必修课六斐波那契的秘密
斐波那契数列的6大结论
斐波那契数列的6大结论斐波那契数列，这个名字听起来就像是数学界的魔法。
没错，斐波那契数列的魅力就在于它看似简单，却藏着无尽的奥秘。
今天咱们就来聊聊这条神秘的数字之路，顺便带点幽默，轻松一下。
1. 斐波那契数列是什么？1.1 说白了，斐波那契数列就是这样一串数字：0、1、1、2、3、5、8、13、21，依此类推。
你可能会问，这数字有什么了不起的？其实，这串数字的产生规则非常简单：前两个数相加，得到下一个数。
就像做饭，先放盐再放胡椒，最后成了一道美味的菜。
1.2 你看，这数列不光是数学家们的心头好，艺术家、建筑师也爱得不得了。
比如，著名的“黄金比例”就跟它有千丝万缕的联系。
可以说，斐波那契数列就像是宇宙的乐谱，处处都能听到它的旋律。
2. 自然界的魅力2.1 斐波那契数列在自然界中无处不在，这可不是我随便说说。
你注意过向日葵的花瓣吗？它们的排列方式就遵循这个数列，真是神奇得让人赞叹不已。
就像大自然的设计师，精心安排了一切。
2.2 除了花瓣，松果、贝壳甚至是一些水果的种子分布也都跟斐波那契数列有关。
这让人不禁想，难道自然界也在暗自欣赏这串数字的美妙？就像人们欣赏一幅完美的画作，心里忍不住咯噔一下。
3. 斐波那契与生活3.1 在我们的日常生活中，斐波那契数列其实也无处不在。
比如说，咱们日常见到的许多设计和建筑，往往都运用了这个数列的美学原则。
你看看那些高楼大厦，有的外形简直就是一幅现代艺术画，背后其实都有数学的影子。
3.2 另外，许多经济学模型也利用了斐波那契数列来预测市场走势。
这就像在打麻将，灵活运用每一张牌，才能获得胜利。
数列的神秘力量在这里展露无遗，让人不禁感慨：数字背后藏着多少智慧呀！4. 学习与探索4.1 学习斐波那契数列，简直就像是一场冒险旅行。
起初可能有点不知所措，但随着深入，真的会发现不少惊喜。
就像走进一个藏满宝藏的洞穴，越走越想探索下去。
4.2 斐波那契数列的应用范围广泛，甚至可以帮助我们理解一些复杂的现象。
斐波那契数的规律
斐波那契数的规律嘿，朋友们！今天咱来聊聊那神奇的斐波那契数呀！这斐波那契数啊，就像是数学世界里的一串神秘密码。
你看啊，从 1，1 开始，后面的每个数都等于前两个数的和。
就好像是一级一级的台阶，让我们不断往上爬，去探索更奇妙的数学天地。
咱可以把斐波那契数想象成是生活中的一些有趣现象。
比如说，兔子的繁殖！一对小兔子长大以后，每个月能生出一对小兔子，那兔子的数量增长不就有点像斐波那契数的增长嘛！刚开始可能就那么一两只，慢慢地越来越多，越来越多。
再想想大自然中的那些美丽图案，有些花朵的花瓣数，不也常常和斐波那契数有关系嘛！这难道不是大自然在向我们展示斐波那契数的神奇魅力吗？这多有意思呀！斐波那契数还有一个特别神奇的地方，就是它在很多领域都有出现呢！不只是数学，在艺术、建筑等方面也都能看到它的影子。
就好像它是一把万能钥匙，能打开各种不同领域的大门。
而且哦，斐波那契数的规律有时候还能帮我们解决一些实际问题呢！比如说在设计一些图案或者排列东西的时候，按照斐波那契数的规律来，可能会让整个布局看起来更加和谐、美观。
你说这斐波那契数是不是很神奇？它就像是一个隐藏在数学世界里的宝藏，等着我们去不断挖掘、发现。
我们在生活中不也常常会遇到这样看似简单却蕴含着大道理的事情吗？就像斐波那契数，一开始可能觉得不就是几个数字嘛，但深入了解后才发现它的奥秘无穷无尽。
那我们是不是也应该像对待斐波那契数一样，对生活中的各种事物都保持着好奇心和探索精神呢？不要轻易地就忽略那些看似普通的东西，说不定它们背后都有着让人惊叹的一面呢！斐波那契数，真的是让我们感受到了数学的魅力和神奇。
它不仅仅是一些数字的组合，更是一种智慧的体现，一种对世界的独特解读。
所以啊，朋友们，可别小看了这斐波那契数哦！。
斐 波 那 契 及 费 氏 数 列 不 为 人 知 的 惊 世 秘 密
斐波那契及费氏数列不为人知的惊世秘密。
〔转载〕地震、海啸、洪水、沙尘暴、森林火灾、热浪、瘟疫、战争为什么接二连三地爆发？为什么与人类社会的经济大萧条同时发生？这个世界终究是怎么了？=======================================================================人类文明的斐波那契演进：人类是一种将无知的经济学家整出的垃圾当科学，拿科学预测当巫术的愚蠢动物。
(注：13世纪意大利著名数学家斐波那契)斐波那契及费氏数列简介：欧洲数学在希腊文明衰落之后长期处于停滞状态，直到12世纪才有复苏的迹象。
这种复苏开场是受了翻译、传播希腊、阿拉伯著作的刺激。
对希腊与东方古典数学成就的开掘、探讨，最终导致了文艺复兴时期〔15～16世纪〕欧洲数学的高涨。
文艺复兴的前哨意大利，由于其特殊地理位置与贸易联系而成为东西方文化的熔炉。
意大利学者早在12～13世纪就开场翻译、介绍希腊与阿拉伯的数学文献。
欧洲，黑暗时代以后第一位有影响的数学家斐波那契〔Fbonacc·约1170～1250〕，其拉丁文代表著作?算经?、?几何实践?等也是根据阿拉伯文与希腊文材料编译而成的，斐波那契，即比萨的列昂纳多〔Leonardo of Pisa〕，早年随父在北非从师阿拉伯人习算，后又游历地中海沿岸诸国，回意大利后即写成?算经?〔Liber Abac·1202，亦译作?算盘书?〕。
?算经?最大的功绩是系统介绍印度记数法，影响并改变了欧洲数学的面貌。
现传?算经?是1228年的修订版，其中还引进了著名的“斐波那契数列〞。
?几何实践?〔Practica Geometriae，1220〕那么着重表达希腊几何与三角术。
斐波那契其他数学著作还有?平方数书?〔VLiberQuadratorum，1225〕、?花朵?〔Flos，1225〕.... 等，前者专论二次丢番图方程，后者内容多为菲德里克〔Frederick〕二世宫廷数学竞赛问题，其中包含一个三次方程／十2x2十10x～－20求解，斐波那契论证其根不能用尺规作出〔即不可能是欧几里得的无理量〕，他还未加说明地给出了该方程的近似解〔J 一1．785〕。
斐波那契的原理
斐波那契的原理斐波那契数列是一个非常经典的数列，其原理可以用数学方法来解释。
斐波那契数列的前两个数是0 和1，后续的每个数都是前两个数之和。
例如，斐波那契数列的前几个数是：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...这个数列的神奇之处在于，它包含了许多有趣的数学性质和规律。
例如，从第三个数开始，每个数都等于前两个数之和；前两个数的比例逐渐趋近于黄金分割比例（约为0.618）等等。
斐波那契数列在自然界和人类社会中也有许多应用。
例如，在植物学中，许多植物的花瓣数量、叶子排列方式等都遵循斐波那契数列的规律；在金融学中，斐波那契数列也被用于预测股票价格走势等。
总之，斐波那契数列是一个非常有趣和神秘的数列，其原理涉及到数学、自然界和人类社会等多个领域。
对于对数学和自然科学感兴趣的人来说，研究斐波那契数列的原理和应用是一件非常有意义的事情。
在数学领域，斐波那契数列与许多其他数学概念和理论有着紧密的联系。
例如，它与黄金分割、复数、矩阵等都有深刻的数学联系。
黄金分割是指将一条线段分为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
这个比例约为0.618，被广泛认为是一种美学上的理想比例。
斐波那契数列中相邻两个数的比值逐渐趋近于黄金分割，这也是斐波那契数列的一个重要数学性质。
此外，斐波那契数列还可以通过复数的形式进行表示和计算。
复数是由实数和虚数组成的数，可以用平面上的点来表示。
通过将斐波那契数列中的每个数表示为复数形式，可以发现它们在复平面上形成了一个螺旋形状，这也为斐波那契数列的研究提供了新的视角。
矩阵是数学中的一个重要概念，用于表示线性变换和线性方程组等。
斐波那契数列也可以通过矩阵乘法的方式进行计算和表示。
通过建立斐波那契矩阵，可以利用矩阵乘法的性质来快速计算出斐波那契数列的后续数值。
总之，斐波那契数列的原理涉及到数学的多个领域和概念，通过深入研究这些联系，可以更深入地理解斐波那契数列的本质和应用。
斐波那契数列奇偶规律-解释说明
斐波那契数列奇偶规律-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述:斐波那契数列奇偶规律是研究斐波那契数列中奇偶性质的一种规律。
斐波那契数列是一个非常经典且重要的数列，它的定义是从前两个数开始，后面的每个数都是前面两个数的和。
具体而言，斐波那契数列的前几个数为0、1、1、2、3、5、8......。
奇偶性质是指数列中每个数的奇偶性。
我们在研究斐波那契数列时发现了一些有趣的规律。
一般来说，斐波那契数列中相邻两个数的奇偶性是不确定的，但是我们发现，数列中的每隔3个数，奇偶性就呈现出一定的规律，即（偶、奇、奇）、（奇、奇、偶）的循环出现。
例如，数列中的前几个数为0、1、1、2、3、5、8，我们可以看出，从第四个数开始，每隔3个数就会出现一次（偶、奇、奇）的规律。
研究斐波那契数列奇偶规律有重要的理论和应用价值。
从理论角度来看，深入探究这种规律可以帮助我们更好地理解斐波那契数列的性质，并为数论等领域的研究提供新的思路。
从应用角度来看，斐波那契数列奇偶规律在密码学、编程和金融等领域有着广泛的应用。
例如，在密码学中，可以利用斐波那契数列的奇偶规律设计加密算法；在编程中，可以通过斐波那契数列奇偶规律来优化代码的性能；在金融领域，可以利用斐波那契数列奇偶规律进行投资决策等。
未来，研究斐波那契数列奇偶规律的方向仍然有很大的发展空间。
我们可以从数学角度进一步深入研究斐波那契数列的奇偶性质，探索更多规律和特性；同时，我们还可以将斐波那契数列的奇偶规律与其他数学领域进行结合，开展更广泛的交叉研究。
相信通过不懈努力，我们将会发现斐波那契数列奇偶规律的更多奥秘，并为数学和应用领域的发展做出更大的贡献。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以从以下几个方面进行编写：文章结构部分的内容主要包括对整篇文章的组织方式和主要内容的介绍。
首先，需要提及文章的主题是斐波那契数列奇偶规律。
其次，可以说明文章采用的是自上而下的层次结构，分为引言、正文和结论三个部分。
斐波那契数列的奥秘
斐波那契数列的奥秘1. 什么是斐波那契数列斐波那契数列（Fibonacci Sequence）又称黄金分割数列，因13世纪的意大利数学家斐波那契（Leonardoda Fibonacci）而得名。
这个数列从0和1开始，之后的每一个数都由前两个数相加得到：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ……以此类推。
2. 斐波那契数列的应用斐波那契数列并不只是一种数学上的抽象概念，它在现实世界中有着广泛的应用。
其中一个典型的例子就是菠萝的结构。
菠萝的鳞片排列呈现出斐波那契数列的规律，这种规律使得菠萝更加紧密地生长。
同时，在生物学领域，许多植物的花朵、树叶等都呈现出斐波那契树形态，这种形态美感十足，而且有助于植物的生长和传播。
3. 斐波那契数列的几何意义斐波那契数列还与黄金分割密切相关。
黄金分割是指把一条线段分割成两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
这个比例即为金子比（约1.618），也被称为黄金分割点。
如果我们取斐波那契数列中相邻两个数的比值，会发现随着数列增长，这个比值越来越逼近黄金分割点。
这说明斐波那契数列具有很强的几何意义，与自然界中许多规律相吻合。
4. 斐波那契数列在艺术中的运用除了在自然界中呈现，斐波那契数列还被广泛运用在艺术领域。
许多艺术作品中都能看到斐波那契数列的身影，如建筑设计、绘画作品等。
艺术家们通过运用这种神秘而美妙的数字序列，使作品更加富有节奏感和动态美。
5. 斐波那契数列在计算机科学中的应用在计算机科学领域，斐波那契数列也有着重要的应用价值。
它被广泛应用在算法设计、数据结构等方面。
特别是在递归算法中，经常会看到斐波那契数列的身影。
6. 斐波那契数列与金融市场斐波那契数列还被运用于金融市场的技术分析中。
通过观察股票或者外汇市场走势图表上出现的斐波那契比例线（Fibonacci Retracement Levels），交易者可以预测价格可能出现支撑或阻力，并做出相应交易决策，提高投资成功率。
关于斐波那契的故事
关于斐波那契的故事以下是 6 条关于斐波那契的故事：故事一：嘿，你知道吗？斐波那契数列那可真是神奇得很呐！就好像大自然的密码一样。
达芬奇不是画了那幅著名的《蒙娜丽莎》嘛！你想想，如果把画面里的线条和比例用斐波那契数列去分析，说不定会发现什么惊人的秘密呢！斐波那契就像是个隐藏在数学世界里的小精灵，时刻准备给我们惊喜。
还记得小时候玩的跳房子游戏不？那一个个格子的排列，说不定也和斐波那契数列有着千丝万缕的联系呢！这不是很奇妙吗？故事二：哇塞，斐波那契的故事太有趣啦！就好像我们的生活，充满了各种意想不到的关联。
比如说，花朵的花瓣数量，好多都符合斐波那契数列呢！你看那向日葵，中间的葵花籽排列，不也是有着斐波那契的影子吗？这难道不是大自然在向我们展示斐波那契的神奇吗？我上次去花园，盯着那些花看了好久，一直在想，这斐波那契可真是无处不在呀！难道他是个超级魔法师，把整个世界都用他的数列给装饰了一遍？真的太令人着迷啦！故事三：嘿呀，来讲讲斐波那契啊！你看那蜜蜂建造蜂巢，那奇妙的结构，不也和斐波那契有关吗？这就好比是蜜蜂们得到了斐波那契的指示一样。
我们的身体其实也有斐波那契的痕迹呢，手指关节的长度比例，是不是很神奇？我有次和朋友争论这个，朋友还不信呢！后来查了资料才恍然大悟。
难道我们都是被斐波那契“操纵”的小木偶？这多有意思啊！故事四：哇哦，斐波那契简直是个神秘的宝藏。
就像我们看星星，星星的排列是不是也可能暗含着斐波那契数列呢？想象一下，宇宙这么大，斐波那契会不会就是那个贯穿一切的线索？我们平时看到的那些漂亮的贝壳，上面的纹理，是不是也被斐波那契影响着？我曾经在海边捡贝壳的时候就思考过这个问题。
这一切难道只是巧合吗？我可不这么认为，斐波那契太神奇啦！故事五：哎呀，斐波那契呀，那可真是个厉害的角色！好比一棵大树，它的树枝分岔方式是不是也有点斐波那契的味道？我们走路的步伐节奏，会不会也潜在地遵循着斐波那契呢？我有时候走路就会想这个。
斐波那契数列知识点
斐波那契数列知识点《聊聊斐波那契数列那些事儿》嘿，朋友们！今天咱来聊聊一个特别有意思的知识点——斐波那契数列。
这可真是个神奇的玩意儿！斐波那契数列，听着好像挺高大上的，但其实啊，就是一串数字排排队。
可别小看了这串数字，它们背后藏着好多奥秘和乐趣呢！你看啊，这斐波那契数列一开始是0 和1，然后后面每个数都等于前两个数相加。
就这么简单的规则，却能变出好多花样儿来。
想象一下，就像一个数字小精灵在那蹦跶，一会儿加这个，一会儿加那个，就变出了一长串的数字。
就感觉特别神奇，是不是？我第一次接触斐波那契数列的时候，心里那叫一个好奇啊。
就琢磨着，这玩意儿到底有啥用啊？后来发现，用处可多啦！比如说在自然界里，很多东西的生长都跟斐波那契数列有关系。
像某些花朵的花瓣数量、松果的螺旋形状，都能看到斐波那契数列的影子。
有时候我就想，这大自然是不是也在跟我们玩数字游戏啊！还有呢，在一些艺术和设计领域，斐波那契数列也特别吃香。
它能给作品带来一种特别的美感和韵律。
就好像是给作品注入了灵魂一样，让它们变得更加吸引人。
而且啊，斐波那契数列还能用来解决一些实际问题呢！比如说排列组合啥的。
是不是感觉很厉害？我觉得学习斐波那契数列就像是在探索一个神秘的宝藏。
每发现一个它的新特点或者新用途，就像找到了一颗闪闪发光的宝石。
学习斐波那契数列还让我明白了一个道理，那就是很多看似简单的东西，背后可能藏着巨大的价值。
所以啊，朋友们，别小看了这些知识点。
它们就像隐藏在知识海洋里的小惊喜，等着你去发现呢！总之呢，斐波那契数列知识点真是太有趣啦！既能让我们感受到数字的魅力，又能让我们惊叹于自然和艺术的奇妙。
大家以后要是碰到了，可得好好研究研究，说不定还会有更多意想不到的收获哦！。
斐波那契数列的奥秘
斐波那契数列的奥秘斐波那契数列是数学中一个非常经典且神秘的数列，它的特点是每个数字都是前两个数字之和。
这个数列起源于意大利数学家斐波那契（Leonardo Fibonacci），他在13世纪的著作中首次提到了这个数列，而这个数列也因他的名字而得名。
斐波那契数列的前几个数字是0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……接下来我们将揭开斐波那契数列背后的神秘面纱，探讨其数学原理和应用价值。
**数学原理**斐波那契数列的数学原理非常简单，即每个数字都是前两个数字之和。
用数学公式表示就是：F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(n)代表第n个斐波那契数。
以F(0) = 0, F(1) = 1作为起始条件，就可以依次推算出后面的斐波那契数。
例如，要计算第5个斐波那契数，可以按照以下步骤进行计算：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3F(5) = F(4) + F(3) = 3 + 2 = 5通过这种递推的方式，我们可以得到任意位置的斐波那契数。
这种数列的特性使得它在数学领域有着广泛的应用和研究。
**数学性质**斐波那契数列有许多有趣的数学性质，其中最著名的是黄金分割比。
黄金分割比是一种神秘而神奇的比例，常用希腊字母φ（phi）表示，其值约为1.6180339887。
在斐波那契数列中，相邻两个数的比值会趋近于黄金分割比。
具体来说，当n趋向无穷大时，F(n+1)/F(n)会趋近于φ。
这个性质被称为黄金分割定律，被广泛应用于建筑、艺术、金融等领域。
除了黄金分割比，斐波那契数列还有许多其他有趣的性质，如：1. 模除性质：对任意正整数m，斐波那契数列对m取模后会呈现周期性，这个周期称为斐波那契数的模m周期。
2. 平方数性质：斐波那契数列中的某些数的平方可以表示为相邻斐波那契数的乘积之差，这种性质被称为斐波那契数的平方性质。
数学里隐藏的秘密
数学里隐藏的秘密数学，这个看似枯燥无味的学科，其实隐藏着许多有趣的秘密。
它是理性思维的体现，是人类思维能力的结晶。
从一些看似简单的数学问题中，我们可以发现数学的美妙和神秘之处。
一、斐波那契数列的神奇斐波那契数列，又叫黄金分割数列，是指在数列中的每一个数都是前面两个数之和。
其前几项为0，1，1，2，3，5，8，13……。
而这个数列的出现非常奇妙，它不仅存在于数学领域，也出现在日常生活中。
首先，斐波那契数列存在于自然界中，例如动植物的分枝、叶子的排列、贝壳的形状等等。
这些自然物体在形成过程中都遵循斐波那契数列的规律。
而在艺术领域中，也可以看到斐波那契数列的出现。
黄金分割比例是1：1.618，这个比例被认为是艺术中最美的比例，例如著名画家达芬奇的《蒙娜丽莎》中，脸部的比例正是黄金分割比例。
其次，斐波那契数列还与金融领域有关。
在金融市场中，存在着所谓的“黄金分割线”，价格在这个位置上会反复震荡、中长期趋势也会受限，这个位置正是由斐波那契数列的比例导出的。
有的投资者还运用斐波那契数列中的一些规律来辅助判断市场价格的走势。
二、水仙花数的魅力水仙花数，也叫自幂数，是指一个三位数，它的每位数字的立方和等于它本身。
例如：153=1³+5³+3³。
这个数也有一些非常有趣的性质。
首先，水仙花数和平方和数一样，都是正整数的多项式与有理数之间的桥梁。
正整数的多项式可以用来处理许多离散的问题，而有理数又是较为常用的数学概念，所以水仙花数的性质是非常有用的。
其次，水仙花数有一些神奇的运算特性。
例如，我们可以把所有的三位数按照水仙花数的性质分为三类，分别是水仙花数本身、非水仙花数但其各位数字的立方和是一个水仙花数、其各位数字的立方和不是水仙花数。
然后我们将这三类数字相乘，可以惊奇地发现，它们的乘积等于123456789。
这个运算结果应该是非常巧合的，但也展现了数学中的美妙和神秘。
三、素数的难题素数是指只能被1和它本身整除的正整数，例如2、3、5、7、11……。
数学趣谈——神奇的斐波那契数列
数学趣谈——神奇的斐波那契数列大家好，我是高中数学王老师，今天继续跟大家分享关于高中数学学习的心得。
高二的学生在必修5开始学到了数列，除了等差数列和等比数列这两个高中教学重点外，还会遇到一个特殊的数列1,1,2,3,5,8,13,21……这个数列叫做斐波那契数列，说到斐波那契数列，可是不一般，关于这个数列有很多有意思的应用，今天我们就来谈一谈。
问题来源：1202年，意大利数学家Leonardo Fibonacci提出了这样一个问题：在最佳条件下，一年里，一对兔子能繁殖多少对兔子？这个理论实验规定，母兔总是生下成对的兔宝宝，每对由一公一母组成。
两只新生的兔子被安置在一个有围栏的院子里，然后让像正常兔子一样繁殖。
长到一个月才能开始繁殖，所以第一个月只有一对兔子。
在第二个月月底，母兔产下两只兔子。
当第三个月到来时，原来的一对兔子又产了一对新生儿，而它们早期的后代则已经成年。
此时便留下了三对兔子，其中两对将在下个月再生两对兔子。
每个月的兔子对数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144。
这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，这个数列被命名为斐波那契数列。
通项公式：很显然，这个数列的每一项都是正整数，可是通项公式是确实用无理数表示的。
特性：斐波那契数列有很多神奇的特性，其中有不少涉及到很多复杂的数学领域，我们仅就高中生容易理解的范围简单讨论一些：平方项：从第二项开始，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1。
黄金分割：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887……集合子集：斐波那契数列的第n+2项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。
两倍项关系：f(2n)/f(n)=f(n-1)+f(n+1)整除性：每3个连续的数中有且只有一个被2整除，每4个连续的数中有且只有一个被3整除，每5个连续的数中有且只有一个被5整除，每6个连续的数中有且只有一个被8整除，每7个连续的数中有且只有一个被13整除，每8个连续的数中有且只有一个被21整除，每9个连续的数中有且只有一个被34整除……斐波那契螺旋线:也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例。
1.4自然密码斐波那契数列课件
1+1+4+9+25+64+169=27 =13x21
3
12 + 22 + 32 + ⋯ + 2 = ∙ +1
《探秘自然 ·“源”来如此》数学文化微课系列
斐波那契数列：
斐波那契数列特性二：
12
+
22
+
32
+ ⋯+
2
= ∙ +1
1 ，1 ，2 ，3 ，5 ，8 ，13,······
二月成熟，第三月又能生1对小兔。假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开始，1年后有多少对兔子？
月份
小兔子总对数
大兔子总对数
兔子总对数
每月小兔对数=上月大兔对数
每月大兔对数=上月大兔对数+上月小兔对数
1
1
0
1
2
0
1
1
3
1
1
2
再来观察下兔子总数有什么规律呢？
4
1
2
3
第6个月兔子记为
a6 a5 a4 8
第二类：由第6阶台阶迈1个台阶，登上第6阶方法
a5
a6
···
step3：根据加法计数原理得：a7 a6 a5
a6 a5 a4
同理可得：
an an 1 an 2
step4：满足斐波那契数列的递推关系
台阶
第1阶
第2阶
第3阶
第4阶
第5阶
第6阶
第7阶
方法数量
1
2
3
5
8
13
21
综上所述，上到最上面的台阶有21种方法
斐波那契数列的奥秘
斐波那契数列的奥秘斐波那契数列是数学中一个非常有趣且神秘的数列，它的定义是从第三项开始，每一项都是前两项的和。
具体来说，斐波那契数列的前几项是0、1、1、2、3、5、8、13、21……以此类推。
这个数列最早由意大利数学家斐波那契在13世纪提出，他在研究兔子繁殖问题时发现了这个数列的规律。
斐波那契数列在数学、自然科学、计算机科学等领域都有广泛的应用，其背后隐藏着许多奥秘。
斐波那契数列的奥秘之一是其独特的数学性质。
斐波那契数列的每一项都是前两项的和，这种递推关系可以用数学公式表示为Fn =Fn-1 + Fn-2。
这个公式可以用来计算任意一项的值，而不需要逐个计算前面的项。
斐波那契数列还有一个有趣的性质是，相邻两项的比值会趋近于黄金比例，即1.618。
这个比例在艺术、建筑等领域被广泛应用，被认为是一种美学上的完美比例。
斐波那契数列的奥秘之二是其在自然界中的广泛存在。
斐波那契数列可以在许多自然现象中找到，例如植物的叶子排列、花瓣的分布、螺旋壳的形状等等。
这种现象被称为斐波那契数列的自然应用。
斐波那契数列的自然应用可以帮助我们理解自然界中的规律，揭示大自然的奥秘。
斐波那契数列的奥秘之三是其在计算机科学中的重要性。
斐波那契数列可以用来解决许多计算问题，例如递归算法、动态规划等。
递归算法是一种将问题分解为子问题并逐步求解的方法，而斐波那契数列正是递归算法的经典案例。
动态规划是一种将问题分解为子问题并保存子问题的解，以避免重复计算的方法，而斐波那契数列也可以用来解释动态规划的原理。
因此，斐波那契数列在计算机科学中具有重要的应用价值。
斐波那契数列的奥秘还有许多未被揭示的部分，例如其在金融、音乐等领域的应用，以及与其他数学问题的关联等等。
斐波那契数列的研究不仅可以帮助我们更好地理解数学的美妙之处，还可以为我们解决实际问题提供启示。
因此，我们应该继续深入研究斐波那契数列，探索其中的奥秘，为人类的进步做出贡献。
总结起来，斐波那契数列是一个充满奥秘的数列，它具有独特的数学性质，广泛存在于自然界中，并在计算机科学中发挥重要作用。
斐波那契的三个基本公式
斐波那契的三个基本公式斐波那契数列是一个非常有趣且在数学中具有重要地位的数列。
它的名字或许听起来有点高大上，但其实它就在我们的生活中，而且有着神奇的规律和应用。
先来说说斐波那契数列是什么吧。
斐波那契数列指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、…… 。
从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
那斐波那契的三个基本公式是啥呢？第一个公式是通项公式。
斐波那契数列的通项公式是：$F(n)=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]$ 。
这公式看起来是不是有点复杂？别担心，咱们慢慢理解。
第二个公式是递推公式，$F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)$ ，其中$n \geq 2$，$F(0) = 0$ ，$F(1) = 1$ 。
这个公式就比较直观啦，说的就是后一项是前两项的和。
第三个公式是求和公式，前$n$项和$S(n) = F(n + 2) - 1$ 。
还记得我之前有一次给学生们讲斐波那契数列的时候，有个小调皮鬼一直嚷嚷着说这东西太难懂啦，根本没啥用。
我就笑着跟他们说：“别着急，咱们一起来找找它在生活中的影子。
” 然后我给他们举了个例子，比如说向日葵的花盘，大家仔细观察就会发现，葵花籽排列的方式就遵循着斐波那契数列的规律。
还有树枝的分叉，也有着斐波那契数列的踪迹。
这一下，孩子们都瞪大了眼睛，觉得太神奇啦！其实啊，斐波那契数列不仅仅在自然界中出现，在计算机科学、金融领域也都有它的身影。
比如在算法设计中，利用斐波那契数列的特性可以优化一些问题的解决方法。
在金融领域，股票价格的波动有时候也能呈现出类似斐波那契数列的规律。
咱们再回到这三个基本公式。
通项公式虽然复杂，但它能让我们精确地计算出数列中任意一项的值。
递推公式呢，就像是搭积木一样，一步一步地构建出整个数列。
求和公式则能帮助我们快速算出前若干项的总和。
斐波那契数列原理
斐波那契数列原理
斐波那契数列是一个非常有趣的数列，它从0和1开始，后面的每一项都是前面两项的和。
因此，这个数列的前几项是0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377等等。
斐波那契数列不仅仅是一个数列，它还具有一些非常有用的性质和应用。
首先，它可以用来描述许多自然现象和事物的规律，比如植物的叶子数目、蜂窝的组织结构、动物的繁殖规律等等。
其次，斐波那契数列还具有许多数学和计算机科学上的应用，比如用来生成黄金分割点，设计密码算法，优化算法等等。
斐波那契数列的原理很简单，就是利用递归或循环的方式求解。
递归方式是指将问题拆分成更小的同类问题，然后通过调用自身函数来解决。
而循环方式则是通过不断更新前面两项的值来求解后面的项。
这两种方法的时间复杂度都是O(n)，即随着数列项数的增加，计算
量也会增加。
总之，斐波那契数列不仅仅是一个数列，还是一种具有广泛应用和研究价值的数学工具。
它的原理也很简单，但是却能产生出许多奇妙的效果和应用。
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6、菲波纳契数列
菲波纳契数列2010-06-01 12:49:06| 分类：数学珍闻| 标签：|字号大中小订阅小学数学课本（人教版）六年级下册第73页的“阅读资料”，提到了菲波纳契的“兔子问题”。
菲波纳契是欧洲中世纪的数学家，生于意大利的比萨。
1202年，菲波纳契在他的著作《算盘书》中提出了一个有趣的兔子问题。
“假定一对刚出生的小兔一个月后就能长成大兔。
再过一个月后便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔，而且小兔子的生育能力也同他们的父母一样。
如果一年内没有发生死亡，那么，由一对刚出生的兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？”因为小兔子从出生到能够生育需要两个月的时间，所以从第3个月开始才会有小兔子出生。
此后，每个月的兔子由两部分组成，一部分是上个月就有的兔子，另一部分是新出生的兔子。
前者的对数无疑就是上个月的兔子对数，后者的对数应该等于两个月前兔子的对数，这是因为那时的老兔子这个月仍然继续生育，而那时的小兔子这个月已经开始生育了。
于是得到逐月的兔子对数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…所以，12个月后会有144对兔子。
这就是菲波纳契数列，它的规律是：从第3项开始，每一项都等于它的前面两项的和。
菲波那契数列反映的规律有一定的普遍性。
请看下面这些问题：一棵树，一年后长出一条新枝。
新枝隔一年后成为老枝，老枝每年又长出一条新枝。
如此下去，5年后这棵树的树枝将会有多少条？一个楼梯共有8个台阶。
如果每一步可以上一个台阶或两个台阶，那么，这个楼梯共有多少种不同的上法？爷爷给小明买了一包巧克力，共有10块。
小明如果每天吃1块或2块，一共有多少种不同的吃法？不仅如此，菲波那契数列经常还会在一些意想不到的情况下出现。
请看下面这个有趣的例子。
在蜜蜂王国，蜂王是惟一能产卵的雌蜂。
雌蜂是受精卵孵成的，雄蜂是未受精卵孵成的，所以雌蜂有父亲和母亲而雄蜂只有母亲没有父亲。
如果从一只雄蜂上溯到第七代，那么，各代蜜蜂的只数是多少？如果用●表示雄蜂、○表示雌蜂，可以画出下图：又是菲波那契数列。
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斐波那契的历史
列奥纳多·比萨·斐波那契1170年生于意大利，在北非接受教育。他的父亲吉列尔莫在北非曾担任外交官，是在布吉亚（今贝贾亚，阿尔及利亚东北部的地中海港口）从事贸易的比萨共和国的商业代表。在此期间，斐波那契接触到当地数学知识，逐渐地意识到，与他学到的罗马数学相比，当地的数学体系具有极大的优势。
20世纪90年代初，我接触到斐波那契数字，但当时似乎没人了解。于是我致电我的交易数据提供商，猜测如果有人了解斐波那契数列及其交易方法的话，他们应该知道。毕竟，他们向世界范围内超过20万交易者提供数据。令我意外的是，客服代表从未听说过斐波那契，于是建议我去找他们的程序员问问。很幸运，这位程序员曾经听说过斐波那契回档位，并问我是否想要将其写入软件。我就像一个在糖果店里得到免费糖果的孩子一样尖叫地说：“是！”
2165除以1340，等于1.616（与0.618相近）。
3140除以825，等于1.624（与1.618相近）。
825除以2165，等于0.381（与0.382相近）。
我之所以展示这么多例子给你，是希望你成为斐波那契数列和比率的信徒。毕竟，交易时你要相信它才行。你需要知道6个比率数字。它们是：
图 8-1 动物王国中的斐波那契数列
若任由兔子按照这个数列繁殖，仅仅100个月，兔子的对数将是骇人的354224848179261915075。
图8-2~图8-5显示了斐波那契数列在自然界中的表现。
图 8-2 自然界中的斐波那契数列
图 8-3 园艺学中斐波那契数列
图 8-4 种子生长过程中的斐波那契数列
5+100=105，100+105=205，105+205=310，205+310=515，310+515=825，515+825=1340，825+1340=2165，以此类推。
然后，将这些数字相除，会得到相同或相近的比率。
825除以1340，等于0.606（与0.618相近）。
1340除以2165，等于0.618。
早在13世纪，欧洲主要使用罗马数字进行数学计算，但问题是，使用罗马数字很难进行实际的加、减、乘、除运算。正是这个原因，历史学家们无法量化人的财富。试想一下，《圣经》时代的所罗门王和哈罗德王到底有多富有呢？没人知道，因为没有人能用罗马数字量化他们的财富。我们现在通过《圣经》可以知道，他们所拥有的远比他们所需要和所能花费的多得多。现在我们可以轻而易举地计算出一个人或者一家公司的资产，比如，比尔·盖茨现在的身价560亿美元左右，远低于2001年“9·11”事件之前的960亿美元。
尽管几个世纪以来斐波那契比率大量出现在艺术创作中，但是心理学家们一直喋喋不休地争论，人们是否的确认为具有黄金形状（视觉上基于斐波那契数列或者比率），尤其是黄金矩形，比其他形状更美观。在《感知》（Perception）杂志1995年的一篇文章中，加拿大多伦多约克大学的克里斯托弗·格林教授通过数个实验显示，人们对黄金矩形没有可量化的偏好，但是同时提到，其他的几部图，比如在恐怖电影中出现的，并为它们做出模型。不过，当将它们放到之前设计的脸部模型上面时，它们并不吻合。鼻子不是鼻子，眼不是眼，颧骨要么太高，要么太低。他的结论是，人类的眼睛和大脑通过数字判断美丑。如果该数字符合斐波那契数列，我们认定该人俊俏，反之我们认为很丑。图8-10说明了脸部特征是如何与斐波那契数字吻合的。
生活中，如果有事好得令人难以置信的话，那通常不是真的。第二天，那位程序员打电话告诉我，斐波那契回档位已经写入软件中。我对他说：“实在太感谢你了。那接下来你能给我演示一下如何在交易中使用它吗？”
他不假思索地说：“抱歉，我不能。我只是一个电脑程序员，不是一个交易者。”
听到这句话，我感觉真是空欢喜一场，呆呆地坐在那里，怀疑一切又回到原点，毫无进展。
图 8-5 树木学中的斐波那契数列
斐波那契数列也存在于我们生活中的其他方方面面。
让我们来看一下钢琴。人们花了300多年的时间才把钢琴的制造工艺演绎到现在的完美水平。然而，钢琴的实际构造，包括琴键的数量，300多年以来就没有改变过（见图8-6）。
图 8-6 音乐中的斐波那契数列
必修课六斐波那契的秘密
我极为珍视本章内容，它拯救了我的财务生涯。你想象不到，有多少次我曾想向市场认输，因为我实在搞不明白市场在干什么。我之所以坚定不移地想要找到一位导师，是因为我知道虽然每一个新手都怀揣梦想来到市场，但他们往往不知道在干什么，美梦也就很快变成了噩梦。在我的导师出现之前，我的美梦也很快变成了噩梦。
列奥纳多·斐波那契是上帝送给我的礼物。我对斐波那契重大发现的理解，不仅改变了我的交易生涯，还改变了我的生活。他的发现诞生于12世纪末与13世纪初之间，揭示了自然的运行法则，证实了自然生物，比如松果和菠萝，以某种数列繁衍生息的规律。他的发现也证明，市场并不是人们恐惧的那样神秘、混沌。市场中存在着一种有序混沌，它是一种动态系统，对人类环境极为敏感，比如涨潮和落潮，阴与阳，作用与反作用，生活的起伏等。市场中的物质、能量及其相互作用在斐波那契数列上得到了根本展示。
0.618
0.786
延伸数
1.618
1.27
上升趋势中，市场不断地创出更高的高点和更高的低点；下降趋势中，市场不断地走出更低的低点和更低的高点。这种波浪般的运动，无论上升还是下降，都由A，B，C，D四个节点构成。上升趋势中的低点，即上升开始的点被认定为A点，在上升趋势结束后，高点就是B点，市场开始回撤至AB区间内（不低于A点），回撤结束的那一点是C点，升势重启，创出比B点还要高的高点，这个新高点被称为延伸点D。总结来说，市场上升时，总有A-B-C-D式的走势：最初的上升，随后的回调，接下来是新一波直到延伸点D的上升。
斐波那契数列
斐波那契着迷于数字，因发现一项数列而闻名于世。这一数列是，数列中前两个数字的和总等于数列的下一个数字。例如：
自然界中的斐波那契数列
自斐波那契数列被发现以后，数学家们一直热衷于研究数列和比率与我们日常生活的关系。
比如，数学家们发现了兔子繁殖的有趣顺序（见图8-1），假如第1个月你有1对兔子，两个月后你会有2对兔子，3个月后你会有3对兔子，有趣的现象也由此展开。依据常理你可能认为，兔子对数每个月会翻一倍，但事实并非如此。4个月后，你只会有5对兔子。兔子数量以斐波那契数列增加。
通过交往，你往往能看出谁更老道。当一切尘埃落定，智者总是悦于心，而不纠结于孰对孰错。因此，每当我们谈起斐波那契的交易用法时，拉里总是说：“贾里德，如果你认为你的方法有效，那么我为你感到高兴，你要一如既往地继续下去。”
学习利用斐波那契回档位和扩展位
进行交易，像我现在做的那样，开始让我的生活更加美好、成功，它成了我交易生涯中的保护神。
图 8-7 建筑中的斐波那契数列
你是否有过听到某段音乐而起鸡皮疙瘩的经历？科学家已经证实，产生这一现象的原因在于，两个或多个琴键（琴弦）被弹奏时的振动频率之间存在着斐波那契比率关系（见图8-8），C键的振动频率为264赫兹，A键为427赫兹，264除以427，得到斐波那契比率0.618。
图 8-10 面部的斐波那契数列
斐波那契回档与延伸比率的关系
我之所以不厌其烦地解释斐波那契数字，是为了使你坚信它们的存在。它们是真实的。只有在充分理解和认识到它们在生活中的价值后，你才能在金融市场内自如地运用。
比率被分为两类：回档数和延伸数。下面是其详细分类：
回档数
0.382
0.50
0.382
0.50
0.618
0.786
1.27
1.618
你可能会疑惑，0.50、0.786和1.27是怎么来的呢？0.50是0.382、0.618之和除以2
。0.786是0.618的平方根，1.27是1.618的平方根。所有这些数字在市场中都非常重要，和我们的生活息息相关。
埃及金字塔之所以能够经受时间的考验，原因之一就是它的高度除以长度等于0.618（见图8-7）。
图 8-8 谐波振动中的斐波那契数列
令人惊奇的是，人体的构造也是基于斐波那契比率。难道你不相信吗？找个卷尺和计算器，我会为你验证这一事实。
首先，测量你的身高，以英寸
为单位。
比如，你是5英尺10英寸高，也就是70英寸。用70英寸乘以0.618，你将会得到43.26英寸。用卷尺从地面开始往上测量，在43.26英寸处，正好是你的肚脐所在。头顶到肚脐的距离乘以1.618，正好是你的肚脐到脚底板的距离（见图8-9）。
图 8-9 人类身体的斐波那契数列
五官的奥妙
对斐波那契比率和矩形的认识可以回溯到古希腊时期，古希腊闻名于世的艺术创作正基于此。帕特农神庙到处可见黄金矩形的应用。斐波那契研究了希腊的数学比率，并依据他的发现标准化了这些比率，后来也通常被称为斐波那契比率。希腊数学家毕达哥拉斯的追随者将斐波那契比率奉为圭臬。时至今日，我们身旁的人造物体到处都是斐波那契比率的应用。看看几乎所有的十字架，垂直部分与水平部分的比率正是0.618。
人类的生存状况与自然日趋紧密，但人类对自然的控制相当有限。无论你是否相信，斐波那契数列远远不仅是一种娱乐消遣。让我们看看一些数字的运算表现。
我们选出斐波那契数列中的前7个数字后的任意3个数字，并做除法运算，看看会发生什么。
举例来说，144+233=377。
如果和数377除以所选数列中的第一个数字144，得出比率2.618；
对那些不熟悉罗马数字的人来说，Ⅰ=1，Ⅴ=5，Ⅹ=10，L=50，C=100，D=500，M=1000。使斐波那契声名远播的是我们当今使用的数字系统：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。他的最重要的著作之一是《算盘书》（Liber abaci），翻译过来的意思是“计算之书”。在他完成该书后，罗马数字系统才被印度的9个数字和阿拉伯数字0代替。