【精选】八年级数学整式的乘法与因式分解单元测试题(Word版 含解析)
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【解析】
【分析】
(1)把(x-y)看作一个整体,直接利用十字相乘法因式分解即可;
(2)把a+b看作一个整体,去括号后利用完全平方公式即可将原式因式分解;
(3)将原式转化为 ,进一步整理为(n2+3n+1)2,根据n为正整数得到n2+3n+1也为正整数,从而说明原式是整数的平方.
【详解】
(1) ;
(2) ;
例如:若代数式M=a2﹣2ab+2b2﹣2b+2,利用配方法求M的最小值:a2﹣2ab+2b2﹣2b+2=a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1=(a﹣b)2+(b﹣1)2+1.
∵(a﹣b)2≥0,(b﹣1)2≥0,
(3)利用(1)得出的规律变形,再用完全平方公式进行变形,变成只含a-b及ab的形式,整体代入计算即可得到结果.
【详解】
解:(1) ,
,
,
,
由此规律可得:
an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1),
故答案是:(a-b)(an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1);
(2)阴影部分的面积可以由边长为x+y的大正方形的面积减去边长为x-y的小正方形面积求出,也可以由4个长为x,宽为y的矩形面积之和求出,表示出即可;
(3)两正数和一定,则和的平方一定,根据等式 ,得到被减数一定,差的绝对值越小,即为减数越小,得到差越大,即积越大;当两正数积一定时,即差一定,差的绝对值越小,得到减数越小,可得出被减数越小;
一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题(难)
1.我们知道对于一个图形,通过不同的方法计算图形的面积时,可以得到一个数学等式.例如由图1可以得到 .请回答下列问题:
(1)写出图2中所表示的数学等式是;
(2)如图3,用四块完全相同的长方形拼成正方形,用不同的方法,计算图中阴影部分的面积,你能发现什么?(用含有 , 的式子表示);
(3)原式
.
∵ 为正整数,
∴ 为正整数.
∴代数 的值一定是某个整数的平方.
【点睛】
本题考查因式分解的应用,解题的关键是仔细读题,理解题意,掌握整体思想解决问题的方法.
4.若一个整数能表示成 ( , 是整数)的形式,则称这个数为“完美数”.例如,5是“完美数”,因为 .再如, ( , 是整数),所以 也是“完美数”.
(3)通过上述的等量关系,我们可知:当两个正数的和一定时,它们的差的绝对值越小,则积越(填“大”“或“小”);当两个正数的积一定时,它们的差的绝对值越小,则和越(填“大”或“小”).
【答案】(1) ;(2) ;
(3)大小
【解析】
【分析】
(1)图2面积有两种求法,可以由长为2a+b,宽为a+2b的矩形面积求出,也可以由两个边长为a与边长为b的两正方形,及4个长为a,宽为b的矩形面积之和求出,表示即可;
【解析】
【分析】
(1)将1分成1乘以1,12分成-3乘以-4,交叉相乘的结果为-7,即可得到答案;
(2)将3分成1乘以3,-1分成-1乘以1,由此得到分解因式的结果.
【详解】
(1)y2﹣7y+12=(x﹣3)(x﹣4);
(2)3x2﹣2x﹣1=(x﹣1)(3x+1).
【点睛】
此题考查十字相乘法分解因式,将二次项系数及常数项分解成两个因数相乘,交叉相乘的结果相加得到一次项的系数,能准确分解因数是解题的关键.
(2) (结果用幂表示).
(3)已知 ,求 .
【答案】(1)(a-b)(an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1);(2)264-1;(3)76.
【解析】
【分析】
(1)根据规律可得结果(a-b)(an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1);
(2)利用(1)得出的规律先计算(2-1) )即可得出结果;
(1)请你再写一个小于10的“完美数”,并判断29是否为“完美数”;
(2)已知 ( , 是整数,是常数),要使S为“完美数”,试求出符合条件的一个 值,并说明理由.
(3)如果数m,n都是“完美数”,试说明mn也是“完美数”..
【答案】(1)8、29是完美数(2)S是完美数(3)mn是完美数
【解析】
【分析】
3.(阅读材料)
因式分解: .
解:将“ ”看成整体,令 ,则原式 .
再将“ ”还原,原式 .
上述解题用到的是“整体思想”,整体思想是数学解题中常用的一种思想方法.
(问题解决)
(1)因式分解: ;
(2)因式分解: ;
(3)证明:若 为正整数,则代数式 的值一定是某个整数的平方.
【答案】(1) .(2) ;(3)见解析.
十字相乘法:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角;再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角;然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数(如图),如:将式子 和 分解因式,如图:
;
.
请你仿照以上方法,探索解决下列问题:
(1)分解因式: ;
(2)分解因式: .
【答案】(1)(x﹣3)(x﹣4);(2)(x﹣1)(3x+1).
(2)由(1)的规律可得
(2-1) =264-1,
=264-1.
故答案是:264-1.
(3)已知 ,求 .
= 2+3 ]
=7ຫໍສະໝຸດ Baidu.
故答案是:76.
【点睛】
此题考查了多项式乘以多项式,弄清题中的规律是解本题的关键.
6.把代数式通过配凑等手段,得到完全平方式,再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件,这种解题方法通常被称为配方法.配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用.
(1)利用“完美数”的定义可得;
(2)利用配方法,将S配成完美数,可求k的值
(3)根据完全平方公式,可证明mn是“完美数”;
【详解】
(1)
(2)
(3) ,则
即mn也是完美数.
【点睛】
本题考查了因式分解的应用,完全平方公式的运用,阅读理解题目表述的意思是本题的关键.
5.观察下列等式:
完成下列问题:
(1) ___________
【详解】
(1)看图可知,
(2)
(3)当两个正数的和一定时,它们的差的绝对值越小则积越大;当两个正数的积一定时,它们的差的绝对值越小则和越小.
【点睛】
本题考点:整式的混合运算,此题考查了整式的混合运算的应用,弄清题意是解本题的关键.
2.先阅读下列材料:我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法,其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等等,其中十字相乘法在高中应用较多.
【分析】
(1)把(x-y)看作一个整体,直接利用十字相乘法因式分解即可;
(2)把a+b看作一个整体,去括号后利用完全平方公式即可将原式因式分解;
(3)将原式转化为 ,进一步整理为(n2+3n+1)2,根据n为正整数得到n2+3n+1也为正整数,从而说明原式是整数的平方.
【详解】
(1) ;
(2) ;
例如:若代数式M=a2﹣2ab+2b2﹣2b+2,利用配方法求M的最小值:a2﹣2ab+2b2﹣2b+2=a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1=(a﹣b)2+(b﹣1)2+1.
∵(a﹣b)2≥0,(b﹣1)2≥0,
(3)利用(1)得出的规律变形,再用完全平方公式进行变形,变成只含a-b及ab的形式,整体代入计算即可得到结果.
【详解】
解:(1) ,
,
,
,
由此规律可得:
an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1),
故答案是:(a-b)(an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1);
(2)阴影部分的面积可以由边长为x+y的大正方形的面积减去边长为x-y的小正方形面积求出,也可以由4个长为x,宽为y的矩形面积之和求出,表示出即可;
(3)两正数和一定,则和的平方一定,根据等式 ,得到被减数一定,差的绝对值越小,即为减数越小,得到差越大,即积越大;当两正数积一定时,即差一定,差的绝对值越小,得到减数越小,可得出被减数越小;
一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题(难)
1.我们知道对于一个图形,通过不同的方法计算图形的面积时,可以得到一个数学等式.例如由图1可以得到 .请回答下列问题:
(1)写出图2中所表示的数学等式是;
(2)如图3,用四块完全相同的长方形拼成正方形,用不同的方法,计算图中阴影部分的面积,你能发现什么?(用含有 , 的式子表示);
(3)原式
.
∵ 为正整数,
∴ 为正整数.
∴代数 的值一定是某个整数的平方.
【点睛】
本题考查因式分解的应用,解题的关键是仔细读题,理解题意,掌握整体思想解决问题的方法.
4.若一个整数能表示成 ( , 是整数)的形式,则称这个数为“完美数”.例如,5是“完美数”,因为 .再如, ( , 是整数),所以 也是“完美数”.
(3)通过上述的等量关系,我们可知:当两个正数的和一定时,它们的差的绝对值越小,则积越(填“大”“或“小”);当两个正数的积一定时,它们的差的绝对值越小,则和越(填“大”或“小”).
【答案】(1) ;(2) ;
(3)大小
【解析】
【分析】
(1)图2面积有两种求法,可以由长为2a+b,宽为a+2b的矩形面积求出,也可以由两个边长为a与边长为b的两正方形,及4个长为a,宽为b的矩形面积之和求出,表示即可;
【解析】
【分析】
(1)将1分成1乘以1,12分成-3乘以-4,交叉相乘的结果为-7,即可得到答案;
(2)将3分成1乘以3,-1分成-1乘以1,由此得到分解因式的结果.
【详解】
(1)y2﹣7y+12=(x﹣3)(x﹣4);
(2)3x2﹣2x﹣1=(x﹣1)(3x+1).
【点睛】
此题考查十字相乘法分解因式,将二次项系数及常数项分解成两个因数相乘,交叉相乘的结果相加得到一次项的系数,能准确分解因数是解题的关键.
(2) (结果用幂表示).
(3)已知 ,求 .
【答案】(1)(a-b)(an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1);(2)264-1;(3)76.
【解析】
【分析】
(1)根据规律可得结果(a-b)(an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1);
(2)利用(1)得出的规律先计算(2-1) )即可得出结果;
(1)请你再写一个小于10的“完美数”,并判断29是否为“完美数”;
(2)已知 ( , 是整数,是常数),要使S为“完美数”,试求出符合条件的一个 值,并说明理由.
(3)如果数m,n都是“完美数”,试说明mn也是“完美数”..
【答案】(1)8、29是完美数(2)S是完美数(3)mn是完美数
【解析】
【分析】
3.(阅读材料)
因式分解: .
解:将“ ”看成整体,令 ,则原式 .
再将“ ”还原,原式 .
上述解题用到的是“整体思想”,整体思想是数学解题中常用的一种思想方法.
(问题解决)
(1)因式分解: ;
(2)因式分解: ;
(3)证明:若 为正整数,则代数式 的值一定是某个整数的平方.
【答案】(1) .(2) ;(3)见解析.
十字相乘法:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角;再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角;然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数(如图),如:将式子 和 分解因式,如图:
;
.
请你仿照以上方法,探索解决下列问题:
(1)分解因式: ;
(2)分解因式: .
【答案】(1)(x﹣3)(x﹣4);(2)(x﹣1)(3x+1).
(2)由(1)的规律可得
(2-1) =264-1,
=264-1.
故答案是:264-1.
(3)已知 ,求 .
= 2+3 ]
=7ຫໍສະໝຸດ Baidu.
故答案是:76.
【点睛】
此题考查了多项式乘以多项式,弄清题中的规律是解本题的关键.
6.把代数式通过配凑等手段,得到完全平方式,再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件,这种解题方法通常被称为配方法.配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用.
(1)利用“完美数”的定义可得;
(2)利用配方法,将S配成完美数,可求k的值
(3)根据完全平方公式,可证明mn是“完美数”;
【详解】
(1)
(2)
(3) ,则
即mn也是完美数.
【点睛】
本题考查了因式分解的应用,完全平方公式的运用,阅读理解题目表述的意思是本题的关键.
5.观察下列等式:
完成下列问题:
(1) ___________
【详解】
(1)看图可知,
(2)
(3)当两个正数的和一定时,它们的差的绝对值越小则积越大;当两个正数的积一定时,它们的差的绝对值越小则和越小.
【点睛】
本题考点:整式的混合运算,此题考查了整式的混合运算的应用,弄清题意是解本题的关键.
2.先阅读下列材料:我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法,其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等等,其中十字相乘法在高中应用较多.