B卷必刷北师大八年级下第4单元：因式分解(专题整合,期中期末,压轴题训练,易错过关,名校直升,B卷)
八年级数学下册《第4章因式分解》单元综合易错题型专题训练
2021年北师大版八年级数学下册《第4章因式分解》单元综合易错题型专题训练（附答案）1．下列因式分解正确的是（）A．3p2﹣3q2＝（3p+3q）（p﹣q）B．m4﹣1＝（m2+1）（m2﹣1）C．2p+2q+1＝2（p+q）+1D．m2﹣4m+4＝（m﹣2）22．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x+3的是（）A．x2﹣9B．x2﹣6x+9C．x（x﹣1）+3（x﹣1）D．x2+6x+93．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（）A．16x2+1B．x2﹣2x+2C．a2+2ab+4b2D．x2﹣x+4．下列多项式：①﹣4m2+9，②9m2﹣4n2，③4m2+12m+9，④9m2﹣6mn+n2．其中有一个相同因式的多项式是（）A．①和②B．①和④C．①和③D．②和④5．若4x2﹣（k+1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为（）A．±6B．±12C．﹣13或11D．13或﹣116．已知△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣c）2﹣b（a﹣c）＝0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．不等边三角形7．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘，积为x2﹣49，乙与丙相乘，积为x2﹣9x+14，则甲与丙相加的结果是（）A．2x+5B．2x﹣5C．2x+9D．2x﹣98．已知x2+x＝1，那么x4+2x3﹣x2﹣2x+2020的值为（）A．2019B．2020C．2021D．20229．若多项式x3+mx2+nx﹣12含有因式（x﹣3）和（x+2），则m n的值为（）A．1B．﹣1C．﹣8D．﹣10．若长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为4，则a2b+ab2的值为（）A．14B．16C．20D．4011．已知a+b＝1，ab＝，则a3b﹣2a2b2+ab3＝．12．若m﹣2n﹣2＝0，则m2﹣4mn+4n2+5的值是．13．因式分解x2+ax+b时，李明看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），王勇看错了b的值，分解的结果是（x+2）（x﹣3），那么x2+ax+b因式分解正确的结果是．14．如果3x2+px+q＝（3x+4）（x﹣2），那么p＝15．若多项式x2﹣px+q（p、q是常数）分解因式后，有一个因式是x+3，则3p+q的值为．16．多项式4xy2+12xyz的公因式是．17．实数a，b满足a+b＝6，则＝．18．因式分解：x（x﹣2）﹣x+2＝．19．已知a+b＝5，ab＝10，求的值．20．分解因式：3a﹣12a2+12a3．21．分解因式（1）2ax2﹣8a；（2）x2﹣2xy+y2﹣1；（3）（x﹣1）（x﹣3）+1；（4）16x4﹣81y4．22．分解因式：（1）﹣ab+2a2b﹣a3b．（2）16m4﹣8m2n2+n4．23．（1）分解因式：（m﹣1）3﹣2（m﹣1）2+（m﹣1）；（2）利用分解因式计算：13（1﹣52）（54+1）（58+1）（516+1）．24．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（1+x）+x（1+x）2＝（1+x）[1+x+x（1+x）]＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3．（1）上述分解因式的方法是，共应用了次．（2）若分解1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2020，则需应用上述方法次，结果是．（3）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n（必须写出解答过程）．25．仔细阅读下面例题，并解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式为x+3，求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为x+n，由题意得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），即x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，则有，解得，所以另一个因式为x﹣7，m的值是﹣21．问题：请仿照上述方法解答下面问题，（1）若x2+bx+c＝（x﹣1）（x+3），则b＝，c＝；（2）已知二次三项式2x2+5x+k有一个因式为2x﹣3，求另一个因式以及k的值．参考答案1．解：选项A：3p2﹣3q2＝3（p2﹣q2）＝3（p+q）（p﹣q），不符合题意；选项B：m4﹣1＝（m2+1）（m2﹣1）＝m4﹣1＝（m2+1）（m+1）（m﹣1），不符合题意；选项C：2p+2q+1不能进行因式分解，不符合题意；选项D：m2﹣4m+4＝（m﹣2）2，符合题意．故选：D．2．解：A、x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），结果中含因式x+3，不合题意；B、x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，结果中不含因式x+3，符合题意；C、x（x﹣1）+3（x﹣1）＝（x﹣1）（x+3），结果中含因式x+3，不合题意；D、x2+6x+9＝（x+3）2，结果中含因式x+3，不合题意；故选：B．3．解：A、16x2+1只有两项，不符合完全平方公式，故此选项不符合题意；B、x2﹣2x+2虽然有三项，但不符合完全平方公式，故此选项不符合题意；C、a2+2ab+4b2虽然有三项，但不符合完全平方公式，故此选项不符合题意；D、x2﹣x+＝（x﹣）2，符合完全平方公式，故此选项符合题意；故选：D．4．解：①﹣4m2+9＝﹣（2m+3）（2m﹣3）；②9m2﹣4n2＝（3m+2n）（3m﹣2n）；③4m2+12m+9＝（2m+3）2；④9m2﹣6mn+n2＝（3m﹣n）2．故分解因式后，结果含有相同因式的是：①和③．故选：C．5．解：∵4x2﹣（k+1）x+9能用完全平方公式因式分解，∴k+1＝±12，解得：k＝﹣13或11，故选：C．6．解：∵（a﹣c）2﹣b（a﹣c）＝0．∴（a﹣c）（a﹣c﹣b）＝0．∵三角形两边之和大于第三边．∴a﹣c﹣b＜0．∴a﹣c＝0．∴a＝c．∴△ABC是等腰三角形．故选：A．7．解：∵x2﹣49＝（x+7）（x﹣7），x2﹣9x+14＝（x﹣2）（x﹣7），∴乙为x﹣7，∴甲为x+7，丙为x﹣2，∴甲与丙相加的结果x+7+x﹣2＝2x+5．故选：A．8．解：∵x2+x＝1，∴x4+2x3﹣x2﹣2x+2020＝x4+x3+x3﹣x2﹣2x+2020＝x2（x2+x）+x3﹣x2﹣2x+2020＝x2+x3﹣x2﹣2x+2020＝x（x2+x）﹣x2﹣2x+2020＝x﹣x2﹣2x+2020＝﹣x2﹣x+2020＝﹣（x2+x）+2020＝﹣1+2020＝2019．故选：A．9．解：设x3+mx2+nx﹣12＝（x﹣3）（x+2）（x+b），则x3+mx2+nx﹣12＝x3+（b﹣1）x2+（﹣6﹣b）x﹣6b，比较系数得：，解得：，所以m n＝1﹣8＝1．故选：A．10．解：∵长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为4，∴2（a+b）＝10，ab＝4，∴a+b＝5，则a2b+ab2＝ab（a+b）＝20．故选：C．11．解：a3b﹣2a2b2+ab3＝ab（a2﹣2ab﹣b2）＝ab（a﹣b）2；∵a+b＝1；∴（a+b）2＝1；（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝1﹣4×＝；∴ab（a﹣b）2＝×＝；故答案为：．12．解：∵m﹣2n﹣2＝0．∴m﹣2n＝2．∴原式＝（m﹣2n）2+5．＝4+5．＝9．故答案为9．13．解：因式分解x2+ax+b时，∵李明看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），∴b＝6×（﹣2）＝﹣12，又∵王勇看错了b的值，分解的结果为（x+2）（x﹣3），∴a＝﹣3+2＝﹣1，∴原二次三项式为x2﹣x﹣12，因此，x2﹣x﹣12＝（x﹣4）（x+3），故答案为：（x﹣4）（x+3）．14．解：∵（3x+4）（x﹣2）＝3x2﹣2x﹣8，3x2+px+q＝（3x+4）（x﹣2），∴p＝﹣2．故答案为：﹣2．15．解：设另一个因式为x+a，则x2﹣px+q＝（x+3）（x+a）＝x2+ax+3x+3a＝x2+（a+3）x+3a，由此可得，由①得：a＝﹣p﹣3③，把③代入②得：﹣3p﹣9＝q，3p+q＝﹣9，故答案为：﹣9．16．解：多项式4xy2+12xyz的公因式是4xy，故答案为：4xy．17．解：∵a+b＝6，∴a2+ab+b2＝（a+b）2＝×36＝18，故答案为：18．18．解：原式＝x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝（x﹣2）（x﹣1）．故答案为：（x﹣2）（x﹣1）．19．解：＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2；将a+b＝5，ab＝10代入＝ab（a+b）2中，得到：ab（a+b）2＝×10×25＝125．20．解：3a﹣12a2+12a3＝3a（1﹣4a+4a2）＝3a（1﹣2a）2．21．解：（1）原式＝2a（x2﹣4）＝2a（x+2）（x﹣2）；（2）原式＝（x﹣y）2﹣1＝（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）；（3）原式＝x2﹣4x+3+1＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2；（4）原式＝（2x）4﹣（3y）4＝（4x2+9y2）（4x2﹣9y2）＝（4x2+9y2）（2x+3y）（2x﹣3y）．22．解：（1）原式＝﹣ab（1﹣2a+a2）＝﹣ab（1﹣a）2，（2）原式＝（4m2﹣n2）2＝（2m+n）2（2m﹣n）2．23．解：（1）（m﹣1）3﹣2（m﹣1）2+（m﹣1）＝（m﹣1）[（m﹣1）2﹣2（m﹣1）+1]＝（m﹣1）（m﹣1+1）＝m（m﹣1）；（2）13（1﹣52）（54+1）（58+1）（516+1）＝（1+52）（1﹣52）（54+1）（58+1）（516+1）＝﹣（52﹣1）（54+1）（58+1）（516+1）＝﹣（516﹣1）（516+1）＝﹣（532﹣1）．24．解：（1）阅读因式分解的过程可知：上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次，故答案为：提公因式法，2；（2）原式＝（1+x）2021，则需应用上述方法2020次，结果是（1+x）2021，故答案为：2020，（1+x）2021；（3）原式＝（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n＝（1+x）[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）n﹣1]＝（1+x）2[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）n﹣2]＝（1+x）n+1．25．解：（1）∵（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3＝x2+bx+c，∴b＝2，c＝﹣3；故答案为：2，﹣3；（2）设另一个因式为x+p，由题意得：2x2+5x+k＝（x+p）（2x﹣3），即2x2+5x+k＝2x2+（2p﹣3）﹣3p，则有，解得所以另一个因式为x+4，k的值是﹣12。
北师大版八年级下册数学第四单元《因式分解》练测卷(B)(含答案)
北师大版八年级下册数学第四单元《因式分解》练测卷（B) 学校题号一 二 三 总分 得分一、选择题1．下列四个从左到右的变形中，是因式分解是的（ ） A ．（x+1）（x ﹣1）=x 2﹣1B ．（a+b ）（m ﹣n ）=（m ﹣n ）（a+b ）C ．a 2﹣8ab+16b 2=（a ﹣4b ）2D ．m 2﹣2m ﹣3=m （m ﹣2）﹣3 2．多项式8m 2n +2mn 的公因式是（ ）A ．2mnB ．mnC ．2D ．8m 2n 3．已知，多项式212x mx --可因式分解为()()34x x +-，则m 的值为（ ）A ．-1B ．1C ．-7D ．7 4．下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ） A ．x 2+1B ．x 2+2x ﹣1C ．x 2+x+1D ．x 2+4x+4 5．把代数式分解因式，下列结果中正确的是 A ．B ．C ．D ． 6．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是( ) A ．2249x y -+ B ．2249x y -- C ．2249x y + D ．4343x y -7．下列各式是因式分解且完全正确的是（ ）A ．ab ＋ac ＋d =(a b ＋c ）＋dB ．2a －1=（a ＋1）（a －1）C ．（a ＋2）（a －2）=2a －4D ．32(1)x x x x -=-8．若()()21553x kx x x --=-+，则k 的值为（ ）A ．-2B ．2C ．8D ．-8 9．下列因式分解，其中正确的是（ ）A ．()22693x x x --=-B ．()222x a x a -=-C ．()22626x x x x -=-D ．()()23221x x x x -+=-- 10．若22a b +=，1ab =，则33a b ab -的值为（ ）A ．22±B ．22C ．42±D ．42二、填空题11．因式分解：222x -=____________________；12．分解因式：a 2﹣4a ＝_____．13．分解因式：14．-+-=-+a a b ab a ab b 32222()()。
北师大版八年级数学下《第4章因式分解》单元测试含答案解析
《第 4 章 因式分解》一、选择题1．下列各式从左到右的变形，正确的是（）A ．﹣x ﹣y=﹣（x ﹣y ）B ．﹣a +b=﹣（a +b ）C ．（y ﹣x ） =（x ﹣y ）D ．（a ﹣b ） =（b ﹣a ）32．把多项式（m +1）（m ﹣1）+（m ﹣1）提取公因式（m ﹣1）后，余下的部分是（ ）A ．m +1B ．2mC ．2D ．m +23．把 10a （x +y ） ﹣5a （x +y ） 因式分解时，应提取的公因式是（ ）A ．5aB ．（x +y ）2C ．5（x +y ）2D ．5a （x +y ）24．将多项式 a （b ﹣2）﹣a （2﹣b ）因式分解的结果是（ ）A ．（b ﹣2）（a +a ）B ．（b ﹣2）（a ﹣a ）C ．a （b ﹣2）（a +1）D ．a （b ﹣2 ）（a ﹣1）5．下列因式分解正确的是（）A ．mn （m ﹣n ）﹣m （n ﹣m ）=﹣m （n ﹣m ）（n +1）B ．6（p +q ） ﹣2（p +q ）=2（p +q ） （3p +q ﹣1）C ．3（y ﹣x ）2+2（x ﹣y ）=（y ﹣x ）（3y ﹣3x +2）D ．3x （x +y ）﹣（x +y ）=（x +y ）（2x +y ）二、填空题6．把多项式（x ﹣2） ﹣4x +8 因式分解开始出现错误的一步是 解：原式=（x ﹣2） ﹣（4x ﹣8）…A=（x ﹣2） 2﹣4（x ﹣2）…B=（x ﹣2）（x ﹣2+4）…C=（x ﹣2）（x +2）…D ．7．﹣xy （x +y ） +x （x +y ） 的公因式是 ；（2）4x （m ﹣n ）+8y （n ﹣m ） 2的公因式是．8．分解因式：（x +3）﹣（x +3）=．9．因式分解：n （m ﹣n ）（p ﹣q ）﹣n （n ﹣m ）（p ﹣q ）=．10．已知（2x ﹣21）（3x ﹣7）﹣（3x ﹣7）（x ﹣13）可分解因式为（3x +a ）（x +b ），2 23 2 2 3 2 2 2 22 22 23 2 2其中 a 、b 均为整数，则 a +3b=．三、解答题11．将下列各式因式分解：（1）5a b （a ﹣b ） ﹣10a b （b ﹣a ） ；（2）（b ﹣a ）+a （a ﹣b ）+b （b ﹣a ）；（3）（3a ﹣4b ）（7a ﹣8b ）+（11a ﹣12b ）（8b ﹣7a ）；（4）x （b +c ﹣d ）﹣y （d ﹣b ﹣c ）﹣c ﹣b +d ．12．若 x ，y 满足，求 7y （x ﹣3y ） ﹣2（3y ﹣x ） 的值．13．先阅读下面的材料，再因式分解：要把多项式 am +an +bm +bn 因式分解，可以先把它的前两项分成一组，并提出 a ；把它 的后两项分成一组，并提出 b ，从而得至 a （m +n ）+b （m +n ）．这时，由于 a （m +n ） +b （m +n ），又有因式（m +n ），于是可提公因式（m +n ），从而得到（m +n ）（a +b ）．因 此有 am +an +bm +bn=（am +an ）+（bm +bn ）=a （m +n ）+b （m +n ）=（m +n ）（a +b ）．这 种因式分解的方法叫做分组分解法．如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们 的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解了． 请用上面材料中提供的方法因式分解：（1）ab ﹣ac +bc ﹣b ：（2）m ﹣mn +mx ﹣nx ；（3）xy ﹣2xy +2y ﹣4．14．求使不等式成立的 x 的取值范围：（x ﹣1） 3﹣（x ﹣1）（x ﹣2x +3）≥0． 15．阅读题：因式分解：1+x +x （x +1）+x （x +1）2 解：原式=（1+x ）+x （x +1）+x （x +1）2=（1+x ）[1+x +x （x +1）]=（1+x ）[（1+x ）+x （1+x ）] =（1+x ） （1+x ）=（1+x ） ．（1）本题提取公因式几次？3 34 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3（2）若将题目改为1+x+x（x+1）+…+x（x+1）n，需提公因式多少次？结果是什么？16．已知x，y都是自然数，且有x（x﹣y）﹣y（y﹣x）=12，求x、y 的值．《第 4 章 因式分解》参考答案与试题解析一、选择题1．下列各式从左到右的变形，正确的是（）A ．﹣x ﹣y=﹣（x ﹣y ）B ．﹣a+b=﹣（a+b ）C ．（y ﹣x ） =（x ﹣y ）D ．（a ﹣b ） =（b ﹣a ）3【考点】完全平方公式；去括号与添括号．【分析】A 、B 都是利用添括号法则进行变形，C 、利用完全平方公式计算即可；D 、利用立方差公式计算即可．【解答】解：A 、∵﹣x ﹣y=﹣（x+y ），故此选项错误；B 、∵﹣a+b=﹣（a ﹣b ），故此选项错误；C 、∵（y ﹣x ） =y ﹣2xy+x =（x ﹣y ） ，故此选项正确；D 、∵（a ﹣b ）3 =a ﹣3ab+3a b2﹣b3 ， （b ﹣a ） =b ﹣3ab +3a b ﹣a ，∴（a ﹣b ） ≠（b ﹣a ） ，故此选项错误．故选 C ．【点评】本题主要考查完全平方公式、添括号法则，熟记公式结构是解题的关键．完全 平方公式：（a±b ） =a ±2ab+b ．括号前是“﹣”号，括到括号里各项都变号，括号前 是“+”号，括到括号里各项不变号．2．把多项式（m +1）（m ﹣1）+（m ﹣1）提取公因式（m ﹣1）后，余下的部分是（）A ．m +1B ．2mC ．2D ．m +2【考点】因式分解﹣提公因式法．【专题】压轴题．2 23 2 2 2 2 3 2 33223332 2 2【分析】先提取公因式（m ﹣1）后，得出余下的部分．【解答】解：（m +1）（m ﹣1）+（m ﹣1），=（m ﹣1）（m +1+1），=（m ﹣1）（m +2）．故选 D ．【点评】先提取公因式，进行因式分解，要注意 m ﹣1 提取公因式后还剩 1．3．把 10a （x +y ） ﹣5a （x +y ） 因式分解时，应提取的公因式是（ ）A ．5aB ．（x +y ）2C ．5（x +y ）2D ．5a （x +y ）2【考点】公因式．【分析】找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式．【解答】解：10a （x +y ） ﹣5a （x +y ）因式分解时，公因式是 5a （x +y ）2故选 D【点评】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握公因式的定义及确定方法是解题的关键．4．将多项式 a （b ﹣2）﹣a （2﹣b ）因式分解的结果是（ ）A ．（b ﹣2）（a +a2）B ．（b ﹣2）（a ﹣a 2） C ．a （b ﹣2）（a +1） D ．a （b ﹣2 ）（a ﹣1）【考点】因式分解﹣提公因式法．【分析】找出公因式直接提取 a （b ﹣2）进而得出即可．【解答】解：a （b ﹣2）﹣a（2﹣b ）=a （b ﹣2）（1+a ）．故选：C ．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键．5．下列因式分解正确的是（）A ．mn （m ﹣n ）﹣m （n ﹣m ）=﹣m （n ﹣m ）（n +1）B ．6（p +q ） ﹣2（p +q ）=2（p +q ） （3p +q ﹣1）C ．3（y ﹣x ） +2（x ﹣y ）=（y ﹣x ）（3y ﹣3x +2）D ．3x （x +y ）﹣（x +y ）=（x +y ）（2x +y ） 2 2 3 2 2 3 2 2 22 2【考点】因式分解﹣提公因式法．【分析】把每一个整式都因式分解，比较结果得出答案即可．【解答】解：A 、mn （m ﹣n ）﹣m （n ﹣m ）=m （m ﹣n ）（n +1）=﹣m （n ﹣m ）（n +1）， 故原选项正确；B 、6（p +q ）﹣2（p +q ）=2（p +q ）（3p +3q ﹣1），故原选项错误；C 、3（y ﹣x ）+2（x ﹣y ）=（y ﹣x ）（3y ﹣3x ﹣2），故原选项错误；D 、3x （x +y ）﹣（x +y ）=（x +y ）（2x ﹣y ），故原选项错误．故选：A ．【点评】此题考查提取公因式法因式分解，注意提取负号时括号内式子的变化．二、填空题6．把多项式（x ﹣2）﹣4x +8 因式分解开始出现错误的一步是C解：原式=（x ﹣2）﹣（4x ﹣8）…A=（x ﹣2） ﹣4（x ﹣2）…B=（x ﹣2）（x ﹣2+4）…C=（x ﹣2）（x +2）…D ．【考点】因式分解﹣提公因式法．【分析】利用提取公因式法一步步因式分解，逐一对比进行判定，得出答案即可． 【解答】解：原式═（x ﹣2） ﹣（4x ﹣8）…A=（x ﹣2） ﹣4（x ﹣2）…B=（x ﹣2）（x ﹣2﹣4）…C=（x ﹣2）（x ﹣6）…D ．通过对比可以发现因式分解开始出现错误的一步是 C ．故答案为：C ．【点评】此题考查提取公因式法因式分解，注意提取负号时括号内式子的变化．7．﹣xy （x +y ） +x （x +y ） 的公因式是x （x +y ）2；（2）4x （m ﹣n ）+8y （n ﹣m ） 的公因式是 4（m ﹣n ） ． 【考点】公因式．2 2 2 2 22 2 2 23 2 2【分析】找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式． 【解答】解：（1）﹣xy （x +y ） +x （x +y ） 的公因式是 x （x +y ） ；（2）4x （m ﹣n ）+8y （n ﹣m ）的公因式是 4（m ﹣n ）． 故答案为：4（m ﹣n ）x （x +y ）2．【点评】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握公因式的定义及确定方法是解题的关键．8．分解因式：（x +3）﹣（x +3）=（x +2）（x +3） ．【考点】因式分解﹣提公因式法．【分析】本题考查提公因式法分解因式．将原式的公因式（x ﹣3）提出即可得出答案． 【解答】解：（x +3） ﹣（x +3），=（x +3）（x +3﹣1），=（x +2）（x +3）．【点评】本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式．9．因式分解：n （m ﹣n ）（p ﹣q ）﹣n （n ﹣m ）（p ﹣q ）= 2n （m ﹣n ）（p ﹣q ） ． 【考点】因式分解﹣提公因式法．【分析】首先得出公因式为 n （m ﹣n ）（p ﹣q ），进而提取公因式得出即可．【解答】解：n （m ﹣n ）（p ﹣q ）﹣n （n ﹣m ）（p ﹣q ）=n （m ﹣n ）（p ﹣q ）+n （m ﹣n ）（p ﹣q ）=2n （m ﹣n ）（p ﹣q ）．故答案为：2n （m ﹣n ）（p ﹣q ）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键．10．已知（2x ﹣21）（3x ﹣7）﹣（3x ﹣7）（x ﹣13）可分解因式为（3x +a ）（x +b ），其中 a 、b 均为整数，则 a +3b=﹣31 ． 【考点】因式分解﹣提公因式法． 【专题】压轴题．【分析】首先提取公因式 3x ﹣7，再合并同类项即可得到 a 、b 的值，进而可算出 a +3b2 3 2 2 2 2 2的值．【解答】解：（2x ﹣21）（3x ﹣7）﹣（3x ﹣7）（x ﹣13）， =（3x ﹣7）（2x ﹣21﹣x +13），=（3x ﹣7）（x ﹣8）=（3x +a ）（x +b ），则 a=﹣7，b=﹣8，故 a +3b=﹣7﹣24=﹣31，故答案为：﹣31．【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是找准公因式．三、解答题11．将下列各式因式分解：（1）5a3b （a ﹣b ）﹣10a b 3（b ﹣a ） 2；（2）（b ﹣a ）+a （a ﹣b ）+b （b ﹣a ）；（3）（3a ﹣4b ）（7a ﹣8b ）+（11a ﹣12b ）（8b ﹣7a ）； （4）x （b +c ﹣d ）﹣y （d ﹣b ﹣c ）﹣c ﹣b +d ．【考点】因式分解﹣提公因式法．【分析】均直接提取公因式即可因式分解．【解答】解：（1）5a b （a ﹣b ） ﹣10a b （b ﹣a ）2=5a b （a ﹣b ） （a ﹣b ﹣2ab ）（2）（b ﹣a ）+a （a ﹣b ）+b （b ﹣a ）=（a ﹣b ）（a ﹣b +a ﹣b ）=2（a ﹣b ） ；（3）（3a ﹣4b ）（7a ﹣8b ）+（11a ﹣12b ）（8b ﹣7a ）=（7a ﹣8b ）（3a ﹣4b ﹣11a +12b ）=8（7a ﹣8b ）（b ﹣a ）（4）x （b +c ﹣d ）﹣y （d ﹣b ﹣c ）﹣c ﹣b +d=（b +c ﹣d ）（x +y ﹣1）．【点评】考查了因式分解的知识，解题的关键是仔细观察题目，并确定公因式．3 4 2 3 3 4 3 3 2 2 2 212．若 x ，y 满足，求 7y （x ﹣3y ） ﹣2（3y ﹣x ） 的值．【考点】因式分解的应用；解二元一次方程组．【分析】应把所给式子进行因式分解，整理为与所给等式相关的式子，代入求值即可． 【解答】解：7y （x ﹣3y ） 2﹣2（3y ﹣x ）3 ，=7y （x ﹣3y ） +2（x ﹣3y ） ， =（x ﹣3y ） [7y +2（x ﹣3y ）]， =（x ﹣3y ） （2x +y ），当时，原式=1 ×6=6．【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．13．先阅读下面的材料，再因式分解：要把多项式 am +an +bm +bn 因式分解，可以先把它的前两项分成一组，并提出 a ；把它 的后两项分成一组，并提出 b ，从而得至 a （m +n ）+b （m +n ）．这时，由于 a （m +n ） +b （m +n ），又有因式（m +n ），于是可提公因式（m +n ），从而得到（m +n ）（a +b ）．因 此有 am +an +bm +bn=（am +an ）+（bm +bn ）=a （m +n ）+b （m +n ）=（m +n ）（a +b ）．这 种因式分解的方法叫做分组分解法．如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们 的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解了． 请用上面材料中提供的方法因式分解：（1）ab ﹣ac +bc ﹣b ： （2）m2﹣mn +mx ﹣nx ；（3）xy ﹣2xy +2y ﹣4．【考点】因式分解﹣分组分解法． 【专题】阅读型．【分析】（1）首先将前两项与后两项分组，进而提取公因式，分解因式即可； （2）首先将前两项与后两项分组，进而提取公因式，分解因式即可； （3）首先将前两项与后两项分组，进而提取公因式，分解因式即可． 【解答】解：（1）ab ﹣ac +bc ﹣b =a （b ﹣c ）+b （c ﹣b ）=（a ﹣b ）（b ﹣c ）； 2 3 2 322 2 2 2 2（2）m ﹣mn +mx ﹣nx=m （m ﹣n ）+x （m ﹣n ）=（m ﹣n ）（m ﹣x ）；（3）xy ﹣2xy +2y ﹣4=xy （y ﹣2）+2（y ﹣2）=（y ﹣2）（xy +2）．【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组进而提取公因式是解题关键．14．求使不等式成立的 x 的取值范围：（x ﹣1） ﹣（x ﹣1）（x ﹣2x +3）≥0． 【考点】因式分解﹣提公因式法；解一元一次不等式．【分析】首先把 x ﹣2x +3 因式分解为（x ﹣1）（x ﹣2），进一步利用提取公因式法以及非负数的性质，探讨得出答案即可．【解答】解：（x ﹣1）﹣（x ﹣1）（x ﹣2x +3）=（x ﹣1） ﹣（x ﹣1） （x ﹣2）=（x ﹣1） （x +1）；因（x ﹣1） 是非负数，要使（x ﹣1） ﹣（x ﹣1）（x ﹣2x +3）≥0，只要 x +1≥0 即可，即 x ≥﹣1．【点评】此题考查提取公因式法因式分解，结合非负数的性质来探讨不等式的解法．15．阅读题：因式分解：1+x +x （x +1）+x （x +1）2解：原式=（1+x ）+x （x +1）+x （x +1）2=（1+x ）[1+x +x （x +1）]=（1+x ）[（1+x ）+x （1+x ）] =（1+x ） （1+x ）=（1+x ） 3．（1）本题提取公因式几次？（2）若将题目改为 1+x +x （x +1）+…+x （x +1） ，需提公因式多少次？结果是什么？【考点】因式分解﹣提公因式法．2 23 2 232 3 2 2 2 3 2 2 n【专题】阅读型．【分析】（1）根据题目提供的解答过程，数出提取的公因式的次数即可；（2）根据总结的规律写出来即可．【解答】解：（1）共提取了两次公因式；（2）将题目改为1+x+x（x+1）+…+x（x+1），需提公因式n 次，结果是（x+1）+．n n 1【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是从题目提供的材料确定提取的公因式的次数．16．已知x，y都是自然数，且有x（x﹣y）﹣y（y﹣x）=12，求x、y 的值．【考点】因式分解﹣提公因式法．【分析】首先把等号右边的整式因式分解，得出关于x、y 的整式的乘法算式，对应12 的分解，得出答案即可．【解答】解：x（x﹣y）﹣y（y﹣x）=（x﹣y）（x+y）；因为x，y都是自然数，又12=1×12=2×6=3×4；经验证（4﹣2）×（4+2）=2×6符合条件；所以x=4，y=2．【点评】此题考查提取公因式因式分解，进一步利用题目中的条件限制分析探讨得出答案．。
因式分解易因式分解易错必刷题—2023-2024学年八年级数学下册(北师大版)(解析版)
因式分解易错必刷题型专训（52题13个考点）【易错必刷一 判断是否是因式分解】1．（21-22八年级下·安徽淮北·期中）下列从左边到边的变形，是因式分解的是（ ）A ．()()2339a a a +−=−B ．331234x y x y −=−⋅C ．()()2211a b a b a b −=−+−−D ．()mR mr m R r +=+【答案】D【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式，叫做因式分解，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A ．()()2339a a a +−=−，是乘法运算，故该选项不符合题意；B ．331234x y x y −=−⋅是单项式变形，故该选项不符合题意； C ．()()2211a b a b a b −=−+−−，等号右边不是积的形式，故该选项不符合题意； D ．()mR mr m R r +=+，符合因式分解的定义，故该选项符合题意；故选：D ．2．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）在()()22x y x y x y +−=−中，从左到右的变形是 ，从右到左的变形是 ．【答案】 整式乘法 因式分解【分析】此题主要是考查了因式分解的意义，根据因式分解的定义、整式乘法的定义和平方差公式进行求解，紧扣因式分解的定义是解题的关键．【详解】解：在()()22x y x y x y +−=−中，从左到右的变形是整式乘法，从右到左的变形是因式分解，故答案为：整式乘法，因式分解．3．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？(1)22446x y x xy =⋅；(2)2(5)(5)25x x x +−=−；(3)223(3)(1)x x x x +−=+−；(4)29613(32)1x x x x −+=−+； (5)211()x x x x+=+． 【答案】(1)不是因式分解(2)不是因式分解(3)是因式分解(4)不是因式分解(5)不是因式分解【分析】本题考查了因式分解的意义，注意因式分解是针对多项式而言的，因式分解后，右边是整式积的形式．根据分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式【详解】（1）解：因式分解是针对多项式来说的，故不是因式分解；（2）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解；（3）解：是因式分解；（4）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解；（5）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解．4．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列代数式从左到右的变形哪些不属于因式分解？请说明理由．(1) ()222a a a b ab =++；(2) ()21bx bx bx x −−=；(3) ()22121x x x x −+=−+；(4)2322423a bc a bc ⋅⋅=．【答案】(1)是整式的乘法，不是因式分解(2)一个多项式转化成几个整式积的形式，是因式分解(3)没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解(4)等式的左边不是多项式，不是因式分解【分析】（1）把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此即可作答；（2）根据因式分解的定义判断即可得答案；（3）根据因式分解的定义判断即可得答案；（4）根据因式分解的定义判断即可得答案．【详解】（1）()222a a a b ab =++是整式的乘法，故（1）不是因式分解； （2）()21bx bx bx x −−=，一个多项式转化成几个整式积的形式，故（2）是因式分解； （3）()22121x x x x −+=−+，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故（3）不是因式分解； （4）2322423a bc a bc ⋅⋅=，等式的左边不是多项式，故（4）不是因式分解．【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．【易错必刷二 已知因式分解的结果求参数】1．（2024八年级·全国·竞赛）若多项式212x mx ++因式分解得()()3x x n ++，则m n +=（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】D【分析】本题考查了因式分解的定义和多项式的乘法运算．根据因式分解的定义，列出等式，利用等式性质分别求出m 和n 的值，再求解即可．【详解】解：由已知， ()()()223312=3x n x x x n x x n m ++++++=+故可得，3,312n m n +==，∴4n =，37m n =+=，∴4711m n +=+=，故选：D2．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）已知，多项式212x mx −−可因式分解为()()34x x +−，则m 的值为 ．【答案】1【分析】本题主要考查了多项式乘法与分解因式之间的关系，根据多项式乘以多项式的计算法则求出()()34x x +−的结果即可得到答案．【详解】解：∵，多项式212x mx −−可因式分解为()()34x x +−， ∴()()2221234341212x mx x x x x x x x −−=+−=+−−=−−，∴1m −=−，即1m =，故答案为：1．3．（23-24八年级上·山东济南·期末）已知2+−x y 是二元二次式2256x axy by x y ++−++的一个因式，求a ，b 的值．【答案】1a =−，2b =−．【分析】本题主要考查了因式分解与整式乘法之间的关系，设另一个因式为3x cy +−，利用多项式乘法得到()()22221523656x c xy cy x c y x axy by x y +++−−++=++−++，进而得到231c +=−，求出2c =−，则11a c =+=−，2b c ==−．【详解】解：2x y +−为2256x axy ky x y ++−++的一个因式， ∴可设另一个因式为3x cy +−∴()()222356x y x cy x axy by x y +−+−=++−++()()22221523656x c xy cy x c y x axy by x y ∴+++−−++=++−++231c ∴+=−， 2c ∴=−，∴11a c =+=−，2b c ==−．4．（23-24八年级上·山东济宁·期末）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式24x x m −+分解因式后有一个因式是()3x +，求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为()x n +，得()()243x x m x x n −+=++，则()22433x x m x n x n −+=+++，343n m n +=−⎧∴⎨=⎩，解得：7n =−，21m =−，∴另一个因式为()7x −，m 的值为21−．请仿照上述方法解答下面问题：(1)若()()223x bx c x x ++=+−，则b =______，c =______；(2)已知二次三项式2814x x k −−分解因式后有一个因式是()23x −，求另一个因式以及k 的值；(3)已知二次三项式2642x ax ++有一个因式是()2x a +，a 是正整数，求另一个因式以及a 的值．【答案】(1)1−，6−(2)()41x −，3k =−(3)另一个因式是()31x +，a 的值是2【分析】（1）将()()223x bx c x x ++=+−，等式右边展开，根据对应项系数相等，即可求解，（2）设另一个因式为：()4x b +，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解， （3）设另一个因式是()3x m +，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解， 本题考查了，根据因式分解的结果求参数，多项式乘多项式，解题的关键是：理解因式分解与多项式乘法互为逆运算．【详解】（1）解：()()22236x x x x x bx c +−=−−=++，1b ∴=−，6c =−， 故答案为：1−，6−，（2）解：设另一个因式为：()4x b +，则()()()2222348212382123814x x b x bx x b x b x b x x k −+=+−−=+−−=−−，212143b b k −=−⎧∴⎨=⎩，解得：1b =-，3k =−，∴另一个因式是()41x −，故答案为：()41x −，3k =−，（3）解：设另一个因式是()3x m +，则()()()2223623642x a x m x m a x am x ax ++=+++=++则2342m a a am +=⎧⎨=⎩，解得：21a m =⎧⎨=⎩或21a m =−⎧⎨=−⎩，a 是正整数，2a ∴=，另一个因式是()31x +；2a =−（不符合题意舍去），∴另一个因式是()31x +，a 的值是2．【易错必刷三 公因式】1．（22-23八年级上·海南三亚·期中）多项式323226318a b ab a b −−分解因式时，应提取的公因式是（ ） A ．23a bB ．23abC ．333a bD ．223a b【答案】B【分析】本题考查了提公因式分解因式，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．【详解】解：323226318a b ab a b −−()223216ab a ab =−−， 故选B ．2．（22-23八年级上·山东威海·期末）多项式2324223126x y x y x y −−的公因式是（ ）A ．23x yB ．233x yC ．223x yD ．3xy 【答案】C【分析】本题考查了公因式的定义．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．根据多项式的公因式的确定方法，即可求解．【详解】解：多项式2324223126x y x y x y −−的公因式是223x y ， 故选C ．3．（21-22八年级下·陕西咸阳·阶段练习）多项式2223261812ab a b a b c +−的公因式是（ ）A ．226a bB ．26abC ．26ab cD ．326a b c【答案】B【分析】本题考查找公因式，找数字的最大公因式，字母找相同字母最低指数即可得到答案；【详解】解：由题意可得，2223261812ab a b a b c +−的公因式是：26ab ，故选：B ．4．（23-24八年级上·甘肃金昌·期末）232238612x y z xy z xy z −+分解因式时，应提取的公因式是（ ） A ．224x y zB ．22xy zC ．6xyD ．2【答案】B【分析】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握以上知识点是解题的关键，找公因式的要点是：①公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；②字母取各项都含有的相同字母；③相同字母的指数取次数最低的．【详解】解：232238612x y z xy z xy z −+()22436xy z xyz z y =−+ 因此232238612x y z xy z xy z −+的公因式是22xy z 故选：B ．【易错必刷四 提公因式分解因式】1．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）把多项式33128ab a b +分解因式，应提的公因式是（ ） A ．abB ．4abC ．2abD ．24a b 【答案】B【分析】本题主要考查了分解因式，观察可知两个单项式的公因式为4ab ，据此可得答案．【详解】解：()3322128432ab a b ab b a +=+，则多项式33128ab a b +分解因式，应提的公因式是4ab ， 故选：B ．2．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知()()()()221373713x x x x −−−−−可因式分解为()()3x a x b ++，其中a ，b 均为正整数，则3a b +的值为 ．【答案】31−【分析】本题考查的是因式分解的应用，先提取公因式37x −，得到()()()()3783x x x a x b −−=++，再求解a ，b 的值，代入计算即可． 【详解】解：()()()()221373713x x x x −−−−−()()3722113x x x =−−−+()()378x x =−−．∵()()()()221373713x x x x −−−−−可分解因式为()()3x a x b ++，∴()()()()3783x x x a x b −−=++，则7a =−，8b =−，故()373831a b +=−⨯−=−＋．故答案为31−．3．（23-24八年级下·全国·课后作业）用提公因式法将下列各式分解因式：(1)232224812x y x y z xy z +−；(2)()()3352202x x y y y x −−−．【答案】(1)()2423xy xy xz z +− (2)()()3524x y x y −+【分析】本题考查的是题公因式分解因式，掌握提公因式的方法是解本题的关键；（1）提取公因式24xy ，再分解因式即可；（2）提取公因式()352x y −，再分解因式即可；【详解】（1）解：232224812x y x y z xy z +−()2423xy xy xz z =+−．（2）()()3352202x x y y y x −−−()()3352202x x y y x y =−+−()()3524x y x y =−+；4．（23-24八年级上·青海海东·期末）已知x 、y 满足8xy =，2256x y xy −=．求下列各式的值：(1)x y −；(2)22x y +．【答案】(1)7x y −=，(2)2265x y +=．【分析】本题考查的是利用因式分解，完全平方公式的变形，求解代数式的值．（1）由2256x y xy −=，可得：()56xy x y −=，再利用8xy =，2256x y xy −=．从而可得答案； （2）由()2222x y x y xy +=−+，结合7x y −=，8xy =，可得答案．【详解】（1）∵2256x y xy −=，即()56xy x y −=，∵8xy =，∴7x y −=；（2）()2222272865x y x y xy +=−+=+⨯=．【易错必刷五 判断能否用公式法分解因式】1．（23-24八年级上·山东泰安·期末）下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是（ ）A ．214a a +−B ．222−−+a b abC ．2225a b −+D ．249b −【答案】A【分析】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键． 利用平方差公式，以及完全平方公式判断即可．【详解】解：A 、214a a +−不能用公式法因式分解，故此选项符合题意； B 、()()2222222a b ab a ab b a b −−+=−−+=−−，故此选项不符合题意； C 、()()()222255525b a b a a a b b =−=++−−，故此选项不符合题意；D 、()()()22249232323b b b b −=−=+−，故此选项不符合题意． 故选：A ．2．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）下列各式中,不能用完全平方公式分解因式的是（ ）A ．222x xy y −+B ．222x xy y −+−C ．222x xy y −−+D ．2244x y xy ++【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟背完全平方公式是解决本题的关键．根据题意对各个选项逐个分析即可选出本题答案．【详解】解：∵2222()x xy y x y −+=−，∴A 选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意；∵222222(2)()x xy y x xy y x y −+−=−−+=−−，∴B 选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意；∵22222(2)x xy y x xy y −−+=−+−，即不符合完全平方公式， ∴C 选项不能用完全平方公式分解因式，符合题意；∵22244(2)x y xy x y ++=+，∴D 选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意；故选：C ．3．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（ ） （1）224x y −+（2）22931a b ab −+（3）222−−−x xy y （4）22x y −−．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【分析】本题考查了因式分解中的公式法，涉及完全平方公式以及平方差公式，据此逐项分析，即可作答．【详解】解：()()22224242y y y x x x y x −==++−−，故（1）符合题意；22931a b ab −+不能运用公式法分解因式，故（2）不符合题意；()()()222222x xy y x xy y x y x y −+=−=−+−−++，故（3）符合题意； ()2222x y x y −−=−+，不能运用公式法分解因式，故（4）不符合题意；所以能运用公式法分解因式的有（1）和（3），故选：B4．（22-23八年级上·福建厦门·期末）要使多项式22x M x ++能运用平方差公式进行分解因式，整式M 可以是（ ）A ．1B ．1−C ．24x −+D ．24x −− 【答案】D【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．【详解】解：A.()22211x x x ++=+是完全平方公式因式分解，不合题意；B.221x x +−不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；C.222424x x x x x −++=+，不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；D. ()()22242422x x x x x x −−+=−=+−，能用平方差公式因式分解，故该选项正确，符合题意； 故选：D ．【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．【易错必刷六 运用平方差公式分解因式】1．（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）若2212x y −=且2x y −=，则x y +的值是（ ）A ．12B ．24C ．6D ．14【答案】C【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键；根据题意及平方差公式可直接进行求解．【详解】解：∵2212,2x y x y −=−=， ∴()()12x y x y +−=，∴6x y +=；故选C ．2．（2023·四川宜宾·模拟预测）分解因式：224169a b −= ．【答案】()()213213a b a b +−【分析】本题考查的是因式分解，熟记平方差公式是解题的关键．根据平方差公式进行因式分解即可．【详解】解：224169a b −()()22213a b =−()()213213a b a b =+− 故答案为：()()213213a b a b +−3．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知9621−可以被在60至70之间的两个整数整除，求这两个整数是多少？【答案】65和63【分析】本题考查了用平方差公式进行因式分解，解题的关键是掌握()()22a b a b a b +−=−．根据平方差公式，将9621−进行因式分解，即可得出结论．【详解】解：9621−()248221=−()()48482121=+−()()()482424212121=++−()()()()4824121221212121=+++−()()()()()482412662121212121=++++− ()()()4824122121216563=+++⨯⨯，∴9621−能被65和63整除， ∴这两个整数是65和63．4．（21-22七年级下·广西桂林·期末）分解因式：21m −．【答案】()()11m m +−【分析】本题主要考查了因式分解，运用平方差公式进行因式分解题的关键．利用平方差公式分解即可．【详解】解：()()2111m m m −=+−．【易错必刷七 运用完全平方公式分解因式】1．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）已知20242023a x =+，20242024b x =+，20242025c x =+，则代数式222a b c ab ac bc ++−−−的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先根据已知条件式得到112a b b c a c −=−−=−−=−，，，再把原式变形为()22212222222a b c ab ac bc ++---，最后利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵20242023a x =+，20242024b x =+，20242025c x =+，∴20242023202420241a b x x −=+−−=−，20242024202420251b c x x −=+−−=−，20242023202420252a c x x −=+−−=−，∴222a b c ab ac bc ++−−−()22212222222a b c ab ac bc =++---()()()22222212222a ab b b bc c a ac c éù=-++-++-+êúëû()()()22212a b b c a c =−+−+−⎡⎤⎣⎦ ()()()22211122⎡⎤=−+−+−⎣⎦ 3=，故选：D ．2．（2024·江苏南京·一模）代数式22222x y xy x +++的最小值是 ．【答案】2−【分析】本题考查了完全平方公式和非负数性质的应用能力，通过将原式变形为()()22112x y y +++−−，再运用非负数的性质进行求解，关键是能对原式进行准确变形配方．【详解】解：22222x y xy x +++ 2222221212x xy x y y y y =++++++−+−()()()2222121212x x y y y y y =++++++−+−()()221122x y y =+++−−≥−，故答案为：2−．3．（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）下面是小刚同学解答一道题目的过程，请认真阅读并完成相应任务．先化简，再求值：()()()252a a b a b a b b +−+−−，其中22a b +=−． 解：原式()22225522a ab a ab ab b b =+−−+−−……第一步22225522a ab a ab ab b b =+−+−+−……第二步2244a ab b =++．……第三步当22a b +=−时，原式()22a b =+……第四步()224=−=．……第五步 任务：(1)小刚在解答过程中，从第三步到第四步涉及到的乘法公式是______．（填“平方差公式”或“完全平方公式”）(2)小刚在解答过程中，第五步的运算体现的数学思想是（ ）．A ． 数形结合思想B ． 整体代入思想C ． 分类讨论思想D ． 转化思想(3)求式子()()261x x x ++−的值，其中22450x x +−=．【答案】(1)完全平方公式(2)B(3)6【分析】本题考查的是整式的混合运算，因式分解，化简求值，掌握完全平方公式与整体思想是解本题的关键；（1）由计算过程可得利用了完全平方公式分解因式；（2）由整体代入计算可得体现的是整体思想；（3）先计算整式的乘法运算，再合并同类项，最后整体代入求值即可．【详解】（1）解：从第三步到第四步涉及到的乘法公式是：完全平方公式；（2）小刚在解答过程中，第五步的运算体现的数学思想是：整体代入思想，故选B（3）()()261x x x ++−22621x x x x =++−+2241x x =++，∵22450x x +−=， ∴2245x x +=，∴原式516=+=；4．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）定义：,,a b c 为正整数，若222c a b =+，则称c 为“完美勾股数”，,a b 为c 的“伴侣勾股数”．如22213512=+，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”．(1)数10_______“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；(2)已知ABC 的三边,,a b c 满足2226810500a b c a b c ++−−−+=．求证：c 是“完美勾股数”．【答案】(1)是(2)见解析【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用，完全平方公式，解题的关键是掌握配方法．（1）根据完美勾股数的定义可得答案；（2）利用完全平方公式，将已知式配成几个平方数和的形式，利用非负数性质进而求出c ，即可证明．【详解】（1）解：2221068=+，∴数10是“完美勾股数”，故答案为：是；（2）证明：2226810500a b c a b c ++−−−+=∴()()()2226981610250a a b a c c −++−++−+= 222(3)(4)(5)0a b c \-+-+-= 222(3)0;(4)0;(5)0a b c −≥−≥−≥3,4,5a b c ∴===，222c a b ∴=+，c ∴是“完美勾股数”；【易错必刷八 综合运用公式法分解因式】1．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）把()22214a a +−因式分解得（ ） A ．()2214a a +− B ．()2214a a +−C ．()()2211+−a aD ．()221a − 【答案】C 【分析】利用平方差公式和完全平方公式解答即可.【详解】解：()()()()()222222214121112a a a a a a a a ==−+−++−++；故选：C. 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键.2．（2024·河南周口·二模）分解因式()222224a b a b +−= ．【答案】()()22a b a b +− 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．先利用平方差公式因式分解，然后利用完全平方公式因式分解即可．【详解】()222224a b a b +− ()()22222b a b a =+−()()222222a b ab a b ab =+++− ()()22a b a b =+−．故答案为：()()22a b a b +−．3．（23-24八年级上·河南三门峡·期末）分解因式：(1)229()()m n m n +−−；(2)3221218a a a −+−．【答案】(1)()()422m n m n ++；(2)22(3)a a −−．【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．（1）先利用平方差公式，再利用提公因式法继续分解即可解答；（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．【详解】（1）解：229()()m n m n +−−()()()()33m n m n m n m n =++−+−−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()4224m n m n =++ ()()422m n m n =++；（2）解：3221218a a a −+−()2269a a a =−−+22(3)a a =−−． 4．（22-23八年级上·贵州黔西·期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法、运用公式法和十字相乘法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法，等等．①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法.例如： ()()()2222222424()222x xy y x xy y x y x y x y −+−=−+−=−−=−+−−．②拆项法，将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法.例如： ()()()()222223214(1)2121213x x x x x x x x x +−=++−=+−=+−++=−+(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分组分解法）22441x x y +−+；②（拆项法）268x x −+；(2)已知：a ，b ，c 为ABC 的三条边，222446170a b c a b c ++−−−+=，求ABC 的周长．【答案】(1)()()2121x y x y ++−+①；()()42x x −−②(2)ABC 的周长为7【分析】本题主要考查公式法因式分解：（1）①将22441x x y +−+组成为()22441x x y ++−分解即可．②将268x x −+拆项为()2691x x −+−分解即可； （2）分组拆项配成完全平方式的和形式()()()2226944440a b a b c c ++−−+++=−，利用非负性计算即可．【详解】（1）22441x x y +−+① ()22441x x y =++−2221()x y =+−()()2121x y x y =++−+268x x −+②2691x x =−+− 2(3)1x =−−()()3131x x =−−−+ ()()42x x =−−（2）222446170a b c a b c ++−−−+=Q ，()()()2224444690a a b b c c ∴−++−++−+=．222(2)(2)(3)0a b c ∴−+−+−=．2a ∴=，2b =，3c =．2237a b c ∴++=++=．ABC ∴的周长为7．【易错必刷九 综合提公因式和公式法分解因式】1．（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）下列因式分解中，结果正确的有（ ）个．①()322221m m m m −=−；②()()2422x x x x x −=+−；③()()22416422x y x y x y −=+−；④()()2282222a b b b a b a b −=+−；⑤()22248422x xy y x y ++=+． A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D 【分析】本题考查的知识点是因式分解，解题关键是熟练掌握因式分解的计算方法．根据提公因式法、公式法分别对五个式子进行判断，综合所有结果即可求解．【详解】解：①()()()322221211m m m m m m m −=−=+−，因此①不正确； ②()244x x x x −=−，因此②不正确； ③()()()222241644422x y x y x y x y −=−=+−，因此③正确； ④()2228224a b b b a b −=−，因此④不正确； ⑤()()22222484424x xy y x xy y x y ++=++=+，因此⑤不正确；综上所述，结果正确的有③，故选：D ．2．（23-24九年级下·湖北荆州·阶段练习）分解因式：2231212ax axy ay −+= ．【答案】()232a x y −【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式3a ，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：2231212ax axy ay −+()22344a x xy y =−+()232a x y =−，故答案为：()232a x y −．3．（22-23八年级下·广东深圳·期中）将下列多项式因式分解：(1)()()22162x x x −−−(2)()()269m n n m −−−+【答案】(1)()()()244x x x −−+(2)()23m n −+【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．（1）首先对各项提取公因式()2x −，再利用平方差公式进行因式分解，即可解答；（2）将原式转化为()()269m n m n −+−+，然后结合完全平方公式进行因式分解，即可解答． 【详解】（1）解：()()22162x x x −−− ()()2216x x =−−()()()244x x x =−−+；（2）解：()()269m n n m −−−+ ()()269m n m n =−+−+()23m n ⎡⎤=−+⎣⎦()23m n =−+．4．（23-24八年级上·贵州黔东南·阶段练习）下面是小颖对多项式因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务．分解因式∶()()2233x y x y +−+．解∶原式()()3333x y x y x y x y =++++−−……第一步 ()()4422x y x y =+−……第二步()()8x y x y =+−……第三步()228x y =−．……第四步任务一：以上变形过程中，第一步依据的公式用字母a ，b 表示为 ；任务二：以上分解过程第 步出现错误，具体错误为 ，分解因式的正确结果为 ．【答案】任务一：()()22a b a b a b −=+−；任务二：四，进行乘法运算，()()8x y x y +−【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．任务一：根据平方差公式求解即可；任务二：根据因式分解的概念求解即可．【详解】任务一：以上变形过程中，第一步依据的公式用字母a ，b 表示为()()22a b a b a b −=+−；任务二：以上分解过程第四步出现错误，具体错误为进行乘法运算，分解因式的正确结果为()()8x y x y +−．【易错必刷十 因式分解在有理数简算中的应用】1．（21-22八年级下·陕西西安·期末）利用因式分解计算：22111021198⨯−⨯的结果是（ ）A ．44B ．800C ．2200D ．8800 【答案】D【分析】先提出11，再根据平方差公式计算即可．【详解】解：22111021198⨯−⨯()221110298=⨯−()()111029810298=⨯+− 112004=⨯⨯8800=．故选：D ．【点睛】本题主要考查了应用因式分解计算，掌握平方公式是解题的关键．即22()()a b a b a b −=+−．2．（22-23八年级上·福建泉州·期中）计算：2202220222021−⨯= ．【答案】2022【分析】根据有理数的乘法运算律计算，即可求解．【详解】解：2202220222021−⨯()202220222021=⨯−20221=⨯2022=．故答案为：2022【点睛】本题主要考查了有理数的乘法运算律，熟练掌握有理数的乘法运算律是解题的关键．3．（23-24八年级下·全国·课后作业）用简便方法计算：(1)222 023 4 044 2 023 2 022−⨯+；(2)222011.54011.59.5209.5⨯−⨯⨯+⨯．【答案】(1)1(2)80【分析】本题考查的是完全平方公式的灵活运用，熟记完全平方公式的特点是解本题的关键；（1）把原式化为2220232202220232022−⨯⨯+，再利用完全平方公式进行计算即可；（2）把原式化为()222011.5211.59.59.5⨯−⨯⨯+，再利用完全平方公式进行计算即可；【详解】（1）解：222023404420232022−⨯+2220232202220232022=−⨯⨯+()22023-2022=1=． （2）222011.54011.59.5209.5⨯−⨯⨯+⨯()222011.5211.59.59.5=⨯−⨯⨯+ ()22011.59.5=⨯−2202=⨯ 80=．4．（2023八年级上·全国·专题练习）利用乘法公式简便计算．(1)2202020222021⨯−(2)223.672 6.328 6.3287.344++⨯【答案】(1)1−(2)100【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟知平方差公式和完全平方公式是解题的关键．（1）把原式变形为()()220211202112021−⨯+−，再利用平方差公式进行求解即可；（2）原式根据完全平方公式变形为()23.672 6.328+，据此求解即可． 【详解】（1）解：原式()()220211202112021=−⨯+−222202112021=−−1=−； （2）解：原式223.672 6.328 6.328 3.6722++⨯⨯=()23.672 6.328=+210=100=．【易错必刷十一 十字相乘法】1．（23-24八年级上·山东滨州·期末）若23x −是多项式2212x mx +−（m 为系数）的一个因式，则m 的值是（ ）A ．2B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】本题考查了因式分解的十字相乘法，利用十字相乘法很容易确定m 的值，解题的关键是熟练掌握十字相乘法．【详解】解：∵多项式2212x mx +−分解因式后含有因式23x −，()()222122342512x mx x x x x ∴+−=−+=+−，则5m =，故选：C ． 2．（2023·山东菏泽·三模）分解因式：3223x x x −+= ．【答案】()()31x x x +−【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．先提取公因式，再用十字相乘法分解因式即可．【详解】3223x x x +−()223x x x =+−()()31x x x =+−．故答案为：()()31x x x +−．3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）把2412m m +−分解因式．【答案】()()26m m −+【分析】本题主要考查了因式分解．运用十字相乘法进行分解因式，即可．【详解】解：()()241226m m m m +−=−+．4．（23-24七年级上·山西朔州·期末）阅读下列材料：材料1：将一个形如2x px q ++的二次三项式因式分解时，如果能满足q mn =且p m n =+，则可以把2x px q ++因式分解成()()x m x n ++．①()()24313x x x x ++=++；②()()241262x x x x −−=−+．材料2：分解因式：()()221x y x y ++++．解：将“x y +”看成一个整体，令x y A +=，则原式()22211A A A =++=+，再将“A ”还原，得原式()21x y =++．上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，结合材料1和材料2，完成下面小题：(1)分解因式：()()243x y x y −+−+．(2)分解因式：()()22223m m m m ++−−．【答案】(1)()()13x y x y −+−+(2)()()()2113m m m +−+【分析】此题考查因式分解，将某多项式重新设定未知数，分解因式，（1）令A x y =−，仿照例题解答即可；（2）令22B m m =+，先计算乘法，再因式分解即可．【详解】（1）解：令A x y =−，则原式()()24313A A A A =++=++，∴()()()()24313x y x y x y x y −+−+=−+−+；（2）令22B m m =+，则原式()()()2232313B B B B B B =−−=−−=+−.∴原式()()()()()2222123113m m m m m m m =+++−=+−+.【易错必刷十二 分组分解法】1．（20-21八年级下·河南郑州·期中）将多项式2233x y x y −−+分解因式的结果为（）A ．()()3x y x y ++−B ．()()3x y x y −−−C ．()()3x y x y +−−D ．()()3x y x y −+−【答案】A【分析】先分组，然后根据提公因式法与平方差公式进行因式分解即可求解．【详解】解：2233x y x y −−+()()()3x y x y x y =+−+−()()3x y x y =++−，故选：A ．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．2．（22-23八年级上·广西南宁·期中）分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解多项式．例如：()()()()()()22222221m n mn m n m mn n m n m n m n m n m n +−+−=−++−=−+−=−−+．根据上述方法，解决问题：已知a b c 、、是ABC 的三边，且满足220a b ac bc −+−=，则ABC 的形状是 ． 【答案】等腰三角形【分析】利用平方差公式和提公因式法将所给条件式变形为()()0a b c a b ++−=，由此推出a b =，据此可得答案．【详解】解：∵220a b ac bc −+−=， ∴()()220a b ac bc −+−=， ∴()()()0a b a b c a b +−+−=， ∴()()0a b c a b ++−=，∵0a b c ++≠，∴0a b −=，即a b =，∴ABC 的形状是等腰三角形，故答案为：等腰三角形．【点睛】本题主要考查了分解因式的应用，等腰三角形的判定，正确利用分组分解法分解因式是解题的关键．3．（23-24八年级上·江西南昌·阶段练习）先阅读下面的材料，再分解因式．要把多项式am an bm bn +++分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出a ，再把它的后两项分成一组，并提出b ，从而得()()am an bm bn a m n b m n +++=+++．这时，由于()()a m n b m n +++中又有公因式m n +，于是可提公因式m n +，从而得到()()m n a b ++，因此有()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n m n a b +++=+++=+++=++．这种因式分解的方法叫做“分组分解法”，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来分解因式．(1)请用上面材料中提供的方法分解因式：①2ab ac bc b −+−；②222248x y x y y −−+．(2)已知ABC 的三边长为a ，b ，c ，并且2220a b c ab bc ca +−−+−=，试判断此三角形的形状．【答案】(1)①()()b c a b −−；②()()224y x y −−(2)等边三角形【分析】本题考查了因式分解、等边三角形的判定，熟练掌握分组分解法是解题关键．（1）①利用分组分解法分解因式即可得；②利用分组分解法分解因式即可得；（2）根据已知等式可得()22220a b c ab bc ca ++−−−=，再利用分组分解法分解等式的左边，然后根据偶次方的非负性求解即可得．【详解】（1）解：①2ab ac bc b −+−()()2ab ac b bc =−−−()()a b c b b c =−−−()()b c a b =−−； ②222248x y x y y −−+()()222248x y x y y =−−−()()2242x y y y =−−− ()()224y x y =−−．（2）解：2220a b c ab bc ca ++−−−=，()22220a b c ab bc ca ∴++−−−=，()()()2222222220a ab b b bc c a ca c ∴−++−++−+=， 即()()()2220a b b c a c −+−+−=，0,0,0a b b c a c ∴−=−=−=，a b c ==∴，∴ABC 是等边三角形．4．（23-24八年级上·陕西西安·期末）阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“222m mn m n −+−”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为()()()()()()22222222m mn m n m mn m n m m n m n m n m −+−=−+−=−+−=−+．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”．请在这种方法的启发下，解决以下问题：(1)因式分解：323618a a a −+−；(2)因式分解：222ax a ab bx b +−−+．【答案】(1)()()236a a −+(2)()()a b a b x −−+【分析】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组分解是解题关键．（1）首先将前两项组合提取公因式，后两项组合提取公因式，然后提取新的公因式即可；（2）首先分别将222a ab b −+与ax bx −组合，利用完全平方公式分解因式，然后提取新的公因式即可．【详解】（1）解：323618a a a −+−()()2363a a a =−+−()()236a a =−+；（2）222ax a ab bx b +−−+()()222a ab b ax bx =−++−()()2a b x a b =−+−()()a b a b x =−−+．【易错必刷十三 因式分解的应用】1．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式44x y −，因式分解的结果是()()()22x y x y x y −++，若取9x =，9y =，则各个因式的值是：0x y −=，18x y +=，22162x y +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式32x xy −，取52x =，28y =，用上述方法产生的密码不可能是（ ）A ．528024B ．522824C ．248052D ．522480。
(常考题)北师大版初中数学八年级数学下册第四单元《因式分解》测试(含答案解析)(1)
一、选择题1．下列分解因式正确的是（ ）A ．32(1)a a a a -=-B ．32244x x y xy ++=2(2)x x y +C ．22244(2)x xy y x y -+-=-+D ．2216164(42)x x x ++=+ 2．下列因式分解正确的是（ ）A ．m 2+n 2=(m+n)(m-n)B ．a 3-a=a(a+1)(a-1)C ．a 2-2a+1=a(a-2)+1D ．x 2+2x-1=(x-1)2 3．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（ ） A ．2444x x ++B ．244x x -++C ．4244x x -+D ．291216x x ++ 4．下列从左到右的变形是因式分解的是（ ） A ．221(2)1a a a a -+=-+B ．2(3)(3)9a a a +-=-C ．222(2)44a b a ab b -=-+D ．2(1)a x ax ax a -=-5．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ） A ．2161x + B ．221x x +- C ．2224a ab b +- D ．214x x -+6．多项式x 2+mx ﹣21因式分解的结果为（x +3）（x ﹣7），则m 的值是（ ） A ．4B ．﹣4C ．10D ．﹣10 7．下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是( ) A ．()210x 5x 5x 2x 1-=-B ．()()2222a b c a b a b c --=-+-C ．()a m n am an +=+D ．()()2x 166x x 4x 46x -+=+-+ 8．小明是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：-a b ，x y -，x y +，+a b ，22x y -，22a b -分别对应下列六个字：头、爱、我、汕、丽、美，现将222222()()x y a x y b ---因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）A ．我爱美B ．汕头美C ．我爱汕头D ．汕头美丽 9．下列各式中：①()()22x y x y x y --=-+-，②()()22x y x y x y -+=-++，③()22 242x x x --=-，④221142x x x ++=+⎛⎫ ⎪⎝⎭中，分解因式正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个10．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式44x y -，因式分解的结果是()()()22x y x y x y -++，若取9x =，9y =，则各个因式的值是：0x y -=，18x y +=，22162x y +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式32x xy -，取30x =，20y =，用上述方法产生的密码不可能是（ ）A ．301050B ．103020C ．305010D ．501030 11．下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）．A ．2422(2)yz y z y z y z -+=-+B ．2(3)(3)9x x x -+=-C ．2()()()x x y y x y x y ---=-D ．()32233x x x x x x -+=- 12．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）A ．2(3)(3)9a a a +-=-B ．233m m m m ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭C ．243(4)3a a a a --=--D ．22()()a b a b a b -=+-二、填空题13．分解因式：－3x 2+6xy －3y 2=________．14．分解因式323a a -=____．15．分解因式：3244x x x -+=__________．16．分解因式：2a 2﹣8＝______．17．已知2a b -=，则222a b ab +-的值_____． 18．边长为m 、n 的长方形的周长为14，面积为10，则33m n mn +的值为_________． 19．若3a b +=，4ab =-，则代数式32232ab a b a b ++=_________．20．若多项式222(3)x mx x x +=-，则m =_______________．三、解答题21．阅读下面的材料：常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如22926a b a b --+，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：()()2222926926a b a b a b a b --+=---()()()3323a b a b a b =+---()()332a b a b =-+-．像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．利用分组分解法解决下面的问题：（1）分解因式：22222x xy y x y -+-+；（2）已知ABC 的三边长a ，b ，c 满足220a bc b ac +--=，判断ABC 的形状并说明理由．22．（1）计算：()2021123π-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭． （2）计算：()3222()()ab a b ab a b a b -÷+-+．（3）因式分解：34x x -．（4）因式分解：3221218a a a ++．23．（1）分解因式：244am am a ++（2）计算：(-2)(2)(2)x x x y x y ++-24．计算：（1）（用公式法计算）（-2x +3y -1）（-2x -3y +1）（2）因式分解：()222416a a +- 25．（阅读学习）课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如：（1）()()()()()()am an bm bn am bm an bn m a b n a b a b m n +++=+++=+++=++； （2）()2222222121(1)(1)(1)x y y x y y x y x y x y ---=-++=-+=++--． （学以致用）请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：（1）1ab a b --+；（2）22444x xy y -+-． （拓展应用）已知：7x y +=，5x y -=．求：2222x y y x --+的值．26．先化简，再求值：()()()()()()232222m n m n m n m n m n n ⎡⎤+---+-+÷⎣⎦，其中m 、n 满足2262100m n m n +-++=．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据分解因式的方法进行分解，同时分解到不能再分解为止；【详解】A 、()()()32111a a a a a a a -=-=+- ，故该选项错误； B 、()()23222244442x x y xy x x xy y x x y ++=++=+ ，故该选项正确；C 、()()2222244442x xy y x xy yx y -+-=--+=--，故该选项错误； D 、()()222161644441421x x x x x ++=++=+，故该选项错误； 故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解，解决问题的关键是掌握因式分解的几种方法，注意因式分解要分解到不能再分解为止；2．B解析：B【分析】根据因式分解的定义判断即可．【详解】解：A 、等号左右两边不相等，故错误；B 、a 3-a=a(a+1)(a-1)，故正确；C 、右边不是整式的积，故错误；D 、等号左右两边不相等，故错误．故选：B ．【点睛】因式分解与整式的乘法互为逆变形，并且因式分解是等式的恒等变形，变形前后一定相等．3．C解析：C【分析】利用完全平方公式逐项进行判定即可．【详解】解：A. 2444x x ++，无法因式分解，故不符合题意；B. 244x x -++，无法因式分解，故不符合题意；C. ()2422442x x x -+=-，符合题意；D. 291216x x ++，无法因式分解，故不符合题意．故答案为Ｃ．【点睛】本题主要考查了运用完全公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式是解答本题关键． 4．D解析：D【分析】根据分解因式的意义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式；进行作答即可．【详解】A 、221(2)1a a a a -+=-+，结果不是几个整式乘积形式，不是因式分解，故此选项错误；B 、2(3)(3)9a a a +-=-，这属于整式的乘法运算，故此选项错误；C 、222(2)44a b a ab b -=-+，这属于整式的乘法运算，故此选项错误；D 、2(1)a x ax ax a -=-，从左到右的变形是因式分解，故此选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了因式分解的意义，解答本题的关键是熟练掌握因式分解的定义与形式． 5．D解析：D【分析】根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数的平方和的形式，另一项是这两个数的积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解.【详解】A. 2161x +只有两项，不符合完全平方公式；B. 221x x +-其中2x 、-1不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式；C. 2224a ab b +-，其中2a 与24b - 不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式；D. 214x x -+符合完全平方公式定义， 故选：D.【点睛】此题考查完全平方公式，正确掌握完全平方式的特点是解题的关键. 6．B解析：B【分析】直接利用因式分解法得出m 与3，-7的关系．【详解】解：∵多项式x 2+mx ﹣21因式分解的结果为（x +3）（x ﹣7），∴m ＝﹣7+3＝﹣4．故选：B ．【点睛】此题主要考查了因式分解法分解因式，正确掌握常数项与一次项系数的关系是解题关键． 7．A解析：A【分析】根据把一个多项式写成几个整式积的形式叫做因式分解对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A 、10x 2-5x=5x(2x-1)是因式分解，故本选项正确；B 、右边不是整式积的形式，故本选项错误；C 、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误；D 、右边不是整式积的形式，故本选项错误.故选A.【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解与整式的乘法互为逆运算，熟记因式分解的定义是解题的关键．8．C解析：C【分析】先提取公因式(22x y -)，然后再利用平方法公式因式分解可得.【详解】2222222222()()=()()=()()()()x y a x y b x y a b x y x y a b a b -----+-+-故对应的密码为：我爱汕头故选：C【点睛】本题考查因式分解，注意，当式子可提取公因式时，我们在因式分解中，往往先提取公因式.9．B解析：B【分析】直接利用平方差公式和完全平方公式分解因式得出答案即可．【详解】解：①()2222+x y x y--=-，无法分解因式，故此选项错误； ②()()22x y x y x y -+=-++，正确；③()222415(11x x x x x --=--=-+--，故此选项错误； ④221142x x x ++=+⎛⎫ ⎪⎝⎭，故此选项正确； 所以，正确的答案有2个，故选：B ．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式和完全平方公式是解题关键． 10．B解析：B【分析】对多项式利用提公因式法分解因式，利用平方差公式分解因式，然后把数值代入计算即可确定出密码．【详解】x 3−xy 2＝x （x 2−y 2）＝x （x ＋y ）（x−y ），当x ＝30，y ＝20时，x ＝30，x ＋y ＝50，x−y ＝10，组成密码的数字应包括30，50，10，所以组成的密码不可能是103020．故选：B ．【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式、平方差公式分解因式，立意新颖，熟记公式结构是解题的关键．11．C解析：C【分析】根据因式分解的定义判断即可．【详解】解：A. 2422(2)yz y z y z y z -+=-+，不是因式分解；B. 2(3)(3)9x x x -+=-，是乘法公式，不是因式分解；C. 2()()()x x y y x y x y ---=-，是因式分解；D. ()32233x x x x x x -+=-，左右两边不相等，不是因式分解；故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解的定义，解题关键是看是不是把多项式变成了整式的积，等号左右两边应该是恒等变形． 12．D解析：D【分析】直接利用因式分解的定义得出答案．【详解】A 、2(3)(3)9a a a +-=-，是整式乘法，故此选项不合题意；B 、233m m m m ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，不符合因式分解的定义，故此选项不合题意； C 、243(4)3a a a a --=--，不符合因式分解的定义，故此选项不合题意；D 、22()()a b a b a b -=+-是分解因式，符合题意；故选：D ．【点睛】此题主要考查了因式分解的意义，正确分解因式是解题关键．二、填空题13．；【分析】先提公因式-3再用完全平方公式因式分解即可【详解】解：原式=－3（x2-2xy+y2）=；故答案为：；【点睛】本题考查了因式分解掌握因式分解的方法是解题的关键解析：23()x y --；【分析】先提公因式-3，再用完全平方公式因式分解即可．【详解】解：原式=－3（x 2-2xy+y 2）=23()x y --；故答案为：23()x y --；【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 14．【分析】提取公因式a2即可【详解】解：=故答案为：【点睛】本题考查了分解因式方法之一提取公因式正确提取公因式是解决本题的关键解析：2)(3a a -【分析】提取公因式a 2即可．【详解】解：323a a -，=2)(3a a -，故答案为：2)(3a a -．【点睛】本题考查了分解因式方法之一提取公因式，正确提取公因式是解决本题的关键． 15．【分析】先提取公因式x 然后再运用完全平方公式解答即可【详解】解：===故答案为：【点睛】本题主要考查了因式分解掌握提公因式法和完全平方公式法是解答本题的关键解析：2(21)x x -【分析】先提取公因式x ，然后再运用完全平方公式解答即可．【详解】解：3244x x x -+=()2441x x x -+=()222221x x x ⎡⎤-⨯+⎣⎦=2(21)x x -故答案为：2(21)x x -．【点睛】本题主要考查了因式分解，掌握提公因式法和完全平方公式法是解答本题的关键． 16．2（a+2）（a-2）【分析】先提取公因式2再对余下的多项式利用平方差公式继续分解【详解】解：2a2-8=2（a2-4）=2（a+2）（a-2）故答案为：2（a+2）（a-2）【点睛】本题考查了用提解析：2（a+2）（a-2）【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【详解】解：2a 2-8，=2（a 2-4），=2（a+2）（a-2）．故答案为：2（a+2）（a-2）．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 17．2【分析】将原式通分然后将分子进行因式分解然后整体代入求值即可【详解】解：当时原式=故答案为：2【点睛】本题考查完全平方公式法进行因式分解及整体代入思想求值掌握完全平方公式的结构正确进行因式分解是本 解析：2【分析】将原式通分，然后将分子进行因式分解，然后整体代入求值即可.【详解】 解：222222()222a b a b ab a b ab ++---== 当2a b -=时，原式=2222= 故答案为：2【点睛】本题考查完全平方公式法进行因式分解及整体代入思想求值，掌握完全平方公式的结构正确进行因式分解是本题的解题关键.18．290【分析】根据题意可知m ＋n ＝7mn ＝10再由因式分解法将多项式进行分解后可求出答案【详解】解：由题意可知：m ＋n ＝7mn ＝10原式＝mn （m2＋n2）＝mn(m+n)2-2mn=10×(72-解析：290【分析】根据题意可知m ＋n ＝7，mn ＝10，再由因式分解法将多项式进行分解后，可求出答案．【详解】解：由题意可知：m ＋n ＝7，mn ＝10，原式＝mn （m 2＋n 2）＝mn[(m+n)2-2mn]=10×(72-2×10)=10×29＝290故答案为：290．【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是熟练运用因式分解法以及完全平方公式的变形公式． 19．-36【详解】解析：-36【详解】322322222(2)()4336ab a b a b ab b ab a ab b a ++=++=+=-⨯=-20．-6【分析】利用多项式乘法去括号根据对应项的系数相等即可求解【详解】∵∴故答案为：-6【点睛】本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算并且考查了代数式相等的条件：对应项的系数相等解析：-6【分析】利用多项式乘法去括号，根据对应项的系数相等即可求解．【详解】∵222(3)262+x x x x x mx --==∴6m =-，故答案为：-6．【点睛】本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算，并且考查了代数式相等的条件：对应项的系数相等．三、解答题21．（1）()()2x y x y ---；（2）ABC 为等腰三角形，理由见解析【分析】（1）前三项符合完全平方公式，最后一项用提公因式法进行分解因式，最后再提公因式（x-y ）即可．（2）通过因式分解22a bc b ac +--()()0a b a b c =-+-=，因为0a b c +->，所以得0a b -=，则a b =，那么ABC 为等腰三角形．【详解】解：（1）原式()()22222x xy y x y =-+--()()22x y x y =--- ()()2x y x y =---．（2）结论：ABC 为等腰三角形理由：∵22a bc b ac +--()()22a b ac bc =---()()()a b a b c a b =+---()()a b a b c =-+-0=又∵0a b c +->∴0a b -=∴a b =∴ABC 为等腰三角形．【点睛】 此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．22．（1）7；（2）22a ab -；（3）()()22x x x +-；（4）()223a a +． 【分析】（1）先算乘方、负整数次幂以及零次幂，然后再算加减即可；（2）先算多项式除以单项式和平方差公式，然后再合并同类项即可；（3）先提取公因式x ，然后在运用平方差公式因式分解即可；（4）先提取公因式2a ，然后在运用完全平方公式公式因式分解即可．【详解】解：（1）()2021123π-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭=-1+9-1=7； （2）()3222()()ab a b ab a b a b -÷+-+2222b ab a b =-+-22a ab =-；（3）34x x -()24x x =-()()22x x x =+-；（4）3221218a a a ++()2269a a a =++()223a a =+．【点睛】本题主要考查了负整数次幂、零次幂、整式的四则混合运算以及因式分解，掌握相关的运算法则是解答本题的关键．23．（1）()22a m + ；（2）22224x x y --【分析】（1）先提公因式a ，再根据完全平方公式分解因式；（2）先根据整式乘法、乘法公式展开括号，然后再合并同类项即可得到答案．【详解】（1）解：244am am a ++ ()244a m m =++()22a m =+； （2）(2)(2)(2)x x x y x y -++-22224x x x y =-+-22224x x y =--．【点睛】此题考查因式分解及整式的混合运算，掌握多项式的因式分解的方法，整式的乘法计算法则、合并同类项计算法则是解题的关键．24．（1）4x 2﹣9y 2+6y ﹣1；（2）22(2)(2)a a -+【分析】（1）先变形，再利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：（1）（-2x +3y -1）（-2x -3y +1）=[-2x +(3y -1)][ -2x -(3y ﹣1)]=（﹣2x ）2﹣（3y ﹣1）2=4x 2﹣（9y 2﹣6y+1）=4x 2﹣9y 2+6y ﹣1；（2）()222416a a +-=22(44)(44)a a a a -+++=22(2)(2)a a -+．【点睛】本题考查整式的乘法运算、因式分解、平方差公式、完全平方公式，熟记公式是解答的关键．25．（1）(1)(1)a b --；（2）(22)(22)x y x y -++-；【拓展应用】45．【分析】此题根据因式分解的常用方法，观察各式，参照例子把1ab a b --+分为()(1)ab a b ---再提取公因式分解即可，把22444x xy y -+-化为224)4(4x xy y --+再利用完全平方和平方差分解；把2222x y y x --+化为22()(22)x y x y -+-再因式分解代入即可．【详解】（1）1ab a b --+()()()()111ab a b a b =---=--（2）()()()()22222444444422222x xy y x xy y x y x y x y -+-=--+=--=-++-【拓展应用】 ()()()()222222222x y y x x y x y x y x y --+=-+-=-++∵7x y +=，5x y -=，代入得：原式=()(2)5(72)45x y x y -++=⨯+=．【点睛】此题考查了因式分解所涉及的相关知识：完全平方公式，平方差公式，提取公因式法因式分解和分组结合等，也考查了学生对题文的理解能力．26．3m n -，6【分析】先把原式进行化简，再根据m 、n 满足2262100m n m n +-++=利用完全平方公式求出m 、n 的值，把m 、n 的值代入原式进行计算即可．【详解】解：()()()()()()232222m n m n m n m n m n n ⎡⎤+---+-+÷⎣⎦=()()222222334442m mn mn nm n mn m n n -+---++-÷=()()2262mn n n -÷ =3m n -∵2262100m n m n +-++=，∴()()22310m n -++=， ∴m-3=0，n+1=0，∴m=3，n=-1，代入原式，∴3m n -=6．【点睛】本题考查的是整式的混合运算-化简求值及非负数的性质，根据题意求出m 、n 的值是解答此题的关键．。
(常考题)北师大版初中数学八年级数学下册第四单元《因式分解》检测卷(包含答案解析)(1)
一、选择题1．下列分解因式正确的是（ ）A ．32(1)a a a a -=-B ．32244x x y xy ++=2(2)x x y +C ．22244(2)x xy y x y -+-=-+D ．2216164(42)x x x ++=+ 2．把22164m n -分解因式（ ）A ．(42)(42)m n m n +-B ．2(42)m n -C ．4(2)(2)m n m n +-D ．22(2)m n - 3．对于①2(2)(1)2x x x x +-=+-，②4(14)x xy x y -=-，从左到右的变形，表述正确的是（ ）A ．都是因式分解B ．都是乘法运算C ．①是因式分解，②是乘法运算D ．①是乘法运算，②是因式分解 4．设,,a b c 是三角形的三边长，且满足222a b c ab bc ca ++=++，关于此三角形的形状有以下判断：①是直角三角形； ②是等边三角形； ③是锐角三角形；④是钝角三角形，其中正确的说法的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．将3-a b ab 进行因式分解，正确的是( ) A ．()2a a b b -B ．()21ab a -C ．()()11ab a a +-D ．()21ab a - 6．若x -y +3=0，则x （x -4y ）+y （2x +y ）的值为（ ） A ．9B ．－9C ．3D ．－3 7．因式分解x ﹣4x 3的最后结果是（ ） A ．x （1﹣2x ）2B ．x （2x ﹣1）（2x+1）C ．x （1﹣2x ）（2x+1）D ．x （1﹣4x 2）8．下列各多项式从左到右变形是因式分解，并分解正确的是（ ）A ．2()()()(1)a b b a a b a b ---=--+B ．2(2)(3)56x x x x ++=++C ．2249(49)(49)a b a b a b -=-+D ．222()()2m n m n m n -+=+-+9．下列多项式中，不能用乘法公式进行因式分解的是（ ）A ．a 2﹣1B ．a 2+2a +1C ．a 2+4D ．9a 2﹣6a +1 10．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是( )A ．x 2﹣16+6x =(x +4)(x ﹣4)+6xB ．10x 2﹣5x =5x (2x ﹣1)C ．a 2﹣b 2﹣c 2=(a ﹣b )(a +b )﹣c 2D ．a (m +n )=am +an11．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A ．4a+4b+3＝4（a+b ）+3B ．（a+b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2C ．10a 2b ﹣2ab ＝2ab （5a ﹣1）D ．a 2+b 2＝（a+b ）2﹣2ab 12．下列各组中，没有公因式的一组是（ ）A ．ax －bx 与by －ayB ．6xy －8x 2y 与－4x+3C ．ab －ac 与ab －bcD ．（a －b ）3与（b －a ）2y 二、填空题13．分解因式：32520=x xy -________________．14．已知210x x +-=，则代数式3222020x x ++的值为________．15．因式分解：33327xy x y -=______．16．分解因式：xy 4﹣6xy 3+9xy 2=_____．17．分解因式：x 2y ﹣y 3＝_____．18．因式分解：2m 3﹣8m ＝_____．19．已知x+y=8，xy=15，则22x y xy +的值为__________．20．因式分解：3221218a a a -+=________．三、解答题21．把下列各式因式分解：（1）()()131x x --+（2）()()2222a b a b +-+22．因式分解：（1）322242a a b ab -+（2）4481x y - 23．所谓完全平方式，就是对一个整式M ，如果存在另一个整式N ，使2M N =，则称M 是完全平方式，如：422()x x =、222)2(x xy y x y =+++，则称4x 、222x xy y++是完全平方式．（1）下列各式中是完全平方式的编号有 ．①2244a a b ++；②24x ；③22x xy y -+； ④21025y y --；⑤21236x x ++；⑥2124949a a -+ （2）已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边长，满足22222()a b c c a b ++=+，判定ABC ∆的形状．（3）证明：多项式2(4)(8)64x x x +++是一个完全平方式．24．（1）分解因式：244am am a ++（2）计算：(-2)(2)(2)x x x y x y ++-25．因式分解：229()4()a x y b y x -+-．26．分解因式：422222244a b c a b a c +--．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据分解因式的方法进行分解，同时分解到不能再分解为止；【详解】A 、()()()32111a a a a a a a -=-=+- ，故该选项错误； B 、()()23222244442x x y xy x x xy y x x y ++=++=+ ，故该选项正确； C 、()()2222244442x xy y x xy y x y -+-=--+=--，故该选项错误；D 、()()222161644441421x x x x x ++=++=+，故该选项错误； 故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解，解决问题的关键是掌握因式分解的几种方法，注意因式分解要分解到不能再分解为止；2．C解析：C【分析】先提取公因式，再用平方差公式分解即可．【详解】解：22164m n -，=()2244m n -，=()()42+2m n m n -，故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解，解题关键是按照因式分解的顺序，准确进行计算，注意：分解要彻底．3．D解析：D根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式判断即可．将多项式×多项式变得多项式，是乘法运算．【详解】解：①2(2)(1)2x x x x +-=+-，从左到右的变形是整式的乘法；②4(14)x xy x y -=-，从左到右的变形是因式分解；所以①是乘法运算，②因式分解．故选：D ．【点睛】此题考查了因式分解与乘法运算的定义的认识，解题的关键是掌握因式分解及乘法运算的定义．4．B解析：B【分析】先将原式转化为完全平方公式，再根据非负数的性质得出a b c ==．进而判断即可．【详解】∵222a b c ab bc ca ++=++，∴222222222a b c ab bc ca ++=++，即()()()2220a b b c a c -+-+-=，∴a b c ==，∴此三角形为等边三角形，同时也是锐角三角形．故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，根据式子特点，将原式转化为完全平方公式是解题的关键． 5．C解析：C【分析】多项式3-a b ab 有公因式ab ，首先用提公因式法提公因式ab ，提公因式后，得到多项式()21x -，再利用平方差公式进行分解．【详解】()()()32111a b ab ab a ab a a -=-=+-，故选C ．【点睛】此题主要考查了了提公因式法和平方差公式综合应用，解题关键在于因式分解时通常先提公因式，再利用公式，最后再尝试分组分解；6．A【解析】解：∵x -y +3=0，∴x -y =－3．原式=2242x xy xy y -++=2()x y -=2(3)-=9．故选A ．7．C解析：C【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【详解】原式=x （1﹣4x 2）=x （1+2x ）（1﹣2x ）．故选C ．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．8．A解析：A【分析】直接利用因式分解的定义进而分析得出答案．【详解】解：A 、2()()()(1)a b b a a b a b ---=--+，是因式分解，故此选项正确；B 、（x+2）（x+3）=x 2+5x+6，是整式的乘法运算，故此选项错误；C 、4a 2-9b 2=（2a-3b ）（2a+3b ），故此选项错误；D 、m 2-n 2+2=（m+n ）（m-n ）+2，不符合因式分解的定义，故此选项错误．故选：A ．【点睛】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握因式分解的定义是解题关键．9．C解析：C【分析】直接利用公式法分别分解因式进而得出答案．【详解】A 、a 2﹣1＝（a+1）（a ﹣1），可以运用公式法分解因式，不合题意；B 、a 2+2a+1＝（a+1）2，可以运用公式法分解因式，不合题意；C 、a 2+4，无法利用公式法分解因式，符合题意；D 、9a 2﹣6a+1＝（3a ﹣1）2，可以运用公式法分解因式，不合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了公式法，正确运用乘法公式是解题的关键．10．B解析：B【分析】根据因式分解的定义逐个进行判断即可.【详解】解：A、变形的结果不是几个整式的积，不是因式分解；B、把多项式10x2﹣5x变形为5x与2x﹣1的积，是因式分解；C、变形的结果不是几个整式的积，不是因式分解；D、变形的结果不是几个整式的积，不是因式分解；故选：B．【点睛】本题主要考察了因式分解的定义，理解因式分解的定义是解题的关键.11．C解析：C【分析】判断一个式子是否是因式分解的条件是①等式的左边是一个多项式，②等式的右边是几个整式的积，③左、右两边相等，根据以上条件进行判断即可．【详解】解：A.4a+4b+3＝4（a+b）+3，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不合题意；B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，为乘法运算，故本选项不合题意；C.10a2b﹣2ab＝2ab（5a﹣1），属于因式分解，故本选项符合题意；D．a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不合题意．故选：C．【点睛】本题考查因式分解的意义，解题关键是熟练掌握把多项式转化成几个整式积的形式．12．C解析：C【分析】将每一组因式分解，找到公因式即可．【详解】解：A、ax-bx=（a-b）x，by-ay=（b-a）y，有公因式（a-b），故本选项错误；B、6xy-8x2y=2xy（3-4x）与-4x+3=-（4x-3）有公因式（4x-3），故本选项错误；C、ab-ac=a（b-c）与ab-bc=b（a-c）没有公因式，故本选项正确；D、（a-b）3x与（b-a）2y有公因式（a-b）2，故本选项错误．故选：C．【点睛】本题考查公因式，熟悉因式分解是解题关键．二、填空题13．【分析】原式提取公因式再利用平方差公式分解即可【详解】解：原式=5x （x2-4y2）=故答案为：【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用熟练掌握因式分解的方法是解题的关键解析：()()5 +2 -2x x y x y【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：原式=5x （x 2-4y 2）=5(+2)(-2)x x y x y ，故答案为：5(+2)(-2)x x y x y【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 14．【分析】根据条件转换成x2+x=1后一个代数式化简后将条件代入即可【详解】解：由题意得：x2+x=1∴x3+2x2+2020=x(x2+x)+x2+2020=x+x2+2020=1+2020=202解析：【分析】根据条件转换成x 2+x =1，后一个代数式化简后将条件代入即可．【详解】解：由题意得：x 2+x =1，∴x 3+2x 2+2020=[x (x 2+x )+x 2]+2020=x +x 2+2020=1+2020=2021，故答案为：2021．【点睛】本题考查代数式的整体代入求解，关键在于如何将代数式转换成条件中的整体． 15．【分析】根据因式分解的提公因式法找出公因式为然后再根据平方差公式求解即可；【详解】原式=故答案为：【点睛】本题考查了因式分解的提公因式法平方差公式找出公因式是是解题的关键解析：()()333xy y x y x +-【分析】根据因式分解的提公因式法，找出公因式为3xy ，然后再根据平方差公式求解即可；【详解】原式=()()()2239333xy y x xy y x y x -=+-，故答案为：()()333xy y x y x +-．【点睛】本题考查了因式分解的提公因式法、平方差公式，找出公因式是3xy 是解题的关键． 16．xy2(y ﹣3)2【分析】原式提取公因式再利用完全平方公式分解即可【详解】解：xy4﹣6xy3+9xy2=xy2(y2﹣6y+9)=xy2(y﹣3)2故答案为：xy2(y﹣3)2【点睛】本题考查了提解析：xy2(y﹣3)2．【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【详解】解：xy4﹣6xy3+9xy2=xy2(y2﹣6y+9)=xy2(y﹣3)2，故答案为：xy2(y﹣3)2．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．17．y（x+y）（x﹣y）【解析】试题分析：先提取公因式y再利用平方差公式进行二次分解解：x2y﹣y3=y（x2﹣y2）=y（x+y）（x﹣y）故答案为y（x+y）（x﹣y）解析：y（x+y）（x﹣y）．【解析】试题分析：先提取公因式y，再利用平方差公式进行二次分解．解：x2y﹣y3=y（x2﹣y2）=y（x+y）（x﹣y）．故答案为y（x+y）（x﹣y）．18．2m（m+2）（m﹣2）【分析】先提公因式法再根据平方差公式进行因式分解可得答案【详解】原式＝2m（m2﹣4）＝2m（m+2）（m﹣2）故答案为2m （m+2）（m﹣2）【点睛】本题考查了因式分解一提解析：2m（m+2）（m﹣2）．【分析】先提公因式法，再根据平方差公式进行因式分解可得答案．【详解】原式＝2m（m2﹣4）＝2m（m+2）（m﹣2），故答案为2m（m+2）（m﹣2）．【点睛】本题考查了因式分解，一提，二套，三检查，注意分解要彻底．19．120【分析】原式提出公因式xy后代入前面式子的值计算即可【详解】解：原式=xy(x+y)=15×8=120故答案为：120【点睛】本题考查了因式分解的应用正确的将原式因式分解变形成用已知式子表示的解析：120原式提出公因式xy 后代入前面式子的值计算即可．【详解】解：原式=xy (x +y )=15×8=120．故答案为：120．【点睛】本题考查了因式分解的应用，正确的将原式因式分解，变形成用已知式子表示的式子是解决此题的关键．20．【分析】先提公因式然后利用完全平方公式进行因式分解即可得到答案【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查了因式分解的方法解题的关键是熟练掌握提公因式法公式法进行因式分解解析：()223a a -．【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解，即可得到答案．【详解】解：()()23222121826923a a a a a a a a -+=-+=-， 故答案为：()223a a -．【点睛】本题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握提公因式法，公式法进行因式分解． 三、解答题21．（1）()22x -；（2）()()3a b a b +-． 【分析】（1）直接利用多项式乘法计算进而利用完全平方公式分解因式即可；（2）利用平方差公式分解因式，再提公因式即可．【详解】解：（1）原式244x x =-+()22x =-；（2）原式()()()()2222a b a b a b a b =++++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()33a b a b =+-()()3a b a b =+-．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 22．（1）22()a a b -；（2）22((3)(3)9)x y x y x y +-+．（1）先提公因式2a ，再利用完全平方公式进行分解222a ab b -+，即可得出结果；（2）原多项式先利用平方差公式分解为2222(9)(9)x y x y +-，再次利用平方差公式对229x y -进行分解即可．【详解】解：（1）322242a a b ab -+222(2)a a ab b =-+22()a a b =-，（2）4481x y -2222(9)(9)x y x y =+-22(93(3))()x y x y x y =+-+．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的基本方法并能结合多项式的特点准确分解是解题的关键．23．（1）②⑤⑥；（2）ABC ∆是等边三角形；（3）见详解【分析】（1）根据完全平方公式的结构特征和完全平方式的定义，逐一判断即可；（2）把等式右边的代数式移到左边，再利用完全平方公式写成平方和的形式，从而即可得到a ，b ，c 的关系，进而即可得到结论；（3）利用完全平方公式进行因式分解，把原式写成一个整式的平方的形式，即可得到结论．【详解】（1）②24x =2(2)x ；⑤21236x x ++=2(6)x +；⑥2124949a a -+=21(7)7a -是完全平方式，①2244a a b ++；③22x xy y -+； ④21025y y --不是完全平方式，各式中完全平方式的编号有②⑤⑥，故答案为：②⑤⑥；（2）∵22222()a b c c a b ++=+，∴()()2222220a ac cb bc c -++-+=， ∴()()220a c b c -+-=，∴a-c=0且b-c=0，∴a=b=c ，∴ABC ∆是等边三角形；（3）∵原式=2(8)(4)64x x x +++=22(8)(816)64x x x x ++++=222(8)16(8)64x x x x ++++=22(8)8x x ⎡⎤++⎣⎦ =()2288x x ++，∴多项式2(4)(8)64x x x +++是一个完全平方式．【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．24．（1）()22a m + ；（2）22224x x y --【分析】（1）先提公因式a ，再根据完全平方公式分解因式；（2）先根据整式乘法、乘法公式展开括号，然后再合并同类项即可得到答案．【详解】（1）解：244am am a ++ ()244a m m =++()22a m =+； （2）(2)(2)(2)x x x y x y -++-22224x x x y =-+-22224x x y =--．【点睛】此题考查因式分解及整式的混合运算，掌握多项式的因式分解的方法，整式的乘法计算法则、合并同类项计算法则是解题的关键．25．()(32)(32)x y a b a b -+-．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：229()4()a x y b y x -+-=22()(94)x y a b --=()(32)(32)x y a b a b -+-．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 26．()()()()22a b a b a c a c +--+【分析】先分组提公因式、然后再用平方差公式因式分解即可．【详解】解：原式=42222224()()4a a b a c b c ---222222()()4a a b c a b =---2222()()4a b a c =--()()()()22a b a b a c a c =+--+．【点睛】本题主要考查了因式分解，掌握分组提公因式和运用平方差公式因式分解是解答本题的关键．。
(word完整版)北师大版八年级下册数学第四章因式分解精练习题
因式分解专题1．〔 2021 吴中期末〕以下等式从左到右的变形中，属于因式分解的是〔〕A ．x26x x(x 6) B. ( x 3)2x26x 9C. x2 4 4 x ( x 2)( x 2) 4x D . 8x2y 2xy24xy22．〔2021 滨州〕把多项式x2ax b 分解因式，得〔x+1〕〔x﹣3〕那么 a， b 的值分别是〔〕A ．a=2 ，b=3B．a= ﹣2， b= ﹣ 3C．a= ﹣ 2，b=3 D ．a=2 ，b= ﹣33．〔2021 梅州〕分解因式a2b b3结果正确的选项是〔〕2〔222A ．b 〔 a+b 〕〔a﹣b 〕〔 a b〕a b〕D ．b(a b) B．b C．b4．以下各式分解正确的选项是〔〕A 12xy29 x2 y23xy 2 (4 3xy) B. 3x2y3xy 3 y3y( x 2x1) C.x2xy 2x x( x y 2) D . x2y 5xy y y(x2 5 y)5．多项式5mx325mx210mx 各项的公因式是___________________. 6．因式分解： ab ﹣ a=______________________7．因式分解： x 24xy4y2___________________8．因式分解：〔1〕y 216〔2〕m(m 1)m1〔3〕21〔 x 1〕 2( x 1)9 ．【类比精练】 1．〔2021 春 ? 连云港期末〕将以下各式因式分解：〔 1〕25x236 y2〔2〕3x 2 y 6xy 3y10 ．例 2.假设 x 2 4x 3与 x 2 2x 3的公因式为 x ﹣c ，那么 c 的值为〔 〕A ．-3B ．-1C ．1D ．311. 【类比精练】〔 2021 温州一模〕多项式 x 2 1与多项式 x 2 2x 1 的公因式是〔〕A ．x ﹣1B ．x+1C ．x2 ﹣1D ．〔 x ﹣ 1〕 212. 例 3.假设x yy 2 4 y 4 0 ,求 xy 的值13. 〔2021 澧县期末〕 x 2y 2 4x 6y 13 0，求 x 2 6xy 9y 2 的值．14. 以下各组多项式中，没有公因式的是〔 〕A ．ax ﹣bx 和 by ﹣ayB ． 6x+12y 和 2x ﹣ 4C ． a+b 和 a ﹣bD ． a+b 和 b 2 2ab a 215. 〔2021 保定期末〕计算： 101 1022101 982 = 〔〕A ．404B ．808C ． 40400D ． 8080016. 〔2021 泾阳期中〕多项式 12 x 39x 2 3x 中各项的公因式是___________________ ．217. 因式分解： 因式分解：2〔 a ﹣ b 〕 ﹣8〔 b ﹣ a 〕3 2+ x =_______________________18〔. 2021常州〕因式分解： x ﹣2x19. 〔 2021洪泽泽期末〕 x ﹣ y = 2， xy = 3，那么 x 2 y ﹣ xy 2 ____________________ 20. 2假设〔 x ﹣5〕〔 x + 3〕是由 x ﹣ kx ﹣15分解而来的， 那么 k =__________________21. x 2 + x ﹣1 = 0，那么那么代数 x 3 + 2x 2 + 2021的值值 为222. 因式分解：〔2x + y〕﹣〔x + 2y〕3〔.2021故城期末〕a﹣ b = 5， ab = 3，求代数式 a3b﹣2a2 b2 + ab3的值5. x2+y 2+2x-6y+10=0,求x+y的值第四章分解因式综合测试题一、选择题1. 以下各式中从左到右的变形，是因式分解的是〔〕 (A)( a+3)( a- 3)= a2 - 9(B)x 2 + x- 5=( x- 2)( x+3)+1(C)a2 b+ ab 2= ab (a+ b )1) (D) x2 +1= x(x+x2.以下各式的因式分解中正确的选项是〔〕(A) - a2 + ab - ac= - a(a+ b - c) (B)9xyz - 6x2 y 2=3 xyz(3 - 2xy )(C)3a2 x- 6bx +3 x=3 x(a2 - 2b )(D)1xy 2 +1x2y=1xy (x+ y)2223.把多项式 m 2(a- 2)+ m (2 - a)分解因式等于〔〕(A)( a- 2)(m 2 + m ) (B)( a- 2)( m 2 - m)(C)m (a- 2)( m - 1)(D) m (a- 2)( m+1)4.以下多项式能分解因式的是〔〕(A) x2 - y(B) x2+1(C)x2+ y+ y 2(D) x2- 4x+45.以下多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是〔〕(A) m 1m 2(B) x22xy y2(C) a214ab 49b 2(D) n22n 14936.多项式 4x2+1 加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式不可以是〔〕(A)4x x(C)4x4(D) - 4x4(B) - 47.以下分解因式错误的选项是〔〕(A)15 a2+5 a=5 a(3a+1)(B)- x2 - y 2 = - (x2- y 2)=- (x+ y)(x- y)(C)k(x+ y)+ x+ y=( k+1)( x+y )(D) a3 - 2a2+ a= a(a- 1) 28.以下多项式中不能用平方差公式分解的是〔〕(A) - a2+ b 2(B)- x2 - y 2(C)49 x2y 2- z2(D)16 m 4- 25n2 p 29. 以下多项式：① 16 x5- x ；② (x- 1) 2 - 4(x- 1)+4；③ (x+1) 4 - 4x(x+1)+4x2；④- 4 x2- 1+4x，分解因式后，结果含有相同因式的是〔〕(A) ①②(B)②④(C)③④(D) ②③10.两个连续的奇数的平方差总可以被k 整除，那么 k 等于〔〕(A)4(B)8(C)4 或 - 4(D)8 的倍数二、填空题11.分解因式：3m=.m- 412. x+ y=6 ，xy=4 ，那么 x2y+ xy 2的值为.n y n分解因式的结果为22，那么的值为13.将 x-n.(x + y )(x+ y)(x- y)14.假设 ax 2+24 x+ b =( mx - 3) 2，那么 a=， b =， m =.15.观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是.三、 (每题 6 分，共 24 分 )16. 分解因式：(1) - 4x3+16 x 2- 26 x(2) 12a2 (x- 2a)2 -14a(2a- x)3〔3 〕56x 3 yz+14x 2 y 2z－21xy 2z2(4)mn(m －n) － m(n －m)17. 分解因式： (1) 4 xy – ( x2- 4 y2)11 (2) -(2a- b )2+4( a - b )24218. 分解因式： (1) - 3 ma 3 +6 ma 2 - 12 ma(2) a2 (x- y)+ b 2(y- x )19、分解因式〔1〕5(x y)32；〔〕18b(a b)23；10( y x)212( a b)〔3〕2a(x a) 4b(a x) 6c( x a) ；20. 分解因式： (1) 1ax2 y 2+2 axy+2 a(2)( x2- 6 x)2+18( x2- 6 x)+81 2(3) –2x 2n -4x n21．将以下各式分解因式：〔1〕4m29n 2；〔2〕9(m n)216(m n)2；〔3〕m416n 4；22．分解因式〔1〕( x y) 210( x y) 25 ；〔2〕16a472a 2 b281b4；23.用简便方法计算：(1)57.6 ×1.6+28.8 ×36.8 - 14.4 ×80(2)39 ×37 - 13 ×34〔3 〕．17171731313124 ．试说明：两个连续奇数的平方差是这两个连续奇数和的 2 倍。
(常考题)北师大版初中数学八年级数学下册第四单元《因式分解》测试卷(有答案解析)(1)
一、选择题1．下列因式分解中，正确的是( )A ．224(4)(4)x y x y x y -=-+B ．()ax ay a a x y ++=+C ．()()()()a x y b y x x y a b -+-=--D ．2224(2)x y x y +=+2．若22()x y A x y -+⋅=-，则代数式A 等于（ ）A ．x y --B ．-+x yC ．x y -D ．x y + 3．已知a+b=3，ab=1，则多项式a 2b+ab 2-a-b 的值为（ ） A ．-1B ．0C ．3D ．6 4．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A ．()a m n am an +=+B ．2221(1)x x x +-=-C ．21055(21)x x x x -=-D ．216+6(+4)(4)+6x x x x x -=- 5．下列因式分解正确的是（ ）A ．x 2+1＝（x +1）2B ．x 2+2x ﹣1＝（x ﹣1）2C ．2x 2﹣2＝2（x +1）（x ﹣1）D ．x 2﹣x +2＝x （x ﹣1）+2 6．已知a ＋1a ＝3，则a 2＋21a 等于( ) A ．5B ．7C ．9D ．11 7．如果917255+能被n 整除，则n 的值可能是( ) A ．20B ．30C ．35D ．40 8．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A ．12a 2b 2＝3a •4ab 2B ．（x +4）（x ﹣4）＝x 2﹣16C ．am +an ＝a （m +n ）D ．x ﹣1＝x （1﹣1x） 9．下列各多项式从左到右变形是因式分解，并分解正确的是（ ）A ．2()()()(1)a b b a a b a b ---=--+B ．2(2)(3)56x x x x ++=++C ．2249(49)(49)a b a b a b -=-+D ．222()()2m n m n m n -+=+-+10．下列因式分解正确的是（ ）A ．()()()()a a b b a b a b a b ---=-+B ．2229(3)a b a b -=-C ．22244(2)a ab b a b ++=+D ．2()a ab a a a b -+=-11．812﹣81肯定能被( )整除．A ．79B ．80C ．82D ．8312．如下列试题，嘉淇的得分是（ ）姓名：嘉淇 得分：将下列各式分解因式（每题20分，共计100分）①242(12)xy xyz xy z -=-；②2363(12)x x x x --=--；③221(2)a +a a a +=+；④2224(2)m n m n -=-；⑤22222()()x y x y x y -+=-+-A ．40分B ．60分C ．80分D ．100分二、填空题13．分解因式：3244x x x -+=__________．14．分解因式x 2y －2xy ＋y ＝_________15．因式分解：236x y y -=__________．16．分解因式：am 2﹣9a=_________________．17．分解因式：32m n m -=________．18．若m+n=1，mn=-6，则22m n mn +代数式的值是____________________；19．分解因式（2a ﹣1）2+8a ＝__．20．分解因式：1015mn m -= ______．三、解答题21．因式分解：（1）316x x -．（2）22(1)(3)1x y xy x x -+--+．22．（1）计算：()()34x x +-；（2）分解因式：232b b b -+．23．观察下列分解因式的过程：2223a ab b +-．解：原式=222223a ab b b b ++--222(2)4a ab b b =++-22()(2)a b b =+-()()22a b b a b b =+++-(3)()a b a b =+-像这种通过增减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法．（1）请你运用上述配方法分解因式：2245a ab b +-；（2）代数式222612a a b b ++-+是否存在最小值？如果存在，请求出当a 、b 分别是多少时，此代数式存在最小值，最小值是多少？如果不存在，请说明理由．24．先阅读下列材料，再解答问题：常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如多项式244x xy x y -+-和2222a b c bc --+．经过细心观察可以发现，若将多项式进行合理分组后，先将每一组进行分解，分别分解后再用提公因式法或公式法就可以完整分解了.解答过程如下：()()()()()()22(1)444444x xy x yx xy x y x x y x y x y x -+-=-+-=-+-=-+()()()()22222222(2)22a b c bca b c bc a b c a b c a b c --+=-+-=--=+--+这种方法叫分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法．利用上述思想方法，把下列各式分解因式：（1）32236m m m --+（2）2229x xy y --+25．第一步：阅读材料，掌握知识．要把多项式am ＋an ＋bm ＋bn 分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a ，再把它的后两项分成一组，提出公因式b ，从而得： am ＋an ＋bm ＋bn ＝a (m ＋n )＋b (m ＋n )．这时，由于a (m ＋n )＋b (m ＋n )中又有公因式(m ＋n )，于是可提出(m ＋n )，从而得到(m ＋n )(a ＋b )，因此有： am ＋an ＋bn ＋bn ＝(am ＋an )＋(bm ＋bn )＝a (m ＋n )＋b (m ＋n )＝(m ＋n )(a ＋b )．这种方法称为分组法．第二步：理解知识，尝试填空．（1）ab －ac ＋bc －b 2＝(ab －ac )＋(bc －b 2)＝a (b －c )－b (b －c )＝ ．第三步：应用知识，解决问题．（2）因式分解：x 2y －4y －2x 2＋8．第四步：提炼思想，拓展应用．（3）已知三角形的三边长分别是a 、b 、c ，且满足a 2＋2b 2＋c 2＝2b (a ＋c )，试判断这个三角形的形状，并说明理由．26．计算或因式分解（1()20211- （2）计算()()()2322232a ab ab ⋅-÷-（3）因式分解：323108x xy -（4）因式分解：2221a b b -+-（5）先化简，再求值：()()()()225x y x y x y x x y ++-+--．其中1x =，y 是的小数部分．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据因式分解的基本方法，对各多项式进行分解，即可得出结论．【详解】解：A 、224(2)(2)x y x y x y -=-+，故此选项错误；B 、(1)ax ay a a x y ++=++，故此选项错误；C 、()()()()a x y b y x x y a b -+-=--，故此选项正确；D 、224x y +不能在实数范围内分解因式，故此选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的基本方法是解题的关键．2．A解析：A【分析】利用平方差公式将等号右边写成()()x y x y +-，即可求解．【详解】解：∵()()22()y x y A x y x y x -+=+⋅--=， ∴A x y =--，故选：A ．【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．3．B解析：B【分析】根据分解因式的分组分解因式后整体代入即可求解．【详解】解：a 2b+ab 2-a-b=（a 2b-a ）+（ab 2-b ）=a （ab-1）+b （ab-1）=（ab-1）（a+b ）将a+b=3，ab=1代入，得原式=0．故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题关键是掌握分组分解因式的方法．4．C解析：C【分析】根据因式分解的定义逐项作出判断即可．【详解】解：A. ()a m n am an +=+,是乘法运算，不是因式分解，不合题意；B. 2221(1)x x x +-=-，变形错误，不是因式分解，不合题意；C. 21055(21)x x x x -=-，是因式分解符合题意；D. 216+6(+4)(4)+6x x x x x -=-，没有化为整式的积的形式，不是因式分解，不合题意． 故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫因式分解． 5．C解析：C【分析】根据因式分解的定义及方法对各项分解得到结果，即可作出判断．【详解】解：A 、原式不能分解，不符合题意；B 、原式不能分解，不符合题意；C 、原式＝2（x 2﹣1）＝2（x +1）（x ﹣1），符合题意；D 、原式不能分解，不符合题意，故选：C ．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 6．B解析：B【分析】 利用完全平方公式把221a a+变形成为21()2a a +-，代入解答即可． 【详解】221a a+=21()2a a +-=232-=7． 故选B ．【点睛】 本题考查了完全平方公式．解题的关键是把221a a+变形成为21()2a a +-． 7．B解析：B【分析】两项的底数可以进行转化，25写成5的平方，利用幂的乘方转化后，就可提取公因数进行分解即可解答．【详解】()91718171717162555555156530+=+=⨯+=⨯=⨯，917255∴+能被n 整除，则n 的值可能是30，故选B ．【点睛】本题考查了分解因式在计算中的应用，将所给的式子化成积的形式，关键是将两项的底数转化成相同的．8．C解析：C【分析】因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．要确定从左到右的变形中是否为因式分解，只需根据定义来确定．【详解】A 、左边不是多项式的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；B 、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；C 、am+an ＝a （m+n ）是因式分解，故此选项符合题意；D 、右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解的意义，解决问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断；同时还要注意变形是否正确．9．A解析：A【分析】直接利用因式分解的定义进而分析得出答案．【详解】解：A 、2()()()(1)a b b a a b a b ---=--+，是因式分解，故此选项正确；B 、（x+2）（x+3）=x 2+5x+6，是整式的乘法运算，故此选项错误；C 、4a 2-9b 2=（2a-3b ）（2a+3b ），故此选项错误；D 、m 2-n 2+2=（m+n ）（m-n ）+2，不符合因式分解的定义，故此选项错误．故选：A ．【点睛】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握因式分解的定义是解题关键．10．C解析：C【分析】利用提公因式法分解因式和平方差公式以及完全平方公式进行分解即可得到答案．【详解】A 、2()()()()()a a b b a b a b a b a b ---=--=-，故此选项错误；B 、229(3)(3)a b a b a b -=+-，故此选项错误；C 、22244(2)a ab b a b ++=+，故此选项正确；D 、2(+1)a ab a a a b -+=-，故此选项错误．故选：C ．【点睛】此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．11．B解析：B【分析】原式提取公因式分解因式后，判断即可．【详解】解：原式=81×(81﹣1)=81×80，则812﹣81肯定能被80整除．故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解题的关键． 12．A解析：A【分析】根据提公因式法及公式法分解即可．【详解】①242(12)xy xyz xy z -=-，故该项正确；②2363(12)x x x x --=-+，故该项错误；③2221(1)a +a a +=+，故该项错误；④224(2)(2)m n m n m n -=+-，故该项错误；⑤22222()()x y x y x y -+=-+-，故该项正确；正确的有：①与⑤共2道题，得40分，故选：A ．【点睛】此题考查分解因式，将多项式写成整式乘积的形式，叫做将多项式分解因式，分解因式的方法：提公因式法、公式法，根据每道题的特点选择恰当的分解方法是解题的关键．二、填空题13．【分析】先提取公因式x 然后再运用完全平方公式解答即可【详解】解：===故答案为：【点睛】本题主要考查了因式分解掌握提公因式法和完全平方公式法是解答本题的关键解析：2(21)x x -【分析】先提取公因式x ，然后再运用完全平方公式解答即可．【详解】解：3244x x x -+=()2441x x x -+=()222221x x x ⎡⎤-⨯+⎣⎦=2(21)x x -故答案为：2(21)x x -．【点睛】本题主要考查了因式分解，掌握提公因式法和完全平方公式法是解答本题的关键． 14．【分析】原式提取公因式y 再运用完全平方公式进行因式分解即可【详解】解：x2y －2xy ＋y==故答案为：【点睛】此题主要考查了因式分解熟练掌握提公因式法的公式法是解本题的关键解析：2(1)y x -【分析】原式提取公因式y ，再运用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：x 2y －2xy ＋y=2(21)y x x -+=2(1)y x -故答案为：2(1)y x -．【点睛】此题主要考查了因式分解，熟练掌握提公因式法的公式法是解本题的关键．15．y(x+6)(x-6)【分析】首先提公因式y 再利用平方差进行二次分解即可【详解】原式＝y(x2-36)=y(x+6)(x-6)故答案为：y(x+6)(x-6)【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解解析：y(x+6)(x-6)【分析】首先提公因式y ，再利用平方差进行二次分解即可．【详解】原式＝y(x 2-36)=y(x+6)(x-6)，故答案为：y(x+6)(x-6)【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 16．a(m+3)(m ﹣3)【解析】==解析：a(m+3)(m ﹣3)．【解析】29am a -=2(9)a m -=(3)(3)a m m +-.17．【分析】原式提取公因式再利用平方差公式分解即可【详解】解：原式==故答案为：【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键解析：(1)(1)m mn mn -+【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：原式=3222(1)m n m m m n -=-，=(1)(1)m mn mn -+故答案为：(1)(1)m mn mn -+.【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 18．-6【分析】利用提公因式法因式分解再把m+n=1mn=-6代入计算即可【详解】解：∵m+n=1mn=-6∴m2n+mn2=mn （m+n ）=（-6）×1=-6故答案为：-6【点睛】本题主要考查了因式分解析：-6【分析】利用提公因式法因式分解，再把m+n=1，mn=-6代入计算即可．【详解】解：∵m+n=1，mn=-6，∴m 2n+mn 2=mn （m+n ）=（-6）×1=-6．故答案为：-6．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握提公因式法因式分解是解答本题的关键． 19．（2a+1）2【分析】运用乘法公式展开合并同类项即可再根据完全平方公式进行分解因式【详解】原式═4a2+4a+1＝（2a ）2+4a+1＝（2a+1）2故答案为：（2a+1）2【点睛】本题考查乘法公式解析：（2a +1）2【分析】运用乘法公式展开，合并同类项即可，再根据完全平方公式进行分解因式．【详解】原式═4a 2+4a +1＝（2a ）2+4a +1＝（2a +1）2，故答案为：（2a +1）2．【点睛】本题考查乘法公式在多项式的化简及因式分解中的运用．解题关键是明确要求，特别是因式分解时，要分解到不能再分解为止．20．【分析】提取公因式5m 后即可求解【详解】原式=【点睛】此题考查因式分解熟练运用提取公因式法运算是解题关键解析：5(23)m n -【分析】提取公因式5m 后即可求解．【详解】原式=5253⋅-⋅m n m5(23)=-m n【点睛】此题考查因式分解，熟练运用提取公因式法运算是解题关键．三、解答题21．（1）(4)(4)x x x +-；（2）()()22x xy x -+-【分析】（1）首先提取公因式x ，再利用平方差公式分解因式即可；（2）先将原式变形为222431x y xy x x -+-++，然后分组，再运用提公因式法和完全平方公式分解就可以求出结论．【详解】解：（1）316x x -2(16)x x =-(4)(4)x x x =+-；（2）22(1)(3)1x y xy x x -+--+222431x y xy x x =-+-++()2244xy x x x =-+-+2(2)(2)xy x x =-+-()22x xy x =-+-（）．【点睛】本题考查了提取公因式法以及公式法分解因式，分组分解法，解答时正确分组和灵活运用公式法求解是关键．22．（1）212x x --；（2）()21b b -【分析】（1）利用多项式乘多项式法则直接求解；（2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解．【详解】（1）解：原式23412x x x =+--212x x =--．（2）解：原式()212b b b =-+ ()21b b =-【点睛】本题考查了多项式乘多项式及整式的因式分解，掌握多项式乘多项式法则和因式分解的完全平方公式是解决本题的关键．23．（1）（a-b ）（a+5b ）；（2）存在最小值，当a=-1，b=3时，最小值为2．【分析】(1)理解题意，按题意所给方法分解因式即可；(2)根据题中所给方法，对原式进行变形求解即可．【详解】解：(1) 2245a ab b +-， 22224445a ab b b b -=++-，()()2223a b b =+-， ()()2323b a b a b b =+++-，()()5a b a b =+-；（2）代数式222612a a b b ++-+，=a 2+2a+1+b 2-6b+9-1-9+12，=()()22132a b ++-+， ()()2210,30a b +≥-≥， ∴当10a +=，b-3=0即1a =-，b=3时原式有最小值，最小值是2．【点睛】本题主要考查了配方法分解因式，掌握因式分解的方法，正确理解问题情境是解题关键． 24．（1）2(2)(3)m m --；（2）()()33x y x y -+--【分析】（1）将1、2项，3、4项分别结合分别分解因式，再进行组间的公因式提取便可达目的；（2）原式分成222x xy y -+和-9两组，前一组利用完全平方公式分解，然后再利用平方差公式继续分解即可．【详解】解：（1）32236m m m --+2(2)3(2)m m m =---2(2)(3)m m =--；（2）2229x xy y --+2229x xy y =-+-()223x y =-- ()()33x y x y =-+--．【点睛】本题考查了分组分解法，关键要明确分组的目的，是分组分解后仍能继续分解，还是分组后利用各组本身的特点进行解题．25．（1）（b-c ）（a-b ）；（2）（y-2）（x+2）（x-2）；（3）这个三角形为等边三角形，理由见解析．【分析】（1）提取b-c 即可；（2）先分组，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可；（3）移项后分解因式，可得出a=b=c ，则可得出答案．【详解】解：（1）a （b-c ）-b （b-c ）=（b-c ）（a-b ）．故答案为：（b-c ）（a-b ）；（2）x 2y-4y-2x 2+8=（x 2y-4y ）-（2x 2-8）=y （x 2-4）-2（x 2-4）=（y-2）（x 2-4）=（y-2）（x+2）（x-2）；（3）这个三角形为等边三角形．理由如下：∵a 2+2b 2+c 2=2b （a+c ），∴a 2+2b 2+c 2-2ba-2bc=0，∴a 2-2ab+b 2+b 2-2bc+c 2=0，∴（a-b ）2+（b-c ）2=0，∵（a-b ）2≥0，（b-c ）2≥0，∴a-b=0，b-c=0，∴a=b=c ，∴这个三角形是等边三角形．【点睛】本题考查分组因式分解，等边三角形的定义．能理解题意，掌握分组分解法是解题关键． 26．（1）54；（2）94ab -；（3）3(6)(6)x x y x y +-；（4）(1)(1)a b a b +--+；（5）9xy ，9【分析】（1）先算算术平方根，立方根和乘方，再算加减法，即可求解；（2）先算积的乘方，再根据单项式的乘除法法则，求解即可；（3）先提取公因式，再利用平方差分解因式，即可；、（4）先括号，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式，即可；（5）根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式法则，合并同类项法则，先化简，再代入求值，即可．【详解】（1）原式=()5(3)214+-+-- =54； （2）原式=()22433(2)(9)8a a b a b⋅÷- =94ab -； （3）原式=223(36)x x y -=3(6)(6)x x y x y +-；（4）原式=22(21)a b b --+=22(1)a b --=[][](1)(1)a b a b +---=(1)(1)a b a b +--+；（5）原式=222224455x xy y x y x xy +++--+=45xy xy +=9xy ，∵y的小数部分，∴1y =，∴当1x =+，1y =时，原式=9xy 11)=9．【点睛】 本题主要考查实数的混合运算，整式的化简求值，分解因式，掌握平方差公式和完全平方公式，是解题的关键．。
(常考题)北师大版初中数学八年级数学下册第四单元《因式分解》测试(包含答案解析)(5)
一、选择题1．下列因式分解正确的是（ ）A ．m 2+n 2=(m+n)(m-n)B ．a 3-a=a(a+1)(a-1)C ．a 2-2a+1=a(a-2)+1D ．x 2+2x-1=(x-1)22．对于①2(2)(1)2x x x x +-=+-，②4(14)x xy x y -=-，从左到右的变形，表述正确的是（ ）A ．都是因式分解B ．都是乘法运算C ．①是因式分解，②是乘法运算D ．①是乘法运算，②是因式分解 3．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ） A ．2105525x x x x x -=⋅-B ．()a x y ax ay +=+C ．()22442x x x -+=-D ．()()2163443x x x x x -+=-++ 4．下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是( ) A ．221(2)1x x x x -+=-+B ．44331234x y x y xy =⋅C ．2(2)(2)4x x x +-=-D ．2269(3)x x x -+=- 5．在下列多项式中，不能用平方差公式因式分解的是（ ） A ．229x y -B ．21m -+C ．2216a b -+D ．21x -- 6．下列因式分解正确的是（ ） A ．x 2+1＝（x +1）2B ．x 2+2x ﹣1＝（x ﹣1）2C ．2x 2﹣2＝2（x +1）（x ﹣1）D ．x 2﹣x +2＝x （x ﹣1）+2 7．下列多项式中，能因式分解得到（x+y ）(x ﹣y)的是（ ） A ．x 2+y 2 B ．x 2﹣y 2C ．﹣x 2﹣y 2D ．-x 2+y 2 8．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A ．()()22a b a b a b +-=- B ．2323623x y x y =C ．()()2211x x -=-D ．()()24313x x x x -+=-- 9．下列因式分解错误的是( )A ．a 2﹣a +1=a (a ﹣1)+1B ．a 2﹣b 2=(a +b )(a ﹣b )C ．﹣a 2+9b 2=﹣(a +3b )(a ﹣3b )D ．a 2﹣4ab +4b 2=(a ﹣2b )210．若二次三项式21x ax +-可分解为()()2x x b -+，则a+b 的值为（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．2 11．下列各项分解因式正确的是（ ） A ．22(1)1a a -=-B ．2242(2)a a a -+=-C ．22()()b a a b a b -+=+-D ．223(1)(3)x x x x --=-+12．下列分解因式正确的是（ ）A ．xy ﹣2y 2＝x （y ﹣2x ）B ．m 3n ﹣mn ＝mn （m 2﹣1）C ．4x 2﹣24x +36＝（2x ﹣6）2D ．4x 2﹣9y 2＝（2x ﹣3y ）（2x +3y ）二、填空题13．分解因式：2a 2﹣2b 2＝_____．14．若23y y m -+有一个因式为4y -，则m=__________．15．多项式22y y m ++因式分解后有一个因式是(1)y -，则m =_______．16．已知多项式()()2221x x x x --=-+，那么我们把2x -和1x +称为22x x --的因式，小汪发现当2x =或1-时，多项式22x x --的值为0．若2325x ax +-有一个因式是x a -（a 为正数），那么a 的值为______，另一个因式为______．17．分解因式：32244a a b ab -+____．18．若6x y +=，3xy =-，则2222x y xy +＝_____．19．分解因式(3)(26)x y y ---=__________________．20．计算()()9910022-+-=_______． 三、解答题21．分解因式（1）()()()()a b x y b a x y ----+（2）4+12（x -y ）+9（x -y ）2（3）22369xy x y y -- （4）()228a b ab -+22．（1）计算：()()()()23232121a a a a a -++-+-（2）分解因式：244xy xy x -+ 23．已知7,12a b ab -==-（1）求22ab a b -的值（2）求22a b +的值24．（1）分解因式：244am am a ++（2）计算：(-2)(2)(2)x x x y x y ++-25．分解因式：422222244a b c a b a c +--．26．（1）计算题：①（a 2）3•（a 2）4÷（a 2）5②（x ﹣y+9）（x+y ﹣9）（2）因式分解①﹣2a 3+12a 2﹣18a②（x 2+1）2﹣4x 2．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据因式分解的定义判断即可．【详解】解：A 、等号左右两边不相等，故错误；B 、a 3-a=a(a+1)(a-1)，故正确；C 、右边不是整式的积，故错误；D 、等号左右两边不相等，故错误．故选：B ．【点睛】因式分解与整式的乘法互为逆变形，并且因式分解是等式的恒等变形，变形前后一定相等．2．D解析：D【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式判断即可．将多项式×多项式变得多项式，是乘法运算．【详解】解：①2(2)(1)2x x x x +-=+-，从左到右的变形是整式的乘法；②4(14)x xy x y -=-，从左到右的变形是因式分解；所以①是乘法运算，②因式分解．故选：D ．【点睛】此题考查了因式分解与乘法运算的定义的认识，解题的关键是掌握因式分解及乘法运算的定义．3．C解析：C【分析】将多项式写成整式的积的形式，叫做将多项式分解因式，根据定义解答．【详解】解：A 、2105525x x x x x -=⋅-，不是分解因式；B 、()a x y ax ay +=+，不是分解因式；C 、()22442x x x -+=-，是分解因式；D 、()()2163443x x x x x -+=-++，不是分解因式； 故选：C ．【点睛】此题考查多项式的分解因式，熟记定义及分解因式后式子的特点是解题的关键． 4．D解析：D【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，根据因式分解的意义求解即可．【详解】A 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A 不符合题意；B 、是单项式转化成几个整式积的形式，故B 不符合题意；C 、是整式的乘法，故C 不符合题意；D 、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D 符合题意；故选D ．【点睛】本题考查了因式分解的意义，利用把一个多项式转化成几个整式积的形式是解题关键． 5．D解析：D【分析】根据平方差公式有： 229x y -＝＝（x ＋3y ）（x−3y ）；21m -+＝m 2-1=（m+1）（m−1）；2216a b -+＝b 2−16a 2＝（b ＋4a ）（b −4a ）；而−x 2−1＝−（x 2＋1），不能用平方差公式分解．【详解】A.229x y -＝＝（x ＋3y ）（x−3y ）；B.21m -+＝m 2-1=（m+1）（m−1）；C.2216a b -+＝b 2−16a 2＝（b ＋4a ）（b−4a ）；而−x 2−1＝−（x 2＋1），不能用平方差公式分解．故选：D ．【点睛】本题考查了平方差公式：a 2−b 2＝（a ＋b ）（a−b ），熟练掌握此公式是解答此题的关键． 6．C解析：C【分析】根据因式分解的定义及方法对各项分解得到结果，即可作出判断．【详解】解：A、原式不能分解，不符合题意；B、原式不能分解，不符合题意；C、原式＝2（x2﹣1）＝2（x+1）（x﹣1），符合题意；D、原式不能分解，不符合题意，故选：C．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．7．B解析：B【分析】直接利用平方差公式分解因式进而得出答案．【详解】解：A、x2+y2，无法分解因式，故此选项错误；B、x2-y2=（x+y）（x-y），正确；C、-x2-y2，无法分解因式，故此选项错误；D、-x2+y2=-（x+y）（x-y），故此选项错误；故选B．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．8．D解析：D【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；B、左边不是多项式，不符合因式分解定义，故本选项不符合题意；C、是恒等变形，不是因式分解，故本选项不符合题意；D、是把一个多项式转化成几个整式积的形式，属于因式分解，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．9．A解析：A【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式得出答案．【详解】A．a2﹣a+1=a(a﹣1)+1，不符合因式分解的定义，故此选项正确；B．a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)，正确，不符合题意；C．﹣a2+9b2=﹣(a+3b)(a﹣3b)，正确，不合题意；D．a2﹣4ab+4b2=(a﹣2b)2，正确，不合题意．故选：A．【点睛】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题关键．10．A解析：A【分析】利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】解：（x-2）（x+b）=x2+（b-2）x-2b，∵二次三项式x2+ax-1可分解为（x-2）（x+b），∴2 21 a bb=-⎧⎨-=-⎩，解得：3212ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴a+b= -32+12=-1．故选：A．【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解与整式的乘法互为逆运算，根据对应项系数相等列式是解题的关键．11．C解析：C【分析】利用平方差公式对A、C进行判断；根据完全平方公式对B进行判断；利用十字相乘法对D 进行判断．【详解】解：A、a2−1＝（a＋1）（a−1），所以A选项错误；B、a2−4a＋2在实数范围内不能因式分解；C、−b2＋a2＝a2−b2＝（a＋b）（a−b），所以C选项正确；D、x2−2x−3＝（x−3）（x＋1），所以D选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了因式分解−十字相乘法：借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．也考查了公式法因式分解．12．D解析：D【分析】根据因式分解的方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式计算判断．【详解】A 、xy ﹣2y 2＝y （x ﹣2y ），故该项错误；B 、m 3n ﹣mn ＝mn （m 2﹣1）=mn （m+1）（m-1），故该项错误；C 、4x 2﹣24x +36＝4（x ﹣3）2，故该项错误；D 、4x 2﹣9y 2＝（2x ﹣3y ）（2x +3y ），故该项正确；故选：D ．【点睛】此题考查因式分解的解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．二、填空题13．2（a+b ）（a-b ）【分析】先提取公因式再用公式分解【详解】解：2a2﹣2b2＝2（a2﹣b2）=2（a+b ）（a-b ）故答案为：2（a+b ）（a-b ）【点睛】本题考查了因式分解解题关键是熟练运用解析：2（a +b ）（a -b ）【分析】先提取公因式，再用公式分解．【详解】解：2a 2﹣2b 2＝2（a 2﹣b 2）=2（a +b ）（a -b ）故答案为：2（a +b ）（a -b ）．【点睛】本题考查了因式分解，解题关键是熟练运用因式分解的方法与步骤进行分解．14．-4【分析】由于多项式分解因式后有一个因式是y-4所以当y=4时多项式的值为0由此得到关于m 的方程解方程即可求出m 的值【详解】解：∵多项式因式分解后有一个因式为()所以当y=4时多项式的值为0即16解析：-4【分析】由于多项式23y y m -+分解因式后有一个因式是y-4，所以当y=4时多项式的值为0，由此得到关于m 的方程，解方程即可求出m 的值．【详解】解：∵多项式23y y m -+因式分解后有一个因式为(4y -)，所以当y=4时多项式的值为0，即16-12+m=0，解得m=-4．故答案为：-4．【点睛】本题考查了因式分解的应用，有公因式时，要先考虑提取公因式；注意运用整体代入法求解．15．【分析】由于x 的多项式y2+2y+m 分解因式后有一个因式是(y-1)所以当y=1时多项式的值为0由此得到关于m 的方程解方程即可求出m 的值【详解】解：∵多项式y2+2y+m 因式分解后有一个因式为（y-解析：3-【分析】由于x 的多项式y 2+2y+m 分解因式后有一个因式是(y-1)，所以当y=1时多项式的值为0，由此得到关于m 的方程，解方程即可求出m 的值．【详解】解：∵多项式y 2+2y+m 因式分解后有一个因式为（y-1），∵当y=1时多项式的值为0，即1+2+m=0，解得m=-3．故答案为：-3．【点睛】本题考查了因式分解的意义，有公因式时，要先考虑提取公因式；注意运用整体代入法求解．16．【分析】根据题意类比推出若是的因式那么即当时将代入即可求出a 的值注意题干要求a 为正数再将求得的解代入原多项式进行因式分解即可【详解】∵是的因式∴当时即∴∴∵为正数∴∴可化为∴另一个因式为故答案为1； 解析：35x +【分析】根据题意类比推出，若x a -是2325x ax +-的因式，那么即当x a =时，23250x ax +-=．将x a =代入，即可求出a 的值．注意题干要求a 为正数，再将求得的解代入原多项式，进行因式分解即可．【详解】∵x a -是2325x ax +-的因式，∴当x a =时，23250x ax +-=，即223250a a +-=，∴21a =，∴1a =±，∵a 为正数，∴1a =，∴2325x ax +-可化为2325x x +-，2325(1)(35)x x x x +-=-+∴另一个因式为()35+x ．故答案为1；35x +【点睛】本题考查根据题意用类比法解题和因式分解的应用，注意题干中a 的取值为正数是关键． 17．【分析】先对原式提取公因式a 将其变形为a(a2-4ab+4b2)接下来再根据完全平方公式进一步分解便能得到答【详解】原式=故答案为【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用熟练掌握因式分解的方法解析：2(2)a a b -【分析】先对原式提取公因式a ，将其变形为a(a 2-4ab+4b 2)，接下来再根据完全平方公式进一步分解，便能得到答【详解】原式=222(44)(2)a a ab b a a b -+=-.故答案为()22a a b -. 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键. 18．【分析】先将原式因式分解得再整体代入即可求出结果【详解】解：∵∴原式故答案是：【点睛】本题考查因式分解解题的关键是熟练运用因式分解和整体代入的思想求值解析：36-【分析】先将原式因式分解得()2xy x y +，再整体代入即可求出结果．【详解】解：()22222x y xy xy x y +=+， ∵6x y +=，3xy =-，∴原式()23636=⨯-⨯=-．故答案是：36-．【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用因式分解和整体代入的思想求值．19．【分析】原式整理后提取公因式即可【详解】解：原式=x （y-3）-2（y-3）=（y-3）（x-2）故答案为：（y-3）（x-2）【点睛】本题考查了提公因式法的运用熟练掌握因式分解的方法是解题的关键解析：(2)(3)x y --【分析】原式整理后，提取公因式即可【详解】解：原式=x （y-3）-2（y-3）=（y-3）（x-2）故答案为：（y-3）（x-2）【点睛】本题考查了提公因式法的运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．20．【分析】先提取公因式即可得【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查因式分解提取公因式的方法熟练掌握提取公因式方法是解题的关键 解析：992【分析】先提取公因式，即可得()()999999100(2)222(1)2-⨯-++=-=-． 【详解】解：()()999999100(2)222(1)2-⨯-++=-=- 故答案为：992【点睛】本题考查因式分解提取公因式的方法，熟练掌握提取公因式方法是解题的关键．三、解答题21．（1）()2x a b -；（2）2(233)x y +- ；（3）()23y x y --；（4）()22a b + 【分析】（1）先将原式变形，然后提取公因式进行因式分解；（2）利用完全平方公式进行因式分解；（3）先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解；（4）先将原式进行整式的混合计算化简，然后利用完全平方公式进行因式分解．【详解】解：（1）()()()()a b x y b a x y ----+=()()+()()a b x y a b x y ---+=()()a b x y x y --++=()2x a b -（2）4+12（x -y ）+9（x -y ）2=22+2×2×3（x -y ）+[3（x -y ）]2=[2+3（x -y ）]2=2(233)x y +-（3）22369xy x y y -- =()2269y y xy x--+ =()23y x y --（4）()228a b ab -+=22448a ab b ab -++=224+4a ab b +=()22a b +【点睛】本题考查综合提公因式法和公式法进行因式分解，掌握提取公因式的技巧和乘法公式的公式结构正确计算是解题关键．22．（1）10；（2）()22x y -【分析】（1）根据整式的乘法公式及运算法则即可求解；（2）先提取x ，再根据完全平方公式即可因式分解．【详解】（1）解：原式222366941a a a a a =-+++-+ 10=()2解：原式()244x y y =-+()22x y =-．【点睛】此题主要考查整式的运算与因式分解，解题的关键是熟知整式的运算法则及因式分解的方法．23．（1）84；（2）25．【分析】（1）先提取公因式ab -将所求式子因式分解为()ab a b --，再将已知式子的值代入即可得；（2）利用完全平方公式进行变形求值即可得．【详解】（1）7,12a b ab -==-，()22ab a b ab a b ∴-=--，()127=--⨯，84=；（2）7,12a b ab -==-，()249a b ∴-=，22249a b ab ∴+-=，()2221249a b ∴+-⨯-=，2225a b ∴+=．【点睛】本题考查了利用因式分解和完全平方公式进行变形求值，熟练掌握因式分解的方法和完全平方公式是解题关键．24．（1）()22a m + ；（2）22224x x y --【分析】（1）先提公因式a ，再根据完全平方公式分解因式；（2）先根据整式乘法、乘法公式展开括号，然后再合并同类项即可得到答案．【详解】（1）解：244am am a ++ ()244a m m =++()22a m =+； （2）(2)(2)(2)x x x y x y -++-22224x x x y =-+-22224x x y =--．【点睛】此题考查因式分解及整式的混合运算，掌握多项式的因式分解的方法，整式的乘法计算法则、合并同类项计算法则是解题的关键．25．()()()()22a b a b a c a c +--+【分析】先分组提公因式、然后再用平方差公式因式分解即可．【详解】解：原式=42222224()()4a a b a c b c ---222222()()4a a b c a b =---2222()()4a b a c =--()()()()22a b a b a c a c =+--+．【点睛】本题主要考查了因式分解，掌握分组提公因式和运用平方差公式因式分解是解答本题的关键．26．（1）①4a ②x 2﹣y 2+18y ﹣81 （2）①﹣2a （a ﹣3）2 ②（x+1）2（x ﹣1）2【分析】（1）①原式利用幂的乘方运算法则计算，再利用单项式乘除单项式法则计算即可得到结果；②原式利用平方差公式变形，再利用完全平方公式展开即可；（2）①原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；②原式利用平方差公式及完全平方公式分解即可．【详解】解：（1）①原式＝a14÷a10＝a4；②原式＝x2﹣（y﹣9）2＝x2﹣y2+18y﹣81；（2）①原式＝﹣2a（a﹣3）2；②原式＝（x2+1+2x）（x2+1-2x）=（x+1）2（x﹣1）2．【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。
2021年度北师大版八年级数学下册《第4章因式分解》常考题型章末综合训练(附答案)
2021年度北师大版八年级数学下册《第4章因式分解》常考题型章末综合训练（附答案）1．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（）A．a2+b2B．2a﹣b2C．﹣a2+b2D．﹣a2﹣b22．下列因式分解正确的是（）A．2x2﹣2＝2（x2﹣1）B．﹣x2﹣y2＝﹣（x+y）（x﹣y）C．x2﹣2xy+4y2＝（x﹣2y）2D．﹣x2﹣2xy﹣y2＝﹣（x+y）23．下列因式分解正确的是（）A．x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2B．x2﹣5x﹣6＝（x﹣2）（x﹣3）C．x3﹣4x＝x（x2﹣4）D．9m2﹣4n2＝（3m+2n）（3m﹣2n）4．多项式8a3b2+12a3bc﹣4a2b中，各项的公因式是（）A．a2b B．﹣4a2b2C．4a2b D．﹣a2b5．若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣7x2+4x+2023的值为（）A．2020B．2021C．2022D．20236．若x2+5x+m＝（x+n）2，则m，n的值分别为（）A．m＝，n＝B．m＝，n＝5C．m＝25，n＝5D．m＝5，n＝7．若a2+2ab+b2﹣c2＝10，a+b+c＝5，则a+b﹣c的值是（）A．2B．5C．20D．98．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（）A．﹣1B．0C．3D．69．如图，大正方形ABCD和小正方形AEFG的周长和为20，且阴影部分的面积是10，则BE＝．10．分解因式：6xy2﹣8x2y3＝．11．因式分解：﹣3x2+27＝．12．已知x2﹣3x+1＝0，则＝．13．若2a﹣3b＝﹣1，则代数式4a2﹣6ab+3b的值为．14．如果x2+mx+6＝（x﹣2）（x﹣n），那么m+n的值为．15．因式分解：a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）＝．16．已知a+b＝3，ab＝2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．17．若|x+y﹣5|+（x﹣y+1）2＝0，则x2﹣y2＝．18．若x2+2（3﹣m）x+25可以用完全平方式来分解因式，则m的值为．19．已知x﹣2y+2＝0，则x2+y2﹣xy﹣1的值为．20．已知P＝m2﹣m，Q＝m﹣1（m为任意实数），则P、Q的大小关系为．21．已知a、b、c分别是△ABC的三边．（1）分别将多项式ac﹣bc，﹣a2+2ab﹣b2进行因式分解；（2）若ac﹣bc＝﹣a2+2ab﹣b2，试判断△ABC的形状，并说明理由．22．阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只有上述方法就无法分解，如x2﹣4y2+2x﹣4y，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：x2﹣4y2+2x﹣4y＝（x2﹣4y2）+（2x﹣4y）＝（x+2y）（x﹣2y）+2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y+2）这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式：x2﹣6xy+9y2﹣3x+9y（2）△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．23．分解因式：（1）3x2y﹣6xy+3y （2）（a2+1）2﹣4a2．24．因式分解（1）﹣2a3+12a2﹣18a （2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）25．阅读下面的问题，然后回答，分解因式：x2+2x﹣3，解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式：（1）x2﹣4x+3 （2）4x2+12x﹣7．26．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值；（2）已知a﹣b＝4，ab+c2﹣6c+13＝0，求a+b+c的值．27．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝y，原式＝（y+2）（y+6）+4 （第一步）＝y2+8y+16 （第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．参考答案1．解：A、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；B、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；C、原式＝（b﹣a）（b+a），能利用平方差公式进行因式分解，符合题意；D、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意，故选：C．2．解：A、2x2﹣2＝2（x2﹣1）＝2（x+1)(x﹣1),故此选项错误；B、﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2），无法分解因式，故此选项错误；C、x2﹣2xy+4y2，无法直接利用公式法分解因式，故此选项错误；D、﹣x2﹣2xy﹣y2＝﹣（x+y）2，故此选项正确．故选：D．3．解：A、x2﹣xy+y2≠（x﹣y）2，因式分解错误，不符合题意．B、x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1），因式分解错误，不符合题意．C、x3﹣4x＝x（x2﹣4）＝x（x+2）（x﹣2），因式分解错误，不符合题意．D、9m2﹣4n2＝（3m+2n）（3m﹣2n），因式分解正确，符合题意．故选：D．4．解：多项式8a3b2+12a3bc﹣4a2b中各项的公因式是4a2b，故选：C．5．解：∵x2﹣2x﹣1＝0，∴2x3﹣7x2+4x+2023＝2x（x2﹣2x﹣1）﹣3（x2﹣2x﹣1）+2020＝2x×0﹣3×0+2020＝0+0+2020＝2020，故选：A．6．解：∵x2+5x+m＝（x+n）2＝x2+2nx+n2，∴2n＝5，m＝n2，解得m＝，n＝，故选：A．7．解：a2+2ab+b2﹣c2＝10，（a+b）2﹣c2＝10，（a+b+c）（a+b﹣c）＝10，∵a+b+c＝5，∴5（a+b﹣c）＝10，解得a+b﹣c＝2．故选：A．8．解：a2b+ab2﹣a﹣b＝（a2b﹣a）+（ab2﹣b）＝a（ab﹣1）+b（ab﹣1）＝（ab﹣1）（a+b）将a+b＝3，ab＝1代入，得原式＝0．故选：B．9．解：∵正方形的面积等于边长的平方，∴正方形ABCD的面积为AB2，正方形AEFG的面积为AE2．∴阴影部分的面积是AB2﹣AE2＝（AB+AE）（AB﹣AE）．∵大正方形ABCD和小正方形AEFG的周长和为20，∴AB+BEBAE＝20÷4＝5．∵阴影部分的面积是10，∴（AB+AE）（AB﹣AE）＝10．∴AB﹣AE＝2．即BE＝2．故答案为2．10．解：6xy2﹣8x2y3＝2xy2（3﹣4xy）．故答案为：2xy2（3﹣4xy）．11．解：原式＝﹣3（x2﹣9）＝﹣3（x+3）（x﹣3），故答案为：﹣3（x+3）（x﹣3）12．解：∵x2﹣3x+1＝0，∴x+＝3，∴＝＝＝，故答案为．13．解：∵2a﹣3b＝﹣1，∴4a2﹣6ab+3b＝2a（2a﹣3b）+3b＝2a×（﹣1）+3b＝﹣2a+3b＝﹣（2a﹣3b）＝﹣（﹣1）＝1故答案为114．解：∵（x﹣2）（x﹣n）＝x2﹣（2+n）x+2n，∴m＝﹣（2+n），2n＝6，∴n＝3，m＝﹣5，∴m+n＝﹣5+3＝﹣2．故答案为﹣2．15．解：a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）＝（x﹣y）（a2﹣4b2）＝（x﹣y）（a+2b）（a﹣2b）．故答案为：（x﹣y）（a+2b）（a﹣2b）．16．解：∵a+b＝3，ab＝2，∴a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2＝2×32＝18故答案为：18．17．解：∵|x+y﹣5|+（x﹣y+1）2＝0，∴，则原式＝（x+y）（x﹣y）＝﹣5，故答案为：﹣518．解：∵x2+2（3﹣m）x+25可以用完全平方式来分解因式，∴2（3﹣m）＝±10解得：m＝﹣2或8．故答案为：﹣2或8．19．解：∵x﹣2y+2＝0，∴x2+y2﹣xy﹣1，＝（x2﹣4xy+4y2）﹣1，＝（x﹣2y）2﹣1，＝×（﹣2）2﹣1，＝1﹣1，＝0，即x2+y2﹣xy﹣1＝0．故答案是：0．20．解：∵P＝m2﹣m，Q＝m﹣1（m为任意实数），∴P﹣Q＝m2﹣m﹣（m﹣1）＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2≥0，∴P≥Q．故答案为：P≥Q．21．解：（1）ac﹣bc＝c（a﹣b）﹣a2+2ab﹣b2＝﹣（a2﹣2ab+b2）＝﹣（a﹣b）2（2）∵ac﹣bc＝﹣a2+2ab﹣b2∴c（a﹣b）＝﹣（a﹣b）2c（a﹣b）+（a﹣b）2＝0（a﹣b）（c+a﹣b）＝0∵a、b、c分别是△ABC的三边，满足两边之和大于第三边，即c+a﹣b＞0∴a﹣b＝0即a＝b故△ABC的形状是等腰三角形．22．解：（1）x2﹣6xy+9y2﹣3x+9y＝（x2﹣6xy+9y2）﹣（3x﹣9y）＝（x﹣3y）2﹣3（x﹣3y）＝（x﹣3y）（x﹣3y﹣3）；（2）∵a2﹣b2﹣ac+bc＝0，∴（a2﹣b2）﹣（ac﹣bc）＝0，∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）[（a+b）﹣c]＝0，∵a，b，c是△ABC的三边，∴（a+b）﹣c＞0，得a＝b，∴△ABC是等腰三角形．23．解：（1）原式＝3y（x2﹣2x+1）＝3y（x﹣1）2；（2）原式＝（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）＝（a+1）2（a﹣1）2．24．解：（1）原式＝﹣2a（a2﹣6a+9）＝﹣2a（a﹣3）2；（2）原式＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．25．解：（1）x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1＝（x﹣2+1）（x﹣2﹣1）＝（x﹣1）（x﹣3）（2）4x2+12x﹣7＝4x2+12x+9﹣9﹣7＝（2x+3）2﹣16＝（2x+3+4）（2x+3﹣4）＝（2x+7）（2x﹣1）26．解：（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1＝0，∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）＝0，∴（x+y）2+（y+1）2＝0，∴x+y＝0，y+1＝0，解得，x＝1，y＝﹣1，∴2x+y＝2×1+（﹣1）＝1；（2）∵a﹣b＝4，∴a＝b+4，∴将a＝b+4代入ab+c2﹣6c+13＝0，得b2+4b+c2﹣6c+13＝0，∴（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）＝0，∴（b+2）2+（c﹣3）2＝0，∴b+2＝0，c﹣3＝0，解得，b＝﹣2，c＝3，∴a＝b+4＝﹣2+4＝2，∴a+b+c＝2﹣2+3＝3．27．解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；故选：C；（2）该同学因式分解的结果不彻底，原式＝（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4；故答案为：不彻底，（x﹣2）4；（3）（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1＝（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1＝（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4。
(常考题)北师大版初中数学八年级数学下册第四单元《因式分解》检测(含答案解析)
一、选择题1．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（ ）A ．2444x x ++B ．244x x -++C ．4244x x -+D ．291216x x ++ 2．在下列多项式中，不能用平方差公式因式分解的是（ ） A ．229x y - B ．21m -+ C ．2216a b -+ D ．21x -- 3．下列因式分解正确的是（ ）A ．a 2﹣ab +a ＝a （a ﹣b ）B ．m 2+n 2＝（m +n ）（m ﹣n ）C ．111x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭D ．x 2+2xy +y 2＝（x +y ）2 4．若x -y +3=0，则x （x -4y ）+y （2x +y ）的值为（ ） A ．9 B ．－9 C ．3 D ．－35．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是A ．22(2)(2)4x y x y x y +-=-B ．221()1x y xy xy x y --=--C ．a 2-4ab+4b 2=（a-2b ）2D ．ax+ay+a =a （x+y ） 6．已知a ＋1a ＝3，则a 2＋21a 等于( ) A ．5B ．7C ．9D ．11 7．若a + b = 3，a 2-b 2=6，则a - b 等于（ ） A ．1B ．2C ．-2D ．-1 8．下列因式分解错误的是( ) A ．a 2﹣a +1=a (a ﹣1)+1B ．a 2﹣b 2=(a +b )(a ﹣b )C ．﹣a 2+9b 2=﹣(a +3b )(a ﹣3b )D ．a 2﹣4ab +4b 2=(a ﹣2b )29．下列因式分解正确的是（ ）A ．221144y y y ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭B ．()322812246a a a a +=+C ．()()22444x y x y x y -=+-D ．()2214497m m m -+=-10．下列各项分解因式正确的是（ ） A ．22(1)1a a -=- B ．2242(2)a a a -+=-C ．22()()b a a b a b -+=+-D ．223(1)(3)x x x x --=-+11．下列各多项式中，能用平方差公式分解因式的是( ) A ．21x -+B ．21x +C ．21x --D ．221x x -+ 12．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A ．4a+4b+3＝4（a+b ）+3B ．（a+b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2C ．10a 2b ﹣2ab ＝2ab （5a ﹣1）D ．a 2+b 2＝（a+b ）2﹣2ab二、填空题13．边长为m 、n 的长方形的周长为14，面积为10，则33m n mn +的值为_________． 14．因式分解()()26x mx x p x q +-=++，其中m 、p 、q 都为整数，则m 的最大值是______．15．若6x y +=，3xy =-，则2222x y xy +＝_____．16．设2a b -=2b c -=222222222a b c ab ac bc ++---=_________．17．因式分解：2m 3﹣8m ＝_____．18．分解因式：4232x -=_________．19．分解因式：2282a b -=______．20．已知a-b=3，ab=28，则3ab 2-3a 2b 的值为_________．三、解答题21．已知a+b=-2，a-b=2，把（a 2+b 2-1）2-4a 2b 2先分解因式，再求值．22．分解因式：（1）325x x -；（2）(3)2(3)m a a -+-．23．把下列多项式因式分解：（1）2()4a b ab -+；（2）22()()a x y b y x -+-．24．（1）计算：()2021123π-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭． （2）计算：()3222()()ab a b ab a b a b -÷+-+．（3）因式分解：34x x -．（4）因式分解：3221218a a a ++．25．（1）计算题：①（a 2）3•（a 2）4÷（a 2）5②（x ﹣y+9）（x+y ﹣9）（2）因式分解①﹣2a 3+12a 2﹣18a②（x 2+1）2﹣4x 2．26．（阅读材料）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用．例如：①用配方法因式分解：a 2+6a +8．原式＝a 2+6a +9－1＝(a +3) 2－1＝(a +3－1)( a +3+1)＝(a +2)(a +4)②求x 2+6x +11的最小值．解：x 2+6x +11＝x 2+6x +9+2＝(x +3) 2+2；由于(x +3) 2≥0，所以(x +3) 2+2≥2，即x 2+6x +11的最小值为2．请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a 2+4a + ；(2)用配方法因式分解：a 2－12a +35；(3)用配方法因式分解：x 4+4；(4)求4x 2+4x +3的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】利用完全平方公式逐项进行判定即可．【详解】解：A. 2444x x ++，无法因式分解，故不符合题意；B. 244x x -++，无法因式分解，故不符合题意；C. ()2422442x x x -+=-，符合题意；D. 291216x x ++，无法因式分解，故不符合题意．故答案为Ｃ．【点睛】本题主要考查了运用完全公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式是解答本题关键． 2．D解析：D【分析】根据平方差公式有： 229x y -＝＝（x ＋3y ）（x−3y ）；21m -+＝m 2-1=（m+1）（m−1）；2216a b -+＝b 2−16a 2＝（b ＋4a ）（b−4a ）；而−x 2−1＝−（x 2＋1），不能用平方差公式分解．【详解】A.229x y -＝＝（x ＋3y ）（x−3y ）；B.21m -+＝m 2-1=（m+1）（m−1）；C.2216a b -+＝b 2−16a 2＝（b ＋4a ）（b−4a ）；而−x 2−1＝−（x 2＋1），不能用平方差公式分解．故选：D ．【点睛】本题考查了平方差公式：a 2−b 2＝（a ＋b ）（a−b ），熟练掌握此公式是解答此题的关键． 3．D解析：D【分析】运用提取公因式法、公式法分解因式以及因式分解的定义逐项排除即可．【详解】解：A 、a 2﹣ab +a ＝a （a ﹣b +1），故此选项错误；B 、m 2+n 2，无法分解因式，故此选项错误；C 、x +1，无法分解因式，故此选项错误；D 、x 2+2xy +y 2＝（x +y ）2，正确．故答案为D ．【点睛】本题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式以及因式分解的定义，掌握运用乘法公式进行因式分解是解答本题的关键．4．A解析：A【解析】解：∵x -y +3=0，∴x -y =－3．原式=2242x xy xy y -++=2()x y -=2(3)-=9．故选A ．5．C解析：C【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可.【详解】解：A 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；B 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；C 、是因式分解，故本选项正确；D 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；故选C.【点睛】本题考查了因式分解的知识，解答本题的关键是掌握因式分解的定义.6．B解析：B【分析】 利用完全平方公式把221a a +变形成为21()2a a +-，代入解答即可． 【详解】 221a a+=21()2a a +-=232-=7． 故选B ．【点睛】 本题考查了完全平方公式．解题的关键是把221a a+变形成为21()2a a +-． 7．B解析：B【分析】根据平方差公式将a 2-b 2=6进行变形，再把a+b=3代入求值即可．【详解】解：∵a+b=3，∴a 2-b 2=（a+b ）（a-b ）=3（a-b ）=6，∴a-b=2，故选：B ．【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解答此题的关键．8．A解析：A【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式得出答案．【详解】A ．a 2﹣a +1=a (a ﹣1)+1，不符合因式分解的定义，故此选项正确；B ．a 2﹣b 2=(a +b )(a ﹣b )，正确，不符合题意；C ．﹣a 2+9b 2=﹣(a +3b )(a ﹣3b )，正确，不合题意；D ．a 2﹣4ab +4b 2=(a ﹣2b )2，正确，不合题意．故选：A ．【点睛】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 9．D解析：D【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而判断得出答案．【详解】解：A 、221142y y y ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，故此选项错误，不符合题意； B 、()322812423a a aa +=+，故此选项错误，不符合题意；C 、()()22422x y x y x y -=+-，故此选项错误，不符合题意；D 、()2214497m m m -+=-，故此选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键． 10．C解析：C【分析】利用平方差公式对A 、C 进行判断；根据完全平方公式对B 进行判断；利用十字相乘法对D 进行判断．【详解】解：A 、a 2−1＝（a ＋1）（a−1），所以A 选项错误；B 、a 2−4a ＋2在实数范围内不能因式分解；C 、−b 2＋a 2＝a 2−b 2＝（a ＋b ）（a−b ），所以C 选项正确；D 、x 2−2x−3＝（x−3）（x ＋1），所以D 选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解−十字相乘法：借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．也考查了公式法因式分解．11．A解析：A【分析】根据平方差公式：两个数平方的差，等于这两个数的和与差的平方解答．【详解】A 、21x -+，能用平方差公式分解因式；B 、21x +，不能用平方差公式分解因式；C 、21x --，不能用平方差公式分解因式；D 、221x x -+，不能用平方差公式分解因式；故选：A ．【点睛】此题考查平方差公式：22()()a b a b a b -=+-，掌握公式中多项式的特点是解题的关键． 12．C解析：C判断一个式子是否是因式分解的条件是①等式的左边是一个多项式，②等式的右边是几个整式的积，③左、右两边相等，根据以上条件进行判断即可．【详解】解：A.4a+4b+3＝4（a+b）+3，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不合题意；B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，为乘法运算，故本选项不合题意；C.10a2b﹣2ab＝2ab（5a﹣1），属于因式分解，故本选项符合题意；D．a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不合题意．故选：C．【点睛】本题考查因式分解的意义，解题关键是熟练掌握把多项式转化成几个整式积的形式．二、填空题13．290【分析】根据题意可知m＋n＝7mn＝10再由因式分解法将多项式进行分解后可求出答案【详解】解：由题意可知：m＋n＝7mn＝10原式＝mn（m2＋n2）＝mn(m+n)2-2mn=10×(72-解析：290【分析】根据题意可知m＋n＝7，mn＝10，再由因式分解法将多项式进行分解后，可求出答案．【详解】解：由题意可知：m＋n＝7，mn＝10，原式＝mn（m2＋n2）＝mn[(m+n)2-2mn]=10×(72-2×10)=10×29＝290故答案为：290．【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是熟练运用因式分解法以及完全平方公式的变形公式．14．5【分析】根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系按多项式乘以多项式法则把式子变形然后根据pq的关系判断即可【详解】解：∵(x＋p)(x＋q)=x2＋（p+q）x+pq=x2＋mx-6∴p+q=mpq=解析：5【分析】根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p、q的关系判断即可．解：∵(x ＋p)(x ＋q)= x 2＋（p+q ）x+pq= x 2＋mx-6∴p+q=m ，pq=-6，∴pq=1×（-6）=（-1）×6=（-2）×3=2×（-3）=-6，∴m=-5或5或1或-1，∴m 的最大值为5，故答案为：5．【点睛】此题主要考查了整式乘法和因式分解的逆运算的关系，关键是根据整式的乘法还原因式分解的关系式，注意分类讨论的作用．15．【分析】先将原式因式分解得再整体代入即可求出结果【详解】解：∵∴原式故答案是：【点睛】本题考查因式分解解题的关键是熟练运用因式分解和整体代入的思想求值解析：36-【分析】先将原式因式分解得()2xy x y +，再整体代入即可求出结果．【详解】解：()22222x y xy xy x y +=+， ∵6x y +=，3xy =-，∴原式()23636=⨯-⨯=-．故答案是：36-．【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用因式分解和整体代入的思想求值． 16．30【分析】将a ﹣b ＝2+和b ﹣c ＝2﹣相加得到a ﹣c ＝4再将2a2+2b2+2c2﹣2ab ﹣2ac ﹣2bc 转化成关于a ﹣bb ﹣ca ﹣c 的完全平方的形式再将a ﹣b ＝2+b ﹣c ＝2﹣和a ﹣c ＝4整体代解析：30【分析】将a ﹣b ＝和b ﹣c ＝2a ﹣c ＝4，再将2a 2+2b 2+2c 2﹣2ab ﹣2ac ﹣2bc转化成关于a ﹣b ，b ﹣c ，a ﹣c 的完全平方的形式，再将a ﹣b ＝b ﹣c ＝2a ﹣c ＝4整体代入即可．【详解】解：a ﹣b ＝，b ﹣c ＝2两式相加得a ﹣c ＝4，原式＝a 2﹣2ab +b 2+a 2﹣2ac +c 2+b 2﹣2bc +c 2＝（a ﹣b ）2+（a ﹣c ）2+（b ﹣c ）2＝（2+42+（22＝﹣＝30．故答案为：30．【点睛】此题考查了因式分解的应用，对完全平方公式及整体代入的掌握情况，有一定的综合性，但难度不大．17．2m（m+2）（m﹣2）【分析】先提公因式法再根据平方差公式进行因式分解可得答案【详解】原式＝2m（m2﹣4）＝2m（m+2）（m﹣2）故答案为2m （m+2）（m﹣2）【点睛】本题考查了因式分解一提解析：2m（m+2）（m﹣2）．【分析】先提公因式法，再根据平方差公式进行因式分解可得答案．【详解】原式＝2m（m2﹣4）＝2m（m+2）（m﹣2），故答案为2m（m+2）（m﹣2）．【点睛】本题考查了因式分解，一提，二套，三检查，注意分解要彻底．18．2（x2+4）（x+2）（x－2）【分析】首先提取公因式2然后利用平方差公式继续分解直到不能分解为止即可求得答案【详解】解：2x4﹣32＝2（x4﹣16）＝2（x2+4）（x2﹣4）＝2（x2+4）解析：2（x2+4）（x+2）（x－2）【分析】首先提取公因式2，然后利用平方差公式继续分解，直到不能分解为止，即可求得答案．【详解】解：2x4﹣32＝2（x4﹣16）＝2（x2+4）（x2﹣4）＝2（x2+4）（x+2）（x－2）．故答案为：2（x2+4）（x+2）（x－2）．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．19．【分析】原式提取公因式2后再运用平方差公式进行因式分解即可【详解】故答案为：【点睛】此题主要考查了仍坚持公因式与公式法的综合运用熟练掌握因式分解的方法是解答此题的关键解析：2(2)(2)a b a b +-【分析】原式提取公因式2后，再运用平方差公式进行因式分解即可.【详解】2222822(4)2(2)(2)a b a b a b a b -=-=+-故答案为：2(2)(2)a b a b +-【点睛】此题主要考查了仍坚持公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解答此题的关键.20．-252【分析】先把3ab2-3a2b 进行化简即提取公因式-3ab 把已知的值代入即可得到结果【详解】解：因为a-b=3ab=28所以3ab2-3a2b=3ab(b-a)=-3ab(a-b)=-3×2解析：-252【分析】先把3ab 2-3a 2b 进行化简，即提取公因式-3ab ，把已知的值代入即可得到结果.【详解】解：因为a-b=3，ab=28，所以3ab 2-3a 2b=3ab(b-a)= -3ab(a-b)= -3×28×3=-252【点睛】本题主要考查了多项式的化简求值，能正确提取公因式是做题的关键，要把原式化简成与条件相关的式子才能代入求值.三、解答题21．()()()()1111a b a b a b a b +++--+--，9【分析】综合乘法公式进行因式分解，然后再整体代入求值即可．【详解】解：()2222214a b a b +--=()()22221212a b ab a b ab +-++--=()()2211a b a b ⎡⎤⎡⎤+---⎣⎦⎣⎦=()()()()1111a b a b a b a b +++--+--，把2,2a b a b +=--=代入得：原式=()()()()212121219-+⨯--⨯+⨯-=．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．22．（1）(5)(5)x x x +-；（2）(3)(2)a m --．【分析】（1）先提公因式x ，再利用平方差公式进行分解，即可得出结果；（2）先将多项式进行变形，再利用提公因式法进行分解，即可得出结果．【详解】解：（1）325x x -2(25)x x =-(5)(5)x x x =+-；（2）(3)2(3)m a a -+-(3)2(3)m a a =---(3)(2)a m =--．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的基本方法并能根据多项式的特点准确选择分解方法是解题的关键．23．（1）2()a b +；（2）()()()a b a b x y +--【分析】（1）根据完全平方公式展开，合并，再根据完全平方公式即可分解；（2）先提取公因式(x y -)，再根据平方差公式继续分解即可．【详解】解：（1）原式2224a ab b ab =-++222a ab b =++2()a b =+；（2）原式22()()a x y b x y =---()22()a b x y =--()()()a b a b x y =+--．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 24．（1）7；（2）22a ab -；（3）()()22x x x +-；（4）()223a a +． 【分析】（1）先算乘方、负整数次幂以及零次幂，然后再算加减即可；（2）先算多项式除以单项式和平方差公式，然后再合并同类项即可；（3）先提取公因式x ，然后在运用平方差公式因式分解即可；（4）先提取公因式2a ，然后在运用完全平方公式公式因式分解即可．【详解】解：（1）()2021123π-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭=-1+9-1=7； （2）()3222()()ab a b ab a b a b -÷+-+2222b ab a b =-+-22a ab =-；（3）34x x -()24x x =-()()22x x x =+-；（4）3221218a a a ++()2269a a a =++()223a a =+．【点睛】本题主要考查了负整数次幂、零次幂、整式的四则混合运算以及因式分解，掌握相关的运算法则是解答本题的关键．25．（1）①4a ②x 2﹣y 2+18y ﹣81 （2）①﹣2a （a ﹣3）2 ②（x+1）2（x ﹣1）2【分析】（1）①原式利用幂的乘方运算法则计算，再利用单项式乘除单项式法则计算即可得到结果；②原式利用平方差公式变形，再利用完全平方公式展开即可；（2）①原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；②原式利用平方差公式及完全平方公式分解即可．【详解】解：（1）①原式＝a 14÷a 10＝a 4；②原式＝x 2﹣（y ﹣9）2＝x 2﹣y 2+18y ﹣81；（2）①原式＝﹣2a （a ﹣3）2；②原式＝（x 2+1+2x ）（x 2+1-2x ）=（x+1）2（x ﹣1）2．【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．26．(1)4；(2) ()()57a a --；(3) ()()222222x x x x ++-+；(4)2.【分析】(1)由2224___222,a a a a ++=+•⨯+ 从而可得答案；(2)由22221235266635a a a a -+=-•⨯+-+化为两数的平方差，再利用平方差公式分解，从而可得答案；(3)由()242222422222x x x x +=+••+-••化为两数的平方差，再利用平方差公式分解即可； (4)由 ()22224432221113x x x x ++=+⨯•+-+化为一个非负数与一个常数的和，再利用非负数的性质求解最小值即可．【详解】解：(1)()22442,a a a ++=+ 故答案为：4.(2)22221235266635a a a a -+=-•⨯+-+()2261a =--()()6161a a =-+-- ()()57.a a =--(3)()242222422222x xx x +=+••+-•• ()()22222x x =+-()()222222.x x x x =++-+(4)()22224432221113x x x x ++=+⨯•+-+ ()2212x =++ ()2210,x +≥()22122,x ∴++≥ 2443x x ∴++的最小值是2.【点睛】本题考查的是配方法的应用，同时考查了完全平方公式与平方差公式，掌握用配方法分解因式，求最值是解题的关键．。
(常考题)北师大版初中数学八年级数学下册第四单元《因式分解》测试(有答案解析)
一、选择题1．已知2m n +=，则224m n n -+的值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．82．如图，Rt ABC ∆中，90,2,3ACB BC AC ︒∠===，点D 在Rt ABC ∆的边AC 上，DC m =，以BD 为直角边在AC 同侧作等腰直角三角形BDE ，使BD DE n ==，连接AE ，若52AEBC S n =四边形，则m 与n 的数量关系式是（ ）A ．6nm =B ．5m n +=C ．1n m -=D ．23n m = 3．下列各式中，从左到右变形是因式分解的是（ ） A ．()()22224a b a b a b +--=B ．()()2633m m m -=+-C ．()22542x x x x ++=++D ．()()2933a a a -=+- 4．下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是( ) A ．221(2)1x x x x -+=-+B ．44331234x y x y xy =⋅C ．2(2)(2)4x x x +-=-D ．2269(3)x x x -+=- 5．多项式x 2+mx ﹣21因式分解的结果为（x +3）（x ﹣7），则m 的值是（ ） A ．4B ．﹣4C ．10D ．﹣10 6．若实数a 、b 满足a+b=5，a 2b+ab 2=-10，则ab 的值是（ ）A ．-2B ．2C ．-50D ．50 7．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是A ．22(2)(2)4x y x y x y +-=-B ．221()1x y xy xy x y --=--C ．a 2-4ab+4b 2=（a-2b ）2D ．ax+ay+a =a （x+y ） 8．因式分解x ﹣4x 3的最后结果是（ ）A ．x （1﹣2x ）2B ．x （2x ﹣1）（2x+1）C ．x （1﹣2x ）（2x+1）D ．x （1﹣4x 2） 9．下列各式中，能用平方差公式进行分解因式的是（ ）A ．x 2+y 2B ．x 2﹣2x ﹣3C ．x 2+2x +1D ．x 2﹣410．下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）A ．a 2+4B ．a 2+ab +b 2C ．a 2+4ab +b 2D ．x 2+2x +1 11．已知d ＝x 4﹣2x 3+x 2﹣10x ﹣4，则当x 2﹣2x ﹣4＝0时，d 的值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．16 12．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）A ．2(3)(3)9a a a +-=-B ．233m m m m ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭C ．243(4)3a a a a --=--D ．22()()a b a b a b -=+-二、填空题13．已知实数,a b 满足1,26a b ab -==，则22a b +=________，22a b ab -=___________．14．因式分解：2a 4-=________15．分解因式：32m n m -=________．16．若多项式2x px q -+（p ，q 是常数）分解因式后，有一个因式是x +3，则3p +q 的值为________．17．因式分解：3269x y x y xy -+＝__．18．已知2,350ab b a =--=，则代数式223a b ab ab -+的值为_______________________．19．已知：a+b ＝3，则代数式a 2+2ab+b 2的值为_____．20．若多项式x 2+2(m -3)x +16能够用完全平方公式分解因式，则m 的值为__________．三、解答题21．（1）整式的乘法：①22(2)(21)a a a --+②(3)(5)x y x y -+（2）因式分解：①2327a -②2221218a ab b -+22．已知a+b=-2，a-b=2，把（a 2+b 2-1）2-4a 2b 2先分解因式，再求值．23．小明、小花和老师一起探究一个问题：将44m +因式分解．小花根据大家的提示，整理出解答过程：24m +()2222m =+()22222424m m m =++- ()()22222m m =+- ()()222222m m m m =+++-请你依照上述做法，将下列各式因式分解：（1）441x +；（2）44227a c a c +-24．分解因式．（1）(1)34x x x --+ （2）2222x xy y a ++-25．分解因式：（1）222ax axy ay ++；（2）4161y -26．分解因式：256152x y x xy +--．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】先把原式中()22m n-进行因式分解，再把2m n +=代入进行计算即可． 【详解】解：2m n +=，∴22()()44m n m n m n n n =+-+-+2()4m n n =-+224m n n =-+2()m n =+22=⨯4=．故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，解答此题的关键是利用因式分解的方法把原式化为已知条件的形式，再把2m n +=代入进行计算．2．B解析：B【分析】作EF ⊥AC ，垂足为F ，根据全等的条件可得，△DBC ≌△EDF ，可得CD=EF=m ，AEBC S =四边形S △BDE + S △BDC + S △ADE ，可得出m+n=5．【详解】解：作EF ⊥AC ，垂足为F∴∠EFD=90,ACB ︒∠=∴∠BDC+∠DBC=90°∵三角形BDE 是等腰直角三角形，∴∠EDB=90°，∴∠EDF+∠BDC=90°，∴∠EDF=∠DBC在△DBC 和△EDF 中==EFD DCB EDF DBC ED DB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩∴△DBC ≌△EDF （AAS ）∴CD=EF=m,∵AC=3,∴AD=AC-CD=3-m∵AEBC S =四边形S △BDE + S △BDC + S △ADE∴AEBC S =四边形111222BD DE DC CB AD FE ⋅+⋅+⋅ =11152(3)2222n n m m m n ⋅+⋅+-⋅= 化简得：22235n m m m n ++-=()()5()n m n m n m +-=-，∵n 是Rt DBC ∆的斜边，m 是直角边∴n-m ＞0∴5n m +=故答案选：B【点睛】本题主要考查了构造三角形全等，割补法求面积，因式分解，解决本题的关键是构造全等三角表示出面积．3．D解析：D【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可得．【详解】A 、()()22224a b a b a b +--=是整式的乘法，此项不符题意； B 、()()2933m m m -=+-，则等式左右两边不相等，此项不符题意； C 、()22542x x x x ++=++没有将一个多项式转化成几个整式的乘积的形式，此项不符题意；D 、()()2933a a a -=+-，此项符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了因式分解的定义，掌握理解定义是解题关键．4．D解析：D【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，根据因式分解的意义求解即可．【详解】A 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A 不符合题意；B 、是单项式转化成几个整式积的形式，故B 不符合题意；C 、是整式的乘法，故C 不符合题意；D 、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D 符合题意；故选D ．【点睛】本题考查了因式分解的意义，利用把一个多项式转化成几个整式积的形式是解题关键． 5．B解析：B【分析】直接利用因式分解法得出m 与3，-7的关系．【详解】解：∵多项式x2+mx﹣21因式分解的结果为（x+3）（x﹣7），∴m＝﹣7+3＝﹣4．故选：B．【点睛】此题主要考查了因式分解法分解因式，正确掌握常数项与一次项系数的关系是解题关键．6．A解析：A【解析】试题分析：先提取公因式ab，整理后再把a+b的值代入计算即可．当a+b=5时，a2b+ab2=ab（a+b）=5ab=-10，解得：ab=-2．考点：因式分解的应用．7．C解析：C【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可.【详解】解：A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；B、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；C、是因式分解，故本选项正确；D、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；故选C.【点睛】本题考查了因式分解的知识，解答本题的关键是掌握因式分解的定义.8．C解析：C【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【详解】原式=x（1﹣4x2）=x（1+2x）（1﹣2x）．故选C．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．9．D解析：D【分析】根据平方差公式的构成特点，逐个判断得结论．【详解】A．多项式中的两项同号，不能用平方差公式分解因式；B．多项式含有三项，不能用平方差公式分解因式；C．多项式含有三项，不能用平方差公式分解因式；D．能变形为x2﹣22，符合平方差公式的特点，能用平方差公式分解因式．故选：D．【点睛】本题考查了运用平方差公式进行因式分解，熟记平方差公式的结构特点是求解的关键．10．D解析：D【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．【详解】A、a2+4，无法分解因式，故此选项错误；B、a2+ab+b2，无法运用公式分解因式，故此选项错误；C、a2+4ab+b2，无法运用公式分解因式，故此选项错误；D、x2+2x+1＝（x+1）2，正确．故选：D．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．11．D解析：D【分析】由已知方程求得x2﹣2x＝4，将d＝x4﹣2x3+x2﹣10x﹣4代为x2（x2﹣2x）+（x2﹣2x）﹣8x ﹣4，通过两次代值计算便可．【详解】解：∵x2﹣2x﹣4＝0，∴x2﹣2x＝4，∴d＝x4﹣2x3+x2﹣10x﹣4＝x2（x2﹣2x）+（x2﹣2x）﹣8x﹣4＝4x2+4﹣8x﹣4＝4（x2﹣2x）＝4×4＝16．故选：D．【点睛】本题考查了因式分解的应用，求代数式的值，关键是通过因式分解把所求代数式转化为含x2-2x的代数式形式．12．D解析：D【分析】直接利用因式分解的定义得出答案．【详解】A 、2(3)(3)9a a a +-=-，是整式乘法，故此选项不合题意；B 、233m m m m ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，不符合因式分解的定义，故此选项不合题意； C 、243(4)3a a a a --=--，不符合因式分解的定义，故此选项不合题意；D 、22()()a b a b a b -=+-是分解因式，符合题意；故选：D ．【点睛】此题主要考查了因式分解的意义，正确分解因式是解题关键．二、填空题13．【分析】分别利用完全平方公式整式的乘法进行运算求值即可得【详解】即又即故答案为：【点睛】本题考查了完全平方公式整式的乘法熟记公式和运算法则是解题关键 解析：1436 13【分析】 分别利用完全平方公式、整式的乘法进行运算求值即可得．【详解】 16a b -=， 21)(36a b -∴=，即221236a ab b -+=， 2ab =， 221112224363636a b ab ∴+=+=+⨯=， 又1,26a b ab -==， 11()263ab a b ∴-=⨯=，即2213a b ab =-， 故答案为：1436，13． 【点睛】本题考查了完全平方公式、整式的乘法，熟记公式和运算法则是解题关键． 14．=(a+2)(a-2)【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可【详解】a2﹣4＝（a+2）（a ﹣2）故答案为：（a+2）（a ﹣2）【点睛】此题主要考查了公式法分解因式熟练应用平方差公式是解题关键解析：2a 4-=(a+2)(a-2)直接利用平方差公式分解因式得出即可．【详解】a 2﹣4＝（a +2）（a ﹣2）．故答案为：（a +2）（a ﹣2）．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．15．【分析】原式提取公因式再利用平方差公式分解即可【详解】解：原式==故答案为：【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键解析：(1)(1)m mn mn -+【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：原式=3222(1)m n m m m n -=-，=(1)(1)m mn mn -+故答案为：(1)(1)m mn mn -+.【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 16．-9【分析】设另一个因式为因为整式乘法是因式分解的逆运算所以将两个因式相乘后结果得根据各项系数相等列式计算可得3p+q 的值【详解】因为多项式中二次项的系数为1则设另一个因式为则由此可得由①得：③把③ 解析：-9【分析】设另一个因式为x a +，因为整式乘法是因式分解的逆运算，所以将两个因式相乘后结果得2x px q -+，根据各项系数相等列式，计算可得3p+q 的值．【详解】因为多项式2x px q -+中二次项的系数为1，则设另一个因式为x a +，则()()()22233333x px q x x a x ax x a x a x a -+=++=+++=+++， 由此可得33a p a q +=-⎧⎨=⎩①②， 由①得：3a p =--③，把③代入②得：39p q --=，∴39p q +=-，故答案为：9-．本题考查了因式分解的意义．解题的关键是掌握因式分解的意义，因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式；因此具体作法是：按多项式法则将分解的两个因式相乘，列等式或方程组即可求解．17．【分析】先提取公因式再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解【详解】故答案为：【点睛】本题考查了提公因式法与公式法进行因式分解一个多项式有公因式首先提取公因式然后再用其他方法进行因式分解同时因式分解 解析：2(3)xy x -【分析】先提取公因式xy ，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【详解】3269x y x y xy -+2(69)xy x x =-+2(3)xy x =-．故答案为：2(3)xy x -．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 18．-8【分析】直接提取公因式将原式变形进而整体代入已知得出答案【详解】∵∵∴又∴原式=2×(-4)=-8故答案为：-8【点睛】本题主要考查了代数式求值以及提取公因式法分解因式正确将原式变形是解题关键解析：-8【分析】直接提取公因式将原式变形进而整体代入已知得出答案．【详解】∵223a b ab ab -+(31)ab a b =-+，∵350b a --=，∴35a b -=-，又2ab =，∴原式=2×(-4)=-8．故答案为：-8．【点睛】本题主要考查了代数式求值以及提取公因式法分解因式，正确将原式变形是解题关键． 19．9【分析】根据完全平分公式：（a+b ）2＝a2+2ab+b2即可解答【详解】解：因为a+b ＝3所以a2+2ab+b2＝（a+b ）2＝32＝9故答案为：9【点睛】此题主要考查了因式分解的应用熟练掌握完解析：9【分析】根据完全平分公式：（a+b ）2＝a 2+2ab+b 2，即可解答．【详解】解：因为a+b ＝3，所以a 2+2ab+b 2＝（a+b ）2＝32＝9．故答案为：9．【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解答此题的关键． 20．7或-1【详解】【分析】本题要求学生能够熟练地运用完全平方公式解：2(m-3)x=8xm-3=4m=7或-1故答案为7或-1解析：7或-1【详解】【分析】本题要求学生能够熟练地运用完全平方公式． 解：2(m -3)x=±8x∴m -3=±4∴m=7或-1故答案为7或-1三、解答题21．（1）①432484a a a -+；②22215x xy y +-；（2）①3(3)(3)a a +-；②22(3)a b -【分析】（1）①整式乘法的混合运算，先算乘方，然后按照单项式乘多项式的法则进行计算； ②根据多项式乘多项式的法则进行计算；（2）①先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解；②先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解【详解】解：（1）①22(2)(21)a a a --+22)4(21a a a =-+432484a a a =-+；②(3)(5)x y x y -+223515x xy xy y =-+-22215x xy y =+-（2）①2327a -23(9)a =-3(3)(3)a a =+-；②2221218a ab b -+222(69)a ab b =-+22(3)a b =-．【点睛】本题考查整式乘方的混合运算及因式分解，掌握运算顺序和计算法则，并且熟练掌握平方差公式和完全平方公式的公式结构，正确计算是解题关键．22．()()()()1111a b a b a b a b +++--+--，9【分析】综合乘法公式进行因式分解，然后再整体代入求值即可．【详解】解：()2222214a b a b +--=()()22221212a b ab a b ab +-++--=()()2211a b a b ⎡⎤⎡⎤+---⎣⎦⎣⎦=()()()()1111a b a b a b a b +++--+--，把2,2a b a b +=--=代入得：原式=()()()()212121219-+⨯--⨯+⨯-=．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．23．（1）()()22212212x xx x +++-；（2）()()222233a c ac a c ac +++-【分析】（1）（2）根据题干所给方法进行添项，构成乘法公式进行因式分解即可．【详解】解：（1）441x + ()22221x =+ ()222222414x x x =++- ()()222212x x =+- ()()22212212x x x x =++-+-；（2）原式44222222227a c a c a c a c =++--()222229a c a c =+-()()222233a c ac a c ac =+++-．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用乘法公式进行因式分解是解题的关键． 24．（1）2(2)x -；（2）()()x y a x y a +++-．【分析】（1）原式整理后，利用完全平方公式分解即可；（2）原式先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：（1）原式＝2x −x−3x ＋4＝2x −4x ＋4＝2(2)x -；（2）原式＝()2x y +-2a ＝()()x y a x y a +++-．【点睛】此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解本题的关键． 25．（1）2()a x y +；（2）2(41)(21)(21)y y y ++-．【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式，即可得出结果；（2）先利用平方差公式分解可得22(41)(41)y y +-，再次利用平方差公式对2(41)y -进行分解，即可完成．【详解】解：（1）原式22(2)a x xy y =++2()a x y =+，（2）原式22(41)(41)y y =+-2(41)(21)(21)y y y =++-．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的基本方法，并能根据多项式的特点准确选择分解方法是解题的关键．26．(3)(52)x x y --【分析】先分组，再利用提公因式法分解因式．【详解】256152x y x xy +--=2(515)(62)x x y xy -+-=5(3)2(3)x x y x -+-=(3)(52)x x y --．【点睛】此题考查分解因式：分组分解法、提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、因式分解法，根据每个多项式的特点选用适合的分解方法是解题的关键．。
2020-2021学年北师大版八年级数学下册 第4章 因式分解 B卷单元测试含答案
第四章 因式分解考试时间：90分钟，总分：120一、单选题（将唯一正确答案的代号填在题后括号内，每题3分，共30分） 1．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是( )A ．(3－x)(3＋x)＝9－x 2B ．m 4－n 4＝(m 2＋n 2)(m ＋n)(m －n)C ．(y ＋1)(y －3)＝－(3－y)(y ＋1)D ．4yz －2y 2z ＋z ＝2y(2z －yz)＋z2．下列因式分解不正确．．．的是（ ） A ．()()2m 16m 4m 4-=-+ B ．()2m 4m m m 4+=+ C ．()22m 8m 16m 4?-+=- D ．()22m 3m 9m 3++=+ 3．多项式﹣2a （x+y ）3+6a 2（x+y ）的公因式是（ ）A ．﹣2a 2（x+y ）2B ．6a （x+y ）C ．﹣2a （x+y ）D ．﹣2a 4．把代数式244ax ax a -+分解因式，下列结果中正确的是（ ）.A ．()22a x -B ．()22a x +C ．()24a x - D ．()()22a x x +- 5．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）A ．()22a b +-B ．25m -20mnC ．22x y --D ．225x -+ 6．因式分解()2x 19-－的结果是（ ） A ．(x+8)(x+1)B ．(x+2)(x-4)C ．()()x 2x 4-+D ．()()x 10x 8-+7．对于任何整数m ，多项式2(45)9m +-都能被（ ）整除．A ．8B ．mC ．1m -D ．21m -8．下列各式中，能用完全平方公式分解的个数为（ ）①21025x x -+；②2441a a +-；③221x x --；④214m m -+-；⑤42144x x -+. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9．式子9(m －n )2－25(m ＋n )2因式分解的结果是( )A ．(8m ＋2n )(－2m －8n )B ．－4(4m ＋n )(m ＋4n )C ．－4(4m ＋n )(m －4n )D ．4(4m ＋n )(m ＋4n )10．下列各式中,能用完全平方式分解因式的是A ．(x+y )(y-x )-4xyB ．a 2-2ab+4b 2C ．m 2-m+14D ．(a-b )2-2a-2b+1 二、填空题（将正确答案填在题中横线上，每题3分，共24分）11．已知a+b=2，ab=1，则a 2b ＋ab 2的值为 .12．分解因式(a －b )(a －9b )＋4ab 的结果是 ．13．因式分解：x 2yz －xy 2z ＋xyz 2=___________.14．已知一个长方形的面积是()22282a b a b ->，其中一边的长为a +2b ，则另一边的长为______．15．若 210a a ++=,那么 202120202019a a a ++=________.16．若x ＋y ＝2，则代数式14x 2＋12xy ＋14y 2＝________． 17．对于a ，b ，c ，d ，规定一种运算a c b d =ad-bc ，如13 24=1×4-2×3=-2，那么因式分解3x 36x --的结果是_________. 18．观察下列等式:1×2+2=4=22;2×3+3=9=32;3×4+4=16=42;4×5+5=25=52;…,由此,你得出的结论是 .(用含n 的等式表示)三、解答题（本题共有8小题，共66分）19．（本题6分）把下列各式因式分解:(1)2x 3-8x 2y+8xy 2； (2) (x-1)2-2x+2.20．（本题6分）将下列各式因式分解：(1)324x 8x 4x -+； (2)()()229x y z x y z －－－++.21．（本题8分）请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解．222， ， ，+a x y b4()1922．（本题8分）利用因式分解计算：22222222⋯－＋－＋－＋＋－＋12345699100101.23．（本题10分）阅读下面的解答过程，求y2＋4y＋8的最小值．解：y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4＋4＝(y+2)2+4≥4，∵(y＋2)2≥0即(y＋2)2的最小值为0，∴y2＋4y＋8的最小值为4.仿照上面的解答过程，求m2＋m＋4的最小值和4﹣x2＋2x的最大值.24．（本题10分）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”(1)28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？(3)两个连续奇数的平方差(k取正数)是神秘数吗？为什么？25．（本题8分）对于任意整数，(n+11)2－n2能被11整除吗？为什么？26．（本题10分）在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分.而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了.有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2-x-2因式分解的结果为(x-1)(x+1)(x+2),当x=18时，x-1=17，x+1=19，x+2=20，此时可以得到数字密码171920.(1)根据上述方法，当x=21，y=7时，对于多项式x3-xy2分解因式后可以形成哪些数字密码?(写出三个)(2)若一个直角三角形的周长是24，斜边长为10，其中两条直角边分别为x，y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码；(只需一个即可)(3)若多项式x3+(m-3n)x2-nx-21因式分解后，利用本题的方法，当x=27时可以得到其中一个密码为242834，求m，n的值.答案1．B. 解析：A 选项：右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误； B 选项：m 4－n 4＝(m 2＋n 2)(m ＋n)(m －n)，符合因式分解的定义，故本选项正确； C 选项：是恒等变形，不是因式分解，故本选项错误；D 选项：右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；故选B.2．D. 解析：A 、m 2-16=（m-4）（m+4），故本选项正确；B 、m 2+4m=m （m+4），故本选项正确；C 、m 2-8m+16=（m-4）2，故本选项正确；D 、m 2+3m+9≠（m+3）2，故本选项错误．故选：D ．3．C. 解析：()()3226a x y a x y -+++的公因式是()2.a x y -+ 故选C ． 4．A. 解析：ax 2-4ax +4a =a (x 2-4x+4)=a (x-2)2，故选A ．5．D. 解析：A.a 2+（-b ）2=a 2+b 2，不能使用；B.5m 2-20mn=5m （m-4n ），不能使用；C.-x 2-y 2=-（x 2+y 2），不能使用；D.-x 2+25=（5-x ）（5+x ），可以使用平方差公式．故选：D ．6．B. 解析：2(1)9x --=（x ﹣1+3）（x ﹣1﹣3）=（x+2）（x ﹣4）．故选B ． 7．A. 解析：因为2=(4m+5-3)(45)9(4m+5+3)m +-==(4m+2)(4m+8)=2(2m+1)×4(m+2)=8(2m+1)(m+2)所以原式能被8整除．8．B. 解析：①21025x x -+=()25x -，符合题意；②2441a a +-；不能用完全平方公式分解，不符合题意③221x x --；不能用完全平方公式分解，不符合题意④214m m -+-=-212m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，符合题意； ⑤42144x x -+，不可以用完全平方公式分解，不符合题意 故选：B.9．B. 解析：原式=22(33)(55)m n m n --+=[（3m －3n ）﹣（5m +5n ）][ （3m －3n ）+（5m +5n ）]=（－2m －8n ）（8m +2n ）=－4（m +4n ）(4m +n )．故选B ．10．C. 解析：A 、（x+y ）（y-x ）-4xy=y 2-x 2-4xy ，不符合完全平方公式，故此选项错误；B 、a 2-2ab+4b 2，不符合完全平方公式，故此选项错误；C 、m 2-m+14=21m 2⎛⎫- ⎪⎝⎭, 符合完全平方公式，故此选项正确； D 、（a-b ）2-2a-2b+1=（a-b)2-2（a+b ）+1，不符合完全平方公式，故此选项错误； 故选C11．2. 解析：∵a +b=2，ab =1，∴a 2b+ab 2=ab （a +b ）=2．故答案为：2 12．(a-3b )2. 解析：（a -b ）（a -9b ）+4ab=a 2-10ab +9b 2+4ab= a 2-6ab +9b 2=（a -3b ）2．故答案为（a -3b ）2．13．xyz(x －y ＋z) . 解析：∵原式中有公因式xyz ，∴x 2yz －xy 2z ＋xyz 2=xyz(x －y ＋z).故答案为xyz(x －y ＋z)14．24a b -. 解析：由题意可得：另一边的长为22282(2)(2)2422a b a b a b a b a b a b--+==-++，故答案为：24a b -． 15．0. 解析：∵a 2+a +1=0，∴a 2021+a 2020+a 2019=a 2019（a 2+a +1）=0．故答案为：0．16．1. 解析：因为14x 2＋12xy ＋14y 2＝22211(2)()44x xy y x y ++=+，x ＋y ＝2， 所以14x 2＋12xy ＋14y 2＝211()4144x y +=⨯=. 故答案是`1. 17．(x-3)2. 解析：3x 36x --=x(x-6)-3×(-3)=x 2-6x+9=(x-3)2. 故答案为：(x-3)2 18．n (n+1)+(n+1)=(n+1)2. 解析：观察所给式子，找出结论.结论是：2(1)(1)(1).n n n n +++=+故答案为2(1)(1)(1).n n n n +++=+19．解：（1）原式=2x(x 2-4xy+4y 2)=2x(x-2y)2.(2) 原式=(x-1)2-2(x-1)=(x-1)(x-3).20．解：（1）()()23224x 8x 4x 4x x 2x 14x x 1-+=-+=-； （2）()()229x y z x y z －－－++=()()()()3x y z x y z 3x y z x y z ⎡⎤⎡⎤++---+++--⎣⎦⎣⎦=()()2x 4y 4z 4x 2y 2z ++++=()()4x 2y 2z 2x y z .++++21．解：本题存在12种不同的作差结果，第一类直接用公式简单一些的有： 241a -；291b -；2249a b -；214a -；219b -；2294b a -共6种 例如：2249a b - ()()2323a b a b =+-．第二类直接用公式复杂一些的有：()21x y +-；()224x y a +-；()229x y b +-；()21x y -+；()224a x y -+；()229b x y -+ 也是6种：例如：()21x y -+ ()()11x y x y ⎡⎤⎡⎤=++-+⎣⎦⎣⎦ ()()11x y x y =++--． 22．原式=22222213254101100+-+-++-=()()()()()()132325454101100101100++-++-+⋯++-=()()()132********+++++++=12345100101+++++++=()11011012+⨯ 5151=.23．解：（1）m 2+m+4=(m+12)2+154， ∵（m+12）2≥0，∴(m+12)2+154≥154．则m 2+m+4的最小值是154； ()224215x x x -+=--+，∵()21x --≤0，∴()215x --+≤5，∴最大值是5.24．（1）设设这两个连续偶数分别为2m ，2m+2，则根据题意得： (2m+2)2-(2m)2=28，8m+4=28，m=3，∴2m=6，2m+2=8，即82-62=28，∴28是“神秘数”.(2m+2)2-(2m)2=2012，8m+4=2012，m=501，∴2m=1002，即10042-10022=2012∴2012是“神秘数”.（2）是；理由如下：∵(2n)2-(2n-2)2=4(2n-1)，∴由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数.（3）由（2）可知“神秘数”可表示为4(2n-1)，∵2n-1是奇数，∴4(2n-1)是4的倍数，但一定不是8的倍数，设两个连续的奇数为2n-1和2n+1，则(2n+1)2-(2n-1)2=8n.∴连续两个奇数的平方差是8的倍数，∴连续两个奇数的平方差不是“神秘数”.25．解：(n+11)2－n 2=()()1111n n n n +-++=11()211n +，所以能被11整除.26．解：（1）x 3-xy 2=x （x-y ）（x+y ），当x=21，y=7时，x-y=14，x+y=28，可得数字密码是211428，也可以是212814，142128；(2)由题意得:2214100x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得48xy =， 而()3322x y xy xy x y +=+，所以可得数字密码为48100；(3)由题意得()()()()32321317x m n x nx x x x +---=-++，()()()3231751721x x x x x x -++=+--，()323232151721x m n x nx x x x ∴+---=+--，3517m n n -=⎧∴⎨=⎩，解得5617m n =⎧⎨=⎩， 故m 、n 的值分别是56、17.。
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因式分解专题整合与提升专题一：提公因式法方法提示:当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式，多项式的次数取最低的;如果多项式的第一项是负的，一般要提出"-"号，使括号内的第一项的系数成为正数;提出"-"号时，多项式的各项都要变号。
口诀:找准公因式，一次要提净;全家都搬走，留1把家守;提负要变号，变形看奇偶。
例1、因式分解:（1）2224182xy y x x -+- （2）()()a x a x -+-112变式1:阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题:()()2111+++++x x x x x()()[]x x x x ++++111()()x x ++112 ()31x +（1）上述分解因式的方法是 法，共应用了 次； （2）若分解()()()201021...111++++++++x x x x x x x ，则需要应用上述方法 次，分解因式后的结果是 ；（3）请用以上的方法分解因式:()()()nx x x x x x x 1 (1112)++++++++(n 为正整数)，必须有简要的过程.变式2:已知()()()()2311171317133119-----x x x x 可因式分解成()()c x b ax ++8,其中a , b , c 均为整数，求c b a ++的值。
专题二：公式法平方差公式:()()b a b a b a -+=-22;完全平方公式:()2222b a b ab a ±=+±。
补充公式:立方和公式:()()2233b ab a b a b a +-+=+ 立方差公式:()()2233b ab a b a b a ++-=- 完全立方公式:()3322333b a b ab b a a ±=±+±特殊公式:()()ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=+++2223333 例1、因式分解:（1）32296y y x xy -- （2）()()p p p 314++-变式1:设22113-=a ，22235-=a , …，()()221212--+=n n a n (n 为大于0的自然数）。
（1）探究n a 是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论．（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是"完全平方数"，试找出1a ，2a , …，n a ，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n 满足什么条件时，n a 为完全平方效(不必说明理由)。
变式2:放学时，王老师布置了一道分解因式题：()()()222244y x y x y x ---++，小明思考了半天，没有答案，就打电话给小华，小华在电话里讲了一句，小明就恍然大悟了，你知道小华说了句什么话吗?小明是怎样分解因式的?专题三：分组分解法例1、因式分解:3244422---++y x y xy x变式1:因式分解：1424422422-+--++bc ac ab c b a变式2:（阅读理解题） 因式分解:34561202+-x x分析:由于常数项数值较大，则采用x x 1202-变为差的平方的形式进行分解，这样简 便易行:()()()12601260144603456360036006023456120222--+-=--=+-+⨯-=+-x x x x x x x()()7248--=x x请按照上面的方法分解因式:3528422-+x x .专题四：十字相乘法（一）二次项系数为1的二次三项式 公式：))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++ 例1、因式分解:652++x x 672+-x x变式1:因式分解:（1）24142++x x （2）36152+-a a （3）542-+x x（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++ 例1、因式分解:101132+-x x 6752-+x x变式1:因式分解:（1）6752-+x x （2）317102+-x x （3）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式 例1、因式分解:221288b ab a -- 226b ab a --变式1:因式分解:（1）2223y xy x +- （2）2286n mn m +-（四）二次项系数不为1的齐次多项式 例1、因式分解:22672y xy x +- 2322+-xy y x变式1:因式分解:（1）224715y xy x -+ （2）8622+-ax x a（五）双十字相乘法。
定义：双十字相乘法用于对F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22型多项式的分解因式。
条件：（1）21a a A =，21c c C =，21f f F =（2）B c a c a =+1221，E f c f c =+1221，D f a f a =+1221 即： 1a 1c 1f2a 2c 2fB c a c a =+1221，E f c f c =+1221，D f a f a =+1221则=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 22))((222111f c x a f y c x a ++++ 例1、因式分解:2910322-++--y x y xy x 例2、613622-++-+y x y xy x变式1:因式分解:（1）67222-+--+y x y xy x （2）22227376z yz xz y xy x -+---专题五：待定系数法首先判断出分解园式的形式，然后设出相应整式的宇母系数，求出宇母系数，从而把多项式因式分解. 例1、已知二次三项式m x x +-42有一个因式是()3+x ,求另一个因式及m 的值。
变式1:已知二次三项式k x x -+322有一个因式是()5-x ,求另一个因式及k 的值。
变式2、已知二次三项式k x x +-522有一个因式是()32-x ,求另一个因式及k 的值。
变式3、已知多项式b x ax x x +++-742234有一个因式是()()12-+x x ，求a ，b 的值。
专题六、拓展方法 一、主元法 例1、因式分解:2910322-++--y x y xy x变式1:因式分解:（1）56422-++-y x y x （2）67222-+--+y x y xy x（3）613622-++-+y x y xy x （4）36355622-++-+b a b ab a二、换元法 例1、因式分解:2005)12005(200522---x x 2)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++变式1:因式分解:（1）)(4)(22222y x xy y xy x +-++ （2）90)384)(23(22+++++x x x x（3）222222)3(4)5()1(+-+++a a a八、添项、拆项、配方法 例1、因式分解:（1）4323+-x x （2）3369-++x x x变式1:因式分解（1）893+-x x （2）4224)1()1()1(-+-++x x x（3）444)(y x y x +++ （4）444222222222c b a c b c a b a ---++专题七：过因式分解的应用 主要用于代数式求值或解方程.例1、已知32+=+b a , 32-=ab ,求多项式32232ab b a b a ++的值.变式1:已知42=-y x ,代数式m y xy x ++-2241的值为9，那么x y m -21的值是 。
变式2:阅读材料:若01682222=+-+-n n mn m ,求m ，n 的值.解: 01682222=+-+-n n mn m ，∴()()01682222=+-++-n n n mn m∴()()0422=-+-n n m ，∴()02=-n m ，()042=-n ，∴4=n ，4=m根据你的观察，探究下面的问题:（1）04422=+-+a b a ,则a = , b = 。
（2）已知0962222=++-+y xy y x ，求yx 的值.（3）已知Rt △ABC 的三边长a , b , c 都是正整数，且满足01164222=+--+b a b a ，求△ABC 的周长。
变式3:已知0123=+++x x x ，求1 (23200920102011)=++++++x x x x x x的值.易错题二次过关常见错误:（1）漏项，特别是溺掉1。
（2)变错符号，特别是公因式有负号时，括号内的符号没变化. （3）分解不彻底。
1、阅读:已知a , b , c 为△ABC 的三边长，且满足442222b a c b c a -=-,试判断△ABC 的形状。
解: 442222b a c b c a -=- ①∴()()()2222222b a b a b a c +-=-② ∴222b a c += ③ ∴△ABC 是直角三角形④请据上述解题回答下列问题:（1）上述解题过程，从第 步(该步的序号)开始出现错误，错的原因是 ； （2）请你将正确的解答过程写下来.2、下面是某同学对多项式()()4642422++-+-x x x x 进行因式分解的过程。
解:设y x x =-42原式:=()()462+++y y (第一步) =1682++y y (第二步) =()24+y (第三步)=()2244+-x x (第四步)。
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 （填字母序号)； A.提取公因式 B.平方差公式C.两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底? ，(填"彻底"或"不彻底")若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果: 。
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式()()122222++--x x x x 进行因式分解.3、阅读材料:01685422=+-+-n n mn m ,求m ，n 的值.解: 01685422=+-+-n n mn m ，∴()()016844222=+-++-n n n mn m ∴()()04222=-+-n n m ，∴()022=-n m ，()042=-n ，∴4=n ，8=m 根据你的观察，探究下面的问题:（1）已知01261022=++++y xy y x ，求y x +2的值.（2）已知4=-b a ， 01362=+-+c c ab ,求c b a ++的值.期中+期末一、填空题1、已知57+=x ，则代数式()()92622+---x x 的值是 。