常微分方程第二章练习与答案

习 题 ２-１

判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解： １．0)12()13(2=++-dy x dx x

解：13),(2-=x y x P ， 12),(+=x y x Q ，

则0=∂∂y P ，2=∂∂x Q ， 所以 x

Q

y P ∂∂≠∂∂ 即 原方程不是恰当方程．

２．0)2()2(=+++dy y x dx y x

解：,2),(y x y x P += ,2),(y x y x Q -=

则,2=∂∂y P ,2=∂∂x Q 所以x

Q

y P ∂∂=∂∂，即 原方程为恰当方程 则,0)22(=-++ydy xdy ydx xdx

两边积分得：.2

222

2C y xy x =-+ 3．0)()(=+++dy cy bx dx by ax （a,b 和c 为常数）． 解：,),(by ax y x P += ,),(cy bx y x Q +=

则

,b y P =∂∂,b x Q =∂∂ 所以x

Q

y P ∂∂=∂∂，即 原方程为恰当方程 则,0=+++cydy bxdy bydx axdx

两边积分得：.2

22

2C cy bxy ax =++ 4．)0(0

)()(≠=-+-b dy cy bx dx by ax

解：,),(by ax y x P -= ,),(cy bx y x Q -=

则

,b y P -=∂∂,b x Q =∂∂ 因为 0≠b , 所以x

Q y P ∂∂≠∂∂，即 原方程不为恰当方程

５．0sin 2cos )1(2=++udt t udu t

解：,cos )1(),(2

u t u t P += u t u t Q sin 2),(=

则

,cos 2u t t P =∂∂,cos 2u t x Q =∂∂ 所以x

Q

y P ∂∂=∂∂，即 原方程为恰

当方程

则,0cos )sin 2cos (2=++udu udt t udu t 两边积分得：.sin )1(2C u t =+ ６．0)2()2(2=++++dy xy e dx y e ye x x x

解： xy e y x Q y e ye y x P x x x 2),(,2,(2+=++=，

则

,2y e y

P x +=∂∂,2y e x Q x +=∂∂ 所以x Q

y P ∂∂=∂∂，即 原方程为恰当方程

则,0])2()[(22=++++dy xy e dx y ye dx e x x x 两边积分得：.)2(2C xy e y x =++

７．0)2(ln )(

2=-++dy y x dx x x

y

解：,2ln ),(),(2

y x y x Q x x

y y x P -=+=

则

,1x y P =∂∂,1x x Q =∂∂ 所以x

Q

y P ∂∂=∂∂，即 原方程为恰当方程

则02)ln (2

=-++ydy dx x xdy dx x

y

两边积分得：23

ln 3

y x y x -+.C = ８．),(0)(22为常数和c b a cxydy dx by ax =++

解：,),(,

),(22cxy y x Q by ax y x P =+=

则

,2by y P =∂∂,cy x Q =∂∂ 所以 当x

Q

y P ∂∂=∂∂，即 c b =2时， 原方程为恰当方程

则0

)(22=++cxydy dx by dx ax

两边积分得：23

3

bxy ax +.C = 而当c b ≠2时原方程不是恰当方程．

９．01222

=-+-dt t

s s ds t s 解：,),(,12),(22

t

s s s t Q t s s t P -=-= 则

,212t s t P -=∂∂,212t s s Q -=∂∂ 所以x

Q y P ∂∂=∂∂， 即原方程为恰当

方程,

两边积分得：C t

s s =-2

． 10．,0)()(2222=+++dy y x yf dx y x xf 其中)(⋅f 是连续的可微函数．

解：),(),(),(),(2222y x yf y x Q y x xf y x P +=+=

则,2f xy y

P '=∂∂,2f xy x Q '=∂∂ 所以x Q

y P ∂∂=∂∂， 即原方程为恰当方程,

两边积分得：

2

2

()f x

y dx C +=⎰,

即原方程的解为C y x F =+)(22 (其中F 为f 的原积分)．

习 题 ２-2

. 1. 求解下列微分方程，并指出这些方程在平面上的有意义 的区域:：

（１）y

x dx dy 2

=

解：原方程即为：dx x ydy 2= 两边积分得：0,

233

2

≠=-y C x y ．

（２）)

1(3

2

x y x dx dy += 解：原方程即为：dx x

x ydy 3

2

1+= 两边积分得：1,

0,

1ln 233

2-≠≠=+-x y C x y ．

（３）

0sin 2=+x y dx

dy

解： 当0≠y 时

原方程为：

0sin 2=+xdx y

dy

两边积分得：0)cos (1=++y x c ．

又y=0也是方程的解，包含在通解中，则方程的通解为

0)cos (1=++y x c ．

（４）

221xy y x dx

dy

+++=； 解：原方程即为：

2

(1)1dy

x dx y =++ 两边积分得：c x x arctgy ++=22

， 即 )2

(2

c x x tg y ++=． （５）

2)2cos (cos y x dx

dy

= 解：①当02cos ≠y 时

原方程即为：

dx x y dy 2

2

)(cos )

2(cos = 两边积分得：2222sin 2tg y x x c --=． ②y 2cos =0，即4

2π

π+=

k y 也是方程的解. （N k ∈） （６）21y dx

dy

x

-= 解：①当1±≠y 时 原方程即为：

x

dx y dy =

-2

1 两边积分得：c x y =-ln arcsin ．