极限计算方法总结(简洁版)
求极限的12种方法总结及例题
求极限的12种方法总结及例题求极限的12种方法总结及例题1. 引言在数学学习中，求极限是一个重要的概念，也是许多数学题解的基础。
在学习求极限的过程中，有许多不同的方法可以帮助我们理解和解决问题。
本文将总结12种方法，帮助我们更全面地理解求极限的概念，并提供相应的例题进行演示。
2. 利用极限的定义我们可以利用极限的定义来求解问题。
根据定义，当x趋向于a时，函数f(x)的极限为L，即对于任意的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。
利用这个定义，可以求得一些简单的极限，如lim(x→0) sinx/x=1。
3. 利用夹逼准则夹逼准则是求极限常用的方法之一。
当我们无法直接求出某个函数的极限时，可以利用夹逼准则来找到该函数的极限值。
要求lim(x→0) xsin(1/x)的极限，可以通过夹逼准则来解决。
4. 利用极限的四则运算极限的四则运算法则是求解复杂函数极限的基本方法之一。
利用这个法则，我们可以将复杂的函数分解成简单的部分，再进行求解。
要求lim(x→0) (3x^2+2x-1)/(x+1)，可以利用极限的四则运算法则来求解。
5. 利用洛必达法则当我们遇到不定型的极限时，可以利用洛必达法则来求解。
洛必达法则可以帮助我们求出不定型极限的值，例如0/0、∞/∞、0*∞等形式。
通过洛必达法则，我们可以将求解不定型极限的过程转化为求解导数的问题，从而得到极限的值。
6. 利用泰勒展开泰勒展开是求解复杂函数极限的有效方法之一。
当我们遇到无法直接求解的函数极限时，可以利用泰勒展开将其转化为无穷级数的形式，然后再进行求解。
通过泰勒展开，我们可以将复杂函数近似为一个多项式，从而求得函数的极限值。
7. 利用换元法换元法是求解复杂函数极限的常用方法之一。
通过适当的变量替换，可以将复杂的函数转化为简单的形式，然后再进行求解。
对于lim(x→∞) (1+1/x)^x，可以通过换元法将其转化为e的极限形式来求解。
极限的运算法则及计算方法
极限的运算法则及计算方法极限是微积分中的一个重要概念，用于研究函数在接近其中一点时的趋势。
在许多情况下，计算极限可以通过应用一些运算法则来简化。
本文将介绍极限的运算法则以及一些常用的计算方法。
一、极限的四则运算法则1. 乘法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) * g(x))的极限等于f(x)的极限乘以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
2. 除法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在且g(x)不等于0，则(f(x) / g(x))的极限等于f(x)的极限除以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)。
3. 加法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) + g(x))的极限等于f(x)的极限加上g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。
4. 减法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) - g(x))的极限等于f(x)的极限减去g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
二、极限的乘方法则1. 幂函数法则：对于任意正整数n，如果函数f(x)的极限存在，则(f(x)^n)的极限等于f(x)的极限的n次方，即lim(x→a) [f(x)^n] = [lim(x→a) f(x)]^n。
2. 平方根法则：如果函数f(x)的极限存在且大于等于0，则√[f(x)]的极限等于f(x)的极限的平方根，即lim(x→a) √[f(x)] =√[lim(x→a) f(x)]。
三、特殊函数的极限计算法则1. 三角函数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
求极限的计算方法总结
千里之行，始于足下。
求极限的计算方法总结极限是数学中重要的概念，它描述了函数在某一点无限接近于某个值的性质。
计算极限是数学分析中的基础内容，对于解决数学问题和理解函数的行为至关重要。
下面将总结一些计算极限的常见方法。
1.代入法：当极限的表达式中存在某个点的函数值不存在时，可以通过代入法来计算极限。
代入法即将极限的定义中与某些点不全都的部分进行代入，然后计算出相应的极限值。
2.分子分母有理化：当极限表达式中含有分数，且分母中有根式时，可以将分子分母有理化，即通过乘以分子分母的共轭形式，将根式消去。
3.利用无穷小量的性质：当极限表达式中存在无穷小量时，可以利用无穷小量的性质进行计算。
例如，常见的无穷小量的性质有：a.加减无穷小量仍旧是无穷小量；b.有界函数与无穷小量相乘仍旧是无穷小量；c.有限次幂无穷小量也是无穷小量等。
4.利用极限的四则运算法则：对于四则运算，极限也有相应的运算法则。
常见的极限运算法则有：a.加减法则：lim(f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x)b.乘法法则：lim(f(x) * g(x)) = lim f(x) * lim g(x)c.除法法则：lim(f(x) / g(x)) = lim f(x) / lim g(x)，其中lim g(x) ≠ 0d.复合函数法则：lim(f(g(x))) = lim f(g(x)), when lim g(x) exists第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
5.利用夹逼定理：当极限表达式无法直接计算时，可以利用夹逼定理进行计算。
夹逼定理规定了假如存在两个函数h(x)和i(x)，使得对于足够大的x，h(x) ≤ f(x) ≤i(x)，且lim h(x) = lim i(x) = L，则lim f(x)也等于L。
6.利用洛必达法则：洛必达法则可用于计算形如lim(f(x)/g(x))的不定型极限，其中f(x)和g(x)在极限点四周连续可导。
极限计算的13种方法示例
极限计算的13种方法示例极限是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点附近的行为。
在计算极限时，我们可以利用一些常见的方法来求解。
下面将介绍13种常见的极限计算方法。
一、代入法代入法是极限计算中最简单的方法之一。
当我们需要计算一个函数在某一点的极限时，只需要将该点的横坐标代入函数中，求得纵坐标即可。
二、夹逼定理夹逼定理是一种常用的极限计算方法，它适用于那些难以直接计算的函数。
夹逼定理的核心思想是通过找到两个函数，它们在极限点附近夹住我们要求的函数，从而求得该函数的极限值。
三、无穷小量法无穷小量法是极限计算中常用的方法之一。
它利用了无穷小量的性质，将函数中的高阶无穷小量忽略不计，只考虑最高阶的无穷小量来计算极限。
四、洛必达法则洛必达法则是一种常用的极限计算方法，它适用于求解0/0型和∞/∞型的极限。
该法则的核心思想是将函数的极限转化为两个函数的导数的极限，然后通过求导计算得到极限值。
五、泰勒展开法泰勒展开法是一种常用的近似计算极限的方法。
它利用了泰勒级数展开的性质，将函数在某一点附近进行泰勒展开，然后通过截断级数来计算函数的极限。
六、换元法换元法是一种常用的极限计算方法，它适用于那些存在复杂变量关系的函数。
通过引入新的变量来替代原来的变量，可以简化函数的形式，从而更容易计算极限。
七、分子有理化分子有理化是一种常用的极限计算方法，它适用于那些含有根式的函数。
通过将根式的分子有理化，可以将原函数转化为一个分式，从而更容易计算极限。
八、分部积分法分部积分法是一种常用的极限计算方法，它适用于那些含有积分的函数。
通过将原函数进行分部积分，可以将原函数转化为一个更简单的函数，从而更容易计算极限。
九、换元积分法换元积分法是一种常用的极限计算方法，它适用于那些含有复杂变量关系的函数。
通过引入新的变量来替代原来的变量，可以简化函数的形式，从而更容易计算极限。
十、二重极限法二重极限法是一种常用的极限计算方法，它适用于那些含有多个变量的函数。
极限计算的21方法总结
极限计算的21方法总结引言在高等数学学习中，极限是一个重要的概念，它在计算、分析和应用问题中发挥着重要的作用。
在求解极限的过程中，我们经常会遇到各种不同的情况和类型。
本文总结了21种常见的极限计算方法，帮助读者更好地理解和应用这些方法。
1. 代入法代入法是最简单的一种方法，它适用于一些简单的极限计算，例如当函数在某点存在有限极限时，可以直接将该点代入函数进行计算。
2. 分解法分解法是将复杂的函数分解成更简单的函数，例如将分式拆分成多个分式或者利用三角函数的和差化积等等。
3. 换元法换元法是通过引入一个新的变量来改变原函数，使得原函数的形式更简单，从而更容易计算极限。
4. 两边夹法两边夹法是通过找到两个函数，一个上界函数和一个下界函数，使得它们的极限值相等，从而求解原函数的极限值。
5. 大O小o符号法大O小o符号法是一种用来衡量函数增长速度的方法，其中O表示上界，o表示严格上界。
6. 无穷小量法无穷小量法是将有限的增量化为无穷小量，通过比较函数与无穷小量的大小关系来计算极限。
7. 极限的四则运算法则极限的四则运算法则是利用函数之间的基本运算性质，将复杂的极限计算分解成简单的极限计算。
8. 导数与极限的关系导数与极限的关系是利用导数的定义，将函数的极限转化为导数的计算。
9. 洛必达法则洛必达法则是通过对被除函数和除函数同时求导，再计算导数的极限，来求解不定型的极限。
10. 常用的极限公式常用的极限公式包括常数公式、幂函数公式、指数函数公式、对数函数公式、三角函数公式等等。
11. 泰勒展开法泰勒展开法是将函数在某一点处展开成无穷级数的形式，通过截取有限项来近似计算函数的值。
12. 勒让德法勒让德法是一种利用泰勒展开法来计算极限的特殊方法，它通过构造一系列特殊的函数来逼近原函数。
13. 递推公式法递推公式法适用于由递归关系定义的函数，通过递推关系求解函数的极限。
14. 二次平均值不等式法二次平均值不等式法是利用二次平均值不等式，将函数的极限转化为不等式的极限。
极限计算方法总结
极限计算方法总结极限是微积分的重要概念，它在数学和物理学中有着广泛的应用。
在学习极限的过程中，我们需要掌握一些常用的计算方法，以便能够准确地求解各种类型的极限问题。
下面我将对常见的极限计算方法进行总结，希望能够对大家的学习有所帮助。
1. 代入法。
代入法是求解极限最直接的方法之一。
当我们计算极限时，如果能够将极限中的变量替换为一个确定的数值，就可以直接求出极限的值。
例如，对于极限lim(x→2)(x^2+3x-2)，我们可以直接将x替换为2，得到4+6-2=8。
这种方法适用于一些简单的极限计算，但对于一些复杂的极限问题并不适用。
2. 因子分解法。
当极限中存在多项式或根式时，我们可以尝试使用因子分解法来简化计算过程。
通过对多项式进行因子分解或有理化，可以将极限转化为更简单的形式，从而更容易求解。
例如，对于极限lim(x→1)((x^2-1)/(x-1))，我们可以将分子进行因子分解得到lim(x→1)((x+1)(x-1)/(x-1))，进而化简为lim(x→1)(x+1)，最终得到极限的值为2。
3. 夹逼定理。
夹逼定理是一种常用的极限计算方法，它适用于求解一些复杂的极限问题。
夹逼定理的核心思想是通过构造两个函数，使得它们的极限值相等，并且夹住待求极限的函数，从而得到待求极限的值。
这种方法常用于证明极限存在或不存在的问题，也可以用来求解一些特殊的极限。
例如，对于极限lim(x→0)(sinx/x)，我们可以构造两个函数f(x)=sinx和g(x)=x，然后利用夹逼定理得到lim(x→0)(sinx/x)=1。
4. 洛必达法则。
洛必达法则是一种常用的求解不定型极限的方法。
当计算极限时遇到不定型形式0/0或∞/∞时，可以尝试使用洛必达法则来简化计算过程。
该法则的核心思想是对极限中的分子和分母分别求导，然后再计算极限，从而得到原极限的值。
例如，对于极限lim(x→0)(sinx/x)，我们可以对分子sinx和分母x分别求导，得到cosx和1，然后再计算极限，最终得到极限的值为1。
16种求极限的方法
16种求极限的方法在微积分中，求极限是一项重要的技巧和方法，用于研究函数在其中一点或趋于其中一点时的行为。
求极限的方法有很多种，下面将介绍16种常见的求极限方法。
1.代入法：将待求极限中的变量替换成极限点处的值，如果代入后得到一个有界的数或者可数收敛，则该极限存在。
2.四则运算法则：利用加法、减法、乘法和除法的性质进行极限运算。
例如，如果两个函数的极限都存在，则它们的和、差、积以及商（除数非零）的极限均存在。
3.夹逼定理：如果两个函数在其中一点附近夹住一个函数，并且夹住的函数的极限存在，则被夹住的函数的极限也存在，并且等于夹住的函数的极限。
4.极限的唯一性：如果存在一个数L是函数f在其中一点的极限，那么该极限是唯一的。
5.极限的有界性：如果函数f在其中一点的极限存在，则函数f在该点附近必定有界。
反之，如果函数f在其中一点附近有界，那么该点处的极限必定存在。
6.无穷小量和无穷大量：无穷小量是指当自变量趋于其中一点时，函数值趋近于零的量，无穷大量是指当自变量趋于其中一点时，函数值趋近于无穷的量。
利用无穷小量和无穷大量的性质，可以简化极限的求解过程。
7. 根式求极限：使用L'Hopital法则来解决根式的极限问题，即将根式转化为分式，再求导数。
8.多项式求极限：将多项式的极限转化为无穷小量的极限，利用低阶无穷小量和高阶无穷小量的性质进行极限计算。
9.取对数法：将函数取对数后，利用对数的性质进行极限计算。
10.换元法：通过进行合适的变量替换，将待求极限转化为更容易求解的形式。
11.不等式运算法：通过使用不等式的性质，对函数进行合理的估计，从而求解极限。
12.导数法则：利用导数的性质，对函数进行极限计算。
例如，利用导数的定义和求导法则可以方便地求解一些函数的极限。
13.递推法：对于一些递归定义的数列或函数，可以通过递推法求解其极限。
14.泰勒展开法：利用函数对应点附近的泰勒展开式，将函数的极限转化为级数的极限，进而求解极限。
计算极限的方法总结
计算极限的方法总结极限是数学中重要的概念之一，它用于描述函数或数列在无穷趋近其中一点或其中一数值时的表现。
计算极限的方法有很多种，下面将总结常用的计算极限的方法。
1.代入法：代入法是最基本也是最直接的计算极限的方法。
它适用于能够通过简单代入计算出结果的情况。
通过将极限的变量代入函数中，从而得到极限的值。
2.分式归结法：分式归结法适用于计算含有分式的极限。
通过对分子、分母同时归结或分解，简化极限计算过程。
3.推状极限法：推状极限法也称为夹逼定理，适用于计算含有复杂函数的极限。
通过找到两个函数，一个小于待求函数，一个大于待求函数，并且两个函数的极限相等，从而得到待求函数的极限。
4.极限的四则运算法则：对于已知的极限，可以利用极限的四则运算法则计算复杂函数的极限。
四则运算包括加法、减法、乘法和除法，其中除法需要注意除数不能为零。
5.极限的换元法：当函数含有复杂的表达式时，可以通过进行合适的换元来简化函数求极限的过程。
常见的换元包括三角函数换元、指数函数换元、对数函数换元等。
6.形式极限法：形式极限法适用于计算复杂函数包含无穷大、无穷小量级的极限。
将函数转化为形式极限后，可以利用已知的极限进行计算。
7.泰勒级数展开法：泰勒级数展开法适用于计算函数在特定点处的极限。
通过对函数进行泰勒级数展开，可以将函数转化为多项式的形式，从而计算出极限。
8.洛必达法则：洛必达法则适用于极限存在不确定形式，即0/0或无穷/无穷的情况。
该法则通过对函数的分子和分母分别求导，然后再计算极限的值。
9.幂次不等式法：幂次不等式法适用于计算幂函数的极限。
通过利用幂函数的大小关系，可以确定幂函数的极限。
10.斜线渐进法：斜线渐进法适用于计算函数在无穷远处的极限。
通过将函数分子和分母同时除以最高阶的幂，可以得到斜率为1的直线函数，从而计算出极限。
总结以上所述，计算极限的方法有代入法、分式归结法、推状极限法、极限的四则运算法则、极限的换元法、形式极限法、泰勒级数展开法、洛必达法则、幂次不等式法和斜线渐进法等等。
求极限方法小结（实用易懂）（五篇材料）
求极限方法小结（实用易懂）（五篇材料）第一篇：求极限方法小结(实用易懂)求极限的方法小结极限思想贯穿整个高等数学的课程之中，而给定函数的极限的求法则成为极限思想的基础，因此有必要总结极限的求法，其求法可总结为以下几种：一、利用极限四则运算法则对和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限四则运算法则，法则本身很简单，但为了能够使用这些法则，往往需要先对函数做某些恒等变形或化简，采用怎样的变形和化简，要根据具体的算式确定，常用的变形或化简有分式的约分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积公式以及适当的变量替换。
11lim(-)3x→11-x1-x例 1.lim(12n-1++Λ+)n2n2n2 2.n→∞二、利用两个重要极限1sinx1xlim=1,lim(1+)=elim(1+x)x=e.x→0x→∞xx两个重要极限为：或x→0使用它们求极限时，最重要的是对所给的函数或数列做适当的变形，使之具有相应的形式，有时也可通过变量替换使问题简化。
1lim(1-)kxx 例 1.x→1lim(x+32x+1)x+2 2.x→∞三、利用夹逼准则求极限关键在于选用合适的不等式。
lim(n!)nnnlim(na1+Λ+am)n例1.n→∞a1,Λ,am}，且ak>0(k=1,2,Λ,m)求n→∞ 2.设a=max{ / 4四、利用单调有界准则求极限首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。
x=a,x2=a+a=a+x1,Λ,xn+1=a+xn(n=1,2,Λ)例1.设a>0，1limxn求极限n→∞。
五、利用无穷小的性质求极限有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。
用等价无穷小替换求极限常常行之有效。
例 1.x→0 lim(1+xsinx-1sinsin(x-1))lim2lnxex-1 2.x→0六、利用函数连续性求极限limf(x)=f(x0)xf(x)x0设在点处连续，则→x0。
求极限的21个方法总结
求极限的21个方法总结1. 直接代入法：将变量的值代入极限表达式中，计算极限的值。
2. 分子分母同除以最高次项的方法：可以使得分子和分母的最高次项的系数为1，简化计算。
3. 消去法：利用性质将某些项消去，使得表达式更容易计算。
4. 因式分解法：将极限表达式中的因式进行分解，简化计算。
5. 分数分解法：将极限表达式中的分数进行分解，简化计算。
6. 奇偶性性质：利用函数的奇偶性质，简化计算。
7. 倍角、半角、和差公式：利用三角函数的相关公式，简化计算。
8. 幂函数性质：利用幂函数的性质，简化计算。
9. 对数函数性质：利用对数函数的性质，简化计算。
10. 指数函数性质：利用指数函数的性质，简化计算。
11. 三角函数性质：利用三角函数的性质，简化计算。
12. 极坐标法：将极限表达式转化为极坐标形式，简化计算。
13. 无穷小代换法：将极限表达式中的变量代换为无穷小量，简化计算。
14. 夹逼定理：利用夹逼定理确定极限的值。
15. L'Hopital法则：当计算的极限为0/0或者∞/∞形式时，可以利用L'Hopital 法则进行计算。
16. 泰勒展开法：将极限表达式进行泰勒展开，取较低阶项进行计算。
17. 递推法：将极限表达式中的各项逐步推导出来，从而得到极限的值。
18. 积分法：将极限表达式转化为积分形式，利用积分的性质计算极限的值。
19. 微分法：将极限表达式转化为微分形式，利用微分的性质计算极限的值。
20. 反函数法：将极限表达式中的函数进行反函数变换，简化计算。
21. 几何法：利用几何图形的性质计算极限的值。
求极限的方法总结
千里之行，始于足下。
求极限的方法总结求极限是微积分的重要内容，也是解决数学问题中常用的方法之一。
下面是对求极限的方法进行总结：1. 代入法：当在不断插入一个趋于该极限的数值时，假如函数表达式有意义，且极限存在，则取其极限值作为函数的极限。
2. 四则运算法则：假如函数 f(x) 和 g(x) 在 x = a 处极限都存在，那么可以利用加减乘除等基本运算的极限法则求解。
3. 夹逼定理：当存在两个函数 f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)，且函数 f(x)，h(x)的极限都为 L，那么 g(x)的极限也为 L。
4. 函数的连续性：假如函数 f(x) 在 x = a 处连续，那么函数 f(x) 在x = a 处也存在极限。
5. 分解因式法：可以通过将函数进行分解因式，使得函数变为两个函数之比，然后利用极限的分解限求解。
6. 无穷小与无穷大：假如 x → a 时，函数 f(x) 的极限为 0，那么称函数 f(x) 为无穷小。
假如 x → a 时，函数 f(x) 的极限为∞或 -∞，那么称函数 f(x) 为无穷大。
通过争辩函数的无穷小和无穷大性质，可以求解极限。
7. 等价无穷小法：假如函数 f(x) 和 g(x) 在 x = a 处极限都为 0，并且极限 lim(x→a) [f(x)/g(x)] 存在且为 L (L ≠ 0)，那么可以使用“等价无穷小”来求解极限。
第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
8. 数列极限法则：假如数列 {an} 在 n →∞时有极限 L，则函数 f(x) = an 在 x →∞时的极限也为 L。
通过数列的极限法则，可以推导出函数的极限。
9. 泰勒开放：对于光滑函数，可以利用泰勒开放来近似求解极限。
10. 形式不确定型：对于一些形式不确定的极限，可以通过化简、将其转换成其他形式来求解。
11. 极限存在定理：对于一些特定的函数和性质，可以通过极限存在定理来判定函数的极限是否存在。
上述是常用的一些求解极限的方法总结，通过运用这些方法，可以更加精确地求解各种极限问题。
求极限的方法总结
求极限的方法总结极限是数学中的一个重要概念，它可以描述函数或数列在某一点或某个无穷远的情况下的趋势或结果。
在求解极限时，有许多不同的方法可以使用，下面我将简要总结一下常见的求极限的方法。
一、替换法替换法是求函数极限的常用方法之一。
当我们在计算某一点的函数极限时，可以尝试将该点的数值代入函数中，然后计算函数的值。
如果当点趋近于某个有限值时函数的极限存在，那么我们可以得出该极限的值。
二、分子分母因式分解法当我们计算一个分式的极限时，可以尝试对分子和分母进行因式分解。
通过因式分解，我们可以减少计算的复杂性，进而更容易求得极限的结果。
三、洛必达法则洛必达法则是求解函数极限的重要工具。
这个法则的基本思想是将一个函数的极限转化为同一点处的两个函数的极限之比。
如果这两个函数的极限都存在并且是有限的，那么我们可以得出原函数极限的结果。
四、夹逼定理夹逼定理是求解数列极限的常用方法之一。
这个定理的主要思想是通过两个逼近数列来逼近待求数列，进而确定数列的极限值。
夹逼定理在实际计算中可以大大简化问题的求解。
五、泰勒展开式泰勒展开式是一种将函数展开为无穷项级数的方法。
通过将函数展开为级数，我们可以更加准确地计算函数的极限值。
泰勒展开式有时候可以帮助我们求解一些复杂的函数极限，特别是在计算高阶导数时。
六、变量代换法变量代换法是一种将复杂极限转化为简单极限的方法。
通过对函数中的自变量进行适当的替代，我们可以将复杂的极限转化为简单的极限。
这种方法可以大大减少计算的难度，提高求解极限问题的效率。
七、松弛变量法松弛变量法是一种求解含有未知数的极限问题的方法。
通过引入一个松弛变量，我们可以使得原来的极限问题变得简单，从而更容易求解。
这种方法在求解一些复杂的函数极限时特别有用。
总结：求解极限的方法有替换法、分子分母因式分解法、洛必达法则、夹逼定理、泰勒展开式、变量代换法和松弛变量法等。
每种方法都有其适用的范围和特点，我们可以根据具体问题的不同选择合适的方法。
极限计算方法总结
极限计算方法总结极限计算方法是微积分中非常重要的一部分，它在函数的性质、导数、积分、级数等方面起着关键的作用。
下面将对常见的极限计算方法进行总结。
1.代数基本极限法则：- 常数项：lim(a) = a，其中a为任意常数；- 幂函数项：lim(x^n) = a^n，其中a为常数，n为正整数；- 指数函数项：lim(a^x) = a^c，其中a为正常数，c为实数；- 对数函数项：lim(logax) = logax，其中a为正常数；- 三角函数项：lim(sin x) = sin a、lim(cos x) = cos a、lim(tan x) = tan a，其中a为任意实数；- 反三角函数项：lim(arcsin x) = arcsin a、lim(arccos x) = arccos a、lim(arctan x) = arctan a，其中a为任意实数；- 双曲函数项：lim(sinh x) = sinh a、lim(cosh x) = cosh a、lim(tanh x) = tanh a，其中a为任意实数；- 反双曲函数项：lim(arcsinh x) = arcsinh a、lim(arccosh x) = arccosh a、lim(arctanh x) = arctanh a，其中a为任意实数。
2. 加减法则：对于两个极限，lim(f(x) + g(x)) = lim(f(x)) +lim(g(x))，lim(f(x) - g(x)) = lim(f(x)) - lim(g(x))。
该法则适用于两个函数极限的和或差的情况。
3. 乘法法则：对于两个函数极限的乘积，lim(f(x) * g(x)) =lim(f(x)) * lim(g(x))。
该法则适用于两个函数极限的乘积的情况。
4. 除法法则：对于两个函数极限的商，lim(f(x) / g(x)) =lim(f(x)) / lim(g(x))，其中lim(g(x)) ≠ 0。
极限的求解方法总结
极限的求解方法总结极限是数学中的重要概念，用来描述函数在其中一点逼近一些特定值的过程。
求解极限的方法有很多种，常见的方法包括直接代入法、夹逼准则、洛必达法则、级数展开法等。
下面将对这些方法进行总结。
1. 直接代入法：对于一些简单的极限问题，可以直接通过将自变量的值代入函数中计算得到极限的值。
例如，对于极限lim(x->2) (3x-1)，可以直接将x的值替换为2，计算出极限的值为52. 夹逼准则：夹逼准则是一种常用的证明极限存在的方法。
当一个函数f(x)在特定点x0的左右两侧有两个函数g(x)和h(x)夹住时，即g(x)<=f(x)<=h(x)，并且lim(x->x0) g(x) = lim(x->x0) h(x) = L，那么就可以得出lim(x->x0) f(x) = L。
这个准则同时适用于极限为实数和无穷大的情况。
3. 洛必达法则：洛必达法则是一种求解极限的常用方法，特别适用于遇到0/0或∞/∞的不定型。
洛必达法则的核心思想是利用导数的性质来简化极限的计算。
如果一个极限可以用洛必达法则求解，首先计算函数f(x)和g(x)的导数，然后计算导数的极限lim(x->x0) f'(x) / g'(x)，如果此极限存在，且不为无穷大，则lim(x->x0) f(x) / g(x) = lim(x->x0) f'(x) / g'(x)。
4.级数展开法：级数展开法是一种将复杂的函数用简单的级数来逼近的方法，常用于求解无穷小量的极限。
通过将函数展开成无穷级数的形式，并且当无穷级数收敛时，可以认为级数展开是原函数的近似解，在特定范围内与原函数相等。
通过计算级数的部分和求出极限的值。
以上方法并不是独立使用的，有些问题需要结合多种方法才能求解。
在实际应用中，根据具体的问题特点，选择合适的方法进行求解。
总之，求解极限是数学中的重要任务之一，需要掌握不同的求解方法，并根据具体情况选择合适的方法。
极限运算公式总结
极限运算公式总结极限运算是数学中一项重要的运算概念，它广泛应用于微积分、数学分析及其他相关领域中。
极限运算可以帮助我们研究函数和序列的性质，以及解决各种求解问题。
在极限运算中，有一些重要的公式和定理，它们可以帮助我们更方便地计算和理解极限。
本文将总结一些常用的极限运算公式，以供参考和学习。
一、基本极限运算公式：1. 常数函数极限：lim（c）=c，其中c为常数。
2. 单变量函数极限：lim（x→a）f（x）=L，其中x为自变量，a为趋向点，f(x)为函数，L为极限。
3. 数列极限：lim（n→∞）an=L，其中an为数列的第n项，L为极限。
4. 数列极限的唯一性：如果数列an的极限存在，则极限必唯一。
二、运算法则：1. 极限的四则运算法则：（1）和差法则：lim（x→a）[f（x）±g（x）]=lim（x→a）f （x）±lim（x→a）g（x）（2）积法则：lim（x→a）[f（x）·g（x）]= [lim（x→a）f （x} ·lim（x→a）g（x）]（3）商法则：lim（x→a）[f（x）/g（x）]= [lim（x→a）f （x} /lim（x→a）g（x）]（其中lim（x→a）g（x）≠0）2. 极限的乘方法则：（1）lim（x→a）[f（x）^n]= [lim（x→a）f（x}]^n（2）lim（x→a）[^n√f（x）]= ^n√[lim（x→a）f（x})]（其中n为整数）3. 极限的复合函数法则：（1）lim（x→a）f（g（x））= f（lim（x→a）g（x））（前提是f和g各自的极限都存在）（2）lim（x→∞）f（x）= lim（t→∞）f（t）（当x→∞等价于t→∞）4. 极限的夹逼准则：设函数f（x），g（x），h（x）在区间（a，b）上有定义且满足：f（x）≤ g（x）≤ h（x），对于x在（a，b）上的所有点成立；lim（x→a）f（x）= lim（x→a）h（x）=L，则lim（x→a）g（x）=L。
极限的计算方法总结归纳
极限的计算方法总结归纳“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。
下面为大家整理的是极限的计算方法总结，希望对大家有所帮助~1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。
全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。
2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。
首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。
对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0)。
3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。
4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母!!!看上去复杂,处理很简单!5、无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。
极限的计算方法总结
极限的计算方法总结“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。
下面为大家整理的是极限的计算方法总结，希望对大家有所帮助~1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。
全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。
2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。
首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。
对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0)。
3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。
4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母!!!看上去复杂,处理很简单!5、无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。
面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了!6、夹逼定理(主要对付的是数列极限!)这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
极限的计算方法总结
极限的计算方法总结“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。
下面为大家整理的是极限的计算方法总结，希望对大家有所帮助~1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。
全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。
2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。
首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。
对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0)。
3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。
4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母!!!看上去复杂,处理很简单!5、无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。
面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了!6、夹逼定理(主要对付的是数列极限!)这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
求极限的方法总结
求极限的几种常用方法一、 约去零因子求极限例如求极限limx→1x4-1x-1，本例中当x→1时，x-1→0，表明x 与1无限接近，但x≠1,所以x-1这一因子可以约去。
二、 分子分母同除求极限求极限limx→∞x3-x23x3+1∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
limx→∞x3-x23x3+1=limx→∞1-1x3+1x3=13三、 分子(母)有理化求极限例:求极限limx→∞(x3+3-x2+1)分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
()()()()131313lim 13lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x xx x x 0132lim 22=+++=+∞→x x x例：求极限limx→01+tanx -1+sinxx330sin 1tan 1lim x x x x +-+→=()x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim 30+++-→ =300sin tan lim sin 1tan 11lim x x x x x x x -+++→→=41sin tan lim 2130=-→x x x x 本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键。
四、 应用两个重要极限求极限(2)limx→∞(1+1x)x=limx→0(1+x)1x=e在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。
例：求极限limx→∞(x+1x-1)x第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑1+1x，最后凑指数部分。
limx→∞(x+1x-1)x=limx→∞(1+2x-1)x=limx→∞[1+1x-122x-1(1+ 2x-1)12]2=e2五、利用无穷小量的性质求极限无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。
这种方法可以处理一个函数极限不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。
极限计算方法总结[简洁版]
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极限计算方法总结（简洁版）一、极限定义、运算法则和一些结果1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。
说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且；5)13(lim 2=-→x x ；⎩⎨⎧≥<=∞→时当不存在，时当，1||1||0lim q q q nn ；等等（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。
2．极限运算法则定理 1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[（2）B A x g x f ⋅=⋅)()(lim（3）)0(,)()(lim成立此时需≠=B BAx g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
3．两个重要极限 （1） 1sin lim0=→xxx（2） e x xx =+→1)1(lim ； e x xx =+∞→)11(lim说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。
例如：133sin lim0=→xxx ，e x xx =--→210)21(lim ，e x x x =+∞→3)31(lim ；等等。
4．等价无穷小定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-xe 。
说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2x - ～ 2x -。
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极限计算方法总结（简洁版）一、极限定义、运算法则和一些结果1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。
说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且；5)13(lim 2=-→x x ；⎩⎨⎧≥<=∞→时当不存在，时当，1||1||0lim q q q nn ；等等（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。
2．极限运算法则定理 1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[（2）B A x g x f ⋅=⋅)()(lim（3）)0(,)()(lim成立此时需≠=B BAx g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
3．两个重要极限 （1） 1sin lim0=→xxx（2） e x xx =+→1)1(lim ； e x xx =+∞→)11(lim说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。
例如：133sin lim 0=→xx x ，e x x x =--→210)21(lim ，e x xx =+∞→3)31(lim ；等等。
4．等价无穷小定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-xe 。
说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2x - ～ 2x -。
定理4 如果函数)(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小，且)(x f ～)(1x f ，)(x g ～)(1x g ，则当)()(lim110x g x f x x →存在时，)()(lim 0x g x f x x →也存在且等于)(x f )()(lim 110x g x f x x →，即)()(limx g x f x x →=)()(lim 110x g x f x x →。
5．洛比达法则定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数)(x f 和)(x g 满足：（1）)(x f 和)(x g 的极限都是0或都是无穷大；（2）)(x f 和)(x g 都可导，且)(x g 的导数不为0； （3）)()(limx g x f ''存在（或是无穷大）； 则极限)()(lim x g x f 也一定存在，且等于)()(lim x g x f ''，即)()(lim x g x f =)()(lim x g x f '' 。
说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。
特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“00”型或“∞∞”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。
另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。
6．连续性定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果0x 是函数)(x f 的定义去间内的一点，则有)()(lim00x f x f x x =→ 。
7．极限存在准则定理7（准则1） 单调有界数列必有极限。
定理8（准则2） 已知}{,}{,}{n n n z y x 为三个数列，且满足： （1）),3,2,1(, =≤≤n z x y n n n（2） a y n n =∞→lim ，a z n n =∞→lim则极限∞→n n x lim一定存在，且极限值也是a ，即a x n n =∞→lim 。
二、求极限方法举例1． 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例1 1213lim1--+→x x x解：原式=43)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。
注：本题也可以用洛比达法则。
例2 )12(lim--+∞→n n n n解：原式=2311213lim12)]1()2[(lim=-++=-++--+∞→∞→nn n n n n n n nn 分子分母同除以。
例3 nn nn n 323)1(lim ++-∞→解：原式11)32(1)31(lim 3=++-=∞→nn n n上下同除以 。
2． 利用函数的连续性（定理6）求极限 例4 xx ex 122lim→解：因为20=x 是函数xex x f 12)(=的一个连续点，所以 原式=e e 42212= 。
3． 利用两个重要极限求极限 例5 203cos 1limx xx -→解：原式=61)2(122sin 2lim 32sin 2lim22022=⋅=→→x xx x x x 。
注：本题也可以用洛比达法则。
例6 xx x 20)sin 31(lim -→解：原式=6sin 6sin 31sin 6sin 310])sin 31[(lim )sin 31(lim ---→-⋅-→=-=-e x x xx xx xxx x 。
例7 nn n n )12(lim +-∞→ 解：原式=313311331])131[(lim )131(lim -+--+∞→+-⋅-+∞→=+-+=+-+e n n n nn n n nn n 。
4． 利用定理2求极限 例8 xx x 1sinlim20→ 解：原式=0 （定理2的结果）。
5． 利用等价无穷小代换（定理4）求极限例9 )arctan()31ln(lim 20x x x x +→解：)31ln(0x x +→时， ～x 3，)arctan(2x ～2x ， ∴原式=33lim2=⋅→xxx x 。
例10 xx e e xx x sin lim sin 0--→解：原式=1sin )sin (lim sin )1(lim sin 0sin sin 0=--=--→-→xx x x e x x e e x x x x x x 。
注：下面的解法是错误的：原式=1sin sin lim sin )1()1(lim 0sin 0=--=----→→xx xx x x e e x x x x 。
正如下面例题解法错误一样：0lim sin tan lim 3030=-=-→→xxx x x x x x 。
例11 xxx x sin )1sin tan(lim 20→解：等价与是无穷小，时，当xx x x x x x 1sin )1sin tan(1sin 0222∴→ ， 所以， 原式=01sin lim 1sinlim020==→→xx x x x x x 。
（最后一步用到定理2）6． 利用洛比达法则求极限说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。
同时，洛比达法则还可以连续使用。
例12 203cos 1limxxx -→（例4） 解：原式=616sin lim 0=→x x x 。
（最后一步用到了重要极限）例13 12coslim1-→x xx π 解：原式=212sin2lim1πππ-=-→xx 。
例14 3sin limxx x x -→ 解：原式=203cos 1limxx x -→=616sin lim 0=→x x x 。
（连续用洛比达法则，最后用重要极限） 例15 xx x x x x sin cos sin lim20-→ 解：313sin lim 3)sin (cos cos limcos sin lim202020==--=⋅-=→→→xx x x x x x x x x x x x x x x 原式例18])1ln(11[lim 0x x x +-→ 解：错误解法：原式=0]11[lim 0=-→xx x 。
正确解法：。
原式21)1(2lim 2111lim )1ln(lim)1ln()1ln(lim0000=+=-+=⋅-+=+-+=→→→→x x x x x x x xx x x x x x x x x应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。
例19 xx x x x cos 3sin 2lim+-∞→解：易见：该极限是“”型，但用洛比达法则后得到：x x x sin 3cos 21lim --∞→，此极限不存在，而原来极限却是存在的。
正确做法如下：原式=xx xxx cos 3sin 21lim +-∞→ （分子、分母同时除以x ）=31 （利用定理1和定理2）7． 利用极限存在准则求极限 例20 已知),2,1(,2,211=+==+n x x x n n ，求n n x ∞→lim解：易证：数列}{n x 单调递增，且有界（0<n x <2），由准则1极限n n x ∞→lim 存在，设 a x n n =∞→lim 。
对已知的递推公式 nn x x +=+21两边求极限，得：aa+=2，解得：2=a或1-=a （不合题意，舍去）。
所以 2lim =∞→n n x 。
例21 )12111(lim 222nn n n n ++++++∞→解： 易见：11211122222+<++++++<+n n nn n n nn n因为 1lim 2=+∞→nn n n ，11lim2=+∞→n n n所以由准则2得：1)12111(lim 222=++++++∞→nn n n n 。
上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。
另外，求极限还有其它一些方法，如用定积分求极限等，由于不常用，这里不作介绍。
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