简易多项式除法
多项式的除法原理(综合除法)
1 2 41 3 3 7＋＋＋＋ ＋＋多項式的除法原理(綜合除法)1.多項式的除法定理：設f (x)、g (x)是兩個多項式，且g (x)0≠，則恰有兩多項式q (x)及r(x)使得 f (x )q(x )g(x )r＝‧＋成立，其中r(x)0＝或r(x)<d eg g (x)deg 。
(1).f (x)稱為被除式，g (x)稱為除式，q (x)稱為商式，r(x)稱為餘式。
(2).被除式＝除式×商式＋餘式。
(3).簡式：A ＝BQ ＋R2.綜合除法：2x 2x 4＋＋除以x 1－得到商式為x 3＋，餘式為 7依照除法定理可表示成2x 2x 4＋＋＝(x 1－)(x 3＋)＋7綜合除法的作法：注意 ＋1 ＂變號＂（ｘ-1）餘式 其中1 ＋3 所代表的是商式x 3＋2＋1＝32ax b x c (x e)(f x g )＋＋＝－＋＝2f x (g ef )x eg ＋－－ (整除)依照比較係數法：2a f b g ef g b ae c eg c e(b ae)be ae ＝＝－＝＋＝－＝－＋＝－－⎧⎪⇒⎨⎪⇒⎩長除法表示：(已代換)222ax (b ae)x-e ax bx cax aex (b ae)x c(b ae)x-e(b ae)c be ae ＋＋＋＋－＋＋＋＋＋＋ 2a x bx c (x e )[a x (b a e )]＋＋＝－＋＋綜合除法表示：＋e餘式思考1：為何本來長除法中除式為(x －ｅ)，但是在綜合除法中卻變 (＋e)，請提出合理的解釋想法。
思考2：設多項式32f (x)x 3x 4x 1＝＋－＋，則(1)請利用綜合除法，以x-1除f(x)，商式為何？餘式為何？(2)設32f (x)a(x 1)b (x 1)c(x 1)d ＝－＋－＋－＋，則a 、b 、c 、d 為何？Hinet ：試利用多項式除法跟綜合除法兩種方法，並比較之。
2a b cae e(b ae)a (b ae) c be ae ＋＋＋＋＋＋＋＋。
多项式除以多项式公式
多项式除以多项式公式
多项式除法是将一个多项式除以另一个多项式，得到的结果为一个商多项式和一个余数多项式的过程。
多项式除法的公式如下：
(a x n + b x n-1+ ... + k) ÷ (m x n + n x n-1 + ... + p) = q x0 + r x-1 + ... + z
其中，a、b、k、m、n、p、q、r、z都是系数，x为变量，n为最高次幂。
具体的计算方法如下：
1. 将多项式除以x n的系数a，得到一个商q和一个余数r。
2. 将商q乘以多项式中的x n-1项，并将结果加上余数r，得到一个新的多项式。
3. 将新多项式中的x n-1项除以m，得到一个商和一个余数。
4. 重复步骤2和3，直到新多项式中的x的最高次幂小于n为止。
5. 最后得到的商即为多项式除法的商，余数为多项式除以除数后剩下的部分。
需要注意的是，在进行多项式除法时，需要确保除数不为零，否则将无法进行除法运算。
此外，多项式除法需要掌
握一定的数学知识，如代数式的运算、因式分解等。
多项式除法
多项式除法“多项式除法除法的一种类型，俗称「长除」。
适用于整式除法、小数除法、多项式除法（即因式分解）等较重视计算过程和商数的除法，过程中运用了乘法和减法。
是代数中的一种算法，用一个同次或低次的多项式去除另一个多项式。
是常见算数技巧长除法的一个推广版本。
它可以很容易地手算，因为它将一个相对复杂的除法问题分解成更小的一些问题。
”多项式除法的定义多项式除法是除法的一种类型，适用于整式除法、小数除法、多项式除法。
多项式除法是代数中的一种算法，用一个同次或低次的多项式去除另一个多项式。
把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐；用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来。
把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式=除式×商式+余式。
若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除。
扩展资料计算1、把被除式、除式按某个字母作降幂排列，缺项补零，写成以下形式：然后商和余数可以这样计算：2、用分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为x），得到首商，写在横线之上（x³÷x=x²）。
将分母乘以首商，乘积写在分子前两项之下（同类项对齐） x²×(x−3) =x³−3x²。
3、从分子的相应项中减去刚得到的乘积（消去相等项，把不相等的项结合起来），得到第一余式，写在下面。
然后，将分子的下一项“拿下来”。
4、把第一余式当作新的被除式，重复前三步，得到次商与第二余式（直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式=除式×商式+余式）。
5、重复第四步，得到三商与第三余式。
余式小于除式次数，运算结束。
如何进行多项式除以多项式的运算
如何进行多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例1 计算)4()209(2+÷++x x x规范解法∴ .5)4()209(2+=+÷++x x x x解法步骤说明：（1）先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式2092++x x 的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下面．（4）从2092++x x 减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42+后的一部分．（5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下面．（7）相减得差0，表示恰好能除尽．（8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ．规范解法∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数． 另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2．∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x 163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．8．什么是综合除法由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．如：计算)3()432(3-÷-+x x x ．因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）．还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式：将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1． 例1 用综合除法求12333234+-+-x x x x 除以1-x 的商式和余式．规范解法∴ 商式2223-+-=x x x ，余式＝10．例2 用综合除法证明910152235-+-x x x 能被3+x 整除．规范证法 这里)3(3--=+x x ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）因余数是0，所以910152235-+-x x x 能被3+x 整除．当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法．． 例3 求723-+x x 除以12+x 的商式和余数．规范解法 把12+x 除以2，化为21+x ，用综合除法．但是，商式2322+-≠x x ，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2倍，应当除以2才是所求的商式；余数没有变．∴ 商式43212+-=x x ，余数437-=． 为什么余数不变呢我们用下面的方法验证一下． 用723-+x x 除以21+x ，得商式2322+-x x ，余数为437-，即 ∴ 437232213223-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+x x x x x ()4374321122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x ． 即 323-+x x 除以12+x 的商式43212+-=x x ，余数仍为437-．。
多项式的除法原理(综合除法)与练习
1 2 41 3 3 7＋＋＋＋ ＋＋多項式的除法原理(綜合除法)1.多項式的除法定理：設f (x)、g (x)是兩個多項式，且g (x)0≠，則恰有兩多項式q (x)及r(x)使得 f (x)q(x)g(x)r (＝‧＋成立，其中r(x)0＝或r(x)<d eg g (x)deg 。
(1).f (x)稱為被除式，g (x)稱為除式，q (x)稱為商式，r(x)稱為餘式。
(2).被除式＝除式×商式＋餘式。
(3).簡式：A ＝BQ ＋R2.綜合除法：2x 2x 4＋＋除以x 1－得到商式為x 3＋，餘式為 7依照除法定理可表示成2x 2x 4＋＋＝(x 1－)(x 3＋)＋7綜合除法的作法：注意 ＋1 ＂變號＂（ｘ-1）餘式 其中1 ＋3 所代表的是商式x 3＋2＋1＝32ax b x c (x e)(f x g )＋＋＝－＋＝2f x (g ef )x eg ＋－－ (整除)依照比較係數法：2a f b g ef g b ae c eg c e(b ae)be ae ＝＝－＝＋＝－＝－＋＝－－⎧⎪⇒⎨⎪⇒⎩長除法表示：(已代換)222ax (b ae)x-e ax bx cax aex (b ae)x c(b ae)x-e(b ae)c be ae ＋＋＋＋－＋＋＋＋＋＋ 2a x bx c (x e )[a x (b a e )]＋＋＝－＋＋綜合除法表示：＋e餘式思考1：為何本來長除法中除式為(x －ｅ)，但是在綜合除法中卻變 (＋e)，請提出合理的解釋想法。
思考2：設多項式32f (x)x 3x 4x 1＝＋－＋，則 (1)請利用綜合除法，以x-1除f(x)，商式為何？餘式為何？(2)設32f (x)a(x 1)b (x 1)c(x 1)d ＝－＋－＋－＋，則a 、b 、c 、d 為何？ Hinet ：試利用多項式除法跟綜合除法兩種方法，並比較之。
2a b cae e(b ae)a (b ae) c be ae ＋＋＋＋＋＋＋＋[1] 試求以x – 1 除x 6 – 1 所得的商式及餘式.答案：1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 – 1所得的商式為x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1餘式為0[2] 試求以x – 2 除x 6 – 1 所得的商式及餘式.[3] 試求以x – 2 除x 6 – 1 所得的商式及餘式.[4] 試求以x + 1 除x 6 – 1 所得的商式及餘式.答案：1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 – 1所得的商式為x 5 – x 4 + x 3 – x 2 + x – 1 餘式為0[5] 試求以x + 2 除x 6 – 1 所得的商式及餘式.[6] 試求以x +3 除x 6 – 1 所得的商式及餘式.[7])4()431273234567-÷+-+x x x 的商式與餘式。
多项式除法
则同类项不能对齐。所以应该在缺项的地方补 0。
现在新的问题出来了，再用 除以 会得负指数，这是不行的，这时除法已经结束，我们仿照多位数除以
多位数把
叫做余式。
所以 说明：如果多项式除以多项式有除不尽的情况，那么写成被除式= 除式×商式+余式 余式的定义：当在做多项式除以多项式的除法时，如果新的被除式的最高次项小于除式的最高次项，则这个 新的被除式为余式。
【模拟试题】（答题时间：30 分钟）
1. 计算 ①
② 2. 计算 ①
② ③ 3. 计算 4. 已知多项式 5. 如果
能被 能被
整除且商式是
多项式的乘法和除法运算
多项式的乘法和除法运算在代数学中，多项式是由常数和变量以及它们的乘积和幂次组成的表达式。
多项式的乘法和除法运算是代数学中重要的基本操作之一，它们在数学和实际问题中都有广泛的应用。
本文将介绍多项式的乘法和除法运算方法及其相关概念。
一、多项式的乘法运算多项式的乘法运算是指对两个或多个多项式进行相乘的操作。
一般来说，多项式的乘法运算可以通过对每一项进行乘法运算，并将结果相加得到。
例如，我们考虑两个多项式的乘法运算：P(x) = a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + ... + aₙQ(x) = b₀xᵐ + b₁xᵐ⁻¹ + ... + bₙ其中，a₀、a₁、...、aₙ和b₀、b₁、...、bₙ是常数系数，x是变量，n和m是乘法项的幂次。
要进行多项式的乘法运算，我们可以按照下列步骤进行：1. 将P(x)和Q(x)中的每一项进行乘法运算：P(x) * Q(x) = (a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + ... + aₙ) * (b₀xᵐ + b₁xᵐ⁻¹ + ... + bₙ) = a₀b₀xⁿ⁺ᵐ + (a₀b₁ + a₁b₀)xⁿ⁺ᵐ⁻¹ + ...+ (a₀bₙ + a₁bₙ⁻¹ + ... + aₙb₀)xⁿ⁻¹ + (a₁bₙ⁻¹ + ... +aₙb₁)xⁿ + aₙbₙ2. 将乘法运算得到的每一项按照幂次的降序排列，得到最终结果。
需要注意的是，在乘法运算过程中，要注意对幂次相同的项进行合并，以简化最终结果。
例如，如果P(x)和Q(x)中有相同幂次的项，要将它们相加合并。
二、多项式的除法运算多项式的除法运算是指对两个多项式进行相除的操作。
一般来说，多项式的除法运算可以通过将被除式除以除式，从而得到商式和余式。
例如，我们考虑两个多项式的除法运算：P(x) = a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + ... + aₙQ(x) = b₀xᵐ + b₁xᵐ⁻¹ + ... + bₙ其中，a₀、a₁、...、aₙ和b₀、b₁、...、bₙ是常数系数，x是变量，n和m是除法项的幂次。
多项式除法
多项式除法多项式除法是指将一个多项式除以另一个多项式，从而得到商式和余式的过程。
本文将详细地介绍多项式除法的概念、方法和应用。
文章内容将会包括以下几个方面：1. 多项式的基本概念2. 多项式除法的基本原理3. 一次多项式除法的步骤和实例4. 高次多项式除法的步骤和实例5. 多项式除法的应用1. 多项式的基本概念多项式是指一个形如 $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ 的表达式，其中 $a_{n},a_{n-1},...,a_{1},a_{0}$ 都是实数常数，$x$ 是一个变量，$n$ 是一个非负整数。
例如，$3x^{5}+2x^{4}-5x^{2}+4$ 就是一个多项式。
多项式由项组成，项是由系数和变量的幂次组成的。
例如，$3x^{5}$ 和$-5x^{2}$ 就是多项式的两个项。
多项式的次数就是最高次项的指数。
例如，$3x^{5}+2x^{4}-5x^{2}+4$ 的次数就是 5。
2. 多项式除法的基本原理在多项式除法中，我们通常将被除式写在长除法的“被除数”位置上，将除数写在“除数”位置上，然后进行一步步的计算，得到商式和余式。
需要注意的是，如果除式和被除数两者的次数一样，那么进行除法的结果通常是一个常数项。
例如，$x^{2}+7$ 除以 $x^{2}+1$ 的结果为 $7$。
这种情况通常被称为“浅层除法”。
在深层多项式除法中，我们需要按照下面的步骤进行计算：1. 将除数和被除数按照次数从高到低排列，并在次数低于除数次数的项上添加 0。
2. 取被除数的最高次项除以除数的最高次项，得到商式的最高次项，将其写在商式的最高次项位置上。
3. 将被除数减去商式乘以除数得到一个新的多项式。
4. 重复步骤 2 和 3 直到新的多项式的次数小于除数的次数，此时新的多项式就是余式。
需要注意的是，如果除数的最高次系数为 1，那么步骤 2 中得到的商式的最高次项的系数就是被除数的最高次项的系数除以除数的最高次项的系数。
多项式除法
关于多项式除以多项式两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，我们来计算(7x＋2＋6x2)÷(2x＋1)，仿照672÷21，计算如下：∴(7x＋2＋6x2)÷(2x＋1)=3x＋2．由上面的计算可知计算步骤大体是，先用除式的第一项2x去除被除式的第一项6x2，得商式的第一项3x，然后用3x去乘除式，把积6x2＋3x写在被除式下面(同类项对齐)，从被除式中减去这个积，得4x＋2，再把4x＋2当作新的被除式，按照上面的方法继续计算，直到得出余式为止．上式的计算结果，余式等于0．如果一个多项式除以另一个多项式的余式为0，我们就说这个多项式能被另一个多项式整除，这时也可说除式能整除被除式．整式除法也有不能整除的情况．按照某个字母降幂排列的整式除法，当余式不是0而次数低于除式的次数时，除法计算就不能继续进行了，这说明除式不能整除被除式．例如，计算(9x2＋2x3＋5)÷(4x－3＋x2)．解：所以商式为2x＋1，余式为2x＋8．与数的带余除法类似，上面的计算结果有下面的关系：9x2＋2x3＋5＝(4x－3＋x2)(2x＋l)＋(2x＋8)．这里应当注意，按照x的降幂排列，如果被除式有缺项，一定要留出空位．当然，也可用补0的办法补足缺项．当除式、被除式都按降幂排列时，各项的位置就可以表示所含字母的次数．因此，计算时，只须写出系数，算出结果后，再把字母和相应的指数补上去．这种方法叫做分离系数法．按照分离系数法，上面例题的计算过程如下：于是得到商式=2x＋1，余式=2x＋8．对于多项式的乘法也可用分离系数法进行计算，例如，(2x3－5x－4)(3x2－7x＋8)按分离系数法计算如下：所以，(2x3－5x－4)(3x2－7x＋8)=6x5－14x4＋x3＋23x2－12x－32．如果你有兴趣，作为练习，可用上面的方法计算下面各题．1．(6x3＋x2－1)÷(2x－1)．2．(2x3＋3x－4)÷(x－3)．3．(x3－2x2－5)(x－2x2－1)．4．(x＋y)(x2－xy＋y2)．【本讲教育信息】一. 教学内容：单项式除以单项式、多项式除以单项式、多项式除以多项式二. 重点、难点整式的除法与我们以前所学的整式的加法、减法、乘法有很多不同，特别是多项式除以多项式，虽然是选学内容，但多项式除以多项式在解决代数式求值，及复杂的因式分解都有很大的用处。
多项式的除法和余式定理
多项式的除法和余式定理多项式的除法是数学中常见的运算之一，它可以用于求解多项式的商和余数。
除法运算在代数学、数值计算和离散数学等领域都有着广泛的应用。
本文将介绍多项式的除法运算规则和余式定理，并通过具体例子进行说明。
1. 多项式的除法运算规则对于两个多项式f(x)和g(x)来说，其中f(x)是被除式，g(x)是除式，假设g(x)≠0。
多项式的除法运算遵循以下规则：（1）将被除式和除式按照降幂排列。
（2）将两个多项式的首项对齐。
（3）用除式的首项除以被除式的首项，将得到的商作为商项。
（4）将商项乘以除式，得到中间结果。
（5）将中间结果和被除式相减，得到新的被除式。
（6）将上述过程重复，直到被除式的次数低于除式或者为零时为止。
下面通过一个具体的例子来说明多项式的除法运算规则。
例子：求解多项式f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4 除以 g(x) = x - 2。
首先按照降幂排列，将f(x)和g(x)写成:f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4g(x) = x - 2将f(x)和g(x)的首项对齐，得到:x^2--------------x - 2 | x^3 - 2x^2 + 3x - 4用除式的首项 x 除以被除式的首项 x^3，得到商项为 x^2。
将商项乘以除式 x - 2，得到中间结果为 x^3 - 2x^2。
将中间结果和被除式相减，得到新的被除式为 5x^2 + 3x - 4。
重复上述过程，继续求解新的被除式和除式的商项。
x--------------x - 2 | x^2 + 5x + 3用除式的首项 x 除以被除式的首项 x^2，得到商项为 x。
将商项乘以除式 x - 2，得到中间结果为 x^2 - 2x。
将中间结果和被除式相减，得到新的被除式为 7x + 3。
继续重复上述过程，求解新的被除式和除式的商项。
7--------------x - 2 | 7x + 3用除式的首项 x 除以被除式的首项 7x，得到商项为 7。
多项式的除法运算
多项式的除法运算多项式的除法是数学中一种常见的运算方法，用于将一个多项式除以另一个多项式，求出商和余数。
在多项式的除法运算过程中，需要注意一些基本的步骤和规则，以保证运算的准确性和高效性。
一、多项式的基本概念在介绍多项式的除法之前，首先需要了解多项式的基本概念。
多项式是由若干项的代数和组成，每一项由系数与自变量的幂次组成。
例如，多项式p(x)可以表示为：p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0其中，a_n、a_{n-1}、...、a_1、a_0为多项式的系数，n为多项式的次数，x为自变量。
二、多项式除法的步骤多项式的除法运算可以分为以下几个基本步骤：1. 将除式和被除式按照相同幂次排列，确保高次项在前。
2. 将除式的最高次项除以被除式的最高次项，得到商的最高次项。
3. 用商的最高次项乘以被除式，再将结果减去除式，得到一个新的多项式。
4. 将所得的多项式进行下一轮除法运算，重复以上步骤，直到无法再进行除法运算为止。
5. 当无法再进行除法运算时，所得的最后一个多项式就是所求得的余数。
三、多项式除法的示例例如，我们要计算多项式p(x)除以多项式q(x)的运算，其中p(x)和q(x)分别为：p(x) = 2x^3 + 3x^2 - 5x + 2q(x) = x - 1按照上述步骤进行多项式除法运算：1. 检查多项式p(x)和q(x)的次数，确保高次项在前：p(x) = 2x^3 + 3x^2 - 5x + 2q(x) = x - 12. 将除式的最高次项除以被除式的最高次项，得到商的最高次项：2x^3 / (x - 1) = 2x^23. 用商的最高次项乘以被除式，再将结果减去除式，得到一个新的多项式：(2x^2)(x - 1) = 2x^3 - 2x^2(2x^3 + 3x^2 - 5x + 2) - (2x^3 - 2x^2) = 5x^2 - 5x + 24. 将所得的新多项式进行下一轮除法运算，重复以上步骤：5x^2 / (x - 1) = 5x(5x)(x - 1) = 5x^2 - 5x(5x^2 - 5x + 2) - (5x^2 - 5x) = 25. 当无法再进行除法运算时，所得的最后一个多项式就是所求得的余数：余数为2四、多项式除法的规则在进行多项式除法运算时，还需要注意以下几个基本规则：1. 除式不能为零。
多项式除法
多项式除法(温馨提示：本文应用LATEX语法输入代码，来显示数学公式，若公式显示不全，请轻轻向左滑动公式查看完整题干或过程)一、多项式除法概述多项式除法（长除）是指除法的一种类型。
适用于整式除法、小数除法、多项式除法（即因式分解）等较重视计算过程和商数的除法，过程中兼用了乘法和减法。
是代数中的一种算法，用一个同次或低次的多项式去除另一个多项式。
是常见算数技巧长除法的一个推广版本。
它可以很容易地手算，因为它将一个相对复杂的除法问题分解成更小的一些问题。
二、多项式除法详细步骤举例：第一步：列竖式。
第二步：分子的最高次幂项除以分母的最高次幂项，所得结果写在竖式顶部。
将顶部的结果乘以分母，所得结果写在底部。
第三步：上式减下式,所得结果写在第二层上侧。
第四步：用第二层上侧式子的最高次幂项除以分母中的最高次幂项,得到的结果写在竖式上方。
用该次运算得到的结果乘以分母，得到的结果放在第二层下侧。
第五步：第二层上侧式子减去下侧式子，得到第三层上侧式子。
第六步：第三层上式的最高次幂项除以分母的最高次幂项，得到的结果置于竖式顶部，并用此次得到的结果乘以分母，得到的结果为第三层下侧式子。
第七步：第三层上侧式子减去下侧式子，得到第四层上侧式子（即余式），此时发现余式为11，其最高次幂项已小于分母的最高次幂项。
则可以写出结果。
第八步：写出结果，多项式部分为竖式顶部的多项式，真分式部分为竖式余式除以原分式的分母。
即：【注】其他假分式的分解流程大致相同。
但是，真分式（分子＜分母）不可采用此流程分解，而是采用“待定系数法”去进行分解。
多项式除以多项式的计算方法
多项式除以多项式的计算方法
1. 嘿，多项式除以多项式，其实就像分苹果一样简单啦！比如说，
(x²+3x+2)÷(x+1)，把“苹果”(x²+3x+2)按照(x+1)这个方式去分呀。
2. 哇哦，你看，在多项式除以多项式中，我们要找到合适的方法，就像给汽车找对钥匙一样关键呢！像(2x²+5x-3)÷(x+3)，咱得一步步来呀。
3. 嘿呀，多项式除以多项式可有趣啦！就好像拼图，要把合适的部分拼到一起，比如(3x²+4x+1)÷(x+2)，得细心地拼哦。
4. 哎呀，你想想，多项式除以多项式其实没那么难呀，这就好比走路一样自然，像(x³-2x-3)÷(x-3)，一步步稳稳地走。
5. 哇，这多项式除以多项式呀，其实就像搭积木一样，要一层一层稳稳地搭，就说(4x³+6x²-2x)÷(2x+1)吧。
6. 嘿，搞懂多项式除以多项式，就像是开锁一样，找到对的方法就开啦！像(5x³-7x²+2x-1)÷(x-1)呢。
7. 哇塞，多项式除以多项式，可真是个有意思的事儿呀，好比玩游戏要闯关，比如(6x⁴-3x³+x²-2x+1)÷(2x-1)。
8. 嘿，多项式除以多项式不难吧？真的就和做一道道有趣的数学题一样呀！就像(3x³-2x²+x)÷(x-1)。
我的观点结论：多项式除以多项式，只要掌握方法，多练习，一点都不可怕，还很有趣呢！。
多项式除法
34 22-3 多項式除法PART I ：主題探索區範例1：單項式除以單項式○1 x 3 ÷x 2 x x=x 2○2−4x 4 ÷ 3x = −4x3x= −4x 33範例2：多項式除以單項式化簡下列各式○1 −18x+ 16x=4x○2(27 x3 −2)÷=A n s：○1−9 x + 42○2 9x2 −4範例 3：求5x2 −15x + 50除以5x 的商式與餘式解：A n s：商式:x −3 餘式:50 除式缺常數項要補0學習概念1、多項式除法要特別注意 ○1 降冪排列 ○2 缺項補 0(包含缺常數項) 2、建議以分離係數法解題練習 3： 求 6x 2 − 18x − 13 除以 3x 的商式與餘式範例 4： 求下列多項式除法的商式與餘式(6x 2 −+ 7) ÷(2− 3)解：（分離係數法）A n s ：商式: 3x + 4 餘式:19練習4：(2x 2 −−3) ÷ (2−3)商式：餘式：學習概念1、多項式除法中，商式與餘式的係數可能為分數。
2、若餘式=0，則稱為整除。
(6x 2 + 4 + 7) ÷ (2 + 3)商式：3x −52餘式：292練習5-1：(9 x2 + 5 + 7) ÷ (3 −2)(5x 2 −6−4) ÷ (5+ 1) 商式：餘式：商式：餘式：學習概念多項式除法中，有缺項記得要補0。
範例6：(4 x2 −3) ÷ (2 x−1) 被除式缺一次項解：A n s：商式:2x+1餘式:−2練習6-1：解：3 + 2 15(15x 2 + 44 0) ÷ (3 + 2)被除式缺常數項(7 x2 −3) ÷ (3x + 1)商式：餘式：解：3 +1 7 + 0 −3被除式缺一次項商式：餘式：◎正整數與多項式除法比較表範例 7：一個多項式除以此多項式為何？2x+ 3 得到商式5x −1，餘式為7，試求解：此多項式=(2x+ 3 )(5x −1)+7=10x2 +13x −3 + 7=10x2 +13x + 4先判別所求為被除式再利用A = BQ + RA n s：10x2 +13x + 4練習 7：一個多項式除以此多項式為何？5x −7 得到商式4x + 9 ，餘式為-9，試求解：2 2 範例 8： 若A 為一多項式，且2 x − 15x + 7= x − 6 +− 11 ，求多項式 AAA為何？解： A = [2 x 2 − 15 + 7 − (− 11)]÷ (− 6)= [2 x 2 − 15= 2 x − 3+ 18]÷(− 6) 先判別所求為除式再利用除式 = (被除式 － 餘式) ÷ 商式A n s ： 2 x − 3練習 8：若 B 為一多項式且 3x + 11x + 8= B + x + 2− 2 x + 2 ，求多項式 B 為何？提示：商式=(被除式-餘式) ÷ 除式PART 2：學習檢測站1、求(4 x2 −2+ 6) ÷ (2 + 1) 的商式=餘式=2、求(−8x 2 + 10−5) ÷ (−4+ 3) 的商式=餘式=3、求(6x 2 −6+ 8) ÷ (2 −3) 的商式=餘式=4、求(4x 2 + 1) ÷ (2x −1) 的商式=餘式=5、求(−7 x2 −9x −5) ÷ (7 x) 的商式=餘式=PART 3：進階挑戰題1 右邊是多項式除法的計算過程，並以a, b,c,d 表示係數，求a + b + c + d =2 求[(3x 2 −4x + 9) −(−x2 + 3x −6)] ÷ (x −1) 的餘式3.將多項式A = (x+ 4)(x−7) 減去某數後會變成x −9 的倍數，求某數是下列何數？(A)-12(B)26(C)-10(D)-14.將B = (3x +1)(x−5) 減去ax 後，就變成3x −5的倍數，則a 可能為下列何數？(A)-6(B)12(C)-12(D)6PART I V ：資源補給庫小明作多項式除法 (2x 2 + 3 + 1) ÷ (4 − 1)，以分離係數法求商式及餘式，作法如右：小明怕算錯，以 (2 + 3 + 1) = (4 − 1) × ( 17 ) 15 作驗算，請 + 問下列敘述何者正確？2 8 8 (A ) 此驗算方法正確，若 被除數 ≠ 除數 × 商 + 餘數，則保證算錯了 (B ) 此驗算方法錯誤，因為 被除數 = 除數 × 商 + 餘數 只適用於正整數(C ) 此驗算方法一定能保證你算對(D ) 小明作分離係數法過程錯誤，所以就算驗算方法正確也沒有用正確答案（Ａ）多項式除法對習慣於正整數除法的學生而言，一開始很難接受。
多项式 长除法
多项式长除法多项式的长除法是高中数学中比较重要的一部分，也是学习多项式运算的基础之一。
多项式的长除法是指用一多项式去除另一多项式时得到商式和余式的过程。
下面我们来简单介绍一下多项式的长除法的步骤和方法。
多项式的长除法步骤：1.将被除式按照幂次从高到低排列，如果某一项系数缺失，要补0。
2.将除式按照幂次从高到低排列。
3.用被除式的第一项去除除式的第一项，得到商式的第一项。
即：用被除式的第一项除以除式的第一项，除数不为0，则此项为商式的第一项，否则商式第一项为0。
4.用商式的第一项乘以除式中的每一项，并从被除式的第二项开始分别减去结果。
得到的差即为余式。
5.把得出的商式和余式写在一起，如果余式的次数小于除式的次数，则已经得出了最终的答案，否则要将余式当作被除式，以此类推，直到余式的次数小于除式的次数。
多项式的长除法举例：例如，要计算多项式f(x)=x^3+2x^2-x-2 除以g(x)=x-1。
第一步，将被除式和除式按幂次从高到低排列：x^3 + 2x^2 - x -2÷ x -1第二步，用被除式的第一项除以除式的第一项，得到商的第一项：(x^3 + 2x^2 - x - 2) ÷ (x - 1) = x^2第三步，用商的第一项乘以除式中的每一项，并从被除式的第二项开始分别减去结果，得到差即为余式：2x^2 2x+1-----------------x-1 | x^3 + 2x^2 - x - 2-x^3 + x^2----------x^2 - xx^2 - x--------第四步，把得出的商式和余式写在一起，得到答案：x^3 + 2x^2 - x - 2 = (x^2 + x) (x - 1) + 0所以，多项式f(x)除以g(x)的商为x^2+x，余数为0。
总结：多项式的长除法是一种有效的计算多项式除法的方法。
熟练掌握多项式的长除法可以帮助我们更好地理解和运用多项式的相关知识，也是数学竞赛中必备的基础技能。
多项式乘除运算的简捷计算方法
多项式乘除运算的简捷计算方法
多项式乘除运算是数学中常见的运算，学生在多项式的计算中，需要大量的用时才能做出结果，使得多项式乘除运算变得繁琐而费时费力。
为了让学生们更加方便地进行这类计算，有着两种简捷计算方法，分别是叠加法和乘法法。
首先，叠加法是最常用的简捷计算方法之一，也是最具有历史性的方法。
这种方法首先是
把原式的次数进行索引，把相同次数的项叠加，形成新的式子。
对于多项式的乘法，可以
把每一项乘以另一多项式的各项，完成叠加，得到最后的结果。
其次，以乘法法为代表的简捷计算方法，是最新的数学技术之一，是一种更为直观的方法，其特别之处在于完全可以不需要把原式进行索引，而且也不再需要叠加，只需要把各项分别相乘，就能很快算出相乘结果。
也就是说，使用乘法法进行计算，非常快捷、有效，尤其是它可以节省学生们大量的时间，减轻学习压力。
当然，这也必须要看学生们多大的数学基础，以及学生们多项式乘、除法
运算中常见技巧的掌握。
总的来说，叠加法和乘法法在计算多项式的乘除法时，相对节约时间和精力，更加简便。
但是学生在使用这种计算方法时，还要多加练习，增强学生的计算能力，从而用更简便的
方法，进行精确的计算。
多项式除法
多项式除法34 22-3 多項式除法PART I ：主題探索區範例1：單項式除以單項式1 x 3 ÷x2 xx=x 22−4x 4 ÷ 3x = −4x3x= −4x 33範例2：多項式除以單項式化簡下列各式1 −18x+ 16x=4x2(27 x3 − 2)÷ =A n 1−9x + 422 9x2 −4範例3：求5x2 −15x +50除以5x 的商式與餘式解：A n s：商式:x −3 餘式:50除式缺常數項要補0學習概念1、多項式除法要特別注意 1降冪排列 2 缺項補 0(包含缺常數項) 2、建議以分離係數法解題練習 3： 求 6x 2 − 18x − 13 除以 3x 的商式與餘式範例 4： 求下列多項式除法的商式與餘式(6x 2 −+ 7) ÷ (2− 3)解：（分離係數法）A n s ：商式: 3x + 4 餘式:19練習4：(2x 2−−3) ÷ (2−3)商式：餘式：學習概念1、多項式除法中，商式與餘式的係數可能為分數。
2、若餘式=0，則稱為整除。
範例5：(6x 2 +4+ 7) ÷ (2 + 3)商式：3x −52餘式：292練習5-1：(9 x2 +5+ 7) ÷ (3 −2)練習5-2：(5x 2 −6−4) ÷ (5+ 1)商式：餘式：商式：餘式：學習概念多項式除法中，有缺項記得要補0。
範例6：(4 x2 −3) ÷ (2 x−1)被除式缺一次項解：A n s：商式:2x+1餘式:−2練習6-1：解：3 + 2 15(15x 2 +44 0) ÷ (3 + 2)被除式缺常數項練習6-2：(7 x2 −3) ÷ (3x +1)商式：餘式：解：3 +1 7 + 0 −3被除式缺一次項商式：餘式：◎正整數與多項式除法比較表正整數除法多項式除法13 ÷ 4 = 3KK 1(2x 2 − x + 7) ÷ ( + 2) = 2 −5KK 1713 = 3 + 1 = 3 14 4 42 x 2 − x + 7 17= 2 x − 5 +x + 2 x + 2被除數=商 × 除數+餘數 13 = 3 × 4+ 1被除式=商式 × 除式+餘式(2x 2 − x + 7) = (2 − 5)( + 2) + 17簡記： A = BQ + RA ：被除式B ：除式o rA = Q + R Q ：商式R ：餘式B B範例 7： 一個多項式除以 此多項式為何？2 x +3 得到商式 5x − 1 ，餘式為 7，試求解： 此多項式=( 2 x + 3 )( 5x − 1 )+7=10x 2 + 13x − 3 + 7 =10x 2 + 13x + 4先判別所求為被除式再利用 A = BQ + RA n s ：10 x 2 + 13x + 4練習 7： 一個多項式除以 此多項式為何？ 5x − 7 得到商式 4x + 9 ，餘式為 -9，試求解：2 2範例 8：若A 為一多項式，且2 x− 15x + 7= x − 6 +− 11 ，求多項式 AAA為何？解： A = [2 x 2 − 15 + 7 − (− 11)]÷ (− 6)= [2 x 2− 15= 2 x − 3+ 18]÷ (− 6)先判別所求為除式再利用除式 = (被除式 － 餘式) ÷ 商式A n s ： 2 x − 3練習 8：若 B 為一多項式且 3x+ 11x + 8 = B + x + 2 − 2 x + 2，求多項式 B 為何？提示：商式=(被除式-餘式) ÷ 除式PART 2：學習檢測站1、求(4 x2 −+ 6) ÷ (2 + 1) 的商式=餘式= 22、求(−8x 2 + 10−5) ÷ (−4+ 3) 的商式=餘式=3、求(6x 2 −+ 8) ÷ (2 −3) 的商式=餘式= 64、求(4x 2 + 1) ÷ (2x −1) 的商式=餘式=5、求(−7 x2 −9x −5) ÷ (7 x) 的商式=餘式=PART 3：進階挑戰題1 右邊是多項式除法的計算過程，並以a, b,c,d 表示係數，求a + b + c + d =2 求[(3x 2 −4x + 9) −(−x2 +3x−6)] ÷ (x −1) 的餘式3.將多項式A = (x+ 4)(x−7) 減去某數後會變成x −9 的倍數，求某數是下列何數？(A)-12(B)26(C)-10(D)-14.將B = (3x +1)(x−5) 減去ax 後，就變成3x −5的倍數，則a 可能為下列何數？(A)-6(B)12(C)-12(D)6PART I V ：資源補給庫中學生多項式除法的驗算方法小明作多項式除法 (2x 2 + 3 + 1) ÷ (4 − 1)，以分離係數法求商式及餘式，作法如右：小明怕算錯，以 (2 + 3 + 1) = (4 − 1) × ( 1 7 ) 15 作驗算，請 +問下列敘述何者正確？2 8 8 (A ) 此驗算方法正確，若 被除數 ≠ 除數 × 商 + 餘數，則保證算錯了(B ) 此驗算方法錯誤，因為 被除數 = 除數 × 商 + 餘數 只適用於正整數 (C ) 此驗算方法一定能保證你算對 (D ) 小明作分離係數法過程錯誤，所以就算驗算方法正確也沒有用正確答案（Ａ）多項式除法對習慣於正整數除法的學生而言，一開始很難接受。
多项式短除法
多项式短除法是指用于求解多项式的一种除法方法。
它的基本思路是通过多项式插值法，构造出一个低阶多项式$Q(x)$，使得$Q(x)$能够较好地拟合待求解多项式$P(x)$，然后利用$Q(x)$来近似求解$P(x)$。
多项式短除法的基本步骤如下：
•确定待求解的多项式$P(x)$和拟合多项式的低阶$Q(x)$。
•求解$Q(x)$的系数，使得$Q(x)$能够较好地拟合$P(x)$。
•计算$R(x)=P(x)-Q(x)$，其中$R(x)$是多项式$P(x)$和$Q(x)$的差。
•判断$R(x)$是否满足终止条件，如果满足则终止，否则计算$R(x)$的低阶多项式$S(x)$，并将$S(x)$代入$Q(x)$，得到新的多项式$T(x)=Q(x)+S(x)$。
•使用新的多项式$T(x)$代替$Q(x)$，回到步骤2，继续求解。
多项式短除法是一种高效的多项式求解方法，可以用来计续求解多项式的值、求解多项式的零点、求解多项式的单位根等问题。
它的优点在于能够快速求解多项式，并且在求解过程中可以控制精度。
多项式短除法的应用领域很广，广泛应用于数值计算、计算机科学、工程技术等领域。
它是一种重要的多项式求解工具，在多项式计算中有着广泛的应用。
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多项式的除法
很多同学可能在烦恼，三次（或者更高次）的多项式如何进行因式分解呢？首先我们需要明白的是，高中数学（直接说高考好了）是不可能考不被整除的多项式的，多说无益，让我们来看几个例子。
x³-x-1是不可以因式分解的，如果做出这类不能分解的答案需要检查一下前面的答题是否有误
而2x³-x-1我们可以分解为﹙x-1﹚﹙2x²+2x+1﹚
同学又问了，这是怎么做出来的呢？
首先，我们需要试根，
即猜测x为多少时2x³-x-1=0 成立﹙一般而言无非是x=-3，-2，-1，0，1,2,3﹚同学们可以目测出它的根，这里提醒，能目测的尽量目测，提高心算能力﹚。
对于此题，我们易知x=1是其一根。
一般的，对于高次方程，它的最高次是多少次，此方程就最多有多少个根，在这里不做解释了，因为方程可以有重根或者虚根，其实想想，这也是我们能够进行因式分解的本质。
下面介绍多项式的除法，其本质与小学所学的除法一致
我们既然已经知道了x=1是它的根，则﹙x-1﹚必为其一因式
这样，我们就完成了。
下面做个练习，其实这个东西掌握了纲领只需要一个例子就可以记住它，因为我们从小学就开始接触除法，而且这种方法很简单易懂。
老师上课一般讲凑配法，这里我不多说了，因为那种方法对于高次及因式非常多的不适用，太麻烦了。
练习：解不等式 x^5-2x^4+2＞x
点拨：易知x＝±1是x^5-2x^4+2-x=0的两根，则﹙x²﹣1﹚是其因式。
答案：-1＜x＜1或x＞2。