江西省宜市宜中学高中数学 归纳推理学案 文 新人教A版

江西省宜春市宜春中学2014年高中数学 归纳推理学案 文 新人教A 版选修1-2
学习目标：通过数学实例，使学生经历观察，发现，归纳的过程，理解归纳推理。

学习重点：学习实例理解归纳的基本数学原理，养成对数学问题“大胆猜测，小心求证”的数学思维习惯。

学习难点：相对于数学结论的归纳，数学方法的归纳更难，要求更高。

培养学生运用类比推理探索问题的能力，养成运用归纳推理习惯
一、学习过程：
1、导学
引例1，在历史上，人们曾经有过制造永动机的美好愿望希望制造出一种不消耗能量的机器，永无休止地为人类服务，人们提出过许多永动机的设计方案，但是，这些设计方案都以失败而告终，从大量的失败案例中，科学界归纳出一个结论：不可能制造出永动机，后来俄国著名科学家罗蒙偌索夫提出了能量守恒定理，从理论上说明了制造永动机是不可能的。

引例2，著名的哥得巴赫通过观察 6=3+3,8=3+5,12=5+7，14=7+7,16=5+11，18=7+11,20=3+17……30=13+17……猜想出以下结论：一个偶数（大于4）可以写成两个素数的和，这就是著名的哥得巴赫猜想。

这个结论至今都没有得到证明，仍然是猜想。

知识小结：
⑴归纳推理的定义：根据一类事物中部分事物具有某些属性,推断该类事物中每一个事物都有这种属性,这种推理方式称为归纳推理.(简称：归纳)
⑵归纳推理的一般步骤：
① 通过观察特例发现某些共性或规律；
② 由这种共性或规律猜想出一般结论（命题）；
③ 对所提出的命题进行检验。

⑶归纳推理的特点：
1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围.
2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验。

它不能作为数学证明的工具。

3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验或实验的基础之上.
⑷归纳推理的作用：
（1）发现新事实、获得新结论； （2）提供解决问题的思路和方向.
例1.归纳凸多边形的内角和公式。

解析：观察三角形内角和180o
凸四边形内角和360o
凸五边形内角和540o
………………
凸n 边形内角和(2)180n o
二、探究与讨论
1.如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )
根据上面思考，总结的归纳法的一般规律，大家一起来归纳下面两个问题
2.设n为正整数，f(n)＝1
＋1
2＋
1
3＋…＋
1
n，计算得f(2)＝
3
2，f(4) >2，f(8)>
5
2，f(16)> 9观察上述结果，可推
测一般的结论为________．
*3.在一个凸多面体中，试通过归纳猜想其顶点数，棱数，面数满足的关系，列出常见的凸多面体。

多面体面数（F) 棱数（E）顶点数（V）
三棱锥
四棱锥
五棱锥
三棱柱
五棱柱
立方体
八面体
十二面体
**4.如果面积是一定的，什么样的平面图形的周长最小，试猜测结论。

三、当堂检测
1.下列关于归纳推理的说法错误的是（）
A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程
B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程
C.归纳推理得出的结论具有偶然性，不一定正确
D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能
2.已知
2()
(1),(1)1
()2
f x
f x f
f x
+==
+*
x N
∈
（），猜想(f x）的表达式为（）.
A.
4
()
22
x
f x=
+ B.
2
()
1
f x
x
=
+ C.
1
()
1
f x
x
=
+ D.
2
()
21
f x
x
=
+
3.由321312>++，5
1252
1>++，5.075
.03++73>，运用归纳推理，可猜测出的一般结论是 .
4. 从37×3=111,37×6=222,37×9=333,37×12=444中得出的一般性结论是 _.
5.已知
, (154)
4154
4,83
383
3,32
232
2=+=+=+,若b a
b a
66=+,b a , 均为实数,猜测=a ,=b .
*6，某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、 (3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f(n)个小正方形．
(1)求出f(5)的值；
(2)利用“归纳推理思想”，归纳出f(n ＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；
(3)求11
1
1
(1)
(2)1(3)1()1f f f f n ++++---L 的值．
四、课后练习
1.已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( )
A ．(7,5)
B ．(5,7)
C ．(2,10)
D ．(10,1)
2．(2012·汕头模拟)观察下列各式：
1＝12，
2＋3＋4＝32，
3＋4＋5＋6＋7＝52，
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，
…，
可以得出的一般结论是( )
A ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝n2
B ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2
C ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝n2
D ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝(2n －1)2
3．(2011·江西高考)观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625，57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为( )
A ．3 125
B ．5 625
C ．0 625
D ．8 125
4．(2012·临沂模拟)已知x>0，由不等式x ＋1x ≥2x·1x ＝2，x ＋4x2＝x 2＋x 2＋4x2≥33x 2·x 2·4x2
＝3，…，我们可以得出推广结论：x ＋a xn
≥n ＋1(n ∈N*)，则a ＝( ) A ．2n B ．n2
C ．3n
D ．nn
5.已知数列an ＝2n －1(n ∈N*)把数列{an}的各项排成如图所示的三角形数阵．记S(m ，n)表示该数阵的第m 行中从左到右的第n 个数，则S(10,6)对应于数阵中的数是________．
*6．观察下列等式：
①sin210°＋cos240°＋sin 10°cos 40°＝34
； ②sin26°＋cos236°＋sin 6°cos 36°＝34
由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．
**7．(2012·滨州模拟)设f(x)＝1
3x＋3
，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳出一个一般结论，并给出证明．。