医用高等数学题库

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第一章 函数与极限
1． 设 ，求 ，并作出函数 的图形。
2. 设 ， ,求 ，并作出这两个函数的图形。
３． 设 ,求 。
４. 试证下列函数在指定区间内的单调性：
１6．一立体的底面为一半径为５的圆，已知垂直于底面的一条固定直径的截面都是等边三角形，求立体的体积。
17．一立体的底面为由双曲线 与直线 所围成的平面图形。如果垂直于x轴的立体截面分别是：
第三章 不定积分
1．求下列不定积分：
(1）
（２）
（３)
（４）
（5）
（6)
2.设有一曲线 ,在其上任一点 处的切线斜率为 ,并知此曲线通过点（3，2),求曲线的方程。
3．设有一通过原点的曲线 ,在其上任一点 处切线斜率为 ,其中a为常数,且知其拐点的横坐标为 ，求曲线的方程。
４．求下列不定积分：
（1)
（2） (x为不等于零的常数)
（3）
(4)
(5) （k为正整数）
11．计算下列极限：
(１)
（2)
(３)
（4) (k为常数）
(5)
（６)
（7)
（8) (ａ>0，b>０，c>0)
（9）
（１0)
（11）
(1２）
(13)
(14)
(15）
（１６)
(1７）
（18）
(１9)
（20)
(21)
（２2）
（23)
（24)
(1)
（２)
（3)
(4)
（5)
1０.求下列隐函数 的导数 ：
（1)
（2） ，求
（3)
（４)
(5)
1１.求下列函数的ｎ阶导数：
（1）
（2)
（3)
1２.已知函数 ,求 。
13.若 存在，求下列函数y的二阶导数 ：
(1）
（2)
14.求由下列方程所确定的隐函数y的二阶导数:
(1）
（２)
1５．求下列函数的微分：
12.当 时，无穷小1－x和（１） （2) 是否同阶?是否等价?
13.证明：当 时,有(1) （２)
１４．利用等价无穷小的性质求下列极限：
（１) (n，ｍ为正整数）
(２)
15.试确定常数ａ,使下列各函数的极限 存在：
（1)
（2）
16．讨论下列函数的连续性：
(１） 的连续性
（2) 在x＝0处的连续性
17．设函数 在[０,２ａ]上连续, ,试证方程 在[０，a]内至少存在一个实根。
(１）
(2)
（３)
（4)
（５）
（6）
（7）
(8)
（9）
(10） 与
8.求下列各有理函数的积分:
(1）
（2)
（3）
（4）
（５)
（６）
(7）
(8）
9．设 是连续函数，求 。
10．如果 的一个原函数是 ,证明: 。
11．求
１２．试确定常数A，B,使下式成立:
第四章 定积分及其应用
1.比较下列各对积分的大小:
1８.设函数 在开区间(a,b）内连续, ，试证：在开区间(a,b）内至少有一点c，使得 (其中 ）。
第二章 导数与微分
１.讨论下列函数在x=０处的连续性与可导性:
(1)
(2）
2.设 存在，求
３.设 ,问a,ｂ为何值时, 在x=0处可导？
4.已知 ，求 及 ，并问: 是否存在?
５.证明：双曲线 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 。
（1)
（２）
(3)
21.描绘下列函数的图形:
(1）
(２）
(3）
(4）
22．要造一圆柱形油罐,体积为V，问底半径r和高h等于多少时,才能使表面积最小?这时直径与高的比是多少?
2３．一火车的锅炉每小时的耗煤费用与速度的立方成正比。已知当速度为每小时20公里时，每小时耗费的煤价为40元。至于其他费用每小时需200元。问当火车行驶的速度为多少时才能使火车从甲地到乙地的总费用最省？
(1）
（2)
(3）
（4）
（5）
2.证明不等式：
３.设 (x>0),求
4.（1）设 ,求
(2）设 ,其中 连续,求
５．设 ,求
6．设 ,求
7．计算下列极限：
(1）
(2）
(3)
8.利用牛顿——莱布尼茨公式计算下列各积分：
(1)
(2)
(3)
（4）
（5)
（6）
(7）
（8)
9．计算下列各积分:
（1）
(2）
(３)
（5）
（6）
14.求面积：
（1）求曲线 与直线 所பைடு நூலகம்成的平面图形的面积。
（２)求由抛物线 与直线 所围成的平面图形的面积。
（3）求由曲线 与直线 所围成的平面图形的面积。
(4)求三次曲线 与直线 所围成的平面图形的面积。
(５）求抛物线 与直线 之间的面积。
15．已知塔高为80米，离它的顶点x米处的水平截面是边长为 米的正方形，求塔的体积。
（１)
(2）
5．下列函数中哪些是是周期函数？对于周期函数,指出其周期：
(１)
(2）
6.设 。试求下列复合函数,并指出x的取值范围。
７.已知对一切实数x均有 ,且f(ｘ）为单调增函数，试证：
8.计算下列极限：
（1）
(2)
(3)
9．（1）设 ，求常数a,ｂ。
（2）已知 ，求ａ,b。
1０．计算下列极限：
(１)
6.问当系数a为何值时，抛物线 与曲线 相切？
7．求下列各函数的导数：
(1)
(２)
(3)
（4）
(5)
(6）
(7）
(8) (a>0)
(９)
（10)
（11）
（12)
（1３)
(１4）
（1５）
（1６）
(17)
（18）
(1９)
（20）
(2１）
（22）
(23）
（24)
8.求曲线 在点 处的切线方程和法线方程。
9．用对数求导法求下列函数的导数：
（2） （ 为常数）
(３）
(4)
(5)
(６）
(7）
(8)
（9）
（１0)
（11）
（1２)
（１3）
(１4）
（15)
(１6)
(１７）
（18)
（1９）
（２0)
（21）
(22)
5.求下列各不定积分：
（1）
(2)
（3)
(４）
（5)
(6)
（７）
(８)
6．证明下列各式:
(1)
(2）
（3）
(4)
7.求下列各不定积分：
（４）
(5）
(６）
10．计算下列定积分:
(１）
(２)
(3)
(4)
（5)
(6）
（7)
(8）
（9）
（１０）
11．利用分部积分法计算下列定积分:
(1）
（2）
(3）
(4）
（５)
（6)
1２.利用函数的奇偶性计算下列积分：
（１）
（2）
（3）
13．下列各广义积分如果收敛,求其值:
(1)
（2）
(３)
（4） （a>０)
(１）
（２)
（３）
１6.计算下列各式的近似值:
（１)
（2）
17.求极限：
（1）
(2）
（3）
（4）
（5）
(6)
(7)
（8)
(9)
（1０)
(１１）
(12）
（13)
１8．确定下列函数的单调区间:
（１)
（2）
(３) (a>0）
（４）
19．求下列函数的极值:
(1)
(2）
（3)
(4)
(５）
（６)
２0．求下列函数图形的拐点及凹凸区间: