2013年陕西高考文科数学试题及答案

2013年陕西高考文科数学试题及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)
文科数学
注意事项:
1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题, 第二部分为非选择题.
2. 考生领到试卷后, 须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.
3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分(共50分)
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. 设全集为R , 函数()1f x x =-的定义域为M ，则C M R 为 (A) (－∞,1) (B) (1, + ∞) (C) (,1]-∞ (D) [1,)+∞
2. 已知向量(1,),(,2)a m b m ==，若a //b ，则实数m 等于 (A) 2- (B) 2 (C) 2-或2 (D) 0
3. 设a , b , c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是 (A) ·log log log a c c b a b = (B) ·log lo log g a a a b a b = (C) ()log og g l lo a a a b c bc = (D) ()log g og o l l a a a b b c c +=+
4. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为
(A) 25
(B) 30 (C) 31 (D) 61
4. 对一批产品的长度(单位: 毫米)进行抽样检测, 下图为检测结果的频率分布直方图. 根据标准, 产品长度在区间[20,25)上为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取1件, 则其为二等品的概率为
(A) 0.09 (B) 0.20 (C) 0.25 (D) 0.45 6. 设z 是复数, 则下列命题中的假．命题是 (A) 若20z ≥, 则z 是实数 (B) 若20z <, 则z 是虚数 (C) 若z 是虚数, 则20z ≥ (D) 若z 是纯虚数, 则20z < 7. 若点(x ,y )位于曲线y = |x |与y = 2所围成的封闭区域, 则2x －y 的最小值为 (A) －6 (B) －2 (C) 0 (D) 2
输入x
If x ≤50 Then
y = 0.5 * x Else y = 25 + 0.6*(x -50) End If 输出y
17. (本小题满分12分)
设S n表示数列{}
n
a的前n项和.
(Ⅰ) 若{}
n
a为等差数列, 推导S n的计算公式;
(Ⅱ) 若
11,0
a q
=≠, 且对所有正整数n, 有
1
1
n
n
q
S
q
-
=
-
. 判断{}
n
a是否为等比数列.
18. (本小题满分12分)
如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD,
12
AB AA
==
O D1
B1
C1
D A
C A1
(Ⅰ) 证明: A1BD // 平面CD1B1;
(Ⅱ) 求三棱柱ABD－A1B1D1的体积.
19. (本小题满分12分)
有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛, 由500名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为5组,
组
别
A B C D E
人数5
10
15
15
5
(Ⅰ) 为了调查评委对7, 其中从B组中抽取了6人. .
组别A B C D E
人数5
0 10
15
15
5
抽取人
数
6
(Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若A, B, 现从这两组被抽到的评委中分别任选1人, 求这2人都支持1号歌手的概率.
20. (本小题满分13分)
已知动点M (x ,y )到直线l :x = 4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍. (Ⅰ) 求动点M 的轨迹C 的方程;
(Ⅱ) 过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A , B 两点. 若A 是PB 的中点, 求直线m 的斜率.
21. (本小题满分14分) 已知函数()e ,x f x x =∈R .
(Ⅰ) 求f (x )的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程; (Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线2112
y x x =++有唯一公共点. (Ⅲ) 设a <b , 比较2a b f +⎛⎫ ⎪
⎝⎭
与()()
f b f a b a --的大小, 并说明理由.
答案：
1.B
2. C
3. B
4. C
5. D
6. C
7. A
8. B
9. A 10. D 11.45 12.π3
13. (1)(2)(3)()213(21)n
n n n n n n ++++=⨯⨯⨯⋅-
14. 20
15. (－∞,﹢∞)
B .6
C (1, 0)
16【解】()·f x =a b =)6
2sin(2cos 212sin 232cos 2
1
sin 3cos π-=-=
-⋅x x x x x x 。

最小正周期ππ
==2
2T 。

所以),6
2sin()(π-=x x f 最小正周期为π。

(Ⅱ) 上的图像知，在，由标准函数时，当]6
5,6-[sin ]65,6-[)62(]2,0[π
πππππx y x x =∈-∈. ]
1,2
1
[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-=πππf f x x f .
所以，f (x) 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为2
1,1-
. 17【解】(Ⅰ) 设公差为d,则d
n a a
n
)1(1-+=
)()()()(2111121121121a a a a a a a a S a a a a S a a a a S n n n n n n n n
n
n n ++++++++=⇒⎩⎨
⎧++++=++++=---- )
2
1
(2)()(2111d n a n a a n S a a n S n n n n -+=+=⇒+=⇒.
(Ⅱ)
1
,011≠≠=q q a 由题知，。

n
n n n n n n n n n q q q q q q q q S S a q q S N n =--=-----=-=⇒--=∈∀++++11111111
111*
，
*
211
11N n q a n q
n a n n n n ∈=⇒⎩⎨⎧≥==--，.
所以,}{n
a 数列是首项1
1
=a
,公比1≠q 的等比数列。

18【解】 (Ⅰ) 设1
1
1
O D B 线段的中点为.
1
1111111//D B BD D C B A ABCD D B BD ∴-的对应棱是和 .
的对应线段
是棱柱和同理，111111D C B A ABCD O A AO -
为平行四边形四边形且且11111111//////OCO A OC O A OC O A OC AO O A AO ⇒=⇒∴
1
111111111//,.//B CD BD A O D B C O O BD O A C O O A 面面且⇒==⇒ .(证毕)
(Ⅱ) 的高是三棱柱面ABD D B A O A ABCD O A -∴⊥1
1
1
1
1
.
在正方形AB CD 中,AO = 1 . .11
1=∆O A OA A RT 中，在
11)2(2
1
2
1
1
1
1
111=⋅⋅=⋅=-∆-O A S V ABD D B A ABD
ABD
D B A 的体积三棱柱. 所以，11111
1
1
=--ABD
D B A V
ABD D B A 的体积三棱柱. 19【解】 (Ⅰ) 按相同的比例从不同的组中抽取人数。

从B 组100人中抽取6人，即从50人中抽取3人，从100人中抽取6人，从100人中抽取9人。

(Ⅱ) A 组抽取的3人中有2人支持1号歌手，则从3人中任选1人，支持支持1号歌手的概率为3
2· B 组抽取的6人中有2人支持1号歌手，则从6人中
任选1人，支持支持1号歌手的概率为62
· 现从抽样评委A 组3人,B 组6人中各自任选一人，则
这2人都支持1号歌手的概率92
6232=⋅=P . 所以，从A,B 两组抽样评委中，各自任选一人，则这
2人都支持1号歌手的概率为92
. 20.【解】 (Ⅰ) 点M(x,y)到直线x=4的距离,是到点N(1,0)的距离的2倍，则
13
4)1(2|4|2
2
2
2
=+⇒+-=-y
x y x x . 所以，动点M 的轨迹为 椭圆，方程为
13
42
2=+y x (Ⅱ) P(0, 3), 设2
121
2
2
1
1
3202),,(B ),,(A y y x x y x y x +=+=，由题知：
椭圆),3-,0()3,0(和的上下顶点坐标分别是经检验直线m 不经过这2点，即直线m 斜率k 存在。

3:+=kx y m 方程为设直线.联立椭圆和直线方程，整理得：
2
2
1
2
2
1
2
2
4324
,432402424)43k
x x k k x x kx x k +=
⋅+-=+⇒=+++（ 23
2
924)43()24(252)(2212221212211221±=⇒=⋅+-⇒=⋅⋅-+⇒+=+k k k x x x x x x x x x x
所以，直线m 的斜率
2
3±
=k
21. 【答案】(Ⅰ) y = x+ 1. 当m )4,0(2
e ∈时,有0个公共点；当m= 42
e ,有1个公共点；
当m
）
，（∞+∈4
2
e 有2个公共点；
(Ⅲ) ()()
2
f a f b + > ()()f b f a b a -- (Ⅱ) (Ⅰ) f (x)的反函数x x
g ln )(=,则y=g(x)过点（1,0）的切线斜率k=(1)g'.
1(1)g'x 1
(x)g'==⇒=k .过点（1,0）的切线方程为：y = x+ 1 (Ⅱ) 证明曲线y=f(x)与曲线1
212
++=x x
y 有唯一公共
点，过程如下。

则令,,12
1
121)()(22R x x x e x x x f x h x ∈---=---
=
0)0('',0)0('0)0(,1)('')(',1)('===-=--=h h h e x h x h x e x h x x ，，且的导数
因此，
单调递增时当单调递减时当)('0)(''0;)('0)(''0x h y x h x x h y x h x =⇒>>=⇒<<0)(,0)0(')('===≥=⇒x R x h y h x h y 个零点上单调递增，最多有一在所以
所以，曲线y=f(x)与曲线1
2
12
++=x x
y 只有唯一公共点
(0,1).(证毕）
(Ⅲ) 设)
(2)
()2()()2()()(2)()(a b b f a b a f a b a b a f b f b f a f -⋅⋅--+⋅+-=---+ a
a b b a e
a b e a b a b a b e a b e a b ⋅-⋅⋅--++-=-⋅⋅--+⋅+-=-)
(2)2()2()(2)2()2(
令x
x
x e
1
)2
=)1
1(
-
⋅
1
+
+
,0
2
)
(则。

(
)2
('
>
,
)
(
x
e
x
x
g
x
x
e
=
x
x
-
g⋅
+
⋅
+
+
=
-
x，且
g
)
('x
(''
e
)
1(
g
g x
)1
x
x
e
x
x
=0
+
>
的导函数∞
在（
,0
）上单调递增
⋅
，
('
所以
)
+
-
=
⋅
g
>
x
=g
x
在
因此
+∞
，
上单调递增
g而
g
)
)
,
)0('=
,0
,0(
)0(
)
('
.0
(
g
上
所以在。

+∞x
)
(
)
,0(>。