线性规划题及答案完整版

线性规划题及答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

线性规划题型及解法

一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题

例1、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩

⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。 二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题

例2、已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩

则22x y +的最小值是 . “()()2221++-y x ”值域？

三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。

例3、在约束条件0

024x y y x s

y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范

围是（）

A.[6,15]

B. [7,15]

C. [6,8]

D. [7,8]

四、已知平面区域，逆向考查约束条件。

例4、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（）

(A)0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩ (B)0003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ (C) 0003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ (D) 0003x y x y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩

五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。

例5已知变量x ，y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩

若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为 。

六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题

例６在平面直角坐标系中，不等式组20

200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩

表示的平面区域的面积是（）

(A)

七、研究线性规划中的整点最优解问题

例7、某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件

⎪⎩

⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,

932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95 八、比值问题 当目标函数形如b

x a y z --=

时,可把z 看作是动点()y x P ,与定点()a b Q ,连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。

例8、已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，

则 y x 的取值范围是（ ）. （A ）[95，6] （B ）（－∞，95

]∪[6，＋∞）（C ）（－∞，3]∪[6，＋∞） （D ）[3，6]

九、求可行域中整点个数

例9、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ）个。

A 、9

B 、10

C 、13

D 、14

十、求线性目标函数中参数的取值范围

例10、已知x 、y 满足以下约束条件⎪⎩

⎪⎨⎧≤≤+-≥+3055x y x y x ，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最

优解有无数个，则a 的值为（ ） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1

十一、求约束条件中参数的取值范围

例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是（ ） A 、（-3,6） B 、（0,6） C 、（0,3） D 、（-3,3）

1 解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18

2 解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而22x y +表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A （1，2）是满足条件的最优解。22x y +的最小值是为5。

3 解析：画出可行域如图3所示,当34s ≤<时, 目标函数32z x y =+在

(4,24)B s s --处取得最大值, 即max 3(4)2(24)4[7,8)z s s s =-+-=+∈;当45s ≤≤时, 目标函数32z x y =+在点(0,4)E 处取得最大值,即max 30248z =⨯+⨯=,故

[7,8]z ∈,从而选D;

4 解析：双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±，与直线3x =围成一个三

角形区域（如图4所示）时有00

03x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩

5 解析：如图5作出可行域，由z ax y y ax z =+⇒=-+其表示为斜率为a -，纵截

距为ｚ的平行直线系, 要使目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)

处取得最大值。则直线y ax z =-+过Ａ点且在直线4,3x y x +==（不含界

线）之间。即1 1.a a -<-⇒>则a 的取值范围为(1,)+∞。

6 解析：如图６，作出可行域，易知不等式组20

200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩

表示的平面区域是一个

三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-

2,0).于是三角形的面积为：11||||42 4.22

S BC AO =⋅=⨯⨯=从而选Ｂ。

7 解析：如图７，作出可行域，由

101010z z x y y x =+⇒=-+

，它表示为斜率为1-，纵截距为10

z 的平行直线系,要使1010z x y =+最得最大值。当直线1010z x y =+通过119(,)22

A z 取得最大值。因为,x y N ∈，故Ａ点不是最优整数解。于是考虑可行域内Ａ点附近整点Ｂ（５，４），Ｃ（４，４），经检验直线经过Ｂ点时，max 90.Z =

图

图2