中考数学中的折叠问题专题复习

中考数学中的折叠问题专题复习

中考数学中的折叠问题专题复习

一、教学目标

1、基础知识目标：使学生进一步巩固掌握折叠图形的性质，会利用其性质进行有关的计算和证明。

2、能力训练目标：提升学生的空间想象能力、抽象思维能力、逻辑推理能力及综合运用数学知识解决问题的能力。

3、情感态度与价值观要求：鼓励学生积极参与数学学习活动，对数学证明有好奇

心和求知欲。

二、教学重点、难点重点：会利用折叠图形的性质进行有关的计算和证明。难

点：综合运用所学数学知识进行有关的计算和证明。

三、教学方法讲、练、测相结合的教学方法，在老师的引导下，通过讲、练、测的有机结合，达到知识、技能、方法的全线突破。

四、教学程序及设想

1、巧设情景，设疑引入观察与发现：小明将纸片ABC （AB>AC ）沿过A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕

为AD, 展开纸片；再次折叠该三角形

纸片，使点A 和点D 重合，折痕为

EF,展

开纸片后得到AEF （如图1）。小明认

为AEF 是等腰三角形，你同意吗？请

说明理由。引出课题。

2、运用性质，折叠问题实质上就是轴对称变换归类探究。

归类一：折叠后求角的度数

典例解析：将矩形纸片ABCD 折叠，使得D 点与B 重合，

点C 落在点C'处，折痕为EF，如果∠ ABE ＝20°，则∠ EFC'

＝（）

A. 125 °

B. 80 °

C. 75 °

D. 无法确定评析：本题只要抓住

折叠的本质特征，折叠前后的

两个图形全等，找出翻折前后的一些不变量，其次要注意利用矩形的性质，如矩形的每个角都是90°、对边互相平行等。

体验感悟：随后给学生一定的时间去感悟和体会这类题的解题思路和方法。

1、如图所示，把一张长方形纸条ABCD 沿AF 折叠，已知∠ ADB=20°，那么，∠ BAF 为多少度时，才能使AB' ∥BD？（∠ BAF ＝55°）

利用折叠的性质求角的度数，当条件中有某些角的度

数时，综合题中的其他条件，找已知角和未知角的关系，从

而求的未知角的度数。若条件中没有任何一个角的度数已知

时，该怎样思考？

2、如图，四边形ABCD 是一张矩形纸片，

AD=2AB ，沿过点D 的折痕，将A 角翻折，使A 落在BC边上的A1处，则∠ E

A1B=

（本题和上题的区别在于条件中没有任何一个角的度数是已知的，要把线段之间的关系转化角的度数，然后求得未知角的度数。在难度上有所加

深，其目的在于培养学生综合运用所学数学知识解决问题的能

力。）

利用折叠的性质，除了可以求角的度数之外，还可以求线

段的长度引出。

归类二：求线段的长度

例2、如图在长方形ABCD 中，AB=8,BC=10,经折叠，A 点落在BC边的

F 点处，折痕DE 与AB 的交点是E ，求EF 的长。

解：

连接DF，设AE ＝X

根据题意，AE＝EF＝X，DF＝AD ＝BC ＝10

所以根据勾股定理得CF＝6 所以BF＝10－6＝4

因为BE＝8－X 所以根据勾股定理得：

（8－X ）2＋42＝X 2

所以 64－16X ＋16＝0

解得

X ＝5

所以 EF 的长是 5

（这道题基础性强，且有一定的综合性，有利于培养学生综合运用所学 知识解决问题的能力。同时对应的练习题的设置，在上题的基础上综合性又 有所提升，既巩固了基础知识又提升了学生综合运用数学知识解决问题的能 力。同时又为综合运用做好了知识和技能的准备。）

本题把折叠问题转化成轴对称问题，对称点的连线被对称轴垂直平分， 连结两对称点即可得到相等的线段利用勾股定理求出未知线段

体验感悟：

1、将矩形 ABCD 纸片沿 EF 折叠，使 D 点与 BC 边的中点 D ′重合，若

BC = 8，

CD = 9，则 EF = .

2、已知矩形纸片 ABCD ， AB=2 ，

AD=1 ，将纸片折叠，使顶点 A 与边 CD 上

的点 E 重合。

（1）如果折痕 FG 分别与 AD 、AB 交

与点 F 、G （如图 1），求 DE 的长；

（2）如果折痕 FG 分别与 CD 、AB 交与点 F 、G （如图 2），△AED 的外接圆 与直线 BC 相切，求折痕 FG 的长。

FG 是折痕，点 A 与点 E 重合，根据折叠的对称 长，从而将求线段的长转化到求 性 , 已知线段 AF

DEF 的一条直角 的长,可得到线 边 DE. 图②中 M ，连结 MO ，则 MO=DE ，且 MO ∥CD ，又 AE 为 Rt △AED 的外接圆的直 径，则 O 为圆心，延长 MO 交 BC 于 N ，则 ON ⊥ BC ，MN=AB, 又 Rt △ AED 的外接圆与直线 BC 相切，所以 ON 是 Rt △AED 的外接圆的半径，即 ON=AE ，

Rt △ 平分 AE ，点 A 、 E ，则折痕

FG

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根据勾股定理可求出 DE=

，OE= . 通过 Rt △FEO ∽Rt △AED ，求 得 FO= ，从而求出 EF 的长。)

对称点的连线被对称轴垂直平分，连结两对称点既可以得到相等的线段， 也可以构造直角三角形 , 本题把折叠问题转化为轴对称问题， 利用勾股定理和 相似求出未知线段，最后把所求的线段转化到直角三角形中去处理。

归类三：综合运用

1、将边长 OA=8，OC=10 的矩形 OABC 放在平面直角坐标系中，顶点 O 为原点，顶点 C 、A 分别在 X 轴和 Y 轴上。在 OA 、OC 边上选取适当的点 E 、 F ，连接 EF ，将△EOF 沿 EF 折叠，使点 O 落在 AB 边上的点 D 处。

求证： EO=D ；T

(3) 在(2) 的条件下，设 T(x ， y) ，写出 y 与x 之间的函数关系式为

，

自变量 x 的取值范围是 ； (4) 如图③，将矩形 OABC 变为平行四边形，放在平面直角坐标系中，且 OC=10，OC 边上的高等于 8，点F 与点 C 不重合，过点 D 作 DG ∥y 轴交 EF 于点T ，交 OC 于点G ，求出这时的 T(x ，y)坐标 y 与x 之间的函数关系式(不 求自变量 x 的取值范围)。

(1) 5

(2) 证明：∵△ EDF 是由△ EFO 折叠得到的，∴∠ 1=∠2．

又∵ DG ∥y 轴，∠ 1=∠3．

∴∠ 2=∠3．∴ DE =DT ．

∵DE =EO ，∴EO =DT ．

(3) y 1 x 2

4 ．

16 (4) 解：连接 OT ，

1) 如图 2) 如图②，当C(F 点) x F 与点 C O O ( OC 于

点 G 。

不重合时G ，过F C 点 D x 作 DG ∥O y 轴交 EF G 于F 点C T ，交x D

E F 与点 C 点 图 E 的长度为

重合y

A D E 图③