时间序列分析-第二章 自回归模型教学内容
时间序列分析中的自回归模型和滑动平均模型
时间序列分析中的自回归模型和滑动平均模型随着人们对数据分析和预测需求的不断增加，时间序列分析也成为了一个备受关注的领域。
而在时间序列分析中，自回归模型和滑动平均模型是两种重要的预测方法。
自回归模型（Autoregressive Model，AR）是建立在一组时间上的自回归思想中的，其核心是用前一时期的观测值来预测当前时期的观测值。
其数学式表示为：Y_t = c + Σφ_i * Y_t-i + e_t其中，Y_t为当前时期的观测值，c为截距项，φ_i 为 AR 模型中自回归系数，e_t为当前时期的噪声项。
AR 模型存在自相关性的问题，也就是说模型中的一部分误差项与模型中的其他自变量或误差项之间可能存在相关性。
为了解决自相关性问题，滑动平均模型（Moving Average Model，MA）岿然而生。
滑动平均模型是一种使用到多个时间上的滑动平均思想，其核心是对过去一段时间内的噪声项进行平均，作为当前时期噪声项的估计。
MA 模型的数学式表示为：Y_t = c + Σθ_i * e_t-i + e_t其中，θ_i 为 MA 模型中的滑动平均系数，e_t 为当前时期的噪声项。
MA 模型建立在数据中存在噪声项的前提之下，因而只要数据不存在自相关性问题，滑动平均模型就会产生更好的预测结果。
然而，实际情况下，许多时间序列数据中存在着自相关和噪声项的问题，如何有效地处理这些问题，提高模型的预测能力是时间序列分析中的重要课题。
因此，自回归滑动平均模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model，ARIMA）应运而生。
ARIMA 模型是将自回归模型和滑动平均模型结合起来，同时加入对时间序列数据的差分，以对误差项中的自相关性和噪声项进行有效建模。
其数学式表示为：Y_t –μ = φ_1 * (Y_t-1 –μ) + θ_1 * e_t-1 + e_t其中，Y_t 为当前时期的观测值，μ为中心化参数，φ_1 为一阶自回归系数，θ_1 为一阶滑动平均系数，e_t 为当前时期的噪声项。
时间序列分析课程设计
时间序列分析课程设计一、课程目标知识目标：1. 让学生理解时间序列分析的基本概念，掌握时间序列数据的结构特征和常见的时间序列模型。
2. 使学生掌握时间序列平稳性检验和自相关函数、偏自相关函数的绘制与分析方法。
3. 帮助学生了解时间序列预测的常用算法，如ARIMA模型、指数平滑等，并掌握其应用场景。
技能目标：1. 培养学生运用时间序列分析方法处理实际问题的能力，学会运用统计软件进行时间序列数据的分析、建模和预测。
2. 提高学生运用所学知识解决实际问题时的时间序列模型选择和参数估计能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对时间序列分析的兴趣，激发学生主动探索和研究的精神。
2. 引导学生认识到时间序列分析在实际问题中的应用价值，提高学生的数据分析和解决实际问题的能力。
3. 培养学生的团队合作意识，提高学生在团队中沟通、协作的能力。
课程性质分析：本课程为数据分析方向的专业课程，旨在帮助学生掌握时间序列分析的基本理论和方法，培养学生运用时间序列分析解决实际问题的能力。
学生特点分析：学生为高年级本科生，已具备一定的数学基础和统计分析能力，对时间序列分析有一定的了解，但尚需深化理论知识，提高实际操作能力。
教学要求：1. 结合实际案例，注重理论与实践相结合，提高学生的实际操作能力。
2. 采取启发式教学，引导学生主动参与课堂讨论，培养学生的创新思维。
3. 强化课堂互动，关注学生的个体差异，提高教学效果。
二、教学内容1. 时间序列分析基本概念：时间序列的定义、时间序列数据的组成、时间序列的分类及性质。
教材章节：第一章 时间序列分析概述2. 时间序列数据的预处理：数据清洗、数据变换、平稳性检验。
教材章节：第二章 时间序列数据的预处理3. 时间序列模型：自回归模型（AR）、移动平均模型（MA）、自回归移动平均模型（ARMA）、自回归积分滑动平均模型（ARIMA）。
教材章节：第三章 时间序列模型4. 时间序列预测方法：指数平滑法、季节性模型、周期性模型。
时间序列 教学大纲
时间序列教学大纲时间序列教学大纲引言：时间序列分析是一门重要的统计学方法，广泛应用于经济、金融、气象、医学等领域。
掌握时间序列分析的基本概念和方法对于研究者和决策者来说至关重要。
本文将介绍一份时间序列教学大纲，旨在帮助学生全面理解时间序列的基本原理和应用。
一、概述时间序列分析1.1 时间序列的概念和特点- 时间序列的定义和基本特征- 时间序列的分类和应用领域1.2 时间序列分析的目标和意义- 时间序列分析的主要目标- 时间序列分析在实际问题中的应用意义二、时间序列数据的预处理2.1 数据收集和整理- 数据来源和获取方法- 数据质量的评估和处理2.2 数据的平稳性检验- 平稳时间序列的定义和判断方法- 平稳性检验的常用方法和步骤2.3 数据的转换和调整- 数据的差分和滞后处理- 数据的季节性调整和趋势分解三、时间序列模型的建立3.1 自回归模型（AR模型）- AR模型的基本原理和表达式- AR模型的参数估计和模型诊断3.2 移动平均模型（MA模型）- MA模型的基本原理和表达式- MA模型的参数估计和模型诊断3.3 自回归移动平均模型（ARMA模型）- ARMA模型的基本原理和表达式- ARMA模型的参数估计和模型诊断四、时间序列模型的应用和预测4.1 时间序列模型的预测方法- 单步预测和多步预测- 预测误差的评估和调整4.2 时间序列模型在经济和金融中的应用- 股票价格预测- 经济增长预测4.3 时间序列模型在气象和医学中的应用- 气温预测- 疾病传播预测五、时间序列分析的软件工具和实践案例5.1 时间序列分析软件的介绍- R语言和Python的时间序列分析库- 常用的时间序列分析软件和工具5.2 时间序列分析的实践案例- 实际数据的处理和分析- 时间序列模型的建立和预测结语：时间序列分析作为一门重要的统计学方法，对于研究者和决策者来说具有重要的意义。
通过学习本教学大纲，学生可以全面了解时间序列分析的基本原理和应用方法，并能够应用时间序列模型进行数据分析和预测。
《时间序列分析》课程教学大纲
《时间序列分析》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：课程名称：时间序列分析英文名称：Time Series Analysis课程类别：专业课学时：32（其中课堂讲授16学时，实验16学时）学分：2适用对象: 经济类统计专业和金融专业本科生考核方式：考试先修课程：微积分、线性代数、概率论、统计学二、课程简介时间序列分析课程简介思想政治教育工作是人才培养的首要工作。
时间序列分析作为统计学的一门专业基础必修课，教学中必须深入贯彻教育部《高等学校课程思政建设指导纲要》和学校《关于开展课程思政与思政课程建设专项活动的通知》，加强学生思想政治教育工作贯穿整个数据分析过程。
在自然科学、社会科学、经济科学诸多领域中，人们常需要对一系列的观察数据进行分析研究，这些按时间排列的数据，由于受到各种偶然因素的影响，表现出某种随机性，并且彼此之间存在某种统计上的依赖关系，时间序列分析不仅可以从数量上揭示某一现象发展变化规律，达到认识客观世界之目的；而且运用时序模型还可以预测和控制现象的未来行为，修正或重新设计系统以达到改造客观世界的目的。
因此，从时间序列分析的性质来看，时序分析不仅是认识客观世界的工具，也是改造客观世界的工具，教学中强调实事求是精神。
近年来，时间序列分析在我国的气象、天文、地质、农林、生物、医学、化工、冶金、机械、经济、管理等部门和领域得到了广泛的应用，特别在经济界，越来越多的实际工作者开始了解并运用时间序列分析方法。
随着改革的深入和经济的发展，我国经济领域中存在着大量数据资料需要进行分析处理，并需要进一步用科学的方法进行预测、决策，因此，时间序列分析方法在经济界的推广普及已势在必行了。
本课程的主要内容有：时间序列分析的基本概念，时间序列建模的基本步骤，记忆函数，自回归（AR）模型，滑动平均（MA）模型，自回归滑动平均（ARMA）模型，平稳模型的自相关函数及偏自相关函数的特征，平稳模型的识别方法，有趋势数据建模，单位根检验，决定性趋势和随机性趋势，趋势的剔出，自回归求和滑动平均（ARIMA）模型的特性与它们的识别方法，模型参数估计方法，模型诊断检验方法，利用模型进行预测，季节性数据的建摸方法，传递函数模型、干预分析，异常点的种类及查找办法，带ARIMA误差的回归模型，方差（ARCH）模型，广义异方差（GARCH）模型，多元自回归模型（VAR）,Granger因果检验，结构VAR模型，方差分解，协整与误差修正模型等等。
时间序列分析
时间序列分析21212123,,,;,,,;4p q a ϕϕϕθθθσ↓↓⋅⋅⋅⋅⋅⋅↓．模型建立（特点、条件、性质）．模型识别（确定模型的类别、阶数，所用工具：自相关函数、偏相关函数）．模型参数估计（如何用样本作估计）．平稳随机序列的预报（递推，直接）ARMA 模型的建立（2课时）一．自回归模型1. 定义：设{t X }为零均值的平稳时间序列。
阶数为P 的自回归模型定义为：1122...t t t p t p t X X X X a ϕϕϕ---=++++ AR （p ）模型其中（1）[]0t E a =2[]0a t s t s E a a t sσ⎧==⎨≠⎩[]0,s t E a X s t =>（注：{,0,1, 2...}t a t =±±是白噪声，亦称新信息序列，在时间序列分析预报理论中有重要应用。
） （2）常数p （正整数）叫做阶数；（3）{,1,2...}k k p ϕ= 称为自回归系数。
2. 引入延迟算子概念：1t t BX X -= B ：一步延迟算子212()t t t t B X B BX BX X --===k t t k B X X -= k B ：k 步延迟算子AR （p ）模型引入延迟算子：()t t B X a ϕ=其中，1()1...P P B B B ϕϕϕ=---（1）()0B ϕ=的根全在单位圆外即所有的根的模大于1，称此条件为AR （p ）模型的平稳性条件。
（2）在满足平稳性条件时，1()B ϕ-存在且一般为B 的幂级数，则1()t t X B a ϕ-=为AR （p ）模型的逆转形式。
AP （p ）模型可以看作是把相关的{t X }变为一个不相关序列{t a }的系统。
二．滑动平均模型1. 定义：设{}t x 为零均值的实平稳时间序列，阶数为q 的滑动平均模型定义为1122t t t t q t q X a a a a θθθ---=--- MA(q)模型其中：{,1,2,3}k k q θ= 成为滑动平均系数 2. 引入延时算子MA(q )模型引入延迟算子：()t t X B a θ=其中，1()1q q B B B θθθ=---（1）()0B θ=的根全在单位圆外，即所有根的模大于1，则称此条件为MA(q )模型的可逆性条件。
时间序列分析教学大纲
时间序列分析教学大纲时间序列分析教学大纲一、引言时间序列分析是一种重要的统计方法，用于研究时间序列数据的模式和趋势。
它在经济学、金融学、气象学等领域有着广泛的应用。
本教学大纲旨在介绍时间序列分析的基本原理和方法，并帮助学生掌握相关的数据处理和模型建立技巧。
二、基础知识1. 时间序列的概念和特点- 时间序列的定义和示例- 时间序列的组成和属性- 时间序列的平稳性和非平稳性2. 数据预处理- 数据收集和整理- 缺失数据的处理- 异常值的检测和处理- 数据平滑和插值三、时间序列分析方法1. 统计描述- 均值、方差和协方差- 自相关和偏自相关函数- 白噪声检验2. 经典时间序列模型- 移动平均模型(MA)- 自回归模型(AR)- 自回归移动平均模型(ARMA)- 差分自回归移动平均模型(ARIMA)3. 季节性时间序列模型- 季节性自回归移动平均模型(SARIMA)- 季节性分解模型4. 非线性时间序列模型- 广义自回归条件异方差模型(GARCH)- 非线性自回归模型(NAR)- 支持向量回归(SVR)四、时间序列分析实践1. 数据可视化- 时间序列图- 自相关图和偏自相关图- 部分自相关图2. 模型识别与估计- 模型识别准则(AIC、BIC)- 参数估计方法(最小二乘法、最大似然法) 3. 模型检验与评估- 残差分析- 模型诊断- 模型预测与评估五、应用案例分析1. 经济领域案例- GDP预测与分析- 通货膨胀模型建立- 股票价格预测2. 气象领域案例- 气温变化趋势分析- 降雨量预测- 空气质量指数模型建立六、课程评估与总结1. 课程评估- 课堂参与度和作业完成情况- 期末考试成绩2. 课程总结- 时间序列分析的基本原理和方法- 数据处理和模型建立的技巧- 应用案例的实践经验七、参考资料1. Box, G. E. P., Jenkins, G. M., & Reinsel, G. C. (2015). Time series analysis: forecasting and control. John Wiley & Sons.2. Hamilton, J. D. (1994). Time series analysis. Princeton university press.3. Shumway, R. H., & Stoffer, D. S. (2017). Time series analysis and its applications: with R examples. Springer.本教学大纲提供了时间序列分析的基本内容和学习路径，旨在帮助学生全面了解时间序列分析的理论和实践应用。
2-平稳时间序列模型
海军航空工程学院基础部数学教研室
第二章 平稳时间序列模型
4.2 ARMA(n,n-1)模型
X t 1 X t 1 n X t n 1at 1 n1at n1 at X t 1 X t 1 n X t n at 1at 1 n1at n1
X t j ( j 3,4,) 无关。
(2) at 是一个白噪声序列。 结构： AR(2)模型由三部分构成， 依赖于 X t 1的部分， 依赖于 X t 2 的部分，独立于前两部分的白噪声。AR(2) 模型可以等价地写成
at X t 1 X t 1 2 X t 2 。
2无关； , )
(2) at 为白噪声。
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第二章 平稳时间序列模型
一个关于产科医院的例子 设 at 是第 t 天新住院的病员人数， 假设 at 是白噪声序 列，即某一天住院人数与第二天住院人数无关。再假设 典型的情形是：10％的病人住院 1 天，50％的病人住院 2 天，30％的病人住院 3 天，10％的病人住院 4 天，那 么第四天住院的病人数 X t 将由下式给出
即通过把 X t 中依赖于 X t 1和 X t 2 的部分消除之后，使得 具有二阶动态性的序列转化为独立的序列。
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第二章 平稳时间序列模型
2.2 AR(n)模型
X t 1 X t 1 2 X t 2 n X t n at X t 1 X t 1 2 X t 2 n X t n at at X t 1 X t 1 2 X t 2 n X t n
X t at 0.9at 1 0.4at 2 0.1at 3 。
时间序列分析自回归模型详解
j)
齐次线性差分方程的通解
定理1.1 设A(z)是k个互不相同的零点 z1, z2 , zk 其中z j
是r(j)重零点。则
{z
t j
tl
},
l
0,1, 2,
r( j) 1, j 1,2,
k
是（1.2）的p个解，而且（1.2)的任何解都可以写成
这p个解的线性组合
k r ( j)1
（1.7）
Xt
60
80
100
120
AR( p) 模型 定义2.1（ AR( p) 模型） 如果{t} 是白噪声WN(0， 2 ),实数
a1, a2, ap , ap 0 使得多项式A(z)的零点都在单位圆外 p A(z) 1 aj z j 0, z 1 则称P阶差分方程 j 1
p
Xt a j Xt j t ,t Z j 1
是一个p阶自回归模型，简称为 AR( p) 模型
满足 AR( p) 模型(2.5)的平稳时间序列称为（2.5）的平稳解或 AR( p) 序列
称 a (a1,a2, ap )T 为 AR( p) 模型的自回归系数。
称条件（2.4）是稳定性条件或最小相位条件。 A（z）称为模型（2.5）的特征多项式。
X t [a1X t1 a2 X t2 ap X t p ] 0,t Z
为p阶齐次常系数线性差分方程，简称齐次差分方程。 满足上式方程的实数列称为它的解， 满足上式的实值（或复值）时间序列也成为它的解。
上式的解可以由p个初值逐次递推得到
Xt [a1X t1 a2 X t2 ap X t p ],t p
U
l
,
jt
'
z
t j
,
时间序列分析教学大纲
时间序列分析教学大纲1. 简介- 时间序列分析的定义和背景- 时间序列分析的应用领域和重要性2. 基础概念- 时间序列的定义和特征- 平稳性和非平稳性时间序列的区别- 自相关和偏自相关函数的概念- 白噪声序列和随机游走的特征3. 时间序列模型- 移动平均模型（MA）- MA(q)模型的定义和特征- MA(q)模型的参数估计方法- 自回归模型（AR）- AR(p)模型的定义和特征- AR(p)模型的参数估计方法- 自回归移动平均模型（ARMA）- ARMA(p,q)模型的定义和特征- ARMA(p,q)模型的参数估计方法- 季节性时间序列模型- 季节性时间序列的特点和检验方法- 季节性ARIMA模型的应用4. 时间序列分析的应用- 预测和预测准确性评估- 均方误差（MSE）和平均绝对误差（MAE）的计算方法 - 预测误差的可视化及分析- 时间序列的平滑方法- 移动平均方法和指数平滑方法- 平均平滑和趋势平滑的原理和应用- 时间序列的季节性分解- 季节性分解模型的定义和原理- 季节性指数和季节性调整方法- 时间序列的异常检测- 异常值和离群点的定义和检测方法- 异常检测在时间序列分析中的应用5. 实践案例分析- 利用时间序列分析方法进行股票价格预测- 利用时间序列分析方法进行销售量预测- 利用时间序列分析方法进行气象数据分析6. 总结与展望- 时间序列分析的应用前景- 学习时间序列分析的重点和方法- 引导学生进行实际数据的应用与分析通过以上教学大纲的详细学习，学生将能够全面了解时间序列分析的基本理论和方法，能够应用时间序列模型进行数据预测和分析。
同时，通过实践案例的学习，学生将能够将时间序列分析方法应用于实际问题，提高数据分析和预测的能力。
希望本课程能够为学生提供一个系统、全面的时间序列分析学习平台，使他们在未来的研究和工作中能够灵活运用时间序列分析方法，做出准确可靠的数据分析和预测。
时间序列分析教学大纲
时间序列分析教学大纲一、课程简介时间序列分析是一门研究时间序列数据的统计学方法。
本课程旨在介绍时间序列的基本概念、常用模型和方法，以及如何应用它们进行实际数据分析和预测。
通过本课程的学习，学生将能够掌握时间序列分析的基本理论和实践技巧。
二、课程目标1. 理解时间序列的基本概念和性质；2. 掌握时间序列数据的可视化方法；3. 学会构建和评估时间序列模型；4. 熟悉时间序列预测的方法和技巧；5. 能够独立进行时间序列数据的分析和预测。
三、教学内容1. 时间序列基础知识- 时间序列的定义和特点- 常见时间序列数据的来源和应用领域2. 时间序列数据的可视化- 绘制时间序列图- 分析序列的趋势和周期性3. 平稳时间序列分析- 平稳时间序列的概念和性质- 自相关与偏自相关函数的计算- 白噪声检验和序列平稳性检验4. ARMA模型- 自回归模型AR(p)的原理和应用- 移动平均模型MA(q)的原理和应用 - ARMA(p,q)模型的建模和识别5. 季节性时间序列分析- 季节性时间序列的特点和分类- 季节性分解和季节性调整的方法- 季节性ARMA模型的建模和识别6. 时间序列预测- 简单移动平均法和指数平滑法- ARIMA模型和季节性ARIMA模型 - 模型的参数估计和预测效果评估7. 高级时间序列模型和方法- ARCH/GARCH模型及其应用- 面板数据的时间序列分析方法- VAR模型和VARMA模型的建模和预测四、教学方法1. 理论讲授：通过授课介绍时间序列分析的基本理论和方法；2. 实例分析：以真实数据为例，进行时间序列分析和预测的实践；3. 计算机实验：使用统计软件进行时间序列数据分析的实验；4. 讨论交流：组织学生进行小组讨论，分享和交流分析结果和思路。
五、考核方式1. 平时表现（20%）：包括课堂参与、作业完成情况等；2. 期中考试（30%）：考察对基本概念和模型的理解和应用能力；3. 实验报告（20%）：根据实验结果书写报告和分析；4. 期末论文（30%）：选取一个时间序列数据进行分析和预测，并撰写论文。
随机时间序列分析模型讲义
随机时间序列分析模型讲义【讲义】随机时间序列分析模型一、引言随机时间序列分析是一种经济学、统计学和数学领域的重要研究方法，用于描述和预测随机现象（例如经济指标、股票价格）随时间发展的变化规律。
本讲义将介绍常见的随机时间序列分析模型。
二、自回归模型（AR）1. 定义：自回归模型是一种常见的线性时序模型，它假设当前时刻的数值与过去若干时刻的数值相关。
AR(p)模型表示当前时刻的值与前p个时刻的值相关。
2. 公式：AR(p)模型的数学公式可表示为：y_t = c + φ_1 * y_(t-1) + φ_2 * y_(t-2) + ... + φ_p * y_(t-p) + ε_t其中，y_t代表当前时刻的数值，c为常数，φ_i为自回归系数，ε_t为误差项，服从均值为0，方差为σ^2的正态分布。
3. 参数估计：通过样本数据拟合AR(p)模型，可使用最小二乘法或极大似然法估计自回归系数。
三、移动平均模型（MA）1. 定义：移动平均模型是一种常见的线性时序模型，它假设当前时刻的数值与过去若干时刻的误差相关。
MA(q)模型表示当前时刻的值与过去q个时刻的误差相关。
2. 公式：MA(q)模型的数学公式可表示为：y_t = c + ε_t + θ_1 * ε_(t-1) + θ_2 * ε_(t-2) + ... + θ_q * ε_(t-q)其中，y_t代表当前时刻的数值，c为常数，θ_i为移动平均系数，ε_t为误差项。
3. 参数估计：通过样本数据拟合MA(q)模型，可使用最小二乘法或极大似然法估计移动平均系数。
四、自回归移动平均模型（ARMA）1. 定义：自回归移动平均模型是自回归模型与移动平均模型的结合，综合考虑了过去若干时刻的数值和误差对当前时刻数值的影响。
ARMA(p, q)模型表示当前时刻的值与过去p个时刻的值和过去q个时刻的误差相关。
2. 公式：ARMA(p, q)模型的数学公式可表示为：y_t = c + φ_1 * y_(t-1) + φ_2 * y_(t-2) + ... + φ_p * y_(t-p) + ε_t + θ_1 * ε_(t-1) + θ_2 * ε_(t-2) + ... + θ_q * ε_(t-q)3. 参数估计：通过样本数据拟合ARMA(p, q)模型，可使用最小二乘法或极大似然法估计自回归系数和移动平均系数。
时间序列分析-第二章 自回归模型
B （3 ）
n m
X t B n ( B m ) X t X t n m
（4）对多项式 ( z ) c j z j 有 ( B) X t c j X t j
p
p
（5) 对多项式 ( z ) c z j 和(z)=d z j 的乘积 A( z) ( z)(z) j j j 0 有
t l z j t l ( / z j ) t o( t )
于是方程的任意解满足 X t o( t )a.s., t 称Xt以负指数阶收 敛到0.
通解不收敛的情形 如果特征多项式有单位根，则方程有一个周期解
X t cos( jt ), t Z
如果单位圆内有根，则方程有一个爆炸解 1 X t ( ) cos( j t ), t Z
p
j 0
j 0
A(B) X t ( B)[(z)X t ] (B)[ ( B) X t ]
p j 0
{Yt } ,多项式 ( z ) c j z j 和随机变量U,V,W有 (6) 对时间序列{ X t } ，
( B)(UX t VYt W ) U (B) X t V (B)Yt W (1)
X t p
1 [ X t a1 X t 1 a2 X t 2 a p 1 X t p 1 ], t p 0 ap
若初值是随机变量则递推得到的是时间序列。
用推移算子把差分方程写成
A( B) X t 0, t Z , 其中A( z ) 1 a j z j 0, z 1
自协方差函数
因为AR()的平稳解为
时间序列分析自我回归模式
33
44
55 66
PACF
0.1796
-0.0538
-0.0058
0.1898
0.0957
0.0476
結果分析與討論
由圖（一）及得知，測線中各段的閉合差很明 顯的分為兩個群集，即前82個測段為一群集， 後35個測段為另一群集，已知此一測線為從台 中港往基隆方向施測，從目前手邊所有資料實 難足以判斷此現象發生的原因，可能原因有地 形因素、不同日期施測氣溫高低不同及各地重 力值不等…等因素。
var(Zt ) var(Ztk )
2 0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.1551 -0.0171 -0.0164 -0.1083 0.0392 0.0701 0.0727 -0.1205 -0.2783 0.0623
k
0.1796
k
-0.0198 -0.0190 -0.1254 0.0454
圖（一）
mm
從上圖可知，測線全部117條測段，前82條測 段的閉合差跟後35條線段的閉合差有相當程度 的差異，因此再將前82條測段獨立出來，組成 新的數列，其閉合差分佈情形下圖
2 1 0 -1 1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 -2 -3 -4 -5
k 0
參 考 文 獻：
林茂文，1992，時間數列分析與預測，華泰書局。 葉小蓁，1998，時間序列分析與應用。
依上述實驗，ACF及PACF並未如理論所述，可 能的原因有計算錯誤、模式選定錯誤（尚未成 平穩型）、數據本身有相異的系統誤差存在導 致序列不能吻合或需更高階的階數…等。
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p
p
（4）对多项式 (z) cjzj有 (B)Xt cjXtj
j0
j0
（5) 对多项式 (z) p cjzj和(z)=djzj 的乘积 A(z)(z)(z)
有
j0
A ( B ) X t ( B ) [ ( z ) X t] ( B ) [ ( B ) X t]
差分方程的基础解：设多项式A(z)是k个互不相同的零点 z1,z2, zk ， 其中z j是r(j)重零点。 可以证明对每个z j有
A (B )t'z jt 0 ,l 0 ,1 ,2 , r(j) 1
证明:设A(z)有分解
k
则有Βιβλιοθήκη A(z)(1 j 1
z
1 j
z
)
r
(
j)
k
A(B)
(1
j 1
z
j
X t [ a 1 X t 1 a 2 X t 2 a p X t p ] 0 , t Z
为p阶齐次常系数线性差分方程，简称齐次差分方程。 满足上式方程的实数列称为它的解， 满足上式的实值（或复值）时间序列也成为它的解。
上式的解可以由p个初值逐次递推得到
Xt [a1Xt1a2Xt2 apXtp],tp
1
B
)
r
(
j)
齐次线性差分方程的通解
定理1.1 设A(z)是k个互不相同的零点 z1,z2, zk 其中z j
是r(j)重零点。则{ z jttl} ,l 0 ,1 ,2 , r (j) 1 ,j 1 ,2 , k
是（1.2）的p个解，而且（1.2)的任何解都可以写成
这p个解的线性组合
k r(j)1
p
于 是 m= am j,m1,2...0， m>0 j1 p 于是m= amj,m1,2... j1
AR(p)的平稳解及通解定理
定理2.1 （1） 由（2.9）定义的时间序列是AR(p)模型 （2.5）的唯一平稳解。 （2）AR(p)的模型的通解有如下的形式
k r(j） -1
Yt j tj
通解的收敛性 如果差分方程的特征多项式A(Z)的根都在单位圆外：
zj 1 ,j 1 ,2 , k 或 A (z) 0 , z 1
取 1min{zj : j1,2 k},则
tl zj tl(/ zj )t o(t)
于是方程的任意解满足 Xt o(t)a.s.,t 称Xt以负指数阶收
敛到0.
通解不收敛的情形 如果特征多项式有单位根，则方程有一个周期解
Xt Xt(0)
Ul,jt'z jt,tZ
j1 l0
§2.2 自回归模型及其平稳性
例子：
单摆的120个观测值(a=-0.35)
8
6
4
2
0
-2
-4
0
20
40
60
80
100
120
单摆的120个观测值(a=-0.85)：
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
0
20
40
60
80
100
120
单摆的10000个观测值(a=1)：
100 80 60 40 20 0 -20 -40 -60 -80 0
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
单摆的120个观测值(a=-1.25)：
12
x 10 3
2
1
0
-1
-2
-3
-4 0
20
40
60
80
100
120
AR(p) 模型
（1.7）
Xt
Ul,jt'zjt,tZ
j1 l0
其中的随机变量U l , j 可以由 { X t } 的初值唯一决定，（1.7）称为 齐次线性差分方程（1.2）的通解。
差分方程（1.2）的实值解可以表示为
k r(j)1
Vl,jt'
t j
cos(jtj),t Z
j1 l0
{Vl, j ,l, j} 可以由初始值唯一决定。
j0
令
A（1 B) jBj
j0
如果{Xt}是（2.6）的平稳解，则
X t A 1 (B )A (B )X t A 1 (B )t
由此可见平稳解如果存在必然为
Xt A1(B)t j tj j0
称为平稳序列的Wold系数。
Wold系数的推导
记a0=-1则A(z) ajzj j0 p 1=A(z)A1(z) ( aj mj)zm m0 j0
p
(6) 对时间序列{ X t } ，{ Y t } ,多项式 (z) c j z j 和随机变量U,V,W有
j0 ( B ) ( U X t V Y t W ) U ( B ) X t V ( B ) Y t W ( 1 )
二.常系数齐次线性差分方程 给定p个实数 a1,a2, ap,ap0,我们称
称 a(a1,a2, ap)T为 AR(p) 模型的自回归系数。
称条件（2.4）是稳定性条件或最小相位条件。 A（z）称为模型（2.5）的特征多项式。
AR(p)的平稳解
设多项式A(Z)的互异根是 x 1 x 0 0 ,生 成 {t} ~ W N ( 0 ,2 ）
取 1min{zj }
从而有泰勒级数 Xt A（ 1 B)t j tj
Xtpa 1p[Xta1Xt1a2Xt2 ap1Xtp1],tp0 若初值是随机变量则递推得到的是时间序列。
用推移算子把差分方程写成 p A (B )X t 0 ,t Z ,其 中 A (z) 1 a jzj 0 ,z 1 j 1
A ( z )称为差分方程的特征多项式。
解有线性性质：{ X t } 和{Y t} 是解，则Xt +Yt 也是解。
定义2.1（ AR(p)
模型）
如果{ t } 是白噪声WN(0，
2
),实数
a1,a2, ap,ap0使得多项式A(z)的零点都在单位圆外 p A(z)1 ajzj 0, z 1则称P阶差分方程
j1
p
Xt ajXtj t,tZ j1
是一个p阶自回归模型，简称为 AR(p) 模型
满足 AR(p) 模型(2.5)的平稳时间序列称为（2.5）的平稳解或 AR(p) 序列
Ul,jt'z jt,tZ
j0
j1 l0
引理2 设实系数多项式 且满足最想相位条件
p
A(z)1 jzj 0, z 1 j1
Xt cos(jt),t Z
如果单位圆内有根，则方程有一个爆炸解
Xt
( 1
j
)cos(jt),tZ
非齐次线性差分方程及其通解
设{Yt}为实值时间序列
（1.10）
A(B ) X t Yt ,t Z
满足（1.10）的时间序列称为（1.10）的解。 如果有（1.10）的某个解，则通解可以写成
k r(j)1