中考数学中的折叠问题专题复习
中考数学折叠知识点总结
中考数学折叠知识点总结一、折叠的基本概念1. 折叠是指将平面图形按照一定的方式对折使其成为一个新的图形的过程。
2. 折痕是指将纸张折叠成新形状所需的折痕线。
3. 折叠时需要确保折线上的点重合，折线上的两个点到折线的距离分别相等。
二、折叠和几何1. 折叠与几何题目密切相关，我们可以通过折叠的方式来解决一些几何题目。
2. 折叠可以用来求解线段的垂直平分线、两点之间的最短距离、平行线的位置关系等问题。
三、折叠的技巧1. 折叠时需要仔细测量折痕的位置，可以使用尺子或折痕工具来辅助。
2. 折叠时需要保持手的稳定，避免折痕偏差，影响折叠结果。
3. 折叠后要仔细检查折线上的点是否重合，以确保折痕的正确性。
四、折纸作图1. 折纸作图是指通过对纸张进行折叠来完成一些几何图形的作图。
2. 折纸作图可以用来完成正多边形、平行四边形、圆等几何图形的作图。
3. 折纸作图可以通过折叠来求解一些几何问题，如平行线的位置关系、角的平分线、两点之间的最短路径等。
五、折纸拼图1. 折纸拼图是指通过折叠纸张来完成一些图形拼图的过程。
2. 折纸拼图可以用来完成一些常见的几何图形，如正方形、长方形、三角形等。
3. 折纸拼图可以通过分析图形的属性和对称关系来完成，需要灵活运用折叠的技巧来完成。
六、折纸数学问题1. 折纸数学问题是指通过折叠纸张来解决一些数学问题的过程。
2. 折纸数学问题可以用来求解一些几何题目，如平行线的位置关系、角的平分线、相似三角形等。
3. 折纸数学问题需要综合运用折叠的技巧和几何知识来完成，可以帮助我们更好地理解和应用几何知识。
七、折纸的启发1. 折纸可以培养学生的空间想象和创造力，有利于学生的综合能力发展。
2. 折纸可以激发学生对数学的兴趣，通过折叠来解决数学问题，有助于学生更好地理解和应用数学知识。
3. 折纸可以激发学生对数学的好奇心和求知欲，有助于培养学生的数学思维和创新能力。
总结：折叠知识是中考数学的重要知识点，通过对折叠的基本概念、折叠和几何、折叠的技巧、折纸作图、折纸拼图、折纸数学问题和折纸的启发等方面的学习，我们可以更好地掌握折叠知识，提高数学解题的能力和创新思维。
中考数学专题复习《四边形的折叠问题》测试卷-附带答案
中考数学专题复习《四边形的折叠问题》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一 单选题1．如图所示 在长方形ABCD 中 610AD AB ==， 若将长方形ABCD 沿DE 折叠 使点C 落在AB 边上的点F 处 则线段CE 的长为（ ）A ．13B ．1730C ．103D ．102．如图 在ABCD 中 将ADC △沿AC 折叠后 点D 恰好落在DC 延长线上的点E 处．若=60B ∠︒ 1AB = 则ABCD 的周长为( )A ．4B ．43C ．6D ．33．如图 在ABC 中 已知8AB = 点DE 、分别在边AC AB 、上 现将ADE 沿直线DE 折叠 使点A 恰好落在点F 处 若将线段BC 向左平移刚好可以与线段EF 重合 连接CF 若215BC CF += 则2BC CF -的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．74．如图 矩形ABCD 中 3AB = 4BC = 点E 是BC 边上一点 连接AE 把B ∠沿AE折叠 使点B 落在点B '处 当CEB '为直角三角形时 BE 的长为（ ）A ．2B ．3C ．2或3D ．3或1.55．如图 将长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后 若170=︒∠ 则2∠的度数为（ ）A ．110︒B ．115︒C ．120︒D ．125︒6．如图 在平面直角坐标中 矩形ABCD 的边5,:1:4AD OA OD == 将矩形ABCD 沿直线OE 折叠到如图所示的位置 线段1OD 恰好经过点B 点C 落在y 轴的点1C 位置 点E 的坐标是（ ）A ．()1,2B ．1,2C ．)1,2D ．()12 7．如图 在平面直角坐标系中 已个纸片OACB 顶点10006A B （，），（，）点P 为BC 边上的动点 将OBP 沿OP 折叠得到OPD 连接CD AD 、．则下列结论中：①当45BOP ∠=︒时 四边形OBPD 为正方形 ①当30BOP ∠=︒时 OAD 的面积为15 ①当P 在运动过程中CD 的最小值为5 ①当OD AD ⊥时 2BP =．其中结论正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8．如图 把一张长方形纸片沿对角线折叠 若30EDF ∠= 则长方形纸片的长宽比为( )A ．2：1B 2：1C 31D ．23二 填空题9．在平行四边形ABCD 中 点E F 在BC 边上 把ABE 沿直线AE 折叠 CDF 沿直线DF 折叠 使点B C 落在对角线AC 上的点G 处 若110AGD ∠=︒ 则B ∠的度数为 ．10．如图 点O 是矩形ABCD 的中心 E 是边AB 上的点 沿CE 折叠后 点B 恰好与点O 重合 若9BC = 则折痕CE 长度为 ．11．如图 将长方形ABCD 沿EF 折叠得到两个全等的小长方形 1210AB BC ==，， 点G 在AB 上运动 当点 A 关于DG 的对称点A '落在右侧长方形BCEF 内部(含边界)时 则AG 的长度 m 的取值范围为 ．12．如图 菱形ABCD 的边5AB = 高4CE = F 是边CD 上一动点 将四边形AEFD 沿直线EF 折叠 A 点的对应点为P 当CP 的长度最小时 CF 的长为 ．13．如图 把正方形纸片ABCD 进行如下操作：对折正方形ABCD 得折痕EF 连接CE 将CB 折叠到CE 上 点B 对应点H 得折痕CG ．那么AG BG= ．三 解答题14．如图1 点E 为矩形ABCD 边BC 上一点 且CE CD = 把ABE 沿着AE 折叠 点B 的对应点F 恰好落在线段DE 上．(1)求证：≌AFD DCE(2)如图2 延长CF 交AE 于点G 交AB 于点H ．①求证：GE DF GF CD ⋅=⋅①求:GH GA 的值．15．如图 沿折痕AE 折叠矩形ABCD 的一边 使点D 落在BC 边上一点F 处．若6AB = 且ABF △的面积为24 则：(1)BF 的长为_______________(2)BC 的长为________________(3)求EC 的长．16．如图1 已知长方形纸片ABCD 点E 在边AD 上 F 为AB 上的一个动点 G 为DC 上的一个动点 将长方形ABCD 沿直线EF EG 、折叠 点A D 、的对应点分别是点A '和点D ．(1)如图2 当点A '落在ED 上时 求FEG ∠的度数(2)如图3 若54A ED ''∠=︒ 求FEG ∠的度数(3)如图4 若10A ED ''∠=︒ 求FEG ∠的度数(4)若A ED n ''∠=︒直接写出FEG ∠的度数（用含n 的代数式表示）17．如图 在Rt ABC △中 90BAC ∠=︒ 30C ∠=︒ 点D 是ABC 外一点连接AD BD将ABD △沿DB 折叠使点A 落在边BC 上的点1A 处 连接1A D 若1A D AC ⊥．(1)求证：四边形1ABA D 是菱形(2)连接1AA DC 若2AB = 求四边形1ADCA 的面积．18．综合探究：如图 四边形ABCD 是正方形 点M 在边AD 上 直线MN AB ∥．将正方形沿MN 折叠 点A 落在A '处 点B 落在点B '处 MN 与BD 交于点P 连接AP A P ' A P '交CD 与点F ．(1)连接PC 猜想PC 与PA '的数量关系为________ A PC '∠=________°(2)连接B D ' CA ' 两线段交于点O 移动直线MN 若CD 平分PCA '∠ 求证：CP B D '∥(3)移动直线MN 若6=BC 2B C '= 直接写出PAD ∠的度数．参考答案：1．C2．C3．B4．D5．D6．D7．C8．C9．75︒10．11．10103m ≤≤ 12．41314．（1）解：证明：CD CE =CDE ∴为等腰直角三角形45CDE FDA ︒∴∠=∠= ABE 沿AE 折叠得到AEF △ 且四边形ABCD 是矩形 AB AF CD ∴== 90AFE AFD B ∠=∠=∠=︒ 在AFD △与ECD 中AFD ECD CDE FDA AF CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS AFD DCE ∴≌．（2）①证明：AFD DCE ≌△△AD DE ∴= AF DF DC CE ===()11804567.52DCF DFC ∴∠=∠=︒-︒=︒ 45DEC ∠=︒ 180135BED DEC167.52AEF AEB BEF ∴∠=∠=∠=︒ GEF DCF ∴∠=∠ GFE DFC ∠=∠GEF DCF ∴∽GE GF DC DF∴= GE DF GF CD ∴⋅=⋅．①在Rt CED 中 45CDE ∠=︒DE ∴=DF DC CE ==)()2121EF DE DF CD CE ∴=-== 21EF CE ∴ 由①知：67.5BEA DFC ∠=∠=︒18067.5112.5EFC GEC ∴∠=∠=︒-︒=︒ECF GCE ∠=∠CEG CFE ∴△∽△21GE EF GC CE∴==． 15．（1）由矩形的性质可得：90B C ∠=∠=︒ 6AB CD == ABF △的面积为24 ①1242ABF S AB BF =⨯⨯= ①24224286BF AB ⨯⨯=== 故答案为：8（2）在（1）中已得8BF =由矩形的性质可得：90B C ∠=∠=︒ 6AB CD == AD BC = 由折叠的性质可得：AF AD BC == 由勾股定理可得：22228610BC AF BF AB =++= 故答案为：10（3）由（1）（2）可得2CF BC BF =-=根据折叠的性质有：EF DE =设CE x = 则6EF DE x ==-在Rt CEF △中 222CE CF EF +=即()22226x x +=- 解得83x = 即83CE =．16．（1）解：由翻折得：12A EF AEA ''∠=∠ 12D EG DED ''∠=∠ ①180AEA DED ''∠+∠=︒ ①()111809022FEG A EF D EG AEA DED ''''∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒（2）解：由 (1) 知12A EF AEA ''∠=∠ 12D EG DED ''∠=∠ ①54A ED ''∠=︒①126AEA DED ''∠+∠=︒①()1632A EF D EG AEA DED ''''∠+∠=⨯∠+∠=︒ ①5463117FEG A ED A EF D EG ''''∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒ （3）解：①10A ED ''∠=︒ ①()()11180109522A EF D EG AEA DED ''''∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒ ①951085FEG A EF D EG A ED ''''∠=∠+∠-∠=︒-︒=︒ （4）解：如图3 ①A ED n ''∠=︒①()180180AEA DED A ED n ''''∠+∠=︒-∠=-︒ ①2A EF AEA ''∠=∠ 2D EG DED ''∠=∠ ①1802n A EF D EG ︒-︒''∠+∠= ①18018022n n FEG A EF D EG A ED n ︒-︒︒+︒''''∠=∠+∠+∠=+︒= 如图4 ①180AEA DED A ED ''''∠+∠-∠=︒ ''A ED n ∠=︒ ①180AEA DED n ''∠+∠=︒+︒①2A EF AEA ''∠=∠ 2D EG DED ''∠=∠ ①1802n A EF D EG ︒+︒''∠+∠= ①18018022n n FEG A EF D EG A ED n ︒+︒︒-︒''''∠=∠+∠-∠=-︒= 综上 FEG ∠的度数为1802n ︒+︒或 1802n ︒-︒． 17．（1）证明：如图1 连接1AA 设1A D 交AC 于点E由折叠的性质得：1AB A B = 1AD A D =90BAC ∠=︒ 30C ∠=︒903060ABC ∴∠=︒-︒=︒1ABA ∴是等边三角形1AB AA ∴= 160BAA ∠=︒11906030CAA BAC BAA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒1A D AC ⊥190AEA ∴∠=︒1903060AA D ∴∠=︒-︒=︒∴1AA D △是等边三角形1AD AA ∴=11AB A B AD A D ∴===∴四边形1ABA D 是菱形（2）解：如图2由（1）可知 四边形1ABA D 是菱形 12A D AB ∴==90BAC ∠=︒ 30ACB ∠=︒24BC AB ∴==22224223AC BC AB ∴--1A D AC ⊥∴四边形1ADCA 的面积=1AA C ADC S S + 111111232232222AC A E AC DE AC A D =⋅+⋅=⋅=⨯= 18．（1）解：①四边形ABCD 是正方形 ①AB BC CD DA === 90BAD ABC BCD CDA ∠∠∠∠====︒ 四边形ABCD 是轴对称图形 BD 所在直线是其一条对称轴①45ADP ∠=︒ PA PC = PAM PCF ∠∠= ①MN AB ∥①90PMD BAD ∠∠==︒①MN AD ⊥18090A DF CDA '∠=︒-∠=︒①将正方形沿MN 折叠 点A 落在A '处 点B 落在点B '处 ①MN AA '⊥①点A D A '三点共线同理：点B C B '三点共线①将正方形沿MN 折叠 点A 落在A '处 点B 落在点B '处 ①PA PA '= PA D PAM PCF '∠=∠=∠ 90CB A B A D ABC BAD ''''∠=∠=∠=∠=︒ ①PC PA '=①90A DF '∠=︒ 180A DF PA M DFA PCF PFC A PC ''''∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒ PA M PCF '∠=∠ DFA PFC '∠=∠ ①90A D A PC F '∠=︒'∠=故答案为：PC PA '= 90（2）证明：由（1）得PC PA '= 90A PC '∠=︒ ①45PCA PA C ''∠=∠=︒①CD 平分PCA '∠①22.5OCD PCD ∠=∠=︒①90CB A B A D ''''∠=∠=︒ 90A DF '∠=︒ ①四边形A B CD ''是矩形①OA OD OB OC ''===①ODC OCD ∠∠==22.5︒①45A ODC O A OD PC CD ''∠=︒=∠+∠=∠ ①CP B D '∥（3）解：如图 在AN 上取一点N 使得AN =①四边形A B CD ''是矩形 ①2,A D B C ''=①将正方形沿MN 折叠 点A 落在A '处 点B 落在点B '处 ①MN 垂直平分AA ' ①62MA MA +'== 90PMD PMN ∠∠==︒ ①MN AM AN =-=6232662+-=①45PDM ∠=︒ ①904545MPD PDM ∠∠=︒-︒=︒= ①PM DM AD AM ==-62626+-==①在Rt PMN 中6232tan 326PM PNM MN -∠===-①30PNM ∠=︒ ①262N PN PM A === ①PAD APN ∠∠==130152⨯︒=︒．。
中考数学专题复习《勾股定理之折叠问题分类讨论、存在性问题》测试卷(附带答案)
中考数学专题复习《勾股定理之折叠问题分类讨论存在性问题》测试卷（附带答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一 单选题1．如图 ABC 中 90A ∠= 7AB = 24AC = 点D 为边AC 上一点 将ABC 沿BD 折叠后 点A 的对应点A '恰好落在BC 边上 则线段AD 的长为（ ）A ．407B ．214C ．16825D ．3262．如图是一张直角三角形纸片 已知6AC = 10AB = 将纸片沿AD 折叠 使点C 落在AB 边上的点C '处 则折痕AD 长为（ ）．A ．5B ．35C ．3D ．323．已知2OA = 2OB = 将AOB 沿着某直线CD 折叠后如图所示 CD 与x 轴交于点C 与AB 交于点D 则点C 坐标是（ ）A ．()0.4,0B ．()0.5,0C ．()0.6,0D ．()0.7,04．如图 长方形纸片ABCD 中 6AB = 18AD = 将此长方形纸片折叠 使点D 与点B 重合 点C 落在点H 的位置 折痕为EF 则ABE 的面积为（ ）A ．6B ．18C ．24D ．485．如图 在平行四边形ABCD 中 60B ∠=︒ 4AB = 6AD = E 是AB 边的中点 F 是线段BC 上的动点 将EBF 沿EF 所在直线折叠得到EB F ' 连接B D ' 则B D '的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．2D ．26．将长方形纸片ABCD 如图折叠 B C 两点恰好重合在AD 边上的同一点P 处折痕分别是MH NG 若90MPN ∠=︒ 3PM = 5MN = 分别记PHM PNG PMN 的面积为1S 2S 3S 则1S 2S 3S 之间的数量关系是 ( )A ．312S S S =+B ．312322S S S =+C ．32155S S S =-D ．2123S S S =-7．如图 直角ABC 中 90C ∠=︒ 3AC = 4BC = 将ABC 沿AB 折叠得ABD △ 点C 的对应点为点D 则点D 到BC 的距离为（ ）A ．125B ．245C ．9625D ．125或245 8．如图 在Rt ABC △纸片中 9043A AB AC ∠=︒==，， 将Rt ABC △纸片按图示方式折叠 使点A 恰好落在斜边BC 上的点E 处 BD 为折痕 则下列四个结论：①BD 平分ABC ∠①AD DE = ①DE EC = ①DEC 的周长为4 其中正确的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二 填空题9．如图 Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ 30B ∠=︒ 4AC = 点P 为AB 上一个动点 以PC 为轴折叠APC △得到QPC 点A 的对应点为点Q 当点Q 落在ABC 内部（不包括边）上时 AP 的取值范围为 .10．如图 在平面直角坐标系中 长方形ABCO 的边OC OA 、分别在x 轴 y 轴上 3AB = 点E 在边BC 上 将长方形ABCO 沿AE 折叠 若点B 的对应点F 恰好是边OC 的三等分点 则点E 的坐标是 ．11．如图 有一个直角三角形纸片 两直角边18cm AC = 24cm BC = 现将直角边AC 沿直线AD 折叠 使它落在斜边AB 上 且与AE 重合 则BD = cm ．12．已知直线l 为长方形ABCD 的对称轴 5AD = 6AB = 点E 为射线DC 上一个动点 把ADE 沿直线AE 折叠 点D 的对应点D 恰好落在对称轴l 上．则点D 到边CD 的距离是 ．13．如图 把长方形ABCD 沿直线BD 向上折叠 使点C 落在C '的位置上 BC '交AD 于E 已知4CD = 8BC = 则EC D '的面积为 ．三 解答题14．如图是一张直角三角形ABC 纸片 90C ∠=︒ 6AC = 8BC =．(1)在图1中 将直角边AC 沿AD 折叠 使点C 落在斜边AB 上的点E 处 求CD 的长(2)在图2中 将BFG 沿FG 折叠 使点B 与点A 重合 求BF 的长．15．一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用 如图 将一张长方形纸片ABCD 放在平面直角坐标系中 点A 与原点O 重合 顶点B D 分别在x 轴 y 轴上 P 为边CD 上一动点 连接BP 将BCP 沿BP 折叠 点C 落在点C '处．(1)若4AB = 3AD = 如图1 连接BD 当点C '在线段BD 上时 求点P 的坐标．(2)在（1）的条件下如图2 当点P 与点D 重合时 沿BD 将BCD △折叠得BC D '△ DC '与x 轴交于E 点 求BDE 的面积．(3)若8AB = 4BC = 当ADC '为等腰三角形时 求点P 的坐标．16．如图1 ABC 中 90,BAC AB AC ∠=︒= D E 是直线BC 上两动点 且45DAE =︒∠．探究线段BD DE EC 三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2 将ABD △沿AD 折叠 得ADF △ 连接EF 看能否将三条线段转化到一个三角形中 …请你参照小明的思路 探究并解决下列问题：(1)猜想BD DE EC 三条线段之间的数量关系 并证明(2)如图3 当动点E 在线段BC 上 动点D 运动在线段CB 延长线上时 其它条件不变 （1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．17．已知ABC CDE △≌△ 且90B D ∠=∠=︒ 把ABC 和CDE 拼成如图所示的形状 使点B C D 在同一条直线上 若4AB = 3DE =．(1)求AE 的长(2)将ABC 沿AC 折叠 点B 落在点F 处 延长AF 与CE 相交于点G 求FG 的长．18．如图 在ABC 中 90C ∠=︒ 把ABC 沿直线DE 折叠 使ADE 与BDE 重合．(1)若38A ∠=︒ 则CBD ∠的度数为________(2)若6AC = 4BC = 求AD 的长(3)当(0)AB m m ABC =>，△的面积为24m +时 求BCD △的周长．（用含m 的代数式表示）参考答案：1．B2．B3．B4．C5．C6．C7．C8．C9．234AP <<10．25⎛- ⎝⎭或2⎛- ⎝⎭11．1512．1或9/9或113．614．(1)3CD = (2)254BF15．(1)点P 的坐标为5,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2)7516(3)当ADC '为等腰三角形时 点P 的坐标为()44，或4⎫⎪⎪⎝⎭．16．(1)222DE BD EC =+(2)不变 222DE BD EC =+17．(1)AE =(2)9418．(1)14︒ (2)133AD =(3)BCD △的周长为4m +．。
2023年中考数学二轮专题复习《折叠问题》培优练习(含答案)
中考数学二轮专题复习《折叠问题》培优练习一、选择题1.如图,有一条直的宽纸带,按图折叠,则∠α的度数等于 ( )A.50°B.60°C.75°D.85°2.如图，将长方形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在点C/处，BC/交人D于点E，若∠DBC=22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°角(虚线也视为角的边)共有( )A.3个B.4个C.5个D.6个3.如图，将矩形ABCD沿EM折叠，使顶点B恰好落在CD边的中点N上.若AB＝6，AD＝9，则五边形ABMND的周长为( )A.28B.26C.25D.224.如图，有一块矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6，将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△C EF的面积为( )A.12B.98C.2D.4 5.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8.将矩形的一角折叠，使点B 落在边AD 上的B ´点处，若AB /＝4，则折痕EF 的长度为( )A.8B.4 5C.5 5D.106.将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，BE ，EG ，FG 为折痕，若顶点A ，C ，D 都落在点O 处，且点B ，O ，G 在同一条直线上，同时点E ，O ，F 在另一条直线上，则AD ：AB 的值为( )A.65B. 2C.32 D. 37.如图矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝33，点P 是BC 边上的动点，现将△PCD 沿直线PD 折叠，使点C 落在点C 1处，则点B 到点C 1的最短距离为( )A.5B.4C.3D.28.将一张宽为4cm 的长方形纸片(足够长)折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是( )A.833cm 2B.8cm 2C.1633cm 2 D.16cm 2二、填空题9.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(3，0)，连结AB，将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A'处，折痕所在的直线交y轴的正半轴于点C，则直线BC所对应的函数表达式为.10.将正方形纸片ABCD按如图所示对折，使边AD与BC重合，折痕为EF，连接AE，将AE折叠到AB上，折痕为AH，则BH：BC的值是．11.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG ＝32S△FGH；④AG＋DF＝FG．其中正确的是．(把所有正确结论的序号都选上)12.如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝35a．连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a的值为．13.一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，则CD的长为．14.如图，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y 轴上，连接OB，将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在D的位置上.若AC＝5，OC＝2BC，则点D的坐标 .三、解答题15.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠至△AFE，延长EF交BC于点G，连结AG.(1)求证：△ABG≌△AFG；(2)求BG的长．16.将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F，(1)求证：四边形AECF为菱形；(2)若AB＝4，BC＝8，求菱形的边长；(3)在(2)的条件下折痕EF的长．17.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E．(1)试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；(2)若AB＝8，DE＝3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG＋PH的值，并说明理由．18.小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：操作一：如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE．(1)如果AC＝6cm，BC＝8cm，可求得△ACD的周长为；(2)如果∠CAD：∠BAD＝4：7，可求得∠B的度数为；操作二：如图2，小王拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC＝9cm，BC＝12cm，请求出CD的长．19.矩形AOBC中，OB＝8，OA＝4.分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系.F是BC边上一个动点(不与B，C重合)，过点F的反比例函数y＝kx(k＞0)的图象与边AC交于点E.(1)当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标；(2)连接EF、AB，求证：EF∥AB；(3)如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式.20.将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）.（1）如果M为CD边的中点，求证：DE∶DM∶EM=3∶4∶5；（2）如果M为CD边上的任意一点，设AB=2a，问△CMG的周长是否与点M的位置有关？若有关，请把△CMG的周长用含DM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由.21.如图，抛物线L：y=﹣x2+bx+c经过点A(1，0)和点B(5，0)，已知直线l的解析1式为y=kx﹣5.的解析式、对称轴和顶点坐标.(1)求抛物线L1(2)若直线l将线段AB分成1：3两部分，求k的值；(3)当k=2时，直线与抛物线交于M、N两点，点P是抛物线位于直线上方的一点，当△PMN面积最大时，求P点坐标，并求面积的最大值.在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图象与原抛物线(4)将抛物线L1剩余的部分组成的新图象记为L2①直接写出y随x的增大而增大时x的取值范围；有四个交点时k的取值范围.②直接写出直线l与图象L2答案1.C2.D3.A.4.C.5.C.6.B.7.C.8.B9.答案为：y＝﹣12x＋32.10.答案为：52﹣12．11.答案为：①③④．12.答案为：53或53.13.答案为：3或24 7．14.答案为：(﹣0.6，0.8)15.证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠D＝90°，AD＝AB.由折叠可知，AD＝AF，∠AFE＝∠D＝90°，∴∠AFG＝90°，AB＝AF.∴∠B＝∠AFG＝90°.又∵AG＝AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG(H.L.)．(2)解：∵△ABG≌△AFG，∴BG＝FG.设BG＝FG＝x，则GC＝6﹣x，∵E为CD的中点，∴EG＝x＋3，在Rt△CEG中，由勾股定理，得32＋(6﹣x)2＝(x＋3)2，解得x＝2，∴BG＝2.16.证明：(1)∵矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕为EF，∴OA＝OC，EF⊥AC，EA＝EC，∵AD∥AC，∴∠FAC＝∠ECA，在△AOF和△COE中，∴△AOF≌△COE，∴OF＝OE，∵OA＝OC，AC⊥EF，∴四边形AECF为菱形；(2)①设菱形的边长为x，则BE＝BC﹣CE＝8﹣x，AE＝x，在Rt△ABE中，∵BE2＋AB2＝AE2，∴(8﹣x)2＋42＝x2，解得x＝5，即菱形的边长为5；②在Rt△ABC中，AC＝45，∴OA＝12AC＝25，在Rt△AOE中，AE＝5，OE＝5，∴EF＝2OE＝25．17.解：(1)△AED≌△CEB′证明：∵四边形ABCD为矩形，∴B′C＝BC＝AD，∠B′＝∠B＝∠D＝90°，又∵∠B′EC＝∠DEA，∴△AED≌△CEB′；(2)由折叠的性质可知，∠EAC＝∠CAB，∵CD∥AB，∴∠CAB＝∠ECA，∴∠EAC＝∠ECA，∴AE＝EC＝8﹣3＝5．在△ADE中，AD＝4，延长HP交AB于M，则PM⊥AB，∴PG＝PM．∴PG＋PH＝PM＋PH＝HM＝AD＝4．18.解：操作一：(1)14 (2)35º操作二：∵AC＝9cm，BC＝12cm，∴AB＝15(cm)，根据折叠性质可得AC＝AE＝9cm，∴BE＝AB﹣AE＝6cm，设CD＝x，则BD＝12﹣x，DE＝x，在Rt△BDE中，由题意可得方程x2＋62＝(12﹣x)2，解得x＝4.5，∴CD＝4.5cm．19.解：(1)∵四边形OACB是矩形，OB＝8，OA＝4，∴C(8，4)，∵AE＝EC，∴E(4，4)，∵点E在y＝kx上，∴E(4，4).(2)连接AB，设点F(8，a)，∴k＝8a，∴E(2a，4)，∴CF＝4﹣a，EC＝8﹣2a，在Rt△ECF中，tan∠EFC＝＝＝2，在Rt△ACB中，tan∠ABC＝＝2，∴tan∠EFC＝tan∠ABC，∴∠EFC＝∠ABC，∴EF∥AB.(3)如图，设将△CEF沿EF折叠后，点C恰好落在OB上的G点处，∴∠EGF＝∠C＝90°，EC＝EG，CF＝GF，∴∠MGE＋∠FGB＝90°，过点E作EM⊥OB，∴∠MGE＋∠MEG＝90°，∴∠MEG＝∠FGB，∴Rt△MEG∽Rt△BGF，∵点E(，4)，F(8，)，∴EC＝AC﹣AE＝8﹣，CF＝BC﹣BF＝4﹣，∴EG＝EC＝8﹣，GF＝CF＝4﹣，∵EM ＝4，∴＝，∴GB ＝2，在Rt △GBF 中，GF 2＝GB 2＋BF 2，即：(4﹣)2＝(2)2＋()2，∴k ＝12，∴反比例函数表达式为y ＝12x . 20.证明：(1)DE 为x ，则DM ＝1，EM ＝EA ＝2﹣x ，在Rt △DEM 中，∠D ＝90°，∴DE 2＋DM 2＝EM 2x 2＋12＝(2﹣x)2x ＝34，∴EM ＝54． (2)设正方形的边长为2，由(1)知，DE ＝34，DM ＝1，EM ＝54∴DE ：DM ：EM ＝3：4：5；(3)△CMG 的周长与点M 的位置无关．证明：设DM ＝x ，DE ＝y ，则CM ＝2a ﹣x ，EM ＝2a ﹣y ，∵∠EMG ＝90°，∴∠DME ＋∠CMG ＝90°．∵∠DME ＋∠DEM ＝90°，∴∠DEM ＝∠CMG ，又∵∠D ＝∠C ＝90°△DEM ∽△CMG ，∴△CMG 的周长为CM ＋CG ＋MG ＝. 在Rt △DEM 中，DM 2＋DE 2＝EM 2即x 2＋y 2＝(2a ﹣y)2整理得4a 2﹣x 2＝4ay ，∴CM＋MG＋CG＝＝4a．所以△CMG的周长为4a，与点M的位置无关．21.解：(1)∵抛物线L1：y=﹣x2+bx+c经过点A(1，0)和点B(5，0)∴y=﹣(x﹣1)(x﹣5)=﹣(x﹣3)2+4，∴抛物线L1的解析式为y=﹣x2+6x﹣5对称轴：直线x=3顶点坐标(3，4)；(2)∵直线l将线段AB分成1：3两部分，则l经过点(2，0)或(4，0)，∴0=2k﹣5或0=4 k﹣5∴k=52或k=54.(3)如图1，设P(x，﹣x2+6x﹣5)是抛物线位于直线上方的一点，解方程组，解得或不妨设M(0，﹣5)、N(4，3)∴0＜x＜4过P做PH⊥x轴交直线l于点H，则H(x，2x﹣5)，PH=﹣x2+6x﹣5﹣(2x﹣5)=﹣x2+4x，S△PMN =12PH•x N=(﹣x2+4x)×4=﹣2(x﹣2)2+8∵0＜x＜4∴当x=2时，SPMN最大，最大值为8，此时P(2，3) (4)如图2，A(1，0)，B(5，0).由翻折，得D(3，﹣4)， ①当x ≤1或3≤x ≤5时y 随x 的增大而增大②当y=kx ﹣5过D 点时，3k ﹣5=﹣4，解得k=13， 当y=kx ﹣5过B 点时，5k ﹣5=0，解得k=1，直线与抛物线的交点在BD 之间时有四个交点，即13＜k ＜1， 当13＜k ＜1时，直线l 与图象L 2有四个交点.。
中考数学二轮专题复习图形变换——折叠问题【含答案】
二轮复习：图形变换（一）—折叠图形变换历来是中考必考点之一。
考试大纲要求：会运用图形变换的相关知识进行简单的作图与计算，并能解决相关动态需求数学问题，并能进行图案设计。
图形变换一般包括，折叠、平移、旋转、对称、位似和图形的探究。
在图形变换的考题中，最多题型是折叠、旋转。
在解决折叠问题时，应注意折叠前后相对应的边相等、角相等。
下面着重从三个方面进行讲述：三角形折折叠、特殊平行四边形折叠和在平面直角坐标系内的图形折叠三大类进行。
（一）三角形的折叠：题型1、一般三角形的折叠：1、如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β2、（2019•江西）如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝°．3、如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为___．题型2、等腰或等边三角形的折叠：4、如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =24，tanC =2，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点E 处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为_____.5、如图，D 是等边△ABC 边AB 上的点，AD=2，DB=4．现将△ABC 折叠，使得点C 与点D 重合，折痕为EF ，且点E 、F 分别在边AC 和BC 上，则CF CE=_______．（利用相似三角形周长的比等于相似比△AED 相似△DBF）题型3、直角三角形的折叠：6、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=6，CD 是斜边AB 上的中线，将△BCD 沿直线CD 翻折至△ECD 的位置，连接AE ．若DE ∥AC ，计算AE 的长度等于．7、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（二）特殊平行四边形的折叠：题型1、矩形折叠：1、（求角）.如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点，已知,则的度为A. B. C. D.2、（求三角函数值）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，如果AB：AD=2：3，那么tan∠EFC值是．3、（求边长）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE 折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为4、（求折痕长）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为5、（求边的比）如下图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC：AB的值为。
中考数学专题复习《特殊平行四边形中的折叠问题》测试卷-附带答案
中考数学专题复习《特殊平行四边形中的折叠问题》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一 单选题1．如图 在矩形纸片ABCD 中 将BCD △沿BD 折叠 C 点落在C '处 则图中共有全等三角形（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对2．如图 对折矩形纸片ABCD 使AB 与DC 重合得到折痕EF 将纸片展平 再一次折叠 使点D 落到EF 上点G 处 并使折痕经过点A 展平纸片后DAG ∠的大小为（ ）A ．40︒B ．60︒C ．55︒D ．75︒3．如图 在矩形ABCD 中 5AB = 8BC = 点E 和F 是边BC 上的两点 连结AE DF 、 将ABE 和CDF 沿AE DF 、折叠后 点B 和点C 重合于点M 则EF 的长是（ ）A ．2.5B ．3C ．1.5D ．44．如图 在矩形纸片ABCD 中 已知8AD = 折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合 点B 落在点F 处 折痕为AE 且3EF = 则ABE 的面积为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．75．如图 在矩形OABC 中 9OA = 15AB = E 是BC 上一点 沿AE 折叠 使点B 恰好落在x 轴的点D 处．E 点坐标是（ ）A ．()5,15B ．()3,15C ．()15,2D ．()15,4 6．如图 在矩形ABCD 中 点E 是边CD 的中点 将ADE 沿AE 折叠后得到AFE △ 且点F 在矩形ABCD 的内部 将AF 延长后交边BC 于点G 且45CG GB = 则AB AD 的值为（ ）A ．43B ．56C ．1D ．77．如图 把矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠 设重叠部分为EBD △ 则下列结论不一定成立的是（ ）A ．AB CD = B ．BAE DCE ≌△△C ．EB ED = D ．30ABE ∠=︒ 8．如图 在一张菱形纸片ABCD 中 2AB = 30B ∠=︒ 点E 在BC 边上（不与B C 重合）将ABE 沿直线AE 折叠得到AFE △ 连接BF EF DF 有以下四个结论：AE EF =① 105BFD ∠=︒② ③当AE BC ⊥时 FD AC = ④当FE 平分AFB ∠时 则23FD = 其中正确的结论个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二 填空题9．如图 正方形纸片ABCD 的边长为12 E 是边CD 上一点 连接AE 折叠该纸片 使点A 落在AE 上的点G 并使折痕经过点B 得到折痕BF 点F 在AD 上．若5DE = 则GE 的长为 ．10．将一张长方形纸片ABCD 按如图所示方式折叠 AE AF 为折痕 点B D 折叠后的对应点分别为B' 'D 若''4B AD ∠=︒ 则EAF ∠的度数为 ．11．如图 在长方形ABCD 中 3AD = 2AB = 点F 是AB 上一点 1AF = 点E 是BC 上一动点 连接EF 将BEF △沿EF 折叠 记点B 的对应点为点B ' 连接DB ' 则FB DB '+'的最小值是 ．12．如图 在矩形ABCD 中 5AB = 8AD = 边AD 上有一动点P 连结BP 把ABP沿BP 折叠当点A 的对应点A '刚好落在BC 的垂直平分线上时 点A '到AD 的距离为 ．13．如图所示 在完全重合放置的两张矩形纸片ABCD 中 8AB = 16BC = 将上面的矩形纸片折叠 使点C 与点A 重合 折痕为EF 点D 的对应点为点G 连接DG 则图中阴影部分的面积为 ．三 解答题14．如图 正方形纸片ABCD 的边长12AB = E 是DC 上一点 5CE = 折叠正方形纸片 使点B 和点E 重合 折痕为FG 试求FG 的长．15．如图 把一张长方形纸片ABCD 折叠起来 使其对角顶点A 与C 重合 D 与G 重合 若长方形的长BC 为8 宽AB 为4(1)求DE 的长(2)求阴影部分的面积．16．如图1 将矩形纸片()ABCD AD AB >折叠 使点C 刚好落在线段AD 上 且折痕分别与边BC AD 相交 设折叠后点C D 的对应点分别为点G H 折痕分别与边BC AD 相交于点E F ．（1）求证：四边形CEGF 是菱形（2）如图2 若3AB = 9BC = 当点G 与点A 重合时 求折痕EF 的长.17．如图 在四边形纸片ABCD 中 AD BC ∥ AD CD > 将纸片沿过点D 的直线折叠 使点C 落在AD 上的点C '处 折痕DE 交BC 于点E 连接C E '．(1)请确定四边形CDC E '的形状 并说明理由(2)若30BCD ∠=︒ 2CE = 过点C '作C F BC '⊥于F 连接CC '交DE 于点M 连接FM ： ①四边形CDC E '的面积为①2FM = ．18．已知矩形ABCD 中 4AB = 6AD = 点P 是边AD 的中点．(1)如图1 连接BP 并延长 与CD 的延长线交干点F 问：线段CF 上是否存在点Q 使得PFQ △是以PF 为腰的等腰三角形 若存在 请直接写出DQ 的长 若不存在 请说明理由．(2)①如图2 把矩形ABCD 沿直线MN 折叠 使点B 落在点D 上 直线MN 与AD BD BC 、、的交点分别为M H N 求折痕MN 的长．①如图3：在①的条件下 以点A 为原点 分别以矩形ABCD 的两条边AD AB 、所在的直线为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系 若点R 在x 轴上 在平面内是否存在点S 使以R M N S 为顶点的四边形是菱形？若存在 请求出点S 的坐标 若不存在 请说明理由．(3)如图4：若点E 为CD 边上的一个动点 连结PE 以PE 为边向下方作等边PEG △ 连结AG 则AG 的最小值是______．（请直接写出答案）参考答案：1．C2．B3．B4．B5．D6．A7．D8．B9．491310．43︒111012．213．72514．解：如图 过点F 作FM BC ⊥ 垂足为M 连接BE ．①四边形ABCD 为正方形①AB BC CD AD === 90A ABC C D ∠=∠=∠=∠=︒①90A ABC BMF ===︒∠∠∠①四边形ABMF 为矩形①12MF AB BC ===①将正方形纸片ABCD 折叠 使点B 落在边CD 上的点E 折痕为FG ①90C FMG ∠=∠=︒ BE FG ⊥①90BNG C ∠=∠=︒①90MGF CBE BEC CBE ∠+∠=∠+∠=︒ ①MGF CEB ∠=∠在FMG 和BCE 中 MGF CEB FMG C FM BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()AAS FMG BCE ≌①MG CE =．又①5CE =①5MG =．在Rt MFG 中 根据勾股定理得13FG == 即FG 的长是13．15．（1）设DE EG x == 则8AE x =- 在Rt AEG △中 222AG EG AE +=所以()22168x x +=-解得：3x =即3DE =（2）过点G 作GM AD ⊥于M 则1122AG GE AE GM ⨯=⨯4AG AB == 5AE = 3GE = 所以1143522GM ⨯⨯=⨯⨯所以125GM = 所以11825CED S GM DE =⨯=△． 16．解：（1）证明：①四边形ABCD 是矩形 ①AD ①BC①①GFE =①FEC①图形翻折后点G 与点C 重合 EF 为折线 ①①GEF =①FEC FG =FC EG =EC ①①GFE =①FEG①GF =GE①GE =EC =CF =FG①四边形CEGF 为菱形（2）当G 与A 重合时 由折叠的性质得AE =CE ①①B =90° AB =3 BC =9 BE =9-CE ①Rt ①ABE 中 AE 2=AB 2+BE 2即CE 2=32+(9-CE )2解得 CE =5．AC 222239310AB BC ++=由（1）知四边形CEGF 为菱形 ①12CEGF S EF AC CE AB =⨯=⨯菱形 ①10310EF == 17．（1）解：四边形CDC E '是菱形 理由如下： 根据折叠的性质可得：CD C D C DE CDE '∠=∠ CE C E '= ①AD BC ∥①C DE CED '∠=∠①CDE CED ∠=∠①CD CE =①CD C D C E CE ''===①四边形CDC E '为菱形（2）①①四边形CDC E '是菱形 ①2C E CE '== C E CD '∥ CM C M '= ①30C EF DCB '∠=∠=︒ ①C F BE '⊥ ①112C F C E ''== EF F '=①四边形CDC E '的面积212CE C F '=⨯=⨯= 故答案为：2①①EF = 2CE =①2CF =①(2222218C C C F CF ''=+=+=+①C F BC CM C M ''⊥=， ①12FM C C '=①22124FM C C '==故答案为：2 18．（1）解：存在 理由如下： 四边形ABCD 是矩形 90A ADC ∴∠=∠=︒ AB CD = 90FDP ∴∠=︒点P 是边AD 的中点 AP DP ∴=又APB DPF ∠=∠ ()ASA ABP DFP ∴△≌△ PF PB ∴= AB DF = 4,6AB AD ==4DF AB ∴== 132AP PD AD === 90A ∠=︒在Rt ABP 中：2222345PB AB AP +=+=5PF ∴=PFQ △为等腰三角形 以PF 为腰的等腰三角形分为两种情形： ①当PF PQ =时 此时点Q 与点C 重合 故4DQ DC == ①当FP FQ =时 如图：5PF = 5FQ = FD =4541DQ FQ FD =-=-=综合①① DQ 的长为：4或1（2）解：①如图：连接BM DN根据题意可知：MN 垂直平分BD ,MN BD BH DH ∴⊥= ,NB ND MB MD == 四边形ABCD 是矩形AD BN ∴MDH HBN ∴∠=∠ 又MHD NHB ∠=∠MHD NHB ∴△≌△MH HN ∴= MD NB =∴四边形MBND 是菱形设AM b = 则6MD MB b ==-在Rt AMB △中222BM AM AB =+即：222(6)4b b -=+ 解得：53b = 5513,6333AM BM ∴==-= 在Rt △ABD 中BD 12BH BD ∴=MH BD ⊥∴在Rt MHB △中MH ==2MN MH ∴== ①建立平面直角坐标系如图：由①知：53AM = 133BN MD MB ===4AB = MN = ①5130433M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，， R M N S 为顶点的四边形是菱形 点R 在x 轴上当MR 为对角线时 MR NS ⊥,M R 都在x 轴上 ∴,N S 关于x 轴对称 1343S ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 当MN 为对角线时 MN RS ⊥ 由（2）知 四边形MBND 是菱形 则S 与点B 重合 ∴此时(0,4)S -当MS 为对角线时 则MR SN ∥ MR SN =MN = 13(,4)3N -①1343S ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭综上可知 存在点S 使得以R M N S 为顶点的四边形是菱形 点S 坐标为：134134⎫--⎪⎪⎝⎭ 134134⎫+-⎪⎪⎝⎭ 13,43⎛⎫⎪⎝⎭ (0,4)- （3）解：如图：分别以PD PC 为边向下方作等边,PDF PCH △△ 过点F 作FI AD ⊥垂足为I 连接AF HF P 为AD 中点 ∴132AP PD AD ===PDF △为等边三角形1322PI PD ∴== 60DPF ∠=︒ PD PF =PA PF = 60DPF ∠=︒30PAF PFA ∴∠=∠=︒120APF ∴∠=︒92AI AP PI ∴=+=点E 为CD 边上的一个动点 以PE 为边向下方作等边PEG △ 当点E 与点D 重合时 点G 与点F 重合 当点E 与点C 重合时 点G 与点H 重合 ∴点G 在线段FH 上运动 当AG HF ⊥时 AG 最小 PEG △为等边三角形60EPG ∴∠=︒ PE PG =60 FPG FPE FPE EPD∴∠+∠=∠+∠=︒FPG DPE∴∠=∠∴FPG DPE△≌△PDE PFG∴∠=∠90PDE∠=︒∴90PFG∠=︒PF FH∴⊥当AG HF⊥时AG PF120,30APF PAF∠=︒∠=︒18012060PAG∴∠=︒-︒=︒603030 FAG PAG PAF∠=∠-∠=︒-︒=︒IAF GAF∴∠=∠FI AD⊥90AIF∴=︒在AFI和AFI中AIF AGFAF AFFAG FAI∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ASAAFI AFI≌AG AI∴=∴当AG HF⊥时92AG AI==故答案为：92．。
2024成都中考数学第一轮专题复习之第七章 微专题 图形的折叠 练习课件
第3题图③
微专题 图形的折叠
∴DH＝CH＝
15 2
.
在Rt△CHG中，GH＝ (17)2 (15)2 ＝4,
22
∴S△CHG＝
1 2
CG·HE＝
1 2
CH·GH＝ 1
2
× 15 ×4＝15，
2
∴四边形MKGA的面积＝AG·HE＝CG·HE＝30.
E
第3题图③
同理可证DG＝AG.
第3题图②
微专题 图形的折叠
∵AB＝AC， ∴AE＝DE＝DG＝AG， ∴四边形AEDG是菱形；
第3题图②
微专题 图形的折叠
问题解决： (2)如图③，将图②中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN折叠，使得 顶点B与点H重合，折痕分别交AB，BC于点M，N，BM的对应线段交DG 于点K，求四边形MKGA的面积．
2. (2023赤峰)如图，把一个边长为5的菱形ABCD沿着直线DE折叠，使点
C与AB延长线上的点Q重合，DE交BC于点F，交AB延长线于点E，DQ交
BC于点P，DM⊥AB于点M，AM＝4，则下列结论：①DQ＝EQ，②BQ
＝3，③BP＝ 15 ，④BD∥FQ.正确的是( A )
8
A. ①②③
B. ②④
微专题
图形的折叠
微专题 图形的折叠
1. (2022营口)如图，在矩形ABCD中，点M在AB边上，把△BCM沿直线
CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，连接EC，过点B作BF⊥EC，垂
足为F，若CD＝1，CF＝2，则线段AE的长为( A )
A. 5 －2
B. 3－1
C.
1 3
D. 1
2
第1题图
微专题 图形的折叠
2025年河南省九年级中考数学二轮复习特色专题课件：专项13+几何图形的折叠问题
本章知识导图
2．如图，在矩形ABCD中，BC＝12，点E为射线DC上一点，且CE＝5， 点F为AD的中点，连接BE，EF，将△DEF沿直线EF折叠，若点D的 对应点D′恰好落在BE上，则AB的长为__9_或__4_.
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方法总结 折叠问题中求线段长的一般方法：找不变的角和边，设未知线段的长， 利用勾股定理或相似三角形建立等量关系，列方程求解．
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典例4 如图，在边长为6的正方形ABCD中，E为边AB上一动点(不与 A，B重合)，沿DE将△ADE翻折，点A落在点A′处，当△A′BC为等腰 三角形时，△A′AD的面积为_9___3_或__9_.
①K型相似：△CB′E∽△DAB′； ②在Rt△CB′E或Rt△DAB′中，利用勾股定理 求解
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典例1 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将△ABC沿AC折 叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于_3__. 提示：设DF＝x，则AF＝CF＝8－x. 在Rt△CDF中，利用勾股定理列方程求解
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③DA1 的最小值为 2 5－2；
④DA1 达到最小值时，MN＝5－ 5.
你认为小王同学得到的结论正确的个数是( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
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【解析】由折叠，可得A1E＝AE＝BE＝2，则A1E的长度恒为2，故① 正确；在△A1DE中，A1D随着∠DEA1的增大而增大，当DA1达到最大 值时，点N与点D重合，过点A1作A1H⊥AB，A1G⊥AD，如解图1，则 ∠AEN＝∠A1EN有最大值，∠A1EH有最小值，在 Rt△A1EH 中， ∠EA1H有最大值，EH有最大值，A1G＝AH＝AE＋EH有最大值，故 ②正确；
中考数学复习《折叠问题》真题练习(含答案)
中考数学复习《折叠问题》真题练习（含答案）（2017贵州安顺第7题）如图，矩形纸片ABCD 中，AD =4cm ，把纸片沿直线AC 折叠，点B 落在E处，AE 交DC 于点O ，若AO =5cm ，则AB 的长为（ ）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm【答案】C ．（2017江苏无锡第10题）如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AB =3，AC =4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于（ D ）A ．2B ．54 C ．53 D ．75（2017新疆乌鲁木齐第9题）如图，在矩形ABCD 中，点F 在AD 上，点E 在BC 上，把这个矩形沿EF 折叠后，使点D 恰好落在BC 边上的G 点处，若矩形面积为43且60,2AFG GE BG ∠==，则折痕EF 的长为（ C ）A ．1B ．3 C. 2 D ．23（2017重庆A 卷第18题）如图，正方形ABCD 中，AD =4，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF ⊥ED ，交AB 于点F ，连接DF ，交AC 于点G ，将△EFG 沿EF 翻折，得到△EFM ，连接DM ，交EF 于点N ，若点F 是AB 的中点，则△EMN 的周长是 ．(2017河南第15题)如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，21BC =+，点M ，N 分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠B ∠，使点B 的对应点'B 始终落在边AC 上.若'MBC∆为直角三角形，则BM 的长为 ．【答案】1或212+. （2017江苏苏州第18题）如图，在矩形CD AB 中，将C ∠AB 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度后，C B 的对应边C ''B 交CD 边于点G ．连接'BB 、CC '，若D 7A =，CG 4=，G ''AB =B ，则CC '='BB （结果保留根号）．【答案】745. （2017海南第17题）如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =5，点E 在DC 上，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的点F 处，那么cos ∠EFC 的值是 ．【答案】35.（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为﹣1．（2016·吉林·3分）在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D（不与B，C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为3a（用含a的式子表示）．（2016河南）如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB=3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE 折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N．当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为或．（2017甘肃兰州第26题）如图，1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.(1)求证：BDF△是等腰三角形；(2)如图2，过点D作DG BE∥，交BC于点G，连结FG交BD于点O.①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若6AB，8AD，求FG的长.【答案】(1)证明见解析;(2) 152．【解析】试题分析: （1）根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断；（2）①根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断；②根据折叠特性设未知边，构造勾股定理列方程求解．试题解析：（1）证明：如图1，根据折叠，∠DBC=∠DBE，又AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB，∴∠DBE=∠ADB，∴DF=BF，∴△BDF是等腰三角形；（2）①∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴FD∥BG，又∵FD∥BG，∴四边形BFDG是平行四边形，∵DF=BF，∴四边形BFDG是菱形；②∵AB =6，AD =8， ∴BD =10． ∴OB =12BD =5． 假设DF =BF =x ，∴AF =AD ﹣DF =8﹣x ．∴在直角△ABF 中，AB 2+A 2=BF 2，即62+（8﹣x ）2=x 2， 解得x =254， 即BF =254， ∴FO =222522()54BF OB -=-=154，∴FG =2FO =152．(2017浙江金华第23题)如图1，将ABC ∆纸片沿中位线EH 折叠，使点A 的对称点D 落在BC 边上，再将纸片分别沿等腰BED ∆和等腰DHC ∆的底边上的高线EF ，HG 折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．(1)将ABCD 纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG ，则操作形成的折痕分别是线段_____，_____；:ABCDAEFG S S=矩形 ______.(2)ABCD 纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH ，若5EF =，12EH =，求AD 的长．(3)如图4，四边形ABCD 纸片满足,,,8,10AD BC AD BC AB BC AB CD <⊥==．小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．．．．请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出,AD BC 的长．【答案】（1）（1）AE ；GF ；1:2；（2）13；（3）按图1的折法，则AD =1，BC =7；按图2的折法，则AD =134 ,BC =374. 【解析】试题分析：（1）由图2观察可得出答案为AE ,GF ,由折叠的轴对称性质可得出答案为1：2；（2）由EF 和EH 的长度根据勾股定理可求出FH 的长度，再由折叠的轴对称性质易证△AEH ≌△CGF ；再根据全等三角形的性质可得出AD 的长度；（3）由折叠的图可分别求出AD 和BC 的长度.（3）解：本题有以下两种基本折法，如图1，图2所示.按图1的折法，则AD =1，BC =7. 按图2的折法，则AD =134 ,BC =374.（2015年河南3分）如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE =3，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把△EBF 沿EF 折叠，点B 落在B ′处，若△CDB ′恰为等腰三角形，则DB ′的长为 ▲ ．【答案】16或45.（2015年江苏泰州3分）如图， 矩形ABCD 中，AB =8，BC =6，P 为AD 上一点，将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ， PE 与CD 相交于点O ，且OE =OD ，则AP 的长为 ▲ ．【答案】245. （2015湖北鄂州第8题3分）如图，在矩形ABCD 中，AB =8，BC =12，点E 是BC 的中点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点F 处，连接FC ，则sin ∠ECF =（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D .（2015•四川自贡,第10题4分） 如图，在矩形ABCD 中，AB 4AD 6==，,E 是AB 边的中点，F 是线段BC边上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△'EB F ,连接'B D ‘,则'B D ‘的最小值是 （ A ）B 'EDA BCFA . 2102-B .6C .2132-D .4（2015•绵阳第12题，3分）如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD ：DB =1：2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，则CE ：CF =（ B ）A ．B ．C ．D ．（2015•四川省内江市，第14题，5分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C =90°，E 为CD 上一点，分别以EA ，EB 为折痕将两个角（∠D ，∠C ）向内折叠，点C ，D 恰好落在AB 边的点F 处．若AD =2，BC =3，则EF 的长为．（2015•浙江滨州,第17题4分）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线AE 折叠（点E 在边DC 上），折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处.若点D 的坐标为(10,8），则点E 的坐标为 .【答案】（10,3）。
中考数学专题训练：图形的折叠问题(附参考答案)
中考数学专题训练：图形的折叠问题（附参考答案）1．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AD＝5，OA∶OD＝1∶4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD1恰好经过点B，点C落在y轴的点C1处，则点E的坐标是( )A．(1，2) B．(－1，2)C．(√5－1，2) D．(1－√5，2)2．如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G.已知∠BGD′＝30°，则∠α的度数是( )A．30°B．45°C．74°D．75°3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2√5，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则cos ∠ECF的值为( )A．23B．√104C．√53D．2√554．把一张矩形纸片ABCD按如图所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF.若BC＝1，则AB的长度为( )A．√2B．√2+12C．√5+12D．435．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在AB，AC 上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上．若FD平分∠EFB，则AD的长为( )A．259B．258C．157D．2076．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为__________．7．如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的中线，将△ACD沿CD折叠，当点A落在点A′处时，恰好CA′⊥AB.若BC＝2，则CA′＝_______．8．如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在边BC 上的点F处．若BC＝10，sin ∠AFB＝45，则DE＝_____．9．如图，在扇形AOB中，点C，D在AB⏜上，将CD⏜沿弦CD折叠后恰好与OA，OB 相切于点E，F.已知∠AOB＝120°，OA＝6，则EF⏜的度数为________；折痕CD 的长为_______．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是边AB上一动点(不含端点)，将△ADM沿直线DM对折，得到△NDM.当射线CN交线段AB于点P时，连接DP，则△CDP的面积为______；DP的最大值为_______．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝√7，动点P在矩形的边上沿B→C→D →A运动．当点P不与点A，B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB′P，连接CB′，则在点P的运动过程中，线段CB′的最小值为_________．12．如图，DE平分等边三角形ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE，AC分别与DF，EF相交于G，H两点．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的长是______．13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G.若AGGE ＝73，则tan A＝______．14．如图，在等边三角形ABC中，过点C作射线CD⊥BC，点M，N分别在边AB，BC上，将△ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B′处，连接AB′，已知AB＝2.给出下列四个结论：①CN＋NB′为定值；②当BN＝2NC时，四边形BMB′N为菱形；③当点N与C重合时，∠AB′M＝18°；④当AB′最短时，MN＝7√21.20其中正确的结论是__________．(填序号)15．将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点A(3，0)，点C(0，6)，点P在边OC上(点P不与点O，C重合)，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且∠OPQ＝30°，点O的对应点O′落在第一象限．设OQ＝t.(1)如图1，当t＝1时，求∠O′QA的大小和点O′的坐标；(2)如图2，若折叠后重合部分为四边形，O′Q，O′P分别与边AB相交于点E，F，试用含有t的式子表示O′E的长，并直接写出t的取值范围；(3)若折叠后重合部分的面积为3√3，则t的值可以是__________________________________________．(请直接写出两个不同．．．．的值即可)16．如图，已知△ABC，AB＝AC，BC＝16，AD⊥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，且DE＝4.将∠C沿GM折叠使点C与点E恰好重合．下列结论正确的有________．(填序号)①BD＝8；②点E到AC的距离为3；③EM＝103；④EM∥AC.17．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM，延长PM交CD于点Q，连接BQ.(1)如图1，当点M在EF上时，∠EMB＝________；(填度数)(2)改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)如图2，判断∠MBQ与∠CBQ 的数量关系，并说明理由．参考答案1.D 2．D 3．C 4．A 5．D6. 3√2－3 7．2√3 8．5 9．60°4√6 10．10 2√511．－2 12．√m2+n2 13．3√7714．①②④15．(1)∠O′QA＝60°点O′的坐标为(32，√32)(2)O′E＝3t－6，其中t的取值范围是2<t<3 (3)3或103(答案不唯一，满足3≤t<2√3即可) 16．①④17．(1)30°(2)∠MBQ＝∠CBQ，理由略。
中考复习专题折叠压轴题(无答案)
中考专题：折叠问题折叠型问题是近年中考的热点问题，通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题。
折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。
图形折叠问题中题型的变化比较多，主要有以下几点：1．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形；2．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称；3．将长方形纸片折叠，三角形是否为等腰三角形；4．解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而进一步发现其中的数量关系；5．充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系，用方程的形式表达出来，并迅速求解，这是解题时常用的方法之一。
折叠问题数学思想：(1)思考问题的逆向(反方向)，(2)从一般问题的特例人手，寻找问题解决的思路；(3)把一个复杂问题转化为解决过的基本问题的转化与化归思想；(4)归纳与分类的思想(把折纸中发现的诸多关系归纳出来，并进行分类)；(5)从变化中寻找不变性的思想.用“操作”、“观察”、“猜想”、“分析”的手段去感悟几何图形的性质是学习几何的方法。
折叠问题主要有以下题型：题型1：动手问题此类题目考查学生动手操作能力，它包括裁剪、折叠、拼图，它既考查学生的动手能力，又考查学生的想象能力，往往与面积、对称性质联系在一起．题型2：证明问题动手操作的证明问题，既体现此类题型的动手能力，又能利用几何图形的性质进行全等、相似等证明．题型3：探索性问题此类题目常涉及到画图、测量、猜想证明、归纳等问题，它与初中代数、几何均有联系．此类题目对于考查学生注重知识形成的过程，领会研究问题的方法有一定的作用，也符合新课改的教育理论。
典型例题一．折叠后求度数例1．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（）A．600B．750C．900D．950练习1．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB ＝65°，则∠AED′等于（）A．50°B．55°C．60°D．65°2．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG=55°，则∠1=_______°，∠2=_______°A3. 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE ，其中∠BAC ＝度。
2025年四川省聚焦中考数学必备考点透析-第7章 图形及其变化微专题六 图形的折叠问题
答案：3
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5
方法点拨：解决三角形折叠问题的技巧主要包括利用轴对称及全等
的性质、勾股定理的应用、方程思想的运用以及数形结合的方法.这些技
巧不仅适用于解决折叠问题中的线段长度求解，还有助于理解和分析折
叠问题中的几何关系和变化规律.
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6
【热身演练1】
（2023·凉山中考）如下图，在Rt△ ABC 纸片中，∠ ACB ＝90°， CD 是
涉及如何利用折叠前后图形的全等性、对称轴的性质以及如何通过构造
直角三角形和利用勾股定理来解决问题，而且是培养空间想象能力的好
题材，也是中考命题的热点.
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3
专题讲练
（2024·甘孜中考）如下图，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC
＝8， BC ＝4，折叠△ ABC ，使点 A 与点 B 重合，折痕 DE 与 AB 交于点
处，则 cos ∠ CEF 的值为（）
例3
A.
7
4
B.
7
3
3
C.
4
5
D.
4
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15
分析：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AD ＝ BC ＝8，∠ B ＝∠ C ＝∠ D ＝90°，
∴∠ CEF ＋∠ EFC ＝90°.
∵把△ ADE 沿 AE 折叠，点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处，
∴ AF ＝ AD ＝8，∠ AFE ＝∠ D ＝90°，
∴ EF ＝ BD ＝ ×8＝4.∵ EF ⊥ AO ，∴∠ OME ＝90°，∴ S△ OEF ＝
中考数学中的折叠问题专题复习
中考数学中的折叠问题专题复习1 / 6 中考数学中的折叠问题专题复习一、教学目标1、基础知识目标：、基础知识目标：使学生进一步巩固掌握折叠图形的性质，会利用其性质进行有关的计算和证明。
和证明。
2、能力训练目标：、能力训练目标：提升学生的空间想象能力、抽象思维能力、逻辑推理能力及综合运用数学知识解决问题的能力。
学知识解决问题的能力。
3、情感态度与价值观要求：、情感态度与价值观要求：鼓励学生积极参与数学学习活动，对数学证明有好奇心和求知欲。
鼓励学生积极参与数学学习活动，对数学证明有好奇心和求知欲。
二、教学重点、难点重点：会利用折叠图形的性质进行有关的计算和证明。
重点：会利用折叠图形的性质进行有关的计算和证明。
难点：综合运用所学数学知识进行有关的计算和证明。
难点：综合运用所学数学知识进行有关的计算和证明。
三、教学方法讲、练、测相结合的教学方法，在老师的引导下，通过讲、练、测的有机结合，达到知识、技能、方法的全线突破。
机结合，达到知识、技能、方法的全线突破。
四、教学程序及设想 1、巧设情景，设疑引入、巧设情景，设疑引入观察与发现：小明将纸片ABC（AB>AC ）沿过A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD,展开纸片；展开纸片；再次折叠该三角形纸片，再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF,展开纸片后得到AEF （如图1）。
小明认为AEF 是等腰三角形，你同意吗？请说明理由。
引出课题。
说明理由。
引出课题。
2、运用性质，折叠问题实质上就是轴对称变换归类探究。
、运用性质，折叠问题实质上就是轴对称变换归类探究。
归类一：折叠后求角的度数归类一：折叠后求角的度数典例解析：将矩形纸片ABCD 折叠，使得D 点与B重合，点C 落在点C '处， 折痕为EF ，如果∠ABE ＝20°，则∠EFC'＝（ ）A. 125°A. 125°B. 80°C. 75°C. 75°D. 无法确定无法确定 评析：本题只要抓住折叠的本质特征，折叠前后的两个图形全等，找出翻折前后的一些不变量，其次要注意利用矩形的性质，如矩形的每个角都是90°、对边互相平行等。
专题18 矩形折叠问题-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破(解析版)
专题18 矩形折叠问题模型的概述：已知矩形的长与宽，利用勾股定理、相似三角形及翻折的性质，求各线段边长。
解题方法：不找以折痕为边长的直角三角形，利用未知数表示其它直角三角形三边，通过勾股定理/相似三角形知识求解。
问题：根据已知信息，求翻折后各边长。
模型一：思路：模型二：思路：模型三：思路：尝试借助一线三垂直知识利用相似的方法求解模型四：思路：模型五：思路：模型六：点M,点N分别为DC，AB中点思路：模型七：点A’为BC 中点 思路：过点F 作FH ⊥AE ，垂足为点H设AE=A’E=x ，则BE=8-x 由勾股定理解得x=174 ∴BE=154由于△EBA’∽△A’CG ∽△FD’G∴A’G=3415 CG=1615 GD’=2615DF=D’F=AH=134 HE=1 EF=17【培优过关练】1．（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）如图，在正方形中，，点、分别在边、上，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据翻折的性质和正方形及勾股定理的有关性质求解．【详解】解：在正方形中，，，，，，，，，又，，，，，故选：B．【点睛】本题考查了翻折及正方形的性质，勾股定理的应用是解题的关键．2．（2022秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，在矩形纸片中，点E在边上，沿着折叠使点A落在边上的点F处，若，，则的长为（）A．1B．2C．D．【答案】A【分析】先根据折叠的性质和正切的定义得出，再证明，最后利用相似三角形的性质得出结论．【详解】解：由折叠可知，，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，故选：A．【点睛】本题考查了矩形中的折叠问题，涉及三角函数，相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是证明．3．（2022秋·福建泉州·九年级福建省惠安第一中学校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，边在y轴上，点B的坐标为，将矩形沿对角线折叠，使点B落在D点的位置，且交y轴交于点E，则点D的坐标是（）A．（）B．（，2）C．（）D．【答案】D【分析】过D作于F，根据折叠可以证明，然后利用全等三角形的性质得到，设，那么，利用勾股定理即可求出m，然后利用已知条件可以证明，而，接着利用相似三角形的性质即可求出、的长度，也就求出了点D的坐标．【详解】如图，过D作于F，∵点B的坐标为，∴，根据折叠可知，而∴，∴，设，那么，在中，，∴，解得，∵，∴，∴而，∴，∴，即，∴，∴，∴D的坐标为，故选：D．【点睛】此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．4．（2023春·广东广州·九年级专题练习）如图，矩形纸片中，，，折叠纸片使落在对角线上，折痕为，点的对应点为，那么的长为（）A．1B．C．D．2【答案】C【分析】首先设，由矩形纸片中，，，可求得的长，又由折叠的性质，可求得的长，然后由勾股定理可得方程：，解此方程即可解决问题．【详解】解：设，∵四边形是矩形，∴，∵，，∴，由折叠的性质可得：，，，∴，，，∵在中，，∴，解得：，∴．故选：C．【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．5．（2022秋·湖南邵阳·九年级校联考期中）如图，在矩形纸片中，，点E在上，将沿折叠，点恰落在边上的点F处；点在上，将△ABG沿折叠，点恰落在线段上的点处，有下列结论：①；②；③四边形的面积等于；④．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】利用折叠性质得，，，，，则可得到，于是可对①进行判断；在中利用勾股定理计算出，则，设，利用勾股定理得到，得到，于是可对④进行判断；接着证明，于是可对②进行判断；根据可对③进行判断．【详解】解：∵沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，∴，，，，，，∴，所以①正确；在中，，∴，设，则，在中，∵，∴，解得，∴，∴，所以④正确；在中，，设，则∴解得∴∵，，∴．所以③不正确．∵，∴∴故②正确故选：C．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．6．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】连接，根据三角形的面积公式求出，得到，根据直角三角形的判定得到，根据勾股定理求出答案．【详解】解：连接，交于H，∵，点E为的中点，∴，又∵，∴，由折叠知，（对应点的连线必垂直于对称轴），∴，则，∵，∴，，∵，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．7．（2022秋·广西贵港·九年级统考期中）如图，在矩形纸片中，，，M是上的点，且，将矩形纸片沿过点M的直线折叠，使点D落在上的点P处，点C落在点处，折痕为，当与线段交于点H时，则线段的长是（）A．3B．C．4D．【答案】B【分析】连接，证明即可得到，证明，得出，然后列出关于x的方程，解方程即可．【详解】解：连接，如图所示：∵矩形纸片中，，，∴，，∵，∴，根据折叠可知，，，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，设，则，∵，∴，解得：，∴，故B正确．故选：B．【点睛】本题考查矩形的折叠问题，解题的关键是看到隐藏条件，证明三角形全等，学会利用翻折不变性解决问题．8．（2022秋·山东枣庄·九年级校考期中）如图，边长为2的正方形的对角线与交于点O，将正方形沿直线折叠，点C落在对角线上的点E处，折痕交于点M，则（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据题意先求，再求，进而根据的线段比例关系，即可求出的长．【详解】解：如图，连接，∵四边形是正方形，∴，，∴，由折叠的性质可知，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，即，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查图形的翻折，熟练掌握图形翻折的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键．9．（2022·辽宁营口·统考中考真题）如图，在矩形中，点M在边上，把沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，连接，过点B作，垂足为F，若，则线段的长为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】先证明△BFC≌△CDE，可得DE=CF=2，再用勾股定理求得CE=，从而可得AD=BC=，最后求得AE的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC，∴∠DEC=∠FCB，∵，∴∠BFC=∠CDE，∵把沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，∴BC=EC，在△BFC与△CDE中，∴△BFC≌△CDE（AAS），∴DE=CF=2，∴，∴AD=BC=CE=，∴AE=AD-DE=，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质，勾股定理的应用，解决本题的关键是熟练掌握矩形中的折叠问题．10．（2022·贵州毕节·统考中考真题）矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长是（）A．3B．C．D．【答案】D【分析】连接BF交AE于点G，根据对称的性质，可得AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=，根据E 为BC中点，可证BE=CE=EF，通过等边对等角可证明∠BFC=90°，利用勾股定理求出AE，再利用三角函数（或相似）求出BF，则根据计算即可．【详解】连接BF，与AE相交于点G，如图，∵将沿折叠得到∴与关于AE对称∴AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=∵点E是BC中点∴BE=CE=DF=∴∵∴∴∵BE=CE=DF∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF∴∠BFC=∠EFB+∠EFC=∴故选D【点睛】本题考查了折叠对称的性质，熟练运用对称性质证明相关线段相等是解题的关键．11．（2022·四川宜宾·统考中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，，，将沿BD折叠到位置，DE交AB于点F，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明，得出，，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，最后根据余弦函数的定义求出结果即可．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=5，AB=BC=3，，根据折叠可知，，，，∴在△AFD和△EFB中，∴（AAS），∴，，设，则，在中，，即，解得：，则，∴，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，根据题意证明，是解题的关键．12．（2022·浙江湖州·统考中考真题）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是（）A．BD＝10B．HG＝2C．D．GF⊥BC【答案】D【分析】根据矩形的性质以及勾股定理即可判断A，根据折叠的性质即可求得，进而判断B，根据折叠的性质可得，进而判断C选项，根据勾股定理求得的长，根据平行线线段成比例，可判断D选项【详解】BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，故A选项正确，将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，，,故B选项正确，,∴EG∥HF，故C正确设，则，，即，同理可得若则，，不平行，即不垂直，故D不正确．故选D【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．13．（2022·江苏连云港·统考中考真题）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB=AD；③GE=DF；④OC=2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④⑤D．②③④【答案】B【分析】由折叠的性质知∠FGE=90°，∠GEC=90°，点G为AD的中点，点E为AB的中点，设AD=BC=2a，AB=CD=2b，在Rt△CDG中，由勾股定理求得b=，然后利用勾股定理再求得DF=FO=，据此求解即可．【详解】解：根据折叠的性质知∠DGF=∠OGF，∠AGE=∠OGE，∴∠FGE=∠OGF+∠OGE=(∠DGO+∠AGO) =90°，同理∠GEC=90°，∴∠FGE+∠GEC=180°∴GF∥EC；故①正确；根据折叠的性质知DG=GO，GA=GO，∴DG=GO=GA，即点G为AD的中点，同理可得点E为AB的中点，设AD=BC=2a，AB=CD=2b，则DG=GO=GA=a，OC=BC=2a，AE=BE=OE=b，∴GC=3a，在Rt△CDG中，CG2=DG2+CD2，即(3a)2=a2+(2b)2，∴b=，∴AB=2=AD，故②不正确；设DF=FO=x，则FC=2b-x，在Rt△COF中，CF2=OF2+OC2，即(2b-x)2=x2+(2a)2，∴x==，即DF=FO=，GE=a，∴，∴GE=DF；故③正确；∴，∴OC=2OF；故④正确；∵∠FCO与∠GCE不一定相等，∴△COF∽△CEG不成立，故⑤不正确；综上，正确的有①③④，故选：B．【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．14．（2021·广西来宾·统考中考真题）如图，矩形纸片，，点，分别在，上，把纸片如图沿折叠，点，的对应点分别为，，连接并延长交线段于点，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据折叠性质则可得出是的垂直平分线，则由直角三角形性质及矩形性质可得∠AEO=∠AGD，∠FHE＝∠D＝90°，根据相似三角形判定推出△EFH∽△GAD，再利用矩形判定及性质证得FH＝AB，即可求得结果．【详解】解：如图，过点F作FH⊥AD于点H，∵点，的对应点分别为，，∴，，∴EF是AA＇的垂直平分线．∴∠AOE=90°．∵四边形是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠D＝90°．∴∠OAE＋∠AEO=∠OAE＋∠AGD，∴∠AEO=∠AGD．∵FH⊥AD，∴∠FHE＝∠D＝90°．∴△EFH∽△GAD．∴．∵∠AHF＝∠BAD＝∠B＝90°，∴四边形ABFH是矩形．∴FH＝AB．∴；故选：A．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，掌握折叠的性质、矩形及相似三角形的判定与性质是解题的关键．15．（2011·吉林长春·中考真题）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD =8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为( )A．3B．4C．5D．6【答案】D【分析】先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，∴BC=8，∵△AEF是△AEB翻折而成，∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，∴CE=8﹣3=5，在Rt△CEF中，CF==4，设AB=x，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，解得x=6，故选：D．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，解题的关键是利用勾股定理建立等式求解．16．（2020·广东深圳·统考中考真题）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=12．将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD和边BC上．连接BG，交CD于点K,FG 交CD于点H．给出以下结论：①EF⊥BG；②GE=GF；③△GDK和△GKH的面积相等；④当点F与点C 重合时，∠DEF=75°．其中正确的结论共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】由折叠的性质可得四边形EBFG是菱形从而判断①②正确;由角平分线定理即可判断DG≠GH,由此推出③错误;根据F、C重合时的性质,可得∠AEB=30°,进而算出④正确．【详解】连接BE,由折叠可知BO=GO，∵EG//BF，∴∠EGO=∠FBO，又∵∠EOG=∠FOB，∴△EOG≌△FOB(ASA) ，∴EG=BF，∴四边形EBFG是平行四边形，由折叠可知BE=EG，则四边形EBFG为菱形，故EF⊥BG，GE=GF，∴①②正确；∵四边形EBFG为菱形，∴KG平分∠DGH，∴,DG≠GH，∴S△GDK≠S△GKH,故③错误；当点F与点C重合时，BE=BF=BC=12=2AB，∴∠AEB＝30°，，故④正确．综合，正确的为①②④．故选C．【点睛】本题考查矩形的性质,菱形的判断,折叠的性质,关键在于结合图形对线段和角度进行转换．17．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，把某矩形纸片沿，折叠（点E、H在边上，点F，G在边上），使点B和点C落在边上同一点P处，A点的对称点为、D点的对称点为，若，的面积为8，的面积为2，则矩形的长为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】设AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，因为△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，推出D′H＝x，由S△D′PH=D′P·D′H=A′P·D′H，可解得x=2，分别求出PE和PH，从而得出AD的长.【详解】解：∵四边形ABC是矩形，∴AB=CD，AD=BC，设AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，∵△A′EP的面积为8，△D′PH的面积为2，又∵，∠A′PF=∠D′PG=90°，∴∠A′P D′=90°，则∠A′PE+∠D′PH=90°，∴∠A′PE=∠D′HP，∴△A′EP∽△D′PH，∴A′P2：D′H2=8：2，∴A′P：D′H=2：1，∵A′P=x，∴D′H=x，∵S△D′PH=D′P·D′H=A′P·D′H，即，∴x=2（负根舍弃），∴AB=CD=2，D′H=DH=，D′P=A′P=CD=2，A′E=2D′P=4，∴PE=，PH=，∴AD==，故选D.【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．18．如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP=OF，则cos∠ADF的值为（ ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP，由∠EOF=∠BOP、∠B=∠E、OP=OF可得出△OEF≌△OBP（AAS），根据全等三角形的性质可得出OE=OB、EF=BP，设EF=x，则BP=x、DF=4﹣x、BF=PC=3﹣x，进而可得出AF=1+x，在Rt△DAF中，利用勾股定理可求出x的值，再利用余弦的定义即可求出cos∠ADF的值．【详解】根据折叠，可知：△DCP≌△DEP，∴DC=DE=4，CP=EP．在△OEF和△OBP中，，∴△OEF≌△OBP（AAS），∴OE=OB，EF=BP．设EF=x，则BP=x，DF=DE﹣EF=4﹣x，又∵BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC﹣BP=3﹣x，∴AF=AB﹣BF=1+x．在Rt△DAF中，AF2+AD2=DF2，即（1+x）2+32=（4﹣x）2，解得：x=，∴DF=4﹣x=，∴cos∠ADF=，故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合AF=1+x，求出AF的长度是解题的关键．19．（2022·山东泰安·统考中考真题）如图，四边形为正方形，点E是的中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为点F，延长交线段于点P，若，则的长度为___________．【答案】2【分析】连接AP，根据正方形的性质和翻折的性质证明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得PF＝PD，设PF＝PD＝x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x，然后根据勾股定理即可解决问题．【详解】解：连接AP，如图所示，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE＝AB＝3，由翻折可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°，在Rt△AFP和Rt△ADP中，，∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），∴PF＝PD，设PF＝PD＝x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x，在Rt△PEC中，根据勾股定理得：EP2＝EC2＋CP2，∴（3＋x）2＝32＋（6−x）2，解得x＝2，则DP的长度为2，故答案为：2．【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．20．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片，折痕是，点落在点处，分别延长、交于点、，若点是边的中点，则______cm．【答案】##【分析】根据折叠的性质可得DE=DC=4，EM=CM=2，连接DF，设FE=x，由勾股定理得BF，DF，从而求出x的值，得出FB，再证明，利用相似三角形对应边成比例可求出FG．【详解】解：连接如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∵点M为BC的中点，∴由折叠得，∠∴∠，设则有∴又在中，，∵∴∴在中，∴解得，（舍去）∴∴∴∵∠∴∠∴∠又∠∴△∴即∴故答案为：【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．21．（2022·浙江丽水·统考中考真题）如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为．(1)求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)cm【分析】（1）利用ASA证明即可；（2）过点E作EG⊥BC交于点G，求出FG的长，设AE=xcm，用x表示出DE的长，在Rt△PED中，由勾股定理求得答案．【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°，由折叠知，AB=PD，∠A=∠P，∠B=∠PDF=90°，∴PD=CD，∠P=∠C，∠PDF =∠ADC，∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF,∴∠PDE=∠CDF，在△PDE和△CDF中，,∴（ASA）；（2）如图，过点E作EG⊥BC交于点G，∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=EG=4cm，又∵EF=5cm，∴cm,设AE=x cm，∴EP=x cm，由知，EP=CF=x cm，∴DE=GC=GF+FC=3+x，在Rt△PED中，,即，解得，，∴BC=BG+GC= (cm）．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据翻折变换的性质将问题转化到直角三角形中利用勾股定理是解题的关键．22．（2022·河南·统考中考真题）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．(3)拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．【答案】(1)或或或(2)①15，15；②，理由见解析(3)cm或【分析】（1）根据折叠的性质，得，结合矩形的性质得，进而可得；（2）根据折叠的性质，可证，即可求解；（3）由（2）可得，分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，设分别表示出PD，DQ，PQ，由勾股定理即可求解．（1）解：，sin∠BME=（2）∵四边形ABCD是正方形∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°由折叠性质得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90°∴BM=BC①∴②（3）当点Q在点F的下方时，如图，，DQ=DF+FQ=4+1=5(cm)由（2）可知，设，即解得：∴；当点Q在点F的上方时，如图，cm，DQ =3cm，由（2）可知，设，即解得：∴．【点睛】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．23．（2022·吉林长春·统考中考真题）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在上，点B的对应点为点E，折痕为；再沿过点F的直线折叠，使点C落在上，点C的对应点为点H，折痕为；然后连结，沿所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想．【问题解决】(1)小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：证明：四边形是矩形，∴．由折叠可知，，．∴．∴．请你补全余下的证明过程．【结论应用】(2)的度数为________度，的值为_________；(3)在图①的条件下，点P在线段上，且，点Q在线段上，连结、，如图②，设，则的最小值为_________．（用含a的代数式表示）【答案】(1)见解析(2)22.5°，(3)【分析】（1）根据折叠的性质可得AD=AF，，由HL可证明结论；（2）根据折叠的性质可得证明是等腰直角三角形，可求出GF的长，从而可得结论；（3）根据题意可知点F与点D关于AG对称，连接PD，则PD为PQ+FQ的最小值，过点P作PR⊥AD，求出PR=AR=，求出DR，根据勾腰定理可得结论．【详解】（1）证明：四边形是矩形，∴．由折叠可知，，．∴．∴．由折叠得，，∴∴又AD=AF，AG=AG∴（2）由折叠得，∠又∠∴∠由得，∠∠又∠∴∠∴∠∴设则∴∴∴（3）如图，连接∵∴AG是FD的垂直平分线，即点F与点D关于AG轴对称，连接PD交AG于点Q，则PQ+FQ的最小值为PD的长；过点P作交AD于点R，∵∠∴∠∴又∴∴在中，∴∴的最小值为【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，矩形的性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．24．（2021·湖北荆州·统考中考真题）在矩形中，，，是对角线上不与点，重合的一点，过作于，将沿翻折得到，点在射线上，连接．（1）如图1，若点的对称点落在上，，延长交于，连接．①求证：；②求．（2）如图2，若点的对称点落在延长线上，，判断与是否全等，并说明理由．【答案】（1）①见解析；②；（2）不全等，理由见解析【分析】（1）①先根据同角的余角相等得出∠DCG=∠AGH，再根据两角对应相等，两三角形相似即可得出结论；②设EF=x，先证得△AEF△ADC，得出===，再结合折叠的性质得出AE=EG=2x，AG=4x，AH=2EF=2x，再由△CDG△GAH，得出比例式==，求出EF的长，从而得出的值，即可得出答案；（2）先根据两角对应相等，两三角形相似得出△AEF△ACG，得出比例式=，得出EF=，AE=，AF=，从而判定与是否全等．【详解】（1）①在矩形ABCD中，∠BAD=∠D=90°∴∠DCG+∠DGC=90°又∵∠FGC=90°∴∠AGH+∠DGC=90°∴∠DCG=∠AGH∴△CDG△GAH②设EF=x∵△AEF沿EF折叠得到△GEF∴AE=EG∵EF⊥AD∴∠AEF=90°=∠D∴EF//CD//AB∴△AEF△ADC∴=∴===∴AE=EG=2x∴AG=4x∵AE=EG，EF//AB∴==∴AH=2EF=2x∵△CDG△GAH∴==∴==∴x=∴==∵∠FCG=90°∴tan∠GHC==（2）不全等理由如下：在矩形ABCD中，AC===由②可知：AE=2EF∴AF==EF由折叠可知，AG=2AE=4EF，AF=GF∵∠AEF=∠GCF，∠FAE=∠GAC∴△AEF△ACG∴=∴=∴EF=∴AE=，AF=∴FC=AC-AF=2-=∴AE FC，EF FC∴不全等【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，三角函数等知识，得出AE=2EF 是解题的关键．。
2023年中考数学专题复习课件： 折叠问题
由(1)得∠AHG＝45°，∴∠DHA＝45°，∴∠DHF＝90°，∴DH⊥BH，∵
∴，即Βιβλιοθήκη ，解得AG＝，32 12 10
AG AB AB AE
9 10 10
AG 3 3 10
第4题图
∵S△ABE＝
1 2
AE·BG＝ 1 AB·BE，∴BG＝
2
AB BE 3 1 3 10
AE
10 10
(1)证明：由折叠的性质可得△ABE≌△AFE, ∴∠BAE＝∠FAE, ∠AGF＝90
第4题图
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∴∠BAE＋∠FAE＋∠FAH＋∠
第4题图
(2)若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离； (2)解：如图，连接DH. ∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，由折叠的性质得，AB＝AF，∴AD＝
第2题图②
②求AE的长． ②解：由折叠的性质，得CH＝BC＝3，在Rt△CHD中，DC＝2，∴DH＝
CH 2 CD2 5 5
第2题图②
又∵∠HAE＝∠CDH＝90°，∴△HAE∽△CDH，
∴
DH AE
CD ，即
HA
5 AE
2 3
5
，解得AE＝
.
3 55
2
第2题图②
3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4.点P为AB边上 一点(不与A、B重合)，将△ABC沿CP折叠后展开，再将∠C翻折，使点 C与点P重合，折痕分别为CP，MN，连接PM，PN.(1)若四边形PMCN 是正方形，求PC的长；
1
1
1
2
2
2
∴
，∴NG＝ AB.
BF，∵∠A＝90°，∴∠A＝∠N
中考数学专题考试——折叠剪切问题
图 （2） 中考数学专题复习——折叠剪切问题折叠剪切问题是考察学生地动手操作问题，学生应充分理解操作要求方可解答出此类问题.一、折叠后求度数【1】将一张长方形纸片按如图所示地方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 地度数为（ ）A ．600 B ．750 C ．900 D ．950答案：C【2】如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D ′、C ′地位置，若∠EFB＝65°，则∠AED ′等于（ ）A ．50° B ．55° C ．60° D ．65° 答案：A【3】 用一条宽相等地足够长地纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示地正五边形ＡＢＣＤＥ，其中∠ＢＡＣ＝度.答案：36°二、折叠后求面积【4】如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则△CEF 地面积为（ ）A ．4B ．6 C ．8 D ．10图（1）第3题图答案：C【5】如图，正方形硬纸片ABCD 地边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 地中点，若沿左图中地虚线剪开，拼成如下右图地一座“小别墅”，则图中阴影部分地面积是A ．2 B ．4 C ．8 D ．10答案：B【6】如图a ，ABCD 是一矩形纸片，AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，E 是AD 上一点，且AE ＝6cm.操作：（1）将AB 向AE 折过去，使AB 与AE 重合，得折痕AF ，如图b ；（2）将△AFB 以BF 为折痕向右折过去，得图c.则△GFC 地面积是（ ）E A A A B B C C C GD D D F F 图a 图b 图c 第6题图A.1cm 2B.2 cm 2C.3 c m 2D.4 cm 2答案：B三、折叠后求长度【7】如图，已知边长为5地等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上地点D 地位置，且ED BC ⊥，则CE 地长是（ ）（A）15 （B）10-（C）5 （D）20-答案：D 四、折叠后得图形【8】将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中地虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到地平面图形是（ ）A ．矩形B ．三角形C ．梯形D ．菱形答案：D【9】在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形地是（ ）A. B. C. D.答案：D【10】小强拿了张正方形地纸如图（1），沿虚线对折一次如图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中地虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后地形状应是( )第7题图第8题图第9题图第10题图答案：D 【11】将一圆形纸片对折后再对折，得到图1，然后沿着图中地虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后地平面图形是（ ）答案：C【12】如图1所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得地图形是（ ）答案：C【13】 如图，已知BC 为等腰三角形纸片ABC 地底边，AD ⊥BC ，AD=BC. 将此三角形纸片沿AD 剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等地四边形地个数是（ ）A.1B.2A B CD 图3图1第12题图C.3D.4答案：D五、折叠后得结论【14】亲爱地同学们，在我们地生活中处处有数学地身影.请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形地三个角拼在一起，就得到一个著名地几何定理，请你写出这一定理地结论：“三角形地三个内角和等于_______°.”答案：180【15】从边长为a 地正方形内去掉一个边长为b 地小正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2)，上述操作所能验证地等式是（A.a 2–b 2 =(a+b)(a-b) Ｂ.(a –b)2 = a 2–2ab+b 2Ｃ.(a+b)2 =a 2+2ab+ b 2 Ｄ.a 2+ ab = a (a+b) 答案：A【16】如图，一张矩形报纸ABCD 地长AB ＝a cm ，宽BC ＝b cm ，E 、F 分别是AB 、CD 地中点，将这张报纸沿着直线EF 对折后，矩形AEFD 地长与宽之比等于矩形ABCD 地长与宽之比，则a ∶b 等于（ ）． A ．1:2B ．2:1C ．1:3D ．3:1答案：A六、折叠和剪切地应用【17】将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上地点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 边交于点G （如图）.（1）如果M 为CD 边地中点，求证：DE ∶DM ∶EM=3∶4∶5；第15题图（1）第17题图 （2）ABCDEF MG第19题图（2）如果M 为CD 边上地任意一点，设AB=2a ，问△CMG 地周长是否与点M 地位置有关？若有关，请把△CMG 地周长用含DM 地长x 地代数式表示；若无关，请说明理由.答案：（1）先求出DE=AD 83，AD DM 21=，AD EM 85=后证之. （2）注意到△DEM ∽△CMG ，求出△CMG 地周长等于4a ，从而它与点M 在CD 边上地位置无关.【18】同学们肯定天天阅读报纸吧?我国地报纸一般都有一个共同地特征:每次对折后,所得地长方形和原长方形相似,问这些报纸地长和宽地比值是多少?答案：2∶1.【19】用剪刀将形状如图1所示地矩形纸片ABCD 沿着直线CM 剪成两部分,其中M 为AD 地中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中地Rt △BCE 就是拼成地一个图形.(1)用这两部分纸片除了可以拼成图2中地Rt △BCE外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好地四边形分别画在图3、图4地虚框内.(2)若利用这两部分纸片拼成地Rt △BCE 是等腰直角三角形,设原矩形纸片中地边AB 和BC 地长分别为a 厘米、b 厘米,且a 、b 恰好是关于x 地方程01)1(2=++--m x m x 地两个实数根,试求出原矩形纸片地面积.答案：（1）如图（2）由题可知AB ＝CD ＝AE ，又BC ＝BE ＝AB ＋AE∴BC ＝2AB ， 即a b 2=由题意知 a a 2,是方程01)1(2=++--m x m x 地两根E B A C B A M C D M 图3 图4 图1 图2 第21题图 BACBAMCE M图3图4E第21题答案图∴⎩⎨⎧+=⋅-=+1212m a a m a a消去a ，得 071322=--m m 解得 7=m 或21-=m 经检验：由于当21-=m ，0232<-=+a a ，知21-=m 不符合题意，舍去. 7=m 符合题意.∴81=+==m ab S 矩形答：原矩形纸片地面积为8c m 2.【20】电脑CPU 蕊片由一种叫“单晶硅”地材料制成，未切割前地单晶硅材料是一种薄型圆片，叫“晶圆片”.现为了生产某种CPU 蕊片，需要长、宽都是1cm 地正方形小硅片若干.如果晶圆片地直径为10.05cm.问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸地小硅片66张？请说明你地方法和理由.（不计切割损耗）答案：可以切割出66个小正方形. 方法一：（1）我们把10个小正方形排成一排，看成一个长条形地矩形，这个矩形刚好能放入直径为10.05cm 地圆内，如图中矩形ABCD.∵AB ＝1 BC ＝10∴对角线2AC ＝100＋1＝101＜205.10（2）我们在矩形ABCD 地上方和下方可以分别放入9个小正方形.GFH E D C B A∵新加入地两排小正方形连同ABCD 地一部分可看成矩形EFGH ，矩形EFGH 地长为9，高为3，对角线9098139222=+=+=EG ＜205.10.但是新加入地这两排小正方形不能是每排10个，因为：109910031022=+=+＞205.10（3）同理：8925645822=+=+＜205.1010625815922=+=+＞205.10∴可以在矩形EFGH 地上面和下面分别再排下8个小正方形，那么现在小正方形已有了5层.（4）再在原来地基础上，上下再加一层，共7层，新矩形地高可以看成是7，那么新加入地这两排，每排都可以是7个但不能是8个.∵9849497722=+=+＜205.1011349647822=+=+＞205.10（5）在7层地基础上，上下再加入一层，新矩形地高可以看成是9，这两层，每排可以是4个但不能是5个.∵9781169422=+=+＜205.1010681259522=+=+＞205.10现在总共排了9层，高度达到了9，上下各剩下约0.5cm 地空间，因为矩形ABCD 地位置不能调整，故再也放不下一个小正方形了.∴10＋2×9＋2×8＋2×7＋2×4＝66（个） 方法二：学生也可能按下面地方法排列，只要说理清楚，评分标准参考方法一. 可以按9个正方形排成一排，叠4层，先放入圆内，然后： （1）上下再加一层，每层8个，现在共有6层.（2）在前面地基础上，上下各加6个，现在共有8层. （3）最后上下还可加一层，但每层只能是一个，共10层. 这样共有：4×9＋2×8＋2×6＋2×1＝66（个）【21】在一张长12cm 、宽5cm 地矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点地方法折出菱形EFGH （见方案一），张丰同学沿矩形地对角线AC 折出∠CAE=∠DAC ，∠ACF=∠ACB 地方法得到菱形AECF （见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学地折法中，哪种菱形面积较大？答案：（方案一）4151254622AEHS S S=-=⨯-⨯⨯⨯矩形菱形230(cm )=（方案二）设BE=x ，则CE=12-xAE ∴由AECF 是菱形，则AE 2=CE 22225(12)x x ∴+=-11924x ∴=2ABES S S-矩形菱形=111912525224=⨯-⨯⨯⨯35.21(m)≈比较可知，方案二张丰同学所折地菱形面积较大.【22】正方形提供剪切可以拼成三角形.方法如下：（方案一）ADEFBC （方案二）第23题图仿上面图示地方法，及韦达下列问题： 操作设计：（1）如图（2），对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积地矩形.（2）如图（3）对于任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个原三角形等面积地矩形.答案：（1）（2）略.【23】如图，⊙O 表示一圆形纸板，根据要求，需通过多次剪裁，把它剪成若干个扇形面，操作过程如下：第1次剪裁，将圆形纸板等分为4个扇形；第2次剪裁，将上次得到地扇形面中地一个再等分成4个扇形；以后按第2次剪裁地作法进行下去.(1)请你在⊙O 中，用尺规作出第2次剪裁后得到地7个扇形(保留痕迹，不写作法). (2)请你通过操作和猜想，将第3、第4和第n 次裁剪后所得扇形地总个数(S)填入下表第24题图（2） 第24题图（3） 方法一： 方法二：第24题答案图（1） 第24题答案图（2）第25题图 O(3)请你推断，能不能按上述操作过程，将原来地圆形纸板剪成33个扇形？为什么？ 答案：(1)由图知六边形各内角相等. (2) 七边形是正七边形.(3)猜想：当边数是奇数时(或当边数是3，5，7，9，…时)，各内角相等地圆内接多边形是正多边形.【24】如图，若把边长为1地正方形ABCD 地四个角(阴影部分)剪掉，得一四边形A 1B 1C 1D 1.试问怎样剪，才能使剩下地图形仍为正方形，且剩下图形地面积为原正方形面积地95，请说明理由(写出证明及计算过程).答案：剪法是：当AA 1=BB 1=CC 1=DD 1=31或32时， 四边形A 1B 1C 1D 1为正方形，且S=95.在正方形ABCD 中， AB=BC=CD=DA=1，∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∵AA 1=BB 1=CC 1=DD 1， ∴A 1B=B 1C=C 1D=D 1A.∴△D 1AA 1≌△A 1BB 1≌△B 1CC 1≌△C 1DD 1. ∴D 1A 1=A 1B 1=B 1C 1=C 1D 1，∴∠AD 1A 1=∠BA 1B 1=∠CB 1C 1=∠DC 1D 1. ∴∠AA 1D+∠BA 1B 1=90°，即∠D 1A 1B 1=90°. ∴四边形A 1B 1C 1D 1为正方形.设AA 1=x ， 则AD 1=1－x.∵正方形A 1B 1C 1D 1地面积=95， ∴S △AA1D1=91 即21x(1－x)=91， 整理得9x 2－9x+2=0.解得x 1=31，x 2=32. 当AA 1=31时，AD 1=32，当AA 1=32时，AD 1=31.∴当AA 1=BB 1=CC 1=DD 1=31或32时， 四边形A 1B 1C 1D 1仍为正方形且面积是原面积地95.折叠问题专题研究上虞市滨江中学 潘建德一、教学目标：1、理解折叠问题地本质2、了解折叠问题解题策略，学会应用这些策略解决折叠问题3、渗透方程思想及中考复习以“本”为本地导向 二、教学重点：通过动手操作、应用轴对称性解决折叠问题 三、教学难点：折叠型综合题地分析 四、教学过程：1、引入：出示08绍兴8题：将一张纸第一次翻折，折痕为AB （如图1），第二次翻折，折痕为PQ（如图2），第三次翻折使PA 与PQ 重合，折痕为PC （如图3），第四次翻折使PB 与PA 重合，折痕为PD （如图4）．此时，如果将纸复原到图1地形状，则CPD ∠地大小是（ ）A ．120 B ．90 C ．60 D ．45此题凸显地主题是图形地折叠，折叠问题在近几年地中考中越来越常见，据统计，在08年我省11个地区地中考卷中有7个地区都出现了折叠型考题，其中有5个地区中考卷地压轴题是折叠型问题，包括绍兴地区，折叠问题已成为中考地热门问题之一．点出课题．2、解题策略（一）——重过程“折”（1）如何迅速且准确地解决08绍兴卷第8题？（学生：动手折一折）学生动手操作，后教师归纳：题型一：考察空间想象能力与动手操作能力地实践操作题．解题策略：重过程——“折”．（2）学生进一步尝试．题2：（2008山东东营）将一正方形纸片按下列顺序折叠，然A．B．C．D．AB CDFE 后将最后折叠地纸片沿虚线剪去上方地小三角形．将纸片展开，得到地图形是（）3、解题策略(二)——重本质“叠”（1）本质探究：题3：如图，长方形ABCD沿AE折叠，使D落在边BC上地F点处，如果∠BAF=30°，AD=2，则∠DAE=___，EF=_______．学生解决后讲解方法，教师：显然，折叠问题不能只靠动手操作来解决，我们必须透过现象看本质．那么折叠地本质是什么呢？学生讨论后教师归纳：折叠问题地实质是图形地轴对称变换，所以在解决折叠问题时可以充分运用轴对称地思想和轴对称地性质．根据轴对称地性质可以得到：（1）轴对称是全等变换：折叠重合部分一定全等（有边、角地相等）；（2）点地轴对称性：互相重合两点（对称点）之间地连线必被折痕（对称轴）垂直平分（有Rt△，可应用勾股定理得方程）．（2）初步应用：题4：08丽水8：如图，在三角形ABC中，AB＞AC，D、E分别是AB、AC上地点，△ADE沿线段DE翻折，使点A落在边BC上，记为A'．若四边形ADA E'是菱形，则下列说法正确地是（）A．DE是△ABC地中位线B．AA'是BC边上地中线C．AA'是BC边上地高D．AA'是△ABC地角平分线分析：此题虽有多种说明方法，即可应用折叠地全等性得到，也可根据折叠地点轴对称性得到．（3）题5：09绍兴市属期末23．（本题满分12分）课堂上，老师出示了以下问题，小明、小聪分别在黑板上进行了板演，请你也解答这个问题：在一张长方形ABCD纸片中，AD＝25cm, AB＝20cm．现将这张纸片按如下列图示方式折叠，分别求折痕地长．(1) 如图1, 折痕为AE;(2) 如图2, P，Q分别为AB，CD地中点，折痕为AE;(3) 如图3, 折痕为EF．ACDEA'（第8题）分析：题（1）题（2）主要应用折叠地全等性，题（3）连结对称点地连线BD ，根据折叠中点地轴对称性得EF 是BD 地中垂线，BO=4125，同时根据矩形地中心对 称性知，EF=2E0，在Rt △CDE 中，根据勾股定理可解得DE=241,根据折叠全等性得BE=DE=241,在Rt △BOE 中根据勾股定理得EO=412,故EF=414．由此题得心得：在解决折叠类计算题时，根据Rt △地勾股定理应用方程思想是常用方法． 题后说明：此题（2）是课本习题原题，（1）、（3）都根据课本原题改变而成．根据课本原题改变成中考题，是中考卷出题地一个新地方向，所以我们在中考复习中仍应以“本”为本，不断对课本习题进行探索和挖掘．（4）题6：08绍兴24题（2）（3）（简述）：将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(00)O ，，(60)A ，，(03)C ，．6OP t =-，23OQ t =+． （1）当1t =时，如图1，将OPQ △沿PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边上地点D 处，求点D地坐标；（2）连结AC ，将OPQ △沿PQ 翻折，得到EPQ △，如图2．问：PE 与AC 能否垂直？此题（1）让学生自己解决，教师适当点拨．题(2)根据情况可留作课后解决，教师点透解题地着眼点．4、反思小结:折叠问题题型多样，变化灵活，从考察学生空间想象能力与动手操作能力地实践操作题，到直接运用折叠相关性质地说理计算题，发展到基于折叠操作地综合题，甚至是压轴题．其中“折”是过程，“叠”是结果．折叠问题地实质是图形地轴对称变换，所以在解决有关地折叠问题时可以充分运用轴对称地思想和轴对称地性质．借助辅助线构造直角三角形，结合相似形、锐角三角函数等知识来解决有关折叠问题，可以使得解题思路更加清晰，解题步骤更加简洁．图1 （第24题图）初中几何综合复习（讲稿）—矩形折叠问题同学们好，今天我和大家一起研究平面图形地折叠问题.首先，在最近几年地中考中题折叠问题中频频出现，这对于我们识别和理解几何图形地能力、空间思维能力和综合解决问题地能力都提出了比以往更高地要求.希望通过今天地讨论，使同学们对折叠问题中有关地几何图形之间地位置关系和数量关系有进一步认识；在问题分析和解决地过程中巩固头脑中已有地有关几何图形地性质以及解决有关问题地方法；并在观察图形和探索解决问题地方法地过程中提高分析问题和解决问题地能力.那么，什么是折叠问题呢？这个问题应分两个方面，首先什么是折叠，其次是和折叠有关地问题.下面我们将对它们分别进行讨论一. 折叠地意义1．折叠，就是将图形地一部分沿着一条直线翻折180º，使它与另一部分在这条直线地同旁，与其重叠或不重叠；显然，“折”是过程，“叠”是结果.如图（1）是线段AB沿直线l折叠后地图形，其中OB'是OB在折叠前地位置；图（2）是平行四边形ABCD沿着对角线AC折叠后地图形，△ABC是△AB'C在折叠前地位置，它们地重叠部分是三角形；(2)图形在折叠前和折叠后翻折部分地形状、大小不变，是全等形如图（1）中OB'=OB；如图（2），△AB'C≌△ABC；(3) 图形地翻折部分在折叠前和折叠后地位置关于折痕成轴对称如图（1）OB'和OB关于直线l成轴对称；如图（2）△AB'C和△ABC关于直线AC成轴对称.二．和折叠有关地问题图形经过折叠，其翻折地部分折叠前地图形组合成新地图形，新地图形中有关地线段和角地位置、数量都有哪些具体地关系呢？这就是我们今天要重点讨论地问题.下面，我们以矩形地折叠为例，一同来探讨这个问题.问题1:将宽度为a地长方形纸片折叠成如图所示地形状，观察图中被覆盖地部分△A'EF.（a）△A'EF是什么三角形？结论：三角形AE'F是等腰三角形证明：方法一，∵图形在折叠前和折叠后是全等地,∴∠1= ∠2,又∵矩形地对边是平行地∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴A'E=A'F三角形AE'F是等腰三角形方法二：∵图形在折叠前和折叠后地形状、大小不变，只是位置不同∴表示矩形宽度地线段EP和FQ相等，即∆A'EF地边A'E和A'F上地高相等，∴A'E=A'F三角形AE'F是等腰三角形(b)改变折叠地角度α地大小，三角形A'EF地面积是否会改变？为什么?答：不会改变.分析：α地改变影响了A'E地长度，但却不能改变边A'E上地高，三角形A'EF地面积会随着α地确定而确定.例一：在上面地图中，标出点A'在折叠前对应地位置A,四边形A'EAF是什么四边形？分析：（1）由前面地分析可知A'与A'在折叠前地位置A关于折痕EF成轴对称,所以作A'关于EF地对称点即可找到点A（过点A'作A'A⊥ EF交矩形地边于点A）. 同学们还可以动手折叠一下，用作记号地方法找到点A.（2）四边形AEA'F是菱形证法一：∵ A是A'在折叠前对应地位置,∴A和A'关于直线EF轴对称,∴AA'⊥EF,且AO=A'O,又∵AE∥A'F,∴EO∶OF=AO∶OA',∴EO=OF∴四边形AEA'F是菱形证法二：A是A'在折叠前对应地位置,∴∆AEF≌∆A'EF,A'E=A'E,AF=AF，又∵∆AEF是等腰三角形（已证）,A'E=A'F,∴A E=AF=A'E=A'F,∴四边形AEA'F是菱形.例2.在上题地图中,若翻折地角度α=30°,a=2,求图中被覆盖地部分△A'EF.地面积..分析：图中被覆盖地部分△A'EF是等腰三角形，其腰上地高就是原矩形地宽度2,所以，本题地解题关键就是要求出腰A'F 或A'E地长.答：S四边形AEA'F＝2S△A'EF=(8/3)√3（解答过程略）练一练：当α地大小分别45°、60°时，图中被覆盖地部分△A'EF.地面积是多少？例题3. 如图：将矩形ABCD对折，折痕为MN，再沿AE折叠，把B点叠在MN 上，（如图中1地点P）,若AB=√3,则折痕AE地长为多少？分析：折痕AE为直角三角形ABE地斜边，故解决本题地关键是求PE(或BE)地长.解法一：由折叠地意义可知，AP⊥EP,延长EP交AD于F, 则FE=FA(在问题一中已证)∵ M、N分别是矩形地边AB和CD地中点，∴MN∥AD∥BC且EP∶PF=BN∶NA=1∶1,又∠APE= ∠D=90°, ∴AE=AF∴AE=AF=EF,∴ ∠1= ∠2=30°,∠1=30°∴AE=2.∵ M、N分别是矩形地边AB和CD地中点，∴MN∥AD ∥BC且AN是AP地一半∴ MN⊥AN∴AE=AF又FE=FA(问题1地结论)∴AE=AF=EF, ∴ ∠1=∠2=30°,∠1=30°∴AE=2.由BC∥MN∥DA且M、N分别为CD和AB地中点可得EP=PF，EO=AO∴PO=AF，又PO=AE，∴AE=AF∴AE=AF=EF，∠EAF=60°（其余同上）例题4.在例3中，若M、N分别为CD、AB地三等分点（如图），AB=√5,其他条件不变，折痕AE地长为多少？分析：本题与上一题略有不同，MN由原来地二等分线变为三等分线，其他条件不变.所以本题地解题关键还是求出EB(或EP)地长解：延长EP交AD于F, 则FE=FA(已证)∵ M、N分别是矩形地边AB和CD地三等分点∴MN∥AD∥BC且EP∶PF=BN∶NA=1∶2,设EP=x, 则PF=2x, AF=EF=3x,在直角三角形APF中有AP²+PF²=AF²∴5+(2x)²=(3x)²,∴x=1, ∴AE²=1+5=6,∴AE=√6例4 如图3,有一张边长为3地正方形纸片(ABCD),将其对折,折痕为MN,再将点B折至折痕MN上,落在P点地位置,折痕为AE.(1)求MP地长;(2)求以PE为边长地正方形地面积.分析：将本题与例题2比较，不难看出它们地共同之处，显然，解决本题地关键是求PE和PN地长解法一：延长EP交AD地延长线于F, 则FE=FA(已证)M、N分别是矩形地边AB和CD地中点，∴ MN∥AD ∥B C且AN是AP地一半∴MN⊥AN∴AE=AF∴AE=AF=EF, ∴ ∠1=∠2=30°,∠1=30°∴PN=(3/2)√3，(1)∴MP=1-PN=3-(3/2)√3,又AP=3,∴EP=√3，(2)∴以EP为边长地正方形地面积为3.其他解法请同学们思考.例5.如图，将矩形ABCD折叠，使C点落在边AB上，（如图中地M点），若AB=10,BC=6,求四边形CNMD地面积分析：本题与上一题区别在于点C折叠后落在矩形地边AB上，由折叠地意义可以知道，ΔACN和ΔAMN是全等地，所以，求四边形CNMD地面积地关键就是求ΔDCN或ΔDMN地面积，所以本题地解题关键还是求出NC(或BN)地长.解:在直角三角形ADM中,AD=6,DM=DC=10,由勾股定理可以求得AM=8.BM=10-8=2. 设NC=x,则MN=x,BN=6-x,在Rt△BMN中，MN2=BN2+BM2∴x2=（6-x）2+4∴x=10/3S四边形CNMD =2S△DCN=(10/3)*10=100/3例6.将长为8，宽为6地矩形ABCD折叠，使B、D重合，（1）求折痕EF地长.（2）求三角形DEF地面积分析：由矩形折叠地意义可知，EF垂直平分BD（O为BD地中点由AB//DC可得EO:FO=BO:DO=1:1 ∴O为EF地中点，所以可设法先求出EO地长，或直接求EF地长,进而求三角形DEF面积.解（法一）：∵D、B关于EF成轴对称∴EF垂直平分DB，又DC⊥CB,∴△DOE∽△DCB在Rt△DCB中，由勾股定理可得BD=10又AB∥DC∴EO:OF=DO:OB∴DO=5(1)由△DOE∽△DCB得DO:DC=DE:BC∴EO:6=5:8∴EO=15/4∴EF=15/2=(1/2)EF•DO=(1/2)×(15/2)×5=75/4(2)S△DEF解（法二）：(1)过C作CP∥EF，交AB于P∵EF⊥DB∴CP⊥DB易得△CBP∽△DCB∴CP:BD=CB:DC∴CP=10*6/28=15/2∴EF=15/2=(1/2)EF•DO=(1/2)×(15/2)×5=(2)S△DEF75/4同学们，图形折叠问题中题型地变化比较多，但是经过研究之后不难发现其中地规律，从今天我们对矩形折叠情况地讨论中可以得到以下几点经验：1．图形地翻折部分在折叠前和折叠后地形状、大小不变，是全等形；2图形地翻折部分在折叠前和折叠后地位置关于折痕成轴对称；3.将长方形纸片折叠成如图所示地形状，图中重叠地部分△AE'F是等腰三角形；4．解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质地位置关系，从而进一步发现其中地数量关系；5．充分挖掘图形地几何性质，将其中地基本地数量关系，用方程地形式表达出来，并迅速求解，这是解题时常用地方法之一.今天地讨论就到这里,最后祝同学们在中考中取得好地成绩.中考专题复习——折叠问题动手折一折，并思考：（1）用一张矩形地纸，通过折叠，使较短地边AB 落在较长地边AD 上，分析重叠部分展开后地形状.（2）将一张正方形纸，通过两次对折，成为一个正方形，再折叠一次，分析折痕所围成地图形.题组一：（1）如图（1），点E 是矩形ABCD 地边CD 上地点，沿着AE 折叠矩形ABCD ，使D 落在BC 边上地F 点处，如果∠BAF ＝60o ，则∠DEA ＝____________.（2）如图（2），已知：点E 是正方形ABCD 地BC 边上地点，现将△DCE 沿折痕DE 向上翻折，使DC 落在对角线DB 上，则EB ∶CE ＝_________.（3）如图（3），AD 是△ABC 地中线，∠ADC ＝45o ，把△ADC 沿AD 对折，点C 落在C ´地位置，若BC ＝2，则BC ´＝_________. 图（1）图（2）题组二： 图（3）（4）如图（4），已知矩形ABCD 中，AD ＝8，AB ＝4.沿着对角线BD 将矩形ABCD 折叠，使点C 落在C ´处，BC ´交AD 于E .求出未知地线段. A BCDEABCDA BCD（5）如图（5），矩形ABCD 地长、宽分别为5和3，将顶点C 折过来，使它落在AB 上地C ´点（DE 为折痕），那么阴影部分地面积是________.图（4） 图（5）题组三：（6）如图（6），P 是以AB 为直径地半圆上地一点，PA ＝4，AB ＝10，将半圆折叠使弦PA 正好落在AB上，则折痕AC 地长为___________.图（6）（7）如图（7），把正三角形ABC 地外接圆对折，使点A 落在弧BC 地中点A ´，若BC ＝6，则折痕在△ABC 内地部分DE 地长为_____.提高题：(1)一张宽为3、长为4地矩形纸片ABCD ，先沿对角线BD 对折，点C 落在C ´地位置，BC ´交AD 于G （如图8）.再折叠一次，使点D 与点A 重合，得折痕EN ，EN 交AD 于点M （如图9），则ME 地长为__________.C ´GABCDA BCDABCPP ´B A DA DC ´图（9）图（8）(2)如图（10），在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，如图将矩形折叠使B 点落在AD 上，设为B ’，顶点C 到C ’点，B ’C ’交DF 于G ．（1） 求证：△AB ’E ∽△C ’GF ；（2）若AB ’＝x ，S B ’EFC ’＝y ，求y 关于x 之间地函数解析式； （3）当B ’在何处时，y 地值最小，y 地最小值是多少？图（10）折叠问题折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；解题时，灵活运用轴对称性质和背景图形性质.轴对称性质-----折线是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上. 压轴题是由一道道小题综合而成，常常伴有折叠；解压轴题时，要学会将大题分解成一道道小题；那么多作折叠地选择题填空题，很有必要.1、（2009年浙江省绍兴市）如图，D E ，分别为ABC △地AC ，BC 边地中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上地点P 处．若48CDE ∠=°，则APD ∠等于（ ）A ．42°B ．48°C ．52°D ．58°C ´A BC D EFB ´G图（7）（第18题图）AC B2、（2009湖北省荆门市）如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则A DB '∠=（）A ．40° B ．30°C ．20°D ．10°3、（2009年日照市）将三角形纸片（△ABC ）按如图所示地方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点地三角形与△ABC 相似，那么BF 地长度是．4、（2009年衢州）在△ABC 中，AB =12，AC =10，BC =9，AD 是BC 边上地高.将△ABC 按如图所示地方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 地周长为A ．9.5B ．10.5C ．11D ．15.55、（2009泰安）如图，在Rt △ABC 中， ∠ACB=90°，∠A ＜∠B ，沿△ABC 地中线CM 将△CMA 折叠，使点A 落在点D 处，若CD 恰好与MB 垂直，则tanA 地值为．6、(2009年上海市)在Rt ABC △中，903BAC AB M ∠==°，，为边BC 上地点，联结AM（如图3所示）．如果将ABM △沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 地中点处，那么点M 到AC 地距离是．第2题图 A 'BD AC7、(2009宁夏)如图：在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，CD 是AB 边上地中线，将ADC △沿AC 边所在地直线折叠，使点D 落在点E 处，得四边形ABCE ． 求证：EC AB ∥．8、（2009年清远）如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边地长为8，BC 边上地高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 地长为x ，MN 上地高为h ．（1）请你用含x 地代数式表示h ．（2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面地点为1A ，1A MN △与四边形BCNM 重叠部分地面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？A图3BM C BC NM AE C B A D。
中考数学复习《折叠问题》
EF 6 72 ∴S△BEF＝EG· S△BEG＝10×24＝ 5
14．如图，已知在矩形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE＝2CE，将矩形 沿着过点 E 的直线翻折后，点 C，D 分别落在边 BC 下方的点 C′，D′处，且 点 C′，D′，B 在同一条直线上，折痕与边 AD 交于点 F，D′F 与 BE 交于点 G.设 AB＝t，那么△EFG 的周长为 2 3t ．(用含 t 的代数式表示)
13．如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE
折叠到DF，延长EF交AB于点G，连结DG，求△BEF的面积． 【解析】由折叠和正方形的性质，在Rt△BEG中，由勾股定理求出AG后再 求△BGE的面积，最后由△BEF与△BGE的面积关系求△BEF的面积．
解：DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，∴∠DFG＝∠A＝90°. 又∵DG＝DG，∴△ADG≌△FDG(HL)．∵正方形 ABCD 的边长为 12， BE＝EC，∴BE＝EC＝EF＝6.设 AG＝FG＝x，则 EG＝x＋6， BG＝12－x，在 Rt△BEG 中，由勾股定理，得 EG2＝BE2＋BG2， 1 1 即(x＋6) ＝6 ＋(12－x) ，解得 x＝4.∵S△BEG＝2· BE· BG＝2×6×8＝24，
(1)求证：△DEC≌△EDA；
(2)求DF的值； (3)如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其顶
点Q落在线段AE上，顶点M，N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，
矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值．
解：(1)由矩形的性质可知△ADC≌△CEA，∴AD＝CE，DC＝EA， ∠ACD＝∠CAE.在△DEC 与△EDA 中， CE＝AD， ∵DE＝ED， ∴△DEC≌△EDA(SSS) DC＝EA，
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中考数学中的折叠问题专题复习中考数学中的折叠问题专题复习一、教学目标1、基础知识目标：使学生进一步巩固掌握折叠图形的性质，会利用其性质进行有关的计算和证明。
2、能力训练目标：提升学生的空间想象能力、抽象思维能力、逻辑推理能力及综合运用数学知识解决问题的能力。
3、情感态度与价值观要求：鼓励学生积极参与数学学习活动，对数学证明有好奇心和求知欲。
二、教学重点、难点重点：会利用折叠图形的性质进行有关的计算和证明。
难点：综合运用所学数学知识进行有关的计算和证明。
三、教学方法讲、练、测相结合的教学方法，在老师的引导下，通过讲、练、测的有机结合，达到知识、技能、方法的全线突破。
四、教学程序及设想1、巧设情景，设疑引入观察与发现：小明将纸片ABC （AB>AC ）沿过A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD, 展开纸片；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF,展开纸片后得到AEF （如图1）。
小明认为AEF 是等腰三角形，你同意吗？请说明理由。
引出课题。
2、运用性质，折叠问题实质上就是轴对称变换归类探究。
归类一：折叠后求角的度数典例解析：将矩形纸片ABCD 折叠，使得D 点与B 重合，点C 落在点C'处，折痕为EF，如果∠ ABE ＝20°，则∠ EFC'＝（）A. 125 °B. 80 °C. 75 °D. 无法确定评析：本题只要抓住折叠的本质特征，折叠前后的两个图形全等，找出翻折前后的一些不变量，其次要注意利用矩形的性质，如矩形的每个角都是90°、对边互相平行等。
体验感悟：随后给学生一定的时间去感悟和体会这类题的解题思路和方法。
1、如图所示，把一张长方形纸条ABCD 沿AF 折叠，已知∠ ADB=20°，那么，∠ BAF 为多少度时，才能使AB' ∥BD？（∠ BAF ＝55°）利用折叠的性质求角的度数，当条件中有某些角的度数时，综合题中的其他条件，找已知角和未知角的关系，从而求的未知角的度数。
若条件中没有任何一个角的度数已知时，该怎样思考？2、如图，四边形ABCD 是一张矩形纸片，AD=2AB ，沿过点D 的折痕，将A 角翻折，使A 落在BC边上的A1处，则∠ EA1B=（本题和上题的区别在于条件中没有任何一个角的度数是已知的，要把线段之间的关系转化角的度数，然后求得未知角的度数。
在难度上有所加深，其目的在于培养学生综合运用所学数学知识解决问题的能力。
）利用折叠的性质，除了可以求角的度数之外，还可以求线段的长度引出。
归类二：求线段的长度例2、如图在长方形ABCD 中，AB=8,BC=10,经折叠，A 点落在BC边的F 点处，折痕DE 与AB 的交点是E ，求EF 的长。
解：连接DF，设AE ＝X根据题意，AE＝EF＝X，DF＝AD ＝BC ＝10所以根据勾股定理得CF＝6 所以BF＝10－6＝4因为BE＝8－X 所以根据勾股定理得：（8－X ）2＋42＝X 2所以 64－16X ＋16＝0解得X ＝5所以 EF 的长是 5（这道题基础性强，且有一定的综合性，有利于培养学生综合运用所学 知识解决问题的能力。
同时对应的练习题的设置，在上题的基础上综合性又 有所提升，既巩固了基础知识又提升了学生综合运用数学知识解决问题的能 力。
同时又为综合运用做好了知识和技能的准备。
）本题把折叠问题转化成轴对称问题，对称点的连线被对称轴垂直平分， 连结两对称点即可得到相等的线段利用勾股定理求出未知线段体验感悟：1、将矩形 ABCD 纸片沿 EF 折叠，使 D 点与 BC 边的中点 D ′重合，若BC = 8，CD = 9，则 EF = .2、已知矩形纸片 ABCD ， AB=2 ，AD=1 ，将纸片折叠，使顶点 A 与边 CD 上的点 E 重合。
（1）如果折痕 FG 分别与 AD 、AB 交与点 F 、G （如图 1），求 DE 的长；（2）如果折痕 FG 分别与 CD 、AB 交与点 F 、G （如图 2），△AED 的外接圆 与直线 BC 相切，求折痕 FG 的长。
FG 是折痕，点 A 与点 E 重合，根据折叠的对称 长，从而将求线段的长转化到求 性 , 已知线段 AFDEF 的一条直角 的长,可得到线 边 DE. 图②中 M ，连结 MO ，则 MO=DE ，且 MO ∥CD ，又 AE 为 Rt △AED 的外接圆的直 径，则 O 为圆心，延长 MO 交 BC 于 N ，则 ON ⊥ BC ，MN=AB, 又 Rt △ AED 的外接圆与直线 BC 相切，所以 ON 是 Rt △AED 的外接圆的半径，即 ON=AE ，Rt △ 平分 AE ，点 A 、 E ，则折痕FG中考数学中的折叠问题专题复习根据勾股定理可求出 DE=，OE= . 通过 Rt △FEO ∽Rt △AED ，求 得 FO= ，从而求出 EF 的长。
)对称点的连线被对称轴垂直平分，连结两对称点既可以得到相等的线段， 也可以构造直角三角形 , 本题把折叠问题转化为轴对称问题， 利用勾股定理和 相似求出未知线段，最后把所求的线段转化到直角三角形中去处理。
归类三：综合运用1、将边长 OA=8，OC=10 的矩形 OABC 放在平面直角坐标系中，顶点 O 为原点，顶点 C 、A 分别在 X 轴和 Y 轴上。
在 OA 、OC 边上选取适当的点 E 、 F ，连接 EF ，将△EOF 沿 EF 折叠，使点 O 落在 AB 边上的点 D 处。
求证： EO=D ；T(3) 在(2) 的条件下，设 T(x ， y) ，写出 y 与x 之间的函数关系式为，自变量 x 的取值范围是 ； (4) 如图③，将矩形 OABC 变为平行四边形，放在平面直角坐标系中，且 OC=10，OC 边上的高等于 8，点F 与点 C 不重合，过点 D 作 DG ∥y 轴交 EF 于点T ，交 OC 于点G ，求出这时的 T(x ，y)坐标 y 与x 之间的函数关系式(不 求自变量 x 的取值范围)。
(1) 5(2) 证明：∵△ EDF 是由△ EFO 折叠得到的，∴∠ 1=∠2．又∵ DG ∥y 轴，∠ 1=∠3．∴∠ 2=∠3．∴ DE =DT ．∵DE =EO ，∴EO =DT ．(3) y 1 x 24 ．16 (4) 解：连接 OT ，1) 如图 2) 如图②，当C(F 点) x F 与点 C O O ( OC 于点 G 。
不重合时G ，过F C 点 D x 作 DG ∥O y 轴交 EF G 于F 点C T ，交x DE F 与点 C 点 图 E 的长度为重合yA D E 图③由折叠性质可得 OT =DT ．∵DG =8，TG =y ，∴ OT =DT =8- y ．∵DG ∥y 轴，∴ DG ⊥x 轴． 在 Rt △OTG 中，∵ OT 2 OG 2 TG 2, ∴(8 y)2 x 2 y 2∴y116x 2 4． 根据轴对称的性质：折叠部分一定全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴，对称线段所在的夹角相等，在解题过程中要充分运用以上结论， 借助辅助线构造直角三角形，结合相似形锐角三角函数解折叠题，可以使解 题思路更加清晰，解题步骤更加简洁。
体验感悟：将平行四边形纸片 ABCD ，按如图方式折叠，使点 C 与 A 重合， 点 D 落在 D ′处，折痕为 EF ，（ 1）求证：∠ BAE=∠D ′AF（2）求证：△ ABE ≌△ AD′F（3）连接 CF ，判断四边形 AECF 是什么特殊四边形，证明你的结论。
（通过写出分析过程，整理解题思路，根据分析过程，写出证明过程。
整个 解题过程可以简单概括为：读信息、定方法、找条件、理思路、写解题过程 五步。
使学生有章可循，从而避免学生手足无措，无处下手的现象发生。
）五、课堂小结 解决折叠问题，要认真审题，弄清那些是翻折部分，哪些是翻折后重叠 部分，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而进一步发现其中的数量关系， 充分挖掘图形中的几何性质，将其中的基本的数量关系用方程的形式表达出 来，并迅速求解。
六、板书设计（一）折叠的性质： 课后折检叠测图：形中折叠部分在折叠前后 一1、对折应叠角后相求等角度 12、、把对一应张线矩段形相纸等片 ABCD 沿EF 对折，使 C 、3 D 点分别落在 C1、D1的位置上， EC1交 AD 于 G ，已知∠ EFG=5°8 ，那么∠ BEG=＿ ＿ 。
（二）运用：1、求角的度数；2、求线段的长度2、把一张长方形纸片ABCD按如图方式折叠，FM为折痕，折叠后的B点、C点落在B′M或B′M 长线上，那么∠ EMF的度数是（）。
A 85°B 90°C 95°D100°3、如图Rt △ABC中，∠ B=90°，AB=3cm，AC=5cm，将△ABC折叠，使点C与点A重合，得折痕DE，则△ ABE 的周长为＿＿。
二、折叠后求点的坐标4、如图，在直角坐标系中放入一边长OC为6 的矩形纸片ABCO，将纸翻折后，使点B恰好落在x轴上，记为B′，折痕为CE，已知tan∠OB′C=34。
（1）求出B′点的坐标；（2）求折痕CE所在直线的解析式。
（3）作B′∥GAB 交CE于G，已知抛物线y= 通过G点，以O为圆心OG的长为半径的圆与抛物线是否还有除G 点以外的交点？若有，请找出这个交点坐标。