2003年高考数学(理科)真题及答案[全国卷I]

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）

数 学（理工农医类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合要求的 1．已知2(π

-

∈x ，0），5

4cos =x ，则2tg x = （ ） （A ）247 （B ）247- （C ）24 （D ）24

-

2．圆锥曲线θ

θρ2cos sin 8=的准线方程是 （ ） （A ）2cos -=θρ （B ）cos θρ2- 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(x

x f x 00>≤x x ，若（ ） （A ）（1-，1） （C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+∞+） 4．函数)cos (sin sin 2x x x y += （ ） （A ）21+ （B ）12-

5（0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得 （ ） （C ）12- （D ）12+

63R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）

（C ）238R π （D ）223R π

70)=n 的四个根组成一个首项为4

1的的等差数列，则

=-||n m （ ）

（A ）1 （B ）4

3 （C ）21 （D ）83

8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为3

2

-

，则此双曲线的方程是 （ ）

（A ）14

32

2=-y x （B ）

13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）1522

2=-y x 9．函数x x f sin )(=，]2

3,2[ππ∈x 的反函数=-)(1

x f （ ）

（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] （C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]

10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<

（ ） （A ）（3

1，1） （B ）（

31，32

11．=++++++++∞→)(lim 11413122

242322n

n

n C C C C n C C C C

）

（A ）3 （B ）3

1

12．一个四面体的所有棱长都为2 ） （A ）π3

（B ）π4 （C ）二.小题，每小题4分，共

16分。把答案填在题中横线上。

13．系数是

14

的取值范围是

15．现给地图

现有 16角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，

能得出⊥l 面MNP 的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）

① ② ③ ④ ⑤

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分） 已知复数z 的辐角为︒60，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项，求||z

18．（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱

21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G

（I ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） （II ）求点1A 到平面AED 的距离 19．（本小题满分12分） 已知0>c ，设

P ：函数x c y =在R 上单调递减 Q ：不等式1|2|>-+c x x

如果c 的取值范围 20． O （如图）的东偏南(θθP 处，并以

21．（本小题满分14分）

东O

已知常数0>a ，在矩形ABCD 中，4=AB ，a BC 4=，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且DA DC CD CF BC BE ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是

否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。 22．（本小题满分12分，附加题4 分）

（I ）设}{n a 是集合|22{t

s

+ t s <≤0且Z t s ∈,}中所有的数从小到大排列成的数列，即31=a ，52=a ，63=a ，94=a ，105=a ，126=a ，…

将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：

3

5 6

9 10 12 — — — —

…………

⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；

⑵求100a

（II ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）

设}{n b 是集合t s r t s r <<≤++0|222{，且},,Z t s r ∈中所有的数从小到大排列成的数列，已知1160=k b ，求k .

2003年普通高等学校招生全国统一考试

数 学(理工农医类)答案

一、选择题

1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题 13．2

21

-

14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答题：