余弦定理证明
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由 a c 得 sin A sin C
csin A a sin CL (1)
同理csin B bsin CL (2)
利用B (C A)代入(2)消去角B得
c cos A b a cosCL (3)
利用(1)2 +(3)2消去A即得证
法五:正弦定理的推论
求证 : c2 a2 b2 2ab cos C
C
B
aD
y
法二:坐标法
b
A (bcosC,bsinC)
c?
CO
a
B (a,0) x
解:以C为原点,BC为x轴建立直角坐标系
c (bcosC a)2 (bsin C 0)2
c b2 cos2 C 2abcosC a2 b2 sin2 C
c2 a2 b2 2ab cosC
法一：作高法
解 : 过A点作AD BC交BC于点D
A
AD bsin C,CD b cos C
BD BC CD a b cosC
b
c 在直角三角形ABC中,由勾股定理得
c2 (b sin C)2 (a b cos C)2
c2 a2 b2 2ab cos C
证明: 右边 (2Rsin A)2 (2Rsin B)2 8R2 sin Asin B cosC
右边 4R2 sin2 ( A B)
利用c 2Rsin C证明由C (A B)得
c2 4R2(sin2 Acos2 B cos2 Asin2 B 2sin Acos Asin B cos B)
法三:向量法
b
C
a
A
uuur r uuur r uuur r
令CA b,CB a, AB c
c
r rr
由三角形法则有c a b
B
r | c |
r2 c
rr (a b)2
|
r c
|2
r2 a
wenku.baidu.com
r2 b
r 2a
r b
c2 a2 b2 2ab cosC
法四:正弦定理
把 cos2 A 1 sin2 A, cos2 B 1 sin2 B代入得
c2 a2 b2 2ab cosC
csin A a sin CL (1)
同理csin B bsin CL (2)
利用B (C A)代入(2)消去角B得
c cos A b a cosCL (3)
利用(1)2 +(3)2消去A即得证
法五:正弦定理的推论
求证 : c2 a2 b2 2ab cos C
C
B
aD
y
法二:坐标法
b
A (bcosC,bsinC)
c?
CO
a
B (a,0) x
解:以C为原点,BC为x轴建立直角坐标系
c (bcosC a)2 (bsin C 0)2
c b2 cos2 C 2abcosC a2 b2 sin2 C
c2 a2 b2 2ab cosC
法一：作高法
解 : 过A点作AD BC交BC于点D
A
AD bsin C,CD b cos C
BD BC CD a b cosC
b
c 在直角三角形ABC中,由勾股定理得
c2 (b sin C)2 (a b cos C)2
c2 a2 b2 2ab cos C
证明: 右边 (2Rsin A)2 (2Rsin B)2 8R2 sin Asin B cosC
右边 4R2 sin2 ( A B)
利用c 2Rsin C证明由C (A B)得
c2 4R2(sin2 Acos2 B cos2 Asin2 B 2sin Acos Asin B cos B)
法三:向量法
b
C
a
A
uuur r uuur r uuur r
令CA b,CB a, AB c
c
r rr
由三角形法则有c a b
B
r | c |
r2 c
rr (a b)2
|
r c
|2
r2 a
wenku.baidu.com
r2 b
r 2a
r b
c2 a2 b2 2ab cosC
法四:正弦定理
把 cos2 A 1 sin2 A, cos2 B 1 sin2 B代入得
c2 a2 b2 2ab cosC