2019暨南大学《概率论与数理统计教程》(茆诗松第二版)考研强化冲刺题库
茆诗松《概率论与数理统计教程》(第2版)(课后习题 大数定律与中心极限定理)【圣才出品】
是直线上的连续函数，试证：
证：若 g（x）是 m 次多项式函数，即 下证一般情况，对任意的 又选取 N1 充分大，使当
，则由上一题知有
，取 M 充分大，使有
时，有
，于是有
对取定的 M，因为 g（x）是连续函数，所以可以用多项式函数去逼近 g（x），并且在任意
有限区间上还可以是一致的，因而存在 m 次多项式
，于是有
，因为
，故存在充分
由 的任意性知，当
时，有
结论得证．
6．设 D（x）为退化分布： 试问下列分布函数列的极限函数是否仍是分布函数？（其中 n＝1，2，…）
（1）
（2）
（3）
解：（1）因为此时的极限函数为
性质： lim F x=0 ，所以不是分布函数． x－
，不满足分布函数的基本
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有
故当
时，
即
成立，进一步由
可得
，所以又有
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成立．
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（2）先证明
对任意的
，取 M 足够大（譬如
），使有
成立，对取定的 M，存在 N，当 n＞N 时，有
这时有
从而有
由 的任意性知
，同理可证
由上面（1）得
即
成立．
3．如果
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证：先证充分性，令
，则
，
故 f（x）是 x 的严格单调增函数，因而对任意的
，有
于是对任意的
，当
时，有参见 2.3 第 12 题．
充分性得证．
茆诗松《概率论与数理统计教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第7~8章【圣才出品】
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sup p(x1,K , xn; )
2．假设检验的基本步骤
（1）建立假设；
（2）选择检验统计量，给出拒绝域形式；
注意：一个拒绝域 W 唯一确定一个检验法则，一个检验法则也唯一确定一个拒绝域．
（3）选择显著性水平
第一类错误：命题本为真，却由于随机性落入了拒绝域，而否定了命题．（弃真）
第二类错误：命题本为假，由于随机性落入了接受域，而接受了命题．（取伪）
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注：
xy
u1
xy
sx2
s
2 y
mn
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t1
sw
x
1 m
y
1 n
t2
xy
sx2
s
2 y
为零，即考察如下检验问题：
H0：μ＝0 vs H1：μ≠0
即把双样本的检验问题转化为单样本 t 检验问题，这时检验的 t 统计量为
t2 d (sd n)
其中
1 n
d n i1 di
sd
n
1 1
n i 1
(di
1/ 2
d
)2
在给定显著性水平 α 下，该检验问题的拒绝域是：W1＝{|t2|≥t1－α/2（n－1）}，这就是
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在拒绝域 W 内的概率称为该检验的势函数，记为 g（θ ）＝pθ （X∈W），θ ∈Θ＝Θ0∪Θ1 ②显著性检验：对检验问题 H0：θ∈Θ0 vs H1：θ∈Θ1，如果一个检验满足对任意的 θ
茆诗松《概率论与数理统计教程》笔记和课后习题(含考研真题)详解(参数估计)【圣才出品】
第6章 参数估计6.1 复习笔记一、点估计的概念与无偏性 1．点估计及无偏性（1）定义：设x 1，…，x n 是来自总体的一个样本，用于估计未知参数θ的统计量θ∧＝θ∧（x 1，…，x n ）称为θ的估计量，或称为θ的点估计，简称估计．（2）定义：设θ∧＝θ∧（x 1，…，x n ）是θ的一个估计，θ的参数空间为Θ，若对任意的θ∈Θ，有E θ（θ∧）＝θ，则称θ∧是θ的无偏估计，否则称为有偏估计．注意：①当样本量趋于无穷时，有E （s n 2）→σ2，称s n 2为σ2的渐近无偏估计，这表明当样本量较大时，s n 2可近似看作σ2的无偏估计．②若对s n 2作如下修正：则s 2是总体方差的无偏估计．这个量常被采用．③无偏性不具有不变性．即若θ∧是θ的无偏估计，一般而言，其函数g （θ∧）不是g （θ）的无偏估计，除非g （θ）是θ的线性函数．④并不是所有的参数都存在无偏估计，当参数存在无偏估计时，我们称该参数是可估的，否则称它是不可估的．22211()11nn i i ns s x x n n ===---∑2．有效性定义：设θ∧1，θ∧2是θ的两个无偏估计，如果对任意的θ∈Θ有Var （θ∧1）≤Var （θ∧2），且至少有一个θ∈Θ使得上述不等号严格成立，则称θ∧1比θ∧2有效．二、矩估计及相合性 1．替换原理和矩法估计 替换原理指：（1）用样本矩去替换总体矩，这里的矩可以是原点矩也可以是中心矩． （2）用样本矩的函数去替换相应的总体矩的函数．2．概率函数已知时未知参数的矩估计设总体具有已知的概率函数p （x ；θ1，…，θk ），（θ1，…，θk ）∈Θ是未知参数或参数向量，x 1，…，x n 是样本．假定总体的k 阶原点矩u k 存在，则对所有的j （0＜j ＜k ）u j 都存在，若假设θ1，…，θk 能够表示成u 1，…，u k 的函数θj ＝θj （u 1，…，u k ），则可给出θj 的矩估计：θ∧j ＝θj （a 1，…，a k ），j ＝1，…，k ，其中a 1，…，a k 是前k 阶样本原点矩进一步，如果我们要估计θ1，…，θk 的函数η＝g （θ1，…，θ∧k ），则可直接得到η的矩估计η∧＝g （θ∧1，…，θ∧k ）．注：当k ＝1时，我们通常可以由样本均值出发对未知参数进行估计；如果k ＝2，我们可以由一阶、二阶原点矩（或二阶中心矩）出发估计未知参数．11n jj ii a x n ==∑3．相合性定义：设θ∈Θ为未知参数，θ∧n ＝θ∧n （x 1，…，x n ）是θ的一个估计量，n 是样本容量，若对任何一个ε＞0，有则称θ∧n 为参数θ的相合估计． 判断相合性的两个有用定理：（1）设θ∧n ＝θ∧n （x 1，…，x n ）是θ的一个估计量，若则θ∧n 是θ的相合估计．（2）若θ∧n1，…，θ∧nk 分别是θ1，…，θk 的相合估计η＝g （θ1，…，θk ），是θ1，…，θk 的连续函数，则η∧＝g （θ∧n1，…，θ∧nk ）是η的相合估计．三、最大似然估计与EM 算法 1．最大似然估计定义：设总体的概率函数为P （x ；θ），θ∈Θ，其中θ是一个未知参数或几个未知参数组成的参数向量，Θ是参数空间，x 1，…，x n 是来自该总体的样本，将样本的联合概率函数看成θ的函数，用L （θ；x 1，…，x n ）表示，简记为L （θ），L （θ）＝L （θ；x 1，…，x n ）＝p （x 1；θ）p （x 2；θ）…p （x n ；θ）ˆlim ()0n n P θθε→∞-≥=ˆlim ()nn E θθ→∞=ˆlim ()0nn Var θ→∞=L （θ）称为样本的似然函数．如果某统计量θ∧＝θ∧（x 1，…，x n ）满足则称θ∧是θ的最大似然估计，简记为MLE ．注意：在做题时，习惯于由lnL （θ）出发寻找θ的最大似然估计，再求导，计算极值．但在有些场合用求导就没用，此时就需要从取值范围中的最大值和最小值来入手．2．EM 算法当分布中有多余参数或数据为截尾或缺失时，其MLE 的求取是比较困难的，这时候就可以采用EM 算法，其出发点是把求MLE 的算法分为两步：（1）求期望，以便把多余的部分去掉； （2）求极大值．3．渐近正态性最大似然估计有一个良好的性质：它通常具有渐近正态性．（1）定义：参数目的相合估计θ∧n 称为渐近正态，若存在趋于0的非负常数序列σn （θ），使得依分布收敛于标准正态分布．这时也称θ∧n 服从渐近正态分布N （θ，σn 2（θ）），记为θ∧n ～AN （θ，σn 2（θ）），σn 2（θ）称为θ∧n 的渐近方差．（2）定理：设总体x 有密度函数p （x ；θ），θ∈Θ，Θ为非退化区间，假定 ①对任意的x ，偏导数∂lnp/∂θ，对所有θ∈Θ都存在； ②∀θ∈Θ有|∂p/∂θ|＜F 1（x ），|∂2p/∂θ2|＜F 2（x ），|∂3lnp/∂θ3|＜F 3（x ）()()ˆmax L L θθθ∈Θ=()ˆn n θθσθ-其中函数F 1（x ），F 2（x ），F 3（x ）满足③∀θ∈Θ，若x 1，x 2，…，x n 是来自该总体的样本，则存在未知参数θ的最大似然估计θ∧n ＝θ∧n （x 1，x 2，…，x n ），且θ∧n 具有相合性和渐近正态性，该定理表明最大似然估计通常是渐近正态的，且其渐近方差σn 2（θ）＝（nI （θ））－1有一个统一的形式，其中，I （θ）称为费希尔信息量．四、最小方差无偏估计 1．均方误差（1）使用条件：小样本，有偏估计．（2）均方误差为：MSE （θ∧）＝E （θ∧－θ）2，常用来评价点估计． 将均方误差进行如下分解：MSE （θ∧）＝E[（θ∧－E θ∧）＋（E θ∧－θ）]2＝E （θ∧－E θ∧）2＋（E θ∧－θ）2＋2E[（θ∧－E θ∧）1()d F x x ∞-∞<∞⎰2()d F x x ∞-∞<∞⎰3sup ()(;)d F x p x x ∞-∞∈Θ<∞⎰θθ()()2ln 0;d p p x x ∞-∞∂⎛⎫<I =<∞ ⎪∂⎝⎭⎰θθθ1ˆ~(,)()nAN nI θθθ（E θ∧－θ）]＝Var （θ∧）＋（E θ∧－θ）2由分解式可以看出均方误差是由点估计的方差与偏差|E θ∧－θ|的平方两部分组成．如果θ∧是θ的无偏估计，则MSE （θ∧）＝Var （θ∧）．（3）一致最小均方误差设有样本x 1，…，x n ，对待估参数θ有一个估计类，如果对该估计类中另外任意一个θ的估计θ~，在参数空间Θ上都有MSE （θ∧）≤MSE （θ~），称θ∧（x 1，…，x n ）是该估计类中θ的一致最小均方误差估计．2．一致最小方差无偏估计定义：设θ∧是θ的一个无偏估计，如果对另外任意一个θ的无偏估计θ~．在参数率间Θ上都有Var （θ∧）≤Var （θ~），则称θ∧是θ的一致最小方差无偏估计，简记为UMVUE ．关于UMVUE ，有如下一个判断准则：设X ＝（x 1，…，x n ）是来自某总体的一个样本，θ∧＝θ∧（X ）是θ的一个无偏估计，Var （θ∧）＜∞，则θ∧是θ的UMVUE 的充要条件是：对任意一个满足E （φ（X ））＝0和Var （φ（X ））＜∞的φ（X ）都有Cov θ（θ∧，φ）＝0，∀θ∈Θ．这个定理表明UMVUE 的重要特征是：θ的最小方差无偏估计必与任一零的无偏估计不相关，反之亦然．3．充分性原则定理：总体概率函数是p （x ；θ），x 1，…，x n 是其样本，T ＝T （x 1，…，x n ）是θ的充分统计量，则对θ的任一无偏估计θ∧＝θ∧（x 1，…，x n ）；令ˆ()E T θθ=。
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第二章习题参考答案
⎛13 ⎞⎛ 39 ⎞ ⎛13 ⎞⎛ 39 ⎞ ⎜ ⎜ ⎜0⎟ ⎟⎜ ⎜5⎟ ⎟ 575757 ⎜1⎟ ⎟⎜ ⎜4⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 1069263 = 0.4114 ， 则 P{ X = 0} = = = 0.2215 ， P{ X = 1} = 2598960 2598960 ⎛ 52 ⎞ ⎛ 52 ⎞ ⎜ ⎜ ⎜5⎟ ⎟ ⎜5⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛13 ⎞⎛ 39 ⎞ ⎛13 ⎞⎛ 39 ⎞ ⎜ ⎜ ⎜2⎟ ⎟⎜ ⎜3⎟ ⎟ 712842 ⎜3⎟ ⎟⎜ ⎜2⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 211926 = 0.0815 ， P{ X = 2} = = = 0.2743 ， P{ X = 3} = 2598960 2598960 ⎛ 52 ⎞ ⎛ 52 ⎞ ⎜ ⎜ ⎜5⎟ ⎟ ⎜5⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
第二章
随机变量及其分布
习题 2.1
1． 口袋中有 5 个球，编号为 1, 2, 3, 4, 5．从中任取 3 只，以 X 表示取出的 3 个球中的最大号码． （1）试求 X 的分布列； （2）写出 X 的分布函数，并作图． 解： （1）X 的{ X = 3} =
x
6 2 − 52 11 52 − 4 2 9 = ， P{ X = 2} = = ， 2 6 36 62 36 4 2 − 32 7 32 − 2 2 5 P{ X = 3} = = ， P X = = = ， { 4 } 62 36 62 36 1 1 22 − 1 3 P{ X = 5} = 2 = ， P{ X = 6} = 2 = ， 6 36 6 36 故 X 的分布列为
故 X 的概率分布列为
X P
0 1 2 3 4 5 ． 0.2215 0.4114 0.2743 0.0815 0.0107 0.0005
概率论与数理统计(茆诗松)第二版第一章课后习题1.1-1.3参考答案
（3）由定义条件 2，知 A1 ,A2 , L , An ∈ F ，根据（2）小题结论，可得 U Ai ∈ F ，
i =1
n
再由定义条件 2，知 U Ai ∈ F ，即 I Ai ∈ F ；
i =1 i =1
n
n
（4）由定义条件 2，知 A1 , A2 , L , An , L ∈ F ，根据定义条件 3，可得 U Ai ∈ F ，
n n −1 n （3）由二项式展开定理 ( x + y ) n = ⎜ ⎜0⎟ ⎟x + ⎜ ⎜1⎟ ⎟x y + L + ⎜ ⎜n⎟ ⎟ y ，令 x = y = 1，得 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ n ⎜ ⎜0⎟ ⎟+⎜ ⎜1⎟ ⎟ +L+ ⎜ ⎜n⎟ ⎟=2 ； ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ n − 1⎞ ⎛ n − 1⎞ ⎛n⎞ (n − 1)! (n − 1)! (n − 1)! n! ⎟ ⎟ ⎟ [ r + (n − r )] = +⎜ = + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟； r!(n − r )! ⎜ ⎝ r − 1⎠ ⎝ r ⎠ (r − 1)!(n − r )! r!(n − 1 − r )! r!( n − r )! ⎝r⎠ ⎛n⎞ ⎛ n⎞ ⎛n⎞
2
Ω A
B C (A − B )∪C
Ω
证： （1） AB U AB = A( B U B ) = AΩ = A ； （2） A U A B = ( A U A )( A U B ) = Ω( A U B ) = A U B ． 11．设 F 为一事件域，若 An ∈F ，n = 1, 2, …，试证： （1）∅ ∈F ； （2）有限并 U Ai ∈ F ，n ≥ 1；
茆诗松《概率论与数理统计教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第1章 随机事件与概率【圣
③对立事件一定是互不相容的事件，即 A∩B＝∅．但互不相容的事件不一定是对立事件．
＿
④A－B 可以记为 AB．
7．事件的运算性质
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（1）交换律
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A∪B＝B∪A，AB＝BA
（2）结合律
（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）
n r 1
次所得的组合，此种重复组合总数为
r
，这里的 r 也允许大于 n．
上述四种排列组合及其总数计算公式在使用中要注意识别有序与无序、重复与不重复．
3．确定概率的频率方法 （1）确定概率的频率方法 在大量重复试验中，用频率的稳定值去获得概率的一种方法，其基本思想是： ①与考察事件 A 有关的随机现象可大量重复进行．
4．随机变量 定义：表示随机现象结果的变量，常用大写字母 X，Y，Z 表示． 注意：很多事件都用随机变量表示时，应写明随机变量的含义．在同一个随机现象中， 不同的设置可获得不同的随机变量，如何设置可按需要进行．
5．事件间的关系 假设在同一个样本空间 Ω（即同一个随机现象）中进行．事件间的关系与集合间关系
2．排列与组合公式 排列与组合都是计算“从 n 个元素中任取 r 个元素”的取法总数公式． 区别：组合公式是不讲究取出元素间的次序，否则用排列公式．而所谓讲究元素间的次 序，可以从实际问题中得以辨别，例如两个人相互握手是不讲次序的；而两个人排队是讲次 序的，因为“甲右乙左”与“乙右甲左”是两件事．
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＿
1-1-5），或用概率论的语言说“A 不发生”，即A＝Ω－A．
＿
图 1-1-5 A 的对立事件A
注意：
＿
＿
①对立事件是相互的，即 A 的对立事件是A，而A的对立事件是 A．必然事件 Ω 与不可
茆诗松《概率论与数理统计教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第4~5章【圣才出品】
（1）|φ （t）|≤φ （0）＝1．
——————
——————
（2）φ （－t）＝φ （t），其中φ （t）表示 φ （t）的共轭．
（3）若 y＝aX＋b，其中 a，b 是常数，则 φ Y（t）＝eibtφ X（at）．
（4）独立随机变量和的特征函数为每个随机变量的特征函数的积．即设 X 与 Y 相互独
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P
Xn a
P
Yn b
则有 ①
P
X n Yn a b
②
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P
X n Yn a b
③
P
Xn Yn a b(b 0)
2．按分布收敛、弱收敛
（1）按分布收敛
设随机变量 X，X1，X2，…的分布函数分别为 F（X），F1（X），F2（X），…．若对 F（x）
p(x) x e n/21 x/2 ，x 0 Γ (n / 2)2n/2
exp
it
2t 2
2
(1 it )1
(1 it )
(1 2it )n / 2
贝塔分布
Be(a，b)
p(x) Γ (a b) xa1 (1 x)b1，0 x 1 Γ (a)Γ (b)
Γ (a b)
(it)k Γ (a k)
P
Xn x
或者说，绝对偏差|Xn－x|小于任一给定量的可能性将随着 n 增大而愈来愈接近于 1， 即等价于 P（|Xn－x|＜ε）→1（n→∞）．
特别当 x 为退化分布时，即 P（X－c）＝1，则称序列{Xn}依概率收敛于 C． （2）依概率收敛于常数的四则运算性质如下： 设{Xn}，{Yn}是两个随机变量序列，a，b 是两个常数．如果
茆诗松《概率论与数理统计教程》课后习题
茆诗松《概率论与数理统计教程》课后习题本书是详解研究生入学考试指定考研参考书目为茆诗松《概率论与数理统计教程》的配套题库，每章包括以下四部分：第一部分为考研真题及详解。
本部分按教材章节从历年考研真题中挑选具有代表性的部分，并对其进行了详细的解答。
所选考研真题既注重对基础知识的掌握，让学员具有扎实的专业基础；又对一些重难点部分（包括教材中未涉及到的知识点）进行详细阐释，以使学员不遗漏任何一个重要知识点。
第二部分为课后习题及详解。
本部分对茆诗松编写的《概率论与数理统计教程》（第2版）教材每一章的课后习题进行了详细的分析和解答，并对个别知识点进行了扩展。
课后习题答案经过多次修改，质量上乘，特别适合应试作答和临考冲刺。
第三部分为章节题库及详解。
本部分严格按照茆诗松编写的《概率论与数理统计教程》（第2版）教材内容进行编写，每一章都精心挑选经典常见考题，并予以详细解答。
熟练掌握本书考题的解答，有助于学员理解和掌握有关概念、原理，并提高解题能力。
第四部分为模拟试题及详解。
参照茆诗松编写的《概率论与数理统计教程》（第2版）教材，根据历年考研真题的命题规律及热门考点精心编写了两套考前模拟试题，并提供详尽的解答。
通过模拟试题的练习，学员既可以用来检测学习该考试科目的效果，又可以用来评估对自己的应试能力。
本书提供电子书及打印版，方便对照复习。
目录第一部分考研真题第1章随机事件与概率第2章随机变量与分布第3章多维随机变量及其分布第4章大数定律与中心极限定理第5章统计量及其分布第6章参数估计第7章假设检验第8章方差分析与回归分析第二部分课后习题第1章随机事件与概率第2章随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布第4章大数定律与中心极限定理第5章统计量及其分布第6章参数估计第7章假设检验第8章方差分析与回归分析第三部分章节题库第1章随机事件与概率第2章随机变量与分布第3章多维随机变量及其分布第4章大数定律与中心极限定理第5章统计量及其分布第6章参数估计第7章假设检验第8章方差分析与回归分析第四部分模拟试题茆诗松《概率论与数理统计教程》（第2版）配套模拟试题及详解（一）茆诗松《概率论与数理统计教程》（第2版）配套模拟试题及详解（二）。
概率论与数理统计茆诗松第二版课后习题参考答案
第三章 多维随机变量及其分布习题3.11． 100件商品中有50件一等品、30件二等品、20件三等品．从中任取5件，以X 、Y 分别表示取出的5件中一等品、二等品的件数，在以下情况下求 (X , Y ) 的联合分布列． （1）不放回抽取；（2）有放回抽取． 解：（1）(X , Y )服从多维超几何分布，X , Y 的全部可能取值分别为0, 1, 2, 3, 4, 5，且i j i j i j i j Y i X P −==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===5,,0;5,4,3,2,1,0,51005203050},{L ，故 (X , Y ) 的联合分布列为0281.0500000918.00612.040001132.01562.00495.03000661.01416.00927.00185.0200182.00539.00549.00227.00032.010019.00073.00102.00066.00019.00002.00543210X Y（2）(X , Y )服从多项分布，X , Y 的全部可能取值分别为0, 1, 2, 3, 4, 5，且i j i j i j i j Y i X P j i j i −==×××−−⋅⋅===−−5,,0;5,4,3,2,1,0,2.03.05.0)!5(!!!5},{5L ，故 (X , Y ) 的联合分布列为03125.05000009375.00625.040001125.015.005.03000675.0135.009.002.02002025.0054.0054.0024.0004.0100243.00081.00108.00072.00024.000032.00543210X Y2． 盒子里装有3个黑球、2个红球、2个白球，从中任取4个，以X 表示取到黑球的个数，以Y 表示取到红球的个数，试求P {X = Y }．解：35935335647222347221213}2,2{}1,1{}{=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===+====Y X P Y X P Y X P ．3． 口袋中有5个白球、8个黑球，从中不放回地一个接一个取出3个．如果第i 次取出的是白球，则令X i = 1，否则令X i = 0，i = 1, 2, 3．求：（1）(X 1, X 2, X 3)的联合分布列； （2）(X 1, X 2)的联合分布列． 解：（1）14328116127138)}0,0,0(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，42970115127138)}1,0,0(),,{(321=⋅⋅==X X X P ， 42970117125138)}0,1,0(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，42970117128135)}0,0,1(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，42940114125138)}1,1,0(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，42940114128135)}1,0,1(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，42940118124135)}0,1,1(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，1435113124135)}1,1,1(),,{(321=⋅⋅==X X X P ；（2）3914127138)}0,0(),{(21=⋅==X X P ，3910125138)}1,0(),{(21=⋅==X X P ，3910128135)}0,1(),{(21=⋅==X X P ，395124135)}1,1(),{(21=⋅==X X P ．39/539/10139/1039/1401012X X4． 设随机变量X i , i =1, 2的分布列如下，且满足P {X 1X 2 = 0} = 1，试求P {X 1 = X 2}．25.05.025.0101P X i −解：因P {X 1 X 2 = 0} = 1，有P {X 1 X 2 ≠ 0} = 0，即P {X 1 = −1, X 2 = −1} = P {X 1 = −1, X 2 = 1} = P {X 1 = 1, X 2 = −1} = P {X 1 = 1, X 2 = 1} = 0，分布列为故P {X 1 = X 2} = P {X 1 = −1, X 2 = −1} + P {X 1 = 0, X 2 = 0} + P {X 1 = 1, X 2 = 1} = 0． 5． 设随机变量 (X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<−−=.,0,42,20),6(),(其他y x y x k y x p试求（1）常数k ；（2）P {X < 1, Y < 3}； （3）P {X < 1.5}； （4）P {X + Y ≤ 4}． 解：（1）由正则性：1),(=∫∫+∞∞−+∞∞−dxdy y x p ，得6)6(2242⎜⎜⎝⎛−−⋅=−−∫∫∫xy y k dx dy y x k dx故81=k ； （2）∫∫∫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=−−=<<1032210322681)6(81}3,1{y xy y dx dy y x dx Y X P 832278127811210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∫x x dx x ； （3）∫∫∫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=−−=<5.104225.10422681)6(81}5.1{y xy y dx dy y x dx X P 3227)6(81)26(815.1025.10=−=−=∫x x dx x ； （4）∫∫∫−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=−−=<+204222422681)6(81}4{xxy xy y dx dy y x dx Y X P326268124681203222=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=∫x x x dx x x ． 6． 设随机变量(X , Y )的联合密度函数为⎩⎨⎧>>=+−.,0,0,0,e ),()43(其他y x k y x p y x 试求（1）常数k ；（2）(X , Y ) 的联合分布函数F (x , y )； （3）P {0 < X ≤ 1, 0 < Y ≤ 2}． 解：（1）由正则性：1),(=∫∫+∞∞−+∞∞−dxdy y x p ，得e 0)43(⎢⎣⎡⋅=∞+∞+∞++−∫∫∫k dx dy k dx y x 故k = 12；（2）当x ≤ 0或y ≤ 0时，F (x , y ) = P (∅) = 0，当x > 0且y > 0时，∫∫∫∫−−+−+−−=−⋅==xy u x y v u x y v u du du dv du y x F 0430)43(0)43()e 1(e 3]e 3[e 12),()e 1)(e 1()e 1(e 43043y x xy u −−−−−−=−−=故(X , Y )的联合分布函数为⎩⎨⎧>>−−=−−.,0,0,0),e 1)(e 1(),(43其他y x y x F y x （3）P {0 < X ≤ 1, 0 < Y ≤ 2} = P {X ≤ 1, Y ≤ 2} = F (1, 2) = (1 − e −3) (1 − e −8)．7． 设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,10,4),(其他y x xy y x p 试求（1）P {0 < X < 0.5, 0.25 < Y < 1}； （2）P {X = Y }； （3）P {X < Y }；（4）(X , Y ) 的联合分布函数．解：（1）∫∫∫⋅==<<<<5.00125.025.00125.024}125.0,5.00{xy dx xydy dx Y X P641516158155.0025.00===∫x xdx ； （2）P {X = Y } = 0；（3）∫∫∫∫−=⋅==<1311211)22(24}{dx x x xy dx xydy dx Y X P xx21211042=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=x x ；（4）当x < 0或y < 0时，F (x , y ) = P (∅) = 0，当0 ≤ x < 1且0 ≤ y < 1时，220220202224},{),(y x y u du uy uv du uvdv du y Y x X P y x F x x x y x y ===⋅==≤≤=∫∫∫∫；当0 ≤ x < 1且y ≥ 1时，2020010210224},{),(x u udu uv du uvdv du y Y x X P y x F x xx x ===⋅==≤≤=∫∫∫∫；当x ≥ 1且0 ≤ y < 1时，210221210210224},{),(y y u du uy uv du uvdv du y Y x X P y x F y y ===⋅==≤≤=∫∫∫∫；当x ≥ 1且y ≥ 1时，F (x , y ) = P (Ω) = 1， 故(X , Y ) 的联合分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥<≤≥≥<≤<≤<≤<<=.1,1,1,10,1,,1,10,,10,10,,00,0),(2222y x y x y y x x y x y x y x y x F 或 8． 设二维随机变量(X , Y ) 在边长为2，中心为(0, 0) 的正方形区域内服从均匀分布，试求P {X 22 解：设D 表示该正方形区域，面积S D = 4，G 表示单位圆区域，面积S G = π，故4π}1{22==≤+D G S S Y X P ．9． 设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,),(2其他x y x k y x p （1）试求常数k ；（2）求P {X > 0.5}和P {Y < 0.5}． 解：（1）由正则性：1),(=∫∫+∞∞−+∞∞−dxdy y x p ，得1632)(10321021122==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−=⋅=∫∫∫∫k x x k dx x x k y k dx kdy dx xx xx， 故k = 6；（2）∫∫∫∫−=⋅==>15.0215.015.0)66(66}5.0{22dx x x ydx dy dx X P x xxx5.0)23(15.032=−=x x ；∫∫∫∫−=⋅==<5.005.005.00)66(66}5.0{dy y y xdy dx dy Y P y yyy432)34(5.00223−=−=y y ． 10．设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<−=.,0,10),1(6),(其他y x y y x p （1）求P {X > 0.5, Y > 0.5}；（2）求P {X < 0.5}和P {Y < 0.5}； （3）求P {X + Y < 1}．解：（1）81)1()1(3])1(3[)1(6}5.0,5.0{15.0315.0215.01215.01=−−=−=−−⋅=−=>>∫∫∫∫x dx x y dx dy y dx Y X P xx； （2）∫∫∫−−⋅=−=<5.00125.001])1(3[)1(6}5.0{x x y dx dy y dx X P 87)1()1(35.0035.002=−−=−=∫x dx x ； ∫∫∫−−⋅=−=<5.005.025.005.0])1(3[)1(6}5.0{xxy dx dy y dx Y P21)1(43)1(3435.0035.002=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−=∫x x dx x ； （3）∫∫∫−−−−⋅=−=<+5.00125.001])1(3[)1(6}1{x xxxy dx dy y dx Y X P43])1([])1(33[5.00335.0022=−−−=−+−=∫x x dx x x ．11．设随机变量Y 服从参数为λ = 1的指数分布，定义随机变量X k 如下：2,1.,1,,0=⎩⎨⎧>≤=k k Y k Y X k ．求X 1和X 2的联合分布列．解：因Y 的密度函数为⎩⎨⎧<≥=−.0,0,0,e )(y y y p y Y且X 1和X 2的全部可能取值为0, 1，则1101021e 1e e }1{}2,1{}0,0{−−−−=−==≤=≤≤===∫yy dy Y P Y Y P X X P ，P {X 1 = 0, X 2 = 1} = P {Y ≤ 1, Y > 2} = P (∅) = 0，21212121e e e e }21{}2,1{}0,1{−−−−−=−==≤<=≤>===∫yy dy Y P Y Y P X X P ，22221e e e }2{}2,1{}1,1{−+∞−+∞−=−==>=>>===∫yy dy Y P Y Y P X X P ，故X 1和X 2的联合分布列为221112e e e 1e 1010−−−−−−X X12．设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+=.,0,20,10,3),(2其他y x xy x y x p 求P {X + Y ≥ 1}．解：∫∫∫−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=≥+1021221021263}1{x x xy y x dx dy xy x dx Y X P 72652459441653421104321032=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=∫x x x dx x x x ． 13．设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<=−.,0,0,e ),(其他y x y x p y 试求P {X + Y ≤ 1}． 解：∫∫∫∫−−−−−−+−=−⋅==≤+5.0015.0015.001)e e ()e (e }1{dx dx dy dx Y X P x x x xy x xy5.015.001e 2e 1)e e (−−−−−+=−−=x x ．14．设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,20,10,2/1),(其他y x y x p求X 与Y 中至少有一个小于0.5的概率．解：85831431211}5.0,5.0{1}5.0},{min{15.015.025.0=−=−=−=≥≥−=<∫∫∫dx dy dx Y X P Y X P ．15．从(0,1)中随机地取两个数，求其积不小于3/16，且其和不大于1的概率． 解：设X 、Y 分别表示“从(0,1)中随机地取到的两个数”，则(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,10,1),(其他y x y x p故所求概率为∫∫∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−==≤+≥−4341434111631631}1,163{dx x x dy dx Y X XY P x x3ln 16341ln 1632143412−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=x x x ．习题3.21． 设二维离散随机变量(X , Y ) 的可能值为(0, 0)，(−1, 1)，(−1, 2)，(1, 0)，且取这些值的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12，试求X 与Y 各自的边际分布列． 解：因X 的全部可能值为−1, 0, 1，且12512131}1{=+=−=X P ， 61}0{==X P ， 125}1{==X P ， 故X 的边际分布列为12561125101PX − 因Y 的全部可能值为0, 1, 2，且12712561}0{=+==X P ， 31}1{==X P ， 121}2{==X P ， 故Y 的边际分布列为12131127210PY2． 设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧>>−−−=−−−−−.,0,0,0,e e e 1),(},max{122121其他y x y x F y x y x y x λλλλλ 试求X 与Y 各自的边际分布函数．解：当x ≤ 0时，F (x , y ) = 0，有F X (x ) = F (x , + ∞) = 0，当x > 0时，⎩⎨⎧≤>−−−=−−−−−.0,0,0,e e e 1),(},max{122121y y y x F y x y x y x λλλλλ 有 x y x y x y x y X x F x F 1122121e 1]e e e 1[lim ),()(},max{λλλλλλ−−−−−−+∞→−=−−−=∞+=，故⎩⎨⎧≤>−=−.0,0,0,e 1)(1x x x F x X λ 当y ≤ 0时，F (x , y ) = 0，有F Y ( y ) = F (+ ∞, y ) = 0，当y > 0时，⎩⎨⎧≤>−−−=−−−−−.0,0,0,e e e 1),(},max{122121x x y x F y x y x y x λλλλλ 有 y y x y x y x x Y y F y F 2122121e 1]e e e 1[lim ),()(},max{λλλλλλ−−−−−−+∞→−=−−−=+∞=，故⎩⎨⎧≤>−=−.0,0,0,e 1)(2y y y F y Y λ 3． 试求以下二维均匀分布的边际分布：⎪⎩⎪⎨⎧≤+=.,0,1,π1),(22其他y x y x p解：当x < −1或x > 1时，p X (x ) = 0，当−1 ≤ x ≤ 1时，2111π2π1),()(22x dy dy y x p x p x x X −===∫∫−−−∞+∞−， 故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−−=.,0,11,1π2)(2其他x x x p X当y < −1或y > 1时，p Y ( y ) = 0，当−1 ≤ y ≤ 1时，2111π2π1),()(22y dx dx y x p y p y y Y −===∫∫−−−∞+∞−， 故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−−=.,0,11,1π2)(2其他y y y p Y4． 设平面区域D 由曲线y = 1/ x 及直线y = 0，x = 1，x = e 2所围成，二维随机变量(X , Y ) 在区域D 上服从均匀分布，试求X 的边际密度函数．解：因平面区域D 的面积为2ln 122e 1e 1===∫x dx xS D ， 则(X , Y ) 的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(,0,),(,21),(D y x D y x y x p 当x < 1或x > e 2时，p X (x ) = 0，当1 ≤ x ≤ e 2时，xdy dy y x p x p x X 2121),()(10===∫∫∞+∞−， 故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0,e 1,21)(2其他x x x p X5． 求以下给出的(X , Y ) 的联合密度函数的边际密度函数p x (x ) 和p y ( y )：（1）⎩⎨⎧<<=−.,0;0,e ),(1其他y x y x p y （2）⎪⎩⎪⎨⎧−<<+=.,0;10),(45),(222其他x y y x y x p（3）⎪⎩⎪⎨⎧<<<=.,0;10,1),(3其他x y x y x p解：（1）当x ≤ 0时，p X (x ) = 0，当x > 0时，x xyxy X dy dy y x p x p −+∞−+∞−+∞∞−=−===∫∫e e e ),()(1，故⎩⎨⎧≤>=−.0,0;0,e )(x x x p x X 当y ≤ 0时，p Y ( y ) = 0， 当y > 0时，y yy Y y dx dx y x p y p −−+∞∞−===∫∫e e ),()(01，故⎩⎨⎧≤>=−.0,0;0,e )(y y y y p y Y （2）当x ≤ −1或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当−1 < x < 1时，)1(85)21(45)(45),()(41022102222x y y x dy y x dy y x p x p x x X −=+=+==−−+∞∞−∫∫， 故⎪⎩⎪⎨⎧<<−−=.,0;11),1(85)(4其他x x x p X当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0，当0 < y < 1时，y y xy x dx y x dx y x p y p y y yyY −+=+=+==−−−−−−+∞∞−∫∫1)21(65)31(45)(45),()(113112， 故⎪⎩⎪⎨⎧<<−+=.,0;10,1)21(65)(其他y y y y p Y （3）当x ≤ 0或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当0 < x < 1时，111),()(03=⋅===∫∫+∞∞−xx dy x dy y x p x p xX ， 故⎩⎨⎧<<=.,0;10,1)(其他x x p X当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0， 当0 < y < 1时，y y x dx xdx y x p y p y y Y ln ln 1ln ln 1),()(1−=−====∫∫+∞∞−， 故⎩⎨⎧<<−=.,0;10,ln )(其他y y y p Y6． 设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,6),(2其他x y x y x p试求边际密度函数p x (x ) 和p y ( y )． 解：当x ≤ 0或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当0 < x < 1时，)(66),()(22x x dy dy y x p x p xxX −===∫∫+∞∞−，故⎩⎨⎧<<−=.,0,10),(6)(2其他x x x x p X 当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0， 当0 < y < 1时，)(66),()(y y dx dx y x p y p yyY −===∫∫+∞∞−，故⎪⎩⎪⎨⎧<<−=.,0,10),(6)(其他y y y y p Y7． 试验证：以下给出的两个不同的联合密度函数，它们有相同的边际密度函数．⎩⎨⎧≤≤≤≤+=.,0,10,10,),(其他y x y x y x p ⎩⎨⎧≤≤≤≤++=.,0,10,10),5.0)(5.0(),(其他y x y x y x g 证：当x < 0或x > 1时，p X (x ) = 0，当0 ≤ x ≤ 1时，5.0)21()(),()(1021+=+=+==∫∫+∞∞−x y xy dy y x dy y x p x p X ，则⎩⎨⎧≤≤+=.,0,10,5.0)(其他x x x p X当y < 0或y > 1时，p Y ( y ) = 0， 当0 ≤ y ≤ 1时，5.0)21()(),()(10210+=+=+==∫∫+∞∞−y xy x dx y x dx y x p y p Y ，则⎩⎨⎧≤≤+=.,0,10,5.0)(其他y y y p Y并且当x < 0或x > 1时，g X (x ) = 0，当0 ≤ x ≤ 1时，5.0)5.0(21)5.0()5.0)(5.0(),()(1021+=+⋅+=++==∫∫+∞∞−x y x dy y x dy y x g x g X ，则⎩⎨⎧≤≤+=.,0,10,5.0)(其他x x x g X 当y < 0或y > 1时，g Y ( y ) = 0，当0 ≤ y ≤ 1时，5.0)5.0()5.0(21)5.0)(5.0(),()(1021+=+⋅+=++==∫∫+∞∞−y y x dx y x dx y x g y g Y ，则⎩⎨⎧≤≤+=.,0,10,5.0)(其他y y y g Y故它们有相同的边际密度函数．8． 设随机变量X 和Y 独立同分布，且P {X = −1} = P {Y = −1} = P {X = 1} = P {Y = 1} = 1/2，试求P {X = Y }．解：因X 和Y 独立同分布，且P {X = −1} = P {Y = −1} = P {X = 1} = P {Y = 1} = 1/2，则(X , Y ) 的联合概率分布21212141411214141111ji p p X Y ⋅⋅−− 故P {X = Y } = P {X = −1, Y = −1} + P {X = 1, Y = 1} = 1/2．9． 甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X 和Y 分别表示甲和乙的命中次数，试求P {X ≤ Y }． 解：因X 的全部可能取值为0, 1, 2，且P {X = 0} = 0.8 2 = 0.64，32.08.02.012}1{=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P ，P {X = 2} = 0.2 2= 0.04， 又因Y 的全部可能取值为0, 1, 2，且P {Y = 0} = 0.5 2 = 0.25，5.05.05.012}1{=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==Y P ，P {Y = 2} = 0.5 2= 0.25，则(X , Y ) 的联合概率分布25.05.025.004.001.002.001.0232.008.016.008.0164.016.032.016.00210ji p p X Y ⋅⋅故P {X ≤ Y } = 1 − P {X > Y } = 1 − P {X = 1, Y = 0} − P {X = 2, Y = 0} − P {X = 2, Y = 1} = 0.89． 10．设随机变量X 和Y 相互独立，其联合分布列为3/19/19/121321b x c a x y y y X Y试求联合分布列中的a , b , c ．解：因c a p ++=⋅911，9431912+=++=⋅b b p ，911+=⋅a p ，b p +=⋅912，c p +=⋅313， 根据独立性，知81495919422222++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⋅==⋅⋅b b b b p p b p ， 可得0814942=+−b b ，即0922=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−b ， 故92=b ； 再根据独立性，知⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⋅==⋅⋅91969194911221a a b p p p ，可得6191=+a ，故181=a ； 由正则性，知1953191912131=+++=+++++=∑∑==c b a b c a p i j ij ，可得94=++c b a ，故6118394==−−=b ac ． 11．设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X ~ U (0, 1)，Y ~ Exp (1)．试求（1）X 与Y 的联合密度函数；（2）P {Y ≤ X }；（3）P {X + Y ≤ 1}．解：（1）因X 与Y 相互独立，且边际密度函数分别为⎩⎨⎧<<=.,0,10,1)(其他x x p X ⎩⎨⎧<≥=−.0,0,0,e )(y y y p y Y故X 与Y 的联合密度函数为⎩⎨⎧≥<<==−.,0,0,10,e )()(),(其他y x y p x p y x p y Y X （2）1111101e 1e 1)e ()e 1()e (e }{−−−−−−=−+=+=−=−⋅==≤∫∫∫∫x x x y xy x dx dx dy dx X Y P ；（3）11110110101010e )e ()e 1()e (e }1{−−−−−−−=−=−=−⋅==≤+∫∫∫∫x x x y xy x dx dx dy dx Y X P ．12．设随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,0,10,3),(其他x y x x y x p 试求（1）边际密度函数p x (x ) 和p y ( y )；（2）X 与Y 是否独立．解：（1）当x ≤ 0或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当0 < x < 1时，2033),()(x xdy dy y x p x p xX ===∫∫+∞∞−，故⎩⎨⎧<<=.,0,10,3)(2其他x x x p X 当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0， 当0 < y < 1时，)1(23233),()(2121y x xdx dx y x p y p yyY −====∫∫+∞∞−， 故⎪⎩⎪⎨⎧<<−=.,0,10),1(23)(2其他y y y p Y （2）因⎪⎩⎪⎨⎧<<<<−=.,0,10,10),1(29)()(22其他y x y x y p x p Y X 即p x (x ) p y ( y ) ≠ p (x , y )，故X 与Y 不独立．13．设随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<=.,0,10,||,1),(其他y y x y x p 试求（1）边际密度函数p x (x ) 和p y ( y )；（2）X 与Y 是否独立．解：（1）当x ≤ −1或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当−1 < x < 0时，x dy dy y x p x p xX +===∫∫−+∞∞−11),()(1，当0 ≤ x < 1时，x dy dy y x p x p xX −===∫∫+∞∞−11),()(1，故⎪⎩⎪⎨⎧<≤−<<−+=.,0,10,1,01,1)(其他x x x x x p X当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0，当0 < y < 1时，y dx dx y x p y p yyY 21),()(===∫∫−+∞∞−，故⎩⎨⎧<<=.,0,10,2)(其他y y y p Y（2）因⎪⎩⎪⎨⎧<<<≤−<<<<−+=.,0,10,10),1(2,10,01),1(2)()(其他y x x y y x x y y p x p Y X 即p x (x ) p y ( y ) ≠ p (x , y )，故X 与Y 不独立．14．设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数如下，试问X 与Y 是否相互独立？（1）⎩⎨⎧>>=+−.,0;0,0,e ),()(其他y x x y x p y x （2）+∞<<∞−++=y x y x y x p ,,)1)(1(π1),(222；（3）⎩⎨⎧<<<=.,0;10,2),(其他y x y x p （4）⎩⎨⎧<+<<<<<=.,0;10,10,10,24),(其他y x y x xy y x p（5）⎩⎨⎧<<<<−=.,0;10,10),1(12),(其他y x x xy y x p（6）⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0;1,421),(22其他y x y x y x p解：（1）因x e − (x + y ) = x e −x ⋅ e −y 可分离变量，x > 0, y > 0是广义矩形区域，故X 与Y 相互独立；（2）因)1π(1)1π(1)1)(1(π122222y x y x +⋅+=++可分离变量，−∞ < x , y < +∞是广义矩形区域， 故X 与Y 相互独立；（3）因0 < x < y < 1不是矩形区域，故X 与Y 不独立；（4）因0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < x + y < 1不是矩形区域，故X 与Y 不独立；（5）因12xy (1 − x ) = 12x (1 − x ) ⋅ y 可分离变量，0 < x < 1, 0 < y < 1是矩形区域，故X 与Y 相互独立； （6）因x 2 < y < 1不是矩形区域，故X 与Y 不独立．15．在长为a 的线段的中点的两边随机地各取一点，求两点间的距离小于a / 3的概率．解：设X 和Y 分别表示这两个点与线段中点的距离，有X 和Y 相互独立且都服从[0, a / 2]的均匀分布，则(X , Y ) 的联合密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=.,0,20,20,4),(2其他a y a x a y x pa a故所求概率为922321}3{22=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛×==<+a a S S aY X P DG ． 16．设二维随机变量(X , Y ) 服从区域D = {(x , y ): a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d }上的均匀分布，试证X 与Y 相互独立． 证：因(X , Y ) 的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤−−=.,0;,,))((1),(其他d y c b x a c d a b y x p当x < a 或x > b 时，p X (x ) = 0，当a ≤ x ≤ b 时，a b dy c d a b dy y x p x p d c X −=−−==∫∫+∞∞−1))((1),()(， 则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−=.,0;,1)(其他b x a a b x p X当y < c 或y > d 时，p Y ( y ) = 0，当c ≤ y ≤ d 时，cd dx c d a b dx y x p y p baY −=−−==∫∫+∞∞−1))((1),()(， 则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−=.,0;,1)(其他d y c c d y p Y因p x (x ) p y ( y ) = p (x , y )， 故X 与Y 相互独立．17．设X 1, X 2, …, X n 是独立同分布的正值随机变量．证明n k n k X X X X E n k ≤=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++,11L L ．证：因X 1, X 2, …, X n 是独立同分布的正值随机变量，则由对称性知),,2,1(1n i X X X niL L =++同分布，且满足101<++<niX X X L ，可得⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++n i X X X E L 1存在，且⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++n nn n X X X E X X X E X X X E L L L L 11211， 因11111211=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++n n n n n n X X X X E X X X E X X X E X X X E L L L L L L ， 则n X X X E X X X E X X X E n n n n 111211=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++L L L L ， 故n k n k XX X X E n k≤=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++,11L L ．习题3.31． 设二维随机变量(X , Y ) 的联合分布列为09.007.004.0222.011.007.0120.015.005.00321X Y 试分布求U = max{X , Y } 和V = min{X , Y } 的分布列．解：因P {U = 1} = P {X = 0, Y = 1} + P {X = 1, Y = 1} = 0.05 + 0.07 = 0.12；P {U = 2} = P {X = 0, Y = 2} + P {X = 1, Y = 2} + P {X = 2, Y = 2} + P {X = 2, Y = 1}= 0.15 + 0.11 + 0.07 + 0.04 = 0.37；P {U = 3} = P {X = 0, Y = 3} + P {X = 1, Y = 3} + P {X = 2, Y = 3} = 0.20 + 0.22 + 0.09 = 0.51； 故U 的分布列为51.037.012.0321P U因P {V = 0} = P {X = 0, Y = 1} + P {X = 0, Y = 2} + P {X = 0, Y = 3} = 0.05 + 0.15 + 0.20 = 0.40； P {V = 1} = P {X = 1, Y = 1} + P {X = 1, Y = 2} + P {X = 1, Y = 3} + P {X = 2, Y = 1}= 0.07 + 0.11 + 0.22 + 0.04 = 0.44；P {V = 2} = P {X = 2, Y = 2} + P {X = 2, Y = 3} = 0.07 + 0.09 = 0.16； 故V 的分布列为16.044.040.0210P V2． 设X 和Y 是相互独立的随机变量，且X ~ Exp (λ )，Y ~ Exp (µ )．如果定义随机变量Z 如下⎩⎨⎧>≤=.,0,,1Y X Y X Z 当当 求Z 的分布列．解：因(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧>>==+−.,0,0,0,e )()(),()(其他y x y p x p y x p y x Y X µλλµ 则∫∫∫+∞+∞+−+∞+∞+−−⋅==≤==0)(0)(e )(e }{}1{xy x xy x dx dy dx Y X P Z P µλµλλλµµλλµλλλµλµλ+=+−==+∞+−+∞+−∫0)(0)(e e xx dx ，µλµ+==−==}1{1}0{Z P Z P ，故Z 的分布列为µλλµλµ++PZ 13． 设随机变量X 和Y 的分布列分别为4/12/14/1101P X − 2/12/110P Y已知P {XY = 0} = 1，试求Z = max{X , Y }的分布列．解：因P {X 1 X 2 = 0} = 1，有P {X 1 X 2 ≠ 0} = 0，即P {X 1 = −1, X 2 = 1} = P {X 1 = 1, X 2 = 1} = 0，可得 (X , Y ) 的联合分布列为因{Z P {Z P 故Z 4．（1）X （2）X 解：（1）(X , 因P {Z = 0} = P {X = 0, Y = 0} = 0.25；P {Z = 1} = 1 − P {Z = 0} = 0.75； 故Z 的分布列为75.025.010P Z（2）因P {Z = k } = P {X = k , Y ≤ k } + P {X < k , Y = k } = P {X = k } P {Y ≤ k } + P {X < k } P {Y = k }p p p p p p p p k k i i kj j k 1111111)1()1()1()1(−−=−=−−−⋅−+−⋅−=∑∑p p p p p p p p p p k k k k 111)1()1(1)1(1)1(1)1(1)1(−−−−⋅−−−−+−−−−⋅−= = (1 − p ) k − 1 p ⋅ [2 − (1 − p ) k − 1 − (1 − p ) k ]故Z = max{X , Y }的概率函数为p z (k ) = (1 − p ) k − 1 p ⋅ [2 − (1 − p ) k − 1 − (1 − p ) k ]，k = 1, 2, …．5． 设X 和Y 为两个随机变量，且73}0,0{=≥≥Y X P ，74}0{}0{=≥=≥Y P X P ， 试求P {max{X , Y } ≥ 0}．解：设A 表示事件“X ≥ 0”，B 表示事件“Y ≥ 0”，有73)(=AB P ，74)()(==B P A P ， 故75737474)()()()(}0},{max{=−+=−+==≥AB P B P A P B A P Y X P U ．6． 设X 与Y 的联合密度函数为⎩⎨⎧>>=+−.,0,0,0,e ),()(其他y x y x p y x 试求以下随机变量的密度函数（1）Z = (X + Y )/2；（2）Z = Y − X ．解：方法一：分布函数法（1）作曲线簇z yx =+2，得z 的分段点为0，当z ≤ 0时，F Z (z ) = 0，当z > 0时，∫∫∫−+−−+−−⋅==z x z y x zx z y x Z dx dy dx z F 2020)(2020)(]e [e )(z z x z z x z z x dx 2202202e )12(1)e e ()e e (−−−−−+−=−−=+−=∫，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = (X + Y )/2为连续随机变量， 故Z = (X + Y )/2的密度函数为⎩⎨⎧≤>=′=−.0,0,0,e 4)()(2z z z z F z p z Z Z （2）作曲线簇y − x = z ，得z 的分段点为0，当z ≤ 0时，∫∫∫∫+∞−−+−+∞−++−+∞−++−−=−⋅==zx z x zz x y x zzx y x Z dx dy dx z F e []e [e )()2(0)(0)(z z z zx z x e 21e e 21e e 21)2(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=+∞−−+−，当z > 0时，∫∫∫∫+∞−+−+∞++−+∞++−+−=−⋅==0)2(0)(0)(]e e []e [e )(dx dx dy dx z F x z x z x y x zx y x Zz z x z x −−+∞−+−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=e 2111e 21e e 210)2(，因分布函数F Z (z )连续，有Z = Y − X 为连续随机变量，故Z = Y − X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=′=−.0,e 21,0,e 21)()(z z z F z p zzZ Z 方法二：增补变量法 （1）函数2yx z +=对任意固定的y 关于x 严格单调增加，增补变量v = y ，可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=,,2y v y x z 有反函数⎩⎨⎧=−=,,2v y v z x 且21012=−=′′′′=vz vzy y x x J ， 则∫∫+∞∞−+∞∞−−=⋅−=dv v v z p dv v v z p z p Z ),2(22),2()(，作曲线簇z yx =+2，得z 的分段点为0， 当z ≤ 0时，p Z (z ) = 0，当z > 0时，z z z Z z dv z p 2202e 4e 2)(−−==∫， 故Z = (X + Y )/2的密度函数为⎩⎨⎧≤>=−.0,0,0,e 4)(2z z z z p z Z（2）函数z = y − x 对任意固定的y 关于x 严格单调增加，增补变量v = y ，可得⎩⎨⎧=−=,,y v x y z 有反函数⎩⎨⎧=−=,,v y z v x 且11011−=−=′′′′=v z vzy y x x J ， 则∫+∞∞−−=dv v z v p z p Z ),()(，作曲线簇y − x = z ，得z 的分段点为0， 当z ≤ 0时，zz v z v Z dv z p e 21e 21e )(0202=−==+∞+−+∞+−∫， 当z > 0时，z zzv z z v Z dv z p −+∞+−+∞+−=−==∫e 21e 21e )(22， 故Z = Y − X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=−.0,e 21,0,e 21)(z z z p zzZ 7． 设X 与Y 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,0,10,3),(其他x y x x y x p 试求Z = X − Y 的密度函数．解：方法一：分布函数法作曲线簇x − y = z ，得z 的分段点为0, 1， 当z < 0时，F Z (z ) = 0，当0 ≤ z < 1时，31203102102123233333)(z z z x x xzdx dx x xdy dx xdy dx z F z z zz z xzx z x Z −=+=+=+=∫∫∫∫∫∫−，当z ≥ 1时，F Z (z ) = 1，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = X − Y 为连续随机变量， 故Z = X − Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=′=.,0,10),1(23)()(2其他z z z F z p Z Z方法二：增补变量法函数z = x − y 对任意固定的y 关于x 严格单调增加，增补变量v = y ，可得⎩⎨⎧=−=,,y v y x z 有反函数⎩⎨⎧=+=,,v y v z x 且11011==′′′′=vz vzy y x x J ， 则∫+∞∞−+=dv v v z p z p Z ),()(，作曲线簇x − y = z ，得z 的分段点为0, 1，当z ≤ 0或z ≥ 1时，p Z (z ) = 0， 当0 < z < 1时，)1(23)(23)(3)(210210z v z dv v z z p z z Z −=+=+=−−∫， 故Z = X − Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=.,0,10),1(23)(2其他z z z p Z 8． 某种商品一周的需要量是一个随机变量，其密度函数为⎩⎨⎧≤>=−.0,0,0,e )(1t t t t p t设各周的需要量是相互独立的，试求（1）两周需要量的密度函数p 2 (x )；（2）三周需要量的密度函数p 3 (x )． 解：方法一：根据独立伽玛变量之和仍为伽玛变量设T i 表示“该种商品第i 周的需要量”，因T i 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=−−.0,0,0,e )2(1)(121t t t t p t可知T i 服从伽玛分布Ga (2, 1)，（1）两周需要量为T 1 + T 2，因T 1与T 2相互独立且都服从伽玛分布Ga (2, 1)，故T 1 + T 2服从伽玛分布Ga (4, 1)，密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=−−−.0,0,0,e 61.0,0,0,e )4(1)(3142x x x x x x x p x x （2）三周需要量为T 1 + T 2 + T 3，因T 1, T 2, T 3相互独立且都服从伽玛分布Ga (2, 1)，故T 1 + T 2 + T 3服从伽玛分布Ga (6, 1)，密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=−−−.0,0,0,e 1201.0,0,0,e )6(1)(5163x x x x x x x p xx 方法二：分布函数法（1）两周需要量为X 2 = T 1 + T 2，作曲线簇t 1 + t 2 = x ，得x 的分段点为0，当x ≤ 0时，F 2 (x ) = 0，当x > 0时，∫∫∫−−−−−−−−−⋅=⋅=xt x t t t xt x t t t t dt dt t t dt x F 02110221121221121)e e (e e e )( ∫−−+−−=xt x dt t t xt t 0111121]e e )[(1xt t x t t x t t 0121213111e e e 212131⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−−−11)1(e e e 212131233−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−−−x x x x x x xxx x x x x x −−−−−−−−=e 61e 21e e 132， 因分布函数F 2 (x )连续，有X 2 = T 1 + T 2为连续随机变量， 故X 2 = T 1 + T 2的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=′=−.0,0,0,e 61)()(322x x x x F x p x（2）三周需要量为X 3 = T 1 + T 2 + T 3 = X 2 + T 3，作曲线簇x 2 + t 3 = x ，得x 的分段点为0，当x ≤ 0时，F 3 (x ) = 0，当x > 0时，∫∫∫−−−−−−−−−⋅=⋅=x x x t t x x x x t x t x dx dt t x dx x F 003322003332232332232)e e (e 61e e 61)(∫−−+−−=x x x dx x x x x x 0232323242]e e )[(6`12 xx x x x x x x x x x x x 0222324242522222e 6e 6e 3e e 41415161⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−−−−− )1(e e e 21e 61e 4141516123455−−−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−−−−−x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x −−−−−−−−−−−−=e 1201e 241e 61e 21e e 15432， 因分布函数F 3 (x ) 连续，有X 3 = T 1 + T 2 + T 3为连续随机变量， 故X 3 = T 1 + T 2 + T 3的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=′=−.0,0,0,e 1201)()(533x x x x F x p x 方法三：卷积公式（增补变量法）（1）两周需要量为X 2 = T 1 + T 2，卷积公式∫+∞∞−−=2222)()()(21dt t p t x p x p T T ，作曲线簇t 1 + t 2 = x ，得x 的分段点为0， 当x ≤ 0时，p 2 (x ) = 0， 当x > 0时，xxx xxxt t x x t x t dt t xt dt t t x x p −−−−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=⋅−=∫∫e 61e3121e )(e e )()(30322202222022)(2222， 故X 2 = T 1 + T 2的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=−.0,0,0,e 61)(32x x x x p x（2）三周需要量为X 3 = T 1 + T 2 + T 3 = X 2 + T 3，卷积公式∫+∞∞−−=3333)()()(32dt t p t x p x p T X ，作曲线簇x 2 + t 3 = x ，得x 的分段点为0，当x ≤ 0时，p 3 (x ) = 0，21当x > 0时，∫∫−−−−−+−=−=x x xt t x dt t xt t x t x dt t t x x p 03433323233033)(333e )33(61e e )(61)(33 x xx x t x t x t x t −−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−=e 1201e 51432161505343233323， 故X 3 = T 1 + T 2 + T 3的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=−.0,0,0,e 1201)(53x x x x p x9． 设随机变量X 与Y 相互独立，试在以下情况下求Z = X + Y 的密度函数：（1）X ~ U (0, 1)，Y ~ U (0, 1)； （2）X ~ U (0, 1)，Y ~ Exp (1)． 解：方法一：分布函数法（1）作曲线簇x + y = z ，得z 的分段点为0, 1, 2，当z < 0时，F Z (z ) = 0，当0 ≤ z < 1时，2020002121)(1)(z x zx dx x z dy dx z F zz zxz Z =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−==∫∫∫−，当1 ≤ z < 2时，1121110110110)(211)(111)(−−−−−−−−−=−+=+=∫∫∫∫∫∫z z z z xz z Zx z z dx x z dx dy dx dy dx z F121221)1(21122−−=+−−−=z z z z ， 当z ≥ 2时，F Z (z ) = 1，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = X + Y 为连续随机变量， 故Z = X + Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤−<≤=′=.,0,21,2,10,)()(其他z z z z z F z p Z Z（2）作曲线簇x + y = z ，得z 的分段点为0, 1，当z < 0时，F Z (z ) = 0， 当0 ≤ z < 1时，z z x z zx z zx z y z xz y Z z x dx dx dy dx z F −+−+−−−−−+−=−=−=−⋅==∫∫∫∫e 1)e ()e 1()e (e )(0000，当z ≥ 1时，z z x z x z x z y xz y Z x dx dx dy dx z F −−+−+−−−−−+−=−=−=−⋅==∫∫∫∫e e 1)e ()e 1()e (e )(111110，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = X + Y 为连续随机变量， 故Z = X + Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥−<≤−=′=−−.0,0,1,e )1(e ,10,e 1)()(z z z z F z p z z Z Z方法二：卷积公式（增补变量法） 卷积公式∫+∞∞−−=dy y p y z p z p Y X Z )()()(，（1）作曲线簇x + y = z ，得z 的分段点为0, 1, 2，2。
概率论与数理统计 茆诗松 第二版课后 习题参考答案
第七章 假设检验习题7.11． 设X 1 , …, X n 是来自N (µ , 1) 的样本，考虑如下假设检验问题H 0：µ = 2 vs H 1：µ = 3，若检验由拒绝域为}6.2{≥=x W 确定． （1）当n = 20时求检验犯两类错误的概率；（2）如果要使得检验犯第二类错误的概率β ≤ 0.01，n 最小应取多少？ （3）证明：当n → ∞ 时，α → 0，β → 0． 解：（1）犯第一类错误的概率为0037.0)68.2(168.220126.21}2|6.2{}|{0=Φ−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=−≥−==≥=∈=n X P X P H W X P µµα，犯第二类错误的概率为0367.0)79.1(79.120136.21}3|6.2{}|{1=−Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−=−<−==<=∉=n X P X P H W X P µµβ；（2）因01.0)4.0(4.0136.21}3|6.2{≤−Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−=−<−==<=n n n n X P X P µµβ，则99.0)4.0(≥Φn ，33.24.0≥n ，n ≥ 33.93，故n 至少为34；（3）)(0)6.0(16.0126.21}2|6.2{∞→→Φ−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=−≥−==≥=n n n n n X P X P µµα，)(0)4.0(4.0136.21}3|6.2{∞→→−Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−=−<−==<=n n n n n X P X P µµβ． 2． 设X 1 , …, X 10是来自0-1总体b (1, p ) 的样本，考虑如下检验问题H 0：p = 0.2 vs H 1：p = 0.4，取拒绝域为}5.0{≥=x W ，求该检验犯两类错误的概率． 解：因X ~ b(1, p )，有),10(~10101p b X X i i =∑=，则0328.08.02.0}2.0|510{}2.0|5.0{}|{10510100=⋅⋅==≥==≥=∈=∑=−k k k kC p X P p X P H W X P α，6331.06.04.0}4.0|510{}4.0|5.0{}|{410101=⋅⋅==<==<=∉=∑=−k k k kC p X P p X P H W X P β．3． 设X 1 , …, X 16是来自正态总体N (µ , 4) 的样本，考虑检验问题H 0：µ = 6 vs H 1：µ ≠ 6，拒绝域取为}|6{|c x W ≥−=，试求c 使得检验的显著性水平为0.05，并求该检验在µ = 6.5处犯第二类错误的概率．解：因05.0)]2(1[22162162}6||6{|}|{0=Φ−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=≥−==≥−=∈=c c c X P c X P H W X P µµα，则Φ (2c ) = 0.975，2c = 1.96，故c = 0.98；故}5.6|48.05.648.1{}5.6|98.0|6{|}|{1=<−<−==<−=∉=µµβX P X P H W X P83.0)96.2()96.0(96.01625.696.2=−Φ−Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−<−=X P ．4． 设总体为均匀分布U (0, θ )，X 1 , …, X n 是样本，考虑检验问题H 0：θ ≥ 3 vs H 1：θ < 3，拒绝域取为}5.2{)(≤=n x W ，求检验犯第一类错误的最大值α ，若要使得该最大值α 不超过0.05，n 至少应取多大？解：因均匀分布最大顺序统计量X (n ) 的密度函数为θθ<<−Ι=x nn n nx x p 01)(，则nn n n nn n n x dx nx X P H W X P ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=====≤=∈=∫−6535.233}3|5.2{}|{5.205.201)(0θα， 要使得α ≤ 0.05，即05.065≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛n，43.16)6/5ln(05.0ln =≥n ，故n 至少为17．5． 在假设检验问题中，若检验结果是接受原假设，则检验可能犯哪一类错误？若检验结果是拒绝原假设，则又有可能犯哪一类错误？答：若检验结果是接受原假设，当原假设为真时，是正确的决策，未犯错误；当原假设不真时，则犯了第二类错误．若检验结果是拒绝原假设，当原假设为真时，则犯了第一类错误；当原假设不真时，是正确的决策，未犯错误．6． 设X 1 , …, X 20是来自0-1总体b (1, p ) 的样本，考虑如下检验问题H 0：p = 0.2 vs H 1：p ≠ 0.2，取拒绝域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≥=∑∑==17201201i i i i x x W 或，（1）求p = 0, 0.1, 0.2, …, 0.9, 1的势并由此画出势函数的图；（2）求在p = 0.05时犯第二类错误的概率．解：（1）因X ~ b(1, p )，有),20(~201p b X i i ∑=，势函数∑∑=−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=6220201)1(201)(k kk i i p p k p WX P p g ， 故110201)0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k k k g ，3941.09.01.0201)1.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k kk k g ， 1559.08.02.0201)2.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k k k g ，3996.07.03.0201)3.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k kk g ，7505.06.04.0201)4.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k kk g ，9424.05.05.0201)5.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k k k g ， 9935.04.06.0201)6.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k k k g ，9997.03.07.0201)7.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k kk g ， 999998.02.08.0201)8.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k kk g11.09.0201)9.0(6220≈××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k kk g ， 101201)1(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k kk k g ； （2）在p = 0.05时犯第二类错误的概率2641.095.005.02005.0|6220201=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∉=∑∑=−=k kk i i k p W X P β． 7． 设一个单一观测的样本取自密度函数为p (x )的总体，对p (x )考虑统计假设： H 0：p 0(x ) = I 0 < x < 1 vs H 1：p 1(x ) = 2x I 0 < x < 1．若其拒绝域的形式为W = {x : x ≥ c }，试确定一个c ，使得犯第一类，第二类错误的概率满足α + 2β 为最小，并求其最小值．解：当0 < c < 1时，α = P {X ∈ W | H 0} = P {X ≥ c | X ~ p 0(x )} = 1 − c ，且20112)}(~|{}H |{c xdx x p X c X P W X P c==<=∉=∫β，则2224128721161287212⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+=+−=+c c c c c βα，故当41=c 时，α + 2β 为最小，其最小值为87． 8． 设X 1, X 2, …, X 30为取自柏松分布P (λ)的随机样本．（1）试给出单侧假设检验问题H 0：λ ≤ 0.1 vs H 1：λ > 0.1的显著水平α = 0.05的检验； （2）求此检验的势函数β (λ)在λ = 0.05, 0.2, 0.3, …, 0.9时的值，并据此画出β (λ)的图像．解：（1）因)30(~3021λP X X X X n +++=L ，假设H 0：λ ≤ 0.1 vs H 1：λ > 0.1， 统计量)30(~λP X n ，当H 0成立时，设)3(~P X n ，其p 分位数)3(p P 满足∑∑=−−=−≤<)3(031)3(03e !3e !3p p P k k P k k k p k 显著水平α = 0.05，可得P 1−α (3) = P 0.95 (3) = 6，右侧拒绝域}7{≥=x n W ；（2）因∑=−−=≥=∈=630e!)30(1}|7{}|{)(k k k X n P W X n P λλλλλβ， g故0001.0e !5.11)05.0(605.1=−=∑=−k k k β，3937.0e !61)2.0(606=−=∑=−k k k β，7932.0e !91)3.0(609=−=∑=−k k k β，9542.0e !121)4.0(6012=−=∑=−k k k β，9924.0e !151)5.0(6015=−=∑=−k k k β，9990.0e !181)6.0(6018=−=∑=−k k k β，9999.0e !211)7.0(6021=−=∑=−k kk β， 1e !241)8.0(6024≈−=∑=−k k k β，1e !271)9.0(6027≈−=∑=−k k k β．习题7.2说明：本节习题均采用拒绝域的形式完成，在可以计算检验的p 值时要求计算出p 值． 1． 有一批枪弹，出厂时，其初速率v ~ N (950, 1000)（单位：m /s ）．经过较长时间储存，取9发进行测试，得样本值（单位：m /s ）如下：914 920 910 934 953 945 912 924 940．据经验，枪弹经储存后其初速率仍服从正态分布，且标准差保持不变，问是否可认为这批枪弹的初速率有显著降低（α = 0.05）？解：设枪弹经储存后其初速率X ~ N (µ , 1000)，假设H 0：µ = 950 vs H 1：µ < 950，已知σ 2，选取统计量)1,0(~N nX U σµ−=， 显著性水平α = 0.05，u 1 − α = u 0.95 = 1.645，左侧拒绝域W = {u ≤ −1.645}， 因928=x ，µ = 950，σ = 10，n = 9， 则W u ∈−=−=6.6910950928，并且检验的p 值p = P {U ≤ −6.6} = 2.0558 × 10−11 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，即可以认为这批枪弹的初速率有显著降低． 2． 已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N (4.55, 0.1082 )．现在测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484，如果铁水含碳量的方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55（α = 0.05）？ 解：设现在生产的铁水含碳量X ~ N (µ , 0.1082 )，假设H 0：µ = 4.55 vs H 1：µ ≠ 4.55，已知σ 2，选取统计量)1,0(~N nX U σµ−=， 显著性水平α = 0.05，u 1 − α /2 = u 0.975 = 1.96，双侧拒绝域W = {| u | ≥ 1.96}， 因484.4=x ，µ = 4.55，σ = 0.108，n = 9， 则W u ∉−=−=8333.19108.055.4484.4，并且检验的p 值p = 2P {U ≤ −1.8333} = 0.0668 > α = 0.05，β (故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55． 3． 由经验知某零件质量X ~ N (15, 0.05 2 ) （单位：g ），技术革新后，抽出6个零件，测得质量为14.7 15.1 14.8 15.0 15.2 14.6．已知方差不变，问平均质量是否仍为15 g （取α = 0.05）？解：设技术革新后零件质量X ~ N (µ , 0.05 2 )，假设H 0：µ = 15 vs H 1：µ ≠ 15，已知σ 2，选取统计量)1,0(~N nX U σµ−=， 显著性水平α = 0.05，u 1 − α /2 = u 0.975 = 1.96，双侧拒绝域W = {| u | ≥ 1.96}， 因9.14=x ，µ = 15，σ = 0.05，n = 6， 则W u ∈−=−=8990.4605.0159.14，并且检验的p 值p = 2P {U ≤ −4.8990} = 9.6326 × 10−7 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，即不能认为平均质量仍为15 g ． 4． 化肥厂用自动包装机包装化肥，每包的质量服从正态分布，其平均质量为100 kg ，标准差为1.2 kg ．某日开工后，为了确定这天包装机工作是否正常，随机抽取9袋化肥，称得质量如下：99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 99.5 102.1 100.5．设方差稳定不变，问这一天包装机的工作是否正常（取α = 0.05）？ 解：设这天包装机包装的化肥每包的质量X ~ N (µ , 1.22 )，假设H 0：µ = 100 vs H 1：µ ≠ 100，已知σ 2，选取统计量)1,0(~N nX U σµ−=， 显著性水平α = 0.05，u 1 − α /2 = u 0.975 = 1.96，双侧拒绝域W = {| u | ≥ 1.96}， 因9778.99=x ，µ = 100，σ = 1.2，n = 9， 则W u ∉−=−=0556.092.11009778.99，并且检验的p 值p = 2P {U ≤ −0.0556} = 0.9557 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为这一天包装机的工作正常． 5． 设需要对某正态总体的均值进行假设检验H 0：µ = 15， H 1：µ < 15．已知σ 2 = 2.5，取α = 0.05，若要求当H 1中的µ ≤ 13时犯第二类错误的概率不超过0.05，求所需的样本容量．解：设该总体X ~ N (µ , 2.5 )，假设H 0：µ = 15 vs H 1：µ < 15，已知σ 2，选取统计量)1,0(~N nX U σµ−=， 显著性水平α = 0.05，u 1 − α = u 0.95 = 1.645，左侧拒绝域W = {u ≤ −1.645}， 因µ = 15，σ 2 = 2.5，有nx u 5.215−=，当µ ≤ 13时犯第二类错误的概率为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤−+−>−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤−>−=13|5.21565.15.213|65.15.215µµµµβn n X P n X P 05.0)2649.165.1(15.2131565.15.2≤+−Φ−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+−>−≤n n nX P µ，则95.0)2649.165.1(≥+−Φn ，即65.12649.165.1≥+−n ，6089.2≥n ，n ≥ 6.8064， 故样本容量n 至少为7．6． 从一批钢管抽取10根，测得其内径（单位：mm ）为：100.36 100.31 99.99 100.11 100.64 100.85 99.42 99.91 99.35 100.10．设这批钢管内直径服从正态分布N (µ , σ 2)，试分别在下列条件下检验假设（α = 0.05）．H 0：µ = 100 vs H 1：µ > 100．（1）已知σ = 0.5； （2）σ 未知．解：设这批钢管内直径X ~ N (µ , σ 2)，假设H 0：µ = 100 vs H 1：µ > 100，（1）已知σ 2，选取统计量)1,0(~N nX U σµ−=， 显著性水平α = 0.05，u 1 − α = u 0.95 = 1.645，右侧拒绝域W = {u ≥ 1.645}， 因104.100=x ，µ = 100，σ = 0.5，n = 10， 则W u ∉=−=6578.0105.0100104.100，并且检验的p 值p = P {U ≥ 0.6578} = 0.2553 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，即不能认为µ > 100． （2）未知σ 2，选取统计量)1(~−−=n t nS X T µ， 显著性水平α = 0.05，t 1 − α (n − 1) = t 0.95 (9) = 1.8331，右侧拒绝域W = {t ≥ 1.8331}， 因104.100=x ，µ = 100，s = 0.4760，n = 10， 则W t ∉=−=6910.0104760.0100104.100，并且检验的p 值p = P {T ≥ 0.6910} = 0.2535 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，即不能认为µ > 100．7． 假定考生成绩服从正态分布，在某地一次数学统考中，随机抽取了36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？解：设这次考试考生的成绩X ~ N (µ , σ 2 )，假设H 0：µ = 70 vs H 1：µ ≠ 70，未知σ 2，选取统计量)1(~−−=n t nS X T µ， 显著性水平α = 0.05，t 1 − α /2 (n − 1) = t 0.975 (35) = 2.0301，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 2.0301}， 因5.66=x ，µ = 70，s = 15，n = 36， 则W t ∉−=−=4.13615705.66，并且检验的p 值p = 2P {T ≤ −1.4} = 0.1703 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分． 8． 一个小学校长在报纸上看到这样的报道：“这一城市的初中学生平均每周看8 h 电视．”她认为她所在学校的学生看电视的时间明显小于该数字．为此她在该校随机调查了100个学生，得知平均每周看电视的时间5.6=x h ，样本标准差为s = 2 h ．问是否可以认为这位校长的看法是对的（取α = 0.05）？ 解：设学生看电视的时间X ~ N (µ , σ 2 )，假设H 0：µ = 8 vs H 1：µ < 8，未知σ 2，选取统计量)1(~−−=n t nS X T µ，n = 100，大样本，有)1,0(~N n S X T &µ−=，显著性水平α = 0.05，t 1 − α (n − 1) = t 0.95 (99) ≈ u 0.95 = 1.645，左侧拒绝域W ≈ {t ≤ −1.645}，因5.6=x ，µ = 8，s = 2，n = 100， 则W t ∈−=−=5.7100285.6，并且检验的p 值p = P {T ≤ −7.5} = 3.1909 × 10−14 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，即可以认为这位校长的看法是对的．9． 设在木材中抽出100根，测其小头直径，得到样本平均数2.11=x cm ，样本标准差为s = 2.6 cm ，问该批木材小头的平均直径能否认为不低于12 cm （取α = 0.05）？ 解：设该批木材小头的直径X ~ N (µ , σ 2 )，假设H 0：µ = 12 vs H 1：µ < 12，未知σ 2，选取统计量)1(~−−=n t n S X T µ，n = 100，大样本，有)1,0(~N nS X T &µ−=， 显著性水平α = 0.05，t 1 − α (n − 1) = t 0.95 (99) ≈ u 0.95 = 1.645，左侧拒绝域W ≈ {t ≤ −1.645}，因2.11=x ，µ = 12，s = 2.6，n = 100， 则W t ∈−=−=0769.31006.2122.11，并且检验的p 值p = P {T ≤ −3.0769} = 0.0010 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，即不能认为这批木材小头的平均直径不低于12 cm ．10．考察一鱼塘中鱼的含汞量，随机地取10条鱼测得各条鱼的含汞量（单位：mg ）为：0.8 1.6 0.9 0.8 1.2 0.4 0.7 1.0 1.2 1.1．设鱼的含汞量服从正态分布N (µ , σ 2)，试检验假设H 0：µ = 1.2 vs H 1：µ > 1.2（取α = 0.10）． 解：设鱼的含汞量X ~ N (µ , σ 2 )，假设H 0：µ = 1.2 vs H 1：µ > 1.2，未知σ 2，选取统计量)1(~−−=n t nSX T µ，显著性水平α = 0.1，t 1 − α (n − 1) = t 0.9 (9) = 1.3830，右侧拒绝域W = {t ≥ 1.3830}， 因97.0=x ，µ = 1.2，s = 0.3302，n = 10， 则W t ∉−=−=2030.2103302.02.197.0，并且检验的p 值p = P {T ≥ −2.2030} = 0.9725 > α = 0.10，故接受H 0，拒绝H 1，即不能认为µ > 1.2 ． 11．如果一个矩形的宽度w 与长度l 的比618.0)15(21≈−=l w ，这样的矩形称为黄金矩形．下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形宽度与长度的比值．0.693 0.749 0.654 0.670 0.662 0.672 0.615 0.606 0.690 0.628 0.668 0.611 0.606 0.609 0.553 0.570 0.844 0.576 0.933 0.630．设这一工厂生产的矩形的宽度与长度的比值总体服从正态分布，其均值为µ ，试检验假设（取α = 0.05）H 0：µ = 0.618 vs H 1：µ ≠ 0.618．解：设这一工厂生产的矩形的宽度与长度的比值X ~ N (µ , σ 2 )，假设H 0：µ = 0.618 vs H 1：µ ≠ 0.618，未知σ 2，选取统计量)1(~−−=n t nS X T µ， 显著性水平α = 0.05，t 1 − α /2 (n − 1) = t 0.975 (19) = 2.0930，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 2.0930}，因6620.0=x ，µ = 0.618，s = 0.0918，n = 20， 则W t ∈=−=1422.2200918.0618.06620.0，并且检验的p 值p = 2P {T ≥ 2.1422} = 0.0453 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，即不能认为µ = 0.618．12．下面给出两种型号的计算器充电以后所能使用的时间（h ）的观测值型号A 5.5 5.6 6.3 4.6 5.3 5.0 6.2 5.8 5.1 5.2 5.9；型号B 3.8 4.3 4.2 4.0 4.9 4.5 5.2 4.8 4.5 3.9 3.7 4.6．设两样本独立且数据所属的两总体的密度函数至多差一个平移量．试问能否认为型号A 的计算器平均使用时间明显比型号B 来得长（取α = 0.01）？解：设两种型号的计算器充电以后所能使用的时间分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，且2221σσ=，假设H 0：µ 1 = µ 2 vs H 1：µ 1 > µ 2，未知2221,σσ，但2221σσ=，选取统计量)2(~112121−++−=n n t n n S YX T w ，显著性水平α = 0.01，t 1 − α (n 1 + n 2 − 2) = t 0.99 (21) = 2.5176，右侧拒绝域W = {t ≥ 2.5176}， 因5.5=x ，3667.4=y ，s x = 0.5235，s y = 0.4677，n 1 = 11，n 2 = 12，4951.0214677.0115235.0102)1()1(22212221=×+×=−+−+−=n n s n s n s yx w ，则W t ∈=+×−=4844.51211114951.03667.45.5，并且检验的p 值p = P {T ≥ 5.4844} = 9.6391 × 10 −6 < α = 0.01，故拒绝H 0，接受H 1，即可以认为型号A 的计算器平均使用时间明显比型号B 来得长．13．从某锌矿的东、西两支矿脉中，各抽取样本容量分别为9与8的样本进行测试，得样本含锌平均数及样本方差如下：东支：1337.0,230.0211==s x ；西支：1736.0,269.0222==s x ．若东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布且方差相同，问东、西两支矿脉含锌量的平均值是否可以看作一样（取α = 0.05）？解：设东、西两支矿脉的含锌量分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，且2221σσ=，假设H 0：µ 1 = µ 2 vs H 1：µ 1 ≠ µ 2，未知2221,σσ，但2221σσ=，选取统计量)2(~11212121−++−=n n t n n S X X T w，显著性水平α = 0.05，t 1 − α /2 (n 1 + n 2 − 2) = t 0.975 (15) = 2.1314，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 2.1314}，因1736.0,269.0,1337.0,230.0222211====s x s x ，n 1 = 9，n 2 = 8，3903.0151736.071337.082)1()1(21222211=×+×=−+−+−=n n s n s n s w ，则W t ∉−=+×−=2056.081913903.0269.0230.0，并且检验的p 值p = 2P {T ≤ −0.2056} = 0.8399 > α = 0.05， 故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为东、西两支矿脉含锌量的平均值是一样的．14．在针织品漂白工艺过程中，要考察温度对针织品断裂强力（主要质量指标）的影响．为了比较70°C与80°C 的影响有无差别，在这两个温度下，分别重复做了8次试验，得数据如下（单位：N ）：70°C 时的强力：20.5 18.8 19.8 20.9 21.5 19.5 21.0 21.2， 80°C 时的强力：17.7 20.3 20.0 18.8 19.0 20.1 20.0 19.1．根据经验，温度对针织品断裂强力的波动没有影响．问在70°C 时的平均断裂强力与80°C 时的平均断裂强力间是否有显著差别？（假设断裂强力服从正态分布，α = 0.05）解：设在70°C 和80°C 时的断裂强力分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，且2221σσ=，假设H 0：µ 1 = µ 2 vs H 1：µ 1 ≠ µ 2，未知2221,σσ，但2221σσ=，选取统计量)2(~112121−++−=n n t n n S Y X T w，显著性水平α = 0.05，t 1 − α /2 (n 1 + n 2 − 2) = t 0.975 (14) = 2.1448，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 2.1448}， 因4.20=x ，375.19=y ，s x = 0.9411，s y = 0.8876，n 1 = 8，n 2 = 8，9148.0148876.079411.072)1()1(22212221=×+×=−+−+−=n n s n s n s yx w ，则W t ∈=+×−=2410.281819148.0375.194.20，并且检验的p 值p = 2P {T ≥ 2.2410} = 0.0418 < α = 0.05， 故拒绝H 0，接受H 1，即可以认为70°C 时的平均断裂强力与80°C 时的平均断裂强力间有显著差别． 15．一药厂生产一种新的止痛片，厂方希望验证服用新药片后至开始起作用的时间间隔较原有止痛片至少缩短一半，因此厂方提出需检验假设H 0：µ 1 = 2µ 2 vs H 1：µ 1 > 2µ 2．此处µ 1 , µ 2分别是服用原有止痛片和服用新止痛片后至开始起作用的时间间隔的总体的均值．设两总体均为正态分布且方差分别为已知值2221,σσ，现分别在两总体中取一样本X 1 , …, X n 和Y 1 , …, Y m ，设两个样本独立．试给出上述假设检验问题的检验统计量及拒绝域．解：设服用原有止痛片和新止痛片后至开始起作用的时间间隔分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，因X 1 , …, X n 和Y 1 , …, Y m 分别X 和Y 为来自的样本，且两个样本独立，则),(~211n N X σµ，,(~222mN Y σµ，且X 与Y 独立，有4,2(~2222121m n N Y X σσµµ+−−， 标准化，得)1,0(~4)2()2(222121N mnY X σσµµ+−−−，假设H 0：µ 1 = 2µ 2 vs H 1：µ 1 > 2µ 2，已知2221,σσ，选取统计量)1,0(~422221N mnYX U σσ+−=，显著性水平α ，右侧拒绝域W = {u ≥ u 1 − α}．16．对冷却到−0.72°C 的样品用A 、B 两种测量方法测量其融化到0°C 时的潜热，数据如下：方法A ：79.98 80.04 80.02 80.04 80.03 80.03 80.04 79.97 80.05 80.03 80.02 80.0080.02，方法B ：80.02 79.94 79.98 79.97 80.03 79.95 79.97 79.97．假设它们服从正态分布，方差相等，试检验：两种测量方法的平均性能是否相等？（取α = 0.05）．解：设用A 、B 两种测量方法测量的潜热分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，且2221σσ=，假设H 0：µ1 = µ2 vs H 1：µ1 ≠ µ2，未知2221,σσ，但2221σσ=，选取统计量)2(~112121−++−=n n t n n S YX T w ，显著性水平α = 0.05，t 1−α /2 (n 1 + n 2 − 2) = t 0.975 (19) = 2.0930，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 2.0930}， 因0208.80=x ，9787.79=y ，s x = 0.0240，s y = 0.0.314，n 1 = 8，n 2 = 8，0269.0190314.070240.0122)1()1(22212221=×+×=−+−+−=n n s n s n s yx w ，则W t ∈=+×−=4722.3811310269.09787.790208.80，并且检验的p 值p = 2P {T ≥ 3.4722} = 0.0026 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，可以认为两种测量方法的平均性能不相等．17．为了比较测定活水中氯气含量的两种方法，特在各种场合收集到8个污水样本，每个水样均用这两种方法测定氯气含量（单位：mg /l ），具体数据如下：水样号 方法一（x ） 方法二（y ） 差（d = x − y ） 1 0.36 0.39 −0.03 2 1.35 0.84 0.51 3 2.56 1.76 0.80 4 3.92 3.35 0.57 5 5.35 4.69 0.66 6 8.33 7.70 0.63 7 10.70 10.52 0.18 8 10.91 10.92 −0.01设总体为正态分布，试比较两种测定方法是否有显著差异．请写出检验的p 值和结论（取α = 0.05）．解：设用这两种测定方法测定的氯气含量之差为),(~2d d N Y X D σµ−=，成对数据检验，假设H 0：µ d = 0 vs H 1：µ d ≠ 0，未知2d σ，选取统计量)1(~−=n t nS D T d，显著水平α = 0.05，t 1−α /2 (n − 1) = t 0.975 (7) = 2.3646，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 2.3646}， 因4138.0=d ，s d = 0.3210，n = 8， 则W t ∈==6461.383210.04138.0，并且检验的p 值p = 2P {T ≥ 3.6461} = 0.0082 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，可以认为两种测定方法有显著差异．18．一工厂的；两个化验室每天同时从工厂的冷却水取样，测量水中的含气量（10−6）一次，下面是7天的记录：室甲：1.15 1.86 0.75 1.82 1.14 1.65 1.90， 室乙：1.00 1.90 0.90 1.80 1.20 1.70 1.95．设每对数据的差d i = x i − y i (i = 1, 2, …, 7)来自正态总体，问两化验室测定结果之间有无显著差异？（α = 0.01）解：设两个化验室测定的含气量数据之差为),(~2d d N Y X D σµ−=，成对数据检验，假设H 0：µ d = 0 vs H 1：µ d ≠ 0，未知2d σ，选取统计量)1(~−=n t nS D T d，显著水平α = 0.01，t 1−α /2 (n − 1) = t 0.995 (6) = 3.7074，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 3.7074}， 因0257.0−=d ，s d = 0.0922，n = 7， 则W t ∉−=−=7375.070922.00257.0，并且检验的p 值p = 2P {T ≤ −0.7375} = 0.4886 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，可以认为两化验室测定结果之间没有显著差异．19．为比较正常成年男女所含红血球的差异，对某地区156名成年男性进行测量，其红血球的样本均值为465.13（104/mm 3），样本方差为54.802；对该地区74名成年女性进行测量，其红血球的样本均值为422.16，样本方差为49.202．试检验：该地区正常成年男女所含红血球的平均值是否有差异？（取α = 0.05）解：设该地区正常成年男女所含红血球分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，假设H 0：µ1 = µ2 vs H 1：µ1 ≠ µ2，未知2221,σσ，大样本场合，选取统计量)1,0(~2212N n S n SY X U yx&+−=，显著水平α = 0.05，u 1−α /2 = u 0.975 = 1.96，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 1.96}，因222220.49,16.422,80.54,13.465====y x s y s x ，n 1 = 156，n 2 = 74，则W u ∈=+−=9611.57420.4915680.5416.42213.46522，并且检验的p 值p = 2P {U ≥ 5.9611} = 2.5055 × 10−9 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，可以认为该地区正常成年男女所含红血球的平均值有差异．20．为比较不同季节出生的女婴体重的方差，从去年12月和6月出生的女婴中分别随机地抽取6名及10名，测其体重如下（单位：g ）：12月：3520 2960 2560 2960 3260 3960，6月：3220 3220 3760 3000 2920 3740 3060 3080 2940 3060．假定新生女婴体重服从正态分布，问新生女婴体重的方差是否是冬季的比夏季的小（取α = 0.05）？解：设12月和6月出生的女婴体重分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，假设H 0：2221σσ= vs H 1：2221σσ<，选取统计量)1,1(~2122−−=n n F S S F yx，显著水平α = 0.05，21.077.41)5,9(1)9,5()1,1(95.005.021====−−F F n n F α，左侧拒绝域W = { f ≤ 0.21}，因225960.491=x s ，225217.306=y s ，则W f ∉==5721.25217.3065960.49122，并且检验的p 值p = P {F ≤ 2.5721} = 0.8967 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，新生女婴体重的方差冬季的不比夏季的小．21．已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布，且标准差为0.048．从某天产品中抽取5根纤维，测得其纤度为1.32 1.55 1.36 1.40 1.44问这一天纤度的总体标准差是否正常（取α = 0.05）？解：设这一天维尼纶纤度X ~ N (µ , σ 2)，假设H 0：σ 2 = 0.0482 vs H 1：σ 2 ≠ 0.0482，选取统计量)1(~)1(2222−−=n S n χσχ，显著性水平α = 0.05，4844.0)4()1(2025.022/==−χχαn ，1433.11)4()1(2975.022/1==−−χχαn ，双侧拒绝域W = {χ 2 ≤ 0.4844或χ 2 ≥ 11.1433}， 因σ 2 = 0.0482，s 2 = 0.08822，n = 5，则W ∈=×=5069.13048.00882.04222χ，并且检验的p 值p = 2P {χ 2 ≥ 13.5069} = 0.0181 < α = 0.05， 故拒绝H 0，接受H 1，即可以认为这一天纤度的总体方差不正常．22．某电工器材厂生产一种保险丝．测量其熔化时间，依通常情况方差为400，今从某天产品中抽取容量为25的样本，测量其熔化时间并计算得24.62=x ，s 2 = 404.77，问这天保险丝熔化时间分散度与通常有无显著差异（取α = 0.05，假定熔化时间服从正态分布）？ 解：设这天保险丝熔化时间分散度X ~ N (µ , σ 2)，假设H 0：σ 2 = 400 vs H 1：σ 2 ≠ 400，选取统计量)1(~)1(2222−−=n S n χσχ，显著性水平α = 0.05，4012.12)24()1(2025.022/==−χχαn ，3641.39)24()1(2975.022/1==−−χχαn ，双侧拒绝域W = {χ 2 ≤ 12.4012或χ 2 ≥ 39.3641}， 因σ 2 = 400，s 2 = 404.77，n = 25，则W ∉=×=2862.2440077.404242χ，并且检验的p 值p = 2P {χ 2 ≥ 24.2862} = 0.8907 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为这天保险丝熔化时间分散度与通常没有显著差异． 23．某种导线的质量标准要求其电阻的标准差不得超过0.005（Ω）．今在一批导线中随机抽取样品9根，测得样本标准差s = 0.007（Ω），设总体为正态分布．问在显著水平α = 0.05下，能否认为这批导线的标准差显著地偏大？解：设这批导线的电阻X ~ N (µ , σ 2)，假设H 0：σ 2 = 0.005 2 vs H 1：σ 2 > 0.005 2，选取统计量)1(~)1(2222−−=n S n χσχ，显著性水平α = 0.05，5073.15)8()1(295.021==−−χχαn ，右侧拒绝域W = {χ 2 ≥ 15.5073}，因σ 2 = 0.005 2，s 2 = 0.007 2，n = 9，则W ∈=×=68.15005.0007.08222χ，并且检验的p 值p = P {χ 2 ≥ 15.68} = 0.0472 < α = 0.05， 故拒绝H 0，接受H 1，即可以认为这批导线的标准差显著地偏大．24．两台车床生产同一种滚珠，滚珠直径服从正态分布．从中分别抽取8个和9个产品，测得其直径为甲车床：15.0 14.5 15.2 15.5 14.8 15.1 15.2 14.8；乙车床：15.2 15.0 14.8 15.2 15.0 15.0 14.8 15.1 14.8．比较两台车床生产的滚珠直径的方差是否有明显差异（取α = 0.05）．解：设两台车床生产的滚珠直径分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，假设H 0：2221σσ= vs H 1：2221σσ≠，选取统计量)1,1(~2122−−=n n F S S F yx，显著性水平α = 0.05，2041.09.41)7,8(1)8,7()1,1(975.0025.0212/====−−F F n n F α，F 1 − α /2 (n 1 − 1, n 2 − 1) = F 0.975 (7, 8) = 4.53，双侧拒绝域W = {F ≤ 0.2041或F ≥ 4.53}，因223091.0=x s ，221616.0=y s ，则W F ∉==6591.31616.03091.022，并且检验的p 值p = 2P {F ≥ 3.6591} = 0.0892 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为两台车床生产的滚珠直径的方差没有明显差异． 25．有两台机器生产金属部件，分别在两台机器所生产的部件中各取一容量为m = 14和n = 12的样本，测得部件质量的样本方差分别为46.1521=s ，66.922=s ，设两样本相互独立，试在显著性水平α = 0.05下检验假设H 0：2221σσ= vs H 1：2221σσ>．解：设两台机器生产金属部件质量分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，假设H 0：2221σσ= vs H 1：2221σσ>，选取统计量)1,1(~2221−−=n m F S S F ，显著性水平α = 0.05，F 1 − α (m − 1, n − 1) = F 0.95 (13, 11) = 2.7614，右侧拒绝域W = {F ≥ 2.7614}，因46.1521=s ，66.922=s ，则W F ∉==6004.166.946.15，并且检验的p 值p = P {F ≥ 1.6004} = 0.2206 > α = 0.05， 故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为2221σσ=．26．测得两批电子器件的样品的电阻（单位：Ω）为A 批（x ） 0.140 0.138 0.143 0.142 0.144 0.137；B 批（y ） 0.135 0.140 0.142 0.136 0.138 0.140．设这两批器材的电阻值分别服从),(211σµN ，),(222σµN ，且两样本独立．（1）试检验两个总体的方差是否相等（取α = 0.05）？ （2）试检验两个总体的均值是否相等（取α = 0.05）？解：设两批电子器件样品的电阻分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，（1）假设H 0：2221σσ= vs H 1：2221σσ≠，选取统计量)1,1(~2122−−=n n F S S F yx，显著性水平α = 0.05，1399.015.71)5,5(1)5,5()1,1(975.0025.0212/====−−F F n n F α，F 1 − α /2 (n 1 − 1, n 2 − 1) = F 0.975 (5, 5) = 7.15，双侧拒绝域W = {F ≤ 0.1399或F ≥ 7.15}，因22002805.0=x s ，22002665.0=y s ，则W F ∉==1080.1002665.0002805.022，并且检验的p 值p = 2P {F ≥ 1.1080} = 0.9131 > α = 0.05， 故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为两个总体的方差相等； （2）假设H 0：µ 1 = µ 2 vs H 1：µ 1 ≠ µ 2，未知2221,σσ，但2221σσ=，选取统计量)2(~112121−++−=n n t n n S YX T w ，显著性水平α = 0.05，t 1 − α /2 (n 1 + n 2 − 2) = t 0.975 (10) = 2.2281，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 2.2281}， 因1407.0=x ，1385.0=y ，s x = 0.002805，s y = 0.002665，n 1 = 6，n 2 = 6，002736.010002665.05002805.052)1()1(22212221=×+×=−+−+−=n n s n s n s yx w ，则W t ∉=+×−=3718.16161002736.01385.01407.0，并且检验的p 值p = 2P {T ≥ 1.3718} = 0.2001 > α = 0.05， 故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为两个总体的均值相等．27．某厂使用两种不同的原料生产同一类型产品，随机选取使用原料A 生产的样品22件，测得平均质量为2.36（kg ），样本标准差为0.57（kg ）．取使用原料B 生产的样品24件，测得平均质量为2.55（kg ），样本标准差为0.48（kg ）．设产品质量服从正态分布，两个样本独立．问能否认为使用原料B 生产的产品质量较使用原料A 显著大（取α = 0.05）？解：设两种原料生产的产品质量分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，假设H 0：µ 1 = µ 2 vs H 1：µ 1 < µ 2 ，未知2221,σσ，大样本，选取统计量)1,0(~2212N n S n SY X U yx&+−=，显著性水平α = 0.05，u 1 − α = u 0.95 = 1.645，左侧拒绝域W ≈ {u ≤ −1.645}， 因36.2=x ，55.2=y ，s x = 0.57，s y = 0.48，n 1 = 22，n 2 = 24， 有W u ∉−=+−=2171.12448.02257.055.236.222，并且检验的p 值p = P {U ≤ −1.2171} = 0.1118 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为使用原料B 生产的产品质量较使用原料A 不是显著大．习题7.31． 从一批服从指数分布的产品中抽取10个进行寿命测试，观测值如下（单位：h ）： 1643 1629 426 132 1522 432 1759 1074 528 283根据这批数据能否认为其平均寿命不低于1100 h （取α = 0.05）？ 解：设这批产品的寿命X ~ Exp (1/θ )，假设H 0：θ = 1100 vs H 1：θ < 1100，选取统计量)2(~222n Xn χθχ=，显著性水平α = 0.05，8508.10)20()2(205.02==χχαn ，左侧拒绝域W = {χ 2 ≤ 10.8508}，因8.942=x ，n = 10，θ = 1100，则W ∉=××=1418.1711008.9421022χ，并且检验的p 值p = P {χ 2 ≤ 17.1418} = 0.3563 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为其平均寿命不低于1100 h ．2． 某厂一种元件平均使用寿命为1200 h ，偏低，现厂里进行技术革新，革新后任选8个元件进行寿命试验，测得寿命数据如下：2686 2001 2082 792 1660 4105 1416 2089假定元件寿命服从指数分布，取α = 0.05，问革新后元件的平均寿命是否有明显提高？ 解：设革新后元件的寿命X ~ Exp (1/θ )，假设H 0：θ = 1200 vs H 1：θ > 1200，选取统计量)2(~222n Xn χθχ=，显著性水平α = 0.05，2962.26)16()2(295.021==−χχαn ，右侧拒绝域W = {χ 2 ≥ 26.2962}，因875.2103=x ，n = 8，θ = 1200，则W ∈=××=0517.281200875.2103822χ，并且检验的p 值p = P {χ 2 ≥ 28.0517} = 0.0312 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，即可以认为革新后元件的平均寿命有明显提高．3． 有人称某地成年人中大学毕业生比例不低于30%，为检验之，随机调查该地15名成年人，发现有3名大学毕业生，取α = 0.05，问该人看法是否成立？并给出检验的p 值．解：设该地n 名成年人中大学毕业生人数为∑==ni i X X n 1，有),(~p n b X n ，假设H 0：p = 0.3 vs H 1：p < 0.3， 选取统计量),(~p n b X n ，显著性水平α = 0.05，n = 15，p = 0.3， 有1268.07.03.005.00353.07.03.021515101515=⋅⋅<<=⋅⋅∑∑=−=−k k k kk kkkC C ，左侧拒绝域}1{≤=x n W ，因W x n ∉=3，并且检验的p 值2969.07.03.0}3{31515=⋅⋅=≤=∑=−k k k kC X n P p ，故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为该人看法成立．4． 某大学随机调查120名男同学，发现有50人非常喜欢看武侠小说，而随机调查的85名女同学中有23人喜欢，用大样本检验方法在α = 0.05下确认：男女同学在喜爱武侠小说方面有无显著差异？并给出检验的p 值． 解：设n 1名男同学中有∑==111n i i X X n 人喜欢看武侠小说，n 2名女同学中有∑==212n j j Y Y n 人喜欢看武侠小说，有),(~111p n B X n ，),(~222p n B Y n ，大样本，有⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−1111)1(,~n p p p N X &，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−2222)1(,~n p p p N Y &， 则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−−−22211121)1()1(,~n p p n p p p p N Y X &，即)1,0(~)1()1()()(22211121N n p p n p p p p Y X &−+−−−−，当p 1 = p 2 = p 但未知时，此时用总频率2121ˆn n Yn X n p++=作为p 的点估计替换p ，在大样本场合，有)1,0(~11)ˆ1(ˆ21N n n p pY X U &+−−=，假设H 0：p 1 = p 2 vs H 1：p 1 ≠ p 2， 大样本，选取统计量)1,0(~11)ˆ1(ˆ21N n n p pY X U &+−−=，显著性水平α = 0.05，u 1 − α /2 = u 0.975 = 1.96，双侧拒绝域W = {| u | ≥ 1.96}，因n 1 = 120，n 2 = 85，501=x n ，232=y n ，有3561.0851202350ˆ2121=++=++=n n y n x n p，则W u ∈=+−×−=1519.28511201)3561.01(3561.0852312050，并且检验的p 值p = 2P {U ≥ 2.1519} = 0.0314 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，可以认为男女同学在喜爱武侠小说方面有显著差异．5． 假定电话总机在单位时间内接到的呼叫次数服从泊松分布，现观测了40个单位时间，接到的呼叫次数如下：0 2 3 2 3 2 1 0 2 2 1 2 2 1 3 1 1 4 1 1 5 1 2 2 3 3 1 3 1 3 4 0 6 1 1 1 4 0 1 3．在显著性水平0.05下能否认为单位时间内平均呼叫次数不低于2.5次？并给出检验的p 值． 解：设电话总机在单位时间内接到的呼叫次数X ~ P(λ)，有)(~1λn P X X n ni i ∑==，大样本，有)1,0(~N nX n n X n &λλλλ−=−，假设H 0：λ = 2.5 vs H 1：λ < 2.5， 大样本，选取统计量)1,0(~N nX U &λλ−=， 显著性水平α = 0.05，u 1 − α = u 0.95 = 1.645，左侧拒绝域W = {u ≤ −1.645}， 因975.1=x ，n = 40，λ = 2.5， 则W u ∈−=−=1.2405.25.2975.1，并且检验的p 值p = P {U ≤ −2.1} = 0.0179 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，不能认为单位时间内平均呼叫次数不低于2.5次；6． 通常每平方米某种布上的疵点数服从泊松分布，现观测该种布100 m 2，发现有126个疵点，在显著性水平0.05下能否认为该种布每平方米上平均疵点数不超过1个？并给出检验的p 值． 解：设每平方米该种布上的疵点数X ~ P(λ)，有)(~1λn P X X n ni i ∑==，大样本，有)1,0(~N nX n n X n &λλλλ−=−，假设H 0：λ = 1 vs H 1：λ > 1， 大样本，选取统计量)1,0(~N nX U &λλ−=，显著性水平α = 0.05，u 1 − α = u 0.95 = 1.645，右侧拒绝域W = {u ≥ 1.645}，因26.1=x ，n = 100，λ = 1， 则W u ∈=−=6.21001126.1，并且检验的p 值p = P {U ≥ 2.6} = 0.0047 < α = 0.05， 故拒绝H 0，接受H 1，不能认为该种布每平方米上平均疵点数不超过1个； 7． 某厂的一批电子产品，其寿命T 服从指数分布，其密度函数为p (t ; θ ) = θ −1exp{− t /θ } I t > 0，从以往生产情况知平均寿命θ = 2000 h ．为检验当日生产是否稳定，任取10件产品进行寿命试验，到全部失效时停止．试验得失效寿命数据之和为30200．试在显著性水平α = 0.05下检验假设H 0：θ = 2000 vs H 1：θ ≠ 2000．解：假设H 0：θ = 2000 vs H 1：θ ≠ 2000，选取统计量)2(~222n Xn χθχ=，显著性水平α = 0.05，5908.9)20()2(2025.022/==χχαn ，1696.34)20()2(2975.022/1==−χχαn ，双侧拒绝域W = {χ 2 ≤ 9.5908或χ 2 ≥ 34.1696}，因30201030200==x ，n = 10，θ = 2000， 则W ∉=××=20.30200030201022χ，并且检验的p 值p = P {χ 2 ≥ 30.20} = 0.0667 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为其平均寿命等于2000 h ． 8． 设X 1, X 2, …, X n 为取自两点分布b (1, p )的随机样本．（1）试求单侧假设检验问题H 0：p ≤ 0.01 vs H 1：p > 0.01的显著水平α = 0.05的检验； （2）若要这个检验在p = 0.08时犯第二类错误的概率不超过0.10，样本容量n 应为多大？ 解：（1）假设H 0：p = 0.01 vs H 1：p > 0.01，若为小样本，选取统计量),(~1p n b X X n ni i ∑==，显著性水平α = 0.05，p = 0.01，取⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅⋅=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤⋅⋅=∑∑−=−=−95.099.001.0min 05.099.001.0min 102c k k n k k n n c k kn k k n C C c ，当n ≤ 5时，c 2 = 1；当6 ≤ n ≤ 35时，c 2 = 2；当36 ≤ n ≤ 82时，c 2 = 3；当83 ≤ n ≤ 137时，c 2 = 4； 右侧拒绝域}{2c x n W ≥=， 根据x n ，作出决策； 若为大样本，选取统计量)1,0(~)1(N np p pX U &−−=，显著性水平α = 0.05，u 1 − α = u 0.95 = 1.645，右侧拒绝域W = {u ≥ 1.645}， 计算u ，作出决策；（2）在p = 0.08时，)08.0,(~1n b X X n ni i ∑==，则犯第二类错误的概率10.092.008.0}08.0|{}08.0|{1022≤⋅⋅==<==∉=∑−=−c k k n k kn C p c X n P p W X n P β，当n ≤ 5时，c 2 = 1，β = 0.92n ≥ 0.6591；当6 ≤ n ≤ 35时，c 2 = 2，2184.092.008.01≥⋅⋅=∑=−k k n k kn C β；当36 ≤ n ≤ 82时，c 2 = 3， 若n = 64，1050.092.008.02=⋅⋅=∑=−k kn kknC β；若n = 65，0991.092.008.02=⋅⋅=∑=−k k n k kn C β；故n ≥ 65．9． 有一批电子产品共50台，产销双方协商同意找出一个检验方案，使得当次品率p ≤ p 0 = 0.04时拒绝的概率不超过0.05，而当p > p 1 = 0.30时，接受的概率不超过0.1，请你帮助找出适当的检验方案． 解：设这批电子产品中的次品数为∑==ni i X X n 1，有),(~p n b X n ，假设H 0：p = 0.04 vs H 1：p > 0.04， 小样本，选取统计量),(~p n b X n ， 显著性水平α = 0.05，p = 0.04，。
概率论与数理统计 茆诗松 第二版课后 习题参考答案
第七章 假设检验习题7.11． 设X 1 , …, X n 是来自N (µ , 1) 的样本，考虑如下假设检验问题H 0：µ = 2 vs H 1：µ = 3，若检验由拒绝域为}6.2{≥=x W 确定． （1）当n = 20时求检验犯两类错误的概率；（2）如果要使得检验犯第二类错误的概率β ≤ 0.01，n 最小应取多少？ （3）证明：当n → ∞ 时，α → 0，β → 0． 解：（1）犯第一类错误的概率为0037.0)68.2(168.220126.21}2|6.2{}|{0=Φ−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=−≥−==≥=∈=n X P X P H W X P µµα，犯第二类错误的概率为0367.0)79.1(79.120136.21}3|6.2{}|{1=−Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−=−<−==<=∉=n X P X P H W X P µµβ；（2）因01.0)4.0(4.0136.21}3|6.2{≤−Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−=−<−==<=n n n n X P X P µµβ，则99.0)4.0(≥Φn ，33.24.0≥n ，n ≥ 33.93，故n 至少为34；（3）)(0)6.0(16.0126.21}2|6.2{∞→→Φ−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=−≥−==≥=n n n n n X P X P µµα，)(0)4.0(4.0136.21}3|6.2{∞→→−Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−=−<−==<=n n n n n X P X P µµβ． 2． 设X 1 , …, X 10是来自0-1总体b (1, p ) 的样本，考虑如下检验问题H 0：p = 0.2 vs H 1：p = 0.4，取拒绝域为}5.0{≥=x W ，求该检验犯两类错误的概率． 解：因X ~ b(1, p )，有),10(~10101p b X X i i =∑=，则0328.08.02.0}2.0|510{}2.0|5.0{}|{10510100=⋅⋅==≥==≥=∈=∑=−k k k kC p X P p X P H W X P α，6331.06.04.0}4.0|510{}4.0|5.0{}|{410101=⋅⋅==<==<=∉=∑=−k k k kC p X P p X P H W X P β．3． 设X 1 , …, X 16是来自正态总体N (µ , 4) 的样本，考虑检验问题H 0：µ = 6 vs H 1：µ ≠ 6，拒绝域取为}|6{|c x W ≥−=，试求c 使得检验的显著性水平为0.05，并求该检验在µ = 6.5处犯第二类错误的概率．解：因05.0)]2(1[22162162}6||6{|}|{0=Φ−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=≥−==≥−=∈=c c c X P c X P H W X P µµα，则Φ (2c ) = 0.975，2c = 1.96，故c = 0.98；故}5.6|48.05.648.1{}5.6|98.0|6{|}|{1=<−<−==<−=∉=µµβX P X P H W X P83.0)96.2()96.0(96.01625.696.2=−Φ−Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−<−=X P ．4． 设总体为均匀分布U (0, θ )，X 1 , …, X n 是样本，考虑检验问题H 0：θ ≥ 3 vs H 1：θ < 3，拒绝域取为}5.2{)(≤=n x W ，求检验犯第一类错误的最大值α ，若要使得该最大值α 不超过0.05，n 至少应取多大？解：因均匀分布最大顺序统计量X (n ) 的密度函数为θθ<<−Ι=x nn n nx x p 01)(，则nn n n nn n n x dx nx X P H W X P ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=====≤=∈=∫−6535.233}3|5.2{}|{5.205.201)(0θα， 要使得α ≤ 0.05，即05.065≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛n，43.16)6/5ln(05.0ln =≥n ，故n 至少为17．5． 在假设检验问题中，若检验结果是接受原假设，则检验可能犯哪一类错误？若检验结果是拒绝原假设，则又有可能犯哪一类错误？答：若检验结果是接受原假设，当原假设为真时，是正确的决策，未犯错误；当原假设不真时，则犯了第二类错误．若检验结果是拒绝原假设，当原假设为真时，则犯了第一类错误；当原假设不真时，是正确的决策，未犯错误．6． 设X 1 , …, X 20是来自0-1总体b (1, p ) 的样本，考虑如下检验问题H 0：p = 0.2 vs H 1：p ≠ 0.2，取拒绝域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≥=∑∑==17201201i i i i x x W 或，（1）求p = 0, 0.1, 0.2, …, 0.9, 1的势并由此画出势函数的图；（2）求在p = 0.05时犯第二类错误的概率．解：（1）因X ~ b(1, p )，有),20(~201p b X i i ∑=，势函数∑∑=−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=6220201)1(201)(k kk i i p p k p WX P p g ， 故110201)0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k k k g ，3941.09.01.0201)1.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k kk k g ， 1559.08.02.0201)2.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k k k g ，3996.07.03.0201)3.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k kk g ，7505.06.04.0201)4.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k kk g ，9424.05.05.0201)5.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k k k g ， 9935.04.06.0201)6.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k k k g ，9997.03.07.0201)7.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k kk g ， 999998.02.08.0201)8.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k kk g11.09.0201)9.0(6220≈××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k kk g ， 101201)1(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k kk k g ； （2）在p = 0.05时犯第二类错误的概率2641.095.005.02005.0|6220201=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∉=∑∑=−=k kk i i k p W X P β． 7． 设一个单一观测的样本取自密度函数为p (x )的总体，对p (x )考虑统计假设： H 0：p 0(x ) = I 0 < x < 1 vs H 1：p 1(x ) = 2x I 0 < x < 1．若其拒绝域的形式为W = {x : x ≥ c }，试确定一个c ，使得犯第一类，第二类错误的概率满足α + 2β 为最小，并求其最小值．解：当0 < c < 1时，α = P {X ∈ W | H 0} = P {X ≥ c | X ~ p 0(x )} = 1 − c ，且20112)}(~|{}H |{c xdx x p X c X P W X P c==<=∉=∫β，则2224128721161287212⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+=+−=+c c c c c βα，故当41=c 时，α + 2β 为最小，其最小值为87． 8． 设X 1, X 2, …, X 30为取自柏松分布P (λ)的随机样本．（1）试给出单侧假设检验问题H 0：λ ≤ 0.1 vs H 1：λ > 0.1的显著水平α = 0.05的检验； （2）求此检验的势函数β (λ)在λ = 0.05, 0.2, 0.3, …, 0.9时的值，并据此画出β (λ)的图像．解：（1）因)30(~3021λP X X X X n +++=L ，假设H 0：λ ≤ 0.1 vs H 1：λ > 0.1， 统计量)30(~λP X n ，当H 0成立时，设)3(~P X n ，其p 分位数)3(p P 满足∑∑=−−=−≤<)3(031)3(03e !3e !3p p P k k P k k k p k 显著水平α = 0.05，可得P 1−α (3) = P 0.95 (3) = 6，右侧拒绝域}7{≥=x n W ；（2）因∑=−−=≥=∈=630e!)30(1}|7{}|{)(k k k X n P W X n P λλλλλβ， g故0001.0e !5.11)05.0(605.1=−=∑=−k k k β，3937.0e !61)2.0(606=−=∑=−k k k β，7932.0e !91)3.0(609=−=∑=−k k k β，9542.0e !121)4.0(6012=−=∑=−k k k β，9924.0e !151)5.0(6015=−=∑=−k k k β，9990.0e !181)6.0(6018=−=∑=−k k k β，9999.0e !211)7.0(6021=−=∑=−k kk β， 1e !241)8.0(6024≈−=∑=−k k k β，1e !271)9.0(6027≈−=∑=−k k k β．习题7.2说明：本节习题均采用拒绝域的形式完成，在可以计算检验的p 值时要求计算出p 值． 1． 有一批枪弹，出厂时，其初速率v ~ N (950, 1000)（单位：m /s ）．经过较长时间储存，取9发进行测试，得样本值（单位：m /s ）如下：914 920 910 934 953 945 912 924 940．据经验，枪弹经储存后其初速率仍服从正态分布，且标准差保持不变，问是否可认为这批枪弹的初速率有显著降低（α = 0.05）？解：设枪弹经储存后其初速率X ~ N (µ , 1000)，假设H 0：µ = 950 vs H 1：µ < 950，已知σ 2，选取统计量)1,0(~N nX U σµ−=， 显著性水平α = 0.05，u 1 − α = u 0.95 = 1.645，左侧拒绝域W = {u ≤ −1.645}， 因928=x ，µ = 950，σ = 10，n = 9， 则W u ∈−=−=6.6910950928，并且检验的p 值p = P {U ≤ −6.6} = 2.0558 × 10−11 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，即可以认为这批枪弹的初速率有显著降低． 2． 已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N (4.55, 0.1082 )．现在测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484，如果铁水含碳量的方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55（α = 0.05）？ 解：设现在生产的铁水含碳量X ~ N (µ , 0.1082 )，假设H 0：µ = 4.55 vs H 1：µ ≠ 4.55，已知σ 2，选取统计量)1,0(~N nX U σµ−=， 显著性水平α = 0.05，u 1 − α /2 = u 0.975 = 1.96，双侧拒绝域W = {| u | ≥ 1.96}， 因484.4=x ，µ = 4.55，σ = 0.108，n = 9， 则W u ∉−=−=8333.19108.055.4484.4，并且检验的p 值p = 2P {U ≤ −1.8333} = 0.0668 > α = 0.05，β (故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55． 3． 由经验知某零件质量X ~ N (15, 0.05 2 ) （单位：g ），技术革新后，抽出6个零件，测得质量为14.7 15.1 14.8 15.0 15.2 14.6．已知方差不变，问平均质量是否仍为15 g （取α = 0.05）？解：设技术革新后零件质量X ~ N (µ , 0.05 2 )，假设H 0：µ = 15 vs H 1：µ ≠ 15，已知σ 2，选取统计量)1,0(~N nX U σµ−=， 显著性水平α = 0.05，u 1 − α /2 = u 0.975 = 1.96，双侧拒绝域W = {| u | ≥ 1.96}， 因9.14=x ，µ = 15，σ = 0.05，n = 6， 则W u ∈−=−=8990.4605.0159.14，并且检验的p 值p = 2P {U ≤ −4.8990} = 9.6326 × 10−7 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，即不能认为平均质量仍为15 g ． 4． 化肥厂用自动包装机包装化肥，每包的质量服从正态分布，其平均质量为100 kg ，标准差为1.2 kg ．某日开工后，为了确定这天包装机工作是否正常，随机抽取9袋化肥，称得质量如下：99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 99.5 102.1 100.5．设方差稳定不变，问这一天包装机的工作是否正常（取α = 0.05）？ 解：设这天包装机包装的化肥每包的质量X ~ N (µ , 1.22 )，假设H 0：µ = 100 vs H 1：µ ≠ 100，已知σ 2，选取统计量)1,0(~N nX U σµ−=， 显著性水平α = 0.05，u 1 − α /2 = u 0.975 = 1.96，双侧拒绝域W = {| u | ≥ 1.96}， 因9778.99=x ，µ = 100，σ = 1.2，n = 9， 则W u ∉−=−=0556.092.11009778.99，并且检验的p 值p = 2P {U ≤ −0.0556} = 0.9557 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为这一天包装机的工作正常． 5． 设需要对某正态总体的均值进行假设检验H 0：µ = 15， H 1：µ < 15．已知σ 2 = 2.5，取α = 0.05，若要求当H 1中的µ ≤ 13时犯第二类错误的概率不超过0.05，求所需的样本容量．解：设该总体X ~ N (µ , 2.5 )，假设H 0：µ = 15 vs H 1：µ < 15，已知σ 2，选取统计量)1,0(~N nX U σµ−=， 显著性水平α = 0.05，u 1 − α = u 0.95 = 1.645，左侧拒绝域W = {u ≤ −1.645}， 因µ = 15，σ 2 = 2.5，有nx u 5.215−=，当µ ≤ 13时犯第二类错误的概率为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤−+−>−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤−>−=13|5.21565.15.213|65.15.215µµµµβn n X P n X P 05.0)2649.165.1(15.2131565.15.2≤+−Φ−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+−>−≤n n nX P µ，则95.0)2649.165.1(≥+−Φn ，即65.12649.165.1≥+−n ，6089.2≥n ，n ≥ 6.8064， 故样本容量n 至少为7．6． 从一批钢管抽取10根，测得其内径（单位：mm ）为：100.36 100.31 99.99 100.11 100.64 100.85 99.42 99.91 99.35 100.10．设这批钢管内直径服从正态分布N (µ , σ 2)，试分别在下列条件下检验假设（α = 0.05）．H 0：µ = 100 vs H 1：µ > 100．（1）已知σ = 0.5； （2）σ 未知．解：设这批钢管内直径X ~ N (µ , σ 2)，假设H 0：µ = 100 vs H 1：µ > 100，（1）已知σ 2，选取统计量)1,0(~N nX U σµ−=， 显著性水平α = 0.05，u 1 − α = u 0.95 = 1.645，右侧拒绝域W = {u ≥ 1.645}， 因104.100=x ，µ = 100，σ = 0.5，n = 10， 则W u ∉=−=6578.0105.0100104.100，并且检验的p 值p = P {U ≥ 0.6578} = 0.2553 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，即不能认为µ > 100． （2）未知σ 2，选取统计量)1(~−−=n t nS X T µ， 显著性水平α = 0.05，t 1 − α (n − 1) = t 0.95 (9) = 1.8331，右侧拒绝域W = {t ≥ 1.8331}， 因104.100=x ，µ = 100，s = 0.4760，n = 10， 则W t ∉=−=6910.0104760.0100104.100，并且检验的p 值p = P {T ≥ 0.6910} = 0.2535 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，即不能认为µ > 100．7． 假定考生成绩服从正态分布，在某地一次数学统考中，随机抽取了36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？解：设这次考试考生的成绩X ~ N (µ , σ 2 )，假设H 0：µ = 70 vs H 1：µ ≠ 70，未知σ 2，选取统计量)1(~−−=n t nS X T µ， 显著性水平α = 0.05，t 1 − α /2 (n − 1) = t 0.975 (35) = 2.0301，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 2.0301}， 因5.66=x ，µ = 70，s = 15，n = 36， 则W t ∉−=−=4.13615705.66，并且检验的p 值p = 2P {T ≤ −1.4} = 0.1703 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分． 8． 一个小学校长在报纸上看到这样的报道：“这一城市的初中学生平均每周看8 h 电视．”她认为她所在学校的学生看电视的时间明显小于该数字．为此她在该校随机调查了100个学生，得知平均每周看电视的时间5.6=x h ，样本标准差为s = 2 h ．问是否可以认为这位校长的看法是对的（取α = 0.05）？ 解：设学生看电视的时间X ~ N (µ , σ 2 )，假设H 0：µ = 8 vs H 1：µ < 8，未知σ 2，选取统计量)1(~−−=n t nS X T µ，n = 100，大样本，有)1,0(~N n S X T &µ−=，显著性水平α = 0.05，t 1 − α (n − 1) = t 0.95 (99) ≈ u 0.95 = 1.645，左侧拒绝域W ≈ {t ≤ −1.645}，因5.6=x ，µ = 8，s = 2，n = 100， 则W t ∈−=−=5.7100285.6，并且检验的p 值p = P {T ≤ −7.5} = 3.1909 × 10−14 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，即可以认为这位校长的看法是对的．9． 设在木材中抽出100根，测其小头直径，得到样本平均数2.11=x cm ，样本标准差为s = 2.6 cm ，问该批木材小头的平均直径能否认为不低于12 cm （取α = 0.05）？ 解：设该批木材小头的直径X ~ N (µ , σ 2 )，假设H 0：µ = 12 vs H 1：µ < 12，未知σ 2，选取统计量)1(~−−=n t n S X T µ，n = 100，大样本，有)1,0(~N nS X T &µ−=， 显著性水平α = 0.05，t 1 − α (n − 1) = t 0.95 (99) ≈ u 0.95 = 1.645，左侧拒绝域W ≈ {t ≤ −1.645}，因2.11=x ，µ = 12，s = 2.6，n = 100， 则W t ∈−=−=0769.31006.2122.11，并且检验的p 值p = P {T ≤ −3.0769} = 0.0010 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，即不能认为这批木材小头的平均直径不低于12 cm ．10．考察一鱼塘中鱼的含汞量，随机地取10条鱼测得各条鱼的含汞量（单位：mg ）为：0.8 1.6 0.9 0.8 1.2 0.4 0.7 1.0 1.2 1.1．设鱼的含汞量服从正态分布N (µ , σ 2)，试检验假设H 0：µ = 1.2 vs H 1：µ > 1.2（取α = 0.10）． 解：设鱼的含汞量X ~ N (µ , σ 2 )，假设H 0：µ = 1.2 vs H 1：µ > 1.2，未知σ 2，选取统计量)1(~−−=n t nSX T µ，显著性水平α = 0.1，t 1 − α (n − 1) = t 0.9 (9) = 1.3830，右侧拒绝域W = {t ≥ 1.3830}， 因97.0=x ，µ = 1.2，s = 0.3302，n = 10， 则W t ∉−=−=2030.2103302.02.197.0，并且检验的p 值p = P {T ≥ −2.2030} = 0.9725 > α = 0.10，故接受H 0，拒绝H 1，即不能认为µ > 1.2 ． 11．如果一个矩形的宽度w 与长度l 的比618.0)15(21≈−=l w ，这样的矩形称为黄金矩形．下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形宽度与长度的比值．0.693 0.749 0.654 0.670 0.662 0.672 0.615 0.606 0.690 0.628 0.668 0.611 0.606 0.609 0.553 0.570 0.844 0.576 0.933 0.630．设这一工厂生产的矩形的宽度与长度的比值总体服从正态分布，其均值为µ ，试检验假设（取α = 0.05）H 0：µ = 0.618 vs H 1：µ ≠ 0.618．解：设这一工厂生产的矩形的宽度与长度的比值X ~ N (µ , σ 2 )，假设H 0：µ = 0.618 vs H 1：µ ≠ 0.618，未知σ 2，选取统计量)1(~−−=n t nS X T µ， 显著性水平α = 0.05，t 1 − α /2 (n − 1) = t 0.975 (19) = 2.0930，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 2.0930}，因6620.0=x ，µ = 0.618，s = 0.0918，n = 20， 则W t ∈=−=1422.2200918.0618.06620.0，并且检验的p 值p = 2P {T ≥ 2.1422} = 0.0453 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，即不能认为µ = 0.618．12．下面给出两种型号的计算器充电以后所能使用的时间（h ）的观测值型号A 5.5 5.6 6.3 4.6 5.3 5.0 6.2 5.8 5.1 5.2 5.9；型号B 3.8 4.3 4.2 4.0 4.9 4.5 5.2 4.8 4.5 3.9 3.7 4.6．设两样本独立且数据所属的两总体的密度函数至多差一个平移量．试问能否认为型号A 的计算器平均使用时间明显比型号B 来得长（取α = 0.01）？解：设两种型号的计算器充电以后所能使用的时间分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，且2221σσ=，假设H 0：µ 1 = µ 2 vs H 1：µ 1 > µ 2，未知2221,σσ，但2221σσ=，选取统计量)2(~112121−++−=n n t n n S YX T w ，显著性水平α = 0.01，t 1 − α (n 1 + n 2 − 2) = t 0.99 (21) = 2.5176，右侧拒绝域W = {t ≥ 2.5176}， 因5.5=x ，3667.4=y ，s x = 0.5235，s y = 0.4677，n 1 = 11，n 2 = 12，4951.0214677.0115235.0102)1()1(22212221=×+×=−+−+−=n n s n s n s yx w ，则W t ∈=+×−=4844.51211114951.03667.45.5，并且检验的p 值p = P {T ≥ 5.4844} = 9.6391 × 10 −6 < α = 0.01，故拒绝H 0，接受H 1，即可以认为型号A 的计算器平均使用时间明显比型号B 来得长．13．从某锌矿的东、西两支矿脉中，各抽取样本容量分别为9与8的样本进行测试，得样本含锌平均数及样本方差如下：东支：1337.0,230.0211==s x ；西支：1736.0,269.0222==s x ．若东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布且方差相同，问东、西两支矿脉含锌量的平均值是否可以看作一样（取α = 0.05）？解：设东、西两支矿脉的含锌量分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，且2221σσ=，假设H 0：µ 1 = µ 2 vs H 1：µ 1 ≠ µ 2，未知2221,σσ，但2221σσ=，选取统计量)2(~11212121−++−=n n t n n S X X T w，显著性水平α = 0.05，t 1 − α /2 (n 1 + n 2 − 2) = t 0.975 (15) = 2.1314，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 2.1314}，因1736.0,269.0,1337.0,230.0222211====s x s x ，n 1 = 9，n 2 = 8，3903.0151736.071337.082)1()1(21222211=×+×=−+−+−=n n s n s n s w ，则W t ∉−=+×−=2056.081913903.0269.0230.0，并且检验的p 值p = 2P {T ≤ −0.2056} = 0.8399 > α = 0.05， 故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为东、西两支矿脉含锌量的平均值是一样的．14．在针织品漂白工艺过程中，要考察温度对针织品断裂强力（主要质量指标）的影响．为了比较70°C与80°C 的影响有无差别，在这两个温度下，分别重复做了8次试验，得数据如下（单位：N ）：70°C 时的强力：20.5 18.8 19.8 20.9 21.5 19.5 21.0 21.2， 80°C 时的强力：17.7 20.3 20.0 18.8 19.0 20.1 20.0 19.1．根据经验，温度对针织品断裂强力的波动没有影响．问在70°C 时的平均断裂强力与80°C 时的平均断裂强力间是否有显著差别？（假设断裂强力服从正态分布，α = 0.05）解：设在70°C 和80°C 时的断裂强力分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，且2221σσ=，假设H 0：µ 1 = µ 2 vs H 1：µ 1 ≠ µ 2，未知2221,σσ，但2221σσ=，选取统计量)2(~112121−++−=n n t n n S Y X T w，显著性水平α = 0.05，t 1 − α /2 (n 1 + n 2 − 2) = t 0.975 (14) = 2.1448，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 2.1448}， 因4.20=x ，375.19=y ，s x = 0.9411，s y = 0.8876，n 1 = 8，n 2 = 8，9148.0148876.079411.072)1()1(22212221=×+×=−+−+−=n n s n s n s yx w ，则W t ∈=+×−=2410.281819148.0375.194.20，并且检验的p 值p = 2P {T ≥ 2.2410} = 0.0418 < α = 0.05， 故拒绝H 0，接受H 1，即可以认为70°C 时的平均断裂强力与80°C 时的平均断裂强力间有显著差别． 15．一药厂生产一种新的止痛片，厂方希望验证服用新药片后至开始起作用的时间间隔较原有止痛片至少缩短一半，因此厂方提出需检验假设H 0：µ 1 = 2µ 2 vs H 1：µ 1 > 2µ 2．此处µ 1 , µ 2分别是服用原有止痛片和服用新止痛片后至开始起作用的时间间隔的总体的均值．设两总体均为正态分布且方差分别为已知值2221,σσ，现分别在两总体中取一样本X 1 , …, X n 和Y 1 , …, Y m ，设两个样本独立．试给出上述假设检验问题的检验统计量及拒绝域．解：设服用原有止痛片和新止痛片后至开始起作用的时间间隔分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，因X 1 , …, X n 和Y 1 , …, Y m 分别X 和Y 为来自的样本，且两个样本独立，则),(~211n N X σµ，,(~222mN Y σµ，且X 与Y 独立，有4,2(~2222121m n N Y X σσµµ+−−， 标准化，得)1,0(~4)2()2(222121N mnY X σσµµ+−−−，假设H 0：µ 1 = 2µ 2 vs H 1：µ 1 > 2µ 2，已知2221,σσ，选取统计量)1,0(~422221N mnYX U σσ+−=，显著性水平α ，右侧拒绝域W = {u ≥ u 1 − α}．16．对冷却到−0.72°C 的样品用A 、B 两种测量方法测量其融化到0°C 时的潜热，数据如下：方法A ：79.98 80.04 80.02 80.04 80.03 80.03 80.04 79.97 80.05 80.03 80.02 80.0080.02，方法B ：80.02 79.94 79.98 79.97 80.03 79.95 79.97 79.97．假设它们服从正态分布，方差相等，试检验：两种测量方法的平均性能是否相等？（取α = 0.05）．解：设用A 、B 两种测量方法测量的潜热分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，且2221σσ=，假设H 0：µ1 = µ2 vs H 1：µ1 ≠ µ2，未知2221,σσ，但2221σσ=，选取统计量)2(~112121−++−=n n t n n S YX T w ，显著性水平α = 0.05，t 1−α /2 (n 1 + n 2 − 2) = t 0.975 (19) = 2.0930，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 2.0930}， 因0208.80=x ，9787.79=y ，s x = 0.0240，s y = 0.0.314，n 1 = 8，n 2 = 8，0269.0190314.070240.0122)1()1(22212221=×+×=−+−+−=n n s n s n s yx w ，则W t ∈=+×−=4722.3811310269.09787.790208.80，并且检验的p 值p = 2P {T ≥ 3.4722} = 0.0026 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，可以认为两种测量方法的平均性能不相等．17．为了比较测定活水中氯气含量的两种方法，特在各种场合收集到8个污水样本，每个水样均用这两种方法测定氯气含量（单位：mg /l ），具体数据如下：水样号 方法一（x ） 方法二（y ） 差（d = x − y ） 1 0.36 0.39 −0.03 2 1.35 0.84 0.51 3 2.56 1.76 0.80 4 3.92 3.35 0.57 5 5.35 4.69 0.66 6 8.33 7.70 0.63 7 10.70 10.52 0.18 8 10.91 10.92 −0.01设总体为正态分布，试比较两种测定方法是否有显著差异．请写出检验的p 值和结论（取α = 0.05）．解：设用这两种测定方法测定的氯气含量之差为),(~2d d N Y X D σµ−=，成对数据检验，假设H 0：µ d = 0 vs H 1：µ d ≠ 0，未知2d σ，选取统计量)1(~−=n t nS D T d，显著水平α = 0.05，t 1−α /2 (n − 1) = t 0.975 (7) = 2.3646，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 2.3646}， 因4138.0=d ，s d = 0.3210，n = 8， 则W t ∈==6461.383210.04138.0，并且检验的p 值p = 2P {T ≥ 3.6461} = 0.0082 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，可以认为两种测定方法有显著差异．18．一工厂的；两个化验室每天同时从工厂的冷却水取样，测量水中的含气量（10−6）一次，下面是7天的记录：室甲：1.15 1.86 0.75 1.82 1.14 1.65 1.90， 室乙：1.00 1.90 0.90 1.80 1.20 1.70 1.95．设每对数据的差d i = x i − y i (i = 1, 2, …, 7)来自正态总体，问两化验室测定结果之间有无显著差异？（α = 0.01）解：设两个化验室测定的含气量数据之差为),(~2d d N Y X D σµ−=，成对数据检验，假设H 0：µ d = 0 vs H 1：µ d ≠ 0，未知2d σ，选取统计量)1(~−=n t nS D T d，显著水平α = 0.01，t 1−α /2 (n − 1) = t 0.995 (6) = 3.7074，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 3.7074}， 因0257.0−=d ，s d = 0.0922，n = 7， 则W t ∉−=−=7375.070922.00257.0，并且检验的p 值p = 2P {T ≤ −0.7375} = 0.4886 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，可以认为两化验室测定结果之间没有显著差异．19．为比较正常成年男女所含红血球的差异，对某地区156名成年男性进行测量，其红血球的样本均值为465.13（104/mm 3），样本方差为54.802；对该地区74名成年女性进行测量，其红血球的样本均值为422.16，样本方差为49.202．试检验：该地区正常成年男女所含红血球的平均值是否有差异？（取α = 0.05）解：设该地区正常成年男女所含红血球分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，假设H 0：µ1 = µ2 vs H 1：µ1 ≠ µ2，未知2221,σσ，大样本场合，选取统计量)1,0(~2212N n S n SY X U yx&+−=，显著水平α = 0.05，u 1−α /2 = u 0.975 = 1.96，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 1.96}，因222220.49,16.422,80.54,13.465====y x s y s x ，n 1 = 156，n 2 = 74，则W u ∈=+−=9611.57420.4915680.5416.42213.46522，并且检验的p 值p = 2P {U ≥ 5.9611} = 2.5055 × 10−9 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，可以认为该地区正常成年男女所含红血球的平均值有差异．20．为比较不同季节出生的女婴体重的方差，从去年12月和6月出生的女婴中分别随机地抽取6名及10名，测其体重如下（单位：g ）：12月：3520 2960 2560 2960 3260 3960，6月：3220 3220 3760 3000 2920 3740 3060 3080 2940 3060．假定新生女婴体重服从正态分布，问新生女婴体重的方差是否是冬季的比夏季的小（取α = 0.05）？解：设12月和6月出生的女婴体重分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，假设H 0：2221σσ= vs H 1：2221σσ<，选取统计量)1,1(~2122−−=n n F S S F yx，显著水平α = 0.05，21.077.41)5,9(1)9,5()1,1(95.005.021====−−F F n n F α，左侧拒绝域W = { f ≤ 0.21}，因225960.491=x s ，225217.306=y s ，则W f ∉==5721.25217.3065960.49122，并且检验的p 值p = P {F ≤ 2.5721} = 0.8967 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，新生女婴体重的方差冬季的不比夏季的小．21．已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布，且标准差为0.048．从某天产品中抽取5根纤维，测得其纤度为1.32 1.55 1.36 1.40 1.44问这一天纤度的总体标准差是否正常（取α = 0.05）？解：设这一天维尼纶纤度X ~ N (µ , σ 2)，假设H 0：σ 2 = 0.0482 vs H 1：σ 2 ≠ 0.0482，选取统计量)1(~)1(2222−−=n S n χσχ，显著性水平α = 0.05，4844.0)4()1(2025.022/==−χχαn ，1433.11)4()1(2975.022/1==−−χχαn ，双侧拒绝域W = {χ 2 ≤ 0.4844或χ 2 ≥ 11.1433}， 因σ 2 = 0.0482，s 2 = 0.08822，n = 5，则W ∈=×=5069.13048.00882.04222χ，并且检验的p 值p = 2P {χ 2 ≥ 13.5069} = 0.0181 < α = 0.05， 故拒绝H 0，接受H 1，即可以认为这一天纤度的总体方差不正常．22．某电工器材厂生产一种保险丝．测量其熔化时间，依通常情况方差为400，今从某天产品中抽取容量为25的样本，测量其熔化时间并计算得24.62=x ，s 2 = 404.77，问这天保险丝熔化时间分散度与通常有无显著差异（取α = 0.05，假定熔化时间服从正态分布）？ 解：设这天保险丝熔化时间分散度X ~ N (µ , σ 2)，假设H 0：σ 2 = 400 vs H 1：σ 2 ≠ 400，选取统计量)1(~)1(2222−−=n S n χσχ，显著性水平α = 0.05，4012.12)24()1(2025.022/==−χχαn ，3641.39)24()1(2975.022/1==−−χχαn ，双侧拒绝域W = {χ 2 ≤ 12.4012或χ 2 ≥ 39.3641}， 因σ 2 = 400，s 2 = 404.77，n = 25，则W ∉=×=2862.2440077.404242χ，并且检验的p 值p = 2P {χ 2 ≥ 24.2862} = 0.8907 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为这天保险丝熔化时间分散度与通常没有显著差异． 23．某种导线的质量标准要求其电阻的标准差不得超过0.005（Ω）．今在一批导线中随机抽取样品9根，测得样本标准差s = 0.007（Ω），设总体为正态分布．问在显著水平α = 0.05下，能否认为这批导线的标准差显著地偏大？解：设这批导线的电阻X ~ N (µ , σ 2)，假设H 0：σ 2 = 0.005 2 vs H 1：σ 2 > 0.005 2，选取统计量)1(~)1(2222−−=n S n χσχ，显著性水平α = 0.05，5073.15)8()1(295.021==−−χχαn ，右侧拒绝域W = {χ 2 ≥ 15.5073}，因σ 2 = 0.005 2，s 2 = 0.007 2，n = 9，则W ∈=×=68.15005.0007.08222χ，并且检验的p 值p = P {χ 2 ≥ 15.68} = 0.0472 < α = 0.05， 故拒绝H 0，接受H 1，即可以认为这批导线的标准差显著地偏大．24．两台车床生产同一种滚珠，滚珠直径服从正态分布．从中分别抽取8个和9个产品，测得其直径为甲车床：15.0 14.5 15.2 15.5 14.8 15.1 15.2 14.8；乙车床：15.2 15.0 14.8 15.2 15.0 15.0 14.8 15.1 14.8．比较两台车床生产的滚珠直径的方差是否有明显差异（取α = 0.05）．解：设两台车床生产的滚珠直径分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，假设H 0：2221σσ= vs H 1：2221σσ≠，选取统计量)1,1(~2122−−=n n F S S F yx，显著性水平α = 0.05，2041.09.41)7,8(1)8,7()1,1(975.0025.0212/====−−F F n n F α，F 1 − α /2 (n 1 − 1, n 2 − 1) = F 0.975 (7, 8) = 4.53，双侧拒绝域W = {F ≤ 0.2041或F ≥ 4.53}，因223091.0=x s ，221616.0=y s ，则W F ∉==6591.31616.03091.022，并且检验的p 值p = 2P {F ≥ 3.6591} = 0.0892 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为两台车床生产的滚珠直径的方差没有明显差异． 25．有两台机器生产金属部件，分别在两台机器所生产的部件中各取一容量为m = 14和n = 12的样本，测得部件质量的样本方差分别为46.1521=s ，66.922=s ，设两样本相互独立，试在显著性水平α = 0.05下检验假设H 0：2221σσ= vs H 1：2221σσ>．解：设两台机器生产金属部件质量分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，假设H 0：2221σσ= vs H 1：2221σσ>，选取统计量)1,1(~2221−−=n m F S S F ，显著性水平α = 0.05，F 1 − α (m − 1, n − 1) = F 0.95 (13, 11) = 2.7614，右侧拒绝域W = {F ≥ 2.7614}，因46.1521=s ，66.922=s ，则W F ∉==6004.166.946.15，并且检验的p 值p = P {F ≥ 1.6004} = 0.2206 > α = 0.05， 故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为2221σσ=．26．测得两批电子器件的样品的电阻（单位：Ω）为A 批（x ） 0.140 0.138 0.143 0.142 0.144 0.137；B 批（y ） 0.135 0.140 0.142 0.136 0.138 0.140．设这两批器材的电阻值分别服从),(211σµN ，),(222σµN ，且两样本独立．（1）试检验两个总体的方差是否相等（取α = 0.05）？ （2）试检验两个总体的均值是否相等（取α = 0.05）？解：设两批电子器件样品的电阻分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，（1）假设H 0：2221σσ= vs H 1：2221σσ≠，选取统计量)1,1(~2122−−=n n F S S F yx，显著性水平α = 0.05，1399.015.71)5,5(1)5,5()1,1(975.0025.0212/====−−F F n n F α，F 1 − α /2 (n 1 − 1, n 2 − 1) = F 0.975 (5, 5) = 7.15，双侧拒绝域W = {F ≤ 0.1399或F ≥ 7.15}，因22002805.0=x s ，22002665.0=y s ，则W F ∉==1080.1002665.0002805.022，并且检验的p 值p = 2P {F ≥ 1.1080} = 0.9131 > α = 0.05， 故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为两个总体的方差相等； （2）假设H 0：µ 1 = µ 2 vs H 1：µ 1 ≠ µ 2，未知2221,σσ，但2221σσ=，选取统计量)2(~112121−++−=n n t n n S YX T w ，显著性水平α = 0.05，t 1 − α /2 (n 1 + n 2 − 2) = t 0.975 (10) = 2.2281，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 2.2281}， 因1407.0=x ，1385.0=y ，s x = 0.002805，s y = 0.002665，n 1 = 6，n 2 = 6，002736.010002665.05002805.052)1()1(22212221=×+×=−+−+−=n n s n s n s yx w ，则W t ∉=+×−=3718.16161002736.01385.01407.0，并且检验的p 值p = 2P {T ≥ 1.3718} = 0.2001 > α = 0.05， 故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为两个总体的均值相等．27．某厂使用两种不同的原料生产同一类型产品，随机选取使用原料A 生产的样品22件，测得平均质量为2.36（kg ），样本标准差为0.57（kg ）．取使用原料B 生产的样品24件，测得平均质量为2.55（kg ），样本标准差为0.48（kg ）．设产品质量服从正态分布，两个样本独立．问能否认为使用原料B 生产的产品质量较使用原料A 显著大（取α = 0.05）？解：设两种原料生产的产品质量分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，假设H 0：µ 1 = µ 2 vs H 1：µ 1 < µ 2 ，未知2221,σσ，大样本，选取统计量)1,0(~2212N n S n SY X U yx&+−=，显著性水平α = 0.05，u 1 − α = u 0.95 = 1.645，左侧拒绝域W ≈ {u ≤ −1.645}， 因36.2=x ，55.2=y ，s x = 0.57，s y = 0.48，n 1 = 22，n 2 = 24， 有W u ∉−=+−=2171.12448.02257.055.236.222，并且检验的p 值p = P {U ≤ −1.2171} = 0.1118 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为使用原料B 生产的产品质量较使用原料A 不是显著大．习题7.31． 从一批服从指数分布的产品中抽取10个进行寿命测试，观测值如下（单位：h ）： 1643 1629 426 132 1522 432 1759 1074 528 283根据这批数据能否认为其平均寿命不低于1100 h （取α = 0.05）？ 解：设这批产品的寿命X ~ Exp (1/θ )，假设H 0：θ = 1100 vs H 1：θ < 1100，选取统计量)2(~222n Xn χθχ=，显著性水平α = 0.05，8508.10)20()2(205.02==χχαn ，左侧拒绝域W = {χ 2 ≤ 10.8508}，因8.942=x ，n = 10，θ = 1100，则W ∉=××=1418.1711008.9421022χ，并且检验的p 值p = P {χ 2 ≤ 17.1418} = 0.3563 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为其平均寿命不低于1100 h ．2． 某厂一种元件平均使用寿命为1200 h ，偏低，现厂里进行技术革新，革新后任选8个元件进行寿命试验，测得寿命数据如下：2686 2001 2082 792 1660 4105 1416 2089假定元件寿命服从指数分布，取α = 0.05，问革新后元件的平均寿命是否有明显提高？ 解：设革新后元件的寿命X ~ Exp (1/θ )，假设H 0：θ = 1200 vs H 1：θ > 1200，选取统计量)2(~222n Xn χθχ=，显著性水平α = 0.05，2962.26)16()2(295.021==−χχαn ，右侧拒绝域W = {χ 2 ≥ 26.2962}，因875.2103=x ，n = 8，θ = 1200，则W ∈=××=0517.281200875.2103822χ，并且检验的p 值p = P {χ 2 ≥ 28.0517} = 0.0312 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，即可以认为革新后元件的平均寿命有明显提高．3． 有人称某地成年人中大学毕业生比例不低于30%，为检验之，随机调查该地15名成年人，发现有3名大学毕业生，取α = 0.05，问该人看法是否成立？并给出检验的p 值．解：设该地n 名成年人中大学毕业生人数为∑==ni i X X n 1，有),(~p n b X n ，假设H 0：p = 0.3 vs H 1：p < 0.3， 选取统计量),(~p n b X n ，显著性水平α = 0.05，n = 15，p = 0.3， 有1268.07.03.005.00353.07.03.021515101515=⋅⋅<<=⋅⋅∑∑=−=−k k k kk kkkC C ，左侧拒绝域}1{≤=x n W ，因W x n ∉=3，并且检验的p 值2969.07.03.0}3{31515=⋅⋅=≤=∑=−k k k kC X n P p ，故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为该人看法成立．4． 某大学随机调查120名男同学，发现有50人非常喜欢看武侠小说，而随机调查的85名女同学中有23人喜欢，用大样本检验方法在α = 0.05下确认：男女同学在喜爱武侠小说方面有无显著差异？并给出检验的p 值． 解：设n 1名男同学中有∑==111n i i X X n 人喜欢看武侠小说，n 2名女同学中有∑==212n j j Y Y n 人喜欢看武侠小说，有),(~111p n B X n ，),(~222p n B Y n ，大样本，有⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−1111)1(,~n p p p N X &，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−2222)1(,~n p p p N Y &， 则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−−−22211121)1()1(,~n p p n p p p p N Y X &，即)1,0(~)1()1()()(22211121N n p p n p p p p Y X &−+−−−−，当p 1 = p 2 = p 但未知时，此时用总频率2121ˆn n Yn X n p++=作为p 的点估计替换p ，在大样本场合，有)1,0(~11)ˆ1(ˆ21N n n p pY X U &+−−=，假设H 0：p 1 = p 2 vs H 1：p 1 ≠ p 2， 大样本，选取统计量)1,0(~11)ˆ1(ˆ21N n n p pY X U &+−−=，显著性水平α = 0.05，u 1 − α /2 = u 0.975 = 1.96，双侧拒绝域W = {| u | ≥ 1.96}，因n 1 = 120，n 2 = 85，501=x n ，232=y n ，有3561.0851202350ˆ2121=++=++=n n y n x n p，则W u ∈=+−×−=1519.28511201)3561.01(3561.0852312050，并且检验的p 值p = 2P {U ≥ 2.1519} = 0.0314 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，可以认为男女同学在喜爱武侠小说方面有显著差异．5． 假定电话总机在单位时间内接到的呼叫次数服从泊松分布，现观测了40个单位时间，接到的呼叫次数如下：0 2 3 2 3 2 1 0 2 2 1 2 2 1 3 1 1 4 1 1 5 1 2 2 3 3 1 3 1 3 4 0 6 1 1 1 4 0 1 3．在显著性水平0.05下能否认为单位时间内平均呼叫次数不低于2.5次？并给出检验的p 值． 解：设电话总机在单位时间内接到的呼叫次数X ~ P(λ)，有)(~1λn P X X n ni i ∑==，大样本，有)1,0(~N nX n n X n &λλλλ−=−，假设H 0：λ = 2.5 vs H 1：λ < 2.5， 大样本，选取统计量)1,0(~N nX U &λλ−=， 显著性水平α = 0.05，u 1 − α = u 0.95 = 1.645，左侧拒绝域W = {u ≤ −1.645}， 因975.1=x ，n = 40，λ = 2.5， 则W u ∈−=−=1.2405.25.2975.1，并且检验的p 值p = P {U ≤ −2.1} = 0.0179 < α = 0.05，故拒绝H 0，接受H 1，不能认为单位时间内平均呼叫次数不低于2.5次；6． 通常每平方米某种布上的疵点数服从泊松分布，现观测该种布100 m 2，发现有126个疵点，在显著性水平0.05下能否认为该种布每平方米上平均疵点数不超过1个？并给出检验的p 值． 解：设每平方米该种布上的疵点数X ~ P(λ)，有)(~1λn P X X n ni i ∑==，大样本，有)1,0(~N nX n n X n &λλλλ−=−，假设H 0：λ = 1 vs H 1：λ > 1， 大样本，选取统计量)1,0(~N nX U &λλ−=，显著性水平α = 0.05，u 1 − α = u 0.95 = 1.645，右侧拒绝域W = {u ≥ 1.645}，因26.1=x ，n = 100，λ = 1， 则W u ∈=−=6.21001126.1，并且检验的p 值p = P {U ≥ 2.6} = 0.0047 < α = 0.05， 故拒绝H 0，接受H 1，不能认为该种布每平方米上平均疵点数不超过1个； 7． 某厂的一批电子产品，其寿命T 服从指数分布，其密度函数为p (t ; θ ) = θ −1exp{− t /θ } I t > 0，从以往生产情况知平均寿命θ = 2000 h ．为检验当日生产是否稳定，任取10件产品进行寿命试验，到全部失效时停止．试验得失效寿命数据之和为30200．试在显著性水平α = 0.05下检验假设H 0：θ = 2000 vs H 1：θ ≠ 2000．解：假设H 0：θ = 2000 vs H 1：θ ≠ 2000，选取统计量)2(~222n Xn χθχ=，显著性水平α = 0.05，5908.9)20()2(2025.022/==χχαn ，1696.34)20()2(2975.022/1==−χχαn ，双侧拒绝域W = {χ 2 ≤ 9.5908或χ 2 ≥ 34.1696}，因30201030200==x ，n = 10，θ = 2000， 则W ∉=××=20.30200030201022χ，并且检验的p 值p = P {χ 2 ≥ 30.20} = 0.0667 > α = 0.05，故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为其平均寿命等于2000 h ． 8． 设X 1, X 2, …, X n 为取自两点分布b (1, p )的随机样本．（1）试求单侧假设检验问题H 0：p ≤ 0.01 vs H 1：p > 0.01的显著水平α = 0.05的检验； （2）若要这个检验在p = 0.08时犯第二类错误的概率不超过0.10，样本容量n 应为多大？ 解：（1）假设H 0：p = 0.01 vs H 1：p > 0.01，若为小样本，选取统计量),(~1p n b X X n ni i ∑==，显著性水平α = 0.05，p = 0.01，取⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅⋅=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤⋅⋅=∑∑−=−=−95.099.001.0min 05.099.001.0min 102c k k n k k n n c k kn k k n C C c ，当n ≤ 5时，c 2 = 1；当6 ≤ n ≤ 35时，c 2 = 2；当36 ≤ n ≤ 82时，c 2 = 3；当83 ≤ n ≤ 137时，c 2 = 4； 右侧拒绝域}{2c x n W ≥=， 根据x n ，作出决策； 若为大样本，选取统计量)1,0(~)1(N np p pX U &−−=，显著性水平α = 0.05，u 1 − α = u 0.95 = 1.645，右侧拒绝域W = {u ≥ 1.645}， 计算u ，作出决策；（2）在p = 0.08时，)08.0,(~1n b X X n ni i ∑==，则犯第二类错误的概率10.092.008.0}08.0|{}08.0|{1022≤⋅⋅==<==∉=∑−=−c k k n k kn C p c X n P p W X n P β，当n ≤ 5时，c 2 = 1，β = 0.92n ≥ 0.6591；当6 ≤ n ≤ 35时，c 2 = 2，2184.092.008.01≥⋅⋅=∑=−k k n k kn C β；当36 ≤ n ≤ 82时，c 2 = 3， 若n = 64，1050.092.008.02=⋅⋅=∑=−k kn kknC β；若n = 65，0991.092.008.02=⋅⋅=∑=−k k n k kn C β；故n ≥ 65．9． 有一批电子产品共50台，产销双方协商同意找出一个检验方案，使得当次品率p ≤ p 0 = 0.04时拒绝的概率不超过0.05，而当p > p 1 = 0.30时，接受的概率不超过0.1，请你帮助找出适当的检验方案． 解：设这批电子产品中的次品数为∑==ni i X X n 1，有),(~p n b X n ，假设H 0：p = 0.04 vs H 1：p > 0.04， 小样本，选取统计量),(~p n b X n ， 显著性水平α = 0.05，p = 0.04，。
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后习题参考答案.pdf
第一章 随机事件与概率习题1.11． 写出下列随机试验的样本空间：（1）抛三枚硬币； （2）抛三颗骰子；（3）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止；（4）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，放回后再取出一个； （5）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，不放回后再取出一个． 解：（1）Ω = {(0, 0, 0)，(0, 0, 1)，(0, 1, 0)，(1, 0, 0)，(0, 1, 1)，(1, 0, 1)，(1, 1, 1)，(1, 1, 1)}，其中出现正面记为1，出现反面记为0； （2）Ω = {(x 1 , x 2 , x 3)：x 1 , x 2 , x 3 = 1, 2, 3, 4, 5, 6}；（3）Ω = {(1)，(0, 1)，(0, 0, 1)，(0, 0, 0, 1)，…，(0, 0, …, 0, 1)，…}，其中出现正面记为1，出现反面记为0；（4）Ω = {BB ，BW ，BR ，WW ，WB ，WR ，RR ，RB ，RW}，其中黑球记为B ，白球记为W ，红球记为R ； （5）Ω = {BW ，BR ，WB ，WR ，RB ，RW}，其中黑球记为B ，白球记为W ，红球记为R ．2． 先抛一枚硬币，若出现正面（记为Z ），则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为F ），则再抛一枚硬币，试验停止．那么该试验的样本空间Ω是什么？ 解：Ω = {Z1，Z2，Z3，Z4，Z5，Z6，FZ ，FF}． 3． 设A , B , C 为三事件，试表示下列事件：（1）A , B , C 都发生或都不发生； （2）A , B , C 中不多于一个发生； （3）A , B , C 中不多于两个发生； （4）A , B , C 中至少有两个发生． 解：（1）C B A ABC U ；（2）C B A C B A C B A C B A U U U ；（3）ABC 或C B A C B A C B A C B A BC A C B A C AB U U U U U U ； （4）ABC BC A C B A C AB U U U ． 4． 指出下列事件等式成立的条件：（1）A ∪B = A ； （2）AB = A ． 解：（1）当A ⊃ B 时，A ∪B = A ；（2）当A ⊂ B 时，AB = A ．5． 设X 为随机变量，其样本空间为Ω = {0 ≤ X ≤ 2}，记事件A = {0.5 < X ≤ 1}，B = {0.25 ≤ X < 1.5}，写出下列各事件：（1）B A ； （2）B A U ；（3）AB ； （4）B A U ．解：（1）}5.11{}5.025.0{<<≤≤=X X B A U ；（2）Ω=≤≤=}20{X B A U ；（3）A X X AB =≤<≤≤=}21{}5.00{U ； （4）B X X B A =≤≤<≤=}25.1{}25.00{U U ．6． 检查三件产品，只区分每件产品是合格品（记为0）与不合格品（记为1），设X 为三件产品中的不合格品数，指出下列事件所含的样本点：A =“X = 1”，B =“X > 2”，C =“X = 0”，D =“X = 4”．解：A = {(1, 0, 0)，(0, 1, 0)，(0, 0, 1)}，B = {(1, 1, 1)}，C = {(0, 0, 0)}，D = ∅． 7． 试问下列命题是否成立？（1）A − (B − C ) = (A − B )∪C ；（2）若AB = ∅且C ⊂ A ，则BC = ∅； （3）(A ∪B ) − B = A ； （4）(A − B )∪B = A ．解：（1）不成立，C B A AC B A AC B A C B A C B A C B A C B A U U U U )()()()(−≠−====−=−−；（2）成立，因C ⊂ A ，有BC ⊂ AB = ∅，故BC = ∅；（3）不成立，因A B A B A B B B A B B A B B A ≠−====−U U U )()(； （4）不成立，因A B A B B B A B B A B B A ≠===−U U U U U ))(()(． 8． 若事件ABC = ∅，是否一定有AB = ∅？解：不能得出此结论，如当C = ∅时，无论AB 为任何事件，都有ABC = ∅． 9． 请叙述下列事件的对立事件：（1）A =“掷两枚硬币，皆为正面”； （2）B =“射击三次，皆命中目标”；（3）C =“加工四个零件，至少有一个合格品”． 解：（1）=A “掷两枚硬币，至少有一个反面”；（2）=B “射击三次，至少有一次没有命中目标”； （3）=C “加工四个零件，皆为不合格品”． 10．证明下列事件的运算公式：（1）B A AB A U =； （2）B A A B A U U =．证：（1）A A B B A B A AB =Ω==)(U U ；（2）B A B A B A A A B A A U U U U U =Ω==)())((． 11．设F 为一事件域，若A n ∈F ，n = 1, 2, …，试证：（1）∅ ∈F ；（2）有限并∈=U ni i A 1F ，n ≥ 1；（3）有限交∈=I ni i A 1F ，n ≥ 1；（4）可列交∈+∞=I 1i i A F ；（5）差运算A 1 − A 2 ∈ F ．证：（1）由事件域定义条件1，知 Ω ∈F ，再由定义条件2，可得∅∈Ω=F ；（2）在定义条件3中，取A n + 1 = A n + 2 = … = ∅，可得∈=∞==U U 11i i ni i A A F ；（3）由定义条件2，知∈n A A A ,,,21L F ，根据（2）小题结论，可得∈=U ni i A 1F ，再由定义条件2，知∈=U ni i A 1F ，即∈=I ni i A 1F ；（4）由定义条件2，知∈L L ,,,,21n A A A F ，根据定义条件3，可得∈∞=U 1i i A F ，再由定义条件2，知∈∞=U 1i i A F ，即∈∞=I 1i i A F ；（5）由定义条件2，知∈2A F ，根据（3）小题结论，可得∈21A A F ，即A 1 − A 2 ∈ F ．习题1.21． 对于组合数⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n ，证明：（1）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n n r n ； （2）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n r n r n 111； （3）nn n n n 210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛L ； （4）12221−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n L ； （5）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n b a b n a n b a n b a 0110L ，n = min{a , b }； （6）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n 210222L ． 证：（1）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−=−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−r n r r n n r n n r n n r n n !)!(!)]!([)!(!； （2）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−=−+−−=−−−+−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−r n r n r n r n r r n r n r n r n r n r n r n r n )!(!!)]([)!(!)!1()!1(!)!1()!()!1()!1(111； （3）由二项式展开定理nn n n y n n y x n x n y x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+−L 110)(，令x = y = 1，得 nn n n n 210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛L ； （4）当1 ≤ r ≤ n 时，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=−⋅−−=−⋅−=−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛11)!()!1()!1()!()!1(!)!(!!r n n r n r n n r n r n r n r n rr n r ， 故12111101221−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n n n n n n n n L L ； （5）因a ax a a x a a x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+L 10)1(，b bx b b x b b x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+L 10)1(， 两式相乘，其中x n 的系数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛0110b n a n b a n b a L ，另一方面ba b a b a x a b a x b a b a x x x ++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=+=++L 10)1()1()1(， 其中x n 的系数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+n b a ，即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n b a b n a n b a n b a 0110L ； （6）在（5）小题结论中，取a = b = n ，有⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n n n n n 20110L ， 再由（1）小题结论，知⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n n r n ，即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n 210222L ． 2． 抛三枚硬币，求至少出现一个正面的概率．解：样本点总数n = 23 = 8，事件“至少出现一个正面”的对立事件为“三个都是反面”，其所含样本点个数为1， 即事件“至少出现一个正面”所含样本点个数为k = 8 − 1 = 7，故所求概率为87)(=A P ． 3． 任取两个正整数，求它们的和为偶数的概率． 解：将所有正整数看作两个类“偶数”、“奇数”，样本点总数n = 22 = 4，事件“两个都是偶数”所含样本点个数为1，事件“两个都是奇数”所含样本点个数也为1， 即事件A =“它们的和为偶数”所含样本点个数k = 2，故所求概率为2142)(==A P ．4． 掷两枚骰子，求下列事件的概率：（1）点数之和为6； （2）点数之和不超过6； （3）至少有一个6点． 解：样本点总数n = 62 = 36．（1）事件A 1 =“点数之和为6”的样本点有 (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)，即个数k 1 = 5，故所求概率为365)(1=A P ；（2）事件A 2 =“点数之和不超过6”的样本点有(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1)， 即个数k 2 = 15，故所求概率为1253615)(2==A P ；（3）事件A 3 =“至少有一个6点”的样本点有(1, 6), (6, 1), (2, 6), (6, 2), (3, 6), (6, 3), (4, 6), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)， 即个数k 3 = 11，故所求概率为3611)(3=A P ．5． 考虑一元二次方程x 2 + Bx + C = 0，其中B , C 分别是将一颗骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q ． 解：样本点总数n = 62 = 36，事件A 1 =“该方程有实根”，即B 2 − 4C ≥ 0，样本点有(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)，即个数k 1 = 19，故36191==n k p ． 事件A 2 =“该方程有重根”，即B 2 − 4C = 0，样本点有(2, 1)，(4, 4)，即个数k 2 = 2，故1813622===n k q ．6． 从一副52张的扑克牌中任取4张，求下列事件的概率：（1）全是黑桃； （2）同花；（3）没有两张同一花色； （4）同色．解：样本点总数270725123449505152452=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）事件A 1 =“全是黑桃”所含样本点个数7151234101112134131=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为0026.0270725715)(1==A P ；（2）事件A 2 =“同花”所含样本点个数2860123410111213441342=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=k ， 故所求概率为0106.02707252860)(2==A P ；（3）事件A 3 =“没有两张同一花色”所含样本点个数k 3 = 13 × 13 × 13 × 13 = 28561，故所求概率为1055.027072528561)(3==A P ；（4）事件A 4 =“同色”所含样本点个数29900123423242526242624=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=k ， 故所求概率为1104.027072529900)(4==A P ．7． 设9件产品中有2件不合格品．从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品、仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？解：样本点总数36128929=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ， 事件A 1 =“全是合格品”所含样本点个数211267271=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为1273621)(1==A P ； 事件A 2 =“仅有一个合格品”所含样本点个数142712171=×=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为1873614)(2==A P ；事件A 3 =“没有合格品”所含样本点个数1223=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为361)(3=A P ． 8． 口袋中有7个白球、3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．解：样本点总数4512910210=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件A =“两个球颜色相同”所含样本点个数24122312672327=××+××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为1584524)(==A P ． 9． 甲口袋有5个白球、3个黑球，乙口袋有4个白球、6个黑球．从两个口袋中各任取一球，求取到的两个球颜色相同的概率． 解：样本点总数n = 8 × 10 = 80，事件A =“两个球颜色相同”所含样本点个数k = 5 × 4 + 3 × 6 = 38，故所求概率为40198038)(==A P ．10．从n 个数1, 2, …, n 中任取2个，问其中一个小于k （1 < k < n ），另一个大于k 的概率是多少？解：样本点总数)1(212−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n n n N ，事件A = “其中一个小于k ，另一个大于k ”所含样本点个数K = (k − 1)(n − k )， 故所求概率为)1())(1(2)(−−−=n n k n k A P ．11．口袋中有10个球，分别标有号码1到10，现从中不返回地任取4个，记下取出球的号码，试求：（1）最小号码为5的概率； （2）最大号码为5的概率．解：样本点总数210123478910410=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ， （1）事件A 1 =“最小号码为5”所含样本点个数10123345351=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为21121010)(1==A P ； （2）事件A 2 =“最大号码为5”所含样本点个数4123234342=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为10522104)(2==A P ． 12．掷三颗骰子，求以下事件的概率：（1）所得的最大点数小于等于5； （2）所得的最大点数等于5． 解：样本点总数n = 63 = 216，（1）事件A 1 =“所得的最大点数小于等于5”所含样本点个数k 1 = 53 = 125，故所求概率为216125)(1=A P ； （2）事件A 2 =“所得的最大点数等于5”所含样本点个数k 2 = 53 − 43 = 61，故所求概率为21661)(2=A P ．13．把10本书任意地放在书架上，求其中指定的四本书放在一起的概率． 解：样本点总数n = 10!，事件A =“其中指定的四本书放在一起”所含样本点个数k = 4! × 7!，故所求概率为30189101234!10!7!4)(=×××××=×=A P ． 14．n 个人随机地围一圆桌而坐，求甲乙两人相邻而坐的概率． 解：样本点总数N = (n − 1)!，事件A =“甲乙两人相邻而坐”所含样本点个数k = 2! × (n − 2)!，故所求概率为12)!1()!2(!2)(−=−−×=n n n A P ．15．同时掷5枚骰子，试证明：（1）P {每枚都不一样} = 0.0926； （2）P {一对} = 0.4630； （3）P {两对} = 0.2315；（4）P {三枚一样} = 0.1543（此题有误）； （5）P {四枚一样} = 0.0193； （6）P {五枚一样} = 0.0008． 解：样本点总数n = 65 = 7776，（1）事件“每枚都不一样”所含样本点个数72023456561=××××==A k ，故P {每枚都不一样}0926.07776720==； （2）事件“一对”所含样本点个数3600345124563525162=××××××=⋅⋅=A C A k ， 故P {一对}4630.077763600==； （3）事件“两对”所含样本点个数18004122312451256142325263=×××××××××=⋅⋅⋅=A C C C k ， 故P {两对}2315.077761800==； （4）事件“三枚一样”所含样本点个数15005123345652235164=××××××=⋅⋅=C A k ，故P {三枚一样}1929.077761500==； 事件“三枚一样且另两枚不一样”所含样本点个数12004512334562535164=×××××××=⋅⋅=A C A k ，故P {三枚一样且另两枚不一样}1543.077761200==； （5）事件“四枚一样”所含样本点个数15051234234561545165=××××××××=⋅⋅=A C A k ，故P {四枚一样}0193.07776150==； （6）事件“五枚一样”所含样本点个数6161555166=×=⋅⋅=A C A k ，故P {五枚一样}0008.077766==． 16．一个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾．然后随机地把六个头两两相接，六个尾也两两相接．求放开手后六根草恰巧连成一个环的概率．解：在同一种六个头两两相接情况下，只需考虑六个尾两两相接的样本点总数n = 5 × 3 = 15，事件A =“放开手后六根草恰巧连成一个环”所含样本点个数k = 4 × 2 = 8，故所求概率为158)(=A P ．17．把n 个“0”与n 个“1”随机地排列，求没有两个“1”连在一起的概率．解：样本点总数!!)!2(2n n n n n N ⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=，事件A =“没有两个‘1’连在一起”所含样本点个数11+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=n n n k ， 故所求概率为)!2()!1(!)(n n n A P +⋅=．18．设10件产品中有2件不合格品，从中任取4件，设其中不合格品数为X ，求X 的概率分布．解：样本点总数210123478910410=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件X = 0所含样本点个数7011234567802480=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为3121070}0{===X P ； 事件X = 1所含样本点个数112212367812381=×××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ， 故所求概率为158210112}1{===X P ； 事件X = 2所含样本点个数281127822282=×××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为15221028}2{===X P ． 19．n 个男孩，m 个女孩（m ≤ n + 1）随机地排成一排，试求任意两个女孩都不相邻的概率．解：样本点总数!!)!(m n m n n m n N ⋅+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=，事件A =“任意两个女孩都不相邻”所含样本点个数)!1(!)!1(1m n m n m n k −+⋅+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=， 故所求概率为)2()1)(()2()1()!1()!()!1(!)(+−++−+−=−+⋅++⋅=n m n m n m n n n m n m n n n A P L L ．20．将3个球随机放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数X 的概率分布． 解：样本点总数n = 43 = 64，事件X = 1所含样本点个数24234341=××==A k ，故所求概率为836424}1{===X P ； 事件X = 2所含样本点个数363341323142=××==A C A k ，故所求概率为1696436}2{===X P ； 事件X = 3所含样本点个数4143==A k ，故所求概率为161644}3{===X P ． 21．将12只球随意地放入3个盒子中，试求第一个盒子中有3只球的概率． 解：样本点总数n = 312 = 531441，事件A =“第一个盒子中有3只球”所含样本点个数11264051212310111223129=×××××=×⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为2120.0531441112640)(==A P ．22．将n 个完全相同的球（这时也称球是不可辨的）随机地放入N 个盒子中，试求：（1）某个指定的盒子中恰好有k 个球的概率； （2）恰好有m 个空盒的概率；（3）某指定的m 个盒子中恰好有j 个球的概率．解：样本点总数为N 取n 次的重复组合，即)!1(!)!1(1−⋅−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=N n n N n n N M ， （1）事件A 1 =“某个指定的盒子中恰好有k 个球”所含样本点个数为N − 1取n − k 次的重复组合，即)!2()!()!2(21)(11−⋅−−−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+−=N k n k n N k n k n N k n k n N K ， 故所求概率为)1()2)(1()1()1()1()!2()!()!1()!1(!)!2()(1−−+−+−+−⋅+−−=−⋅−⋅−+−⋅⋅−−+=k n N n N n N N k n n n N k n n N N n k n N A P L L ；（2）事件A 2 =“恰好有m 个空盒”所含样本点个数可分两步考虑：首先N 选m 次的组合，选出m 个空盒，而其余N − m 个盒中每一个都分别至少有一个球， 其次剩下的n − (N − m )个球任意放入这N − m 个盒中，即N − m 取n − (N − m )次的重复组合，则)!1()!()!(!)!1(!)(12−−⋅−+⋅−⋅−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=m N N m n m N m n N m N n n m N K ，故所求概率为)!1()!1()!()!(!)!1(!)!1(!)(2−+⋅−−⋅−+⋅−⋅−⋅⋅−⋅=n N m N N m n m N m N n n N A P ；（3）事件A 3 =“某指定的m 个盒子中恰好有j 个球”所含样本点个数为m 取j 次的重复组合乘以N − m 取n − j 次的重复组合，则)!1()!()!1(!)!1()!1(1)()(13−−⋅−⋅−⋅−−−+⋅−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=m N j n m j j m n N j m j n j n m N j j m K ， 故所求概率为)!1()!1()!()!1(!)!1(!)!1()!1()(3−+⋅−−⋅−⋅−⋅−⋅⋅−−−+⋅−+=n N m N j n m j N n j m n N j m A P ．23．在区间(0, 1)中随机地取两个数，求事件“两数之和小于7/5”的概率．解：设这两个数分别为x 和y ，有Ω = {(x , y ) | 0 < x < 1, 0 < y < 1}，得m (Ω) = 1，事件A =“两数之和小于7/5”，有A = {(x , y ) | 0 < x + y< 7/5}， 得504153211)(2=⎟⎠⎞⎜⎝⎛×−=A m ， 故所求概率为5041)()()(=Ω=m A m A P ． 24．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的．如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率是多少？解：设甲乙两艘轮船到达码头的时间分别为x 和y 小时，有Ω = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ 24, 0 ≤ y ≤ 24}，得m (Ω) = 242 = 576，事件A =“它们中任何一艘都不需要等候码头空出”， 若甲先到，有x + 1 ≤ y ≤ 24；若乙先到，有y + 2 ≤ x ≤ 24；即A = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ 24, 0 ≤ y ≤ 24, x + 1 ≤ y ≤ 24或y + 2 ≤ x ≤ 24}，得2101322212321)(22=×+×=A m ， 故所求概率为11521013)()()(=Ω=m A m A P ． 25．在平面上画有间隔为d 的等距平行线，向平面任意投掷一个边长为a , b , c （均小于d ）的三角形，求三角形与平行线相交的概率．解：不妨设a ≥ b ≥ c ，三角形的三个顶点分别为A , B , C ，其对边分别为a , b , c ，相应三个角也记为A , B , C ，设O 为BC 的中点，点O 与最近的一条平行线的距离为x ， 从点O 向三角形外作与平行线平行的射线OD ， 若B , C 中点C 更靠近某条平行线，则记α = ∠COD ，否则记α = −∠BOD ， 有π}π,20|),{(<<−≤≤=Ωααdx x ，得m (Ω) = π d ，事件E =“三角形与平行线相交”，当α ≥ 0时，如果C ≤ α < π，事件E 就是OC 与平行线相交； 如果0 ≤ α < C ，事件E 就是OC 或AC 与平行线相交； 当α < 0时，如果−π < α ≤ −B ，事件E 就是OB 与平行线相交；如果−B < α < 0，事件E 就是OB 或AB 与平行线相交．记}sin 2,|),{(1αααax C x E ≤≥=， )}sin(sin 2,0|),{(2αααα−+≤<≤=C b ax C x E ，}sin 2,|),{(3αααax B x E −≤−≤=，)}sin(sin 2,0|),{(4αααα++−≤<<−=B c ax B x E ，有E = E 1∪E 2∪E 3∪E 4，得∫∫−−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=0π)sin(sin 2sin 2)(BB d B c a d a E m ααααα∫∫+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++π0sin 2)sin(sin 2C C d a d C b a ααααα ∫∫∫∫+−++++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−−π0000πsin 2)sin()sin(sin 2ααααααααd a d C b d B c d a C B π0000πcos 2)cos()cos(cos 2ααααa C b B c aCB −−++−=−− 22cos cos 22a a C b b c B c a a +⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−++−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=c b a a a c b a abc b a b ac b c a c c b a ++=−++=−+⋅−−+⋅−++=2222222222222，故所求概率为d cb a m E m E P π)()()(++=Ω=．方法二：设事件A , B , C 分别表示“边长为a , b , c 三条边与平行线相交”，事件E 表示“三角形与平行线相交”， 由于三角形与平行线相交时，将至少有两条边与平行线相交，即E = AB ∪AC ∪BC ，则由三个事件的加法公式得P (E ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 2 P (ABC )， 因ABC 表示“三条边都与平行线相交”，有P (ABC ) = 0， 则P (E ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC )，另一方面，由于三角形与平行线相交时，将至少有两条边与平行线相交， 有A = AB ∪AC ，B = AB ∪BC ，C = AC ∪BC ，则P (A ) = P (AB ) + P (AC ) − P (ABC ) = P (AB ) + P (AC )， P (B ) = P (AC ) + P (BC )，P (C ) = P (AC ) + P (BC )，可得P (A ) + P (B ) + P (C ) = [P (AB ) + P (AC )] + [P (AC ) + P (BC )] + [P (AC ) + P (BC )]= 2[P (AB ) + P (AC ) + P (BC )]，根据蒲丰投针问题知d a A P π2)(=，d b B P π2)(=，dc C P π2)(=， 故dcb a C P B P A P BC P AC P AB P E P π)]()()([21)()()()(++=++=++=．26．在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，即交点在直径上一个区间内的可能性与这区间的长度成比例，求任意画弦的长度大于R 的概率．1A解：设弦与垂直于弦的直径的交点与圆心的距离为x ，有Ω = {x | 0 ≤ x < R }，得m (Ω) = R ，事件A =“弦的长度大于R ”，有2222⎟⎠⎞⎜⎝⎛>−R x R ，2243R x <，即}230|{R x x A <≤=，得R A m 23)(=，故所求概率为23)()()(=Ω=m A m A P ． 27．设一个质点落在xOy 平面上由x 轴、y 轴及直线x + y = 1所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，即落在这三角形内任何区域上的概率与区域的面积成正比，试求此质点还满足y < 2x 的概率是多少？解：Ω = {(x , y ) | 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < x + y < 1}，得21)(=Ωm ， 事件A =“满足y < 2x ”，有A = {(x , y ) | 0 < y < 1, y /2 ≤ x ≤ 1 − y }，得3132121)(=××=A m ， 故所求概率为32)()()(=Ω=m A m A P ． 28．设a > 0，有任意两数x , y ，且0 < x < a ，0 < y < a ，试求xy < a 2/4的概率． 解：Ω = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ a }，得m (Ω) = a 2，事件A =“xy < a 2/4”，有A = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ a , xy < a 2/4}，即4ln 44ln 44)(22422422a a x a ax a dx x a a a A m aa aa +=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=∫， 故所求概率为5966.04ln 4141)()()(=+=Ω=m A m A P ．29．用主观方法确定：大学生中戴眼镜的概率是多少？ （自己通过调查，作出主观判断）30．用主观方法确定：学生中考试作弊的概率是多少？ （自己通过调查，作出主观判断）x习题1.31． 设事件A 和B 互不相容，且P (A ) = 0.3，P (B ) = 0.5，求以下事件的概率：（1）A 与B 中至少有一个发生； （2）A 和B 都发生； （3）A 发生但B 不发生． 解：（1）P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) = 0.3 + 0.5 = 0.8；（2）P (AB ) = 0；（3）P (A − B ) = P (A ) = 0.3．2． 设P (AB ) = 0，则下列说法哪些是正确的？（1）A 和B 不相容； （2）A 和B 相容；（3）AB 是不可能事件；（4）AB 不一定是不可能事件； （5）P (A ) = 0或P (B ) = 0； （6）P (A − B ) = P (A )． 解：（1）错误，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容；（2）错误，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容；（3）错误，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容，即AB 不一定是不可能事件； （4）正确，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容，即AB 不一定是不可能事件； （5）错误，当P (A ) > 0，P (B ) > 0时，只要A 和B 不相容，就有P (AB ) = 0； （6）正确，P (A − B ) = P (A ) − P (AB ) = P (A )．3． 一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的三倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一个，试求取到二级品的概率． 解：设A , B , C 分别表示“取到一、二、三级品”，有P (A ) + P (B ) + P (C ) = 1，P (A ) = 3P (B )，)(21)(B P C P =， 则1)(29)(21)()(3==++B P B P B P B P ，即92)(=B P ， 故取到二级品的概率92)(=B P ．4． 从0, 1, 2, …, 9等十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：（1）A 1 = {三个数字中不含0和5}； （2）A 2 = {三个数字中不含0或5}； （3）A 3 = {三个数字中含0但不含5}．解：样本点总数1201238910310=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）事件A 1所含样本点个数56123678381=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故15712056)(1==A P ； （2）事件=2A “三个数字中含0和5”所含样本点个数8182=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，故1514120112)(1)(22==−=A P A P ； （3）事件A 3所含样本点个数281278283=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故30712028)(3==A P ．5． 某城市中共发行3种报纸A , B , C ．在这城市的居民中有45%订阅A 报、35%订阅B 报、25%订阅C 报，10%同时订阅A 报B 报、8%同时订阅A 报C 报、5%同时订阅B 报C 报、3%同时订阅A , B , C 报．求以下事件的概率： （1）只订阅A 报；（2）只订阅一种报纸的； （3）至少订阅一种报纸的； （4）不订阅任何一种报纸的．解：设A , B , C 分别表示“订阅报纸A , B , C ”，则P (A ) = 0.45，P (B ) = 0.35，P (C ) = 0.30，P (AB ) = 0.10，P (AC ) = 0.08，P (BC ) = 0.05，P (ABC ) = 0.03，（1）)()()()()()())(()(ABC P AC P AB P A P AC AB P A P C B A P C B A P +−−=−=−=U U= 0.45 − 0.10 − 0.08 + 0.03 = 0.30；（2）)()()()(B A P C B A P C B A P C B A C B A C B A P ++=U U ，因)()()()()()())(()(ABC P BC P AB P B P BC AB P B P C A B P C B A P +−−=−=−=U U= 0.35 − 0.10 − 0.05 + 0.03 = 0.23，)()()()()()())(()(ABC P BC P AC P C P BC AC P C P B A C P C B A P +−−=−=−=U U= 0.30 − 0.08 − 0.05 + 0.03 = 0.20，故73.020.023.030.0)()()()(=++=++=C B A P C B A P C B A P C B A C B A C B A P U U ； （3）P (A ∪B ∪C ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) − P (AB ) − P (AC ) − P (BC ) + P (ABC )= 0.45 + 0.35 + 0.30 − 0.10 − 0.08 − 0.05 + 0.03 = 0.90；（4）10.090.01)(1(=−=−=C B A P C B A P U U ．6． 某工厂一个班组共有男工9人、女工5人，现要选出3个代表，问选的3个代表中至少有1个女工的概率是多少？解：样本点总数364123121314314=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件=A “选的3个代表中没有女工”所含样本点个数8412378939=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，故所求概率为1310364280364841)(1)(==−=−=A P A P ． 7． 一赌徒认为掷一颗骰子4次至少出现一次6点与掷两颗骰子24次至少出现一次双6点的机会是相等的，你认为如何？ 解：“掷一颗骰子4次”的样本点总数n 1 = 64 = 1296，事件=1A “没有出现6点”所含样本点个数为625541==A k ，则5177.0129667112966251)(1)(11==−=−=A P A P ； “掷两颗骰子24次”的样本点总数n 2 = (62 )24 = 36 24，事件=2A “没有出现双6点”所含样本点个数为2424235)16(2=−=A k ，则4914.036353636351)(1)(242424242422=−=−=−=A P A P ；故掷一颗骰子4次至少出现一次6点的机会比掷两颗骰子24次至少出现一次双6点的机会更大． 8． 从数字1, 2, …, 9中可重复地任取n 次，求n 次所取数字的乘积能被10整除的概率． 解：样本点总数N = 9 n ，因事件A =“n 次所取数字的乘积能被10整除”就是“至少取到一次数字5并且至少取到一次偶数”， 则事件=A “没有取到数字5或没有取到偶数”， 设事件B =“没有取到数字5”，C =“没有取到偶数”，则事件B 所含样本点个数为K B = 8 n ，事件C 所含样本点个数为K C = 5 n ， 且事件BC =“没有取到数字5和偶数”所含样本点个数为K BC = 4 n ，故nnn n n n n n n n n BC P C P B P C B P A P A P 945899495981)()()(1)(1)(1)(+−−=+−−=+−−=−=−=U ． 9． 口袋中有n − 1个黑球和1个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球．问第k 次摸球时，摸到黑球的概率是多少？ 解：样本点总数N = n k ，事件=A “第k 次摸球时摸到白球”，此时前n − 1次摸球时都必须是摸到黑球，则A 中所含样本点个数1)1(−−=k A n K ，故所求概率为kk nn A P A P 1)1(1)(1)(−−−=−=． 10．若P(A ) = 1，证明：对任一事件B ，有P (AB ) = P (B )．证：因P (A ) = 1，且A B A ⊂，有0)(1)()(=−=≤A P A P B A P ，则0)()()()(=−=−=AB P B P A B P A P ，故P (AB ) = P (B )．11．掷2n + 1次硬币，求出现的正面数多于反面数的概率． 解：设A =“出现的正面数多于反面数”，因掷奇数次硬币，出现的正面数与反面数不可能相等，事件=A “出现的反面数多于正面数”，由于掷一枚硬币出现正面与出现反面的可能性相同，则“出现的正面数多于反面数”与“出现的反面数多于正面数” 的可能性相同， 可得)()(A P A P =，又1()(=+A P A P ，故P (A ) = 0.5．12．有三个人，每个人都以同样的概率1/5被分配到5个房间中的任一间中，试求：（1）三个人都分配到同一个房间的概率； （2）三个人分配到不同房间的概率． 解：样本点总数n = 53 = 125，（1）事件A 1 =“三个人都分配到同一个房间”所含样本点个数为k 1 = 5，故所求概率为2511255)(1==A P ； （2）事件A 2 =“三个人分配到不同房间”所含样本点个数为60345352=××==A k ，故所求概率为251212560)(2==A P ． 13．一间宿舍住有5位同学，求他们之中至少有2个人生日在同一个月份的概率．解：首先假设一个人的生日在每一个月份的可能性相同，样本点总数n = 125，事件=A “每个人生日都在不同月份”所含样本点个数为512A k A =， 故所求概率为6181.014489121)(1)(5512==−=−=A A P A P ． 14．某班n 个战士各有1支归个人保管使用的枪，这些枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人随机地取了1支枪，求至少有1人拿到自己的枪的概率．解：设A i =“第i 个战士拿到自己的枪”，n i ,,2,1L =，有==i ni A 1U “至少有1人拿到自己的枪”，因)()1()()()()(2111111n n nk j i kjinj i jini i i ni A A A P A A A P A A P A P A P L L U ⋅−+++−=−≤<<≤≤<≤==∑∑∑，且n n n A P i 1!)!1()(=−=，)1(1!)!2()(−=−=n n n n A A P j i ，)2)(1(1)(−−=n n n A A A P k j i ，……， 故!)1(!31!211!1)1()2)(1(1)1(11)(11321n n C n n n C n n C n n A P n nn n n n i ni −−=−+−+−=⋅−+−−−⋅+−⋅−×=L L U ． 15．设A , B 是两事件，且P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.8，问： （1）在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 解：（1）因P (AB ) ≤ min{P (A ), P (B )} = P (A ) = 0.6，故当P (AB ) = P (A ) 时，P (AB )取到最大值0.6；（2）因P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∪B ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1 = 0.4，故当P (A ∪B ) = 1时，P (AB )取到最小值0.4． 注：若A ⊂ B ，有AB = A ，可得P (AB ) = P (A )，但不能反过来，由P (AB ) = P (A )，得出A ⊂ B ；若A ∪B = Ω，可得P (A ∪B ) = 1，但不能反过来，由P (A ∪B ) = 1，得出A ∪B = Ω． 16．已知事件A , B 满足)()(B A P AB P I =，记P (A ) = p ，试求P (B )．解：因)()()(1)(1)()()(AB P B P A P B A P B A P B A P AB P +−−=−===U U I ，有1 − P (A ) − P (B ) = 0，故P (B ) = 1 − P (A ) = 1 − p ．17．已知P (A ) = 0.7，P (A − B ) = 0.4，试求)(AB P ．解：因P (A − B ) = P (A ) − P (AB )，有P (AB ) = P (A ) − P (A − B ) = 0.7 − 0.4 = 0.3，故7.0)(1(=−=AB P AB P ． 18．设P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.4，试证)()(B A P AB P I =．证：)()(4.06.01)()()(1)(1)()(AB P AB P AB P B P A P B A P B A P B A P =+−−=+−−=−==U U I ． 19．对任意的事件A , B , C ，证明：（1）P (AB ) + P (AC ) − P (BC ) ≤ P (A )；（2）P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) ≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) − 1． 证：（1）因P (AB ∪AC ) = P (AB ) + P (AC ) − P (ABC )，且 (AB ∪AC ) ⊂ A ，ABC ⊂ BC ，有P (AB ∪AC ) ≤ P (A )，P (ABC ) ≤ P (BC )，故P (AB ) + P (AC ) − P (BC ) = P (AB ∪AC ) + P (ABC ) − P (BC ) ≤ P (AB ∪AC ) ≤ P (A )． （2）因P (A ∪B ∪C ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) − P (AB ) − P (AC ) − P (BC ) + P (ABC )，故P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) + P (ABC ) − P (A ∪B ∪C )≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) + P (ABC ) − 1 ≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) − 1．20．设A , B , C 为三个事件，且P (A ) = a ，P (B ) = 2a ，P (C ) = 3a ，P (AB ) = P (AC ) = P (BC ) = b ，证明：a ≤ 1/4，b ≤ 1/4．证：因P (B ∪C ) = P (B ) + P (C ) − P (BC ) = 5a − b ，且a = P (A ) ≥ P (AB ) = b ，则P (B ∪C ) = 5a − b ≥ 4a ，即4a ≤ 1，故a ≤ 1/4且b ≤ a ≤ 1/4．21．设事件A , B , C 的概率都是1/2，且)()(C B A P ABC P I I =，证明：2 P (ABC ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 1/2．证：因)(1)()()(C B A P C B A P C B A P ABC P U U U U I I −==== 1 − P (A ) − P (B ) − P (C ) + P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − P (ABC )，故2 P (ABC ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) + 1 − P (A ) − P (B ) − P (C ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 1/2． 22．证明：（1）P (AB ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1；（2）P (A 1 A 2 …A n ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A n ) − (n − 1)． 证：（1）因P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) − P (AB )，故P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∪B ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1；（2）用数学归纳法证明，当n = 2时，由（1）小题知结论成立，设当n = k 时，结论成立，即P (A 1 A 2 …A k ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) − (k − 1)， 则P (A 1 A 2 …A k A k + 1) ≥ P (A 1 A 2 …A k ) + P (A k + 1) − 1≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) − (k − 1) + P (A k + 1) − 1 = P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) + P (A k + 1) − k ，即当n = k + 1时，结论成立，故由数学归纳法知P (A 1 A 2 …A n ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A n ) − (n − 1)． 23．证明：41|)()()(|≤−B P A P AB P ． 证：因)()()](1)[()]()()[()()()()(A P A P A P AB P B A P AB P A P AB P B P A P AB P −−=+−=−，且0 ≤ P (AB )[1 − P (A )] ≤ P (A )[1 − P (A )]，)](1)[(()()()(0A P A P A P A P B A P A P −=≤≤， 故)}()()],(1)[(max{|)()()](1)[(||)()()(|A P A P A P AB P B A P A P A P AB P B P A P AB P −≤−−=−4121)(41)]([)()](1)[(22≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−=−≤A P A P A P A P A P ．习题1.41． 某班级学生的考试成绩数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，这两门课都不及格的占3%．（1）已知一学生数学不及格，他语文也不及格的概率是多少？ （2）已知一学生语文不及格，他数学也不及格的概率是多少？ 解：设A =“数学不及格”，B =“语文不及格”，有P (A ) = 0.15，P (B ) = 0.05，P (AB ) = 0.03，（1）所求概率为2.015.003.0)()()|(===A P AB P A B P ； （2）所求概率为6.005.003.0)()()|(===B P AB P B A P ． 2． 设一批产品中一、二、三等品各占60%, 35%, 5%．从中任意取出一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率．解：设A , B , C 分别表示“取出一、二、三等品”，有P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.35，P (C ) = 0.05，故所求概率为191205.016.0)(1)()()()|(=−=−==C P A P C P C A P C A P ． 3． 掷两颗骰子，以A 记事件“两颗点数之和为10”，以B 记事件“第一颗点数小于第二颗点数”，试求条件概率P (A | B ) 和P (B | A )． 解：样本点总数n = 6 2 = 36，则事件A 中的样本点有 (4, 6), (5, 5), (6, 4)，即个数k A = 3，有363)(=A P ， 事件B 中所含样本点个数k B = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 15，有3615)(=B P ，事件AB 中的样本点有 (4, 6)，即个数k C = 1，有361)(=AB P ， 故1513615361)()()|(===B P AB P B A P ，31363361)()()|(===A P AB P A B P ．4． 以某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，而活到15岁的概率为0.5，问现年为10岁的这种动物能活到15岁的概率是多少？解：设A , B 分别表示“这种动物能活到10岁, 15岁”，有P (A ) = 0.8，P (B ) = 0.5，故所求概率为858.05.0)()()()()|(====A P B P A P AB P A B P ．5． 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知其中一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率．解：设A =“其中一件是不合格品”，B =“两件都是不合格品”，有AB = B ，样本点总数45210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ， 事件A 中所含样本点个数30624241614=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，得4530)(=A P ， 事件AB = B 中所含样本点个数624=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=B k ，得456)()(==B P AB P ，故所求概率为2.04530456)()()|(===A P AB P A B P ． 6． 设n 件产品中有m 件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是合格品，求另一件也是合格品的概率．解：设A =“两件中至少有一件是合格品”，B =“两件都是合格品”，有AB = B ，样本点总数2)1(2−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n n n N ， 事件A 中所含样本点个数2)1)((2)1)(()(211−+−=−−−+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=m n m n m n m n m n m m n m n m k A ， 得)1()1)(()(−−+−=n n m n m n A P ，事件AB = B 中所含样本点个数2)1)((2−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=m n m n m n k B ， 得)1()1)(()()(−−−−==n n m n m n B P AB P ，故所求概率为11)1()1)(()1()1)(()()()|(−+−−=−−+−−−−−==m n m n n n m n m n n n m n m n A P AB P A B P ． 7． 掷一颗骰子两次，以x , y 分别表示先后掷出的点数，记A = {x + y < 10}，B = {x > y }，求P (B | A )，P (A | B )． 解：样本点总数n = 6 2 = 36，则事件A 中所含样本点个数k A = 6 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3 = 30，有3630)(=A P ， 事件B 中所含样本点个数k B = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15，有3615)(=B P ，事件AB 中所含样本点个数k AB = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 3 = 13，有3613)(=AB P ，故301336303613)()()|(===A P AB P A B P ，151336153613)()()|(===B P AB P B A P ．8． 已知P (A ) = 1/3，P (B | A ) = 1/4，P (A | B ) = 1/6，求P (A ∪B )．解：因1214131)|()()(=×==A B P A P AB P ，2161121)|()()(===B A P AB P B P ， 故431212131)()()()(=−+=−+=AB P B P A P B A P U ． 9． 已知3.0)(=A P ，P (B ) = 0.4，5.0(=B A P ，求)|(B A B P U ． 解：因2.05.03.01)()(1)()()(=−−=−−=−=B A P A P B A P A P AB P ，且8.05.04.013.01()(1)(1)()()()(=−−+−=−−+−=−+=B A P B P A P B A P B P A P B A P U ， 故25.08.02.0)()()())(()|(====B A P AB P B A P B A B P B A B P U U U U ． 10．设A , B 为两事件，P (A ) = P (B ) = 1/3，P (A | B ) = 1/6，求|(B A P ． 解：因1816131)|()()(=×==B A P B P AB P ，有18111813131)()()()(=−+=−+=AB P B P A P B A P U ， 则18718111)(1)()(=−=−==B A P B A P B A P U U ，且32311)(1)(=−=−=B P B P ， 故12732187)()()|(===B P B A P B A P ． 11．口袋中有1个白球，1个黑球．从中任取1个，若取出白球，则试验停止；若取出黑球，则把取出的黑球放回的同时，再加入1个黑球，如此下去，直到取出的是白球为止，试求下列事件的概率．（1）取到第n 次，试验没有结束；（2）取到第n 次，试验恰好结束．解：设A k =“第k 次取出的是黑球”，k = 1, 2, ……（1）所求概率为P (A 1A 2…A n − 1A n ) = P (A 1A 2…A n − 1)P (A n | A 1A 2…A n − 1)1113221)|()|()(121121+=+×××==−n n n A A A A P A A P A P n n L L L ； （2）所求概率为)|()()(121121121−−−=n n n n n A A A A P A A A P A A A A P L L L)1(1113221)|()|()(121121+=+×××==−n n n A A A A P A A P A P n n L L L ． 12．一盒晶体管有8只合格品，2只不合格品．从中不返回地一只一只取出，试求第二次取出的是合格品的概率．解：设A 1, A 2分别表示“第一次取出的是合格品、不合格品”，B 表示“第二次取出的是合格品”， 故所求概率为8.090729810297108)|()()|()()(2211==×+×=+=A B P A P A B P A P B P ． 13．甲口袋有a 个白球、b 个黑球，乙口袋有n 个白球、m 个黑球．（1）从甲口袋任取1个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球．试求最后从乙口袋取出的是白球的概率；（2）从甲口袋任取2个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球．试求最后从乙口袋取出的是白球的概率．解：（1）设A 0 , A 1分别表示“从甲口袋取出的是白球、黑球”，B 表示“从乙口袋取出的是白球”，故所求概率为P (B ) = P (A 0)P (B | A 0) + P (A 1)P (B | A 1) )1)(()1(111+++++=++×+++++×+=n m b a bn n a m n n b a b m n n b a a ； （2）设A 0 , A 1 , A 2分别表示“从甲口袋取出的是2个白球、1个白球1个黑球、2个黑球”，B 表示“从乙口袋取出的是白球”，故所求概率为P (B ) = P (A 0)P (B | A 0) + P (A 1)P (B | A 1) + P (A 2)P (B | A 2)。
茆诗松《概率论与数理统计教程》(第2版)(课后习题 参数估计)【圣才出品】
第6章 参数估计一、点估计的概念与无偏性1．设x 1，x 2，x 3是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值μ的无偏估计，在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？（1）1123111=236x x x μ∧++（2）2123111=333x x x μ∧++（3）3123112=663x x x μ∧++解：先求三个统计量的数学期望，1123111111()=()()()236222E E x E x E x μμμμμ∧++=++=2123111111()=()()()333333E E x E x E x μμμμμ∧++=++=3123112112()=()()()663663E E x E x E x μμμμμ∧++=++=这说明它们都是总体均值μ的无偏估计，下面求它们的方差，不妨设总体的方差为σ2，则222211231111117()=()()()4936493618Var Var x Var x Var x μσσσσ∧++=++=222221231111111()=()()()9999993Var Var x Var x Var x μσσσσ∧++=++=222231231141141()=()()()36369363692Var Var x Var x Var x μσσσσ∧++=++=不难看出，从而的有效性最差．123()<()<()Var Var Var μμμ∧∧∧3μ∧由此可推测。
当用样本的凸组合估计总体均值时，样本均值是最有效的。
1ni ii a x =∑x 2．x 1，x 2，…，x n 是来自Exp(λ)的样本，已知为1/λ的无偏估计，试说明1/是x x 否为λ的无偏估计．解：因为x 1，x 2，…，x n 服从Exp(λ)，所以y ＝~Ga （n ，λ），相应的密度函数1ni i x =∑为1()exp()y 0()n n p y n y y n λλλ-=->Γ，，，于是20(1/)e y ()n n y E y yn λλ∞--=Γ⎰d所以，．即不是λ的无偏估计，但它是λ的渐近无偏估计，经修偏，是λ的无偏估计．3．设是参数θ的无偏估计，且有，试证不是θ2的无偏估计．证：由方差的定义可知，由于是参数θ的无偏估计，即．因而所以不是θ2的无偏估计．4．设总体，是来自该总体的一个样本．试确定常数c 使为σ2的无偏估计．解：由于总体，这给出，于是若要使为σ2的无偏估计，即，这给出5．设总体为，为样本，证明样本均值和样本中程都是θ的无偏估计，并比较它们的有效性．解：由总体，得，，因而，这首先说明样本均值是θ的无偏估计，且为求样本中程的均值与方差，注意到，令则由于，故，从而这就证明了样本中程是θ的无偏估计．又注意到（参见第五章5.3节习题33）所以从而于是在n＞2时，，这说明作为0的无偏估计，在n＞2时，样本中程比样本均值有效．6．设x 1，x2，x3服从均匀分布，试证及都是θ的无偏估计量，哪个更有效？证：由可知x（1），x（3）的密度函数分别为从而故，由知两者均为θ的无偏估计．又可算得，从而故，即更有效．事实上，这里x（3）是充分统计量，这个结果与充分性原则是一致的．7．设从均值为μ，方差为的总体中，分别抽取容量为n1和n2的两独立样本，和分别是这两个样本的均值．试证，对于任意常数a，b（a＋b＝1），都是μ的无偏估计，并确定常数a，b使Var（Y）达到最小．证：由于和是容量分别为n1和n2的两独立样本的均值，故，，，因而这证明了是μ的无偏估计．又由a＋b＝1知，，从而由求导知，当时，Var（Y）达到最小，此时这个结果表明，来自同一总体的两个容量为n1和n2的样本的合样本（样本量为n1＋n2）的均值是线性无偏估计类中方差最小的．8．设总体X的均值为μ，方差为σ2，是来自该总体的一个样本，为μ的任一凸线性无偏估计量．证明：与T的相关系数为．证：由于为μ的线性无偏估计量，故，其中，于是而，故有，从而9．设有k台仪器，已知用第i台仪器测量时，测定值总体的标准差为σi（i＝1，2，…，k）．用这些仪器独立地对某一物理量θ各观察一次，分别得到设仪器都没有系统误差．问应取何值，方能使成为θ的无偏估计，且方差达到最小？解：若要使为θ的无偏估计，即则必须有，此时，。
茆诗松《概率论与数理统计教程》(第2版)(课后习题 多维随机变量及其分布)【圣才出品】
；
（4）
．
解：（1）由
（2）
（3） （4）
的非零区域与
解得 k＝1/8． ．
． 的交集如图 3-1 的阴影部分，
图 3-1
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由图 3-1 得
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6．设随机变量（X，Y）的联合密度函数为
试求
（1）常数 k；
（2）
所以
的联合分布列为
表 3-9
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12．设二维随机变量
的联合密度函数为
求 解：
． 的非零区域与
的交集为图 3-4 阴影部分，所以
图 3-4
图 3-5
13．设二维随机变量 ．
的联合密度函数为
解：
的非零区域与
的交集为图 3-5 阴影部分，所以
（3）
的非零区域与
的交集为图 3-3（d）阴影部分，所以
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图 3-3
11．设随机变量 Y 服从参数为
的指数分布，定义随机变量 X 如下：
求 X1 和 X2 的联合分布列．
解：
的联合分布列共有如下 4 种情况：
，试求
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14．设二维随机变量
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台
的联合密度函数为
求 X 与 Y 中至少有一个小于 0.5 的概率．
解：两事件
与
中至少有一个发生的概率为
15．从（0，1）中随机地取两个数，求其积不小于 3/16，且其和不大于 1 的概率． 解：设取出的两个数分别为 X 和 Y，则（X，Y）的联合密度函数为
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第五章习题参考答案
n
n
= ∑ [( xi − x )( y i − y ) + ( x − c)( y i − y ) + ( xi − x )( y − d ) + ( x − c)( y − d )]
i =1 n n n
= ∑ ( x i − x )( y i − y ) + ( x − c)∑ ( y i − y ) + ( y − d )∑ ( x i − x ) + n( x − c)( y − d )
1
习题 5.2
1． 以下是某工厂通过抽样调查得到的 10 名工人一周内生产的产品数 149 156 160 138 149 153 153 169 156 156 试由这批数据构造经验分布函数并作图． 解：经验分布函数
⎧0, ⎪0.1, ⎪ ⎪0.3, ⎪ Fn ( x) = ⎨0.5, ⎪0.8, ⎪ ⎪0.9, ⎪ ⎩1,
（2）上班所需时间在半小时以内有 25 + 60 + 85 = 170 人． 5． 40 种刊物的月发行量（单位：百册）如下： 5954 5022 14667 6582 6870 1840 2662 4508 1208 3852 618 3008 1268 1978 7963 2048 3077 993 353 14263 1714 11127 6926 2047 714 5923 6006 14267 1697 13876 4001 2280 1223 12579 13588 7315 4538 13304 1615 8612 （1）建立该批数据的频数分布表，取组距为 1700（百册） ； （2）画出直方图． 解： （1）最大观测值为 353，最小观测值为 14667，则组距为 d = 1700， 区间端点可取为 0，1700，3400，5100，6800，8500，10200，11900，13600，15300， 频率分布表为 组序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 合计 （2）作图略．
概率论与数理统计（茆诗松）第二版第一章课后习题.参考答案（精品）
习题1.41． 某班级学生的考试成绩数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，这两门课都不及格的占3%．（1）已知一学生数学不及格，他语文也不及格的概率是多少？（2）已知一学生语文不及格，他数学也不及格的概率是多少？解：设A =“数学不及格”，B =“语文不及格”，有P (A ) = 0.15，P (B ) = 0.05，P (AB ) = 0.03，（1）所求概率为2.015.003.0)()()|(===A P AB P A B P ； （2）所求概率为6.005.003.0)()()|(===B P AB P B A P ． 2． 设一批产品中一、二、三等品各占60%, 35%, 5%．从中任意取出一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率．解：设A , B , C 分别表示“取出一、二、三等品”，有P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.35，P (C ) = 0.05， 故所求概率为191205.016.0)(1)()()()|(=−=−==C P A P C P C A P C A P ． 3． 掷两颗骰子，以A 记事件“两颗点数之和为10”，以B 记事件“第一颗点数小于第二颗点数”，试求条件概率P (A | B ) 和P (B | A )．解：样本点总数n = 6 2 = 36，则事件A 中的样本点有 (4, 6), (5, 5), (6, 4)，即个数k A = 3，有363)(=A P ， 事件B 中所含样本点个数k B = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 15，有3615)(=B P ， 事件AB 中的样本点有 (4, 6)，即个数k C = 1，有361)(=AB P ， 故1513615361)()()|(===B P AB P B A P ，31363361)()()|(===A P AB P A B P ． 4． 以某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，而活到15岁的概率为0.5，问现年为10岁的这种动物能活到15岁的概率是多少？解：设A , B 分别表示“这种动物能活到10岁, 15岁”，有P (A ) = 0.8，P (B ) = 0.5， 故所求概率为858.05.0)()()()()|(====A P B P A P AB P A B P ． 5． 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知其中一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率．解：设A =“其中一件是不合格品”，B =“两件都是不合格品”，有AB = B ，样本点总数45210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ， 事件A 中所含样本点个数30624241614=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，得4530)(=A P ， 事件AB = B 中所含样本点个数624=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=B k ，得456)()(==B P AB P ，故所求概率为2.04530456)()()|(===A P AB P A B P ． 6． 设n 件产品中有m 件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是合格品，求另一件也是合格品的概率．解：设A =“两件中至少有一件是合格品”，B =“两件都是合格品”，有AB = B ， 样本点总数2)1(2−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n n n N ， 事件A 中所含样本点个数2)1)((2)1)(()(211−+−=−−−+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=m n m n m n m n m n m m n m n m k A ， 得)1()1)(()(−−+−=n n m n m n A P ， 事件AB = B 中所含样本点个数2)1)((2−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=m n m n m n k B ， 得)1()1)(()()(−−−−==n n m n m n B P AB P ， 故所求概率为11)1()1)(()1()1)(()()()|(−+−−=−−+−−−−−==m n m n n n m n m n n n m n m n A P AB P A B P ． 7． 掷一颗骰子两次，以x , y 分别表示先后掷出的点数，记A = {x + y < 10}，B = {x > y }，求P (B | A )，P (A | B )．解：样本点总数n = 6 2 = 36，则事件A 中所含样本点个数k A = 6 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3 = 30，有3630)(=A P ， 事件B 中所含样本点个数k B = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15，有3615)(=B P ， 事件AB 中所含样本点个数k AB = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 3 = 13，有3613)(=AB P ， 故301336303613)()()|(===A P AB P A B P ，151336153613)()()|(===B P AB P B A P ． 8． 已知P (A ) = 1/3，P (B | A ) = 1/4，P (A | B ) = 1/6，求P (A ∪B )． 解：因1214131)|()()(=×==A B P A P AB P ，2161121)|()()(===B A P AB P B P ， 故431212131)()()()(=−+=−+=AB P B P A P B A P U ． 9． 已知3.0)(=A P ，P (B ) = 0.4，5.0(=B A P ，求)|(B A B P U ． 解：因2.05.03.01)()(1)()()(=−−=−−=−=B A P A P B A P A P AB P ，且8.05.04.013.01()(1)(1)()()()(=−−+−=−−+−=−+=B A P B P A P B A P B P A P B A P U ， 故25.08.02.0)()()())(()|(====B A P AB P B A P B A B P B A B P U U U U ． 10．设A , B 为两事件，P (A ) = P (B ) = 1/3，P (A | B ) = 1/6，求|(B A P ． 解：因1816131)|()()(=×==B A P B P AB P ，有18111813131)()()()(=−+=−+=AB P B P A P B A P U ， 则18718111)(1)()(=−=−==B A P B A P B A P U U ，且32311)(1)(=−=−=B P B P ， 故12732187)()()|(===B P B A P B A P ． 11．口袋中有1个白球，1个黑球．从中任取1个，若取出白球，则试验停止；若取出黑球，则把取出的黑球放回的同时，再加入1个黑球，如此下去，直到取出的是白球为止，试求下列事件的概率．（1）取到第n 次，试验没有结束；（2）取到第n 次，试验恰好结束．解：设A k =“第k 次取出的是黑球”，k = 1, 2, ……（1）所求概率为P (A 1A 2…A n − 1A n ) = P (A 1A 2…A n − 1)P (A n | A 1A 2…A n − 1)1113221)|()|()(121121+=+×××==−n n n A A A A P A A P A P n n L L L ； （2）所求概率为)|()()(121121121−−−=n n n n n A A A A P A A A P A A A A P L L L)1(1113221)|()|()(121121+=+×××==−n n n A A A A P A A P A P n n L L L ． 12．一盒晶体管有8只合格品，2只不合格品．从中不返回地一只一只取出，试求第二次取出的是合格品的概率．解：设A 1, A 2分别表示“第一次取出的是合格品、不合格品”，B 表示“第二次取出的是合格品”， 故所求概率为8.090729810297108)|()()|()()(2211==×+×=+=A B P A P A B P A P B P ． 13．甲口袋有a 个白球、b 个黑球，乙口袋有n 个白球、m 个黑球．（1）从甲口袋任取1个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球．试求最后从乙口袋取出的是白球的概率；（2）从甲口袋任取2个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球．试求最后从乙口袋取出的是白球的概率．解：（1）设A 0 , A 1分别表示“从甲口袋取出的是白球、黑球”，B 表示“从乙口袋取出的是白球”，故所求概率为P (B ) = P (A 0)P (B | A 0) + P (A 1)P (B | A 1) )1)(()1(111+++++=++×+++++×+=n m b a bn n a m n n b a b m n n b a a ； （2）设A 0 , A 1 , A 2分别表示“从甲口袋取出的是2个白球、1个白球1个黑球、2个黑球”，B 表示“从乙口袋取出的是白球”，故所求概率为P (B ) = P (A 0)P (B | A 0) + P (A 1)P (B | A 1) + P (A 2)P (B | A 2)2)1)(()1(21)1)((222)1)(()1(++×−++−++++×−++++++×−++−=m n n b a b a b b m n n b a b a ab m n n b a b a a a )2)(1)(()1()1(2)2)(1(++−++−++++−=m n b a b a n b b n ab n a a ． 14．有n 个口袋，每个口袋中均有a 个白球、b 个黑球．从第一个口袋中任取一球放入第二个口袋，再从第二个口袋中任取一球放入第三个口袋，如此下去，从第n − 1个口袋中任取一球放入第n 个口袋，最后再从第n 个口袋中任取一球，求此时取到的是白球的概率．解：设A k 表示“从第k 个口袋取出的是白球”，当k = 1时，有ba a A P +=)(1， 设对于k − 1，有b a a A P k +=−)(1， 则111)|()()|()()(1111++⋅+++++⋅+=+=−−−−b a a b a b b a a b a a A A P A P A A P A P A P k k k k k k k ba ab a b a b a a b a b a ab a a +=+++++=+++++=)1)(()1()1)(()1(， 故由数学归纳法可知，对任意自然数k ，b a a A P k +=)(，即ba a A P n +=)(． 15．钥匙掉了，掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上的概率分别是50%、30%和20%，而掉在上述三处地方被找到的概率分别是0.8、0.3和0.1．试求找到钥匙的概率．解：设A 1 , A 2 , A 3分别表示“钥匙掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上”，B 表示“找到钥匙”，故所求概率为P (B ) = P (A 1)P (B | A 1) + P (A 2)P (B | A 2) + P (A 3)P (B | A 3)= 0.5 × 0.8 + 0.3 × 0.3 + 0.2 × 0.1 = 0.51．16．两台车床加工同样的零件，第一台出现不合格品的概率是0.03，第二台出现不合格品的概率是0.06，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．（1）求任取一个零件是合格品的概率；（2）如果取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率．解：设A 1, A 2分别表示“取出的是第一台、第二台车床加工的零件”，B 表示“取出的是合格品”，（1）所求概率为96.094.03197.032)|()()|()()(2211=×+×=+=A B P A P A B P A P B P ； （2）所求概率为5.004.006.031)()|()()()()|(2222=×===B P A B P A P B P B A P B A P ． 17．有两箱零件，第一箱装50件，其中20件是一等品；第二箱装30件，其中18件是一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后任取两个零件，试求（1）第一次取出的零件是一等品的概率；（2）在第一次取出的是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率．解：设A 1 , A 2分别表示“挑出第一箱、第二箱”，B 1 , B 2分别表示“第一次、第二次取出的是一等品”，（1）所求概率为5.0301821502021)|()()|()()(2121111=×+×=+=A B P A P A B P A P B P ； （2）因14210360129173018214919502021)|()()|()()(2212121121=××+××=+=A B B P A P A B B P A P B B P ， 故所求概率为5068.0710536015.0142103601)()()|(12112====B P B B P B B P ．18．学生在做一道有4个选项的单项选择题时，如果他不知道问题的正确答案时，就作随机猜测．现从卷面上看题是答对了，试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率．（1）学生知道正确答案和胡乱猜测的概率都是1/2；（2）学生知道正确答案的概率是0.2．解：设A 1 , A 2分别表示“学生知道正确答案、胡乱猜测”，B 表示“题答对了”，（1）因P (A 1) = 0.5，P (A 2) = 0.5， 故所求概率为8.0625.05.025.05.015.015.0)|()()|()()|()()|(2211111==×+××=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P ， （2）因P (A 1) = 0.2，P (A 2) = 0.8， 故所求概率为5.04.02.025.08.012.012.0)|()()|()()|()()|(2211111==×+××=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P ． 19．已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者，今从男女比例为22:21的人群中随机地挑选一人，发现恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解：设A 1 , A 2分别表示“此人是男性、女性”，B 表示“此人是色盲患者”， 故所求概率为9544.00025.0432105.0432205.04322)|()()|()()|()()|(2211111=×+××=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P ． 20．口袋中有一个球，不知它的颜色是黑的还是白的．现再往口袋中放入一个白球，然后再从口袋中任意取出一个，发现取出的是白球，试问口袋中原来那个球是白球的可能性为多少？解：设A 1 , A 2分别表示“原来那个球是白球、黑球”，B 表示“取出的是白球”， 故所求概率为3275.05.05.05.015.015.0)|()()|()()|()()|(2211111==×+××=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P ． 21．将n 根绳子的2n 个头任意两两相接，求恰好结成n 个圈的概率．解：样本点总数为N = (2n − 1) (2n − 3)…3 ⋅ 1 = (2n − 1)!!，事件A =“恰好结成n 个圈”所含样本点个数K = 1， 故所求概率为!)!12(1)(−=n A P ． 22．m 个人相互传球，球从甲手中开始传出，每次传球时，传球者等可能地把球传给其余m − 1个人中的任何一个．求第n 次传球时仍由甲传出的概率．解：设A k 表示“第k 次传球时由甲传出”，k = 1, 2, ……，有P (A 1) = 1， 则)(111111)](1[0)|()()|()()(111111−−−−−−−−−=−⋅−+=+=k k k k k k k k k A P m m m A P A A P A P A A P A P A P ， 故⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−−−=−−−=−−)(11111111)(1111)(11n n n A P m m m m A P m m A P )(111111122−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−=n A P m m m )(11)1(11)1(11)1(111111112232A P m m m m m n n n n n n −−−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−=L⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−=−−−−2223211111111111111)1(1111n n n n m m m m m m m m L ． 23．甲、乙两人轮流掷一颗骰子，甲先掷．每当某人掷出1点时，则交给对方掷，否则此人继续掷，试求第n 次由甲掷的概率．解：设A k 表示“第k 次由甲掷骰子”，k = 1, 2, ……，有P (A 1) = 1， 则)(326161)](1[65)()|()()|()()(1111111−−−−−−−+=⋅−+⋅=+=k k k k k k k k k k A P A P A P A A P A P A A P A P A P ， 故)(32613261)(32613261)(3261)(2221−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+=n n n n A P A P A P A P 1111123221213232132161)(326132613261−−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⋅+=n n n n n A P L ． 24．甲口袋有1个黑球、2个白球，乙口袋有3个白球．每次从两口袋中各任取一球，交换后放入另一口袋．求交换n 次后，黑球仍在甲口袋中的概率．解：设A k 表示“交换k 次后黑球在甲口袋中”，k = 1, 2, ……，有P (A 0) = 1， 则)(313131)](1[32)()|()()|()()(1111111−−−−−−−+=⋅−+⋅=+=k k k k k k k k k k A P A P A P A A P A P A A P A P A P ， 故)(313131)(31313131)(3131)(22221−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+=n n n n A P A P A P A P n n n n n A P ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=3121213131131131)(3131313102L ． 25．假设只考虑天气的两种情况：有雨或无雨．若已知今天的天气情况，明天天气保持不变的概率为p ，变的概率为1 − p ．设第一天无雨，试求第n 天也无雨的概率．解：设A k 表示“第k 天也无雨”，k = 1, 2, ……，有P (A 1) = 1， 则)1()](1[)()|()()|()()(111111p A P p A P A A P A P A A P A P A P k k k k k k k k k −⋅−+⋅=+=−−−−−−= 1 − p + (2p − 1) P (A k − 1)，故P (A n − 1) = 1 − p + (2p − 1) P (A n − 1) = 1 − p + (2p − 1)[1 − p + (2p − 1) P (A n − 2)]= 1 − p + (2p − 1)(1 − p ) + (2p − 1)2 P (A n − 2)= 1 − p + (2p − 1)(1 − p ) + … + (2p − 1)n − 2 (1 − p ) + (2p − 1)n − 1P (A 1)111)12(2121)12()12(1])12(1)[1(−−−−+=−+−−−−−=n n n p p p p p ． 26．设罐中有b 个黑球、r 个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，再加入c （c > 0）个同色的球．试证：第k 次取到黑球的概率为b /(b + r )，k = 1, 2, …．证：设B k (b , r ) 表示“罐中有b 个黑球、r 个红球时，第k 次取到黑球”，k = 1, 2, …，用数学归纳法证明r b b r b B P k +=)),((， 当k = 1时，rb b r b B P +=)),((1，结论成立， 设对于k − 1，结论成立，即rb b r b B P k +=−)),((1， 对于k ，设A 1 , A 2分别表示“第一次取到黑球、红球”，有P (B k (b , r ) | A 1) = P (B k − 1 (b + c , r ))，P (B k (b , r ) | A 2) = P (B k − 1 (b , r + c ))，则P (B k (b , r )) = P (A 1) P (B k (b , r ) | A 1) + P (A 2) P (B k (b , r ) | A 2)= P (A 1) P (B k − 1 (b + c , r )) + P (A 2) P (B k − 1 (b , r + c ))rb bc r b r b br c b b c r b b r b r c r b c b r b b +=+++++=++⋅+++++⋅+=))(()(， 故对于k ，结论成立，rb b r b B P k +=)),((． 27．口袋中a 个白球，b 个黑球和n 个红球，现从中一个一个不返回地取球．试证白球比黑球出现得早的概率为a /(a + b )，与n 无关．证：设B n 表示“口袋中有n 个红球时白球比黑球出现得早”，n = 0, 1, 2, …， 用数学归纳法证明ba a B P n +=)(，与n 无关， 当n = 0时，显然有ba a B P +=)(0，结论成立， 设对于n − 1，结论成立，即ba a B P n +=−)(1， 对于B n ，设A 1 , A 2 , A 3分别表示“第一次取球时取到白球、黑球、红球”，有P (B n | A 3) = P (B n −1)， 则P (B n ) = P (A 1) P (B n | A 1) + P (A 2) P (B n | A 2) + P (A 3) P (B n | A 3) = P (A 1) ⋅ 1 + P (A 2) ⋅ 0 + P (A 3) P (B n −1) ba ab a n b a an b a a b a a n b a n n b a a +=+++++=+⋅+++++=))(()(， 故对于n ，结论成立，b a a B P n +=)(，与n 无关． 28．设P (A ) > 0，试证)()(1)|(A P B P A B P −≥． 证：)()(1)()(1)()()()()()|(A P B P A P B A P A P B A P A P A P AB P A B P −≥−=−==． 29．若事件A 与B 互不相容，且0)(≠B P ，证明：)(1)()|(B P A P B A P −=． 证：因事件A 与B 互不相容，有B A ⊂，故)(1)()()()()()|(B P A P B P A P B P B A P B A P −===． 30．设A , B 为任意两个事件，且A ⊂ B ，P (B ) > 0，则成立P (A ) ≤ P (A | B )． 证：)()()()()()|(A P B P A P B P AB P B A P ≥==．31．若)|()|(B A P B A P >，试证)|()|(A B P A B P >． 证：因)(1)()()()()|()()()|(B P AB P A P B P B A P B A P B P AB P B A P −−==>=，有P (AB )[1 − P (B )] > P (B )[P (A ) − P (AB )]， 则P (AB ) > P (A ) P (B )，得P (AB )[1 − P (A )] > P (A )[P (B ) − P (AB )]， 故)|()()()(1)()()()()|(A B P A P B A P A P AB P B P A P AB P A B P ==−−>=． 32．设P (A ) = p ，P (B ) = 1 − ε ，证明：εεε−≤≤−−1)|(1p B A P p ． 证：因P (AB ) ≤ P (A ) = p ，且P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∪B ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1 = p + 1 − ε − 1 = p − ε ， 故p − ε ≤ P (AB ) ≤ p ，即εεεε−≤−==≤−−11)()()()|(1p AB P B P AB P B A P p ． 33．若P (A | B ) = 1，证明：1|(=A B P ． 证：因1)()()|(==B P AB P B A P ，有P (AB ) = P (B )， 则P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) − P (AB ) = P (A )，即()()(1)(1)(B A P B A P B A P A P A P ==−=−=U U ， 故1)()()|(==A P B A P A B P ．。
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第三章习题参考答案
+∞ +∞ −∞ −∞
y
∫
p( x, y )dxdy = 1 ，得
0
+∞ 0 + ∞ k −3 x k ⎡ 1 ⎤ e dx = − e −3 x dx ⋅ k ⎢− e −(3 x + 4 y ) ⎥ = ∫ 0 4 12 ⎣ 4 ⎦0 +∞ +∞
8 7 6 28 8 7 5 70 ⋅ ⋅ = ， P{( X 1 , X 2 , X 3 ) = (0, 0, 1)} = ⋅ ⋅ = ， 13 12 11 143 13 12 11 429 8 5 7 70 5 8 7 70 P{( X 1 , X 2 , X 3 ) = (0, 1, 0)} = ⋅ ⋅ = ， P{( X 1 , X 2 , X 3 ) = (1, 0, 0)} = ⋅ ⋅ = ， 13 12 11 429 13 12 11 429 8 5 4 40 5 8 4 40 P{( X 1 , X 2 , X 3 ) = (0, 1, 1)} = ⋅ ⋅ = ， P{( X 1 , X 2 , X 3 ) = (1, 0, 1)} = ⋅ ⋅ = ， 13 12 11 429 13 12 11 429 5 4 8 40 5 4 3 5 P{( X 1 , X 2 , X 3 ) = (1, 1, 0)} = ⋅ ⋅ = ， P{( X 1 , X 2 , X 3 ) = (1, 1, 1)} = ⋅ ⋅ = ； 13 12 11 429 13 12 11 143 8 7 14 8 5 10 （2） P{( X 1 , X 2 ) = (0, 0)} = ⋅ = ， P{( X 1 , X 2 ) = (0, 1)} = ⋅ = ， 13 12 39 13 12 39 5 8 10 5 4 5 P{( X 1 , X 2 ) = (1, 0)} = ⋅ = ， P{( X 1 , X 2 ) = (1, 1)} = ⋅ = ． 13 12 39 13 12 39 X2 0 1 X1 0 14 / 39 10 / 39 1 10 / 39 5 / 39
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第二章习题参考解答
= 1 × 0 + 1 × 0 + 1 × ⎜⎜⎝⎛33⎟⎟⎠⎞ = 0 + 0 + 1 = 1 ，
4 3
⎟⎟⎠⎞
+
1
×
⎜⎜⎝⎛ 33 ⎟⎟⎠⎞
+
1
×
0
=
4
+
1
+0= 1 ，
3 ⎜⎜⎝⎛53⎟⎟⎠⎞ 3 ⎜⎜⎝⎛53⎟⎟⎠⎞ 3
30 30
6
P{X = 1} = P (A1) P{X = 1 | A1} + P (A2) P{X = 1 | A2} + P (A3) P{X = 1 | A3}
=
1
×
2 36
，
故 Y 的分布列为
Y0 1 2 3 4 5 P 6 10 8 6 4 2 ．
36 36 36 36 36 36
3． 口袋中有 7 个白球、3 个黑球． （1）每次从中任取一个不放回，求首次取出白球的取球次数 X 的概率分布列； （2）如果取出的是黑球则不放回，而另外放入一个白球，此时 X 的概率分布列如何．
解：（1）X 的全部可能取值为 1, 2, 3, 4，
且 P{X = 1} = 7 ， P{X = 2} = 3 × 7 = 7 ，
10
10 9 30
P{X = 3} = 3 × 2 × 7 = 7 ， P{X = 4} = 3 × 2 × 1 × 7 = 1 ，
10 9 8 120
10 9 8 7 120
（2）Y 的全部可能取值为 0, 1, 2, 3, 4, 5，
且 P{Y
= 0} =
6 62
=
6 36
， P{Y
概率论与数理统计(茆诗松)第二版第一章课后习题1.5参考答案
习题1.51． 三人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为1/5, 1/3, 1/4，求此密码被译出的概率． 解：设A , B , C 分别表示“第一、第二、第三人能单独译出”，有A , B , C 相互独立，即C B A ,,相互独立， 故所求概率为535214332541)()()(1)(1)(=−=××−=−=−=C P B P A P C B A P C B A P U U ． 2． 有甲乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各任取一粒，求：（1）两粒种子都能发芽的概率；（2）至少有一粒种子能发芽的概率；（3）恰好有一粒种子能发芽的概率．解：设A , B 分别表示“甲批、乙批的种子能发芽”，有A , B 相互独立，（1）所求概率为P (AB ) = P (A ) P (B ) = 0.8 × 0.9 = 0.72；（2）所求概率为P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) − P (AB ) = 0.8 + 0.9 − 0.72 = 0.98；（3）所求概率为P (A ∪B − AB ) = P (A ∪B ) − P (AB ) = 0.98 − 0.72 = 0.26．3． 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.8和0.7，现已知目标被击中，求它是甲射中的概率．解：设A , B 分别表示“甲、乙射击命中目标”，有A , B 相互独立， 故所求概率为)()()()()()()()()()()()|(B P A P B P A P A P AB P B P A P A P B A P A P B A A P −+=−+==U U 8511.0474094.08.07.08.07.08.08.0===×−+=． 4． 设电路由A , B , C 三个元件组成，若元件A , B , C 发生故障的概率分别是0.3, 0.2, 0.2，且各元件独立工作，试在以下情况下，求此电路发生故障的概率：（1）A , B , C 三个元件串联；（2）A , B , C 三个元件并联；（3）元件A 与两个并联的元件B 及C 串联而成．解：设A , B , C 分别表示“元件A , B , C 发生故障”，有A , B , C 相互独立， （1）所求概率为552.08.08.07.01()((1)(1)(=××−=−=−=P P P P C B A P U U ；（2）所求概率为P (ABC ) = P (A ) P (B ) P (C ) = 0.3 × 0.2 × 0.2 = 0.012；（3）所求概率为P (A ∪BC ) = P (A ) + P (BC ) − P (ABC ) = P (A ) + P (B ) P (C ) − P (A ) P (B ) P (C )= 0.3 + 0.2 × 0.2 − 0.3 × 0.2 × 0.2 = 0.328．5． 在一小时内甲、乙、丙三台机床需维修的概率分别是0.9、0.8和0.85，求一小时内（1）没有一台机床需要维修的概率；（2）至少有一台机床不需要维修的概率；（3）至多只有一台机床需要维修的概率．解：设A , B , C 分别表示“甲、乙、丙三台机床不需要维修”，有A , B , C 相互独立，（1）所求概率为P (ABC ) = P (A ) P (B ) P (C ) = 0.1 × 0.2 × 0.15 = 0.003；（2）所求概率为388.085.08.09.01()()(1)(1)(=××−=−=−=C P B P A P C B A P C B A P U U ；（3）所求概率为)()()()()(BC A P C B A P C AB P ABC P BC A C B A C AB ABC P +++=U U U)()()()()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P C P B P A P +++== 0.1 × 0.2 × 0.15 + 0.1 × 0.2 × 0.85 + 0.1 × 0.8 × 0.15 + 0.9 × 0.2 × 0.15 = 0.059．6． 设A 1 , A 2 , A 3相互独立，且P (A i ) = 2/3，i = 1, 2, 3．试求A 1 , A 2 , A 3中（1）至少出现一个的概率；（2）恰好出现一个的概率；（3）最多出现一个的概率．解：（1）所求概率为27263131311)()()(1)(1)(321321321=××−=−=−=A P A P A P A A A P A A A P U U ； （2）所求概率为)(321321321A A A A A A A A A P U U)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=92323131313231313132=××+××+××=； （3）所求概率为)(321321321321A A A A A A A A A A A A P U U U)()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P +++=277313131323131313231313132=××+××+××+××=． 7． 若事件A 与B 相互独立且互不相容，试求min{P (A ), P (B )}．解：因事件A 与B 相互独立且互不相容，有P (AB ) = P (A ) P (B ) 且AB = ∅，即P (AB ) = 0，则P (A ) P (B ) = 0，即P (A ) = 0或P (B ) = 0，故min{P (A ), P (B )} = 0．8． 假设P (A ) = 0.4，P (A ∪B ) = 0.9，在以下情况下求P (B )：（1）A , B 不相容；（2）A , B 独立；（3）A ⊂ B ．解：（1）因A , B 不相容，有P (A ∪B ) = P (A ) + P (B )，故P (B ) = P (A ∪B ) − P (A ) = 0.9 − 0.4 = 0.5；（2）因A , B 独立，有P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) − P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ) P (B )， 故8333.06.05.04.014.09.0)(1)()()(==−−=−−=A P A P B A P B P U ； （3）因A ⊂ B ，有P (B ) = P (A ∪B ) = 0.9．9． 设A , B , C 两两独立，且ABC = ∅．（1）如果P (A ) = P (B ) = P (C ) = x ，试求x 的最大值；（2）如果P (A ) = P (B ) = P (C ) < 1/2，且P (A ∪B ∪C ) = 9/16，求P (A )．解：（1）因ABC = ∅，有P (AB ∪AC ) = P (AB ) + P (AC ) − P (ABC ) = P (A ) P (B ) + P (A ) P (C ) = 2 x 2，则2 x 2 = P (AB ∪AC ) ≤ P (A ) = x ，得x ≤ 0.5， 另一方面，x 可以取到0.5，若取P (A ) = P (B ) = 0.5，P (AB ) = 0.25，B A B A C U =， 则5.0)()()()()()()()(=−+−=+==AB P B P AB P A P B P A P A P C P U ，且P (AB ) = 0.25 = P (A ) P (B )，A , B 独立，)()(25.0)()()()(C P A P AB P A P B A P AC P ==−==，有A , C 独立，)()(25.0)()()()(C P B P AB P B P A P BC P ==−==，有B , C 独立，即P (A ) = P (B ) = P (C ) = 0.5，A , B , C 两两独立，且ABC = ∅，得x 可以取到0.5，故x 的最大值等于0.5；注：掷两次硬币，设A 表示“第一次出现正面”，B 表示“第二次出现正面”，C 表示“恰好出现一次正面”，有P (A ) = P (B ) = P (C ) = 0.5，ABC = ∅，且AB 表示“两次都出现正面”，P (AB ) = 0.25 = P (A )P (B )，有A , B 独立；AC 表示“第一次出现正面，第二次反面”，P (AC ) = 0.25 = P (A )P (C )，有A , C 独立；BC 表示“第一次出现反面，第二次正面”，P (BC ) = 0.25 = P (B )P (C )，有B , C 独立．（2）设P (A ) = P (B ) = P (C ) = x ，有21<x ， 因P (A ∪B ∪C ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) − P (AB ) − P (AC ) − P (BC ) + P (ABC )= P (A ) + P (B ) + P (C ) − P (A ) P (B ) − P (A ) P (C ) − P (B ) P (C ) = 3x − 3x 2， 则233169x x −=，即0)43)(41(1632=−−=+−x x x x ，得41=x 或43=x ，但21<x ， 故41=x ． 10．事件A , B 独立，两个事件仅A 发生的概率或仅B 发生的概率都是1/4，求P (A ) 及P (B )．解：因A , B 独立，且41)()(==B A P B A P ，有)()](1[)()()](1)[()()(B P A P B P A P B P A P B P A P −==−=， 则P (A ) = P (B )，得41)](1)[(=−A P A P ，即0]21)([41)()]([22=−=+−A P A P A P ， 故21)(=A P ，21)(=B P ． 11．一实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率为p i = 1/(i + 1)，i = 1, 2, 3，以X 表示3个零件中合格品的个数，求P {X ≤ 2}．解：设A i 表示“第i 个零件是不合格品”，i = 1, 2, 3，有A 1 , A 2 , A 3相互独立， 故)1)(1)(1(1)()()(1)(1}3{1}2{321321321p p p A P A P A P A A A P X P X P −−−−=−=−==−=≤434332211=××−=． 12．每门高射炮击中飞机的概率为0.3，独立同时射击时，要以99%的把握击中飞机，需要几门高射炮？ 解：设X n 表示n 门高射炮击中飞机的次数，且每门高射炮击中飞机的概率为p = 0.3，则至少命中一次的概率为P {X n ≥ 1} = 1 − P {X n = 0} = 1 − (1 − p ) n = 1 − 0.7 n ≥ 0.99，即0.7 n ≤ 0.01， 故9114.127.0ln 01.0ln =≥n ，即需要13门高射炮就能以99%的把握击中飞机． 13．投掷一枚骰子，问需要投掷多少次，才能保证至少有一次出现点数为6的概率大于1/2？解：设X n 表示投掷n 次骰子出现点数为6的次数，且每次投掷骰子出现点数为6的概率p = 1/6，则至少有一次出现点数为6的概率为P {X n ≥ 1} = 1 − P {X n = 0} = 1 − (5/6) n ≥ 1/2，即(5/6) n ≤ 1/2， 故8018.3)6/5ln()2/1ln(=≥n ，即需要投掷4次，才能保证至少有一次出现点数为6的概率大于1/2． 14．一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80/81，试求该射手进行一次射击的命中率．解：设X 表示该射手四次射击的命中次数，且射手进行一次射击的命中率为p ， 则至少命中一次的概率为8180)1(1}0{1}1{4=−−==−=≥p X P X P ，即811)1(4=−p ， 故射手进行一次射击的命中率为32=p ． 15．每次射击命中率为0.2，试求：射击多少次才能使至少击中一次的概率不小于0.9？解：设X n 表示n 次射击的命中次数，且每次射击命中率为p = 0.2，则至少命中一次的概率为P {X n ≥ 1} = 1 − P {X n = 0} = 1 − (1 − p ) n = 1 − 0.8 n ≥ 0.9，即0.8 n ≤ 0.1， 故3189.108.0ln 1.0ln =≥n ，即射击至少11次才能使至少击中一次的概率不小于0.9． 16．设猎人在猎物100米处对猎物打第一枪，命中猎物的概率为0.5．若第一枪未命中，则猎人继续打第二枪，此时猎物与猎人已相距150米．若第二枪仍未命中，则猎人继续打第三枪，此时猎物与猎人已相距200米．若第三枪仍未命中，则猎物逃逸．假如该猎人命中猎物的概率与距离成反比，试求该猎物被击中的概率．解：设A i 表示“第i 枪命中猎物”，i = 1, 2, 3，有A 1 , A 2 , A 3相互独立，则P (A 1) = 0.5，31)(150100)(12==A P A P ，41)(200100)(13==A P A P ， 故所求概率为)()()()(321211321211A A A P A A P A P A A A A A A P ++=U U43129413221312121)()()()()()(321211==××+×+=++=A P A P A P A P A P A P ． 17．某血库急需AB 型血，要从身体合格的献血者中获得，根据经验，每百名身体合格的献血者中只有2名是AB 型血的；（1）求在20名身体合格的献血者中至少有一人是AB 型血的概率；（2）若要以95%的把握至少能获得一份AB 型血，需要多少位身体合格的献血者．解：设X n 表示n 名身体合格的献血者中AB 型血的人数，且每名献血者是AB 型血的概率为p = 0.02，（1）P {X 20 ≥ 1} = 1 − P {X 20 = 0} = 1 − (1 − p )20 = 1 − 0.9820 = 0.3324；（2）因P {X n ≥ 1} = 1 − P {X n = 0} = 1 − (1 − p ) n = 1 − 0.98 n ≥ 0.95，即0.98 n ≤ 0.05， 故2837.14898.0ln 05.0ln =≥n ，即需要149位献血者才能以95%的把握至少能获得一份AB 型血． 18．一个人的血型为A , B , AB , O 型的概率分别为0.37, 0.21, 0.08, 0.34．现任意挑选四个人，试求：（1）此四人的血型全不相同的概率；（2）此四人的血型全部相同的概率．解：（1）所求概率为P (A 1) = 4! × 0.37 × 0.21 × 0.08 × 0.34 = 0.0507；（2）所求概率为P (A 2) = 0.374 + 0.214 + 0.084 + 0.344 = 0.0341．19．甲、乙两选手进行乒乓球单打比赛，已知在每局中甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4．比赛可采用三局两胜制或五局三胜制，问哪一种比赛制度对甲更有利？解：三局两胜制，甲2∶0胜乙的概率为0.6 2 = 0.36，甲2∶1胜乙的概率为2 × 0.6 2 × 0.4 = 0.288，则三局两胜制时，甲获胜的概率为P (A 1) = 0.36 + 0.288 = 0.648；五局三胜制，甲3∶0胜乙的概率为0.6 3 = 0.216，甲3∶1胜乙的概率为3 × 0.63 × 0.4 = 0.2592， 且甲3∶2胜乙的概率为20736.04.06.02423=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛，则五局三胜制时，甲获胜的概率为P (A 2) = 0.216 + 0.2592 + 0.20736 = 0.68256；故P (A 1) < P (A 2)，五局三胜制时对甲更有利．20．甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两场为止，此人即为冠军．而每次比赛双方取胜的概率都是1/2，现假定甲、乙两人先比，试求各人得冠军的概率．解：设每局比赛中，甲胜乙、乙胜甲、甲胜丙、丙胜甲、乙胜丙、丙胜乙分别记为A b , B a , A c , C a , B c , C b ，则甲得冠军的情况有两类：① A b A c ，A b C a B c A b A c ，A b C a B c A b C a B c A b A c ，……，(A b C a B c )k A b A c ，……，② B a C b A c A b ，B a C b A c B a C b A c A b ，B a C b A c B a C b A c B a C b A c A b ，……，(B a C b A c )k A b ，……，故甲得冠军的概率为P (A ) = (0.5 2 + 0.5 5 + 0.5 8 + ……) + (0.5 4 + 0.5 7 + 0.5 10 + ……)145141725.015.05.015.03432=+=−+−=； 由对称性知乙得冠军的概率145)()(==A P B P ； 而丙得冠军的情况也有两类：① A b C a C b ，A b C a B c A b C a C b ，A b C a B c A b C a B c A b C a C b ，……，(A b C a B c )k A b C a C b ，……，② B a C b C a ，B a C b A c B a C b C a ，B a C b A c B a C b A c B a C b C a ，……，(B a C b A c )k B a C b C a ，……，故丙得冠军的概率为P (C ) = (0.5 3 + 0.5 6 + 0.5 9 + ……) + (0.5 3 + 0.5 6 + 0.5 9 + ……)725.015.0233=−×=． 21．甲、乙两个赌徒在每一局获胜的概率都是1/2．两人约定谁先赢得一定的局数就获得全部赌本．但赌博在中途被打断了，请问在以下各种情况下，应如何合理分配赌本：（1）甲、乙两个赌徒都各需赢k 局才能获胜；（2）甲赌徒还需赢2局才能获胜，乙赌徒还需赢3局才能获胜；（3）甲赌徒还需赢n 局才能获胜，乙赌徒还需赢m 局才能获胜．解：记每一局中甲赢的概率为p = 0.5，假设赌博继续下去，按甲、乙最终获胜的概率分配赌本，（1）由对称性知，甲、乙获胜的概率相等，则P (A 1) = P (B 1) = 0.5，故甲、乙应各得赌本的一半；（2）因甲获胜的概率为P (A 2) = p 2 + 2 (1 − p ) p 2 + 3 (1 − p ) 2 p 2 = 0.5 2 + 2 × 0.5 3 + 3 × 0.5 4 = 0.6875，则乙获胜的概率P (B 2) = 1 − P (A 2) = 0.3125，故甲应得赌本的68.75%，乙应得赌本的31.25%；（3）因甲获胜的概率为n m n n np p m m n p p n p p n p A P 123)1(12)1(21)1(1)(−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+++−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=L 1215.0125.0215.015.0−+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=m n n n n m m n n n L ， 则乙获胜的概率为P (B 3) = 1 − P (A 3)⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=−+++1215.0125.0215.015.01m n n n n m m n n n L ， 故甲应得赌本的1215.0125.0215.015.0−+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+m n n n n m m n n n L ， 乙应得赌本的⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−−+++1215.0125.0215.015.01m n n n n m m n n n L ． 注：也可假设无论结果如何，都要进行n + m 局比赛，甲获胜的条件是前n + m − 1局比赛中，甲至少赢得n 局比赛，故甲获胜的概率为1211311)1(11)1(1)(−+−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−+++−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−++−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=m n m n m n p m n m n p p n m n p p n m n A P L 15.011111−+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=m n m n m n n m n n m n L ． 22．一辆重型货车去边远山区送货．修理工告诉司机，由于车上六个轮胎都是旧的，前面两个轮胎损坏的概率都是0.1，后面四个轮胎损坏的概率都是0.2．你能告诉司机，此车在途中因轮胎损坏而发生故障的概率是多少吗？解：设X 与Y 分别表示在途中损坏的前胎个数与后胎个数，A 与B 分别表示至少有一个前胎与后胎损坏，且每个前胎损坏的概率为p 1 = 0.1，每个后胎损坏的概率为p 2 = 0.2，A 与B 相互独立，则P (A ) = P {X ≥ 1} = 1 − P {X = 0} = 1 − (1 − p 1)2 = 1 − 0.92 = 0.19，P (B ) = P {Y ≥ 1} = 1 − P {Y = 0} = 1 − (1 − p 2)4 = 1 − 0.84 = 0.5904，故P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) − P (AB ) = 0.19 + 0.5904 − 0.19 × 0.5904 = 0.6682．23．设0 < P (B ) < 1，试证事件A 与B 独立的充要条件是)|()|(B A P B A P =．证：必要性，若事件A 与B 独立， 则)()()()()()()|(A P B P B P A P B P AB P B A P ===，)(()()(()()|(A P P B P A P P B A P B A P === 故)|()|(B A P B A P =； 充分性，若)|()|(B A P B A P =，有)(1)()()()()()(B P AB P A P P B A P B P AB P −−==， 则P (AB )[1 − P (B )] = P (B )[P (A ) − P (AB )]，即P (AB ) − P (AB )P (B ) = P (A )P (B ) − P (B )P (AB )，故P (AB ) = P (A ) P (B )，即事件A 与B 独立．24．设0 < P (A ) < 1，0 < P (B ) < 1，1)|()|(=+B A P B A P ，试证A 与B 独立． 证：因)(1)(1)()(()()()()|()|(B P B A P B P AB P P B A P B P AB P B A P B A P −−+=+=+U ， )(1)()()(1)()(B P AB P B P A P B P AB P −+−−+= )](1)[()]()()(1)[()](1)[(B P B P AB P B P A P B P B P AB P −+−−+−= )](1)[()()()]([)()()()()()(2B P B P B P AB P B P B P A P B P B P AB P AB P −+−−+−= 1)](1)[()()()()](1)[()]([)()()()(2+−−=−−+−=B P B P B P A P AB P B P B P B P B P B P A P AB P ， 且1|()|(=+B A P B A P ， 则0)](1)[()()()(=−−B P B P B P A P AB P ， 故P (AB ) = P (A ) P (B )，即事件A 与B 独立．25．若P (A ) > 0，P (B ) > 0，如果A , B 相互独立，试证A , B 相容．证：因A , B 相互独立，有P (AB ) = P (A ) P (B ) > 0，故AB ≠ ∅，即A , B 相容．。
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2019暨南大学《概率论与数理统计教程》（茆诗松第
二版）考研强化冲刺题库
《《概率论与数理统计教程》（茆诗松第二版）强化冲刺题库》由鸿知暨大考研网依托多年丰富的教学与辅导经验，与该专业课优秀研究生合作汇编而成。
全书内容紧凑权威细致，编排结构科学合理，为参加2019暨南大学考研的考生量身定做的必备专业课资料。
《概率论与数理统计教程》（茆诗松第二版）强化冲刺题库全书编排根据：《概率论与数理统计教程》（茆诗松第二版）
2018暨南大学432统计学考试大纲规定的参考书目为：
1.《统计学原理》（第七版）韩兆洲主编，暨南大学出版社2010年12月。
（注：如果没有找到第七版，2006年9月第六版也可以。
）
2. 《统计学原理学习指导及Excel数据统计分析》（第二版），韩兆洲、王斌会主编，暨南大学出版社，2011年4月
3. 概率论与数理统计教程(第2版) ,出版社: 高等教育出版社; 第2版(2011年2月1日)：普通高等教育“十一五”规划教材
4. 《概率论与数理统计》（平装），周纪芗(作者), 茆诗松(作者)；中国统计出版社; 第1版(2007年12月1日)
本资料旨在帮助报考暨南大学硕士研究生的同学通过配套的相关985、211名校真题、经典教材各章节的习题详细解答，冲刺模拟练习与解答，帮助考生深入理解核心的考点内容、考试要求、考题命题特征。
通过研读演练本书，达到扎
实掌握学科基本知识点、把握教材重难点、提高答题技巧和考研临场应对能力的目的。
适用院系：
经济学院：应用统计（专业学位）
信息科学技术学院：应用统计（专业学位）
适用科目：
432统计学
内容详情
本书包括以下几个部分内容：
Part 1 - 教材课后习题与解答：
针对《概率论与数理统计教程》（茆诗松第二版）强化冲刺题库材课后习题配备详细解读，以供考生加深对教材基本知识点的理解掌握，做到对暨大考研核心考点及参考书目内在重难点内容的深度领会与运用。
Part 2 - 名校考研真题详解汇编：
根据《概率论与数理统计教程》（茆诗松第二版）强化冲刺题库教材内容和考试重难点，精选本专业课考试科目相关的名校考研真题，通过研读参考配套详
细答案检测自身水平，加深知识点的理解深度，并更好地掌握考试基本规律，全面了解考试题型及难度。
Part 3 - 教材章节配套题库：
根据《概率论与数理统计教程》（茆诗松第二版）强化冲刺题库教材的各章节分布情况，搭配对应的题型演练，并提供相近的解题思路与答案分析，帮助考生适应对应章节知识点的相关多样化题型，极大提升考生的答题应变能力，拓宽考试视野与应答能力。
Part 4 - 专业课考研模拟卷与解答：
根据《概率论与数理统计教程》的学科特点及本专业课的考研考察方式，设置了多套相关的模拟卷，有助于考生提前演练，适应现场的答题氛围与解题心理压力，帮助考生提高临场答题的能力，合理安排解题时间，提升专业课答题的得分率。
此冲刺题库由鸿知暨大考研网发布。