八年级数学角平分线的
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13.5.3 角平分线
大家好
? 学习目标： ? 1.初步掌握角平分线定理及其逆定
理，会运用角平分线的性质定理及 逆定理解决实际问题。 ? 2.掌握三角形三条角平分线的性质， 会用这个解决一些简单的实际问题。
大家好
活 动 1 探究角平分线的性质
动手实践：将∠AOB 对折，再折出一个直角 三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观 察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
猜想: 角的平分线上的点到角的两边的距 离相等 .
大家好
活 动 2 证明角平分线的性质
已知：如图， OC平分∠AOB，点 P在OC
上，PD⊥OA于点 D，PE⊥OB于点 E A 求证: PD=PE
D
Baidu Nhomakorabea
证明：∵OC平分∠ AOB （已知）
C
1
P
2
O
EB
∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知） ∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义）
PD=PE
PD=PE PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于E
OP平分∠AOB
大家好
谢谢合作！
大家好
谢谢
大家好
大家好
∵ ∠1= ∠2, PD ⊥ OA， PE ⊥ OB（已知） ∴PD=PE （角平分线
上的点到角两边的距离
相等）
活动 3
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，
点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证明: 经过点Q作射线OC ∵ QD⊥OA，QE⊥OB
∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°
C
在Rt △QDO 和Rt △QEO 中 QO＝QO
Q
QD=QE
∠QDO＝∠QEO＝90°
∴ Rt△QDO ≌Rt△QEO（HL）
∴ ∠ QOD＝∠QOE
∴点Q在∠AOB的平大分家好线OC上
大家好
7
活动 4 已知：如图，△ ABC 的角平分线 BE、CF相交于点 O. 求证：点 O在∠BCA 的平分线上 .
在△PDO和△PEO中
∠PDO= ∠PEO（已证）
∠1= ∠2 （已证）
验证猜想
OP=OP （公共边） ∴ △PDO ≌ △PEO（AAS ）
∴P大D家好=PE（全等三角形的对应边相等）
得到角平 分线的性 质：
角平分线上 的点到角两 边的距离相
等。
利用此性质
怎样书写推理过 程?
A
D
1
C P
2
O
EB
证明：过点 O作OI、OG 、OH分别垂直于 AB、BC、CA，垂足为 I、G、H. ∵BE平分∠ABC ，OG ⊥BC,OI ⊥AB（已知） A
∴OG=OI （角平分线上的点到角
的两边的距离相等）
同理 OI=OH.
∴ OG=OH
B
即点O在∠BCA 的平分线上 .
I F
E
OH
DG
C
大家好
C
C
P
P
OP平分∠AOB PD⊥OA 于D PE⊥OB 于E
大家好
? 学习目标： ? 1.初步掌握角平分线定理及其逆定
理，会运用角平分线的性质定理及 逆定理解决实际问题。 ? 2.掌握三角形三条角平分线的性质， 会用这个解决一些简单的实际问题。
大家好
活 动 1 探究角平分线的性质
动手实践：将∠AOB 对折，再折出一个直角 三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观 察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
猜想: 角的平分线上的点到角的两边的距 离相等 .
大家好
活 动 2 证明角平分线的性质
已知：如图， OC平分∠AOB，点 P在OC
上，PD⊥OA于点 D，PE⊥OB于点 E A 求证: PD=PE
D
Baidu Nhomakorabea
证明：∵OC平分∠ AOB （已知）
C
1
P
2
O
EB
∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知） ∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义）
PD=PE
PD=PE PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于E
OP平分∠AOB
大家好
谢谢合作！
大家好
谢谢
大家好
大家好
∵ ∠1= ∠2, PD ⊥ OA， PE ⊥ OB（已知） ∴PD=PE （角平分线
上的点到角两边的距离
相等）
活动 3
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，
点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证明: 经过点Q作射线OC ∵ QD⊥OA，QE⊥OB
∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°
C
在Rt △QDO 和Rt △QEO 中 QO＝QO
Q
QD=QE
∠QDO＝∠QEO＝90°
∴ Rt△QDO ≌Rt△QEO（HL）
∴ ∠ QOD＝∠QOE
∴点Q在∠AOB的平大分家好线OC上
大家好
7
活动 4 已知：如图，△ ABC 的角平分线 BE、CF相交于点 O. 求证：点 O在∠BCA 的平分线上 .
在△PDO和△PEO中
∠PDO= ∠PEO（已证）
∠1= ∠2 （已证）
验证猜想
OP=OP （公共边） ∴ △PDO ≌ △PEO（AAS ）
∴P大D家好=PE（全等三角形的对应边相等）
得到角平 分线的性 质：
角平分线上 的点到角两 边的距离相
等。
利用此性质
怎样书写推理过 程?
A
D
1
C P
2
O
EB
证明：过点 O作OI、OG 、OH分别垂直于 AB、BC、CA，垂足为 I、G、H. ∵BE平分∠ABC ，OG ⊥BC,OI ⊥AB（已知） A
∴OG=OI （角平分线上的点到角
的两边的距离相等）
同理 OI=OH.
∴ OG=OH
B
即点O在∠BCA 的平分线上 .
I F
E
OH
DG
C
大家好
C
C
P
P
OP平分∠AOB PD⊥OA 于D PE⊥OB 于E