时间序列分析-第二章 自回归模型教学内容
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p
于 是 m= am j,m1,2...0， m>0 j1 p 于是m= amj,m1,2... j1
AR(p)的平稳解及通解定理
定理2.1 （1） 由（2.9）定义的时间序列是AR(p)模型 （2.5）的唯一平稳解。 （2）AR(p)的模型的通解有如下的形式
k r(j） -1
Yt j tj
Xt Xt(0)
Ul,jt'z jt,tZ
j1 l0
§2.2 自回归模型及其平稳性
例子：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
单摆的120个观测值(a=-0.35)
8
6
4
2
0
-2
-4
0
20
40
60
80
100
120
单摆的120个观测值(a=-0.85)：
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
0
20
40
60
80
100
120
单摆的10000个观测值(a=1)：
（1.7）
Xt
Ul,jt'zjt,tZ
j1 l0
其中的随机变量U l , j 可以由 { X t } 的初值唯一决定，（1.7）称为 齐次线性差分方程（1.2）的通解。
差分方程（1.2）的实值解可以表示为
k r(j)1
Vl,jt'
t j
cos(jtj),t Z
j1 l0
{Vl, j ,l, j} 可以由初始值唯一决定。
100 80 60 40 20 0 -20 -40 -60 -80 0
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
单摆的120个观测值(a=-1.25)：
12
x 10 3
2
1
0
-1
-2
-3
-4 0
20
40
60
80
100
120
AR(p) 模型
称 a(a1,a2, ap)T为 AR(p) 模型的自回归系数。
称条件（2.4）是稳定性条件或最小相位条件。 A（z）称为模型（2.5）的特征多项式。
AR(p)的平稳解
设多项式A(Z)的互异根是 x 1 x 0 0 ,生 成 {t} ~ W N ( 0 ,2 ）
取 1min{zj }
从而有泰勒级数 Xt A（ 1 B)t j tj
j0
令
A（1 B) jBj
j0
如果{Xt}是（2.6）的平稳解，则
X t A 1 (B )A (B )X t A 1 (B )t
由此可见平稳解如果存在必然为
Xt A1(B)t j tj j0
称为平稳序列的Wold系数。
Wold系数的推导
记a0=-1则A(z) ajzj j0 p 1=A(z)A1(z) ( aj mj)zm m0 j0
定义2.1（ AR(p)
模型）
如果{ t } 是白噪声WN(0，
2
),实数
a1,a2, ap,ap0使得多项式A(z)的零点都在单位圆外 p A(z)1 ajzj 0, z 1则称P阶差分方程
j1
p
Xt ajXtj t,tZ j1
是一个p阶自回归模型，简称为 AR(p) 模型
满足 AR(p) 模型(2.5)的平稳时间序列称为（2.5）的平稳解或 AR(p) 序列
差分方程的基础解：设多项式A(z)是k个互不相同的零点 z1,z2, zk ， 其中z j是r(j)重零点。 可以证明对每个z j有
A (B )t'z jt 0 ,l 0 ,1 ,2 , r(j) 1
证明:设A(z)有分解
k
则有
A(z)
(1
j 1
z
1 j
z
)
r
(
j)
k
A(B)
(1
j 1
z
j
p
(6) 对时间序列{ X t } ，{ Y t } ,多项式 (z) c j z j 和随机变量U,V,W有
j0 ( B ) ( U X t V Y t W ) U ( B ) X t V ( B ) Y t W ( 1 )
二.常系数齐次线性差分方程 给定p个实数 a1,a2, ap,ap0,我们称
时间序列分析-第二章 自回归模 型
p
p
（4）对多项式 (z) cjzj有 (B)Xt cjXtj
j0
j0
（5) 对多项式 (z) p cjzj和(z)=djzj 的乘积 A(z)(z)(z)
有
j0
A ( B ) X t ( B ) [ ( z ) X t] ( B ) [ ( B ) X t]
Ul,jt'z jt,tZ
j0
j1 l0
引理2 设实系数多项式 且满足最想相位条件
p
A(z)1 jzj 0, z 1 j1
通解的收敛性 如果差分方程的特征多项式A(Z)的根都在单位圆外：
zj 1 ,j 1 ,2 , k 或 A (z) 0 , z 1
取 1min{zj : j1,2 k},则
tl zj tl(/ zj )t o(t)
于是方程的任意解满足 Xt o(t)a.s.,t 称Xt以负指数阶收
敛到0.
通解不收敛的情形 如果特征多项式有单位根，则方程有一个周期解
Xtpa 1p[Xta1Xt1a2Xt2 ap1Xtp1],tp0 若初值是随机变量则递推得到的是时间序列。
用推移算子把差分方程写成 p A (B )X t 0 ,t Z ,其 中 A (z) 1 a jzj 0 ,z 1 j 1
A ( z )称为差分方程的特征多项式。
解有线性性质：{ X t } 和{Y t} 是解，则Xt +Yt 也是解。
Xt cos(jt),t Z
如果单位圆内有根，则方程有一个爆炸解
Xt
( 1
j
)cos(jt),tZ
非齐次线性差分方程及其通解
设{Yt}为实值时间序列
（1.10）
A(B ) X t Yt ,t Z
满足（1.10）的时间序列称为（1.10）的解。 如果有（1.10）的某个解，则通解可以写成
k r(j)1
1
B
)
r
(
j)
齐次线性差分方程的通解
定理1.1 设A(z)是k个互不相同的零点 z1,z2, zk 其中z j
是r(j)重零点。则{ z jttl} ,l 0 ,1 ,2 , r (j) 1 ,j 1 ,2 , k
是（1.2）的p个解，而且（1.2)的任何解都可以写成
这p个解的线性组合
k r(j)1
X t [ a 1 X t 1 a 2 X t 2 a p X t p ] 0 , t Z
为p阶齐次常系数线性差分方程，简称齐次差分方程。 满足上式方程的实数列称为它的解， 满足上式的实值（或复值）时间序列也成为它的解。
上式的解可以由p个初值逐次递推得到
Xt [a1Xt1a2Xt2 apXtp],tp
于 是 m= am j,m1,2...0， m>0 j1 p 于是m= amj,m1,2... j1
AR(p)的平稳解及通解定理
定理2.1 （1） 由（2.9）定义的时间序列是AR(p)模型 （2.5）的唯一平稳解。 （2）AR(p)的模型的通解有如下的形式
k r(j） -1
Yt j tj
Xt Xt(0)
Ul,jt'z jt,tZ
j1 l0
§2.2 自回归模型及其平稳性
例子：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
单摆的120个观测值(a=-0.35)
8
6
4
2
0
-2
-4
0
20
40
60
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120
单摆的120个观测值(a=-0.85)：
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
0
20
40
60
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120
单摆的10000个观测值(a=1)：
（1.7）
Xt
Ul,jt'zjt,tZ
j1 l0
其中的随机变量U l , j 可以由 { X t } 的初值唯一决定，（1.7）称为 齐次线性差分方程（1.2）的通解。
差分方程（1.2）的实值解可以表示为
k r(j)1
Vl,jt'
t j
cos(jtj),t Z
j1 l0
{Vl, j ,l, j} 可以由初始值唯一决定。
100 80 60 40 20 0 -20 -40 -60 -80 0
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
单摆的120个观测值(a=-1.25)：
12
x 10 3
2
1
0
-1
-2
-3
-4 0
20
40
60
80
100
120
AR(p) 模型
称 a(a1,a2, ap)T为 AR(p) 模型的自回归系数。
称条件（2.4）是稳定性条件或最小相位条件。 A（z）称为模型（2.5）的特征多项式。
AR(p)的平稳解
设多项式A(Z)的互异根是 x 1 x 0 0 ,生 成 {t} ~ W N ( 0 ,2 ）
取 1min{zj }
从而有泰勒级数 Xt A（ 1 B)t j tj
j0
令
A（1 B) jBj
j0
如果{Xt}是（2.6）的平稳解，则
X t A 1 (B )A (B )X t A 1 (B )t
由此可见平稳解如果存在必然为
Xt A1(B)t j tj j0
称为平稳序列的Wold系数。
Wold系数的推导
记a0=-1则A(z) ajzj j0 p 1=A(z)A1(z) ( aj mj)zm m0 j0
定义2.1（ AR(p)
模型）
如果{ t } 是白噪声WN(0，
2
),实数
a1,a2, ap,ap0使得多项式A(z)的零点都在单位圆外 p A(z)1 ajzj 0, z 1则称P阶差分方程
j1
p
Xt ajXtj t,tZ j1
是一个p阶自回归模型，简称为 AR(p) 模型
满足 AR(p) 模型(2.5)的平稳时间序列称为（2.5）的平稳解或 AR(p) 序列
差分方程的基础解：设多项式A(z)是k个互不相同的零点 z1,z2, zk ， 其中z j是r(j)重零点。 可以证明对每个z j有
A (B )t'z jt 0 ,l 0 ,1 ,2 , r(j) 1
证明:设A(z)有分解
k
则有
A(z)
(1
j 1
z
1 j
z
)
r
(
j)
k
A(B)
(1
j 1
z
j
p
(6) 对时间序列{ X t } ，{ Y t } ,多项式 (z) c j z j 和随机变量U,V,W有
j0 ( B ) ( U X t V Y t W ) U ( B ) X t V ( B ) Y t W ( 1 )
二.常系数齐次线性差分方程 给定p个实数 a1,a2, ap,ap0,我们称
时间序列分析-第二章 自回归模 型
p
p
（4）对多项式 (z) cjzj有 (B)Xt cjXtj
j0
j0
（5) 对多项式 (z) p cjzj和(z)=djzj 的乘积 A(z)(z)(z)
有
j0
A ( B ) X t ( B ) [ ( z ) X t] ( B ) [ ( B ) X t]
Ul,jt'z jt,tZ
j0
j1 l0
引理2 设实系数多项式 且满足最想相位条件
p
A(z)1 jzj 0, z 1 j1
通解的收敛性 如果差分方程的特征多项式A(Z)的根都在单位圆外：
zj 1 ,j 1 ,2 , k 或 A (z) 0 , z 1
取 1min{zj : j1,2 k},则
tl zj tl(/ zj )t o(t)
于是方程的任意解满足 Xt o(t)a.s.,t 称Xt以负指数阶收
敛到0.
通解不收敛的情形 如果特征多项式有单位根，则方程有一个周期解
Xtpa 1p[Xta1Xt1a2Xt2 ap1Xtp1],tp0 若初值是随机变量则递推得到的是时间序列。
用推移算子把差分方程写成 p A (B )X t 0 ,t Z ,其 中 A (z) 1 a jzj 0 ,z 1 j 1
A ( z )称为差分方程的特征多项式。
解有线性性质：{ X t } 和{Y t} 是解，则Xt +Yt 也是解。
Xt cos(jt),t Z
如果单位圆内有根，则方程有一个爆炸解
Xt
( 1
j
)cos(jt),tZ
非齐次线性差分方程及其通解
设{Yt}为实值时间序列
（1.10）
A(B ) X t Yt ,t Z
满足（1.10）的时间序列称为（1.10）的解。 如果有（1.10）的某个解，则通解可以写成
k r(j)1
1
B
)
r
(
j)
齐次线性差分方程的通解
定理1.1 设A(z)是k个互不相同的零点 z1,z2, zk 其中z j
是r(j)重零点。则{ z jttl} ,l 0 ,1 ,2 , r (j) 1 ,j 1 ,2 , k
是（1.2）的p个解，而且（1.2)的任何解都可以写成
这p个解的线性组合
k r(j)1
X t [ a 1 X t 1 a 2 X t 2 a p X t p ] 0 , t Z
为p阶齐次常系数线性差分方程，简称齐次差分方程。 满足上式方程的实数列称为它的解， 满足上式的实值（或复值）时间序列也成为它的解。
上式的解可以由p个初值逐次递推得到
Xt [a1Xt1a2Xt2 apXtp],tp