铁木辛柯梁

铁木辛柯梁就是20世纪早期由美籍俄裔科学家与工程师斯蒂芬·铁木辛柯提出并发展得力学模型。[1]［２]模型考虑了剪应力与转动惯性,使其适于描述短梁、层合梁以及波长接近厚度得高频激励时梁得表现。结果方程有4阶,但不同于一般得梁理论,如欧拉-伯努利梁理论,还有一个2阶空间导数呈现。实际上,考虑了附加得变形机理有效地降低了梁得刚度,结果在一稳态载荷下挠度更大,在一组给定得边界条件时预估固有频率更低。后者在高频即波长更短时效果更明显,反向剪力距离缩短时也有同样效果。

铁木辛柯梁(蓝)得变形与欧拉-伯努利梁(红)得对比

如果梁材料得剪切模量接近无穷,即此时梁为剪切刚体,并且忽略转动惯性,则铁木辛柯梁理论趋同于一般梁理论、

准静态铁木辛柯梁

铁木辛柯梁得变形、不等于。

在静力学中铁木辛柯梁理论没有轴向影响,假定梁得位移服从于

式中就是梁上一点得坐标,就是位移矢量得三维坐标分量,就是对于梁得中性面得法向转角,就是中性面得在方向得位移。

控制方程就是以下常微分方程得解耦系统:

静态条件下得铁木辛柯梁理论等同于欧拉-伯努利梁理论,即当

可忽略上面控制方程得最后一项,得到有效得近似,式中就是梁得长度。

对于等截面均匀梁,合并以上两个方程,

动态铁木辛柯梁

在铁木辛柯梁理论中若不考虑轴向影响,则给出梁得位移

式中就是梁内一点得坐标,就是位移矢量得三维坐标分量,就是对于梁得中性面得法向转角,就是中性面方向得位移。

从以上假设,铁木辛柯梁,考虑到振动,要用线性耦合偏微分方程描述:[３]

其中因变量就是梁得平移位移与转角位移。注意不同于欧拉－伯努利梁理论,转角位移就是另一个变量而非挠度斜率得近似。此外,

•就是梁材料得密度(而非线密度);

•就是截面面积;

•就是弹性模量;

•就是剪切模量;

•就是轴惯性矩;

•,称作铁木辛柯剪切系数,由形状确定,通常矩形截面;

•就是载荷分布(单位长度上得力);

•

•

这些参数不一定就是常数。

对于各向同性得线弹性均匀等截面梁,以上两个方程可合并成[4］［5]

轴向影响

如果梁得位移由下式给出

其中就是方向得附加位移,则铁木辛柯梁得控制方程成为

其中,就是外加轴向力。任意外部轴向力得平衡依靠应力

式中就是轴向应力,梁得厚度设为、

包含轴向力得梁方程合并为

阻尼

如果,除轴向力外,我们考虑与速度成正比得阻尼力,形如

铁木辛柯梁得耦合控制方程成为

合并方程为

切变系数

确定切变系数不就是直接得,一般它必须满足:

切变系数由泊松比确定、更严格得表达方法由多位科学家完成,包括斯蒂芬·铁木辛柯、雷蒙德·明德林(ＲayｍｏｎｄD、Mindlin)、考珀(G、Ｒ、Cowper)与约翰·哈钦森(Jｏhn W。Hｕtchiｎsｏｎ)等。工程实践中,斯蒂芬·铁木辛柯得表达一般状况下足够好。[6]

对于固态矩形截面:

对于固态圆形截面: