数学物理方法第1章复变函数-2016
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
数学物理方法第四版课后答案
数学物理方法第四版课后答案《数学物理方法第四版课后答案》第一章：复变函数1.1 复数与复平面题目1：将以下复数写成极坐标形式：a) z = 3 + 4ib) z = -2 - 5ic) z = 5i解答：a) r = √(3^2 + 4^2) = 5, θ = arctan(4/3)∴ z = 5(cos(arctan(4/3)) + i*sin(arctan(4/3)))b) r = √((-2)^2 + (-5)^2) = √(4 + 25) = √29, θ = arctan((-5)/(-2)) = arctan(5/2)∴ z = -√29(cos(arctan(5/2)) + i*sin(arctan(5/2)))c) r = √(0^2 + 5^2) = 5, θ = arctan(0/5) = 0∴ z = 5(cos(0) + i*sin(0)) = 5i题目2：计算以下复数的共轭：a) z = 3 + 4ib) z = -2 - 5ic) z = 5i解答：a) z* = 3 - 4ib) z* = -2 + 5ic) z* = -5i...第二章：常微分方程2.1 一阶微分方程题目1：求解以下一阶线性非齐次微分方程：a) \\frac{dy}{dx} + 2y = e^xb) \\frac{dy}{dx} - y = 3x^2解答：a) 首先求齐次方程的解，即 \\frac{dy}{dx} + 2y = 0观察到该方程的解为 y = Ce^{-2x}，其中 C 为任意常数然后考虑非齐次方程的解，即 \\frac{dy}{dx} + 2y = e^x令 y = A e^{-2x}，其中 A 为待定常数\\frac{dy}{dx} = -2A e^{-2x}，代入方程得到 -2A e^{-2x} + 2A e^{-2x} = e^x解得 A = -\\frac{1}{4}∴ 非齐次方程的解为 y = -\\frac{1}{4} e^{-2x}，加上齐次方程的解得到最终解 y = Ce^{-2x} - \\frac{1}{4} e^{-2x}b) 首先求齐次方程的解，即 \\frac{dy}{dx} - y = 0观察到该方程的解为 y = Ce^x，其中 C 为任意常数然后考虑非齐次方程的解，即 \\frac{dy}{dx} - y = 3x^2令 y = A e^x + B，其中 A、B 为待定常数\\frac{dy}{dx} = A e^x，代入方程得到 A e^x - (A e^x + B) = 3x^2解得 B = -3x^2∴ 非齐次方程的解为 y = A e^x - 3x^2，加上齐次方程的解得到最终解 y = Ce^x - 3x^2...通过以上两个例题，可以看出在解一阶线性非齐次微分方程时，首先解齐次方程得到通解，然后根据非齐次项的形式确定待定系数，最后将通解与待定解相加得到最终解。
第01章_复变函数
a ib
a cos cos(2 ) cos(3 ) cos( n )
sin(n 1/ 2) sin( / 2) 2sin( / 2)
b sin sin(2 ) sin(3 ) sin(n )
WangChengyou © Shandong University, Weihai
(cos isin ) e i
1 i i cos (e e ) 2
(二) 无限远点 N 无限远点 A z S
1 i i sin (e e ) 2i
黎曼(Riemann) 复数球 球面
有限远点
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第1章 复变函数
17
ei /2 (ei( n 1/2) ei /2 ) W i /2 i /2 i /2 e (e e )
cos(n 1/ 2) i sin(n 1/ 2) cos( / 2) i sin( / 2) 2i sin( / 2)
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第1章 复变函数
14
例：计算 W a ib 解：令 z a ib z (cos i sin )
z a 2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
1/2
W a ib z (cos i sin )
Argz
x
y
Argz 2kπ
(k 0, 1, 2,)
r
Argz
x
0 arg z 2π
数学物理方法第一章
x1 iy 1 x 2 iy 2
x1 iy 1 x 2 x 2 iy 2 x 2
iy 2
iy 2
i
x 2 y 1 x1 y 2 x2 y2
2 2
复数的乘除用指数式更方便！
7
数学物理方法
复数的乘除用指数式更方便！
28
数学物理方法
另外，在复平面z上，绕原点和不绕原点转一圈， 角变化不一样。绕原点转一圈角增加了2，而 不绕原点转一圈，角不变。 一般地，对于多值函数ω = f(z)，若有这样的点z = z0，在它的邻域内当z的辐角改变2（即z绕z0一周） 时，ω的值并不还原，则z0点称为该函数的枝点。
i
ln i
若0是z的辐角的某一值，则 ln i 0 2 n （n为 整数） 都是lnz的值。即对数函数是一个多值函数。
幂函数：
s s ln z
（s为复数）
z e 我们还可以用类似于实数函数的定义方法定义反
三角函数、反双曲函数等。 值得注意的是正弦、余弦复变函数的模可大于1。
i5ຫໍສະໝຸດ 数学物理方法例1.1 下列式子在复平面z上表示什么 （1）R e z
1 2
，（2）R e 1
z
2
解：(见document 1.1)
例1.2 把下列复数用代数式、指数式和三角式表示 出 （1）i，（2）-1，（3）z2 解：(见document 1.1)
6
数学物理方法
3、复数运算 复数相等：当且仅当两个复数的实部和虚部分别 相等时这两个复数才相等。 复数加减：
2
2
xy
同样有：
0 0 即解析函数的实部和虚部都是二维的调和函数。 x y x y 同一解析函数的实部和虚部称为共轭调和函数。
《数学物理方法》第1章复变函数与解析函数
《数学物理方法》第1章复变函数与解析函数首先，复数是由实数和虚数单位i组成的数，形式上可以写成a+bi，其中a和b分别表示实部和虚部。
复数之间的加、减、乘、除运算规则与实数类似，只是需要注意虚数单位i的平方等于-1，即i²=-1接下来，复变函数是指自变量和函数值都是复数的函数。
对于复数z=x+iy，其中x和y是实数，我们可以将复变函数f(z)再拆分为u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)分别是实部和虚部。
如果在一些区域内u(x,y)和v(x,y)都是连续且可微的，那么f(z)就是该区域内的解析函数。
解析函数的几何意义是它可以通过无限次的微商得到。
解析函数具有一些重要的性质。
首先，解析函数的实部和虚部满足柯西-黎曼方程，即它们的一阶偏导数满足以下关系：∂u/∂x=∂v/∂y，∂u/∂y=-∂v/∂x。
其次，解析函数的共轭函数也是解析函数。
第三，解析函数可以表示为幂级数的形式，这是解析函数的显著特征之一、最后，解析函数在一些区域内的积分只依赖于积分路径，与路径无关。
这个性质被称为留数定理。
在复变函数的应用中，经常会遇到三个重要的方程：拉普拉斯方程、泊松方程和亥姆霍兹方程。
拉普拉斯方程是描述无源场的分布的方程，它的形式为▽²f=0，其中▽²表示拉普拉斯算子。
泊松方程是描述有源场的分布的方程，它的形式为▽²f=ρ/ε₀，其中ρ为电荷密度，ε₀为真空介电常数。
亥姆霍兹方程是波动方程的一个特例，描述了电磁场、声波、横波等的传播与干涉，它的形式为▽²f+k²f=0，其中k为波数。
综上所述，《数学物理方法》第1章复变函数与解析函数主要介绍了复数的定义、复变函数与解析函数的概念，以及解析函数的性质和三个重要的方程的应用。
对于学习物理或数学的同学而言，掌握复变函数与解析函数的基本知识是非常重要的，它为后续的学习提供了重要的数学工具。
复变函数
(cos sin )nnin nn i ez φφφρρ=+=1212z z z z +≤+1212z z z z -≥-1212121221()()z z x x y y i x y x y =-++121112212222222222x x y y y y z x x i z y y x x -+=+++n sin )i i n nφφφ=+=2*,zzz zz z z ==数学物理方法教学提纲第一篇复变函数论第一章复变函数1.1 复数与复数运算复数的代数式：z=x+iy R e z=x I m z=y 复数平面，实轴和虚轴复数z 可以用复数平面上的矢量来表示。
复数的三角式：复数的指数式：复数的模记作 复数的辐角记作：Argz复数的辐角值可以取无穷多个值，彼此相差2π的整数倍 幅角的主值： π2arg 0 z ≤arg 2Argz z k φπ==+ (0,1,2,k =±±……）共轭复数：(cos sin )i z x iy i e φφφ-*=-=ρ-=ρ复数的和：121212()()z z x x i y y +=+++两个复数的和对应于两个矢量的合矢量，并且有 复数的差：121212()()z z x x i y y -=-+-，并且有 复数的积：复数的商：复数的乘、除、乘方和开方的运算采用三角式或指数式比代数式方便12()121212)1212cos(sin()i z z i e φφρρφφφφρρ+⎡⎤++⎢⎥⎣⎦=+=11121222[cos()sin()]z i z ρφφφφρ=-+-整数次幂： n(整数) 可以取n 个不同的值。
注意点：i z e φ=ρcos sin z i φφ=ρ(+)z ||00()()lim lim z z w f z z f z z z∆→∆→∆+∆-=∆∆1.2 复变函数复变函数的定义：若在复数平面上存在一个点集E ，对于E 的每一点Z ，按照一定规律，有一个或多个复数值w 与之相对应，则称w 为Z 的函数（复变函数），记作w=f(z)，z ∈E邻域：以复数Z 0为圆心，以任意小正实数ε为半径做一个圆，则园内所有点的集合称为Z 0的邻域。
1. 复变函数
4. 外z0为点E：的如外果点z0。及其邻域的所有点都不属于E，那么称 5. 不的境属内界于点点E，：点也如，不果则是在称Ez0z的的0 外为邻点该域。点内境集，界的既点境有的界属全点于体；E的称它点作既，境不也界是有线E 。
6. 区域的定义：平面点集B称为一个区域，如果它满足 下列两个条件：I. B是开集，或者说B完全由内点组 成；II. B是连通的。
sin z = 1 (eiz − e−iz ), 2i
cos z = 1 (eiz + e−iz ); 2
sinh z = 1 (ez − e−z ), 2
cosh z = 1 (ez + e−z ); 2
注意：|sin z|和|cos z|可以大于1.
3. 根式函数：
根式函数是 多值函数！
z = r ⎜⎛ cos θ + 2 kπ + i sin θ + 2 kπ ⎟⎞
2. 解析与可导的关系；函数在某点解析，则必在该点 可导；反之不然。在区域B内的解析函数必在B内 可导。
3. 称函数的不解析点为奇点。 4. 解析函数的充分必要条件：函数 f(z) 在区域B内解
析，当且仅当 A. 实部和虚部在B内可导； B. 实部和虚部在B内每一点满足柯西-黎曼条件。
• （二）解析函数的主要性质
第一篇 复变函数论 第二篇 数学物理方程
第一章 复变函数
§1.1 复数及运算 §1.2 复变函数 §1.3 复变函数的导数 §1.4 解析函数 §1.5 平面标量场
§1.1 复数及运算
• （一）复数的概念：
1. 形如z=x+iy的数被称为复数，其中i为虚数单位，x ,
y∈R。 2. x=Rez，y=Imz分别为z的实部和虚部。
数学物理方法第1章复变函数-2016解答
【解】 设方根为 w k ，根据上面公式有
wk
1 e n
i 2kπ n
k 0,1,2,…,n 1
当 n=2 时，其根为 1. 对应于单位圆与实轴
的两交点.
22
当 n 3 时，各根分别位于单位圆 z 1的内接正多边
形的顶点处，其中一个顶点对应着主根： w0 1 , (k 0 ) .
面上的一个矢量， 为矢量长度，
为幅角 。记
z ei
z=x+iy=2k 幅角主值：0 Arg z 2 , Arg z ,
(z 0, ; k 0,1,2,...)
注：arg ：argument (幅角、宗量，自变量）
数学物理方程(方法)
共60学时，3学分.
（以课堂讲授为主，加强课前和课后练习）
考试时间：暂定11月30日下午 考核方式：30%作业+70%期末考试
主要参考书目：
1. 梁昆淼 《数学物理方法》（第四版）高等教育出版社. 2. 吴崇试，《数学物理方法》，北京大学出版社 3. 冉扬强，《数学物理方法》， 科学出版社。 4. 王友年等《数学物理方法》，大连理工大学出版社
等式，对于 x 0 ，其辐角不满足要求.
24
1.2 复变函数 (一) 复变函数的定义
在复平面上一点集 E 中每一点z ，都有一个或几个 复数w与之对应，称w为 z 的函数，E 为定义域，记 w =f(z)，z E 。z有时称为宗量(argument) 或自变量。 实函数: y=f(x)= ± x^(1/2), x>=0 多值
17
N
A’
A
S
球的南极与复数平面的原 点相切，平面上任意点 A 与球的北极由一条直线相 连，直线与球相交于 A’ 。 由此，每一有限的复数 投 影到球上一点 。这个投影 叫测地投影，这个球叫复 数球。
数学物理方法 第一章 复变函数
z2
i=e
iπ
iπ / 2
e +1 = 0
This identity is particularly remarkable as it involves e, π, i, 1 and 0, arguably the five Leonhard Eular (1707-1783) Swiss most important constants in 4 mathematician, mathematics.
复数除法图示二
y z2
z1 z= z2
z1
|λ | | z | = | z 2 | | z1 | | λ |= 1 | z1 | | z |= | z2 |
ρ=1
ϕ 2- ϕ 1 ∆ o z2 λ ≈ ∆ o z1 z
o
λ x
z （杨超）13451827646
13
指数运算
z =ρ e
n n inϕ
= ρ (cos nϕ + i sin nϕ ) , 特别当 ρ = 1,
n
e inϕ = (e iϕ ) n = (cos ϕ + i sin ϕ ) n = cos nϕ + i sin nϕ
根式运算
n
z= ρe
n n
[
i(ϕ + 2 kπ )
]
1 n
=n ρ e
i
( ϕ + 2 kπ ) n
ϕ + 2 kπ ϕ + 2 kπ = ρ cos + i sin n n k = 0, 1, 2, ... , n - 1
2 2
(for 0 ≤ ϕ 0 < 2π ) (for 0 ≤ ϕ 0 < π ) (for π ≤ ϕ 0 < 2π )
第一章 复变函数
(1, 0) 代表实数1，(0, 1) 称作虚单位，记作 i ，即
i = (0,1)
α = (a, b) = a(1,0) + b(0,1) = a + ib
基本运算法则
z1 = x1 + iy1
加减法法则： z1 ± z2 乘法法则：
z2 = x2 + iy2
n→∞
一个序列的极限必然是此序列的聚点，而且是唯一的聚点。
1.3 复变函数
定义 点集的内点
若以某一点为圆心做一个圆，只要半径足够小，使圆 内所有点属于该点集，称此点为点集的内点。
定义
区域
同时满足下列两个条件的点集。 （1）全部都由内点组成 （2）具有连通性——点集中任意两点都可以用一条 折线连接起来，这线上的点全都属于此点集。
称这一对有序实数 (a, b ) 定义了一个复数 α，记作
α = (a , b ) = a (1,0) + b(0,1)
a = Re α 为的实部，b = Im α 为的虚部。
两个复数相等指这两个复数的实部和虚部分别相等。 复数不能比较大小。
？ 实数↔复数
定义 实数集 R 是复数集 C 的一个子集。 实数 a（当然可以称作复数 α ）记为
= ( x1 ± x2 ) + i( y1 ± y2 )
z1 ⋅ z2 = ( x1 + iy1 )( x2 + iy2 ) = x1 x2 + x1iy2 + iy1 x2 + iy1iy2 = ( x1 x2 − y1 y2 ) + i( x1 y2 + y1 x2 )
除法法则：
z1 x1 + iy1 ( x1 + iy1 )( x2 − iy2 ) = = z 2 x2 + iy2 ( x2 + iy 2 )( x2 − iy 2 ) ( x1 x2 − y1 y2 ) + i ( x1 y2 + y1 x2 ) = 2 2 x2 + y 2 x2 y1 − y2 x1 x1 x2 + y1 y2 = +i 2 2 2 2 x2 + y 2 x2 + y 2
数学物理方法课件-1 复数与复变函数
sin z sinx iy
sin x cosiy cosx sin iy
sin x ey e y cos x ey e y
2
2i
sin2 x ey e y 2 cos2 x ey e y 2
4
4
1 sin 2 x e2 y 2 e2 y cos2 x e2y 2 e2y 2
所有的无穷大复数（平面上无限远点）投影到唯一的北极 N。故我们为 方便，将无穷远点看作一个点。其模无穷大，幅角无意义。
§1.2 复变函数
1. 定义
zz0
邻域
以复数 z0 为圆心，以任意小实数 为半径
作一圆，则圆内所有点的集合称为z0的邻域.
内点
z0 和它的邻域都属于 E， 则 z0 为 E 的内点。
(2) 极坐标
x cos y sin
z x iy cos i sin 复数的极坐标表示
模 幅角, Argz x2 y2
arctg( y / x)
由于三角函数的周期性，复数的幅角不唯一，且 彼此相差2π的整数倍.
)
,
lim
zz0
g(z)
g ( z0 ),则
lim [ f (z) g(z)]
zz0
f (z0) g(z0)
lim
zz0
f (z)g(z)
f
(z0 )g(z0 )
lim f (z) f (z0 ) zz0 g(z) g(z0 )
(g(z0 ) 0)
§1.4 可导与可微
第一章 复数与复变函数
§1.1 复数与复数运算 1. 复数的基本概念
《数学物理方法》1复变函数
外部
定义 复平面上的一个区域 B ，
如果B内的任何简单闭曲线的
内部
边界
内部总在B内，就称 B为单通区 z(a)=z(b) C
域；非单通区域称为复通区域。
单通区域：如果在区域B中作任一简单闭合 曲线，该闭合曲线内的每一点都属于B，则 该区域为单通区域。
复通区域：在区域B中，如果有一简单闭合 曲线，该闭合曲线内有不属于区域B的点， 则该区域为复通区域。
的连续函数，则由方程
x x（t） （ t ）
y y（t）
或 z z（t） x（t） iy（t）
所决定的点集L，称为复数平面上的一条 连续曲线。
若x'(t )、y'(t ) C[a, b]且[ x'(t )]2 [ y'(t )]2 0 则称该曲线为光滑的.
有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线。
z z* i2 y 2 Im z
（z1 z2）* z1* z2*
（ z1 ）* z1*
z2
z2*
三、无限远点、复数球
模 z 有限的复数 对应
复数平面上 有限远点
模 z 的复数 对应
N
复数平面上的 无限远点
· 复数球
复数平面上有限远点和球
面上N以外的点一一对应
·z，
·z 0
x
复数平面无限远点
第一章 复变函数
§1·1 复数与复数运算
一、复数的定义与表示
1.定义: 对任意两实数x、y ,称 z=x+iy为复数
其中 i2 1 , i 称为虚数单位
•复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)
数学物理方程第一章复变函数
dx
u x
dy
可由 (1) 曲线积分
(2) 凑全微分显式
(3) 不定积分
求出
例
u(x, y) x2 y2 求 v(x, y), f (z)
二元函数的线积分，将来在热力学中出现。
解:
2u x 2
2,
2u y 2
2
u 是调和函数;
全微分的积分与路径无关
(1)
v(x,
y)
u y
dx
u x
dy
2 ydx
根式 指数函数 三角函数
双曲函数 对数函数 幂函数
a0 a1z a2 z 2 an z n a0 a1z a2 z 2 an z n b0 b1z b2 z 2 bm z m
a0 a1z a2 z 2 an z n
ez exiy exeiy ex (cos y i sin y)
所有的无穷大复数（平面上无限远点）投影到唯一的北极 N。故我们为 方便，将无穷远点看作一个点。其模无穷大，幅角无意义。
小结
复数 z 是两个独立变量 (x, y) 的集合。 它在数值计算中是一个整体，服从通常的四则运算规则和虚单位的特殊规则； 它可以看作具有两个独立分量的量来表示（矢量）和计算。
1.2. 复变函数
可导：对任何方向的z，极限都存在并唯一。
u(x, y)
u2
u1
r1
r2
0
r1
r2
y
x
y
z z
z
z z'
x 复数
0
x x x
实数
可导：对任何方向的z，极限都存在并唯一。
因此，复函数的可导性是比实函数的可导性强 的多的条件。
柯西—黎曼方程
数学物理方法第1章复变函数-2016
17
N
A’ S
A
球的南极与复数平面的原 点相切，平面上任意点 A 与球的北极由一条直线相 连，直线与球相交于 A’ 。 由此，每一有限的复数 投 影到球上一点 。这个投影 叫测地投影，这个球叫复 数球。
欧拉公式:
可以证明级数
ei cos i sin
1 2 1 n e = 1 z z z 在整个复数范围是绝对收敛的 2! n! 1 1 iy 2 Z=iy e 1 iy (iy ) (iy )3 2! 3! 1 2 1 4 1 3 1 5 (1 y y ) i ( y y y ) 2! 4! 3! 5! cos y i sin y
z1 ( z2 z3 ) z1 z2 z1 z3
小结：复数 z 是两个独立变量 (x, y) 的集合。它在数值 计算中是一个整体，服从通常的四则运算规则。
16
（二）无限远点
复平面的无限远处看成
一个“点”----无限远
点 模有限的复数跟复平面上的有限远点一一对应
模为无限大的复数也跟复平面上一点对应（无限远点）
arg z Arg z 2k
( z 0, ; k 0,1,2,...)
注：arg ：argument (幅角、宗量，自变量） 复共轭
z* x iy ei
13
arg (z) 性质：
arg( z*) arg ( z ) arg(z z ) arg(z ) arg(z ) 1 2 1 2 arg(1 / z ) arg ( z )
数学物理方法1课件——1.3 复变函数的导数
(0,0)
( x,0)
22
2
方法2）凑成微分法
∫ ∫ ( ) ( ) v(x, y) =
(x,y) (−xdx + ydy) = − 1
( x, y )
d
x2 − y2
=−1
x2 − y2
+c
f ′(z) =
lim u(r,θ
Δθ →0
+ Δθ ) + iv(r,θ + Δθ ) − u(r,θ ) − iv(r,θ ) reiθ iΔθ
=
1 reiθ
⎡ ∂v(r,θ ) ⎢⎣ ∂θ
−
i
∂u(r,θ ∂θ
)
⎤ ⎥⎦
由于f (z)导数存在，则与Δz → 0的路径无关，即以上两式相等，即：
⎧⎪⎪⎨⎪1∂∂ur∂u=
dz
Δz →0
Δz
其数学表达形式，与实变函数相同
¾ 说明1：若f(z)在z可导，一定在z点连续；反之，不一定成立。
可导必连续，连续不一定可导 连续是可导的必要条件，而非充分条件 甚至有些函数，处处连续，却处处不可导
例如：f(z)=x,它在全平面上连续，但却处处不可导
lim f (z + Δz) − f (z) = lim Δx
f ′(z) = lim u(x, y + Δy) + iv(x, y + Δy) − u(x, y) − iv(x, y) = ∂v(x, y) − i ∂u(x, y)
iΔy → 0
iΔy
∂y
∂y
f ′(z) = ∂u(x, y) − i ∂u(x, y)
∂x
∂y
f ′(z) = ∂v(x, y) + i ∂v(x, y)
数学物理方法
数学物理方法——复变函数论第一章 复变函数1.1复数与复数运算复数iy x z +=，x 和y 为复数的实部和虚部，记为z Re 和z Im 。
极坐标与直角坐标：⎩⎨⎧=+=)/arctan(22x y y x ϕρ，⎩⎨⎧==ϕρϕρsin cos y x 。
三角式：()ϕϕρsin cos i z +=；指数式：ϕρi e z =。
ρ为复数的模，记作z ；ϕ为复数的辐角，记作Argz 。
z 的主辐角z arg 为Argz 的主值，πk z Argz 2arg +=，π2arg 0<≤z 。
复数“零”的辐角没有明确意义；无限远点记作∞，模为无限大，辐角没有明确意义。
加法：()()212121y y i x x z z +++=+，满足交换律和结合律；2121z z z z +≤+。
减法：()()212121y y i x x z z -+-=-；2121z z z z -≥-。
乘法：()()1221212121y x y x i y y x x z z ++-=，满足交换律、结合律和分配律。
除法：222221122222212121y x y x y x i y x y y x x z z +-+++=。
复数的乘、除、乘方和开方等运算，采用三角式或指数式更简便。
()21+=ϕϕρρi ez z 2121，()21-=ϕϕρρi e z z 2121，ϕρin n n e z =，n i n n e z ϕρ=，2*z zz =，2z zz =。
注：复数写成指数式时，注意辐角变化。
补充：复数的共轭运算：*z x iy =-，**()z z =，***1212()z z z z ±=±，***1212()z z z z ⋅=⋅。
内积：*12z z ⋅；模：1*2()z z z =⋅。
1.2复变函数复变函数)(z f w =，E z ∈。
z 称为w 的宗量，定义域为E ，邻域：以复数0z 为圆心，以任意小正实数ε为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为0z 的邻域。
(完整word版)数学物理方法总结(改)(word文档良心出品)
数学物理方法总结第一章 复变函数复数的代数式:z=x+iy复数的三角式和指数式:(cos sin )z ρϕϕ=+和i z e ϕρ=欧拉公式:{1sin ()21cos ()2iz iz iz izz e e iz e e --=-=+柯西-黎曼方程(或称为柯西-黎曼条件):{u u x yv v x y∂∂=∂∂∂∂=-∂∂ (其中f(z)=u+iv)函数f(z)=u+iv 在点0z 及其领域上处处可导,则称f(z)在0z 点解析.在区域B 上每一点都解析,则称f(z)是在区域B 上的解析函数.解析函数的性质:1.若函数f(z)=u+iv 在区域B 上解析,则12(,),(,)u x y C v x y C ==(12,C C 为常数)是B 上的两组正交曲线族.2.若函数在区域B 上解析,则u,v 均为B 上的调和函数,即22220u vx y∂∂+=∂∂ 例题: 已知某解析函数f(z)的实部22(,)u x y x y =-,求虚部和这个解析函数.解答: 由于22ux∂∂=2;22v y ∂∂=-2;则22220u v x y ∂∂+=∂∂曲线积分法u x ∂∂=2x;u y ∂∂=-2y.根据C-R 条件有:v x∂∂=2y;v y ∂∂=2x.于是 22dv ydx xdy =+;(,0)(,)(0,0)(,0)(,)(,)(,0)(22)(22)(22)22x x y x x y x y x v ydx xdy C ydx xdy ydx xdy Cxdy C xy C=++=++++=+=+⎰⎰⎰⎰凑全微分显式法 由上式可知 22dv ydx xdy =+ 则易得 (2)dv d xy = 则显然 2v xy C =+不定积分法 上面已有v x∂∂=2y;v y ∂∂=2x则第一式对y 积分,x 视为参数,有 2()2()v xy x xy x ϕϕ=+=+⎰. 上式对x 求导有2'()vy x xϕ∂=+∂,而由C-R 条件可知 '()0x ϕ=, 从而 ()x C ϕ=.故 v=2xy+C.222()(2)f z x y i x y C z i C=-++=+第二章 复变函数的积分单连通区域柯西定理 如果函数f(z)在闭单连通区域B 上解析,则沿B 上任意一分段光滑闭合闭合曲线l(也可以是B 的边界),有()0lf z dz =⎰.复连通区域柯西定理 如果f(z)是闭复连通区域上的单值解析函数,则1()()0inll i f z dz f z dz =+=∑⎰⎰.式中l 为区域外边界线,诸i l 为区域内边界线,积分均沿边界线的正方向进行.即1()()inll i f z dz f z dz ==∑⎰⎰.柯西公式 1()()2lf z f dz iz απα=-⎰n 次求导后的柯西公式 ()1!()()2()n n l n f fz d i z ζζπζ+=-⎰第三章 幂级数展开幂级数200102000()()()......()......kk kk k a z z a a z z a z z a z z ∞=-=+-+-++-+∑其中0a ,1a ,2a ,3a ,……都是复常数. 比值判别法(达朗贝尔判别法) 1.若有110100limlim1k k k kk k kk a z z a z z a a z z +++→∞→∞-=-<- 则 2010200............kk a a z z a z z a z z +-+-++-+收敛,200102000()()()......()......kk kk k a z z a a z z a z z a z z ∞=-=+-+-+-+∑绝对收敛.若极限1lim /k k k a a +→∞存在,则可引入记号R,1limkk k a R a →∞+=,于是,若0z z R -<,则 200102000()()()......()......kk kk k a z z a a z z a z z a z z ∞=-=+-+-+-+∑绝对收敛.2.若0z z R ->,则后项与前项的模之比的极限11010l i m l i m 1k k k k k k kk a z z aR a a z z +++→∞→∞->=-,即说明20102000()()()......()......k k k k k a z za a z z a z z a z z ∞=-=+-+-+-+∑发散.例题: 求幂级数2461.....z z z -+-+的收敛圆,z 为复变数. 解答: 由题意可得 1l i m1kk k a R a →∞+== 故 246211......1z z z z -+-+=+ (1z <). 泰勒级数展开 设f(z)在以0z 为圆心的圆R C 内解析,则对圆内的任意z 点,f(z)可展为幂级数,0()()kkk f z a z z ∞==-∑,其中1()010()1()2()!R n k k C f z f a d iz k ζζπζ+==-⎰,1R C 为圆R C 内包含z 且与R C 同心的圆.例题: 在00z =的领域上将()zf z e =展开 解答: 函数()zf z e =的各阶导数()()n z fz e =,而()()0()(0)1k k f z f ==.则ze 在00z =的领域上的泰勒展开23401............1!2!3!4!!!k kzk z z z z z z e k k ∞==++++++=∑. 双边幂级数212010010220......()()()()......a z z a z z a a z z a z z ----+-+-++-+-+洛朗级数展开 设f(z)在环形区域201R z z R <-<的内部单值解析,则对环域上的任一点z,f(z)可展为幂级数0()()kkk f z a z z ∞=-∞=-∑.其中101()2()k k Cf a d iz ζζπζ+=-⎰, 积分路径C 为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线.例题1: 在1z <<∞的环域上将2()1/(1)f z z =-展为洛朗级数.解答: 22222460211111111......111kk z z zz z z z z ∞=⎛⎫===+++ ⎪-⎝⎭-∑ 例题2: 在01z =的领域上将2()1/(1)f z z =-展为洛朗级数. 解答: 由题意得21111()()1211f z z z z ==---+ 则有z-1的-1次项,而0111111(1)()111222212kk k z z z z ∞=-===--+-++∑ (12z -<) 故 01111()(1)()2142k kk z f z z ∞=-=---∑.第四章 留数定理留数定理 设函数f(z)在回路l 所围区域B 上除有限个孤立奇点1b ,2b ,……,n b 解析,在闭区域B 上除1b ,2b ,……, n b 外连续,则11()2R e ()2nj lj f z d z i s f b i aππ-===∑⎰. 其中,1111Re ()lim{[()()]}(1)!j m m j j m z b d a sf b z b f z m dz---→==--. 推论1: 单极点的留数为000Re ()lim[()()]z z sf z z z f z →=-.推论2: 若f(z)可以表示为P(z)/Q(z)的特殊形式,其中P(z)和Q(z)都在0z 点解析,0z 是Q(z)的一阶零点(0()0Q z =).0()0P z ≠,则000000()()'()()()Re ()lim()lim ()'()'()z z z z P z z z P z P z P z sf z z z Q z Q z Q z →→+-=-==. 上式最后一步应用了罗毕达法则.留数定理的应用 类型一20(cos ,sin )R x x dx π⎰.作自变量代换 ix z e =.则式子变为111(,)22z z z z z dzI R iz--=+-=⎰.例题: 计算 202cos dxI xπ=+⎰.解答: 21201122cos 41(2)2z z dxdz dzI i i z z xz zz π-====-=-+++++⎰⎰⎰,Z的单极点为1,22z ==- 则221Re (22241z s i z z z π→--=+=++, 由于2-1z =内.故 I =. 类型二()f x dx ∞-∞⎰.积分区间是(,)-∞∞;复变函数f(z)在实轴上没有奇点,在上半平面除了有限个奇点外是解析的;当z 在上半平面及实轴上→∞时,zf(z)一致地0→.则式子可以变为()2I f x d x i π∞-∞==⎰{f(z)在上半平面所有奇点的留数之和}.例题: 计算21dx x ∞-∞+⎰. 解答: 21dzI z ∞-∞=+⎰的单极点为1,2z i =±.21Re ()2lim()1z i sf i i z i z ππ→=-=+,故21dxx π∞-∞=+⎰.类型三()cos F x mxdx ∞⎰,0()sin G x mxdx ∞⎰,积分区间是[0,]+∞;偶函数F(x)和奇函数G(x)在实轴上没有奇点,在上半平面除了有限个奇点外是解析的;当z 在上半平面或实轴上→∞,F(z)及G(z)一致地0→.则式子可以变为0()c o s {()}i m xF x m x d x i F x e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和;()s i n {()}i m x G x m x d x G x e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和. 若类型二,类型三的实轴上有有限个奇点,则有()2Re ()Re ()f x dx isf z isf z ππ∞-∞=+∑∑⎰在上平面实轴上.其中,在类型三中f(x)应理解为()imzF x e或()imxG x e.第五章 Fourier 变换傅里叶级数 周期为2l 的函数f(x)可以展开为级数01()(c o s s i n )k kk k x k x f x a a b llππ∞==++∑. 其中,{1()cos1()sin lk lk lk l k a f d l lk b f d l lπξξξδπξξξ--==⎰⎰, k δ={2(0)1(0)k k =≠.注: 积分上下限只要满足 上-下=2l 即可. 复数形式的傅里叶级数 ()k xilkk f x c eπ∞=-∞=∑其中 *1()[]2k x i l lk l c f e d lπξξ-=⎰. 傅里叶积分 0()()cos ()sin f x A xd B xd ωωωωωω∞∞=+⎰⎰傅里叶变换式 {1()()cos 1()()sin A f d B f d ωξωξξπωξωξξπ∞-∞∞-∞==⎰⎰复数形式的傅里叶积分{*()()()()[]i xi x f x F e d F f x e dx ωωωωω∞-∞∞-∞==傅里叶变换的性质(1) 导数定理 F [f ’(x)]=iwF(w)(2) 积分定理 F [()()x f d ξξ⎰]=1()F w iw(3) 相似性定理 F [f(ax)]=1()wF a a(4) 延迟定理 F [0()f x x -]=0()iwx e F w -(5) 位移定理 F [0()iw xef x ]=0()f w w -(6) 卷积定理 若F [1()f x ]=1()F w ,F [2()f x ]=2()F w ,则 F [1()f x *2()f x ]=122()()F w F w π. 其中1212()*()()()f x f x f f x d ξξξ∞-∞=-⎰称为1()f x 和2()f x 的卷积.δ函数()x δ={0(0)(0)x x ≠∞=.()bax dx δ=⎰{0(,0,0)1(a<0<b)a b <>都或都.δ函数的一些性质1. ()x δ是偶函数.()()'()'()x x x x δδδδ-=-=-2. ()()xH x t dt δ-∞==⎰{0(0)1(0)x x <>.3.00()()()f t d f t τδττ∞-∞-=⎰.第六章 Laplace 变换拉普拉斯变换 0()()ptf p f t e dt ∞-=⎰拉普拉斯变换的一些性质 (1) 线性定理 若11()()f t f p ,22()()f t f p ,则 1121122()()()()c f t c f t c f pc fp ++. (2) 导数定理 '()()(0)f t p f p f -.(3) 积分定理1()td p ϕττ⎰L [()p ϕ]. (4) 相似性定理 1()()p f at f p a . (5) 位移定理 ()()te f t f p λλ-+.(6) 延迟定理 00()()pt f t t e f p --. (7) 卷积定理 若11()()f t f p ,22()()f t f p ,则1212()*()()()f t f t f p f p , 其中12120()*()()()tf t f t f f t d τττ=-⎰称为1()f t 和2()f t 的卷积.第七章 数学物理定解问题(1) 均匀弦的微小振动,均匀杆的纵振动,传输线方程,均匀薄膜的微小横振动,流体力学与声学方程,电磁波方程的形式为20tt xx u a u -=或220tt u a u -∆=或230tt u a u -∆=.(2) 扩散方程,热传导方程的形式为20t xx u a u -=或20t u a u -∆=.(3) 稳定浓度分布,稳定温度分布,静电场,稳定电流场方程的形式为(拉普拉斯方程)0u ∆=.(4) 以上方程中x u 意为ux∂∂,xx u 意为22u x ∂∂.若以上各方程均为有源,则方程为 各方程=f(x,y,z,t).定解条件初始条件 初始”位移” 0(,,,)(,,)t u x y z t x y z ϕ==, 初始”速度” 0(,,,)(,,)t t u x y z t x y z ψ==. 边界条件 第一类边界条件 (,)(,)u r t f M t ∑=第二类边界条件(,)u f M t n∑∂=∂第三类边界条件 ()(,)uu Hf M t n ∑∂+=∂ 衔接条件 00(0,)(0,)u x t u x t -=+00(0,)(0,)()x x Tu x t Tu x t F t +--=-.(T 为张力) 达朗贝尔公式 定界问题 达朗贝尔公式 11(,)[()()]()22x at x at u x t x at x at d aϕϕψξξ+-=++-+⎰. 其中0()t u x ϕ==,0()tt u x ψ==.()x -∞<<∞第八章 分离变数法泛定方程 20tt xx u a u -=(若该方程可以使用分离变量法,则可以化成2''()''()()()T t X x a T t X x λ==-). ''()()0X x X x λ+=在不同的边界条件下解不同.边界条件(1) {(0)0()0X X l == , X(x)的解为 {2()()sinn n n ln X x C x lπλπ== 其中 n=1,2,3……(2) {'(0)0()0X X l ==, X(x)的解为 {21()2[]1()2()cosn n k lk X x C x lπλπ+=+= 其中 k=0,1,2……(3) {(0)0'()0X X l ==, X(x)的解为 {21()2[]1()2()sinn n k l k X x C x lπλπ+=+= 其中 k=0,1,2…… (4) {'(0)0'()0X X l ==, X(x)的解为 {2()()cosn n n ln X x C x lπλπ== 其中 n=0,1,2……T(t)的方程在有n 且n=0时的解为 ()T t At B =+; 在0n ≠时的解为()sincos n a n aT t A t B t l lππ=+; 在有k 的情况下为(21)(21)()sincos 22k a k aT t A t B t l lππ++=+. 初始条件 将u(x,t)=T(t)X(x)带入初始条件,确定u(x,t)中的常数项.欧拉型常微分方程 22220d R dRm R d d ρρρρ+-=. 解法为做代换t e ρ=.第九章 二阶常微分方程级数解法 本征值问题拉普拉斯方程 0u ∆=(1) 球坐标系下 2222222111()(sin )0sin sin u u ur r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂. 分解为 2222(1)0R R r r l l R r r ∂∂+-+=∂∂ 其解为 11()ll R r Cr D r+=+. 和22211(sin )(1)0sin sin Y Y l l θθθθθϕ∂∂∂+++=∂∂∂(球方程,(,)()()Y θϕθϕ=ΘΦ) 球方程又可以分离为 ''()()0ϕλϕΦ+Φ= 其中有 ()(2)ϕϕπΦ=Φ+,其方程解为 {2()cos sin m A m B m λϕϕϕ=Φ=+ 其中 m=0,1,2……和 22222(1)2[(1)]01d d m x x l l dx dx x ΘΘ--++-Θ=- (连带勒让德方程).(2) 柱坐标系下 2222211()0u u u z ρρρρρϕ∂∂∂∂++=∂∂∂∂.分解为 ''()()0ϕλϕΦ+Φ= 其中有 ()(2)ϕϕπΦ=Φ+,其方程解为{2()cos sin m A m B m λϕϕϕ=Φ=+ 其中 m=0,1,2…… 和 ''0Z Z μ-=和 22221()0d R dR m R d d μρρρρ++-=. 当0μ=时,Z=C+Dz,()R ρ={ln (0)/(1,2,3......)m m E F m E F m ρρρ+=+=; 当0μ>时,()Z z De =+,方程R 转换为 22222()0d R dR x x x m R dx dx++-=(x =,m 阶贝塞尔方程). 当0μ<时,()Z z C D =+,方程R 转换为22222()0d R dR x x x m R dx dx +-+=(x =,m 阶虚宗量贝塞尔方程). 亥姆霍兹方程 20v k v ∆+=.在00x =的领域上l 阶勒让德方程的解为 0011()y x a y a y =+ 其中 2402()(1)(2)()(1)(3)1...2!4!(22)(24)...()(1)(3)...(21)......(2)!k l l l l l l y x x k l k l l l l l k x k -+--++=+++-----+++-++ 35121(1)(2)(3)(1)(2)(4)...3!5!(21)(23)...(1)(2)(4)...(2)......(21)!k l l l l l l y x x x k l k l l l l l k x k +-+--++=+++-----++++++第十章 球函数高次项l x 的系数 2(2)!2(!)l l l a l = (在乘以适当的常数之后),用递推公式改写后为2(2)(1)()(1)k k k k a a k l k l +++=-++,则 22(22)!(1)!2()!(2)!l n l l n a n l n l n --=---.则勒让德多项式为 [/2]20(22)!()(1)!2()!(2)!l kl k l l k l k P x x k l k l k -=-=---∑.[/2]l ={/2()(1)/2()l l l l -为偶数为奇数. ()1o P x =1()cos P x x θ==2211()(31)(3cos 21)24P x x θ=-=+ 3311()(53)(5cos33cos )28P x x x θθ=-=+ 42411()(35303)(35cos 420cos 29)864P x x x θθ=-+=++…… 勒让德多项式是正交的例题1: 以勒让德多项式为基,在区间[-1,1]上把f(x)=3234x x ++展开为广义傅里叶级数.解答: 3234x x ++=00112233()()()()f P x f P x f P x f P x +++ = 23012311(31)(53)22f f x f x f x x ++-+- 则有 02142f f -=, 13332f f -=, 2302f =, 3522f =. 故有3234x x ++=0132144()()()55P x P x P x ++. 例题2: 在半径0r r =的球的内部求解拉普拉斯方程使满足边界条件02cos r r u θ==. 解答: 边界条件与ϕ无关,故选择球坐标,则有10(,)()(c o s )l l l l l l B u r A r P r θθ∞+==+∑. 又有自然边界条件 0r u =有限故0l B =.则有(,)(c o s )ll ll u r A r P θθ∞==∑. 而02202012cos (cos )()()33l l lr r l u A r P x P x P x θθ∞======+∑,则 22200121(,)(c o s )(c o s )33l l l l u r A r P r P r θθθ∞===+∑.。
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z = x + i y = x 1+ y i
x, y:实数，x—实部（Real part, 简称 Re z ) y —虚部 (Imaginary part ，简称 Im z ) 1：实数单位 1*1=1 i：虚数单位 i*i = -1
9
5
欧拉像使用实数一样有效地使用复数 ,数学家们也因此对复数产 生了一些信心。在 18世纪,尽管一些数学家已较为广泛地使用复 7 数,但无论欧拉还是别的数学家对这些数都还不甚清楚。
数学物理方程(方法)
共60学时，3学分.
（以课堂讲授为主，加强课前和课后练习）
课 程 框 架 物理 (原理，现象，规律等）
第一篇 复变函数论
复变函数论（ complex functions ）： 研究自变量是复数的函数理论及应用，主要研究解析函数 。
数学方法（抽象）
考试时间：暂定 11月30日下午 考核方式： 30%作业+70%期末考试
z e
n
i / n
复数的方根
wk e
n
n
z n ei / n
2kπ 2 k π [cos( ) i sin( )], n n (k 0,1, 2, ,n 1)
n
例：不等式 0 arg
z i π z i 4
所确定的点集
2 kπ i n
实函数定义域 推广 (二) 区域的概念 邻域定义 由不等式
复函数定义域 （区域）
内点，外点，边界点
开集
z z0
z0
ε
(ε为任意小的正数 )所确定的平面点集 (简称点集)，就 是以z0为中心的ε邻域或邻域。 由不等式
0 z z0
25
定义: 设G为点集，z0为G中的一点。如果存在 z0的 一个邻域，该邻域内的所有点都属于 G，则称z0为G 的内点；若点 z0的某一个邻域内的点都不属于 G，则 称点z0为G的外点。若在点 z0的任意一个邻域内，既 有属于G的点，也有不属于 G的点，则称点 z0为G的边 界点，点集 G的全部边界点称为 G的边界。 注意 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤 立的点所组成的
复平面与二元实平面：
之前已提出：Caspar Wessel in1797.
e iy 1 iy
模：
z
z=x+iy= (
arg z Arg z 2k
( z 0, ; k 0,1,2,...)
)=
幅角主值： 0 Arg z 2 , Arg z ,
例 求1的n次方根，讨论根在复平面单位圆周上的位置 .
y
－1
x －i
22
23
24
1.2 复变函数 (一) 复变函数的定义 在复平面上一点集E 中每一点z ，都有一个或几个 复数w与之对应，称 w为 z 的函数，E 为定义域，记w =f(z)，z E 。z有时称为宗量 (argument)或自变量。 实函数: y=f(x)= ± x^(1/2), x>=0 多值 y=f(x)= sin(x), 单值
他证明了 3 2 11 1 2 1
3
5
Euler 在1747年对这场争论作了中肯的分析
ln( x), ln x 差一常数
6
ln( x ) ln x 1 欧拉(L. Euler, 1707-1783) 先确立了负数的对数
又给出了复数对数的适当定义
ln(a bi ) ln a2 b2 i ( 2k ) sin b / a2 b2
实轴
y
实平面
Z (x,y) y
x
实轴
虚轴 i
y
复平面
Z=x+yi y
x
实轴
14
1 1 (iy ) 2 (iy ) 3 2! 3! 1 1 1 1 (1 y 2 y 4 ) i ( y y 3 y 5 ) 2! 4! 3! 5! cos y i sin y
e i cos i sin
可以证明级数
y
复平面
z
y=
0
x=
x y
2
x
实轴
2
复数 z 从几何上看，复数又是平 为矢量长度， 面上的一个矢量， 为幅角。记 z e i
ez = 1 z
Z=iy
1 2 1 z z n 在整个复数范围是绝对收敛的 2! n!
17
z1 z2 z2 z1
结合律 ( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 ) ( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 ) 分配律
z1 ( z2 z3 ) z1 z2 z1 z3
球的南极与复数平面的原 点相切，平面上任意点A 与球的北极由一条直线相 连，直线与球相交于A’ 。 由此，每一有限的复数 投 影到球上一点。这个投影 叫测地投影，这个球叫 复 数球。 所有的无穷大复数（平面上 无穷远点）投影到唯一的 北极 N。故我们为方便，将无穷远点看作一个点。其 模无穷大，幅角无意义。 18
z1 z 2 z1 z 2
z1 x1 iy1 ,
z2 x2 iy2
关于新“数”∞还需作如下几点规定： (1) ∞的实部，虚部及幅角都无意义， (2)b≠0(但可为∞)时， b b , b ; 0 a , 0, a a ; (3)a≠∞时， a (4)运算∞± ∞，0· ∞，
11
分数 ）
0
x 0
无理数 纯虚数 （ x 0, y 0 非纯虚数 （ xy 0）
10
x
虚数
y0
复数的本质：有序实数对 (x, y) 实数的推广：有序实数对 (x, 0) (x, y) 纯虚数 ：有序实数对(0, x) x不等于 0
z x iy
12
Im z= (z-z*)/(2i)
Euler 认为复数仅在想象中存在， 1777年，Euler采用 i 代表 1
第一章 复变函数
1.1 复数与复数运算
（一）复数(complex number, 集合为：C)的基本概念 复数（代数形式） ：
1740年，Euler 给Bernoulli的信中说： y 2cos x 和
ye
1x
4
z1 z2 z2 z1
复平面的无限远处看成 一个“点”----无限远 点 模有限的复数跟复平面上的有限远点一一对应 模为无限大的复数也跟复平面上一点对应（ 无限远点）
复平面上有些个点比较特殊，比如：零点和无穷远点。 (1) 复数零的幅角无意义，模为 0。 (2) 无穷远点的模为∞，幅角没有意义。
4
3 9 x 4 2 4
没有意义。这是历史上首次形式上出现 负数的平方根 。
d( x) dx ln( x) ln x x x dx d ln x 只对正数成立 Leibniz ：不可能有负数的对数 x
Bernoulli：负数的对数是实数
x 3 2 11 1 3 2 11 1
复数
实(变)函数 ？ 复(变)函数
等广泛的应用。
2
3
复函数发展简史
1
1545年, 意大利数学家卡丹 (G. Cardano ,1501-1576) 在《大术》 中提出“把10分为两部分 , 使其乘积为 40”的问题,并给出
40 (5 15)(5 15)
由于 1 在实数范围内无意义，在很长时间内，直到 19世 纪中叶，这类数仍然是不合法的。 法国的笛卡尔（ R.Descartes,1596-1690 ）在1637年《几
z1 x1 x2 y1 y2 x y1 x1 y2 1 i (1 2 ) i 2 2 e 2 2 2 z2 x2 y2 x2 y 2 2
z1 z2 z1 z2
结合律 ( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 ) ( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 ) 分配律
何学》中称其为虚数 (“虚幻数” imaginary number) 2 Bernoulli和Leibniz的争论 1712~1713
与卡丹同时代的意大利数学家邦贝利 (R.Bombelli ,约 1526—1573)是第一个认真看待虚数并认识到虚数应用价值的人。 他在《代数》中建立了虚数运算法则。 如对于 x3 15 x 4 邦贝利发现有一个根x 4
复数起源于 代数方程求根
16世纪，一元二次、一元三次代数方程 求解时就引入了 虚数，给出了虚数的符号和运算法则。 1484年, 法国数学家 舒开(N. Chuquet, 1445—1500) 在《算术三编》中指出二次方程 4 x 3x 的根
2
卡丹公式
x3 ax b
x 3
b b2 a3 3 b b2 a3 2 4 27 2 4 27
注：arg ：argument ( 幅角、宗量，自变量） 复共轭
x
13
x
z* x iy e
i
笛卡尔坐标系
阿干特平面 (图)
1 ei ,
e, , i ,1
15
（二）无限远点 定理： 两个复数相乘，其模等于它们模的乘积， 其幅角等于它们幅角的和 。 复数的运算服从规律 : 交换律
e
1x
是同一个微分方程的解，因此应该相等
1 1x 1x e e 2 1 sin x e 1x e 2 1 cos x
1743年，发表了 Euler公式
1x
复数真正被接受主要归功于德国数学家高斯 (C.F.Gauss,1777-1855), 1799 年，他把复数的 思想融入到对 代数学基本定理 的证明中。 十九世纪，有三位代表性人物： 柯西(Cauchy，1789－1857) 维尔斯特拉斯 (Weierstrass ，1815－1897) 黎曼(Rieman，1826－1866) 经过他们的不懈努力，终于建立了系统的复变函数论