高中数学课件《生活中的优化问题》(1课时)
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高中数学人教A选修生活中的优化问题举例PPT课件
第一章 1.4 生活中的优化问题举例
第1页/共40页
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
课时作业
第2页/共40页
自主预习学案
第3页/共40页
• 能利用导数知识解决实际生活中的利润最大、效率最高、用料最省等最优化问题． 第4页/共40页
• 重点：利用导数知识解决实际中的最优化问题． • 难点：将实际问题转化为数学问题，建立函数模型．
A．13 万件
B．11 万件
C．9 万件 [答案] C
D．7 万件
第8页/共40页
[解析] ∵y＝－13x3＋81x－234， ∴y′＝－x2＋81(x>0)． 令y′＝0得x＝9，令y′<0得x>9，令y′>0得0<x<9， ∴函数在(0,9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减， ∴当x＝9时，函数取得最大值．故选C. [点评] 利用导数求函数最值时，令y′＝0得到x的值，此 x的值不一定是极大(小)值时，还要判定x值左、右两边的导数 的符号才能确定．
第15页/共40页
[解析] 设截下的小正方形边长为x，容器容积为V(x)，则 做成的长方体形无盖容器底面边长为a－2x，高为x，
V(x)＝(a－2x)2x,0<x<a2. 即V(x)＝4x3－4ax2＋a2x,0<x<a2. 实际问题归结为求V(x)在区间 0，a2 上的最大值点．为 此，先求V(x)的极值点．在开区间0，a2内， V′(x)＝12x2－8ax＋a2.
6πS 3π
[分析] 将容积V表示为高h或底半径r的函数，运用导数
求最值．由于表面积S＝2πr2＋2πrh，此式较易解出h，故将V
的表达式中h消去可得V是r的函数．
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1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
课时作业
第2页/共40页
自主预习学案
第3页/共40页
• 能利用导数知识解决实际生活中的利润最大、效率最高、用料最省等最优化问题． 第4页/共40页
• 重点：利用导数知识解决实际中的最优化问题． • 难点：将实际问题转化为数学问题，建立函数模型．
A．13 万件
B．11 万件
C．9 万件 [答案] C
D．7 万件
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[解析] ∵y＝－13x3＋81x－234， ∴y′＝－x2＋81(x>0)． 令y′＝0得x＝9，令y′<0得x>9，令y′>0得0<x<9， ∴函数在(0,9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减， ∴当x＝9时，函数取得最大值．故选C. [点评] 利用导数求函数最值时，令y′＝0得到x的值，此 x的值不一定是极大(小)值时，还要判定x值左、右两边的导数 的符号才能确定．
第15页/共40页
[解析] 设截下的小正方形边长为x，容器容积为V(x)，则 做成的长方体形无盖容器底面边长为a－2x，高为x，
V(x)＝(a－2x)2x,0<x<a2. 即V(x)＝4x3－4ax2＋a2x,0<x<a2. 实际问题归结为求V(x)在区间 0，a2 上的最大值点．为 此，先求V(x)的极值点．在开区间0，a2内， V′(x)＝12x2－8ax＋a2.
6πS 3π
[分析] 将容积V表示为高h或底半径r的函数，运用导数
求最值．由于表面积S＝2πr2＋2πrh，此式较易解出h，故将V
的表达式中h消去可得V是r的函数．
《 生活中的优化问题》课件 (1)
通过大量的统计数据 , 并 15 对数据进行分析、研究 , 10 人们发现 ， 汽车在行驶 5 过程中 ， 汽油平均消耗 v km / h 率g(即每小时的汽油消 30 50 60 90 120 o 耗量, 单位 ：L / h)与汽车 图1.4 1 行驶的平均速度 v(单位 : km / h)之间有如图 1.4 1 所示的函数关系 g f v .
例2
磁盘的最大存储量问题
1你知道计算机是如何存 储、检索信息的吗 ? 2你知道磁盘的结构吗 ? 3 如何使一个圆环状的磁 盘存储尽可能多的
信息 ?
背景知识 计算机把信息存储在磁 盘上.磁盘是带 有磁性介质的圆盘 ,并由操作系统将其格式 化成磁 道和扇区 .磁道是指不同半径所构 成的同心圆轨道 , 扇区是指被圆心角分割 成扇形 R 区域.磁道上的定长的弧可作 为 r 基本存储单元 , 根据其磁化与否 可分别记录数据 0 或1, 这个基本 单元通常称为比特 bit .磁盘的 图1.4 3 构造如图 1.4 3所示. 为了保障磁盘的分辩率 , 磁道之间的宽度必须大于 m, 每比特所占用的磁道长度不得小于 n .为了数据 检索的方便, 磁盘格式化时要求要求所有磁道具有 相同的比特数.
即半径越大 ,利润越高 ;半径r 2时, f ' r 0,它表 示f r 单调递减 ,即半径越大 ,利润越低 . ①半径为2cm时, 利润最小 , 这时 f 2 0, 表示此种 瓶内饮料的利润还不够 瓶子成本 ,此时利润是负值 .
② 半径为6cm时,利润最大 .
当r 0,2时, f ' r 0;当r 2,6时, f ' r 0. ' 因此,当半径 r 2时, f r 0,它表示 f r 单调递增 ,
1.4生活中的优化问题举例课件人教新课标
2.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤是什么? 剖析:利用导数解决生活中优化问题的一般步骤如下:
重难聚焦
名师点拨1.在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的 意义,不符合实际意义的值应舍去. 2.在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'(x)=0的 情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知 道这就是最大(小)值. 3.在解决实际优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用 函数关系表示,还应确定出函数关系中自变量的定义区间.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
利润最大问题 【例3】 某分公司经销某品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每 件产品需向总公司交a(3≤a≤5)元的管理费,估计当每件产品的售 价为x(9≤x≤11)元时,一年的销售量为(12-x)2万件. (1)求分公司一年的利润L(单位:万元)与每件产品的售价x的函数关 系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大?并求出 L的最大值Q(a). 分析:(1)利用题中等量关系找出L与x的函数关系式;(2)求出(1)中函 数关系式的导函数,再利用导数求最值.
当x=140时,y=175,即当x=140,y=175时,S取得最小值24 500. 故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使矩形广告的面积最小.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)隔热层厚度为 x cm,
由题意知每年能源消耗费用为 C(x)= 3xk+5, 再由 C(0)=8,得 k=40,因此 C(x)= 3x4+05. 而建造费用为 C1(x)=6x.
重难聚焦
名师点拨1.在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的 意义,不符合实际意义的值应舍去. 2.在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'(x)=0的 情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知 道这就是最大(小)值. 3.在解决实际优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用 函数关系表示,还应确定出函数关系中自变量的定义区间.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
利润最大问题 【例3】 某分公司经销某品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每 件产品需向总公司交a(3≤a≤5)元的管理费,估计当每件产品的售 价为x(9≤x≤11)元时,一年的销售量为(12-x)2万件. (1)求分公司一年的利润L(单位:万元)与每件产品的售价x的函数关 系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大?并求出 L的最大值Q(a). 分析:(1)利用题中等量关系找出L与x的函数关系式;(2)求出(1)中函 数关系式的导函数,再利用导数求最值.
当x=140时,y=175,即当x=140,y=175时,S取得最小值24 500. 故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使矩形广告的面积最小.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)隔热层厚度为 x cm,
由题意知每年能源消耗费用为 C(x)= 3xk+5, 再由 C(0)=8,得 k=40,因此 C(x)= 3x4+05. 而建造费用为 C1(x)=6x.
《3.4 生活中的优化问题举例》课件高中数学人教A版版选修
h
9
[注] 对于型如 y ax b (ab 0) 的函数最值问题， x
要根据定义域选择恰当的方法，并熟练掌握这些 方法的要点。
基本不等式法： “一正、二定、三相等”；
导数法： “ 一定义域、二导数符号、三单调性”。
h
10
小 数 无 日 生 地 化 火 粒 宇结 学 处 月 活 球 工 箭 子 宙：
例2、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本
是0.8 r2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售1ml的
饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为 6cm。
问：（1）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最大？
（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
h
7
练习：已知某厂每天生产x件产品的成本为
2、当半径为6cm时，利润最大.
h
17
❖你是否注意过,市场上等量的小包装 的物品一般比大包装的要贵些?你想 从数学上知道它的道理吗?
❖是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润
越大?
h
14
小结：
在解决优化问题的过程中，关键在于建立数学模型 和目标函数；要认真审题，尽量克服文字多、背景生疏、 意义晦涩等问题，准确把握数量关系。在计算过程中要 注意各种数学方法的灵活运用,特别是导数的运用。
不之之之之之之之 用繁谜变巧速微大
作业：课本P104 A组 1、 5某厂每天生产x件产品的成本为
c25000200xx2 (元 ) 40
变式2：若产品以每件500元售出，要使得利润 最大，每天应生产多少件产品？
h
13
题型二：利润最大
饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?
c 25000 200x x2 (元) 40
高中数学 3.4生活中的优化问题举例课件 湘教版选修11
答案 32米 16米
课堂讲练互动
• 4．用总长为6 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所 制作容器的底面的相邻两边长之比为3∶4，那么容器容积最 大时，高为______m.
解析 设容器底面相邻两边长分别为3x m,4x m，则高为
6－12x－16x 4
＝(
3 2
－7x)(m)，容积V＝3x·4x·( 32
A．10 C．25
B．15 D．50
课堂讲练互动
解析 法一 如图，设∠NOB＝θ，则矩形面积为S＝5sin θ·2·5cos θ＝25sin 2θ，故Smax＝25.
法二 以圆心O为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角 坐标系，则半圆的方程为x2＋y2＝25(y≥0)，设N(x，y)(x>0， y>0)，
的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱 子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多 少？
课堂讲练互动
解 关键是要正确写出函数关系式及定义域． 如图所示，设箱底边长为x cm，则箱高h＝602－x cm. 箱子容积V(x)＝x2h＝60x22－x3(0<x<60)． V′(x)＝60x－32x2，令V′(x)＝0， 解得x＝0(舍去)，x＝40. 当0<x<40时，V′(x)>0，当40<x<60时，V′(x)<0， 由此可知x＝40是极大值点，且V(40)＝16 000 cm3.
课堂讲练互动
3．解决优化问题的基本思路是： 上述解决优化问题的过程是一个典型的 数学建模 的过程．
课堂讲练互动
自主探究 利用导数解决实际问题中的最值问题时应注意什么？ 提示 (1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际
( 人教A版生活中的优化问题举例课件 (共37张PPT)
当 x∈(0,20)时，V′>0； 当 x∈(20,30)时，V′<0. 所以当 x＝20 时，V 取得极大值，也是最大值． 此时ha＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.
解决面积、容积的最值问题的思路： 1．解决长度、面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示 为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值． 2．必要时，可选择建立适当的坐标系，利用点的坐标建立函数关系或曲线方 程，以利于解决问题．
解析：设矩形场地的长为 x，则宽为 8－x，
面积为 S＝x(8－x)(0<x<8)，
令 S′＝8－2x＝0，得 x＝4.
此时 S 最大值＝42＝16(m2)．
答案：C
2．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为 20 cm，要使其体积最大，则高为( )
3 A. 3 cm
10 3 B. 3 cm
16 C. 3 3 cm
l＝2x＋2y＋2( 22x)＝(32＋ 2)x＋1x6. 所以 l′＝32＋ 2－1x62.令 l′＝0，即32＋ 2－1x62＝0， 解得 x1＝8－4 2，x2＝4 2－8(舍去)． 当 0<x<8－4 2时，l′<0； 当 8－4 2<x<4 2时，l′>0. 所以当 x＝8－4 2时，l 取得最小值． 此时，x＝8－4 2≈2.343 (m)，y≈2.828 (m)． 即当 x 为 2.343 m，y 为 2.828 m 时，用料最省．
探究一 长度、面积、容积的最值问题
[典例 1] 请你设计一个包装盒，如图所示，四边形 ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的 四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A，B， C，D 四个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱 形状的包装盒，E，F 在 AB 上，是被切去的一个等腰直 角三角形斜边的两个端点，设 AE＝FB＝x cm.
高中数学《生活中的优化问题举例》课件
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
【跟踪训练 2】 要建一个圆柱形无盖的粮仓，要求它的容积为 500 m3， 问如何选择它的直径和高，才能使所用材料最省？
解 设直径为 d m，高为 h m，表面积为 S m2， 由d22πh＝500，得 h＝2d020π0(d>0)， 故 S＝2d2π＋dπh＝π4d2＋20d00(d>0)， S′＝－20d02 0＋π2d(d>0)，
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：万件)的函 数关系式为 y＝－13x3＋81x－234，则使该厂家获取最大年利润的年产量为 ________． (2)已知某矩形广场面积为 40000 平方米，则其周长至少为________米．
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3．解决优化问题的基本思路
上述解决优化问题的过程是一个典型的□10 数学建模 过程．
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解决生活中的优化问题应当注意的问题 (1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合 实际意义的值应舍去． (2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点满足 f′(x)＝0 的 情形．如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点比较，我们可直接判断这 就是最大(小)值． (3)在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数 关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
课前自主预习
最新2019-23生活中的优化问题-PPT课件
r2),(0rR)
3
3
V2
2
(R2r4
r6)
9
(V2)'r
2
9
(4R2r36r5)
令(V2)'r 0，得r=
2 3R
0<r< 32R时， (V2)'r 0， 32RrR时， (V2)'r 0，
例2在半径为R的圆上取一个圆心角为α(弧度)的扇形 卷成的圆锥，问α为多大时，圆锥的体积最大？
耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式
可表示为y=1281000x383x8(0x120),已知甲乙两地 相距100千米
1. (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗 油量最少，最少为多少升？
( 2 ) 当 速 度 为 x 千 米 / 小 时 ， 汽 车 从 甲 地 到 乙 地 行 驶 了 1 0 x 0 小 时 1. 设耗油量为h(x)升,依题意得
例5:在边长为60cm的正 方形铁皮的四角切去相等
的正方形,再把它的边沿虚 线折起(如图),做成一个无 盖的方底箱子,箱底边长为 多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?
解:设箱底边长为x cm,则箱高h=(60-x)/2 cm.箱子容积
V(x)=x2h=(60x2-x3)/2 (0<x<60). 令 V(x)60x3x2 0,解得x=0(舍去),x=40. 由题意可知,当x2过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子 的容积很小,因此,且V(40)=16000 是最大值. 答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3. 注意：题中有单位时在假设和答中均要写单位，在说
1. 因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值
3
3
V2
2
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(V2)'r
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(4R2r36r5)
令(V2)'r 0，得r=
2 3R
0<r< 32R时， (V2)'r 0， 32RrR时， (V2)'r 0，
例2在半径为R的圆上取一个圆心角为α(弧度)的扇形 卷成的圆锥，问α为多大时，圆锥的体积最大？
耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式
可表示为y=1281000x383x8(0x120),已知甲乙两地 相距100千米
1. (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗 油量最少，最少为多少升？
( 2 ) 当 速 度 为 x 千 米 / 小 时 ， 汽 车 从 甲 地 到 乙 地 行 驶 了 1 0 x 0 小 时 1. 设耗油量为h(x)升,依题意得
例5:在边长为60cm的正 方形铁皮的四角切去相等
的正方形,再把它的边沿虚 线折起(如图),做成一个无 盖的方底箱子,箱底边长为 多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?
解:设箱底边长为x cm,则箱高h=(60-x)/2 cm.箱子容积
V(x)=x2h=(60x2-x3)/2 (0<x<60). 令 V(x)60x3x2 0,解得x=0(舍去),x=40. 由题意可知,当x2过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子 的容积很小,因此,且V(40)=16000 是最大值. 答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3. 注意：题中有单位时在假设和答中均要写单位，在说
1. 因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值
高中数学选修2《生活中的优化问题举例》课件
(1) 瓶子半径多大时, 能使每瓶饮料的利润最大?
(2) 瓶子半径多大时, 每瓶饮料的利润最小?
解: 由题设得每瓶的利润函数为
f
(r)
=
0.2
4 3
pr
3
0.8pr
2
(0 r 6).
f(r) = 0.8pr21.6pr,
解 0.8pr21.6pr≥0 得 r≥2,
即 2≤r≤6 时, f(r)≥0, 函数是增函数;
优化问题
用函数表示的数学问题
优化问题的答案
用导数解决数学问题
练习与习题 习题 1.4 (全部题)
1. 一条长为 l 的铁丝截成两段, 分别弯成两个
正方形, 要使两个正方形的面积和最小, 两段铁丝
的长度分别是多少?
解: 设一段为 x cm, 则另一段为 (lx) cm.
围成两正方形的面积和为
S
=
(
x
x
a 6
,
或
x
a 2
.
a
即
0
x
a 6
时,
V >0;
a 6
x
a 2
时,
V <0.
∴
当
x
=
a 6
时,
容积 V 最大.
3. 圆柱形金属饮料罐容积一定时, 它的高与半径
应怎样选择, 才能使所用材料最省?
解: ∵V=p r2h,
得
h
=
V
pr
2
,
(r 0).
饮料罐全面积为
S=2p r22p rh
S = 4p
r
2V r2
.
= 2p
r2
2V r
人教版高二数学必修一《生活中的优化问题》PPT教学课件
谢谢各位聆听
授课人：XXX 日期：XXX
人教版高中数学必修一教学课件
生活中的优化 问题举例
授课人：XXX 日期：XXX
1.解决实际应用问题的基本步骤：
“一般地，高考中的数学应用往往是以现实生活为原型设计的，其目的在于考查
学生对数学语言的阅读、理解、表达与转化能力，求解时一般按以下几步进行：
01
” 阅读理解，认真审题．就是读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟实际背
在解决实际应用问题中，如果函数在区间内只有一个 极值点，那么只需根据实际意义判定是最大值还是最 小值．不必再与端点的函数值进行比较．
4.思路方法技巧：
变式1
已知圆柱的表面积为定值S， 求当圆柱的容积V最大时圆柱的高h的值．
4.思路方法技巧：
解题过程
设圆柱的底面半径为r，高为h， 则S圆柱底＝2πr2，S圆柱侧＝2πrh， ∴圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh.∴h＝， 又圆柱的体积V＝πr2h＝，V′＝， 令V′＝0得S＝6πr2，∴h＝2r， 又r＝，∴h＝2＝. 即当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h为.
4.思路方法技巧：
命题方向—费用最省问题
[例2]、 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸 边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离 河岸40km的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50km，两厂在此岸边合建一个供水站C， 从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千 米3a 元和5a元，问供水站C 建在岸边何处才 能使水管费用最省？
景中的数学本质，写出题中的数量关系，实现应用问题向数学问题转化．
引入数学符号，建立数学模型．一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示相关的量，
02 运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关的知识，将问题中的数量关系表示为一个
生活中的优化问题举例 课件
2．将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应
a
a
分成____2____和___2_____．
3．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据 市场分析，每辆客车营运的总利润y万元与营运年数x(x∈N*)的 关系为y＝－x2＋12x－25，则每辆客车营运_____年可使其营运 年平均利润最大．( C )
应每次都购买20吨．
解法二 令y′＝－1 x6200＋4＝0，得x＝20. 当0<x<20时，y′<0，当20<x≤40时，y′>0，所以x＝20 吨 时，一年的总运费与总存储费用之和最小，应每次都购买20吨．
面积、容积的最值问题
在边长为60的正方形铁皮的四角切去相等的正方形， 再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长 为多少时，箱子容积最大？最大是多少？
解析：解法一 该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买
x吨，则需要购买
400 x
次，
全年运费为4·40x0万元 ，一年的总存储费用为4x万元，一年的 总运费与总存储费用之和为
y＝
400 x
·4＋4x(0<x≤400)，
与总存y＝储4费0x0 用·4＋之4和x≥最1小60．.当1
600 x
＝4x即x＝20吨时，一年的总运费
生活中的优化问题举例
基础)根据实际问题写出函数关系； (2)正确确定函数的定义域； (3)利用导数法求出函数的最值； (4)根据实际问题回答(注意反思结果是否符合实际)．
2．在具体解题过程中，当得到函数解析式后，要正确选 择解题方法，看是否是最值问题，如果是需要用导数法，还是 利用不等式求最值，或是利用函数单调性求最值等，注意选择 恰当的方法，不要盲目动手．
高中数学课件《生活中的优化问题》(1课时)
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作业：Ｐ４0 习题1．４ Ａ组 １，２题
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例1. 用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架， 如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高 为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。
解:设容器底面短边长为x m,则另一边长为
(x+0.5)m,高为(14.8-4x-4(x+0.5))/4=(3.2-2x)m 则 3.2 – 2x > 0 , x>0 , 得 0<x<1.6. 设容器体积为y m3,则 y = x (x+0.5) (3.2 – 2x)
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0.8
r3 (
3
r 2 ), 2
则有 xy=128，（１）
另设四周空白面积为Ｓ，
y
则 0.8
r3 (
r 2 ),
3
4x2y8 （２）
由（１）式得： y 1 2 8
x
1
x
代入（２）式中得： S(x)4x2568(x0).
x
令S'(x)=0,即4-2x5260 x8,最小面积S4825687（ 2dm2)
当 L'0时 ,q84,当 L'0时 ,q84,
当 产 量 q 为 8 4 时 ， 精选利 q C (2 5 1 q )q ( 1 0 0 4 q ) 8
1q2 21q100 8
当 qb2184时 ， L 的 值 最 大
2a
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三．小结
解决优化问题的方法之一：通过搜集大量的统计数据， 建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质， 提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数 往往是一个有利的工具，其基本思路如以下流程图所示
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= - 2x3+2.2x2+1.6x (0<x<1.6) y' = - 6x2+4.4x+1.6,
令y' = 0 得 x = 1 或 x = - 4/15 (舍去）， ∴当0<x<1时，y'>0 , 当1<x<1.6时，y'<0 ,
∴在 x = 1处，y有最大值，此时高为1.2m,
最大容积为1.8m3。整理ppt
问题（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
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解：由于瓶子的半径为Ｒ，所以每瓶饮料的利润是
yf(x)0.24r30.8r2
3
0.8 (r3 r2 ), 0r6
3
令 f'(x)0.8(r22r)0 当 r2时 ,f'(r)0
当 r ( 0 ,2 ) 时 ,f'(x ) 0 当 r ( 2 ,6 ) 时 ,f'(x ) 0
8
此时y12816(dm)
x8dm
8
整理ppt
8
解法二：由解法(一)得
S(x)4x256824x•2568
x
x
232872
当 且 仅 当 4 x 2 5 6 ,即 x 8 (x 0 ) 时 S 取 最 小 值
x
此时y=128 8
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答 ： 应 使 用 版 心 宽 为 8 d m ， 长 为 1 6 d m ， 四 周 空 白 面 积 最 小
当半径r＞２时，f ’(r)>0它表示 f(r) 单调递增，
即半径越大，利润越高；
当半径r＜２时，f ’(r)<0 它表示 f(r) 单调递减，
即半径越大，利润越低．整理ppt
4
1.半径为２cm 时，利润最小，这时 f (2) 0
表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本， 此时利润是负值
２．半径为６cm时，利润最大
当 L'0时 ,q84,当 L'0时 ,q84,
当 产 量 q 为 8 4 时 ， 整理利 ppt润 L 最 大
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另 解 ： 利 润 L p q C (2 5 1 q )q ( 1 0 0 4 q ) 8
1q2 21q100 8
当 qb2184时 ， L 的 值 最 大
2a
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房价应订为多少
３．某宾馆有５０个房间供游客居住，当每 个房间每天的定价为１８０元时，房间会全 部住满；房间的单价每增加１０元，就会有 一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆每 天每间需花费２０元的各种维修费．房间定 价多少时，宾馆的利润最大？ 解:设宾馆定价为(180＋10x)元时，宾馆的利润Ｗ最大
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２．已知:某商品生产成本Ｃ与产量q的函数关系式为
C1004q , 价格p与产量q的函数关系式为
p 25 1 q 8
求产量 q 为何值时，利润 L 最大？
解 ： 利 润 L p q C (2 5 1 q )q (1 0 0 4 q ) 8
1q2 21q100 8
L'1q21,令L'0,求得q 84 4
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作业：Ｐ４0 习题1．４ Ａ组 １，２题
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未命名.gsp
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利用导数解决优化问题的基本思路：
优化问题
用函数表示的数学问题
优化问题的答案
用导数解决数学问题
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练习：
１：学校或班级举行活动，通常需要张贴 海报进行宣传．现让你设计一张如图所示 的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2
上、下两边各空2dm．左、右两边各空 1dm．如何设计海报的尺寸，才能使四周 空白的面积最小？
三．小结
解决优化问题的方法之一：通过搜集大量的统计数据， 建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质， 提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数 往往是一个有利的工具，其基本思路如以下流程图所示
建立数学模型
优化问题
用函数表示数学问题
解决数学模型
优化问题的答案
作答 用导数解决数学问题
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W ( 1 1 8 x ) 5 0 ( 0 x ) 0 ( 5 x ) 0 20 1x2 0 3x 4 8 0000 令 W '(x ) 0 ,求 x 1 得 7
当 W '(x ) 0 时 ,x 1； 7W '(x 当 ) 0 时 ,x 17
当 x1， 7 利 W 最润 大 此时1 房 8 1 整0 价 理p p0 t 1 7 为 3（ 5： 0元12）
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0.8
r3 (
3
r 2 ), 2
则有 xy=128，（１）
另设四周空白面积为Ｓ，
y
则 0.8
r3 (
r 2 ),
3
4x2y8 （２）
由（１））式中得： S(x)4x2568(x0).
x
令S'(x)=0,即4-2x5260 x8,最小面积S4825687（ 2dm2)
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例2：
饮料瓶大小对饮料公司利润的 影响 （1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般
比大包装的要贵些？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
背景知识：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料。
瓶子的制造成本是0.8 r 2 分，其中 r 是瓶
子的半径，单位是厘米。已知每出售1 ml 的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能 制作的瓶子的最大半径为 6cm
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例1. 用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架， 如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高 为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。
解:设容器底面短边长为x m,则另一边长为
(x+0.5)m,高为(14.8-4x-4(x+0.5))/4=(3.2-2x)m 则 3.2 – 2x > 0 , x>0 , 得 0<x<1.6. 设容器体积为y m3,则 y = x (x+0.5) (3.2 – 2x)