第五章习题

5.1、给定单变量线性定常系统
[]0100001025005102550u y ⎧⎡⎤⎡⎤
⎪⎢⎥⎢⎥=+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎪
⎪=-⎩
x x x
(1) 判断系统是否为渐近稳定； (2) 判断系统是否为BIBO 稳定。

解：（１）求矩阵0
1000125005
A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征方程为3252500s s +-=，显然5s =是其中一个特征根，因此系统不稳
定。

系统的传递函数
()
1
2
50()1050G s C SI A B s s -=-=++
G （s ）的极点都为负值，所以系统必然BIBO 稳定。

（用能控性判据也可以）
5．2 设有非线性自治系统(),(0)0== x
f x f ，且满足 T lim ()()t t →∞
=+∞
x f f
系统的Jaccobi 矩阵
1111()
()()()()()n
T
n n n f f x x F x f f x x ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎡⎤⎢⎥⎢
⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
x x f x x x x
证明：当T ()()+F x F x 为负定时，系统的原点平衡状态e 0=x 为大范围渐近稳定。

证明：由题中条件可得
(0)0,0(0)0,0x x ==⎧⎨
≠≠⎩f f
T lim ()()t t →∞
=+∞
x f f
选取正定的Lyapunov 函数T
()()()V x x x =f f
计算正定函数
T
()()()V x x x =f f 的导数得 T T T
T
T T
()()()()()()()()()()()()()
T V
x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x =+∂∂=+∂∂⎛⎫∂∂=+ ⎪∂∂⎝⎭ f f f f f f f f f f f f 因为T T
()()()()x x x x
∂∂+=+
∂∂f f F x F x 为负定，所以()V x 负定。

又因为T lim ()()t t →∞
=+∞x f f ，所以大范围渐进稳定。

5.3、利用Lyapunov 方法判断下列系统是否为大渐近稳定
11,23-⎡⎤
==⎢⎥-⎣⎦ x x Q I （1）求矩阵1
12
3A -⎡⎤=⎢
⎥-⎣⎦
的特征方程为2
410s s ++=，
显然特征根实部小于0，所以渐进稳定。

（2）定常线性系统为渐近稳定的充分必要条件是矩阵方程
T I
+=-A P PA
对任意给定的正定对称矩阵 Q 都有惟一正定对称解 P
1112,2313T A A --⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥
--⎣⎦⎣⎦，设111221
22p p P p p ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，则
11
1211
12T 2122212212111323p p p p I p p p p --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
+=+=-⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
⎣⎦⎣⎦A P PA 求出正定对称的
7/45/85/83/8P ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，可得系统大范围渐进稳定。

5.4、设有渐近稳定的单变量线性定常系统
0,,(0)u y =+==x
Ax b cx x x 其中u t ()≡0。

P 是下列Lyapunov 方程
T T +=-PA A P c c
的正定对称解阵，试证明 2T
000
()d y t t ∞
=⎰
x Px
证明：
考虑方程(0),0T T X
A X XA X c c t =+=≥ ，解矩阵为()T
A t T At X t e c ce =。

因渐进稳定，A 的特征值具有负实部，从而，()0X ∞=。

()(0)(())(())(())(())T T
T
X X A X t dt X t dt A
c c A X t dt X t dt A
∞
∞
∞
∞
∞-=+⇓
-=+⎰⎰⎰⎰
从上式可以看出0
())d T
A t T At X t dt e c ce t ∞
∞==⎰⎰P 。

2
000
T
()d d T T
A t T
At y t t x e c ce t
∞
∞
==⎰
⎰x x Px。