轨迹方程经典例题

轨迹方程经典例题

一、轨迹为圆的例题：

1、长为2a 的线段的两个端点在x 轴和y 轴上移动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程：

2、已知M 与两个定点（0,0），A （3,0）的距离之比为

2

1

，求点M 的轨迹方程; 3、线段AB 的端点B 的坐标是（4,3），端点A 在圆1)1(22=++y x 上运动，求AB 的中点M 的轨迹。

4、已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是() A.圆 B.椭圆C.双曲线的一支 D.抛物线

5、高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________. 二、 椭圆类型：

1、点M(x ,y )与定点F(2，0)的距离和它到定直线

=x 离之比为

2

1

，求点M 的轨迹方程. 2、一个动圆与圆0562

2

=+++x y x 外切，同时与圆

091622=--+x y x 内切，求动圆的圆心轨迹方程。

3、点M(00,y x )圆1F 9)1(2

2=++y x 上的一个动点,点2F （1,0）为定点。线段2MF 的垂直平分线与1MF 相

点Q(x ,y ),求点Q 的轨迹方程;

4、设点A,B 的坐标分别是（-5,0），（5,0），直线AM,BM

于点M ，且他们的斜率的乘积为9

4

-，求点M 的轨迹

5、已知动点),(y x M 到直线4:=x l 的距离是它到点)0,1(N 的距离的2倍。（1）求动点M 的轨迹C 的方程 三、双曲线类型：

1、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为32。（1）求圆心的P 的轨迹方程；

2、设A 1、A 2是椭圆492

2y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1

与A 2P 2交点的轨迹方程为()A.1492

2=+y x

B.14

92

2=+x y C.14

92

2=-y x D.1

492

2=-x y

3、△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a ,0)，且满足条件sin C －sin B =2

1

sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________.

4、点M(x ,y )与定点F(5，0)的距离和它到定直线516=x 的距离之比为4

5

，求点M 的轨迹方程

四、抛物线类型

1、已知动圆过定点)0,4(A ，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.求动圆圆心的轨迹C 的方程； 一、 抛物线类型：

1、点M(x ,y )与定点F(2，0)的距离和它到定直线2-=x 的距离相等，求点M 的轨迹方程。

2、已知三点(0,0)O ，(2,1)A -，(2,1)B ，曲线C 上任意一点(,)M x y 满足

||()2MA MB OM OA OB +=⋅++u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r

。

（1）求曲线C 的方程；

）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的点均在C 2：（x-5）2＋y 2=9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线C 1的方程；

（湖北）设A 是单位圆x 2+y 2=1上的任意一点，i 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线i 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足丨DM 丨=m 丨DA 丨（m>0,且m ≠1）。当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C 。 （I ） 求曲线C 的方程

（辽宁）如图，椭圆0C ：22

221(0x y a b a b

+=>>，a ，

b 为常数)，动圆22211:C x y t +=，1b t a <<。点12,A A 分别为0C 的左，右顶点，1C 与0C 相交于A ，B ，C ，D 四点。

(Ⅰ)求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程;

（四川）如图，动点M 到两定点(1,0)A -、(2,0)B 构成MAB ∆，且2MBA MAB ∠=∠，设动点M 的轨迹为C 。 （Ⅰ）求轨迹C 的方程；

已知定点(3,1)A 、B 为抛物线21y x =+，上任意一点，点P 在线段AB 的中点，当B 点在抛物

线上变动时，求点P 的轨迹方程．

解：设点(,)P x y ，且设点00(,)B x y ，则有2

01y x =+．∵点P 是线段AB 的中点．由中点坐标公式得：

003212

x x y y +⎧=⎪⎨+⎪=⎩，∴002321x x y y =-⎧⎨=-⎩．将此式代入200

1y x =+中，并整理得：2(21)22y x -=-，

即为所求轨迹方程．它是一条抛物线．

19．设椭圆方程为14

22

=+y x ，过点(0,1)M 的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足 2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r

，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程

21．设点A 和B 为抛物线24 (0)y px p =>上原点以外的两个动点，

已知OA OB ⊥，OM AB ⊥，求点M

二、填空题 三、解答题

5.(★★★★)已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.

6.(★★★★)双曲线22

22b

y a x -=1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，

A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.

8.(★★★★★)已知椭圆22

22b

y a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，

∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R .

(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；

(2)设点R 形成的曲线为C ，直线l ：y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值.