2-4-1二次函数的图像
二次函数图像与性质
课堂互动讲练
例3 解题示范本题满分12分 已知二次函数fx＝ax2＋bxa;b为常
数;且a≠0满足条件：f－x＋5＝fx－3; 且方程fx＝x有等根．
1求fx的解析式； 2是否存在实数m;nm＜n;使fx的 定义域和值域分别为m;n和3m;3n？如 果存在;求出m;n的值；如果不存在;说 明理由．
课堂互动讲练
t2－2t－7，t<1，
பைடு நூலகம்
从而 g(t)＝－8，1≤t≤2， t2－4t－4，t>2.
2gt的图象如图所示． gt的最小值为－8.
课堂互动讲练
规律小结 二次函数区间最值主 要有三种类型：轴定区间定;轴定区间 动和轴动区间定．
一般来说;讨论二次函数在闭区间 上的最值;主要是看区间是落在二次函 数的哪一个单调区间上;从而应用单调 性求最值．
第4课时 二次函数
基础知识梳理
1．二次函数的解析式有三种常用表 达形式
1一般式：fx＝ ax2＋bx＋ca≠；0 2顶点式：fx＝ax－h2＋ka≠0;h;k是顶 点； 3标根式或因式分解式：fx＝ax－x1x －x2a≠0；其中x1;x2分别是fx＝0的两实 根．
基础知识梳理
2．二次函数的图象及其性质
规律方法总结
1．二次函数fx＝ax2＋bx＋ca＞0 在区间m;n上的最值．
当－2ba＜m 时，函数在区间[m， n]上单调递增，最小值为 f(m)，最大 值为 f(n)；
规律方法总结
当 m≤－2ba≤n 时，最小值为 f(－2ba)＝ 4ac4－a b2，最大值为 f(m)或 f(n)(m，n 与－2ba 较远的一个为最大)．
课堂互动讲练
考点三 二次函数的综合问题
二次函数常和二次方程、二次 不等式结合在一起．
人教版九年级数学上册《二次函数图像与性质》课件(共14张PPT)
相同点：开口：向上， 顶点：原点（0,0）——最低点 对称轴： y 轴
增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
y 轴右侧，y随x增大而增大
y x2
8 6
y 2x2
பைடு நூலகம்
不同点：a 值越大，抛物线的开 口越小．
4 2 －4 －2
y 1 x2 2
24
探究
画出函数 yx2,y1x2,y2x2 的图象，并考虑这些抛物 2
|a|越大,抛物线的开口越小;
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2
a>0
a<0
图象
(0,0)最低点
开口方向 开口向上
开口向下
对称轴 对称轴是y轴，即直线x＝0
顶点
顶点坐标是原点（0，0）
最值 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0
增减性
当x<0时，y随x的增大而减小 当x<0时，y随x的增大而
1
2
3 ···
y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
2. 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3.连线 如图，再用平滑曲线顺次
9
连接各点，就得到y = x2 的图象
．
6
y = x2
3
－3
3
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中 所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ，
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
当x>0时，y随x的增大而增大
增大；当x>0时，y随x的 增大而减小
|a|越大,抛物线的开口越小;
北师大版九年级数学下册《二次函数——二次函数的图象与性质》教学PPT课件(4篇)
5
这两种呢?有没有其他形式的二次
3
函数？
4Байду номын сангаас
2
1
–4
–3
–2
–1
O
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
–10
1
2
3
4
x
y =－x2
新知讲解
在画有y
=x2直角坐标系中，画出
=
，y
=2x2的图象.
①列表； ②描点； ③连线.
10
y
y=2x2
9
x
··· －2 －1
y =x2
8
0
1
2
···
7
6
D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
新知讲解
在同一坐标系中，画出二次函数 = − ,y=− + ，
y=−
− 的图象，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶
点坐标，指明抛物线y=− + 通过怎样的平移可得到抛物线
=
−
-4
− .
如图所示
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
典例精析
已知二次函数y=x2.求：
（1）当x=5时，y的值；
（2）当y=4时，x的值；
（3）当x为何值时，y随x的增大而增大？
二次函数的图象与性质(第4课时)-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
∴a-1＞0，
解得a＞1．
故选：A．
3．点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=(x-1)2-3上，当x1
＞x2＞1时，y1与y2的大小是( )
A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2
【答案】D
【详解】解：∵抛物线y=(x-1)2-3，a=1＞0开口向上，
(3)将抛物线C先向左平移2个单位长度、再向上平移
1个单位长度后，所得抛物线为` ．请直接写出抛物
线` 的函数解析式．
【答案】(1)抛物线C的开口向下，对称轴为直线
x=1，顶点坐标为(1,2)；
(2)y的取值范围为-2≤y≤2；
(3)y=-(x+1)2+3
（1）
解：∵y=-x2+2x+1=-(x-1)2+2，
典例精析
例1.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，
则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( A )
解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是
二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数
y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．故选A.
知识点二 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
对称轴为直线x=1，当x＞1时，y随x的增大而增大，
点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=(x-1)2-3上，
∴x1＞x2＞1，
∴y1＞y2．
故选：D．
4．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正
方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的
正半轴上，经过点A、B的抛物线y=a(x-2)2+c(a＞0)
2024中考备考热点05 二次函数的图象及简单应用(8大题型+满分技巧+限时分层检测)
热点05 二次函数的图象及简单应用中考数学中《二次函数的图象及简单应用》部分主要考向分为五类：一、二次函数图象与性质（每年1道，3~4分）二、二次函数图象与系数的关系（每年1题，3~4份）三、二次函数与一元二次方程（每年1~2道，4~8分）四、二次函数的简单应用（每年1题，6~10分）二次函数是初中数学三中函数中知识点和性质最多的一个函数，也是中考数学中的重点和难点，考简答题时经常在二次函数的几何背景下，和其他几何图形一起出成压轴题；也经常出应用题利用二次函数的增减性考察问题的最值。
此外，二次函数的性质、二次函数与系数的关系、二次函数上点的坐标特征也是中考中经常考到的考点，都需要大家准确记忆二次函数的对应考点。
只有熟悉掌握二次函数的一系列考点，才能在遇到对应问题时及时提取有用信息来应对。
考向一：二次函数图象与性质【题型1 二次函数的图象与性质】满分技巧1. 对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象：形状：抛物线； 对称轴：直线ab x 2-=；顶点坐标：)442(2a b ac a b --，； 2、抛物线的增减性问题，由a 的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y 随x 的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a 的正负后，附加一定的自变量x 取值范围；3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。
1．（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（）A．对称轴为直线x＝﹣2B．顶点坐标为（2，3）C．函数的最大值是﹣3D．函数的最小值是﹣33．（2023•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（）A．最大值5B．最大值C．最小值5D．最小值【题型2 二次函数图象上点的坐标特征】满分技巧牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质1．（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣42．若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x+1）2上的是（）A．（m，n+1）B．（m+1，n）C．（m，n﹣1）D．（m﹣1，n）3．（2023•十堰）已知点A（x1，y1）在直线y＝3x+19上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝x2+4x ﹣1上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6C．﹣9＜x1+x2+x3＜0D．﹣6＜x1+x2+x3＜1【题型3 二次函数图象与几何变换】满分技巧1、二次函数的几何变化，多考察其平移规律，对应方法是：①将一般式转化为顶点式；②根据口诀“左加右减，上加下减”去变化。
二次函数的图像与性质(含答案)
九年级数学竞赛专题 ---二次函数的图像与性质一、内容概述二次函数有丰富的内容，下面从四个方面加以总结1．定义： 形如函数2(0)y ax bx c a =++≠称为二次函数，对实际问题二次函数也有定义域.2．图像二次函数的图像为抛物线，一般作二次函数图像，取五个点，先确定顶点的横坐标，再以它为中心向左、向右对称取点.3．性质 对2(0)y ax bx c a =++≠的图像来讲，（1）开口方向：当0a >时，抛物线开口向上；当0a <时，抛物线开口向下。
（2）对称轴方程：2bx a=-（3）顶点坐标：24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（4）抛物线与坐标轴的交点情况： 若240bac -<，则抛物线与x 轴没有交点；若240b ac -=，则抛物线与x 轴有一个交点；若240b ac ->，则抛物线与x 轴有两个交点，分别为，；另外，抛物线与y 轴的交点为()0,c .（5）抛物线在x a=（6）y 与x 的增减关系：当0a >，2b x a >-时，y 随x 的增大而增大，2bx a <-时，y 随x 的增大而减小；当0a <，2b x a >-时，y 随x 的增大而减小，2bx a<-时，y 随x 的增大而增大.（7）最值：当0a >时，y 有最小值，当2b x a =-时，244ac b y a -最小值＝；当0a <时，y 有最大值，当2b x a =-时，244ac b y a-最大值＝（8）若抛物线与x 轴两交点的横坐标为1x 、2x （12x x <），则：当0a >时，12x x x <<时，0y <；12x x x x <>或时，0y >；当0a<时，12x x x <<时，0y >；12x x x x <>或时，0y <.4．求解析式抛物线的解析式常用的有三种形式：（1）一般式：2(0)y ax bx c a =++≠（2）顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠，其中(,)h k 是抛物线的顶点坐标。
26.1 二次函数及其图像 课件4(数学人教版九年级下册)
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
h，k
直线x h
向上
当x h时, 最小值为 k
h，k
直线x h
向下
当x h时，最大值为 k
练习1
说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：
（ 1 ）y （ 2 x 3） 5；（2）y （ 3 x 1 ） 2；
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
抛物线y=x2+1:
开口向上,对称轴是y轴, 顶点为(0,1). 抛物线y=x2－1: 开口向上,对称轴是y轴, 顶点为(0, －1).
(1) 抛物线 2 2 y=x +1,y=x －1 的开口方向、对 称轴、顶点各是 什么?
10 9 8 7 6 5 4 3 2 ● 1
y
三、观察三条抛物线：
2 (2)开口大小有没有 1 变化？ -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 没有变化 -3 1 2 -4 y x -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
y
三、观察三条抛物线：
2 (3)对称轴是什么？ 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 -3 y 轴 x=-1 x=1 1 2 -4 y x -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
抛物线y a ( x h) 2 k有如下特点： （1）当a 0时，开口向上 ____；当a 0，开口向下 ___； x=h ； （2）对称轴是直线____ （3）顶点坐标是 ______ 。 （ h，k）
二次函数的图像(一般式)
直接画函数
我们知道,作出二次函数 y 1 x 2 的图象,通过平移抛物 2 1 2 线 y x 是可以得到二次函数 y 1 x 2 6 x 21 的图象. 2 2 1 应该在什么位置作出函数 y x 2 6 x 21 的图象呢?
1 2 y x - 4x 3 2
1 2 y x 4 - 5 2
函数y=ax2+bx+c的顶点式
用配方法求二次函数y=ax² +bx+c的对称轴和顶点坐标．
y ax bx c c 2 b a x x a a
2
2 b 4 ac b y a x . 2a 4a
4ac b 2 0 ，且a＜0，所以4ac b2 0 ，故 4a
b2 4ac 0 。
判断2a＋b的符号
b (5)因为顶点横坐标小于1，即 1 ， 2a
且a＜0，所以－b＞2a，故2a＋b＜0；
判断a＋b＋c的符号
(6)因为图象上的点的横坐标为1时，点 的纵坐标为正值，即a· 12＋b· 1＋c＞0， 故 a＋ b＋ c＞ 0；
●
●
5
● ● ● ●
●
（6,3）
O
5
10
2.怎样平移抛物线 1 2 y x 2 可以得到抛物线 1 2 y x 6 x 21？ x 2
你学会了吗？
研究二次函数y=ax2+bx+c的图象，关键是找到 对称轴和顶点坐标。通常利用配方法把二次函数 y=ax2+bx+c转化为y=a(x-h)² +k的形式，然后确定抛 物线的开口方向、对称轴和顶点。 练习： 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 2 2 1 1 1. y 3x 2x y 3 x 3 3 2.
二次函数图像性质表格
二次函数的图象1、二次函数的性质2、二次函数解析式的几种形式：①一般式：y = ax bx c( a、b、c为常数，a丰0)2y =a(x_h) k( a、h、k为常数，0),其中(h, k)为顶点坐标。
②顶点式：③交点式：y 二a(x _ xj(x _ X 2)，其中Xi , X 2是抛物线与x 轴交点的横坐标，即一2元二次方程axbx ・c=0的两个根，且a 丰0,(也叫两根式)。
3、求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法2 2①配方法：将解析式 y 二ax bx c化为y 二a(x-h) k 的形式，顶点坐标为(h ,k ),对称轴为直线x=h ，若a > 0, y 有最小值，当x = h 时，y最小值=k；若a v 0, y 有最大值，当x = h 时，y最大值=k。
4、抛物线与x 轴交点情况：2对于抛物线y =ax bx c (a ^0)2③当F ： =b -4ac ：：： 0时，抛物线与x 轴无交点，反之也成立。
5、求根公式：-b 土 Jb 2 - 4acx =2a②公式法：直接利用顶点坐标公式(b2a4ac -b 24a ),求其顶点；对称轴是直线xa 0, y 有最小值，当2a ,若2a时，y最小值-4ac - b 24ax =时, 最大值，当2a4ac-b 2 y 最大值= ■4a2①当八=b -4ac 0时，抛物线与x 轴有两个交点，反之也成立。
②当厶二b 2 -4ac = 0时，抛物线与x 轴有一个交点，反之也成立，此交点即为顶点。
二次函数的定义、图像及性质
二次函数的定义、图像及性质一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b ca≠）的函数，叫做二次函数。
，，是常数，0这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2=+的性质：（上加下减）y ax c3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y有【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项c⑴当0c>时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当0c=时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当0c<时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a b c，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x轴对称2y ax bx c=++关于x轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=---；()2y a x h k=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=---；2. 关于y轴对称2y ax bx c=++关于y轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+；()2y a x h k=-+关于y轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=++；3. 关于原点对称2y ax bx c=++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+-；()2y a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by ax bx ca=--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=--+．5. 关于点()m n，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：①当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.②当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1'当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
第1章 二次函数 浙教版九年级数学上册复习课件(共17张PPT)
（1）已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示， 图象经过（1，0），从中你能得到哪些结论？
（2）m满足什么条件时方程ax2+bx+c=m，①有两个不 相等的实数根？②有两个相等的实数根？③没有实 数根？
y
4
-1
o
1
x
图1
• 若把图1的函数图象绕着顶点旋转180度，则能得
到函数的表达式是
4ac 4a
b2
直线x b 2a
向上
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b 2a
向下
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的 增大而减小 在对称轴的右侧, y随着x的 增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的 增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的 增大而减小.
最值
得到y=2 x2 －4x－1则a＝ ，b＝ ，c＝
.
3与.如分图别，经两过条点抛（物-2线,0）y,1（2,012）x且2 平1行、于y2y轴的12两x 2条1
平行线围成的阴影部分的面积为（ ） Ａ．8 Ｂ．6 Ｃ．10 Ｄ．4
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方 程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
1、二次函数的定义
如果函数 y k 1 xk2k2 kx 1 是关于x的二次函
数，则k＝
?
一般地， 如果y=ax2+bx+c(a，b，c 是常数，a≠0)， 那么，y叫做x的二次函数。
2、二次函数的图像和性质(画两幅图)
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向
二次函数
为 OA 上一点且 OC＝OB，抛物线 y=(x－2)(x－m)－(p-2)(p-m)（m、p 为常数且 m+2≥2p＞0）经过 A、C 两点．
（1）用 m、p 分别表示 OA、OC 的长；
（2）当 m、p 满足什么关系时，△AOB 的面积最大．
分析：（1）因为 A、C 点都在 x 轴上，所以令 y=0 即可求出 p 的值．（2）根据三角形的面积公式列出△AOB 的面积表达式，再根据二次函数最值得表达式求解即可．
2
b b b 左侧（或说 x ） 随 x 的增大而减小；在对称轴右侧（ x ，y ） 随x ，y 2a 2a 2a b b b 左侧（或说 x ） 随 x 的增大而增大；在对称轴右侧（ x ，y ） 随x ，y 2a 2a 2a
左侧，y 随 x 递增；在 y 轴右侧，y 随 x 递减。 例 1、已知 a＜－1，点（a－1， y1 ）（a， y2 ） 、 （a＋1， y 3 ）都在函数 y x 的图象上，则（
a、b、c 的代 数式
作用 1.a 的正负决定抛物线开 a＞0 口方向和增减性；2. a 决 定抛物线开口大小， a 越 大，开口越小 a＜0
说明 开口向上 开口向下
a
c
确定抛物线与 y 轴交点的 c＞0 位置，交点坐标（0，c） C=0 c＜0
-
b 2a
决定对称轴位置，对称轴 a、b 同号 为直线 x
13 5 ，y1 ，B 1，y2 ，C ，y3 为 二 次 函 数 y x 2 4 x 5 的 图 象 上 的 三 点 ， 则 4 3
答疑电话： 82335515
个性化教育，关注孩子心灵健康！
&善教乐学、立德树人&
北师大版高中数学必修第一册 第一章 4-1《一元二次函数》课件PPT
函数在 = ℎ处有最大值,记作 =
最值
提示：y=ax2+bx+c=a
2 4−2
4−2
x+ 2 + 4 (a≠0).所以h=-2,k= 4 .
即时巩固
1 +2
时,y等于(
2
设一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交点的横坐标为x1,x2,且x1≠x2,则当x=
3
(2)该函数的对称轴为x=2,所给区间[2,3]在对称轴的同侧,都在右侧,
又二次项系数为1>0,所以在[2,3]上该函数为随x的增大而增大,
所以当x=2时,函数值最小,最小值为-9,当x=3时函数有最大值,最大值为-7.
反思感悟
求一元二次函数在闭区间上的最值的方法
一看开口方向;二看对称轴和区间的相对位置,简称“两看法”.只需作出二次函数相关的部分简图,利用数形结
新知学习
情境导学
现准备要围成一个矩形花圃,花圃的一边利用足够长的墙,另外三边用总长为32米
的篱笆恰好围成,围成的花圃是如图所示的矩形ABCD,设AB边的边长为x米,问当x取
何值时,矩形的面积最大?同学们这道题目不陌生吧,在初中我们学过了一元二次函数,
知道了其图象为抛物线,并了解其图象的开口方向、对称轴、顶点等特征.
1.将抛物线y=(x-2)2+1向左平移2个单位长度,得到的新抛物线的顶点坐标是( B )
A.(4,1)
B.(0,1) C.(2,3) D.(2,-1)
2.一元二次函数y=-x2+2x-5,当x取全体实数时,有( C )
A.最大值-5
B.最小值-5C.最大值-4
D.最小值-4
中考数学专题《二次函数》复习课件(共54张PPT)
当x b 时, y最小值为 4ac b2
2a
4a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对 称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时, y最大值为 4ac b2
2a
例1： 已知二次函数 y 1 x2 x 3
2
2
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两
点，求C，A，B的坐标。
（3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，
y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？
（4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
写出满足此条件的抛物线的解析式.
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同
a=1或-1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
二次函数复习
二次函数知识点：
• 1、二次函数的定义 • 2、二次函数的图像及性质 • 3、求解析式的三种方法 • 4、a，b，c及相关符号的确定 • 5、抛物线的平移 • 6、二次函数与一元二次方程的关系 • 7、二次函数的应用题 • 8、二次函数的综合运用
1、二次函数的定义
• 定义： y=ax² ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0）
a= ___. -2
2、二次函数的图像及性质
y
y
0
x
0
x
抛物线 顶点坐标 对称轴
人教版九年级数学上册第22章第1节二次函数的图像和性质(共46张PPT)
1.y=x2 8x 7
2.y=-2x2 9x 17
3.y=mx2 kx-4k2
x
⑶a，b决定抛物线对称轴的位置: 对称轴是直线x =
b 2a
① a，b同号＜＝＞ 对称轴在y轴左侧；
② b=0 ＜＝＞ 对称轴是y轴；
③ a，b异号＜＝＞ 对称轴在y轴右侧
y
左同右异
o
x
练习：
1.若抛物线yax2 bxc的图象如图，说出a，b，
c的符号。
2.若抛物线yax2 bxc经过原点和第一二三
象限，则a，b，c的取值范围分别是
3.若抛物线yax2 bxc的图象
如图所示，则一次函数y=ax+bc
的图象不经过
。y
。 y ox
o 图1
x 图2
y abc 0 （ 4 ） 与 直 线 x1 交 点 y a b c 0
y a b c 0
方法归纳
1
配方法
2
公式法
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
抛物线 顶点坐标
对称轴 位置
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4acb2 4a
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<0)
小结 拓展 回味无穷 驶向胜利 的彼岸
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax²的关系
2.不同点:
(1)位置不同(2)顶点不同:分别是
b 2a
,
4acb2 4a
2.4.1二次函数的图像_邹进辉
第二章
函数
§4 二次函数性质的再研究 4.1 二次函数的图像
新钢中学：邹进辉
创设情境
阅读下面划横线的句子，根据要求写一篇不少 于800字的文章。 一位科学家结合自己所学专业和人生总结出 这样的话：“做功不同，人生将会给出不同高度 的抛物线。” 要求：咀嚼这句话，选择一个角度构思作文。 自主确定立意，确定文体，确定标题；不要脱离 所给话语的含义作文，不得抄袭。
抽象概况
2 y a ( x h ) k (a≠0)的图像 对于二次函数
(1) a决定了二次函数图像的开口大小及方向
(2) h决定了二次函数图像的左右平移 “ h正左移，h负右移”简称:左加右减
(3) k决定了二次函数图像的上下平移 “k 正上移，k负下移”简称：上加下减
问题探究
探究3 : y =ax 2和y ax 2 +bx （ c a 0)的图像之间有什么 关系？
复习回顾
二次函数的定义及解析式
(1)二次函数的概念 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 函数________________________ 叫作二次函数，它的定 义域是R. (2)二次函数的解析式 2＋bx＋c(a≠0) y ＝ ax ①一般式：______________________；
y a( x h)2 k (a 0) ②顶点式：_____________________；
2.描点： … … … … -2 4 8 1 -1 1 2
1 2
3.连线： 0 0 0 0 1 1 2
1 2
2 4 8 2
… … … …
…
-8
-2
0
-2
-8 …
抽象概况
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章 ·§4 ·第1课时
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
1 2 在同一直角坐标系内，画出函数 y＝－2x ； 1 2 1 y＝－ x －1； y＝－ (x＋1)2－1 的图像， 并说明图像之间 2 2 的关系．
[解析] 列表如下：
第二章 ·§4 ·第1课时
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
第二章 ·§4 ·第1课时
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
(4) 函 数 y ＝ f(x ＋ a) 的 图 像 可 由 y ＝ f(x) 的 图 像 ____________________得到； (5) 函 数 y ＝ f(x) ＋ k 的 图 像 可 由 y ＝ f(x) 的 图 像 ________________________得到．
成才之路· 数学
北师大版 ·必修1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
第二章
函
数
第二章 函数
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
§4
二次函数性质的再研究
第二章 ·§4 ·第1课时
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
第1课时
二次函数的图像
第二章 ·§4 ·第1课时
1 2 (2)将抛物线 y＝－ x 向下平移 1 个单位，就得到抛物线 2 1 2 1 2 y＝－2x －1， 将抛物线 y＝－2x －1 向左平移 1 个单位， 就得 1 到抛物线 y＝－2(x＋1)2－1.
第二章 ·§4 ·第1课时
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
二次函数的形状和位置
[例 4] 将二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图像向左平移 2 个单
第二章 ·§4 ·第1课时
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
[方法总结]
(1)根据条件选用恰当的解析式形式是求二
次函数解析式的关键． (2)若 x1，x2 是方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，则 x1,2 －b± b2－4ac ＝ ， 2a b2－4ac ∴|x1－x2|＝ ，由本例可知，这个公式是一个十 |a| 分重要的结论，因此必须熟练地掌握．
[解析]
设二次函数的解析式为 y＝a(x＋2)2＋4(a≠0)，
其图像与 x 轴的两交点坐标为(x1,0)，(x2,0)，则 x1、x2 是方程 a(x＋2)2＋4＝0 的两根． 2 4 ∴a<0 且 x1,2＝－2± ，∴|x1－x2|＝ ＝8，∴a＝－ －a －a 1 . 4 1 故所求函数的解析式为 y＝－4(x＋2)2＋4.
第二章 ·§4 ·第1课时
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
(2)求抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与坐标轴交点． 当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点 A、B 及 抛物线与 y 轴的交点 C，再找到点 C 的对称点 D，将这五个 点按从左到右的顺序连结起来，并向上或向下延伸，就得到 二次函数的图像． 当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线 与 y 轴的交点 C 及对称点 D.由 C、M、D 三点可粗略地画出 二次函数的草图，如果需要画出比较精确的图像，可再描出 一对对称点 A、B 然后顺次连接五点，画出二次函数的图像．
第二章 ·§4 ·第1课时
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
[答案]1.y＝ax2 ＋bx＋c(a≠0) a<0
R
y＝ax2
原点
a>0
2．(1)横坐标不变，纵坐标伸长为原来的 a 倍 (2)向左(h>0)(或向右(h<0))平移|h|个单位， 再向上(k>0)(或 向下(k<0))平移|k|个单位 (3)配方 (4)向左(a>0)(或向右(a<0))平移|a|个单位 (5)向上(k>0)(或向下(k<0))平移|k|个单位
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
已知函数 y＝(4a＋3)x4a2－a－1＋x－1 是一个二次函数， 求满足条件的 a 的值．
[解析]
4a＋3≠0 由题意可得 2 4a －a－1＝2
，
3 a≠－4 即 a＝－3或a＝1 4
∴a＝1.
即 a 的值为 1 时，函数为二次函数.
注意：上述平移的规律是“h 值正、负，左、右移”，即 “加时左移， 减时右移”； 值正、 “k 负， 上、下移”， 即“加 时上移，减时下移”．实际上有关抛物线的平移问题，不能 死记硬背规律，只要先将其解析式化为顶点式，然后根据它 们的顶点的位置关系，确定平移方向和距离，非常简便．
第二章 ·§4 ·第1课时
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
学习方法指导
知能自主梳理 方法警示探究
思路方法技巧
探索延拓创新
课堂巩固训练
课后强化作业
第二章 ·§4 ·第1课时
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
知能目标解读
1．理解在二次函数的图像中 a，b，c，h，k 的作用，领 会研究二次函数图像利用的方法，并能变换得到其它函数． 2．掌握二次函数解析式的表示法，并能灵活应用．
第二章 ·§4 ·第1课时
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
重点难点点拨
重点：二次函数的解析式求法与图像． 难点：二次函数图像的平移变换．
第二章 ·§4 ·第1课时
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
学习方法指导
第二章 ·§4 ·第1课时
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
一、利用描点法作二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像 因为二次函数的图像是一条抛物线，它的基本特征是： ①有顶点；②有对称轴；③有开口方向；所以画二次函数的 图像通常采用描点法——五点法，其步骤是： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角 坐标系中描出顶点 M，并用虚线画出对称轴．
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
知能自主梳理
第二章 ·§4 ·第1课时
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
1．二次函数 函数__________________叫作二次函数．它的定义域是 ________． 如果 b＝c＝0，则函数变为________．我们知道，它的图 像是一条顶点为________的抛物线．________时，抛物线开 口向上，________时，抛物线开口向下．
第二章 ·§4 ·第1课时
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
已知二次函数的图像经过原点和点 A(1,8)， 对称轴为直线 3 x＝－ ，求这个二次函数的解析式． 2
[解析] 设二次函数的解析式为
32 y＝ax＋2 ＋k(a≠0)，
9 4a＋k＝0， 由题意得 25a＋k＝8， 4
第二章 ·§4 ·第1课时
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
[方法总结] 抛物线 y＝a(x＋h)2＋k 在平移时，a 不变， 只是 h 或 k 发生变化，故抛物线的平移问题，关键在于准确 求出顶点的坐标，掌握顶点位置的变化情况．
第二章 ·§4 ·第1课时
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
阅读下面文字后解答问题．有这样一道题目：“已知二 次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像经过点 A(0，a)，B(1，－ 2)，________，求证：这个二次函数图像的对称轴是直线 x＝ 2”． 题目中的横线部分是一段被墨水污染而无法辨认的文 字，请你根据已有的信息，在原题中的横线上，添加一个适 当的条件，把原题补充完整．
第二章 ·§4 ·第1课时
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
在同一坐标系内描点、连线，如图所示．
对三条抛物线在坐标系内的形状和位置比较后可知， 1 2 1 2 1 (1)抛物线 y＝－2x ，y＝－2x －1，y＝－2(x＋1)2－1 的 形状相同．
第二章 ·§4 ·第1课时
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
32 9 ∴y＝2x＋2 － . 2
a＝2， 解得 9 k＝－2.
第二章 ·§4 ·第1课时来自成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
二次函数的平移变换
[例 3] 如何由函数 y＝2x2 的图像变换为函数 y＝2x2＋4x
－6 的图像？ [分析]
[解析]
先配方，再平移．
第二章 ·§4 ·第1课时
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
注意：有些二次函数与 y 轴交点距顶点太远，画图时用 不上，这时需利用函数的对称性列表，以顶点为中心，对称 地选取两对对称点(每对对称点的横坐标与顶点横坐标的差的 绝对值相等)，然后描出这五个点，顺次连接并延伸，就得到 函数的图像．
将 y＝2x2＋4x－6 配方得 y＝2(x＋1)2－8，
因此，把函数 y＝2x2 的图像向左平移 1 个单位长度，得 到函数 y＝2(x＋1)2 的图像，再向下平移 8 个单位长度，得到 函数 y＝2(x＋1)2－8 的图像，即函数 y＝2x2＋4x－6 的图像．
第二章 ·§4 ·第1课时
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
第二章 ·§4 ·第1课时
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
求二次函数解析式
设二次函数的图像的顶点坐标为(－2,4)，图像与
[例 2]
x 轴的两个交点间的距离为 8，求这个二次函数的解析式． [分析] 来解题． 由于其图像的顶点坐标为(－2,4)， 故设其顶点式
第二章 ·§4 ·第1课时
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
位，再向上平移 3 个单位，便得到函数 y＝x2－2x＋1 的图像， 求 b 与 c. [分析] 要求 b 与 c， 需先求函数 y＝x2＋bx＋c 的解析式，
要求解析式，应先求抛物线的顶点坐标，根据两条抛物线的 平移情况可以确定其顶点坐标．