中考复习之圆与四边形

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数学中考专题30讲：圆的内接四边形

圆内接四边形【知识要点】1．概念：圆内接四边形，四边形的外接圆．2．定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角．【经典例题】例1、AD 是ABC ∆的外角∠EAC 的平分线，AD 与三角形的外接圆交于点D ，AC 、BD 相交于点P ．（1）DBC ∆为等腰三角形；（2）AB:BD=PB:PC例2、四边形ABCD 内接于⊙O ，点P 在CD 的延长线上，且AP ∥BD ．求证：AD AB BC PD ⋅=⋅例3．已知圆内接四边形ABCD 中，如图所示，AB 、BC 、CD 、AD 的度数之比为1:2:3:4,求∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的度数．例4．如图所示，ABC ∆是等边三角形，D 是上任一点．求证：DB+DC=DA ．·ABCDO ·ADCBO PA例5．如图所示，在ABC ∆中，AB=AC ，过A 点的直线与ABC ∆的外接圆交于E ，与BC 的延长线交于D ．求证：ED AD AC AD ⋅=-22【课堂训练】（题目简单可不能粗心）得分一、填空题1．圆内接四边形的对角，并且任何一个外角都它的内对角．2．已知四边形ABCD 内接于⊙O ，则∠A:∠B:∠C:∠D=3:2: :7，且最大的内角为． 3．如右图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，AE ⊥CD 于E ，若∠ABC=︒130，则∠DAE= ． 4．已知圆内接四边形ABCD 的∠A 、∠B 、∠C 的外角度数比为2:3:4，则∠A= ．5．如图1，四边形ABCD 内接于⊙O ，点B 、C 、E 在一直线上，∠1=︒39，∠2=︒48，则∠DCE= ． 6．如图2，已知⊙O 的直径AB=10cm ，AC=︒120，则AC= ．7．如图3，ABC ∆内接于⊙O ，D 是劣弧AB 上一点，E 是BC 延长上一点，AE 交⊙O 于F ，为使ADB ∆～ACE ∆．应补充一个条件是或。

关于圆、四边形的中考压轴题解析

EF
D H C
5
4
G
3
2
E
P M
3
F
1
3
O B
存在这样的点P， ∴存在这样的点，且BP= 3
A
同学们，艰辛的初中三年都过来了，又何必害怕中考！相信面对中考，你们一定能胸有成竹！最后，对那些总想不劳而获的同学。我想送你们几句话：的确，有了付出不一定有回报。但是——但是——没有付出，就一定不会有回报！！不要等着天降馅饼，要有恐怕也只是
综合运用——生活中的圆
3.有一圆弧形桥拱，水面AB宽32米，当水面上升4米后水面CD宽24米，此时上游洪水以每小时0.25米的速度上升，再通过几小时，洪水将会漫过桥面？
垂径定理
解：过圆心O作OE⊥AB于E，延长后交CD于F，交CD于 ⊥ H，设OE=x，连结OB，OD，由勾股定理得 OB2=x2+162 OD2=(x+4)2+122 ∴ X2+162=(x+4)2+122 ∴X=12 ∴OB=20 ∴FH=4 4÷0.25=16（小时）答：再过16小时，洪水将会漫过桥面。
C P
E F
M
切点
A O B
（2）分析：利用（1）的结论可知：
AF·BP=
FE·PE
↓E为切点为切点
“看到切点连半径，必垂直” 看到切点连半径，必垂直” D OE为定长 ↓ 为定长1 为定长 FE·PE的值必与有关的值必与OE有关的值必与
C P
→由相似: 由相似 OE²= FE·PE
切E 切
●
O
A
B
4、如图，在Rt△ABC中，∠C=900，AC=2，、如图， △ 中， AB=4，分别以AC，BC为直径作圆，则，分别以，为直径作圆为直径作圆，图中阴影部分面积为 2π − 2 3

2020年中考总复习圆的经典题型汇总(含答案)

1、如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过点A的切线与CD的延长线相交于点P．且∠APC＝∠BCP（1）求证：∠BAC＝2∠ACD；（2）过图1中的点D作DE⊥AC，垂足为E（如图2），当BC＝6，AE＝2时，求⊙O的半径．2、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O 交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．（1）求证：四边形DCFG是平行四边形．（2）当BE＝4，CD＝AB时，求⊙O的直径长．3、如图，在▱OABC中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B，与OC相交于点D．（1）求的度数．（2）如图，点E在⊙O上，连结CE与⊙O交于点F，若EF＝AB，求∠OCE的度数．4、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作直线DF∥BC．（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝6，AE＝，CE＝，求BD的长．5、如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若OB＝BF，EF＝4，求AD的长．6、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，ED⊥AD交AB于点E，△ADE的外接圆⊙O交AC于点F，连接EF．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径r及∠3的正切值．7、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BE＝2，DE＝4，求圆的半径及AC的长．8、如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交OF于点E．（1）求证：EC＝ED；（2）如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的长．9、如图1，已知⊙O外一点P向⊙O作切线PA，点A为切点，连接PO并延长交⊙O于点B，连接AO并延长交⊙O于点C，过点C作CD⊥PB，分别交PB于点E，交⊙O于点D，连接AD．（1）求证：△APO～△DCA；（2）如图2，当AD＝AO时①求∠P的度数；②连接AB，在⊙O上是否存在点Q使得四边形APQB是菱形．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．10、如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．（1）求⊙O半径的长；（2）求证：AB+BC＝BM．11、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．（1）试判断FG与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AC＝3，CD＝2.5，求FG的长．12、如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CD∥AB 交AF于点D，连接BC．（1）连接DO，若BC∥OD，求证：CD是半圆的切线；（2）如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论．13、如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E．（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，∠BAC＝60°，求线段EF的长．14、如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC＝CE，连接AE交BC于点D，延长DC 至F点，使CF＝CD，连接AF．（1）判断直线AF与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AC＝10，tan∠CAE＝，求AE的长．15、已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM、BN于D、C两点(1)如图1，求证：AB2＝4AD·BC(2)如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积16、如图在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径作⊙O交AC于点D，连接OD．（1）求证：OD∥BC；（2）过点D作⊙O的切线，交BC于点E，若∠A＝30°，求的值．17、如图，AB为⊙O的直径，C、D是半圆AB的三等分点，过点C作AD延长线的垂线CE，垂足为E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．18、如图，AC是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线。

2020年中考数学一轮复习之圆的综合(切线证明、面积、动点问题)(解析版)

2020年中考数学一轮复习之圆的综合（切线证明、面积、动点问题）1．如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，AD＝DB，AC与BD交于点E，且AE＝BC．（1）求证：AB＝CB；（2）如图2，△ABC绕点C逆时针旋转35°得到△FGC，点A经过的路径为弧AF，若AC＝4，求图中阴影部分的面积．（1）证明：∵AD＝BD，∠DAE＝∠DBC，AE＝BC，∴△ADE≌△BDC（SAS），∴∠ADE＝∠BDC，∴＝．∴AB＝BC．（2）解：S阴＝S扇形CAF+S△CFG﹣S△ABC＝S扇形CAF＝＝．2．如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG：CG＝3：2，AB＝16．（1）求⊙O的半径；（2）点E为圆上一点，∠ECD＝30°，将沿弦CE翻折，交CB于点F，求图中阴影部分的面积．解：（1）连接AO，如右图所示，∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB＝16，∴AG＝＝8，∵OG：CG＝3：2，∴OG：OC＝3：5，AB⊥CD，垂足为G，∴设⊙O的半径为5k，则OG＝3k，∴（3k）2+82＝（5k）2，解得，k＝2或k＝﹣2（舍去），∴5k＝10，即⊙O的半径是10；（2）如图所示，将阴影部分沿CE翻折，点F的对应点为M，∵∠ECD＝30°，由对称性可知，∠DCM＝60°，S阴影＝S弓形CBM，连接OM，则∠MOD＝120°，∴∠MOC＝60°，过点M作MN⊥CD于点N，∴MN＝MO•sin60°＝10×＝5，∴S阴影＝S扇形OMC﹣S△OMC＝﹣×10×5＝﹣25．3．如图1，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接CB，过C作CD⊥AB于点D，过点C作∠BCE，使∠BCE＝∠BCD，其中CE交AB的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）如图2，点F在⊙O上，且满足∠FCE＝2∠ABC，连接AF井延长交EC的延长线于点G．①试探究线段CF与CD之间满足的数量关系；②若CD＝4，BD＝2，求线段FG的长．（1）证明：如图1，连接OC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵CD⊥AB，∴∠OBC+∠BCD＝90°，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠OCB+∠BCE＝90°，即OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）解：①线段CF与CD之间满足的数量关系是：CF＝2CD，理由如下：如图2，过O作OH⊥CF于点H，∴CF＝2CH，∵∠FCE＝2∠ABC＝2∠OCB，且∠BCD＝∠BCE，∴∠OCH＝∠OCD，∵OC为公共边，∴△COH≌△COD（AAS），∴CH＝CD，∴CF＝2CD；②∵CD＝4，BD＝2，∴BC＝＝2，由①得：CF＝2CD＝8，设OC＝OB＝x，则OD＝x﹣2，在Rt△ODC中，OC2＝OD2+CD2，∴x2＝（x﹣2）2+42，解得：x＝5，即OB＝5，∵OC⊥GE，∴∠OCF+∠FCG＝90°，∵∠OCD+∠COD＝90°，∠FCO＝∠OCD，∴∠GCF＝∠COB，∵四边形ABCF为⊙O的内接四边形，∴∠GFC＝∠ABC，∴△GFC∽△CBO，∴＝，∴＝，∴FG＝．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s 的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．设运动时间为t秒．（1）当t＝2时，△DPQ的面积为28 cm2；（2）在运动过程中△DPQ的面积能否为26cm2？如果能，求出t的值，若不能，请说明理由；（3）运动过程中，当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值；（4）运动过程中，当以Q为圆心，QP为半径的圆，与矩形ABCD的边共有4个交点时，直接写出t的取值范围．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝12，CD＝AB＝6，∠A＝∠B＝∠C＝90°，由题意得：AP＝t，BQ＝2t，∴BP＝AB﹣AP＝6﹣t，CQ＝BC﹣BQ＝12﹣2t，当t＝2时，AP＝2，BQ＝4，BP＝AB﹣AP＝4，CQ＝BC﹣BQ＝8，∴△DPQ的面积＝12×6﹣×12×2﹣×4×4﹣×6×8＝28（cm2），故答案为：28；（2）不能；理由如下：根据题意得：△DPQ的面积＝，整理得：t2﹣6t+10＝0，∵b2﹣4ac＝﹣4＜0，∴方程无实数根，∴△DPQ的面积不可能为26cm2；（3）∵∠A＝90°，∴A、P、D三点在以DP为直径的圆上，若点Q也在圆上，则∠PQD＝90°，∵PQ2＝（6﹣t）2+（2t）2，DQ2＝62+（12﹣2t）2，DP2＝t2+122，PQ2+DQ2＝DP2，∴（6﹣t）2+（2t）2+62+（12﹣2t）2＝t2+122；解得t1＝6，t2＝，∴t＝6或时A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上．（4）如图1，⊙Q与边AD相切时，过点Q作QE⊥AD，∵⊙Q与边AD相切，∴QE＝QP，由勾股定理得：62＝（6﹣t）2+（2t）2；解得t1＝0（舍去），t2＝，如图2，⊙Q过点D时，则QD＝QP，由勾股定理得：（6﹣t）2+（2t）2＝62+（12﹣2t）2；解得：（舍去）∴当＜t＜时，⊙Q与矩形ABCD的边共有四个交点．5．如图，已知直线l的函数表达式为y＝x+3，它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点．（1）若⊙O的半径为2，说明直线AB与⊙O的位置关系；（2）若△ABO的内切圆圆心是点M，外接圆圆心是点N，则MN的长度是；（直接填空）（3）设F是x轴上一动点，⊙P的半径为2，⊙P经过点B且与x轴相切于点F，求圆心P的坐标．解：（1）∵直线l的函数表达式为y＝x+3，它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，∴当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝4；∴A（﹣4，0），B（0，3），∴OB＝3，OA＝4，AB＝＝＝5，过点O作OC⊥AB于C，如图1所示：∵sin∠BAO＝＝，∴＝，∴OC＝＞2，∴直线AB与⊙O的位置关系是相离；（2）设⊙M分别与OA、OB、AB相切于C、D、E，连接MC、MD、ME、BM，如图2所示：则四边形OCMD是正方形，DE⊥AB，BE＝BD，∴MC＝MD＝ME＝OD＝（OA+OB﹣AB）＝×（4+3﹣5）＝1，∴BE＝BD＝OB﹣OD＝3﹣1＝2，∵∠AOB＝90°，∴△ABO外接圆圆心N在AB上，∴AN＝BN＝AB＝，∴NE＝BN﹣BE＝﹣2＝，在Rt△MEN中，MN＝＝＝；故答案为：；（3）连接PB、PF，作PC⊥OB于C，如图3所示：则四边形OCPF是矩形，∴OC＝PF＝BP＝2，BC＝OB﹣OC＝3﹣2＝1，∴PC＝＝＝，∴圆心P的坐标为：（，2）．6．联想我们曾经学习过的三角形外心的概念，我们可引入准外心的定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．请回答下面的三个问题：（1）如图1，若PB＝PC，则点P为△ABC的准外心，而且我们知道满足此条件的准外心有无数多个，你能否用尺规作出另外一个准外心Q呢？请尝试完成；（2）如图2，已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心P在AC边上，试探究PA的长；（3）如图3，点B既是△EDC又是△ADC的准外心，BD＝BA＝BC＝2AD，BD∥AC，CD＝，求AD的值．解：（1）能用尺规作出另外一个准外心Q，作AB的垂直平分线MN，在MN上取点Q，如图1所示：则QA＝QB，点Q为△ABC的准外心；（2）连接BP，如图2所示：∵△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，∴AC＝＝＝4，∵准外心P在AC边上，①当PB＝PC时，设PB＝PC＝x，则PA＝4﹣x，在Rt△ABP中，由勾股定理得：32+（4﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴PA＝4﹣＝；②当PA＝PC时，PA＝AC＝2；③当PA＝PB时，∵△ABC是直角三角形，此情况不存在；综上所述，准外心P在AC边上，PA的长为或2；（3）∵BD＝BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，点D、A、C在以B为圆心，AB长为半径的圆上，如图3所示：则∠ABD＝2∠ACD，作BE⊥CD于E，BF⊥AD于F，则DE＝CE＝CD＝，DF＝AF＝AD，∠ABD＝2∠DBF，∠BEC＝∠DFB＝90°，∵BD∥AC，∴∠ABD＝∠BAC＝∠BCA＝2∠ACD＝2∠DBF＝2∠BCE，∴∠DBF＝∠BCE，在△BDF和△CBE中，，∴△BDF≌△CBE（ASA），∴DF＝BE，设DF＝BE＝x，则AD＝2x，BD＝2AD＝4x，在Rt△BDE中，由勾股定理得：x2+（）2＝（4x）2，解得：x＝，∴AD＝2x＝．7．如图，在平面直角坐标系中，AB＝AC＝10，线段BC在x轴上，BC＝12，点B的坐标为（﹣3，0），线段AB交y轴于点E，过A作AD⊥BC于D，动点P从原点出发，以每秒3个单位的速度沿x轴向右运动，设运动的时间为t秒．（1）当△BP E是等腰三角形时，求t的值；（2）若点P运动的同时，△ABC以B为位似中心向右放大，且点C向右运动的速度为每秒2个单位．△ABC放大的同时高AD也随之放大，当以EP为直径的圆与动线段AD 所在直线相切时，求t的值和此时点C的坐标．解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝6，∴AD＝＝＝8，∵点B的坐标为（﹣3，0），∴OB＝3，∴OD＝BD﹣OB＝6﹣3＝3，∴A（3，8），设直线AB的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝x+4，∴E（0，4），∴OE＝4，BE＝＝＝5，当△BPE是等腰三角形有三种情况：①当BE＝BP时，则3+3t＝5，解得：t＝；②当BE＝EP时，则3t＝3，解得：t＝1；③当BP＝PE时，∵BP＝PE，AB＝AC，∠ABC＝∠PBE，∴∠PEB＝∠ACB＝∠ABC，∴△PBE∽△ABC，∴＝，即＝，解得：t＝；综上所述，当△BPE是等腰三角形时，t的值为或1或；（2）由题意得：C（9+2t，0），∴BC＝12+2t，BD＝CD＝6+t，OD＝3+t，设F为EP的中点，连接OF，作FH⊥AD于H，FG⊥OP于G，如图所示：则四边形FGDH是矩形，FG∥EO，∴FG是△POE的中位线，∴PG＝OG＝OP＝t，FG＝OE＝2，∴F（t，2），∵四边形FGDH是矩形，∴FH＝GD＝OD﹣OG＝3+t﹣t＝3﹣t，∵以EP为直径的圆与动线段AD所在直线相切，∴FH＝EP＝3﹣t，在Rt△POE中，EP2＝OP2+OE2，即：4（3﹣t）2＝（3t）2+42，解得：t＝1或t＝﹣（不合题意舍去），∴C（11，0），∴以EP为直径的圆与动线段AD所在直线相切时，t的值为1，此时点C的坐标为（11，0）．8．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的角平分线交AC上点E，过点E作BE 的垂线交AB于点F，△BEF的外接圆⊙O与CB交于点D．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BC＝9，EH＝3，求⊙O的半径长；（3）如图2，在（2）的条件下，过C作CP⊥AB于P，求CP的长．（1）证明：连接OE．如图1所示：∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°，∴BF是圆O的直径，∴OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE，∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴AC⊥OE，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵∠ACB＝90°，∴EC⊥BC，∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，∴EH＝EC，∠BHE＝90°，在Rt△BHE和Rt△BCE中，，∴Rt△BHE≌Rt△BCE（HL），∴BH＝BC＝9，∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°＝∠BHE，BF是圆O的直径，∴BE＝＝＝3，∵∠EBH＝∠FBE，∴△BEH∽△BFE，∴＝，即＝，解得：BF＝10，∴⊙O的半径长＝BF＝5；（3）解：连接OE，如图2所示：由（2）得：OE＝OF＝5，EC＝EH＝3，∵EH⊥AB，∴OH＝＝＝4，在Rt△OHE中，cos∠EOA＝＝，在Rt△EOA中，cos∠EOA＝＝，∴OA＝OE＝，∴AE＝＝＝，∴AC＝AE+EC＝+3＝，，∵AB＝OB+OA＝5+＝，∠ACB＝90°，∴△ABC的面积＝AB×CP＝BC×AC，∴CP＝＝＝．9．【操作体验】如图①，已知线段AB和直线1，用直尺和圆规在1上作出所有的点P，使得∠APB＝30°，如图②，小明的作图方法：第一步：分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧在AB上方交于点O第二步：连接OA，OB；第三步：以O为圆心，OA长为半径作⊙O，交l于P1，P2；所以图中P1，P2即为所求的点（1）在图②中，连接P1A，P1B，说明∠AP1B＝30°【方法迁移】（2）如图③，用直尺和圆规在矩形ABCD内作出所有的点P，使得∠BPC＝45°（不写作法，保留作图痕迹）；【深入探究】（3）已知矩形ABCD，BC＝2，AB＝m，P为AD边上的点，若满足∠BPC＝45°的点P恰有两个，求m的取值范围；（4）已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝2，P为矩形ABCD内一点，且∠BPC＝120°，若点P绕点A逆时针旋转60°到点Q，求PQ的最小值．解：（1）如图②，连接AP1，BP1，∵OA＝OB＝AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠AP1B＝∠AOB＝30°；（2）如图③，①以B、C为圆心，以BC为半径作圆，交AB、DC于E、F，②作BC的中垂线，连接EC，交于O，③以O为圆心，OE为半径作圆，则上所有的点（不包括E、F两点）即为所求；（3）如图④，同理作⊙O，∵BE＝BC＝2，∴CE＝4，∴⊙O的半径为2，即OE＝OG＝2，∵OG⊥EF，∴EH＝，∴OH＝，∴GH＝2﹣，∴BE≤AB＜MB，∴3≤m＜2+，故答案为：3≤m＜2+；（4）如图⑤，构建⊙O，使∠COB＝120°，在优弧上取一点H，则∠CHB＝60°∴∠CPB＝120°，由旋转得：△APQ是等边三角形，∴PQ＝AP，∴PQ取最小值时，就是AP取最小值，当P与E重合时，即A、P、O在同一直线上时，AP最小，则PQ的值最小，在Rt△AFO中，AF＝，OF＝3+1＝4，∴AO＝＝，∴AE＝﹣2＝AP，∴PQ＝AP＝﹣2．10．如图，线段AB是⊙O的直径，C、D是半圆的三等分点，过点C的直线与AD的延长线垂直，垂足为点E，与AB的延长线相交于点F，连接OE，交AC于点G．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）连接DC、CO，判断四边形ADCO的形状，并证明；（3）求OG与GE的比值．（1）证明：连接OC，∵C、D是半圆的三等分点，∴＝＝，∴∠DAC＝∠CAB，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AE，∴∠OCF＝∠AEC＝90°，∴OC⊥EF，∴FC是⊙O的切线；（2）解：四边形ADCO是菱形，理由如下：连接DC、DO，由（1）知＝＝，∴∠AOD＝∠DOC＝COB＝×180°＝60°，又∵OA＝OD＝OC，∴△OAD与△OCD是等边三角形，∴OA＝OD＝AD，OD＝OC＝DC，∴OA＝AD＝DC＝OC，∴四边形ADCO是菱形；（3）解：由（1）知，OC∥AE，∴△OCG∽△EAG，△FCO∽△FEA，∠COF＝∠EAF＝60°，∴＝，＝，∴＝，在Rt△OCF中，∠F＝30°，设OC＝r，则OF＝2r，∴＝＝，∴＝，∴OG与GE的比值为．11．已知：CD为△ABC的外角平分线，交△ABC的外接圆O于D．（1）如图1，连接0A，OD，求证：∠AOD＝2∠BCD；（2）如图2．连接BC，若CB平分∠ACD，求证：AB＝BD；（3）如图3，在（2）的条件下，在AB上取一点E，BD上取一点F．连接DE、AF交于点M，连接EF，若∠DMF＝60°，AC＝EF＝7，CD＝8（DF＞BF），求AE的长．解：（1）如图1，连接BD，∵CD为△ABC的外角平分线，∴∠HCD＝∠BCD，∵∠HCD＝∠ABD，∴∠ABD＝∠BCD，∵∠AOD＝2∠ABD，∴∠AOD＝2∠BCD；（2）∵CB平分∠ACD，∴∠ACB＝∠DCB，∴＝，∴AB＝BD；（3）如图3，作FG⊥AB于G，EP⊥AF于P，CN⊥AC交AC的延长线于N．在Rt△CDN中，∵∠DCN＝60°，CD＝8，∴∠CDN＝30°，∴CN＝CD＝4，DN＝4，∴AD＝＝＝13，∵AB＝BD，∠B＝60°，∴∠ABC是等边三角形，∴AD＝DB＝BD＝13，∠DAB＝60°，∵∠DMF＝∠ADM+∠MAD＝60°，∠MAE+∠MAD＝60°，∴∠ADE＝∠BAF，∵∠DAE＝∠B，∴△ADE≌△BAF（ASA），∴AE＝BF，设AE＝BF＝x，则BE＝13﹣x，BG＝x，EG＝13﹣x，FG＝x，在Rt△EFG中，72＝（13﹣x）2+（x）2，解得x＝5或8（舍弃），∴AE＝BF＝5．12．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长A0与⊙O交于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）证明：OA2＝OD•OP；（3）若BC＝6，tan∠F＝，求cos∠ACB的值．（1）证明：连接OB，如图1所示：∵PB为⊙O的切线，∴OB⊥PB，∴∠OBP＝90°，∵BA⊥PF，∴AD＝BD，即OP垂直平分AB，∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠PAB+∠OAB＝∠PBA+∠OBA＝90°，即∠OAP＝90°，∴OA⊥PA，∴直线PA为⊙O的切线；（2）∵∠ADO＝∠OAP＝90°，∠AOD＝∠POA，∴△OAD∽△OPA，∴＝，∴OA2＝OD•OP；（3）解：连接AE，如图2所示：∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∵OD垂直平分AB，∴OD∥BC，∴OD是△ABC的中位线，∴OD＝BC＝3，设DE＝x，则OE＝OA＝OF＝3+x，∵OD垂直平分AB，∴＝，∴∠F＝∠DAE，∴tan∠DAE＝tan∠F＝，∴AD＝2DE＝2x，在Rt△ADF中，tan∠F＝＝，∴＝，解得：x＝2，∴AD＝4，BC＝6，OA＝OE＝5，在Rt△ABC中，AC＝2OA＝10，∴cos∠ACB＝＝＝．13．如图1，在矩形ABCD中，AB＝18cm，BC＝24cm．在Rt△GEF中，∠GFE＝90°．EF ＝12cm，GF＝16cm．E，F两点在BC边上，GE，GF两边分别与矩形ABCD对角线BD交于M，N两点．现矩形ABCD固定不动，△GEF从点F与点B重合的位置出发，沿BC以2cm/s的速度向点C运动，点P从点F出发，在折线FG﹣GE上以4cm/s的速度向点E运动．⊙G是以G为圆心．GP的长为半径的圆．△GEF与点P同时出发，当点E到达点C 时，△GEF和点P同时停止运动．设运动的时间是t（单位：s）．（1）当t＝2s时，PN＝ 5 cm，GM＝cm；（2）当△PGE为等腰三角形时，求t的值；（3）当⊙G与BD相切时，求t的值．解：（1）当t＝2时，BF＝2×2＝4（cm），FP＝2×4＝8（cm），∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD＝18cm，tan∠DBC＝＝＝，∵∠GFE＝90°，∴∠BFN＝90°＝∠C，∴GF∥CD，∴△BFN∽△BCD，∴＝，即＝，解得：FN＝3cm，∴PN＝FP﹣FN＝5cm；GN＝GF﹣FN＝16﹣3＝13（cm），∵Rt△GEF中，∠GFE＝90°．EF＝12cm，GF＝16cm，∴GE＝＝20cm，tan∠G＝＝＝，∴∠DBC＝∠G，∵∠BFN＝180°﹣90°＝90°，∴∠DBC+∠BNF＝90°，∵∠GNM＝∠BNF，∴∠G+∠GNM＝90°，∴∠GMN＝90°，∴△GNM∽△GEF，∴＝，即＝，∴GM＝cm，故答案为：5，；（2）由题意得：当△PGE为等腰三角形时，PG＝PE，如图2所示：设PF＝x，则PE＝PG＝（16﹣x）cm，在Rt△PEF中，由勾股定理得：122+x2＝（16﹣x）2，解得：x＝，∴PF＝，∴t＝÷4＝（s）；（3）由勾股定理得：BD＝＝30cm，由（1）得：∠GMN＝90°，∴GM⊥BD，∵GP是⊙G的半径，∴当⊙G与BD相切时，GM＝GP，∵∠BME＝∠C＝90°，∠DBC＝∠EBM，∴△BME∽△BCD，∴＝，即＝，解得：ME＝（2t+12），∴GM＝GE﹣ME＝20﹣（2t+12）＝，分两种情况：①当0＜t≤4时，∵GP＝16﹣4t，∴＝16﹣4t，解得：t＝；②当4＜t≤6时，P与M重合，GP＝4t﹣16，∴＝4t﹣16，解得：t＝；综上所述，当⊙G与BD相切时，t的值为s或s．14．如图1，已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，∠是⊙O的半圆弧上一动点（不与A，B重合），过点E的直线分别交射线AM、BN于D、C两点，且CB＝CE．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）求证：AB2＝4AD•BC；（3）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积．（1）证明：如图1，连接OE，OC，在△BCO与△ECO中，，∴△BCO≌△ECO（SSS），∴∠OEC＝∠OBC，∵BN是⊙O的切线，∴AB是⊙O的直径，∴AB⊥BN，∴∠ABC＝90°，∴∠OEC＝90°，∴CD为⊙O的切线；（2）证明：连接OC、OD，如图1所示：∵AM和BN是它的两条切线，∴AM⊥AB，BN⊥AB，∴AM∥BN，∴∠ADE+∠BCE＝180°∵DC切⊙O于E，∴∠ODE＝∠ADE，∠OCE＝∠BCE，∴∠ODE+∠OCE＝90°，∴∠DOC＝90°，∴∠AOD+∠COB＝90°，∵∠AOD+∠ADO＝90°，∴∠AOD＝∠OCB，∵∠OAD＝∠OBC＝90°，∴△AOD∽△BCO，∴＝，∴OA2＝AD•BC，∴（AB）2＝AD•BC，∴AB2＝4AD•BC；（2）解：连接OD，OC，如图2所示：∵∠ADE＝2∠OFC，∴∠ADO＝∠OFC，∵∠ADO＝∠BOC，∠BOC＝∠FOC，∴∠OFC＝∠FOC，∴CF＝OC，∴CD垂直平分OF，∴OD＝DF，在△COD和△CFD中，，∴△COD≌△CFD（SSS），∴∠CDO＝∠CDF，∵∠ODA+∠CDO+∠CDF＝180°，∴∠ODA＝60°＝∠BOC，∴∠BOE＝120°，在Rt△DAO，AD＝OA，Rt△BOC中，BC＝OB，∴AD：BC＝1：3，∵AD＝1，∴BC＝3，OB＝，∴图中阴影部分的面积＝2S△OBC﹣S扇形OBE＝2×××3﹣＝3﹣π．15．如图，A（﹣5，0），B（﹣3，0）点C在y的正半轴上，∠CBO＝45°，CD∥AB．∠CDA＝90°，点P从点A出发，沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．（1）当时t＝1，求PC的长；（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；（3）以线段PC为直径的⊙Q随点P的运动而变化，当⊙Q与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．解：（1）A（﹣5，0），B（﹣3，0），∴OA＝5，OB＝3，当t＝1时，AP＝1，∴OP＝OA﹣AP＝4，∵∠CBO＝45°，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠OCB＝45°，OC＝OB＝3，∴PC＝＝＝5；（2）分两种情况：如图1所示：①当P在点B的左侧时，∵∠CBO＝45°，∠BCP＝15°∴∠OCP＝∠OCB+∠BCP＝45°+15°＝60°，∴∠OPC＝30°，∴OP＝OC＝3，∴AP＝OA﹣OP＝5﹣3，∵点P沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动，∴t＝5﹣3，②当P在点B的右侧时，∵∠OCB＝45°，∠BCP＝15°∴∠OCP＝∠OCB﹣∠BCP＝45°﹣15°＝30°，∴OP＝OC＝，∴AP＝OA﹣OP＝5﹣，∵点P沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动，∴t＝5﹣；综上所述，当∠BCP＝15°时，t的值为（5﹣3）秒或（5﹣）秒；（3）如图2中，由题意知，若该圆与四边形ABCD的边相切，有以下三种情况：①当该圆与BC相切于点C时，有∠BCP＝90°，从而∠OCP＝45°，得到OP1＝OC＝3，此时AP1Q＝5+3＝8，∴t＝8；②当该圆与CD相切于点C时，有P2C⊥CD，即点P2与点O重合，此时AP2＝5，∴t＝5；③当该圆与AD相切时，设P3（5﹣t，0），则Q（，），半径r2＝（）2+（）2，作QH⊥AD于点H，则QH＝，∵QH2＝r2，∴（）2＝（）2+（）2，解得t＝，综上所述，t的值为8秒或5秒或秒．。

备考2021年中考数学二轮复习：图形的性质_圆_圆内接四边形的性质,单选题专训及答案

A . 50° B . 80° C . 100° D . 130° 29、
(2020新都.中考模拟) 如图，在圆内接四边形ABCD中，∠C＝110°，则∠BOD的度数为（）
A . 140° B . 70° C . 80° D . 60° 30、 (2020来宾.中考模拟) 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C，D在⊙O上。若∠P=102°，则∠A+∠C=（）
24.答案： 25.答案： 26.答案： 27.答案： 28.答案： 29.答案： 30.答案：
A. B. C. D.
14、 (2019禅城.中考模拟) 如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝40°，点D是劣弧 BD，则∠D的度数是( )
上一点，连结CD，
A . 50° B . 45° C . 140° D . 130° 15、 (2018湛江.中考模拟) 如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD=120°，AB=AD=2，则⊙O的半径长为（）
A . 40° B . 60° C . 50° D . 80° 4、 (2019宁波.中考模拟) 如图，点B、C、D在⊙O上，若∠BCD＝140°，则∠BOD的度数是（）
A . 40° B . 50° C . 80° D . 90° 5、 (2019南浔.中考模拟) 如图，已知点A，B，C在⊙O上，若∠ABC=130°，则∠AOC的度数是（）
A . 220° B . 219° C . 218” D . 217°
备考 2021中考数学二轮复习：图形的性质 _圆 _圆内接四边形的性质，单选题答案
1.答案： D 2.答案： A 3.答案： C 4.答案： C 5.答案： D 6.答案： B 7.答案： C 8.答案： C 9.答案： B 10.答案： C 11.答案： B 12.答案： D 13.答案： D 14.答案： D 15.答案： D 16.答案： D 17.答案： C 18.答案： B 19.答案： C 20.答案： B 21.答案： D 22.答案： D 23.答案： C

中考数学总复习圆内接四边形专项练习题

中考数学总复习圆内接四边形专项练习题例题1：如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，OC∥AD，∠DAB=60°，∠ADC=106°.求∠OCB及弧DC的度数.练：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB∥DC，∠BAD的平分线交⊙O于点P，交DC的延长线于点E，若∠BAD=86°，则∠PCE= °，⌒ADC的度数为例题2，如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，弧AB=弧AD，∠BCD=120°，连接AC，DE⊥AC于点E，连接BE，若∠BED=150°，AC=37 ,求DE的长.练：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB=BD,BM⊥AC于点M，已知AC=11,CD=7,求CM的长.例3.如图，在△ABC中，AB=AC,在△ABC的外侧作直线AP，点B与点D关于AP轴对称，连接BD，CD，CD与AP交于点E. 求证：∠1=∠2.练：如图，在△ABC内有一点D，使得DA=DB=DC,若∠DAB=20°，则∠ACB= °.例题2，如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F.求证：EF=DE.练：如图，锐角△ABC中，BD，CE是高线，DG⊥CE于点G，EF⊥BD于点F.求证：FG∥BC6.如图，已知△ABC，∠C=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转x度（α为锐角），得到△ADE，连接BE，CD，延长CD交BE于点F.（1）用含有x的代数式表示∠ACD的度数为；（2）求证：点B，C，A，F四点共圆.（3）求证：点F为BE的中点.7.如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC边上的高，且BD=6，CD=2.求AD的长度，课后习题：1.如图，⊙O内接四边形ABCD中，点E在BC延长线上，∠A+∠BOD=150°，则∠DCE= °2.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A与∠C的度数之比为2：3，且弧AD的度数为100°，则弧AB的度数°3,如图，∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，且DB=DC.AC是直径，若∠ACB=52°，则∠DAE= °4.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，∠A=120°，CF⊥AB于F，连接DF交CB延长线于E，连接AE，则△AEF的面积为5.如图，已知P为长方形内一点，S△P AB=5, S△PBC=12, 则S△PBD=6.如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，点E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（）7.已知如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB=AC=AD=5，BC=6，求BD的长.8.如图，已知△ABC中，AH是高线，AT是角平分线，且TD⊥AB于点D，TE⊥AC于点E.求证：∠AHD=∠AHE.。

中考数学复习之圆周角与圆内接四边形的性质,考点过关与基础练习题

33.圆周角与圆内接四边形➢知识过关1.圆心角：(1)顶点在________的角叫做圆心角.(2)弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条______、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等.2.圆周角(1)圆周角：顶点在圆上，并且两边都是弦的角叫做圆周角.(2)圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的_____角的一半.(3)推论：半圆(或直径)所对的圆周角是_____;90°的圆周角所对的弦是_________推论：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，则它们所对的_______一定相等.3.圆内接四边形(1)一个多边形所有的顶点都在圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆；(2)圆内接四边形的对角__________,外角等于___________.➢考点分类考点1圆周角定理及其推论的应用例1如图，四边形ABCD是平行四边形，且AB＝AC，过A，B，C三点的⊙O与DC的延长线交于点E，连接AE交BC于F．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）求证：△DAC∽△DEA．1．如图，在⊙O 中，弧AB 所对的圆周角∠ACB ＝50°，若P 为弧AB 上一点，∠AOP ＝53°，则∠POB 的度数为（）A ．25°B ．47°C ．53°D ．37°2．如图，在半径为3的⊙O 中，点A 是劣弧BC 的中点，点D 是优弧BC 上一点，且∠D ＝30°，则BC 的长度是（）A ．3B ．3√32C ．3√3D ．2√33．如图，在半径为5的⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，D 是AC ̂的中点，AC 与BD 交于点E ．若BE DE =12，则AC 的长为（）A ．4√2B ．4√3C ．4√5D ．4√64．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为直径，AD ＝CD ，过D 作DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点F ，连结AC ．DF ＝5，BC AB =35．当点P 为下面半圆弧的中点时，连接CP 交BD 于H ，则AH 的长为（）A ．4√10B ．8√2C ．5√5D ．125．如图，已知BC 是⊙O 的直径，半径OA ⊥BC ，点D 在劣弧AC 上（不与点A ，点C 重合），BD 与OA 交于点E ，设∠AED ＝α，∠AOD ＝β，则以下关系式成立的是（）A．2α+β＝180°B．2α﹣β＝90°C．3α+β＝180°D．3α﹣β＝90°6．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝26，点C为⊙O上半圆的一点，CE⊥AB于点E，∠OCE的角平分线交⊙O于点D，弦AC＝10，那么△ACD的面积是（）A．80B．85C．90D．957．如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOC＝120°，则∠ABC的度数是（）A．100°B．80°C．110°D．120°8．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，∠CDB＝30°，BC＝5，则AB的长度为．9．如图，AB是⊙O的弦，C是优弧AB上一点，连接AC、BC，若⊙O的半径为4，∠ACB ＝60°，则△ABC面积的最大值为．10．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝3，以点C为圆心，CB 为半径的圆交AB于点D，则BD的长为．11．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点．且OD∥BC，AC分别与BD、OD相交于点E，F．若⊙O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段AB上任意一点，则PC+PD 的最小值是．12．如图，在⊙O中，AB为定弦，C，D为圆上动点，记弦AB所对的圆心角度数是α，弦CD所对的圆心角度数是β．若α+β＝180°，则：①∠A+∠C＝90°；②若β＝2α，则CD=√3AB；③若B为弧AD的中点，则OA⊥CD；④AB2+CD2＝4OC2．上述选项中正确的是．（填写所有正确选项的序号）13．如图，以AB为直径的半圆O经过点C，点D在直径AB上．若BC＝BD，CD＝OA，则∠A的度数是．14．已知⊙O的两条弦为AB、AC，连接半径OA、OB、OC，若AC=√2AB=√2OA，则∠BOC的度数为．15.如图，AB 为⊙O 的直径，D 是弦AC 延长线上一点，AC ＝CD ，DB 的延长线交⊙O 于点E ，连接CE ．（1）求证∠A ＝∠D ；（2）若AÊ的度数为108°，求∠E 的度数．16．如图，AB 是半圆O 的直径，AC 是弦，在AB 上截取AD ＝AC ，OE ⊥CD 于E ，连接BC ．（1）求证：∠DOE ＝∠BCD ．（2）若∠A ＝30°，AB ＝6，求CE 的长．17．如图，圆O 中延长弦AB ，CD 交于点E ，连接AC ，AD ，BC ，BD ．（1）若∠ADB ＝60°，∠BAD ＝10°，求∠ACD 的度数；（2）若∠ADB ＝α°，∠BAD ＝β°，∠EBC ＝γ°，判断α，β，γ满足什么数量关系时，AD ＝CD ？请说明理由．➢ 课后作业1．已知，如图，点A ，B ，C 三点都在⊙O 上，∠B =12∠A ，∠A ＝45°，若△ABC 的面积为2，则⊙O 的半径为（）A ．±2B ．2C ．1+√334D ．√33−142．如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连结AC，BD相交于点P，连结AD，OC．已知OC⊥BD于点E，AB＝2．下列结论：①∠CAD+∠OBC＝90°；②若点P为AC的中点，则CE＝2OE．③若AC＝BD，则CE＝OE；④BC2+BD2＝4；其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④̂，取BD̂上一点F使得DF＝DC，3．如图，以正方形ABCD的点A为圆心，AB为半径作BD̂上一点（不与点D，F重合），则∠DEF的值为（）点E是BDA．120°B．135°C．145°D．150°4．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．若点D与圆心O不重合，∠BAC＝24°，则∠DCA的度数为（）A．40°B．41°C．42°D．43°5．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在圆上，CE⊥AB于点E，若∠D＝48°，则∠1＝（）A．42°B．45°C．48°D．52°6．如图，B 、C 是圆A 上的两点，AB 的垂直平分线与圆A 交于E 、F 两点，与线段AC 交于点D ，若∠DBC ＝30°，AB ＝2，则弧BC ＝（）A ．19πB ．29πC ．13πD ．49π 7．如图，在四边形ACBD 中，AB ＝BD ＝BC ，AD ∥BC ，若CD ＝4，AC ＝2，则AB 的长为．8．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是AB̂的中点，点D 是直径AB 所在直线下方一点，连接CD ，且满足∠ADB ＝60°，BD ＝2，AD ＝3√3，则△ABD 的面积为；CD 的长为．9．如图，已知半圆O 的直径AB ＝9，C 是半圆上一点，沿AC 折叠半圆得到AĈ，交直径AB 于点D ，若D 在半径OA 上，且为直径的三等分点，则AC 的长是．10．如图，点A在y轴正半轴上，点B是第一象限内的一点，以AB为直径的圆交x轴于D，C两点．（1）OA与OD满足什么条件时，AC＝BC，写出满足的条件，并证明AC＝BC；（2）在（1）的条件下，若OA＝1，BD=3√2，求CD长．11．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，AD̂上点E，满足AÊ=CD̂，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G，连结CE，EF＝DG．（1）求证：CE＝BG；（2）如图2，连结CG，AD＝2．若sin∠ADB=√217，求△FGD的周长．➢冲击A+4.已知：在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，DB平分∠ADC；(1)求证：AB=BC；(2)如图2，若∠ADB=60°，试判断∠ABC的形状，并说明理由；(3)如图3，在(2)的条件下，在AB上取一点E，BC上取一点F，连接CE、AF交于点M，连接EF，若∠CMF=60°，AD=EF=7，CD=8(CF>BF)，求AE的长.。

中考数学圆的复习

中考数学圆的复习人生处处是考场，本日各为中考忙。

斗智斗勇齐亮相，得失成败走一场。

考场潇洒不虚枉，多年以后话沧桑!下面是作者给大家带来的中考数学圆的考点总结，欢迎大家浏览参考，我们一起来看看吧!中考数学圆的考点总结一、考点分析考点一、点和圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d r点p在⊙o内; p=d=r点P在⊙O上;d r点P在⊙O外。

考点二、过三点的圆1、过三点的圆不在同一直线上的三个点肯定一个圆。

2、三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

3、三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。

4、圆内接四边形性质(四点共圆的判定条件)圆内接四边形对角互补。

考点三、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体以下：(1)相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点;(2)相切：直线和圆有唯独公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与⊙O相交d p=直线l与⊙O相切d=r;直线l与⊙O相离d考点四、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线;两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可2、性质定理：切线垂直于过切点的半径(如上图)推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心;②过切点;③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就可以推出最后一个。

考点五、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心连线平分两条切线的夹角。

考点六、三角形的内切圆和外接圆1、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

中考数学复习之与圆有关的位置关系,考点过关与基础练习题

34.与圆有关的位置关系➢知识过关1.点和圆的位置关系2.直线与圆的位置关系3.切线的判定与性质切线的定义：直线与圆有_____公共点时，这条直线是圆的切线.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的______切线的判定：经过半径的外端并且______这条半径的直线是圆的切线.到圆心距离等于______的直线是圆的切线.➢考点分类考点1直线与圆的位置关系的判定例1如图所示，在Rt△ABC中，△C=90°，AC=3cm，BC=3cm，若OA=x cm,△O的半径为1cm，请问当x在什么范围内取值时，AC与△O相交、相切、相离？D考点2切线的判定例2 如图所示，AB是△O的直径，C是O上一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN 的垂线，垂足为点D，且△BAC=△CAD.(1)求证：直线MN是△O的切线；(2)若CD=3，△CAD=30°，求△O的半径.考点3 切线的性质例3 如图所示，在△O 中，点C 是直径AB 延长线上一点，过点C 作△O 的切线，切点为D ，连接BD.(1)求证：△A=△BDC(2)若CM 平分△ACD ，且分别交AD 、BD 于点M 、N ，当DM=1时，求MN 的长.➢ 真题演练1.如图，A 、P 、B 、C 是⊙O 上的四点，∠APC ＝∠BPC ＝60°，P A ＝2，PC ＝4，则△ABC 的面积为（）A ．43√3B ．32√3C ．2√3D ．3√32．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠B ＝90°，∠BCD ＝120°，AB ＝4，BC ＝2，则AD 的长为（）A ．2√3B ．4−√3C ．√3+1D ．2+√33．如图，P A 、PB 、CE 分别与⊙O 相切于点A 、B 、D 点，若圆O 的半径为6，OP ＝10，则△PCE 的周长为（）A ．10B ．12C ．16D ．204．如图所示，点P 是⊙O 的半径OC 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为A ，AB 是⊙O 的弦，连接AC ，BC ，若∠P AB ＝70°，则∠ACB 的大小为（）A ．70°B ．110°C ．120°D ．140°5．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BC ＝12，若⊙O 与△ABC 的三边分别相切于点D ，E ，F ，且△ABC 的周长为32，则DF 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．66．如图，已知DC 是⊙O 的直径，点B 为CD 延长线上一点，AB 是⊙O 的切线，点A 为切点，且∠BAD ＝35°，则∠ADC ＝（）A ．75°B ．65°C ．55°D ．50°7．如图，PC 、PB 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径，延长PC ，与BA 的延长线交于点E ，过C 点作弦CD ，且CD ∥AB ，连接DO 并延长与圆交于点F ，连接CF ，若AE ＝2，CE ＝4，则CD 的长度为（）A ．3B ．4C ．185D ．2458．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AE ⊥CB ，交CB 的延长线于点E ．若BA 平分∠DBE ，AD ＝7，CE =√13，则AE 的长度为．9．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为直径，AD ＝CD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连接AC 交DE 于点F ．若sin ∠CAB =35，DF ＝5，则AB 的长为．10．如图，P A、PB分别与⊙O相切于A、B两点，C为⊙O上一点连接AC、BC，若∠C＝55°，则∠P的度数是°．11.如图，AB为圆O直径，∠DAB＝∠ABC＝90°，CD与圆O相切于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G，若AD＝2，BC＝6．（1）求CD的长度．（2）求EG的长度．（3）求FB的长度．12．如图，P A、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点．（1）如果△PCD的周长为10，求P A的长；（2）如果∠P＝40°，①求∠COD；②连AE，BE，求∠AEB．13．如图，P A、PB分别与⊙O相切于点A、B，PO的延长线交⊙O于点C，连接BC，OA．（1）求证：∠POA＝2∠PCB；（2）若OA＝3，P A＝4，求tan∠PCB的值．➢ 课后练习1．如图，P A ，PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 是切点，过半径OB 的中点C 作CD ⊥OB 交P A 于点D ，若PD ＝3，AD ＝5，则⊙O 的半径长为（）A ．2√7B ．4√2C ．3√3D ．2√52．如图，等边三角形ABC 的边长为4，⊙C 的半径为√3，P 为AB 边上一动点，过点P 作⊙C 的切线PQ ，切点为Q ，则PQ 的最小值为（）A ．12B ．√3C ．2√3D ．33．如图，点O 是矩形ABCD 对角线BD 上的一点，⊙O 经过点C ，且与AB 边相切于点E ，若AB ＝4，BC ＝5，则⊙O 的半径长为（）A ．165B ．258C ．5√419D ．44．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC =√2，点D 是AB 边上一个动点，以点D 为圆心r 为半径作⊙D ，直线BC 与⊙D 切于点E ，若点E 关于CD 的对称点F 恰好落在AB 边上，则r 的值是（）A ．√2−1B ．1C ．√2D ．√2+15．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，如果∠D＝30°，AB＝4，那么线段CD的长是．6．如图，△ABD内接于⊙O，AD为直径，CD为⊙O的切线，连接BC，若CD＝AD，AB ＝2，BC=2√13，则BD＝．7．已知菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，M是线段AD的中点，点P是对角线AC 上的动点，连接PM，以P为圆心，PM长为半径作⊙P，当⊙P与菱形ABCD的边相切时，AP的长为．8．如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，且BD＝CD，DF ⊥AC于点F．给出以下四个结论：̂=DÊ；④∠A＝2∠FDC．①DF是⊙O的切线；②CF＝EF；③AE其中正确结论的序号是．9．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝6，点O为边BC上一动点，连接OA．以O为圆心，OB为半径作圆，交OA于D，过D作⊙O的切线，交AC于点E．当⊙O与边AC相切时，CE的长为．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点Q为CA延长线上一点，延长QD交BC于点P，连接OD，∠ADQ=12∠DOQ．若AQ＝AC，AD＝4时，写出BP的长为．11．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆交于点D．（1）如图1，连接DB，求证：DB＝DE；（2）如图2，若∠BAC＝60°，求证：AB+AC=√3AD．12．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F．（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝75°，求∠BOC的度数；（2）若AB＝13，BC＝11，AC＝10，求AF的长．➢冲击A+。

中考数学专题训练——圆与四边形综合

中考数学专题训练——圆与四边形综合1.如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上的一点，且BE=BF，连接DE．(1) 求证：DE是⊙O的切线．(2) 若BF=2，BD=2√5，求⊙O的半径．2.如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，点F在BC边上，过A，B，F三点的⊙O交AC于另一点D，作直径AE，连接EF并延长交AC于点G，连接BE，BD，四边形BDGE是平行四边形．(1) 求证：AB=BF．(2) 当F为BC的中点，且AC=3时，求⊙O的直径长．3.如图，AB是⊙O的直径，AB=4√2，M为弧AB的中点，正方形OCGD绕点O旋转与△AMB的两边分别交于E，F（点E，F与点A，B，M均不重合），与⊙O 分别交于P，Q两点．(1) 求证：△AMB为等腰直角三角形；(2) 求证：OE=OF；(3) 连接EF，试探究：在正方形OCGD绕点O旋转的过程中，△EMF的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．4.如图，AB是⊙O的直径，点P是圆上不与点A，B重合的动点，连接AP并延长到点D，使AP=DP，点C是BD的中点，连接OP，OC，PC．(1) 求证：∠A=∠D；(2) 填空：①若AB=10cm，当AP=cm时，四边形AOCP是菱形；②当四边形OBCP是正方形时，∠DPC=∘．5.如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，AB=4，BC=3，P为BD上一个动点，以P为圆心，PB长为半径作⊙P，⊙P交CE，BD，BC于F，G，H（任意两点不重合）．(1) 半径BP的长度范围为．(2) 连接BF并延长交CD于K，若tan∠KFC=3，求BP．(3) 连接GH，将劣弧HG沿着HG翻折交BD于点M，试探究PM是否为定值，BP若是求出该值，若不是，请说明理由．6.如图，在△ABC中，AB=BC，D是AB上一点，⊙O经过点A，C，D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．求证：(1) 四边形DBCF是平行四边形；(2) AF=EF．7.如图，⊙O的直径AB=6，C为圆周上一点，AC=3，过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E．(1) 求∠AEC的度数(2) 求证：四边形OBEC是菱形．8.如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB上一点，⊙O经过点A，C，D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．求证：(1) 四边形DBCF是平行四边形；(2) AF=EF．9.已知四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，∠DAB=45∘．(1) 如图1，判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；(2) 如图2，E是⊙O上一点，且点E在AB的下方，若⊙O的半径为3cm，AE=5cm，求点E到AB的距离．10.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，点P在边BC上（点P与端点B，C不重合），以P为圆心，PB为半径作圆，圆P与射线BD的另一个交点为点E，直线CE与射线AD交于点G．点M为线段BE的中点，连接PM．设BP=x，BM= y．(1) 求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域．(2) 连接AP，当AP∥CE时，求x的值．(3) 如果射线EC与圆P的另一个公共点为点F，当△CPF为直角三角形时，求△CPF的面积．11.如图，点O在平行四边形ABCD的AD边上，⊙O经过A，B，C三点，点E在⊙O外，且OE⊥BC，垂足为F．(1) 若EC是⊙O的切线，∠A=65∘，求∠ECB的度数；(2) 若OF=4，OD=1，求AB的长．12.如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，连接DE，P是DE上一点，∠BPC=90∘，延长CP交AD于点F．⊙O经过P，D，F，交CD于点G．(1) 求证DF=DP；(2) 若AB=12，BC=10，求DG的长；(3) 连接BF，若BF是⊙O的切线，直接写出AB的值．BC13.如图1，在矩形ABCD中，AD=3，DC=4，动点P在线段DC上以每秒1个单位的速度从点D向点C运动，过点P作PQ∥AC交AD于Q，将△PDQ沿PQ 翻折得到△PQE．设点P的运动时间为t(s)．(1) 当点E落在边AB上时，t的值为．(2) 设△PQE与△ADC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．(3) 如图2，以PE为直径作⊙O．当⊙O与AC边相切时，求CP的长．14.如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=3，AD=5，点P在对角线AC上运动，以P为圆心，PA为半径作⊙P．(1) 当⊙P与边CD相切时，AP=；(2) 当⊙P与边BC相切时，求AP的长；(3) 请根据AP的取值范围探索⊙P与平行四边形ABCD四边公共点的个数．15.如图，在射线BA，BC，AD，CD围成的菱形ABCD中，∠ABC=60∘，AB=6√3．O是射线BD上一点，⊙O与BA，BC都相切，与BO的延长线交于点M．过M作EF⊥BD交线段BA（或射线AD）于点E，交线段BC（或射线CD）于点F．以EF 为边作矩形EFGH，点G，H分别在围成菱形的另外两条射线上．(1) 求证：BO=2OM．(2) 设EF>HE，当矩形的面积为24√3时，求⊙O的半径．(3) 当HE或HG与⊙O相切时，求出所有满足条件的BO的长．16.如图，在矩形ABCD中，对角线相交于点O，⊙M为△BCD的内切圆，切点分别为N，P，Q，DN=4，BN=6．(1) 求BC，CD；(2) 点H从点A出发，沿线段AD向点D以每秒3个单位长度的速度运动，当点H运动到点D时停止，过点H作HI∥BD交AC于点I，设运动时间为t秒．①将△AHI沿AC翻折得△AHʹI，是否存在时刻t，使点Hʹ恰好落在边BC上？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由；②若点F为线段CD上的动点，当△OFH为正三角形时，求t的值．。

中考数学专题复习《圆与四边形的综合(圆的综合问题)》测试卷(附带答案)

中考数学专题复习《圆与四边形的综合（圆的综合问题）》测试卷(附带答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________ 1．如图AB是O的直径点C是BD的中点过点C的切线与AD的延长线交于E连接CD AC．(1)求证：CE AE⊥(2)若CD AB∥1DE=求O的面积．2．如图ABC内接O点A为BC的中点D为BC边上一点DAC ACE∠=∠AE是O的切线112AF BD AB===连接CF．(1)求证：CE CF=(2)当点A 到弦BC 的距离为1时求AE 的值．3．如图1 已知AB 是O 的直径弦CD AB ⊥于点E 点P 是线段DC 延长线上的一点连结PA 交O 于点F 连接DF 交AB 于点G 连接AD 和CF ．(1)求证：PFC AFD ∠=∠．(2)若91AE BE ==，且CF CD = 求DF 的长．(3)如图2 连接OF OD ，若四边形FODC 为平行四边形求PFC DFA S S △△的值（直接写出答案）．4．如图在平面直角坐标系中 AB OC ∥(0,A ()4,0C - 且2AB =．以BC为直径作1O 交OC 于点D 过点D 作直线DE 交线段OA 于点E 且30EDO ∠=︒．(1)求证：DE 是1O 的切线(2)若线段BC 上存在一点P 使以点P 为圆心 PC 为半径的P 与y 轴相切求点P 的坐标．5．如图以ABC 的边AB 为直径作O 交AC 于D 且OD BC ∥ O 交BC 于点E ．(1)求证：CD DE =(2)若12AB = 4=AD 求CE 的长度．6．如图四边形ABCD 是O 的内接四边形点F 是CD 延长线上的一点且AD 平分BDF ∠ AE CD ⊥于点E ．(1)求证：AB AC =．(2)若9BD = 1DE = 求CD 的长．7．已知：A B C 三点不在同一直线上．(1)若点A B C 均在半径为R 的O 上（i ）如图① 当45A ∠=︒ 1R =时求BOC ∠的度数和BC 的长（ii ）如图① 当A ∠为锐角时求证：sin 2BC A R= (2)若定长线段BC 的两个端点分别在MAN ∠的两边AM AN （B C 均与A 不重合）滑动如图① 当60MAN ∠=︒ 2BC =时分别作BP AM ⊥ CP AN ⊥ 交点为P 试探索在整个滑动过程中 P A 两点间的距离是否保持不变？请说明理由．8．已知矩形ABCD 3AB = 3AD = 点O 是AD 的中点以AD 为直径作圆点A '是圆上的点．(1)如图1 连接A B ' 若A B '是圆O 的切线①求证：AB A B '=①设A O '与BC 交于点F 求OF 的长．(2)若动点G 从点B 向C 运动连接OG 作四边形AOGB 关于直线GO 对称图形四边形A OGB '' 如图2．求点G 在运动过程中线段A B ''扫过的面积．9．定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形其中这个角叫做美角．∠的度数(1)如图1 若四边形ABCD是圆美四边形．求美角BAD(2)在（1）的条件下若O的半径为4．①求BD的长①连接CA若CA平分BCD∠如图2 请判断BC CD AC之间有怎样的数量关系并说明理由．10．如图点E为正方形ABCD的边BC上的一点O是ABE的外接圆与AD交于点F ∠=∠．G是CD上一点且DGF AEB(1)求证：FG是O的切线(2)若4AB=1DG=求O半径的长．11．如图在菱形ABCD中点P在对角线AC上且PA PD=O是PAD的外接圆．(1)求证：AB是O的切线(2)若18tan2AC BAC=∠=，求O的直径．（请用两种方法作答）12．已知 AB 为O 的直径弦CD 与AB 交于点E 点A 为弧CD 的中点．(1)如图1 求证：AB CD ⊥(2)如图2 点F 为弧BC 上一点连接BF BD 2FBA DBA ∠=∠ 过点C 作CG AB ∥交BF 于点G 求证：12CG AB =．(3)如图3 在（2）的条件下连接DF 交OE 于点L 连接LG 若4FG = tan GLB =∠ 求线段LF 的长．13．已知O 为ABC 的外接圆 O 的半径为6．(1)如图AB是O的直径点C是AB的中点．①尺规作图：作ACB∠的角平分线CD交O于点D连接BD（保留作图痕迹不写作法）：①求BD的长度．(2)如图AB是O的非直径弦点C在AB上运动60ACD BCD∠=∠=︒点C在运动的过程中四边形ADBC的面积是否存在最大值若存在请求出这个最大值若不存在请说明理由．14．如图以AB为直径的O与AH相切于点A点C在AB左侧圆弧上弦CD AB⊥交O于点D连接AC AD点A关于CD的对称点为E直线CE交O于点F交AH 于点G．(1)求证：CAG AGC∠=∠(2)当点E在AB上连接AF交CD于点P若25EFCE=求DPCP的值(3)当点E在射线AB上2AB=四边形ACOF中有一组对边平行时求AE的长．15．圆内接四边形若有一组邻边相等则称之为等邻边圆内接四边形．(1)如图1 四边形ABCD 为等邻边圆内接四边形 AD CD = 60ADC ∠=︒ 则ABD ∠=________(2)如图2 四边形ABCD 内接于O AB 为O 的直径 10AB = 6AC = 若四边形ABCD 为等邻边圆内接四边形求CD 的长(3)如图3 四边形ABCD 为等邻边圆内接四边形 BC CD = AB 为O 的直径且48AB =．设BC x = 四边形ABCD 的周长为y 试确定y 与x 的函数关系式并求出y 的最大值．参考答案：1．（1）证明：连接OC①OC CE ⊥①90OCE ∠=︒①点C 是BD 的中点①CD BC =①DAC CAB ∠=∠①OA OC =①CAB OCA ∠=∠①OCA DAC ∠=∠①OC AD ∥①180AEC OCE ∠+∠=︒①90AEC ∠=︒①CE AE ⊥．（2）解：连接OD①CD AB ∥ OC AE ∥①四边形AOCD 是平行四边形①OA OC =①平行四边形AOCD 是菱形①AD CD OA ==①AD OA OD ==①ADO △是等边三角形①60OAD ∠=︒①CD AB ∥①60CDE OAD ∠=∠=︒①30DCE ∠=︒①2212CD DE ==⨯=①2OA CD ==①O 的面积为：224ππ⨯=．2．（1）证明：如图连接OA 交BC 于点M①点A 为BC 的中点①,OA BC AB AC ⊥=①AE 与O 相切①AE OA ⊥①,AE BC EAC ACB ABD∠=∠=∠∥又①BD AF =①()SAS ABD CAF ≌①AD CF =①DAC ACE ∠=∠①CE AD ∥①四边形ADCE 为平行四边形①AD CE =①CE CF =（2）解：如图①112AF BD AB ===①2AB AC ==①BM CM =①点A 到弦BC 的距离为1 即1AM =在Rt ABM 中 222A A M B M B -= ①22213BM -①|31DM BM BD =-=313231CD DM MC ∴=+==由（1）可知四边形ADCE 为平行四边形 ①231AE CD ==．3．（1）解：①弦CD AB ⊥于点E ①12CB DB CB DB CD ===， ①AB 是O 的直径①AB AB AB CB AB DB =-=-，即AC AD AFD ADC =∠=∠，①四边形ADCE 是O 的内接四边形①180AFC ADC ∠+∠=︒180PFC AFC ∠+∠=︒PFC ADC ∴∠=∠①PFC AFD ∠=∠（2）解：如图：连接OE OC OC ，，与FD 相交于一点H①91AE BE ==， ①1911052AB AE BE OC AB =+=+===， ①弦CD AB ⊥于点E①2CD CE =在Rt OCE 中 ()22222OC OE CE OB BE CE =+=-+即()222551CE =-+解得3CE =①236CD =⨯=①CF CD =①62H CF CD OC FD DF F =⊥==，，设5OH x HC x ==-，在Rt OFH △中 222FH OF OH =-在Rt CFH △中 222FH CF CH =-即2222OF OH CF CH -=-①()2225365x x -=-- 解得75x =①482225DF FH ==== （3）解：如图连接BF①四边形FODC 为平行四边形且易知OF OD =①四边形FODC 为菱形①四边形ADCE 是O 的内接四边形①180180FAD FCD FCD PCE ∠+∠=︒∠+∠=︒， ①FAD PCE ∠=∠①由（1）知PFC AFD ∠=∠①PFC DFA ∽ ①FC PF PC FA DF DA== ①AB 是O 的直径①90AFB ∠=︒①四边形FODC 为菱形①FC OF OF CD =，①CD AB ⊥①OF AB ⊥①45AF BF FAB FBA =∠=∠=︒，①()()222222222AF BF AF AB OF CF +==== ①22FC FA ①212PFC DFA S FC S FA ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 4．（1）证明：连接1O D BD 如图①(0,3A ()4,0C -23OA ∴= 4OC =． ①以BC 为直径作1O 交OC 于点D90BDC ∴∠=︒．,AB OC OC OA ⊥∥AB OA ∴⊥①四边形ABDO 为矩形2,OD AB BD OA ∴====2CD OC OD ∴=-=4BC ∴112O C O D ∴==1O CD ∴为等边三角形1160O CD O DC ∴∠=∠=︒30EDO ∠=︒1118090O DE O DC EDO ∴∠=︒-∠-∠=︒1O D DE ∴⊥1O D 为1O 的半径DE ∴是1O 的切线（2）解：①线段BC 上存在一点P 使以点P 为圆心 PC 为半径的P 与y 轴相切①点P 到y 轴的距离等于PC ．过点P 作PF y ⊥轴于点F PH x ⊥轴于点H 如图则PF PC =．由（1）知：60BCD ∠=︒12CH PC ∴= PH =．PF y ⊥轴 PH x ⊥轴 OA OC ⊥①四边形PHOF 为矩形OH PF PC ∴==142OC CH OH PC PC ∴=+=+= 83PC 83PF OH ∴== 84333PH == ①点P 的坐标为8433⎛- ⎝⎭．5．（1）证明：①四边形ABED 内接于O 180DEB A ∴∠+∠=︒又180DEB DEC ∠+∠=︒DEC A ∴∠=∠OD BC ∥C ADO ∴∠=∠①OA OD =①CAO ADO ∠=∠①C DEC ∠=∠①CD DE =（2）解：如图所示连接AE①AB 为直径①90AEB ∠=︒90CAE C ∴∠+∠=︒ 90AED DEC ∠+∠=︒ 由（1）CD DE = C DEC ∠=∠CAE AED ∴∠=∠①AD DE =①AD DC =①28AC AD ==由（1）可得BAC ADO ∠=∠ C ADO ∠=∠ 则C BAC ∠=∠①12AB BC ==设CE x = 则12BE x =-2222AC CE AB BE -=-()222281212x x ∴-=-- 解得：83x = ①83CE =．6．（1）证明：①AD 平分BDF ∠∴ADF ADB ∠=∠ ①四边形ABCD 是O 的内接四边形∴180ABC ADC ∠+∠=︒180ADC ADF ∠+∠=︒ABC ADF ADB ∴∠=∠=∠ACB ADB ∠=∠ACB ABC ∴∠=∠AB AC ∴=．（2）解：过点A 作AG BD ⊥于点G90AGD ∴∠=︒①AD 平分BDF ∠∴ADF ADB ∠=∠AE CD ⊥90AED ∴∠=︒在AGD △和AED △中90AGD AED ADF ADBAD AD∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS AGD AED ∴≌1GD DE ∴== AG AE =在Rt AEC △和Rt AGB △中AE AGAB AC =⎧⎨=⎩()Rt Rt HL AEC AGB ∴≌CE BG ∴=又9BD = 1DE =918BG BD GD ∴=-=-=8∴=CE817CD CE ED =-=-=7CD ∴=．7．（1）（i ）证明：①A B C 均在O 上 ①224590BOC A ∠=∠=⨯︒=︒①1OB OC ==在Rt BOC 中根据勾股定理 ①2BC =（ii ）证法一：如图① 连接EB 作直径CE 则E A ∠=∠ 2CE R =①90EBC ∠=︒ ①sin sin 2BCA E R ==证法二：如图①．连接OB OC 作OH BC ⊥于点H 则12A BOC BOH ∠=∠=∠ 12BH BC = ①12sin sin 2BC BH BC A BOH OB R R=∠===．（2）如图① 连接AP 取AP 的中点K 连接BK CK 在Rt APC △中 12CK AP AK PK === 同理得：BK AK PK ==①CK BK AK PK ===①点A B P C 都在K 上①由（1）（ii ）可知sin 60BC AP ︒=①2sin 60AP ==︒ 故在整个滑动过程中 P A 两点间的距离不变．8．（1）①①矩形ABCDAD = 点O 是AD 的中点①90AO DO A ==∠=︒①BA 是圆O 的切线①A B '是圆O 的切线。

中考圆与四边形综合题

中考圆与四边形难题解析♦考点分析特殊四边形主要包括梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等，中考中有关考题大多以容易题或中档题为主，因此更多体现了对基础知识的考查。

近年的中考题中也出现了一些探究题、折痕问题、图形变换问题等新题型。

圆是初中几何的重要学习内容，它具有很多主要性质，知识的前后联系密切，能考查学生综合应用数学知识的能力，是历年中考的重点。

主要包括以下几种类型：圆的有关性质的考查，以基础题为主；圆与三角形的有关知识（全等、相似等）相联系的题型，此类试题要求通过圆的有关性质得出两个三角形对应角相等或对应边相等或成比例，进而证明三角形全等或相似；考查与圆有关的位置关系的掌握情况，这类问题考查的重点是相切关系的性质和判定，试题常由课本习题改编而成，解答时需要合理联想课本习题原型；圆与函数和方程相联系，这类题需综合函数、方程、几何的相关知识，融计算、证明于一体，具有较强的综合性；圆与特殊四边形相联系这类题主要是计算弧长、扇形面积、阴影部分面积等。

♦典型例题例1 （2007芜湖）已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，一圆过A、D、E三点，求该圆半径的长.【解题分析】本题有机的将等边三角形、正方形、圆融合在一道题中解法一.如图2.1-1 ,将正方形BDEC上的等边厶ABC向下平移得等边△ ODE，其底边与DE重合.得出OD =OA=OE即可。

解法二.如图2,作AF丄BC,垂足为F，并延长交DE于H点. 设O O的半径为r，可得方程（2 3 r）212 r2.解得r = 2.•••该圆的半径长为2.【每题一得】利用等边三角形、正方形、圆的轴对称性是解决图2.2-问题的关键。

【同类变式】（2007芜湖）如图2.2-3, PQ=3，以PQ 为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点 P ,正方形ABCD 的顶点A 、B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与 CD 切于点Q .求正方形的边长 AB .例2 （韶关市2007）如图2.2-4，四边形ABCD 中, AD 不平行BC,现给出三个条件：①/ CAB=/ DBA ②AC=BD ③AD=BC 请你从上述三个条件中选择两个条件,使得加上这两个条件后能够推出 ABCD 是等腰梯形，并加以证明.（只需证明一种情况）【解题分析】第一种选择：①/ CAB=Z DBA ②AC=BD.可以得出ABCD 是等腰梯形；第二种选择：② AC=BD ③AD=BC 也可以得出 ABCD 是等腰梯形，如图 2.2-4 ;第三种选择①/ CAB=/ DBA ③AD=BC 不能推出ABCD 是等腰梯形，反例见图 2.2-5 :【同类变式】（2007厦门）已知四边形 ABCD ,对角线AC 、BD 交于点O •现给出四个条件：①AC 丄BD :②AC 平分对角线 BD :③AD // BC ;④/ OAD = Z ODA.请你以其中的三个条件作为命题的题设，以“四边形ABCD 为菱形”作为命题的结论 ⑴写出一个真命题，并证明;⑵写出一个假命题，并举出一个反例说明. 例3 （2007台州）把正方形 ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ,边FG 与BC 交于点H （如图 2.2-6） •试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想.【解题分析】HG HB .解法1如图2.2-6，连结AH ,图 2.2-F证Rt△ AGH 如Rt△ ABH(;H解法2：如图2.2-7，连结GB，证 HGB HBG .【每题一得】图形的折叠、旋转、平移等相关的考题越来越多地出现在各地的考题中，关注图形的变换规律的探究是值得关注的考试动向。

中考复习专题—圆综合

〔2〕求证：AE是⊙O的切线；
〔3〕求图中两局部阴影面积的和．
13.〔2013•〕如图，在中，弦AB与弦CD相交于点G，于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F， .
〔1〕假设，求证：BF是的切线；
〔2〕假设，，请用表示的半径；
〔3〕求证： .
14.〔2013•江〕如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC．
〔1〕求证：CF是⊙O的切线；
〔2〕求证：△ACM∽△DCN；
〔3〕假设点M是CO的中点，⊙O的半径为4，cos∠BOC=，求BN的长．
题型三：圆与四边形
1.〔2012〕如图，四边形ABCD接于⊙O，直径AD=6，∠ABC=120°，∠ACB=45°，连接OB交AC于点E．
〔1〕求AC的长．
〔2〕求CE：EA的值．
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90º，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过点O作OE∥AB，交BC于E。
〔1〕求证，ED为⊙O的切线；
〔2〕如果⊙O的半径为，ED=2，延长EO交⊙O于ຫໍສະໝຸດ ，连接DF、AF求△ADF的面积。
3.〔2012，〕如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE．
〔3〕在CB的延长线上取一点P，使CB= BP，求证：直线PA与⊙O相切．
2.〔2012资阳〕如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连接EP、CP、OP
〔1〕BD=DC吗？说明理由；
〔2〕求∠BOP的度数；
5.如图，梯形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC，O是腰CD的中点，以CD长为直径作圆，交BC于E，过E作EH⊥AB于H．EH= CD，

特殊四边形与两圆位置关系(含2022年上海中考真题25题)中考数学满分应对方法与策略(上海专用)

第12讲特殊四边形两圆位置关系【考点梳理】1、两圆相切时，两圆外切或内切，公共点的个数为12、两圆相离时，两圆外离或内含，公共点个数为0个3、两圆相交时计算要分圆心在公共弦的同侧还是异侧4、两个等圆之间的位置关系只有三种：外离、外切、相交.【典型例题】1.（2022•上海）如图，在▱ABCD中，P是线段BC中点，联结BD交AP于点E，联结CE．（1）如果AE＝CE．ⅰ．求证：▱ABCD为菱形；ⅱ．若AB＝5，CE＝3，求线段BD的长；（2）分别以AE，BE为半径，点A，B为圆心作圆，两圆交于点E，F，点F恰好在射线CE上，如果CE＝AE，求的值．2．（2022春•浦东新区校级期中）如图，半径为1的⊙O与过点O的⊙P相交，点A是⊙O与⊙P的一个公共点，点B是直线AP与⊙O的不同于点A的另一交点，联结OA，OB，OP．（1）当点B在线段AP上时，①求证：∠AOB＝∠APO；②如果点B是线段AP的中点，求△AOP的面积；（2）设点C是⊙P与⊙O的不同于点A的另一公共点，联结PC，BC．如果∠PCB＝α，∠APO＝β，请用含α的代数式表示β．3．（2019•静安区二模）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，AB＝BC＝CD＝6．动点P在射线BA上，以BP为半径的⊙P交边BC于点E（点E与点C不重合），联结PE、PC．设BP＝x，PC＝y．（1）求证：PE∥DC；（2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）联结PD，当∠PDC＝∠B时，以D为圆心半径为R的⊙D与⊙P相交，求R的取值范围．4．（2018秋•金山区期末）已知多边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，联结AC、FD，点H是射线AF上的一个动点，联结CH，直线CH交射线DF于点G，作MH⊥CH交CD的延长线于点M，设⊙O的半径为r（r＞0）．（1）求证：四边形ACDF是矩形．（2）当CH经过点E时，⊙M与⊙O外切，求⊙M的半径（用r的代数式表示）．（3）设∠HCD＝α（0＜α＜90°），求点C、M、H、F构成的四边形的面积（用r及含α的三角比的式子表示）．5．（2018•静安区二模）如图，平行四边形ABCD中，已知AB＝6，BC＝9，cos∠ABC＝．对角线AC、BD交于点O．动点P在边AB上，⊙P经过点B，交线段P A于点E．设BP＝x．（1）求AC的长；（2）设⊙O的半径为y，当⊙P与⊙O外切时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AC是⊙O的直径，⊙O经过点E，求⊙O与⊙P的圆心距OP的长．6．（2017•虹口区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，cos B＝，点P为边BC上一动点，过点P作射线PE交射线BA于点D，∠BPD＝∠BAC，以点P为圆心，PC长为半径作⊙P交射线PD于点E，联结CE，设BD＝x，CE＝y．（1）当⊙P与AB相切时，求⊙P的半径；（2）当点D在BA的延长线上时，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果⊙O与⊙P相交于点C、E，且⊙O经过点B，当OP＝时，求AD的长．7．（2017•上海模拟）如图，在⊙O中，半径OA长为1，弦BC∥OA，射线BO，射线CA交于点D，以点D为圆心，CD为半径的⊙D交BC延长线于点E．（1）若BC＝，求⊙O与⊙D公共弦的长；（2）当△ODA为等腰三角形时，求BC的长；（3）设BC＝x，CE＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．8．（2017•静安区二模）如图，已知⊙O的半径OA的长为2，点B是⊙O上的动点，以AB为半径的⊙A与线段OB相交于点C，AC的延长线与⊙O相交于点D．设线段AB的长为x，线段OC的长为y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（2）当四边形ABDO是梯形时，求线段OC的长．9．（2016•闵行区二模）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝6，AH⊥BC，垂足为点H．点D在边AB上，且AD＝2，联结CD交AH于点E．（1）如图1，如果AE＝AD，求AH的长；（2）如图2，⊙A是以点A为圆心，AD为半径的圆，交AH于点F．设点P为边BC上一点，如果以点P为圆心，BP为半径的圆与⊙A外切，以点P为圆心，CP为半径的圆与⊙A内切，求边BC的长；（3）如图3，联结DF．设DF＝x，△ABC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．10．（2021•普陀区二模）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝3，CD＝5，cos C＝（如图）．M是边BC上一个动点（不与点B、C重合），以点M为圆心，CM为半径作圆，⊙M与射线CD、射线MA分别相交于点E、F．（1）设CE＝，求证：四边形AMCD是平行四边形；（2）联结EM，设∠FMB＝∠EMC，求CE的长；（3）以点D为圆心，DA为半径作圆，⊙D与⊙M的公共弦恰好经过梯形的一个顶点，求此时⊙M的半径长．11．（2021•奉贤区二模）如图，已知扇形AOB的半径OA＝4，∠AOB＝90°，点C、D分别在半径OA、OB上（点C不与点A重合），联结CD．点P是弧AB上一点，PC＝PD．（1）当cot∠ODC＝，以CD为半径的圆D与圆O相切时，求CD的长；（2）当点D与点B重合，点P为弧AB的中点时，求∠OCD的度数；（3）如果OC＝2，且四边形ODPC是梯形，求的值．。

中考复习专题六—四边形和圆-(学生版)

课题：四边形和圆考点知识梳理：一、多边形1、多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形．各边相等、各个内角也相等的多边形叫做正多边形．2、多边形的对角线：多边形的对角线是联结多边形不相邻的两个顶点的线段．从n 边形的一个顶点出发有(3)n -条对角线，将多边形分成(2)n -个三角形；一个n 边形共有(3)2n n -条对边线． 3、多边形的内角和与外角和：n （3n ≥）的内角和是(2)180n -⋅︒ ，外角和是360︒．正n 边形的每个外角的度数是360n ︒，每个内角的度数是(2)180n n-⋅︒．二、平行四边形1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形ABCD 可表示为□ABCD ．2、平行四边形的性质：（1）平行四边形的两组对边分别平行；（2）平行四边形的两组对边分别相等；推论：夹在平行线间的平行线段相等．（3）平行四边形的两组对角分别相等；（4）平行四边形的对角线互相平分．（5）平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是对角线的交点． 3、平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（即定义）；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．三、矩形1、定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形．2、矩形的性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）矩形的四个内角均为直角；（3）矩形的对角线相等． 3、矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形是矩形（即定义）；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）三个角是直角的四边形是矩形．四、菱形1、定义：有一组邻边相等的平边形是菱形．2、菱形的性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）菱形的四条边均相等；（3）菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角．3、菱形的判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形（即定义）；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四条边均相等的四边形是菱形．五、正方形1、定义：有一组邻边相等且有一内角是直角的平行四边形是正方形．2、正方形的性质：具有矩形、菱形的所有性质．3、正方形的判定：注：矩形、菱形和正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形．六、梯形1、定义：一组对边平行，而另一组对边不平行的四边形，叫做梯形。

2024年中考数学复习重难点题型训练—圆的相关证明与计算(含答案解析)

2024年中考数学复习重难点题型训练—圆的相关证明与计算（含答案解析）类型一基本性质有关的1.(2022·湖南省郴州市)如图，在△ABC中，AB=AC.以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．(1)求证：直线PE是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为6，∠P=30°，求CE的长．【答案】(1)连接OD，根据AB=AC，OB=OD，得∠ACB=∠ODB，从而OD//AC，由DE⊥AC，即可得PE⊥OD，故PE是⊙O的切线；(2)连接AD，连接OD，由DE⊥AC，∠P=30°，得∠PAE=60°，又AB=AC，可得△ABC 是等边三角形，即可得BC=AB=12，∠C=60°，而AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°，可得BD=CD=12BC=6，在Rt△CDE中，即得CE的长是3．本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线，等腰三角形性质及应用，含特殊角的直角三角形三边关系等，解题的关键是判定△ABC是等边三角形．2.(2022·辽宁省盘锦市)如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=45°，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作CE//AD与BA的延长线交于点E．(1)求证：CE与⊙O相切；(2)若AD=4，∠D=60°，求线段AB，BC的长．【答案】(1)连接OC，根据圆周角定理得∠AOC=90°，再根据AD//EC，可得∠OCE=90°，从而证明结论；(2)过点A作AF⊥EC交EC于F，由AD是圆O的直径，得∠ABD=90°，又AD=4，60°，即得AB=3BD=23，根据∠ABC=45°，知△ABF是等腰直角三角形，AF=BF=2AB= 6，又△AOC是等腰直角三角形，OA=OC=2，得AC=22，故CF=AC2−AF2=2，从而BC=BF+CF=6+2．本题主要考查了圆周角定理，切线的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构造特殊的直角三角形是解题的关键．3.（2021·山东临沂市·中考真题）如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点AB BC CDE．求证：（1）AD∥BC（2）四边形BCDE为菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接BD ，根据圆周角定理可得∠ADB=∠CBD ，根据平行线的判定可得结论；（2）证明△DEF ≌△BCF ，得到DE=BC ，证明四边形BCDE 为平行四边形，再根据 BCCD =得到BC=CD ，从而证明菱形．【详解】解：（1）连接BD ，∵ AB BCCD ==，∴∠ADB=∠CBD ，∴AD ∥BC ；（2）连接CD ，∵AD ∥BC ，∴∠EDF=∠CBF ，∵ BCCD =，∴BC=CD ，∴BF=DF ，又∠DFE=∠BFC ，∴△DEF ≌△BCF （ASA ），∴DE=BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形，又BC=CD ，∴四边形BCDE 是菱形．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，解题的关键是合理运用垂径定理得到BF=DF ．4.（2021·四川南充市·中考真题）如图，A ，B 是O 上两点，且AB OA =，连接OB 并延长到点C ，使BC OB =，连接AC ．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）点D ，E 分别是AC ，OA 的中点，DE 所在直线交O 于点F ，G ，4OA =，求GF 的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）先证得△AOB 为等边三角形，从而得出∠OAB=60°，利用三角形外角的性质得出∠C=∠CAB=30°，由此可得∠OAC=90°即可得出结论；（2）过O 作OM ⊥DF 于M ，DN ⊥OC 于N ，利用勾股定理得出AC=30°的直角三角形的性质得出DN ，再根据垂径定理和勾股定理即可求出GF 的长．【详解】（1）证明：∵AB=OA ，OA=OB∴AB=OA=OB∴△AOB 为等边三角形∴∠OAB=60°，∠OBA=60°∵BC=OB∴BC=AB∴∠C=∠CAB又∵∠OBA=60°=∠C+∠CAB∴∠C=∠CAB=30°∴∠OAC=∠OAB+∠CAB=90°∴AC 是⊙O 的切线；（2）∵OA=4∴OB=AB=BC=4∴OC=8∴AC=∵D 、E 分别为AC 、OA 的中点，∴OE//BC ，DC=过O 作OM ⊥DF 于M ，DN ⊥OC 于N则四边形OMDN 为矩形∴DN=OM在Rt △CDN 中，∠C=30°，∴DN=12DC=∴OM=3连接OG ，∵OM ⊥GF∴GF=2MG=222OG OM -=()22243-=213【点睛】本题考查了切线的判定、垂径定理、等边三角形的性质和判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键．5.（2021·安徽中考真题）如图，圆O 中两条互相垂直的弦AB ，CD 交于点E ．（1）M 是CD 的中点，OM ＝3，CD ＝12，求圆O 的半径长；（2）点F 在CD 上，且CE ＝EF ，求证：AF BD ⊥．【答案】（1）35；（2）见解析．【分析】（1）根据M 是CD 的中点，OM 与圆O 直径共线可得OM CD ⊥，OM 平分CD ，则有6MC =，利用勾股定理可求得半径的长；（2）连接AC ，延长AF 交BD 于G ，根据CE EF =，AE FC ⊥，可得AF AC =，12∠=∠，利用圆周角定理可得2D ∠=∠，可得1D ∠=∠，利用直角三角形的两锐角互余，可证得90AGB ∠=︒，即有AF BD ⊥．【详解】（1）解：连接OC ，∵M 是CD 的中点，OM 与圆O 直径共线∴OM CD ⊥，OM 平分CD ，90OMC ∴∠=︒12CD = 6MC ∴=．在Rt OMC △中．OC ===∴圆O 的半径为（2）证明：连接AC ，延长AF 交BD 于G ．CE EF = ，AE FC⊥AF AC∴=又CE EF= 12∠∠∴= BCBC = 2D∴∠=∠1D∴∠=∠中在Rt BED∠+∠=︒90D B∴∠+∠=︒B190AGB∴∠=︒90∴⊥AF BD【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两锐角互余，勾股定理等知识点，熟练应用相关知识点是解题的关键．∠是 AD所对的圆周角，6.（2021·浙江中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，ACD∠=︒．30ACD∠的度数；（1）求DABAB=，求DF的（2）过点D作DE AB⊥，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若4长．【答案】（1）60︒；（2）23【分析】（1）连结BD ，根据圆周角性质，得B ACD ∠=∠；根据直径所对圆周角为直角、直角三角形两锐角互余的性质计算，即可得到答案；（2）根据含30°角的直角三角形性质，得12AD AB =；根据垂径定理、特殊角度三角函数的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）连结BD ，30ACD ∠=︒30B ACD \Ð=Ð=°AB Q 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，9060DAB B ∴∠=︒-∠=︒（2）90ADB ∠=︒ ，30B ∠=︒，4AB =∴122AD AB ==60DAB ∠=︒ ，DE AB ⊥，且AB 是直径sin 60EF DE AD︒∴===2DF DE =∴=．【点睛】本题考查了圆、含30°角的直角三角形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、垂径定理、含30°角的直角三角形、三角函数、直角三角形两锐角互余的性质，从而完成求解．7.（2021·湖南中考真题）如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，点D 是 BC的中点，//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：直线DE 与O 相切；（2）若O 的直径是10，45A ∠=︒，求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）5CE =．【分析】（1）连接OD ，由点D 是 BC的中点得OD ⊥BC ，由DE//BC 得OD ⊥DE ，由OD 是半径可得DE 是切线；（2）证明△ODE 是等腰直角三角形，可求出OE 的长，从而可求得结论．【详解】解：（1）连接OD 交BC 于点F ，如图，∵点D 是 BC的中点，∴OD ⊥BC ，∵DE//BC∴OD ⊥DE∵OD 是O 的半径∴直线DE 与O 相切；（2）∵AC 是O 的直径，且AB=10,∴∠ABC=90°，152OC OA AB ===∵OD ⊥BC∴∠OFC=90°∴OD//AB 45BAC ∠=︒∴45DOE ∠=︒∵90ODE ∠=︒∴45OED ∠=∴5DE OD OC ===由勾股定理得，OE =∴5CE OE OC =-=．【点睛】此题主要考查了切线的判定与性质的综合运用，熟练掌握切线的判定与性质是解答此题的关键．8.（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，在Rt AOB 中，90∠=︒ABO ，30OAB ∠=︒，以点O 为圆心，OB 为半径的圆交BO 的延长线于点C ，过点C 作OA 的平行线，交O 于点D ，连接AD ．（1）求证：AD 为O 的切线；（2）若2OB =，求弧CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）23π【分析】（1）连接OB ，先根据直角三角形的性质得到∠AOB=60°，再运用平行线的性质结合已知条件可得60AOD ∠=︒，再证明AOB AOD △≌△可得90ADO ABO ∠=∠=︒即可；（2）先求出∠COD ，然后再运用弧长公式计算即可．【详解】（1）证明：连接OD∵30OAB ∠=︒，90B ∠=︒∴60AOB ∠=︒又∵//CD AO∴60C AOB ∠=∠=︒∴2120BOD C ∠=∠=︒∴60AOD ∠=︒又∵,OB OD AO AO==∴()AOB AOD SAS ≌∴90ADO ABO ∠=∠=︒又∵点D 在O 上∴AD 是O 的切线；（2）∵120BOD ∠=︒∴60COD ∠=︒∴602223603l ππ=⨯⨯=．【点睛】本题主要考查了圆的切线的证明、弧长公式等知识点，掌握圆的切线的证明方法成为解答本题的关键．9.（2020•齐齐哈尔）如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上的两个点，AC=CD =DB ，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线．（2）若直径AB ＝6，求AD 的长．【分析】（1）连接OD ，根据已知条件得到∠BOD =13×180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论；（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OD，=CD =DB ，∵AC∴∠BOD=13×180°＝60°，=DB ，∵CD∴∠EAD＝∠DAB=12∠BOD＝30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝30°，AB＝6，∴BD=12AB＝3，∴AD=62−32=33．10.（2020•深圳）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．【分析】（1）证明：连接AC、OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥CD，则可判断OC∥AD，所以∠OCB＝∠E，然后证明∠B＝∠E，从而得到结论；（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用勾股定理可计算出AC＝8，再根据等腰三角形的性质得到CE＝BC＝6，然后利用面积法求出CD的长．【解析】（1）证明：连接AC、OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∴CD⊥AD，∴OC∥AD，∴∠OCB＝∠E，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，∴∠B＝∠E，∴AE＝AB；（2）解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴AC=102−62=8，∵AB＝AE＝10，AC⊥BE，∴CE＝BC＝6，∵12CD•AE=12AC•CE，∴CD=6×810=245．11.（2020•陕西）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．（1）求证：AD∥EC；（2）若AB＝12，求线段EC的长．【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得∠OCE＝90°，由圆周角定理可得∠AOC＝90°，可得结论；（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由锐角三角函数可求AD＝83，可证四边形OAFC是正方形，可得CF＝AF＝43，由锐角三角函数可求EF＝12，即可求解．【解析】证明：（1）连接OC，∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∵∠AOC+∠OCE＝180°，∴∴AD∥EC（2）如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，∴sin∠ADB=AB AD==83，∴AD=∴OA＝OC＝43，∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，∴四边形OAFC是矩形，又∵OA＝OC，∴四边形OAFC是正方形，∴CF＝AF＝43，∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵tan∠EAF=EF AF=3，∴EF=3AF＝12，∴CE＝CF+EF＝12+43．类型二与三角形全等、相似有关的12.(2022·辽宁省营口市)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．(1)求证：∠D=∠EBC；(2)若CD=2BC，AE=3，求⊙O的半径．【答案】(1)根据切线的性质可得∠DAO=90°，从而可得∠D+∠ABD=90°，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BEC=90°，从而可得∠ACB+∠EBC=90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC，从而利用等角的余角相等即可解答；(2)根据已知可得BD=3BC，然后利用(1)的结论可得△DAB∽△BEC，从而利用相似三角形的性质可得AB=3EC，然后根据AB=AC，进行计算即可解答．本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．13.（2022·北部湾）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长BA交⊙O于点F.（1）求证：DE是⊙O的切线（2）若AE DE=23，AF=10，求⊙O的半径.【答案】（1）证明：连接OD；∵OD=OC，∴∠C=∠ODC，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠ODC，∴OD∥AB，∴∠ODE=∠DEB；∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线（2）解：连接CF，由（1）知OD⊥DE，∵DE⊥AB，∴OD∥AB，∵OA=OC，∴BD=CD，即OD是△ABC的中位线，∵AC是⊙O的直径，∴∠CFA=90°，∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠CFA=∠BED=90°，∴DE∥CF，∴BE=EF，即DE是△FBC的中位线，∴CF=2DE，∵AE DE=23，∴设AE=2x，DE=3k，CF=6k，∵AF=10，∴BE=EF=AE+AF=2k+10，∴AC=BA=EF+AE=4k+10，在Rt△ACF中，由勾股定理，得AC2=AF2+CF2，即(4k+10)2=102+(6k)2，解得：k=4，∴AC=4k+10=4×4+10=26，∴OA=13，即⊙O的半径为13.【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；三角形的中位线定理【解析】【分析】（1）连接OD ，根据等腰三角形的性质可得∠C=∠ODC ，∠B=∠C ，则∠B=∠ODC ，推出OD ∥AB ，由平行线的性质可得∠ODE=∠DEB=90°，即DE ⊥OD ，据此证明；（2）连接CF ，由（1）知OD ⊥DE ，则OD ∥AB ，易得OD 是△ABC 的中位线，根据圆周角定理可得∠CFA=90°，根据垂直的概念可得∠BED=90°，则DE ∥CF ，推出DE 是△FBC的中位线，得CF=2DE ，设AE=2x ，DE=3k ，CF=6k ，则BE=EF=2k+10，AC=BA=4k+10，根据勾股定理可得k 的值，然后求出AC 、OA ，据此可得半径.14.（2021·江苏无锡市·中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 是O 的直径，AC 与BD 交于点E ，PB 切O 于点B ．（1）求证：PBA OBC ∠=∠；（2）若20PBA Ð=°，40ACD ∠=︒，求证：OAB CDE V V ∽．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由圆周角定理的推论，可知∠ABC=90°，由切线的性质可知∠OBP=90°，进而即可得到结论；（2）先推出20OCB OBC ∠=∠=︒，从而得∠AOB=40°，继而得∠OAB=70°，再推出∠CDE=70°，进而即可得到结论．【详解】证明：（1）∵AC 是O 的直径，∴∠ABC=90°，∵PB 切O 于点B ，∴∠OBP=90°，∴90PBA ABO OBC ABO ∠+∠=∠+∠=︒，∴PBA OBC ∠=∠；（2）∵20PBA Ð=°，PBA OBC ∠=∠，∴20OBC ∠=︒，∵OB=OC ，∴20OCB OBC ∠=∠=︒，∴∠AOB=20°+20°=40°，∵OB=OA ，∴∠OAB=∠OBA=(180°-40°)÷2=70°，∴∠ADB=12∠AOB=20°，∵AC 是O 的直径，∴∠ADC=90°，∴∠CDE=90°-20°=70°，∴∠CDE=∠OAB ，∵40ACD ∠=︒，∴40ACD AOB ∠=∠=︒，∴OAB CDE V V ∽．【点睛】本题主要考查圆的性质以及相似三角形的判定定理，掌握圆周角定理的推论，相似三角形的判定定理，切线的性质定理，是解题的关键．15.（2020•衢州）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，AB ＝10，AC ＝6，连结OC ，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可．（2）证明△AEC∽△BCA，推出CE AC=AC AB，求出EC即可解决问题．【解析】（1）证明：∵AE＝DE，OC是半径，=CD ，∴AC∴∠CAD＝∠CBA．（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AE＝DE，∴OC⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ACB，∴△AEC∽△BCA，∴CE AC=AC AB，∴CE6=610，∴CE＝3.6，∵OC=12AB＝5，∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．16.（2020•铜仁市）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D 是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝8，BE CE=12，求CD的长．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，∴∠DCO＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝∠BCE，∴tanA=BC AC=tan∠BCE=BE CE=12，设BC＝k，AC＝2k，∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴BC AC=CD AD=12，∵AD＝8，∴CD＝4．17.（2020•衡阳）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；（2）连接DE，根据圆周角定理得到∠ADE＝90°，根据相似三角形的性质得到AC=325，根据勾股定理得到CD=AD2−AC2==根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）BC与⊙O相切，理由：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，∵OD为半径，∴BC是⊙O切线；（2）连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C，∵∠EAD＝∠DAC，∴△ADE∽△ACD，∴AE AD=AD AC，108=8AC，∴AC=325，∴CD=AD2−AC2==245，∵OD⊥BC，AC⊥BC，∴△OBD∽△ABC，∴OD AC=BD BC，∴5325=BD BD+245，∴BD=1207．18.（2020•遵义）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交BC 于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．【解析】（1）连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∵AD平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，∵DE∥BC，∴∠E＝90°，∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OF＝1，BF＝2，∴OB＝3，∴AF＝4，BA＝6．∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠ADB＝∠DFB，又∵∠DBF＝∠ABD，∴△DBF∽△ABD，∴BD BA=BF BD，∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．∴BD＝23．19.（2019•陕西）如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO 并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．（1）求证：DC∥AP；（2）求AC的长．【分析】（1）根据切线的性质得到∠OAP＝90°，根据圆周角定理得到∠BCD＝90°，根据平行线的性质和判定定理即可得到结论；（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解析】（1）证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵OA∥CB，∴∠AOP＝∠DBC，∴∠BDC＝∠APO，∴DC∥AP；（2）解：∵AO∥BC，OD＝OB，∴延长AO交DC于点E，则AE⊥DC，OE=12BC，CE=12CD，在Rt△AOP中，OP=62+82=10，由（1）知，△AOP∽△CBD，∴DB OP=BC OA=DC AP，即1210=BC6=DC8，∴BC=365，DC=485，∴OE=185，CE=245，在Rt△AEC中，AC=AE2+CE2==20（2021·云南中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上异于A 、B 的点，连接AC 、BC ，点D 在BA 的延长线上，且DCA ABC ∠=∠，点E 在DC 的延长线上，且BE DC ⊥．（1）求证：DC 是O 的切线：（2）若2,33OA BE OD ==，求DA 的长．【答案】（1）见解析；（2）910【分析】（1）连接OC ，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC 是圆O 的切线；（2）根据已知得到OA=2DA ，证明△DCO ∽△DEB ，得到DO CO DB EB =，可得DA=310EB ，即可求出DA 的长．【详解】解：（1）如图，连接OC ，由题意可知：∠ACB 是直径AB 所对的圆周角，∴∠ACB=90°，∵OC ，OB 是圆O 的半径，∴OC=OB ，∴∠OCB=∠ABC ，又∵∠DCA=∠ABC ，∴∠DCA=∠OCB ，∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，∴OC ⊥DC ，又∵OC 是圆O 的半径，∴DC 是圆O 的切线；（2）∵23OA OD =，∴23OA OA DA =+，化简得OA=2DA ，由（1）知，∠DCO=90°，∵BE ⊥DC ，即∠DEB=90°，∴∠DCO=∠DEB ，∴OC ∥BE ，∴△DCO ∽△DEB ，∴DO CO DB EB =，即33255DA OA DA DA DA OA OB DA EB+===++，∴DA=310EB ，∵BE=3，∴DA=310EB=3931010⨯=，经检验：DA=910是分式方程的解，∴DA=910．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键．21.（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，CB CD =，连接BD ，以点B 为圆心，BA 长为半径作B ，交BD 于点E ．（1）试判断CD 与B 的位置关系，并说明理由；（2）若AB =，60BCD ∠=︒，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）相切，理由见解析；（2）π-【分析】（1）过点B 作BF ⊥CD ，证明△ABD ≌△FBD ，得到BF=BA ，即可证明CD 与圆B 相切；（2）先证明△BCD 是等边三角形，根据三线合一得到∠ABD=30°，求出AD ，再利用S △ABD -S 扇形ABE 求出阴影部分面积．【详解】解：（1）过点B 作BF ⊥CD ，∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠CBD ，∵CB=CD ，∴∠CBD=∠CDB ，∴∠ADB=∠CDB ，又BD=BD ，∠BAD=∠BFD=90°，∴△ABD ≌△FBD （AAS ），∴BF=BA ，则点F 在圆B 上，∴CD 与圆B 相切；（2）∵∠BCD=60°，CB=CD ，∴△BCD 是等边三角形，∴∠CBD=60°∵BF ⊥CD ，∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，∴∠ABF=60°，∵AB=BF=，∴AD=DF=tan30AB ⋅︒=2，∴阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形ABE=(230122360π⨯⨯⨯-=π-．【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确做出辅助线．22.（2020•上海）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC 于点D．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．【分析】（1）连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．（2）分三种情形：①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD．③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．则AE BC=AD DC=23，推出AO OH=AE BH=43，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，根据BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，构建方程求出a即可解决问题．【解析】（1）证明：连接OA．A∵AB＝AC，=AC ，∴AB∴OA⊥BC，∴∠BAO＝∠CAO，∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAO，∴∠BAC＝2∠BAD．（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DBC＝2∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，∴8∠ABD＝180°，∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，∴∠C ＝4∠ABD ，∵∠DBC+∠C+∠CDB ＝180°，∴10∠ABD ＝180°，∴∠BCD ＝4∠ABD ＝72°．③若DB ＝DC ，则D 与A 重合，这种情形不存在．综上所述，∠C 的值为67.5°或72°．（3）如图3中，作AE ∥BC 交BD 的延长线于E ．则AE BC =AD DC =23，∴AO OH =AE BH =43，设OB ＝OA ＝4a ，OH ＝3a ，∵BH 2＝AB 2﹣AH 2＝OB 2﹣OH 2，∴25﹣49a 2＝16a 2﹣9a 2，∴a 2=2556，∴BH =∴BC ＝2BH =23.（2021·云南中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上异于A 、B 的点，连接AC 、BC ，点D 在BA 的延长线上，且DCA ABC ∠=∠，点E 在DC 的延长线上，且BE DC ⊥．（1）求证：DC是O的切线：（2）若2,33OA BEOD==，求DA的长．【答案】（1）见解析；（2）9 10【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC是圆O的切线；（2）根据已知得到OA=2DA，证明△DCO∽△DEB，得到DO CODB EB=，可得DA=310EB，即可求出DA的长．【详解】解：（1）如图，连接OC，由题意可知：∠ACB是直径AB所对的圆周角，∴∠ACB=90°，∵OC，OB是圆O的半径，∴OC=OB，∴∠OCB=∠ABC，又∵∠DCA=∠ABC，∴∠DCA=∠OCB，∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，∴OC⊥DC，又∵OC 是圆O 的半径，∴DC 是圆O 的切线；（2）∵23OA OD =，∴23OA OA DA =+，化简得OA=2DA ，由（1）知，∠DCO=90°，∵BE ⊥DC ，即∠DEB=90°，∴∠DCO=∠DEB ，∴OC ∥BE ，∴△DCO ∽△DEB ，∴DO CO DB EB =，即33255DA OA DA DA DA OA OB DA EB +===++，∴DA=310EB ，∵BE=3，∴DA=310EB=3931010⨯=，经检验：DA=910是分式方程的解，∴DA=910．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键．类型三与锐角三角函数有关24.(2022·辽宁省铁岭市)如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF．(1)求证：BF与⊙O相切；(2)若AP=OP，cosA=45，AP=4，求BF的长．【答案】(1)连接OB，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABC=90°，从而可得∠ABD=90°，进而利用直角三角形三角形斜边上的中线可得BF=EF=12AD，然后利用等腰三角形的性质可得∠FEB=∠FBE，从而可得∠FBE=∠AEP，最后根据垂直定义可得∠EPA=90°，从而可得∠A+∠AEP=90°，再利用等腰三角形的性质可得∠A=∠OBA，从而可得∠OBA+∠FBE= 90°，进而可得∠OBF=90°，即可解答；(2)在Rt△AEP中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，从而利用勾股定理求出PE的长，然后利用同角的余角相等可得∠AEP=∠C，从而可证△APE∽△DPC，进而利用相似三角形的性质可求出DP的长，最后求出DE的长，即可解答．本题考查了解直角三角形，切线的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，直线与圆的位置关系，熟练掌握解直角三角形，以及切线的判定与性质是解题的关键．25.(2022·四川省广安市)如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD ，∠BDC =∠BAD ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线．(2)若tan∠BED =23，AC =9，求⊙O 的半径．【答案】（1）连接OD ，由圆周角定理得出∠ADB =90°，证出OD ⊥CD ，由切线的判定可得出结论；(2)证明△BDC∽△DAC ，由相似三角形的性质得出CD AC =BC CD =BD DA =23，由比例线段求出CD 和BC 的长，可求出AB 的长，则可得出答案．本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．26.（2021·山东菏泽市·中考真题）如图，在O 中，AB 是直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，E 为 BC上一点，F 为弦DC 延长线上一点，连接FE 并延长交直径AB 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点P ，若FE FP =．（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若O 的半径为8，3sin 5F =，求BG 的长．【答案】（1）见解析；（2）=2BG 【分析】（1）连接OE ，证明OE ⊥EF 即可；（2）由3sin 5F =证得4sin 5G =，运用正弦的概念可得结论．【详解】解：（1）证明：连接OE ，如图，∵OA=OE∴∠OAE=∠OEA ．∵EF=PF ，∴∠EPF=∠PEF∵∠APH=∠EPF ，∴∠APH=∠EPF ，∴∠AEF=∠APH ．∵CD ⊥AB ，∴∠AHC=90°．∴∠OAE+∠APH=90°．∴∠OEA+∠AEF=90°∴∠OEF=90°∴OE ⊥EF ．∵OE 是O 的半径∴EF 是圆的切线，（2）∵CD ⊥AB∴FHG ∆是直角三角形∵3sin 5F =∴35GH FG =设3GH x =，则5FG x=由勾股定理得，4FH x=由（1）得，OEG ∆是直角三角形∴4sin 5OE FH x G OG FG x===∴45OE OG =，即45OE OE BG =+∵8OE =∴8485BG =+解得，2BG =【点睛】此题主要考查了圆的切线的判定，勾股定理和解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判定是解答此题的关键．27.（2022·黔东南）（1）请在图中作出△ABC 的外接圆⊙O （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；的中点，过点B的（2）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，点B是CE切线与AC的延长线交于点D.①求证：BD⊥AD；②若AC=6，tan∠ABC=34，求⊙O的半径.【答案】（1）解：如下图所示（2）解：①如下图所示，连接OC、OB∵BD是⊙O的切线∴OB⊥BD对应的圆周角，∠COE是CE 对应的圆心角∵∠CAE是CE∴∠COE=2∠CAE的中点∵点B是CE∴∠COE=2∠BOE∴∠CAE=∠BOE∴∠CAE=∠BOE∴AD//OB∴BD⊥AD②如下图所示，连接CE对应的圆周角∵∠ABC与∠AEC是AC∴∠ABC=∠AEC∵AE是⊙O的直径∴∠ACE=90°∴tan∠AEC=AC CE=34∴CE=8∵AE2=CE2+AC2∴AE=10∴⊙O的半径为5.【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的性质；解直角三角形；作图-线段垂直平分线【解析】【解答】（1）∵△ABC的外接圆⊙O的圆心为任意两边的垂直平分线的交点，半径为交点到任意顶点的距离，∴做AB、AC的垂直平分线交于点O，以OB为半径，以O为圆心做圆即可得到△ABC 的外接圆；【分析】（1）利用尺规作图分别作出AC，AB的垂直平分线，两垂直平分线交于点O，然后以点O为圆心，OB的长为半径画圆即可.（2）①连接OC，OB，利用切线的性质可证得OB⊥BD，利用圆周角定理可证得∠COE=2∠CAE，由点B是弧CE的中点，可推出∠CAE=∠BOE，利用平行线的判定定理可证得AD∥OB，由此可证得结论；②连接CE，利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ABC=∠AEC，利用直径所对的圆周角是直角，可推出∠ACE=90°；再利用解直角三角形求出CE的长，利用勾股定理求出AE的长.28.（2022·鄂州）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB=∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D.（1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PC＝4，tanA＝12，求△OCD的面积.【答案】（1）解：PC与⊙O相切，理由如下：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠OCB+∠OCA=90°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵∠PCB=∠OAC，∴∠PCB=∠OCA，∴∠PCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，∴PC与⊙O相切（2）解：∵∠ACB=90°，tanA=12，∴BC AC=12，∵∠PCB=∠OAC，∠P=∠P，∴△PBC∽△PCA，∴PC PA=PB PC=BC CA=12，∴PA=8，PB=2，∴AB=6，∴OC=OB=3，∴OP=5，∵BC∥OD，∴△PBC∽△POD，∴PB OP=PC PD，即25=4PD，∴PD=10，∴CD=6，∴S△OCD=12OC⋅CD=9【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义【解析】【分析】（1）由圆周角定理得∠ACB=90°，根据等腰三角形的性质可得∠OCA=∠OAC，结合∠PCB=∠OAC得PCB=∠OCA，结合∠OCB+∠OCA=90°可得∠PCO=90°，据此证明；（2）根据三角函数的概念可得BC AC=12，易证△PBC∽△PCA，根据相似三角形的性质可得PA、PB，然后求出AB、OP，证明△PBC∽△POD，根据相似三角形的性质可得PD，由PD-PC=CD可得CD，然后根据三角形的面积公式进行计算.29.（2022·毕节）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F.（1）求证：BF=BD；（2）若CF=1，tan∠EDB=2，求⊙O直径.【答案】（1）证明：连接OE，如下图所示：∵AC为圆O的切线，∴∠AEO=90°，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴OE∥BC，∴∠F=∠DEO，又∵OD=OE，∴∠ODE=∠DEO，∴∠F=∠ODE，∴BD=BF.（2）解：连接BE，如下图所示：由(1)中证明过程可知：∠EDB=∠F，。

2020年中考复习之圆的阴影部分面积相关计算(含答案解析)

2020中考复习——之圆的阴影部分面积相关计算（含答案解析）一．选择题（共5小题）1．（2018•抚顺）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝2，则阴影部分的面积是（）A．B．C．πD．2π2．（2016•朝阳）如图，分别以五边形ABCDE的顶点为圆心，以1为半径作五个圆，则图中阴影部分的面积之和为（）A．B．3πC．D．2π3．（2017•朝阳）如图，在正方形ABCD中，O为对角线交点，将扇形AOD绕点O顺时针旋转一定角度得到扇形EOF，则在旋转过程中图中阴影部分的面积（）A．不变B．由大变小C．由小变大D．先由小变大，后由大变小4．（2017•重庆）如图，矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC，交AD于点E，若点E是AD的中点，以点B为圆心，BE长为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．5．（2017•兰州）如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为（）A．π+1B．π+2C．π﹣1D．π﹣2二．填空题（共1小题）6．（2019•内江）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠A＝150°，CD＝4，以CD为直径的⊙O交AD于点E，则图中阴影部分的面积为．三．解答题（共8小题）7．（2015•沈阳）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝2∠D，连接OA、OB、OC、AC，OB与AC相交于点E．（1）求∠OCA的度数；（2）若∠COB＝3∠AOB，OC＝2，求图中阴影部分面积（结果保留π和根号）8．（2019•辽阳）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使∠EAC＝∠EDA．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若CE＝AE＝2，求阴影部分的面积．9．（2019•衡阳）如图，点A、B、C在半径为8的⊙O上，过点B作BD∥AC，交OA延长线于点D．连接BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求图中阴影部分的面积．10．（2015•本溪）如图，点D是等边△ABC中BC边的延长线上一点，且AC＝CD，以AB 为直径作⊙O，分别交边AC、BC于点E、点F（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）连接OC，交⊙O于点G，若AB＝4，求线段CE、CG与围成的阴影部分的面积S．11．（2017•新疆）如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB＝30°，延长CB至点D，使得CB＝BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）当BE＝3时，求图中阴影部分的面积．12．（2013•本溪）如图，⊙O是△ACD的外接圆，AB是直径，过点D作直线DE∥AB，过点B作直线BE∥AD，两直线交于点E，如果∠ACD＝45°，⊙O的半径是4cm（1）请判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．13．（2015•丹东）如图，AB是⊙O的直径，＝，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．（1）若OA＝CD＝2，求阴影部分的面积；（2）求证：DE＝DM．14．（2015•福州模拟）如图，AB为⊙O的直径，弦AC＝2，∠ABC＝30°，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求：（1）BC、AD的长；（2）图中两阴影部分面积的和．2020中考复习——之圆的阴影部分面积相关计算（含答案解析）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2018•抚顺）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝2，则阴影部分的面积是（）A．B．C．πD．2π【考点】M5：圆周角定理；MO：扇形面积的计算．【分析】根据圆周角定理可以求得∠BOD的度数，然后根据扇形面积公式即可解答本题．【解答】解：∵∠BCD＝30°，∴∠BOD＝60°，∵AB是⊙O的直径，CD是弦，OA＝2，∴阴影部分的面积是：＝，故选：B．【点评】本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．2．（2016•朝阳）如图，分别以五边形ABCDE的顶点为圆心，以1为半径作五个圆，则图中阴影部分的面积之和为（）A．B．3πC．D．2π【考点】L3：多边形内角与外角；MO：扇形面积的计算．【分析】圆心角之和等于n边形的内角和（n﹣2）×180°，由于半径相同，根据扇形的面积公式S＝计算即可求出圆形中的空白面积，再用5个圆形的面积减去圆形中的空白面积可得阴影部分的面积．【解答】解：n边形的内角和（n﹣2）×180°，圆形的空白部分的面积之和S＝＝π＝π＝π．所以图中阴影部分的面积之和为：5πr2﹣π＝5π﹣π＝π．故选：C．【点评】此题考查扇形的面积计算，正确记忆多边形的内角和公式，以及扇形的面积公式是解决本题的关键．3．（2017•朝阳）如图，在正方形ABCD中，O为对角线交点，将扇形AOD绕点O顺时针旋转一定角度得到扇形EOF，则在旋转过程中图中阴影部分的面积（）A．不变B．由大变小C．由小变大D．先由小变大，后由大变小【考点】LE：正方形的性质；MO：扇形面积的计算；R2：旋转的性质．【分析】根据正方形的性质得出OA＝OD＝OC，∠AOD＝90°，再根据图形判断即可．【解答】解：过O点作CD的垂线交CD于G，过O点作BC的垂线交BC于H，记扇形EOF于正方形交点分别为M、N，如图，∴OH＝OG＝CD，∵∠HOG＝∠HOM+∠GOM＝90°，∠NOM＝∠NOG+∠GOM＝90°，∴∠HOM＝∠NOG，∴Rt△OHM≌Rt△OGN，∴S四边形CMON＝S四边形CMOG+S△OGN＝S四边形CMOG+S△OHM＝S四边形OHCG＝OH2＝S正方形ABCD，∵S△AOD＝×CD•AD＝S正方形ABCD∴S△AOD＝S四边形CMON，∵S扇形＝S阴影+S△AOD＝S′阴影+S四边形CMON∴S阴影＝S′阴影＝S扇形﹣S△AOD＝﹣S正方形ABCD＝AD2﹣S正方形ABCD＝S正方形ABCD，∴在旋转过程中图中阴影部分的面积不变，故选：A．【点评】本题考查了扇形的面积、旋转的性质、正方形的性质等知识点，能根据正方形的性质和旋转的性质进行判断是解此题的关键．4．（2017•重庆）如图，矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC，交AD于点E，若点E是AD的中点，以点B为圆心，BE长为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．【考点】LB：矩形的性质；MO：扇形面积的计算．【分析】利用矩形的性质以及结合角平分线的性质分别求出AE，BE的长以及∠EBF的度数，进而利用图中阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EBF，求出答案．【解答】解：∵矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBF＝45°，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE＝45°，∴AB＝AE＝1，BE＝，∵点E是AD的中点，∴AE＝ED＝1，∴图中阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EBF＝1×2﹣×1×1﹣＝﹣．故选：B．【点评】此题主要考查了扇形面积求法以及矩形的性质等知识，正确得出BE的长以及∠EBC的度数是解题关键．5．（2017•兰州）如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为（）A．π+1B．π+2C．π﹣1D．π﹣2【考点】MM：正多边形和圆；MO：扇形面积的计算．【分析】根据对称性可知阴影部分的面积等于圆的面积减去正方形的，求出圆内接正方形的边长，即可求解．【解答】解：连接AO，DO，∵ABCD是正方形，∴∠AOD＝90°，AD＝＝2，圆内接正方形的边长为2，所以阴影部分的面积＝[4π﹣（2）2]＝（π﹣2）cm2．故选：D．【点评】本题考查正多边形与圆、正方形的性质、圆的面积公式、扇形的面积公式等知识，解题的关键是利用对称性可知阴影部分的面积等于圆的面积减去正方形的，也可以用扇形的面积减去三角形的面积计算，属于中考常考题型．二．填空题（共1小题）6．（2019•内江）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠A＝150°，CD＝4，以CD为直径的⊙O交AD于点E，则图中阴影部分的面积为．【考点】L5：平行四边形的性质；MO：扇形面积的计算．【分析】连接OE，作OF⊥DE，先求出∠COE＝2∠D＝60°、OF＝OD＝1，DF＝OD cos ∠ODF＝，DE＝2DF＝2，再根据阴影部分面积是扇形与三角形的面积和求解可得．【解答】解：如图，连接OE，作OF⊥DE于点F，∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A＝150°，∴∠D＝30°，则∠COE＝2∠D＝60°，∵CD＝4，∴CO＝DO＝2，∴OF＝OD＝1，DF＝OD cos∠ODF＝2×＝，∴DE＝2DF＝2，∴图中阴影部分的面积为+×2×1＝+，故答案为：+．【点评】本题考查的是扇形面积计算、平行四边形的性质，掌握扇形面积公式：S＝是解题的关键．三．解答题（共8小题）7．（2015•沈阳）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝2∠D，连接OA、OB、OC、AC，OB与AC相交于点E．（1）求∠OCA的度数；（2）若∠COB＝3∠AOB，OC＝2，求图中阴影部分面积（结果保留π和根号）【考点】M6：圆内接四边形的性质；MO：扇形面积的计算；T7：解直角三角形．【分析】（1）根据四边形ABCD是⊙O的内接四边形得到∠ABC+∠D＝180°，根据∠ABC＝2∠D得到∠D+2∠D＝180°，从而求得∠D＝60°，最后根据OA＝OC得到∠OAC＝∠OCA＝30°；（2）首先根据∠COB＝3∠AOB得到∠AOB＝30°，从而得到∠COB为直角，然后利用S阴影＝S扇形OBC﹣S△OEC求解．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠D＝180°，∵∠ABC＝2∠D，∴∠D+2∠D＝180°，∴∠D＝60°，∴∠AOC＝2∠D＝120°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°；（2）∵∠COB＝3∠AOB，∴∠AOC＝∠AOB+3∠AOB＝120°，∴∠AOB＝30°，∴∠COB＝∠AOC﹣∠AOB＝90°，在Rt△OCE中，OC＝2，∴OE＝OC•tan∠OCE＝2•tan30°＝2×＝2，∴S△OEC＝OE•OC＝×2×2＝2，∴S扇形OBC＝＝3π，∴S阴影＝S扇形OBC﹣S△OEC＝3π﹣2．【点评】本题考查了扇形面积的计算，圆内接四边形的性质，解直角三角形的知识，在求不规则的阴影部分的面积时常常转化为几个规则几何图形的面积的和或差．8．（2019•辽阳）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使∠EAC＝∠EDA．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若CE＝AE＝2，求阴影部分的面积．【考点】M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质；MO：扇形面积的计算．【分析】（1）连接OA，过O作OF⊥AE于f，得到∠EAO+∠AOF＝90°，根据等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠EDA＝∠AOF，推出OA⊥AC，得到AC是⊙O的切线；（2）根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠EAC，得到∠AEO＝2∠EAC，推出△OAE是等边三角形，根据扇形的面积公式得到S扇形AOE＝＝2π，求得S△AOE＝AE•OF＝3＝3，于是得到结论．【解答】（1）证明：连接OA，过O作OF⊥AE于F，∴∠AFO＝90°，∴∠EAO+∠AOF＝90°，∵OA＝OE，∴∠EOF＝∠AOF＝AOE，∵∠EDA＝AOE，∴∠EDA＝∠AOF，∵∠EAC＝∠EDA，∴∠EAC＝∠AOF，∴∠EAO+∠EAC＝90°，∵∠EAC+∠EAO＝∠CAO，∴∠CAO＝90°，∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵CE＝AE＝2，∴∠C＝∠EAC，∵∠EAC+∠C＝∠AEO，∴∠AEO＝2∠EAC，∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠EAO，∴∠EAO＝2∠EAC，∵∠EAO+∠EAC＝90°，∴∠EAC＝30°，∠EAO＝60°，∴△OAE是等边三角形，∴OA＝AE，∠EOA＝60°，∴OA＝2，∴S扇形AOE＝＝2π，在Rt△OAF中，OF＝OA•sin∠EAO＝2＝3，∴S△AOE＝AE•OF＝3＝3，∴阴影部分的面积＝2π﹣3．【点评】本题考查了切线的判定和性质，扇形的面积的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．9．（2019•衡阳）如图，点A、B、C在半径为8的⊙O上，过点B作BD∥AC，交OA延长线于点D．连接BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求图中阴影部分的面积．【考点】M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质；MO：扇形面积的计算．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理求出∠COA，根据三角形内角和定理求出∠OCA，根据切线的判定推出即可；（2）根据平行线的性质得到∠＝30°，解直角三角形求出BD，分别求出△BOD的面积和扇形AOB的面积，即可得出答案．【解答】（1）证明：连接OB，交CA于E，∵∠C＝30°，∠C＝∠BOA，∴∠BOA＝60°，∵∠BCA＝∠OAC＝30°，∴∠AEO＝90°，即OB⊥AC，∵BD∥AC，∴∠DBE＝∠AEO＝90°，∴BD是⊙O的切线；（2）解：∵AC∥BD，∠OCA＝90°，∴∠D＝∠CAO＝30°，∵∠OBD＝90°，OB＝8，∴BD＝OB＝8，∴S阴影＝S△BDO﹣S扇形AOB＝×8×8﹣＝32﹣．【点评】本题考查了平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形等知识点的综合运用，题目比较好，难度适中．10．（2015•本溪）如图，点D是等边△ABC中BC边的延长线上一点，且AC＝CD，以AB 为直径作⊙O，分别交边AC、BC于点E、点F（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）连接OC，交⊙O于点G，若AB＝4，求线段CE、CG与围成的阴影部分的面积S．【考点】KM：等边三角形的判定与性质；MD：切线的判定；MO：扇形面积的计算．【分析】（1）求出∠DAC＝30°，即可求出∠DAB＝90°，根据切线的判定推出即可；（2）连接OE，分别求出△AOE、△AOC，扇形OEG的面积，即可求出答案．【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴AC＝BC，又∵AC＝CD，∴AC＝BC＝CD，∴△ABD为直角三角形，∴AB⊥AD，∵AB为直径，∴AD是⊙O的切线；（2）解：连接OE，∵OA＝OE，∠BAC＝60°，∴△OAE是等边三角形，∴∠AOE＝60°，∵CB＝BA，OA＝OB，∴CO⊥AB，∴∠AOC＝90°，∴∠EOC＝30°，∵△ABC是边长为4的等边三角形，∴AO＝2，由勾股定理得：OC＝＝2，同理等边三角形AOE边AO上高是＝，S阴影＝S△AOC﹣S等边△AOE﹣S扇形EOG＝＝．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，三角形面积，扇形的面积，切线的判定的应用，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键．11．（2017•新疆）如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB＝30°，延长CB至点D，使得CB＝BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）当BE＝3时，求图中阴影部分的面积．【考点】ME：切线的判定与性质；MO：扇形面积的计算．【分析】（1）连接BO，根据△OBC和△BCE都是等腰三角形，即可得到∠BEC＝∠OBC ＝∠OCB＝30°，再根据三角形内角和即可得到∠EBO＝90°，进而得出BE是⊙O的切线；（2）在Rt△ABC中，根据∠ACB＝30°，BC＝3，即可得到半圆的面积以及Rt△ABC的面积，进而得到阴影部分的面积．【解答】解：（1）如图所示，连接BO，∵∠ACB＝30°，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∵DE⊥AC，CB＝BD，∴Rt△DCE中，BE＝CD＝BC，∴∠BEC＝∠BCE＝30°，∴△BCE中，∠EBC＝180°﹣∠BEC﹣∠BCE＝120°，∴∠EBO＝∠EBC﹣∠OBC＝120°﹣30°＝90°，∴BE是⊙O的切线；（2）当BE＝3时，BC＝3，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，又∵∠ACB＝30°，∴AB＝tan30°×BC＝，∴AC＝2AB＝2，AO＝，∴阴影部分的面积＝半圆的面积﹣Rt△ABC的面积＝π×AO2﹣AB×BC＝π×3﹣××3＝﹣．【点评】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的计算，解题时注意：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．12．（2013•本溪）如图，⊙O是△ACD的外接圆，AB是直径，过点D作直线DE∥AB，过点B作直线BE∥AD，两直线交于点E，如果∠ACD＝45°，⊙O的半径是4cm（1）请判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．【考点】MD：切线的判定；MO：扇形面积的计算．【分析】（1）连结OD，根据圆周角定理得∠ABD＝∠ACD＝45°，∠ADB＝90°，可判断△ADB为等腰直角三角形，所以OD⊥AB，而DE∥AB，则有OD⊥DE，然后根据切线的判定定理得到DE为⊙O的切线；（2）先由BE∥AD，DE∥AB得到四边形ABED为平行四边形，则DE＝AB＝8cm，然后根据梯形的面积公式和扇形的面积公式利用S阴影部分＝S梯形BODE﹣S扇形OBD进行计算即可．【解答】解：（1）DE与⊙O相切．理由如下：连结OD，BD，则∠ABD＝∠ACD＝45°，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴△ADB为等腰直角三角形，∵点O为AB的中点，∴OD⊥AB，∵DE∥AB，∴OD⊥DE，∵OD是半径，∴DE为⊙O的切线；（2）∵BE∥AD，DE∥AB，∴四边形ABED为平行四边形，∴DE＝AB＝8cm，∴S阴影部分＝S梯形BODE﹣S扇形OBD＝（4+8）×4﹣＝（24﹣4π）cm2．【点评】本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．13．（2015•丹东）如图，AB是⊙O的直径，＝，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．（1）若OA＝CD＝2，求阴影部分的面积；（2）求证：DE＝DM．【考点】MC：切线的性质；MO：扇形面积的计算．【分析】（1）连接OD，根据已知和切线的性质证明△OCD为等腰直角三角形，得到∠DOC＝45°，根据S阴影＝S△OCD﹣S扇OBD计算即可；（2）连接AD，根据弦、弧之间的关系证明DB＝DE，证明△AMD≌△ABD，得到DM＝BD，得到答案．【解答】（1）解：如图，连接OD，∵CD是⊙O切线，∴OD⊥CD，∵OA＝CD＝2，OA＝OD，∴OD＝CD＝2，∴△OCD为等腰直角三角形，∴∠DOC＝∠C＝45°，∴S阴影＝S△OCD﹣S扇OBD＝﹣＝4﹣π；（2）证明：如图，连接AD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝∠ADM＝90°，又∵＝，∴ED＝BD，∠MAD＝∠BAD，在△AMD和△ABD中，，∴△AMD≌△ABD，∴DM＝BD，【点评】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法．14．（2015•福州模拟）如图，AB为⊙O的直径，弦AC＝2，∠ABC＝30°，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求：（1）BC、AD的长；（2）图中两阴影部分面积的和．【考点】KQ：勾股定理；M5：圆周角定理；MO：扇形面积的计算．【分析】（1）根据直径得出∠ACB＝∠ADB＝90°，根据勾股定理求出BC，根据圆周角定理求出AD＝BD，求出AD即可；（2）根据三角形的面积公式，求出△AOC和△AOD的面积，再求出S扇形COD，即可求出答案．【解答】解：（1）∵AB是直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°（直径所对的圆周角是直角），在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝2，∴AB＝4，∴BC＝＝2，∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠DCA＝∠BCD∴＝，∴在Rt△ABD中，AD＝BD＝AB＝2；（2）连接OC，OD，∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝∠2∠ABC＝60°，∵OA＝OB，∴S△AOC＝S△ABC＝××AC×BC＝××2×2＝，由（1）得∠AOD＝90°，∴∠COD＝150°，S△AOD＝×AO×OD＝×22＝2，∴S阴影＝S扇形COD﹣S△AOC﹣S△AOD＝﹣﹣2＝π﹣﹣2．【点评】本题考查了勾股定理、圆周角定理、三角形的面积等知识点的应用，关键是求出∠ACB＝∠ADB＝90°，题型较好，通过做此题，培养了学生运用定理进行推理的能力．。

备考2024年中考数学二轮复习-图形的性质_圆_圆内接四边形的性质-综合题专训及答案

备考2024年中考数学二轮复习-图形的性质_圆_圆内接四边形的性质-综合题专训及答案圆内接四边形的性质综合题专训1、(2017山西.中考模拟) 阅读与思考婆罗摩笈多（Brahmagupta），是一位印度数学家和天文学家，书写了两部关于数学和天文学的书籍，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他的负数概念及加减法运算仅晚于中国《九章算术》，而他的负数乘除法法则在全世界都是领先的，他还提出了著名的婆罗摩笈多定理，该定理的内容及部分证明过程如下：已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于点P，PM⊥AB于点M，延长MP交CD于点N，求证：CN=DN．证明：在△ABP和△BMP中，∵AC⊥BD，PM⊥AB，∴∠BAP+∠ABP=90°，∠BPM+∠MBP=90°．∴∠BAP=∠BPM．∵∠DPN=∠BPM，∠BAP=∠BDC．∴…（1）请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程，完成剩余的证明部分．（2）已知：如图2，△ABC内接于⊙O，∠B=30°，∠ACB=45°，AB=2，点D在⊙O上，∠BCD=60°，连接AD，与BC交于点P，作PM⊥AB于点M，延长MP交CD于点N，则PN的长为．2、(2016湖州.中考真卷) 如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连结BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°．（1）求证：BD=CD；（2）若圆O的半径为3，求的长．3、(2018安徽.中考模拟) 如图1,AB是☉O的直径,C为☉O上一点,直线CD与☉O相切于点C,AD⊥CD,垂足为D.（1）求证:△ACD∽△ABC.（2）如图2,将直线CD向下平移与☉O相交于点C,G,但其他条件不变.若AG=4,BG=3,求tan∠CAD的值.4、(2017定远.中考模拟) 如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM．（1）求证：BM=CM；（2）当⊙O的半径为2时，求的长．5、(2017邹城.中考模拟) 如图，四边形ABCD内接于⊙O，且BD为直径，∠ACB=45°，过A点的AC的垂线交BC的延长线于点E．（1）求证：BE=CD；（2）如果AD= ，求图中阴影的面积．6、(2018海丰.中考模拟) 如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△PBD∽△DCA；（3）当AB=6，AC=8时，求线段PB的长．7、(2019五华.中考模拟) (2018九上·柘城期末) 如图，△ABC中，以AC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为⊙O上一点，连接CE并延长交AB于点F，连接ED．（1）若∠B+∠FED=90°，求证：BC是⊙O的切线；（2）若FC=6，DE=3，FD=2，求⊙O的直径．8、(2020蒙自.中考模拟) 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．（1）理解：如图1，点在上，的平分线交于点D ，连接求证：四边形是等补四边形；（2）探究：如图2，在等补四边形中连接是否平分请说明理由．（3）运用：如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点求的长．9、(2020宁波.中考真卷) 定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.（1）如图1，∠E 是△ABC 中A 的遥望角，若，请用含a 的代数式表示∠E.（2）如图2，四边形ABCD 内接于⊙O ，，四边形ABCD 的外角平分线DF 交⊙O 于点F ，连结BF 并延长交CD 的延长线于点E.求证：∠BEC 是△ABC 中∠BAC 的遥望角.（3）如图3，在(2)的条件下，连结AE ，AF ，若AC 是⊙O 的直径.①求∠AED 的度数；②若AB=8，CD=5，求△DEF 的面积.10、(2020苏州.中考模拟) 如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，且AC 为⊙O 的直径，，延长BC 到E ，使得BE=AB ，连接DE 。

人教版九年级上册数学《圆周角》圆说课复习(第2课时圆内接四边形的性质)

于 AC 的对称点 E 在边 BC 上，连接 AE.若∠ABC＝64°，则∠BAE 的度数为
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_____5_2_°___. 手抄报：课件/shouchaobao/
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第二十四章圆
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＝8，∴AC＝12AB＝4，∴⊙C 课件
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的半径为
4.∵CE⊥OA，∴OE＝12OA＝2.在
Rt△CEO
中，CE＝ OC2－OE2＝ 42－22＝2 3.又∵点 C 在第二象限，∴点 C 的坐标为(－2 3，
2)．
第二十四章圆
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数学·九年级（上）·配人教
思维训练
14．【核心素养题】如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于
点E、F.
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(1)当∠E＝∠F时，则∠ADC＝_______9_0_°_；

圆的切线性质、圆与四边形的关系及弧长、面积计算中考专题复习（知识点+题型分类练习）

圆的切线性质、圆与四边形的关系及弧长、⾯积计算中考专题复习（知识点+题型分类练习）圆的切线性质、圆与四边形的关系及弧长、⾯积计算专题复习知识点复习：⼀、切线的相关知识点1.切线的性质：①圆的切线到圆⼼的距离等于半径。

②定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

③切线长定理：从圆外⼀点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这⼀点和圆⼼的连线平分两条切线的夹⾓。

2.切线的判定：①利⽤切线的定义。

②到圆⼼的距离等于半径的直线是圆的切线。

③定理：经过半径的外端并且和这条半径垂直的直线是圆的切线。

⼆、圆与三⾓形1.三⾓形的外接圆（1）定义：经过三⾓形的三个顶点的圆叫做三⾓形的外接圆。

（2）三⾓形外⼼的性质：①是三⾓形三条边垂直平分线的交点；②到三⾓形各顶点距离相等；③外⼼的位置：锐⾓三⾓形外⼼在三⾓形内，直⾓三⾓形的外⼼恰好是斜边的中点，钝⾓三⾓形外⼼在三⾓形外⾯。

2、三⾓形的内切圆（1）定义：与三⾓形各边都相切的圆叫做三⾓形的内切圆。

（2）三⾓形内⼼的性质：①是三⾓形⾓平分线的交点；②到三⾓形各边的距离相等；③都在三⾓形内。

三、圆与多边形1.圆与四边形（1）由圆周⾓定理可以得到：圆内接四边形对⾓互补。

*（2）由切线长定理可以得到：圆的外切四边形两组对边的和相等。

2.圆与正多边形正多边形的定义：各边相等，各⾓也相等的多边形叫做正多边形，其外接圆的圆⼼叫做这个正多边形的中⼼，外接圆的半径叫正多边形的半径。

（1）正多边形与圆的关系把圆分成n（n≥3）等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形，这时圆叫做正n 边形的外接圆。

（2）正n多边形的有关计算（11个量）边数n，内⾓和（n－2)×180°;每个内⾓度数(n-2)×180°÷n或180°-360°÷n，外⾓和n·180°－(n－2)·180°=360°;每个外⾓度数360°÷n.;中⼼⾓360°÷n ;定理：正n 边形的半径和边⼼距把正n 边形分成2n 个全等的直⾓三⾓形。

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中考复习之圆与四边形 This manuscript was revised on November 28, 2020
1. 如图在⊙O 中，∠AOB=120°，点C 为的中点，延长OC 到点D ，使CD=OC ，AB 交OC 于点E.
（1）求证：DA 是⊙O 的切线；
（2）若OA=6，求弦AB 的长.
2.如图, O 是等腰三角形ABC 的外接圆,AB=AC,延长BC
至点D,使CD=AC,连接AD 交O 与点E,连接BE 、CE,BE 交
AC 于点F.
(1)求证:△ABE ≌△CDE ;
（2）填空：
①当∠ABC 的度数为时，四边形AOCE 是菱形；
②若3,22,AE AB ==则DE 的长为 .
3.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，D 为AB 上一点，以CD 为直径的⊙O
交BC 于点E ，连接AE 交CD 于点P ，交于点F ，连接DF ，∠CAE=∠ADF .
（1）判断AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由.
（2）若PF:PC=1:2，AF=5，求CP 的长.
4.如图所示，AB 是O 的直径，D 、E 为O 上位于AB 异侧
的两点，连接BD 并延长到点C ，使得CD=BD ，连接AC 交O
于点F ，连接AE ，DE ，DF.
（1）证明：∠E=∠C.
（2）若∠E =55°，求∠BDF 的度数.
（3）设DE 交AB 于点G ，若DF=4，cosB=
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，E 是弧AB 的中点，求EG .ED 的值. 5.如图,AB 为圆O 的直径,点M 为圆上不与A,B 重合的动点,点N 平分弧AM,ND ⊥AB 于点D,过点M 的切线交DN 的延长线于点C.
(1)若MC//AB, ①求证：AD=CN ；
②填空：四边形OMCD 是（什么特殊四边形）;
(2)填空:当∠ANM= °时,四边形ANMO 是菱形.。