大学物理-第十三章
大学物理第十三章(热力学基础)部分习题及答案
第十三章热力学基础一、简答题：1、什么是准静态过程?答案：一热力学系统开始时处于某一平衡态，经过一系列状态变化后到达另一平衡态，若中间过程进行是无限缓慢的，每一个中间态都可近似看作是平衡态，那么系统的这个状态变化的过程称为准静态过程。
2、什么是可逆过程与不可逆过程答案：可逆过程：在系统状态变化过程中，如果逆过程能重复正过程的每一状态，而且不引起其它变化；不可逆过程：在系统状态变化过程中，如果逆过程能不重复正过程的每一状态，或者重复正过程时必然引起其它变化。
3、一系统能否吸收热量，仅使其内能变化? 一系统能否吸收热量，而不使其内能变化?答：可以吸热仅使其内能变化，只要不对外做功。
比如加热固体，吸收的热量全部转换为内能升高温度；4、简述热力学第二定律的两种表述。
答案：开尔文表述：不可能制成一种循环工作的热机，它只从单一热源吸收热量，并使其全部变为有用功而不引起其他变化。
克劳修斯表述：热量不可能自动地由低温物体传向高温物体而不引起其他变化。
5、什么是熵增加原理?答：一切不可逆绝热过程中的熵总是增加的，可逆绝热过程中的熵是不变的。
把这两种情况合并在一起就得到一个利用熵来判别过程是可逆还是不可逆的判据——熵增加原理。
6、什么是卡诺循环? 简述卡诺定理?答案：卡诺循环有4个准静态过程组成，其中两个是等温线，两个是绝热线。
卡诺提出在稳度为T1的热源和稳度为T2的热源之间工作的机器，遵守两条一下结论：（1）在相同的高温热源和低温热源之间工作的任意工作物质的可逆机，都具有相同的效率。
（2）工作在相同的高温热源和低温热源之间的一切不可逆机的效率都不可能大于可逆机的效率。
7、可逆过程必须同时满足哪些条件?答：系统的状态变化是无限缓慢进行的准静态过程，而且在过程进行中没有能量耗散效应。
二、选择题1、对于理想气体的内能，下列说法中正确的是( B ):( A ) 理想气体的内能可以直接测量的。
(B) 理想气体处于一定的状态，就有一定的内能。
大学物理教程 第十三章 波动
第十三章 波动机械波和电磁波是波动的两大类．机械波是机械振动在弹性介质中的传播过程，电磁波是变化的电场和变化的磁场在空间的传播过程，两者有本质上的不同，但它们都有波动的共性．例如，它们都有一定的传播速度，携带能量，具有反射、折射、衍射等现象，而且这些现象都服从相同的规律．本章主要讨论机械波的现象和规律，并简要介绍电磁波的基本性质．§13－1 机械波的产生和传播一、机械波及其产生的条件什么叫机械波？先从最常见的水面波讲起．当水滴落入静止的水面上，即可以见到在滴水之处，水发生振动，此处水的振动引起附近水面的振动，附近水面的振动又引起更远处水面振动，这样水的振动就从滴水处向外传播．这种振动在水面上的传播形成水面波(图13－1)．一般地说，当弹性介质中某一处发生振动时，此处的振动引起附近介质的振动，附近介质的振动又引起更远处介质的振动，这样振动就在介质中传播开来，这种机械振动在弹性介质中的传播过程称为机械波动或机械波．常见的机械波除上面讲过的水面波以外，还有绳波和声波．如图13－2．绳的一端固定，另一端用手握住并使之上下振动，这一端的振动引起邻近点的振动，邻近点的振动又引起更远的点的振动，这样振动就由此端向他端传播，形成绳波． 又如当音叉振动时，它的振动引起附近空气的振动，附近空气的振动又引起更远处空气的振动，这样振动就在空气中传播，形成声波．从以上波动的例子看出，机械波的产生，第一，要有一个作机械振动的物体，称为波源，例如上述水面波的波源是石落处的水，绳波的波源是绳上振动的一端，声波的波源是音叉、乐器等发声物体，我们说话时发出的声波的波源是声带与其他发声器官；第二，要有传播振动的弹性介质，例如水面波的介质是水，绳波的介质是绳，声波的介质是空气． 应当指出，当波动在介质中传播时，介质中各点仅在它的平衡位置附近作振动，并不沿波的传播方向流动，或随波的传播而前进．木船漂浮在水面上，当水面波经过时，木船仅在它自己的平衡位置附近作椭圆运图13－1 图13－2图13－3动，并不随波浪前进．图13－3中的冲浪运动员之所以能随波前进，是因为在冲浪时，运动员始终努力保持在波浪的前沿，水面给予的倾斜向上的支承力和重力形成了与波的运动方向相同的合力．现在要问：为什么弹性介质中一处发生振动会引起附近介质也发生振动呢？这是机械波的传播机制问题．机械波之所以能够在介质中传播是因为介质具有弹性，当介质中有一点A 离开了它的平衡位置时，介质就发生了形变．由于形变，介质中的其他质点就施一弹性力于质点A ，使A 回复平衡位置，以后它就在平衡位置附近振动，与弹簧振子情形类似．根据牛顿第三定律，质点A 也施反作用力于周围质点，使这些质点离开平衡位置而振动．所以介质中一点的振动会引起邻近质点的振动．邻近质点的振动又会引起更远质点的振动，这样，振动就由近而远地向各个方向传播形成波动．二、横波和纵波从以上波动例子看出，质点的振动方向不一定和波的传播方向相同．如果质点的振动方向和波的传播方向垂直(例如绳波情形)，这种波称为横波，如图13－4所示．如果质点的振动方向和波的传播方向平行(例如声波情形)，这种波称为纵波，如图13－5所示．横波和纵波是自然界存在的最简单的波．三、波的传播速度、波长和周期以及它们之间的关系从图13－4或图13－5可以看出，当波在介质中传播时各质点仅在它们自己的平衡位置附近振动，并不随波前进，仅仅是振动状态(或者说代表振动状态的相位)向前传播．例如质点1于t = 0时的相位是π23(过平衡位置向上或向右运动的状态)，经过T 41时间传到质点4，这时质点4的相位也是π23，经过T 时间后传到质点13，这时质点13的相位也是π23．由此可见，波的传播过程就是振动状态(或相位)的传播过程．在单位时间内振动状态(或相位)传播的距离称为波的传播速度，也称为相速，用v 表示．在波的传播方向上两个相邻的相位相同(相位差为2π)的质点之间的距离称为波长，用λ表示．例如在图13－4或图13－5中，质点1和质点13，或质点4和质点16之间的距离便是一个波长．在横波情形这个距离也等于相邻两个波峰或相邻两个波谷之间的距离，在纵波情形这个距离等于相邻两个稠密区中心或相图13－4 图13－5邻两个稀疏区中心之间的距离．波长即一个完整波形的长度．波前进一个波长的距离所需的时间称为波的周期，从图13－4或图13－5看出，波的周期也等于波源和各质点振动的周期T ．波的周期的倒数称为波的频率，用ν表示，T1=ν．波的频率等于各质点(包括波源)振动的频率，亦等于单位时间内经过波的传播方向上某点的波长的个数．由于波传播一个波长λ的距离所需的时间为波的周期T ，所以单位时间传播的距离为Tλ，即波的传播速度为 Tλ=v （13－1） 或 νλ=v （13－2） 以上二式为波速、波长和波的周期或频率的基本关系．四、关于波动的几个概念下面介绍关于波动的几个概念，便于以后引用．我们已经知道，当波在介质中传播时，介质中各质点仅在它们各自的平衡位置附近作振动，并不随波前进．在某一时刻由振动相位的值相等的各点连成的面称为同相面，在某一时刻由波动传到的各点连成的面称为该时刻的波阵面，或称波前．显然波阵面是最前面那个同相面．波阵面为平面的波称为平面波，波阵面为球面的波称为球面波．波的传播方向称为波射线或波线．在各向同性的均匀介质中波线与波阵面垂直．在均匀无限大的介质中，点波源产生的波是球面波，球心在点波源处．波线是从波源发出的半直线．从远处传来的波可看作是平面波，波线是一束平行直线(图13－6)． 例题13－1 当空气中的声速为v = 320 m/s 时，振动频率为ν = 400 Hz 的音叉产生的声波的波长λ是多少？当音叉完成30次振动时，声波传播了多远？解 波源的频率就是波的频率．由波长、频率和波速之间的基本关系式得m 0.800m 400320===νλv音叉完成一次振动所需时间就是它的周期T ，所以完成30次振动所需时间为 ν13030==T t 在此时间内声波传播的距离为m 24.0m 4003032030=⨯===νv v t s §13－2 机械波的传播速度图13－6什么介质能够传播横波？什么介质能够传播纵波？波的传播速度与哪些因素有关？为了说明这些问题，我们从物质的弹性讲起．一、物质的弹性物体在外力作用下其长度、形状或体积都可能发生改变，这种改变称为形变．如果物体的形变不超过某一限度，外力撤除后物体就会恢复原状，这种形变称为弹性形变．外力撤除后物体就会恢复原状的性质称为弹性．当物体在外力作用下发生弹性形变时，物体内各部分之间出现一种相互作用力，企图抵抗形变，使物体恢复原状．单位面积的恢复力称为应力，与物体内两部分的分界面垂直的应力称为法向应力，与分界面平行的应力称为切向应力，法向应力又分为压应力和张应力．当物体在外力作用下发生弹性形变时，其长度或体积的改变与其原来的长度或体积之比称为应变．最简单的应变有三种，即线应变、体应变、切应变，分别讨论如下： 1．线应变 如图13－7，设有长为l 、截面积为S 的棒状物体，当其两端受到相等而方向相反的拉力(或压力)F 作用时，其长度伸长(或缩短)了Δl ．物体的长度的改变与其原来长度之比称为线应变，即 线应变 = Δl / l 在棒中位置B 处取一横截面，则B 的左右两部分互施以相等而相反的拉力(或压力)，若考虑其中一部分(例如AB 部分)的平衡条件，可以知道，这两部分互施的拉力等于外力F ，这时的应力是法向应力，其值为法向应力 = F / S实验表明法向应力与线应变成正比例，即E ll S F =/Δ/ （13－3） 其中E 为比例系数，称为弹性模量，也称杨氏模量．2．体应变如图13－8，设有体积为V 的立方体，当其各面受到相等压力(或拉力)F 作用时，其体积缩小(或增大)了ΔV ，但其形状不变，物体体积的改变与其原来体积之比称为体应变，即体应变 = ΔV / V设S 为立方体的一个截面的面积，显然这个截面所分隔开的两部分互施的压力(或拉力)亦等于外力F ，这时应力是法向应力，其值为法向应力 = F / S实验表明，法向应力与体应变成正比例，即K VV S F =/Δ/ （13－4） 其中K 为比例系数，称为体积模量．3．切应变如图13－9，长方体的上下底面受到相等而方向相反的切向力F 作用时，长方体变为斜方体，但其体积不变．这种只改变形状不改变体积的形变称为切变．当 图13－7长方体中矩形ABCD 变为平行四边形 ABC'D' 时，每一平行于AD 的直线都转过了一角度φ，上底面相对于下底面的位移为DD' = Δx ，上下底面的相对位移与它们之间的距离之比称为切应变，即切应变 =ADx Δ= tan φ ≈ φ 在长方体内部任取一与上下底面平行的平面，则平面上下两部分互施以相等而方向相反的切向力，其大小等于外力F ，这时应力为切向应力，其值为切向应力 = F / S实验表明，切向应力与切应变成比例，即G SF =ϕ/ （13－5）其中G 为比例系数，称为切变模量．如上所述，应力是物体发生形变时出现于物体内各部分之间企图抵抗应变使物体恢复原状的力，切向应力是抵抗切应变使物体恢复原来形状的力．当液体或气体的形状改变时，它没有恢复原来形状的倾向，也就是没有抵抗切应变的力，所以液体或气体不能产生切向应力．物体弹性形变的势能 以棒伸长为例推导弹性势能公式．如图13－7，棒在外力F 作用下伸长时，外力对棒作了功，此功转变为棒的势能．当棒伸长为x 时，由(13－3)式得lx ES F = 根据变力的功的公式(3－5)式，当棒伸长Δl 时，力F 所作的功为()22Δ0Δ0Δ21Δ21d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎰⎰l l ESl l l ES x x l ES x F W l l 但Δl /l 为线应变，Sl 为棒的体积，所以上式可以写为21=W (杨氏模量)×(线应变)2×体积 （13－6） 这就是弹性物体的形变势能，所以单位体积的形变势能为21p =w (杨氏模量)×(线应变)2 （13－7） 对于其他类型的弹性形变，上式也适用，只需将该类型的弹性模量和应变代替式中的杨氏模量和线应变即可．二、传播横波和纵波的介质 波的传播速度图13－8 图13－9我们现在可以来说明什么介质能够传播横波，什么介质能够传播纵波．根据上节关于波的传播机制的讨论，波之所以能够在介质中传播是因为介质发生形变时，介质中各质点之间有弹性力作用．但不同类型的波在介质中引起的形变不相同，因而对应的弹性力亦不相同．假设有一横波在介质中传播，图13－10表示在某一时刻介质中的波形．取其中的一段放大，可以设想把介质分成许多薄层，各个薄层和波的传播方向垂直．以薄层AB 为例，这个薄层由原来的长方体(虚线位置)变为斜方体(阴影部分)，这种形变就是切应变，对应的弹性力就是切向应力．所以当横波在介质中传播时，介质的形变是切变，对应的弹性力是切向应力．但液体和气体都不能产生切向应力，所以都不能传播横波．只有固体才能传播横波．当纵波在介质中传播时，介质被压缩或被拉伸，这种形变是体应变，对应的弹性力是法向应力(压应力或张应力)，固体、液体和气体都能够产生法向应力，所以都能够传播纵波．机械波传播的速度完全取决于介质的弹性和惯性，即取决于介质的弹性模量和密度，可以证明横波在固体中的传播速度为ρG=v （13－8） 其中G 为固体的切变模量，ρ为固体的密度．纵波的传播速度为ρK=v （13－9） 其中K 为介质的体积模量．如果纵波是沿一细棒状的介质传播，则体积弹性模量可用杨氏模量代替，即ρE=v （13－10）对于大多数金属材料来说，E 和K 可认为近似地相等．固体的杨氏模量大于切变模量，所以在固体中纵波的传播速度大于横波的传播速度．根据以上讨论，波的传播速度与介质有关，即与介质的弹性模量和密度有关．但波的频率就是波源振动的频率，与介质无关．因此由波动的基本关系式νλ=v 可知，波长与介质有关．§13－3 平面简谐波的波函数如果在一波动中波源作简谐振动，介质中其他各质点也作简谐振动，这种波称为简谐波．因为任何复杂的振动都可以看成是由许多频率不同的简谐振动合成的，所以任何复杂的波都可以看成是由许多频率不同的简谐波合成的．本节只讨论平面简谐波的波函数．假设有一平面简谐波以速度v 沿x 轴的正方向传播，如图13－11．同相面就是一系列垂直于x 轴的平面，x 轴就是波线．因为在同一同相面上各点的振动情况相同，所以，轴上各点的振动也就代表了整个波动的情况．我们的问题就是找出能够概括x 轴上各点的振动情况的函数，这样的函数称为平面简谐波的波函图13－10数．假设原点O 处质点的振动方程为y = A cos ωt （13－11）其中A 为振幅，ω为圆频率，y 为振动点在时刻t 对于平衡位置的位移．对于横波，位移与x 轴垂直；对于纵波，位移沿x 轴方向．设P 为波线上任一点，其平衡位置的坐标为x ，因为O 点作简谐振动，当波传到P 点时，P 点亦作简谐振动，振动的振幅和频率与O 点相同，但它的相位落后于O 点的相位．这是因为波的传播就是振动相位的传播，而波从O 点传播到P 点需要时间v x ，所以O 点在t 时刻的相位等于P 点在⎪⎭⎫ ⎝⎛+v x t 时刻的相位．或者说P 点在t 时刻的相位等于O 点在⎪⎭⎫ ⎝⎛-v x t 时刻的相位．由(13－11)式，O 点在t 时刻的相位为ωt ，所以P 点在t 时刻的相位为⎪⎭⎫ ⎝⎛-v x t ω，其位移为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=v x t A y ωcos （13－12） 因为νωπ2π2==T，λ=vT ，所以上式可以写为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λνλx t A x T t A y π2cos π2cos （13－13） (13－12)或(13－13)式给出波线上任一点(其平衡位置的坐标为x )在任一时刻的位移，所以该表达式概括了波线上所有各点的振动情况，该表达式就是平面简谐波的波函数．下面我们再进一步分析波函数的意义．波函数(13－12)中有两个自变量x 和t ，当x 一定时，y 只是t 的函数，这时(13－12)式代表坐标为x 的点的振动方程，这是我们所熟知的简谐振动方程．这说明波线上任一点的振动是简谐振动．图 图13－11图13－12 图13－1313－12画出的是简谐振动的y －t 曲线．当t 一定时，y 只是x 的函数，这时波函数给出在给定时刻t 波线上各点的位移，若以x 为横坐标、y 为纵坐标作曲线，便得出如图13－13的曲线．它表示在给定时刻t 波线上各质点的分布情况，也就是该时刻的波形．如果x 和t 都变化，则波函数表示波线上任一点在任一时刻的位移，如以x 为横坐标、y 为纵坐标画出t 1时刻及t 1 +Δt 时刻的波形，便得到如图13－14所示的二曲线．其中实线表示t 1时刻的波形，虚线表示t 1 +Δt 时刻的波形．在t 1时刻的波形上任取一点A ，在t 1 +Δt 时刻的波形上沿波的传播方向取一点B ，使A 、B 两点有相同的位移．设A 、B 两点的横坐标分别为x 及x +Δx ，则Δx 为A 、B 两点间的距离，也就是在Δt 时间内波形移动的距离．根据(13－12)式，A 点上的相位是⎪⎭⎫ ⎝⎛-v x t 1ω，B 点的相位是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+v x x t t ΔΔ1ω，这两点的位移相等，所以它们的相位相同，即⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-v v x x t t x t ΔΔ11ωω 由此得Δx = v Δt ．由此可见在Δt 时间内波形向前移动了距离v Δt ．这表示波形以速度v 向前传播，这种在空间传播的波称为行波．以上假设波以速度v 由左向右传播．如果图13－10中波以速度v 由右向左传播，即向x 轴的负方向传播，则O 点的相位落后于P 点的相位，落后的时间为vx ．所以在t 时刻P 点的相位等于O 点在⎪⎭⎫ ⎝⎛+v x t 时刻的相位，故P 点的位移为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=v x t A y ωcos （13－14） 这就是沿x 轴的负方向传播的平面简谐波的波函数．例题13－2 有一沿x 轴正向传播的平面余弦波，原点的振动方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=-3π9πcos 100.62t y 其中y 以m 为单位，t 以s 为单位，波长λ = 36 m ，试求(1) 波函数；(2) x = 9.0 m 处质点的振动方程；(3) t = 3.0 s 时的波形及该时刻各波峰的位置坐标．解 (1) 由(13－13)式，波函数可写为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ϕλνx t A y π2cos 图13－14其中φ为原点振动的初相．根据题意，A = 6.0×10-2 m ，1-s 1812π9ππ2===ων，λ = 36 m ，3π=ϕ，代入上式得波函数：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=-3π3618π2cos 100.62x t y或 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=-3π29πcos 100.62x t y （13－15） 其中x 及y 以m 为单位，t 以s 为单位．(2) 在(13－15)式中令x = 9.0 m ，即得所求的振动方程：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=-6π9πcos 100.62t y (3) 在(13－15)式中令t = 3.0 s ，即得该时刻的波形：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=-18π32πcos 100.62x y （13－16） 波峰为位移最大值，故在波峰处y = 6.0×10-2 m ．将此式与(13－16)式比较得知：118π32πcos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 由此得 π218π32πk x =- x = (12 - 36k ) m ， k = 0，±1，±2，…这就是各波峰的位置坐标．例题13－3 图13－15中实线为一平面余弦横波在，t = 0时刻的波形图，此波形以v = 0.080 m/s 的速度沿x 轴正向传播，试求：(1) a 、b 两点的振动方向；(2) O 点的振动方程；(3) 波函数．解 (1) 因波的传播是波形的传播，故经Δt 时间后波形沿传播方向行进至图中虚线位置．在波的传播过程中，各质点只在各自的平衡位置附近振动，并不随波前进，从图看出，经Δt 时间后a 点已运动到它在t = 0时刻的位置的下方，b 点运动到它在t = 0时刻的位置的上方，即在t = 0时刻，a 点向下运动，b 点向上运动．(2) 由图看出波的振幅A = 0.20 m ．波长λ = 0.40 m ，已知波速v = 0.080 m/s ，由波动基本关系λ = v T 得波的周期：s 5.0s 080.040.0===v λT O 点的初相φ可求之如下：t = 0时．O 点的位移y = 0，即其初相2π=ϕ或23π，又因O 点向下运动，即振动速度为负，故应取2π=ϕ，则O 点的振动方程为图13－15⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2π5π2cos 20.0π2cos t T t A y ϕ 其中t 以s 为单位，y 以m 为单位．(3) 由O 点的振动方程可得该平面余弦波的波函数：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2π080.05π2cos 20.0cos x t x t A y ϕωv 其中t 以s 为单位，y 以m 为单位．§13－4 波的能量 能流密度波的传播过程就是振动的传播过程，波传到哪里，哪里的介质元就发生振动，因而具有动能．同时这介质元还要发生形变，因而又具有弹性势能．因此波传播到哪里，哪里就具有能量．波的传播过程既是振动的传播过程，又是能量的传播过程．一、波的能量下面以简谐纵波在棒中沿棒长方向传播为例，推求波的能量公式．设简谐纵波的波函数为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=v x t A y ωcos （13－17） 如图13－16，在棒上取一体积元BC 来考虑．棒在平衡位置时B 处的坐标为x ，C 处坐标为x + Δx ，即BC 的原长为Δx ．设棒的横截面积为S ，密度为ρ，则这体积元的体积ΔV = S Δx ，质量为Δm = ρΔV ．由(13－17)式得这体积元在任一时刻t 的速度为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∂∂=v x t A t y u ωωsin 其动能为⎪⎭⎫ ⎝⎛-==v x t A V mu W ωωρ2222k sin Δ2121Δ （13－18） 假设在时刻t ，B 处的位移为y ，C 处的位移为y +Δy (图13－15)，则这一时刻体积元的伸长为Δy ，其线应变为x y ΔΔ或xy ∂∂．由(13－17)式得 线应变=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂v v x t A x y ωωsin 由(13－6)式得体积元的弹性势能为V x t A E V x y E W Δsin 21Δ21Δ2222p ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=v v 2ωω 因ρ/E =v ，故有ρ2v =E ，代入上式得图13－16⎪⎭⎫ ⎝⎛-=v x t A V W ωωρ222p sin Δ21Δ （13－19） 比较(13－18)及(13－19)两式可以看出，在任一时刻体积元的动能和势能完全相等，而且相位也相同，动能达最大值时，势能也达最大值；动能为零时，势能也为零．将(13－18)及(13－19)两式相加得体积元的总能量为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=v x t A V W W W ωωρ222p k sin ΔΔΔΔ （13－20） 上式指出，体积元的总能量并不守恒，它随着时间t 作周期性的变化．在一个给定时刻，棒中各个体积元的总能量又是随着x (体积元的平衡位置坐标)作周期性变化，它不断地从前面的介质吸收能量，又不断地把能量传递给后面的介质，就这样通过各个体积元不断地吸收和传递能量，使能量随波的传播而传播．介质中每单位体积的能量称为能量密度，用w 表示，由(13－20)式得⎪⎭⎫ ⎝⎛-==v x t A V W w ωρω222sin ΔΔ 波的能量密度是随时间而变化的，它在一周期内的平均值称为平均能量密度．因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-v x t ω2sin 在一周期内的平均值为21，所以平均能量密度为 2221A w ρω= 二、能流和能流密度如上所述，波的传播过程就是能量的传播过程，因此我们可以引入能流概念．单位时间内通过某一面积传播的能量称为通过该面积的能流．设S 为介质中垂直于传播方向(即波速v 的方向)的面积，以S 为底v 为高作一柱体(图13－17)，则单位时间内通过面积S 的能量(即通过该面的能流)都包含在这柱体内．但这柱体内的能量是随时间而变化的，我们可以求它的平均值．因为柱体体积为v S ，平均能量密度为w ，所以柱体内的平均能量为v S w ．这就是单位时间内通过面积S 的平均能量，称为平均能流，用p 表示，则S A S w p v v 2221ρω== Sp 为通过垂直于波的传播方向的单位面积的平均能流，称为能流密度或波的强度，其大小用I 表示，则 v 2221A S p I ρω== 依定义，能流密度为一矢量，其方向为波速v 的方向，故可写为图13－17v 2221A ρω=I 三、平面波的振幅和球面波的振幅在推导平面简谐波的波函数 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=v x t A y ωcos 时，我们假定介质中各质点的振幅不变，现在我们从能量观点来看振幅不变的意义．设在垂直于波的传播方向取两个平面，其面积都等于S ，使这两个面成为同一柱体的两个截面，如图13－18，设1p 、2p 为通过这两个面的平均能流，则S A S w p v v 2121121ρω== S A S w p v v 2222221ρω== 其中A 1、A 2分别为这两个面积处的振幅．从以上二式看出，如果A 1 = A 2，则1p =2p ．即如果波的振幅不变，则通过这两面积的能流相等，有多少能量从左边流入两面之间的空间，就有多少能量从右边流出去．这说明介质不吸收波的能量．所以平面简谐波的振幅不变的意义是介质没有吸收波的能量(即没有把波的机械能转变为其他形式的能量)．但在球面波情形，即使介质不吸收波的能量，波的振幅也要逐渐减小．设在距波源O 为r 1及r 2处取两个球面，其面积各为S 1 = 4πr 12，S 2 = 4πr 22，如图13－19．在介质不吸收波的能量的情况下，通过这两个球面的平均能流相等，即2222221212π421π421r A r A v v ρωρω= 其中A 1、A 2分别为两个球面上的振幅．由上式得1221r r A A = 即波的振幅与离开波源的距离成反比．因此球面简谐波的波函数为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=v r t r A y ωcos 式中r 为离开波源的距离，A 在数值上等于离开波源单位距离处波的振幅．§13－5 惠更斯原理及其应用图13－18 图13－19一、惠更斯原理前面讲过，波动之所以能够产生和传播是因为介质中有波源作振动．又由于介质中各质点之间有相互作用，波源的振动引起它附近各点的振动，附近各点的振动又引起更远各点的振动，由此可见波动传到的各点在波的产生和传播方面所起的作用和波源没有什么区别，都引起它附近介质的振动，因此波动传到的各点都可看作新的波源．例如有任意形状的波在水面上传播，AB 为障碍物，AB 有小孔a ，小孔a 的线度远小于波长，这样就可以看见，穿过小孔的波是圆形波，圆心在小孔处，这说明波传到小孔后，小孔成为波源(图13－20)．惠更斯分析和总结了类似的现象，于1690年提出如下原理：介质中波动传到的各点都可以看作是新的波源，由这些新波源发射的波称为次级子波，其后任一时刻这些子波的包络就是该时刻的新波阵面．这就是惠更斯原理．惠更斯原理对机械波或电磁波都适用，不论这些波经过的介质是均匀的或非均匀的，是各向同性的或各向异性的，只要知道某一时刻的波阵面，都可以根据这一原理来决定次一时刻的波阵面．下面以平面波和球面波为例，应用惠更斯原理由某一时刻的波阵面求次一时刻的波阵面．设平面波以速度v 在均匀的各向同性的介质中传播，在某一时刻波阵面的位置是AB ，求τ时间后的波阵面．根据惠更斯原理，AB 上每一点都可以看作发射子波的波源，这些子波亦以速度v 传播，在τ时间后，这些子波的半径为v τ．作各点发出的子波，这些子波的前方包络面显然是平行于AB 的平面A 1B 1，根据惠更斯原理这一包络面就是τ时间后的波阵面．所以一个平面波在均匀的各向同性的介质中传播时，以后仍然是平面波，其传播方向不变(图13－21)．设有球面波在均匀的各向同性的介质中传播，速度为v ，在某时刻波阵面是半径为R 的球面，求τ时间后的波阵面．根据惠更斯原理，球面上每一点都可以(a) (b)图13－20图13－21 图13－22。
大学物理130
三 了解自感和互感的现象,会计算几何形状简 单的导体的自感和互感.
四 了解磁场具有能量和磁能密度的概念, 会 计算均匀磁场和对称磁场的能量.
五 了解位移电流和麦克斯韦电场的基本概念 以及麦克斯韦方程容
第十三章 电磁感应 电磁场
13-1 电磁感应定律 13-2 动生电动势和感生电动势 13-3 自感和互感 13-5 磁场的能量 磁场能量密度 13-6位移电流 电磁场基本方程的积分形式
第十三章 电磁感应 电磁场
本章教学基本要求
一 掌握并能熟练应用法拉第电磁感应定律和 楞次定律来计算感应电动势，并判明其方向.
大学物理课后习题及答案 第13章
第13章 光学一 选择题*13-1 在水中的鱼看来，水面上和岸上的所有景物，都出现在一倒立圆锥里，其顶角为（ ）(A)48.8(B)41.2(C)97.6(D)82.4解：选(C)。
利用折射定律，当入射角为1=90i 时，由折射定律1122sin sin n i n i = ，其中空气折射率11n =，水折射率2 1.33n =，代入数据，得折射角2=48.8i ，因此倒立圆锥顶角为22=97.6i 。
*13-2 一远视眼的近点在1 m 处，要看清楚眼前10 cm 处的物体，应配戴的眼镜是（ ）(A)焦距为10 cm 的凸透镜 (B)焦距为10 cm 的凹透镜 (C)焦距为11 cm 的凸透镜 (D)焦距为11 cm 的凹透镜解：选(C)。
利用公式111's s f+=，根据教材上约定的正负号法则，'1m s =-，0.1m s =，代入得焦距0.11m =11cm f =，因为0f >，所以为凸透镜。
13-3 在双缝干涉实验中，若单色光源S 到两缝S 1、S 2距离相等，则观察屏上中央明纹位于图中O 处，现将光源S 向下移动到图13-3中的S ′位置，则[ ] (A) 中央明纹向上移动，且条纹间距增大(B) 中央明纹向上移动，且条纹间距不变(C) 中央明纹向下移动，且条纹间距增大 (D) 中央明纹向下移动，且条纹间距不变解：选(B)。
光源S 由两缝S 1、S 2到O 处的光程差为零，对应中央明纹；当习题13-3图向下移动至S ′时，S ′到S 1的光程增加，S ′到S 2的光程减少，为了保持光程差为零，S 1到屏的光程要减少，S 2到屏的光程要增加，即中央明纹对应位置要向上移动；条纹间距dD x λ=∆，由于波长λ、双缝间距d 和双缝所在平面到屏幕的距离D 都不变，所以条纹间距不变。
13-4 用平行单色光垂直照射在单缝上时，可观察夫琅禾费衍射。
若屏上点P 处为第二级暗纹，则相应的单缝波阵面可分成的半波带数目为[ ](A) 3个 (B) 4个 (C) 5个 (D) 6个解：选(B)。
大学物理13章 总结
练习2：
• 如图所示，某热力学系统经历一个ced过程， 其中c、d为绝热过程曲线ab上任意两点，则系 统在该过程中： A不断向外界放出热量；B 不断从外界吸收热量； C 有的阶段吸热，有的阶段放热，吸热等于放热； D 有的阶段吸热，有的阶段放热，吸热大于放热； E.有的阶段吸热， a P 有的阶段放热， c 吸热小于放热。
1 ( p1,V , T1 ) 2
V
( p2 ,V , T2 )
V
o
VVoFra bibliotekQVE1
E2
QV
E1
E2
• 等压过程
等 p 压 膨 胀
p
( p,V1, T1 ) ( p,V2 , T2 )
1
2
W
o
V1
V2
V
等 p 压 压 缩
p
( p,V2 , T2 ) ( p,V1, T1 )
2
1
W
o
V2
V1
V
Qp
4
E2
E1
W
Qp
E1
W
E2
•等温过程
等温膨胀 等温压缩
p p1
1 ( p1 ,V1 , T )
p p1
2
1 ( p1 ,V1 , T )
p2
( p2 ,V2 , T )
W
V1
p2
( p2 ,V2 , T )
W
V1
2
o
V2 V
o
V2 V
QT
5
E
W
QT
E
W
•绝热过程 绝热膨胀
p1
绝热压缩
p
p2
2( p2 ,V2 , T2 )
物理第十三章总结
物理第十三章总结物理第十三章是关于机械波的内容。
机械波是一种能量的传递方式，通过物质的振动来传播的波动现象。
这一章主要介绍了机械波的特征、传播规律以及与波相关的一些概念和现象。
本章的内容大致可以分为以下几个部分：第一部分是波的基本概念。
首先介绍了波的定义和波的种类，包括机械波和电磁波等。
然后介绍了波的特性，如波的传播介质、波的传播方向、波的传播速度等。
最后介绍了波的干涉和衍射现象，以及波的能量传递和波的超前现象。
第二部分是波的传播规律。
介绍了波的波动方程和波速的计算方法，以及波的传播过程和波的叠加原理。
还介绍了波的反射、折射和透射规律，包括波的入射角和折射角之间的关系等。
第三部分是波动力学。
介绍了波的能量和能量传递的计算方法，以及波的强度和功率的定义和计算方法。
还介绍了波的频率和波长的关系，以及波的相速度和群速度的定义和计算方法。
第四部分是声波和光波。
首先介绍了声波的特性和传播规律，包括声波的频率和音调的关系、声波的传播速度和反射规律等。
然后介绍了光波的特性和传播规律，包括光的频率和颜色的关系、光的传播速度和折射规律等。
最后一部分是波的应用。
介绍了波的应用领域和一些具体应用，如声音的传播和频率的测量、光的传播和折射的应用等。
还介绍了一些在波动现象研究中使用的实验方法和测量技术，如干涉仪、衍射仪和光栅等。
通过学习本章的内容，我们可以了解到机械波的一些基本概念和特性，以及波的传播规律和波动力学的一些基本原理。
这对于我们进一步研究和应用波动现象具有重要的意义。
同时，本章的内容也为我们理解和解释一些与波有关的实验现象和现实生活中的一些现象提供了基础和依据。
总的来说，物理第十三章是关于机械波的内容，主要介绍了机械波的特征、传播规律以及与波相关的一些概念和现象。
通过学习本章的内容，我们可以深入了解和理解波动现象的基本原理和应用。
这对于我们进一步研究和应用波动现象具有重要的意义。
大学物理第13章 机械波
图13-14 细棒中的纵波
在波的传播过程中，每一个质元的 动能和势能都随时间t做周期性变化，且 在任意时刻两者都是相等的，同时达到 最大，同时达到最小。 在平衡位置时，质元的速度最大， 动能达到最大，则势能也达到最大；在 最大位移处，质元的动能为零，势能也 为零。
即波动中，每一个质元的能量是不 守恒的，它不是独立地做简谐振动，它 与相邻的质元间有着相互作用，该质元 不断地从后方介质获得能量，又不断地 将能量释放到前方的介质，所以说波动 过程就是能量的传递过程。
图13-6 简谐波
13.2.1 平面简谐波的波函数
设有一平面简谐波，以速度 在均匀 无吸收的介质中传播。如图13-7所示， 取任一波线为x轴，O点为原点。t时刻O 点处质点的振动表达式为
yO = A cos(t + )
图13-7 简谐波 波形图
13.2.2 波函数的物理含义
图13-8 位移一定时波形图
13.1.1 机械波产生的条件
绳波是一种简单的机械波，在日常 生活中，我们拿起一根绳子的一端进行 抖动，就可以看见绳子上出现一个波形 在传播，如果连续不断地进行周期性上 下抖动，就形成了绳波。
把绳分成许多小部分，每一小部分 都看成一个质点，相邻两个质点间，存 在弹力的相互作用。 第一个质点在外力作用下振动后， 就会带动第二个质点振动，只是第二个 质点的振动比前者要落后。
图13-19 惠更斯
图13-20 波面和波线
13.4.2 波的衍射
波在传播过程中当遇到障碍物时， 能绕过障碍物的边缘而继续传播，这种 偏离原来的直线传播的现象称作波的衍 射。 衍射是波的特有现象，一切波都能 发生衍射。
图13-18 水波
13.4.1 惠更斯原理
大学物理第13章 量子物理
5
在短波区， 很小 普朗克公式 →维恩公式
,T
2hc
2
,T
2 hc 2
1 ehc / kT 1
5
5
e
x
hc ,
e
hc kT
x 1
hc 1 kT
普朗克公式 →瑞利-金斯公式
( , T )
实验
维恩公式 T=1646k
,T c1 e
5 c2 / T
其中c1，c2 为常量。
高频段与实验符合很好，低频段明显偏离实 验曲线。
瑞利— 金斯公式
( , T )
实验 瑞利-琼斯
1900年6月，瑞利按经 典的能量均分定理， 把空腔中简谐振子平 均能量取与温度成正 比的连续值，得到一 个黑体辐射公式
能量子概念的提出标志了量子力学的诞生，普 朗克为此获得1918年诺贝尔物理学奖。
2. 黑体辐射的两个定律： 斯特藩 — 玻耳兹曼定律
M (T ) T 4
5.67 10 w/m K —— 斯特藩 — 玻耳兹曼常量
2 4 8
1879年斯特藩从实验上总结而得 1884年玻耳兹曼从理论上证明
要求自学光电效应的实验规律和经典波动理 论的困难。
实验规律 （特点）： ① 光强 I 对饱和光电流 im的影响： 在 一定时， m I 。 i
② 频率的影响：
截止电压 U c K U 0 与 光强I 无关；
U0 。 存在红限频率 0 K
③ 光电转换时间极短 <10-9s 。 2、波动理论的困难：不能解释以上②、 ③
1 1 R 2 2 n 1 1 n 2, 3,4, n 4,5,6,
大学物理第13章磁力
+
v
B
所以：F = 0 结论： 带电粒子作匀速直线运动。
2、运动方向与磁场方向垂直
F qvB
运动方程：
v qvB m R
运动半径：
2
v
R
+ F
B
答案：空穴、电子
13.3 载流导线在磁场中受的磁力
一、安培力
实验发现，外磁场对载流导线有力的作用，
这个力称为安培力。
载流导线在磁场中所受到的磁 力（安培力）的本质是：在洛伦 兹力的作用下，导体作定向运动 的电子和导体中晶格上的正离子 不断地碰撞，把动量传给了导体 ，从而使整个载流导体在磁场中 受到磁力的作用。
到由于粒子间的碰撞而被逐出为止。
被地磁场捕获的罩在地球上空的质子层和电 子层，形成范· 阿仑(Van Allen）辐射带。
范· 阿仑辐射带有两层 内层 地面上空 800 km - 4 000 km 外层 在 60 000 km 处
在地磁场的南、北两极附近由于磁感应线与地 面垂直，由外层空间入射的带电粒子可直接射入 高空大气层内。 高速带电粒子与 大气分子相互碰 撞产生的电磁辐
mv R qB
周期：
2 R 2 m T qB v
1 qB T 2 m
与速度 v 无关
频率：
结论： 带电粒子作匀速圆周运动，其周期 和频率与速度无关。
1930年狄拉 克预言自然 界存在正电 子 1932年安德 森得以验证
正电子
电子
B
铅板
显示正电子 存在的云室 照片及其摹 描图
大学物理 第十三章
13.1 热辐射与普朗克的量子假设
维恩公式和瑞利—金斯公式
1896 年，德国物理学家维恩根据经典热力学
和统计力学推导出了维恩公式，即
M
(T
)
c1
5e
c2 T
式中 c1 ， c2 ——常数。
1900 年，英国物理学家瑞利和金斯根据经典 电磁学理论和经典统计的能量均分定理推导出 了瑞利—金斯公式，即 M (T ) 2πcT 4
13.1 热辐射与普朗克的量子假设
， ，
，
，
为了定量描述热辐射能量按波长分布的规律，我们引入了单色辐出度的概念。单色辐出度是指在一定温
度 T 下，单位时间内物体表面单位面积上所辐射出的波长在 ～ d 区间内的辐射能 dM (T ) 与 d 的比值，
用 M (T ) 表示，即
M
(T
为了找出这个公式的理论依 据，普朗克提出了一个大胆的假 设，即普朗克能量子假设
振子辐射或吸收电磁波时，与周围电磁场交换的能量是不连
续的，这些能量只能是某一最小能量 的整数倍，即 ，2 ， 3 ， ，最小能量 称为能量子，它与简谐振子的频率 成
正比，即 h
13.2 爱因斯坦光量子假设
将式
1 2
mvm2
eUc
代入式 Uc
k
U0
中，可得
1 2
mvm2
ek
eU0
当入射光的频率减小时，光电子的最大初动能也随之减小。当频率减小到某一值 0 时，光电子的最大
初动能降为零，此时不再发生光电效应。因此，我们将 0 称为光电效应的截止频率，又称为红限频率，即
0
U0 k
13.2 爱因斯坦光量子假设
大学物理第十三章
大学物理 电磁学
主要内容
（一）电流和电流密度 欧姆定律
（二）磁场与磁感应强度
（三）毕奥-萨伐尔定律
（四）安培环路定理
（五）与变化电场相联系的磁场
§13-1电流 电流密度 欧姆定律
一、 电流和电流密度
电流—电荷的定向移动
载流子——带电粒子
q dq I lim t 0 t dt
1
E dl 0
L
I R r
i i
L
Ene dl
I dl Ldl S L
J
i
I R r 全电路欧姆定律
§13-2 磁场与磁感应强度
一、 磁力与电荷的运动
磁力的基本现象 演示实验
磁体—磁体
Ba dS Bb dS 0
S
a
S
b
Ba S Bb S 0
Ba Bb
三、磁场的高斯定律
例2、无限长直导线通以电流I，求通过矩形平面的磁 I 通量。已知I、a、b、l以及 B 0 。 2 r 解： dS ldr
I
l
dS
r dr
a
dE dB
E dE B dB
Idl
毕奥-萨伐尔定律
dB
电流元 Idl 在P点产生的磁场：
r
0 Idl er dB 2 4 r
dB
I
P*
r
Idl
0
1 4 10 7 N / A 2 0c 2
真空磁导率
一、毕奥—萨伐尔定律
大学物理：第 13 章 电介质
若点电荷 q0 处于q 的电场中，
静电能为：
把q0从P点移到无限远时 静电场力作的功，就是 “系统”的静电势能。 或：把q0从无限远移动到P点的过 程中，外力反抗静电力作的功。
* 对于点电荷体系（或连续带电体），系统的能 量可以有类似的定义： 把点电荷体系无限分离到彼此间相距无限远的 过程中静电场力作的功，叫作该系统时的静电势 能。 对连续带电体，可以把带电体看成是由无限多 电荷元组成的点电荷体系。这样，连续带电体的 静电能量的定义同上。
一、电介质的分类
1. 有极分子： 无外场时，分子等效正、负电荷中心 不重合分子固有电偶极矩。
O-H+
-q H+
+
H 2O
=
+q
2. 无极分子： 无外场时，分子等效正、负电荷中心 重合无分子பைடு நூலகம்有电偶极矩。
-
+
+
-
=
±
-
O2
二、电介质的极化
1. 无极分子的位移极化 O2
-
- +
-
- -
+
-
-
- + + - + -+ p
四、电容器储存的静电能量(带电 Q)
+q
A
B
-q
dq +
uAB
+
电容器的静电能：
1Q 1 1 2 QU CU 2 C 2 2
2
五、电场的能量，能量密度
设带电系统静电作用能量是以电场能量 的形式储存在电场中的。 以平板电容器为例：
其中：
电容器体积：V = Sd
电场的能量密度： 单位体积电场所具有的能量
大学物理第13章
§13.1 电磁感应定律 §13.2 动生电动势 §13.3 感生电动势 §13.4 涡电流 §13.5 自感和互感 §13.6 电感和电容电路的暂态过程 §13.7 磁场的能量 有旋电场
§13.1 电磁感应定律 1. 法拉第电磁感应定律 法拉第的实验: 法拉第的实验 S N v
dW = εi I dt = BlvI dt = I d Φ
这正好与磁力所做的功相等。 这正好与磁力所做的功相等。
感生电动势、 §13.3 感生电动势、有旋电场 1. 产生感生电动势的机制 产生感生电动势的机制——感应电场 i 感应电场E 感应电场 2 两个静止的线圈： 两个静止的线圈： 线圈1中 →变化时， 线圈 中，I→变化时 线圈2中出现 中出现→ 线圈 中出现→感应电流 Ii Ii
εi εi εi ∧ ∧ ∧ ( B, n) < 90 ( B, n) > 90 ( B, n) > 90 φ =∫ B cosθ ds >0 φ <0 φ >0 φ <0 dφ dφ dφ dφ ↓ > 0 若φ↓, < 0 若|φ|↑, ↑ < 0 若|φ|↓, dt > 0 dt dt dt 则 εi<0 若φ↑, 则 εi<0 则 εi>0 则 εi>0 反向 与假定方向相反 同向 同向
B
v
共同因素：穿过导体回路的磁通量φM发生变化 发生变化。 共同因素：
dφ εi = − dt
法拉第电磁感应定律
其中ε 其中εi为回路中的感应电动势 为回路中载流子提供能量） （εi为回路中载流子提供能量）
注意: 注意:
“–”表示感应电动势的方向， εi和φ都是标量，方向 表示感应电动势的方向， 都是标量， 表示感应电动势的方向 只是相对回路的绕行方向而言。如下所示： 只是相对回路的绕行方向而言。如下所示： n n n n B B
大学物理第13章ppt课件
sin 2 Iθ I0( )
a sin E C a 其中： 0
sin
p E 0 p点的合振幅为：E p点的光强为：
二、光强分布：
主极大：
asin 2 sin I I ( ) o
a sin 0
kkd 整数 ——缺 级 a
d sin k
即： d ——干涉极大 0 , 1 , 2 , sin kk
k 1 , 2 ,
4
2 1 0 1
2
4
回 顾
s in 2 ) 单缝的夫琅和费衍射 I I 0(
双缝夫琅和费衍射
sin 2 2 I I ( ) co s 0
∴ I次极大 << I主极大
相对光强曲线
0.017 0.047
1
I / I0
0.047
0.017
-2( /a) -( /a) 0 /a 2( /a)
a sin k
sin
次极大条纹的宽度：
a sin k
λ
1
0
0
1 k 1 k a2 0
一、双缝衍射现象： 两个单缝衍射的干涉！强度重新分布。 二、双缝衍射的强度分布 d a b ) 设缝宽为a，缝间距为d ( p点的合振幅为：
si n E E cos p 0
x
a
dbdS ldx Nhomakorabea
sin 2 2 I ( ) co s p点的光强为：I 0
d sin
衍射因子
干涉因子
结果：双缝衍射的强度曲线是单缝衍射强度对双缝干涉强度进
大学物理_第十三章_课后答案
a sin ϕ = (2k + 1)
λ 2 ， k = 1,2,3 ⋅ ⋅ ⋅
x 1.4 = = 3.5 × 10 −3 = tan ϕ ≈ sin ϕ f 400 由 2a sin ϕ 2 × 0.6 λ= = × 3.5 × 10 −3 2k + 1 2k + 1 故 1 = × 4.2 × 10 −3 2k + 1 mm o λ = 6000 A 当 k = 3 ，得 3
得 (2)因第四级缺级，故此须同时满足
0.20(a + b) = 2 × 6000 × 10 −10 0.30(a + b) = 3 × 6000 × 10 −10 a + b = 6.0 × 10 −6 m (a + b) sin ϕ = kλ a sin ϕ = k ′λ a+b a= k ′ = 1.5 × 10 −6 k ′ 4
答：因为衍射角 ϕ 愈大则 a sin ϕ 值愈大，分成的半波带数愈多，每个半波带透过的光通量 就愈小，而明条纹的亮度是由一个半波带的光能量决定的，所以亮度减小． 13-5 若把单缝衍射实验装置全部浸入水中时，衍射图样将发生怎样的变化?如果此时用公
a sin ϕ = ± (2k + 1)
式 在水中的波长?
λ 答： 不矛盾． 单缝衍射暗纹条件为 a sin ϕ = kλ = 2 k 2 ， 是用半波带法分析(子波叠加问题)． ϕ 相邻两半波带上对应点向 方向发出的光波在屏上会聚点一一相消，而半波带为偶数，故
形成暗纹；而双缝干涉明纹条件为 d sin θ = kλ ，描述的是两路相干波叠加问题，其波程差 为波长的整数倍，相干加强为明纹．
o
a+b =
解：
大学物理第13章
K1 K 2 K1 K 2
k1 k 2 ( k1 k 2 ) m
代入频率计算式，可得：
1 2
k 1 m 2
13-3 如图 13-25 所示，有一截面积为 S 的空心管柱，配有 质量为 m 的活塞， 活塞与管柱间的摩擦略去不计。 在活塞处 于平衡状态时，柱内气体的压强为 p，气柱高为 h。若使活 塞有一微小位移，活塞将上下振动，证明它在竖直方向的振 动为简谐振动，并计算其振动频率。设气体温度不变。
K g 9.8 196 m x 5 10 2
又ω=
k 196 14 ,即 m
1 2
k 7 m
（2）物体在初始位置下方 8.0cm 处，对应着是 x=3cm 的位置，所以： cos 0
x 3 A 5
那么此时的 sin 0
那么速度的大小为 v
x 0 (v 0 ) 2 因此，确定初始速度 v 0 和初始位移 x 0
2
是求解振幅 A 的关键。 物体落到盘中，与盘作完全非弹性碰撞，由动量守恒定律可确定盘 与物体的共同初速度 v 0 ，这也是该振动系统的初始速度。 在确定初始时刻的位移 x 0 时， 应注意新振动系统的平衡位置应是盘和物体悬挂在弹簧上的平衡位置。 因此，本题中初始 位移 x 0 ，也就是空盘时的平衡位置相对新系统的平衡位置的位移。 解： （l）空盘时和物体落入盘中后的振动周期分别为
式中 v
m2 m2 v m1 m2 m1 m2
2 gh
2 gh 是物体由 h 高下落至盘时的速度。故系统振动的振幅为
A x 0 ( v 0 ) 2
2
m2 g k
1
2kh (m1 m2 ) g
大学物理第13章磁力
我国于1994 年建成的第 一台强流质 子加速器 ， 可产生数十 种中短寿命 放射性同位 素.
§13.2 Hall 效应
霍耳效应：磁场中的载流半导体出现横向电压的现
象
§13.2 Hall 效应
B
IB 霍耳电压 U H RH d F
m
+ + + + b vd +q - - - - qEH qvd B
B
dl
I nevd S
dF IdlB sin IdlB sin 安培力 dF Idl B
§13.3 载流导线在磁场中受的磁力
有限长载流导线所受的安培力
dF Idl B F l dF l Idl B
Id l
F1
M
P
O
I
N
F4
F2
B
en
O,P
线圈有N匝时 M NISen B
F2
M,N F1
B
en
e （1） n 与 B
讨 论
同向 （2）方向相反 （3）方向垂直 不稳定平衡
×
稳定平衡
× ×
力矩最大
×
×
×
I
×
×
. .
.
×
× × ×
×
× × ×
磁聚焦 在均匀磁场中点 A 发射一束 与 初速度相差不大的带电粒子，它们的 v0 B 之间的夹角 不同，但都较小，这些粒 子沿半径不同的螺旋线运动，因螺距近似 相等，相交于屏上同一点，此现象称为磁 聚焦 . 应用 电子光学，电 子显微镜等 .
三 带电粒子在电场和磁场中运动举例
《大学物理》第十三章 狭义相对论
S
v
往返时间：t0
2l0 c
O x1
l0
x2 x
入射路程：
dv
S
d l vt1
S
l
vt1 x
d ct1
解得
O x1
x2 x
l t1 c v
同理可得光脉冲从反射镜返回到光源的时间：
t2
c
l
v
全程所用时间： t t1 t2
即
t l l cv cv
2l c 1 v2
c2
因为 t t0 1 v2 c2
“绝对空间就其本质而言，是与任何外 界事物无关、而且是永远相同和不动 的。”——绝对时空观
显然，绝对时空观符合人们日常的经验和习惯。
13-1-3 迈克耳孙-莫雷实验
以太风
M1 l2
G
地球相对于以太速度：v
光在以太速度：c
M2
S
l1
实验原理图
T
光路（1） • 光顺着以太方向传播
cv
S
vc
M1 l2
• 1895-1896
瑞士阿劳中学一年
1900-1902
艰辛求职，四面碰壁
• 1902-1909
伯尔尼发明专利局工作
•
1905 提出狭义相对论
• 1909-1914
进入大学工作（苏黎士，布拉格等地）
• 1914-1933
柏林大学教授，德国院士
•
1915 提出广义相对论
• 研究员1933-1955
美国普林斯顿大学高级研究所
• 1955年4月18日 逝世
6
• 希尔伯特： • 没有比专利局对爱因斯坦更适合的工作
单位了
• 空闲、宽容
大学物理第13章
' I
4. 如图，一根载流无限长直导线与一个载流 正三角形线圈在同一个平面内。若长直导线固定 A 不动，则载流三角形线圈将 [ ] A.向着长直导线平移 C.远离长直导线平移 B.转动 D.不动
I1
I2
5.一圆形电流 I1 与一根长直电流 I2 共面，并 与其一直径相重合，如图，两者间绝缘。设长直 电流不动，则圆形电流将[ ] A)绕 I2 旋转 C)向右运动 B)向左运动 D)不动
特例：均匀磁场中的任意 闭合电流所受合力为零。
注：本题是非均匀磁场。 [例3] 一根无限长直导线载有电流 I1 ，它与长为 L、载有电流 I2 的直 导线相互垂直，距离为 d，如图所示。求导线 L 所受磁力。 解：考虑 L 上的电流元 I 2 dr ，它距无限长直 导线为 r 。无限长直导线在该电流元处产生的磁 感强的方向垂直纸面向里，大小为
0 4 107 N/A 2
这是依照 SI 中确定电流强度单位“安培”的方法而得出的。 1948年第九届国际计量大会确定：“安培是一恒定电流，若 保持在处于真空中相距 1 米的两无限长而圆截面可以忽略的平行 直导线内，则这两导线之间产生的力在每米长度上等于 2 107 牛顿。”
dF 0 I 2 dl 2d
D
B
解： F IL B ILB sin IB 2a sin 135 IBa （方向垂直纸面向里）
2.如图，一根载流 I 的导线，被折成长度分别 为 a、b ，夹角为120度的两段，并置于均匀磁场 B 中，若导线的长度为 b 的一段与 B 平行，则 a、b 两段所受的合磁力的大小为[ 3IBa/ 2 ]
5.一圆形电流 I1 与一根长直电流 I2 共面，并 与其一直径相重合，如图，两者间绝缘。设长直 电流不动，则圆形电流将[ C ]
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θ B
半波带 a 半波带
1 2
相消
1′
2′
相消
1 2
1′
2′
A
/2
半波带 半波带
两个半波带发的光，在 p 点干涉相消形成暗纹。
（2）当a sin
3 2
时，可将缝分成三个半波带，
B θ 其中两相邻半波带的衍射光相消， 余下一个半波带的衍射光不被抵消
a
A
— 在 p 点形成明纹（中心）
/2
（3）当 a sin 2 时，可将
相应 ： a sin 1.43, 2.46, 3.47,…
半波带法： 1.50, 2.50, 3.50,…
4、光强：将 1.43π ， 2.46π， 3.47π ，…
依次带入光强公式
I
I
0
sin
2
，
得到
从中央（光强 I0）往外各次极大的光强依
次为0.0472I0 ， 0.0165I0， 0.0083I0 …
解 rk kR
rk5 (k 5)R
5R
r2 k 5
rk2
R
r2 k 5
rk2
(7.96mm )2
(5.63mm )2
10.0m
5
5 633nm
总结 1）干涉条纹为光程差相同的点的轨迹，即厚 度相等的点的轨迹
k 1
d
d
2n
2）厚度线性增长条纹等间距，厚度非线性增长 条纹不等间距
(
t
2
r
)
d
S
E0 (
p) cos
t
(
p) ______
菲涅耳积分。p 点波的强度 I p E02( p)
1882年以后，基尔霍夫（Kirchhoff）求解电
磁波动方程，也得到了E(p)的表示式， 这使得
惠更斯 — 菲涅耳原理有了波动理论的根据。
由菲涅耳积分计算观察屏上的强度分布，很
复杂。常用半波带法、振幅矢量法。
由
π a sin kπ
此时应有 asin k
这正是缝宽可以分成偶数个半波带的情形。
3、次极大位置：满足 d I 0 tg
d
y y1 = tg
·
· y2 =
-2 - ·0
2
·
·
-2.46 -1.43
0
+1.43 +2.46
解得 ： 1.43π ， 2.46π ， 3.47π ，…
解 a sinθ
θ
sinθ
a
θ
x 2 f tan θ
2f
a
2 546 109 0.40 0.437 103
1.0 103
m
例2 设有一单色平面波斜射到宽度为 b 的单缝
上（如图），求各级暗纹的衍射角 .
解 AD BC
b(sin sin)
由暗纹条件
b(sin sin) k
(k 1,2,3, )
A
b
D
C
B
arcsin( k sin)
b
例3 如图，一雷达位于路边 15m 处，它的射束与
公路成15角. 假如发射天线的输出口宽度 b 0.10m，
发射的微波波长是18mm ，则在它监视范围内的公路长 度大约是多少？
解 将雷达天线输出口看成是发出衍射波的单缝， 衍射波能量主要集中在中央明纹范围内.
三、光强公式 用振幅矢量法可导出单缝衍射的
光强公式：
I
I
0
sin
2
其中 π a sin ，
1、主极大（中央明纹中心）位置 0 处， 0 sin 1 I I0 Imax
2、极小（暗纹）位置
I
I
0
sin
2
当 k π（k 1,2,3 ）时，
sin 0 I 0
单 色 光 源
G1
当 M1不垂直于M 2
时，可形成劈尖
型等厚干涉条纹.
反
射
镜
G2
M2
迈克尔孙干涉仪的主要特性
两相干光束在空间完全分开，并可用移动反射镜 或在光路中加入介质片的方法改变两光束的光程差.
M'2 M1
d
d
移动反射镜
d k
2
M1
移
干涉
G1
G2
M2
动 距
离
条纹 移动 数目
➢ 干涉条纹的移动 当 M1 与 M2 之间
光源 S
*
障碍物
观察屏
L
D
B
P
（1）菲涅耳衍射(近场衍射）
L 和 D中至少有一个是有限值。
（2）夫琅禾费衍射（远场衍射）
L 和 D皆为无限大（可用透镜实现）。
菲涅尔衍射
S
缝
P
夫琅禾费 衍射 缝
光源、屏与缝相距有限远 光源、屏与缝相距无限远
在夫
实琅
验禾 中费
S
L1
R
L2
P
实衍
现射
圆孔的衍射图象：
L S
3）条纹的动态变化分析（ n, , 变化时）
4 ）半波损失需具体问题具体分析
n n
n1 n3
n2
n1 n2 n3
4 ）半波损失需具体问题具体分析
n n
n1 n3
n2
n1 n2 n3
迈克耳孙干涉仪
迈克耳孙在工作
迈克耳孙 （A.A.Michelson）
美籍德国人
因创造精密光学 仪器，用以进行 光谱学和度量学 的研究，并精确 测出光速，获 1907年 诺 贝 尔 物 理奖。
暗纹： (e) (2k 1) ，k = 0，1，2，3…
2
同一厚度e对应同一级条纹 — 等厚条纹
光程差 2d
2
R
k (k 1,2, ) 明纹
(k 1) (k 0,1, ) 暗纹
2
r
d
r2 R2 (R d)2 2dR d 2
R d d 2 0
r (k 1)R 明环半径
P1 B
P2
P3
P4
孔的投影 菲涅耳衍射
夫琅禾费衍射
二、惠更斯—菲涅耳原理
惠更斯：光波阵面上每一点 都可以看作新的子波源，以 后任意时刻，这些子波的包 迹就是该时刻的波阵面。
——1690年
惠更斯解释不了 光强明暗分布！
菲涅耳补充：从同一 波阵面上各点发出的 子波是相干波。
——1818年
波传到的任何一点都是子波的波源。
I / I0
相对光 强曲线
1
衍射屏 L 观察屏
1
中央亮斑
（爱里斑）
sin
0
1.22(/D)
爱里斑
圆孔孔径为D f
集中了约
D sin1 1.22
θ1
1.22
λ D
D
爱里斑变小
84% 的 衍 射光能。
2、透镜的分辩本领
几何光学：
（经透镜）
物点 象点
物（物点集合） 象（象点集合）
波动光学 ： （ 经透镜） 物点 象斑
1 I / I0
相对光强曲线
I次极大 << I主极大
0.017 0.047
0.047 0.017
2
aa
0
2
aa
sin
sin
角宽度
0
2
a
单缝衍射图样
四、条纹的宽度
1、中央明纹宽度：两个第一级暗纹间的距离。
观测屏
a sin
衍射屏透镜 x2
一般角较小，有
x1 x
sin1 1
1
0
x0
I
0
角宽度
d 15m
15 b 0.10m
s1
s s2
1 15
2
d 15m
b 0.10m
根据暗纹条件 b sin , arcsin 10.37
b
s2 s s1 d (cot2 cot1)
d[cot(15 ) cot(15 )] 153m
§12.3 光学仪器的分辨本领
1、圆孔的夫琅禾费衍射
显微镜：D不会很大，但 R
电子 ：0.1A 1A（10 -2 10 -1 nm）
所以电子显微镜分辨本领很高， 可观察物质的微观结构。
近场光学显微镜：分辨率几十纳米
例1 设人眼在正常照度下的瞳孔直径约为3mm， 而在可见光中，人眼最敏感的波长为550nm，问
（1）人眼的最小分辨角有多大？
物（物点集合） 象 （象斑集合）
衍射限制了透镜的分辨能力。
瑞利判据 对于两个等光强的非相干的物点，如果
一个象斑的中心恰好落在另一象斑的边缘 （第一暗纹处），则此两物点被认为是刚刚
可以分辨的。若象斑再靠近就不能分辨了。
非相干叠加
两个光点 刚可分辨
瑞利判据
两个光点 不可分辨
小孔（直径D）对两个靠近的遥远的点光源的分辨 离得远 可分辨
r 2 dR ( )R
2
2
r kR
暗环半径
测量透镜的曲率半径
rk2 kR
R
r
r2 km
(k
m)R
R
r2 km
r2 k
m
2r
例2 用氦氖激光器发出的波长为633nm的单色光
做牛顿环实验，测得第 k 个暗环的半径为5.63mm , 第 k+5 暗环的半径为7.96mm，求平凸透镜的曲率半径R.
解 Δ1 Δ2 2(n 1)l 107.2
n 1 107 .2 1 107 .2 546 107 cm
2l
2 10 .0cm
1.00029
§13.1 衍射现象、惠更斯—菲涅耳原理 一、光的衍射 1、定义：光而在偏传离播直过线程传中播能的绕现过象障叫碍光物的的衍边射缘。