数学学习论

分类 对于某些事物，通过比较确定了相同点和相异点后， 就可以对它进行初步分类了。 分类主要是依据事物的属性。只有把握了事物的本质 属性，才能进行正确的分类，并能解释其分类的理由。一 般的，分类的依据有： 单一属性，即许多事物的属性虽然各不相同，但可以 找出一种特殊性来，就可以作为分类的依据。例如，灯管、 镜子、眼镜、玻璃瓶子，它们的形状、颜色、功用等各不 相同，但是有一个共同属性，就是“玻璃制品”；三角形 各种各样，它们的大小、形状都不相同，但如果用“角的 大小”作为分裂标准，则可以分为锐角三角形、直角三角 形和钝角三角形；等。
观察与实验的教学设计
如何创设恰当的教学情境或实验活动，引导学生进行 有效的、深入细致的观察，是教师在课堂教学设计中首先 应当考虑的问题。下面通过例子说明观察与实验的教学设 计。
实验与观察：对具体三角形内角和的测量
一般的，这个实验应当在小学里完成。具体操作时， 可以先让学生任意地画出几个三角形，分别测量每一个三 角形的内角，并看它们的和的大小。学生会发现，对于不 同的三角形，测量所得的内角和大致都在180°。在测量的 基础上，再作适当归纳，学生能接受“任意一个三角形三 个内角的和等于180°”的事实。
在数学活动中，常常应用类比。类比是指根据两个或 两类事物在某些属性或结构上的相同或相似，而推出他们 在其他属性或结构上也相同或相似。类比主要包含两个方 面：意识根据事物某些特征或性质方面的类似进行比较； 二是根据对象集合的结构之间的类似进行比较。用于类比 的对象，它们相互之间在属性或关系上可以完全不同；他 们呢在只管上可以属于完全不同的领域，因而在通常意义 下似乎根本没有“类似”之处。 我们知道，高度的抽象性及其带来的符号化、形式化是数 学的基本特征之一。不同的实际问题经抽象、概括后，可 得到相同的数学概念、运算法则，乃至同一数学理论；反 之，同一数学概念、运算法则和数学理论课应用到表面看 来完全不同的实际问题中。在这样的数学研究和应用的过 程中，类比或类比推理起着非常重要的作用。而类比推理 之所以有效，主要是因为性质不同的对象集合之前内在的 相似性，或者是它们在结构上的一致性。
使用比较法时，必须注意下列几个原则。 （1）彼此之间具有确定联系的对象才能进行比较，即比 较应当有意义。例如，我们可以比较两个函数的性质，比较 两个同类量的关系（如大小、位置等）。但将三角形的周长 与物体的质量做比较是没有意义的。从这个意义上说，类比 也可看作一种比较。 （2）比较应当依据一定的标准。任何一种事物都会有许 多不同的属性，在对事物进行比较研究时，我们必须以某一 种属性为标准，并以此为依据对事物进行对照，以确定它们 是否具有这一属性，进而确定相同点和不同点。 （3）比较应当做到全面。一般的，一个数学对象会有不 同的属性，这是从不同侧面反映出的性质，这就要求我们在 比较的过程中，必须按一定的顺序和步骤对这些属性进行全 面的比较。例如，对于三角形，我们可以从边、角、形状 （如全等、相似等）、度量（如边长、角度、面积等）等分 别进行比较。
比较与分类 比较：是一种确定事物相同点和相异点的方法，是一种判断 性的思维活动。根据一定的标准，把彼此有某些联系的事物 加以对照，从而确定其相同与相异之点，进而对事物进行初 步分类，这就是比较。 比较有两种基本形态。一种是纵向比较，例如某一事物在发 展的不同阶段所产生的变化的比较；另一中是横向比较，例 如为及解决同一问题二设计的不同方法的比较。 有比较才能有鉴别，对事物的认识通常是在比较中形成的。 物理学家开普勒说：“我们珍视类比胜于任何东西，它是我 最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密。在几何中，它应 该是最不容忽视的。”因此，比较是进行科学研究的非常重 要的方法。 一般地说，与归纳一样，比较所得出的结论只是似真的，具 有假说、猜想的性质。因此，比较也是获得发现的一种基本 方法，在数学学习和研究中具有重要意义。
关于自由落体运动，亚里士多德曾断言，物体下落 的快慢与其重量成正比，即重的物体要比轻的下落得快。 因为亚里士多德至高无上的权威，这一错误结论被延续 了1800多年。但伽利略不迷信权威。他认为，在真空中， 自由落体落地的时间只与高度有关而与重量无关。他不 仅用实验进行验证，而且还用演绎推理的方法进行证明： 设物体A比物体B重得多，那么按亚里士多德的理论，A 应当比B先落地。先把A和B捆在一起，那么，一方面， 它的重量比A重，应该先于A落地；另一方面，由于B落 得比A慢，因此B应当减慢A的下落速度，所以又应该后 于A落地。这一矛盾说明，亚里士多德的论断是错误的。 简单明了的演绎推理推翻了长期延续的错误论断。在感 叹伽利略的睿智和勇气的同时，我们不得不承认演绎法 的力量。
这说明飞马的猜想是不正确的。
不过，尽管使用不完全归纳可能会得出错误结论，但我 们还是要强调不完全归纳的学习。 理由是： 首先，让学生加强不完全归纳二得出的结论具有似真的 特点，既这样得出的结论只能是假定、猜想； 其次，正确性还需要进一步用逻辑推理的方法进行证明 或证伪。
演绎：是由一般性知识的前提出发，得出个别性或特殊 性知识的结论的推理形式、思维进程和思维方法，是与 归纳相对的。 一般来说，演绎与归纳的区别是：演绎是由一般推到 特殊，归纳是由特殊推到一般。在认识事物的过程中， 两者是相互联系、相互补充的。演绎所依据的理由来自 于对特殊事物的归纳，演绎离不开归纳；而用归纳的方 法对特殊现象进行研究，又必须有一般原理的指导，所 以归纳也离不开演绎。因此，抹杀两者的联系，把两者 对立起来，或者孤立地强调一个而贬低另一个的做法都 是形而上学的思维方法。 有人认为，应用演绎法不能导致发现或创造，只有 应用归纳、类比、推广等和兴推理的方法才能导致发现。 这种认识是片面的。实际上，科学和数学发展中的许多 发现都是通过演绎得来的。下面个例子。
观察与实验 归纳与演绎 比较与分类 分析与综ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 抽象与概括 数学思维能力培养
组成数学思维过程 的基本框架 。框架 中的这些因素在数 学思维过程中犬牙 交错而有机地构成 一个整体，它们互 相作用、互相渗透， 不能截然分开。把 它们分开讨论的目 的是为了研究的方 便。
观察与实验
实验：（试验）通常指一宗研究客观事物和现象的方法，即 根据事物和现象的自然状态和发展，创设一定的条件，人为 地将它们分成许多部分，而且将他们同其他事物和现象来联 系起来以深入了解所研究的事物和现象的自然状态和发展情 况。 观察：对周围世界的各种客观事物和现象，在“原生态”条 件下，通过考察它们自身存在的特征及其自然联系，而研究 和确定它们性质和关系的方法。 任何实验都和观察联系着，实验者必须观察实验的进程 和结果。 教学中实施观察和实验，应当创设特别的情境，并使学 生有可能从中抽象出明显的规律、事实及证明的思路等。通 常，实验结果起归纳推理的前提作用，因此，从这个意义上 说，观察和实验具有培养发现能力的作用，它对数学教学具 有重要意义。
联合属性，即几种属性联合在一起，作为分类的依据。 例如，“同类项”有两个属性：“所含字母相同”“相同字 母的指数也分别相同”；“同类根式”有两个属性：“根指 数相同”“根底数相同”；等。数学中的许多概念都是用联 合属性分类的。 关系属性，即将分类的标准，不放在个别事物的属性上， 而是放在各种事物的相对关系方面。越是复杂的概念就越要 依据复杂的关系归类。例如，圆锥曲线，依据“平面内到一 定点的距离与到一定直线（不过顶点）的距离之比值与1的 大小关系”，分为椭圆（比值小于1）、抛物线（比值等于 1）和双曲线（比值大于1）。
归纳与演绎
通过观察获得了一定的思维材料后，我们需要通过归 纳而得出初步的结论。 归纳：从个别或特殊的经验事实出发推出一般性原理、 法则的推理形式、思维进程和思维方法。从逻辑的角度看， 归纳的实质是： 设A={a1, a2, a3, …}是一切可能的特殊情形的集合，在其 中的每一种情况下，某性质C可能真或者假。假定，已知在 k个情形中性质C成立，即有前提：C（a1），C （a2），…C（ak），我们有如下的归纳推理格式：
数学发展的历史告诉我们，许多数学发现都和实验 与观察有关。欧拉曾说过：“通常，在所谓的纯数学中， 观察也占很重要的地位。这好像是很奇怪的说法，因为有 一种流行的见解认为观察只有对能作用于我们感官的物理 对象才有意义，既然我们应当把数看做纯粹的理智，那么 也就很难明白，观察与实验在研究数的性质时能有多大作 用。但实际上，正如我将要充分说明的，今天已知的数的 性质大多数都是通过观察发现的。甚至有许多书的性质是 我们熟知的，但还不能证明，而只是通过观察才认识的。 由此可见，在发展还很不完全的数论中，我们可以把极大 的希望寄托在观察上，观察将不断地引导我们发现数的新 性质，然后我们才努力去证明它们……”总之，观察与实 验对于培养学生的创新精神、发现能力具有非常重要的作 用。
数学思维过程与能力培养
思维是一宗认识或认知的活动，或者说是一种认识或认 知的过程。传统心理学认为，思维过程通过分析和综合来实 现。在一般的分析、综合的基础上，产生了抽象和概括、比 较和分类、系统化和具体化等一系列高级的、复杂的思维操 作能力。现代认知心理学把思维看成一种信息加工过程，即 对信息的接收、处理、储存和传递的过程，其基本框架是分 析和检验问题、接收信息、加工编码、知识重组、概括抽象 以得到结果，这是按照思维工程设计的不同环节来构建的。 我们研究数学思维过程，目的是探究形成数学认识结果 的内在机制和方法。由于数学研究对象具有高度抽象性的特 点，因此数学思维过程也有其特殊性，主要表现在其高度的 逻辑性和抽象性上。为了便于讨论，结合现代心理学的研究 成果，我们也从组成数学思维过程的几个基本环节来加以论 述。
C (a 1 ), C (a 2 ), , C (a k ) (x)C ( x) ?
归纳的特点是： （1）归纳是由部分到整体、由个别到一般的思维或推理方 法； （2）归纳的前提是部分的、个别的事实，因此得出的结论 超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是 必然性的，而是或然性的，所以“前提真而结论假”的情 况是有可能发生的； （3）在归纳过程中，总是先收集一定的事实材料，有了个 别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理， 因此归纳要在观察和实验的基础上进行； （4）通过归纳可以发现新事实、获得新结论，是做出科学 发现的重要手段； （5）归纳的一般步骤是：首先对有限的资料进行观察、分 析、归纳整理，在此基础上提出带有规律性的结论——猜 想，最后检验这个猜想。