光在球面上反射与折射
第三章几何光学球面反射折射物像公式
例3.4:
一个折射率为1.6的玻璃哑铃，长20cm，两端的曲率半径为 2cm。若在 离哑铃左端5cm处的轴上有一物点,试求像的位置和性质。
[解]：两次折射成像问题。
n
P
O1
n
P’1 n` O 2
1、P为物, 对球面O1折射成像P1’
已知 : s1 5cm , r1 2cm , n 1, n ' 1.6 n n n n 由折射成像公式 ' r1 s1 s1
沿轴线段
A、凡光线与主轴交点在顶点右方者线段长度数值为正； 凡光线与主 轴交点在顶点左方者线段长度数值为负； B、物点或像点至主轴的距离在主轴上方为正，下方为负。 ② 光线的倾角均从主轴或球面法线算起，并取小于900的角度；由主轴 （或法线）转向有关光线时： A、顺时针转动，角度为正；B、逆时针转动，角度为负。 （注意：角度的正负与构成它的线段的正负无关）
2
r
2
s r
'
2
2 r s ' r cos
光程 PAP ' nl nl ' n
r 2 r s 2 2 r r s cos r
2
n
s r
'
2
2 r s r cos
1、高斯公式：
球面反射 : f ' f 1 1 2 ' s s r
六、理想成象的两个普适公式
n' n n' n 将物像公式 ' 变形为 : s s r n' n r r ' ' ' f f n n n n 1 1 ' ' s s s s
单球面反射和折射
5. 特例
（1）球面反射
n n'
1 1 2 p p' r
平行光线入射，p ，代入物像公式 1 1 2 得 pf'' 2r 2r，f ' 此时对应的像点叫焦点（fpocusp）' r 焦点到顶点的距离— 焦距（focal length）
物像公式为
11 1 p p' f '
（Gauss公式）
1.5 1.0
(8) (1)
1.2
,即成正立、放大的实像。
总的横向放大率
1
2
3
0.5 (
1) 1.2 3
为20cm和15cm，薄透镜折射率为1.5，在凸面 镀银。在球面前方40处的主轴上置一高为1cm 的物，求像的位置和成像的性质。
[解]（1）P经凹球面折射成像：
p1=-40cm，n=1.0，n’=1.5，r1=-20cm，代入
n' n n'n p1' p1 r1
1
np1 ' n' p1
1 2
,
1.5 1.0 0.5 p1' 40 20
三、傍轴球面折射的物象关系式
nn'n (u(' u in)) unn('(n'('niu'))') n
p
u
i o
n' h i' c u '
p'
u h p'
r
p
p'
u h p
h
n n nn
p' p r
物像关系式
r
定义 光焦度
Φ n'n r
球形介质中光的折射
球形介质中光的折射概述光的折射是指光线从一种介质进入另一种介质时，由于介质的光密度不同而发生改变方向的现象。
球形介质中光的折射是指当光线从一个介质射入球形介质中时，由于球形界面的曲率而发生折射现象。
折射定律根据折射定律，当光线从一个介质进入另一个介质时，入射角和折射角之间满足以下关系：sinθ1 sinθ2=n2 n1其中，θ1为入射角，θ2为折射角，n1和n2分别为两个介质的折射率。
球形界面上的光线传播考虑一个光线从空气（折射率为1）射入球形玻璃（折射率为n）中的情况。
设球心为原点，球半径为R。
根据对称性，可以将问题简化为二维情况。
入射光线与法线垂直首先考虑入射光线与球形界面的法线垂直的情况。
此时，入射角为0°，根据折射定律可知，折射角也为0°，即光线不发生折射。
光线将沿着直线通过球形界面进入球内部。
入射光线与法线不垂直接下来考虑入射光线与球形界面的法线不垂直的情况。
设入射角为θi，折射角为θr。
根据折射定律：sinθisinθr=n由于球形界面的曲率，入射光线将在球内部发生偏折。
球内部的光线传播在球内部，光线将按照一条弯曲的路径传播。
由于球形界面上各点的法向量都不相同，所以光线在通过不同点时会发生多次折射，并且路径会发生弯曲。
当光线到达球体另一侧的界面时，根据折射定律再次发生折射。
如果出射角大于90°，则光线无法从球体中逃逸，被完全反射回球内部，形成全反射现象。
否则，光线将从球体中逃逸并继续传播。
光的聚焦和散焦由于球形界面的曲率不同于平面界面，当入射光线与法线不垂直时，光线在球内部的传播路径会发生弯曲。
这种弯曲现象会导致光线的聚焦和散焦。
球面凸透镜当入射光线与法线呈锐角时，折射后的光线会向法线弯曲，并在球内部经过一定距离后再次折射。
这种情况下，球体可以被看作是一个凸透镜。
根据凸透镜的性质，入射平行光经过凸透镜后会聚焦于一个点上。
这个点被称为主焦点。
球面凹透镜当入射光线与法线呈钝角时，折射后的光线会离开法线弯曲，并在球内部经过一定距离后再次折射。
3-3光在球面介质上的反射、折射
3-3光在球面介质上的反射、折射 光在球面介质上的反射、 光在球面介质上的反射 球面成像的公式
第3章 几何光学 章
n′ n n′ − n − = s′ s r
物、像具有共轭关系，可逆关系. 像具有共轭关系，可逆关系 三 焦点 焦距 焦平面
n′ − n 球面成像的公式； 由球面成像的公式；令：Φ = — 球面光焦度 球面光焦度. r
n r os = f = − n′ − n
且： f ′ /
— 物空间的主焦距 物空间的主焦距 主焦距. （第一主焦距） 第一主焦距）
焦点、焦距是由介质折射率和球面半径决定 焦点、焦距是由介质折射率和球面半径决定.
f = − n′ / n
f ′=
焦距与光焦度关系： 焦距与光焦度关系：
n′ n′ → Φ = Φ f ′ n n f = → Φ = Φ f
像点在像空间无限远处！ 像点在像空间无限远处！
— 像空间的主焦距 像空间的主焦距 主焦距. （第二主焦距） 第二主焦距）
n s=− r n′ − n
3-3光在球面介质上的反射、折射 光在球面介质上的反射、 光在球面介质上的反射
第3章 几何光学 章
n s=− r n′ − n
— 物空间的主焦点 （第一主焦点） 物空间的主焦点 第一主焦点） 主焦点.（
第3章 几何光学 章
n s′ s′ − r = (r − s) (− s) n′
此式表明； 只与已知量有关 具有一个像点. 只与已知量有关， 此式表明；s´只与已知量有关，具有一个像点 球面折射成像条件： ） 球面折射成像条件：1）元光束 . 2）光线近轴传播 ）光线近轴传播.
s′ n 成像的公式： 成像的公式：由： s ′ − r = (r − s) (− s) n′ s′n′ rn′ rn sn ( s ′ − r ) n′ ( r − s ) n − = − = s′ s′ ( − s ) ( − s ) s′ (− s) n′ n n′ − n ∴ − = s′ s r
光在球面上的反射和折射
1 1 1 s s ( ) l l r l l
考虑近轴光线,进一步得到
它的成像规律与介质无关．
1 1 2 s s r
s：物距
s：像距
'
C
FF
o
令 令
s ,
得 得
s ,
r f f 2
凹面镜
r f ; 2 r f , 2
因此球面镜物方焦点与像方焦点重合 .
P
O n n’
A
P’
r
C
-s
s’
5 近轴光线下球面折射的物像公式
M O n n’
l s, l s
'
'
P
P’
r
C
-s
s’
n' n n'n n'n 定义光焦度(optical power) ： s' s r r
r 的单位为米时，光焦度的单位称为屈光度(diopter)
n'n r
P
-u
f
-i’ C
u’
P’
Q
n’
r
s’
-s
单个折射面成像系统的笛卡尔符号规则
笛卡尔坐标规则补充
线段
纵向线段 以球面顶点 O 为原点，以入射光线进行 的方向为正方向，建立物空间坐标 s 和像空间坐标 ， 物点坐标为物距，像点坐标为像距 . s 横向线段 以光轴为起点，向上为正向下为负.
n
y
• S
u
O1
R s1 ’
O2
s2 ’ s2
P’
n' n n'n s' s r
(2).
O1面：s1=-2R, r1=+R, n1=1, n1’=1.5
几何光学基本定律球面反射和折射成像
11-1-4 全反射
n1sinin2sinr
当 n1 n2 有 r i
临界角 ic ：相应于折射角 为90°的入射角.
r
n2
i
ic ic
n1
全反射：当入射角 i 大于临界角时,将不会出现折射 光,入射光的能量全部反射回原来介质的现象.
sin ic
n2 n1
§11-2 平面反射和平面折射成像
i i v1 n1
n2
r v2
⑵ 入射角 i 的正弦与折射角 r 的正弦之比为一个常数
sin i sin r n 21
n21称为第二种介质对第 一种介质的相对折射率
n21
sin i sinr
v1 v2
绝对折射率：一种介质相对于真空的折射率 n c v 。
设
c n1 v1
c n2 v2
n 21
虚像
m y 1 y
像正立
例2.点光源P位于一玻璃球心点左侧25 cm处.已知玻璃球半径 是10 cm,折射率为1.5,空气折射率近似为1,求像点的位置.
解: p1 15cm
P2
R10cm
n1 1
P1
n2 1.5
n1 P p1
p 1 p2
n2
C
P2
p 2
n1 n2 n2 n1
p1 p1
R
R
2
C
P
P
R
C P
P
会聚光入射凹镜：虚物成实像
p0
p' 0
R0
f
R 2
0
发散光入射凸镜： 实物成虚像
p 0 p' 0 R0
f R 0 2
R
P
P
3.5光在球面上的反射和折射符号法则
主讲人：尹国盛 教授 河南大学物理与信息光电子学院
1
主要内容
3.1 光线的概念 3.2 费马原理 3.3 单心光束 实像和虚像 3.4 光在平面界面上的反射和折射
光学纤维 3.5 光在球面上的反射和折射 3.6 光连续在几个球面界面上的折射
如果：n1 > n2，那么 y < y ,即像点P 位于 物点 P 的上方，视深度减小。
（渔民叉鱼） 如果：n1 < n2, 那么 y > y ,即像点P 位于
物点 P 的下方，视深度增大。
20
三. 全反射 光学纤维
1.全反射：
对光线只有反射而无折射的现像。
当光从光密介质n1射向光疏介质
n2（<n1）时，i1 i2 i1 ＝ic
18
∵ 单心光束的波面是球面， ∴ 在平面界面上折射后，波面的形状发生 变化，不再是球面了。这样形成的互相垂直 的两小段像且不那么清晰的现像称为像散。
② 当i1＝0，即当P所发出的光束几乎垂直于 界面时,有 x ＝0 ， y = y1 = y2 = y n2 n1 。
19
这表明 y 近似地与入射角 i1 无关，则折 射光束是近似单心的，y 称为像视深度，y 为 物的实际深度。
25
例题3.1 人眼前一小物体，距人眼25cm，今 在人眼和小物体之间放置一块平行平面玻璃 板，玻璃板的折射率为1.5 ，厚度为5mm。 试问此时看小物体相对它原来的位置移动多 远？
解：利用 P162 L 3.1 的结果，
PPˊ= d ( 1-1/n )
可得：
s = 5×（1－1/1.5）= 5/3≈1.67（mm)
1. 4. 光在球面上的反射与折射
§1.4、光在球面上的反射与折射1.4.1、球面镜成像<1）球面镜的焦距球面镜的反射仍遵从反射定律，法线是球面的半径。
一束近主轴的平行光线，经凹镜反射后将会聚于主轴上一点F<图1-4-1），这F 点称为凹镜的焦点。
一束近主轴的平行光线经凸面镜反射后将发散，反向延长可会聚于主轴上一点F<图1-4-2），这F 点称为凸镜的虚焦点。
焦点F 到镜面顶点O 之间的距离叫做球面镜的焦距f 。
可以证明，球面镜焦距f 等于球面半径R 的一半，即b5E2RGbCAP<2）球面镜成像公式 根据反射定律可以推导出球面镜的成像公式。
下面以凹镜为例来推导：<如图1-4-3所示）设在凹镜的主轴上有一个物体S ，由S 发出的射向凹镜的光线镜面A 点反射后与主轴交于点，半径CA为反图1-4-1图1-4-2射的法线，即S的像。
根据反射定律，，则CA为角A的平分线，根据角平分线的性质有p1EanqFDPw①由为SA为近轴光线，所以，，①式可改写为②②式中OS叫物距u，叫像距v，设凹镜焦距为f，则代入①式化简这个公式同样适用于凸镜。
使用球面镜的成像公式时要注意：凹镜焦距f取正，凸镜焦距f取负；实物u取正，虚物u取负；实像v为正，虚像v为负。
DXDiTa9E3d上式是球面镜成像公式。
它适用于凹面镜成像和凸面镜成像，各量符号遵循“实取正，虚取负”的原则。
凸面镜的焦点是虚的，因此焦距为负值。
在成像中，像长和物长h之比为成像放大率，用m表示，RTCrpUDGiT由成像公式和放大率关系式可以讨论球面镜成像情况，对于凹镜，如表Ⅰ所列；对于凸镜，如表Ⅱ所列。
表Ⅰ 凹镜成像情况～2f表Ⅱ 凸镜成像情况～～2f同侧～<3）球面镜多次成像 球面镜多次成像原则：只要多次运用球面镜成像公式即可，但有时前一个球面镜反射的光线尚未成像便又遇上了后一个球面镜，此时就要引进虚像的概念。
5PCzVD7HxA 如图1-4-4所示，半径为R 的凸镜和凹镜主轴相互重合放置，两镜顶点O1 、 O2 相距2.6R ，现于主轴上距凹镜顶点O1为0.6R 处放一点光源S 。
3.5 光在球面上的反射和折射 符号法则
2.光焦度公式：
0 会聚 n n ＝ ＝0 平面折射 r 0 发散
单位：m -1 ，称为屈光度，用 D 表示。 （共轭P176）
23
四. 棱 镜
主截面：垂直于两界面的截面. 偏向角：出射线与入射线间的交角. ＝(i1-i2 )+(i1 -i2 )= i1 +i 2 -A 最小偏向角：
A A ＝2i A , i i , i i 2 2
0 1 1 1 2 2
(i i A)
2 2
尹国盛教授河南大学物理与信息光电子学院31光线的概念32费马原理33单心光束实像和虚像34光在平面界面上的反射和折射光学纤维35光在球面上的反射和折射36光连续在几个球面界面上的折射37薄透镜38近轴物点近轴光线成像的条件39理想光具组的基点和基面310理想光具组的放大率基点和基面的性质311一般理想光具组的作图求像法和物像公式波面波面波面波面31光线的概念一光线与波面二几何光学的基本实验定律1光的直线传播定律小孔成像物体的影子2光的反射定律和折射定律3光的独立传播定律和光路可逆原理
11
5.物像之间的等光程性
物点S和像点S之间 各光线的光程都相等 （费马原理）
12
3.4 光在平面界面上的反射和折射 光学纤
三. 全反射 光学纤维
四. 棱镜
13
一. 光的平面反射成像
一个平面镜是最简单的光学系统
平面反射镜是一个最简单的理想光学系 统，它不改变光束的单心性，能成完善的像。 所成的像与原物大小相同，而物和像以平面 镜为对称。
B A
极小值：图（ｂ） 光的直线传播、 光的反射定律、折射定律 极大值：图（c） 恒定值：图（a）
6
3.3 单心光束 实像和虚像
1.5 光在单球面上的反射和折射
B y A
n
i
n
A
o
i
C
s
B
y
s
y i . s
在上图的折射系统中, 由几何关系,得
AB 是 AB 的像.
y i , s
近轴条件下，在入射点 O 处，由折射定律:
ni ni
物理科学与信息工程学院 21
将
y y i , i s s
(1) 物和像的虚实
< 0 物像互为倒立实物实像或虚物虚像,
> 0物像互为正立, 实物虚像或虚物实像.
(2) 像的放大和缩小
> 1，像放大； <1，像缩小；
= 1，物象等大.
物理科学与信息工程学院 25
（2）角放大率
B
u
A
h
C
u s
A' B'
s
和
在上图折射系统中, A和A是一对共轭物像点,
物理科学与信息工程学院 14
2、近轴光线条件下，球面折射的物象公式
在近轴光线条件下， 很小，在一级近似下， cos1，
• P
n u
s
i
A
i
C
n
n
O
u
P'
•
r
B
因此
s
l [r (r s )]2 s
l ' [r ( s ' r )]2 s '
u 是一对共轭角. 我们定义角放大率为 u , u
u
物理科学与信息工程学院 26
由上图可得
u s , u s
光在球面上的反射折射
1 2 3 4 5
物理学教程 （第二版）
凹面镜的焦点
F
f r 2
曲率半径
主 光 轴
f
* 第十三章 几何光学
13 – 3 光在球面上的反射、折射成像 利用作图法 确定像的位置和 大小 成像公式 A 2 1 2 1
物理学教程 （第二版）
2 . 凸面镜的反射成像
1
虚焦点
1 2 3 4 5
O
F
h0
1 2 2
O
f
p0
p
h1
f
F
f 0
凸面镜焦距
* 第十三章 几何光学
p0 0, p 0
凸面镜成像
13 – 3 光在球面上的反射、折射成像 二 . 球面上的折射成像 1. 成像公式（近轴光线）
物理学教程 （第二版）
O
物理学教程 （第二版）
h0 F
h1
p
1 1 1 p p f
凹面镜 f 0 (A) p 0, p 0 B
p
f
p
h0
1 F
O
h1
1 2
2
(B)
p 0, p 0
* 第十三章 几何光学
p
f
13 – 3 光在球面上的反射、折射成像 成像公式
物理学教程 （ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ二版）
n n n n p p r
M
f f 1 p p
Q
i
o
i
c
光在球面上折射
8
9
二、球面折射公式
如图所示，AOB
是折射率分别为
A
n1和 n2的两种介 n1 S i
r S
n2
质的球面界面，
θ
φ
R为球面的曲率 S1 半径，O为曲率
C
O
R
B
S2
中心，C为球面
l1
l2
顶点，CO的延长线为球面的主轴。通过主轴的平面称为主截
面。主轴对于所有的主截面具有对称性。 设n2 > n1，光线 从点光源S1发出,经球面A点折射后与主轴交于S2 ,令：
得 ： l2= 10cm
最后的像是一个虚像，并落在哑铃中间。
26
例1 如图所示，一根折射率为1.50的玻璃棒，其一
端被磨成半径为20.0mm的半球面。若将它先后放在
折射率为1.00的空气中和折射率为1.33的水中，求在
这两种情况下，在棒轴上距离顶点80.0mm处的物点
的像距和像的横向放大率。
n1（空气；水）
ⅶ）还可以用于描述光线在平面上的折射和反射， 因为平面可以认为是曲率半径无限大的球面。
ⅷ）也可以作为研究各种情况下折射和反射成像规 律的基础。
凸面镜成像原理；凹面镜成像原理
19
三、高斯公式
引入焦点焦距的概念后，可得球面折射的另一种形
式，即高斯公式。
如果处于主光轴上的物点离开球面的距离为无限大，
即l1=∞，那么由它发出而投射到球面上的平行光线必
ⅴ）上式对凸状球面和凹状球面都是适用的，只需 按照上面的规定调整球面曲率半径的符号就可以了。
18
ⅵ）上式也可以用于描述光线在各种球面上的反 射，这时除了应调整球面曲率半径的符号外，还需 令n2=﹣n1。物空间与像空间重合，且反射光线与 入射光线的传播方向恰恰相反。这种情况在数学处 理上可以认为像方介质的折射率等于物方介质折射 率的负值。（仅在数学上有意义）
光学——球面反射和折射
-u
u`
P
O
r
C
P`
-s
s`
P C s r r sP C s rA C r
nsin i1n sin i2
15
P C s i n u P C s i n u n r s s i n u s r s i n u n
已知:s1 5cm,r1 2cm,
n` P n1,n' 1.6
’ 1
O2
O1
P2’
n=1,n’=1.6 由折射成像公式：
n n n n s1 s1 r1
-s1
s1’
代入数据，可求得s1’.
-s2 -s2’
2、P1’为物对球面O2折射成像
s 2 2 0 1 6 4 c m , r 2 2 c m , n 1 . 6 , n ' 1
s — 物距 s’— 象距 r — 球面曲率半径
令 s=－∞ ，则 s’= r/2 = f’ ， f’ — 象方焦距 令 s’=－∞，则 s = r/2 = f ， f — 物方焦距 反射球面特点: f ’ = f , 物方焦点F 和象方焦点F’重合.
10
焦点:沿主轴方向的平行光束经球面反射后会聚
§1.4 球面反射和折射
• 符号法则 • 球面反射 • 球面折射 • 理想成象的两个普适公式
1
E
(1)线段 y
A
C
Or
-y’
-s
s’
以单球面折射系统为例, 从顶点算起： 沿轴线段
A、光线与主轴交于顶点右方者,线段长度为正； 光线与主轴交于顶点左方者,线段长度为负；
B、物点或像点至主轴的距离在主轴上方为正，
光在球面上的反射和折射
§3-5 光在球面上的反射和折射单独一个球面不仅是一个简单的光学系统，而且是组成光学仪器的基本元件，研究光经由球面的反射和折射，是一般光学系统成象的基础。
一、符号法则为了研究光线经由球面反射和折射后的光路，必须先说明一些概念以及规定一些适当的符号法则，以便使所得的结果能普遍适用。
(图3－12)图3-12中的AOB 所示球面的一部分，这部分球面的中心点O 称为顶点，球面的球心C 称为曲率中心，球面的半径称为曲率半径，连接顶点的曲率中心的直线CO 称为主轴，通过主轴的平面称为主截面，主轴对于所有的主截面具有对称性，因而我们只须讨论一个主截面内光线的反射。
图3-12表示球面的一个主截面。
在计算任一条光线的线段长度和角度时，我们对符号作如下规定。
（1）光线和主轴交点的位置都从顶点算起，凡在顶点右方者，其间距离的数值为正；凡在顶点左方者，其间距离的数值为负，物点或象点至主轴的距离，在主轴上方为正，在下方为负。
（2）光线方向的倾斜角度都从主轴（或球面法线）算起，并取小于2π的角度，由主轴（或球面法线）转向有关光线时，若沿顺时针方向转，则该角度的数值为正；若沿逆时针方向转动的，则该角度的数值为负（在考虑角度的符号时，不必考虑组成该角度两边的线段的符号）。
（3）在图中出现的长度和角度（几何量）只用正值，例如s 表示的某线段值是负的，则应用()s -来表示该线值的几何长度。
以下讨论的都是假定光线自左向右进行。
二、球面反射对光束单心性的破坏在图3-12中，一个从点光源P 发出的光波从左向右入射到曲率中心为C ，顶点为O ，曲率半径为γ的一个凹球面镜上，光线PA 经球面镜AOB 反射后，在'P 点与主轴相交，令 '',,'',ττ==-=-=AP PA s O P s PO半径AC 与主轴的夹角为ϕ，则光线'PAP 的光程为 (')'P A P n n ττ=+ 在PAC ∆和'ACP ∆中应用余弦定理，并注意c o s c o s ()()()'()(')',P C sr r s C P r s s r ϕπϕ=--=---=-=---=- 从而可得()()()()[]2122cos 2ϕs r r s r r l --+-+-=（3-10）以及()()()()[]2122'cos '2'ϕr s r r s r l ----+-= （3-11）因此，光线'PAP 的光程可写成12221222(')()()2()()cos ()(')2()(')cos PAP n r r s r r s n r s r r s r ϕϕ⎡⎤=-+-+--⎣⎦⎡⎤+-+----⎣⎦（3－12）由于当A 点在镜面上移动时，半径r 是常数，而ϕ才是位置的变量，根据费马原理，物象间的光程应取稳定值，为此，把（3-12）式对ϕ求导，并令其等于零，即()()[]()[]0sin '21sin 21''=-+--=ϕϕϕr s r ln s r r l n d PAP d 由此可得 0''=---l rs l s r 或者⎪⎭⎫⎝⎛+=+l s l s r l l ''111'（3-13） 如果发光点P 至O 点的距离s 为已知，从此式即可算出任一反射线和主轴的交点'P 到 O 点的距离's 的值，显然's 的值将随着所取入射线的倾斜角u ，亦即角ϕ的变化而变化，这就是说，从物点发散的单心光束经球面反射后，将不再保持单心（即使平等光束入射时也不例外），关于这一点可说明如下：PC A 1A 2OP 2P'P 3 (图3－13)图3-13中，相应于1PA 及2PA 两入射光线的反射线分别交主轴于1P 和2P 两点，且相交于'P 点，把该图绕主轴PO 转过一个小角度，使三角形12PA A 展成一单心的空间光束，此时'P 点描出一条很短的弧线，它垂直于图面即反射光束的子午象线，而图面中的12PP 则为弧矢象线。
§3.3 光在球面上的反射和折射
r s s r 0 l l
或：
1 1 1 s s l l r l l
（2）
2、球面反射对光的单心的破坏
由式（2）可以看出，s 的值随 u亦即角 的变化而变化
如图3.3 3、近轴光线条件下球面反射的物象公式 （1）球面反射的物象公式。
2 2 2 2 1/2
l r (s r ) 2r (s r )cos
根据费马原理
1/2
d ( PAP) n n 2r (r s)sin 2r ( s r )sin d l l n(r s) n( s r ) 2r sin 0 l l
图3.6
f f f x ff xx f x 1 fx x f x f x f x f
xx ff
这种物像公式的形式称为牛顿公式。
（12）
nr nr n n n n 1 f f 1 s s s s
Ⅱ、牛顿公式： 物距和象距也可以分 别从物方和象方焦点 算起。并遵守同样的 符号法则，如图3.6从 上图得
（11）
s x ( f ), s f x
xs f x s f
§3.3 光在球面上的反射和折射
一、符号法则（新笛卡儿符号法则） 1、基本概念 顶点O 曲率半径 曲率中心C 主轴 CO
主平面：过主轴的平面 2、符号法则
光线的线段长度和角度的符号规定：
图3.1
（1）线段：光线和主轴交点的位置都从顶点算起， “上正下负，右正左负 ” （2）角度：取小于 / 2 的锐角，主轴（或球面法线）转向有关 光线时，“顺正逆负”
f n c、 f f 的关系： f n
什么是光的反射和折射
什么是光的反射和折射光的反射和折射是物理学中的基本概念，涉及到光在不同介质中传播时的现象。
下面将分别对光的反射和折射进行详细的介绍。
一、光的反射光的反射是指光线在传播过程中遇到障碍物被反射出去的现象。
光线传播到两种不同介质的表面上时，会发生反射现象。
例如，光线传播到平面镜、球面镜等光滑的表面上时，会发生反射。
1.反射定律：反射定律是描述光的反射现象的基本规律，包括以下三个方面的内容：（1）入射光线、反射光线和法线在同一平面内；（2）入射光线和反射光线分居在法线的两侧；（3）入射角等于反射角。
2.镜面反射和漫反射：根据反射面的不同，光的反射分为镜面反射和漫反射。
镜面反射是指光线射到光滑表面上的反射，如平面镜、球面镜等。
漫反射是指光线射到粗糙表面上的反射，如光线照到地面上、物体表面等。
二、光的折射光的折射是指光线在传播过程中，从一种介质进入另一种介质时，传播方向发生改变的现象。
光线传播到两种不同介质的界面时，会发生折射。
1.折射定律：折射定律是描述光在介质界面折射现象的基本规律，包括以下三个方面的内容：（1）入射光线、折射光线和法线在同一平面内；（2）入射光线和折射光线分居在法线的两侧；（3）入射角和折射角之间满足正弦定律：n1sin(θ1) = n2sin(θ2)，其中n1和n2分别为入射介质和折射介质的折射率，θ1和θ2分别为入射角和折射角。
2.斯涅尔定律：斯涅尔定律是光的折射现象的另一种表达方式，即入射光线、折射光线和法线三者之间的夹角关系：cos(θ1)/cos(θ2) = n2/n1。
3.正常折射和全反射：当光线从光密介质进入光疏介质时，折射角小于入射角，这种折射现象称为正常折射；当光线从光密介质进入光疏介质时，折射角大于90°，这种现象称为全反射。
通过以上介绍，我们可以了解到光的反射和折射是光在传播过程中遇到不同介质时产生的现象，它们遵循相应的定律和规律。
这些知识点对于中学生来说，是光学学习的基础内容，对于深入理解光的传播和光学设备的工作原理具有重要意义。
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§1.4 、光在球面上的反射与折射（1）球面镜的焦距球面镜的反射仍遵从反射定律，法线是球面的半径。
一束近主轴的平行光线，经凹镜反射后将会聚于主轴上一点F（图1-4-1 ），这F点称为凹镜的焦点。
一束近主轴的平行光线经凸面镜反射后将发散，反向延长可会聚于主轴上一点F（图1-4-2 ），这F 点称为凸镜的虚焦点。
焦点F 到镜面顶点O 之间的距离叫做球面镜的焦距f 。
可以证明，球面镜焦距f 等于球面半径R的一半，即f R2（2）球面镜成像公式根据反射定律可以推导出球面镜的成像公式。
下面以凹镜为例来推导：（如图1-4-3 所示）设在凹镜的主轴上有一个物体S，由S 发出的射向凹镜的光线镜面A 点反射后与主轴交于S 点，半径CA为反射的法线，S 即S的像。
根据反射定律，根据角平分线的性质有OS CSOS CS②式中OS叫物距u，OS 叫像距v，设凹镜焦距为f ，则SAC SAC，则CA为SAS 角A的平分线，AS CSAS CS由为SA为近轴光线，所以AS①SO ，AS SO，①式可改写为图1-4-1图1-4-2CS OS OC u 2fCS OC OS 2fu u 2f代入①式2f111化简u f 这个公式同样适用于凸镜。
使用球面镜的成像公式时要注意：凹镜焦距f 取正，凸镜焦距f 取负；实物u 取正，虚物u 取负；实像v 为正，虚像v 为负。
1 1 1uf上式是球面镜成像公式。
它适用于凹面镜成像和凸面镜成像，各量符号遵循“实取正，虚取负”的原则。
凸面镜的焦点是虚的，因此焦距为负值。
在成像中，像长和物长h 之比为成像放大率，用m表示，hmhu由成像公式和放大率关系式可以讨论球面镜成像情况，对于凹镜，如表Ⅰ所列；对于凸镜，如表Ⅱ所列。
表Ⅰ 凹镜成像情况10.6R1的像只能直接射到凹镜上，问S 经凹镜和凸镜各反射一次后所成的像在何处？u 1S 在凹镜中成像，0.6R1R2物的性质 物的位置像的位置 像的大小 像的正倒像的性质实物f ～同侧 0～ f 缩小 正 虚 虚 物～2f同侧 f ～2f 缩小 倒 虚 2f 同侧 2f 等大 倒 虚 f ～ 2f同 侧 ～2f放大倒虚ff ～ 0异侧 ～ 0放大正实）球面镜多次成像 球面镜多次成像原则：只要多次运用球面镜成像公式即可，但有时前一个球面镜反射的光线尚未成像便又遇上了后一个球面镜，此 时就要引进虚像的概念如图 1-4-4 所示， 半径为 R 的凸镜和凹镜 主轴相互重合放置， 两 镜顶点 O 1 、O 2 相距 2.6R ，现于主轴上距凹 镜顶点 O 1 为 0.6R 处放 一点光源 S 。
设点光源1 1 1 u 1 1 f 1可解得13R O 1O 2 2.6R,x xx根据题意：所以凹镜反射的光线尚未成像便已又被凸镜反射，此时可将凹镜 原来要成像 S1作为凸镜的虚物来处理，11 u2 21 f 21120.4R2R可解得22R说明凸镜所成的像 S2和 S 在同一位置上1.4.2 、球面折射成像1)球面折射成像公式 a )单介质球面折射成像如图 1-4-5 所示，如果 球面左、右方的折射率分别为 1 和n ， S 为 S 的像。
因为 i 、 r 均很小，行以sini i nsinr r① 因为 i ， r 代入①式可有r n( ) ②u 2 (2.6R 3R)0.4R ， f 2R2对近轴光线来说， α、θ、同样很小，所以有代入②式可得1u 当un n 1R时的 v 是焦距 f ，所以 f R nn1（b ）双介质球面折射成像如图 1-4-6 所示，球形折射面两侧的介质折射率分别 n 1 和 n 2，C 是球心， O 是顶点，球面曲率半径为 R ，S 是物点，S 是像点，对于近轴光线n 1i 1 n 2i 2uv 这是球面折射的成 像公式，式中 u 、υ的符 号同样遵循“实正虚负” 的法则，对于 R ；则当球 心 C 在出射光的一个侧， （凸面朝向入射光） 时为正，当球心 C 在入射光的一侧（凹面朝向入射光）时为负若引入焦点和焦距概念，则当入射光为平行于主轴的平行光（ u=∝）时，出 射光（或其反向延长线）的交点即为第二焦点， （也称像方焦点），此时像距即 f n R 是第二焦距 f2，有 f 22。
当出射光为平行光时，入射光（或其延长线）2 n 2 n 1nR 的交点即第一焦点 （即物方焦点） ，这时物距即为第一焦距 f 1，有 f 11，1 1 n2 n1将 f 1、 f 2 代入成像公式改写成i1，i2联立上式解得A 0A 0u 0，R ，Avn 1 n 2n 2 n 11 21v u tuu反射定律可以看成折射定律在 n2n1时的物倒，因此，球面镜的反射成像公式可以从球面镜折射成像公式中得到， 由于反射光的行进方向逆转， 像距υ 和球面半径R 的正负规定应与折射时相反，在上述公式中令n 2 n 1，11 2R R ，即可得到球面镜反射成像公式 u R ，对于凹面镜R 0， f1f2 R2 ，对于凸面镜 R 0， f1 f2 2 ，厚透镜成像。
C ）厚透镜折射成像设构成厚透镜材料的折射率为 n ，物方介质的折射率为 n1 ，像方介质的折射率为n2，前后两边球面的曲率半径依次为 r 1和r2，透镜的厚度为 oo t ，当物 点在主轴上的 P 点时，物距 u OP ，现在来计算像点 P 的像距。
S OP ， 首先考虑第一个球面AOB 对入射光的折射，这时假定第二个球面 AOB 不存在，并认为球 AOB 右边，都为折射率等 于 n 的介质充满，在这种情况下， P 点的 像将成 在 P 处 ，其 像 距OP ，然后再考虑光线在第二 个球面的折射，对于这个球面来说， P 便是虚物。
因此对于球面 AOB ，物像公式 为n 2 n 1 n n 1v u r 1 对于球面 AOB ，物像公式为n 2 n n 2 n图 1-4-7这样就可以用二个球面的成像法来求得透镜成像的像距 u2）光焦度折射成像右端仅与介质的折射 nn它表征单折射球面对入射平行光束的 屈折本领。
φ的数值越大，平行光束 折得越厉害；φ> 0时，屈折是会聚性的；φ< 0时，屈折是发散性的。
φ =0 时， 对应于 r ，即为平面折射。
这时，沿轴平行光束经折射后仍是沿轴平行光束， 不出现屈折现象。
光焦度的单位是 [ 米-1] ，或称[屈光度] ，将其数值乘以 100，就是通常所说 的眼镜片的“度数”。
（3）镀银透镜与面镜的等效 有一薄平凸透镜，凸面曲率半径R=30cm ，已知在近轴光线时：若将此透镜的A平面镀银，其作用等于一个焦距是 30cm 的凹 i ih h面镜；若将此透镜的凸面镀银，其作用也等C Ci 同于一个凹面镜，其其等效焦距。
B当透镜的平面镀银时， 其作用等同于焦 距是 30cm 的凹面镜，即这时透镜等效面曲率图 1-4-9半径为 60cm 的球面反射镜。
由凹面镜的成像 性质，当物点置于等效曲率中心 时任一近轴光线经凸面折射，再经平面反射后 将沿原路返回，再经凸面折射后，光线过 点，物像重合。
如图 1-4-8 所示。
uh hi ni ， i u i ， n 1 。
依题意， u h，i h，故 n 1.5。
率及球面的曲率半径有关，因而对于 定的介质及一定形状的表面来说是 一个不变量， 我们定义此量为光焦度， 用φ表示：60 3060cm 30cm图 1-4-8凸面镀银，光路如图1-4-9 所示。
关键寻找等效曲率中心，通过凸面上任点A 作一垂直于球面指向曲率中心C的光线。
此光线经平面折射后交至光轴于CB ，令CBO r则n i i ，i R h，i h r R r由光的可逆性原理知，CB是等效凹面镜的曲率中心，f =10cm。
例1 、如图1-4-10 所示，一个双凸薄透镜的两个球面的曲率半径均为r ，透镜的折射率为n，考察由透镜后表面反射所形成的实像。
试问物放于何处，可使反射像与物位于同一竖直平面内（不考虑多重反射）。
解:从物点发出的光经透镜前表面（即从物点发出的光经透镜前表面折射后，再经透镜后表面反射折回，又经前表面折射共三次成像，最后是实像，符合题意。
利用球面折射成像公式和球面反射成像公式，结合物与像共面的要求。
就可求解。
球面反射的成像公式为： 1 1 1，其中反射面的焦距为f R（R 为球u v f 2面半径），对凹面镜，f 取正值，对凸面镜，f 取负值。
球面折射的成像公式为：n1 n2（n1 n2）1。
当入射光u v R 从顶点射向球心时，R 取正值，当入射光从球心射向顶点时，R取负值。
如图1-4-11 甲所示，当物点Q 发出的光经透镜前表面折射后成像于Q，设物距为u，像距为v ，根据球1nQQ 图1-4-11 甲左表面）反射后形成虚像，不合题意，无须考虑面折射成像公式：R=r 取正值，所以有这是第一次成像。
对凸透镜的后表面来说，物点 Q 经透镜前表面折射所成的风点 Q 是它的物 点，其物距 u 1 v（是虚物），经透镜后表面反射后成像于 Q 1 ，像距为 v 1（如 图 1-4-11 乙所示），由球面反射成像公式1 1 12 u 1 v 1 f 2 r将前面数据代入得1 1 2v v 1 r（ 2）这是第二次成像。
由透镜后表面反射成的像点 Q1 又作为透镜前 表面折射成像的物点 Q2 ，其物距 u2 v1（是虚物）， 再经过透镜前表面折射成像于 Q2 ，像距为 v2 ，n 1 un 2 v(n 1 n 2 ) R这里空气的折射率1 ，透镜介质的折射率 n2 n ，入射光从顶点射向球心，图 1-4-11 丙1 n n 1见图 1-4-11 丙所示），再由球面折射成像公式代入前面得到的关系可得n u11 n 1 v2 r（3）这是第三次成像，由（ 1）、（2）两式可解得 1n3n 1 （4）u v 1 r再把（ 4）式和（3）式相加，可得11 2(2n 1)（5）u v 2r这就要求为使物点 Q 与像点 Q2在同一竖直平面内，u 2v 1说明 由本题可见，观察反射像，调 整物距，使反射像与物同在同一竖直平面 内，测出物距 P ，根据上式就可利用已知的 透镜折射率 n 求出透镜球面的半径 r ，或反 过来由已咋的球面半径 r 求出透镜的折射 率 n 。
例 2、 显微镜物镜组中常配有如图1-4-12 所示的透镜，它的表面是球面，左表面 S 1的球心为 C1，半径为 R1 ，右表n 1 un 2v(n 11n 2)R这时人射光一侧折射率，折射光一侧折射率故 R 值取负值。
所以可写出（ 是空气），入射光由球心射向顶点，nu 21v 2(1 n)代入（ 5）是可解得物距为r 2n 1图 1-4-12面 S 2的球心为 C2 ，半径为 R 2 ，透镜玻璃对于空气的折射率为 n ，两球心间的距离为 C 1C 2。