属性，所以候选键至少包含HJ，另 外，(HJ)＋ ＝{FGHIJ}，所以HJ是唯一的候选键。 （1）求出最小依赖集
Fmin=F={F→I,J→I,I→G,GH→I,IH→F}
3.9.4 模式分解算法
(2) 将关系分解为： ρ＝{ R1(FI),R2(JI),R3(IG),R4(GHI),R5(IHF)} (3) ρ并上候选键： ρ＝{R1（FI）,R2(JI),R3(IG),R4(GHI),R5(IHF)，