新人教版最新高中数学必修四期末测试题及参考答案
2021-2022高中数学必修四期末试题(及答案)
一、选择题1．已知θ为锐角，且满足如tan 311tan θθ=，则tan 2θ的值为（ ） A ．34B ．43 C ．23D ．322．若πtan 34α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ） A ．2B ．1C ．45D ．35-3．函数2()3sin 3sin cos f x x x x =+的最大值为（ ）A ．332B ．23C ．33 D ．33+4．已知直线3x −y +1=0的倾斜角为α，则1sin22α= A ．310 B ．35 C ．−310D ．1105．已知平面向量a 与b 的夹角为23π，若(3,1)a =-，2213a b -=，则b （ ） A ．3B ．4C ．3D ．26．设θ为两个非零向量,a b 的夹角，且6πθ=，已知对任意实数t ，b ta +的最小值为1，则b =（ ） A ．14B ．12C ．2D ．47．在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，则AE AF ⋅=（ ）A ．52B ．52-C ．4D ．4-8．已知等边ABC 的边长为2，若3BC BE =，AD DC =，则BD AE ⋅等于（ ）A ．103B ．103-C ．2D ．2-9．如图，一个质点在半径为1的圆O 上以点P 为起始点，沿逆时针方向旋转，每2s 转一圈，由该质点到x 轴的距离y 关于时间t 的函数解析式是（ ）A ．2sin()3y t ππ=+ B ．2sin()3y t ππ=- C ．2sin()3y t ππ=-D ．2sin()3y t ππ=+10．已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，()0,1A -，()3,1B 是其图象上的两点，那么|(2sin 1)|1f x +≤ 的解集为（ ）A ．,33x k x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣ B ．722,66x k x k k ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣ C ．,63xk x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣ D ．722,66xk x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣ 11．对于函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，有以下四种说法：①函数的最小值是32-②图象的对称轴是直线()312k x k Z ππ=-∈ ③图象的对称中心为,0()312k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭ ④函数在区间7,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增． 其中正确的说法的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．已知函数2()[sin()]3)cos()f x x x x ωωω=+(0)>ω在[0,]π上有且只有四个零点，则实数ω的取值范围是（ ）A ．5[,2]3B ．5(,2)3C ．5[,2)3D ．5(,2]3二、填空题13．已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3tan 24α=．则2sin 2cos αα+=______．14．tan 25tan 353tan 25tan 35++︒︒︒︒的值为________.15．设,(0,)αβπ∈，cos α，cos β是方程26320x x -=-的两根，则sin sin αβ=_________.16．圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若2AB AC AO +=，且OA AC =，则向量BA 在向量BC 方向上的投影为_____.17．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G ，作用在行李包上的两个拉力分别为1F ，2F ，且12F F =，1F 与2F 的夹角为θ.给出以下结论：①θ越大越费力，θ越小越省力； ②θ的范围为[]0,π； ③当2πθ=时，1F G =；④当23πθ=时，1F G =. 其中正确结论的序号是______.18．已知向量a =（1，0），b =（12-3c 满足22c =，且（c a b --）•c =0，则a 与c 的夹角为_____． 19．若函数()cos()(0)3f x x πωω=->的图象在(0,)π内有且只有两条对称轴，则ω的取值范围是___________. 20．若函数()cos()(0)4f x wx w π=+>在[]0,π的值域为21⎡-⎢⎣⎦，，则w 的取值范围是______三、解答题21．已知函数()23sin sin 2sin cos 344f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）当[0,]x π∈时，求()f x 的单增区间； （2）将函数()f x 的图像向右平移3π个单位后得到函数()g x ，若关于x 的方程|()3|g x m -=在5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解，那么当m 取某一确定值时，方程所有解的和记为m S ，求m S 所有可能值及相应的m 取值范围.22．已知函数()22sin cos 213f x x x π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最大值和最小值； （Ⅲ）将函数()f x 的图象向左平移()0m m >个单位长度，所得函数图象与函数cos 2y x =的图象重合，求实数m 的最小值.23．已知平面向量34,55a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2||2b =，a与b 夹角为4π.（1）求向量a 在b 方向上的投影； （2）求a b -与a b +夹角的余弦值.24．（1）已知非零向量1e 、2e 不共线，欲使12ke e +和12e ke +共线，试确定实数k 的值. （2）已知向量1a =，2b =，()()23a b a b +⊥-，求a 与b 夹角的大小.25．如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每π分钟转1圈，筒车的轴心O 距水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒W 到水面的距离为d (单位：米)(在水面下则d 为负数).若以盛水筒W 刚浮出水面时开始计算时间，则d 与时间t (单位：分钟)之间的关系为sin()0,0,22d A t K A ππωϕωϕ⎛⎫=++>>-<< ⎪⎝⎭.（1）求,,,A K ωϕ的值；（2）求盛水筒W 出水后至少经过多少时间就可到达最高点？（3）某时刻0t (单位：分钟)时，盛水筒W 在过O 点的竖直直线的左侧，到水面的距离为5米，再经过6π分钟后，盛水筒W 是否在水中？ 26．已知sin(2)cos 2()cos tan()2f ππαααπαπα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭.（1）化简()f α，并求3f π⎛⎫⎪⎝⎭； （2）若tan 2α=，求224sin 3sin cos 5cos αααα--的值；（3）求函数2()2()12g x f x f x π⎛⎫=-++⎪⎝⎭的值域.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】先利用两角和的正切计算tan tan 2tan 31tan tan 2θθθθθ+=-，再利用二倍角的正切化简前者，结合tan 311tan θθ=可得1tan 2θ=，从而可求tan 2θ.【详解】32222tan tan tan tan 23tan tan 1tan tan 32tan 1tan tan 213tan 1tan 1tan θθθθθθθθθθθθθθ++--===---⨯-，故32223tan tan tan 33tan 13tan 11tan tan 13tan θθθθθθθθ---===-，故21tan 4θ=， 因为θ为锐角，故1tan 2θ=，故1242tan 21314θ⨯==-， 故选：B. 【点睛】思路点睛：已知θ的三角函数值，求()*n n N θ∈的三角函数值，应利用两角和的三角函数值逐级计算即可.2．C解析：C 【分析】先利用切化弦结合两角和的公式展开，平方后由二倍角正弦公式可得结果. 【详解】∵πsin πsin cos 4tan 3π4cos sin cos 4ααααααα⎛⎫+ ⎪+⎛⎫⎝⎭+===- ⎪-⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭， ∴()()22sin cos 9cos sin αααα+=-，即1sin 291sin 2αα+=-，解得4sin 25α=， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了两角和公式以及切化弦思想的应用，等式两边平方是解题的关键，属于中档题.3．A解析：A 【分析】利用降次公式、二倍角公式和辅助角公式化简()f x ，由此求得()f x 的最大值. 【详解】 依题意()1cos 233sin 2sin 2222222x f x x x x -=+=-+12cos 2226x x x π⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， 所以()f x=. 故选：A 【点睛】本小题主要考查降次公式、二倍角公式和辅助角公式，考查三角函数的最值的求法，属于中档题.4．A解析：A 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值． 【详解】直线3x-y+1=0的倾斜角为α，∴tanα=3，∴2221133sin222219110sin cos tan a sin cos sin cos tan αααααααα=⋅====+++， 故选A ． 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题．5．A解析：A 【解析】分析：根据题设条件2213a b -=，平方化简，得到关于b 的方程，即可求解结果. 详解：由题意，(3,1)a =-且向量a 与b 的夹角为23π， 由2213a b -=，则222222444442cos523a b a b a b b b π-=+-⋅=+-⨯=， 整理得2120b b +-=，解得3b =，故选A.点睛：本题主要考查了向量的运算问题，其中熟记平面向量的数量积的运算公式，以及向量的模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6． C解析：C 【分析】由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+，由二次函数的性质可知，当22cos62b a b t aaπ⋅=-=-时，()g t 取得最小值1，变形可得22sin16b π=，从而可求出b 【详解】解：由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+， 因为2222224()44(cos 1)06a b a b a b π∆=⋅-=-<，所以()g t 恒大于零， 所以当232cos622b b a b t aaaπ⋅=-=-=-时，()g t 取得最小值1，所以22 233321222b b bg a a b ba a a⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=-+⋅-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得2114b=，所以2b=，故选：C【点睛】此题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，考查转化思想和计算能力，属于中档题7．C解析：C【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求解即可.【详解】以点A为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系(0,0),(2,1),(1,2)A E F(2,1),(1,2)AE AF∴==21124AE AF∴⋅=⨯+⨯=故选：C【点睛】本题主要考查了求平面向量的数量积，属于中档题.8．D解析：D【分析】根据题意得出()12BD BA BC=+，13AE BC BA=-，运用数量积求解即可．【详解】解：等边△ABC的边长为2，3BC BE=，AD DC=，∴()12BD BA BC =+，1313A AB BE AB B E BC A C B =+=+=-， ∴()221111223233BD AE BA BC BC BA BC BA BC BA ⎛⎫⎛⎫+-=--⋅ ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭， 112144222332⎛⎫=⨯⨯--⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭， 2=-．故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量的运算，数量积的求解，关键是分解向量，属于中档题．9．A解析：A 【分析】首先根据图象理解t 秒后23POx t ππ∠=+，再根据三角函数的定义求点P 的纵坐标和该质点到x 轴的距离y 关于时间t 的函数解析式. 【详解】由题意可知点P 运动的角速度是22ππ=（弧度/秒） 那么点P 运动t 秒后23POx t ππ∠=+， 又三角函数的定义可知，点P 的纵坐标是2sin 3t ππ⎛⎫+⎪⎝⎭， 因此该质点到x 轴的距离y 关于时间t 的函数解析式是2sin 3y t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解三角函数的定义，并正确表示点23POx t ππ∠=+，即可表示函数的解析式.10．D解析：D 【分析】由题意可得()01f =-，()31f =，所要解的不等式等价于()()0(2sin 1)3f f x f ≤+≤，再利用单调性脱掉f ，可得02sin 13x ≤+≤，再结合正弦函数的图象即可求解. 【详解】由|(2sin 1)|1f x +≤可得1(2sin 1)1f x -≤+≤， 因为()0,1A -，()3,1B 是函数()f x 图象上的两点，所以()01f =-，()31f =，所以()()0(2sin 1)3f f x f ≤+≤， 因为()f x 是定义在R 上的增函数， 可得02sin 13x ≤+≤，解得：1sin 12x -≤≤， 由正弦函数的性质可得722,66k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 所以原不等式的解集为722,66xk x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是将要解得不等式转化为()()0(2sin 1)3f f x f ≤+≤利用单调性可得02sin 13x ≤+≤.11．B解析：B 【分析】求出函数的最值，对称中心坐标，对称轴方程，以及函数的单调区间，即可判断正误． 【详解】函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭， 当3=42x ππ+时，即=12x π，函数()f x 取得最小值为132122-⨯+=-，故①正确； 当342x k πππ+=+时，即=,123k x k Z ππ+∈，函数()f x 的图象的对称轴是直线=,123k x k Z ππ+∈，故②错误； 当34x k ππ+=时，即,123k x k Z ππ=-+∈，函数()f x 的图象的对称中心为1,,1232k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，故③错误； 当3232242k x k πππππ+≤+≤+，即252,123123k k x k Z ππππ+≤≤+∈，函数()f x 的递增区间为252,,123123k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 当1k =-时，()f x 的递增区间为7,124ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故④正确.故选：B 【点睛】关键点点睛：函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭的递增区间转化为sin 34y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的递减区间.12．C解析：C 【分析】先化简函数的解析式，然后利用x 的范围求出26x πω⎛⎫-⎪⎝⎭的范围，根据题意列不等式求解ω.【详解】221cos 21()[sin()])cos()2sin(2)262ωπωωωωω-=+=+=-+x f x x x x x x ，因为[0,]x π∈，得2,2666πππωωπ⎛⎫⎡⎤-∈-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦x ，因为函数在[0,]π有且只有四个零点，则19232666πππωπ≤-<，解得523ω≤<. 故选：C. 【点睛】关于三角函数中求解ω的取值范围问题，一般要先求解出整体的范围，即x ωϕ+的范围，然后根据题意，分析x ωϕ+范围所在的区间，列不等式求解，即可求出ω.二、填空题13．【分析】由正切的二倍角公式求得用正弦二倍角公式变形化用1的代换化求值式为关于析二次齐次分式再弦化切后求值【详解】因为所以或（舍）所以故答案为：【点睛】本题考查二倍角公式考查同角间的三角函数解题关键是解析：12-【分析】由正切的二倍角公式求得tan α，用正弦二倍角公式变形化用“1”的代换化求值式为关于sin ,cos αα析二次齐次分式，再弦化切后求值．【详解】 因为22tan 3tan 21tan 4ααα==-，所以tan 3α=-或13（舍）， 所以222222sin cos cos 2tan 11sin 2cos sin cos tan 12ααααααααα+++===-++．故答案为：12-． 【点睛】本题考查二倍角公式，考查同角间的三角函数．解题关键是由221sin cos αα=+化待求值式为关于sin ,cos αα析二次齐次分式，然后利用弦化切求值．14．【分析】根据展开化简得到答案【详解】故故答案为：【点睛】本题考查了正切和差公式的应用意在考查学生的计算能力【分析】根据()tan60tan 2535︒=︒+︒，展开化简得到答案. 【详解】()tan 25tan 35tan 60tan 25351tan 25tan 35︒+︒︒=︒+︒==-︒⋅︒故tan 25tan 3525n 3ta 5︒︒︒+︒=【点睛】本题考查了正切和差公式的应用，意在考查学生的计算能力.15．【分析】由韦达定理得由平方后化为然后凑配成的代数式再代入求值【详解】由是方程的两根所以从而又由知从而【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的平方关系考查韦达定理解题关键是利用平方关系化正弦为余弦解答本题【分析】由韦达定理得cos cos ,cos cos αβαβ+，由sin sin αβ平方后化为cos ,cos αβ，然后凑配成cos cos ,cos cos αβαβ+的代数式，再代入求值． 【详解】由cos α，cos β是方程26320x x -=-的两根 所以11cos cos ,cos cos 23αβαβ+==-， 从而()()222(sin sin )1cos 1cos αβαβ=--22221cos cos cos cos αβαβ=--+222212cos cos cos cos (cos 2cos cos cos )αβαβααββ=++-++22(1cos cos )(cos cos )αβαβ=+-+22114171329436⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.又由,(0,)αβπ∈知sin sin 0αβ>，从而sin sin 6αβ=【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的平方关系，考查韦达定理，解题关键是利用平方关系化正弦为余弦，解答本题的关键是将()()222(sin sin )1cos 1cos αβαβ=--化为22(1cos cos )(cos cos )αβαβ+-+的形式，属于中档题.16．3【分析】根据向量关系即可确定的形状再根据向量投影的计算公式即可求得结果【详解】因为圆O 为△ABC 的外接圆半径为2若故可得是以角为直角的直角三角形又因为且外接圆半径是故可得则故向量在向量方向上的投影解析：3 【分析】根据向量关系，即可确定ABC 的形状，再根据向量投影的计算公式，即可求得结果.【详解】因为圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若2AB AC AO +=， 故可得ABC 是以角A 为直角的直角三角形.又因为OA AC =，且外接圆半径是2， 故可得224BC OA AC ===，则AB =，2AB cos ABC BC ∠==， 故向量BA 在向量BC方向上的投影为3AB cos ABC ⨯∠==. 故答案为：3. 【点睛】本题考查向量数量积的几何意义，属中档题.17．①④【分析】根据为定值求出再对题目中的命题分析判断正误即可【详解】解：对于①由为定值所以解得；由题意知时单调递减所以单调递增即越大越费力越小越省力；①正确对于②由题意知的取值范围是所以②错误对于③当解析：①④. 【分析】根据12G F F =+为定值，求出()22121cos GF θ=+，再对题目中的命题分析、判断正误即可. 【详解】解：对于①，由12G F F =+为定值， 所以()2222121212cos 21cos G F F F F F θθ=++⨯⨯=+，解得(22121cos GF θ=+；由题意知()0,θπ∈时，cos y θ=单调递减，所以21F 单调递增， 即θ越大越费力，θ越小越省力；①正确.对于②，由题意知，θ的取值范围是()0,π，所以②错误. 对于③，当2πθ=时，2212GF =，所以12F G =，③错误. 对于④，当23πθ=时，221F G =，所以1F G =，④正确. 综上知，正确结论的序号是①④. 故答案为：①④. 【点睛】此题考查平面向量数量积的应用，考查分析问题的能力，属于中档题18．或【分析】向量（10）设与的夹角为θ结合已知可得出坐标利用向量坐标运算建立关系式即可求解【详解】设与的夹角为θ则或且∴由得若∴∴且∴或∴或若且不存在∴或故答案为:或【点睛】本题考查向量的夹角向量的坐解析：12π或712π 【分析】向量a =（1，0），设a 与c 的夹角为θ，结合已知可得出c 坐标，利用向量坐标运算，建立θ关系式，即可求解. 【详解】设a 与c 的夹角为θ，则()2,c cos sin θθ=， 或()2,2c cos sin θθ=-且1322a b ⎛+= ⎝⎭，， ∴由()0c a b c --⋅=得，()2c a b c =+⋅， 若()2,2c cos sin θθ=，∴11226cos πθθθ⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴62sin πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且7666πππθ≤+≤，∴64ππθ+=或34π， ∴12πθ=或712π． 若()2,c cos sinθθ=-，11222226cos sin sin πθθθ⎫⎛⎫=-=--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 6sin πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭且5666πππθ-≤-≤， θ不存在.∴12πθ=或712π． 故答案为:12π或712π. 【点睛】本题考查向量的夹角、向量的坐标坐标运算，向量设为三角形式是解题的关键，属于中档题.19．【分析】求出函数图象的对称轴的一般形式再根据其所在的范围可求的取值范围【详解】令则其中由题设可得：存在整数使得由可得结合可得故即故答案为：【点睛】方法点睛：对于含参数的余弦型函数（正弦型函数）如果知解析：47(,33] 【分析】求出函数图象的对称轴的一般形式，再根据其所在的范围可求ω的取值范围. 【详解】 令3x k πωπ-=，则3k x πωπ+=，其中k Z ∈.由题设可得：存在整数k Z ∈，使得471033330k k k k πππππππππωωωω++++≤<<<≤，由4330k k ππππωω++≤<可得4133k -<≤-，结合k Z ∈可得1k =-， 故71033πππππωω-+-+<≤即4733ω<≤.故答案为：47(,33]. 【点睛】方法点睛：对于含参数的余弦型函数（正弦型函数），如果知道它在给定范围上的单调性或对称轴的条数、零点的个数等，一般是求出性质的一般形式，再把存在性问题转化为不等式的整数解问题，确定出整数的取值后可求参数的取值范围.20．【分析】先根据题意计算出的范围再根据函数的单调性结合值域列出不等式即可求得【详解】因为且故可得因为在区间单调递减在单调递增且故要满足题意只需解得故答案为：【点睛】本题考查由余弦型函数在区间上的值域求解析：3342⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【分析】先根据题意计算出4wx π+的范围，再根据函数的单调性，结合值域，列出不等式，即可求得. 【详解】因为[]0,x π∈，且0w >， 故可得1,444wx w πππ⎡⎤⎛⎫+∈+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 因为y cosx =在区间,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在7,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，且7coscos424ππ==，1cos π=-， 故要满足题意，只需1744w πππ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭ 解得33,42w ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故答案为：3342⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【点睛】本题考查由余弦型函数在区间上的值域，求参数范围的问题，属中档题.三、解答题21．（1）单增区间为5012π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，1112ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；（2）答案见解析. 【分析】（1）首先利用两角和与差的正弦公式以及二倍角公式，辅助角公式将()f x 化简，再利用正弦的单调区间即可求解；（2）首先求出()g x 的解析式，再作出|()3|y g x =-，5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象，数形结合即可求出m 取某一确定值时方程的根的情况，分情况讨论即可求解. 【详解】（1）()222223cos sin sin cos sin 23f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+⋅-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭=()223cos sin sin 233cos 2sin 232sin 233x x x x x x π⎛⎫-+++=-++=-+ ⎪⎝⎭则由222232k x k πππππ-+≤-≤+，可得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 因为[0,]x π∈，所以0k =时，51212x ππ-≤≤；1k =时，11171212x ππ≤≤所以()f x 的单增区间为5012π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，1112ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. （2）由题意可得()2sin 233g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭故()532sin 2,,366y g x x x πππ⎛⎫⎡⎤=-=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，图象如下：由图可知，当0m =时，()30g x =有三个解：5636πππ-，，，此时5636m S ππππ=-++=； 当2m =时，()3g x 有两个解：12π，712π， 此时7212123m S πππ=+=；当02m <<时，()g x 有四个解：1x ，2x ，3x ，4x ， 此时123474663m S x x x x πππ=+++=+=. 【点睛】方法点睛：已知三角函数的解析式求单调区间先将解析式化为()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+()0,0A ω>>的形式，然后将x ωϕ+看成一个整体，根据sin y x =与cos y x =的单调区间列不等式求解.22．（Ⅰ）12；（Ⅱ）最小值为12-，最大值为1；（Ⅲ）3π 【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式、差的余弦公式和辅助角公式化简函数可得()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，代入6x π=可求；（Ⅱ）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，在利用正弦函数的性质即可求解； （Ⅲ）求出平移后的解析式，可得22,62m k k Z πππ-=+∈，即可解出m ，得出最小值.【详解】（Ⅰ）()22sin cos 213f x x x π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭cos 2cos 2cos sin 2sin33x x x ππ=-++12cos 22x x =- sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1sin 26662f πππ⎛⎫⎛⎫∴=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（Ⅱ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 则当266x ππ-=-，()f x 取得最小值为12-， 当226x ππ-=，()f x 取得最大值为1； （Ⅲ）将函数()f x 的图象向左平移()0m m >个单位长度，可得sin 226y x m π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则sin 226y x m π⎛⎫=+-⎪⎝⎭和cos 2y x =的图象重合， 22,62m k k Z πππ∴-=+∈，解得,3m k k Z ππ=+∈，0m >，则当0k =时，m 取得最小值为3π. 【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简求三角函数性质，解题的关键是利用二倍角公式、差的余弦公式和辅助角公式化简函数可得()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 23．(1). 【解析】试题分析：(1)由向量数量积的几何意义可求向量a 在b 方向上的投影; (2)由向量夹角公式可求a -b 与a +b 的夹角的余弦值 试题 (1)|a |=|(34,55)|=1 ∴向量a 在b 方向上的投影为a cosθ=a ?bb=2(2)cos<a -b ,a +b>=()()a b a b a b a b-+-+|a -b |2=|a |2+|b |2-2ab =12,|a b -|=22. |a b +|2=|a |2+|b |2+2ab =52,|a b + (a b -)(a b +)=a 2-b 2=12cos<,a b a b -+>=()()a b a b a b a b-+-+=5. 24．（1）1k =±；（2）3π. 【分析】（1）本题首先可以根据12ke e +和12e ke +共线得出()1212ke e e ke λ+=+，然后通过计算即可得出结果；（2）本题首先可根据()()23a b a b +⊥-得出()()230a b a b +⋅-=，然后根据1a =以及2b =求出1cos 2θ=，最后根据[]0,θπ∈即可得出结果. 【详解】（1）因为12ke e +和12e ke +共线，非零向量1e 、2e 不共线，所以存在唯一实数λ使()1212ke e e ke λ+=+，即1212ke e e ke λλ+=+，则1k kλλ=⎧⎨=⎩，即21k =，1k =±， 故当1k =±时，12ke e +和12e ke +共线.（2）因为()()23a b a b +⊥-，所以()()22233520a b a b a a b b+⋅-=+⋅-=，令a 与b 夹角为θ， 因为1a =，2b =，所以2235231512cos 240a a b b θ+⋅-=⨯+⨯⨯⨯-⨯=，解得1cos 2θ=， 因为[]0,θπ∈，所以a 与b 的夹角3πθ=.【点睛】本题考查向量共线以及向量垂直的相关性质，若非零向量a 、b 共线，则存在唯一实数λ使λab ，若非零向量a 、b 垂直，则0a b ⋅=，考查计算能力，是中档题.25．（1）4,2,,26A K πωϕ===-=；（2）3π分钟；（3）再经过6π分钟后盛水筒不在水中. 【分析】（1）先结合题设条件得到T π=，4,2A K ==，求得2ω=，再利用初始值计算初相ϕ即可；（2）根据盛水筒达到最高点时6d =，代入计算t 值，再根据0t >，得到最少时间即可； （3）先计算0t 时03sin 264t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，根据题意，利用同角三角函数的平方关系求0cos 26t π⎛⎫- ⎪⎝⎭，再由6π分钟后00sin()=sin 2sin 26663t t t ππππωϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，进而计算d 值并判断正负，即得结果. 【详解】解：（1）由题意知，T π=，即2ππω=，所以2ω=，由题意半径为4米，筒车的轴心O 距水面的高度为2米，可得：4,2A K ==， 当0t =时，0d =，代入4sin(2)2d t ϕ=++得，1sin 2ϕ=-， 因为22ππϕ-<<，所以6πϕ=-；（2）由（1）知：4sin 226d t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 盛水筒达到最高点时，6d =， 当6d =时，64sin 226t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以sin 216t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以22,Z 62t k k πππ-=+∈，解得,Z 3t k k ππ=+∈，因为0t >，所以，当0k =时，min 3t π=， 所以盛水筒出水后至少经过3π分钟就可达到最高点； （3）由题知：04sin 2256t π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即03sin 264t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 由题意，盛水筒W 在过O 点的竖直直线的左侧，知0cos 206t π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以0cos 26t π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以00313sin 2sin 2666342428t t ππππ⎛-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=-+=⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭，所以，再经过6π分钟后3742082d --=⨯+=>， 所以再经过6π分钟后盛水筒不在水中. 【点睛】本题的解题关键在于准确求解出三角函数模型的解析式，才能利用三角函数性质解决实际问题，突破难点.26．（1）()cos f αα=，π132f；（2）1；（3）250,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）由诱导公式化简可得()cos f αα=，进而可得3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）由平方关系和商数关系可转化条件为224tan 3tan 5tan 1ααα--+，即可得解； （3）转化条件为()21252sin 48g x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）由题意可得sin(2)cos 2()cos tan()2f ππαααπαπα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭sin (sin )cos sin tan ααααα-⋅-==⋅， 故1cos 332f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭； （2）∵tan 2α=，故224sin 3sin cos 5cos αααα--22224sin 3sin cos 5cos sin cos αααααα--=+ 224tan 3tan 51tan 1ααα--==+； （3）因为()cos f αα=， 所以22()2cos cos 12cos sin 12g x x x x x π⎛⎫=-++=++ ⎪⎝⎭22sin sin 3x x =-++21252sin 48x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， 因为sin [1,1]x ∈-， 所以当1sin 4x =时，max 25()8g x =，当sin 1x =-时，min ()0g x = 所以()g x 的值域为250,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用诱导公式、同角三角函数的关系对原式进行合理变形.。
人教版高中第四册数学期末测试卷答案
人教版高中第四册数学期末测试卷答案成功的曙光属于每一个妥协过的人。
小编为您编辑了人教版高中第四册数学期末测试卷答案，祝大家学习提高。
一、选择题：在每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的1、设集合A= ，B= ，那么A B等于( )A B C{x|x-3｝ D {x|x1｝2、不等式的解集是( )3、假定函数 ,那么f(f(10))=()A.lg101B.2C.1D.04、设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，那么( )A. B.4 C. D.25、设，那么使函数的定义域为R且为奇函数的一切的值为( )A. -1,3B.-1,1C. 1,3D.-1,1,36、是上的减函数，那么的取值范围是( )A. B. C. D.7、命题是真命题，那么实数a的取值范围是 ( )A. B. C. D.(1，1)8、设函数是定义在上的奇函数，且对恣意都有，当时，，那么的值为( )A. B. C. 2 D.9、函数，假定互不相等，且，那么的取值范围是( )A. B. C. D.10、给出定义：假定m-①函数y=f(x)的定义域为R，值域为[ 0， ];②函数y=f(x)的图像关于直线x= (kZ)对称;③函数y=f(x)是周期函数，最小正周期为1;④函数y=f(x)在[- ， ]上是增函数.其中正确的命题的序号是 ( )A.①B.②③C.①②③D.①④二、填空题：11、选集U ，A ，B ，那么12、x与y之间的一组数据：x0246y1357那么y与x的线性回归方程为y=bx+a必过点 .13、关于的方程的实数解为______________.14、 .函数是R上的偶函数，且在上是增函数，假定 ,那么实数的取值范围是______.15、x [0,1],那么函数y= 的值域是 .三、解答题：解容许写出文字说明、证明进程或演算步骤(16.(本小题总分值13分) 化简求值：(1)(2)0.064 -(-18)0+16 +0.2517.(本小题总分值13分) 且双数 ( 为虚数单位)在复平面内表示的点为那么：(1)当实数取什么值时，双数是纯虚数;(2)当点位于第三象限时，务实数的取值范围.18.(本小题总分值13分)尘肺病是一种严重的职业病，新密市职工张海超开胸验肺的举动惹起了社会的极大关注.据悉尘肺病的发生，与工人临时生活在粉尘环境有直接的关系.下面是一项调查数据：有过粉尘环境任务阅历无粉尘环境任务阅历算计有尘肺病11256168无尘肺病5656112算计168112280请由此剖析我们有多大的掌握以为能否患有尘肺病与能否有过粉尘环境任务阅历有关系.P(K20.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.83 19.((本小题总分值12分) 定义域为R的函数是奇函数.(1)求的值; (2)证明在上为减函数.(3)假定关于恣意 ,不等式恒成立,求的范围.20.此题总分值12分) 某农科所对夏季昼夜温差大小与某反时节大豆新种类发芽多少之间的关系停止剖析研讨，他们区分记载了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100棵种子中的发芽数，失掉如下资料：日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差x(℃)101113128发芽y(颗)2325302616该农科所确定的研讨方案是：先从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程，剩下的2组数据用于回归方程检验.(1)假定选取的是12月1日与12月5日的2组数据，请依据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程 ;(2) 请预测温差为14℃的发芽数。
新人教A版高中数学必修四第二学期期末考试测试题(含答案)
山东省聊城四中第二学期高一期末考试数学试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，本试卷120分，考试时间100分钟。
2．答题前请将自己的学校、班级、姓名、考场号等填写在答题卷密封线内的相应栏目。
3．请将答案按题序号填写在答题卷上，考后仅收答题卷。
第Ⅰ卷（选择题 共48分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.）1．5sin()6π-的值是A ．B ．12C ．D ．12- 2．已知(1,2),(5,4),(.3),(3,)A B C x D y -，且AB CD =，则,x y 的值分别为A 、－7，－5B 、－7，5C 、7，－5D 、7，5 3.下列给出的赋值语句中正确的是 （ ）A . 4M =B .M M =-C 3B A ==D 0x y +=4．某经济研究小组对全国50个中小城市进行职工人均工资x 与居民人均消费水平y 进行了统计调查，发现y 与x 具有相关关系，其回归方程为ˆ0.3 1.65y x =+（单位：千元）．某城市居民人均消费水平为6.60，估计该城市职工人均消费水平额占居民人均工资收入的百分比为 A ．66%B ．55.3%C ．45.3%D ．40%5．右图是某学校举行的运动会上，七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数及方差分别为( )A ．84，4.84B ．84，1.6C ．85，1.6D ．85，4 6．如图，已知正方形的面积为10，向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外 的黄豆数为114颗，以此实验数据为依据， 可以估计出阴影部分的面积约为（ ） A ．5.3 B ．4.3C ．4.7D ．5.77．已知)1,1(-A ，)5,2(B ，点P 在线段AB 上，且||3||=，则点P 的坐标为 （ ）A ．)4,1(-B ．)313,23(C ．)4,45(D ．)213,411(8．函数x x y cos -=的部分图象是（ ）10．从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中，任取2张，这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率为（ ）A ．51B ．52C ．103 D ．107 11．要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的（ ）A ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度； B ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度；C ．横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度；D ．横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度。
新人教A版高中数学必修四下学期期末质量检测试卷(含答案)
下期教学质量调研测试高一数学本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间100分钟注意：第I 卷的答案必须填在第Ⅱ卷的相应位置，否则不给分。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．225和135的最大公约数是A ．5B ．15C ．45D ．652．在某次商品促销活动中，某人可得到4件不同的奖品，这些奖品要从40件不同的奖品中随机抽取决定，用系统抽样的方法确定这个人所得到的4件奖品的编号，有可能的是 A ．3，9，15，11 B ．3，12，21，40 C ．8，20，32，40 D ．2，12，22，32 3．三位五进制数表示的最大十进制数是A ．120B ．124C ．144D ．224 4．要得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需将sin 2y x =的图像A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位5．在一次实验中，测得（,x y ）的四组值为（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），则y 与x 之间的回归直线方程为A ．ˆ1yx =+ B ．ˆ2y x =+ C ．ˆ21y x =+ D ．ˆ1y x =- 6．函数()sin 2sin(2)sin(2)33f x x x x ππ=+++-的最小正周期为A ．4π B ．2πC ．πD ．2π 7．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待的时间不多于15分钟的概率为 A ．13 B ．14C ．15D ．16 8．下列各组向量中，可以作为基底的是A ．12(0,0),(1,2)e e ==-B ．12(3,5),(6,10)e e ==C ．12(1,2),(5,7)e e =-=D ．1213(2,3),(,)24e e =-=-9．如图，函数sin()(0,0)y A wx A ϕϕπ=+><<的图象 经过点(,0)6π-、7(,0)6π，且该函数的最大值为2，最 小值为2-，则该函数的解析式为A ．2sin()26x y π=+B ．2sin()24x y π=+ C ．32sin()26x y π=+ D ．32sin()24x y π=+10．已知35sin ,cos(),513ααβ=--=且(,0)2πα∈-，(0,)2πβ∈则cos β的值为A ．1665 B ．5665 C ．1665- D ．5665- 11．若A 、B 、C 是锐角ABC ∆的三内角，P (1sin ,1cos ).(1sin ,1cos )A A q B B =++=+--， 则p 与q 的夹角是A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定12．设函数2,(0)()4sin ,(0)x x f x x x π⎧≤=⎨<≤⎩，则集合{|(())0}x f f x =中元素的个数有A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个HB 下期教学质量调研测试高一数学第Ⅱ卷（答题卷）（非选择题，共90分）二、填空题（本题4小题，每小题5分，共20分）13．如果一组数12345,,,,x x x x x 的平均数是2，则另一数12345,1,2,3,4x x x x x ++++的平均数是_______________。
【人教版】高中数学必修四期末试题附答案
一、选择题1．已知tan 2α=，则sin cos 2sin cos αααα+=-（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-2．已知ππ2α<<，且π3sin 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos α的值为（ ）AB． CD．10-3．已知()()()ππcos sin 22cos πtan πf ααααα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---，则2020π3f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A． B ．12-C ．12D．24．已知A 是函数()3sin(2020))263f x x x ππ=++-的最大值，若存在实数1x ，2x 使得对任意实数x ，总有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x 的最小值为（ ） A ．2020πB ．1010π C ．32020πD ．20205．已知点G 是ABC 的重心，(),AG AB AC R λμλμ=+∈，若120,2,A AB AC ∠=︒⋅=-则AG 的最小值是（ ）ABC ．12D ．236．已知ABC 中，2AB AC ==，120CAB ∠=，若P 是其内一点，则AP AB ⋅的取值范围是（ ） A ．(4,2)--B ．(2,0)-C ．(2,4)-D ．(0,2)7．在ABC 中，4A π=，3B π=，2BC =，AC 的垂直平分线交AB 于D ，则AC CD ⋅=（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．38．在ABC ∆中，060BAC ∠=，5AB =，6AC =，D 是AB 上一点，且5AB CD ⋅=-，则BD 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．如果一个函数在给定的区间上的零点个数恰好为8，则称该函数为“比心8中函数”.若函数()2sin()1f x x ωπ=-，(0)>ω是区间[0,1]上的“比心8中函数”，则ω的取值范围是（ ） A ．4149,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．4953,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3741,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[8,9)10．已知曲线1C ：sin y x =，2C ：cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移12π个单位长度，得到曲线2C11．已知函数()tan()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≠< ⎪⎝⎭，点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是其相邻的两个对称中心，且在区间54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则ϕ=（ ） A ．6π B ．6π-C ．3π D ．3π-12．设函数()tan 3f x x π=-，()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数是（ ） A ．4B ．5C ．12D ．13二、填空题13．给出下列命题：①()72cos 22f x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭是奇函数；②若α、β都是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>；③38x π=-是函数33sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像的一条对称轴；④已知函数()23sin12xf x π=+，使()()f x c f x +=对任意x ∈R 都成立的正整数c 的最小值是2.其中正确命题的序号是______.14________.15．已知函数()sin 3cos f x x x =+，则下列命题正确的是_____.（填上你认为正确的所有命题序号） ①函数()0,2f x x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的单调递增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦； ②函数()f x 的图像关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称； ③函数()f x 的图像向左平移(0)m m >个单位长度后，所得的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是6π； ④若实数m 使得方程()f x m =在[0,2]π上恰好有三个实数解123,,x x x ，则12373x x x π++=. 16．如图，已知四边形ABCD ，AD CD ⊥，AC BC ⊥，E 是AB 的中点，1CE =，若//AD CE ，则AC BD ⋅的最小值为___________.17．在AOB 中，已知1OA =，3OB =2AOB π∠=.若点C ，D 满足971616OC OA OB =-+，()12CD CO CB =⋅+，则CD CO ⋅的值为_______________. 18．在ABC △中，已知4CA =，3CP =23ACB π∠=，点P 是边AB 的中点，则CP CA ⋅的值为_____.19．已知函数()3sin(2)cos(2)(||)2f x x x πϕϕϕ---<的图象关于y 轴对称,则()f x 在区[6π-,5]12π上的最大值为__.20．已知定义在R 上的函数()f x 满足3()2f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，且(2)3f -=，则(2020)f =________.三、解答题21．已知函数()f x 满足：()()()22f x f x a a R +=+∈，若()12f =，且当(]2,4x ∈时，()22611f x x x =-+．（1）求a 的值；（2）当(]0,2x ∈时，求()f x 的解析式；并判断()f x 在(]0,4上的单调性（不需要证明）；（3）设()24log 231x g x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，()2cos cos 2,22h x x m x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，若()()f h x g h x ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，求实数m 的值．22．已知函数())2cos sin 3f x x x x x R π⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值； （2）设函数()g x 对任意x ∈R ，有()2g x g x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()12g x f x =-.求()g x 在区间[],0π-上的解析式. 23．已知函数1()sin 22,23f x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调递减区间； （3）求()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值 24．定义行列式运算法则为：12142334a a a a a a a a =-，已知函数()2cos 2sin x f x x=.（1）求()f x 的最小正周期； （2）若函数()()02g x f x m m π⎛⎫=+<<⎪⎝⎭是偶函数，求不等式()0g x ≤的解集. 25．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边为a ，b ，c ，向量m (2cossin )2C C =-，， n =(cos2sin )2C C ，，且m n ⊥． （1）求角C ；（2）若22212a b c =+，试求sin()A B -的值 26．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量(1,2)a =-，(1,)b k =． （1）若()a a b ⊥+，求实数k 的值；（2）若对于平面xOy 内任意向量c ，都存在实数λ、μ，使得c a b λμ=+，求实数k 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】已知正切值要求正余弦值，可以利用商的关系将“弦化切”，代入数值即可. 【详解】原式分子分母同除以cos α得 原=tan 12112tan 141αα++==--故选：A. 【点睛】已知正切值求正余弦值,通常有两种做法：一是将所求式子分子分母同除cos α或2cos α，化为tan α求解； 二是利用sin tan cos ααα=得sin tan cos ααα=代入消元即可. 2．D解析：D 【分析】根据同角三角函数基本关系得出cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再用两角差的余弦公式即可解题. 【详解】因为ππ2α<<，所以35,444πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以4cos 45πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以cos cos cos cos sin sin 444444ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭43525210=-⨯+⨯=-. 故选：D 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关三角函数求值问题，解题方法如下：（1）利用同角三角函数关系式，结合角的范围，求得cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）凑角，利用差角余弦公式求得结果.3．B解析：B 【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系式，化简函数式，最后代值计算即可. 【详解】()()()cos sin 22cos tan f ππαααπαπα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--- ()()sin sin 2cos tan πααπαα⎡⎤⎛⎫-⋅-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=+⋅- ()()sin cos cos tan αααα-⋅-=-⋅-sin cos sin cos cos ααααα⋅=⋅cos α=，所以2020202020201cos cos cos 673cos 333332f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-==+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：B . 【点睛】本题考查利用诱导公式和同角三角函数关系式化简三角函数式并求值，注意三角函数值的符号变化，属于基础题.4．C解析：C 【分析】利用三角恒等变换化()f x 为正弦型函数，由此求出A 、T 以及12x x -的最小值，可得解. 【详解】()3sin(2020))2623f x x x ππ=++-，392020cos 2020cos 2020202044x x x x =+-，320220cos 2020x x =-3sin(2020)6x π=-，∴max ()3A f x ==，又存在实数1x ，2x ，对任意实数x 总有12()()()f x f x f x ≤≤成立， ∴2max ()()2f x f x ==，1min ()()2f x f x ==-， 则12x x -的最小值为函数()f x 的半个最小正周期长度，12min 1122220202020x x T ππ∴-==⨯=∴()12min32020A x x π⋅-=， 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的最值，着重考查两角和与差的正弦与余弦，考查三角恒等变换，突出正弦函数的周期性的考查，属于中档题．5．D解析：D 【分析】先根据重心得到()13AG AB AC =+，设0,0AB x AC y =>=>，利用数量积计算4xy =，再利用重要不等式求解()2219A AGB AC =+的最小值，即得结果. 【详解】点G 是ABC 的重心，设D 为BC 边上的中点，则()2133AG AD AB AC ==+， 因为120,2,A AB AC ∠=︒⋅=-设0,0AB x AC y =>=>，则cos1202xy ︒=-，即4xy =，故()()()222211144249999AG x y x B AC y A =+-≥-=+=，即23AG ≥， 当且仅当2x y ==时等号成立，故AG 的最小值是23. 故选：D. 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键在于通过重心求得向量关系()13AG AB AC =+，利用数量积得到定值，才能利用重要不等式求最值，突破难点，要注意取条件的成立.6．C解析：C 【分析】以A 为坐标原点，以过点A 垂直于BC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，求出()3,1B --，()3,1C-，设(),P x y ，因为点P 是其内一点，所以3x 3-<<，10y -<<，计算3AP AB x y ⋅=--得最值，即可求解.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：则()0,0A ，因为120CAB ∠=，所以30ABC ACB ∠=∠=， 可得2cos303= ，2sin301，所以()3,1B -- ，()3,1C-,设(),P x y ，因为点P 是其内一点，所以33,10x y <<-<<，()(),3,13AP AB x y x y ⋅=⋅--=--，当3x =1y =-时AP AB ⋅最大为((()3314-⨯--=， 当3,1x y ==-时AP AB ⋅最小为(()3312--=-，所以AP AB ⋅的取值范围是(2,4)-， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是建立直角坐标系，将数量积利用坐标表示，根据点(),P x y 是其内一点，可求出,x y 的范围，可求最值. 7．C解析：C 【分析】由AC 的垂直平分线交AB 于D ，且4A π=可得ACD △为等腰直角三角形，且4A ACD π∠=∠=，2ADC BDC π∠=∠=；进而由2BC =可求出,,DB CD AC 的长，从而求出AC CD ⋅的值. 【详解】解：因为AC 的垂直平分线交AB 于D 、4A π=，所以ACD △为等腰直角三角形，4A ACD π∠=∠=，2ADC BDC π∠=∠=，在BDC 中，3B π=，2BDC π∠=，2BC =，所以1,3BD CD ==，所以3AD CD ==，26AC CD ==，所以32cos63()342AC CD AC CD π⋅=⋅=⨯⨯-=-.故选：C. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，考查运算求解能力，属于基础题型.8．C解析：C 【解析】在ABC ∆中，060BAC ∠=，5,6AB AC ==，D 是AB 是上一点，且5AB CD ⋅=-， 如图所示，设AD k AB =，所以CD AD AC k AB AC =-=-， 所以21()2556251552AB CD AB k AB AC k AB AB AC k k ⋅=⋅-=-⋅=-⨯⨯=-=-， 解得25k =，所以2(1)35BD AB =-=，故选C ．9．A解析：A 【分析】根据题意问题转化为方程1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上有8个解，根据正弦函数的图像与性质可求得1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第8个解为416x ω=、第9个解为496x ω=，则4149166ωω≤<，解不等式即可. 【详解】根据题意，函数()2sin()1f x x ωπ=-，(0)>ω是区间[0,1]上零点个数为8，即方程1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上有8个解， ∴26x k πωππ=+或52,6x k k Z πωππ=+∈， 当0k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第1个解16x ω=，取第2个解56x ω=； 当1k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第3个解136x ω=，取第4个解176x ω=； 当3k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第7个解376x ω=，取第8个解416x ω=； 当4k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第9个解496x ω=. 则4149166ωω≤<，解得414966ω≤<. 故选：A10．C解析：C 【分析】由题意利用诱导公式得1sin cos :2C y x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，根据函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论． 【详解】已知曲线1sin cos :2C y x x π⎛⎫==-⎪⎝⎭，2cos 23:C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， ∴把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得cos 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把得到的曲线向左平移 12π个单位长度，得到曲线2cos 2cos 263:2C x x πππ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故选C ．【点睛】本题主要考查函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题．11．A【分析】由正切函数的图象性质，得出相邻两个对称中心之间的距离为半个周期，可求出T ，然后由T πω=求出ω，然后再代点讨论满足题意的ϕ，即可得出答案. 【详解】由正切函数图象的性质可知相邻两个对称中心的距离为2T ，得72263T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭. 则由1T πω==得1ω=，即得1ω=±. 由2πϕ<，且在区间54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则可得1ω=-， ∴()()()tan tan f x x x ϕϕ=-+=--. 由2,32k k Z ππϕ-=∈得2,32k k Z ππϕ=-∈，因2πϕ<，可得6π=ϕ或3π-，当3πϕ=-时，()tan +3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由+,232k x k k Z πππππ-<<+∈，得5,66k x k k Z ππππ-<<+∈， 则函数()f x 的单调减区间为5,,66k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭， 令1k =，由54,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭7,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭⊄，得函数()f x 在54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不是单调递减， 所以3πϕ=-不满足题意；当6π=ϕ时，()tan 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由,262k x k k Z πππππ-<-<+∈，得2,33k x k k Z ππππ-<<+∈， 则函数()f x 的单调减区间为2,,33k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭， 令1k =，由25,3354,63ππππ⎛⎫⊂⎛⎫ ⎪⎝ ⎪⎝⎭⎭，得函数()f x 在54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 所以6π=ϕ满足题意； 综上可得：6π=ϕ满足题意.【点睛】关键点睛：正切型函数的对称中心和单调性的问题，通常采用代入检验法，注意正切函数的对称中心为0,2k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭，. 12．A解析：A 【分析】由题意知函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数等价于函数()tan 3f x x π=-与()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象在区间[]2,2ππ-上交点的个数，作出两个函数图象，数形结合即可求解. 【详解】令()()()0h x f x g x =-=可得()()f x g x =，所以函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数等价于 函数()tan 3f x x π=-与()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象在区间[]2,2ππ-上交点的个数. 分别作出()tan 3f x x π=-与()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象，由图知两个函数图象在区间[]2,2ππ-上有4个交点，所以函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数是4， 故选：A 【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法（1）直接法：令()0f x =，如果能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点；（2）利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间[],a b 上是连续不断的曲线，并且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质，（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；（3）图象法：画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数，()h x 和()g x 的形式，根据()()()0f x h x g x =⇔=，则函数()f x 的零点个数就是函数()y h x =和()y g x =的图象交点个数；（4）利用函数的性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到，若所考查的函数是周期函数，则需要求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可以得出函数的零点个数.二、填空题13．①③④【分析】对①化简得可判断；对②取特殊值可说明；对③代入求值可判断；对④化简求出其最小正周期即可判断【详解】对①是奇函数故①正确；对②如但故②错误；对③当时取得最大值故③正确；对④则的最小正周期解析：①③④ 【分析】 对①，化简得()()2sin 2f x x =可判断；对②，取特殊值可说明；对③，代入38x π=-求值可判断；对④，化简()f x ，求出其最小正周期即可判断. 【详解】 对①，()()72cos 22sin 22f x x x π⎛⎫=--= ⎪⎝⎭是奇函数，故①正确； 对②，如7,33ππαβ==，但tan tan αβ=，故②错误； 对③，当38x π=-时，333sin 2384y ππ⎡⎤⎛⎫=⨯--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，取得最大值，故③正确； 对④，()()2353sin1cos 222xf x x ππ=+=-+，则()f x 的最小正周期为22ππ=，则c 的最小值是2，故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】本题考查三角函数奇偶性的判断，考查三角函数的单调性和对称性以及周期性，解题的关键是正确化简，正确理解三角函数的性质.14．【分析】利用同角三角函数的基本关系式二倍角公式结合根式运算化简求得表达式的值【详解】依题意由于所以故答案为：【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式二倍角公式考查根式运算属于基础题解析：4【分析】利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式，结合根式运算，化简求得表达式的值. 【详解】=4==，由于342ππ<<=故答案为：4 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式，考查根式运算，属于基础题.15．①③④【分析】首先利用辅助角公式将函数化简为再根据正弦函数的性质一一验证即可【详解】解：的单调增区间为当增区间为∴①正确；∴②不正确；函数的图像向左平移个单位长度后得由题意得则的最小值是∴③正确；若解析：①③④ 【分析】首先利用辅助角公式将函数化简为()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质一一验证即可. 【详解】解：1()sin 2sin 2sin 23f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫===+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()f x ∴的单调增区间为52,2()66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴①正确； 2sin 2sin 106636f ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴②不正确；函数()f x 的图像向左平移(0)m m >个单位长度后得()2sin 3f x x m π⎛⎫=++⎪⎝⎭，由题意得32m k πππ+=+，6m k ππ=+，则m 的最小值是6π，∴③正确；若实数m 使得方程()f x m =在[0,2]π上恰好有三个实数解123,,x x x ，结合这两个函数图像可知，必有10x =，32x π=，此时()2sin 33f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，另一个解为23x π=，12373x x x π∴++=，∴④正确. 故答案为：①③④【点睛】本题考查辅助角公式的应用，正弦函数的性质的综合应用，属于中档题.16．【分析】令结合题中已知条件得出通过根据数量积的概念以及二次函数的性质可得结果【详解】令因为所以又因为是的中点所以故可得所以当时取得最小值故答案为：【点睛】关键点点睛：将表示成根据几何关系将所需量用表 解析：1-【分析】令ACD θ∠=，结合题中已知条件得出2CAD πθ∠=-，2CAB πθ∠=-，2sin AC θ=，22sin AD θ=，通过()AC BD AC BA AD ⋅=⋅+，根据数量积的概念以及二次函数的性质可得结果. 【详解】令ACD θ∠=，因为AD CD ⊥，AC BC ⊥，//AD CE ， 所以BCE θ∠=，2ACE CAD πθ∠=∠=-，又因为E 是AB 的中点，1CE =，所以2AB =，1CE =，CBA θ∠=，2CAB πθ∠=-，故可得2sin AC θ=，22sin AD θ=，所以()AC BD AC BA AD AC BA AC AD ⋅=⋅+=⋅+⋅2222sin 2cos 2sin 2sin cos 4sin 4sin 22ππθπθθθθθθ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-++⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2214sin 12θ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当21sin 2θ=时，AC BD ⋅取得最小值1-，故答案为：1-. 【点睛】关键点点睛：将BD 表示成BA AD +，根据几何关系将所需量用θ表示，将最后结果表示为关于θ的函数.17．【分析】以为基底向量表示再由数量积的运算律定义计算即可【详解】∵∴D 为OB 的中点从而∴∵∴∴故答案为：【点睛】本题考查平面向量的数量积需要根据题意确定基底向量再根据平面向量基本定理表示所求的向量数量解析：1564【分析】以,OA OB 为基底向量表示CD CO ，，再由数量积的运算律、定义计算即可． 【详解】 ∵1()2CD CO CB =+，∴D 为OB 的中点，从而12OD OB =，∴97191161621616CD CO OD OA OB OB OA OB =+=-+=+ ∵1OA =，OB =2AOB π∠=，∴0OA OB ⋅=∴9197()()16161616CD CO OA OB OA OB ⋅=+⋅- 221(817)256OA OB =-1(8173)256=-⨯1564=. 故答案为：1564．【点睛】本题考查平面向量的数量积，需要根据题意确定基底向量，再根据平面向量基本定理表示所求的向量数量积，进而根据数量积公式求解．属于中档题.18．6【分析】根据平方处理求得即可得解【详解】在中已知点是边的中点解得则故答案为：6【点睛】此题考查平面向量的基本运算关键在于根据向量的运算法则求出模长根据数量积的运算律计算求解解析：6 【分析】 根据()12CP CA CB =+，平方处理求得2CB =，()12CP CA CA CB CA ⋅=+⋅即可得解. 【详解】在ABC △中，已知4CA =，3CP 23ACB π∠=，点P 是边AB 的中点， ()12CP CA CB =+ ()222124CP CA CB CA CB =++⋅ 211316842CB CB ⎛⎫⎛⎫=++⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2CB = 则()()21111162462222CP CA CA CB CA CA CB CA ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=+⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：6 【点睛】此题考查平面向量的基本运算，关键在于根据向量的运算法则求出模长，根据数量积的运算律计算求解.19．【分析】利用辅助角公式化简可得再根据图象关于轴对称可求得再结合余弦函数的图像求出最值即可【详解】因为函数的图象关于轴对称所以即又则即又因为所以则当即时取得最大值故答案为：【点睛】判定三角函数的奇偶性 3【分析】利用辅助角公式化简可得()2sin(2)6f x x πϕ=--,再根据图象关于y 轴对称可求得()2cos2f x x =-,再结合余弦函数的图像求出最值即可.【详解】 因为函数()()()3sin 2cos 2f x x x ϕϕ=---2sin(2)6x πϕ=--的图象关于y 轴对称,所以πππ62k ϕ--=+,即()2ππ,3k k Z ϕ=--∈.又2πϕ<,则π3ϕ=,即()2sin(2)2cos22f x x x π=-=-.又因为π5π612x -≤≤,所以π5π236x -≤≤,则当5π26x =,即5π12x =时,()f x 取得最大值5π2cos6-=.【点睛】判定三角函数的奇偶性时,往往与诱导公式进行结合,如： 若()sin y x ωϕ=+为奇函数,则π,Z k k ϕ=∈；若()sin y x ωϕ=+为偶函数,则ππ+,Z 2k k ϕ=∈； 若()cos y x ωϕ=+为偶函数,则π,Z k k ϕ=∈；若()cos y x ωϕ=+为奇函数,则ππ+,Z 2k k ϕ=∈. 20．3【分析】由已知可得是函数的一个周期所以再由可求得可得答案【详解】由已知可得则有则是函数的一个周期所以又所以所以故答案为：3【点睛】本题考查了函数的周期性及其应用准确理解周期性的定义是解题的关键属于解析：3 【分析】由已知可得，3是函数()f x 的一个周期，所以(2020)(1)f f =，再由(2)3f -=， 可求得()13f =，可得答案. 【详解】由已知可得，3()2f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则有333(3)++()222f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫+==-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3是函数()f x 的一个周期， 所以(2020)(67331)(1)f f f =⨯+=， 又(2)3f -=，所以()()123f f =-=， 所以(2020)3f =， 故答案为：3. 【点睛】本题考查了函数的周期性及其应用，准确理解周期性的定义是解题的关键,属于中档题.三、解答题21．（1）7；（2）()2f x x x =+，单调递增；（3）-1.【分析】（1）根据题意可得()()3214f f a a =+=+，再由()311f =即可求解. （2）设2(]0,x ∈，则2(2,4]x +∈，代入()()227f x f x +=+即可得出()2f x x x =+，再由分段函数单调性判断方法即可求解.（3）由（2）知，当4x >时，()21f x ≥，且由条件知，()12f =，根据()g x 的单调性可得()1h x ≥恒成立，设cos [0,1]x t =∈，只需不等式222(1)0mt t m +-+≥在[0,1]t ∈上恒成立，讨论m 的取值范围即可求解. 【详解】（1）由题意()12f =，所以()()3214f f a a =+=+， 又()2323631111f =⨯-⨯+=，因为411a +=，所以7a =； （2）设2(]0,x ∈，则2(2,4]x +∈，所以()2222(2)6(2)11227f x x x x x +=+-++=++，又()()227f x f x +=+，代入解得：()2f x x x =+；显然，()f x 在(0,2]，(2,4]上分别是单增函数， 又()26f =，而当2x +→时，7y →， 因为76>，所以()f x 在(0,4]上单调递增； （3）由（2）知，()f x 是区间(0,4]上单调递增， 且(2,4]x ∈时，()419f =，()7f x >，且当4x >时，设(2,22](2,)x n n n n Z ∈+≥∈，则(22)(2,4]x n --∈，()232()2(2)72(4)7(21)2(6)7221f x f x f x f x =-+=-+⋅+=-+⋅++ ()1232[(22)]72221n n n f x n ---=⋅⋅⋅=--+⋅++⋅⋅⋅++ ()123727222121n n n --->⋅+⋅++⋅⋅⋅++≥且由条件知，()12f =； 再看函数()24 log 231x g x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭， 由420031x x +>⇒>-，即定义域为(0,)+∞， 且4231x y =+-在(0,)+∞上单减， 所以()24log 231xg x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭在(0,)+∞上单减，又发现()12g =，所以()()()1f h x g h x h x ≥⇒≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恒成立， 即()22cos 2cos 11x m x +-≥在,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上恒成立， 设cos [0,1]x t =∈，则不等式222(1)0mt t m +-+≥在[0,1]t ∈上恒成立，①当0m =时，不等式化为210t -≥，显然不满足恒成立； ②当0m >时，当0t =代入得()10m -+≥，矛盾；③当0m <时，只需(1)01122(1)01m m m m m m ⎧-+≥≤-⎧⇒⇒=-⎨⎨+-+≥≥-⎩⎩， 综上，实数m 的值为-1． 【点睛】关键点点睛：本题考查了换元法求函数的解析式，函数的单调性，解题的关键是根据函数的单调性得出()1h x ≥，转化为二次不等式恒成立，考查了分类讨论的思想.22．（1）最大值为14，最小值为12-；（2）()11sin 2,0223211sin 2,2232x x g x x x πππππ⎧⎛⎫+--≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪---≤< ⎪⎪⎝⎭⎩.【分析】（1）利用两角和的正弦公式，二倍角公式以及辅助角公式将()f x 化简，再由三角函数的性质求得最值；（2）利用0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()12g x f x =-，对x 分类求出函数的解析式即可. 【详解】（1）()2cos sin 3f x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭π=++2cos sin cos cos sin 334x x x x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭1sin 2244x x =- 1sin 223x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 因为,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 则1sin 21,32x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，111sin 2,2324x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()f x 的最大值为14；()f x 的最小值为12-； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， ()11sin 2223g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，0,22x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ()11sin 22223g x g x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当,2x ππ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭时，0,2x ππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭； ()()11sin 2223g x g x x ππ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭， 综上：()g x 在区间[],0π-上的解析式为：()11sin 2,0223211sin 2,2232x x g x x x πππππ⎧⎛⎫+--≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪---≤< ⎪⎪⎝⎭⎩. 【点睛】关键点睛：本题考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法.熟练掌握两角和的正弦公式，二倍角公式以及辅助角公式是解决本题的关键.23．（1）π；（2）()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）最小值为32；最大值为94. 【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式可求得函数()f x 的最小正周期；（2）解不等式()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，可得出函数()f x 的单调递减区间； （3）由44x ππ-≤≤求出23x π-的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数()f x 的最小值和最大值.【详解】 （1）因为1()sin 2223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==； （2）由()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，得()5111212k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 即函数()f x 的单调递减区间为()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； （3）因为44x ππ-≤≤，所以52636πππ-≤-≤x ，所以， 当232x ππ-=-即12x π=-时，函数()f x 取最小值，()min 13sin 2222f x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭； 当236x ππ-=即4x π=时，函数()f x 取最大值，()max 19sin 2264f x π=+=. 【点睛】 方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.24．（1）π；（2）,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）先利用题中定义计算化简行列式，再利用周期的公式计算即可；（2）先利用()g x 是偶函数计算参数m ，再结合余弦函数图象与性质解不等式即可.【详解】解：（1）依题意得，()22cos 2sin cos 2sin x f x x x x x ==-2sin 2x x =-2cos 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 故()f x 的最小正周期为：22T ππ==； （2）函数()()2cos 22cos 2266g x x m x m ππ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 故2,6m k k Z ππ+=∈，即,122k m k Z ππ=-+∈，又02m π<<可知，1k =时512m π=，故5()2cos 222cos 2126g x x x ππ⎛⎫=+⋅+=- ⎪⎝⎭.故不等式()0g x ≤，即2cos 20x -+≤，即cos 2x ≥， 结合余弦函数图象与性质可知，222,66k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 解得,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈. 故不等式的解集为,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】关键点点睛： 本题解题关键在于读懂新定义中行列式的计算法则，才能结合三角函数的图象与性质突破难点.25．（1）60C =︒；（2. 【分析】（1）利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积公式以及二倍角公式，求得cos C 的值，可得C 的值．（2）利用两角差的正弦公式，正弦定理和余弦定理化简，可得结果．【详解】（1）由题意知，0m n =，即222cos 2sin 02C C -=，21cos 2(1cos )0C C +--=， 22cos cos 10C C +-=，即cos 1C =-，或1cos 2C =， 因为0C π<<，所以60C =︒．（2）2222221122a b c a b c =+⇒-=， 222222sin()sin cos sin cos 2222a a c b b b c a A B A B B A R ac R bc+-+--=-=- ()222214442a b c c sinC cR cR R -=====． 【点睛】本题主要考查两个向量数量积公式，两角差的正弦公式，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．26．（1）2k =-；（2）2k ≠-．【分析】（1）根据向量垂直，其数量积等于0，利用向量数量积公式得到对应的等量关系式，求得结果；（2）平面xOy 内任意向量c ，都存在实数λ、μ，使得c a b λμ=+，其等价结果为向量(1,2)a =-和向量(1,)b k =是两个不共线向量，根据坐标关系得到结果.【详解】（1）若()a a b ⊥+，则有()0a a b ⋅+=，即20a a b +⋅=，又因为(1,2)a =-，(1,)b k =，所以222[(1)2](1)120a a b k +⋅=-++-⋅+=，即5120k -+=，解得2k =-；（2）对于平面xOy 内任意向量c ，都存在实数λ、μ，使得c a b λμ=+，所以向量(1,2)a =-和向量(1,)b k =是两个不共线向量，所以121k -⋅≠⋅，即2k ≠-，所以实数k 的取值范围是2k ≠-.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，平面向量基本定理，一组向量可以作为基底的条件，属于基础题目.。
【人教版】高中数学必修四期末试题带答案
一、选择题1．已知tan 2α=，则sin cos 2sin cos αααα+=-（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-2．设a ＝sin17°cos45°＋cos17°sin45°，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则有( ) A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c3．已知()0,απ∈，()2sin 2cos21παα-=-，则sin α=（ ） A ．15B ．55C ．55-D ．2554．已知A 是函数()333sin(2020)sin(2020)2623f x x x ππ=++-的最大值，若存在实数1x ，2x 使得对任意实数x ，总有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x 的最小值为（ ） A ．2020πB ．1010π C ．32020πD ．32020π 5．设平面向量()a=1,2，()b=2,y -，若a b ，则2a b -等于（ ） A ．4B ．5C ．35D ．45 6．若平面向量与的夹角为，，，则向量的模为（ ） A ．B ．C ．D ．7．已知1a ，2a ，1b ，2b ，()*k b k ⋅⋅⋅∈N是平面内两两互不相等的向量，121a a-=，且对任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈，则k 最大值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．68．如图，已知点D 为ABC 的边BC 上一点，3BD DC =，*()∈n E n N 为AC 边的一列点，满足11(32)4n n n n n E A a E B a E D +=-+，其中实数列{}n a 中，10,1n a a >=，，则{}n a 的通项公式为（ ）A ．1321n -⋅-B ．21n -C ．32n -D ．1231n -⋅-9．已知实数a ，b 满足0<2a <b <3-2a ，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．sin sin2b a < B ．()2cos >cos 3a b -C ．()2sin sin3a b +<D ．23cos >sin 2b a ⎛⎫-⎪⎝⎭10．已知函数()tan()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≠< ⎪⎝⎭，点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是其相邻的两个对称中心，且在区间54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则ϕ=（ ） A ．6πB ．6π-C ．3π D ．3π-11．设函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><.若5()8f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，且1108f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()f x 在443,ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调，则（ ） A ．23ω=，12πϕ=B ．23ω=，1112πϕ=- C ．13ω=，1124πϕ=-D ．13ω=，724πϕ= 12．函数22y cos x sinx ＝－ 的最大值与最小值分别为( ) A ．3，－1 B ．3，－2 C ．2，－1D ．2，－2二、填空题13．已知1sin cos 5αα-=，0απ≤≤，则sin(2)4απ-=__________； 14．已知cosα17=，cos(α﹣β)1314=，且0<β<α2π<，则sinβ=_____. 15．在半径为2的半圆形钢板上截取一块面积最大的矩形，则最大面积是________. 16．圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若2AB AC AO +=，且OA AC =，则向量BA 在向量BC 方向上的投影为_____.17．已知平面向量a ，b ，c 满足45a b ⋅=，4a b -=，1c a -=，则c 的取值范围为________．18．已知||1,||3,0OA OB OA OB ==⋅=|，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则mn等于 ． 19．将函数()sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像先向右平移8π个单位，再将横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变）后，得到函数()g x 的图像，则函数()g x 的解析式为_________. 20．已知函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是奇函数，且在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值是__________．三、解答题21．已知函数21()cos cos 22f x x x x π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭. （1）若对任意,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，都有()f x a ≥成立，求实数a 的取值范围； （2）若先将()y f x =的图像上每个点横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图像向左平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图像，求函数1()3y g x =-在区间[],3ππ-内的所有零点之和.22．已知函数2()sin cos 0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π． （1）求()f x 的解析式；（2）将()f x 图象上所有的点向左平移4π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若对于任意的12,,66x x ππϕϕ⎛⎫∈---+ ⎪⎝⎭，当12x x >时，()()()()1212f x f x g x g x ->-恒成立，求ϕ的取值范围． 23．已知向量a 与b 的夹角为3π，且1a =，2b =. （1）求a b +；（2）求向量a b +与向量a 的夹角的余弦值.24．如图，四边形ABOC 是边长为1的菱形，120CAB ∠=︒，E 为OC 中点．（1）求BC 和BE ；（2）若点M 满足ME MB =，问BE BM ⋅的值是否为定值？若是定值请求出这个值；若不是定值，说明理由．25．已知函数()()sin (0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示．（1）求()f x 的解析式；（2）若将函数()f x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，然后再向左平移12π个单位长度，得到()g x 的图象，求函数()g x 的单调递增区间． 26．在①()f x 的图象关于直线3x π=对称，②()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，③()f x 的图象上最高点中，有一个点的横坐标为6π这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.问题：已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的振幅为2，初相为3π，最小正周期不小于．．．π，且______. （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在区间[],0π-上的最大值和最小值以及取得最大值和最小值时自变量x 的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】已知正切值要求正余弦值，可以利用商的关系将“弦化切”，代入数值即可. 【详解】原式分子分母同除以cos α得 原=tan 12112tan 141αα++==--故选：A. 【点睛】已知正切值求正余弦值,通常有两种做法：一是将所求式子分子分母同除cos α或2cos α，化为tan α求解； 二是利用sin tan cos ααα=得sin tan cos ααα=代入消元即可. 2．A解析：A 【分析】利用两角和的正弦函数公式化简a ,利用二倍角的余弦公式及诱导公式化简b ,再利用特殊角的三角函数值化简c ,根据正弦函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，甶角度的大小，得到正弦值的大小,进而得到,a b 及c 的大小关系.【详解】化简得()17cos45cos1745174562a sin sin sin sin =+=+=，()22cos 131cos26cos 906464b sin =-==-=，60c sin ==，正弦函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数， 606264sin sin sin ∴<<，即c a b <<，故选A. 【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，两角和与差的正弦公式，诱导公式，以及特殊角的三角函数，正弦函数的单调性，属于中档题. 比较大小主要有四种方法：（1）作差法；（2）作商法；（3）函数单调性法；（4）基本不等式法.3．D解析：D 【分析】先利用诱导公式化简，再利用正弦、余弦的二倍角公式化简可得结果 【详解】解：由()2sin 2cos21παα-=-，得2sin 2cos21αα=-， 所以24sin cos 12sin 1ααα=--，即22sin cos sin ααα=-， 因为()0,απ∈，所以sin 0α≠， 所以2cos sin αα=-， 因为22sin cos 1αα+=， 所以221sin sin 14αα+=，所以24sin 5α=，因为()0,απ∈，所以sin 0α>，所以sin 5α=， 故选：D 【点睛】此题考查诱导公式的应用，考查二倍角公式的应用，考查同角三角函数的关系，属于中档题4．C解析：C 【分析】利用三角恒等变换化()f x 为正弦型函数，由此求出A 、T 以及12x x -的最小值，可得解. 【详解】()3sin(2020))263f x x x ππ=+-，392020cos 2020cos 2020202044x x x x =+-，320220cos 20202x x =-3sin(2020)6x π=-，∴max ()3A f x ==，又存在实数1x ，2x ，对任意实数x 总有12()()()f x f x f x ≤≤成立， ∴2max ()()2f x f x ==，1min ()()2f x f x ==-， 则12x x -的最小值为函数()f x 的半个最小正周期长度，12min 1122220202020x x T ππ∴-==⨯=∴()12min32020A x x π⋅-=， 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的最值，着重考查两角和与差的正弦与余弦，考查三角恒等变换，突出正弦函数的周期性的考查，属于中档题．5．D解析：D 【分析】利用向量共线定理即可得出y ，从而计算出2a b -的坐标，利用向量模的公式即可得结果. 【详解】//,220a b y ∴-⨯-=，解得4y =-，()()()221,22,44,8a b ∴-=---=，2224845a b ∴-=+=，故选D.【点睛】本题主要考查平面向量平行的性质以及向量模的坐标表示，属于中档题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.6．C解析：C 【解析】，，又，，则，故选7．D解析：D 【分析】根据向量的几何意义把抽象问题具体化，转化到圆与圆的位置关系问题. 【详解】如图所示，设11OA a =，22OA a =，此时121A A =，由题意可知：对于任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈， 作j j OB b =则有1j A B 等于1或2，且2j A B 等于1或2， 所以点(1,2,,)j B j k =同时在以(1,2)i A i =为圆心，半径为1或2的圆上，由图可知共有6个交点满足条件，故k 的最大值为6.故选：D. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的应用.8．D解析：D 【分析】以BA 和BC 为基底，表示n BE ，根据n E ，A ，C 三点共线，可得1193331442+-++=++n n n a a a ，构造等比数列，即可求出通项公式. 【详解】113(32),44+=-+=-=-n n n n n n n n E A a E B a E D E D BD BE BC BE , 113(32)()44n n n n n E A a E B a BC BE +∴=-+-113(32)(32)44n n n n a a E B a BC +=---+ 又=-n n E A BA BE113(32)(32=)44+∴---+-n n n n n a a E B a BC BA BE113(33)(32)44+-∴++=++n n n n a a BE a BC BA因为n E ，A ，C 三点共线113(33)1(32)44+-++=++∴n n n a a a ，即1=32++n n a a ，即1+1=3(1)++n n a a ，所以数列{1}n a +是等比数列，首项为2，公比为3．1+1=23-∴⋅n n a ，即1=23-1-⋅n n a ， 故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量基本定理和等比数列的通项公式，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题.9．D解析：D 【分析】对各个选项一一验证：对于A.由0<2a <b <3-2a ，可以判断出2ba <，借助于正弦函数的单调性判断； 对于B.由0<2a <b <3-2a ，可以判断出23a b <-，借助于余弦函数的单调性判断； 对于C.由0<2a <b <3-2a ，可以判断出23a b +<，借助于正弦函数的单调性判断； 对于D.先用诱导公式转化为同名三角函数，借助于余弦函数的单调性判断； 【详解】 因为0<2a <b <3-2a 对于A. 有0<2b a <， 若22b a π<<，有sin sin 2b a <；若22b a π<<，有sin sin 2ba >，故A 错； 对于B.有 23ab <-，若232a b π<<-，有()2cos >cos 3a b -，故B 错；对于C. 23a b +<，若232a b π<+<，有()2sin sin 3a b +>，故C 错；对于D. 222333sin cos cos 2222a a a ππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为b <3-2a <3，所以2cos >cos(3)b a - ∵22332a a π+-<-∴()223cos 3cos 2a a π+⎛⎫->-⎪⎝⎭∴()22233cos cos 3cos sin 22a a b a π+⎛⎫⎛⎫>->-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 对. 故选：D. 【点睛】利用函数单调性比较大小，需要在同一个单调区间内．10．A解析：A 【分析】由正切函数的图象性质，得出相邻两个对称中心之间的距离为半个周期，可求出T ，然后由T πω=求出ω，然后再代点讨论满足题意的ϕ，即可得出答案. 【详解】由正切函数图象的性质可知相邻两个对称中心的距离为2T ，得72263T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 则由1T πω==得1ω=，即得1ω=±. 由2πϕ<，且在区间54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则可得1ω=-， ∴()()()tan tan f x x x ϕϕ=-+=--. 由2,32k k Z ππϕ-=∈得2,32k k Z ππϕ=-∈，因2πϕ<，可得6π=ϕ或3π-，当3πϕ=-时，()tan +3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由+,232k x k k Z πππππ-<<+∈，得5,66k x k k Z ππππ-<<+∈， 则函数()f x 的单调减区间为5,,66k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭， 令1k =，由54,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭7,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭⊄，得函数()f x 在54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不是单调递减， 所以3πϕ=-不满足题意；当6π=ϕ时，()tan 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由,262k x k k Z πππππ-<-<+∈，得2,33k x k k Z ππππ-<<+∈， 则函数()f x 的单调减区间为2,,33k k k Z ππππ⎛⎫-+∈⎪⎝⎭， 令1k =，由25,3354,63ππππ⎛⎫⊂⎛⎫ ⎪⎝ ⎪⎝⎭⎭，得函数()f x 在54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 所以6π=ϕ满足题意；综上可得：6π=ϕ满足题意. 故选：A.【点睛】关键点睛：正切型函数的对称中心和单调性的问题，通常采用代入检验法，注意正切函数的对称中心为0,2k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭，. 11．A解析：A 【分析】5()8f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，可得 58x π=时函数取得最大值，则函数满足518f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，1108f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 在443,ππ⎛⎫-⎪⎝⎭单调，再利用排除法可得答案. 【详解】 因为5()8f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则58x π=时函数取得最大值， 所以函数满足518f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，1108f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 在443,ππ⎛⎫-⎪⎝⎭单调， 对于A ，若23ω=，12πϕ=，可得2()sin 312f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，5sin 182f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，11sin 08f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，3254412,,4,31222x x πππππππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤∈-⇒+∈-⊆- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则2()sin 312f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在443,ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，故A 符合题意； 对于B ，若23ω=，1112πϕ=-，可得211()sin 312f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，5sin 1182f ππ⎛⎫⎛⎫=-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 不符合题意； 对于C ，若13ω=，1124πϕ=-，可得111()sin 324f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，5sin 1842f ππ⎛⎫⎛⎫=-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 不符合题意； 对于D ，若13ω=，724πϕ=，可得17()sin 324f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，113sin 0842f ππ⎛⎫==≠ ⎪⎝⎭，故D 不符合题意； 故选：A.【点睛】方法点睛：特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n 项和公式问题等等.12．D解析：D 【解析】分析：将2cos x 化为21sin x -，令()sin 11x t t =-≤≤，可得关于t 的二次函数，根据t 的取值范围，求二次函数的最值即可.详解：利用同角三角函数关系化简，22cos 2sin sin 2sin 1y x x x x =-=--+ 设()sin 11x t t =-≤≤，则()()22211211y t t t t =--+=-++-≤≤，根据二次函数性质当1t =-时，y 取最大值2，当1t =时，y 取最小值2-. 故选D.点睛：本题考查三角函数有关的最值问题，此类问题一般分为两类，一种是解析式化为2sin sin y A x B x C =++的形式，用换元法求解；另一种是将解析式化为()sin y A x k ωϕ=++的形式，根据角的范围求解.二、填空题13．【分析】由题意和同角三角函数基本关系可得和进而由二倍角公式可得和代入两角差的正弦公式计算可得【详解】又故解得故答案为：【点睛】本题考查两角和与差的三角函数公式涉及同角三角函数的基本关系和二倍角公式属解析：50【分析】由题意和同角三角函数基本关系可得sin α和cos α，进而由二倍角公式可得sin 2α和cos2α，代入两角差的正弦公式计算可得． 【详解】221sin cos ,sin cos 15αααα-=+=又0απ≤≤，sin 0α∴≥，故解得4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，24sin 22sin cos 25ααα∴==， 227cos 2cos sin 25ααα=-=-，sin(2)224πααα∴-=247()22525=+50=.故答案为：50. 【点睛】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系和二倍角公式，属中档题．14．【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得的值由的值【详解】依题意则所以所以所以故答案为：【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正弦公式考查化归与转化的数学思想方法属于基础题【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得()sin ,sin ααβ-的值，由()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦的值. 【详解】 依题意02πβα<<<，则02πβ>->-，所以02παβ<-<，所以sin α==，()sin αβ-==()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()sin cos cos sin ααβααβ=---131147=-==故答案为：2【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.15．4【分析】做出图像由三角函数定义设其中一个顶点坐标从而表示矩形的长与宽进而表示面积求出最大值【详解】由题可构建图像根据三角函数的定义可知所以矩形的面积当时故答案为：4【点睛】本题考查三角函数定义的实解析：4 【分析】做出图像，由三角函数定义设其中一个顶点坐标，从而表示矩形的长与宽，进而表示面积，求出最大值. 【详解】 由题可构建图像根据三角函数的定义，可知()2cos ,2sin A αα 所以矩形的面积4cos 2sin 4sin2S ααα=⋅= 当4πα=时，max 4sin 244S π⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭故答案为：4 【点睛】本题考查三角函数定义的实际应用，注意建模，再借助三角函数求最值，属于中档题.16．3【分析】根据向量关系即可确定的形状再根据向量投影的计算公式即可求得结果【详解】因为圆O 为△ABC 的外接圆半径为2若故可得是以角为直角的直角三角形又因为且外接圆半径是故可得则故向量在向量方向上的投影解析：3 【分析】根据向量关系，即可确定ABC 的形状，再根据向量投影的计算公式，即可求得结果.【详解】因为圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若2AB AC AO +=， 故可得ABC 是以角A 为直角的直角三角形.又因为OA AC =，且外接圆半径是2， 故可得224BC OA AC ===， 则2223AB BC AC -=，32AB cos ABC BC ∠==， 故向量BA 在向量BC 方向上的投影为3233AB cos ABC ⨯∠==.故答案为：3. 【点睛】本题考查向量数量积的几何意义，属中档题.17．【分析】结合已知条件画出图象由的几何意义求得的取值范围【详解】如图所示设设是线段的中点依题意可知由于所以即解得所以即所以根据向量模的几何意义可知点在以为圆心为半径的圆上所以所以即的取值范围为故答案为 解析：[]4,10【分析】结合已知条件画出图象，由c 的几何意义求得c 的取值范围. 【详解】如图所示，设,,OA a OB b OC c ===，设D 是线段AB 的中点. 依题意可知4,1,2AB AC AD BD ====， 由于45a b ⋅=所以45OA OB ⋅=，即()()()()222224544OA OB OA OB OD BA +---==222441644OD BAOD --==，解得7OD =.所以59OD AD OA OD AD =-≤≤+=, 即59OA ≤≤，所以418,6110OA OA ≤-≤≤+≤根据向量模的几何意义可知，点C 在以A 为圆心，1为半径的圆上， 所以()()minmax11OA OC OA -≤≤+，所以410OC ≤≤，即c 的取值范围为[]4,10. 故答案为：[]4,10【点睛】本小题主要考查向量数量积的运算，考查向量模的几何意义，属于中档题.18．【详解】方法一：①又②③将②③代入①得：所以点在内所以方法二：以直线OAOB 分别为轴建立直角坐标系则设又得即解得故答案为：3解析：【详解】 方法一：3cos 2OA OC AOC OA OC⋅∠==⋅, ① 又()2OA OC OA mOA nOB m OA m ⋅=⋅+==, ②22222222||()||||23OC mOA nOB m OA n OB mnOA OB m n =+=++⋅=+, ③将②③代入①得：22323m n=+，所以229m n =，点C 在AOB ∠内， 所以3mn=. 方法二：以直线OA ,OB 分别为,x y 轴建立直角坐标系，则()(10,03A B ，， ,设()1cos30,sin 30=,2OC λλ⎫=︒︒⎪⎪⎝⎭， 又()(()1,0OC mOA nOB m n m =+=+=，得()1,=22m λ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，即=212m λλ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得3mn=. 故答案为：3.19．【分析】利用函数的图象变换规律即可得到的解析式【详解】函数的图像先向右平移个单位后解析式变为：再将横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变）后解析式变为：所以故答案为：【点睛】方法点睛：函数的图像与函数的 解析：cos4x -【分析】利用函数()()sin f x A x =+ωϕ的图象变换规律，即可得到()g x 的解析式． 【详解】函数()sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像先向右平移8π个单位后解析式变为： sin 2sin 2co 288s 2y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变）后解析式变为：()cos 22x y -=⨯，所以()cos 4g x x =-. 故答案为：cos4x -. 【点睛】方法点睛：函数sin ωφf xA xB 的图像与函数sin y x =的图像两者之间可以通过变化A ，ω，φ，B 来相互转化，A 、ω影响图像的形状，φ、B 影响图像与x 轴交点的位置，由A 引起的变换称为振幅变换，由ω引起的变换称为周期变换，它们都是伸缩变换；由φ引起的变换称为相位变换，由B 引起的变换称为上下平移变换，它们都是平移变换.三角函数图像变换的两种方法为先平移后伸缩和先伸缩后平移.20．【分析】先根据函数为奇函数结合的取值范围可求得的值化简可得由求得可得出进而得出关于的不等式组由此可得出实数的最大值【详解】函数是奇函数则函数在区间上单调递减则解得因此的最大值是故答案为：【点睛】本题 解析：2【分析】先根据函数()y f x =为奇函数结合ϕ的取值范围可求得ϕ的值，化简可得()sin f x x ω=-，由,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求得,64x πωπωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得出,,6422πωπωππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，进而得出关于ω的不等式组，由此可得出实数ω的最大值. 【详解】函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是奇函数，则()0cos 0f ϕ==，0ϕπ≤≤，2πϕ∴=，()cos sin 2f x x x πωω⎛⎫∴=+=- ⎪⎝⎭.,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,64x πωπωω⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦. 函数()y f x =在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，则,,6422πωπωππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 62420πωππωπω⎧-≥-⎪⎪⎪∴≤⎨⎪>⎪⎪⎩，解得02ω<≤，因此，ω的最大值是2.故答案为：2. 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，主要考查利用奇偶性与单调性求参数，考查计算能力，属中等题．三、解答题21．（1）1a ≤-，（2）6π 【分析】（1）先对函数()f x 化简变形，然后求出函数()f x 在,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的最小值，则可得到实数a 的取值范围；（2）根据题意，利用函数sin()y A x ωϕ=+的图像变换规律，先得到()g x 的解析式，函数1()3y g x =-在区间[],3ππ-内的所有零点，即1sin 3x =的实数根，它的实数根共4个，再根据正弦函数图像的对称性得到结论 【详解】解：（1）21()cos cos 22f x x x x π⎛⎫=++-⎪⎝⎭21cos (2sin 1)2x x x =+-12cos 2sin(2)26x x x π=-=-， 若对任意,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，都有()f x a ≥成立，则只需min ()f x a ≥即可， 因为,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以552[,]666x πππ-∈-，所以当262x ππ-=-即π6x =-时，()f x 取得最小值为1-，所以1a ≤-， （2）先将()f x 的图像上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得sin()6y x π=-的图像，然后再向左平移6π个单位得到函数()sin g x x =的图像，函数1()3y g x =-在区间[],3ππ-内的所有零点，即1sin 3x =的实数根，它的实数根共4个，设为1234,,,x x x x ，则根据对称性可知这4个根关于直线32x π=对称，所以1234342x x x x π+++=，所以12346x x x x π+++= 【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数恒等变换、正弦函数的定义域和值域，函数恒成立问题，函数sin()y A x ωϕ=+的图像变换规律，第2问解题的关键是运用正弦函数的对称性进行求解，属于中档题22．（1）()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）08πϕ<≤【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式可得()sin 23f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由22T ππω==即可求解.（2）由三角函数的平移变换可得()cos 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设()()()212h x f x g x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，将不等式化为()h x 在区间,66ππϕϕ⎛⎫---+ ⎪⎝⎭上单调递增，只需22,22,2,124422x k k k Z πππππϕϕππ⎛⎫⎡⎤+∈---+⊆-++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即可.【详解】（1）()2sin 2()sin cos 1cos 22x f x x x x x ωωωωω=+=++-1cos 2sin 2sin 2223x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 又0>ω，22T ππω==，解得1ω=， 所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （2）由题意可得()sin 2cos 2433g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 设()()()sin 2cos 233h x f x g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223412x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12,,66x x ππϕϕ⎛⎫∈---+ ⎪⎝⎭，当12x x >时，()()()()1212f x f x g x g x ->-恒成立，即()()()()1122f x g x f x g x ->-恒成立， 即()()12h x h x >恒成立，()h x ∴在区间,66ππϕϕ⎛⎫---+ ⎪⎝⎭上单调递增，,66x ππϕϕ⎛⎫∈---+ ⎪⎝⎭，则22,22,2,124422x k k k Z πππππϕϕππ⎛⎫⎡⎤+∈---+⊆-++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 224222422244k k ππϕπππϕπππϕϕ⎧--≥-+⎪⎪⎪∴-+≤+⎨⎪⎪--<-+⎪⎩，8380k k πϕππϕπϕ⎧≤-⎪⎪⎪∴≤+⎨⎪>⎪⎪⎩， 08πϕ∴<≤【点睛】关键点点睛：本题考查了三角恒等变换、三角函数的平移变换，三角函数的单调性，解题的关键是结合不等式将问题转化为()()()212h x f x g x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭在区间是单调递增函数，考查了计算能力、分析能力以及转化能力.23．（1；（2. 【分析】（1）由已知利用平面向量数量积公式可得1a b ⋅=，平方后根据向量数量积的运算可求||a b +的值．（2）结合（1），根据已知条件，由向量夹角的余弦公式即可求解．【详解】（1）向量a 与b 的夹角为3π，且||1a =，||2b =， ∴||||cos a b a b a ⋅=<，112cos12132b π>=⨯⨯=⨯⨯=．222||()2142a b a b a b a b ∴+=+=++⋅=++=．（2）设向量a b +与向量a 的夹角θ，22()||27cos ||||||||||||71a b a a a b a a b a b a a b a a b a θ+⋅+⋅+⋅∴=====+⋅+⋅+⋅⨯． 【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的余弦公式，属于中档题． 24．（1）3BC =；7BE =2）是定值，78. 【分析】 （1）由()22BC AC AB =-，()2212BE BO BC ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，结合数量积公式得出BC 和BE ；（2）取BE 的中点N ，连接MN ，由ME MB =，得出MN BE ⊥，由BM BN NM =+，结合数量积公式计算BE BM ⋅，即可得出定值.【详解】 （1）∵BC AC AB =-∴222211211cos1203BC AC AB AB AC =+-⋅=+-⨯⨯⨯︒=∴3BC =又()12BE BO BC =+∴()222117213214424BE BO BC BO BC ⎛=++⋅=++⨯= ⎝⎭∴72BE = （2）取BE 的中点N ，连接MN∵ME MB =，∴MN BE ⊥，且BM BN NM =+∴()BE BM BE BN NM BE BN BE NM ⋅=⋅+=⋅+⋅211177022248BE BE BE =⋅+==⨯= ∴78BE BM ⋅=（为定值）【点睛】本题主要考查了利用定义计算数量积以及模长，涉及了向量加减法的应用，属于中档题. 25．（1）1()sin(2)26f x x π=-；（2）,,26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）由有图像，根据最大值求A ,利用周期求ω，利用最高点的坐标求φ；（2）根据图像变换求出()g x 的解析式，然后求正弦型函数的单调区间.【详解】（1）根据函数的图象得：1,42312A T πππ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，故=2ω， 将1,32π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数的关系式，整理得22()32k k Z ππϕπ+=+∈， 由于0||2πϕ<<，所以6πϕ=-． 故1()sin(2)26f x x π=-. （2）1()sin(2)26f x x π=-，将函数()f x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半得1sin(4)26y x π=-，再向左平移12π个单位长度，得到1()sin 4()2126g x x ππ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦ 1()sin(4)26g x x π=+. 令242,262k x k k Z ππππ-≤+≤π+∈， 整理得,26212k k x k Z ππππ-≤≤+∈， 所以函数的单调递增区间为：,,26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． 【点睛】(1)求三角函数解析式的方法：①求A 通常用最大值或最小值；②求ω通常用周期；③求φ通常利用函数上的点带入即可求解；(2)关于三角函数图像平移伸缩变换：先平移的话，如果平移a 个单位长度那么相位就会改变ωa ；而先伸缩势必会改变ω大小，这时再平移要使相位改变值仍为ωa ，那么平移长度不等于a .(3)求y =Asin (ωx +φ)+B 的单调区间通常用“同增异减”.26．（1）见解析（2）见解析【分析】（1）由题意可知2,3A πϕ==，选择条件①，由正弦函数的对称性求出ω，进而得出解析式；选择条件②，由正弦函数的对称性求出ω，进而得出解析式；选择条件③，由正弦函数的性质求出ω，进而得出解析式；（2）由[],0x π∈-，求出x ωϕ+的范围，再结合正弦函数的性质求出最值.【详解】（1）由题意可知2,3A πϕ==选择条件①因为()f x 的图象关于直线3x π=对称，所以332k πππωπ+=+，解得13,2k k Z ω=+∈ 由21321302k k k Z ππ⎧≥⎪+⎪⎪⎨⎪+>⎪⎪∈⎩，解得0k =，即12ω= 故1()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ 选择条件②因为()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，所以,26,63k k k Z ππωπω-+==-∈ 由226260k k k Zππ⎧≥⎪-⎪⎨->⎪⎪∈⎩，解得0k =，即2ω= 故()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 选择条件③因为()f x 的图象上最高点中，有一个点的横坐标为6π，所以2,632k k Z πππωπ+=+∈，解得112,k k Z ω=+∈ 由21121120k k k Zππ⎧≥⎪+⎪⎨+>⎪⎪∈⎩，解得0k =，即1ω= 故()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）选择条件① 1,2363x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦当1236x ππ+=-，即x π=-时，min ()2sin 16f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当1233x ππ+=，即0x =时，max ()2sin 3f x π== 选择条件② 52,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦ 当5233x ππ+=-或233x ππ+=，即x π=-或0x =时，max ()2sin 3f x π== 当232x ππ+=-，即512x π=-时，min ()2sin 22f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭选择条件③2,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦当33x ππ+=，即0x =时，max ()2sin 3f x π==当32x ππ+=-，即65x π=-时，min ()2sin 22f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：解决本题的关键是将正弦型函数的问题转化为正弦函数的性质进行求解，利用已知知识解决未知问题.。
新人教A版高中数学必修四第二学期期末考试测试题(数学)(含答案)
西安市第一中学 第二学期期末 数学（必修4）试题一、选择题（每小题3分，共36分）1．角/0301190-是第（ ）像限角A.第一像限角B.第二像限角C.第三像限角D.第四像限角 2．若31)6sin(=-απ，则=+)232cos(απ（ ）A.97-B.31-C.31D.973.已知角α的终边经过点（-3，4），则角α的余弦值为（ ）A.53-B.53C.54-D.34-4.]2,0[,sin 1π∈+=x x y 的图像与直线23=y 的交点个数是（ ）A.0B.1C.2D.3 5.下列表达式中，正确的是（ ）A.βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+B.βαβαβαcos sin sin cos )sin(+=+C.βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=-D.βαβαβαcos sin sin cos )sin(-=- 6.若m =---αβααβαsin )cos(cos )sin(，且β为第三像限角，则βcos 的值为（ ） A.21m - B.21m -- C.12-m D.12--m7.已知点A （1，0），B （0，2），C （-1，-2），则平行四边形ABCD 的顶点D 的坐标为（ ） A.(0,4) B.(-4,0) C.(4,0) D.(0,-4)8.已知点G 是三角形ABC 内一点，且=++，则点G 是三角形ABC 的（ ） A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心9.已知向量)15sin ,15(cos ),75sin ,75(cos 0000==b a ，则向量a 与向量b 的夹角为（ ） A.900 B.00 C.450 D.600 10.在区间]2,0[π中，使x x sin tan <成立的x 的取值范围是（ ）A.)2,23()2,0(πππB.)23,()2,0(πππC.)23,2(ππD.)2,23(),2(ππππ11.函数]32,0[),2cos()2sin(πθπθπθ∈+-=y 的最小值是（ ）A.-1B.21- C.23- D.43-12.下面四个条件：①e b a 3=+且e b a 5=-；②),(2121R x x x x ∈=+；③λ=且λ唯一（R ∈λ且≠）；④)0,(0=+∈=+y x R y x b y a x 且. 其中能使a 与b 共线的是（ ）A.①②B.①③C.②④D.③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 13.求值：0075sin 15sin =_________________ 14.=-+_________15.已知三个向量),10(),5,4(),12,(k k ===，且A 、B 、C 三点共线，则_________=k 16.已知直线1l ：01243=-+y x 和2l ：0287=-+y x ，则直线1l 和2l 的夹角为________17. 已知向量),sin ,(cos θθ=向量)1,3(-=，则-2的最大值和最小值分别是______ 三、解答题（共49分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 18．(本题满分9分)已知23cos <θ，请直接写出θ的取值范围. 19．(本题满分10分)若41)4tan(,52)tan(=-=+πββα，求)4tan(πα+的值. 20．(本题满分10分)已知向量),1,(),2,1(x b a == （1）当2+与-2平行时，求x ； （2）当2+与-2垂直时，求x .21.（本题满分10分）已知A 、B 、C 三点的坐标分别是A （3，0）、B （0，3）、C （ααsin ,cos ）， 其中232παπ<<.(1)=，求角α的值； (2)若1-=⋅，求α2sin .22．(本题满分10分)已知函数.23)3sin(cos 2)(-+=πx x x f （1）求函数)(x f 的最小正周期T ；（2）在给定坐标系中，用“五点法”作出函数)(x f 在一个周期上的图像. （3）把)(x f 的图像向左平移12π个单位，得函数)(x g 的图像，请判断函数)(x g 的奇偶性. 高一数学《必修4》答案一、选择题（每小题3分，共30分）1.C2.A3.A4.C5.B6.B7.D8.A9.D 10.D 11.D 12.B 二、填空题（每空3分，共15分） 13．41； 14. 0. 15．-2或11. 16. 450. 17. 4，0. 三、解答题：（共49分）18.(9分) 解：利用单位圆或余弦曲线，得ππθππk k 261126+<<+，.Z k ∈ （答对一边，可得3分，全对9分） 19.（10分）解：)]4()tan[()4tan(πββαπα--+=+3分)4tan()tan(1)4tan()tan(πββαπββα-++--+= 7分223415214152=⨯+-= 10分20.（10分）解：由已知得)3,2(2),4,21(2x x -=-+=+ 4分（1）由0)2(43)21(=-⋅-⋅+x x 得21=x ； 7分 （2）由034)2()21(=⨯+-⋅+x x 得2-=x 或27=x . 10分21.（10分） 解：（1）).3sin ,(cos ),sin ,3(cos -=-=αααα 2分.sin 610cos 610αα-=-==，得1tan cos sin =⇒=ααα， 4分.45),23,2(παππα=∴∈ 5分（2）由1-=⋅，得 1)3(sin sin )3(cos cos -=-+-αααα， ,32cos sin =+∴αα 8分 .951)cos (sin cos sin 22sin 2-=-+==∴ααααα 10分22.（10分）解：（1）23)3sincos 3cos(sin cos 2)(-+=ππx x x x f x x 2cos 232sin 21+==)32sin(π+x . π=∴T ； 4分 （2）列表：描点画图：8分(3)x x g 2cos )(=,是偶函数. 10分。
高中数学必修四期末试题和答案解析
必修四期末测试题一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．sin 150°的值等于( )． A ．21B ．－21 C ．23 D ．－23 2．已知＝(3，0)等于( )． A ．2B ．3C ．4D ．53．在0到2?范围内，与角－34π终边相同的角是( )． A ．6πB ．3πC ．32π D ．34π 4．若cos ?＞0，sin ?＜0，则角 ??的终边在( )． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．sin 20°cos 40°＋cos 20°s in 40°的值等于( )． A ．41B ．23 C ．21D ．43 6．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是( )． A ．＝ B ．－＝ C ．＋＝ D ．＋＝7．下列函数中，最小正周期为 ??的是( )． A ．y ＝cos 4xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝sin2x D ．y ＝cos4x 8．已知向量a ＝(4，－2)，向量b ＝(x ，5)，且a ∥b ，那么x 等于( )． A ．10B ．5C ．－25 D ．－109．若tan ?＝3，tan ?＝34，则tan(?－?)等于( )． A ．－3B ．3C ．－31D ．3110．函数y ＝2cos x －1的最大值、最小值分别是( )．A ．2，－2B ．1，－3C ．1，－1D ．2，－111．已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (－1，0)，B (1，2)，C (0，c )，若⊥BC ，那么c 的值是( )． A ．－1B ．1C ．－3D ．3BAC (第6题)12．下列函数中，在区间[0，2π]上为减函数的是( )． A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝tan xD ．y ＝sin(x －3π) 13．已知0＜A ＜2π，且cos A ＝53，那么sin 2A 等于( )． A ．254B ．257 C ．2512 D ．2524 14．设向量a ＝(m ，n )，b ＝(s ，t )，定义两个向量a ，b 之间的运算“⊗”为a ⊗b ＝(ms ，nt )．若向量p ＝(1，2)，p ⊗q ＝(－3，－4)，则向量q 等于( )．A ．(－3，－2)B ．(3，－2)C ．(－2，－3)D ．(－3，2)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 15．已知角 ??的终边经过点P (3，4)，则cos ??的值为 ．16．已知tan ?＝－1，且 ?∈[0，?)，那么 ??的值等于 ．17．已知向量a ＝(3，2)，b ＝(0，－1)，那么向量3b －a 的坐标是 ．18．某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似 满足函数T ＝A sin(?t ＋?)＋b (其中2π＜?＜?)，6 时至14时期间的温度变化曲线如图所示，它是上 述函数的半个周期的图象，那么这一天6时至14 时温差的最大值是 °C ；图中曲线对应的 函数解析式是________________．三、解答题：本大题共3小题，共28分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．(本小题满分8分) 已知0＜?＜2π，sin ?＝54．(1)求tan ??的值； (2)求cos 2?＋sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛2π ＋ α的值．(第18题)20．(本小题满分10分)已知非零向量a ，b 满足|a |＝1，且(a －b )·(a ＋b )＝21． (1)求|b |；(2)当a ·b ＝21时，求向量a 与b 的夹角 ??的值．21．(本小题满分10分) 已知函数f (x )＝sin ?x (?＞0)．(1)当 ?＝?时，写出由y ＝f (x )的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象所对应的函数解析式； (2)若y ＝f (x )图象过点(3π2，0)，且在区间(0，3π)上是增函数，求 ??的值．期末测试题参考答案一、选择题： 1．A解析：sin 150°＝sin 30°＝21． 2．B＝0＋9＝3． 3．C解析：在直角坐标系中作出－34π由其终边即知． 4．D解析：由cos ?＞0知，??为第一、四象限或 x 轴正方向上的角；由sin ?＜0知，??为第三、四象限或y 轴负方向上的角，所以 ??的终边在第四象限．5．B解析：sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°＝sin 60°＝23． 6．C解析：在平行四边形ABCD 中，根据向量加法的平行四边形法则知＋＝． 7．B 解析：由T ＝ωπ2＝?，得 ?＝2．8．D解析：因为a ∥b ，所以－2x ＝4×5＝20，解得x ＝－10． 9．D解析：tan(?－?)＝βαβαtan tan ＋1tan －tan ＝4＋134－3＝31． 10．B解析：因为cos x 的最大值和最小值分别是1和－1，所以函数y ＝2cos x －1的最大值、最小值分别是1和－3．11．D解析：易知＝(2，2)，＝(－1，c －2)，由⊥，得2×(－1)＋2(c －2)＝0，解得c ＝3．12．A解析：画出函数的图象即知A 正确． 13．D解析：因为0＜A ＜2π，所以sin A ＝54＝cos －12A ，sin 2A ＝2sin A cos A ＝2524．14．A解析：设q ＝(x ，y )，由运算“⊗”的定义，知p ⊗q ＝(x ，2y )＝(－3，－4)，所以q ＝(－3，－2)．二、填空题： 15．53． 解析：因为r ＝5，所以cos ?＝53． 16．43π． 解析：在[0，?)上，满足tan ?＝－1的角 ??只有43π，故 ?＝43π． 17．(－3，－5)．解析：3b －a ＝(0，－3)－(3，2)＝(－3，－5)． 18．20；y ＝10sin(8πx ＋43π)＋20，x ∈[6，14]． 解析：由图可知，这段时间的最大温差是20°C ．因为从6~14时的图象是函数y ＝A sin(?x ＋?)＋b 的半个周期的图象，所以A ＝21(??－??)＝10，b ＝21(30＋１0)＝20． 因为21·ωπ2＝14－6，所以 ?＝8π，y ＝10sin ⎪⎭⎫⎝⎛ϕ ＋ 8πx ＋20．将x ＝6，y ＝10代入上式，得10sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯ϕ ＋ 68π＋20＝10，即sin ⎪⎭⎫⎝⎛ϕ ＋ 43π＝－1，由于2π＜?＜?，可得 ?＝43π．综上，所求解析式为y ＝10sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛43π ＋ 8πx ＋20，x ∈[6，14]．三、解答题： 19．解：(1)因为0＜?＜2π，sin ?＝54， 故cos ?＝53，所以tan ?＝34．(2)cos 2?＋sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 2π＝1－2sin 2? ＋cos ?＝?－2532＋53＝258．20．解：(1)因为(a －b )·(a ＋b )＝21，即a 2－b 2＝21， 所以|b |2＝|a |2－21＝1－21＝21，故|b |＝22．(2)因为cos ?＝ba ba ·＝22，故 ?＝??°．21．解：(1)由已知，所求函数解析式为f (x )＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π － x ．(2)由y ＝f (x )的图象过⎪⎭⎫⎝⎛0 ， 32π点，得sin 32π?＝0，所以32π?＝k ?，k ∈Z ．即 ?＝23k ，k ∈Z ．又?＞0，所以k ∈N*． 当k ＝1时，?＝23，f (x )＝sin 23x ，其周期为34π， 此时f (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛3π ，0上是增函数； 当k ≥2时，?≥3，f (x )＝sin ?x 的周期为ωπ2≤32π＜34π， 此时f (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛3π ，0上不是增函数． 所以，?＝23．。
【人教版】高中数学必修四期末试卷含答案
一、选择题1．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，且4cos 5α=，2sin()3αβ+=，则（ ）A ．0,3πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．,32ππβ⎛⎫∈⎪⎝⎭ C ．2,23ππβ⎛⎫∈⎪⎝⎭D ．2,3πβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭2．在ΔABC 中,2sin (22c a Ba b c c -=、、分别为角A B C 、、的对边),则ΔABC 的形状为 A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形3．设等差数列{}n a 满足：()22222222272718sin cos cos cos sin sin 1sin a a a a a a a a -+-=+，公差()1,0d ∈-．若当且仅当11n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是（ ） A ．9,10ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．9,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,10ππ⎛⎫⎪⎝⎭4．若tan 2θ=，则cos2(θ= ) A ．45B ．45-C ．35D ．35-5．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝13BC ，则AM ·MN ＝（ ） A ．6B ．4C ．3D ．26．设θ为两个非零向量,a b 的夹角，且6πθ=，已知对任意实数t ，b ta +的最小值为1，则b =（ ） A ．14B ．12C ．2D ．47．在ABC ∆中，060BAC ∠=，5AB =，6AC =，D 是AB 上一点，且5AB CD ⋅=-，则BD 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．设非零向量a 与b 的夹角是23π，且a a b =+，则22a tb b+的最小值为（ ）A．3B ．2C ．12D ．19．函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 为奇函数B ．函数()g x 的最小正周期为2πC ．函数()g x 的图象的对称轴为直线()6x k k ππ=+∈ZD ．函数()g x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z10．函数()()sin cos y x =的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11．将函数sin()y x ϕ=+的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移12π个单位后得到的函数图像关于原点中心对称，则sin 2ϕ=( )A ．12-B ．12C ．3D ．3212．函数2()cos sin (R)f x x x x =+∈的最小值为（ ） A ．54B ．1C ．1-D ．2-二、填空题13．已知函数()2cos 3sin cos f x x x x =+在区间[]0,m 上单调递增，则实数m 的最大值是______.14．函数2cos sin y x x =+的最大值为____________． 15．已知α满足1sin 3α=，那么ππcos cos 44αα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为________. 16．已知0a b c ++=，3a =，4b =，5c =，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=______； 17．已知P 为圆22(4)2x y +-=上一动点，点()1,1Q ，O 为坐标原点，那么OP OQ ⋅的取值范围为________．18．已知平面向量a ，b 满足3a b +=，3a b -=，则向量a 与b 夹角的取值范围是______.19．函数f (x )=A sin(ωx +φ)(00)2A πωϕ>><，，的部分图象如图所示，则f (0)的值为___________.20．将函数sin y x =图像上所有点向左平移4π个单位，再将横坐标变为原来的1ω倍(0)>ω，纵坐标不变，得到函数()y f x =图像，若函数()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一条对称轴和一个对称中心，则ω的取值范围为_______________．三、解答题21．在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． ①函数1()cos sin (0)2264f x x x ωωπω⎛⎫⎛⎫=+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．②函数31()sin +cos()(0)224f x x x x ωωωω⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ③函数()1()sin 0,||22f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭对任意x ∈R 都有5()06f x f x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭成立；已知_______（填所选条件序号），函数()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π． （1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求函数()f x 的单调递增区间和对称中心､对称轴． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 22．已知函数()cos23f x x =-，()2cos 4g x a x a =-.（1）求函数()()2h x x f x =+的最大值； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()f x g x >恒成立，求a 的取值范围. 23．已知函数()22cos sin 226f x x x π⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭. （1）求512f π⎛⎫⎪⎝⎭；（2）求()f x 的单调递增区间.24．已知函数()21cos 22f x x x =-+. （1）当π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数()f x 的取值范围； （2）将()f x 的图象向左平移π6个单位得到函数()g x 的图象，求()g x 的单调递增区间. 25．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边为a ，b ，c ，向量m (2cossin )2C C =-，， n =(cos2sin )2C C ，，且m n ⊥． （1）求角C ；（2）若22212a b c =+，试求sin()A B -的值 26．已知向量()()()2,2,2,1,2,1,a b c t R =-==-∈. （1）若()//ta b c +，求t 的值； （2）若3a tb -=，求t 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【分析】 由0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2παβπ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，可得()0,βπ∈，再由()βαβα=+-展开式结合同角三角函数关系可得1cos (,0)2β=-，从而得解. 【详解】 由0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2παβπ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，,02πα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，可得()0,βπ∈.又4cos 5α=，2sin()3αβ+=，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以3sin 5α==，cos()αβ+==. 所以cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++4236(0353515-=-⨯+⨯=<.102+=>，所以1cos (,0)2β∈-所以2,23ππβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】方法点睛：在利用两角和与差的三角函数公式求值或化简时，常根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论的差异，使问题获解，常见角的变换方式有：()ααββ=+-，2()()ααβαβ=++-，2()αβααβ-=+-等.2．A解析：A 【解析】依题意，利用正弦定理及二倍角公式得sin sin 1cos 2sin 2C A BC --=，即sin sin cos A C B =，又()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，故sin cos 0B C =，三角形中sin 0B ≠，故πcos 0,2C C ==，故三角形为直角三角形，故选A. 3．D解析：D【解析】因为22222222272718sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，所以由余弦二倍角公式、平方差公式及两角和与差的余弦公式可得2272718cos 2cos()cos()1sin()a a a a a a a -+-+=+，再运用积化和差公式可得227181cos 2[cos 2cos 2]21sin()a a a a a -++=+，即72181[cos 2cos 2]21sin()a a a a -=+，再由差化积公式可得727218sin()sin()1sin()a a a a a a --+=+．由于{}n a 是等差数列，因此1827a a a a +=+，即1827sin()sin()a a a a +=+，所以72sin()1a a -=-即sin51d =-注意到()1,0d ∈-，则()55,0d ∈-，所以5210d d ππ=-⇒=-，故对称轴方程故等差数列的前n 项和是1(1)2n n n S na d -=+，即221()()222020n d d S n a n n a n ππ=+-=-++，其对称轴是1202a n ππ+=，由题设可得1202123222a ππ+<<，即11110a ππ<<，应选答案D ．点睛：解答本题的关键是先借助三角变换中的两角和差的余弦公式、余弦二倍角公式、积化和差与和差化积公式等三角变换公式进行化简，再借助差数列的定义和性质求出等差数列的公差10d π=-，然后将等差数列的前n 项和公式1(1)2n n n S na d -=+变形为221()()222020n d d S n a n n a n ππ=+-=-++，借助对称轴11n =的位置建立不等式组1202123222a ππ+<<，进而求得数列首项的取值范围是11110a ππ<<． 4．D解析：D 【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式把要求的式子化为221tan 1tan θθ-+，把已知条件代入运算，求得结果． 【详解】tan 2θ=，22222222cos sin 1tan 3cos2cos sin cos sin 1tan 5θθθθθθθθθ--∴=-===-++， 故选D ． 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．5．C解析：C 【分析】根据向量的运算法则，求得12AM AD AB=+，2132MNAD AB=-+，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】由题意，作出图形，如图所示：由图及题意，根据向量的运算法则，可得12AM AD DM AD AB=+=+，2132MN CN CM CB CD=-=-21213232BC DC AD AB=-+=-+，所以2212121||||23234AM MN AD AB AD AB AD AB⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-⋅+⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21936334=-⨯+⨯=.故选C．【点睛】本题主要考查了向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟练应用向量的运算法则和向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.6．C解析：C【分析】由题意可知，2222()2b ta a t a bt b+=+⋅+，令222()2g t a t a bt b=+⋅+，由二次函数的性质可知，当22cos62ba btaaπ⋅=-=-时，()g t取得最小值1，变形可得22sin16bπ=，从而可求出b【详解】解：由题意可知，2222()2b ta a t a bt b+=+⋅+，令222()2g t a t a bt b=+⋅+，因为2222224()44(cos1)06a b a b a bπ∆=⋅-=-<，所以()g t恒大于零，所以当232cos622b b a b t aaaπ⋅=-=-=-时，()g t 取得最小值1，所以22233321222b b bg a a b b a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-+⋅-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简得2114b =，所以2b =， 故选：C 【点睛】此题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，考查转化思想和计算能力，属于中档题7．C解析：C 【解析】在ABC ∆中，060BAC ∠=，5,6AB AC ==，D 是AB 是上一点，且5AB CD ⋅=-， 如图所示，设AD k AB =，所以CD AD AC k AB AC =-=-， 所以21()2556251552AB CD AB k AB AC k AB AB AC k k ⋅=⋅-=-⋅=-⨯⨯=-=-， 解得25k =，所以2(1)35BD AB =-=，故选C ．8．B解析：B 【分析】利用向量a 与b 的夹角是23π，且a a b =+，得出a b a b ==+，进而将22a tb b+化成只含有t 为自变量的二次函数形态，然后利用二次函数的特性来求出最值. 【详解】对于a ，b 和a b +的关系，根据平行四边形法则，如图a BA CD ==，b BC =，a b BD +=,23ABC π∠=，3DCB π∴∠=， a a b =+，CD BD BC ∴==， a b a b ∴==+， 2222222==222a tb a tb a tb bbb+++，a b =，22222222244cos 223=224a t a b t b a tb a tb b b bπ++++=， 222222222244cos42312444a t a b t b a t a a t a t t baπ++-+==-+当且仅当1t =时，22a tb b+的最小值为3故选：B. 【点睛】本题考查平面向量的综合运用，解题的关键点在于把22a tb b+化成只含有t 为自变量的二次函数形态，进而求最值.9．D解析：D 【分析】根据图象得到函数()f x 解析式，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象，可得()y g x =解析式，分别根据正弦函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，对选项中的结论判断，从而可得结论. 【详解】 由图象可知3A =，33253441234ππππω⎛⎫=⋅=--= ⎪⎝⎭T ， ∴2ω=，则()3sin(2)f x x ϕ=+. 将点5,312π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入()3sin(2)f x x ϕ=+中， 整理得5sin 2112πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， ∴522,Z 122k k ππϕπ⨯+=+∈， 即2,Z 3k k πϕπ=-∈；||2ϕπ<， ∴3πϕ=-，∴()3sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. ∵将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象， ∴()3sin 23sin 2,333g x x x x R πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ()()3sin 23sin 233g x x x g x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+=--≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()g x 既不是奇函数也不是偶函数， 故A 错误；∴()g x 的最小正周期22T ππ==， 故B 不正确. 令2,32πππ+=+∈x k k Z ，解得,122k x k Z ππ=+∈，则函数()g x 图像的对称轴为直线,122k x k Z ππ=+∈. 故C 错误； 由222,232k x k k πππππ-++∈Z ，可得5,1212k x k k ππππ-+∈Z ，∴函数()g x 的单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 故D 正确； 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，熟记正弦函数的奇偶性、单调区间、最小正周期与对称轴是解决本题的关键.10．A解析：A 【分析】先确定奇偶性，再取特殊值确定函数值可能为负，排除三个选项后得出结论． 【详解】记()()sin cos f x x =，则()()()sin cos()sin cos ()f x x x f x -=-==，为偶函数，排除D ，当23x π=时，21()sin cos sin 032f x π⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，排除B ，C ．故选：A ． 【点睛】本题考查由解析式先把函数图象，解题方法是排除法，可通过研究函数的性质如奇偶性、单调性等排除一些选项，再由特殊的函数值，函数值的正负，变化趋势等排除一些选项后得出正确结论．11．C解析：C 【分析】先根据条件写出图像变换后的函数解析式，然后根据图像关于原点中心对称可知函数为奇函数，由此得到ϕ的表示并计算出sin 2ϕ的结果. 【详解】因为变换平移后得到函数sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由条件可知sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数，所以6k πϕπ+=，sin 2sin 2sin 33k ππϕπ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选C ． 【点睛】本题考查三角函数的图像变换以及根据函数奇偶性判断参数值，难度一般.正弦型函数()()sin f x A x =+ωϕ为奇函数时,k k Z ϕπ=∈，为偶函数时,2k k Z πϕπ=+∈.12．C解析：C 【分析】由平方关系化为sin x 的函数，换元后利用二次函数性质得最小值． 【详解】由已知2()1sin sin f x x x =-+，令sin t x =，则[1,1]t ∈-，2()()1f x g t t t ==-++215()24t =--+，∵[1,1]t ∈-，∴1t =-时，min ()1g t =-． 故选：C ． 【点睛】本题考查与三角函数有关的复合函数的最值．求三角函数的最值有两种类型：（1）利用三角恒等变换公式化函数为()sin()f x A x k ωϕ=++形式，然后由正弦函数性质得最值或值域．（2）转化为关于sin x （或cos x ）的函数，用换元法，设sin t x =（或cos t x =）变成关于t 的二次函数，利用二次函数的性质求得最值或值域．二、填空题13．【分析】利用辅助角公式进行化简结合函数的单调性进行求解即可【详解】解：当时∵在区间上单调递增∴得即m 的最大值为故答案为：【点睛】本题考查二倍角公式和辅助角公式化简考查三角函数的单调性属于基础题 解析：6π【分析】利用辅助角公式进行化简，结合函数的单调性进行求解即可. 【详解】解：()1cos 212sin 22262x f x x x π+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭， 当0x m ≤≤时，266x m ππ≤≤+，∵()f x 在区间[]0,m 上单调递增， ∴262m ππ+≤，得6m π≤，即m 的最大值为6π. 故答案为：6π. 【点睛】本题考查二倍角公式和辅助角公式化简，考查三角函数的单调性，属于基础题.14．【分析】将函数解析式变形为且有利用二次函数的基本性质可求出该函数的最大值【详解】且因此当时函数取得最大值故答案为：【点睛】本题考查二次型三角函数的最值利用二倍角余弦公式将问题转化为二次函数的最值问题解析：98【分析】将函数解析式变形为22sin sin 1y x x =-++，且有1sin 1x -≤≤，利用二次函数的基本性质可求出该函数的最大值. 【详解】2219cos 2sin 12sin sin 2sin 48y x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭，且1sin 1x -≤≤，因此，当1sin 4x =时，函数2cos sin y x x =+取得最大值98. 故答案为：98. 【点睛】本题考查二次型三角函数的最值，利用二倍角余弦公式将问题转化为二次函数的最值问题是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.15．【分析】化简原式为即得解【详解】由题得故答案为：【点睛】本题主要考查和角差角的余弦考查二倍角的余弦意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 解析：718【分析】 化简原式为21(12sin )2α-，即得解. 【详解】由题得cos()cos()sin )+sin )4422ππαααααα+-=-⋅222111(cos sin )cos 2(12sin )222αααα=-==- 117(12)2918=-⨯=. 故答案为：718【点睛】本题主要考查和角差角的余弦，考查二倍角的余弦，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16．【分析】由已知得再两边平方求得代入可求得答案【详解】因为所以又因为所以即又所以所以所以故答案为：【点睛】本题考查向量的线性运算向量的数量积以及向量的模的计算属于中档题 解析：25-【分析】由已知得()c a b =-+，再两边平方22+2+25a a b b ⋅=，求得0a b ⋅=，代入可求得答案. 【详解】因为0a b c ++=，所以()c a b =-+，又因为5c =， 所以()225a b+=，即22+2+25a a b b ⋅=，又3a =，4b =，所以9+2+1625a b ⋅=，所以0a b ⋅=，所以()()20+25a b b c c a a b c ba c c c ⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+=⋅-=-=-， 故答案为：25-. 【点睛】本题考查向量的线性运算，向量的数量积，以及向量的模的计算，属于中档题.17．【分析】先将圆的方程化为参数方程设利用数量积运算结合三角函数的性质求解【详解】因为圆的方程所以其参数方程为：设所以因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查圆的方程的应用以及平面向量的数量积运算和三角函 解析：[2,6]【分析】先将圆的方程化为参数方程,4x R y θθθ⎧=⎪∈⎨=+⎪⎩，设,4)P θθ+，利用数量积运算结合三角函数的性质求解. 【详解】因为圆的方程22(4)2x y +-=，所以其参数方程为：,4x R y θθθ⎧=⎪∈⎨=⎪⎩，设,4)P θθ，所以2cos (4)2sin()44πθθθ⋅=++=++OP OQ ，因为[]sin()1,14πθ+∈-，所以[2,6]⋅∈OP OQ . 故答案为：[2,6] 【点睛】本题主要考查圆的方程的应用以及平面向量的数量积运算和三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．【分析】由已知得由得由不等式可知再由得最后由可得解【详解】由得即由得即由得由得所以故答案为：【点睛】本题考查了向量及其模的运算考查了向量的夹角公式和基本不等式考查了计算能力属于中档题解析：0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由已知，得22222923a a b b a a b b +⋅⎧⎪⎨⎪+=-⋅+=⎩②①，由+①②，得226a b +=，由不等式可知3a b ≤，再由-①②，得32a b ⋅=，最后由cos ,a b a b a b ⋅=可得解.【详解】由3a b +=，3a b -=，得()()2239ba ab ⎧⎪⎨⎪-==+⎩，即22222923a a b b a a b b +⋅⎧⎪⎨⎪+=-⋅+=⎩②①由+①②，得226a b +=，即226a b +=由-①②，得32a b ⋅=由222a b a b +≥，得3a b ≤1cos ,2a b a b a b⋅=≥所以，0,3a b π≤≤.故答案为：0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了向量及其模的运算，考查了向量的夹角公式和基本不等式，考查了计算能力，属于中档题.19．【分析】由图可得的周期振幅即可得再将代入可解得进一步求得解析式及【详解】由图可得所以即又即又故所以故答案为：【点睛】本题考查由图象求解析式及函数值考查学生识图计算等能力是一道中档题解析： 【分析】由图可得()f x 的周期、振幅，即可得,A ω，再将(,0)6π代入可解得ϕ，进一步求得解析式及()0f . 【详解】由图可得2A =，1()46124T πππ=--=，所以2T ππω==，即2ω=，又()06f π=，即2sin(2)06πϕ⨯+=，,3k k Z πϕπ+=∈，又||2ϕπ<，故3πϕ=-，所以()sin()f x x π=-223，(0)2sin()3f π=-=故答案为：. 【点睛】本题考查由图象求解析式及函数值，考查学生识图、计算等能力，是一道中档题.20．【分析】根据图象变换求出解析式再结合正弦函数的性质建立不等式即可求出的取值范围【详解】将函数图像上所有点向左平移个单位得到的图象再将横坐标变为原来的倍纵坐标不变得函数在上有且仅有一条对称轴和一个对称解析：35,22⎛⎤⎥⎝⎦【分析】根据图象变换求出()f x 解析式，再结合正弦函数的性质建立不等式，即可求出ω的取值范围. 【详解】将函数sin y x =图像上所有点向左平移4π个单位，得到sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将横坐标变为原来的1ω倍(0)>ω，纵坐标不变，得()sin 4y f x x πω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，函数()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一条对称轴和一个对称中心， 由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得,4424x ，3242，解得3522. 故答案为：35,22⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题考查三角函数的图象变换，以及根据相关性质求参数，属于中档题.三、解答题21．条件性选择见解析，（1）14；（2）单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；对称中心的坐标为,0,212k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭；对称轴为直线26k x ππ=+，k Z ∈. 【分析】 选择条件①：()f x 11cos cos22224x x x ωωω⎫⎛⎫=+-⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭11cos sin 4426x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，再根据相邻两对称轴之间距离为2π，可得ω从而求出()f x ；选择条件②：()f x 11sin cos sin 4426x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，相邻两对称轴之间距离为2π，可得ω，从而求出()f x ； 选择条件③：()f x 相邻两对称轴之间距离为2π，求出ω，对任意x ∈R 都有5()06f x f x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭成立，则()f x 的图象关于5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，可求出ϕ，从而得出()f x ；（1）由于选择哪种情况，都有1()sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，代入3f π⎛⎫⎪⎝⎭可得答案. （2）分别根据正弦函数的单调递增区间、对称中心、对称轴可得答案. 【详解】选择条件①：依题意，()1cos sin 2264f x x x ωωπ⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即有：()11cos sin cos222224f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得：211()cos cos 222224f x x x x ωωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即有：11()cos sin 4426f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 又因为()f x 相邻两对称轴之间距离为2π，则周期为π，从而2ω=， 从而1()sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ；选择条件②：依题意，()1cos cos 2224f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即有：11()cos sin 4426f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 又因为()f x 相邻两对称轴之间距离为2π，则周期为π，从而2ω=， 从而1()sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 选择条件③：依题意，()f x 相邻两对称轴之间距离为2π，则周期为π，从而2ω=， 对任意x ∈R 都有5()06f x f x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭成立， 则()f x 的图象关于5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则5212k πϕπ⨯+=，k Z ∈，由||2ϕπ<知6π=ϕ，从而1()sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（1）由于选择哪种情况，都有1()sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以11sin 233264f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）1()sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 单调递增区间为2222621,k x k k z πππππ-≤+≤+∈， 解得,,36x k k k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦， 从而()f x 的单调增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦又由2,6x k k Z ππ+=∈，所以212k x k Z ππ=-∈，， 得()f x 的对称中心的坐标为,0,212k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， ()f x 的对称轴为直线2,62x k k Z πππ+=+∈，即26k x ππ=+，k Z ∈. 【点睛】 关键点点睛：本题考查了三角函数解析式的化简，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.22．（1）-1；（2）()4-+∞ 【分析】（1）易得()2sin 233h x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解. （2）将0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()f x g x >恒成立，转化为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22cos 2cos 440x a x a -+->恒成立，令[]cos 0,1t x =∈，利用二次函数的性质求()22244r t t at a =-+-的最小值即可.【详解】（1）因为函数()cos23f x x =-，所以()2cos 232sin 233h x x x x π⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， 当22,32x k k Z πππ+=+∈，即 ,12x k k Z ππ=+∈时， sin 213x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()h x 的最大值是-1；（2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()f x g x >恒成立， 所以0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，cos232cos 4x a x a >--恒成立， 所以0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22cos 2cos 440x a x a -+->恒成立， 令[]cos 0,1t x =∈ ()22244r t t at a =-+- 当02a≤，即 0a ≤时， ()()min 0440r t r a ==->，解得 1a >，此时无解； 当012a <<，即 02a <<时， ()2min 44022a a r t r a ⎛⎫==-+-> ⎪⎝⎭，解得44-<+，此时42a -<；当12a≥，即 2a ≥时， ()()min 1220r t r a ==->，解得 1a >，此时2a ≥；综上：a 的取值范围是()4-+∞ 【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<.23．（11；（2）5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【分析】（1）先利用二倍角公式化简，再用辅助角公式化为()f x 213x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，代入求值；（2）利用换元法,借助于正弦函数的增区间就可以得到()y f x =的单增区间. 【详解】解：（1）()()12cos 21cos 222f x x x x ⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭32cos 212x x ⎫=-+⎪⎪⎝⎭213x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因此511122f ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭； （2）令23u x π=-，由2,222u k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦ 522,2,3221212x k k x k k πππππππππ⎡⎤⎡⎤⇒-∈-+⇒∈-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 即()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【点睛】 (1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题；(2)求单调区间，最后的结论务必写成区间形式，不能写成集合或不等式．24．（1）112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，；（2）ππππ36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，，k Z ∈. 【分析】 （1）根据余弦的二倍角公式、辅助角公式化简()f x ，得到()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质确定当π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()f x 的取值范围； （2）根据图象的平移得到()πsin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质可求得()g x 得单调递增区间.【详解】（1）()211πcos cos2sin 2226f x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭， π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，ππ5π2666x ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦，， π1sin 2162x ⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，. ∴函数()f x 的取值范围为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，. (2)由题意知：()ππππsin 2sin 26666g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 令πππ2π22π262k x k -≤+≤+，k Z ∈， 解得πππ2π.36k k k Z -≤≤+∈，∴()g x 的单调递增区间为ππππ36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，，k Z ∈. 【点睛】 本题考查了三角函数的性质，根据二倍角的余弦公式、辅助角公式化简函数，并求函数在区间上的最值，及函数的单调区间，考查学生的运算能力，属于中档题.25．（1）60C =︒；（2. 【分析】（1）利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积公式以及二倍角公式，求得cos C 的值，可得C 的值．（2）利用两角差的正弦公式，正弦定理和余弦定理化简，可得结果．【详解】（1）由题意知，0m n =，即222cos 2sin 02C C -=，21cos 2(1cos )0C C +--=， 22cos cos 10C C +-=，即cos 1C =-，或1cos 2C =， 因为0C π<<，所以60C =︒．（2）2222221122a b c a b c =+⇒-=， 222222sin()sin cos sin cos 2222a a c b b b c a A B A B B A R ac R bc+-+--=-=- ()222214442a b c c sinC cR cR R -=====． 【点睛】本题主要考查两个向量数量积公式，两角差的正弦公式，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．26．（1）2t =-；（2）1t =-或15t =. 【分析】（1）利用向量平行的坐标表示列方程，解方程求得t 的值.（2）利用向量模的坐标运算列方程，解方程求得t 的值.【详解】（1）()22,21ta b t t +=-++，由于()//ta b c +，所以()()()221212t t -+⨯-=+⨯，即22422t t t -=+⇒=-.（2）()()()2,22,22,2a tb t t t t -=--=---，依题意3a tb -=，所以3=，解得1t =-或15t =. 【点睛】本小题主要考查向量线性运算的坐标表示，考查向量平行的坐标表示，考查向量模的坐标表示，属于中档题.。
【人教版】高中数学必修四期末试题含答案
一、选择题1．函数2()sin 223cos 3f x x x =+-，()cos(2)2 3 (0)6g x m x m m π=--+>，若对任意1[0,]4x π∈，存在2[0,]4x π∈，使得12()()g x f x =成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．4(1,)3B ．2(,1]3C ．2[,1]3D ．4[1,]32．如下图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点,C B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为43,,,55AOC α⎛⎫-∠= ⎪⎝⎭若1BC =，则233cos sin cos 2222ααα--的值为（ ）A ．45B ．35C ．45-D ．353．已知,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=（ ）A 126-B 223-C ．261+D 261- 4．在ABC 中三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2223b c bc a +=，23bc a =，则角C 的大小是（ ）A ．6π或23π B ．3πC ．23π D ．6π 5．已知O 为坐标原点，点M 的坐标为（2，﹣1），点N 的坐标满足111x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩,则OM ON ⋅的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．－16．在ABC ∆中，5,6AB AC ==，若2B C =，则向量BC 在BA 上的投影是（ ）A ．75-B ．77125-C ．77125D ．757．ABC 是边长为1的等边三角形，CD 为边AB 的高，点P 在射线CD 上，则AP CP ⋅的最小值为（ ） A ．18-B ．116-C ．316-D ．08．已知两个非零向量a ，b 的夹角为23π，且=2a b -，则·ab 的取值范围是（ ） A ．2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．[)2,0-C ．2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．[)1,0-9．已知关于x 的方程2cos ||2sin ||20(0)+-+=≠a x x a a 在(2,2)x ππ∈-有四个不同的实数解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,0)(2,)-∞+∞B ．(4,)+∞C ．(0,2)D ．(0,4)10．将函数()sin 25f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度后得到函数()y g x =的图象，对于函数()y g x =有以下四个判断： ①该函数的解析式为2sin 210y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； ②该函数图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称；③该函数在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； ④该函数在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. 其中，正确判断的序号是（ ） A ．②③B ．①②C ．②④D ．③④11．已知奇函数()f x 满足()(2)f x f x =+，当(0,1)x ∈时，函数()2x f x =，则12log 23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．1623-B ．2316-C ．1623D ．231612．《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术日：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积12=(弦×矢+矢×矢)．弧田是由圆弧(弧田弧)及圆弧两端点的弦(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到孤田弦的距离之差，现有一弧田，其矢长等于8米，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为128平方米，则其弧田弧所对圆心角的正弦值为（ ） A ．60169B ．120169C ．119169D ．59169二、填空题13．经过点(4,1)P -作圆2220x y y +-=的切线，设两个切点分别为A ，B ,则tan APB ∠=__________．14．已知tan 2α=，则2sin 2cos αα+=________．15．已知方程23310x ax a +++=，()2a >的两根为tan α，tan β，α，,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则αβ+=________.16．已知向量a 、b 满足1a b +=，2a b -=，则a b +的取值范围为___________. 17．如图，边长为2的菱形ABCD 的对角线相交于点O ，点P 在线段BD 上运动，若1AB AO ⋅=，则AP PD ⋅的最大值为______.18．在AOB 中，已知1OA =，3OB =2AOB π∠=.若点C ，D 满足971616OC OA OB =-+，()12CD CO CB =⋅+，则CD CO ⋅的值为_______________. 19．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()24f π=，()0f π=，且()f x 在区间(,)43ππ上单调，则ω的值有_________个. 20．如图，游乐场所的摩天轮匀速旋转，每转一周需要l2min ，其中心O 离地面45米，半径40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请问：当你第六次距离地面65米时，用了________分钟？三、解答题21．已知函数()2sin cos cos 3f x x xx π⎡⎤⎛⎫=⋅-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）求6f π⎛⎫⎪⎝⎭； （2）求()f x 的值域.22．如图，以x 轴非负半轴为始边，角α的终边与单位圆相交于点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将角α的终边绕着原点O 顺时针旋转4π得到角β．（1）求3sin()5cos()2sin sin()2πααπαπα-+-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的值； （2）求sin 22cos ββ+的值．23．已知向量(1,2),(,2),(3,1)==-=-OA OB m OC ，O 为坐标原点． （1）若AB AC ⊥求实数m 的值； （2）在（1）的条件下，求△ABC 的面积．24．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =. （1）若35b =，且//a b ，求b 的坐标；（2）若2c =，且()()2a c a c +⊥-，求a 与c 的夹角θ的余弦值.25．已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+． （1）当,0,62x ππϕ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域和单调减区间； （2）若()f x 关于3x π=对称，且(0,)ϕπ∈，求ϕ的值．26．己知函数()sin 3cos (0, 0 )f x A x A x A ωωω=+>>，其部分图象如图所示．（1）求A 和ω的值；（2）求函数()y f x =在[]0,π的单调增区间．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】222332321f x sin x cos x sin x cos x =+-=+-（）（）132322222223sin x cos x sin x x sin x π==+=+（）（）， 当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，552[]21[12]3366min x f x sin f x ππππ+∈∴==∴∈，，（），（），， 对于22306g x mcos x m m π=--+（）（）（＞），2[]2[]36662m x mcos x m ππππ-∈--∈，，（），，3[33]2g x m m ∴∈-+-（），， ∵对任意10,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在20,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12g x f x =成立，331232m m ⎧-+≥⎪∴⎨⎪-≤⎩ ，解得实数m 的取值范围是41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选D ．【点睛】本题考查三角函数恒等变换，其中解题时问题转化为求三角函数的值域并利用集合关系是解决问题的关键，2．B解析：B 【解析】 ∵点B 的坐标为43,55⎛⎫-⎪⎝⎭，设AOB θ∠=， ∴325sinπθ-=-（），425cos πθ-=（）， 即35sin θ=，45cos θ=， ∵AOC α∠=，若1BC =，∴3πθα+=，则3παθ=-，则213sincossin cos cos sin 2222625αααππαααθθ⎛⎫⎛⎫-=-=+=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选B.点睛：本题主要考查三角函数的化简和求值，利用三角函数的定义以及三角函数的辅助角公式是解决本题的关键；利用降幂公式可将所求表达式化简为关于α的表达式，设AOB θ∠=，当角α的终边与单位圆的交点坐标为(),u v 时，sin v α=，cos u α=，可先求出关于θ的三角函数式，结合等边三角形寻找,αθ之间的关系即可.3．D解析：D 【分析】结合同角三角函数基本关系计算sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用两角差的正弦公式进行求解即可.【详解】 由,22ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭可得2,633πππα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 又11cos cos 6323ππα⎛⎫+=<= ⎪⎝⎭，所以2,633πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以sin 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭， sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11332=-⨯=故选:D 【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式与同角三角函数基本关系，解题的关键是熟练运用公式.4．A解析：A 【分析】由222b c a +=可得cosA =2bc =可得2A =C 值. 【详解】∵222b c a +=，∴cos A 2222b c a bc +-===， 由0＜A ＜π，可得A 6π=，∵2bc =，∴2A =∴5sin 64C sinC π⎛⎫-=⎪⎝⎭，即()1sinCcosC 12244cos C +-=解得50C 6π<< ∴2C=3π或43π，即C=6π或23π 故选A 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的运用，同时考查两角和差的正弦公式和内角和定理，属于中档题．5．A解析：A【分析】根据题意可得，OM ON ⋅＝2x ﹣y ，令Z ＝2x ﹣y ，做出不等式组所表示的平面区域，做直线l 0：2x ﹣y ＝0，然后把直线l 0向可行域内平移，结合图象可判断取得最大值时的位置． 【详解】根据题意可得，OM ON ⋅＝2x ﹣y ，令Z ＝2x ﹣y做出不等式组所表示的平面区域，如图所示的△ABC 阴影部分：做直线l 0：2x ﹣y ＝0，然后把直线l 0向可行域内平移， 到点A 时Z 最大，而由x+y=11x ⎧⎨=⎩ 可得A （1，0）， 此时Z max ＝2． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了利用线性规划求解最优解及目标函数的最大值，解题的关键是正确作出不等式组所表示的平面区域，并能判断出取得最大值时的最优解的位置．利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y bx a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。
【人教版】高中数学必修四期末试卷(含答案)(1)
一、选择题1．已知函数44()cos sin f x x x =-在区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为()M t ，最小值为()N t 则函数()()()g t M t N t =-的最小值为（ ）A 1-B ．1C ．2D ．12-2．已知2π()2sin ()1(0)3f x x ωω=+->，给出下列判断： ①若函数()f x 的图象的两相邻对称轴间的距离为π2，则=2ω； ②若函数()f x 的图象关于点π(,0)12对称，则ω的最小值为5； ③若函数()f x 在ππ[,]63-上单调递增，则ω的取值范围为1(0,]2； ④若函数()f x 在[0,2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147[,)2424. 其中判断正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．函数2()3sin cos f x x x x =+的最大值为（ ）A ．2B ．C ．D ．3+4．已知cos()6πα+=sin(2)6πα-的值为（ ）A B ．13C ．13-D ． 5．已知ABC 为等边三角形，2AB =，ABC 所在平面内的点P 满足1AP AB AC --=，AP 的最小值为（ ）A 1B ．221-C ．1-D 16．ABC ∆中，AB AC ⊥，M 是BC 中点，O 是线段AM 上任意一点，且2AB AC ==，则OA OB OA OC +的最小值为（ ）A ．-2B ．2C ．-1D ．17．在ABC 中，4A π=，3B π=，2BC =，AC 的垂直平分线交AB 于D ，则AC CD ⋅=（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．38．设O 为ABC 所在平面内一点，满足2730OA OB OC ++=，则ABC 的面积与BOC 的面积的比值为（ ）A ．6B ．83C ．127D ．49．如图，一个质点在半径为1的圆O 上以点P 为起始点，沿逆时针方向旋转，每2s 转一圈，由该质点到x 轴的距离y 关于时间t 的函数解析式是（ ）A ．2sin()3y t ππ=+ B ．2sin()3y t ππ=- C ．2sin()3y t ππ=-D ．2sin()3y t ππ=+10．对于函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，有以下四种说法： ①函数的最小值是32-②图象的对称轴是直线()312k x k Z ππ=-∈ ③图象的对称中心为,0()312k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ ④函数在区间7,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增． 其中正确的说法的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．已知函数()sin 0,2y x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（ ）A ．1ω=，6π=ϕ B ．1ω=，6πϕ=-C ．2ω=，6π=ϕ D ．2ω=，6πϕ=-12．函数22y cos x sinx ＝－ 的最大值与最小值分别为( ) A ．3，－1 B ．3，－2 C ．2，－1D ．2，－2二、填空题13．在ABC 中，三个内角A 、B 、C 满足2A+C =B ，且4cos 5A =，则cos C ________．14．已知方程23310x ax a +++=，()2a >的两根为tan α，tan β，α，,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则αβ+=________.15．已知α，()0,βπ∈，且()23tan 3αβ-=，53tan 11β=-，2αβ-的值为_______.16．已知ABC ，点P 是平面上任意一点，且AP AB AC λμ=+（,λμ∈R ），给出以下命题： ①若1ABλ=，1ACμ=，则P 为ABC 的内心；②若1λμ==，则直线AP 经过ABC 的重心； ③若1λμ+=，且0μ>，则点P 在线段BC 上； ④若1λμ+>，则点P 在ABC 外； ⑤若01λμ<+<，则点P 在ABC 内． 其中真命题为______17．如图，边长为2的菱形ABCD 的对角线相交于点O ，点P 在线段BD 上运动，若1AB AO ⋅=，则AP PD ⋅的最大值为______.18．如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB =AD =4，CD =8，若7CE DE =-，3BF FC =，则AF ·BE =_____.19．如图，某公园要在一块圆心角为3π，半径为20m 的扇形草坪OAB 中修建一个内接矩形文化景观区域CDEF ，若//EF AB ，则文化景观区域面积的最大值为______2m .20．已知函数f （x ）＝A sin （3πx +φ），x ∈R ，A ＞0，0＜φ＜2π．y ＝f （x ）的部分图象，如图所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为（1，A ），点R 的坐标为（1，0），∠PRQ ＝23π，则sin ∠PQR ＝_____．三、解答题21．在①2sin 3sin 2αα=，②6cos 2α=③tan 22α=个，补充在下面问题中，并解决问题. 已知10,,0,,cos()224ππαβαβ⎛⎫⎛⎫∈∈+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，_______，求cos β. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22．在直角坐标系xOy中，已知锐角α和β的顶点都在坐标原点，始边都与x轴非负半轴重合，且终边与单位圆分别交于点5,13P m⎛⎫⎪⎝⎭和点3,5Q n⎛⎫⎪⎝⎭，求()sinαβ-的值. 23．对于任意实数a，b，c，d，表达式ad bc-称为二阶行列式（determinant），记作a bc d，（1）求下列行列式的值：①1001；②1326；③251025--；（2）求证：向量(),p a b=与向量(),q c d=共线的充要条件是0a bc d=；（3）讨论关于x，y的二元一次方程组111222a xb y ca xb y c+=⎧⎨+=⎩（12120a ab b≠）有唯一解的条件，并求出解.（结果用二阶行列式的记号表示）.24．已知向量m，n不是共线向量，32a m n=+，64b m n=-，c m xn=+（1）判断,a b是否共线；（2）若//a c，求x的值25．如图，正方形ABCD边长为5，其中AEF是一个半径为4的扇形，在弧EF上有一个动点Q，过Q作正方形边长BC，CD的垂线分别交BC，CD于G，H，设EAQθ∠=，长方形QGCH的面积为S.（1）求S关于θ的函数解析式；（2）求S的最大值.26．函数()cos()0,02f x xπωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）写出()f x 的解析式； （2）将函数()f x 的图象向右平移12π个单位后得到函数()g x 的图象，讨论关于x的方程()()0f x g x m -=(11)m -<≤在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的实数解的个数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先利用平方差公式、同角三角函数关系以及二倍角公式将函数变形为()cos 2f x x =，然后发现区间长度刚好是四分之一个周期，从而利用余弦函数的对称性，得到当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，关于cos 2y x =的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小，求出此时的最大值和最小值，即可得到答案． 【详解】 函数44222222()cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos 2f x x x x x x x x x x =-=+-=-=，所以函数()f x 的周期为22T ππ==，区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦的区间长度刚好是函数()f x 的四分之一个周期， 因为()f x 在区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为()M t ，最小值为()N t ，由函数cos 2y x =的对称性可知，当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，关于2y cos x =的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小，即函数()()()g t M t N t =-取最小值，区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的中点为428t tt t ππ-+==-，此时()f t 取得最值±1， 不妨()f t 取得最大值()=1M t ， 则有cos 2()18t π-=，解得224t k ππ-=，所以,,8t k k Z ππ=+∈所以()cos 2cos 2cos 44N t t k πππ⎛⎫==+==⎪⎝⎭故()()()g t M t N t =-取最小值为12-． 故选：D ． 【点睛】关键点睛：本题考查了三角函数的最值，涉及了二倍角公式的应用、同角三角函数关系的应用、三角函数的周期性、对称性的应用，解题的关键是分析出当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦关于cos 2y x =的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小.2．C解析：C 【分析】先将()f x 化简，对于①，由条件知，周期为π，然后求出ω；对于②，由条件可得2()612k k Z ωπππ+=∈，然后求出16()k k Z ω=-+∈，即可求解；对于③，由条件，得2362()22362k k Z k ωππππωππππ⎧-+-+⎪⎪∈⎨⎪++⎪⎩，然后求出ω的范围；对于④，由条件，得74221212πππππωωωω-<-，然后求出ω的范围；，再判断命题是否成立即可． 【详解】解：2π2ππ()2sin ()1=-cos(2)=sin(2)336f x x x x ωωω=+-++， ∴周期22T ππωω==． ①．由条件知，周期为π，1w ∴=，故①错误；②．函数()f x 的图象关于点π(,0)12对称，则2()612k k Z ωπππ+=∈， 16()k k Z ω∴=-+∈，(0)>ω∴ω的最小值为5， 故②正确；③．由条件，ππ[,]63x ∈-，ππ2π236636x πωπωω-+≤+≤+ 由函数()f x 在ππ[,]63-上单调递增得2362()22362k k Z k ωππππωππππ⎧-+-+⎪⎪∈⎨⎪++⎪⎩， 12ω∴≤， 又0>ω，102ω∴<， 故③正确．④．由()sin(2)06f x x πω=+=得2()6x k k Z πωπ+=∈,解得()212k x k Z ππωω=-∈ ()sin(2)6f x x πω=+且()f x 在[0，2]π上恰有7个零点，可得74221212πππππωωωω-<-， ∴41472424ω<， 故④正确； 故选：C 【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，考查了转化思想和推理能力，属中档题．关键点点睛：利用整体思想，结合正弦函数的图像和性质是根据周期，对称，单调性，零点个数求求解参数的关键.3．A解析：A 【分析】利用降次公式、二倍角公式和辅助角公式化简()f x ，由此求得()f x 的最大值. 【详解】 依题意()1cos 233sin 2sin 22222xf x x x x -=+=+12cos 2222262x x x π⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以()f x 22=. 故选：A 【点睛】本小题主要考查降次公式、二倍角公式和辅助角公式，考查三角函数的最值的求法，属于中档题.4．B解析：B 【解析】∵cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭5sin 2sin 2sin 26662ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦][221cos 2[2cos 11]6633ππαα⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B.5．C解析：C 【分析】计算出AB AC +的值，利用向量模的三角不等式可求得AP 的最小值. 【详解】2222222cos123AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC π+=++⋅=++⋅=，所以，23AB AC += 由平面向量模的三角不等式可得()()231AP AP AB AC AB AC AP AB AC AB AC =--++≥---+=.当且仅当AP AB AC --与AB AC +方向相反时，等号成立.因此，AP 的最小值为1. 故选：C. 【点睛】结论点睛：在求解向量模的最值时，可利用向量模的三角不等式来求解：a b a b a b -≤±≤+.6．C解析：C 【分析】根据向量求和的平行四边形法则可以得出2OA OB OA OC OA OM ⋅+⋅=⋅，再利用向量的数量积的运算可以得到22OA OM OA OM ⋅=-⋅，因为2OA OM +=，代入计算可求出最小值. 【详解】解：在直角三角形ABC 中，2AB AC ==，则BC =M 为BC 的中点，所以AM =设OA x =，(0x ≤≤()2OA OB OA OC OA OB OC OA OM ⋅+⋅=⋅+=⋅ )()2222OA OM x x x =-⋅=-=2212x ⎛=-- ⎝⎭所以当2x =，即22OA =时，原式取得最小值为1-.故选：C. 【点睛】方法点睛：（1）向量求和经常利用平行四边形法则转化为中线的2倍； （2）利用向量三点共线，可以将向量的数量积转化为长度的乘积； （3）根据向量之间模的关系，二元换一元，转化为二次函数求最值即可.7．C解析：C 【分析】由AC 的垂直平分线交AB 于D ，且4A π=可得ACD △为等腰直角三角形，且4A ACD π∠=∠=，2ADC BDC π∠=∠=；进而由2BC =可求出,,DB CD AC 的长，从而求出AC CD ⋅的值. 【详解】解：因为AC 的垂直平分线交AB 于D 、4A π=，所以ACD △为等腰直角三角形，4A ACD π∠=∠=，2ADC BDC π∠=∠=，在BDC 中，3B π=，2BDC π∠=，2BC =，所以1,BD CD ==所以AD CD ==AC ==所以32cos63()342AC CD AC CDπ⋅=⋅=⨯⨯-=-.故选：C.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，考查运算求解能力，属于基础题型.8．A解析：A【分析】作2OA OA'=，7OB OB'=，3OC OC'=，由已知可得O是'''A B C的重心，由重心性质可得所求面积比．【详解】作2OA OA'=，7OB OB'=，3OC OC'=，如图，∵2730OA OB OC++=，∴O是'''A B C的重心，则''''''OA B OB C OC AS S S==△△△，设''''''OA B OB C OC AS S S t===△△△，设,,OAB OAC y OBCS x S S z===△△△，∵2OA OA'=，7OB OB'=，3OC OC'=，∴''1''sin''2141sin2OA BOABOA OB A OBSS OA OB AOB⋅∠==⋅∠△△，即114x t=，同理16y t=，121z t=，11161462121ABCS x y z t t t t=++=++=△，∴6216121ABCOBCtSS t==△△．故选：A．【点睛】本题考查三角形面积的计算，考查向量的加法与数乘法则，体现了向量在解决平面图形问题中的优越性．9．A解析：A 【分析】首先根据图象理解t 秒后23POx t ππ∠=+，再根据三角函数的定义求点P 的纵坐标和该质点到x 轴的距离y 关于时间t 的函数解析式. 【详解】由题意可知点P 运动的角速度是22ππ=（弧度/秒） 那么点P 运动t 秒后23POx t ππ∠=+， 又三角函数的定义可知，点P 的纵坐标是2sin 3t ππ⎛⎫+⎪⎝⎭， 因此该质点到x 轴的距离y 关于时间t 的函数解析式是2sin 3y t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解三角函数的定义，并正确表示点23POx t ππ∠=+，即可表示函数的解析式.10．B解析：B 【分析】求出函数的最值，对称中心坐标，对称轴方程，以及函数的单调区间，即可判断正误． 【详解】函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭， 当3=42x ππ+时，即=12x π，函数()f x 取得最小值为132122-⨯+=-，故①正确； 当342x k πππ+=+时，即=,123k x k Z ππ+∈，函数()f x 的图象的对称轴是直线=,123k x k Z ππ+∈，故②错误； 当34x k ππ+=时，即,123k x k Z ππ=-+∈，函数()f x 的图象的对称中心为1,,1232k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，故③错误； 当3232242k x k πππππ+≤+≤+，即252,123123k k x k Z ππππ+≤≤+∈，函数()f x 的递增区间为252,,123123k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 当1k =-时，()f x 的递增区间为7,124ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故④正确. 故选：B 【点睛】关键点点睛：函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭的递增区间转化为sin 34y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的递减区间.11．D解析：D 【分析】根据函数的图象求出函数的周期，然后可以求出ω，通过函数经过的最大值点求出ϕ值，即可得到结果. 【详解】由函数的图象可知:74123T πππ⎛⎫=-⨯=⎪⎝⎭，22T πω∴==. 当3x π=，函数取得最大值1，所以sin 213πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，2232k k Z ππϕπ+=+∈，， ||,02k πϕ<∴=，6πϕ∴=-，故选：D. 【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解析式，通过周期求ω的值，通过最值点求ϕ的值是解题的关键，属于基础题.12．D解析：D 【解析】分析：将2cos x 化为21sin x -，令()sin 11x t t =-≤≤，可得关于t 的二次函数，根据t 的取值范围，求二次函数的最值即可.详解：利用同角三角函数关系化简，22cos 2sin sin 2sin 1y x x x x =-=--+ 设()sin 11x t t =-≤≤，则()()22211211y t t t t =--+=-++-≤≤，根据二次函数性质当1t =-时，y 取最大值2，当1t =时，y 取最小值2-. 故选D.点睛：本题考查三角函数有关的最值问题，此类问题一般分为两类，一种是解析式化为2sin sin y A x B x C =++的形式，用换元法求解；另一种是将解析式化为()sin y A x k ωϕ=++的形式，根据角的范围求解.二、填空题13．【分析】利用及易得由同角三角函数的关系易得的值然后由代值计算即可得解【详解】因为又所以因为所以故答案为：【点睛】关键点睛：本题的解题关键是利用公式并结合两角和的余弦公式展开进行计算解析：410【分析】利用2A+C =B 及A B C π++=易得3B π=，由同角三角函数的关系易得sinA 的值，然后由()cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+代值计算即可得解. 【详解】因为2A+C =B ，又A B C π++=， 所以3B π=，因为4cos 5A =，所以3sin 5A ===，()413cos cos cos cos sin sin 525C A B A B A B =-+=-+=-⨯+=.. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键是利用公式()cos cos C A B =-+并结合两角和的余弦公式展开进行计算.14．【分析】根据方程的两根为得到由两角和的正切公式得到再确定的范围求解【详解】因为方程的两根为所以则因为所以所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查两角和与差的正切公式的应用还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：34π-【分析】根据方程23310x ax a +++=，()2a >的两根为tan α，tan β，得到tan tan 3,tan tan 31a a αβαβ+=-⋅=+，由两角和的正切公式得到()tan αβ+，再确定αβ+的范围求解. 【详解】因为方程23310x ax a +++=，()2a >的两根为tan α，tan β， 所以tan tan 3,tan tan 31a a αβαβ+=-⋅=+， 则()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==-⋅，因为2a >，所以tan tan 30,tan tan 310a a αβαβ+=-<⋅=+>， 所以tan 0,tan 0αβ<<，α，,02πβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭， (),0αβπ+∈-，所以34παβ+=-. 故答案为：34π- 【点睛】本题主要考查两角和与差的正切公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15．【分析】根据正切差角公式代入可求得将角配凑后可求得根据及可得的范围即可求得的范围进而求得的值【详解】因为由正切差角公式展开可得代入化简可求得则因为所以即所以则所以故答案为:【点睛】本题考查了正切差角 解析：23π-【分析】根据正切差角公式,代入tan 11β=-可求得tan 9α=.将角配凑后可求得()tan 2αβ-=根据tan 19α=<及tan 011β=-<可得,αβ的范围,即可求得2αβ-的范围,进而求得2αβ-的值.【详解】因为()tan 3αβ-=,tan 11β=-由正切差角公式展开可得()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--==+⋅代入tan 11β=-tan α=⎝⎭化简可求得tan 9α=则()()tan 2tan αβααβ-=+-⎡⎤⎣⎦()()tan tan 1tan tan ααβααβ+-=-⋅-+==因为tan 19α=< 所以04πα<<,即022πα<<tan 0β=< 所以2πβπ<<则20παβ-<-<所以223παβ-=- 故答案为: 23π- 【点睛】本题考查了正切差角与和角公式的应用,配凑角的形式求正切值,根据三角函数值判断角的取值范围,属于中档题.16．②④【分析】①可得在的角平分线上但不一定是内心；②可得在BC 边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出可判断；④得出根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令可判断【详解】①若则因为是和同向的单位向量则解析：②④ 【分析】①可得P 在BAC ∠的角平分线上，但不一定是内心；②可得P 在BC 边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出=BP BC μ可判断；④得出()1CP CB AC λλμ=++-，根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令1132=λμ=-，可判断. 【详解】 ①若1ABλ=，1ACμ=，则AB AC AP ABAC=+，因为,AB AC ABAC是和,AB AC 同向的单位向量，则P 在BAC ∠的角平分线上，但不一定是内心，故①错误；②若1λμ==，则AP AB AC =+，则根据平行四边形法则可得，P 在BC 边中线的延长线上，故直线AP 经过ABC 的重心，故②正确；③若1λμ+=，且0μ>，则()1=AP AB AC AB AB AC μμμμ=-+-+，即()==AP AB AB AC AC AB μμμ--+-，即=BP BC μ，则点P 在线段BC 上或BC 的延长线上，故③错误；④若1λμ+>，()()11AP AB AC AC λλλμ=+-++-，整理可得()1CP CB AC λλμ=++-，10λμ+->，根据向量加法的平行四边形法则可判断点P 在ABC 外，故④正确；⑤若01λμ<+<，则令1132=λμ=-，，则1132AP AB AC =-+，则根据向量加法的平行四边形法则可判断点P 在ABC 外，故⑤错误. 故答案为：②④. 【点睛】本题考查向量基本定理的应用，解题的关键是正确利用向量的线性运算进行判断，合理的进行转化，清楚向量加法的平行四边形法则.17．【分析】以为原点和分别为和轴建立的平面直角坐标系求得设得到即可求解【详解】以为原点和分别为和轴建立如图所示的平面直角坐标系设则因为可得联立方程组解答所以设则当时取得最大值最大值为故答案为：【点睛】本解析：34【分析】以O 为原点，OC 和OD 分别为x 和y 轴建立的平面直角坐标系，求得(1,0),A D -，设(0,),[P t t ∈，得到23(4AP PD t ⋅=--+，即可求解. 【详解】以O 为原点，OC 和OD 分别为x 和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设(,0),(0,),0,0A a B b a b -->>，则224a b +=， 因为1AB AO ⋅=，可得2(,)(,0)1a b a a -⋅==，联立方程组，解答1,3a b ==，所以(1,0),(0,3)A D -，设(0,),[3,3]P t t ∈-，则22333(1,)(0,3)3()244AP PD t t t t t ⋅=⋅-=-+=--+≤， 当3t =时，AP PD ⋅取得最大值，最大值为34.故答案为：34.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，此类问题通常采取建立直角坐标系，利用平面向量的坐标运算求解，着重考查转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题.18．【分析】通过建立直角坐标系利用向量的坐标运算转化求解即可【详解】以为坐标原点建立直角坐标系如图：因为直角梯形ABCD 中AB ∥CDAB ⊥ADAB=AD=4CD=8若所以所以则故答案为：【点睛】本题考查 解析：11-【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算转化求解即可． 【详解】以A 为坐标原点，建立直角坐标系如图：因为直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB =AD =4，CD =8，若7CE DE =-，3BF FC =所以(0,0)A ，(4,0)B ，(1,4)E ，(5,1)F ， 所以(5,1)AF =，(3,4)BE =-， 则15411AF BE ⋅=-+=-． 故答案为：11-【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的应用，是基本知识的考查．19．【分析】取中点连结交于点交于点连结设推导出和从而得出文化景观区域面积利用三角函数的性质解出面积最大值【详解】取中点连结交于点交于点连结设则文化景观区域面积：当即时文化景观区域面积取得最大值为故答案为 解析：()40023-【分析】取DC 中点M ，连结OM ，交EF 于点P ，交CD 于点N ，连结OD ，设DOM ϕ∠=，推导出DC 和CF ，从而得出文化景观区域面积，利用三角函数的性质，解出面积最大值． 【详解】取DC 中点M ，连结OM ，交EF 于点P ，交CD 于点N ，连结OD ，设DOM ϕ∠=，则20sin DN CN ϕ==，40sin DC ϕ∴=，20cos 20cos 203tan 30PFCF DE PN ON OP ϕϕϕ===-=-=-︒，∴文化景观区域面积：()4020203EFCD S sin cos sin ϕϕϕ=-矩形 400sin 24003(1cos 2)ϕϕ=--800sin(2)40033πϕ=+-∴当232ππϕ+=，即12πϕ=时，文化景观区域面积取得最大值为2400(23)()m -．故答案为：400(23)-．【点睛】本题考查文化景观区域面积的最大值的求法，考查扇形、三角函数恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．【分析】根据周期求出再由直角三角形的边角关系以及勾股定理求出最后由正弦定理求出【详解】过点作延长线的垂线垂足为连接如下图所示则由正弦定理可知则故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦型函数图象的性质的应 解析：21 【分析】根据周期求出32TDQ ==，再由直角三角形的边角关系以及勾股定理求出,PR PQ ，最后由正弦定理求出sin PQR ∠.【详解】过点Q 作PR 延长线的垂线，垂足为D ，连接PQ ，如下图所示263T ππ==，则32T DQ == 6xRQ RQD π∠=∠=3tan3363DR DQ π∴=⋅=⨯= 223,23,12921PR DP PQ PD PQ ∴===+=+=由正弦定理可知sin sin PQ PRPRQ PQR=∠∠则33sin 212sin 1421PR PRQPQR PQ⋅⋅∠∠===故答案为：14【点睛】本题主要考查了正弦型函数图象的性质的应用，涉及了正弦定理解三角形，属于中档题.三、解答题21．112【分析】①②③任选一个条件，均可求出sin ,cos αα，求出sin()αβ+，利用()βαβα=+-，结合两角差的余弦公式，即可求解.【详解】 若选条件①因为2sin 3sin 2αα=，所以2sin 32sin cos ααα=⨯，即1cos 3α=. 因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 3α== 因为1cos()4αβ+=-，由平方关系22sin ()cos ()1αβαβ+++=， 解得215sin ()16αβ+=. 因为0,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以0αβ<+<π，所以sin()4αβ+=， 所以cos cos[()]βαβα=+-cos()cos sin()sin αβααβα=+++114343=-⨯+=若选条件②因为cos2α=21cos 2cos 123αα=-=.由平方关系22sin cos 1αα+=，得28sin 9α=. 因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 3α=以下同①的解法. 若选条件③因为tan α=sin cos αα= 由平方关系22sin cos 1αα+=，解得sin 1cos 3αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或sin 1cos 3αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 31cos 3αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 以下同①的解法. 【点睛】关键点点睛：本题根据不同的条件，利用三角恒等变换、同角三角函数的基本关系求出sin α，cos α，再利用1cos()4αβ+=-求出sin()αβ+，根据角的变换()βαβα=+-求解是关键，属于中档题.22．3365-【分析】 利用已知求出1213m =和45n =，再利用差角的正弦公式求解.【详解】锐角α和β的顶点都在坐标原点始边都与x 轴非负半轴重合， 且终边与单位圆交于点5,13P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭和点3,5Q n ⎛⎫ ⎪⎝⎭， cos 0m α∴=>，5sin 13α=，2251169m +=，3cos 5β=，sin 0n β=>，29125n +=， 求得1213m =，45n =，5312433sin()sin cos cos sin 13513565αβαβαβ∴-=-=⨯-⨯=-． 【点睛】结论点睛：三角函数的坐标定义：点(,)P x y 是角α终边上的任意的一点（原点除外）,r代表点到原点的距离，r =sin α=y r ， cos α=x r ，tan α=y x. 23．（1）1，0，0；（2）证明见解析；（3）当11220a b a b ≠时，有唯一解，11221122c b c b x a b a b =，11221122a c a c y ab a b =. 【分析】（1）利用行列式的定义可以直接求出行列式的值.（2）若向量(),p a b =与向量(),q c d =共线，由0q ≠和0q =时，分别推导出0a b c d=；反之，若0a b c d=，即0ad bc -=，当c ，d 不全为0时，不妨设0c ≠，则ad b c =，,ab p a c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，推导出a p q c =⋅，//p q ，当0c 且0d =时，0q =，(),p a b =与0q =共线，由此能证明向量(),p a b =与向量(),q c d =共线的充要条件是0a b c d=.（3）求出()12211221a b a b x c b c b -=-，()12211221a b a b x a c a c -=-，由此能求出当11220a b a b ≠时，关于x ，y 的二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩（12120a a b b ≠）有唯一解，并能求出解. 【详解】 解：（1）解：①10101=②131623026=⨯-⨯=； ③()()2522551001025-=-⨯--⨯=-.（2）证明：若向量(),p a b =与向量(),q c d =共线，则： 当0q ≠时，有0ad bc -=，即0a b c d=，当0q =时，有0c d ==，即0a b ad bc c d=-=，∴必要性得证. 反之，若0a b c d=，即0ad bc -=，当c ，d 不全为0时，即0q ≠时， 不妨设0c ≠，则ad b c =，∴,ab p a c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵(),q c d =，∴ap q c=⋅，∴//p q ，∴(),p a b =与(),q c d =共线， 当0c且0d =时，0q =，∴(),p a b =与0q =共线，充分性得证.综上，向量(),p a b =与向量(),q c d =共线的充要条件是0a b c d=.（3）用2b 和1b 分别乘上面两个方程的两端，然后两个方程相减，消去y 得：()12211221a b a b x c b c b -=-，①同理，消去x ，得：()12211221a b a b x a c a c -=-，②∴当12210a b a b -≠时，即11220a b a b ≠时，由①②得： 1122121*********c b c b x a b a b a b c b c b a b -==-，1122122111122122a c a c a c a cy a b a b a b a b -==-， ∴当11220a b a b ≠时，关于x ，y 的二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩（12120a a b b ≠）有唯一解，且11221122c b c b x a b a b =，11221122a c a c y ab a b =. 【点睛】此题考查行列式求值，考查向量共线的充要条件的证明，考查二元一次方程有解的条件及解的求法，考查运算求解能力，属于中档题24．（1）,a b 不共线；（2）23x = 【分析】（1）根据平面向量共线定理判断． （2）由平面向量共线定理计算． 【详解】解：（1）若a 与b 共线，由题知a 为非零向量， 则有b a λ=，即64(32)m n m n λ-=+，6342λλ=⎧∴⎨-=⎩得到2λ=且2λ=-， λ∴不存在，即a 与b 不平行.（2） ∵//a c ，∴存在实数r ，使得c ra =， 即32m xn rm rn +=+，即132r x r=⎧⎨=⎩，解得23x =.【点睛】本题考查平面向量共线定理，掌握平面向量共线定理是解题基础． 25．（1）2520(cos sin )16sin cos S θθθθ=-++，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦；（2）5.【分析】（1）先根据题意计算AQ 在竖直方向上和水平方向上的投影的长度，即可计算,HQ QG 的长度，计算长方形QGCH 的面积再化简即得结果；（2）先换元sin cos t θθ+=，确定新元的范围和函数，再根据二次函数求最值即得结果. 【详解】解：⑴EAQ θ∠=，则AQ 在竖直方向上的投影的长度为4cos θ，在水平方向上的投影长度为4sin θ，故54cos ,54sin HQ QG θθ=-=-，θ0,2π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(54cos )(54sin )S θθ=--，θ0,2π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，整理得：2520(cos sin )16sin cos S θθθθ=-++，θ0,2π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）2520(cos sin )16sin cos S θθθθ=-++，θ0,2π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令sin cos t θθ+=)4t πθ+=，平方可得22sin cos 1t θθ=-，当θ0,2π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，可求得t ⎡∈⎣. 222525208(1)820178492S t t t t t ⎛⎫∴=-+-=-+=-⎪⎭+ ⎝，t ⎡∈⎣， 根据二次函数对称性可知，当1t =时，max 820175S =-+=. 【点睛】 方法点睛：求含有正余弦函数的和（或差）及乘积的函数求最值（范围）时，常进行三角换元，令和（或差）为新变量，形成二次函数，求二次函数最值（范围）即可. 26．（1）()cos(2)6f x x π=+；（2）见解析.【分析】（1）根据图象求出周期，再根据最低点可求ϕ，从而得到函数解析式. （2）求出()g x 的解析式，故方程可化为cos 206m x π⎛⎫---= ⎪⎝⎭，可通过直线y m =-与cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的图象的交点的个数解决方程的解的个数.【详解】（1）由函数的图象可得()f x 的周期为2236πππ⎛⎫⨯-=⎪⎝⎭，故22πωπ==，又26312f ππ⎛⎫+ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，故5cos 2+112πϕ⎛⎫⨯=- ⎪⎝⎭，所以526k πϕππ+=+即2,6k k Z πϕπ=+∈， 因为02πϕ<<，故6π=ϕ，所以()cos(2)6f x x π=+. （2）()cos(2)cos 266g x x x ππ=-+=，故()()cos(2)26f xg x m x x m π-=+-cos 2cossin 2sin3cos 2cos 2666x x x m m x πππ⎛⎫=---=--- ⎪⎝⎭ 故方程在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的实数解的个数即为y m =-与cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象交点的个数，cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示，由图象可得： 当1m -=-31m <-<即1m =或31m -<<时，方程有2个不同的解； 当31m -<-≤31m ≤<时，方程有4个不同的解； 当3322m -<-≤即3322m -≤<时，方程有3个不同的解； 【点睛】 方法点睛：（1）平移变换有“左加右减”（水平方向的平移），注意是对自变量x 做加减．（2）与余弦型函数有关的方程的解的个数的讨论，一般可转化为动直线与确定函数的图象的交点个数来讨论.。
(完整word版)高中数学必修四(期末试卷含答案),推荐文档
、选择题（本大题共函数y= sin + cos数学必修四测试卷12道小题，每题5分，共60 分）O v v丄的值域为（22 .3 .4 .5 .6 .A. (0, 1) B . ( - 1,1) C. (1, .2] D . ( - 1,. 2) 锐角三角形的内角A, B满足tan A-爲=A. sin 2A- cos B= 0C. sin 2A-sin B= 0函数f(x) = sin2A .周期为x+ n—sin24的偶函数x—寸是（tan B,则有(B. sin 2A+ cos B= 0D. sin 2A+ sin B= 0B.周期为的奇函数C.周期为2F列命题正确的是（A .单位向量都相等B. 若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c是共线向量r ui r r r rC. |a b| |a b|，贝U a b 0rn in r rD. 若a0与b0是单位向量，则b0的偶函数）D.周期为2的奇函数已知a,b均为单位向量，它们的夹角为A. 7B. 10已知向量a, b满足a7.在ABC中,8.若1600，那么 a 3lb1,b 4,且a b 2 ,则a与b的夹角为C. —D.-3 22sinA+cosB=2, sinB+2cosA= 3，则C的大小应为（A.区间（0,9.在中,A. B.10.已知角B.-6C.,则对任意实数的取值为（1)B. 1C.C.的终边上一点的坐标为（D.D..2sin -3不能确定,贝U 的大小为（）,cos—）,则角的最小值为311. A , B , C 是 ABC 的三个内角，且tan 代tanB 是方程3x 2 5x 10的两个实数根，则 ABC 是（ ）A 、等边三角形B 、锐角三角形C 、等腰三角形D 、钝角三角形2 ____________________________________________________13. 已知方程x 4ax 3a 1 0 （ a 为大于1的常数）的两根为tan ，tan 且、一，一，贝U tan ----- 的值是.2 2 214. 若向量 |；| 1,|b| 2,|； b| 2,则 I ： b| ____________ 。
2021-2022高中数学必修四期末试题(含答案)(1)
一、选择题1．已知函数2()2sin cos (0)f x x x x ωωωω=->图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．1--C ．0D ．-2．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2παβπ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，且4cos 5α=，2sin()3αβ+=，则（ ）A ．0,3πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ B ．,32ππβ⎛⎫∈⎪⎝⎭ C ．2,23ππβ⎛⎫∈⎪⎝⎭D ．2,3πβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭3．角α的终边与单位圆的交点坐标为1)2，将α的终边绕原点顺时针旋转34π，得到角β，则cos()αβ+=（ ）A ．4B ．4C ．14D ．04．在斜三角形ABC 中，sin A cos B·cos C ，且tan B·tan C ＝1，则角A 的值为( ) A ．4πB ．3π C ．2π D ．34π 5．已知非零向量a →，b →夹角为45︒，且2a =，2a b -=,则b →等于（ ）A ．B ．2C ．3D6．已知ABC ，若对任意m R ∈，BC mBA CA -≥恒成立，则ABC 为（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定7．ABC 是边长为1的等边三角形，CD 为边AB 的高，点P 在射线CD 上，则AP CP ⋅的最小值为（ ） A ．18-B ．116-C ．316-D ．08．在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，点E 是AB 边上的中点，点F 是BC 边上的动点，则DE DF ⋅的取值范围是（ ）A ．⎡⎣B ．2⎣C ．⎤⎦D ．[]0,39．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若方程()35f x =的解为1x ，2x （120x x π<<<），则()12sin x x -=（ ） A ．35B ．45-C ．23-D ．33-10．使函数()3sin(2)cos(2)f x x x θθ=+++是偶函数，且在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是减函数的θ的一个值是（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 11．将函数()2sin (04)6f x x πωω⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的周期为π，则以下说法正确的是（ ） A ．1ω=B ．函数()y f x =图象的一条对称轴为12x π=C ．()3f f x π⎛⎫⎪⎝⎭D ．函数()y f x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增12．已知函数()()()()2sin 0,0,f x x ωϕωϕπ=+>∈的部分图像如图所示，将()y f x =图像上所有点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变），所得图像对应的函数()g x 解析式为（ ）A ．()2sin 46g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()2sin 43g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()2sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()2sin 3g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭二、填空题13．若函数f (x )=sin 2x+cos 2x ,且函数y=f 2x ϕ⎛⎫+⎪⎝⎭(0<φ<π)是一个偶函数,则φ的值等于_____. 14．将22sin 23sin cos x x x +化简为sin()A x B ωϕ++（0A >，0>ω，π2ϕ<）的形式为______.15．已知tan 3α=-，则cos2=α_____________.16．圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若2AB AC AO +=，且OA AC =，则向量BA 在向量BC 方向上的投影为_____.17．如图所示，已知OAB ，由射线OA 和射线OB 及线段AB 构成如图所示的阴影区（不含边界）.已知下列四个向量：①12=+OM OA OB ； ②23143OM OA OB =+；③33145=+OM OA OB ；④44899=+OM OA OB .对于点1M ，2M ，3M ，4M 落在阴影区域内（不含边界）的点有________（把所有符合条件点都填上）18．给出下列4个命题：①函数2cos 32y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是奇函数；②函数y =sin (2x +3π)的图象关于点(12π，0)成中心对称； ③x =8π是函数y =sin (2x +54π)的一条对称轴方程；④存在实数α，使得3242πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.把你认为正确命题的序号都填在横线上____.19．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数()()cos[6]1,2,...,126y A x B x π=-+=来表示.已知6月份的平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为______℃.20．已知向量(1,3)a =，1(2,)2b =-，若单位向量c 与2a b -平行，则c =___________.三、解答题21．已知函数2()23cos 2cos 1(0)f x x x x ωωωω=-+>，且()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻公共点之间的距离为π． （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间； （2）将函数()f x 图象上的所有点向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程()g x a =有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围． 22．先将函数2sin 23sin 26y x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图像横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数()f x 的图像. （1）求函数()f x 的解析式； （2）若α，β满足42()()3f f αβ⋅=，且4παβ+=，设232sin()sin()()cos x x g x xαβ+⋅+=，求函数()g x 在,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的最大值. 23．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且,b c A =∠的平分线为AD ，若AB AD mAB AC ⋅=⋅.（1）当2m =时，求cos A （2）当231,3a b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求实数m 的取值范围. 24．设非零向量a ，b 不共线.（1）若(),1a t =，()5,b t =，且//a b ，求实数t 的值；（2）若OA a b =+，2OB a b =+，3OC a b =+.求证：A ，B ，C 三点共线. 25．如图所示，摩天轮的半径为50m ，最高点距离地面高度为110m ，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要12min .甲，乙两游客分别坐在P ，Q 两个座舱里，且他们之间间隔2个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点).（1）求劣弧PQ 的弧长l (单位：m )；（2）设游客丙从最低点M 处进舱，开始转动min t 后距离地面的高度为m H ，求在转动一周的过程中，H 关于时间t 的函数解析式；（3）若游客在距离地面至少85m 的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果. 26．把()cos()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的图象纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍得()g x 的图象，已知()g x 图象如图所示（1）求函数()f x 的解析式； （2）若()()2()6h x f x g x π=-+，求()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先将函数化简整理，根据相邻对称轴之间距离求出周期，确定1ω=，再求2f π⎛⎫⎪⎝⎭. 【详解】因为()21cos 22sin cos 23sin 2232x f x x x x x ωωωωω-=-=- πsin 23232sin 233x x x ωωω⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭由题意知()f x 的最小正周期为π22π⨯=，所以2π2πω=，即1ω=， 所以()π2sin 233f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2sin 32323f ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D. 【点睛】本题考查了三角函数的性质，关键点是根据已知条件先化简正弦函数的解析式，还要熟练掌握三角函数的性质才能正确的解题，属于中档题.2．C解析：C【分析】 由0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2παβπ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，可得()0,βπ∈，再由()βαβα=+-展开式结合同角三角函数关系可得1cos (,0)2β=-，从而得解. 【详解】 由0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2παβπ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，,02πα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，可得()0,βπ∈.又4cos 5α=，2sin()3αβ+=，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以3sin 5α==，cos()αβ+==. 所以cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++4236(0353515-=-⨯+⨯=<.102+=>，所以1cos (,0)2β∈- 所以2,23ππβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】方法点睛：在利用两角和与差的三角函数公式求值或化简时，常根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论的差异，使问题获解，常见角的变换方式有：()ααββ=+-，2()()ααβαβ=++-，2()αβααβ-=+-等.3．A解析：A 【分析】先求α的正余弦三角函数，再求β的正余弦三角函数，然后根据余弦的两角和与差的公式计算即可得到答案. 【详解】由角α的终边经过点1)2，得1sin ,cos 2αα==， 因为角β的终边是由角α的终边顺时针旋转34π得到的，所以3331sin sin()sin cos cos sin (4442πππβααα=-=-=⨯=3331cos cos()cos cos sin sin (4442πππβααα=-=+=+=1cos()cos cos sin sin 2αβαβαβ+=-==， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义以及两角和与差的正余弦公式的应用，属于中档题.4．A解析：A 【详解】由tan tan 1B C =可得sin sin (1cos cos B C B C =，进而得cos cos A C B =，由于sin cos A B C =， 所以sin cos A A =，可得4A π=,故选A.5．A解析：A 【分析】根据数量积的运算，2a b →→-=两边平方即可求解. 【详解】2a b →→-=,=2a →,a→，b →夹角为45︒, 2222()24a b a b a a b b →→→→→→→→∴-=-=-⋅+=, 2422||cos||44b b π→→∴-⨯+=,解得：||b →= 故选：A 【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算性质，数量积的定义，属于中档题.6．C解析：C 【分析】在直线AB 上取一点D ，根据向量减法运算可得到DC CA ≥，由垂线段最短可确定结论. 【详解】在直线AB 上取一点D ，使得mBA BD =，则BC mBA BC BD DC -=-=，DC CA ∴≥.对于任意m R ∈，都有不等式成立，由垂线段最短可知：AC AD ⊥，即AC AB ⊥，ABC ∴为直角三角形. 故选：C . 【点睛】本题考查与平面向量结合的三角形形状的判断，关键是能够利用平面向量数乘运算和减法运算的几何意义准确化简不等式.7．C解析：C 【分析】建立平面直角坐标系，()0,P t ，2t ≤，则 223(16⋅==-AP CP t t ，进而可求最小值. 【详解】以D 点为坐标原点，DC 所在直线为y 轴，DA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，1(,0)2A ，1(,0)2B -，C ，设()0,P t ，其中t ≤1(,)2AP t =-，(0,CP t ==，223(16⋅==-AP CP t t ，当t =时取最小值为316-，所以AP CP ⋅的最小值为316-．故选：C 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，用坐标法求最值问题，考查了运算求解能力，属于一般题目.8．D解析：D 【分析】把DE 用,DA DB 表示，由三点共线把DF 用,DC DB 表示，然后计算数量积，利用函数的知识得取值范围． 【详解】∵菱形ABCD 边长为2，60BAD ∠=︒，2BD =，∴22cos602DA DB DB DC ⋅=⋅=⨯⨯︒=，22cos1202DA DC ⋅=⨯⨯︒=-， ∵E 是AB 边上的中点，∴1()2DE DA DB =+， 点F 是BC 边上，设BF xBC =（01x ≤≤），则()(1)DF DB BF DB xBC DB x DC DB xDC x DB =+=+=+-=+-，DE DF ⋅1()(1)2DA DB xDC x DB ⎡⎤=+⋅+-⎣⎦21(1)(1)2xDA DC x DA DB xDB DC x DB ⎡⎤=⋅+-⋅+⋅+-⎢⎥⎣⎦ []122(1)24(1)3(1)2x x x x x =-+-++-=-， ∵01x ≤≤，∴03(1)3x ≤-≤． 故选：D. 【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是对动点F 引入参数x ：BF xBC=（01x ≤≤），这样所求数量积就可表示为x 的函数，从而得到范围．本题考查了向量共线的条件，属于中档题．9．B解析：B 【分析】求出函数()f x 在(0,)π上的对称轴，然后由正弦函数性质得1223x x π+=，这样12sin()x x -化为2222sin(2)sin 2cos(2)336x x x πππ⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭，而已知条件为23sin(2)65x π-=，再由正弦函数性质确定226x π-的范围，从而由平方关系求得结论．【详解】函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的对称轴满足：()262x k k Z πππ-=+∈，即()23k x k Z ππ=+∈，令0k =可得函数在区间()0,π上的一条对称轴为3x π=，结合三角函数的对称性可知1223x x π+=，则：1223x x π=-，()122222sin sin 2sin 2cos 2336x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意：0πx <<，则112666x πππ-<-<，23sin 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，120x x π<<<，则2226x πππ<-<，由同角三角函数基本关系可知：24cos 265x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数的性质，考查平方关系．解题时根据自变量的范围求得此范围内函数的对称轴，从而得出两个变量12,x x 的关系，可化双变量为单变量，再根据函数值及函数性质确定出单变量的范围，从而求得结论．注意其中诱导公式的应用，目的是把求值式与已知条件中的角化为一致．10．B解析：B 【解析】1())cos(2))cos(2))2sin(2)26f x x x x x x πθθθθθ=+++=+++=++,由于()f x 为偶函数，则(0)2sin()26f πθ=+=±，sin()1,662k πππθθπ+=±+=+，3k πθπ=+，当0k =时，3πθ=，()2sin(2)2sin(2)362f x x x πππ=++=+2cos2x =，当[0,]4x π∈时，2[0,]2x π∈，()2cos2f x x =为减函数，符合题意，所以选B.11．C解析：C 【分析】由周期求出ω，然后由正弦函数的性质判断． 【详解】函数()2sin (04)6f x x πωω⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的周期为π，所以22πωπ==，A 错； 12x π=时，206x π-=，12x π=不是对称轴，B 错；3x π=时，226x ππ-=，即23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭为最大值，因此()3f f x π⎛⎫⎪⎝⎭正确，C 正确； 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，52,666x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，而sin y x =在5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，D 错； 故选：C ． 【点睛】方法点睛：本题考查三角函数的性质，对函数()sin()f x A x ωϕ=+，掌握五点法是解题关键．解题时可由x 的值或范围求得x ωϕ+的值或范围，然后结合正弦函数性质判断．12．B解析：B 【分析】 由32341234T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭可求出T π=，进而可得2ω=，令 ()22122k k Z ππϕπ⨯+=+∈结合()0,ϕπ∈即可求得ϕ的值，再根据三角函数图象的伸缩变换即可求()g x 的解析式. 【详解】由图知32934123124T ππππ⎛⎫=--== ⎪⎝⎭， 所以T π=，可得2ππω=，解得2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+， 令()22122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，所以()23k k Z πϕπ=+∈，因为()0,ϕπ∈，所以令0k =，可得3πϕ=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 将()y f x =图像上所有点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变）， 可得()2sin 43g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 故选：B二、填空题13．【分析】先根据配角公式将函数化为基本三角函数再根据正弦函数对称轴确定φ满足条件解得φ的值【详解】因为f(x)=sin2x+cos2x=sin 所以y=fsin 则有φ++kπ因此φ=+kπ(k ∈Z)当k解析：π4【分析】先根据配角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数对称轴确定φ满足条件，解得φ的值. 【详解】因为f (x )=sin 2x+cos 2sin π24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,所以y=f 2x ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π24x ϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭,则有φ+ππ42=+k π,因此φ=π4+k π(k ∈Z),当k=0时,φ=π4. 【点睛】本题考查正弦函数对称性，考查基本分析求解能力.14．【分析】利用正弦二倍角和余弦二倍角公式及辅助角公式化简得解【详解】故答案为：【点睛】本题考查二倍角公式及辅助角公式属于基础题解析：π2sin(2)16x -+【分析】利用正弦二倍角和余弦二倍角公式及辅助角公式化简得解. 【详解】2π2sin cos 1cos 222sin(2)16x x x x x x +=-=-+故答案为：π2sin(2)16x -+ 【点睛】本题考查二倍角公式及辅助角公式，属于基础题.15．【分析】由题意根据二倍角公式同角三角函数的基本关系求得的值【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查二倍角公式同角三角函数的基本关系在三角函数化简求值中的应用属于基础题解析：45-【分析】由题意，根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系求得2cos α的值． 【详解】3tan α=-，222222cos sin 1tan 1942cos sin 1tan 195cos ααααααα---∴====-+++． 故答案为：45-． 【点睛】本题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．16．3【分析】根据向量关系即可确定的形状再根据向量投影的计算公式即可求得结果【详解】因为圆O 为△ABC 的外接圆半径为2若故可得是以角为直角的直角三角形又因为且外接圆半径是故可得则故向量在向量方向上的投影解析：3 【分析】根据向量关系，即可确定ABC 的形状，再根据向量投影的计算公式，即可求得结果.【详解】因为圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若2AB AC AO +=， 故可得ABC 是以角A 为直角的直角三角形.又因为OA AC =，且外接圆半径是2， 故可得224BC OA AC ===，则AB =，AB cos ABC BC ∠==，故向量BA 在向量BC 方向上的投影为32AB cos ABC ⨯∠==. 故答案为：3. 【点睛】本题考查向量数量积的几何意义，属中档题.17．①②④【分析】射线与线段的公共点记为根据平面向量基本定理可得到由在阴影区域内可得实从而且得出结论【详解】解：设在阴影区域内则射线与线段有公共点记为则存在实数使得且存在实数使得从而且又由于故对于①中解解析：①②④ 【分析】射线OM 与线段AB 的公共点记为N ，根据平面向量基本定理，可得到(1)ON tOA t OB =+-，由M 在阴影区域内可得实1r ≥，从而(1)OM rtOA r t OB =+-，且(1)1rt r t r +-=≥得出结论【详解】解：设M 在阴影区域内，则射线OM 与线段AB 有公共点，记为N ， 则存在实数(0,1]t ∈，使得(1)ON tOA t OB =+-，且存在实数1r ≥，使得OM rON =，从而(1)OM rtOA r t OB =+-，且(1)1rt r t r +-=≥．又由于01t ≤≤，故(1)0r t -≥． 对于①中1,(1)2rt r t =-=，解得313,r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故①满足条件． 对于②中31,(1)43rt r t =-=，解得139,1213r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故②满足条件， 对于③31,(15)4rt r t =-=，解得19,152019r t ==，不满足1r ≥，故③不满足条件， 对于④,(189)49rt r t =-=，解得,4133r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故④满足条件．故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理，向量数乘的运算及其几何意义，属于中档题．18．①③【分析】根据三角函数的奇偶性对称中心对称轴和最值对四个命题逐一分析由此确定正确命题的序号【详解】①为奇函数所以①正确②由于所以②错误③由于所以③正确④由于的最大值为所以④错误故答案为：①③【点睛解析：①③ 【分析】根据三角函数的奇偶性、对称中心、对称轴和最值对四个命题逐一分析，由此确定正确命题的序号. 【详解】①，22cos sin 323y x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭为奇函数，所以①正确.②，由于sin 2sin 11232πππ⎛⎫⨯+== ⎪⎝⎭，所以②错误. ③，由于53sin 2sin 1842πππ⎛⎫⨯+==- ⎪⎝⎭，所以③正确.④4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭32<，所以④错误. 故答案为：①③ 【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性、对称性、最值以及诱导公式，属于中档题.19．【分析】根据题意列出方程组求出求出年中12个月的平均气温与月份的三角函数关系将代入求出10月份的平均气温值【详解】据题意得解得所以令得故答案为：205【点睛】本题考查通过待定系数法求出三角函数的解析 解析：20.5【分析】根据题意列出方程组，求出,A B ，求出年中12个月的平均气温与月份的三角函数关系，将10x =代入求出10月份的平均气温值． 【详解】据题意得28A B =+，18A B =-+ 解得5A =，23B = 所以235cos[(6)]6y x π=+- 令10x =得2235cos[(106)]235cos20.563y ππ=+-=+=. 故答案为：20.5 【点睛】本题考查通过待定系数法求出三角函数的解析式，根据解析式求函数值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．20．或【分析】由向量的坐标运算求出并求出它的模用除以它的模得一向量再加上它的相反向量可得结论【详解】由题意∴又∴或故答案为：或【点睛】易错点睛：本题考查求单位向量一般与平行的单位向量有两个它们是相反向量解析：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【分析】由向量的坐标运算求出2a b -，并求出它的模，用2a b -除以它的模，得一向量，再加上它的相反向量可得结论． 【详解】由题意2(1,3)(4,1)(3,4)a b -=--=-，∴22(3)5a b -=-=，又234,552a ba b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭-， ∴c =34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】易错点睛：本题考查求单位向量，一般与a 平行的单位向量有两个，它们是相反向量：a a±．只写出一个向量a a是错误的．三、解答题21．（1）最小正周期为π，单调递减区间为5,,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）化简可得()2sin 26f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由题可得T π=，则可解出1ω=，令3222,262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈可求出单调递减区间； （2）可得()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，题目等价于找出()g x 有两个点相等的区间，即可求出a 的范围.【详解】（1）()2cos 22sin 26f x x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻公共点之间的距离为π，T π∴=，则22ππω=，解得1ω=，()2sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，令3222,262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 故()f x 的单调递减区间为5,,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； （2）可得()2sin 22sin 26666g x f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，672,66x πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-∈，()1,12g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 要使关于x 的方程()g x a =有两个不相等的实数根， 只需找出()g x 有两个点相等的区间即可， 当2,662x πππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭和52,626x πππ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦时满足题意，此时()1,12g x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1,12a ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查三角函数与方程的应用，解题的关键是得出题目等价于找出()g x 有两个点相等的区间.22．（1）()2cos f x x =；（2）4. 【分析】（1）先对函数化简变形可得cos 2y x =，再由三角函数图像变换规律可求出()f x 的解析式；（2）由已知条件可得cos cos 3αβ=，sin sin 6αβ=-2()2tan 3tan 1g x x x =+-，然后令tan [1,1]t x =∈-，则2()231h t t t =+-，从而可求出其最值 【详解】（1）原函数化简得到2sin 2coscos 2sin2cos 266y x x x x ππ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦，将cos 2y x =图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，可得2cos2y x =，再将2cos2y x =的图像横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到2cos y x = 所以()2cos f x x =.（2）由题意知cos cos 3αβ=， 因为4παβ+=所以cos()cos cos sin sin 2αβαβαβ+=-=，解得sin sin αβ=2cos cos sin )(sin cos cos sin )()cos x x x x g x xααββ++=.222sin cos cos sin cos sin()cos sin sin cos x x x x xαβαβαβ⎤+++⎣⎦=222sin sin cos cos 326cos x x x x x⎤⎛⋅+⋅+⋅-⎥⎥⎝⎭⎣⎦=22tan 3tan 1x x =+-令tan [1,1]t x =∈-，2()231h t t t =+-，则对称轴为34t =-.所以max ()(1)4h t h ==. 【点睛】关键点点睛：此题考查三角恒等变换公式的应用，考查三角函数图像变换规律，考查数学转化思想，解题的关键是由()()3f f αβ⋅=求出cos cos 3αβ=，再对4παβ+=两边取余弦化简可求出sin sin αβ=()g x 化简可得2()2tan 3tan 1g x x x =+-，再利用换元法可求得结果，属于中档题23．（1）13；（2）322m <<【分析】（1）由题意得,1()2AD AB AC =+；从而可得1()22AB AB AC AB AC ⋅+=⋅；从而可得1cos 3||||AB AC A AB AC ⋅==；（2）222||||cos 2b a AB AC AB AC A -⋅=⋅=,从而可得2211112222AB AD AB m AB AC AB AC a b ⋅==+=+⋅⋅⎛⎫- ⎪⎝⎭；从而求取值范围..【详解】解：（1）由题意得,1()2AD AB AC =+； 故1()22AB AB AC AB AC ⋅+=⋅； 故23AB AB AC =⋅； 故1cos 3||||AB AC A AB AC ⋅==；（2）||||cos AB AC AB AC A ⋅=⋅2222b a -=；故21122AB AD AB m AB AC AB AC ⋅==+⋅⋅222122b b a =+- 21122a b =+⎛⎫- ⎪⎝⎭；∵1,3a b ⎛∈ ⎝⎭,∴241,3a b ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 故213122a b <<⎛⎫- ⎪⎝⎭； 在23112222a b <+<⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了平面向量的应用即解三角形的应用,属于中档题. 24．（1）2）证明见解析. 【分析】（1）利用平面向量的坐标运算和共线定理列方程求出t 的值； （2）根据条件得到2AC AB =且有公共点A ,即可得到结论. 【详解】解：（1）∵(),1a t =，()5,b t =，且//a b ，故250t t -=⇒=， 即实数t 的值为：5±；（2）证明：∵OA a b =+，2OB a b =+，3OC a b =+. ∴AB OB OA b =-=，2AC OC OA b =-=，即2AC AB =且有公共点A ， 故A ，B ，C 三点共线． 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，用向量法证明三点共线，属于基础题． 25．（1）252m π；（2）50sin()6062H x ππ=-+，其中012t ≤≤；（3）5min 2. 【分析】（1）根据弧长的计算公式可求PQ 的长度.（2）建立如图所示的平面直角坐标系，利用三角函数的定义可求H 关于时间t 的函数解析式.（3）利用（2）中所得的解析式并令85H ≥，求出不等式的解后可得甲，乙两位游客都有最佳视觉效果的时间长度. 【详解】（1）因为摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱， 故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为22412ππ=， 故25350122lm ππ. （2）建立如图所示的平面直角坐标系，设sin()H A wx B ϕ=++， 由题意知，12T =，所以26w T ππ==， 又由50,1105060A r B ===-=，所以50sin()606H x πϕ=++，当0x =时，可得sin 1ϕ=-，所以2πϕ=-，故H 关于时间t 的函数解析式为50sin()6062H x ππ=-+，其中012t ≤≤.（3）令50sin()608562H x ππ=-+≥，即1sin()622x ππ-≥， 令522,6626k x k k Z ππππππ+≤-≤+∈，解得412812,k x k k Z +≤≤+∈， 因为甲乙两人相差3312min 242⨯=， 又由354min 22-=，所以有5min 2甲乙都有最佳视觉效果. 【点睛】三角函数实际应用问题的处理策略： 1、已知函数模型求解数学问题；2、把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题；3、根据实际问题转化为已知条件转化为三角函数的解析式和图象，然后在根据数形结合思想研究三角函数的性质，进而加深理解函数的性质. 26．（1）1()cos(2)3f x x π=-；（2）3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）由伸缩变换得1()cos()2g x x ωϕ=+，由()g x 的图像的周期为54()263T πππ=-=，解得2ω=，由()g x 图像过点(,1)3π，求得ϕ，进而得到()g x ，()f x 的解析式.（2）易得()22cos ()2cos()166h x x x ππ=----，令cos()6t x π=-，利用二次函数的性质求解. 【详解】（1）由题意1()cos()2g x x ωϕ=+， 由()g x 的图像可得：函数()g x 的周期为54()263T πππ=-=， 解得2ω=， ∴()cos )(g x x ϕ=+，由图知()g x 图像过点(,1)3π， 所以cos()13πϕ+=， 则23k πϕπ=-+，k Z ∈， 因为||2ϕπ<，取0k =得3πϕ=-， 所以()cos()3g x x π=-，从而函数()f x 的解析式为()cos(2)3f x x π=-． （2）()()2()cos(2)2cos()636h x f x g x x x πππ=-+=---， 22cos ()2cos()166x x ππ=----， 令cos()6t x π=-， 由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则22132212()22y t t t =--=--，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 当12t =时，y 有最小值32-， 此时，1cos()62x π-=，63x ππ-=，即2x π=， 当1t =时有最大值1-，此时cos()16x π-=，06x π-=，即6x π=． 所以函数()h x 的值域为3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦． 【点睛】方法点睛：求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．。
新人教A版高中数学必修四下学期期末考试数学试卷(含答案)
高一下学期期末考试数学试卷一、选择题：（每题4分，共48分）1.设=⋅+=-=-=c b a c b a)2(),2,3(),4,3(),2,1(则 （ ）A.(-15,12)B.0C.-3D.-11 2.把38化成二进制数为（ ）A.100110（2）B.101010（2）C.110100（2）D.110010(2) 3.容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：第三组的频数和频率分别是 ( )A ．14和0.14B ．0.14和14C ． 141和0.14 D ． 31和1414.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=对称，则ϕ可能是（ ）A.2πB.4π-C.4πD.34π5.下列说法正确的是A.事件A ，B 中至少有一个发生的概率一定比A ，B 中恰有一个发生的概率大.B. 事件A ，B 同时发生的概率一定比A ，B 中恰有一个发生的概率小.C.互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件.D.互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件.6.在.,,b AC c AB ABC==∆中 若点D 满足==2A. b c 3235-B. c b 3132+C.c b 3132-D.c b 3231+7. .在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为 ( ) A ．9.4,0.484 B ．9.4,0.016 C ．9.5,0.04 D ．9.5,0.0168.若21,e e 是夹角为600的两个单位向量，则212123;2e e b e e a +-=+=的夹角为A ．300B ．600C ．1200D ．15009. 用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（ ）A ．3B ．9C ．17D ．5110.已知3tan =α，23παπ<<，那么ααsin cos -的值是（ ）． A ．231+-B ．231+-C ．231-D ． 231+11.已知向量(1sin ,1)θ=-a ，1(,1sin )2θ=+b ，若a ∥b ，则锐角θ等于 A ．30︒ B ． 45︒ C ．60︒ D ．75︒12．设2132tan131cos50cos6sin 6,,,21tan 13a b c -=-==+则有（ ） A.a b c >> B. b c a << C. a b c << D. a c b <<二、填空题：（每题4分，共20分）13. 在500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是_____________。
2021-2022高中数学必修四期末试题(附答案)
一、选择题1．函数()2cos ||cos 2f x x x =-在[,]x ππ∈-上的单调增区间为（ ）A ．,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,6ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．若1sin 34a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．78-B ．78C ．1516-D ．15163．已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中,a b ∈R ，且0ab ≠，若()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，则（ ）.A ．ππ56f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()5π2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．π4f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数 D ．π4f x ⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数 4．0=（ ）A ．1B ．2CD 5．已知ABC 为等边三角形，2AB =，ABC 所在平面内的点P 满足1AP AB AC --=，AP 的最小值为（ ）A 1B ．221-C ．1-D ．716．已知向量,a b ，满足||1,||2a b ==，若对任意模为2的向量c ，均有||||27a c b c ⋅+⋅≤，则向量,a b 的夹角的取值范围是（ ）A ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．已知1a =，2b =，则a b a b ++-的最大值等于（ ）A ．4B C ．D ．58．已知向量,a b 满足2(1,2),(1,)+==a b m b m ，且a 在b ，则实数m =（ ）A ．2±B ．2C ．D9．设函数5()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 为偶函数，则ϕ的最小值是（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 10．已知0>ω，2πϕ≤，在函数()()sin f x x ωϕ=+，()()cos g x x ωϕ=+的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π，当,64x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，函数()f x 的图象恒在x 轴的上方，则ϕ的取值范围是（ ） A ．,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 11．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移ϕ(02πϕ<≤)个单位，得到函数()g x 的图象.在同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 12．函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，为了得sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移3π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度C ．向左平移3π个单位长度 D ．向左平移4π个单位长度 二、填空题13．已知α、0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin α=，()cos 5αβ+=，则()cos 2αβ+=______.14．若cos()3πα-=-,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α的值是____________．15．已知02x π-<<，1sin cos 5x x +=，则22sin cos cos x x x -的值为___________. 16．已知点()0,1A ，()3,2B ，向量()4,3AC =，则向量BC =______.17．已知(2,1)a =-，(1,)b t =，若(2)a b a -⊥，则b =__________18．已知平面向量a ，b 满足3a b +=，3a b -=，则向量a 与b 夹角的取值范围是______.19．函数3()2sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，以下说法： （1）其中最小正周期为23π； （2）图象关于点(,0)4π对称；（3）由2sin3y x =的图象向右平移34π个单位长度可以得到图象C ； （4）直线4πx =-是其图象的其中一条对称轴． 其中正确命题的序号是__________．20．已知函数sin cos |sin cos |()22+--=+x x x x f x [0,]m 上恰有4个零点，则实数m 的取值范围为________.三、解答题21．已知函数()2sin cos 144f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若函数()()2g x f x x =-，求函数()g x 的单调增区间.22．在①2sin 3sin 2αα=，②cos 2α=③tan α=个，补充在下面问题中，并解决问题.已知10,,0,,cos()224ππαβαβ⎛⎫⎛⎫∈∈+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，_______，求cos β. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.23．已知()sin()(0,0)f x x ωϕϕπω=+<<>为偶函数，且()y f x =图像的两相邻对称中心点间的距离为2π． （1）求()f x 的解析式；（2）函数()y f x =的图像向右平移6π个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到()y g x =的图像，求()g x 的单调递减区间． 24．已知函数()2sin 1f x x =-.（1）求函数f (x )的最大值，并求此时x 的值； （2）写出()0f x >的解集.25．已知向量()cos ,sin m x x =-，()3,3n =，[]0,x π∈. （1）若m 与n 共线，求tan x 的值； （2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值. 26．已知a =（1，2）b =（-3，2），当k 为何值时． （1）ka b +与3a b -垂直； （2）ka b +与3a b -平行．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】先把函数解析式化简，然后令cos t x =，利用复合函数单调性求解即可 【详解】 当[]0,x π∈时，22()2cos ||cos 2=2cos (2cos 1)2cos 2cos 1f x x x x x x x =---=-++，令cos [1,1]t x t =∈-，，则cos t x =在[]0,x π∈上为减函数；而2221y t t =-++ 对称轴为12t =，∴2221y t t =-++在1[1,]2t ∈-上单增，在1[,1]2t ∈上单减， ∴()y f x =在0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为增函数，在,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为减函数． 又()2cos ||cos 2f x x x =-为偶函数，其图像关于y 轴对称， ∴()y f x =在,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上为增函数，在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数． 故()y f x =的单调增区间为,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 故选：A 【点睛】复合函数的单调性口诀：同增异减，其具体含义为： 内外函数的单调性相同(同),则复合函数为增函数(增)； 内外函数的单调性相反(异),则复合函数为减函数(减).2．B解析：B 【分析】 化简sin 2cos 2()63a ππα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再利用二倍角公式化简求值. 【详解】22sin 2sin[(2)]cos(2)=cos 2()cos 2()632333a ππππππαααα⎛⎫-=-+=--=- ⎪⎝⎭=21712sin ()123168πα--=-⨯=. 故选：B 【点睛】方法点睛：三角恒等变换常用的方法有：三看（看角、看名、看式）三变（变角变名变式），要根据已知条件灵活选择方法化简求值.3．B解析：B 【分析】利用辅助角公式可得()()f x x ϕ=+，又()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立知π422f a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭a b =，整理得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性可判断A ，利用诱导公式以及三角函数的奇偶性可判断选项BCD ，进而可得正确选项.【详解】由0ab ≠知0a ≠且0b ≠，利用辅助角公式可得()()sin cos f x a x b x x ϕ=+=+，其中tan b aϕ=， 又()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，知π4f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最值，所以πππsin cos 44422f b a a b ⎛⎫=+=+= ⎝⎪⎭， 即22221122a b ab a b +++=，所以2211022a b ab +-=，即()2102a b -=， 所以a b =，tan 1b a ϕ==，可得4πϕ=，所以()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于选项A ：9sin sin 55420f ππππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 5sin sin 66412f ππππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为5912202πππ<<，则59sin sin 1220ππ<， 当0a >时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0a <时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项A 不正确； 对于选项B ：sin sin 5π5π11π3π2244sin 4f x x x x π⎛⎫-=--- ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭()ππ4sin sin 4x f x x π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--+，故选项B 正确；对于选项C ：sin sin ππ444x x f x π⎛⎫--⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭是奇函数，故选项C 不正确；对于选项D ：si πππ442n sin cos 4f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎛⎫+++ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝是偶函数，故选项D 不正确， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是从已知条件()π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，知π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的最值，π422f a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，从而得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，属于中档题.4．C解析：C 【解析】202000000000cos 10sin 10cos10sin1055cos35(cos10sin10)cos35cos35-+===-选C. 5．C解析：C 【分析】计算出AB AC +的值，利用向量模的三角不等式可求得AP 的最小值. 【详解】2222222cos123AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC π+=++⋅=++⋅=，所以，23AB AC += 由平面向量模的三角不等式可得()()231AP AP AB AC AB AC AP AB AC AB AC =--++≥---+=.当且仅当AP AB AC --与AB AC +方向相反时，等号成立.因此，AP 的最小值为1. 故选：C. 【点睛】结论点睛：在求解向量模的最值时，可利用向量模的三角不等式来求解：a b a b a b -≤±≤+. 6．B解析：B 【分析】根据向量不等式得到7a b +≤，平方得到1a b ⋅≤，代入数据计算得到1cos 2α≤得到答案. 【详解】由||1a =，||2b =，若对任意模为2的向量c ，均有||||27a c b c ⋅+⋅≤ 可得：()()27a b c a b c a c b c +⋅≤+⋅≤⋅+⋅≤ 可得:()227a b +⋅≤7a b +≤平方得到2227a b a b ++⋅≤，即1a b ⋅≤1cos 1,cos ,23a b a b παααπ⋅=⋅≤∴≤∴≤≤故选：B 【点睛】本题考查了向量夹角的计算，利用向量三角不等式的关系进行求解是解题的关键.7．C解析：C 【分析】利用基本不等式得到222a b a b a b a b ++-++-≤，然后利用平面向量数量积运算求解. 【详解】因为1a =，2b =，所以222222252a b a ba b a b a b ++-++-≤=+=，当且仅当a b a b +=-，即a b ⊥时取等号，故选：C 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于中档题.8． A解析：A 【分析】根据2(1,2),(1,)+==a b m b m 可得0,2m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合||cos 5a θ=，列出等式，即可解出答案. 【详解】因为向量,a b 满足2(1,2),(1,)a b m b m +==，22(0,)a a b b m =+-=，所以20,,22m m a a b ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，若向量,a b 的夹角为θ，则2225||(||cos )152m b a m a b θ=+⋅=⋅=，所以42516160m m --=，即()()225440m m +-=，解得2m =±. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是||||cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，cos ||||a ba b θ⋅=⋅（此时a b ⋅往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是||a bb ⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;（4）求向量ma nb +的模（平方后需求a b ⋅）. 9．A解析：A 【分析】根据题意有()5sin 226g x x ϕπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-，若()g x 为偶函数则52()62k k Z πππϕ-=+∈，结合0ϕ>可得出答案. 【详解】 解：由题意可得()()55()sin 2sin 2266g x f x x x πϕϕϕπ⎛⎫⎛⎫=+=+-=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为()g x 为偶函数，则52()62k k Z πππϕ-=+∈，即2()32k k Z ππϕ=+∈ 因为0ϕ>，所以当1k =-时ϕ取得最小值6π. 故选：A. 【点睛】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法（1）求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；（2）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于()f x 的方程(组)，从而得到()f x 的解析式；（3）求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值； （4）画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.10．D解析：D 【分析】由()()f x g x =得()()sin cos x x ωϕωϕ+=+，所以()tan 1x ωϕ+=，可求得()4k x k Z ππϕω+-=∈，再利用，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π，可得2x ππω∆==，即可得2ω=，再利用正弦函数图象的特点，可得032πϕπϕπ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，即可求出ϕ的取值范围. 【详解】由()()f x g x =得()()sin cos x x ωϕωϕ+=+，所以()tan 1x ωϕ+=， 可得：()4x k k Z πωϕπ+=+∈，所以因为相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2x ππω∆==， 所以2ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，当,64x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，232x ππϕϕϕ-+<+<+，要满足函数()f x 的图象恒在x 轴的上方，需满足方程032πϕπϕπ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩ ，解得32ππϕ≤≤， 故选：D 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题.11．C解析：C 【分析】由图可知，172482g f ππ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据函数图象的平移变化法则可知()()sin 2x g x ϕ=-，于是推出1717sin 224242g ππϕ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1722124k ππϕπ-=+或324k ππ+，k Z ∈，再结合02πϕ<≤，解之即可得ϕ的值.【详解】由图可知，17sin 224882g f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为()f x 的图象向右平移ϕ个单位，得到函数()g x 的图象，所以()()sin 2x g x ϕ=-，所以171717sin 2sin 22424122g πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以1722124k ππϕπ-=+或17322124k ππϕπ-=+，k Z ∈， 解得712k πϕπ=-或3k πϕπ=-，k Z ∈，因为02πϕ<≤，所以3πϕ=.故选：C 【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，属于中档题.12．B解析：B 【分析】首先根据图象求函数的解析式，再根据左右平移规律判断选项. 【详解】 由图象可知37341264T T ππππ⎛⎫=--=⇒= ⎪⎝⎭， 即22ππωω=⇒=，当6x π=-时，22,6k k Z πϕπ⎛⎫⨯-+=∈ ⎪⎝⎭， 解得：2,3k k Z πϕπ=+∈，2πϕ<，3πϕ∴=，()sin 23f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭， 22643x x πππ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， ∴ 要得到sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位. 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及()sin y A ωx φ=+的性质，属于中档题型，()sin y A x ϕ=+的横坐标伸长（或缩短）到原来的1ω倍，得到函数的解析式是()sin y A ωx φ=+，若sin y A x ω=向右（或左）平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到函数的解析式是()sin y A x ωϕ=-⎡⎤⎣⎦或()sin y A x ωϕ=+⎡⎤⎣⎦.二、填空题13．【分析】利用同角三角函数的平方关系求得的值然后利用两角和的余弦公式可求得的值【详解】因为则又所以所以故答案为：【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值同时也考查了同角三角函数基本关系的应用考查计算能解析：2【分析】利用同角三角函数的平方关系求得cos α、()sin αβ+的值，然后利用两角和的余弦公式可求得()cos 2αβ+的值. 【详解】因为α、0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0αβ<+<π，又10sin10，()cos 5αβ+=，所以，cos 10α==，()sin αβ+==所以()()()()cos 2cos cos cos sin sin αβααβααβααβ+=++=+-+⎡⎤⎣⎦2-=. 【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值，同时也考查了同角三角函数基本关系的应用，考查计算能力，属于中等题.14．【分析】由诱导公式化简再利用同角三角函数间的关系和角的范围可得答案【详解】由且得故答案为：【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和同角三角函数间的关系在运用公式时注意角的范围属于基础题解析：2-【分析】由诱导公式化简cos()πα-，再利用同角三角函数间的关系和角的范围可得答案. 【详解】由cos()3πα-=-，且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得cos tan332ααα===-==-．故答案为：2-. 【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和同角三角函数间的关系，在运用公式时，注意角的范围，属于基础题.15．【分析】根据得到将已知等式两边平方利用同角三角函数基本关系式可求的值然后利用二倍角公式化简求解【详解】∵∴∴∵两边平方可得∴故答案为：【点睛】本题主要考查三角函数的同角基本关系式以及倍角公式的应用还解析：85-【分析】 根据1sin cos 5x x +=得到|cos ||sin |x x >， 将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求sin 2x ，cos2x 的值，然后利用二倍角公式化简求解. 【详解】 ∵02x π-<<，1sin cos 5x x +=， ∴|cos ||sin |x x >， ∴04x π-<<，π202x -<< ∵1sin cos 5x x +=，两边平方， 可得24sin 225x =-，7cos 225x =，∴21cos 282sin cos cos sin 225x x x x x +-=-=-. 故答案为：85-.【点睛】本题主要考查三角函数的同角基本关系式以及倍角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16．【分析】根据向量的坐标运算即可求出【详解】因为所以故答案为：【点睛】本题考查了向量的坐标运算向量模的坐标公式属于基础题目【分析】根据向量的坐标运算即可求出． 【详解】 因为()0,1A ，()3,2B，所以()3,1AB =，()()()4,33,11,2BC AC AB =-=-=，21BC ==【点睛】本题考查了向量的坐标运算，向量模的坐标公式，属于基础题目.17．【分析】根据向量垂直得数量积为0从而求得的值利用求模公式求得向量的模【详解】若则即求得故故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算及向量的模的求法意在考查学生的数学运算的学科素养属中档题【分析】根据向量垂直得数量积为0，从而求得t 的值，利用求模公式求得向量的模. 【详解】(2,1)a =-，(1,)b t =，2a b -()3,2t =--，若(2)a b a -⊥，则(2)0a b a -⋅=，即()620t ++=，求得8t故 b ==【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算及向量的模的求法，意在考查学生的数学运算的学科素养，属中档题.18．【分析】由已知得由得由不等式可知再由得最后由可得解【详解】由得即由得即由得由得所以故答案为：【点睛】本题考查了向量及其模的运算考查了向量的夹角公式和基本不等式考查了计算能力属于中档题解析：0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由已知，得22222923a a b b a a b b +⋅⎧⎪⎨⎪+=-⋅+=⎩②①，由+①②，得226a b +=，由不等式可知3a b ≤，再由-①②，得32a b ⋅=，最后由cos ,a b a b a b ⋅=可得解.【详解】由3a b +=，3a b -=，得()()2239ba ab ⎧⎪⎨⎪-==+⎩，即22222923a a b b a a b b +⋅⎧⎪⎨⎪+=-⋅+=⎩②①由+①②，得226a b +=，即226a b += 由-①②，得32a b ⋅=由222a b a b +≥，得3a b ≤1cos ,2a b a b a b⋅=≥所以，0,3a b π≤≤.故答案为：0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了向量及其模的运算，考查了向量的夹角公式和基本不等式，考查了计算能力，属于中档题.19．（1）（2）（4）【分析】根据正弦型函数周期公式正弦型函数对称中心坐标正弦型函数对称轴等知识逐项验证即可求得答案【详解】对于（1）根据正弦型函数周期公式：可得：函数最小正周期为：故（1）正确；对于（解析：（1）（2）（4） 【分析】根据正弦型函数周期公式，正弦型函数对称中心坐标，正弦型函数对称轴等知识，逐项验证，即可求得答案． 【详解】对于（1），根据正弦型函数周期公式：2T ωπ=可得：函数3()2sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭最小正周期为：2233T ππ==，故（1）正确；对于（2），根据正弦函数sin ()y x x R =∈的图象的对称中心为(0),k π 正弦型函数3()2sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭∴令334,k Z x k ππ=∈-，解得4,3k k Z x ππ=+∈ ∴其对称中心坐标为(,0),34k k Z ππ+∈当0k =时，对称中心坐标为(,0)4π，故（2）正确；对于（3），将2sin3y x =的图象向右平移34π个单位长度 可得：392sin 32sin 344y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭92sin 322sin 344x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴将2sin3y x =的图象向右平移34π个单位长度不能得到图象C ，故（3）错误； 对于（4），根据正弦函数sin ()y x x R =∈的图象的对称轴方程为,2x k k Z ππ=+∈，正弦型函数3()2sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭∴令,2334Z x k k πππ=+∈-，解得51,32k k x Z ππ=+∈ 当2k =-时，512342x πππ=+=--， ∴3()2sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭一条对称轴4πx =-，故（4）正确； 故答案为：（1）（2）（4）．【点睛】本题解题关键是掌握整体法求正弦函数图象的对称中心和对称轴的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．20．【分析】周期为先考查一个周期函数判断零点个数及坐标再结合周期性即可求解【详解】是函数的一个周期当时当时只有四个零点在上恰有4个零点实数m 的取值范围为故答案为:【点睛】本题考查函数的零点个数求参数注意 解析：517[,)36ππ【分析】()f x 周期为2π，先考查一个周期函数，判断零点个数及坐标，再结合周期性，即可求解【详解】2x π=是函数()f x 的一个周期，当[0,2]x π时，5cos [,]44()5sin [0,][,2]44x x f x x x πππππ⎧∈⎪⎪=⎨⎪+∈⋃⎪⎩当[0,2]x π时，()f x 只有四个零点5745,,,6633ππππ， 在[0,]m 上恰有4个零点，实数m 的取值范围为517[,)36ππ. 故答案为:517[,)36ππ. 【点睛】本题考查函数的零点个数求参数，注意函数图像和性质的应用，属于中档题.三、解答题21．（1）最小正周期为π；（2）5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，. 【分析】（1）由三角函数恒等变换化简函数得()sin 2f x x =，由三角函数的周期公式可得答案；（2）由余弦的二倍角公式和辅助角公式得()gx 2sin23x π=-（），再由正弦函数的性质可求得函数的单调增区间. 【详解】 解：（1）函数()22sin cos 12cos 1cos 2sin 24444f x x x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=--=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以函数()f x 的最小正周期为22ππ=. （2）()()22sin 22cos 1sin 2g x f x x x x x x =-=-=）2sin 23x π=-（），令222232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，，得51212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，， 所以函数()g x 的单调增区间为51212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，，. 【点睛】方法点睛：解决三角函数的周期和单调性等相关问题，先利用三角函数的恒等变换化简函数为一个角一个三角函数，再运用整体思想代入是常用的方法.22．112【分析】①②③任选一个条件，均可求出sin ,cos αα，求出sin()αβ+，利用()βαβα=+-，结合两角差的余弦公式，即可求解.【详解】 若选条件①因为2sin 3sin 2αα=，所以2sin 32sin cos ααα=⨯，即1cos 3α=. 因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 3α== 因为1cos()4αβ+=-，由平方关系22sin ()cos ()1αβαβ+++=， 解得215sin ()16αβ+=. 因为0,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以0αβ<+<π，所以sin()4αβ+=， 所以cos cos[()]βαβα=+-cos()cos sin()sin αβααβα=+++1143=-⨯=若选条件②因为cos2α=21cos 2cos 123αα=-=. 由平方关系22sin cos 1αα+=，得28sin 9α=.因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 3α=以下同①的解法.若选条件③因为tan α=sin cos αα= 由平方关系22sin cos 1αα+=，解得sin 31cos 3αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或sin 31cos 3αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 31cos 3αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 以下同①的解法. 【点睛】关键点点睛：本题根据不同的条件，利用三角恒等变换、同角三角函数的基本关系求出sin α，cos α，再利用1cos()4αβ+=-求出sin()αβ+，根据角的变换()βαβα=+-求解是关键，属于中档题.23．（1）()cos 2f x x =；（2）42,2,33k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . 【分析】（1）根据函数()sin()f x x ωϕ=+为偶函数求出ϕ，根据()y f x =图像的两相邻对称中心点间的距离求出ω，则可得()f x 的解析式；（2）根据图象变换规律求出()g x ，再根据余弦函数的递减区间列式可解得结果. 【详解】（1）由于函数()sin()f x x ωϕ=+为偶函数，则,2k k πϕπ=+∈Z ．又0ϕπ<<，则2ϕπ=．又函数()f x 图象的两相邻对称中心点间的距离为2π，从而22T T ππ=⇒=，故22Tπω==． 故()sin 2cos 22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． （2）函数()y f x =图象向右平移6π个单位得()cos 2cos 2663h x f x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；再由伸缩变换可得：()cos 3g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 由223k x k ππππ-+．得4223k x k πππ≤≤+，k Z ∈， 故()g x 的单调递减区间为：42,2,33k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ． 【点睛】关键点点睛：掌握三角函数的图象变换规律以及余弦函数的递减区间是解题关键. 24．（1）最大值1，2,2x k k Z ππ=+∈；（2）5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 【分析】（1）当sin 1x =时，函数取最大值得解； （2）根据三角函数的图象解不等式得解集. 【详解】（1）当sin 1x =即2,2x k k Z ππ=+∈时，()2111max f x =⨯-=；（2）由题得1sin 2x >，所以不等式的解集为5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 【点睛】关键点睛：解答这类题的关键是熟练掌握三角函数的图象和性质，再灵活利用其解题.25．（1）2）6π【分析】（13sin =-x x ，进而可得结果.（2）由平面向量的数量积可得3cos -x x ，进而可得结果. 【详解】（1）由//m n 3sin tan =-⇒=x x x（2）13cos 3sin cos 132π⋅=-=⋅⋅=⨯m n x x m n 可得1sin()32x π-=-，因为2[0,],[,]333ππππ∈-∈-x x 所以366πππ-=-⇒=x x【点睛】本题考查了平面向量共线的坐标表示、平面向量数量积运算的坐标表示和三角恒等变换，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.26．（1）19； （2）13-.【分析】（1）由题意，求得(3,22),3(10,4)ka b k k a b +=-+-=-，根据因为ka b +与3a b -垂直，列出方程，即可求解；（2）根据ka b +与3a b -平行，列出方程，即可求解.【详解】（1）由题意，向量(1,2),(3,2)a b ==-，则(3,22),3(10,4)ka b k k a b +=-+-=-，因为ka b +与3a b -垂直，所以()(3)10(3)4(22)0ka b a b k k +⋅-=--+=，即2380k -=，解得19k =.（2）若ka b +与3a b -平行，则满足4(3)10(22)0k k ---+=，即2480k -+=，解得13k =-.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以向量垂直和平行的判定及应用，其中解答中熟练应用向量的坐标运算公式，根据向量垂直和平行，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.。
2021-2022高中数学必修四期末试题(附答案)(1)
一、选择题1．若1sin 34a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．78-B ．78C ．1516-D ．15162．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2παβπ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，且4cos 5α=，2sin()3αβ+=，则（ ）A ．0,3πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ B ．,32ππβ⎛⎫∈⎪⎝⎭ C ．2,23ππβ⎛⎫∈⎪⎝⎭D ．2,3πβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭3．若()π,2πα∈，πcos sin 042αα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．0CD ．或0 4．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．17B ．7C ．17-D ．-75．已知圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x上，线段AB 为圆C的直径，则PA PB ⋅的最小值为（） A ．2B ．52C ．3D ．726．已知1a ，2a ，1b ，2b ，()*k b k ⋅⋅⋅∈N是平面内两两互不相等的向量，121a a-=，且对任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈，则k 最大值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．67．在ABC 中，4A π=，3B π=，2BC =，AC 的垂直平分线交AB 于D ，则AC CD ⋅=（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．38．在空间直角坐标系中，(3,3,0)A ，(0,0,1)B ，点(,1,)P a c 在直线AB 上，则 （ ） A ．11,3a c ==B ．21,3a c ==C ．12,3a c ==D ．22,3a c ==9．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移ϕ(02πϕ<≤)个单位，得到函数()g x 的图象.在同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 10．已知函数()()cos f x x ωϕ=+（0>ω，0πϕ-<<）的图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且其相邻对称轴间的距离为23π，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则下列说法中正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期23T π= B ．58πϕ=-C ．()317cos 248πx g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．声音是由物体振动产生的声波．我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数sin y A wt =．音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与函数sin y A wt =中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音．我们听到的声音函数是111sin sin 2sin 3sin 4234y x x x x =++++．结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中正确的有（ ）．A ．函数1111sin sin 2sin3sin 4sin100234100y x x x x x =+++++不具有奇偶性； B ．函数111()sin sin 2sin3sin 4234f x x x x x =+++在区间,1616ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； C ．若某声音甲对应函数近似为111()sin sin 2sin3sin 4234f x x x x x =+++，则声音甲的响度一定比纯音1()sin 22h x x =响度大；D ．若某声音甲对应函数近似为1()sin sin 22g x x x =+，则声音甲一定比纯音1()sin33h x x =更低沉．12．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω，0ϕπ≤≤)的部分图象如图所示，则()f x 的解析式是（ ）A ．()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭二、填空题13．已知函数2()23sincos2cos (0)222xxxf x ωωωω=+>的周期为23π，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k =+恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是__________.14．()sin 5013︒+︒的值__________.15．已知锐角α，β满足()sin 23sin αββ+=，则()tan cot αβα+=______. 16．已知向量1e ，2e 是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当12OP xe ye =+时，则称有序实数对(),x y 为点P 的广义坐标，若点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，对于下列命题： ① 线段A 、B 的中点的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭； ② A 、B 两点间的距离为()()221212x x y y -+-③ 向量OA 平行于向量OB 的充要条件是1221x y x y =；④ 向量OA 垂直于向量OB 的充要条件是12120x x y y +=. 其中的真命题是________（请写出所有真命题的序号）17．在ABC 中，90,6C CA CB ∠=︒==，P 为ABC 所在平面内一动点，则()CP AP BP ⋅+的最小值为________．18．在AOB 中，已知1OA =，OB =2AOB π∠=.若点C ，D 满足971616OC OA OB =-+，()12CD CO CB =⋅+，则CD CO ⋅的值为_______________. 19．已知函数()f x 的定义域为R ，且()2()f x f x π+=，当[0,)x π∈时，()sin f x x =．若存在0(,]x m ∈-∞，使得0()f x ≥m 的取值范围为________．20．关于函数()4sin(2)(),3f x x x R π=+∈有下列命题：①由12()()0f x f x ==可得12x x -必是π的整数倍；②()y f x =的图象关于点(,0)6π-对称；③()y f x =的表达式可改写为4cos(2);6y x π=-④()y f x =的图象关于直线6x π=-对称.其中正确命题的序号是_________.三、解答题21．已知310,2,tan ,sin 223ππαβπαβ<<<<==. （1）求cos()αβ-的值； （2）求αβ+的值.22．已知函数21()cos cos 2222x x x f x =++. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()y f x =的图象上的各点________；得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的最大值及取得最大值时x 的取值集合.你需要在①､②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答. ①向左平移32π个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半； ②纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的一半，再向右平移4π个单位. 23．如图，在正ABC ∆中，2AB =，P ，E 分别是BC 、CA 边上一点，并且3CA EA =，设BP tBC =，AP 与BE 相交于F ．（1）试用AB ，AC 表示AP ； （2）求·AP BE 的取值范围． 24．在①将函数f (x )图象向右平移12π个单位所得图象关于y 轴对称：②函数6y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是奇函数；③当712x π=时，函数6y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭取得最大值.三个中任选一个，补充在题干中的横线处，然后解答问题.题干：已知函数()2sin()f x x ωϕ=+，其中0,||2πωϕ><，其图象相邻的对称中心之间的距离为2π，___________. （1）求函数y =f (x )的解析式；（2）求函数y =f (x )在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值，并写出取得最小值时x 的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 25．函数()cos()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）写出()f x 的解析式； （2）将函数()f x 的图象向右平移12π个单位后得到函数()g x 的图象，讨论关于x 的方程()3()0f x g x m -=(11)m -<≤在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的实数解的个数．26．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足1cos cos sin sin 2b A C a B C b -=．（1）求B 的大小；（2）设1BA BC ⋅=-，D 为边AC 上的点，满足2AD DC =，求BD 的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】 化简sin 2cos 2()63a ππα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再利用二倍角公式化简求值. 【详解】22sin 2sin[(2)]cos(2)=cos 2()cos 2()632333a ππππππαααα⎛⎫-=-+=--=- ⎪⎝⎭=21712sin ()123168πα--=-⨯=. 故选：B 【点睛】方法点睛：三角恒等变换常用的方法有：三看（看角、看名、看式）三变（变角变名变式），要根据已知条件灵活选择方法化简求值.2．C解析：C 【分析】 由0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2παβπ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，可得()0,βπ∈，再由()βαβα=+-展开式结合同角三角函数关系可得1cos (,0)2β=-，从而得解. 【详解】由0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，,02πα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，可得()0,βπ∈. 又4cos 5α=，2sin()3αβ+=，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以3sin 5α==，cos()αβ+==. 所以cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++4236(0353515-=-⨯+⨯=<.因为6127015230--+=>，所以1cos (,0)2β∈- 所以2,23ππβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】方法点睛：在利用两角和与差的三角函数公式求值或化简时，常根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论的差异，使问题获解，常见角的变换方式有：()ααββ=+-，2()()ααβαβ=++-，2()αβααβ-=+-等.3．B解析：B 【分析】根据题意，化简得到cossin222αα+=-，所以3,24αππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，取得1sin 2α=-，再利用三角函数的基本关系式和两角和的正弦函数公式，即可求解. 【详解】由cos sin 042παα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，可得22cos sin cos sin 022222αααα⎫-+-=⎪⎝⎭，即cos sin cos sin 02222αααα⎛⎛⎫-++=⎪⎝⎭⎝⎭， 因为(),2αππ∈，所以,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos sin 022αα-≠，解得cos sin 22αα+=，所以3,24αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以11sin 2α+=，所以1sin 2α=-，又3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以cos α==，所以π11sin 062222α⎛⎫+=-+⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】三角函数的化简求值的规律总结：1、给角求值：一般给出的角是非特殊角，要观察所给角与特殊角的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题；2、给值求值：即给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系；3、给值求角：实质上可转化为“给值求值”即通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的范围）.4．A解析：A 【分析】根据角的范围以及平方关系求出4cos ,5α=-再利用商的关系求出3tan 4α=-，最后由两角和的正切公式可得答案. 【详解】 因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3sin 5α=，所以4cos ,5α==-sin 3tan cos 4ααα==-， tan tan4tan 41tan tan 4παπαπα+⎛⎫+== ⎪⎝⎭-⋅17 故选：A. 【点睛】本题主要考查平方关系、商的关系以及两角和的正切公式，属于基础题.5．B解析：B 【分析】将PA PB ⋅转化为2||2PC -，利用圆心到直线的距离求得||PC 的取值范围求得PA PB ⋅的最小值. 【详解】()()()()PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ⋅=+⋅+=+⋅-2222||||||22PC CA PC =-=-≥-52=.故选B. 【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.6．D解析：D 【分析】根据向量的几何意义把抽象问题具体化，转化到圆与圆的位置关系问题. 【详解】如图所示，设11OA a =，22OA a =，此时121A A =，由题意可知：对于任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈， 作j j OB b =则有1j A B 等于1或2，且2j A B 等于1或2， 所以点(1,2,,)j B j k =同时在以(1,2)i A i =为圆心，半径为1或2的圆上，由图可知共有6个交点满足条件，故k 的最大值为6.故选：D. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的应用.7．C解析：C 【分析】由AC 的垂直平分线交AB 于D ，且4A π=可得ACD △为等腰直角三角形，且4A ACD π∠=∠=，2ADC BDC π∠=∠=；进而由2BC =可求出,,DB CD AC 的长，从而求出AC CD ⋅的值. 【详解】解：因为AC 的垂直平分线交AB 于D 、4A π=，所以ACD △为等腰直角三角形，4A ACD π∠=∠=，2ADC BDC π∠=∠=，在BDC 中，3B π=，2BDC π∠=，2BC =，所以1,3BD CD ==所以3AD CD ==26AC CD ==所以32cos63()342AC CD AC CD π⋅=⋅=⨯⨯-=-.故选：C. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，考查运算求解能力，属于基础题型.8．B解析：B 【解析】∵点P (a ,1,c )在直线AB 上， ∴存在实数λ使得AB BP λ=， ∴()()()0,0,13,3,0,1,1a c λ-=- ， 化为()3,3,1(,,)a c λλλλ--=- ，∴3{31ac λλλλ-=-==- ,解得3{123a c λ=-==.本题选择B 选项.9．C解析：C 【分析】 由图可知，1722482g f ππ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据函数图象的平移变化法则可知()()sin 2x g x ϕ=-，于是推出17172sin 224242g ππϕ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1722124k ππϕπ-=+或324k ππ+，k Z ∈，再结合02πϕ<≤，解之即可得ϕ的值.【详解】由图可知，172sin 224882g f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为()f x 的图象向右平移ϕ个单位，得到函数()g x 的图象，所以()()sin 2x g x ϕ=-，所以1717172sin 2sin 22424122g πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1722124k ππϕπ-=+或17322124k ππϕπ-=+，k Z ∈， 解得712k πϕπ=-或3k πϕπ=-，k Z ∈，因为02πϕ<≤，所以3πϕ=.故选：C 【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，属于中档题.10．D解析：D 【分析】首先根据三角函数的性质，可知相邻对称轴间的距离是半个周期，判断A ；再求函数的解析式，判断B ；根据平移规律得到函数()g x ，判断C ；最后根据函数()g x 的解析式，利用整体代入的方法求函数的单调递减区间. 【详解】相邻对称轴间的距离是半个周期，所以周期是43π，故A 不正确； 243T ππω==，解得：32ω=，()f x 的图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称，3,282k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈，解得：5,16k k Z πϕπ=+∈ 0πϕ-<<, 1116πϕ∴=-，故B 不正确； ()311cos 216f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，向左平移3π个单位长度后得()31133cos cos 2316216g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故C 不正确； 当02x π≤≤时，3339,2161616x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当3390,21616x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦时，函数单调递减，即 ,82x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故D 正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据三角函数的性质求得函数()f x 的解析式，第四个选项是关键，需根据整体代入的方法，先求33216x π-的范围，再确定函数的单调递减区间. 11．B解析：B 【分析】A.结合奇偶性的定义判断即可B.用正弦型函数的单调性作出判断 CD 可取特值说明 【详解】A. ()1111sin sin 2sin 3sin 4sin100234100f x x x x x x =+++++ ()()()()()()()1111sin sin 2sin 3sin 4sin 100234100f x x x x x x f x -=-+-+-+-++-=-，()f x 为奇函数B. ,1616x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，333,1616x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，4,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故sin ,sin 2,sin 3,sin 4x x x x 在,1616ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上均为增函数故111()sin sin 2sin3sin 4234f x x x x x =+++在区间,1616ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增. C. ()()11()sin sin 3sin 434g x f x h x x x x =-=++()()11()sin sin 3sin 434g x f x h x x x x =-=++()()11()sin sin 3sin 4034g f h ππππππ=-=++=故声音甲的响度不一定比纯音1()sin 22h x x =响度大 D. ()11()()sin sin 2sin 323h x g x h x x x x =-=+- ()11()()sin sin 2sin 3023h g h ππππππ=-=+-=甲不一定比纯音1()sin33h x x =更低沉 故选：B 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.12．D解析：D 【分析】结合图象，依次求得,,A ωϕ的值. 【详解】 由图象可知2A =，2,,22362T T πππππωω⎛⎫=--==== ⎪⎝⎭，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，依题意0ϕπ≤≤，则2333πππϕ-≤-≤， 2sin 0,0,6333f ππππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫-=-+=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：D. 【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++或的部分图象求函数解析式的方法： （1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=； （3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.二、填空题13．【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式结合周期为求得然后将时函数恰有两个不同的零点转化为时恰有两个不同的根在同一坐标系中作出函数的图象利用数形结合法求解【详解】函数因为函数的周期为所以因为时函数恰有两 解析：(3,2]--【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式，结合周期为23π求得()2sin 316f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后将0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k =+恰有两个不同的零点，转化为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x k =-恰有两个不同的根，在同一坐标系中作出函数(),y f x y k ==-的图象，利用数形结合法求解. 【详解】函数2()cos2cos 222xxxf x ωωω=+，3sin cos 1x x ωω=++， 2sin 16x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 因为函数()f x 的周期为， 所以2323πωπ==，()2sin 316f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k =+恰有两个不同的零点， 所以0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x k =-恰有两个不同的根， 在同一坐标系中作出函数(),y f x y k ==-的图象如图所示：由图象可知：23k ≤-<，即2k -3<≤-， 所以实数k 的取值范围是(3,2]--， 故答案为：(3,2]-- 【点睛】方法点睛：函数零点个数问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．14．1【分析】由结合辅助角公式可知原式为结合诱导公式以及二倍角公式可求值【详解】解：故答案为:1【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系考查了二倍角公式考查了辅助角公式考查了诱导公式本题的难点是熟练运用解析：1 【分析】 由sin10tan10cos10︒︒=︒，结合辅助角公式可知原式为2sin50sin 40cos10︒︒︒，结合诱导公式以及二倍角公式可求值. 【详解】解： ()cos10sin501sin50cos10︒+︒︒+︒=︒⨯︒()2sin50cos30sin10sin 30cos102sin50sin 402sin50cos50cos10cos10cos10︒︒︒+︒︒︒︒︒︒===︒︒︒()sin 10902sin50cos50sin100cos101cos10cos10cos10cos10︒+︒︒︒︒︒====︒︒︒︒.故答案为:1. 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式，考查了辅助角公式，考查了诱导公式.本题的难点是熟练运用公式对所求式子进行变形整理.15．2【分析】将三角函数式配成与由正弦函数和角与差角公式展开即可求解【详解】锐角满足变形可得由正弦和角与差角公式展开可得合并化简可得等式两边同时除以可得即故答案为:2【点睛】本题考查了三角函数式化简求值解析：2 【分析】将三角函数式配成()αβα++与()αβα+-,由正弦函数和角与差角公式展开,即可求解. 【详解】锐角α,β满足()sin 23sin αββ+=变形可得()()sin 3sin αβααβα++=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 由正弦和角与差角公式展开可得()()()()sin cos sin cos 3sin cos 3sin cos αβαααβαβαααβ+++=+-+合并化简可得()()4sin cos 2sin cos ααβαβα+=+ 等式两边同时除以()2cos cos αβα+ 可得()2tan tan ααβ=+ 即()tan cot 2αβα+= 故答案为:2 【点睛】本题考查了三角函数式化简求值,角的变化形式,属于中档题.16．①③【分析】根据点的广义坐标分别为利用向量的运算公式分别计算①②③④得出结论【详解】点的广义坐标分别为对于①线段的中点设为M 根据=（）=中点的广义坐标为故①正确对于②∵（x2﹣x1）A 两点间的距离为解析：①③ 【分析】根据点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，1112OA x e y e ∴=+，2122OB x e y e =+，利用向量的运算公式分别计算①②③④，得出结论.【详解】点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，1112OA x e y e ∴=+，2122OB x e y e =+，对于①，线段A 、B 的中点设为M ，根据OM =12（OA OB +）=12112211()()22x x e y y e +++ ∴中点的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭,故①正确. 对于②，∵AB =（x 2﹣x 1）()1212e y y e +-，∴A 、B 12e ，故②不一定正确.对于③，向量OA 平行于向量OB ，则t OA OB =，即（11,x y ）=t ()22,x y ,1221x y x y ∴=，故③正确.对于④，向量OA 垂直于向量OB ，则OA OB =0，221211221121220x x e x y x y e e y y e ∴+++=（），故④不一定正确.故答案为①③. 【点睛】本题在新情境下考查了数量积运算性质、数量积定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．【分析】建立坐标系利用向量的坐标运算公式将用的坐标表示利用配方法求得最小值【详解】由题意可建立如图所示的直角坐标系易知设则故当且仅当时取得等号∴所求最小值为故答案为：【点睛】本题考查向量的数量积的坐 解析：9-【分析】建立坐标系，利用向量的坐标运算公式将()CP AP BP ⋅+用(),P x y 的坐标表示，利用配方法求得最小值. 【详解】由题意可建立如图所示的直角坐标系，易知()()()6,0,0,6,0,0A B C ，设(),P x y ， 则(,),(6,),(,6)CP x y AP x y BP x y ==-=-，故2233()(26)(26)229922CP AP BP x x y y x y ⎛⎫⎛⎫⋅+=-+-=-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 当且仅当32x y ==时取得等号， ∴所求最小值为9-， 故答案为：9-.【点睛】本题考查向量的数量积的坐标运算和配方法求最值，关键在于建立坐标系，用(),P x y 的坐标表达所求的向量的数量积，属中档题.18．【分析】以为基底向量表示再由数量积的运算律定义计算即可【详解】∵∴D 为OB 的中点从而∴∵∴∴故答案为：【点睛】本题考查平面向量的数量积需要根据题意确定基底向量再根据平面向量基本定理表示所求的向量数量解析：1564【分析】以,OA OB 为基底向量表示CD CO ，，再由数量积的运算律、定义计算即可． 【详解】 ∵1()2CD CO CB =+，∴D 为OB 的中点，从而12OD OB =，∴97191161621616CD CO OD OA OB OB OA OB =+=-+=+ ∵1OA =，3OB =2AOB π∠=，∴0OA OB ⋅=∴9197()()16161616CD CO OA OB OA OB ⋅=+⋅- 221(817)256OA OB =-1(8173)256=-⨯1564=. 故答案为：1564．【点睛】本题考查平面向量的数量积，需要根据题意确定基底向量，再根据平面向量基本定理表示所求的向量数量积，进而根据数量积公式求解．属于中档题.19．【分析】由f （x+）＝2f （x ）得f （x ）＝2f （x ﹣）分段求解析式结合图象可得m 的取值范围【详解】解：∵∴∵当时∴当时当时当时作出函数的图象：令解得：或若存在使得则故答案为：【点睛】本题考查函数与解析：10[,)3π+∞ 【分析】由f （x +π）＝2f （x ），得f （x ）＝2f （x ﹣π），分段求解析式，结合图象可得m 的取值范围． 【详解】解：∵()()2f x f x π+=，∴()()2f x f x π=-， ∵当0,x时，()sin f x x =．∴当[),2x ππ∈时，()()2sin f x x π=-．当[)2,3x ππ∈时，()()4sin 2f x x π=-．当[)3,4x ππ∈时，()()8sin 3f x x π=-．作出函数的图象：令()8sin 343x π-=103x π=，或113π， 若存在(]0,x m ∈-∞，使得()043f x ≥，则103m π≥， 故答案为：10[,)3π+∞ 【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．20．②③【分析】根据三角函数的零点性质三角函数对称和三角函数诱导公式依次判断每个选项得到答案【详解】①中是的两个零点即是的整数倍①错误；②中②正确；故④错误；③中③正确；所以正确命题序号是②③故答案为：解析：②③ 【分析】根据三角函数的零点性质，三角函数对称和三角函数诱导公式依次判断每个选项得到答案. 【详解】①中12,x x 是()f x 的两个零点，即12x x -是2π的整数倍，①错误； ②中06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，②正确；故④错误； ③中4sin 24cos 2cos 23236y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，③正确； 所以正确命题序号是②③. 故答案为：②③. 【点睛】本题考查了三角函数的对称，零点，诱导公式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.三、解答题21．（1）10；（2）74π. 【分析】（1）由tan α求得sin ,cos αα，由sin β求得cos β，然后由两角差的余弦公式计算； （2）由两角和的正弦公式求得sin()αβ+后，由3522ππαβ<+<可得αβ+ 【详解】 因为1tan 3α=，所以sin 1cos 3αα=，又因为22sin cos 1αα+=，02πα<<，所以10sin α=，cos 10α=sin β=322πβπ<<，所以cos β===.（1）cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+⎛=⎝⎭10=.（2）因为sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+⎛=⎝⎭2=-.因为02πα<<，322πβπ<<，所以3522ππαβ<+<，所以74αβπ+=． 【点睛】方法点睛：本题考查两角和与差的正弦、余弦公式，考查同角间的三角函数关系，求角求值．解题关键是确定“已知角”和“未知角”的关系，以便选用恰当的公式求值．在求角，一般先确定出这个角的范围，在这个范围内选三角函数值是一对一的函数求得这个三角函数值，然后得角，如果不能直接得出一对一的函数，常常需要由已知或已求出的三角函数值缩小角的范围，从而得出角．22．（1）函数的周期为2π；（2）条件选择见解析，max ()2g x =，使函数()g x 取得最大值的集合为5|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 【分析】（1）用正弦余弦的二倍角公式整理()f x 可得正弦函数标准型，可得函数最小正周期； （2）选①先平移变换后周期变换可得对应的()g x ，可得()g x 的最值； 选②先周期变换后平移变换得对应的()g x ，由此可求得最值． 【详解】（1）∵函数1cos 1()sin()1226x f x x x π+=++=++， 所以函数的周期为2π；（2）<选择①>依题意：()cos(2)16g x x π=-++，令226x k πππ+=+，即5()12x k k Z ππ=+∈. 使函数()g x 取得最大值2，即max ()2g x =，使函数()g x 取得最大值的集合为5|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭； <选择②>依题意：()cos(2)16g x x π=-++，令226x k πππ+=+，即5()12x k k Z ππ=+∈，使函数()g x 取得最大值2，即max ()2g x =使函数()g x 取得最大值的集合为5|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭． 【点睛】关键点点睛：在解决正弦型函数的周期，最值，单调性等性质时，关键在于利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数的标准形，再利用整体代换的思想求解．23．（1）()1AP t AB t AC =-+；（2）10[3-，2]3-．. 【分析】 （1）由BP tBC =，可推出AP AB tBC =+，而BC AC AB =-，代入化简整理即可得解；（2）由3CA EA =，知13BE AC AB =-，再结合平面向量的数量积可推出12·[(1)]?()(45)33AP BE t AB t AC AC AB t =-+-=-，而[0t ∈，1]，从而求得·AP BE 的取值范围．【详解】解：（1）BP tBC =，∴()(1)AP AB BP AB tBC AB t AC AB t AB t AC =+=+=+-=-+． （2）3CA EA =，∴13BE AE AB AC AB =-=-， ∴1·[(1)]?()3AP BE t AB t AC AC AB =-+- 22141(1)()?333t AB t AB AC t AC =-+-+ 1414(1)()22cos604333t t t =-+-⨯⨯︒+⨯ 2(45)3t =-． P 是BC 边上一点，[0t ∴∈，1]， ∴210·(45)[33AP BE t =-∈-，2]3-． 【点睛】本题考查平面向量的线性和数量积运算，熟练掌握平面向量的加法、减法、数乘和数量积的运算法则是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 24．条件选择见解析；（1）()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）12x π=-时，函数f (x )取得最小值，最小值为2-.【分析】（1）由相邻中心距离得周期，从而可得ω，选择①，写出平移后解析式，由对称性得新函数为偶函数，结合诱导公式求得ϕ， 选择②，求出6y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由函数为奇函数，结合诱导公式求得ϕ，选择③，求出()6y f x π=-，代入712x π=，结合正弦函数最大值可得ω， 从而得函数解析式；（2）()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭由，求得23x π-的范围，然后由正弦函数性质得最小值．【详解】 （1）因为函数f (x )=2sin(ωx +φ)的图象相邻的对称中心之间的距离为2π， 所以周期22T π=，即T =π，所以22T πω==. 若选择①， 因为函数f (x )图象向右平移12π个单位所得图象关于y 轴对称， 所以()2sin 22sin 2126g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象关于y 轴对称，所以62k ππϕπ-=+，k Z ∈， 因为||2ϕπ<，所以3πϕ=-.所以函数y =f (x )的解析式为()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 若选择②， 因为2sin 22sin 2663y f x x x πππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦是奇函数， 所以3k πϕπ+=，k Z ∈，因为||2ϕπ<，所以3πϕ=-.所以函数y =f (x )的解析式为()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 若选择③，2sin 22sin 2663y f x x x πππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⨯-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由题设，当712x π=时，函数6y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭取得最大值， 所以当722()1232k k Z πππϕπ⨯-+=+∈，即2()3k k Z πϕπ=-∈， 因为||2ϕπ<，所以3πϕ=-.所以函数y =f (x )的解析式为()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （2）因为()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以422,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当232x ππ-=-，即12x π=-时，函数f (x )取得最小值，最小值为2-.【点睛】 关键点点睛：本题考查由三角函数的图象与性质求解析式，解题关键是掌握正弦函数的图象与性质，解题时注意“五点法”和整体思想的应用．对于奇偶性问题注意诱导公式的应用，由此计算比较方便．25．（1）()cos(2)6f x x π=+；（2）见解析. 【分析】（1）根据图象求出周期，再根据最低点可求ϕ，从而得到函数解析式.（2）求出()g x 的解析式，故方程可化为cos 206m x π⎛⎫---= ⎪⎝⎭，可通过直线y m =-与cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的图象的交点的个数解决方程的解的个数. 【详解】（1）由函数的图象可得()f x 的周期为2236πππ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，故22πωπ==， 又26312f ππ⎛⎫+ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，故5cos 2+112πϕ⎛⎫⨯=- ⎪⎝⎭， 所以526k πϕππ+=+即2,6k k Z πϕπ=+∈， 因为02πϕ<<，故6π=ϕ，所以()cos(2)6f x x π=+. （2）()cos(2)cos 266g x x x ππ=-+=，故()()cos(2)26f x g x m x x m π-=+-cos 2cos sin 2sin 2cos 2666x x x m m x πππ⎛⎫=--=--- ⎪⎝⎭ 故方程在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的实数解的个数即为y m =-与cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象交点的个数， cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示，由图象可得：当1m -=-31m <-<即1m =或31m -<<时，方程有2个不同的解； 当31m -<-≤31m ≤<时，方程有4个不同的解； 当33m <-≤33m ≤<时，方程有3个不同的解； 【点睛】方法点睛：（1）平移变换有“左加右减”（水平方向的平移），注意是对自变量x 做加减．（2）与余弦型函数有关的方程的解的个数的讨论，一般可转化为动直线与确定函数的图象的交点个数来讨论.26．（1）23B π=；（2）23. 【分析】（1）由正弦定理化简已知等式，结合sin 0B ≠，可得1cos cos sin sin 2A C A C -=，利用两角差的余弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理可求1cos 2B =-，结合范围由()0,B π∈，可得B 的值；（2）利用平面向量数量积的运算可求2ac =，由题意利用平面向量的运算可得2133BD BA BC =+，两边平方利用基本不等式可求BD 的最小值. 【详解】 （1）由sin sin sin a b c A B C ==，得1sin cos cos sin sin sin sin 2B AC A B C B -=， 又∵在ABC ∆中，sin 0B ≠， ∴1cos cos sin sin 2A C A C -=，即1cos()2A C +=，而A B C π++= ∴1cos 2B =-，故23B π=. （2）cos 1BA BC ac B ⋅=⋅=-，∴2ac =， ∴1121()3333BD BA AD BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+， ∴222414999BD BA BC BA BC =++⋅22414444999999c a ac =+-≥-=， ∴23BD ≥，当且仅当2a c =时取到． 故BD 的最小值为23. 【点睛】 本题主要考查了正弦定理，两角差的余弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理，平面向量的运算以及基本不等式的应用，考查了转化思想，属于中档题．。
2021-2022高中数学必修四期末试卷(含答案)(1)
一、选择题1．已知sin 410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，02πα<<，则tan α的值为（ ） A ．12-B ．12C ．2D ．12-或22．已知cos 5α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．13 B ．3C ．13D ．13-3．已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．4-B ．4C ．13-D ．134．已知()1sin 30cos 3αα︒+=+，则()sin 230α+︒=（ ）A ．79-B ．79C D ．9-5．已知向量()1,2a =，()2,3b =-，若向量c 满足()//c a b +，()c a b ⊥+，则c =（ ） A ．7793⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．7739⎛⎫-- ⎪⎝⎭，C ．7739⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．7793⎛⎫-- ⎪⎝⎭，6．若向量a ，b 满足|a ，b =（﹣2，1），a •b =5，则a 与b 的夹角为（ ） A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°7．在ABC ∆中，5,6AB AC ==，若2B C =，则向量BC 在BA 上的投影是（ ） A ．75-B ．77125-C ．77125D ．758．已知2a b ==，0a b ⋅=，()()0c a c b -⋅-=，若2d c -=，则d 最大值为（ ）A ．B ．1+C ．2+D ．9．下列结论正确的是（ ） A ．sin1cos1< B ．2317cos cos 54ππ⎛⎫⎛⎫->-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()()tan 52tan 47->-D ．sin sin 1810ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．已知函数y =f (x )的部分图象如图所示，则其解析式可能是（ ）A ．()sin 2f x x x =B ．()||sin 2f x x x =C ．()cos 2f x x x =D ．()||cos2f x x x =11．已知函数1,01()11sin ,14242x x f x x x π+≤≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩，若不等式2()()20f x af x -+<在[]0,4x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．3a >B 23a <<C ．22a >D ．92a >12．将函数()2sin (04)6f x x πωω⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的周期为π，则以下说法正确的是（ ） A ．1ω=B ．函数()y f x =图象的一条对称轴为12x π=C ．()3f f x π⎛⎫⎪⎝⎭D ．函数()y f x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增二、填空题13．若5,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2=α______. 14．已知πsin(π)3sin()02αα+--=，则cos2α的值为________. 15．若函数2sin cos 66y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象各点的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移24π个单位，得到的函数图象离原点最近的的对称中心是______．16．已知向量(9,6),(3,)a b x ==，若//a b ，则()b a b ⋅-=___________.17．如图所示，已知AOB ，点C 是点B 关于点A 的对称点，2OD DB =，DC 和OA 交于点E ，若OE OA λ=，则实数λ的值为_______．18．已知平面向量a ，b 夹角为30，若2=a ，则12b a b +-的最小值为______． 19．若将函数()cos 212f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是_________．①()g x 的最小正周期为π ②()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ③12x π=不是函数()g x 图象的对称轴 ④()g x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为12-20．设函数()3sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象为C ，给出下列命题：①图象C 关于直线1112π=x 对称；②函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是减函数；③函数()f x 是奇函数；④图象C 关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称.其中，错误命题的是______. 三、解答题21．求值：（1）cos540tan 225cos(330)sin(240)︒︒︒︒+--+-；（2）1cos201sin10tan 52sin 20tan 5︒︒︒︒︒+⎛⎫-- ⎪⎝⎭22．在①364f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，②()f x 的最大值在12x π=处取到，③当()()121f x f x -=，则12min 2x x π-=这三个条件中任选一个，补充并解答下面问题．问题：已知函数()sin cos 3f x x x πωω⎛⎫=+⎪⎝⎭，(]0,3ω∈．若_______，求实数ω的值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 23．已知函数()()1sin 226f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭．（1）填写下表，并用“五点法”画出()f x 在[0,]π上的图象；26x π+6π 136πxπ ()f x（2）将()y f x =的图象向上平移1个单位，横坐标缩短为原来的2，再将得到的图象上所有点向右平移4π个单位后，得到()g x 的图象，求()g x 的对称轴方程． 24．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示：（1）求()f x 的解析式；（2）将()f x 的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象求方程()12g x =在[]0,π的实数解. 25．已知向量n 与向量m 的夹角为3π，且1n =，3m =，()0n n m λ⋅-=. （1）求λ的值（2）记向量n 与向量3n m -的夹角为θ，求cos2θ. 26．已知向量a 、b 的夹角为3π，且||1a =，||3b =. （1）求||a b +的值；（2）求a 与a b +的夹角的余弦.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由同角间的三角函数关系先求得cos()4πα-，再得tan()4πα-，然后由两角和的正切公式可求得tan α． 【详解】 ∵02πα<<，∴444πππα-<-<，∴cos 410πα⎛⎫-=⎪⎝⎭， ∴sin 14tan 43cos 4παπαπα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭， ∴tan tan 44ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1tan 11432111tan 34παπα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭===⎛⎫--- ⎪⎝⎭.故选：C ． 【点睛】思路点睛：本题考查三角函数的求值．考查同角间的三角函数关系，两角和的正切公式．三角函数求值时首先找到“已知角”和“未知角”之间的联系，选用恰当的公式进行化简求值．注意三角公式中“单角”与“复角”的区别与联系，它们是相对的．不同的场景充当的角色可能不一样．如题中4πα-在tan tan4tan 41tan tan 4παπαπα-⎛⎫-=⎪⎝⎭+作为复角，但在tan tan 44ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦中充当“单角”角色．2．D解析：D 【分析】根据同角三角函数基本关系式求出tan α，再代入两角和的正切公式求tan 4απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【详解】cos 5α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，sin 5α∴==-，sin tan 2cos ααα==-， 1tan 121tan 41tan 123πααα+-⎛⎫+===- ⎪-+⎝⎭.故选：D 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式，两角和的正切公式，重点考查计算能力，属于基础题型.3．C解析：C 【解析】 因为cos()2cos()2παπα+=-，所以sin 2cos tan 2ααα-=-⇒=，所以1tan 1tan()41tan 3πααα--==-+，故选C. 4．B解析：B 【分析】根据条件展开化简得到()1sin 303α-︒=，再利用角的变换，得到()()()sin 230sin 26090cos 260ααα+︒=-︒+︒=-︒，再利用二倍角公式化简求值.【详解】由()1sin 30cos 3αα︒+=+，得11cos cos 23ααα=+， 化简得()1sin 303α-︒=； ()()()sin 230sin 26090cos 260ααα+︒=-︒+︒=-︒ ()21712sin 301299α=--︒=-⨯=故选:B ． 【点睛】本题考查三角恒等变换，重点考查转化的思想，计算能力，属于基础题型.5．D解析：D 【分析】设出(,)c x y =，根据向量的共线与垂直的坐标运算，列出方程组，即可求解. 【详解】设(,)c x y =，向量()1,2a =，()2,3b =-，可得(1,2),(3,1)c a x y a b +=+++=-， 由()//c a b +，可得3(1)2(2)x y -⨯+=+，即3270x y ++=， 由()c a b ⊥+，可得30x y -=， 联立方程组327030x y x y ++=⎧⎨-=⎩，解得77,93x y =-=-，即77(,)93c =--.故选：D. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量的共线与垂直的坐标运算及应用，其中解答中熟记向量的共线和垂直的坐标运算时解答的关键，着重考查推理与运算能力.6．C解析：C 【详解】由题意可得2(2)b =-=所以cos ,252a b a b a b ⋅===⋅,又因为,[0,180]<>∈a b ,所以,45<>=a b ,选C.7．B解析：B 【解析】 由正弦定理得，653cos sin sin sin 2sin 5AC AB C B C C C =⇒=⇒=,由余弦定理得，22211cos 25BC AC AB C BC AC BC +-=⇒=⋅,则77cos 125BC θ=- ，故选B. 8．C解析：C 【分析】不妨设(2,0),(0,2)a b ==，设(,),(,)c m n d x y ==，则由()()0c a c b -⋅-=求出点(,)a b 满足的关系（点(,)C a b 在一个圆上），而2d c -=表示点(,)D x y 在以(,)C a b 为圆心，2为半径的圆上，d 表示该圆上的点到原点的距离，由几何意义可得解． 【详解】∵2a b ==，0a b ⋅=，∴不妨设(2,0),(0,2)a OA b OB ====，如图，设(,)c OC m n ==，(,)d OD x y ==，则()()(2,)(,2)(2)(2)0c a c b m n m n m m n n -⋅-=-⋅-=-+-=，即22(1)(1)2m n -+-=，∴点(,)C m n 在以(1,1)M 为圆心，2为半径的圆M 上， 又2d c -=，∴(,)D x y 在以(,)C a b 为圆心，2为半径的圆C 上， 则2d OC ≤+，当且仅当D 在OC 延长线上时等号成立， 又OC 的最大值是圆M 的直径22， ∴d 最大值为222+． 故选：C ．【点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模，解题关键是引入坐标表示向量，用几何意义表示向量，求解结论．9．D解析：D 【分析】利用正弦函数的单调性可判断AD 选项的正误；利用正切函数的单调性可判断C 选项的正误；利用余弦函数的单调性可判断B 选项的正误. 【详解】对于A 选项，因为正弦函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 且01122ππ<-<<，则sin1sin 1cos12π⎛⎫>-=⎪⎝⎭，A 选项错误；对于B 选项，因为余弦函数cos y x =在()0,π上为减函数，23233cos cos cos 555πππ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，1717cos cos cos 444πππ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 3045πππ<<<，则3cos cos 54ππ<，即2317cos cos 54ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 选项错误； 对于C 选项，当900x -<<时，正切函数tan y x =单调递增， 因为9052470-<-<-<，所以，()()tan 52tan 47-<-，C 选项错误；对于D 选项，因为正弦函数sin y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，因为021018πππ-<-<-<，所以，sin sin 1810ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 选项正确. 故选：D. 【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个： （1）判断各个数值所在的区间； （2）利用函数的单调性直接解答.10．B解析：B 【分析】利用函数()0f π=排除两个选项，再由奇偶性排除一个后可得正确选项． 【详解】由图象知()0f π=，经验证只有AB 满足，C 中()cos 2f ππππ==，D 中()f ππ=，排除CD ，A 中函数满足()sin(2)sin 2()f x x x x x f x -=--==为偶函数，B 中函数满足()sin(2)sin 2()f x x x x x f x -=--=-=-为奇函数，而图象关于原点对称，函数为奇函数，排除A ，选B ． 故选：B ． 【点睛】思路点睛：由函数图象选择解析式可从以下方面入手：(1)从图象的左右位置，观察函数的定义域；从图象的上下位置，观察函数的值域； (2)从图象的变化趋势观察函数的单调性； (3)从图象的对称性观察函数的奇偶性； (4)从图象的特殊点，排除不合要求的解析式．.11．D解析：D 【分析】这是一个复合函数的问题，通过换元()t f x = ，可知新元的范围，然后分离参数，转为求函数的最大值问题，进而计算可得结果. 【详解】由题可知当[]0,1x ∈时，有[]()11,2f x x =+∈，当4](1,x ∈时，0sin14xπ≤≤，即111()sin ,12422x f x π⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦所以当[]0,4x ∈时，1,22()f x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，令()t f x =，则1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，从而问题转化为不等式220t at -+<在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，即222t a t t t+>=+在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， 由2y t t =+，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设1212t t <<<()()()1212121212122220t t f t f t t t t t t t t t --=-+-=->， 所以2y t t =+在12t ⎡∈⎢⎣是单调递减函数，122t t <<<，()()()1212121212122220t t f t f t t t t t t t t t --=-+-=-<， 所以2y t t=+在2t ⎤∈⎦是单调递增函数， 在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上先减后增，而2t t +在12t =时有最大值为92，所以92a >.【点睛】本题考查含参数的恒成立问题，运用到分离参数法求参数范围，还结合双勾函数的单调性求出最值， 同时考查学生的综合分析能力和数据处理能力.12．C解析：C 【分析】由周期求出ω，然后由正弦函数的性质判断． 【详解】函数()2sin (04)6f x x πωω⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的周期为π，所以22πωπ==，A 错； 12x π=时，206x π-=，12x π=不是对称轴，B 错；3x π=时，226x ππ-=，即23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭为最大值，因此()3f f x π⎛⎫⎪⎝⎭正确，C 正确；0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，52,666x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，而sin y x =在5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，D 错； 故选：C ． 【点睛】方法点睛：本题考查三角函数的性质，对函数()sin()f x A x ωϕ=+，掌握五点法是解题关键．解题时可由x 的值或范围求得x ωϕ+的值或范围，然后结合正弦函数性质判断．二、填空题13．【分析】由已知利用诱导公式求得然后分析角的范围得到的范围则答案可求【详解】∵即又∴则∴得∴故答案为：【点睛】角变换用已知角构造所求角是解决问题的关键如上：解析：2425-. 【分析】由已知利用诱导公式求得sin 2α，然后分析角α的范围，得到2α的范围，则答案可求. 【详解】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即7sin 225α=， 又5,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴,44ππαπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，3cos cos 0445ππαα⎛⎫⎛⎫-=-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则,442πππα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴3,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得32,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴24cos 225α==-. 故答案为：2425-. 【点睛】角变换用已知角构造所求角是解决问题的关键，如上：2=224ππαα⎛⎫-- ⎪⎝⎭14．【分析】根据利用诱导公式结合商数关系得到然后由求解【详解】因为所以解得所以故答案为：【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式以及同角三角函数基本关系式的应用还考查了运算求解的能力属于中档题解析：45-【分析】根据πsin(π)3sin()02αα+--=，利用诱导公式结合商数关系得到tan 3α=-，然后由222222cos sin cos 2cos sin cos sin ααααααα-=-=+求解. 【详解】因为πsin(π)3sin()02αα+--=， 所以sin 3cos 0αα--=， 解得tan 3α=-，所以222222cos sin cos 2cos sin cos sin ααααααα-=-=+， ()()2222131tan 41tan 513αα---===-++-， 故答案为：45- 【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式以及同角三角函数基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15．【分析】由二倍角公式化简函数式然后由三角函数图象变换得新解析式结合正弦函数性质得对称中心【详解】由题意经过图象变换后新函数解析式为由绝对值最小的是因此所求对称中心为故答案为：【点睛】本题考查三角函数 解析：(),024π【分析】由二倍角公式化简函数式，然后由三角函数图象变换得新解析式，结合正弦函数性质得对称中心． 【详解】 由题意sin(2)3y x π=-，经过图象变换后新函数解析式为sin[4()]sin(4)2436y x x πππ=+-=-，由46x k ππ-=，424k x ππ=+，k Z ∈，绝对值最小的是24x π=，因此所求对称中心为(),024π．故答案为：(),024π．【点睛】本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数的性质，考查二倍角公式，掌握正弦函数性质是解题关键．16．26【分析】先由求出求出再进行的计算【详解】因为所以解得所以故答案为：26【点睛】向量类问题的常用处理方法——向量坐标化利用坐标运算比较简单解析：26 【分析】先由//a b 求出2x =，求出b ，再进行()b a b ⋅-的计算. 【详解】因为//a b ，所以9180x -=，解得2x =，所以(6,4),()362426a b b a b -=⋅-=⨯+⨯=.故答案为：26 【点睛】向量类问题的常用处理方法——向量坐标化，利用坐标运算比较简单．17．【分析】设可得又因为即可求解【详解】如图所示：设由于所以由于点是点关于点的对称点则为中点所以得所以由于又因为得故答案为：【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法 解析：45【分析】设,OA a OB b ==，可得523DC a b =-，()2EC a b λ=--，又因为//EC DC ，即可求解λ． 【详解】 如图所示：设,OA a OB b ==，由于2OD DB =，所以23OD b =， 由于点C 是点B 关于点A 的对称点，则A 为BC 中点， 所以()12OA OB OC =+，得2OC a b =- 所以523DC OC OD a b =-=-由于()2EC OC OE a b λ=-=-- ，又因为//EC DC21523λ-=得45λ= ． 故答案为：45【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．18．【分析】首先设则结合向量夹角为利用对称关系求得其最小值也可以建系利用向量的坐标去求解【详解】解析1：（对称）设则过作于点由于向量夹角为则故所以最小值为到的距离为即的最小值为故答案为：解法2：（建系） 解析：3【分析】首先设a OA =，b OB =，则a b BA -=，结合向量a ，b 夹角为30，利用对称关系，求得其最小值，也可以建系，利用向量的坐标去求解. 【详解】 解析1：（对称）设a OA =，b OB =，则a b BA -=，过B 作BH OA ⊥于点H ． 由于向量a ，b 夹角为30，则12BH OB =，故12b a b BH AB BH A B '+-=+=+， 所以最小值为A '到OA 的距离为3，即12b a b +-的最小值为3．3 解法2：（建系）设()2,0a =，则3,b m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，不妨设0m >，则1323m b a b+-=+=+ 令()f x =+ 则()423x f x -'=+()0f x '=，解得1x =，即当1x =时，()minf x = 所以12b a b +-的最小值为 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量模的和的最小值的求解，在解题的过程中，可以利用图形，从对称角度去分析，也可以建系，将其坐标化求解，属于中档题目.19．①③④【分析】由函数图像的变换可得结合余弦函数的周期性单调性对称轴等即可判断选项得出答案【详解】的最小正周期为选项A 正确；当时时故在上有增有减选项B 错误；故不是图象的一条对称轴选项C 正确；当时且当即解析：①③④ 【分析】由函数图像的变换可得()cos 23π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g x x ，结合余弦函数的周期性、单调性、对称轴等即可判断选项，得出答案. 【详解】()cos 2cos 28123g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．()g x 的最小正周期为π，选项A 正确；当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 时，故()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有增有减，选项B 错误；012g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故12x π=不是()g x 图象的一条对称轴，选项C 正确；当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，且当2233x ππ+=，即6x π=时，()g x 取最小值12-，D 正确． 故答案为：①③④.【点睛】本题考查了三角函数图像的变换、余弦函数的周期性、单调性和对称轴等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.20．②③④【分析】根据函数的图象与性质分析函数的对称性奇偶性与单调性即可得出结论【详解】解：①由得令直线为函数图象的对称轴故图象C 关于直线对称故①正确；由得令得函数在区间内是增函数故②错误；故函数不是奇解析：②③④ 【分析】根据函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象与性质，分析函数的对称性，奇偶性与单调性，即可得出结论. 【详解】 解：①由232x k πππ-=+，Z k ∈，得25121x k ππ=+，Z k ∈， 令1k =，直线1112π=x 为函数图象的对称轴， 故图象C 关于直线1112π=x 对称，故①正确； 由222232k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈，得5,1212x k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 令0k =，得函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内是增函数，故②错误； ()00f ≠，故函数()f x 不是奇函数，故③错误；由23x k ππ-=，k Z ∈，得612x k ππ=+，k Z ∈，图象C 不关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故④错误.故答案为：②③④. 【点睛】本题考查正弦函数的图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.三、解答题21．（1）0（2【分析】（1）利用诱导公式化简，即可求解；（2）先利用二倍角公式化简1cos 202sin 20︒︒+，由切化弦化1tan 5tan 5︒︒-， 通分后利用两角差的正弦公式展开即可化简求值. 【详解】 利用（1）原式cos(3180)tan 45cos30sin 60110;︒︒︒=⨯︒+-+=-+= （2）原式=22cos 10cos5sin 5sin10()4sin10cos10sin 5cos5︒︒︒=-︒-︒︒︒︒22cos10cos 5sin 5cos10cos10cos10sin10sin102cos1012sin10sin 5cos52sin102sin10sin102︒︒-︒︒︒︒=-︒=-︒⋅=-︒︒︒︒︒︒︒ cos102sin 20cos102sin(3010)2sin102sin10︒-︒︒-︒-︒==︒︒1cos102(cos10)222sin10︒︒︒︒--=== 【点睛】关键点点睛：三角函数化简求值，需要根据式子的结构特征选择合适的公式，并且要注意公式的正用、逆用，特别是复杂式子的灵活运用，属于难题. 22．①64f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1ω=； ②()f x 的最大值在12x π=处取到，1ω=；③当()()121f x f x -=，则12min2x x π-=，1ω=.【分析】可先利用倍角公式将()f x 化简为()sin A x B ωϕ++的形式，再利用其性质逐一求解. 【详解】()sin cos 3f x x x πωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1sin cos 22x x x ωωω⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭21sin cos 2x x x ωωω=⋅11cos 2sin 242x x ωω-=11sin 2cos 22224x x ωω⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭1sin 2234x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. 选①6f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 033ωππ-⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()33k k Z ωπππ-+=∈解得13k ω=-，(]0,3ω∈，1ω∴= 选②()f x 的最大值在12x π=处取到，则有sin 163ωππ⎛⎫+=⎪⎝⎭ ()2632k k Z ωππππ+=+∈112k ω=+，(]0,3ω∈，1ω∴=选③当()()121f x f x -=，则12min2x x π-=代入可得1211sin 2sin 212323x x ππωω⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12sin 2sin 2233x x ππωω⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12min 2x x π-=意味着函数()sin 23g x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的相邻两条对称轴距离为2π T π∴=22T πππωω∴=== 1ω∴=【点睛】方法点睛：对于三角函数，解决最小正周期和最值，单调区间，对称轴等问题时，可先把所给三角函数式化为()sin A x B ωϕ++或()cos A x B ωϕ++的形式，再利用其性质求解.它们的最小正周期为2T πω=，最大值为A B +，最小值为A B -+.23．（1）答案见解析；（2）34k x ππ=+，k Z ∈. 【分析】（1）分别令x 等于0、6π、512π、23π、1112π、π，求得对应的纵坐标，确定点的坐标，列表、描点、作图即可；（2）利用放缩变换与平移变换法则可得到()15sin 4126g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再令5462x k k Z πππ-=+∈，可得答案. 【详解】（1）由题意可得表格如下：x6π 512π 23π 1112ππ()f x141212- 014（2）将()y f x =的图象向上平移1个单位得到1sin 2126y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，再横坐标缩短为原来的12可得到1sin 4126y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，再向右平移4π个单位可得115sin 41sin 412626y x x πππ⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象， 即()15sin 4126g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 令5462x k πππ-=+，解得34k x k Z ππ=+∈，， 所以()g x 的对称轴方程是34k x ππ=+，k Z ∈． 【点睛】方法点睛：“五点法”作一个周期上的图象，主要把握三处主要位置点：1、区间端点；2、最值点；3、零点. 24．（1）()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）0或3π或π. 【分析】（1）先根据函数图象确定出()f x 的最小正周期，再根据最小正周期的计算公式2T ωπ=求解出ω的值，然后代入点,13π⎛⎫⎪⎝⎭结合ϕ的范围求解出ϕ的值，从而()f x 的解析式可求；（2）先根据图象变换求解出()g x 的解析式，然后根据()12g x =得到关于x 的方程，结合[]0,x π∈，求解出x 的值即为方程的实数解. 【详解】（1）因为由图象可知4362T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以22T ππω==且0>ω，所以1ω=， 所以()()sin f x x ϕ=+，代入点,13π⎛⎫⎪⎝⎭，所以sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭且2πϕ<，所以6π=ϕ，所以()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）()f x 的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12后得到的函数解析式为：()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为[]0,x π∈，所以132,666x πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又因为()12g x =，所以1sin 262x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以266x ππ+=或56π或136π，所以0x =或3π或π， 所以方程()12g x =在[]0,π的实数解为：0或3π或π. 【点睛】思路点睛：根据()sin y A ωx φ=+的图象求解函数解析式的步骤： （1）根据图象的最高点可直接确定出A 的值；（2）根据图象的对称轴、对称中心确定出函数的最小正周期，再利用最小正周期的计算公式求解出ω的值；（3）代入图象中非平衡位置的点，结合ϕ的范围求解出ϕ，则函数解析式可求. 25．（1）23λ=；（2）12-. 【分析】（1）先建立方程131cos 03πλ-⨯⨯⨯=，再求解出23λ=即可. （2）先求出()332n n m ⋅-=，再求出33n m -=，接着求出1cos 2θ=，最后求cos2θ. 【详解】解：（1）由()2131cos 03n n m n m n πλλλ⋅-=-⋅=-⨯⨯⨯=，所以23λ=. （2）因为()2133333122n n m n m n ⋅-=-⋅=-⨯⨯= ()2223396963n m n m n m n m -=-=-⋅+=-= 所以()3312cos 3132n n m n n m θ⋅-===⋅-⨯所以2211cos 22cos 12122θθ⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求参数、平面向量的夹角公式、差向量的模的求法、二倍角的余弦公式，是中档题.26．（12 【分析】（1）利用定义得出a b ⋅，再结合模长公式求解即可；（2）先得出()a a b ⋅+，再由数量积公式得出a 与a b +的夹角的余弦.【详解】（1）313cos 32a b π⋅=⨯⨯=2223()||2||122a b a b a a b b ∴+=+=+⋅+=+⨯=（2）235()||122a a b a a b ⋅+=+⋅=+= 5()2cos ,26113a ab a a b a a b ⋅+∴+===⨯⋅+ 【点睛】 本题主要考查了利用定义求模长以及求夹角，属于中档题.。
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新人教版最新高中数学必修四期末测试题及参考答案
(附参考答案)
一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．sin 150°的值等于( )．
A．B．－C．D．－
2．已知＝(3，0)，那么等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
3．在0到2范围内，与角－终边相同的角是( )．
A．B．C．D
4．若cos ＞0，sin ＜0，则角的终边在( )．ααα
A．第一象限B．第二象限C．第三象限
D．第四象限
5．sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°的值等于( )．
A．B．C．D
6．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是( )．
A
B
C
D
7．下列函数中，最小正周期为的是( )．π
A．y＝cos 4x B．y＝sin 2x C．y＝sin
D．y＝
8．已知向量a＝(4，－2)，向量b＝(x，5)，且a∥b，那么x等
于( )．
A．10 B．5 C．－D．－
9．若tan ＝3，tan ＝，则tan(－)等于( )．
A．－3 B．3 C．－D
10．函数y＝2cos x－1的最大值、最小值分别是( )．
A．2，－2 B．1，－3 C．1，－1 D．2，－1
11．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，0)，B(1，2)，
C(0，c)，若⊥，那么c的值是( )
A．－1 B．1 C．－3 D．3
12．下列函数中，在区间[0，]上为减函数的是( )
A．y＝cos x B．y＝sin x
C．y＝tan x D．y＝sin(x－
13．已知0＜A＜，且cos A＝，那么sin 2A等于( )
A．B．C．D
14．设向量a＝(m，n)，b＝(s，t)，定义两个向量a，b之间的运算“”为ab＝(ms，nt)．若向量p＝(1，2)，pq＝(－3，－4)，则
向量q等于( )
A．(－3，－2) B．(3，－2) C．(－2，－3)
D．(－3，2)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
15．已知角的终边经过点P(3，4)，则cos 的值为．α α
16．已知tan ＝－1，且∈[0，)，那么的值等于．ααπα
17．已知向量a＝(3，2)，b＝(0，－1)，那么向量3b－a的坐标是．
18．某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似
满足函数T＝Asin(t＋)＋b(其中＜＜)，6
时至14时期间的温度变化曲线如图所示，它是上
述函数的半个周期的图象，那么这一天6时至14
时温差的最大值是°C；图中曲线对应的
函数解析式是________________．
三、解答题：本大题共3小题，共28分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．(本小题满分8分)
已知0＜＜，sin ．＝
(1)求tan 的值；α
(2)求cos 2＋sin的值．
20．(本小题满分10分)
已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)
(1)求|b|；
(2)当a·b＝时，求向量a与b的夹角
21．(本小题满分10分)
已知函数f(x)＝sin x(＞0)．ωω
(1)当时，写出由y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的
图象所对应的函数解析式；＝
(2)若y＝f(x)图象过点(，0)，且在区间(0，)上是增函数，求
期末测试题
参考答案
一、选择题：
1．A
解析：sin 150°＝sin 30
2．B
解析：＝＝3
3．C
4．D
解析：由cos ＞0知，为第一、四象限或 x 轴正方向上的角；由sin ＜0知，为第三、四象限或y轴负方向上的角，所以的终边在第四象限．αα αα α
5．B
解析：sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°＝sin 60
6．C
解析：在平行四边形ABCD中，根据向量加法的平行四边形法则知
7．B
解析：由T＝＝，得＝2
8．D
解析：因为a∥b，所以－2x＝4×5＝20，解得x＝－10．
9．D
解析：tan(－)＝＝＝．
10．B
解析：因为cos x的最大值和最小值分别是1和－1，所以函数y ＝2cos x－1的最大值、最小值分别是1和－3．
11．D
解析：易知＝(2，2)，＝(－1，c－2)，由⊥，得2×(－1)＋2(c
－2)＝0，解得c＝3
12．A
解析：画出函数的图象即知A正确．
13．D
解析：因为0＜A＜，所以sin A＝，sin 2A＝2sin Acos A
14．A
解析：设q＝(x，y)，由运算“”的定义，知pq＝(x，2y)＝(－
3，－4)
q＝(－3，－2)．
二、填空题：
15
解析：因为r＝5，所以cos ．＝
16
解析：在[0，)上，满足tan ＝－1的角只有，故．＝παα α
17．(－3，－5)．
解析：3b－a＝(0，－3)－(3，2)＝(－3，－5)．
18．20；y＝10sin(x＋)＋20，x∈[6，14]．
解析：由图可知，这段时间的最大温差是20°C．
因为从6~14时的图象是函数y＝Asin(x＋)＋b的半个周期的图象，ωϕ
所以A＝(－)＝10，b＝(30＋１0)＝20
因为·＝14－6，所以＝，y＝10sin＋20
将x＝6，y＝10代入上式，
得10sin＋20＝10，即sin＝－1
由于＜＜，可得
综上，所求解析式为y＝10sin＋20，x∈[6，14]
三、解答题：
19．解：(1)因为0＜＜，sin ，故cos ，所以tan ＝．＝＝
(2)cos 2＋sin＝1－2sin2 ＋cos ＋＝．＝－
20．解：(1)因为(a－b)·(a＋b)＝，即a2－b2
所以|b|2＝|a|2－＝1－＝，故|b|
(2)因为cos ＝＝，故°．
21．解：(1)由已知，所求函数解析式为f(x)＝sin．
(2)由y＝f(x)的图象过点，得sin＝0，所以＝k，
即＝k，k∈Z．又＞0，所以k∈N*．
当k＝1时，＝，f(x)＝sinx，其周期为，
此时f(x)
当k≥2时，≥3，f(x)＝sin x的周期为≤＜，
此时f(x)
所以，＝．。