初二数学因式分解知识点及基础练习题
初二数学八上第十四章整式乘法与因式分解知识点总结复习和常考题型练习
第十四章 整式的乘除与分解因式一、知识框架:二、知识概念：1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯= ⑵幂的乘方：()nm mn aa = ⑶积的乘方：()nn n ab a b =2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式. ⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加. 3.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；()2222a b a ab b -=-+ 4.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式. ⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加. ⑷多项式÷多项式：用竖式.5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解.6.因式分解方法：⑴提公因式法：找出最大公因式. ⑵公式法：①平方差公式：()()22a b a b a b -=+- ②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±③立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+ ④立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++ ⑶十字相乘法：()()()2x p q x pq x p x q +++=++ ⑷拆项法 ⑸添项法常考例题精选1.(2015·襄阳中考)下列运算正确的是( ) =3 ·a2=a3C.(-a3)2=a5÷a2=a32.(2015·烟台中考)下列运算中正确的是( ) +2a=5a2 B.(-3a3)2=9a6÷a2=a3 D.(a+2)2=a2+43.(2015·遵义中考)计算(−12ab2)3的结果是( )3 23218184.(2015·沈阳中考)下面的计算一定正确的是( ) +b3=2b6 B.(-3pq)2=-9p2q2·3y5=15y8÷b3=b35.(2015·凉山州中考)下列各式正确的是( )=(−a)2=(−a)3=|−a2|=|a3|6.(2015·长春中考)计算：7a2·5a3= .7.(2015·广州中考)分解因式：x2+xy= .8.(2015·东营中考)分解因式2a2-8b2= .9.(2015·无锡中考)分解因式：2x2-4x= .10.(2015·连云港中考)分解因式：4-x2= .11.(2015·盐城中考)分解因式a2-9= .12.(2015·长沙中考)x2+2x+1= .13.(2015·临沂中考)分解因式4x-x3= .14.(2015·安徽中考)分解因式：x2y-y= .15.(2015·潍坊中考)分解因式：(a+2)(a-2)+3a= .16.(2015·遂宁中考)为庆祝“六·一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示，按照下面的规律，摆第(n)个图案，需用火柴棒的根数为.17.(2015·潍坊中考)当n等于1，2，3，…时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示.则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于.(用n表示，n是正整数)18.(2015·牡丹江中考)一件商品的进价为a元，将进价提高100%后标价，再按标价打七折销售，则这件商品销售后的利润为元.19.(2015·株洲中考)先化简，再求值：(x-1)(x+1)-x(x-3)，其中x=3.1．(2015·徐州)下列运算正确的是( )A．3a2－2a2＝1 B．(a2)3＝a5C．a2·a4＝a6D．(3a)2＝6a22．下列计算错误的是( )A．(5－2)0＝1 B．28x4y2÷7x3＝4xy2C．(4xy2－6x2y＋2xy)÷2xy＝2y－3x D．(a－5)(a＋3)＝a2－2a－153．(2015·毕节)下列因式分解正确的是( )A．a4b－6a3b＋9a2b＝a2b(a2－6a＋9) B．x2－x＋14＝(x－12)2C．x2－2x＋4＝(x－2)2D．4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y)4．将(2x)n－81分解因式后得(4x2＋9)(2x＋3)(2x－3)，则n等于( ) A．2 B．4 C．6 D．85．若m＝2100，n＝375，则m，n的大小关系是( )A．m>n B．m<n C．m＝n D．无法确定6．已知a＋b＝3，ab＝2，则a2＋b2的值为( )A．3 B．4 C．5 D．67．计算：(a－b＋3)(a＋b－3)＝( )A．a2＋b2－9 B．a2－b2－6b－9C．a2－b2＋6b－9 D．a2＋b2－2ab＋6a＋6b＋98．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图甲)，把余下的部分拼成一个长方形(如图乙)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证( )A ．(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2B ．(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2C ．a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)D ．(a ＋2b)(a －b)＝a 2＋ab －2b 29．若x 2＋mx －15＝(x －3)(x ＋n)，则m ，n 的值分别是( ) A ．4，3 B ．3，4 C ．5，2 D ．2，510．(2015·日照)观察下列各式及其展开式： (a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2(a ＋b)3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3(a ＋b)4＝a 4＋4a 3b ＋6a 2b 2＋4ab 3＋b 4(a ＋b)5＝a 5＋5a 4b ＋10a 3b 2＋10a 2b 3＋5ab 4＋b 5 …请你猜想(a ＋b)10的展开式第三项的系数是( ) A ．36 B ．45 C ．55 D ．6611．计算：(x －y)(x 2＋xy ＋y 2)＝ ．12．(2015·孝感)分解因式：(a －b)2－4b 2＝ ．13．若(2x ＋1)0＝(3x －6)0，则x 的取值范围是 ．14．已知a m ＝3，a n ＝2，则a 2m －3n ＝ ．15．若一个正方形的面积为a 2＋a ＋14，则此正方形的周长为 ．16．已知实数a ，b 满足a 2－b 2＝10，则(a ＋b)3·(a －b)3的值是 ．17．已知△ABC 的三边长为整数a ，b ，c ，且满足a 2＋b 2－6a －4b ＋13＝0，则c为．18．观察下列各式，探索发现规律：22－1＝1×3；32－1＝2×4；42－1＝3×5；52－1＝4×6；….按此规律，第n个等式为．19．计算：(1)(2015·重庆)y(2x－y)＋(x＋y)2; (2)(－2a2b3)÷(－6ab2)·(－4a2b)．20．用乘方公式计算：(1)982; (2)899×901＋1.21．分解因式：(1)18a3－2a；(2)ab(ab－6)＋9；(3)m2－n2＋2m－2n.22．先化简，再求值：(1)(2015·随州)(2＋a)(2－a)＋a(a－5b)＋3a5b3÷(－a2b)2，其中ab＝－1 2；(2)[(x＋2y)(x－2y)－(x＋4y)2]÷4y，其中x＝－5，y＝2.23．如图，某市有一块长为(3a＋b)米，宽为(2a＋b)米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间修建一座雕像，求绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．24．学习了分解因式的知识后，老师提出了这样一个问题：设n为整数，则(n＋7)2－(n－3)2的值一定能被20整除吗？若能，请说明理由；若不能，请举出一个反例．25．阅读材料并回答问题：课本中多项式与多项式相乘是利用平面几何图形中的面积来表示的，例如：(2a ＋b)(a ＋b)＝2a 2＋3ab ＋b 2就可以用如图①②所示的图形的面积来表示．(1)请写出如图③所示的图形的面积表示的代数恒等式；(2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为(a ＋b)(a ＋3b)＝a 2＋4ab ＋3b 2；(3)请仿照上述方法另写一个含有a ，b 的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形．26. 定义2a b a b *=-，则(12)3**= ．。
初二因式分解习题大全含答案
因式分解进阶中考要求例题精讲一、基本概念因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法互为逆变形：()m a b c ma mb mc ++++整式的乘积因式分解式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式 因式分解的常用方法：提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法.分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式 十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法.注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；②结果一定是乘积的形式；③每一个因式都是整式；④相同的因式的积要写成幂的形式.在分解因式时，结果的形式要求：①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解； ③单项式因式写在多项式因式的前面；④每个因式第一项系数一般不为负数；⑤形式相同的因式写成幂的形式.二、提公因式法提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面.确定公因式的方法：系数——取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.三、公式法平方差公式：22()()a b a b a b -=+-①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积.完全平方公式：2222()a ab b a b ++=+2222()a ab b a b -+=-①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定.一些需要了解的公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++33223()33a b a a b ab b +=+++ 33223()33a b a a b ab b -=-+-2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++模块一 因式分解的基本方法【例1】已知248﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数分别是 、 ．【解析】先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可．【答案】248﹣1=（224+1）（224﹣1），=（224+1）（212+1）（212﹣1），=（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）； ∵26=64，∴26﹣1=63，26+1=65，∴这两个数是65、63．【点评】本题考查了利用平方差公式分解因式，先分解因式，然后再找出范围内的解是本题解题的思路【巩固】333333()()()()ay bx ax by a b x y +-++--=_________. 【解析】 原式22222()()()()()b a x y a b ab x y a b xy ⎡⎤=--++++++⎣⎦()()a b x y --22()a ab b ++22()x xy y ++ ()()a b x y abxy =---.【巩固】 化简下列多项式：()()()()23200611111x x x x x x x x x ++++++++++ 【解析】 原式()()()20051111x x x x x x ⎡⎤=+++++++⎣⎦()()()()200411111x x x x x x x ⎡⎤=++++++++⎣⎦ …()()2005111x x x x =++++⎡⎤⎣⎦()20071x =+【例2】已知整数a 、b 、c 满足不等式a 2+b 2+c 2+43≤ab+9b+8c ，则a 、b 、c 分别等于 ．【解析】由已知条件构造完全平方公式，得（a ﹣）2+3（﹣3）2+（c ﹣4）2≤0，然后由非负数的性质求解．【答案】由已知得a 2+b 2+c 2+43﹣ab ﹣9b ﹣8c≤0，配方得（a ﹣）2+3（﹣3）2+（c ﹣4）2≤0，又∵（a ﹣）2+3（﹣3）2+（c ﹣4）2≥0，∴（a ﹣）2+3（﹣3）2+（c ﹣4）2=0，∴a ﹣=0，﹣3=0，c ﹣4=0，∴a=3，b=6，c=4．故答案为：a=3，b=6，c=4．【点评】此题考查用分组分解法进行因式分解．难点是配方成非负数的形式，再根据非负数的性质求解． 模块二 重组分解法【例3】分解因式：2222(1)(2)(1)x x x x x x ++-++-【解析】 原式424322212x x x x x x x =+++----43221x x x =--+3(21)(21)x x x =---3(21)(1)x x =--2(1)(21)(1)x x x x =--++.【答案】2(1)(21)(1)x x x x --++【巩固】 分解因式：3322()()ax y b by bx a y +++【解析】3322()()ax y b by bx a y +++ 332222axy ab x b x y a by =+++2222()()xy ay b x ab ay b x =+++22()()ay b x xy ab =++【答案】22()()ay b x xy ab ++【例4】分解因式：2222111[()()](2)222x y x y x y -++- 【解析】 2222111[()()](2)222x y x y x y -++- 222222111[](2)442x xy y x xy y x y =-++++- 222211(2)(2)22x y x y =+- 【答案】222211(2)(2)22x y x y +-【巩固】 分解因式：2231()b a x abx +--【解析】2231()b a x abx +-- 2223(1)()a x bx abx =-+-2(1)(1)(1)ax ax bx ax =+-+-2(1)(1)ax ax bx =-++【答案】2(1)(1)ax ax bx -++【例5】已知三个连续奇数的平方和为251，求这三个奇数．【解析】 设三个连续奇数分别为21,21,23n n n -++，则利用()()()222212123251n n n -++++=，求n 的值．设三个连续奇数分别为21,21,23n n n -++，则 ()()()222212123251n n n -++++=整理后，得2200n n +-=，()()540n n +-=∴15n =-，24n =∴三个连续奇数分别为-11，-9，-7或7，9，11．【答案】连续奇数分别为-11，-9，-7或7，9，11．【巩固】 已知：a 、b 、c 为三角形的三条边，且222433720a ac c ab bc b ++--+=，求证：2b a c =+【解析】 22243372a ac c ab bc b ++--+(3)(2)a b c a b c =-+-+0=因为三角形的两边之和大于第三边，所以30a b c -+≠，故20a b c -+=，即2b a c =+.【答案】见解析 模块三 拆、填项法☞利用配方思想拆项与添项【例 1】分解因式：432234232a a b a b ab b ++++=_______.【解析】432234232a a b a b ab b ++++ 2222222()2()a b ab a b a b =++++222()a b ab =++【答案】222()a b ab ++【例 2】分解因式： 12631x x -+【解析】12631x x -+126621x x x =-+- 6363(1)(1)x x x x =-+--【答案】6363(1)(1)x x x x -+--【例 3】分解因式： 841x x ++【解析】841x x ++ 84421x x x =++- 4242(1)(1)x x x x =+++-42242(12)(1)x x x x x =++-+-2242(1)(1)(1)x x x x x x =+++-+- 【答案】6363(1)(1)x x x x -+--【例 4】分解因式： 4224781x x y y -+【解析】4224422422781188125x x y y x x y y x y -+=++-2222(95)(95)x y xy x y xy =+-++【答案】2222(95)(95)x y xy x y xy +-++【例 5】已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，那么n =_______.【解析】原式4222010036n n n =++- 222(10)(6)n n =+-22(610)(610)n n n n =-+++.又因为4216100n n -+是质数，且n 是正整数，且26101n n ++≠，故26101n n -+=，3n =.【答案】3n =【例 6】分解因式：()()()222241211y x y x y +-++-【解析】()()()222241211y x y x y +-++- ()()()222242212114y x y x y x y =+--+--()()22211(2)y x y xy ⎡⎤=+---⎣⎦ (1)(1)(1)(1)x x x xy y x xy y =+-------【答案】(1)(1)(1)(1)x x x xy y x xy y +-------【例 7】分解因式：42222222()()x a b x a b -++-【解析】42222224222222222()()2()()4x a b x a b x a b x a b b x -++-=--+--222222222222()4(2)(2)x b a b x x b a bx x b a bx =+--=+--+-+()()()()x a b x a b x a b x a b =++--+--+【答案】()()()()x a b x a b x a b x a b ++--+--+【例 8】分解因式：33(1)()()(1)x a xy x y a b y b +---++ 【解析】33(1)()()(1)x a xy x y a b y b +---++33(1)()[(1)(1)](1)x a xy x y a b y b =+--+-+++322322(1)()(1)()a x x y xy b y x y xy =+-++++-2222(1)()(1)()x a x xy y b x xy y =+-+++-+22()()x xy y ax by x y =-++++【答案】22()()x xy y ax by x y -++++【例 9】 把444x y +分解因式．【解析】4422224()(2)x y x y +=+使用平方差公式显然是不行的．44422422422422x y x x y y x y +=+⋅⋅+-⋅⋅2222(2)(2)x y xy =+-2222(22)(22)x xy y x xy y =++-+【答案】2222(22)(22)x xy y x xy y ++-+【例 10】分解因式：464x +【解析】464x +42222222166416(8)(4)(48)(48)x x x x x x x x x =++-=+-=++-+【答案】22(48)(48)x x x x ++-+【例 11】证明：在m n 、都是大于l 的整数时，444m n +是合数．【解析】444m n +422422444m m n n m n =++-2222(2)(2)m n mn =+-2222(22)(22).m n mn m n mn =+++-由于在m n 、都大于1时，两个因数中较小的那一个2222222()1m n mn m n n n +-=-+≥>即两个因数都是444m n +的真因数，所以444m n +是合数．【答案】见解析【例 12】分解因式：444222222222a b c a b b c c a ---+++【解析】444222222222a b c a b b c c a ---+++444222222(222)a b c a b b c c a =-++---44422222222(2224)a b c a b b c c a a b =-+++---22222[()(2)]a b c ab =-+--222222(2)(2)a b c ab a b c ab =-+-++--2222[()][()]a b c a b c =-+---()()()()a b c a b c a b c a b c =-+++--+--()()()()a b c a b c a b c b c a =+++--++-【答案】()()()()a b c a b c a b c b c a +++--++-☞拆项与添项【例 13】（“CASIO”杯河南省竞赛）把下列各式因式分解：4322928x x x x +--+【解析】原式()()()()()()42322222228812181x x x x x x x x x x =-+---=-+---()()()()()()221281142x x x x x x x =-+-=+-+-【答案】()()()()1142x x x x +-+-【例 14】若1x y +=-，则43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++的值等于( )A.0B.1-C.1D.3【解析】43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++4322342233224642x x y x y xy y x y xy xy x y x y =+++++++++42()()()1x y xy x y xy x y =+++++=【答案】1【例 15】分解因式：323233332a a a b b b ++++++【解析】前三项比完全立方公式少l ，四、五、六项的和也比立方公式少l ．如果把2拆为两个l ，那么就可以使两组都成为完全立方，皆大欢喜．于是323233332a a a b b b ++++++3232(331)(331)a a a b b b =++-++++33(1)(1)a b =+++22(2)[(1)(1)(1)(1)]a b a a b b =+++-++++22(2)(1)a b a ab b a b =++-++++【答案】22(2)(1)a b a ab b a b ++-++++【例 16】分解因式：51x x ++【解析】法1：此题既无公因式可提，又无法分组分解，更无法使用什么公式，于是我们想到要添项.不妨试试4x ，55444411(1)(1)x x x x x x x x x ++=+++-=++-无法进行下去.那么试试4x -，554411x x x x x x ++=-+++显然也无法进行下去.开始尝试3x ，如下：55333343311(1)(1)1(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x ++=-+++=+-+++=+-++，无法分解下去.这样尝试下去，可分解如下：552211x x x x x x ++=-+++222(1)(1)1x x x x x x =-+++++232(1)(1)x x x x =++-+.法2：也可以这样解：5543243211x x x x x x x x x x ++=+++++---32(1)(1)x x x =+++-22(x x + 3221)(1)(1)x x x x x +=-+++.只要我们能够用心地思考，大胆地尝试，我们会发现很多非常巧妙的想法！【答案】322(1)(1)x x x x -+++【例 17】分解因式：541a a ++【解析】原式5433322321(1)(1)(1)(1)(1)a a a a a a a a a a a a a a =++-+=++--++=-+++【答案】32(1)(1)a a a a -+++【例 18】分解因式：3333a b c abc ++-.【解析】3333a b c abc ++-332232233333a b a b ab c a b ab abc =++++---33()3()a b c ab a b c =++-++222()(2)3()a b c a b ab c ac bc ab a b c =+++++---++222()()a b c a b c ab bc ca =++++---.也可添加23b c ，23bc 或者23c a ，23ca .【答案】222()()a b c a b c ab bc ca ++++---【例 19】分解因式：22268x y x y -++-【解析】22222226821(69)(1)(3)x y x y x x y y x y -++-=++--+=+--(13)(13)(4)(2)x y x y x y x y =+-+++-=-++-【答案】(4)(2)x y x y -++-【例 20】分解因式： 224414x y x y -++【解析】2244442222222214216(4)(4)x y x y x y x y x y x y xy x y xy -++=++-=+++-【答案】2222(4)(4)x y xy x y xy +++-【例 21】分解因式：42471x x -+【解析】42422224712149(17)(17)x x x x x x x x x -+=++-=+++-【答案】22(17)(17)x x x x +++-【例 22】分解因式： 4414x y + 【解析】4414x y +442222222211()()42x y x y x y x y xy =++-=+-22221(22)(22)4x xy y x xy y =++-+ 【答案】22221(22)(22)4x xy y x xy y ++-+【例 23】分解因式：441x +=__________.【解析】442222222414414(21)(2)(221)(221)x x x x x x x x x x +=++-=+-=++-+【答案】22(221)(221)x x x x ++-+【例 24】分解因式：432433x x x x ++++【解析】(法1)：原式432222222()(333)(1)3(1)(3)(1)x x x x x x x x x x x x x =+++++=+++++=+++(法2)：原式432423222433(3)(3)(3)(3)(1)x x x x x x x x x x x x =++++=+++++=+++【答案】22(3)(1)x x x +++模块三 换元法【例1】 分解因式：(1)(2)(3)(4)24a a a a -----【解析】2(5)(510)a a a a --+【答案】2(5)(510)a a a a --+【例2】 分解因式：22(1)(2)12x x x x ++++-【解析】2(1)(2)(5)x x x x -+++【答案】2(1)(2)(5)x x x x -+++【例3】 分解因式：()()()()26121311x x x x x ----+=【解析】原式()()()()()()22226112131671651x x x x x x x x x x =----+=-+-++设2671x x t -+=，原式()()()22222661t t x x t x x x =++=+=-+ 【答案】()22661x x -+【例4】 分解因式：()()()()461413119x x x x x ----+=【解析】原式()()22467112719x x x x x =-+-++设2671x x t -+=，原式()()()222422693971t x t x t x x x =++=+=-+ 【答案】()22971x x -+【例5】 分解因式：22224(31)(23)(44)x x x x x x --+--+-【解析】咋一看，很不好下手，仔细观察发现：222(31)(23)44x x x x x x --++-=+-，故可设2231,23x x A x x B --=+-=，则244x x A B +-=+.故原式=24()AB A B -+2A =-222()B AB A B -+=--22222(31)(23)(232)x x x x x x ⎡⎤=----+-=--+⎣⎦. 【答案】22(232)x x --+【例6】 分解因式：2(2)(2)(1)a b ab a b ab +-+-+-【解析】由于题中以整体形式出现的式子有两个，共4个地方，故采取换元法后会大大简化计算过程，不妨设,a b x ab y +==，则原式=222(2)(2)(1)222x y x y x xy y y x --+-=-++-222221()2()1(1)(1)(1)(1)x y x y x y a b ab a b +=---+=--=+--=--【答案】22(1)(1)a b --【例7】 分解因式：()()()2113212xy xy xy x y x y ⎛⎫+++-++-+- ⎪⎝⎭ 【关键词】1997~1998年，天津市初二数学竞赛决赛，换元法【解析】设xy a x y b =+=，则原式()()()213211a a a b b =+++----()()()222221111a a b a b a b a b =++-=+-=+++- ()()()()1111x y x y =++--【答案】()()()()1111x y x y ++--【例8】 分解因式：4444(4)a a ++-【解析】为方便运算，更加对称起见，我们令2x a =-4444(4)a a ++-444(2)(2)4x x =++-+22224(44)(44)4x x x x =+++-++422(2416)256x x =+++422(24144)x x =++222(12)x =+222[(2)12]a =-+222(416)a a =-+【答案】222(416)a a -+【例9】 分解因式：()()()3332332125x y x y x y -+---【解析】设233255x y a x y b x y c -=-=-+=，，，显然0a b c ++=由公式()()3332223a b c abc a b c a b c bc ca ab ++-=++++---知，此时有3333a b c abc ++= 故原式()()()()()()3233255152332x y x y x y x y x y x y =---+=----【答案】()()()152332x y x y x y ----【例10】 分解因式：43241x x x x +-++【解析】原式222222111144x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 设1x t x +=，则22212x t x+=- 原式()()()2222432x t t x t t =+--=+-()()22311x x x =++- 【答案】()()22311x x x ++-【例11】 分解因式：()()4413272x x +++-【解析】设2x t +=，则原式()()444211272212270t t t t =-++-=+-()()()()()2222159241951t t x x x x =+-=+++- 【答案】()()()2241951x x x x +++-模块四 主元法【例 25】分解因式：2222223a b ab a c ac abc b c bc -+--++【解析】这个多项式是a 、b 、c 的三项式，相数多，似乎无从下手，解决它的方法却是最基本的：把a 当作主要字母，也就是把这个多项式看成a 的二次式，按a 降幂排列整理为：22222()(3)()b c a b c bc a b c bc +-++++，后用十字相乘进行分解，“常数项”为22()b c bc bc b c +=+ 2222223a b ab a c ac abc b c bc -+--++[()][()]a b c b c a bc =-++-()()a b c ab ac bc =--+-【答案】()()a b c ab ac bc --+-【例 26】分解因式：22(1)(1)(221)y y x x y y +++++【解析】将x 看为主元，原式可化为：22(1)(221)(1)y y x y y x y y ++++++[(1)][(1)]yx y y x y =++++(1)()yx y yx x y =++++【答案】(1)()yx y yx x y ++++【例 27】分解因式：222222()()(1)()()ab x y a b xy a b x y ---+-++【解析】以a 、b 为主要字母，这个多项式是a 、b 的二次齐次式，把它整理为：2222[(1)()]()[()(1)]b xy x y ab x y a x y xy +-++--+++2222[()(1)]()[()(1)]b xy x y ab x y a x xy y =---+--+++2222[(1)(1)]()[(1)(1)]b x y y ab x y a x y y =---+--+++2222(1)(1)()(1)(1)b x y ab x y a x y =--+--++[(1)(1)][(1)(1)]x b y a y b x a =--+--+()()bx b ay a by b ax a =----++【答案】()()bx b ay a by b ax a ----++课后作业1.分解因式：()()()2442111x x x ++-+-【解析】 原式224222(21)(21)(21)x x x x x x =+++-++-+423103x x =++ 22(31)(3)x x =++【答案】22(31)(3)x x ++2.若x ，y 是整数，求证：()()()()4234x y x y x y x y y +++++是一个完全平方数.【解析】()()()()4234x y x y x y x y y +++++()()()()4423x y x y x y x y y =+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦22224(54)(56)x xy y x xy y y =+++++令2254x xy y u ++=∴上式2422222(2)()(55)u u y y u y x xy y ++=+=++即()()()()4222234(55)x y x y x y x y y x xy y +++++=++【答案】见解析3.分解因式：44(1)(3)272x x +-+- 【解析】设1322x x y x +++==+，则原式=4442(1)(1)2722(61)272y y y y -++-=++- 422222(6135)2(9)(15)2(3)(3)(15)y y y y y y y =+-=-+=+-+22(5)(1)(419)x x x x =+-++【答案】22(5)(1)(419)x x x x +-++4.分解因式：322222422x x z x y xyz xy y z --++-【解析】原式()()()()()22222222x z y x z xy x z x x z y x =---+-=--【答案】()()22x z y x --。
初二因式分解练习题和答案
初二因式分解练习题和答案一、基础题型1. 将下列多项式进行因式分解：(1) $x^2 + 4x + 4$解析：观察多项式可知，常数项为4，且平方项系数为1，因此可以直接得出该多项式的因式分解形式为$(x+2)(x+2)$或$(x+2)^2$。
(2) $9a^2 - 16$解析：根据平方差公式可知，$9a^2 - 16$可以分解为$(3a+4)(3a-4)$。
2. 分解下列多项式：(1) $3x^2 + 12x + 9$解析：观察多项式可知，常数项为9，且平方项系数为3。
因此，这个多项式可以进行因式分解为$(x+3)(3x+3)$或$(x+3)^2$。
(2) $4x^2 - 5xy + y^2$解析：该多项式是一个二次三项式，根据二次三项式的平方公式，可以得到它的因式分解形式为$(2x-y)^2$。
二、综合题型1. 分解下列多项式：(1) $3x^2 - 8$解析：观察多项式可知，平方项系数为3，常数项为-8。
根据常数项为负数的特点，我们可以尝试将-8分解成两个因数的乘积。
考虑到平方项系数为3，我们可以写成$(3x)^2 - 2^2$。
利用二次差公式，得到$(3x+2)(3x-2)$。
(2) $6x^2 + 17x + 10$解析：我们可以使用因式分解法或求根法进行分解，为了简便起见，我们选择因式分解法。
将多项式划分为三个项，得到$(2x+5)(3x+2)$。
2. 分解下列多项式：(1) $4x^2 - 12xy + 9y^2$解析：观察多项式可知，平方项系数为4，常数项为$9y^2$。
考虑到常数项为平方形式，我们可以尝试进行“凑平方”的操作。
$(2x-3y)^2$即为所求解。
(2) $x^3 - 3x^2 + 2x$解析：观察多项式可知，这是一个三次多项式。
我们可以尝试提取公因式，并进行因式分解。
将每一项提取公因式，得到$x(x^2 - 3x + 2)$。
进一步分解，我们得到$x(x-1)(x-2)$。
初二数学《因式分解》练习题
初二数学《因式分解》练习题因式分解是初中数学中的一个重要概念，它在方程、函数以及多项式的运算中扮演着重要的角色。
掌握因式分解的方法和技巧，能够帮助我们简化计算过程，解决实际问题。
下面是一些关于因式分解的练习题，通过练习这些题目，我们可以巩固对因式分解的理解和应用。
【练习题一】将下列各式进行因式分解：1. $x^2-4$2. $a^2-b^2$3. $8x^3-27y^3$4. $2x^2+5x-3$5. $2x^3-x^2-6x$6. $4x^2-4xy+y^2$【解析】1. $x^2-4$可以写成$(x-2)(x+2)$，因此进行因式分解后为$(x-2)(x+2)$。
2. $a^2-b^2$是一个差的平方，可以因式分解为$(a+b)(a-b)$。
3. 由于$8x^3=2^3\cdot x^3$，$27y^3=3^3\cdot y^3$，因此可以使用立方差公式进行因式分解，即$(2x-3y)(4x^2+6xy+9y^2)$。
4. 对于$2x^2+5x-3$，我们可以因式分解为$(2x-1)(x+3)$。
5. $2x^3-x^2-6x$可以因式分解为$x(2x+3)(x-2)$。
6. 通过观察可以发现，$4x^2-4xy+y^2$等于$(2x-y)^2$，因此进行因式分解后为$(2x-y)^2$。
【练习题二】解下列各方程：1. $x^2-9=0$2. $x^2-5x+6=0$3. $2x^2-7x+3=0$4. $3(x+2)^2=27$5. $4(x-1)(x+2)-5(x-1)^2=7x+29$【解析】1. $x^2-9=0$是一个差的平方，可以写成$(x-3)(x+3)=0$，所以解为$x=3$或$x=-3$。
2. 对于$x^2-5x+6=0$，我们可以因式分解为$(x-2)(x-3)=0$，所以解为$x=2$或$x=3$。
3. $2x^2-7x+3=0$不易因式分解，我们可以使用求根公式进行解答，即$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
专题4.2 因式分解(十字相乘法与分组分解法)(学生版)
专题4.2 因式分解（十字相乘法与分组分解法）1.理解十字相乘法的原理，并能用十字相乘法分解因式（二次三项式）；2.能熟练使用分组分解法分解因式（四项及以上）；3.能灵活使用因式分解的四种方法，并能解决一些实际问题。
知识点01 因式分解的方法（三）十字相乘法【知识点】③十字相乘法：a 2+(p+q )a+pq=(a+p )(a+q )注意：对于二次三项式的因式分解中，当公式法不能匹配时，十字相乘就是我们的首选方法。
【知识拓展1】十字相乘法分解因式例1．（2022·成都市初二课时练习）运用十字相乘法分解因式：（1）232x x --；（2）210218x x ++；（3）22121115x xy y --；（4）2()3()10x y x y +-+-．【即学即练】1．（2020·四川内江·中考真题）分解因式：4212b b --=_____________2．（2022·湖南岳阳·八年级期末）阅读理解题由多项式乘法：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，将该式从右到左使用，即可进行因式分解的公式：()()()2x a b x ab x a x b +++=++．示例：分解因式：()()()2256232323x x x x x x ++=+++´=++．分解因式：()()()()222121212x x x x x x --=++-+´-=+-éùéùëûëû．多项式()2x a b x ab +++的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．（1）尝试：分解因式：268x x ++=（x +______）（x +______）；（2）应用：请用上述方法将多项式：256x x -+、256x x --进行因式分解．【知识拓展2】先换元再十字相乘例2．（2022·广西象州·八年级期中）下面是小明同学对多项式进行因式分解的过程：解：设，则（第一步）原式（第二步）（第三步）把代入上式，得原式（第四步）我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，请据此回答下列问题：（1）该同学因式分解的结果（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果： ；（2）请你仿照上面的方法，对多项式进行因式分解．【即学即练】1．（2022·陕西金台·八年级期末）阅读下列材料：材料1：将一个形如x ²＋px ＋q 的二次三项式因式分解时，如果能满足q ＝mn 且p ＝m ＋n 则可以把x ²＋px ＋q 因式分解成（x ＋m ）（x ＋n ），如：（1）x 2＋4x ＋3＝（x ＋1）（x ＋3）；（2）x 2﹣4x ﹣12＝（x ﹣6）（x ＋2）．材料2：因式分解：（x ＋y ）2＋2（x ＋y ）＋1，解：将“x ＋y 看成一个整体，令xy ＝A ，则原式＝A ²＋2A ＋1＝（A ＋1）²，再将“A ”还原得：原式＝（x ＋y ＋1）²上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：()()2252564x x x x -+-++25x x y -=(2)(6)4y y =+++22816(4)y y y =++=+25x x y -=()2254x x =-+()()223344a a a a --++（1）根据材料1，把x 2＋2x ﹣24分解因式；（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；①分解因式：（x ﹣y ）²﹣8（x ﹣y ）＋16；②分解因式：m （m ﹣2）（m ²﹣2m ﹣2）﹣3知识点02 因式分解的方法（四）分组分解法【知识点】④分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)一般地，分组分解分为三步：1）将原式的项适当分组；2）对每一组进行处理（因式分解）3）将经过处理后的每一组当作一项，再进行分解。
初二因式分解含答案
因式分解的基本方法中考要求例题精讲一、十字相乘法十字相乘法：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解二、分组分解分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.一、十字相乘【例 1】分解因式：⑴256x x ++ ⑵256x x -+⑶276x x ++ ⑷276x x -+【解析】 ⑴(2)(3)x x ++；⑵(2)(3)x x --；⑶(1)(6)x x ++；⑷(1)(6)x x --【巩固】 分解因式：268x x ++【解析】268(2)(4)x x x x ++=++【巩固】 分解因式：278x x +-【解析】278(8)(1)x x x x +-=+-【例 2】分解因式：2376a a --【解析】2376(32)(3)a a a a --=+-【巩固】 分解因式：2383x x --【解析】 2383(31)(3)x x x x --=+-【巩固】 分解因式：25129x x +-【解析】25129(3)(53)x x x x +-=+-【巩固】 分解因式：42730x x +-【解析】4222730(3)(10)x x x x +-=-+【巩固】 分解因式：2273320x x --【解析】2273320(94)(35)x x x x --=+-【例 3】分解因式：212x x +-【解析】221212(3)(4)x x x x x x +-=-++=+-+【巩固】 分解因式：2612x x -+-【解析】22612(612)(23)(34)x x x x x x -+-=-+-=-+-【例 4】分解因式：2214425x y xy +-【解析】2214425(16)(9)x y xy x y x y +-=--【巩固】 分解因式：22672x xy y -+【解析】22672(2)(32)x xy y x y x y -+=--【巩固】 分解因式：22121115x xy y --【解析】22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+【例 5】分解因式：⑴2()4()12x y x y +-+-；⑵2212()11()()2()x y x y x y x y +++-+-【解析】 ⑴把x y +看作一个整体，利用十字相乘法分解即可.2()4()12(2)(6)x y x y x y x y +-+-=+++-⑵将,x y x y +-看作整体，则原式[][]4()()3()2()(53)(5)x y x y x y x y x y x y =++-++-=++.【巩固】 分解因式：257(1)6(1)a a ++-+【解析】[][]257(1)6(1)53(1)12(1)(23)(23)a a a a a a ++-+=-+++=-+【巩固】 分解因式：2(2)8(2)12a b a b ---+【解析】[][]2(2)8(2)12(2)2(2)6(22)(26)a b a b a b a b a b a b ---+=----=----【例 6】分解因式：1a b c ab ac bc abc +++++++【解析】 把a 视为未知数，其它视为参数。
初二数学知识点专题讲解与练习3---因式分解的方法(培优版)
．分解因式： ＝ ． 3
a2 − b2 + 4a + 2b + 3 ____________________________
．多项式 与多项式 的公因式是 ． 4
ax3 − 8a
x2 − 4x + 4
____________________
5．在 1~100 之间若存在整数n ，使 x2 + x − n 能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的 n 有_______ 个．
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10．已知二次三项式21x2 + ax −10 可分解成两个整系数的一次因式的积，那么（ ）．
A．a 一定是奇数 C．a 可为奇数也可为偶数 11．分解因式：
B．a 一定是偶数 D．a 一定是负数
（ ） ； 1 (2x2 − 3x +1)2 − 22x2 + 33x −1
（ ） ； 2 (x2 + 3x + 2)(4x2 + 8x + 3) − 90
【例 4】把多项式 x2 − y2 − 2x − 4y − 3因式分解后，正确的结果是（ ）．
． ． A (x + y + 3)(x − y −1) B (x + y −1)(x − y + 3)
． ． C (x + y − 3)(x − y +1) D (x + y +1)(x − y − 3) （“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：直接分组分解困难，可考虑先将常数项拆成几个数的代数和，比如－3＝－4＋1．
【例 5】分解因式：
（ ） ； 1 x5 + x +1 （扬州市竞赛题）
【八年级上册】因式分解专项训练(30道)(含答案)
因式分解专项训练（30道）1．（拱墅区校级期中）因式分解（1）﹣a2+1；（2）2x3y+4x2y2+2xy3；（3）4（x+2y）2﹣25（x﹣y）2；（4）（a2+a）2﹣8（a2+a）+12．2．（拜泉县期中）因式分解（1）6x2﹣3x；（2）16m3﹣mn2；（3）25m2﹣10mn+n2；（4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．3．（浠水县月考）分解因式：（1）3pq3+15p3q；（2）ab2﹣a；（3）4xy2﹣4x2y﹣y3；（4）（a2+1）2﹣4a2．4．（绿园区校级月考）把下列多项式分解因式．（1）3x2﹣3y2．（2）a2b+2ab2+b3．（3）（m﹣1）（m﹣3）+1．（4）2a2+4ab+2b2．5．（2021春•东昌府区期末）把下列各式进行因式分解：（1）2（x﹣y）﹣（x﹣y）2；（2）﹣x2+8x﹣15；（3）8m3n+40m2n2+50mn3；（4）a4﹣b4．6．（2021春•南山区校级期中）分解因式：（1）12ab2﹣6ab；（2）a2﹣6ab+9b2；（3）x4﹣1；（4）n2（m﹣2）+（2﹣m）．7．（2021春•邗江区期中）分解因式：（1）2x2﹣12x+18；（2）a3﹣a；（3）4ab2﹣4a2b﹣b3；（4）m3（a﹣2）+m（2﹣a）．8．（2020秋•丛台区期末）因式分解（1）（a﹣b）2+4ab；（2）x2﹣2x﹣8；（3）x4﹣6x3+9x2﹣16；（4）（x2+3x+5）（x2+3x+1）+3．9．（2021春•江北区校级期中）因式分解：（1）﹣8ab2+6a2b﹣2ab；（2）4a2﹣（a2+1）2；（3）x4﹣8x2﹣9；（4）（2﹣x2）2+2x（x2﹣2）+x2．10．（2021春•福田区校级期中）因式分解：（1）ab2﹣a；（2）2xy2﹣12x2y+18x3；（3）a4﹣8a2+16；（4）（x﹣4）（x+1）+3x．11．（2021秋•姜堰区月考）因式分解：（1）a4﹣1；（2）x3﹣2x2y+xy2．12．（2021春•平山区校级期中）分解因式：（1）x2（m﹣n）+y2（n﹣m）；（2）3x2﹣18xy+27y2．13．（2021春•鄄城县期末）因式分解：（1）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）；（2）（x2+1）2﹣4x2．14．（2021春•福田区校级期中）分解因式：（1）4x2﹣（x2+1）2；（2）3（x﹣1）2﹣18（x﹣1）+27．15．（2021春•凤翔县期末）分解因式：（1）9a2（x﹣y）+y﹣x；（2）（x2﹣2xy+y2）+（﹣2x+2y）+1．16．（2021春•沈北新区期末）因式分解：（1）﹣10a2bc+15bc2﹣20ab2c；（2）（x2+1）2﹣4x2．17．（2021春•平顶山期末）把下列各式因式分解：（1）x2+2xy+y2﹣c2；（2）b2（a﹣2）+b（2﹣a）．18．（2021春•覃塘区期末）因式分解：（1）3x3﹣12x；（2）1﹣2x+2y+（x﹣y）2．19．（2021春•江宁区月考）分解因式：（1）4x2（x﹣y）+（y﹣x）；（2）（x2﹣5）2+8（x2﹣5）+16．20．（2021春•汉寿县期中）分解因式：3x2﹣xy﹣2y2﹣x+y．21．（2020秋•浦东新区期末）因式分解（1）5x2+6y﹣15x﹣2xy；（2）（1+ab）2﹣（a+b）2．22．（2020春•市南区校级期中）因式分解：4（x+y）2﹣16（x﹣y）2．23．（2020秋•宝山区期末）分解因式：2x3﹣2x2y+8y﹣8x．24．（2020秋•上海期末）分解因式：a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2．25．（2020秋•松江区期末）因式分解：x3+3x2y﹣4x﹣12y．26．（2020秋•浦东新区期末）分解因式：a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2．27．（2020秋•浦东新区期末）因式分解：（x2+2x）2﹣7（x2+2x）﹣8．28．（2021秋•浦东新区校级期中）分解因式：（x2+x+1）（x2+x+2）﹣12．29．（2020秋•海淀区校级期中）因式分解：64a6﹣48a4b2+12a2b4﹣b6．30．（2020秋•海淀区校级期中）请用两种方法对多项式x3﹣4x2+6x﹣4进行因式分解．（拆添项算一种方法）因式分解专项训练（30道）【答案版】1．（2021春•拱墅区校级期中）因式分解（1）﹣a2+1；（2）2x3y+4x2y2+2xy3；（3）4（x+2y）2﹣25（x﹣y）2；（4）（a2+a）2﹣8（a2+a）+12．【解题思路】（1）逆用平方差公式进行因式分解．（2）先逆用平方差公式，再提公因式．（3）先逆用平方差公式，再提公因式．（4）运用十字相乘法进行因式分解，注意分解彻底．【解答过程】解：（1）﹣a2+1＝（1+a）（1﹣a）．（2）2x3y+4x2y2+2xy3＝2xy（x2+2xy+y2）＝2xy（x+y）2．（3）4（x+2y）2﹣25（x﹣y）2＝[2（x+2y）+5（x﹣y）][2（x+2y）﹣5（x﹣y）]＝（2x+4y+5x﹣5y）（2x+4y﹣5x+5y）＝（7x﹣y）（﹣3x+9y）＝﹣3（7x﹣y）（x﹣3y）．（4）（a2+a）2﹣8（a2+a）+12＝（a2+a﹣2）（a2+a﹣6）＝（a+2）（a﹣1）（a+3）（a﹣2）．2．（2021秋•拜泉县期中）因式分解（1）6x2﹣3x；（2）16m3﹣mn2；（3）25m2﹣10mn+n2；（4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．【解题思路】（1）原式提取公因式3x，分解即可；（2）原式提取公因式m，再利用平方差公式分解即可；（3）原式利用完全平方公式分解即可；（4）原式变形后，提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式分解即可．【解答过程】解：（1）6x2﹣3x＝3x（2x﹣1）；（2）16m3﹣mn2＝m（16m2﹣n2）＝m（4m+n）（4m﹣n）；（3）25m2﹣10mn+n2＝（5m﹣n）2；（4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．3．（2021秋•浠水县月考）分解因式：（1）3pq3+15p3q；（2）ab2﹣a；（3）4xy2﹣4x2y﹣y3；（4）（a2+1）2﹣4a2．【解题思路】（1）原式提取公因式3pq即可；（2）原式提取公因式a，再利用平方差公式分解即可；（3）原式提取公因式﹣y，再利用完全平方公式分解即可；（4）原式利用平方差公式，以及完全平方公式分解即可．【解答过程】解：（1）3pq3+15p3q＝3pq（q2+5p2）；（2）ab2﹣a＝a（b2﹣1）＝a（b+1）（b﹣1）；（3）4xy2﹣4x2y﹣y3＝﹣y（y2+4x2﹣4xy）＝﹣y（2x﹣y）2；（4）（a2+1）2﹣4a2＝（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）＝（a+1）2（a﹣1）2．4．（2021秋•绿园区校级月考）把下列多项式分解因式．（1）3x2﹣3y2．（2）a2b+2ab2+b3．（3）（m﹣1）（m﹣3）+1．（4）2a2+4ab+2b2．【解题思路】（1）先提公因式，再利用平方差公式即可；（2）先提公因式，再利用完全平方公式即可；（3）先计算多项式乘多项式，整理后，再利用完全平方公式即可；（4）先提公因式，再利用完全平方公式即可；【解答过程】解：（1）原式＝3（x2﹣y2）＝3（x+y）（x﹣y）；（2）原式＝b（a2+2ab+b2）＝b（a+b）2；（3）原式＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2；（4）原式＝2（a2+2ab+b2）＝2（a+b）2．5．（2021春•东昌府区期末）把下列各式进行因式分解：（1）2（x﹣y）﹣（x﹣y）2；（2）﹣x2+8x﹣15；（3）8m3n+40m2n2+50mn3；（4）a4﹣b4．【解题思路】（1）直接提取公因式；（2）先加上负括号，再利用十字相乘法；（3）先提取公因式2mn，再利用完全平方公式；（4）利用平方差公式因式分解．【解答过程】解：（1）2（x﹣y）﹣（x﹣y）2＝（x﹣y）[2﹣（x﹣y）]＝（x﹣y）（2﹣x+y）；（2）﹣x2+8x﹣15＝﹣（x2﹣8x+15）＝﹣（x﹣5）（x﹣3）；（3）8m3n+40m2n2+50mn3＝2mn（4m2+20mn+25n2）＝2mn（2m+5n）2；（4）a4﹣b4＝（a2+b2）（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a+b）（a﹣b）．6．（2021春•南山区校级期中）分解因式：（1）12ab2﹣6ab；（2）a2﹣6ab+9b2；（3）x4﹣1；（4）n2（m﹣2）+（2﹣m）．【解题思路】（1）直接提取公因式6ab，进而分解因式即可；（2）直接利用完全平方公式分解因式得出答案；（3）直接利用平方差公式分解因式得出答案；（4）直接提取公因式（m﹣2），再利用平方差公式分解因式即可．【解答过程】解：（1）12ab2﹣6ab＝6ab（2b﹣1）；（2）a2﹣6ab+9b2＝（a﹣3b）2；（3）x4﹣1＝（x2+1）（x2﹣1）＝（x2+1）（x﹣1）（x+1）；（4）n2（m﹣2）+（2﹣m）＝n2（m﹣2）﹣（m﹣2）＝（m﹣2）（n2﹣1）＝（m﹣2）（n+1）（n﹣1）．7．（2021春•邗江区期中）分解因式：（1）2x2﹣12x+18；（2）a3﹣a；（3）4ab2﹣4a2b﹣b3；（4）m3（a﹣2）+m（2﹣a）．【解题思路】（1）首先提公因式2，再利用完全平方公式进行分解即可；（2）首先提公因式a，再利用平方差公式进行分解即可；（3）首先提公因式﹣b，再利用完全平方公式进行分解即可；（4）首先提公因式m（a﹣2），再利用平方差公式进行分解即可．【解答过程】解：（1）原式＝2（x2﹣6x+9）＝2（x﹣3）2；（2）原式＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1）；（3）原式＝﹣b（b2﹣4ab+4a2）＝﹣b（b﹣2a）2；（4）原式＝m（a﹣2）（m2﹣1）＝m（a﹣2）（m﹣1）（m+1）．8．（2020秋•丛台区期末）因式分解（1）（a﹣b）2+4ab；（2）x2﹣2x﹣8；（3）x4﹣6x3+9x2﹣16；（4）（x2+3x+5）（x2+3x+1）+3．【解题思路】（1）先根据完全平方公式展开，再根据完全平方公式分解因式即可；（2）根据十字相乘法分解因式即可；（3）先分组，根据完全平方公式进行计算，再根据平方差公式分解因式，最后根据“十字相乘法”分解因式即可；（4）把x2+3x当作一个整体展开，再根据“十字相乘法”分解因式即可．【解答过程】解：（1）（a﹣b）2+4ab＝a2﹣2ab+b2+4ab＝a2+2ab+b2＝（a+b）2；（2）x2﹣2x﹣8＝（x﹣4）（x+2）；（3）x4﹣6x3+9x2﹣16＝（x4﹣6x3+9x2）﹣16＝x2（x﹣3）2﹣42＝[x（x﹣3）+4][x（x﹣3）﹣4]＝（x2﹣3x+4）（x2﹣3x﹣4）＝（x2﹣3x+4）（x﹣4）（x+1）；（4）（x2+3x+5）（x2+3x+1）+3＝（x2+3x）2+6（x2+3x）+5+3＝（x2+3x）2+6（x2+3x）+8＝（x2+3x+2）（x2+3x+4）＝（x+1）（x+2）（x2+3x+4）．9．（2021春•江北区校级期中）因式分解：（1）﹣8ab2+6a2b﹣2ab；（2）4a2﹣（a2+1）2；（3）x4﹣8x2﹣9；（4）（2﹣x2）2+2x（x2﹣2）+x2．【解题思路】（1）原式提取﹣2ab，利用提公因式法因式分解即可；（2）原式利用平方差公式化简，再利用完全平方公式分解即可；（3）原式利用十字相乘法分解，再利用平方差公式分解即可；（4）利用完全平方公式变形，再利用提公因式分解即可．【解答过程】解：（1）原式＝﹣2ab（4b﹣3a+1）；（2）原式（2a）2﹣（a2+1）2＝（2a+a2+1）（2a﹣a2﹣1）＝﹣（a+1）2（a﹣1）2；（3）原式＝（x2+1）（x2﹣9）＝（x2+1）（x+3）（x﹣3）；（4）原式＝（x2﹣2）2+2x（x2﹣2）+x2＝（x2+x﹣2）2＝（x+2）2（x﹣1）2．10．（2021春•福田区校级期中）因式分解：（1）ab2﹣a；（2）2xy2﹣12x2y+18x3；（3）a4﹣8a2+16；（4）（x﹣4）（x+1）+3x．【解题思路】（1）提公因式后再利用平方差公式即可；（2）提公因式后再利用完全平方公式即可；（3）利用完全平方公式后再利用平方差公式；（4）根据多项式乘法计算，再利用平方差公式．【解答过程】解：（1）ab2﹣a＝a（b2﹣1）＝a（b+1）（b﹣1）；（2）原式＝2x（y2﹣6xy+9x2）＝2x（y﹣3x）2；（3）原式＝（a2﹣4）2＝（a﹣2）2（a+2）2；（4）原式＝x2﹣3x﹣4+3x＝x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．11．（2021秋•姜堰区月考）因式分解：（1）a4﹣1；（2）x3﹣2x2y+xy2．【解题思路】（1）原式利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式x，再利用完全平方公式分解即可．【解答过程】解：（1）原式＝（a2+1）（a2﹣1）＝（a2+1）（a+1）（a﹣1）；（2）原式＝x（x2﹣2xy+y2）＝x（x﹣y）2．12．（2021春•平山区校级期中）分解因式：（1）x2（m﹣n）+y2（n﹣m）；（2）3x2﹣18xy+27y2．【解题思路】（1）首先提取公因式（m﹣n），然后利用平方差公式继续进行因式分解；（2）先提取公因式，再利用完全平方公式把原式进行因式分解即可．【解答过程】解：（1）x2（m﹣n）+y2（n﹣m）＝（m﹣n）（x2﹣y2）＝（m﹣n）（x+y）（x﹣y）；（2）3x2﹣18xy+27y2＝3（x2﹣6xy+9y2）＝3（x﹣3y）2．13．（2021春•鄄城县期末）因式分解：（1）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）；（2）（x2+1）2﹣4x2．【解题思路】（1）用提取公因式法分解因式；（2）用平方差公式、完全平方公式分解因式．【解答过程】解：（1）原式＝（a﹣b）（x﹣y）+（a﹣b）（x+y）＝（a﹣b）[（x﹣y）+（x+y）]＝2x（a﹣b），（2）原式＝（x2+1）2﹣（2x）2＝（x2+1+2x）（x2+1﹣2x）＝（x+1）2（x﹣1）2．14．（2021春•福田区校级期中）分解因式：（1）4x2﹣（x2+1）2；（2）3（x﹣1）2﹣18（x﹣1）+27．【解题思路】（1）先选择平方差公式分解因式，再运用完全平方公式进行因式分解；（2）先运用提取公因式法分解因式，再运用完全平方公式分解因式．【解答过程】解：（1）原式＝（2x）2﹣（x2+1）2＝（2x+x2+1）（2x﹣x2﹣1）＝﹣（x+1）2（x﹣1）2；（2）原式＝3[（x﹣1）2﹣6（x﹣1）+9]＝3[（x﹣1）﹣3]2＝3（x﹣4）2．15．（2021春•凤翔县期末）分解因式：（1）9a2（x﹣y）+y﹣x；（2）（x2﹣2xy+y2）+（﹣2x+2y）+1．【解题思路】（1）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（2）原式整理后，利用完全平方公式分解即可．【解答过程】解：（1）原式＝9a2（x﹣y）﹣（x﹣y）＝（x﹣y）（9a2﹣1）＝（x﹣y）（3a+1）（3a﹣1）；（2）原式＝（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝（x﹣y﹣1）2．16．（2021春•沈北新区期末）因式分解：（1）﹣10a2bc+15bc2﹣20ab2c；（2）（x2+1）2﹣4x2．【解题思路】（1）直接提公因式﹣5bc即可；（2）先利用平方差公式，将原式化为（x2+1+2x）（x2+1﹣2x），再利用完全平方公式得出答案．【解答过程】解：（1）原式＝﹣5bc（2a2﹣3c+4ab）；（2）原式＝（x2+1+2x）（x2+1﹣2x）＝（x+1）2（x﹣1）2．17．（2021春•平顶山期末）把下列各式因式分解：（1）x2+2xy+y2﹣c2；（2）b2（a﹣2）+b（2﹣a）．【解题思路】（1）先分组，再分解．（2）先将b2（a﹣2）+b（2﹣a）变形为b2（a﹣2）﹣b（a﹣2），再运用提公因式法．【解答过程】解：（1）x2+2xy+y2﹣c2＝（x+y）2﹣c2＝（x+y+c）（x+y﹣c）．（2）b2（a﹣2）+b（2﹣a）＝b2（a﹣2）﹣b（a﹣2）＝b（a﹣2）（b﹣1）．18．（2021春•覃塘区期末）因式分解：（1）3x3﹣12x；（2）1﹣2x+2y+（x﹣y）2．【解题思路】（1）先提公因式，再用公式法进行因式分解．（2）先将1﹣2x+2y+（x﹣y）2变形为＝1﹣（2x﹣2y）+（x﹣y）2，再用公式法进行因式分解．【解答过程】解：（1）3x3﹣12x＝3x（x2﹣4）＝3x（x+2）（x﹣2）．（2）1﹣2x+2y+（x﹣y）2＝1﹣（2x﹣2y）+（x﹣y）2＝1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2＝[1﹣（x﹣y）]2＝（1﹣x+y）2．19．（2021春•江宁区月考）分解因式：（1）4x2（x﹣y）+（y﹣x）；（2）（x2﹣5）2+8（x2﹣5）+16．【解题思路】（1）可先将（y﹣x）变形为﹣（x﹣y），再根据因式分解的步骤进行分解即可；（2）将（x2﹣5）看作一个整体，利用完全平方公式进行因式分解，最后再利用平方差公式因式分解即可．【解答过程】解：（1）4x2（x﹣y）+（y﹣x）＝4x2（x﹣y）﹣（x﹣y）＝（x﹣y）（4x2﹣1）＝（x﹣y）（2x+1）（2x﹣1）；（2）（x2﹣5）2+8（x2﹣5）+16＝（x2﹣5+4）2＝（x2﹣1）2＝（x+1）2（x﹣1）2．20．（2021春•汉寿县期中）分解因式：3x2﹣xy﹣2y2﹣x+y．【解题思路】先将3x2﹣xy﹣2y2﹣x+y分组整理，然后利用公式即可解答．【解答过程】解：原式＝（3x2﹣xy﹣2y2）﹣（x﹣y）＝（3x+2y）（x﹣y）﹣（x﹣y）＝（x﹣y）（3x+2y﹣1）．21．（2020秋•浦东新区期末）因式分解（1）5x2+6y﹣15x﹣2xy；（2）（1+ab）2﹣（a+b）2．【解题思路】（1）将原式分为两组：（5x2﹣15x）、﹣（2xy﹣6y），然后利用提取公因式法进行因式分解；（2）利用平方差公式进行因式分解．【解答过程】解：（1）原式＝（5x2﹣15x）﹣（2xy﹣6y）＝5x（x﹣3）﹣2y（x﹣3）＝（x﹣3）（5x﹣2y）；（2）原式＝（1+ab﹣a﹣b）（1+ab+a+b）＝[（1﹣a）﹣b（1﹣a）][（1+a）+b（1+a）]＝（1﹣a）（1﹣b）（1+a）（1+b）．22．（2020春•市南区校级期中）因式分解：4（x+y）2﹣16（x﹣y）2．【解题思路】首先提公因式4，再利用平方差公式进行分解即可．【解答过程】解：4（x+y）2﹣16（x﹣y）2＝4[（x+y）2﹣4（x﹣y）2]＝4（x+y+2x﹣2y）（x+y﹣2x+2y）＝4（3x﹣y）（3y﹣x）．23．（2020秋•宝山区期末）分解因式：2x3﹣2x2y+8y﹣8x．【解题思路】两两分组：先分别提取公因式2x2，8；再提取公因式2（y﹣x）进行二次分解；最后利用平方差公式再次进行因式分解即可求得答案．【解答过程】解：原式＝2x2（x﹣y）﹣8（x﹣y）＝2（x﹣y）（x2﹣4）＝2（x﹣y）（x+2）（x﹣2）．24．（2020秋•上海期末）分解因式：a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2．【解题思路】先利用分组分解法进行恰当的分组，再利用提公因式法和公式法进行因式分解即可．【解答过程】解：原式＝（a4﹣a2b2）﹣（4a2c2﹣4b2c2）＝a2（a2﹣b2）﹣4c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2﹣4c2）＝（a+b）（a﹣b）（a+2c）（a﹣2c）．25．（2020秋•松江区期末）因式分解：x3+3x2y﹣4x﹣12y．【解题思路】分为两组：（x3+3x2y）和（﹣4x﹣12y），然后运用完全平方公式和平方差公式进行因式分解．【解答过程】解：x3+3x2y﹣4x﹣12y＝（x3+3x2y）﹣（4x+12y）＝x2（x+3y）﹣4（x+3y）＝（x+3y）（x2﹣4）＝（x+3y）（x+2）（x﹣2）．26．（2020秋•浦东新区期末）分解因式：a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2．【解题思路】利用加法的结合律和交换律，把整式的第一项和第三项，第四项和第二项分组，提取公因式后再利用公式．【解答过程】解：原式＝（a4﹣a2b2）﹣（4a2c2﹣4b2c2）＝a2（a2﹣b2）+4c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2﹣4c2）＝（a+b）（a﹣b）（a+2c）（a﹣2c）．27．（2020秋•浦东新区期末）因式分解：（x2+2x）2﹣7（x2+2x）﹣8．【解题思路】原式利用十字相乘法分解后，再利用完全平方公式分解即可．【解答过程】解：原式＝（x2+2x﹣8）（x2+2x+1）＝（x﹣2）（x+4）（x+1）2．28．（2021秋•浦东新区校级期中）分解因式：（x2+x+1）（x2+x+2）﹣12．【解题思路】将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．【解答过程】解：设x2+x＝y，则原式＝（y+1）（y+2）﹣12＝y2+3y﹣10＝（y﹣2）（y+5）＝（x2+x﹣2）（x2+x+5）＝（x﹣1）（x+2）（x2+x+5）．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如令x2+x+1＝u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．故答案为（x﹣1）（x+2）（x2+x+5）29．（2020秋•海淀区校级期中）因式分解：64a6﹣48a4b2+12a2b4﹣b6．【解题思路】先利用分组分解法分解，再分别利用公式法和提取公因式法分解即可得出答案．【解答过程】解：64a6﹣48a4b2+12a2b4﹣b6＝（64a6﹣b6）﹣（48a4b2﹣12a2b4）＝（8a3+b3）（8a3﹣b3）﹣12a2b2（4a2﹣b2）＝（2a+b）（4a2﹣2ab+b2）（2a﹣b）（4a2+2ab+b2）﹣12a2b2（2a+b）（2a﹣b）＝（2a+b）（2a﹣b）[（4a2﹣2ab+b2）（4a2+2ab+b2）﹣12a2b2]＝（2a+b）（2a﹣b）[（4a2+b2）2﹣4a2b2﹣12a2b2]＝（2a+b）（2a﹣b）[（4a2+b2）2﹣16a2b2]＝（2a+b）（2a﹣b）（4a2﹣b2）2＝（2a+b）3（2a﹣b）3．30．（2020秋•海淀区校级期中）请用两种方法对多项式x3﹣4x2+6x﹣4进行因式分解．（拆添项算一种方法）【解题思路】分别利用拆添项及配方法和提取公因式法进行分解即可．【解答过程】解：方法一：x3﹣4x2+6x﹣4＝（x3﹣2x2）﹣（2x2﹣4x）+（2x﹣4）＝x2（x﹣2）﹣2x（x﹣2）+2（x﹣2）＝（x﹣2）（x2﹣2x+2）；方法二：x3﹣4x2+6x﹣4＝x（x2﹣4x2+4+2）﹣4＝x（x﹣2）2+2x﹣4＝（x﹣2）（x2﹣2x+2）．。
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整式乘除与因式分解概述定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
意义:它是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强,学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用。
学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础;学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力,又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
分解因式与整式乘法互为逆变形。
因式分解的方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
而在竞赛上,又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法,求根公式法，换元法,长除法,除法等。
注意三原则1 分解要彻底２最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正(例如:-3ｘ^２+x=-x（３x-1))基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式,多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“-”号时,多项式的各项都要变号。
例如：-aｍ+bm＋cm=-ｍ(ａ-ｂ-ｃ);ａ（x－y)＋b（y-ｘ）=a(x-y）-b(x-y)=(ｘ-y）(a－ｂ)。
注意:把２ａ^２+1/２变成２（a^2+１／４）不叫提公因式⑵公式法如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法。
平方差公式：ａ2-b2＝(a＋ｂ)（a－b)；完全平方公式：a2±2ａb＋b２=(ａ±b）2;注意:能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
立方和公式：a3+b3=(ａ+b）(a2-ab+b２）；立方差公式:a 3－b ３＝(a-ｂ)(ａ2＋ab+b ２)；完全立方公式:a 3±３a 2b+3ab 2±b ３＝(a±ｂ) 3．公式:a 3+b 3+c 3 =（a ＋b+c)（a 2＋b 2+c 2-ａb-b ｃ－ca ）例如:ａ２ +４ab ＋4b 2 =（a ＋2ｂ) 2。
(3）分解因式技巧1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。
2.分解因式技巧掌握：①等式左边必须是多项式;②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；③每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
注:分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。
3．提公因式法基本步骤：（1)找出公因式；（２)提公因式并确定另一个因式:①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
一、知识点总结：1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式的数字因数叫做单项式的系数,字母指数和叫单项式的次数。
如：bc a 22-的 系数为2-,次数为４,单独的一个非零数的次数是0。
2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。
多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。
如：122++-x ab a ,项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-,一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为２,2，1，0，系数分别为1,-２，1,1,叫二次四项式。
3、整式：单项式和多项式统称整式。
注意:凡分母含有字母代数式都不是整式。
也不是单项式和多项式。
4、多项式按字母的升（降）幂排列：如：1223223--+-y xy y x x按x 的升幂排列：3223221x y x xy y +-+--按x 的降幂排列：1223223--+-y xy y x x按y 的升幂排列:3223221y y x xy x --++-按y 的降幂排列:1223223-++--x xy y x y5、同底数幂的乘法法则：m n m n a a a +=(n m ,都是正整数)同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
如：235()()()a b a b a b ++=+6、幂的乘方法则:mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变,指数相乘。
如：10253)3(=-幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a)()(==如：23326)4()4(4==7、积的乘方法则:n n n b a ab =)((n 是正整数）积的乘方,等于各因数乘方的积。
如:(523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=•••-8、同底数幂的除法法则:n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m 同底数幂相除,底数不变,指数相减。
如:3334)()()(b a ab ab ab ==÷９、零指数和负指数； 10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于１。
p p aa 1=-（p a ,0≠是正整数），即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p 次方的倒数。
如:81)21(233==- 10、单项式的乘法法则:单项式与单项式相乘,把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。
注意:①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号,再计算绝对值。
②相同字母相乘,运用同底数幂的乘法法则。
③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
⑤单项式乘以单项式,结果仍是一个单项式。
如：=•-xy z y x 3232１1、单项式乘以多项式,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加, 即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式)注意:①积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同。
②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。
③在混合运算时,要注意运算顺序,结果有同类项的要合并同类项。
]如：)(3)32(2y x y y x x +--12、多项式与多项式相乘的法则；多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所的的积相加。
如：)6)(5()3)(23(-+-+x x b a b a 1３、平方差公式：22))((b a b a b a -=-+注意平方差公式展开只有两项公式特征:左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。
右边是相同项的平方减去相反项的平方。
如：))((z y x z y x +--+14、完全平方公式:2222)(b ab a b a +±=±公式特征:左边是一个二项式的完全平方，右边有三项,其中有两项是左边二项式中每一项的平方,而另一项是左边二项式中两项乘积的２倍。
注意： ab b a ab b a b a 2)(2)(2222-+=-+=+ab b a b a 4)()(22-+=-222)()]([)(b a b a b a +=+-=-- 222)()]([)(b a b a b a -=--=+- 完全平方公式的口诀：首平方,尾平方，加上首尾乘积的2倍。
1５、三项式的完全平方公式:bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++16、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
注意:首先确定结果的系数（即系数相除),然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式如：b a m b a 242497÷-17、多项式除以单项式的法则:多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。
即:()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++18、因式分解:常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法……三、知识点分析:1.同底数幂、幂的运算：ａm ·ａn =a m+n （m ，n 都是正整数)．(ａm )ｎ=a mn (m ，n 都是正整数）.例题1．若6422=-a ,则a= ；若8)3(327-=⨯n ,则n ＝ 例题２.若125512=+x ,求x x +-2009)2(的值。
例题３.计算()[]()[]m n x y y x 2322-- 练习1.若32=n a ,则n a 6= .2.设４x =8y －1,且9y =27ｘ-1,则x-y 等于 。
2.积的乘方(a b ）n =a ｎｂn （ｎ为正整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.例题1. 计算:()[]()()[]43p p m n n m m n -⋅-⋅- 3.乘法公式 平方差公式:()()22b a b a b a -=-+完全平方和公式：()2222b ab a b a ++=+ 完全平方差公式:()2222b ab a b a +-=- 例题1. 利用平方差公式计算:2009×2007－20082例题2．利用平方差公式计算：22007200720082006-⨯. 3.(ａ－2ｂ+3c -d )（a ＋2b －３c -d )５. 因式分解:1.提公因式法:式子中有公因式时，先提公因式。
ﻩ例１把2105ax ay by bx -+-分解因式．分析:把多项式的四项按前两项与后两项分成两组,并使两组的项按x 的降幂排列,然后从两组分别提出公因式2a 与b -，这时另一个因式正好都是5x y -,这样可以继续提取公因式．解：21052(5)(5)(5)(2)ax ay by bx a x y b x y x y a b -+-=---=--说明：用分组分解法,一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法.本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组,同学不妨一试．ﻩ例２把2222()()ab c d a b cd ---分解因式．ﻩ分析：按照原先分组方式，无公因式可提,需要把括号打开后重新分组,然后再分解因式.解：22222222()()ab c d a b cd abc abd a cd b cd ---=--+2222()()abc a cd b cd abd =-+-ﻩ()()()()ac bc ad bd bc ad bc ad ac bd =-+-=-+说明：由例3、例４可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组,先运用了加法交换律,分组后，为了提公因式,又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．2. 公式法：根据平方差和完全平方公式例题1 分解因式22925x y -3.配方法:例1分解因式2616x x +-解:222222616233316(3)5x x x x x +-=+⨯⨯+--=+-(35)(35)(8)(2)x x x x =+++-=+-说明:这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法,配方后将二次三项式化为两个平方式,然后用平方差公式分解.当然,本题还有其它方法,请大家试验.4.十字相乘法:(1).2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现,其特点是:(1) 二次项系数是1；（２) 常数项是两个数之积；（3） 一次项系数是常数项的两个因数之和. 22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++ 因此,2()()()x p q x pq x p x q +++=++运用这个公式,可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.ﻩ例1把下列各式因式分解：ﻩ （1) 276x x -+ ﻩﻩﻩ(２) 21336x x ++ 解:(1）6(1)(6),(1)(6)7=-⨯--+-=-2 76[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x ∴-+=+-+-=--． (２） 3649,4913=⨯+=21336(4)(9)x x x x ∴++=++ 说明：此例可以看出,常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同．例2把下列各式因式分解:ﻩﻩ(1) 2524x x +-ﻩ(2) 2215x x -- 解:(1)24(3)8,(3)85-=-⨯-+=2 524[(3)](8)(3)(8)x x x x x x ∴+-=+-+=-+ ﻩ(2) 15(5)3,(5)32-=-⨯-+=-ﻩ 2 215[(5)](3)(5)(3)x x x x x x ∴--=+-+=-+ 说明：此例可以看出，常数项为负数时,应分解为两个异号的因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同．ﻩ例3把下列各式因式分解:ﻩ(1) 226x xy y +-ﻩﻩ ﻩ (２) 222()8()12x x x x +-++ 分析:(1) 把226x xy y +-看成x 的二次三项式，这时常数项是26y -，一次项系数是y ，把26y -分解成3y 与2y -的积，而3(2)y y y +-=，正好是一次项系数． ﻩﻩ (２) 由换元思想，只要把2x x +整体看作一个字母a ,可不必写出，只当作分解二次三项式2812a a -+.解:(1) 222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-ﻩ(2) 22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-(2）．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解大家知道,2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++．反过来,就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现,二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯,这里按斜线交叉相乘,再相加,就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行.这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法. 必须注意,分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．例４把下列各式因式分解:（１) 21252x x -- ﻩﻩﻩ (2) 22568x xy y +- 解：(1) 21252(32)(41)x x x x --=-+ ﻩ 324 1-⨯ﻩ(２) 22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+- 1 254y y -⨯说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度,可先对有关常数分解,交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”,看是否符合一次项系数,否则用加法”凑”，先”凑”绝对值,然后调整,添加正、负号．金云梯教育基础练习题一、填空题：２．(a-3)(3-2ａ）=_＿＿____(3－a ）(3－2a ）；12.若m ２-3ｍ＋2=（m ＋a)(m+b)，则a=_____＿，b=__＿___;１5、当m=_＿__＿_时，x2+２(m-3)ｘ+2５是完全平方式．16、分解因式:142-a =___＿______; ２、分解因式：92-x =__＿________＿_＿17、分解因式：362-x ＝___＿_＿_＿＿。