人教版-数学-九年级上册-第2课时 垂直于弦的直径 教学案
人教版数学九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》教学设计
人教版数学九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》是圆的一部分性质的教学内容。
本节课主要让学生了解并掌握垂直于弦的直径的性质,能灵活运用这一性质解决相关问题。
教材通过实例引导学生探究,培养学生的观察、思考和动手能力,为后续圆的弦和圆弧的学习打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识,对图形的性质和定理有一定的理解。
但垂直于弦的直径这一性质较为抽象,学生可能难以理解。
因此,在教学过程中,要注重引导学生通过观察、操作、思考、讨论等方式,逐步掌握性质,提高学生的空间想象和逻辑思维能力。
三. 教学目标1.了解垂直于弦的直径的性质,能证明并运用这一性质解决相关问题。
2.培养学生的观察、思考、动手和合作能力。
3.提高学生对圆的一部分性质的兴趣,为后续圆的学习打下基础。
四. 教学重难点1.垂直于弦的直径的性质及其证明。
2.灵活运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法:通过实例引导学生观察、思考,激发学生的学习兴趣。
2.问题驱动法:提出问题,引导学生探究,培养学生的解决问题能力。
3.合作学习法:分组讨论,共同完成任务,提高学生的团队协作能力。
4.实践操作法:让学生动手操作,加深对性质的理解。
六. 教学准备1.教学课件:制作课件,展示实例和动画,辅助教学。
2.教学素材:准备相关的几何图形,便于学生观察和操作。
3.教学设备:投影仪、计算机、黑板、粉笔等。
七. 教学过程1.导入(5分钟)利用实例引入课题,展示垂直于弦的直径的性质,激发学生的兴趣。
2.呈现(10分钟)展示垂直于弦的直径的性质,引导学生观察、思考,并提出问题。
3.操练(10分钟)分组讨论,让学生动手操作,证明垂直于弦的直径的性质。
4.巩固(10分钟)出示练习题,让学生独立解答,巩固所学知识。
5.拓展(10分钟)出示一些实际问题,让学生运用垂直于弦的直径的性质解决,提高学生的应用能力。
垂直于弦的直径教案
垂直于弦的直径教案
一、教学目标:
1. 学生能够理解并掌握垂直于弦的直径的定义和性质。
2. 学生能够熟练运用垂直于弦的直径定理解决相关问题。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
二、教学内容:
1. 垂直于弦的直径的定义:在圆中,过圆心且与弦垂直的线段称为该弦的直径。
2. 垂直于弦的直径的性质:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧。
3. 垂直于弦的直径定理的应用:通过实例讲解如何运用垂直于弦的直径定理解决问题。
三、教学策略:
1. 导入新课:通过提问或展示相关图片,引导学生回顾圆的基本概念,为学习垂直于弦的直径做好铺垫。
2. 讲解新知:通过讲解和示范,让学生理解垂直于弦的直径的定义和性质,并通过实物模型或动画演示,帮助学生形象地理解垂直于弦的直径的概念。
3. 实践操作:设计一些实际问题,让学生运用垂直于弦的直径定理进行求解,提高学生的实际操作能力和问题解决能力。
4. 课堂小结:总结本节课的主要内容,让学生复述垂直于弦的直径的定义和性质,以及如何运用垂直于弦的直径定理解决问题。
四、教学资源:
1. 教材:《中学数学》
2. 实物模型:圆规、直尺、圆规等
3. 动画演示:利用电脑软件或PPT制作垂直于弦的直径的动画演示。
4. 练习题:设计一些关于垂直于弦的直径的问题,让学生进行实践操作。
五、教学评价:
1. 过程评价:观察学生在实践操作中的表现,了解学生对垂直于弦的直径的理解程度和应用能力。
2. 结果评价:通过课堂小结和课后作业,检查学生对垂直于弦的直径的定义、性质和定理的理解和应用情况。
人教版九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》公开课教学设计
人教版九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》公开课教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》这一节主要讲述了圆中垂直于弦的直径的性质。
通过这一节的学习,学生能够理解并掌握垂直于弦的直径的性质,并能运用这一性质解决相关问题。
教材通过例题和练习题的形式,帮助学生巩固所学知识,提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础,对圆的基本概念和性质有所了解。
但是,对于圆中垂直于弦的直径的性质,他们可能还比较陌生。
因此,在教学过程中,需要引导学生从已有的知识出发,逐步探究和理解新知识。
三. 教学目标1.理解并掌握圆中垂直于弦的直径的性质。
2.能够运用垂直于弦的直径的性质解决相关问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.垂直于弦的直径的性质。
2.如何运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.引导探究法:通过引导学生观察、思考和讨论,让学生自主发现和理解垂直于弦的直径的性质。
2.例题讲解法:通过讲解典型例题,让学生掌握运用垂直于弦的直径的性质解决问题的方法。
3.练习法:通过课堂练习和课后作业,巩固所学知识,提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材。
2.准备典型例题和练习题。
3.准备黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入(5分钟)通过回顾圆的基本性质和概念,引导学生进入新的学习内容。
2.呈现(10分钟)展示圆中垂直于弦的直径的性质,引导学生观察和思考。
3.操练(15分钟)讲解典型例题,让学生掌握运用垂直于弦的直径的性质解决问题的方法。
4.巩固(10分钟)布置课堂练习题,让学生巩固所学知识。
5.拓展(5分钟)通过解决实际问题,让学生运用所学知识解决实际问题。
6.小结(5分钟)总结本节课所学内容,引导学生理解垂直于弦的直径的性质。
7.家庭作业(5分钟)布置课后作业,巩固所学知识。
8.板书(5分钟)板书本节课的主要内容和重点。
人教版数学九年级上册《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计
人教版数学九年级上册《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计一. 教材分析《24.1.2垂直于弦的直径》是人教版数学九年级上册第24章《圆》的第二个知识点。
本节课主要学习了圆中一条特殊的直径——垂直于弦的直径,并探究了它的性质。
教材通过实例引导学生发现垂直于弦的直径的性质,并运用这一性质解决一些与圆有关的问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前,已经掌握了圆的基本概念、圆的周长和面积计算、圆的性质等知识。
他们具备了一定的观察、分析和解决问题的能力。
但对于垂直于弦的直径的性质及其应用,可能还比较陌生。
因此,在教学过程中,需要注重引导学生发现和总结垂直于弦的直径的性质,并通过实例让学生体会其在解决实际问题中的应用。
三. 教学目标1.理解垂直于弦的直径的性质。
2.学会运用垂直于弦的直径的性质解决与圆有关的问题。
3.培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.垂直于弦的直径的性质。
2.运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.引导发现法:通过实例引导学生发现垂直于弦的直径的性质。
2.实践操作法:让学生动手画图,加深对垂直于弦的直径性质的理解。
3.问题驱动法:设置问题,引导学生运用垂直于弦的直径的性质解决问题。
六. 教学准备1.课件:制作课件,展示相关实例和问题。
2.练习题:准备一些与垂直于弦的直径性质有关的练习题。
3.圆规、直尺等画图工具:为学生提供画图所需的工具。
七. 教学过程1.导入(5分钟)通过一个实际问题引入本节课的主题:在一个圆形池塘中,怎样找到一个点,使得从该点到池塘边缘的距离最远?引导学生思考,并提出解决问题的方法。
2.呈现(10分钟)展示几个与垂直于弦的直径性质相关的实例,引导学生观察和分析这些实例,发现垂直于弦的直径的性质。
3.操练(10分钟)让学生动手画图,验证垂直于弦的直径的性质。
在这个过程中,引导学生运用圆规、直尺等画图工具,提高他们的动手能力。
《垂直于弦的直径》教案
《垂直于弦的直径》教案第一章:导入教学目标:1. 引导学生观察和思考圆中的垂直关系。
2. 激发学生对垂直于弦的直径的兴趣和好奇心。
教学内容:1. 引导学生回顾圆的基本概念和性质。
2. 引导学生观察和思考圆中垂直于弦的直径的特点。
教学活动:1. 引导学生观察和描述圆中的垂直关系。
2. 引导学生思考垂直于弦的直径的性质和特点。
教学评估:1. 观察学生对垂直于弦的直径的兴趣和参与程度。
2. 评估学生对垂直于弦的直径性质的理解和应用能力。
第二章:理论讲解教学目标:1. 帮助学生理解垂直于弦的直径的性质。
2. 引导学生通过几何推理证明垂直于弦的直径的性质。
教学内容:1. 介绍垂直于弦的直径的性质。
2. 引导学生通过几何推理证明垂直于弦的直径的性质。
教学活动:1. 引导学生观察和分析垂直于弦的直径的性质。
2. 引导学生运用几何推理证明垂直于弦的直径的性质。
教学评估:1. 观察学生对垂直于弦的直径性质的理解程度。
2. 评估学生运用几何推理证明垂直于弦的直径性质的能力。
第三章:实例解析教学目标:1. 帮助学生通过实例分析和理解垂直于弦的直径的性质。
2. 培养学生运用垂直于弦的直径性质解决实际问题的能力。
教学内容:1. 提供实例,引导学生分析和理解垂直于弦的直径的性质。
2. 引导学生运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
教学活动:1. 引导学生分析和理解实例中垂直于弦的直径的性质。
2. 引导学生运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
教学评估:1. 观察学生对实例中垂直于弦的直径性质的理解程度。
2. 评估学生运用垂直于弦的直径性质解决实际问题的能力。
第四章:练习与巩固教学目标:1. 帮助学生巩固对垂直于弦的直径的理解和应用能力。
2. 培养学生通过练习题解决问题的能力。
教学内容:1. 提供练习题,引导学生巩固对垂直于弦的直径的理解和应用能力。
教学活动:1. 引导学生独立完成练习题。
2. 引导学生与同伴交流讨论,共同解决问题。
垂直于弦的直径教案
课题:垂直于弦的直径教材:人教版九年级数学(上册)一、目标分析①知识技能:在学生理解圆是轴对称图形的基础上理解垂径定理及有关结论,并能初步运用它们解决相关问题。
②过程与方法:学生经历垂径定理及其推论的探索、证明和应用的过程,培养学生的主动探究和创新意识,体验数形结合及转化的数学思想。
③情感态度与价值观:通过问题的提出、探索、解决的过程,使学生领会数学的严谨性,培养学生实事求是的科学态度。
二、教学重难点【重点】:理解掌握垂径定理及其推论,并能初步应用。
【难点】:垂径定理的推导过程。
三、教学方法与手段教学方法:采用直观演示法、实验操作法和启发探索法。
教学手段:多媒体与学具相结合。
四、教学过程(一)设疑激趣,导入课题1、让学生通过课件欣赏几幅美丽的拱桥图片,以赵州桥为例,提问:已知主桥拱的跨度与拱高,能求出主桥拱的半径吗?7.2米37.4米2、通过动画演示把赵州桥主桥拱抽象为弓形纸片,把问题转化为已知弦和折痕的长,求原来圆的半径。
(二)动手操作,尝试发现1、让学生把圆形纸片沿着任意一条直径所在是直线折叠 发现:圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
(所以圆的对称轴有无数条)2、让学生在圆形纸片上任作一条弦AB ,再作垂直于这条弦的直径CD ,垂足为E ,将圆形纸片沿CD 折叠,同桌一起操作,观察,讨论,猜想。
看图中有哪些相等的线段和弧。
学生不难发现:有AE=BE , AC = BC A D =BD(三)证明猜想,发现定理猜想的结果是否正确,需要进行理论证明。
1、让学生分析猜想的题设与结论,结合图形写出已知和求证。
已知:在⊙O 中,CD 是直径,AB是弦,CD ⊥AB ,垂足为E 求证:AE=BEA D =BD,AC = BC证明:连结OA 、OB ,∵ OA=OB,∴△OAB 为等腰三角形 又∵OE ⊥AB, ∴AE=BE∵ CD 所在的直线是线段AB 的垂直平分线. ∴ 当把⊙O 沿CD 折叠时,点A 与点B 重合.弧AC 、AD 分别与弧BC 、BD 重合。
《垂直于弦的直径》教案
《垂直于弦的直径》教案一、教学目标1. 让学生理解垂直于弦的直径的性质。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生的观察能力、推理能力和表达能力。
二、教学内容1. 垂直于弦的直径的性质。
2. 应用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
三、教学重点与难点1. 教学重点:垂直于弦的直径的性质及应用。
2. 教学难点:理解并证明垂直于弦的直径的性质。
四、教学方法1. 采用问题驱动法,引导学生观察、思考、推理。
2. 利用几何画板或实物模型,直观展示垂直于弦的直径的性质。
3. 组织小组讨论,培养学生合作学习的能力。
五、教学过程1. 导入:通过一个实际问题,引发学生对垂直于弦的直径性质的思考。
2. 新课导入:介绍垂直于弦的直径的性质,引导学生观察、推理。
3. 实例讲解:利用几何画板或实物模型,展示垂直于弦的直径的性质。
4. 证明过程:引导学生尝试证明垂直于弦的直径的性质。
5. 练习巩固:布置一些相关练习题,让学生巩固所学知识。
6. 课堂小结:总结本节课的主要内容和垂直于弦的直径的性质。
7. 课后作业:布置一些拓展性作业,培养学生的应用能力。
六、教学评估1. 课堂提问:通过提问了解学生对垂直于弦的直径性质的理解程度。
2. 练习反馈:收集学生的练习作业,评估其掌握情况。
3. 小组讨论:观察学生在小组讨论中的表现,了解其合作能力和解决问题的能力。
七、教学拓展1. 引导学生思考:垂直于弦的直径性质在实际问题中的应用。
2. 推荐相关阅读材料:为学生提供一些关于垂直于弦的直径性质的深入研究文章或书籍。
八、教学反思1. 总结本节课的教学效果:回顾教学过程,评估学生的学习成果。
2. 发现问题与改进措施:分析教学中存在的问题,提出改进措施。
九、课后作业1. 巩固练习:布置一些关于垂直于弦的直径性质的练习题,让学生巩固所学知识。
2. 拓展应用:让学生尝试解决一些实际问题,运用垂直于弦的直径性质。
十、课程资源1. 教学课件:制作精美的课件,辅助教学。
人教版数学九年级上册教学设计24.1.2《垂直于弦的直径》
人教版数学九年级上册教学设计24.1.2《垂直于弦的直径》一. 教材分析《垂直于弦的直径》是人教版数学九年级上册第24章《圆》的一部分。
本节课主要内容是让学生掌握垂径定理,理解并证明圆中的一些特殊性质。
通过学习,学生能够运用垂径定理解决实际问题,提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前,已经掌握了圆的基本概念、圆的性质、圆的周长和面积等知识。
但部分学生对圆的性质理解不够深入,对圆中特殊位置关系的判断和证明能力较弱。
因此,在教学过程中,要注重引导学生发现圆中的垂直关系,培养学生动手操作和解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能:让学生掌握垂径定理,学会运用垂径定理解决圆中的问题。
2.过程与方法:培养学生观察、分析、归纳、推理的能力,提高动手操作和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观:激发学生学习圆的性质的兴趣,培养学生团队协作和积极参与的精神。
四. 教学重难点1.重点:垂径定理的理解和运用。
2.难点:圆中特殊位置关系的判断和证明。
五. 教学方法1.情境教学法:通过实物演示、图形展示等手段,引导学生发现圆中的垂直关系。
2.问题驱动法:设计一系列问题,引导学生思考和探究,激发学生的学习兴趣。
3.合作学习法:学生进行小组讨论和探究,培养学生的团队协作能力。
4.讲授法:教师讲解垂径定理及相关性质,引导学生理解和掌握。
六. 教学准备1.准备相关图形和实物,如圆、弦、直径等。
2.准备多媒体教学设备,如投影仪、电脑等。
3.准备练习题和测试题,用于巩固和检验学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入(5分钟)利用实物或图形,展示圆中的垂直关系,引导学生关注垂直于弦的直径。
提问:你们发现了吗?垂直于弦的直径有什么特殊的性质吗?2.呈现(10分钟)介绍垂径定理的内容,并用多媒体展示垂径定理的证明过程。
让学生理解并掌握垂径定理。
3.操练(10分钟)设计一系列练习题,让学生运用垂径定理解决问题。
教师引导学生思考和探究,解答学生的疑问。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第24章 圆(教案)24.1.2 垂直于弦的直径教案
24.1圆的有关性质24.1.2垂直于弦的直径一、教学目标【知识与技能】1.通过观察实验,使学生理解圆的轴对称性.2.掌握垂径定理及其推论.理解其证明,并会用它解决有关的证明与计算问题.【过程与方法】通过探索垂径定理及其推论的过程,进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.【情感态度与价值观】1.结合本课特点,向学生进行爱国主义教育和美育渗透.2.激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望.二、课型新授课三、课时1课时。
四、教学重难点【教学重点】垂径定理及其推论,会运用垂径定理等结论解决一些有关证明,计算和作图问题.【教学难点】垂径定理及其推论.五、课前准备课件、图片、直尺等.六、教学过程(一)导入新课你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?(出示课件2)(二)探索新知探究一圆的轴对称性教师问:把一个圆沿着它的任意一条直径对折,重复几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论?(出示课件4)学生通过自己动手操作,归纳出结论:圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴.出示课件5:教师问:圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?学生答:圆是轴对称图形,任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.思考:如何来证明圆是轴对称图形呢?出示课件6:已知:在⊙O中,CD是直径,AB是弦,CD⊥AB,垂足为E.教师问:此图是轴对称图形吗?学生答:是轴对称图形.教师问:满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢?师生共同解答如下:(出示课件7)证明:连结OA、OB.则OA=OB.又∵CD⊥AB,∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.∴对于圆上任意一点,在圆上都有关于直线CD的对称点,即⊙O关于直线CD对称.师生进一步认知:圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.探究二垂径定理及其推论出示课件8:如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?为什么?学生独立思考后口答:线段:AE=BE弧:AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒学生简述理由:把圆沿着直径CD折叠时,CD两侧的两个半圆重合,点A 与点B重合,AE与BE重合,重合.教师总结归纳:(出示课件9)垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.推导格式:∵CD是直径,CD⊥AB,∴AE=BE,AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒教师强调:垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.想一想:下列图形是否具备垂径定理的条件?如果不是,请说明为什么?(出示课件10)学生独立思考后口答:1图是;2图不是,因为没有垂直;3图是;4图不是,因为CD没有过圆心.教师强调:垂径定理的几个基本图形:(出示课件11)出示课件12:如果把垂径定理(垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧)结论与题设交换一条,命题是真命题吗?①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗?学生思考后教师总结:深化认知:(出示课件13)如图,①CD是直径;②CD⊥AB,垂足为E;③AE=BE;④AC⌒=BC⌒;⑤AD⌒=BD⌒.举例证明其中一种组合方法.学生思考后独立解决,并加以交流,教师加以指导,并举例.(出示课件14)如图,AB是⊙O的一条弦,作直径CD,使AE=BE.(1)CD⊥AB吗?为什么?⑵AC⌒与BC⌒相等吗?AD⌒与BD⌒相等吗?为什么?证明:⑴连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE,OE=OE∴△AOE≌△BOE(SSS),∴∠AEO=∠BEO=90°,∴CD⊥AB.(2)由垂径定理可得AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒教师归纳总结:(出示课件15)垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.思考:“不是直径”这个条件能去掉吗?如不能,请举出反例.教师强调:圆的两条直径是互相平分的.出示课件16:例1如图,OE⊥AB于E,若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.学生思考后师生共同解答:连接OA,∵OE⊥AB,巩固练习:(出示课件17)如图,⊙O 的弦AB=8cm,直径CE⊥AB 于D,DC=2cm,求半径OC 的长.学生自主思考后,独立解答如下:解:连接OA,∵CE⊥AB 于D,,∴设OC=xcm,则OD=x-2,根据勾股定理,得x 2=42+(x-2)2,∴8AE ===cm.1184(cm)22AD AB ==⨯=解得x=5,即半径OC的长为5cm.出示课件18:例2已知:⊙O中弦AB∥CD,求证:学生思考后师生共同解答.证明:作直径MN⊥AB.∵AB∥CD,∴MN⊥CD.则(垂直于弦的直径平分弦所对的弧)教师强调:平行弦夹的弧相等.师生共同归纳总结:(出示课件19)解决有关弦的问题,经常是过圆心作弦的弦心距(垂线段),或作垂直于弦的直径,连结半径等辅助线,为应用垂径定理创造条件.巩固练习:(出示课件20)如图,在⊙O中,AB、AC为互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,求证:四边形ADOE是正方形.学生独立解答,一生板演.证明:∵OE⊥AC,OD⊥AB,AB⊥AC,∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°.∴四边形ADOE为矩形,AE=12AC,AD=12AB.又∵AC=AB,∴AE=AD.∴四边形ADOE为正方形.出示课件21:例3根据刚刚所学,你能利用垂径定理求出导入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?教师引导学生分析题意,先把实际问题转化为数学问题,然后画出图形进行解答.解:如图,用AB表示主桥拱,设AB所在圆的圆心为O,半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D,与弧AB交于点C,则D是AB的中点,C 是弧AB的中点,CD就是拱高.∴AB=37m,CD=7.23m.∴AD=12AB=18.5m,OD=OC-CD=R-7.23.OA2=AD2+OD2,R2=18.52+(R-7.23)2,解得R≈27.3.即主桥拱半径约为27.3m.巩固练习:(出示课件23)如图a、b,一弓形弦长为cm,弓形所在的圆的半径为7cm,则弓形的高为_______.学生独立思考后解答:如图,分两种情况,弓形的高为5cm或12cm.教师归纳:1.涉及垂径定理时辅助线的添加方法(出示课件24)在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d(圆心到弦的距离),弓形高h的计算题时,常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形,利用垂径定理和勾股定理求解.2.弓形中重要数量关系弦a,弦心距d,弓形高h,半径r之间有以下关系:⑴d+h=r;⑵2 222a r d⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(三)课堂练习(出示课件25-29)1.2.已知⊙O中,弦AB=8cm,圆心到AB的距离为3cm,则此圆的半径为.3.⊙O的直径AB=20cm,∠BAC=30°则弦AC=.4.(分类讨论题)已知⊙O的半径为10cm,弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为.5.已知:如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点.你认为AC和BD有什么关系?为什么?6.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.参考答案:1.C2.5cm3.1034.14cm或2cm5.证明:过O作OE⊥AB,垂足为E,则AE=BE,CE=DE.∴AE-CE=BE-DE.即AC=BD.6.解:连接OC.设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.,OE CD ⊥ 11600300(m)22CF CD ∴==⨯=,根据勾股定理,得222,O C C F O F =+()22230090.R R =+-解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.(四)课堂小结通过这节课的学习,你有哪些收获和体会?(五)课前预习预习下节课(24.1.3)的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计:九、教学反思:1.这节课的教学从利用垂径定理来解决赵州桥桥拱半径问题开始,引入课题从实验入手,得到圆的轴对称性,进而推出垂径定理及推论.教学设计中,从具体、简单、特殊到抽象、复杂、一般,层层递进,以利于提高学生的数学思维能力,同时,注意加强对学生的启发和引导,培养学生们大胆猜想,小心求证的科学研究素质.2.本课的教学方法是将垂径定理和勾股定理有机结合,将圆的问题转化为直角三角形,常作的辅助线是半径或垂直于弦的直径.。
人教版数学九年级上册24.1.2垂直于弦的直径(教案)
3.重点难点解析:在讲授过程中,我会特别强调垂直于弦的直径性质以及它在解决问题中的应用。对于难点部分,我会通过图示和实际操作来帮助大家理解。
(三)实践活动(用时10分钟)
1.分组讨论:学生们将分成若干小组,每组讨论一个与垂直于弦的直径相关的实际问题。
2.实验操作:为了加深理解,我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示垂直于弦的直径如何平分弦及所对的两条弧。
3.成果分享:每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上,以便习,我们了解了垂直于弦的直径的基本概念、重要性和应用。同时,我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一性质的理解。我希望大家能够掌握这些知识点,并在解决几何问题时灵活运用。最后,如果有任何疑问或不明白的地方,请随时向我提问。
3.成果展示:每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
(四)学生小组讨论(用时10分钟)
1.讨论主题:学生将围绕“垂直于弦的直径在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法,并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发:在讨论过程中,我将作为一个引导者,帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-将垂直于弦的直径性质与已学的圆的其他性质(如圆周角定理、弦切角定理)结合使用。
举例解释:
-对于“平分”概念,通过动态演示或实物操作,让学生直观感受直径对弦及所对弧的平分作用;
九年级上册垂直于弦的直径教学设计
九年级上册垂直于弦的直径教学设计九年级上册垂直于弦的直径教学设计作为一名为他人授业解惑的教育工作者,就有可能用到教学设计,教学设计是对学业业绩问题的解决措施进行策划的过程。
那么写教学设计需要注意哪些问题呢?下面是小编整理的九年级上册垂直于弦的直径教学设计,仅供参考,希望能够帮助到大家。
九年级上册垂直于弦的直径教学设计1一、教材分析:本节内容是前面圆的性质的重要体现,是圆的轴对称性的具体化,也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据,同时也是为进行圆的计算和作图提供了方法和依据,所以它在教材中处于非常重要的位置。
另外,本节课通过实验——观察——猜想合作交流证明的途径,进一步培养学生的动手能力,观察能力,分析、联想能力、与人合作交流的能力,同时利用圆的轴对称性,可以对学生进行数学美的教育。
因此,这节课无论从知识上,还是在从学生能力的培养及情感教育方面都起着十分重要的作用。
通过分析,我们看到垂径定理在教材中起着重要的作用,是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要依据,它有广泛的应用,因此,本节课的教学重点是:垂径定理及其应用。
由于垂径定理的题设与结论比较复杂,很容易混淆遗漏,所以,对垂径定理的题设与结论区分是难点之一,同时,对定理的证明方法叠合法学生不常用到,是本节的又一难点。
因此,本节课的难点是:对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明方法。
而理解垂径定理的关键是圆的轴对称性。
二、目的分析:新课程下的数学活动必须建立在学生已有的认知发展水平及知识经验基础之上。
新数学课程数理念下的数学教学不仅是知识的教学,技能的训练,更应重视能力的培养及情感的教育,因此根据本节课教材的地位和作用,结合我所教学生的特点,我确定本节课的教学目标如下:知识与技能:使学生理解圆的轴对称性;掌握垂径定理;学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。
培养学生观察能力、分析能力及联想能力。
过程与方法:教师播放动画、创设情境,激发学生的求知欲望;学生在老师的引导下进行自主探索、合作交流,收获新知;通过分组训练、深化新知,共同感受收获的喜悦。
数学人教版九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》教案
1.教学重点
-理解垂直于弦的直径的定义:通过直观演示和实际操作,让学生明确什么样的直径是垂直于弦的,并能够准确地描述这一概念。
-掌握垂直于弦的直径的性质:分析并理解垂直于弦的直径所具有的性质,如平分弦、垂直平分弦等,并能够运用这些性质解决具体问题。
-应用垂直于弦的直径解决实际问题:培养学生将理论知识应用于解决实际问题的能力,如通过垂直于弦的直径的性质来求解圆的相关问题。
-与其他圆的性质的综合应用:在综合问题中,学生需要将垂直于弦的直径的性质与其他圆的性质结合起来,这对于学生来说是一个挑战。
举例:在讲解垂直于弦的直径的证明过程时,教师可以使用直观的动画或模型,逐步引导学生通过观察和思考,理解证明过程中的每一步。对于难点内容,如灵活运用性质,教师可以通过以下方法帮助学生突破:
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面:
1.培养学生的空间观念和几何直观:通过观察、操作、推理等过程,使学生理解并掌握圆的基本性质,提高对圆的认识,发展空间想象力。
2.提升学生的逻辑推理能力:在学习垂直于弦的直径定义和性质的过程中,引导学生运用逻辑思维进行推理和证明,增强分析解决问题的能力。
举例:讲解垂直于弦的直径定义时,教师可以借助图形,如一个圆和一条弦,通过动画或实物演示,让学生观察并总结出垂直于弦的直径的特点。
2.教学难点
-理解垂直于弦的直径的证明过程:学生往往难以理解为什么垂直于弦的直径会具有平分弦的性质,以及如何通过几何证明来证实这一点。
-灵活运用垂直于弦的直径的性质:在解决具体问题时,学生可能难以迅速找到垂直于弦的直径,并有效地利用其性质来简化问题。
(二)新课讲授(用时10分钟)
1.理论介绍:首先,我们要了解垂直于弦的直径的基本概念。垂直于弦的直径是经过圆中心并且垂直于弦的线段。它在圆的性质中占有重要地位,因为它可以平分弦,并在几何图形中起到关键作用。
《垂直于弦的直径》教案数学教案模板范文
《垂直于弦的直径》教案-数学教案模板范文一、教学目标:知识与技能:1. 让学生理解垂直于弦的直径的性质。
2. 学会运用垂径定理及其推论解决实际问题。
过程与方法:1. 通过观察、分析、归纳,培养学生探索几何图形的性质的能力。
2. 利用几何画板软件,让学生直观地感受垂直于弦的直径的性质。
情感态度价值观:1. 激发学生学习数学的兴趣,培养学生的观察能力。
2. 培养学生合作、交流、归纳的能力,提高学生的几何素养。
二、教学内容:1. 垂直于弦的直径的定义。
2. 垂径定理及其推论。
3. 垂直于弦的直径在几何中的应用。
三、教学重点与难点:重点:1. 垂直于弦的直径的性质。
2. 垂径定理及其推论。
难点:1. 垂直于弦的直径的证明。
2. 运用垂径定理解决实际问题。
四、教学方法:1. 采用问题驱动法,引导学生观察、分析、归纳。
2. 利用几何画板软件,直观演示垂直于弦的直径的性质。
3. 小组讨论,合作探索,培养学生的团队协作能力。
五、教学过程:1. 导入:利用几何画板软件,展示一个圆和一条弦,引导学生观察垂直于弦的直径的性质。
2. 新课导入:介绍垂直于弦的直径的定义,引导学生理解并掌握。
3. 课堂讲解:讲解垂径定理及其推论,结合实际例子,让学生学会运用。
4. 例题解析:分析并解答几个关于垂直于弦的直径的例题,让学生巩固所学知识。
5. 课堂练习:设计一些练习题,让学生运用垂径定理解决实际问题。
6. 总结与拓展:对本节课的内容进行总结,提出一些拓展问题,激发学生的学习兴趣。
7. 课后作业:布置一些课后作业,巩固所学知识。
六、教学评估:1. 课堂问答:通过提问学生,了解他们对垂直于弦的直径性质的理解程度。
2. 练习题解答:检查学生是否能正确运用垂径定理解决实际问题。
3. 小组讨论:观察学生在小组讨论中的表现,评估他们的合作和交流能力。
七、教学反思:在课后,对整个教学过程进行反思,分析教学方法的effectiveness,学生的参与度,以及学生对知识点的掌握情况。
《24.1.2垂直于弦的直径》教案说明
《24.1.2垂直于弦的直径》教案说明《§24.1.2垂直于弦的直径》教案说明一、教材分析1、教材的地位及作用本节教学内容是新人教版九年级(上)第二十四章第一节圆的第二课时学生学习了有关轴对称和中心对称性质为以后学习解决实际问题奠定了基础根据教材的内容及学生实际,安排这部分的授课时间为2个课时.第1课时:依据学生已有的认知基础及本课教材的地位、作用,知识与技能1.理解圆的轴对称性.2.掌握垂径定理,并学会运用垂径定理解决有关证明、计算问题.过程与方法1.积极引导学生通过观察、折叠等数学活动探索定理,在观察、操作和推导活动中,使学生有意识地反思其中的数学思想方法,•发展学生有条理的思考能力及语言表达能力.2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.情感态度与价值观通过联系、发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义观点教育,结合应用问题向学生进行爱国主义教育.三、教法、学法分析针对教材特点及学生的认知水平,通过问题设计,运用启导法引导、启发学生,激发学生的求知欲,充分调动学生学习的积极性、主动性,让学生在课堂上多观察,主动参与到整个教学活动中来组织学生参与实验---观察---猜想---证明的活动,得出定理这符合现代教育理论中的要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学的观点,也符合教学论中自觉性和积极性、教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则.的设计也反应特殊与一般的关系,渗透辩证唯物主义的观点.教学中我另外,还注重不同图片的颜色对比来启发学生,运用投影仪提高教学效率.预习的习惯第2页共2页你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?设疑激趣探索圆的轴对称性活动探索探索并证明垂径定理猜想论证基础训练运用新知求赵州桥主桥拱的半径回应开头综合训练巩固提高师生小结归纳反思。
垂直于弦的直径教案人教版九年级上册数学
垂直于弦的直径教学目标1、学习垂径定理;2、学会垂径定理的证明.教学重点:垂径定理及其应用教学难点:找出垂径定理的题设和结论一、课前导入课前谈话请同学们说一说圆师轴对称图形吗?如果是它的对称轴是什么?如何来证明圆是轴对称图形呢?二、主导进程,主体发现:问题1用纸剪一个圆,沿着圆的任意一条直径对折,重复做几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论?【教学说明】学生通过自己动手操作,归纳出圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴.问题2 请同学们完成下列问题:如图,AB是⊙O的一条弦,作直径CD.使CD⊥AB,垂足为M.(1)本图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么呢?(2)你能发现图中有哪些等量关系?说说理由.【教学说明】问题(1)是对圆的轴对称性这一结论的复习与应用,也是为问题(2)作下铺垫,垂径定理是根据圆的轴对称性得出来的.问题(2)可由问题(1)得到,问题(2)由学生合作交流完成,培养他们合作交流和主动参与的意识.三、随堂练习如图,已知在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求⊙O的半径.分析:要求⊙O的半径,连结OA,只要求出OA的长就可以了,因为已知条件点O到AB的距离为3cm,所以作OE ⊥AB于E,而AE=EB= AB=4cm.此时解Rt△AOE即可.解:作OE⊥AB于E.则AE=EB.∵AB=8cm,∴AE=4cm.又∵OE=3cm,在Rt△AOE中,(cm).∴⊙O的半径为5 cm.说明:①学生独立完成,老师指导解题步骤;②应用垂径定理计算:涉及四条线段的长:弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h关系:r =h+d; r2 =d2 + (a)22四、课后探究如图24-1-2-1,AB是⊙O的弦,CD是⊙O的直径,CD⊥AB,垂足为E,则可推出的相等关系是___________.五、总结本节课你收获了什么?。
人教版九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径教学设计
难点:学生在解决具体问题时,能够将垂径定理与所学知识综合运用,形成系统的解题思路。
3.重点:培养学生的几何直观和空间想象能力。
难点:如何设计教学活动,使学生在探索圆的性质过程中,提升几何直观和空间想象能力。
(二)教学设想
1.创设情境,导入新课
在教学开始时,通过展示生活中的圆形物体,如硬币、圆桌等,引导学生观察并思考其中所包含的几何性质。在此基础上,提出本节课要探讨的问题:垂直于弦的直径有哪些性质?
3.注重培养学生的几何直观和空间想象能力,帮助他们将几何知识与实际图形相结合,更好地理解和运用垂径定理。
4.鼓励学生积极参与课堂讨论,分享解题思路和经验,提高他们的合作能力和交流能力。
三、教学重难点和教学设想
(一)教学重难点
1.重点:垂直于弦的直径的性质及其应用。
难点:如何引导学生发现并理解垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧这一性质,并能灵活运用该性质解决相关问题。
4.布置课后作业,要求学生运用垂径定理解决实际问题,巩固课堂所学。
5.教师对本节课的教学进行反思,为下一节课做好准备。
五、作业布置
为了巩固本节课所学的垂径定理及其应用,特此布置以下作业:
1.请同学们完成课本第24.1.2节后的习题1、2、3,并尝试用垂径定理解决实际问题。
2.设计一道关于垂径定理的应用题,要求包含弦长、圆心角等元素,并尝试自己解答。
3.结合生活中的圆形物体,观察并思考其中可能涉及的垂径定理问题,将观察到的现象和问题记录下来,下节课与同学们分享。
4.针对本节课的学习内容,撰写一篇学习心得,内容包括:你对垂径定理的理解、学习过程中的困难与收获、对今后学习的期望等。
5.预习下一节课的内容,提前了解圆中其他相关性质,为课堂学习做好准备。
《垂直于弦的直径》教案
《垂直于弦的直径》教案一、教学目标1. 让学生理解垂直于弦的直径的性质。
2. 学会运用垂径定理及其推论解决实际问题。
3. 培养学生的观察能力、操作能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧。
2. 垂径定理的推论:垂直于弦的直径平分弦所对的优弧,也平分弦所对的劣弧。
三、教学重点与难点1. 教学重点:垂径定理及其推论。
2. 教学难点:如何运用垂径定理及其推论解决实际问题。
四、教学方法1. 采用问题驱动法,引导学生发现垂直于弦的直径的性质。
2. 利用几何画板软件,动态展示垂直于弦的直径的特点。
3. 运用案例分析法,让学生通过实际例子体会垂径定理及其推论的应用。
五、教学过程1. 导入新课:复习相关知识点,如垂径定理和圆的性质。
3. 案例分析:运用垂径定理及其推论解决实际问题,如圆中的面积计算、线段长度关系等。
4. 巩固练习:设计相关练习题,让学生运用垂径定理及其推论解决问题。
六、教学评价1. 评价目标:学生能理解并熟练掌握垂径定理及其推论。
学生能够运用垂径定理及其推论解决几何问题。
学生能够通过几何画板等工具验证垂径定理。
2. 评价方法:课堂提问:检查学生对垂径定理的理解和应用能力。
练习题:评估学生运用垂径定理解决实际问题的能力。
小组讨论:观察学生在团队合作中的表现和思维过程。
七、教学拓展1. 探讨垂径定理在更一般情况下的应用,例如在非圆几何中的适用性。
2. 介绍垂径定理的历史背景和相关的数学故事,激发学生的兴趣。
3. 引导学生思考如何将垂径定理应用到其他数学领域,如三角函数、坐标几何等。
八、教学资源1. 几何画板软件:用于动态展示垂直于弦的直径的性质。
2. 练习题库:提供多种类型的练习题,供学生巩固所学知识。
3. 数学故事书籍:介绍垂径定理的相关历史背景和故事。
九、教学反思1. 反思教学内容:确保垂径定理的教学内容全面,难易适度,适合学生的学习水平。
2. 反思教学方法:考虑是否有效地运用了问题驱动法和案例分析法,以及学生的参与度。
垂直于弦的直径教学教案
垂直于弦的直径教学教案一、教学目标1. 让学生理解垂直于弦的直径的概念。
2. 引导学生掌握垂直于弦的直径的性质和定理。
3. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 垂直于弦的直径的定义。
2. 垂直于弦的直径的性质。
3. 垂直于弦的直径的定理。
三、教学重点与难点1. 教学重点:垂直于弦的直径的概念、性质和定理。
2. 教学难点:垂直于弦的直径的证明和运用。
四、教学方法1. 采用讲授法,讲解垂直于弦的直径的概念、性质和定理。
2. 利用几何画板或实物模型,展示垂直于弦的直径的性质。
3. 引导学生通过小组讨论,发现垂直于弦的直径的定理。
五、教学过程1. 导入:通过回顾圆的基本概念,引导学生思考垂直于弦的直径的含义。
2. 新课:讲解垂直于弦的直径的概念,引导学生理解其性质。
3. 实践:让学生利用几何画板或实物模型,验证垂直于弦的直径的性质。
4. 探究:引导学生通过小组讨论,发现垂直于弦的直径的定理。
5. 总结:总结本节课的主要内容和知识点,强调垂直于弦的直径的性质和定理。
6. 作业:布置相关练习题,巩固所学知识。
7. 课后反思:对本节课的教学效果进行反思,为下一步教学做好准备。
六、教学评价1. 评价目标:检查学生对垂直于弦的直径概念、性质和定理的理解及运用能力。
2. 评价方法:课堂提问:检查学生对垂直于弦的直径的基本概念的理解。
练习题:评估学生运用垂直于弦的直径的性质和定理解决问题的能力。
小组讨论:观察学生在小组活动中参与度和合作程度。
七、教学资源1. 几何画板:用于展示垂直于弦的直径的性质和证明。
2. 实物模型:如圆规和直尺,用于直观展示垂直于弦的直径。
3. PPT课件:提供清晰的垂直于弦的直径的示意图和重要知识点。
4. 练习题库:包括不同难度的题目,用于课后练习和巩固知识。
八、教学进度安排1. 第一课时:介绍垂直于弦的直径的概念和性质。
2. 第二课时:讲解垂直于弦的直径的定理及应用。
3. 第三课时:进行实践活动,让学生运用定理解决实际问题。
《垂直于弦的直径》第2课时 教学设计【初中数学人教版九年级上册】
第二十四章圆24. 1 圆的有关性质教学设计第 2 课时本节是新人教版九年级上册数学第24章《圆》的内容,本节重点学习探索圆的对称性,进而得到垂直于弦的直径所具有的性质;能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题, 使学生领会数学的严谨性和探索精神,培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神.1.探索圆的对称性,进而得到垂直于弦的直径所具有的性质;能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题.2.在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力,使学生感受圆的对称性,体会圆的一些性质,经历探索圆的对称性及相关性质的过程.3.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法;培养学生独立探索,相互合作交流的精神.4.使学生领会数学的严谨性和探索精神,培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神.5.【教学重点】垂直于弦的直径所具有的性质以及证明.【教学难点】利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题.1. 多媒体课件;2. 纸做的圆.一、创设情境,引入新知教材分析教学目标◆教材分析◆教学目标◆教学重难点◆◆课前准备◆◆教学过程活动1:用纸剪一个圆,沿着圆的任意一条直径对折,重复做几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论?(课件:探究圆的性质) 学生活动设计:学生动手操作,观察操作结果,可以发现沿着圆的任意一条直径对折,直径两旁的部分能够完全重合,由此可以发现:圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴. 教师活动设计:在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性. 二、合作交流,探究新知 活动2:按下面的步骤做一做:第一步,在一张纸上任意画一个⊙O ,沿圆周将圆剪下,把这个圆对折,使圆的两半部分重合;第二步,得到一条折痕CD ;第三步,在⊙O 上任取一点A ,过点A 作CD 折痕的垂线,得到新的折痕,其中点M 是两条折痕的交点,即垂足;第四步,将纸打开,新的折痕与圆交于另一点B ,如图1.图1 图2在上述的操作过程中,你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么?(课件:探究垂径定理)学生活动设计:如图2所示,连接OA 、OB ,得到等腰△OAB ,即OA =OB .因CD ⊥AB ,故△OA M 与△OB M 都是直角三角形,又O M 为公共边,所以两个直角三角形全等,则A M =B M .又⊙O 关于直径CD 对称,所以A 点和B 点关于CD 对称,当圆沿着直径CD 对折时,点A 与点B 重合,与重合.因此AM =B M ,=,同理得到.教师活动设计:在学生操作、分析、归纳的基础上,引导学生归纳垂直于弦的直径的性质:AC BC AC BC AD BD(1)垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.想一想:下列图形是否具备垂径定理的条件?如果不是,请说明为什么?➢垂径定理的几个基本图形:如果把垂径定理(垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧)结论与题设交换一条,命题是真命题吗?①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗?◆垂径定理的推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.三、运用新知试一试:根据刚刚所学,你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?解:如图,用AB 表示主桥拱,设AB 所在圆的圆心为O,半径为R.经过圆心O 作弦AB 的垂线OC 垂足为D,与弧AB 交于点C,则 D 是AB 的中点,C 是弧AB 的中点,CD 就是拱高.四、巩固新知1. 如图,OE⊥AB 于E,若⊙O 的半径为10 cm,OE = 6 cm,则AB = cm.2. 如图,⊙O 的弦AB=8cm,直径CE⊥AB 于D,DC =2cm,求半径OC 的长.643. 已知:⊙O 中弦AB ∥CD, 求证:弧AC = 弧BD.4. 如图a 、b,一弓形弦长为cm ,弓形所在的圆的半径为 7 cm ,则弓形的高为___.5. 已知:如图,在以 O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦 AB 交小圆于C ,D 两点.你认为 AC 和 BD 有什么关系?为什么?6. 如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD ,点O 是弧CD 的圆心),其中CD =600m ,E 为弧CD 上的一点,且OE ⊥CD ,垂足为F ,EF =90m .求这段弯路的半径.7. 拓展提升:如图,⊙O 的直径为10,弦AB = 8,P 为AB 上的一个动点,那么OP长的取值范围.五、归纳小结,;;;:;.“”.Rt⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⇒⎧⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⇒⎩⎩⇒⎪垂直于弦的直平分弦容并且平分弦所的弧心垂直于弦平分弦(不是直)推一直足垂定理平分弦所的优弧平分弦所的劣弧足其中件就可以推出其它三(知二推三)助:助半,作弦心距基本形及式形构造利用勾股定理算或建立方程径内对两条①过圆②③径论条线满径④对⑤对满两个条个结论两条辅线辅线连径图变图计略.◆教学反思。
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第2课时垂直于弦的直径
自主学习案
●明确学习内容
教材第81至82页
●理清学习目标
1.探索并了解圆的对称性和垂径定理.
2.能运用垂径定理解决几何证明、计算问题,并会解决一些实际问题.
清晰重点难点
1.垂径定理、推论及其应用(重点).
2.发现并证明垂径定理(难点).
●自主预习练习
1.自读课本第81至82页.
2.学习至此:请完成学生用书“自主学习案”部分.
●激情导入十分
问题:你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?
通过本节课的学习,我们就会很容易解决这一问题.
课堂探究案
●聚焦主题合作探究
圆的轴对称性
围绕课本第81页“探究”,实践操作,思考:圆的对称轴有多少条?圆的任何一条直径都是它的对称轴,这种说法正确吗?
【反思小结】圆有无数条对称轴,直径所在的直线是它的对称轴;因为对称轴是直线,而直径是线段,所以不能说“直径是圆的对称轴”.
【针对训练】
1.下列说法错误的是.
A.圆的直径都是圆的对称轴B.圆的直径所在直线都是圆的对称轴C.过圆心的每条直线都是圆的对称轴D.圆的半径所在直线都是圆的对称轴垂径定理及其推论的推导
2.阅读课本第81页“探究”及第82页上半部分内容.解决问题:
(1)垂径定理:垂直于弦的直径弦,并且弦所对的 .
符号语言:如图,
∵AB为⊙O的直径,AB⊥CD,
∴ = ,
= ,
= .
(2)垂径定理的推论:
弦()的直径垂直于弦,并且弦所对的两条孤.
符号语言:如图,在⊙O中,AB是直径,非直径的弦CD与AB相交于点E,且CE=DE.
∵AB是直径,CE=DE,
∴,, .
思考:为什么要在垂径定理的推论中,加上“(不是直径)”这一限制条件?
【点拨升华】:解决课本第80页“思考”可以综合利用圆的轴对称性和等腰三角形的轴对称性来观察分析.学习垂径定理要注意:(1)条件中的“弦”可以是直径.(2)结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧.学习垂径定理的推论时,一定要注意“弦不是直径”这一条件.这是因为圆的任意两条直径互相平分,但是它们不一定是互相垂直的.【针对训练】
2.判断:平分弦的直径垂直于弦()
3.如图,⊙O的直径AB与弦CD相交于点E,只要再添加
一个条件:,就可得到E是CD的中点.
·
A
B
C D
O
E
垂径定理的应用
例1 你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤
劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧
的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?
思考:从数学的角度分析已知什么几何图形?画出它,分析已知哪些量?要求什么量?
为了解决问题,教材添加了什么辅助线?它有何作用?
【反思小结】在圆中解决有关弦的问题时,常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线.
实际上,往往只需从圆心作一条与弦垂直的线段即可.这样,把垂径定理和勾股定理结合起
来,容易得到圆的半径R,圆心到弦的距离d,弦长a之间的关系式2= 2+ 2.
【针对训练】
4.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的AB
︵
),点O是这段弧的圆心,C是AB
︵
上一点,OC⊥AB,垂足为D,AB=300m,CD=50m,则这段弯路的半径是m.
5.如图,在⊙O中,AB,AC为互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,求
证:四边形ADOE是正方形.
●总结梳理整合提高
1.
_________________________
_________________________
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⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
圆的轴对称性:.
垂径定理:.
垂直于弦的直径
垂径定理的推论:.
利用垂径定理解决问题
2.一种辅助线和一种数学思想方法.
随堂检测案
●针对训练规律总结
请随机完成学生用书“课堂探究案”中针对训练部分.
●当堂检测反馈矫正
1.如图,AB是⊙O的直径,BC是弦,OD⊥BC,垂足为D,已知OD=5,则弦AC= 10 .
2.若圆的半径为2cm,圆中一条弦长为23cm,则此弦中点到此弦所对劣弧中点的距离
是 1 cm.
3.如图,⊙O的半径为5,P为圆内一点,P到圆心O的距离为4,则过P点的弦长的最小值
是 6 .
4.如图,⊙O的半径为5,弦AB=8,M是弦AB上的动点,则OM不可能为(A).
A.2
B.3
C.4
D.5
5.在半径为5cm的圆中,弦AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm,则AB和CD的距离是(D).
A.7cm
B.1cm
C.7cm或4cm
D.7cm或1cm
课后评价案
●课后作业测评
1.上交作业教科书第89页习题24.1第1,8题.
2.课后作业见学生用书的“课后评价案”部分.
●反思在线
·
A
O
M
B
A ·
C
O
D。