求数列通项公式的十种方法
求数列通项公式的十种方法
求数列通项公式的十一种方法总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法 二.四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法. 三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列. 四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法.五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数. 一、累加法1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n nn n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
例2 已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
数列求通项的十种方法
数列求通项的十种方法
数列是数学中的一个重要概念，对于求数列通项的问题，有许多不
同的解法。
下面将介绍十种求解数列通项的方法。
1. 暴力求解法：将数列中的前几项写出来，然后根据已知项之间的规
律来推出通项公式。
2. 公式推导法：利用一些已知的数列通项公式，结合这个数列的特点，在此基础上推导出此数列的通项公式。
3. 通项公式分解法：将数列的通项公式分解为元素之和的形式，从而
得到每一项的通项公式。
4. 递推公式求解法：根据数列中一些指定的通项公式，推导出递推公式，并使用递推公式依次求出数列中每一项的通项公式。
5. 差分法：通过对数列求差（即相邻项之差），得到一个新数列，然
后对新数列再次求差，直到差分后的数列为常数列，最后通过累加得
到原数列的通项公式。
6. 微积分法：对数列进行微积分操作，得到导数，然后再对导数积分，通过积分得到原数列的通项公式。
7. 特征方程法：将递推公式转化为特征方程，并求解特征根，然后根
据特征根求得通项公式。
8. 奇怪公式法：有些数列的通项公式看起来十分奇怪，但通过反复验证，发现确实有效。
9. 递归法：通过一个递归的函数，根据某一项的值递归计算其他项的值，最终得到整个数列的通项公式。
10. 牛顿插值法：利用牛顿插值法，通过已知的数列中一部分数值，反
推出整个数列的通项公式。
以上是十种求解数列通项的方法，每种方法都有其适用范围和局限性。
对于不同的数列，选择不同的方法求解，可以得到更加准确和简便的
结果。
求数列通项公式的十种常用方法
求数列通项公式的十种常用方法一、构造法构造法是最常见的求解数列通项公式的方法，是根据已知的数列的前几项逐步构造出数列的通项公式的过程，主要包括归纳法、设数据项法、递推法等。
1.归纳法归纳法是根据已知数列中前几项，把同一个数列中的每一项视为全体项的一部分，由以已知项为特例，讨论出全体项的总体规律。
2.设数据项法设数据项法是根据数列的某项与它的前面几项的关系来建立通项公式的方法。
设数据项始终指代着形式未知却已给出它跟前几项关系的某一项，而根据设数据项得出的数列形式叫做设数据项形式，其通项公式就是设数据项形式的通项公式。
3.递推法递推法是根据数列中任一项与它的后面几项的关系，从已知项不断向前推出未知项，从而推出数列的通项公式的方法。
二、方程法方程法是利用数列的某一项与此数列的其它项的关系式组成的线性方程组或者非线性方程组，求解通项公式的概念，虽然它给出的通项公式也不易求解，但是它与构造法相比，可能会在某些情况下得到更简洁的通项公式，所以它也成为了求解数列通项公式常用的方法之一。
三、数学归纳法数学归纳法是一种利用一般性原理来更加正规地寻求数列通项公式的方法，它具有比构造法更多的优点，比如说，它可以处理更加复杂的情形（例如次通项不是已知项的一个常数倍）。
四、分析法分析法是指用分析几何和代数几何方法，通过考察数列中某几个项的构成方式，来推导出整个数列的通项公式的抽象方法。
五、导数比导数比是指根据数列的前几项来推算下一项的一种技巧，以项数为横坐标，相邻两项的比值为纵坐标构成一幅函数图象，然后根据曲线图象分析可以推出数列的某种规律，从而推出数列的通项公式。
六、逆序法逆序法是反其道而行之，以数列的最后一项为起点，根据已知的数列的前几项和最后一项的运算关系，得出最后一项的前一项，以此类推，一直到起始项，从而得出数列的通项公式的一种方法。
七、特殊函数解特殊函数解法是指利用特殊函数及其组合函数构成的数列通项公式的解法，在实际问题中，特殊函数有对数函数、指数函数、三角函数等，使用这些函数可以构成一种数列，从而求出数列的通项公式。
求数列通项公式的十种方法
求数列通项公式的十种方法求解数列的通项公式是高中数学中的一个重要问题，通常需要运用数学分析方法、递推关系、差分方法等多种技巧。
下面将列举十种常见的方法来求解数列的通项公式。
方法一：等差数列的通项公式对于等差数列 an = a1 + (n - 1) * d，其中 a1 为首项，n 为项数，d 为公差。
通项公式可以直接通过公式计算得出。
方法二：等差数列的求和公式对于等差数列 S = (n / 2) * (a1 + an)，其中 S 为前 n 项和，a1 为首项，an 为末项，n 为项数。
可以通过求和公式推导出等差数列的通项公式。
方法三：等比数列的通项公式对于等比数列 an = a1 * r^(n - 1)，其中 a1 为首项，r 为公比，n 为项数。
通项公式可以直接通过公式计算得出。
方法四：等比数列的求和公式对于等比数列S=(a1*(r^n-1))/(r-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
可以通过求和公式推导出等比数列的通项公式。
方法五：递推关系法对于一些递推关系的数列，可以通过寻找规律，构建递推关系来求解数列的通项公式。
例如斐波那契数列就可以通过递推关系f(n)=f(n-1)+f(n-2)，其中f(1)=1，f(2)=1，来求解通项公式。
方法六：二项式展开法对于一些满足二项式展开的数列，可以通过展开得到二项式系数，然后通过系数的通项公式来求解数列的通项公式。
例如二项式数列(x+1)^n的展开系数就是通过n阶二项展开推导出来的。
方法七：差分法通过对数列进行差分操作，找到规律来求解数列的通项公式。
例如，如果差分的结果是一个等差数列，那么原数列就是一个二次或高次多项式。
方法八：线性递推法对于一些线性递推关系的数列，可以通过构建矩阵形式或特征方程的方法来求解数列的通项公式。
例如，对于一阶线性递推数列a(n)=p*a(n-1)+q，可以通过特征方程x-p*x-q=0来求解通项公式。
方法九：插值法通过给定数列中的若干项，利用 Lagrange 插值公式来推导数列的通项公式。
求数列通项公式的十种方法
求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法二。
四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n nn n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
例2 已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
求数列通项公式的十种办法
求数列通项公式的十种办法求数列的通项公式是数学中的一项重要工作。
下面列举了十种常用的求解数列通项公式的方法：1.递推法：这是最常见的一种方法。
通过观察数列中的规律，找出前一项与后一项之间的关系，并将其表达成递推公式，从而求得数列的通项。
例如斐波那契数列：F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(n)表示第n项，F(n-1)表示第n-1项，F(n-2)表示第n-2项。
2.数列差法：如果数列的前后两项之间的差值有规律可循，可以通过观察差的变化规律来得到通项公式。
例如等差数列：a(n)=a(1)+(n-1)d，其中a(n)表示第n项，a(1)表示首项，d表示公差。
3.数列比法：如果数列的前后两项之间的比值有规律可循，可以通过观察比的变化规律来得到通项公式。
例如等比数列：a(n)=a(1)*r^(n-1)，其中a(n)表示第n项，a(1)表示首项，r表示公比。
4.代数方程法：数列中的数可以看作方程中的未知数，通过列方程组求解，得到方程的解即为数列的通项公式。
例如斐波那契数列可以通过矩阵的特征值和特征向量求得。
5.数列求和法：如果数列是由一个个项的和组成的，可以通过数列的求和公式求得通项公式。
例如等差数列的前n项和：S(n)=[n/2]*[2a(1)+(n-1)d]，其中[n/2]表示n除以2的整数部分，a(1)表示首项，d表示公差。
6.数列积法：如果数列可以表达为一系列项的连乘积的形式，可以通过求取连乘积的对数，再利用对数运算得到通项公式。
例如等比数列的前n项积：P(n)=a(1)^n*(r^n-1)/(r-1)，其中a(1)表示首项，r表示公比。
7.查表法：如果数列的部分项已知，可以通过列出表格的方式观察规律，推测出通项公式。
例如自然数列：1,2,3,...，通过观察可得到通项公式：a(n)=n。
8.数学归纳法：数学归纳法是一种证明方法，但也可以用来求数列的通项公式。
首先证明数列的通项公式对n=1成立，然后假设对n=k也成立，通过数学归纳法证明对n=k+1也成立，从而得到通项公式。
求数列的通项公式的十种方法
求数列通项公式的十种方法一．SA 法⎩⎨⎧≥-==-)2(1)(n11n S S S S n nn 注意具体可分为两种方法 1.改写相减，消去S n2.S n -S n-1直接替换掉a n ,求出S n ,再求出a n例 1. 已知各项均为正数的数列{n a }的前n 项和为n S 满足1S ＞1且6n S =(1)(2)n n a a ++ n ∈N * 求{n a }的通项公式。
的通项公式和，求数列项和为的前，数列项和为的前：已知数列例}{}{2}{22}{12n n n n n n n b a b T n b n n S n a -=+=的通项公式求各项均为正数，满足：已知数列例}{,21}{2n n nn n a S a a a =+的通项公式并求数列试确定常数最大值为的且项和的前：已知数列练习}{,.8),(21}{12n n n n a k S N k kn n S n a *∈+-=nn n n n a S a n n S 求）已知（求）已知（：练习,2232,732122-⋅=-+-=二．累加累乘法（也可用迭代法求解）用“累加”形如二用“累乘”形如一)()(),()(11n f a a n f a a n n n n +==++的通项公式求满足：已知数列例}{,1,21}{1211n n n n a nn a a a a ++==+的通项公式求项和前中，：已知数列例}{,32,1}{21n n n a a n S n a a +==的通项公式求，满足：已知数列练习n n n n a n a n n a a a ),1(23133}{111≥+-==+的通项公式求数列满足：已知数列练习}{a ,a a ,5a }{a 2n 2)1(311nn nn n ++==三．差商法实质是已知数列的前n 项和或前n 项积，求数列的通项公式的通项公式求数列满足：已知数列例}{),(4444}{113221n n n n a N n na a a a a *-∈=+++}{,2,1}{223211n n n a n a a a a n N n a a 求时都有且对所有中，：已知数列例=⋅⋅≥∈=*四．构造法”“)(1n f pa a n n +=+ ，只能用此法。
求数列通项公式的十种方法
8(n 1) 8 ，a1 ，求数列 {an } 的通项公式。 2 2 (2n 1) (2n 3) 9
1 (1 4an 1 24an )，a1 1 ，求数列 {an } 的通项公式。 16
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1 已知数列 {an } 满足 an1 3an 2 3n 1 ，a1 3 ，求数列 {an } 的通项公式。 2 已知数列 {an } 满足 an1 2(n 1)5n an，a1 3 ，求数列 {an } 的通项公式。 3 已知数列 {an } 满足 a1 1 ，an a1 2a2 3a3 (n 1)an1 (n 2) ，求 {an } 的通项公 式。
5 9 已知数列 {an } 满足 an1 2 3n an ， a1 7 ，求数列 {an } 的通项公式。
3( n 1)2 10 已知数列 {an } 满足 an 1 an ，a1 5 ，求数列 {an } 的通项公式。
n
11. 已知数列 {an } 满足 an 1 an 12 已知数列 {an } 满足 an 1
4 已知数列 an 满足 a1 1, an1 2an 1(n N * ). 求数列 an 的通项公式； 5 已知数列 an 中， a1 1 , an 1
1 1 an ( ) n 1 ，求 an 。 2 2
6 已知数列 {an } 满足 an1 2an 3 5n，a1 6 ，求数列 an 的通项公式。 7 已知数列 {an } 满足 an1 3an 5 2n 4，a1 1，求数列 {an } 的通项公式。 8 已知数列 {an } 满足 an1 2an 3n2 4n 5，a1 1，求数列 {an } 的通项公式。
求数列通项公式的十种方法
求数列通项公式的十种方法求解数列通项公式是数学中的一个重要问题，对于一些特殊的数列，我们可以通过观察规律来找到通项公式，但对于一般的数列来说，我们需要使用一些数学工具和技巧来解决这个问题。
在下面，我将介绍十种常用的方法来求解数列的通项公式。
方法一：递推法递推法是一种常见的求解数列的方法，通过观察数列中相邻项之间的关系，可以找到递推公式。
常见的递推公式有线性递推和非线性递推两种形式。
方法二：列元法列元法是一种将数列元素列出来，然后通过观察数列元素之间的关系，找到通项公式的方法。
常见的列元法包括列出常数项和差项、连加项、平方项和立方项等。
方法三：指数递推法指数递推法是一种将数列元素进行指数递推，然后通过观察递推结果找到通项公式的方法。
常见的指数递推法包括指数增长、指数递减和二阶指数递增等。
方法四：利用级数对于一些复杂的数列，可以使用级数的方法来求解通项公式。
通过构造级数和求导积分等操作，可以得到数列的通项公式。
方法五：利用生成函数生成函数是一种将数列转化为多项式的方法，通过多项式的操作，可以得到数列的通项公式。
常见的生成函数包括普通生成函数和指数型生成函数。
方法六：利用逼近方法逼近方法是通过找到数列与一些函数逼近的关系，然后通过求解该函数的表达式来求解数列的通项公式。
常见的逼近方法包括泰勒级数逼近和拉格朗日插值等。
方法七：利用矩阵运算对于一些特殊的数列，可以使用矩阵运算的方法来求解通项公式。
通过构造矩阵和矩阵的运算，可以得到数列的通项公式。
方法八：利用线性代数利用线性代数的方法，可以将数列看作向量空间中的向量，通过线性变换和线性方程组的解来求解数列的通项公式。
方法九：利用特殊函数对于一些特殊的数列，可以使用特殊函数的方法来求解通项公式。
常见的特殊函数有二次函数、指数函数、对数函数、三角函数和双曲函数等。
方法十：利用离散数学离散数学是一种研究离散结构和离散规律的数学分支，通过利用离散数学的方法，可以求解数列的通项公式。
求数列通项公式的十种方法
求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二。
四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
高中数学解题方法系列：数列中求通项的10种方法
高中数学解题方法系列：数列中求通项的10种方法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：1232n n n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n na 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222n n a n =-。
二、累加法 )(1n f a a n n =--例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
例3已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +，得111213333n n n n n a a +++=++， 则111213333n n n n n a a +++-=+ 三、累乘法 )(1n f a a n n =- 例4 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
由递推公式求数列通项公式
求数列通项公式的十种方法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：1232n n n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2nna 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222nn a n =-。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+⨯转化为113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2n na 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。
二、累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+ ，即得数列{}n a 的通项公式。
数列通项公式的十种求法
数列通项公式的十种求法方法一：直接法对于一些简单的数列，可以通过观察数列的规律，直接写出通项公式。
例如，对于等差数列an=3n+1，可以观察到每一项都是前一项加上3，因此可以直接写出通项公式。
方法二：递推法递推法是通过数列前一项和通项之间的关系式来推导通项公式。
例如，对于斐波那契数列an=an-1+an-2，可以通过给出前两项的值，然后通过关系式不断求解后续项的值，得到通项公式。
方法三：代数法对于一些特殊的数列，可以通过代数方式求解通项公式。
例如，对于等比数列an=2^n，可以通过代数方法得到通项公式。
方法四：数学归纳法数学归纳法是通过证明法来得到通项公式。
首先证明数列的前几项符合一些表达式，然后假设n=k时表达式成立，再证明n=k+1时也成立，从而得到通项公式。
方法五：求和法有些数列的通项公式可以通过求和公式得到。
例如，对于等差数列an=3n+1，可以通过求和公式求得前n项和Sn=3n(n+1)/2，然后推导出通项公式。
方法六：线性递推法对于一些特殊的数列，可以通过线性递推法求解通项公式。
线性递推法是通过设定通项公式的形式，然后求解出相应的系数。
例如，对于一阶等差数列an=ax+b，可以通过线性递推法求解出通项公式。
方法七：矩阵法矩阵法是通过将数列表示成矩阵的形式，然后通过矩阵运算求解出通项公式。
例如，对于数列an=2n+1，可以将其表示为一个2×2的矩阵，然后通过矩阵运算得到通项公式。
方法八：生成函数法生成函数法是通过定义一个函数来表示数列，然后通过函数运算求解出通项公式。
例如，对于斐波那契数列an=an-1+an-2，可以定义一个生成函数F(x)=a0+a1x+a2x^2+...，然后通过函数运算得到通项公式。
方法九：离散动力系统法离散动力系统法是通过建立数列的动力系统方程，然后求解出通项公式。
例如，对于一阶等差数列an=ax+b，可以将其表示为一个离散动力系统方程xn+1=axn+b，然后通过求解方程得到通项公式。
求数列通项公式的十种方法
求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法二。
四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解法一：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-所以3 1.n n a n =+-解法二：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +，得111213333n n n n n a a +++=++， 则111213333n n n n n a a +++-=+，故 112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++因此11(13)2(1)2113133133223n n n n na n n ---=++=+--⨯， 则21133.322n n n a n =⨯⨯+⨯- 练习1.已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. 答案：12+-n n练习2.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.答案：裂项求和n a n 12-=评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。
求数列通项公式的十种方法(例题+详解)
求数列通项公式的十种方法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232nn n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：1232nn n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n na a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222nn a n =-。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nn n a a +=+⨯转化为113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。
二、利用{1(2)1(1)n n S S n S n n a --≥==例2．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，对任意正整数2(1)n a n =-+，34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式；解：22(1)4231a n a d S n n n n =-+∴=-=-=--23435T S n n n n n ∴=+=--……2分 当1,35811n T b ===--=-时当2,626 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时……4分练习：1. 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3 又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2)，②由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2)当a 1=3时，a 3=13，a 15=73 a 1， a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3;当a 1=2时， a 3=12， a 15=72， 有 a 32=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3三、累加法例3 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
数列通项公式方法大全很经典
得113222n n n na a++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n na 是以1222a 11==为首项，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}na 的通项公式为31()222n n a n =-。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n aa+=+´转化为113222n n n naa ++-=，说明数列{}2n n a1123221122()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++´++´++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2na n =。
评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-1，数列通项公式的十种求法：（1）公式法（构造公式法）例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+´，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
的通项公式。
解：1232n n n aa +=+´两边除以12n +，以23为公差的为公差的等差数列等差数列，由等差数列的通项公式，是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}na 的通项公式。
的通项公式。
（2）累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n na a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则+，即得数列{}n a 的通项公式。
(完整版)求数列通项公式的十种方法
求数列通项公式的十一种方法(方法全，例子全，归纳细)总述：一．利用递推关系式求数列通项的11 种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法(逐差法) 、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法(目的是去递推关系式中出现的根号) 、数学归纳法、不动点法(递推式是一个数列通项的分式表达式) 、特征根法二。
四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
、累加法1．适用于：a n 1 a n f (n) ------------------ 这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。
2．若a n 1 a n f (n) (n 2) ，a2 a1 f (1)a3 a2 f (2) LLa n 1 a n f ( n)n两边分别相加得a n 1 a1 f (n )k1例1已知数列｛a n ｝满足a n 1a n 2n 1, a i 1，求数列｛a n ｝的通项公式。
解：由 a n 1 a n 2n 1 得 a n 1 a n 2n 1 则a n (a n a n 1) (a n 1 a n 2) L @3a 2) (a 2 aja 1 [2( n 1) 1] [2( n 2) 1]L (2 21) (2 11) 12[(n 1) (n 2) L 2 1] (n 1) 1 (n 1)n 2 (n 1) 12(n 1)( n 1) 1 2n2所以数列｛a n ｝的通项公式为a n n 。
例2已知数列｛a n ｝满足a n 1 a n 2 3n 1，印3，求数列 佝｝的通项公式。
解法一：由a n 1 a n n 2 31 得 a n 1a n n2 31则a n (a * an 1)(a n 1 a n 2) L(a 3 a 2) (a 2 a 1) a 1n (2 3 1 1) (2 3n 21)L (2 32 31 1) (2 31) 312(33n2L 32 ；31)(n 1)3「(1 3n1)2(n 1) 31 3n3 3 n 133 n1所以a n 3n n 1.解法二：时3an 2 3 1两边除以3n1，得鄴J 3 3a n 2 n3 32132)3 32 3a3na n 3a n 1)a n 1(an 1a n 1a n 2) (a n 2(尹z a2 q 色(3231)33n )1)12门22(n 1)313n 3n13n2Lan 13n22答案：n数、分式函数，求通项 an .① 若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和 ② 若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和 ； ③ 若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和 ④ 若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。
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求数列通项公式的十种方法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：1232n n n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2nna 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222nn a n =-。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+⨯转化为113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2n na 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。
二、利用{1(2)1(1)n n S S n S n n a --≥==例2．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，对任意正整数2(1)n a n =-+，34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式；解：22(1)4231a n a d S n n n n =-+∴=-=-=-- 23435T S n n n n n ∴=+=--……2分 当1,35811n T b ===--=-时 当2,626 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时……4分练习：1. 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3 又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2)，②由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2)当a 1=3时，a 3=13，a 15=73 a 1， a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3;当a 1=2时， a 3=12， a 15=72， 有 a 32=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －32．（2006年全国卷I ）设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n = （Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2nn n T S =，1,2,3,n =，证明：132ni i T =<∑ 解：（I ）21114122333a S a ==-⨯+，解得：12a = ()2111144122333n n n n n n n a S S a a +++++=-=---()11242n n n n a a ++⇒+=+所以数列{}2n n a +是公比为4的等比数列所以：()111224n n n a a -+=+⨯得：42n nn a =- （其中n 为正整数）（II ）()()()1114124122242221213333333n n n n n n n n S a +++=-⨯+=--⨯+=-- ()()112323112221212121n n n n n n n n T S ++⎛⎫==⨯=⨯- ⎪----⎝⎭所以： 1113113221212ni n i T +=⎛⎫=⨯-< ⎪--⎝⎭∑ 三、累加法例3 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+ ，即得数列{}n a 的通项公式。
例4 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-所以3 1.n n a n =+-评注：本题解题的关键是把递推关系式1231n n n a a +=+⨯+转化为1231n n n a a +-=⨯+，进而求出11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+ ，即得数列{}n a 的通项公式。
例5已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +，得111213333n n n n n a a +++=++， 则111213333n n n n n a a +++-=+，故 112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++因此11(13)2(1)2113133133223n n n n na n n ---=++=+--⨯， 则21133.322n n n a n =⨯⨯+⨯-评注：本题解题的关键是把递推关系式13231n n n a a +=+⨯+转化为111213333n n n n n a a +++-=+，进而求出112232*********()()()()333333333n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a -----------+-+-++-+ ，即得数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，最后再求数列{}n a 的通项公式。
四、累乘法例6 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：因为112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则12(1)5n n na n a +=+，故1321122112211(1)(2)21(1)12[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53325!n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=⋅⋅⋅⋅⋅=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ 所以数列{}n a 的通项公式为(1)12325!.n n n n a n --=⨯⨯⨯评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n n n a n a +=+⨯转化为12(1)5n n na n a +=+，进而求出13211221n n n n a a a aa a a a a ---⋅⋅⋅⋅⋅ ，即得数列{}n a 的通项公式。
例7已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥ ，，求{}n a 的通项公式。
解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥ ①所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+ ②用②式－①式得1.n n n a a na +-= 则1(1)(2)n n a n a n +=+≥故11(2)n na n n a +=+≥ 所以13222122![(1)43].2n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⨯= ③由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥ ，21222n a a a ==+取得，则21a a =，又知11a =，则21a =，代入③得!13452n n a n =⋅⋅⋅⋅⋅=。
所以，{}n a 的通项公式为!.2n n a =评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为11(2)n na n n a +=+≥，进而求出132122n n n n a a aa a a a ---⋅⋅⋅⋅ ，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。
五.构造等差或等比1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+例8（2006年福建卷）已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ 求数列{}n a 的通项公式； 解：*121(),n n a a n N +=+∈112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列。
12.n n a ∴+=即2*21().n a n N =-∈例9．已知数列{}n a 中，11a =,1111()22n n n a a ++=+，求n a 。
解：在1111()22n n n a a ++=+两边乘以12+n 得：112(2)1n n n n a a ++∙=∙+ 令n n n a b ∙=2，则11n n b b +-=,解之得：111n b b n n =+-=- 所以122n n n n b n a -== 练习. 已知数列}a {n 满足）（2n 12a 2a n 1n n ≥-+=-，且81a 4=。