一元一次不等式的含参问题
含参不等式
含参不等式知识互联网题型一：不等式（组）的基本解法典题精练【例1】 ⑴解不等式31423x x x +--+≤.⑵解不等式组12(1)532122x x x --⎧⎪⎨-<+⎪⎩≤，并在数轴上表示出解集⑶求不等式组2(2)43251x x x x --⎧⎨--⎩≤＜的整数解⑷解不等式组32215x x -<-<⑸解不等式组253473x x -<⎧⎪-⎨>⎪⎩（2012年朝阳一模）题型二：含参数的不等式（组）思路导航对于含参不等式，未知数的系数含有字母需要分类讨论：如不等式ax b <，例题精讲【引例】⑴关于x 的一次不等式组x ax b >⎧⎨<⎩无解集，则a ，b 的大小关系是 ．⑵关于x 的一次不等式组x ax b <⎧⎨<⎩的解集是x b <，则a ，b 的大小关系是 ．⑶关于x 的一次不等式组x ax b >⎧⎨<⎩的解集是a x b <<，则a ，b 的大小关系是 ．⑷关于x 的一次不等式组x ax b ⎧⎨⎩≥≤的解集是a x b ≤≤，则a ，b 的大小关系是 ．典题精练【例2】 解关于x 的不等式：⑴+2a x b > ⑵13kx +>⑶132kx x +>- ⑷36mx nx +<--⑸()212m x +< ⑹()25n x --<【例3】 ⑴不等式()123x m m ->-的解集与2x >的解集相同，则m 的值是 ．⑵关于x 的不等式2x a -≤-1的解集如图所示，则a 的值为 .⑶ 关于x 的不等式5ax >的解集为52x <-，则参数a 的值 .⑷ ①若不等式组3x x a >⎧⎨>⎩的解集是x a >，则a 的取值范围是 .②若不等式组3x x a >⎧⎨⎩≥的解集是x a ≥，则a 的取值范围是 .A ．3a ≤B ．3a =C ．3a >D ．3a ≥（北京二中期中考试）⑸已知关于x 的不等式组232x a x a +⎧⎨-⎩≥≤无解，则a 的取值范围是 ．⑹已知关于x 的不等式组>053x a x -⎧⎨-⎩≥无解，则a 的取值范围是 ．【例4】 ⑴ 已知关于x 的不等式组0521≥x a x -⎧⎨->⎩只有四个整数解，则实数a 的取值范围是 ．⑵ 如果关于x 的不等式50x m -≤的正整数解只有4个，那么m 的取值范围是（ ） A ．2025m <≤ B ．2025m <≤ C ．25m < D ．20m ≥（北京五中期中考试）题型三：复杂的不等式（组）思路导航对于复杂的不等式可采用整体思想，例如，此时不必去括号可直接把2x +看成一个整体去解. 典题精练 解下列不等式：【例5】⑴ >2x ⑵ 3x ≤ ⑶ 14≤x -【例6】 解不等式⑴123≤≤x + ⑵235≥x x -++真题赏析【例7】 已知2310a x -+=，32160b x --=，且4a b <≤，求x 的取值范围．复习巩固题型一 不等式（组）的基本解法 巩固练习【练习1】 不等式组331482x x x +>⎧⎨--⎩≤的最小整数解是( )A ．0B ．1C ．2D ．－1题型二 含参数的一元一次不等式（组） 巩固练习【练习2】 、a b 为参数，解不等式153bax x -<-+【练习3】⑴若不等式(2)2a x a-<-的解集在数轴上表示如图所示，则a的取值范围是.⑵若不等式组213xx a-<⎧⎨<⎩的解集是2x<，则a的取值范围是．⑶如果关于x的不等式组230≥≤xx m-⎧⎨⎩无解，则m的取值范围是.【练习4】⑴关于x的不等式组1532223xxxx a+⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩只有4个整数解，则a的取值范围是（）．A.1453a--≤≤ B.1453a-<-≤ C.145<3a--≤D．1453a-<<-⑵已知关于x的不等式组321≥x ax-⎧⎨->-⎩的整数解有5个，则a的取值范围是 .题型三复杂的不等式（组）巩固练习【练习5】解下列不等式：135x<-<。
含参不等式题型知识讲解
含参不等式题型一、给出不等式解的情况，求参数取值范围：总结：给出不等式组解集的情况，只能确定参数的取值范围。
记住：“大小小大有解；大大小小无解。
”注：端点值格外考虑。
1：已知关于x 的不等式组3x x a>-⎧⎨<⎩。
(1)若此不等式组无解，求a 的取值范围，并利用数轴说明。
(2)若此不等式组有解，求a 的取值范围，并利用数轴说明2：如果关于x 的不等式组x a x b >⎧⎨<⎩无解，问不等式组11y a y b +≥⎧⎨+≤⎩的解集是怎样的?3、若关于x 的不等式组()202114x a x x->⎧⎪⎨+>-⎪⎩的解集是x>2a,则a 的取值范围是 。
4、已知关于x 的不等式组2113x x m-⎧>⎪⎨⎪>⎩的解集为2x >，则( ).2.2.2.2A m B m C m D m ><=≤5、关于x 的一元一次不等式组x a x b >⎧⎨>⎩的解集是x>a,则a 与b 的关系为( ) ...0.0A a b B a bC a bD a b ≥≤≥>≤< 6、若关于x 的不等式组841x x x m +-⎧⎨⎩的解集是x ＞3，则m 的取值范围是 7、若关于x 的不等式组8x x m<⎧⎨>⎩，有解，则m 的取值范围是__ ___。
8、若关于x 的不等式组⎩⎨⎧->+<121m x m x 无解，则m 的取值范围是 。
二、给出不等式解集，求参数的值总结：给出不等式组确切的解集，可以求出参数的值。
方法：先解出含参的不等式组中每个不等式的解集，再利用已知解集与所求解集之间的对应关系，建立方程。
1：若关于x 的不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩的解集为11x -<<，求()()11a b +-的值。
2：已知关于x 的不等式组()324213x x a x x --≤⎧⎪⎨+>-⎪⎩的解集是13x ≤<，求a 的值。
七年级数学下册题型突破提高类型八 一元一次不等式含参解集
类型八、一元一次不等式含参解集【解惑】若关于 x 的不等式ax b >的解集是25x <，则关于x 的不等式(2)0a b x a -+≥的解集是 ___________．方法：1.由关于x 的不等式ax b >的解集是25x <知a<0；2.且25b a =，即25b a =；3.据此将不等式(2)0a b x a -+≥变形为105ax a +≥，再移项、系数化为1即可．【融会贯通】1．在实数范围内规定新运算“▲”，其规则是：2a b a b =-+▲，例如：232231=-⨯+=-▲．已知不等式2x k ≥▲的解集在数轴上如图所示，则k 的值是（ ）A ．2B ．－3C ．6D ．－42．关于x 的不等式ax b c +>的解集为x <3，则关于x 的不等式()2a x b c -+>的解集为（ ） A ．3x <B ．3x >C ．5x <D ．1x <3．不等式0ax b +>的解集为12x <，则关于x 的不等式bx a <的解集为________． 【知不足】1．已知a ，b 为常数，若ax ＋b ＞0的解集为x ＜15，则bx －a ＜0的解集是（ ）A ．x ＞－5B ．x ＜－5C ．x ＞5D ．x ＜52．若关于x 的不等式0mx n ->的解集是14x <，则关于x 的不等式nx n m mx ->+的解集是（ ） A ．53x <-B ．53x >-C ．53x <D ．53x >3．若不等式(2a －b )x ＋3a －4b ＜0的解集是x ＞94，则不等式(a －4b )x ＋2a －3b ＞0的解集是_____．4．若x =3，y =b ；x =a ，y =112都是关于x ，y 的方程3x -2y =c 的解，且3a -2b =2c 2+2c -10，则关于x 的不等式c 2x -3a ＞10x +2b的解集是______________．【一览众山小】1．若关于x 的不等式mx ﹣n ＞0的解集为x ＜2，则关于x 的不等式（m +n ）x ＞m ﹣n 的解集是（ ） A ．x<13B ．x>13C ．x<-13D ．x>-132．设a ，b 是常数，不等式10xa b +>的解集为14x <，则关于x 的不等式0-<bx a 的解集是________． 3．已知4x =是关于的方程0(0,0)kx b k b +=≠>的解，则关于x 的不等式(3)0k x b -+>的解集是_______． 4．已知关于x 的一元一次不等式20212021xa x +>的解集为2021x <，那么关于y 的一元一次不等式12021(1)2021yy a -<-+的解集为___________． 5.已知不等式0.40.90.030.020.50.032x x x m++-->的解集为9x <，求m 的值． 【温故为师】1．已知关于x 的不等式ax ＋b ＞0的解集为13x <，则不等式bx ＋a ＜0的解集是______________．2．已知3x =是关于x 的方程0mx n +=（m ≠0，n ＞0）的解， 则关于x 的不等式(3)20m x n -+>的解集是_____． 3．关于x 的不等式()321a x -<的解集是132x a>-，则a 的取值范围是_____． 4．关于x 的不等式(2)2a b x a b ->-的解集是52x <，求关于x 的不等式0ax b +<的解集． 5．已知不等式6x ﹣1＞2(x +m )﹣3 (1)若它的解集与不等式52x -+1＜x +3的解集相同，求m 的值； (2)若它的解都是不等式52x -+1＜x +3的解，求m 的取值范围． 6．已知关于x 的不等式155a xa x -<-． (1)当a ＝2022时，求此不等式解集． (2)a 为何值，该不等式有解，并求出其解集．7．我们定义，关于同一个未知数的不等式A 和B ，两个不等式的解集相同，则称A 与B 为同解不等式．(1)若关于x 的不等式A ：130x ->，不等式B ：312x a+<是同解不等式，求a 的值； (2)若关于x 的不等式C ：1x mn +>，不等式D ：3x m ->是同解不等式，其中m ，n 是正整数，求m ，n 的值； (3)若关于x 的不等式P ：(2)340a b x a b -+-<，不等式Q ：1417222x x ->-是同解不等式，试求关于x 的不等式(4)230a b x a b -+-<的解集．8．已知关于x 的不等式()3a b x a b +>-的解集为53x <- ，求关于x 的一元一次不等式0bx a ->的解集．答案与解析【融会贯通】1．在实数范围内规定新运算“▲”，其规则是：2a b a b =-+▲，例如：232231=-⨯+=-▲．已知不等式2x k ≥▲的解集在数轴上如图所示，则k 的值是（ ）A ．2B ．－3C ．6D ．－42．关于x 的不等式ax b c +>的解集为x <3，则关于x 的不等式()2a x b c -+>的解集为（ ） A ．3x <B ．3x >C ．5x <D ．1x <3．不等式0ax b +>的解集为12x <，则关于x 的不等式bx a <的解集为________． 【答案】2x <-##2x ->【详解】解：0ax b +>，得ax b >-，不等式0ax b +>的解集为12x <， a 2a 【知不足】1．已知a ，b 为常数，若ax ＋b ＞0的解集为x ＜15，则bx －a ＜0的解集是（ ）A ．x ＞－5B ．x ＜－5C ．x ＞5D ．x ＜5【详解】 2．若关于x 的不等式0mx n ->的解集是14x <，则关于x 的不等式nx n m mx ->+的解集是（ ）A ．5x <-B ．5x >-C ．5x <D ．5x >3．若不等式(2a －b )x ＋3a －4b ＜0的解集是x ＞9，则不等式(a －4b )x ＋2a －3b ＞0的解集是_____．4．若x =3，y =b ；x =a ，y =112都是关于x ，y 的方程3x -2y =c 的解，且3a -2b =2c 2+2c -10，则关于x 的不等式c 2x -3a ＞10x +2b的解集是______________．23【一览众山小】1．若关于x 的不等式mx ﹣n ＞0的解集为x ＜2，则关于x 的不等式（m +n ）x ＞m ﹣n 的解集是（ ） A ．x<13B ．x>13C ．x<-13D ．x>-132．设a ，b 是常数，不等式10x a b +>的解集为14x <，则关于x 的不等式0-<bx a 的解集是________． 【答案】14x <-##x ＜-0.25【详解】解：10x a b+>，1,x ab 而解集为14x <， ,a xb 且1,4a b 10,4a b 0,b bx ，,bx a,axb即1,4x 3．已知4x =是关于的方程0(0,0)kx b k b +=≠>的解，则关于x 的不等式(3)0k x b -+>的解集是_______．【答案】7x <【详解】解：∵x =4是关于x 的方程kx +b =0（k ≠0，b ＞0）的解， ∴4k +b =0， 即b =-4k ＞0， ∴k ＜0， ∵k （x -3）+b ＞0， ∴kx -3k -4k ＞0， ∴kx ＞7k ， ∴x ＜7， 4．已知关于x 的一元一次不等式20212021xa x +>的解集为2021x <，那么关于y 的一元一次不等式12021(1)yy a -<-+的解集为___________． 【详解】解： 5.已知不等式0.40.90.030.020.50.032x x x m++-->的解集为9x <，求m 的值． ，不等式【温故为师】1．已知关于x 的不等式ax ＋b ＞0的解集为1x <，则不等式bx ＋a ＜0的解集是______________．2．已知3x =是关于x 的方程0mx n +=（m ≠0，n ＞0）的解， 则关于x 的不等式(3)20m x n -+>的解集是_____． 【答案】9x <．【详解】解：∵3x =是关于x 的方程0mx n +=的解，∴30m n +=，即3n m =- ， ∵n ＞0，∴0m < ，∴关于x 的不等式(3)20m x n -+>可化为： ()(3)230-+⨯->m x m ， ∵0m < ，∴不等式两边同时除以m ，得：360--<x ，解得：9x < ． 3．关于x 的不等式()321a x -<的解集是132x a>-，则a 的取值范围是_____． 【详解】解：()32a x -4．关于x 的不等式(2)2a b x a b ->-的解集是52x <，求关于x 的不等式0ax b +<的解集． 【详解】解：不等式(2该不等式的解集为是5．已知不等式6x ﹣1＞2(x +m )﹣3 (1)若它的解集与不等式52x -+1＜x +3的解集相同，求m 的值； (2)若它的解都是不等式5x -+1＜x +3的解，求m 的取值范围．6．已知关于x 的不等式155a xa x -<-． (1)当a ＝2022时，求此不等式解集． (2)a 为何值，该不等式有解，并求出其解集．7．我们定义，关于同一个未知数的不等式A 和B ，两个不等式的解集相同，则称A 与B 为同解不等式． (1)若关于x 的不等式A ：130x ->，不等式B ：312x a+<是同解不等式，求a 的值； (2)若关于x 的不等式C ：1x mn +>，不等式D ：3x m ->是同解不等式，其中m ，n 是正整数，求m ，n 的值； (3)若关于x 的不等式P ：(2)340a b x a b -+-<，不等式Q ：1417222x x ->-是同解不等式，试求关于x 的不等式(4)230a b x a b -+-<的解集．8．已知关于x 的不等式()3a b x a b +>-的解集为53x <- ，求关于x 的一元一次不等式0bx a ->的解集．。
一元一次不等式含参问题
一元一次不等式含参问题一元一次不等式含参问题类型一：根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围。
例1：已知不等式组begin{cases}4x+2>3(x+a)\\2x>3(x-2)+5\\5x+2>3(x-1)end{cases}有3个整数解，则$m$的取值范围是什么？变式练1：已知不等式组，如果有3个整数解，则$m$的取值范围是什么？变式练2：已知关于$x$的不等式组，如果解集为$x>3$，则$a$的取值范围是什么？变式练3：已知关于$x$的不等式组begin{cases}4x+2>3(x+a)\\2x>3(x-2)+5\\5x+2>3(x-1)end{cases}如果只有4个整数解，则实数$a$的取值范围是什么？变式练4：已知关于$x$的不等式组begin{cases}3x\leq 8-x+2a\\22a\leq xend{cases}如果仅有4个整数解，则实数$a$的取值范围是什么？类型二：根据不等式组的解集确定字母的取值范围。
例2：已知关于$x$的不等式组无解，则$a$的取值范围是什么？变式练1：若关于$x$的不等式组有解，则实数$a$的取值范围是什么？变式练2：若不等式组的解集为$x>3$，则$a$的取值范围是什么？变式练3：若关于$x$的不等式组的解集为$x<2$，则$a$的取值范围是什么？变式练4：已知不等式组无解，则$a$的取值范围是什么？类型三：根据未知数解集或者未知数间的关系确定字母的取值范围。
例3：已知方程组begin{cases}2x+y=1+3m\\x+2y=1-mend{cases}满足$x+y<2$，求$m$的取值范围。
变式练1：若关于$x,y$的二元一次方程组begin{cases}x+2y=4k\\2x+y=2k+1end{cases}的解满足$x+y<1$，则$a$的取值范围是什么？变式练2：已知关于$x$的不等式$1-a)x>3$的解集为$x<2$，则$a$的值为多少？变式练3：若不等式$3m-2x3$，则实数$m$的值为多少？变式练4：若不等式组的解集为$3\leq x\leq 4$，则不等式$ax+b<0$的解集为什么？综合练：1.关于$x$的一元一次不等式$7x-14\leq 0$的解集是什么？A。
人教版初中数学七年级下册第9章一元一次不等式(组)含参专题——有、无解问题(专题课)教案
人教版初中数学七年级下册第九章一元一次不等式（组）含参专题——有、无解问题（专题课）教案核心素养：1.使学生加深对一元一次不等式组和它的解集的理解，会用数轴确定含参数的一元一次不等式组的参数范围；2.培养学生探究、独立思考的学习习惯，感受数形结合的作用，熟悉并掌握数形结合的思想方法，提高分析问题和解决的能力；3.提升学生之间合作与交流以及对问题的探讨能力，从中发现数学的乐趣.【教学重难点】重点：含参一元一次不等式组的分类解法难点：1.一元一次不等式中字母参数的讨论2.一元一次不等式中运用数轴分析参数的范围【教学过程】1.问题引导 合作交流出示问题：请同学们解下列两个不等式（1）x-2m<0，（2）x+m ＞3并思考m 的取值范围. 同学们不难得出不等式（1）的解为x ＜2m ；（2）的解为x ＞3-m.引导分析m 的取值范围. 师引导，生回答：任意实数.[问题1]如果将上述两个不等式联立成不等式组⎩⎨⎧>+<-302m x m x ,你能确定不等式组的解集吗？ 师提示学生画数轴 ，问：能画几种情况[问题2]如果这个不等式组无解，你能确定m 的取值范围吗？（学生分组讨论）（借助数轴）师生一起分析：如果不等式组无解，则2m ＜3-m ，解得m ＜1。
确定一下“＜”要不要添加“=”（这是参数取值问题中的难点）学生借助数轴讨论.师生总结：2m 和3-m 在两个不等式的解中都不包含，所以2m 可以等于3-m ，即m ≤1.2.变式拓展 强化理解变式1：若不等式组⎩⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅>+⋅⋅⋅≤-②①302m x m x 无解，这时m 的取值会有变化吗？解不等式①得x ≤2m 解不等式②得x ＞3-m（学生分组探究）引导：虽然第一个不等式“＜”改成“≤”通过数轴可以看到由于和第二个不等式的解集不包含3-m ，所以2m ≤3-m ，m 的取值范围仍然是m ≤1.变式2：如果不等式组变化为⎩⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅≥+⋅⋅⋅≤-②①302m x m x ，这时m 的取值又会有改变吗？（学生分组探究）由于两个不等式都含有等号，这时2m 和3-m 可能是公共点，而要想使不等式组无解，2m 和3-m 不能重合，只能2m ＜3-m ，所以m 不能等于1，即m ＜1.3.问题反转[问题3]如果不等式组⎩⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅≥+⋅⋅⋅≤-②①302m x m x 有解，怎样确定 m 的取值范围？把两个不等式的解集在数轴上表示出，同学们观察数轴 ，不难得出要想使不等式组有解，只要2m ≥3-m ，即m ≥1这样两个不等式的解集有公共部分，不等式组有解，所以m 的取值范围m ≥14.方法小结 归纳步骤解含参一元一次不等式（组）有、无解问题时注意掌握四个步骤:一解 .解不等式组，用参数分别表示出两个不等式的解集；二画.借助数轴进行视觉观察，画出有无解的情况；三验：验证端点取舍判断等号是否可取；四：列出不等式，确定取值范围5，拓展演练 题型再变[问题4]下面这种类型的一元一次不等式组如何确定字母参数取值范围？例：已知不等式组⎩⎨⎧⋅⋅⋅-<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥-②①22-10x x a x 的解集是x ＞1，求a 的取值范围？学生分组解出每个不等式的解集：解①得：x ≥a 解②得：x ＞1因为不等式的解集是x ＞1，（学生分组探讨）：a 的位置在数轴上应该在哪个位置？ 分析得出：a 在数轴上的位置应该在1的左侧.把不等式组的解集在数轴上表示出来：即a ＜1，[思考3]a 可不可以等于1？因为a=1时不等式组的解集仍然是x ＞1.所以a 可以等于1，即a 的取值范围a ≤15.基础过关1.若不等式组⎩⎨⎧≤≥-m x x 062 无解，求m 的取值范围? 2.若不等式组⎩⎨⎧>+<--xx a x x 422)2(3有解，求a 的取值范围?3.若不等式组⎩⎨⎧+>+<+1137m x x x 的解集是x ＞3，求m 的取值范围?。
一元一次不等式组含参问题
一元一次不等式组含参问题一元一次不等式组含参问题是指在一元一次不等式组中引入一个或多个参数，求解参数使得不等式组成立或不成立的问题。
解决这类问题的一般方法是通过对参数的取值范围进行讨论，将不等式系统转化为关于参数的方程或不等式，然后解方程或不等式来确定参数的取值范围。
下面通过几个例子来说明如何解决一元一次不等式组含参问题。
【例1】求参数m的取值范围，使得不等式组 3x - 2 < mx + 1和 2x + 3 < 4m + 1 同时成立。
解：首先，我们可以通过将不等式组化简来得到关于参数m的方程组，然后解方程来确定参数的范围。
将不等式组化简得到：3x - mx < 3 + 2 和 2x - 4m < -2。
化简后的不等式组可以写成关于参数m的方程组：3 - m > 0和 -4m - 2 < 2x。
解这个方程组可以得到参数m的取值范围。
对不等式3 - m > 0，我们可以将m移到左边得到m < 3。
因此，参数m的取值范围是m < 3。
这是因为当m小于3时，不等式3 - m > 0成立。
对于不等式-4m - 2 < 2x，我们可以将m移到右边得到2x > -4m - 2，再除以2得到x > -2m - 1。
这说明在参数m小于3时，也必须满足x > -2m - 1，才能使得不等式组成立。
综上所述，参数m的取值范围是m < 3，并且在这个范围内，x > -2m - 1。
【例2】求参数a的取值范围，使得不等式组 2x + a - 1 < 3 和5 - 3x < 2a 同时成立。
解：首先，我们可以通过将不等式组化简来得到关于参数a的方程组，然后解方程来确定参数的范围。
化简不等式组得到：a + 2x < 4 和 3x + 5 < 2a。
化简后的不等式组可以写成关于参数a的方程组：a - 4 < -2x和 2a - 3x > 5。
2023浙教版八上数学期末专题复习 含参一元一次不等式专练
含参一元一次不等式专练一、选择题1.已知关于x 的不等式(4)4a x a -<-的解集为1x <-，则a 的取值范围是（ ） A ．4a >B ．4a ≠C ．4a <D ．4a2．已知不等式组2＜x ﹣1＜4的解都是关于x 的一次不等式3x ≤2a ﹣1的解，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≤5B ．a ＜5C ．a ≥8D ．a ＞83．不等式组3x x a >⎧⎨>⎩的解是x ＞a ，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＜3B ．a =3C ．a ＞3D ．a ≥34．不等式组53351x x x a -<+⎧⎨<+⎩的解集为4x <，则a 满足的条件是（ ）A ．a 3<B ．3a =C ．3a ≤D ．3a ≥5．若不等式组有解，则a 的取值范围是（ ） A ．a≤﹣2B ．a≥﹣2C ．a ＜﹣2D ．a ＞﹣26.已知关于x 的不等式21x m x -<-的正整数解是1，2，3，则m 的取值范围是（ ） A ．34m <B ．34m <C ．811m <D ．811m <7．整数a 使得关于x 的不等式组6202()3x x a x ->⎧⎨+≥+⎩至少有4个整数解，且关于y 的方程1﹣3（y ﹣2）＝a有非负整数解，则满足条件的整数a 的个数是（ ） A ．6个B ．5个C ．3个D ．2个8．已知关于x 、y 的二元一次方程组32121399x y a x y a +=--⎧⎪⎨-=+⎪⎩的解满足x y ≥，且关于s 的不等式组731a s s -⎧>⎪⎨⎪≤⎩恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a 的个数为（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．关于x 的不等式组3420x ax -<⎧⎨->⎩有3个正整数解，且关于x 方程2x ﹣a ＝2有整数解，则满足条件的所有整数a 的值之和为（ ） A ．25B ．26C ．27D ．3910．如果关于x的不等式组2030x ax b-≥⎧⎨-≤⎩的整数解仅有2x=、3x=，那么适合这个不等式组的整数a、b组成的有序数对(,)a b共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个11．如果关于x的方程ax﹣3（x+1）＝1﹣x有整数解，且关于y的不等式组31252130ya y+⎧≤⎪⎨⎪+-≤⎩有解，那么符合条件的所有整数a的个数为（）A．3B．4C．5D．612．有两个正数a，b，且a＜b，把大于等于a且小于等于b的所有数记作[a，b]．例如，大于等于1且小于等于4的所有数记作[1，4]．若整数m在[5，15]内，整数n在[﹣30，﹣20]内，那么的一切值中属于整数的个数为（）A．6个B．5个C．4个D．3个二、填空题13.若不等式组x bx a-<⎧⎨+>⎩的解集为23x-<<．则关于x、y的方程组521ax yx by+=⎧⎨-=⎩的解为_____________．14．已知关于x、y的二元一次方程组253x y ax y a+=⎧⎨-=+⎩的解满足x＞y，且关于x的不等式组213147212xx a-⎧≥⎪⎨⎪+⎩＜无解，那么所有符合条件的整数a的和为_____．15．若不等式组240xx m->⎧⎨<⎩无解，则m的取值范围是______．16．一个三角形的三边长均为整数．已知其中两边长为3和5，第三边长x是不等式组212357213x xx x⎧-+⎪⎨⎪->+⎩的正整数解．则第三边的长为：______．17．已知不等式组32,152,33x a xx x+<⎧⎪⎨-<+⎪⎩有解但没有整数解，则a的取值范围为_____．18．关于x的不等式组1(25)131(3)2x xx x a⎧+>+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩的所有整数解的和为﹣5，则a的取值范围是_____．nm19．关于x 的不等式组23112x a x x -+<⎧⎪⎨-+⎪⎩恰有3个整数解，则a 的取值范围是_______．20．定义：把的值叫做不等式组的“长度”若关于的一元一次不等式组解集的“长度”为3，则该不等式组的整数解之和为______．21．对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如，．若，则实数的取值范围是__________．22．对于实数x ，y 规定“x △y ＝ax ﹣by （a ，b 为常数）”．已知2△3＝4，5△（﹣3）＝3（1）a +b ＝___．（2）已知m 是实数，若2△（﹣m ）≥0，则m 的最大值是 ___． 三、解答题23．关于x 、y 的方程组731x y a x y a +=+⎧⎨-=+⎩的解满足0x <，0y >．求a 的取值范围．24．对，定义一种新运算（中，均为非零常数）．例如：；已知，．（1）求，的值；（2）若关于的不等式组恰好只有个整数解，求的取值范围．25．阅读下面的材料：对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如：．根据上面的材料回答下列问题：（1）______；（2）当时，求x 的取值范围．b a -a x b ≤≤x 0230x a x a +≥⎧⎨-+≤⎩x ()x n 0.50.5n x n -≤<+()x n =()1.341=()4.865=()0.516x -=x x y (,)()(3)F x y ax by x y =++a b (1,1)44F a b =+(3,1)0F =(0,1)9F =-a b F (31,)(6,12)27F t t kF t t +≥⎧⎨-<⎩1k ,a b min{,}a b a b <min{,}a b a =a b min{,}a b b =min{4,2}2,min{5,5}5-=-=min{1,3}-=2322min ,233x x x -++⎧⎫=⎨⎬⎩⎭26．如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如方程的解为，不等式组的解集为，因为2＜3＜5，所以，称方程为不等式组的关联方程．（1）若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是__________________（写一个即可）。
第03讲 含参数一元一次不等式(组)(教师版)A4
含参数一元一次不等式（组）含参数一元一次不等式（组）一．含参一元一次不等式（组）含字母系数的一次不等式（组）：未知数的系数含有字母或常数项含有字母一次不等式（组）． 任何一个含有字母系数的一元一次不等式都可以化为ax b >的一般形式，在这个形式中：若0a >，那么ax b >的解为b x a >；若0a <，那么ax b >的解为b x a<；若0a =，则当0b ≥时，ax b >无解，当0b <时，ax b >的解为任何实数．一．考点：含参的一元一次方程（组）．二．重难点：参数与解集之间的关系，整数解问题，不等式与方程综合．三．易错点：注意参数取值范围导致的变号问题．知识图谱知识精讲三点剖析题模精讲题模一：解含参一元一次不等式（组）例1.1.1 已知23a ≠，解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<-- 【答案】 当23a >时，不等式的解为523x a <-；当23a <时，不等式的解为523x a >- 【解析】 原不等式化为：()()13214a x a x +--<-- ()325a x -<-，因为23a ≠，所以320a -≠，即32a -为正数或负数.（1）当320a ->时，即23a >时，不等式的解为523x a <-；（2）当320a -<，即23a <时，不等式的解为523x a >- 例1.1.2 解下列关于x 的不等式组：()23262111x a x x x +⎧->⎪⎨⎪+>-⎩；【答案】 13a >时，32x a >+；13a ≤时，3x > 【解析】 原不等式组可化为323x a x >+⎧⎨>⎩． 当323a +>，即13a >时，不等式组的解集为32x a >+． 当323a +≤，即13a ≤时，不等式组的解集为3x > 题模二：参数与解集之间的关系例1.2.1 例若关于x 的不等式组3(2)224x x a x x --<⎧⎪⎨+>⎪⎩有解，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】 4a >【解析】 由3(2)2x x --<得2x >，由24a x x +>得12x a <，因为不等式组有解，所以122a >，解得4a >．题模三：整数解问题例1.3.1 已知关于x 的不等式40x a -≤只有四个正整数解1、2、3、4，求正数a 的取值范围．【答案】 1620a ≤<【解析】 解不等式得4a x ≥又因为有且只有4个正整数解，故45a <⨯且44a ≥⨯1620a ∴≤<例1.3.2 已知不等式组221x a x b ->⎧⎨+<⎩的整数解只有5、6，求a 和b 的范围 【答案】 23a ≤<，1315b <≤【解析】 解不等式组得212x a b x >+⎧⎪⎨-<⎪⎩，因为整数解只有5、6，所以425a ≤+<，1672b -<≤，故23a ≤<，1315b <≤．题模四：不等式与方程的综合例1.4.1 已知2310a x -+=，32160b x --=，且4a b ≤≤，求x 的取值范围．【答案】 23x -≤≤【解析】 由2310a x -+=可得312x a -=，由32160b x --=可得2163x b +=，又因为4a b ≤≤，所以31216423x x -+≤≤，解得23x -≤≤．例1.4.2 求使方程组24563x y m x y m +=+⎧⎨+=+⎩的解x 、y 都是正数的m 的取值范围． 【答案】 572m << 【解析】 解原方程组得725x m y m =-+⎧⎨=-⎩，由x 、y 都是正数可得70250m m -+>⎧⎨->⎩，解得572m <<例 1.4.3 已知非负数x 、y 、z 满足123234x y z ---==，设345w x y z =++，求w 的最大值与最小值．【答案】 最大值1063，最小值19 【解析】 设123234x y z k ---===，则21x k =+，23y k =-，43z k =+，所以1426w k =+，又因为x 、y 、z 都是非负数，所以210230430k k k +≥⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩，解得1223k -≤≤，当23k =时，w 取最大值1063，当12k =-时，w 取最小值19随堂练习随练1.1 已知不等式424233x x a +<-（x 是未知数）的解也是不等式12162x -<的解，求a 的取值范围．【答案】 7a ≥-【解析】 由12162x -<得1x >-，由424233x x a +<-得6x a >+，由题意得61a +≥-，故7a ≥- 随练1.2 若关于x 的不等式0mx n ->的解集是15x <，则关于x 的不等式()m n x n m +>-的解集是（ ） A ． 23x <- B ． 23x >- C ． 23x < D ． 23x > 【答案】A 【解析】 该题考查的是含参的不等式．∵关于x 的不等式0mx >的解集是15x <，， ∴0m <，15n m =， ∴解关于x 的不等式()m n x n m +>-得，n m x n m -<+， ∴55253n x n n -<=-+， 故答案是A ．随练1.3 已知a 、b 为常数，解关于x 的不等式22ax x b ->+ 【答案】2a >时，()212b x a +>- 2a <时，()212b x a +<-2a =时，①如果10b +≥，不等式无解；②如果10b +<，则不等式的解为任何实数【解析】 原不等式可化为()()221a x b ->+，（1）当20a ->，即2a >时，不等式的解为()212b x a +>-； （2）当20a -<，即2a <时，不等式的解为()212b x a +<-；（3）当20a -=，即2a =时，有①：如果10b +≥，不等式无解；②如果10b +<，则不等式的解为任何实数．随练1.4 当k 满足___________时，方程组24x y k x y +=⎧⎨-=⎩中x 大于1，y 小于1 【答案】 13k -<<【解析】 由24x y k x y +=⎧⎨-=⎩可得22x k y k =+⎧⎨=-⎩，所以2121k k +>⎧⎨-<⎩，解得13k -<<． 随练1.5 若关于x 的不等式423202x x x a ++⎧>⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩的解集为x ＜2，则a 的取值范围是____． 【答案】 a≤-2【解析】 本题考查了不等式的性质、解一元一次不等式（组）的应用，关键是能根据不等式的解集得出关于a 的不等式，题目比较好，难度不大．根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律得出-a≥2，求出即可． 423202x x x a ++⎧>⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩①②， 解不等式①得：x ＜2，解不等式①得：x ＜-a ，①不等式组的解集是x ＜2，①-a≥2，①a≤-2，故答案为：a≤-2随练1.6 已知方程组3951x y a x y a +=+⎧⎨-=+⎩的解都为正数 （1）求a 的取值范围（2）化简454a a +--【答案】 （1）544a -<<（2）51a + 【解析】 先把a 看作常数，解方程组得454x a y a =+⎧⎨=-+⎩，由方程组的解都为正数可得45040a a +>⎧⎨-+>⎩，解得544a -<<，由45040a a +>⎧⎨-+>⎩可得4545a a +=+，44a a -=-，故45451a a a +--=+随练1.7 若关于x 的不等式0721x m x ⎧-<⎨-≤⎩的整数解共有4个，则m 的取值范围是（ ）A ． 6＜m ＜7B ． 6≤m ＜7C ． 6≤m ≤7D ． 6＜m ≤7【答案】D 【解析】 本题是一道较为抽象的中考题，利用数轴就能直观的理解题意，列出关于m 的不等式组，再借助数轴做出正确的取舍．首先确定不等式组的解集，先利用含m 的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m 的不等式，从而求出m 的范围．由（1）得，x ＜m ，由（2）得，x≥3，故原不等式组的解集为：3≤x ＜m ，①不等式的正整数解有4个，①其整数解应为：3、4、5、6，①m 的取值范围是6＜m≤7．故选D ．随练1.8 已知关于x 的不等式组4(1)23617x x x a x -+>⎧⎪-⎨-<⎪⎩有且只有三个整数解，求a 的取值范围．【答案】 1≤a ＜2【解析】解不等式4（x -1）+2＞3x ，得：x ＞2，解不等式x -1＜67x a -，得：x ＜7-a ， ①此不等式组有且只有三个整数解，①这三个整数解为3，4，5，①5＜7-a≤6，解得1≤a ＜2．①实数a 的取值范围是1≤a ＜2．随练1.9 已知2310a x -+=，32160b x --=，且4a b ≤<，求x 的取值范围．【答案】 23x -<≤【解析】 由2310a x -+=可得312x a -=，由32160b x --=可得2163x b +=，又因为4a b ≤<，所以31216423x x -+≤<，解得23x -<≤自我总结拓展1 若关于x 的不等式21a x ->的解集是1x <，则a 的值是（ ）A ． 1a =B ． 1a >C ． 1a <D ． 1a =-【答案】A【解析】 该题考查的是含参数的不等式．∵21a x ->，∴21x a <-，∵1x <，∴211a -=，解得1a =．故答案是A ．拓展2 10．（3分）（2016•江西校级模拟）已知关于x 的不等式组1x a x ⎧>⎨>⎩的解集为x ＞1，则a 的取值范围是_____________．【答案】 a ≤1【解析】 由关于x 的不等式组1x a x ⎧>⎨>⎩的解集为x ＞1，得 a ≤1，拓展3 若关于x 的不等式组232x a x a >+⎧⎨<-⎩无解，则a 的取值范围是__________．能力拓展【答案】 2a ≤【解析】 由题意可知232a a +≥-，解得2a ≤拓展4 若不等式组200x b x a -≥⎧⎨+≤⎩的解集为3≤x ≤4，则不等式ax+b ＜0的解集为____． 【答案】 x ＞32【解析】200x b x a -≥⎧⎨+≤⎩①② ①解不等式①得：x≥2b ， 解不等式①得：x≤-a ，①不等式组的解集为：2b ≤x≤-a ， ①不等式组200x b x a -≥⎧⎨+≤⎩的解集为3≤x≤4， ①2b =3，-a=4， b=6，a=-4， ①-4x+6＜0，x ＞32， 故答案为：x ＞32拓展5 如果方程组32335x y k x y +=+⎧⎨+=⎩的解为x 、y ，且9k ≤时，求x y -的取值范围 【答案】 8x y -≤【解析】 由原方程组可得()222x y k -=-，所以1x y k -=-，由9k ≤得8x y -≤拓展6 若关于x 的不等式组430x x m -≥⎧⎨≥⎩有2个整数解，则m 的取值范围是（ ） A ． 1m >- B ． 0m ≥ C ． 10m -<≤ D ． 10m -≤≤【答案】C【解析】 该题考察的是一元一次不等式组的整数解．解不等式430x -≥得43x ≤，故不等式组的解集为：43m x ≤≤， 因为不等式组只有2个整数解， 所以这两个整数解为：0，1，因此实数m 的取值范围是10m -<≤． 故选答案是C ．拓展7 关于x 的不等式组232x a x a <+⎧⎨≥-⎩只有非负数解，求a 的取值范围． 【答案】 223a ≤< 【解析】 232320a a a +>-⎧⎨-≥⎩． 223a ∴≤<拓展8 适当选择a 的取值范围，使1.7x a <<的整数解：（1）x 只有一个整数解（2）x 一个整数解也没有【答案】 （1）23a <≤（2）1.72a <≤【解析】 （1）由1.7x a <<，x 只有一个整数解，即2x =，得到23a <≤；（2）由1.7x a <<，x 一个整数解也没有得到1.72a <≤．拓展9 已知关于x ，y ，z 的方程组212325x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩满足524x y ≥⎧⎨≤<⎩，求3S x y z =+-的取值范围． 【答案】 41115S ≤< 【解析】 解方程组得到417527z x z y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，根据题意415752247z z -⎧≥⎪⎪⎨-⎪≤<⎪⎩，解得1665z ≤<，而5S z =+．。
北师大数学八年级下册第二章-含参数一元一次不等式(组)经典讲义
第03讲_含参数一元一次不等式（组）知识图谱含参数一元一次不等式（组）知识精讲含字母的一元一次不等式（组）未知数的系数含有字母或常数项含有字母的一元一次不等式（组） 未知数的系数含有字母若0a >，axb >的解为b x a >； 若0a <，ax b >的解为bx a<；若0a =，则当0b ≥时，ax b >无解， 当0b <时，ax b >的解为任何实数已知23a ≠，解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<-- 原不等式化为：()()13214a x a x +--<--()325a x -<-（1）当320a ->时，即23a >时，不等式的解为523x a <-；（2）当320a -<，即23a <时，不等式的解为523x a >-参数取值范围首先把不等式的解集用含有字母的代数式表示出来，然后把它与已知解集联系起来求解，在求解过程中可以利用数轴进行分析.五．易错点1.注意参数取值范围导致的变号问题．2.分清参数和未知数，不要混淆.3.解连续不等式时要注意拆分为不等式组.三点剖析一．考点：含参的一元一次方程（组）．二．重难点：参数与解集之间的关系，整数解问题，不等式与方程综合． 三．易错点：注意参数取值范围导致的变号问题．解含参一元一次不等式（组）例题1、 解关于x 的不等式：ax ﹣x ﹣2＞0． 【答案】 当a ﹣1=0，则ax ﹣x ﹣2＞0为空集，当a ﹣1＞0，则x ＞21a -，当a ﹣1＜0，则x ＜21a -【解析】 ax ﹣x ﹣2＞0． （a ﹣1）x ＞2，当a ﹣1=0，则ax ﹣x ﹣2＞0为空集，当a ﹣1＞0，则x ＞21a -，当a ﹣1＜0，则x ＜21a -．例题2、 已知a 、b 为常数，解关于x 的不等式22ax x b ->+ 【答案】 2a >时，()212b x a +>- 2a <时，()212b x a +<-2a =时，①如果10b +≥，不等式无解；②如果10b +<，则不等式的解为任何实数 【解析】 原不等式可化为()()221a x b ->+，（1）当20a ->，即2a >时，不等式的解为()212b x a +>-； （2）当20a -<，即2a <时，不等式的解为()212b x a +<-；（3）当20a -=，即2a =时，有 ①：如果10b +≥，不等式无解；②如果10b +<，则不等式的解为任何实数．例题3、 已知a 、b 为常数，若0ax b +>的解集为23x >，则0bx a -<的解集是（ ） A.32x >B.32x <C.32x >-D.32x <-【答案】 C 【解析】 该题考查的是解不等式．0ax b +>的解集为23x >，化简得2=3b a - 且a>00bx a -<的解集为a x b >，32x >-．所以该题的答案是C ．例题4、 已知23a ≠，解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<--【答案】 当23a >时，不等式的解为523x a <-；当23a <时，不等式的解为523x a >-【解析】 原不等式化为：()()13214a x a x +--<-- ()325a x -<-，因为23a ≠，所以320a -≠，即32a -为正数或负数.（1）当320a ->时，即23a >时，不等式的解为523x a <-；（2）当320a -<，即23a <时，不等式的解为523x a>-例题5、 已知关于x 的不等式22m mx -＞12x ﹣1．（1）当m=1时，求该不等式的解集；（2）m 取何值时，该不等式有解，并求出解集．【答案】 （1）x ＜2（2）当m≠﹣1时，不等式有解，当m ＞﹣1时，不等式解集为x ＜2；当x ＜﹣1时，不等式的解集为x ＞2【解析】 （1）当m=1时，不等式为22x -＞2x﹣1，去分母得：2﹣x ＞x ﹣2， 解得：x ＜2；（2）不等式去分母得：2m ﹣mx ＞x ﹣2， 移项合并得：（m+1）x ＜2（m+1）， 当m≠﹣1时，不等式有解，当m ＞﹣1时，不等式解集为x ＜2； 当m ＜﹣1时，不等式的解集为x ＞2．随练1、 解关于x 的不等式22241x x a a a-≥+．【答案】当2a >-且0a ≠时，有2x a ≤-；当2a =-时，x 为任意数不等式都成立； 当2a <-时，有2x a ≥-【解析】 因为0a ≠，所以20a >，将原不等式去分母，整理得()224a x a +≤-．当2a >-且0a ≠时，有2x a ≤-；当2a =-时，x 为任意数不等式都成立；当2a <-时，有2x a ≥-．随练2、 已知23a ≠，解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<--．【答案】 当23a >时，不等式的解为523x a <-；当23a <时，不等式的解为523x a >-【解析】 原不等式化为：()325a x -<-，因为23a ≠，所以320a -≠，即32a -为正数或负数. （1）当320a ->时，即23a >时，不等式的解为523x a <-；（2）当320a -<，即23a <时，不等式的解为523x a >-随练3、 解下列关于x 的不等式组：()23262111x a x x x +⎧->⎪⎨⎪+>-⎩；【答案】 13a >时，32x a >+；13a ≤时，3x >【解析】 原不等式组可化为323x a x >+⎧⎨>⎩．当323a +>，即13a >时，不等式组的解集为32x a >+．当323a +≤，即13a ≤时，不等式组的解集为3x >随练4、 已知a ，b 为实数，若不等式ax ＋b ＜0的解集为12x >，则不等式b （x －1）－a ＜0的解集为（ ）A.x ＞－1B.x ＜－1C.a b x b +>D.a b x b+< 【答案】 B【解析】 暂无解析随练5、已知关于x 的不等式()2340a b x a b -+->的解集是1x >.则关于x 的不等式()4230a b x a b -+->的解集是____________.【答案】 13x <-【解析】 ()2340a b x a b -+->， 移项得：()232a b x a b ->-，由已知解集为1x >，得到20a b ->，变形得：322a bx a b ->-，可得：3212a ba b-=-，整理得：a b =， ()4230a a x a a ∴-+->，即0a >，∴不等式()4230a b x a b -+->可化为()4230a a x a a -+->. 两边同时除以a 得：31x ->，解得：13x <-.随练6、 已知实数a 是不等于3的常数，解不等式组2x 3311x 2a x 022-+-⎧⎪⎨-+⎪⎩≥（）＜ ，并依据a 的取值情况写出其解集． 【答案】 当a ＞3时，不等式组的解集为x ≤3，当a ＜3时，不等式组的解集为x ＜a【解析】 2x 3311x 2a x 022-+-⎧⎪⎨-+⎪⎩≥（①②）＜， 解①得：x ≤3，解①得：x ＜a ，∵实数a 是不等于3的常数，∴当a ＞3时，不等式组的解集为x ≤3， 当a ＜3时，不等式组的解集为x ＜a ．随练7、 关于x 的不等式组2131x a x +>⎧⎨->⎩．（1）若不等式组的解集是1＜x ＜2，求a 的值；（2）若不等式组无解，求a 的取值范围． 【答案】 （1）a=3；（2）a≤2【解析】 （1）解不等式2x+1＞3得：x ＞1， 解不等式a ﹣x ＞1得：x ＜a ﹣1， ∵不等式组的解集是1＜x ＜2，∴a ﹣1=2， 解得：a=3；（2）∵不等式组无解， ∴a ﹣1≤1， 解得：a≤2．参数与解集之间的关系例题1、 若关于x 的一元一次不等式组011x a x x ->⎧⎨->-⎩无解，则a 的取值范围是 ．【答案】 a≥2．【解析】 由x ﹣a ＞0得，x ＞a ；由1﹣x ＞x ﹣1得，x ＜1， ∵此不等式组的解集是空集， ∴a≥1．例题2、 已知关于x 的不等式组301(2)342x a x x -≥⎧⎪⎨->+⎪⎩有解，求实数a 的取值范围，并写出该不等式组的解集．【答案】 a ＜﹣6，3a≤x ＜﹣2．【解析】 解不等式3x ﹣a≥0，得：x≥3a，解不等式12（x ﹣2）＞3x+4，得：x ＜﹣2，由题意得：3a＜﹣2，解得：a ＜﹣6，∴不等式组的解集为3a≤x ＜﹣2．例题3、 如果关于x 的不等式（a+1）x ＞a+1的解集为x ＜1，那么a 的取值范围是（ ） A.a ＜﹣1 B.a ＜0 C.a ＞﹣1 D.a ＞0或a ＜﹣1 【答案】 A【解析】 （a+1）x ＞a+1， 当a+1＞0时，x ＞1， 当a+1＜0时，x ＜1， ∵解集为x ＜1， ∴a+1＜0， a ＜﹣1． 故选：A ．例题4、 当1≤x≤4时，mx ﹣4＜0，则m 的取值范围是（ ） A.m ＞1 B.m ＜1 C.m ＞4 D.m ＜4 【答案】 B【解析】 设y=mx ﹣4，由题意得，当x=1时，y ＜0，即m ﹣4＜0， 解得m ＜4，当x=4时，y ＜0，即4m ﹣4＜0， 解得，m ＜1，则m 的取值范围是m ＜1，例题5、 若不等式（a ﹣3）x ＞1的解集为x ＜13a -，则a 的取值范围是 ．【答案】 a ＜3．【解析】 ∵（a ﹣3）x ＞1的解集为x ＜13a -， ∴不等式两边同时除以（a ﹣3）时不等号的方向改变， ∴a ﹣3＜0， ∴a ＜3．故答案为：a ＜3．例题6、 如果关于x 的不等式()122a x a +>+的解集是2x <，则a 的取值范围是（ ） A.0a < B.1a <-C.1a >D.1a >-【答案】 B【解析】 将原不等式与其解集进行比较，在不等式的变形过程中利用了不等式的性质三，因此有10a +<，故1a <-例题7、 若不等式组()322110b x x a -<--⎧⎨->⎩的解集为﹣2＜x ＜4，求出a 、b 的值．【答案】 a=﹣10，b=3．【解析】 解不等式10﹣x ＜﹣（a ﹣2），得：x ＞a+8，解不等式3b ﹣2x ＞1，得：x ＜312b -，∵解集为﹣2＜x ＜4， ∴314282a b ⎧⎪⎨-=+=-⎪⎩，解得：a=﹣10，b=3．随练1、 已知关于x 的不等式（m －2）x ＞2m －4的解集为x ＜2，则m 的取值范围是________． 【答案】 m ＜2【解析】 不等式（m －2）x ＞2m －4的解集为x ＜2， ∴m －2＜0，m ＜2．随练2、 关于x 的不等式组()3141x x x m ⎧->-⎪⎨<⎪⎩的解集为x ＜3，那么m 的取值范围是 ．【答案】 m≥3【解析】 ()3141x x x m ->-⋅⋅⋅⎧⎪⎨<⋅⋅⋅⎪⎩①②，解①得x ＜3，∵不等式组的解集是x ＜3， ∴m≥3．故答案是：m≥3．随练3、 若关于x 的一元一次不等式组202x m x m -<⎧⎨+>⎩有解，则m 的取值范围为（ ）A.23m >-B.23m ≤C.23m >D.23m ≤-【答案】 C【解析】 202x m x m -<⎧⎨+>⎩①②，解不等式①得，x ＜2m ， 解不等式②得，x ＞2－m ， ∵不等式组有解， ∴2m ＞2－m ，∴23m >．随练4、 若不等式组0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥有解，则实数a 的取值范围是（ ）A.a≥－2B.a ＜－2C.a≤－2D.a ＞－2【答案】 D【解析】 0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥，解不等式x ＋a≥0得，x≥－a ，由不等式4－2x ＞x －2得，x ＜2，∵不等式组：不等式组0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥有解，∴a ＞－2，随练5、 已知不等式31（x ﹣m ）＞2﹣m ． （1）若上面不等式的解集为x ＞3，求m 的值．（2）若满足x ＞3的每一个数都能使上面的不等式成立，求m 的取值范围． 【答案】 （1）23（2）m≥23 【解析】 （1）解不等式可得x ＞6﹣2m ，∵不等式的解集为x ＞3， ∴6﹣2m=3，解得m=23；（2）∵原不等式可化为x ＞6﹣2m ，满足x ＞3的每一个数都能使不等式成立， ∴6﹣2m≤3，解得m≥23．整数解问题例题1、 关于x 的不等式－1＜x≤a 有3个正整数解，则a 的取值范围是________． 【答案】 3≤a ＜4【解析】 ∵不等式－1＜x≤a 有3个正整数解， ∴这3个整数解为1、2、3， 则3≤a ＜4．例题2、 关于x 的不等式0x b ->恰有两个负整数解，则b 的取值范围是（ ） A.32?b -<<- B.32?b -<≤- C.32b -≤≤- D.32b -≤<- 【答案】 D【解析】 本题主要考查一元一次不等式及其解法。
一元一次不等式(组)含参问题探究
一元一次不等式（组）含参问题类型一、已知解集求参数1.若不等式组⎩⎨⎧->+<-3212b x a x 的解集是225<<-x ，求代数式)1)(1(+-ab a b 的值.2.若关于x 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<+-<+x x m x 23212的解集是1-<x ，且关于y 的方程m m y 31)(2=-+的解为正整数，求m 的值.类型二、已知解集的情况求参数的取值范围3.若关于x 不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-+>+-2312121x x m x 无解，求m 的取值范围.4.若关于x 不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+--<++`2122121m x x m x 有解，且23关于y 的不等式122332--≥-y m y 的解，求m 的取值范围.类型三、已知整数解的情况求参数的值或取值范围5.若关于x 不等式组⎩⎨⎧-<++->-1237)1(2m x x x 无正整数解，求m 的取值范围.6.若关于x 不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≥--+<+121312x x a x x 有且只有4个整数解，求a 的取值范围.7.若关于x 不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+>+-≥-21231202x x x m 至少有3个整数解，求m 的取值范围.类型四、已知范围满足解集的情况求参数的范围8.若31<<x 满足关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧--<-+≥+122112x m x x m x ，求m 的取值范围.跟踪训练：1.4≤x 是不等式13≤-a x 的解集，求a .2.关于x 的方程k k x -=-233的解不小于2，求k 的取值范围.3.已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧+=++=-9335a y x a y x 的解满足y x ≥+2，求a 的取值范围.4.关于x 的不等式4<x 是不等式2522<-a x 的解集，求a 的值.5.若不等式组⎩⎨⎧-≤-≥322m x m x 无解，求m 的取值范围.6.若不等式组⎩⎨⎧+<->52n x m x 的解集为31<<x ，求n m +的值.7.若1)1(+>+k x k 的解集为1<x ，求k 的取值范围.。
含参不等式习题及答案
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一元一次不等式组含参问题
一元一次不等式组含参问题一、概述在初中数学的学习中，我们接触到了一元一次不等式组含参问题。
这样的问题往往涉及到多个未知数和多个方程，需要我们采用适当的方法进行求解。
下面，本文将对一元一次不等式组含参问题进行详细的讲解，希望能够帮助同学们更好地掌握这个难点。
二、问题类型一元一次不等式组含参问题的形式多种多样，以下是几种常见的类型：1、求参数的取值范围此类问题给定一组不等式组，其中包含一个或多个未知参数，要求我们求出这个参数的取值范围，使得所有方程都成立。
2、最小(大)值问题此类问题给出一组不等式组，其中包含一个或多个未知参数，要求我们求出这个参数使得某个式子取得最小(大)值。
3、问题的实际应用此类问题往往会给出一些实际情况，要求我们运用一元一次不等式组基本原理来解决实际问题。
三、方法掌握要解决一元一次不等式组含参问题，我们需要掌握以下方法：1、列出方程组首先需要将问题中所有信息转化为方程式，然后再结合问题，列出一元一次不等式组含参的求解式。
2、解析式求解对于参数范围问题，我们要在联立的不等式组中找出一个代表所有不等式的式子，然后将未知数与参数隔离，使其成为一项含参的式子，最后解决参数的范围。
对于最值问题，我们要将式子进行变形，使其成为一个用参数表示的函数，然后再利用数学方法求解。
3、实践运用在处理实际问题时，我们要结合实际情况进行分析，将其中的条件转化为不等式，然后列方程组求解。
四、应用案例下面，我们通过具体的应用案例来加深对一元一次不等式组含参问题的理解。
例1、现有12个黄色球，红色球的数量不确定，小明从中随机抽出4个球，要使得其中至少有3个为黄色球，求红色球的最少数量。
解：用x表示红色球的数量，则不等式组为：x+12≥4，3x+12<4，其中x为未知的参数。
化简后得到：x≥-8，x<-\frac{8}{3}最终，根据实际情况得到，红球至少有 3 颗。
例2、某社区小学针对学生荣誉评定制定了一种评定方案：评定范围为高度荣誉，理论荣誉和优秀荣誉三级，其中高度荣誉取得条件为文化课成绩在前10%且思品课成绩在前20%，理论荣誉要求文化课成绩在前20%或思品课成绩在前30%，优秀荣誉要求满足以上条件之一。
一元一次不等式含参问题
一元一次不等式（组）专项培优【学习目标】1．理解不等式组的概念；2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用． 要点一、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如，等都是一元一次不等式组．一元一次不等式的解法【学习目标】1．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质；2.能够熟练解一元一次不等式；3. 掌握不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.【要点梳理】要点一、一元一次不等式的概念只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． 要点诠释：(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1.(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．要点二、一元一次不等式的解法1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．2.一元一次不等式的解法：与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.要点诠释：（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． 2562010x x ->⎧⎨-<⎩7021163159x x x ->⎧⎪+>⎨⎪+<⎩2503x >a x <a x >ax b >ax b <0a ≠（2）解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；②移项时不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．要点三、不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．要点诠释：3.不等式的解集的表示方法（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x ≤8．(2) 用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：(3)要点诠释：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a 而言，x ＞a 或x ≥a 向右画；对边界点a 而言，x ＜a 或x ≤a 向左画．注意：在表示a 的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．【典型例题】 类型一、一元一次不等式的概念1．下列式子哪些是一元一次不等式？哪些不是一元一次不等式？为什么？（1） （2）（3） （4） （5）0x >1x1->2x 2>3y x ->+1x -=类型二、解一元一次不等式2.求不等式﹣≤的非负整数解，并把它的解在数轴上表示出来．举一反三：【变式1】解不等式：【变式2】代数式的值不大于的值，求x 的范围．3.m 为何值时，关于x 的方程：的解大于1？举一反三：【变式】已知关于方程的解是非负数，是正整数，则 ．4.（2016•杭州模拟）若关于x ，y 的二元一次方程组的解满足x ﹣y ＞﹣3.5，求出满足条件的m 的所有正整数解． 2x ]2)14x (32[23<---6151632x m m x ---=-x 3x 23m x 2x -=--m =m类型二、不等式的解及解集5.若关于的不等式只有三个正整数解，求的取值范围.举一反三：【变式】已知的解集中的最大整数为3，则的取值范围是 ．类型四、逆用不等式的解集6. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集 ．一元一次不等式组【典型例题】类型一、解一元一次不等式组1.（2016•深圳）解不等式组：．x a x ≤a a x <a x n m x >53x <x 0n 5m x )n m 2(>-+-2. 不等式组是否存在整数解？如果存在请求出它的解；如果不存在要说明理由.举一反三：【变式】（2015•北京）解不等式组，并写出它的所有非负整数解．3.试确定实数a 的取值范围．使不等式组 恰好有两个整数解．3(2)5(4) 2.......(1)562(2)1,........(2)32211............(3)23x x x x x x ⎧⎪++-<⎪+⎪+≥+⎨⎪++⎪-≤⎪⎩1023544(1)33x x a x x a +⎧+>⎪⎪⎨+⎪+>++⎪⎩类型二、解特殊的一元一次不等式组4.（2015•黔西南州）求不等式（2x﹣1）（x+3）＞0的解集．解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：①或②．解①得x＞；解②得x＜﹣3．∴不等式的解集为x＞或x＜﹣3．请你仿照上述方法解决下列问题：（1）求不等式（2x﹣3）（x+1）＜0的解集．（2）求不等式≥0的解集．课堂练习类型一根据不等式租的整数解情况确定字母的取值范围例1．不等式组有3个整数解，则m的取值范围是．变式练习1．不等式组有3个整数解，则m的取值范围是．变式练习2．已知关于x的不等式组只有3个整数解，则实数a的取值范围是．变式练习3. 已知关于x 的不等式组{4x +2>3(x +a)2x >3(x −2)+5,仅有4个整数解，则实数a 的取值范围是 ．变式练习4. 已知关于x 的不等式组{5x +2>3(x −1)12x ≤8−32x +2a ,仅有4个整数解，则实数a 的取值范围是 ．类型二 根据不等式组的解集确定字母的取值范围例2.已知关于x 的不等式组无解，则a 的取值范围是 ．变式练习1．若关于x 的不等式组有解，则实数a 的取值范围是 ．变式练习2．若不等式的解集为x ＞3，则a 的取值范围是 ．变式练习3．若关于x 的不等式的解集为x ＜2，则a 的取值范围是 ．变式练习4．已知不等式组无解，则a 的取值范围是 ．类型三 根据未知数解集或者未知数间的关系确定字母的取值范围例3. 已知方程组⎩⎨⎧-=++=+my x m y x 12312满足x +y <0,求m 的取值范围变式练习1.若关于x ，y 的二元一次方程组的解满足x +y ＜2，则a 的取值范围为 ．2.已知⎩⎨⎧+=+=+12242k y x k y x 且的取值范围为则k y x ,01-〈-〈 ．例4. 已知关于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集为x＜，则a的取值范围是．变式练习1．不等式（x﹣m）＞3﹣m的解集为x＞1，则m的值为．2．若关于x的不等式3m﹣2x＜5的解集是x＞3，则实数m的值为．3．若不等式ax+b＜0的解集是x＞﹣1，则a，b应满足的条件有．综合练习1．关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，则m的值为（）A．14B．7C．﹣2D．22．不等式组的解集是x＞﹣1，则a的取值范围是．3．若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是．4．若不等式组的解集为3≤x≤4，则不等式ax+b＜0的解集为．5．已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是．6.不等式组的解是0＜x＜2，那么a+b的值等于．7．已知关于x的不等式组只有3个整数解，则实数a的取值范围是．8．已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是．。
专题3.6 一元一次不等式(组)中的含参问题专项训练(60道)(学生版)
专题3.6一元一次不等式（组）中的含参问题专项训练（60道）【浙教版】考卷信息：本套训练卷共60题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可深化学生对一元一次不等式（组）中的含参问题的理解！一、单选题（共30小题）1．（2022·山东济宁·七年级期末）已知关于x的不等式1−a x<2的解集为x<21−a，则a的取值范围为（）A．a>0B．a>1C．a<0D．a<12．（2022·四川乐山·七年级期末）若关于x的不等式组{2x−43≤x−1a−x>0的整数解恰有5个，则a取值范围为（）A．2<a≤3B．2≤a<3C．3<a≤4D．3≤a<43．（2022·河南新乡·七年级期末）若关于x<x0的解集为2<x<5，则多项式A可以是() A．x−5B．2x−5C．x−10D．3x−124．（2022·云南临沧·八年级期末）若整数a使关于x的不等式组x−12≤6+x34x−a>x+1，有且只有19个整数解，且使关于y的方程2y+a+31+y+10y+1=1的解为非正数，则a的值是（）A．−13或−12B．−13C．−12D．−12或−115．（2022·重庆秀山·七年级期末）关于x的方程k﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负数，且关于x的不等式组x−2(x−1)≤32k+x3≥x 有解，符合条件的整数k的值的和为（）A．3B．4C．5D．66．（2022·重庆涪陵·七年级期末）若关于x的一元一次不等式组−5−x≤13(x−a)3x+1>4x+2有解，则符合条件的所有正整数a的和为（）A．50B．55C．66D．707．（2022·福建漳州·七年级期末）若不等式组x−4<0x≥m有解，则m的取值范围为（）A．m<4B．m>4C．m≤4D．m≥4 8．（2022·广东广州·七年级期末）若不等式组x+9<5x+1x>m的解集为x>2，则m的取值范围是（）A．m≤2B．m<2C．m≥2D．m>2 9．（2022·重庆·巴川初级中学校八年级期中）若关于x的一元一次不等式组x−44a−2≤123x−12<x+3的解集是x≤a，且关于y的方程2y−a−3=0a的个数为（）个A．5B．4C．3D．2 10．（2022·广东云浮·七年级期末）若关于x的一元一次不等式组x−4<0x+m≥6有解，则m的取值范围为（）A．m>−2B．m≤2C．m>2D．m<−211．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校七年级期末）若实数m使关于x的不等式组3−2+x3≤x+322x−m2≤−1有解且至多有3个整数解，且使关于y的方程2y=4y−m3+2的解为非负整数解，则满足条件的所有整数m的和为（）A．15B．11C．10D．612．（2022·山东烟台·七年级期末）已知关于x的不等式x−m<0，5−2x≤1的整数解共有2个，则m的取值范围为（）A．m>3B．m≤4C．3<m<4D．3<m≤413．（2022·福建·泉州市城东中学七年级期中）若关于x的方程42−x+x=ax的解为正整数，且关于x的不等2>2x x≤0有解，则满足条件的所有整数a的值有（）个．A．1B．2C．3D．414．（2022·重庆荣昌·七年级期末）若关于x的方程ax+32−2x−13=1的解为正数，且a使得关于y的不等式组y+3＞13y−a＜1恰有两个整数解，则所有满足条件的整数a的值的和是（）A．0B．1C．2D．315．（2022·江苏镇江·七年级期末）关于x的不等式组x≤−1x>m的整数解只有2个，则m的取值范围为（）A．m>−3B．m<−2C．−3≤m<−2D．−3<m≤−216．（2022·黑龙江佳木斯·七年级期末）已知不等式组x+a>1,2x−b<2解集为−2<x<3，则a−b2022的值为（）A．1B．2022C．−1D．−202217．（2022·重庆丰都·七年级期末）若关于x的不等式组x−24<x−133x−m≤3−x恰有2个整数解，且关于x、y的方程组mx+y=43x−y=0也有整数解，则所有符合条件的整数m的乘积为（）A．−6B．−2C．2D．018．（2022·重庆·七年级期末）若关于x 的不等式组x−24<x−134x −m ≤4−x 恰有2个整数解，且关于x ，y 的方程组mx +y =43x −y =0也有整数解，则所有符合条件的整数m 的和为（）A ．−2B ．−3C ．−6D ．−719．（2022·重庆铜梁·七年级期末）若a 使关于x 的不等式组4x +2≥x +a −23x +3≥2有三个整数解，且使关于y 的方程2y +a =5y+62有正数解，则符合题意的整数a 的和为（）A ．12B ．9C ．5D ．320．（2022·浙江舟山·八年级期末）对于任意实数p 、q ，定义一种运算：p @q ＝p -q ＋pq ，例如2@3＝2-3＋2×3．请根据上述定义解决问题：若关于x 的不等式组2@x <4x@2≥m有3个整数解，则m 的取值范围为是()A ．-8≤m <-5B ．-8<m ≤-5C ．-8≤m ≤-5D ．-8<m <-521．（2022·重庆九龙坡·七年级期末）整数a 使得关于x ，y 的二元一次方程组ax −y =113x −y =1的解为正整数（x ，y 均为正整数），且使得关于x +8)≥7x −a <2无解，则所有满足条件的a 的和为（）A ．9B ．16C ．17D ．3022．（2022·四川资阳·七年级期末）若关于x 的一元一次不等式组{2(x +1)<x +3x −a ≤a +5的解集是x <1，且a 为非正整数，则满足条件的a 的取值有（）个.A ．1B ．2C ．3D ．423．（2022·重庆江北·七年级期末）已知关于x 的不等式组x >a,x ≤5至少有三个整数解，关于y 的方程y −3a =12的解为正数，则满足条件的所有整数a 的值之和为（）A ．−7B ．−3C ．0D ．324．（2022·重庆巴南·七年级期末）若关于x的不等式组2x−1>7x−a≤0无解，且关于x的方程ax＝3x+2的解为整数，则满足条件的所有整数a的和为（）A．12B．7C．3D．1 25．（2022·重庆·七年级期末）若关于x的一元一次不等式组x−m≥02x+1<3无解，关于y的一元一次方程2(y−3)+m= 0的解为非负数，则满足所有条件的整数m的和为（）A．14B．15C．20D．21 26．（2022·重庆北碚·七年级期末）若关于x的不等式组x+2x−1≤−52k+x3≤x无解，且关于y的一元一次方程2(y+1)+3k=11的解为非负数，则符合条件的所有整数k的和是（）A．2B．3C．5D．6 27．（2022·福建省福州屏东中学七年级期末）已知关于x，y的方程组x−3y=4−tx+y=3t，其中−3≤t≤1，若M=x−y，则M的最小值为（）A．−2B．−1C．2D．328．（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中）如果整数m使得关于x m>0 −x≥−4有解，且使得关于x，y的二元一次方程组mx+y=52x+y=1的解为整数（x，y均为整数），则符合条件的所有整数m的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个29．（2022·重庆忠县·七年级期末）若整数a使关于x≤2x+59x−a+13至少有1个整数解，且使关于x，y的方程组ax+2y=−4x+y=4的解为正整数，那么所有满足条件的a值之和为()A．﹣17B．﹣16C．﹣14D．﹣12 30．（2022·重庆綦江·七年级期末）如果关于x、y的方程组3x+2y=m+12x+y=m−1中x>y，且关于x的不等式组x−12<1+x35x+2≥x+m有且只有4个整数解，则符合条件的所有整数m的和为（）A．8B．9C．10D．11二、填空题（共15小题）31．（2022·江苏·南京市第一中学泰山分校七年级阶段练习）若不等式组x>a x−2<3无解，则a的取值范围为________．32．（2022·湖北孝感·七年级期末）若关于x的不等式组2x−1>4x−a>0的解集为x>3，那么a的取值范围是_____．33．（2022·湖南永州·八年级期末）若关于x的不等式组{2x−b≥0x+a≤0的解集为3≤x≤4，则关于x的不等式ax+b＜0的解集为_____．34．（2022·北京平谷·七年级期末）若x<a的解集中的最大整数解为2，则a的取值范围是_________．35．（2022·湖北·武汉市光谷实验中学七年级阶段练习）若关于x的不等式组，3−2x4<x−132x−m≤2−x3有且只有两个整数解，m=2n，则整数n的值为______．36．（2022·河南·鹿邑县基础教育研究室七年级期末）已知关于x的不等式组2x−m≥0x−n<0的整数解是−1，0，1，2，若m、n为整数，则n−m的值为______．37．（2022·黑龙江·大庆市庆新中学九年级阶段练习）关于x的不等式组2x−13<2−1+x>a恰好只有4个整数解，则a 的取值范围为_________．38．（2022·湖北·+4≤0+m>0的整数解的和为-5，则m的取值范围为_______39．（2022·河南南阳·七年级期末）如果不等式组x<4x<3a+1的解集为x<3a+1，则a的取值范围为______．40．（2022·江西宜春·七年级期末）若整数a使关于x的不等式组x−12≤11+x34x−a>x+1，有且只有45个整数解，则a的值为_____．41．（2022·四川雅安·八年级期末）已知关于x，y的方程组2x+y=−4m+5x+2y=m+4的解满足x＋y≤5，且2m﹣n＜1．若m只有三个整数解，则n的取值范围为________．42．（2022·黑龙江·大庆外国语学校八年级期中）关于x的不等式组2x−5<0x−a>0无整数解，则a的取值范围为_____．43．（2022·全国·河南省淮滨县第一中学七年级期末）已知不等式组3x+a<2x,−13x<53x+2,有解但没有整数解，则a的取值范围为________．44．（2022·福建·平潭第一中学七年级期末）已知关于x的不等式组3x+m<0x>−5的所有整数解的和为﹣9，m的取值范围为_________45．（2022·全国·七年级专题练习）已知关于x的不等式组x+2>0x−a≤0的整数解共有4个，则a的最小值为__________．三、解答题（共15小题）46．（2022·四川宜宾·七年级期中）已知关于x的不等式组2x+4>03x−k<6．(1)当k为何值时，该不等式组的解集为−2<x<2？(2)若该不等式组只有4个正整数解，求k的取值范围．47．（2022·四川宜宾·七年级期中）已知关于x的不等式组2x+4>03x−k<6．(1)当k为何值时，该不等式组的解集为−2<x<2？(2)若该不等式组只有4个正整数解，求k的取值范围．48．（2022·吉林·东北师大附中七年级期中）若关于x的不等式组{x−a>−b,x+a≤2b+1的解集为1<x≤3，求a b的值．49．（2022·江苏徐州·七年级期末）已知关于x、y的方程组2x+y=5m−1x+2y=4m+1（m为常数）(1)若x+y=1，求m的值；(2)若−3≤x−y≤5，求m的取值范围．50．（2022·全国·七年级）定义新运算为：对于任意实数a、b都有a⊕b=a−b b−1，等式右边都是通常的加法、减法、乘法运算，比如1⊕2=1−2×2−1=−3．(1)求2⊕3的值．(2)若x⊕2<7，求x的取值范围．(3)若不等式组x⊕1≤22x⊕3>a恰有三个整数解，求实数a的取值范围．51．（2022·全国·七年级）新定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解中的一个，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．(1)在方程①2x−1=0，②13x+=0，③x−(3x+1)=−5中，不等式组−x+3>x−43x−1>−x+2的关联方程是_____；（填序号）(2)若不等式组x−2<11+x>−3x+6的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是________；（写出一个即可）(3)若方程6−x=2x,7+x=3x+x的不等式组x<2x−mx−2≤m的关联方程，直接写出m的取值范围．52．（2022·河南周口·七年级期末）已知关于x的不等式组2x−m>13x−2m<−1（1）如果不等式组的解集为6<x<7，求m的值；（2）如果不等式组无解，求m的取值范围；53．（2022·江苏·泰州中学附属初中七年级阶段练习）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组x−1>0x<4的解集为1＜x＜4，因为1＜3＜4，所以称方程2x﹣6＝0为不等式组x−1>0x<4的关联方程．（1）在方程①3x﹣3＝0；②23x+1＝0；③x﹣（3x+1）＝﹣9中，不等式组2x−8<0−4x−3<x+2的关联方程是．（填序号）（2）若不等式组x−12<32x−3>−x+5的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是．（写出一个即可）（3）若方程2x−1=x+2，x+5=2x+x的不等式组x+3>2ax≤a+8的关联方程，且关于y的不等式组y−4<02y+1>a−2y恰好有两个奇数解，求a的取值范围．54．（2022·河南省淮滨县第一中学七年级单元测试）已知，关于x的不等式组x+1>mx−1≤n有解．(1)若上不等式的解集与1−2x<53x−12≤4的解集相同，求m+n的值；(2)若上不等式有4个整数解①若m=−1，求n的取值范围；②若n=2m，则m的取值范围为______．55．（2022·广东江门·七年级期末）已知方程组x−y=1+3ax+y=−7−a中x为负数，y为非正数．（1）求a的取值范围；（2）在a的取值范围中，当a为何整数时，不等式2ax+3x>2a+3的解集为x<1 56．（2022·北京·人大附中西山学校七年级期末）若关于x的不等式组2x−a<1x−5b>3的解集为−1<x<1，则a+5b 的值为________．57．（2022·河南·商水县希望初级中学七年级期中）已知方程组x+y=−7−ax−y=1+3a的解x为非正数，y为负数．（1）求a的取值范围：（2）化简|a−3|+|a+3|；（3）在a的取值范围内，当a取何整数时，不等式2ax+x>2a+1的解为x<1?58．（2022·福建·龙海二中一模）已知对于任意实数a，b，定义min{a,b}的含义为：当a≥b时，min{a,b}=b；当a<b时，min{a,b}=a.例如：min{1,−2}=−2，min{−3,−3}=−3．(1)若min{−2k+5,−1)=−1，求k的取值范围；(2)解不等式组：{x+1≥x−321−3(x−1)>8−x设不等式组的最大整数解为m，求min{m,−2.5}的值．59．（2022·甘肃白银·八年级期中）已知关于x，y的不等式组{x+k≤5−2x4(x−34)≥x−1,（1）若该不等式组的解为23≤x≤3，求k的值；（2）若该不等式组的解中整数只有1和2，求k的取值范围．60．（2022·江苏·扬州市江都区华君外国语学校七年级阶段练习）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的伴随方程，这个根在数轴上对应的点该不等式组的伴随点．（1）在方程①23x+1=0，②x−3x+1=−5，③3x−1=0中，不等式组−x+2＞x−5，5x−1＞x+2的伴随方程是；（填序号）（2）如图，M、N都是关于x的不等式组x<2x−mx−5≤m的伴随点，求m的取值范围．（3）不等式组−x>−2x+12x≤m+2的伴随方程的根有且只有2个整数，求m的取值范围．。
人教版初中数学中考复习 一轮复习 —一元一次不等式(组)解法及含字母(参数)问题
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4
．
解：（2）去分母，得：8﹣（7x﹣1）＞2（3x﹣2），
去括号，得：8﹣7x+1＞6x﹣4，
移项，得：﹣7x﹣6x＞﹣4﹣1﹣8，
合并同类项，得：﹣13x＞﹣13，
系数化1，得：x＜1．
考点二：解不等式（组）并在数轴上表示解（集）
5．（2021•武汉）解不等式组
2x x 1 ① 4x 10 x 1 ②
考点一：不等式的性质
C 1．（2021•常德）若a＞b，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a﹣5＞b﹣5
B．﹣5a＜﹣5b
C． a b
cc
D．a+c＞b+c
考点一：不等式的性质
2．（2021•临沂）已知a＞b，下列结论：①a2＞ab；②a2＞b2；③若b＜0，
A 则a+b＜2b；④若b＞0，则 1 1 ，其中正确的个数是（ ） ab
性质3：不等式两边同时乘或除同一个负数，不等号的。方向改变
知识点梳理：
二、一元一次不等式(组)及其解法
一元一次不等 含有一个未知数,未知数的次数是
1
式定义
的不等式
解一元一次不 等式的步骤
去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1
一元一次 一般地,关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,
不等式组 就组成一个一元一次不等式组
3．（2021•南京）解不等式1+2（x﹣1）≤3，并在数轴上表示解集． 解： 1+2（x﹣1）≤3， 去括号，得1+2x﹣2≤3． 移项、合并同类项，得2x≤4． 化系数为1，得x≤2．
表示在数轴上为：
考点二：解不等式（组）并在数轴上表示解（集）
Hale Waihona Puke 4．（2021•泰安）（2）解不等式： 1- 7x 1 3x 2
不等式含参题型及解题方法初一下册
不等式含参题型及解题方法初一下册不等式含参是初中数学中的一个重要内容，熟练掌握不等式含参的题型及解题方法对于学习数学有很大的帮助。
本文将从不等式的基本概念、不等式含参的基本形式和解题方法等方面展开介绍，旨在帮助学生掌握不等式含参的相关知识。
一、不等式的基本概念不等式是数学中的一个重要概念，它是指两个数之间的大小关系。
不等式中常见的符号有“<”（小于）、“>”（大于）、“≤”（小于等于）和“≥”（大于等于），分别表示“小于”、“大于”、“小于等于”和“大于等于”的关系。
例如，3 < 5表示3小于5；8 > 6表示8大于6；4 ≤ 5表示4小于等于5；7 ≥ 5表示7大于等于5。
在不等式中，两个数之间用不等号连接，不等式的左边称为左端，右边称为右端。
二、不等式含参的基本形式不等式含参是指在不等式中含有未知数（或变量），通常以字母表示。
不等式含参的基本形式可以分为一元一次不等式和二元一次不等式两种。
1.一元一次不等式一元一次不等式是指未知数的最高次数为1的不等式。
其一般表示形式为ax + b > c（或ax + b < c），其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
例如，2x + 3 > 7就是一个一元一次不等式，其中未知数为x。
解一元一次不等式的基本方法是通过一系列的化简和推导，最终确定未知数的取值范围。
具体解题步骤可分为以下几步：（1）将不等式化简为形如ax > b（或ax < b）的形式；（2）确定未知数的取值范围，并得出结论。
2.二元一次不等式二元一次不等式是指含有两个未知数的一次不等式。
其一般表示形式为ax + by > c（或ax + by < c），其中a、b、c为常数，且a ≠ 0，b ≠ 0。
例如，3x + 2y ≤ 6就是一个二元一次不等式，其中未知数为x 和y。
解二元一次不等式的基本方法是通过一系列的化简和推导，最终确定两个未知数的取值范围。
华东师大版七下数学第8章一元一次不等式含参典型问题100道(含答案)
1)1
a x a的解集为
B．a<-2
的方程组
25
3
x
x y
+⎧
⎨
+
⎩
87．定义：给定两个不等式组P 和Q ，若不等式组P 的任意一个解，都是不等式组Q
的一个解，则称不等式组P 为不等式组Q 的“子集”．例如：不等式组：M ：21x x >⎧⎨>⎩
是N ：21x x >-⎧⎨>-⎩
的“子集”． (1)若不等式组：A ：+14+1<5x x >⎧⎨⎩，B ：2113x x ->⎧⎨>-⎩，则其中不等式组 是不等式组M ：21
x x >⎧⎨>⎩的“子集”（填A 或B ）；
(2)若关于x 的不等式组1x a x >⎧⎨>-⎩是不等式组21x x >⎧⎨>⎩
的“子集”，则a 的取值范围是 ； (3)已知a ，b ，c ，d 为互不相等的整数，其中a b c d <<，，下列三个不等式组：
A ：a x b ≤≤，
B ：c x d ≤≤，
C ：16x <<满足：A 是B 的“子集”且B 是C 的“子集”，则a b c d -+-的值为 ；
(4)已知不等式组M ：23x m x n ≥⎧⎨<⎩
有解，且N ：13x <≤是不等式组M 的“子集”，请写出m ，n 满足的条件： ．
【答案】(1)A
(2)2a ≥
(3)4-
(4)29m n ≤>，
22⎩。
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《含参数的一元一次不等式组的解集》教学设计
教材分析：本章内容在学习了《一元一次方程》后的基础上安排的内容，是为今后学习高中的《集合》及《一元二次不等式》，《二元一次不等式》打下基础。
上节课学习了《一元一次不等式组》，知道了一元一次不等式组的有关概念及求一元一次不等式组的解集的方法，并会用数轴直观的得到一元一次不等式组的解集，它是解决本节课内容《含参数的一元一次不等式组的解集》的基础和关键，通过本节课知识的学习，学生能对初中数学中的分类讨论、数形结合的思想方法有进一步的认识，养成独立思考的习惯，也能加强与同学的合作交流意识与创新意识，为今后生活和学习中更好运用数学作准备。
教学目标：
（1）知识目标：使学生加深对一元一次不等式组和它的解集的概念的理解，掌握一元一次不等式组的解法，会应用数轴确定含参数的一元一次不等式组的参数范围。
（2）能力目标：培养探究、独立思考的学习习惯，感受数形结合的作用，逐步熟悉和掌握数形结合的思想方法，提高分析问题和解决问题的能力。
（3）德育目标：加强同学之间的合作交流与探讨，体验数学发现带来的乐趣。
学习重点：
（1）加深对一元一次不等式组的概念与解集的理解。
（2）通过含参数不等式的分析与讨论，让学生理解掌握分类讨论和数形结合的数学思想。
学习难点：
（1）一元一次不等式组中字母参数的讨论。
（2）运用数轴分析不等式组中参数的范围。
教学难教学难点突破办法：
（1）借助数轴，数型结合，让学生直观理解不等式组中几个不等式解集的公共部分。
（2）和学生一起探讨解决问题的一般方法：先运用口诀定大小，再考虑特殊情况定等号。
教学准备（预习学案）
1、⑴不等式组⎩
⎨⎧-≥>12x x 的解集是 . ⑵不等式组⎩⎨⎧-<-<12x x 的解集是 . ⑶不等式组⎩⎨⎧≥≤14x x 的解集是 . ⑷不等式组⎩⎨⎧-≤>4
5x x 的解集是 .
2、关于x 的不等式组12x m x m >->+⎧⎨⎩
的解集是1x >-，则m = ． 3、如图是表示某个不等式组的解集，则该不等式组的整数解的个数是（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
4、不等式组⎩
⎨⎧--≤-.32,281x ＞x x 的最小整数解是（ ） A ．－1 B ．0 C ．2 D ．3
5、满足21≤<-x 的所有整数为___________ __.
6、满足21≤≤-x 的所有整数为________________ __.
7、请写出一个只含有三个整数1、2和3的解集为 。
预习要求：
1、复习上节课的知识，考察学生对一元一次不等式组的解集的四种情况的熟悉程度， 能直接根据下面口诀求出不等式组的解集：同大取大；同小取小；大小小大（大于较小的数，小于较大的数）在中间；大大小小（大于较大的数，小于较小的数）不存在.
2、根据不等式组的解集，结合数轴，能找出满足条件的解（如整数解），并能注意“a x <”与“a x ≤”的区别，为本节课的拓展应用打下基础。
教学步骤：
一、例题教学
例1、
1、关于x 的不等式3m-x<5的解集x>2,求m 的值。
2、不等式 mx-2<3x+4的解集是 ， 则m 的取值范围是
变式1.如果不等式（m ﹣2）x ＞m ﹣2的解集为x ＜1，那么（ ）
A ．m≠2 B．m ＞2
C ．m ＜2
D ．m 为任意有理数
例2、处理预习学案5、6、7
若不等式组 的解集是x ≤ a ，则a 的取值范围是( )
A 、a<3
B 、a=3
C 、a≤3
D 、a≠3
变式3：关于x 的不等式组010x a x ->⎧⎨->⎩
，只有3个整数解，则a 的取值范围是（ ） A. －3≤a ≤－2 B. －3≤a ＜－2 C. －3＜a ≤－2 D. －3＜a ＜－2
例3、拓展应用
（1）若不等式组12x x m <≤⎧⎨>⎩
有解，则m 的取值范围是（ ）． A ．m<2 B ．m≥2 C ．m<1 D ．1≤m<2
（2）不等式组⎩⎨⎧<->-1
0a x a x 的解集中的任一个x 值均不在2≤x ≤5范围内，则a 的范围
为 。
设计目的：考察两个不等式的解集之间的关系，（1）说明两个解集有公共部分，（2）
说明两个解集没有公共部分。
结合图形，运用数轴分析法，指出解决问题的一般方法：先在数轴上确定不等式的解集的大概位置，再确定不等式的两个基点是否能取到（等号问题）。
二、本节课小结：
1、学生谈本节收获：优等生谈重点学到什么知识，上进生谈体会。
2、教师小结：这节课主要学习了含参数的不等式组的解集问题，在解决问题中体现出数形结合、分类讨论的数学思想的重要应用，要好好体会。
三、当堂反馈：
1、不等式组2131x x -<⎧⎨≥-⎩
的解集是（ ） A.2x < B.1-≥x C.12x -≤< D ．无解
⎩⎨⎧≤≤a
x x 3
2、已知a b <<0，那么下列不等式组中有解的是 （ ）
A ．⎩⎨⎧<>b x a x
B ．⎩⎨⎧-<->b x a x
C ．⎩⎨⎧-<>b x a x
D ．⎩⎨⎧>-<b
x a x
3、已知不等式组⎩
⎨⎧<>a x x 1无解，则a 的取值范围是（ ） A .a ≤1 B .a ≥1 C . a <1 D .a ＞1
4、不等式a ≤x ≤3只有5个整数解，则a 的范围是
5、若不等式组⎩⎨
⎧<->-3212m x m x 的解集中的任何一个x 值均不在1≤x<3范围内，则m 的取值范围为 .
四、布置作业：见作业本
设计要求：为了让不同的人有不同的收获，我把作业分为选做题和必做题。
优等生做基础和提高题，上进生做基础题，达到分层教学的目的。