2014年湖南省高考数学试卷(理科)附送答案

2014年湖南省高考数学试卷（理科）

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）

1．（5分）满足=i（i为虚数单位）的复数z=（）

A．+i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i

2．（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）

A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P3

3．（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，则f（1）+g（1）=（）

A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3

4．（5分）（x﹣2y）5的展开式中x2y3的系数是（）

A．﹣20 B．﹣5 C．5 D．20

5．（5分）已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x2＞y2，在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（）A．①③B．①④C．②③D．②④

6．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）

A．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6]

7．（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）

A．1 B．2 C．3 D．4

8．（5分）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）

A． B． C．pq D．﹣1

9．（5分）已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）

A．x=B．x=C．x=D．x=

10．（5分）若函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）

A．（﹣）B．（）C．（）D．（）

二、填空题（共3小题，每小题5分，满分10分）（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）

11．（5分）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：，（α为参数）交于A，B两点，且|AB|=2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是．

12．（5分）如图所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB=，BC=2，则⊙O的半径等于．

13．若关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣＜x＜}，则a=．（二）必做题（14-16题）

14．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则

k=．

15．（5分）如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a，b（a＜b），原点O为AD的中点，抛物线y2=2px（p＞0）经过C，F两点，则=．

16．（5分）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的最大值是．

三、解答题：本大题共6小题，共75分

17．（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．

（Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；

（Ⅱ）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．

18．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．

（Ⅰ）求cos∠CAD的值；

（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，求BC的长．

19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．

（Ⅰ）证明：O1O⊥底面ABCD；

（Ⅱ）若∠CBA=60°，求二面角C1﹣OB1﹣D的余弦值．

20．（13分）已知数列{a n}满足a1=1，|a n+1﹣a n|=p n，n∈N*．

（Ⅰ）若{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；

}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）若p=，且{a2n

﹣1

21．（13分）如图，O为坐标原点，椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：﹣=1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2，已知e1e2=，且|F2F4|=﹣1．

（Ⅰ）求C1、C2的方程；

（Ⅱ）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．

22．（13分）已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣．

（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；

（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．

2014年湖南省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）

1．（5分）（2014•湖南）满足=i（i为虚数单位）的复数z=（）

A．+i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i

【分析】根据复数的基本运算即可得到结论．

【解答】解：∵=i，

∴z+i=zi，

即z===﹣i，

故选：B．

2．（5分）（2014•湖南）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）

A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P3

【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．

【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，

即P1=P2=P3．

故选：D．

3．（5分）（2014•湖南）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，则f（1）+g（1）=（）

A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3

【分析】将原代数式中的x替换成﹣x，再结合着f（x）和g（x）的奇偶性可得f（x）+g（x），再令x=1即可．