优选第六章树木生长量

应系数”。
方程（1）是变量可分离型一阶常微分方程， 用变量分离法解之：
首先进行变量分离
两边积分
dy
rdt
y(1 1 y)
k
左边积分：
1
dy y(1 1
y)
(1 y
k 1 1
)dy y
k
k
1dy y
k
1
y
dy
ln y ln(k y) ln y ky
右边积分：
被积函数化为部分分式：
令
A
·········
45
f (t)
令
f (0) c0
故：
f (1) c0r b
f (2) r f (1) b
c0r 2 b(1 r) f (3) r f (2) b
c0r 3 b(1 r r 2 ) ...
f (t) c0r t b(1 r r 2 ... r t1 ) （2）
y(1
1 1
y)
A y
B 1 1
y
k
k
欲使上式成立有：
A 1 B 1 A0
K
解得 A=1 B=1/K
rdt rt c c为积分常数
代入，有
ln y rt c ky
从而得到方程的（1）的隐式通解。为了确定积分常数c ，
代入初始条件，当t=0时， y=y0 于是 C ln y0
k y0
( y0 0)
生长方程描述树木某调查因子生长的 本质规律，是关于树木年龄t的确定性函数。
一、罗缉斯谛（Logistic）方程及拟合法
1、方程的导出
设y（t）为树木的生长方程，且令树木
单位时间的生长量（即生长速度）为 dy ，
相对生长速度（即生长率）为
1 y
dy dt
dt
由于树木在林地上的营养空间有限，树
木生长受到林木竞争的限制，且随树木调
优选第六章树木生长量
2020/9/24
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二、生长量的种类
1、总生长量
树木从种植开始，直至调查时（t），整个期间的累
积生长量。它是t的函数，记为 y t
2、定期生长量
树木在一定间隔期[t-n，t]内的生长量，记为 Zn。 Zn yt ytn
3、连年生长量
树木在单位时间的生长速度，即树木在一年间的生长
（3）曲线存在一个拐点
求y对t 的二阶导数方程
d2y dt 2
r 2 y(1
y )(1 k
2y) k
令
d2y 0 dt2
yk
1 y 0 k
则 1 2y 0
y k
k
2
这就是拐点的纵坐标
3、罗辑斯谛曲线拟合
所谓曲线拟合，即根据样本资料 (ti, yi )， i=1,2,…,n.对方程中参数r、m、k 进行抽样 估计，确定r、m、k 的值。
在树木中年阶段，生长旺盛； y
k
在树木近、成熟阶段，生长
y(t)
趋于停止。
上述特点，反映在总生长量 yt 与树木年龄t的关系，是一条被
拉常了的“s”型曲线。
0
t
第二节 树木生长方程 Equations of Tree Increment
树木总生长量yt 关于t的函数称为泛指 生长方程。这样的生长方程有无穷多条。 其原因是影响树木生长的因子太多。通常 生长方程研究的是树木的平均生长曲线。 即在均值意义上的生长方程，是唯一的。
指树木在[0，t]内的平均生长速度，即树木总生长量
y t 被t除之商，记为 。 yt / t
三、树木生长特点
树木生长是依靠细胞的增殖不断地扩大它的直径、 树高、材积等，由于细胞增殖的不可逆性，决定了树木 的生长是一各“纯生型” 的生长过程是一个“纯生型” 的生长过程。具有以下特点：
在树木幼年阶段，生长缓慢；
量，记为 Z 。
Z yt yt1
4、定期平均生长量
树木在一定间隔期[t-n，t]内的平均生长速度，即定
期生长量 Zn
被定期的年数n除之商。记为
n
yt
ytn n
n
生长比较缓慢的树种，相差一年的连年生长量一般不
易测准，故生产中常用定期（n=5或者10年）平均生长 量来代替连年生长量。
5、总平均生长量（简称为平均生长量）
代入通解
ln y rt ln y0
ky
k y0
移项：
ln
y ln
y0
rt
ky
k y0
k y0 y ert
y0
ky
令 k y0 m y0
则 m y ert ky
my ert (k y)
k ert
k
y m ert
1 mert
（2）
式（2）即为著名的罗辑斯谛方程。
2.罗辑斯谛方程的性质
（1）罗缉斯缔曲线有两条渐近线
Y=k
y=0
lim
k
t 1 me rt
0
lim k k
t 1 me rt
K 称为树木生长的极限值
y
k
········ · ·
t
（2） y 是关于t的单调增函数
由公式（1），树木生长速度为
dy yr (1 1 y)
dt
k
y k dy dt 0
即y 是关于t 的增函数
b S xy'
S
2 x
a y'b x
式中；
Sxy' 为协方差
S xy'
xi yi 'n x y' n 1
S
2 x
为x的方差
S
2 X
xi2
2
nx
n 1
回代即得出： m ea , r b
二、单分子生长式（Mitscherlich)
1.方程的导出 在树木生长过程中，假定在某一时刻（t+1）的大小 f（t+1）与其前一时刻的大小f（t）存在着下列关系：
f（t）满足（1）式，f（t）称为差分方程式（1）
f (t 1) rf(t) b
r〈1， b>0 （1）式称为线性一阶差分方程式。
（1）
以（1）式中的f（t）为x 轴，f（t+1）为y轴， 由此形成
[f（0）, f（1）],[f（1）, f（2）],···,[f（t）, f
（t+1）],···的散点图称为差分图
f (t 1)
f (t 1) f (t) 差分图一定在45 线的上面.
预先给定树木调查因子y 的最大值，赋值 于k。罗辑斯谛方程可化为 k 1 me rt
y
两边取对数则 ln( k 1) ln m rt y
b r
若令
y'
ln( k
1)
a ln m
y
X=t 则罗辑斯谛方程化为直线方程
y' a bx
根据样本统计资料
(xi
,
yLeabharlann Baidu
' i
)
，由最小二乘法即可求
出参数
查因子y（t）的增长而竞争加剧，使得该
树木的相对生长速度为y的递减函数。
假设 dy 1 为y 的线性递减函数，即令下式成 立： dt y
1 dy r r y
y dt
k
（1） 1 dy
r y dt
式中r、k 为大于零的常数。
r y
k
(1)式为著名的阻滞方程
y
（Wehuls-pearl），其中，kr y 是树木竞争 其相对生长速度的下降量。故称为“拥挤效