2020 人教版 九年级 圆专题复习练习题(有部分答案)
人教版2020年中考数学一轮复习《与圆有关的证明和计算》大题专项练习含答案解析
中考专题——与圆有关的证明和计算纵观近几年全国各地中考题，圆的有关概念以及性质等一般以填空题，选择题的形式考查并占有一定的分值；圆的有关性质，如垂径定理，圆周角，切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形式考查；一般在10分－15分左右，以后发展中利用圆的知识与其他知识点如函数，方程等相结合作为中考压轴题将会占有非常重要的地位。
考查的类型：（1）线段、角以及切线的证明；（2）利用勾股定理、相似以及锐角三角函数进行线段，比值和阴影面积的求解.例题精讲：1、如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC 交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．2、如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延长线相交于点D．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若∠PAC=90°，AB=2，求PD的长．3、如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，（1）求证：DE=DB；（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．4、如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BD=，BE=1．求阴影部分的面积．5、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF是⊙O的切线．（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．补充练习：1、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC于点F.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若∠C＝60°，⊙O的半径为2，求由弧DE，线段DF，EF围成的阴影部分的面积(结果保留根号和π)2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．3、如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．(1)求证：直线DF与⊙O相切；(2)若AE=7，BC=6，求AC的长．4、如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC，交AB 的延长线于点F，连接DA．（1）求证：EF为半圆O的切线；（2）若DA=DF=6，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）5、如图所示，以△ABC的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A=∠CBD，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，过C作CE∥BD交AB的延长线于点E．（1）判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠DBA=30°，CG=8，求BE的长.6、如图，AB为⊙O的直径，C，E为⊙O上的两点，若AC平分∠EAB，CD⊥AE于点D.（1）求证：DC是⊙O的切线；3，求DE的长；（2）若AO=6，DC=33，求图中阴影部分面积.（3）过点C作CF⊥AB于F，如图2，若AD-OA=1.5，AC=3答案解析例题精讲：1、（1）证明：∵⊙O切BC于D，∴OD⊥BC，∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD=∠ADO，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠CAD，即AD平分∠CAB；（2）设EO与AD交于点M，连接ED．∵∠BAC=60°，OA=OE，∴∠AEO是等边三角形，∴AE=OA，∠AOE=60°，∴AE=A0=OD，又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD=60°，∴S△AEM=S△DMO，∴S阴影=S扇形EOD==．2、（1）证明：∵∵ABC=∵APC，∵BAC=∵BPC，∵APC=∵CPB=60°，∵∵ABC=∵BAC=60°，∵∵ABC是等边三角形．（2）解：∵∵ABC是等边三角形，AB=2，∵AC=BC=AB=2，∵ACB=60°．在Rt∵PAC中，∵PAC=90°，∵APC=60°，AC=2，∵AP=AC•cot∵APC=2．在Rt∵DAC中，∵DAC=90°，AC=2，∵ACD=60°，∵AD=AC•tan∵ACD=6．∵PD=AD﹣AP=6﹣2=4．3、（1）证明：∵BE平分∠BAC，AD平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，∴，∴∠DBC=∠CAD，∴∠DBC=∠BAE，∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，∴∠DBE=∠DEB，∴DE=DB；（2）解：连接CD，如图所示：由（1）得：，∴CD=BD=4，∵∠BAC=90°，∴BC是直径，∴∠BDC=90°，∴BC==4，∴△ABC外接圆的半径=×4=2．4、（1）证明：连接OD，作OF⊥AC于F，如图，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，∵OF⊥AC，∴OF=OD，∴AC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△BOD中，设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，∴r2+（）2=（r+1）2，解得r=1，∴OD=1，OB=2，∴∠B=30°，∠BOD=60°，∴∠AOD=30°，在Rt△AOD中，AD=OD=，∴阴影部分的面积=2S△AOD﹣S扇形DOF=2××1×﹣=﹣．5、（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°，∵点F 是ED 的中点，∴CF ＝EF ＝DF ，∴∠AEO ＝∠FEC ＝∠FCE ，∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC ，∵OD ⊥AB ，∴∠OAC+∠AEO ＝90°， ∴∠OCA+∠FCE ＝90°，即OC ⊥FC ，∴CF 与⊙O 相切；（2）解：∵OD ⊥AB ，AC ⊥BD ，∴∠AOE ＝∠ACD ＝90°，∵∠AEO ＝∠DEC ，∴∠OAE ＝∠CDE ＝22.5°， ∵AO ＝BO ，∴AD ＝BD ，∴∠ADO ＝∠BDO ＝22.5°，∴∠ADB ＝45°，∴∠CAD ＝∠ADC ＝45°，∴AC ＝CD ．补充练习：1、（1）如图，连接OD ∵AB 为⊙O 的直径∴AD ⊥BC ∵AB=AC ∴BD=CD ，D 为BC 中点∵O 为AB 中点∴OD ∥AC ∵DF ⊥AC ∴DF ⊥OD ∴DF 为⊙O 的切线（2）如图，连接OE 、OD ∵AB=AC ，∠C=60°∴△ABC 为等边三角形∴∠B=∠A=60°，AB=AC=BC=2⨯2=4∵OA=OB=OD=OE ∴△OAE ，△OBD 都是等边三角形∴∠ODB=∠BOD=∠AOE -∠OEA=∠C=60° ∴∠DOE=180°-2⨯60°=60°，OD ∥AC ，OE ∥BC ∴四边形ODCE 是平行四边形∴OD=CE=BD=CD=2∴DF=CDsin60°=3232=⨯，CF=CDcos60°=1212=⨯ ∴ππ32-323360260-3121-32--2=⨯⨯⨯⨯==∆ODE CDF S S S S 扇形平行四边形阴影2、（1）证明：连接DE 、OD ∵BC 相切⊙O 于点D ∴∠CDA=∠AED ∵AE 为直径∴∠ADE=90°∵AC ⊥BC ∴∠ACD=90°∴∠DAO=∠CAD ∴AD 平分∠BAC（3）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC ∴∠B=∠BAC=45°∵BC 相切⊙O 于点D ∴∠ODB=90°∴OD=BD ，∠BOD=45°设BD=x ，则OD=OA=x ，0B=3x ∴BC=AC=x+1∵AC 2+BC 2=AB 2∴22)2()12x x x +=+（ 所以x=2∴BD=OD=2 ∴()4-1360245-22212ππ=⨯⨯=-∆=DOE S BOD S S 扇形阴影3、（1）证明：连接OD ，∵AB=AC ，∴∠B=∠C 。
2020年九年级中考数学复习专题训练：《圆的综合 》(含答案)
2020年九年级中考数学复习专题训练：《圆的综合》1．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O，交AB于点D．（1）若AB＝8，∠ABC＝30°，求⊙O的半径；（2）若点E是边BC的中点，连结DE，求证：直线DE是⊙O的切线；（3）在（1）的条件下，保持Rt△ACB不动，将⊙O沿直线BC向右平移m个单位长度后得到⊙O′，当⊙O′与直线AB相切时，m＝．2．如图，矩形ABCD中，AB＝13，AD＝6．点E是CD上的动点，以AE为直径的⊙O与AB交于点F，过点F作FG⊥BE于点G．（1）当E是CD的中点时：tan∠EAB的值为；（2）在（1）的条件下，证明：FG是⊙O的切线；（3）试探究：BE能否与⊙O相切？若能，求出此时BE的长；若不能，请说明理由．3．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，正方形BEFG 中，点E 在AB 的延长线上，点G 在BC 上，点O 在线段AB 上，且AO ≥BO ．以OF 为半径的⊙O 与直线AB 交于点M ，N ． （1）如图1，若点O 为AB 中点，且点D ，点C 都在⊙O 上，求正方形BEFG 的边长． （2）如图2，若点C 在⊙O 上，求证：以线段OE 和EF 为邻边的矩形的面积为定值，并求出这个定值．（3）如图3，若点D 在⊙O 上，求证：DO ⊥FO ．4．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 为直径，AC 和BD 交于点E ，AB ＝BC ． （1）求∠ADB 的度数；（2）过B 作AD 的平行线，交AC 于F ，试判断线段EA ，CF ，EF 之间满足的等量关系，并说明理由；（3）在（2）条件下过E ，F 分别作AB ，BC 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接GH ，交BO 于M ，若AG ＝3，S 四边形AGMO ：S 四边形CHMO ＝8：9，求⊙O 的半径．5．定义：当点P在射线OA上时，把的的值叫做点P在射线OA上的射影值；当点P不在射线OA上时，把射线OA上与点P最近点的射影值，叫做点P在射线OA上的射影值．例如：如图1，△OAB三个顶点均在格点上，BP是OA边上的高，则点P和点B在射线OA 上的射影值均为＝．（1）在△OAB中，①点B在射线OA上的射影值小于1时，则△OAB是锐角三角形；②点B在射线OA上的射影值等于1时，则△OAB是直角三角形；③点B在射线OA上的射影值大于1时，则△OAB是钝角三角形．其中真命题有．A．①②B．①③C．②③D．①②③（2）已知：点C是射线OA上一点，CA＝OA＝1，以〇为圆心，OA为半径画圆，点B是⊙O 上任意点．①如图2，若点B在射线OA上的射影值为．求证：直线BC是⊙O的切线；②如图3，已知D为线段BC的中点，设点D在射线OA上的射影值为x，点D在射线OB上的射影值为y，直接写出y与x之间的函数关系式为．6．问题发现：（1）如图1，△ABC内接于半径为4的⊙O，若∠C＝60°，则AB＝；问题探究：（2）如图2，四边形ABCD内接于半径为6的⊙O，若∠B＝120°，求四边形ABCD的面积最大值；解决问题：（3）如图3，一块空地由三条直路（线段AD、AB、BC）和一条弧形道路围成，点M 是AB道路上的一个地铁站口，已知AD＝BM＝1千米，AM＝BC＝2千米，∠A＝∠B＝60°，的半径为1千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点M处，另外三个入口分别在点C、D、P处，其中点P在上，并在公园中修四条慢跑道，即图中的线段DM、MC、CP、PD，是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度（即四边形DMCP 的周长）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由．7．如图，AB是⊙O的直径，BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点（点P不与A，B两点重合），连接AP，过点O作OQ∥AP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP，AE．（1）求证：直线PQ为⊙O的切线；（2）若直径AB的长为4．①当PE＝时，四边形BOPQ为正方形；②当PE＝时，四边形AEOP为菱形．8．已知AB是⊙O的直径，DA为⊙O的切线，切点为A，过⊙O上的点C作CD∥AB交AD于点D，连接BC、AC．（1）如图①，若DC为⊙O的切线，切点为C，求∠ACD和∠DAC的大小．（2）如图②，当CD为⊙O的割线且与⊙O交于点E时，连接AE，若∠EAD＝30°，求∠ACD和∠DAC的大小．9．已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点D为AB延长线一点，连接AC．（Ⅰ）如图①，OB＝BD，若DC与⊙O相切，求∠D和∠A的大小；（Ⅱ）如图②，CD与⊙O交于点E，AF⊥CD于点F连接AE，若∠EAB＝18°，求∠FAC的大小．10．如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC，BD，垂足分别为C，D，连接AM．（1）求证：AM平分∠CAB；（2）若AB＝4，∠APE＝30°，求的长．11．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于E，过点A作AF⊥AC于F，交⊙O于D，连接DE，BE，BD（1）求证：∠C＝∠BED；（2）若AB＝12，tan∠BED＝，求CF的长．12．已知，点A为⊙O外一点，过A作⊙O的切线与⊙O相切于点P，连接PO并延长至圆上一点B连接AB交⊙O于点C，连接OA交⊙O于点D连接DP且∠OAP＝∠DPA．（1）求证：PO＝PD；（2）若AC＝，求⊙O的半径．13．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P是半径OB上一动点（不与O，B重合），过点P作射线l⊥AB，分别交弦BC，于D，E两点，过点C的切线交射线1于点F．（1）求证：FC＝FD．（2）当E是的中点时，①若∠BAC＝60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；②若＝，且AB＝30，则OP＝．14．如图，在∠DAM内部做Rt△ABC，AB平分∠DAM，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点N 为BC的中点，动点E由A点出发，沿AB运动，速度为每秒5个单位，动点F由A点出发，沿AM运动，速度为每秒8个单位，当点E到达点B时，两点同时停止运动，过A、E、F作⊙O．（1）判断△AEF的形状为，并判断AD与⊙O的位置关系为；（2）求t为何值时，EN与⊙O相切？求出此时⊙O的半径，并比较半径与劣弧长度的大小；（3）直接写出△AEF的内心运动的路径长为；（注：当A、E、F重合时，内心就是A点）（4）直接写出线段EN与⊙O有两个公共点时，t的取值范围为．（参考数据：sin37°＝，tan37°＝，tan74°≈，sin74°≈，cos74°≈）15．如图1，CD是⊙O的直径，且CD过弦AB的中点H，连接BC，过弧AD上一点E作EF∥BC，交BA的延长线于点F，连接CE，其中CE交AB于点G，且FE＝FG．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）如图2，连接BE，求证：BE2＝BG•BF；（3）如图3，若CD的延长线与FE的延长线交于点M，tan F＝，BC＝5，求DM的值．16．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，以AB为直径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，证明r2＝AD•OE；（3）若DE＝4，sin C＝，求AD之长．17．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，△ABC中，点D是BC 边上一点，连结AD，若AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”．（1）如图2，△ABC的顶点是4×3网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“好点”．（2）△ABC中，BC＝9，tan B＝，tan C＝，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长．（3）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，OH⊥AB于点H，连结CH并延长交⊙O于点D．①求证：点H是△BCD中CD边上的“好点”．②若⊙O的半径为9，∠ABD＝90°，OH＝6，请直接写出的值．18．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P．（1）求证：∠CAB＝2∠BCP；（2）若⊙O的直径为5，sin∠BCP＝，求△ABC内切圆的半径；（3）在（2）的条件下，求△ACP的周长．19．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，直径AC与对角线BD相交于点E，作CH⊥BD于H，CH与过A点的直线相交于点F，∠FAD＝∠ABD．（1）求证：AF为⊙O的切线；（2）若BD平分∠ABC，求证：DA＝DC；（3）在（2）的条件下，N为AF的中点，连接EN，若∠AED+∠AEN＝135°，⊙O的半径为2，求EN的长．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是线段BC上一点，以O为圆心，OC为半径作⊙O，AB与⊙O相切于点F，直线AO交⊙O于点E，D．（1）求证：AO是△CAB的角平分线；（2）若tan∠D＝，求的值；（3）如图2，在（2）条件下，连接CF交AD于点G，⊙O的半径为3，求CF的长．参考答案1．解：（1）在Rt△ABC中，∵AB＝8，∠ABC＝30°，∴AC＝AB sin∠ABC＝8sin30°＝4，∴⊙O的半径为2；（2）证明：连接OD，CD，∵AC为⊙O的直径，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∵点E是边BC的中点，∴DE＝CE＝CB，∴∠DCE＝∠CDE，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝90°，∴∠ODE＝∠ODC+∠CDE＝90°，∴OD⊥DE，∴直线DE是⊙O的切线；（3）连接OO′交AB于F，设⊙O′与AB相切于G，连接O′G，则∠O′GF＝90°，∵将⊙O沿直线BC向右平移m个单位长度后得到⊙O′，∴OO′∥BC，AO＝O′G，∴∠AOF＝∠ACB＝90°，∵∠AFO＝∠O′FG，∴△AOF≌△O′GF（AAS），∴O′F＝AF，∵在Rt△AOF中，∵∠A＝60°，AO＝2，∴AF＝4，OF＝2，∴O′F＝AF＝4，∴OO′＝4+2，∴m＝4+2．故答案为：4+2．2．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，CD∥AB，CD＝AB＝13，∴∠EAB＝∠DEA，∵E是CD的中点，∴DE＝CD＝，∴tan∠DEA＝＝＝．故答案为：．（2）证明：连接OF，在矩形ABCD中，AD＝BC，∠ADE＝∠BCE＝90°，又CE＝DE，∴△ADE≌△BCE（SAS），∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA．∵OF＝OA，∴∠OAF＝∠OFA，∴∠OFA＝∠EBA．∴OF∥EB．∵FG⊥BE，∴FG⊥OF，∴FG是⊙O的切线．（3）解：若BE能与⊙O相切，由AE是⊙O的直径，则AE⊥BE，∠AEB＝90°．设DE＝x，则EC＝13﹣x．由勾股定理得：AE2+EB2＝AB2，即（36+x2）+[（13﹣x）2+36]＝132，整理得x2﹣13x+36＝0，解得：x1＝4，x2＝9，∴DE＝4或9，当DE＝4时，CE＝9，BE＝＝＝3，当DE＝9时，CE＝4，BE＝＝＝2，∴BE能与⊙O相切，此时BE＝2或3．3．解：（1）如图1，连接OC，∵四边形ABCD和四边形BEFG为正方形，∴AB＝BC＝1，BE＝EF，∠OEF＝∠ABC＝90°，∵点O为AB中点，∴OB＝AB＝，设BE＝EF＝x，则OE＝x+，在Rt△OEF中，∵OE2+EF2＝OF2，∴，在Rt△OBC中，∵OB2+BC2＝OC2，∴＝OC2，∵OC，OF为⊙O的半径，∴OC＝OF，∴，解得：x＝，∴正方形BEFG的边长为；（2）证明：如图2，连接OC，设OB＝y，BE＝EF＝x，同（1）可得，OE2+EF2＝OF2，OB2+BC2＝OC2，∴OF2＝x2+（x+y）2，OC2＝y2+12∵OC，OF为⊙O的半径，∴OC＝OF，∴x2+（x+y）2＝y2+12，∴2x2+2xy＝1，∴x2+xy＝，即x（x+y）＝，∴EF×OE＝，∴以线段OE和EF为邻边的矩形的面积为定值，这个定值为．（3）证明：连接OD，设OA＝a，BE＝EF＝b，则OB＝1﹣a，则OE＝1﹣a+b，∵∠DAO＝∠OEF＝90°，∴DA2+OA2＝OD2，OE2+EF2＝OF2，∴12+a2＝OD2，（1﹣a+b）2+b2＝OF2，∵OD＝OF，∴12+a2＝（1﹣a+b）2+b2，∴（b+1）（a﹣b）＝0，∵b+1≠0，∴a﹣b＝0，∴a＝b，∴OA＝EF，在Rt△AOD和Rt△EFO中，，∴Rt△AOD≌Rt△EFO（HL），∴∠FOE＝∠ODA，∵∠DAO＝90°，∴∠ODA+∠AOD＝90°，∴∠FOE+∠AOD＝90°，∴∠DOF＝90°，∴DO⊥FO．4．解：（1）如图1，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°；（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，∵AD∥BF，∴∠EBF＝∠ADB＝45°，又∠ABC＝90°，∴α+β＝45°，过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°．∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SAS），∴EF＝FN，∵在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，∴EA2+CF2＝EF2；（3）如图3，延长GE，HF交于K，由（2）知EA 2+CF 2＝EF 2， ∴EA 2+CF 2＝EF 2，∴S △AGE +S △CFH ＝S △EFK ，∴S △AGE +S △CFH +S 五边形BGEFH ＝S △EFK +S 五边形BGEFH ，即S △ABC ＝S 矩形BGKH ， ∴S △ABC ＝S 矩形BGKH ，∴S △GBH ＝S △ABO ＝S △CBO ，∴S △BGM ＝S 四边形COMH ，S △BMH ＝S 四边形AGMO ，∵S 四边形AGMO ：S 四边形CHMO ＝8：9，∴S △BMH ：S △BGM ＝8：9，∵BM 平分∠GBH ，∴BG ：BH ＝9：8，设BG ＝9k ，BH ＝8k ，∴CH ＝3+k ，∵AG ＝3，∴AE ＝3， ∴CF ＝（k +3），EF ＝（8k ﹣3），∵EA 2+CF 2＝EF 2， ∴+＝，整理得：7k 2﹣6k ﹣1＝0，解得：k 1＝﹣（舍去），k 2＝1．∴AB ＝12，∴AO ＝AB ＝6，∴⊙O的半径为6．5．解：（1）①错误．点B在射线OA上的射影值小于1时，∠OBA可以是钝角，故△OAB 不一定是锐角三角形；②正确．点B在射线OA上的射影值等于1时，AB⊥OA，∠OAB＝90°，△OAB是直角三角形；③正确．点B在射线OA上的射影值大于1时，∠OAB是钝角，故△OAB是钝角三角形；故答案为：B．（2）①如图2，作BH⊥OC于点H，∵点B在射线OA上的射影值为，∴＝，＝，CA＝OA＝OB＝1，∴＝，又∵∠BOH＝∠COB，∴△BOH∽△COB，∴∠BHO＝∠CBO＝90°，∴BC⊥OB，∴直线BC是⊙O的切线；②图形是上下对称的，只考虑B在直线OC上及OC上方部分的情形．过点D作DM⊥OC，作DN⊥OB，当∠DOB＜90°时，设DM＝h，∵D为线段BC的中点，∴S△OBD ＝S△ODC，∴OB×DN＝OC×DM，∴DN＝2h，∵在Rt△DON和Rt△DOM中，OD2＝DN2+ON2＝DM2+OM2，∴4h2+y2＝h2+x2，∴3h2＝x2﹣y2①，∵BD2＝CD2，∴4h2+（1﹣y）2＝h2+（2﹣x）2②，①②消去h得：y＝2x﹣．如图，当∠BOD＝90°时，过点D作DM⊥OC于点M，∵D为线段BC的中点，∴S△OBD ＝S△ODC，∴OB×DO＝OC×DM，∵CA＝OA＝OB＝1，∴OD＝2DM，∴sin∠DOM＝，∴∠DOM＝30°，设DM＝h，则OD＝2h，OM＝h，∴h2+＝1+4h2，∴h＝，∴OM＝，当点B在OC上时，OD＝，综上所述，当≤x≤时，y＝0；当＜x≤时，y＝2x﹣．故答案为：y＝0（≤x≤）或y＝2x﹣（＜x≤）．6．解：（1）如图1，连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，∵∠C＝60°，∴∠AOB＝120°，∵OA＝OB，∴△OAB为等腰三角形，∵OH⊥AB，∴∠AOH＝∠BOH＝60°，∴AH＝OA sin∠AOH＝4×＝2，则AB＝2AH＝4；故答案为4；（2）如图2，连接AC，过点D作DE⊥AC于点E，过点B作BF⊥AC于点F，∵四边形ABCD的面积S＝AC×DE AC×BF＝AC×（DE+BF），∴当D、E、F、B四点共线且为直径时，四边形ABCD的面积S最大；∵∠ABC＝120°，∴∠ADC＝60°，∴∠AOC＝120°，在△AOC中，由（1）知，AC＝2×OA sin60°＝2×6×＝6，∴四边形ABCD的面积S的最大值为：×AC×BD＝6×12＝36，故四边形ABCD的面积的最大值为36；（3）如图3，过点D作DK⊥AB于点K，连接CD，在△ADM中，DK＝AD•sin A＝1×＝，同理AK＝，则KM＝AM﹣AK＝2﹣＝，则tan∠DMK＝＝∴∠DMK＝30°，故△ADM为直角三角形，同理△CMB为直角三角形，在Rt△ADM中，DM＝＝＝，∴∠DMC＝180°﹣∠DMA﹣∠CMB＝60°∵AD＝BM，AM＝BC，∠A＝∠B＝60°，∴Rt△ADM≌Rt△BMC（SAS），∴DM＝CM，∴△CDM为等边三角形；设所在的圆的圆心为R，连接DR、CR、MR，∵DM＝CM，RM＝RM，DR＝CR，∴△DRM≌△CRM（SSS），∴∠DMR＝∠CMR＝∠DMC＝30°，在△DMR中，DR＝1，∠DMR＝30°，DM＝＝CM，过点R作RH⊥DM于点H，则RM＝＝＝1＝RD，故D、P、C、M四点共圆，∴∠DPC＝120°，如图4，连接MP，在PM上取PP′＝PC，∵△CDM为等边三角形，∴∠CDM＝60°＝∠CPM，∴△P′PC为等边三角形，则PP′＝P′C＝PC，∵∠PMC＝∠PDC，∠CP′M＝180°﹣∠PP′C＝120°＝∠DPC，CD＝CM，∴△PDC≌△P′MC（AAS），∴PD＝P′M，∴PD+PC＝PP′+PD＝PP′+P′M＝PM，故当PM是直径时，PD+PC最大值为2；∵四边形DMCP的周长＝DM+CM+PC+PD＝2+PD+PC，而PD+PC最大值为2；故四边形DMCP的周长的最大值为：2+2，即四条慢跑道总长度（即四边形DMCP的周长）最大为2+2．7．（1）证明：∵OQ∥AP，∴∠EOC＝∠OAP，∠POQ＝∠APO，又∵OP＝OA，∴∠APO＝∠OAP，又∵∠BOQ＝∠EOA＝∠OAP，∴∠POQ＝∠BOQ，在△BOQ与△POQ中，，∴△POQ≌△BOQ（SAS），∴∠OPQ＝∠OBQ＝90°，∵点P在⊙O上，∴PQ是⊙O的切线；（2）解：①∵△POQ≌△BOQ，∴∠OBQ＝∠OPQ＝90°，当∠BOP＝90°，四边形OPQB为矩形，而OB＝OP，则四边形OPQB为正方形，此时点C、点E与点O重合，PE＝PO＝AB＝2；②∵PE⊥AB，∴当OC＝AC，PC＝EC，四边形AEOP为菱形，∵OC＝OA＝1，∴PC＝＝＝，∴PE＝2PC＝2．故答案为：2；2．8．解：（1）∵AB是⊙O的直径，DA为⊙O的切线，切点为A，∴DA⊥AB，∴∠DAB＝90°，∵DC为⊙O的切线，切点为C，∴DC＝DA，∵CD∥AB，∴∠D+∠DAB＝180°，∴∠D＝90°，∴∠ACD＝∠DAC＝45°；（2）∵AB是⊙O的直径，DA为⊙O的切线，切点为A，∴DA⊥AB，∴∠DAB＝90°，∠DEA＝∠EAB，∴∠ADC＝90°，∵∠EAD＝30°，∴∠DEA＝60°，∴∠EAB＝60°，∴∠BCE＝120°，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∴∠ACD＝30°，∴∠DAC＝60°．9．解：（Ⅰ）如图①，连接OC，BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵DC与⊙O相切，∴∠OCD＝90°，∵OB＝BD，∴BC＝OD＝OB＝BD，∴BC＝OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝∠COB＝60°，∴∠BCD＝∠OCA＝30°，∴∠D＝∠A＝30°；（Ⅱ）如图②，连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵AF⊥CD，∴∠AFC＝90°，∵∠ACF是圆内接四边形ACEB的外角，∴∠ACF＝∠ABE，∴∠FAC＝∠EAB＝18°，答：∠FAC的大小为18°．10．解：（1）连接OM，∵PE为⊙O的切线，∴OM⊥PC，∵AC⊥PC，∴OM∥AC，∴∠CAM＝∠AMO，∵OA＝OM，∠OAM＝∠AMO，∴∠CAM＝∠OAM，即AM平分∠CAB；（2）∵∠APE＝30°，∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°，∵AB＝4，∴OB＝2，∴的长为＝．11．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CA切⊙O于A，∴∠C+∠AOC＝90°；又∵OC⊥AD，∴∠OFA＝90°，∴∠AOC+∠BAD＝90°，∴∠C＝∠BAD．又∵∠BED＝∠BAD，∴∠C＝∠BED．（2）解：由（1）知∠C＝∠BAD，tan∠BED＝，∴tan∠C＝，∴tan∠C＝＝，且OA＝AB＝6，∴，解得AC＝8，∴＝10，∵OC•AF＝OA•AC，∴．∴＝＝．12．（1）证明：∵PA与⊙O相切于点P，∴BP⊥AP∴∠OPD+∠DPA＝90°，∠OAP+∠AOP＝90°∵∠OAP＝∠DPA．∴∠OPD＝∠AOP∴OD＝PD∵PO＝OD∴PO＝PD．（2）连接PC，∵PB为⊙O的直径∴∠BCP＝90°∵PO＝PD＝OD∴∠AOP＝60°设⊙O的半径为x，则PB＝2x，＝tan60°∴PA＝x∴AB＝＝x∵∠BPA＝∠BCP＝90°，∠B＝∠B∴△BAP∽△BPC∴＝∵AC＝∴＝∴7x﹣＝4x∴x＝∴⊙O的半径为．13．证明：（1）连接OC，（1）证明：连接OC∵CF是⊙O的切线，∴OC⊥CF，∴∠OCF＝90°，∴∠OCB+∠DCF＝90°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵PD⊥AB，∴∠BPD＝90°，∴∠OBC+∠BDP＝90°，∴∠BDP＝∠DCF，∵∠BDP＝∠CDF，∴∠DCF＝∠CDF，∴FC＝FD；（2）如图2，连接OC，OE，BE，CE，①以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形．理由如下：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∵点E是的中点，∴∠BOE＝∠COE＝60°，∵OB＝OE＝OC，∴△BOE，△OCE均为等边三角形，∴OB＝BE＝CE＝OC∴四边形BOCE是菱形；②∵，∴设AC＝3k，BC＝4k（k＞0），由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，即（3k）2+（4k）2＝302，解得k＝6，∴AC＝18，BC＝24，∵点E是的中点，∴OE⊥BC，BH＝CH＝12，＝OE×BH＝OB×PE，即15×12＝15PE，解得：PE＝12，∴S△OBE由勾股定理得OP＝＝＝9．故答案为：9．14．解：（1）过点E作EH⊥AF于H，连接OA、OE、OH，如图1所示：∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝＝6，设运动时间为t，则AE＝5t，AF＝8t，∵∠AHE＝∠ACB＝90°，∠EAH＝∠BAC，∴△EAH∽△BAC，∴＝，即：＝，∴AH＝4t，∴FH＝AF﹣AH＝8t﹣4t＝4t，∴AH＝FH，∵EH⊥AF，∴△AEF是等腰三角形，∴E为的中点，∠EAF＝∠EFA，∵AH＝FH，∴OH⊥AC，∴E、H、O三点共线，∴∠OAF+∠AOE＝90°，∵AB平分∠DAM，∴∠DAE＝∠EAF＝∠EFA，∵∠AOE＝2∠EFA，∴∠AOE＝∠DAE+∠EAF＝∠DAF，∴∠DAF+∠OAF＝90°＝∠DAO，即OA⊥AD，∵OA为⊙O的半径，∴AD与⊙O相切；故答案为：等腰三角形，相切；（2）连接OA、OF、OE，OE于AC交于H，如图2所示：由（1）知：EH⊥AC，∵EN与⊙O相切，∴∠OEN＝90°，∵∠ACB＝90°，∴四边形EHCN为矩形，∴EH＝NC，在Rt△AHE中，EH＝＝＝3t，∴NC＝3t，∵点N为BC的中点，∴BC＝2NC＝6t，∵BC＝6，∴6t＝6，∴t＝1，∴AH＝4，EH＝3，设⊙O的半径为x，则OH＝x﹣3，在Rt△AOH中，由勾股定理得：OA2＝OH2+AH2，即x2＝（x﹣3）2+42，解得：x＝，∴⊙O的半径为，∴OH＝，∴tan∠AOH＝＝，∴∠AOH＝74°，∵∠AOH＝60°时，△AOE是等边三角形，AE＝OA，74°＞60°，∴AE＞OA，∴劣弧长度的大于半径；（3）当点E运动到B点时，t＝10÷5＝2，∴AF＝2×8＝16，AE＝EF＝AB＝10，此时△AEF的内心记为G，当A、E、F重合时，内心为A点，∴△AEF的内心运动的路径长为AG，作GP⊥AE于P，GQ⊥EF于Q，连接AG、GF，则CG＝PG＝NQ，如图3所示：S△AEF＝AF•BC＝×16×6＝48，设CG＝PG＝NQ＝a，则S△AEF ＝S△AGF+S△AEB+S△FEG＝AF•CG+AE•PG+EF•NQ＝×（16+10+10）a＝48，解得：a＝，在Rt△AGC中，AC2+CG2＝AG2，即82+（）2＝AG，∴AG＝，故答案为：；（4）分别讨论两种极限位置，①当EN与⊙O相切时，由（2）知，t＝1；②当N在⊙O上，即ON为⊙O的半径，连接OA、ON、OE，OE交AC于H，过点O作OK⊥BC于K，如图4所示：则四边形OKCH为矩形，OA＝OE＝ON，∴OH＝CK，AH＝4t，EH＝3t，设⊙O的半径为x，则在Rt△AOH中，AH2+OH2＝OA2，即（4t）2+（x﹣3t）2＝x2，解得：x＝t，∴OH＝CK＝t﹣3t＝t，在Rt△OKN中，OK2+KN2＝ON2，即（8﹣4t）2+（3+t）2＝（t）2，解得：t＝，∴线段EN与⊙O有两个公共点时，t的取值范围为：1＜t≤，故答案为：1＜t≤．15．解：（1）连接OE，则∠OCE＝∠OEC＝α，∵FE＝FG，∴∠FGE＝∠FEG＝β，∵H是AB的中点，∴CH⊥AB，∴∠GCH+∠CGH＝α+β＝90°，∴∠FEO＝∠FEG+∠CEO＝α+β＝90°，∴EF是⊙O的切线；（2）∵CH⊥AB，∴＝∴∠CBA＝∠CEB，∵EF∥BC，∴∠CBA＝∠F，故∠F＝∠CEB，∴∠FBE＝∠GBE，∴△FEB∽△EGB，∴BE2＝BG•BF；（3）如图2，过点F作FR⊥CE于点R，设∠CBA＝∠CEB＝∠GFE＝γ，则tanγ＝，∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠BCG＝β，故△BCG为等腰三角形，则BG＝BC＝5，在Rt△BCH中，BC＝5，tan∠CBH＝tanγ＝，则sinγ＝，cosγ＝，CH＝BC sinγ＝5×＝3，同理HB＝4；设圆的半径为r，则OB2＝OH2+BH2，即r2＝（r﹣3）2+（4）2，解得：r＝；GH＝BG﹣BH＝5﹣4＝，tan∠GCH＝＝＝，则cos∠GCH＝，则tan∠CGH＝3＝tanβ，则cosβ＝，连接DE，则∠CED＝90°，在Rt△CDE中cos∠GCH＝＝＝，解得：CE＝，在△FEG中，cosβ＝＝＝，解得：FG＝；∵FH＝FG+GH＝，∴HM＝FH tan∠F＝×＝；∵CM＝HM+CH＝，∴MD＝CM﹣CD＝CM﹣2r＝．16．（1）证明：连接OD、BD，∵AB为圆O的直径，∴∠BDA＝90°，∴∠BDC＝180°﹣90°＝90°，∵E为BC的中点，∴DE＝BC＝BE，∴∠EBD＝∠EDB，∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB，∵∠EBD+∠DBO＝90°，∴∠EDB+∠ODB＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE是圆O的切线．（2）证明：如图，连接BD．由（1）知，∠ODE＝∠ADB＝90°，BD⊥AC．∵E是BC的中点，O是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，∴OE⊥BD．∴OE∥AC，∴∠1＝∠2．又∵∠1＝∠A，∴∠A＝∠2．即在△ADB与△ODE中，∠ADB＝∠ODE，∠A＝∠2，∴△ADB∽△ODE．∴＝，即＝．∴r2＝AD•OE；（3）∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∵点E为BC的中点，∴BC＝2DE＝8，∵sin C＝，∴设AB＝3x，AC＝5x，根据勾股定理得：（3x）2+82＝（5x）2，解得x＝2．则AC＝10．由切割线定理可知：82＝（10﹣AD）×10，解得，AD＝3.6．17．解：（1）如答图1，当CD⊥AB或点D是AB的中点是，CD2＝AD•BD；（2）作AE⊥BC于点E，由，可设AE＝4x，则BE＝3x，CE＝6x，∴BC＝9x＝9，∴x＝1，∴BE＝3，CE＝6，AE＝4，设DE＝a，①如答图2，若点D在点E左侧，由点D是BC边上的“好点”知，AD2＝BD•CD，∴a2+42＝（3﹣a）（6+a），即2a2+3a﹣2＝0，解得，a＝﹣2（舍去），2∴．②如答图3，若点D在点E右侧，由点D是BC边上的“好点”知，AD2＝BD•CD，∴a2+42＝（3+a）（6﹣a），即2a2﹣3a﹣2＝0，＝2，（舍去）解得a1∴BD＝3+a＝3+2＝5．∴或5．（5）①∵∠CHA＝∠BHD，∠ACH＝∠DBH∴△AHC∽△DHB，∴，即AH•BH＝CH•DH，∵OH⊥AB，∴AH＝BH，∴BH2＝CH•DH∴点H是△BCD中CD边上的“好点”．②．理由如下：如答图4，连接AD，BD，∵∠ABD＝90°，∴AD是直径，∴AD＝18．又∵OH⊥AB，∴OH∥BD．∵点O是线段AD的中点，∴OH是△ABD的中位线，∴BD＝2OH＝12．在直角△ABD中，由勾股定理知：AB＝＝＝6．∴由垂径定理得到：BH＝AB＝3．在直角△BDH中，由勾股定理知：DH＝＝＝3．又由①知，BH2＝CH•DH，即45＝3CH，则CH＝．∴＝＝，即．18．解：（1）如图，连接AN，∵AC为直径，∴AN⊥BC，∵AB＝AC，∴AN平分∠BAC，∵PC是圆的切线，∴∠ACP＝90°，∵∠NAC+∠ACB＝∠PCB+∠ACB＝90°，∴∠NAC＝∠BCP，即∠BAC＝2∠BCP；（2）由（1）知，AN平分∠BAC，则∠NAC＝∠BCP，故sin∠NAC＝sin∠BCP＝，则tan∠NAC＝，在Rt△NAC中，AC＝5，NC＝AC•sin∠NAC＝5×＝，同理AN＝2，则BC＝2NC＝2；S＝×BC•AN＝2×2＝10，△ABC设△ABC内切圆的半径为r，则S＝（AB+AC+BC）•r＝×（5+5+2）＝10，△ABC解得：r＝；故△ABC内切圆的半径为；（3）在△ABC中，设AC边长的高为h，则S＝AC•h＝×5×h＝10，解得：h＝4，△ABCsin∠BAC＝＝，在Rt△ACP中，∵sin∠BAC＝＝，设PC＝4m，则AP＝5m，则AC＝3m＝5，解得m＝，△ACP的周长＝3m+4m+5m＝12m＝20．19．（1）证明：如图1，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC+∠DCA＝90°．∵＝，∴∠ABD＝∠DCA，∵∠FAD＝∠ABD，∴∠FAD＝∠DCA，∴∠FAD+∠DCA＝90°，∴CA⊥AF，∴AF为⊙O的切线．（2）证明：如图2，连接OD，∵＝，∴∠ABD＝∠AOD，∵＝，∴∠DBC＝∠DOC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠DOA＝∠DOC，∴DA＝DC．（3）如图3，连接OD交CF于M，作EP⊥AD于P，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°．∵DA＝DC，∴DO⊥AC，∴∠FAC＝∠DOC＝90°，∴AF∥OM，∵AO＝OC，∴OM＝AF．∵∠ODE+∠DEO＝90°，∠OCM+∠DEO＝90°．∴∠ODE＝∠OCM．∵∠DOE＝∠COM，OD＝OC，∴∴△ODE≌△OCM，∴OE＝OM，设OM＝m，∴AE＝2﹣m，AP＝PE＝2﹣m，DP＝2+m，∵∠AED+∠AEN＝135°，∠AED+∠ADE＝135°，∴∠AEN＝∠ADE，∵∠EAN＝∠DPE，∴△EAN∽△DPE，∴＝，∴＝，∴m＝，∴AN＝，AE＝，∴勾股定理得NE＝．20．（1）证明：连接OF，∵AB与⊙O相切于点F，∴OF⊥AB，∵∠ACB＝90°，OC＝OF，∴∠OAF＝∠OAC，即AO是△ABC的角平分线；（2）如图2，连接CE，∵ED是⊙O的直径，∴∠ECD＝90°，∴∠ECO+∠OCD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠ECO＝90°，∴∠ACE＝∠OCD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠ACE＝∠ODC，∵∠CAE＝∠CAE，∴△ACE∽△ADC，∴，∵tan∠D＝，∴，∴；（3）由（2）可知：＝，∴设AE＝x，AC＝2x，∵△ACE∽△ADC，∴，∴AC2＝AE•AD，∴（2x）2＝x（x+6），解得：x＝2或x＝0（不合题意，舍去），∴AE＝2，AC＝4，∴AO＝AE+OE＝2+3＝5，如图3，连接CF交AD于点G，∵AC，AF是⊙O的切线，∴AC＝AF，∠CAO＝∠OAF，∴CF⊥AO，∴∠ACO＝∠CGO＝90°，∵∠COG＝∠AOC，∴△CGO∽△ACO，∴，∴OC2＝OG•OA，∴OG＝，∴CG＝＝＝，∴CF＝2CG＝．。
2020年九年级数学中考《圆》综合专题复习试题(含答案)
1 ∵AH＝2AC＝ 3，
AH ∴OA＝sin60°＝2. ∴⊙O 半径的长为 2. (2)证明：在 BM 上截取 BE＝BC，连接 CE， ∵∠ABC＝120°，BM 平分∠ABC， ∴∠MBA＝∠MBC＝60°. ∵BE＝BC， ∴△EBC 是等边三角形．
∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°. ∴∠BCD＋∠DCE＝60°. ∵∠ACM＝∠ABM＝60°，∴∠ECM＋∠DCE＝60°. ∴∠ECM＝∠BCD. ∵∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°. ∴△ACM 是等边三角形．∴AC＝CM. ∴△ACB≌△MCE(SAS)．∴AB＝ME. ∵ME＋EB＝BM， ∴AB＋BC＝BM.
基础题组
1．(2019·保定一模)已知⊙O 的半径 OA 长为 2，若 OB＝ 3，则可以得到的正确图形可
能是(A)
2．(2019·广州)平面内，⊙O 的半径为 1，点 P 到 O 的距离为 2，过点 P 可作⊙O 的切线条
数为(C)
A．0 条
B．1 条
C．2 条
D．无数条
3．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点 A 为圆心作圆．如果⊙A 与线
则∠D＝27°．
基础题组
1．(2019·柳州)如图，A，B，C，D 是⊙O 上的点，则图中与∠A 相等的角是(D)
A．∠B
B．∠C
C．∠DEB
D．∠D
A︵B
A︵B
2．(2019·吉林)如图，在⊙O 中， 所对的圆周角∠ACB＝50°.若 P 为 上一点，
∠AOP＝55°，则∠POB 的度数为(B)
A．30°
3 切，连接 OC，则 tan∠OCB＝ 5 ．
2019-2020学年人教版九年级数学上学期同步测试专题24-1：圆的有关性质(含解析)
专题24.1圆的有关性质（测试）一、单选题1．下列各角中，是圆心角的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】顶点在圆心，两边和圆相交的角是圆心角，选项D 中，是圆心角， 故选D ．2．一个周长是l 的半圆，它的半径是（ ） A ．l π÷ B ．2l π÷C ．()2l π÷+D ．()1l π÷+【答案】C 【解析】半圆的周长为半径的π倍加上半径的2倍，所以一个周长是l 的半圆，它的半径是()2l π÷+，所以选C. 3．如图，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，BC ，且10AB =，8AC =，则BD 的长为（ ）A ．B ．4C ．D ．4.8【答案】C【解析】∵AB 为直径， ∴90ACB ︒∠=，∴6BC =， ∵OD AC ⊥， ∴142CD AD AC ===，故选C ． 4．如图，AB 是O 的弦，OC AB ⊥交O 于点C ，点D 是O 上一点，30ADC ∠=︒，则BOC ∠的度数为（ ）．A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【答案】D【解析】解：如图，∵30ADC ∠=︒， ∴260AOC ADC ∠=∠=︒． ∵AB 是O 的弦，OC AB ⊥交O 于点C ，∴AC BC =．∴60AOC BOC ∠=∠=︒． 故选：D ．.5．如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器，它的监控角度是65°．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器（ ）台．A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】设需要安装n （n 是正整数）台同样的监控器，由题意，得：65°×2×n ≥360°， 解得n ≥3613，∴至少要安装3台这样的监控器，才能监控整个展厅．故选：A ．且10CD m =，则这段弯路所在圆的半径为（ ）A ．25mB ．24mC ．30mD ．60m【答案】A 【解析】解：OC AB ⊥，20AD DB m ∴==，在Rt AOD ∆中，222OA OD AD =+， 设半径为r 得：()2221020r r =-+， 解得：25r m =，∴这段弯路的半径为25m故选：A ．7．若AB 和CD 的度数相等，则下列命题中正确的是（ ） A ．AB =CDB ．AB 和CD 的长度相等C ．AB 所对的弦和CD 所对的弦相等D ．AB 所对的圆心角与CD 所对的圆心角相等 【答案】D【解析】如图，AB 与CD 的度数相等，A 、根据度数相等，不能推出弧相等，故本选项错误；B 、根据度数相等，不能推出两弧的长度相等，故本选项错误；C 、根据度数相等，不能推出所对应的弦相等，故本选项错误；D 、根据度数相等，能推出弧所对的两个圆心角相等，故本选项正确；8．如图，C、D为半圆上三等分点，则下列说法：①AD=CD=BC；②∠AOD＝∠DOC＝∠BOC；③AD ＝CD＝OC；④△AOD沿OD翻折与△COD重合．正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】A【解析】∵C、D为半圆上三等分点，∴»»»AD CD BC==，故①正确，∵在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相，∴AD＝CD＝OC，∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，故②③正确，∵OA=OD=OC=OB，∴△AOD≌△COD≌△COB，且都是等边三角形，∴△AOD沿OD翻折与△COD重合．故④正确，∴正确的说法有：①②③④共4个，故选A．9．下列说法：①优弧一定比劣弧长；②面积相等的两个圆是等圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内的一个定点可以作无数条弦；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径．其中不正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】解：在同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长，所以①错误；面积相等的两个圆半径相等，则它们是等圆，所以②正确；能完全重合的弧是等弧，所以③错误；经过圆内一个定点可以作无数条弦，所以④正确；经过圆内一定点可以作无数条直径或一条直径，所以⑤错误．10．如图所示，AB 是半圆O 的直径。
人教版数学九年级2020年中考同步训练：《圆的选择题》(含答案)
人教版数学九年级2020年中考同步训练：《圆的选择题》1．将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝5，则BC的长是（）A．3B．8 C．D．22．如图，已知圆O的圆心在原点，半径OA＝1（单位圆），设∠AOP＝∠α，其始边OA与x 轴重合，终边与圆O交于点P，设P点的坐标P（x，y），圆O的切线AT交OP于点T，且AT＝m，则下列结论中错误的是（）A．sinα＝y B．cosα＝xC．tanα＝m D．x与y成反比例3．如图，Rt△ABC的斜边BC＝4，∠ABC＝30°，以AB、AC为直径分别作圆．则这两圆的公共部分面积为（）A．+B．﹣C．﹣D．﹣4．如图，在圆O上依次有A．B，C三点，BO的延长线交圆O于E，＝，点C作CD ∥AB交BE的延长线于D，AD交圆O于点F，连接OA，OF，若∠AOF＝3∠FOE，且AF＝2，劣弧CF的长是（）A．πB．πC．πD．π5．如图，正方形ABCD中，⊙O过点A，B交边AD于点E，连结CE交⊙O于点F，连结AF，若tan∠AFE＝，则的值为（）A．1 B．C．D．6．如图，点O为正六边形的中心，P，Q分别从点A（1，0）同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第2020次相遇地点的坐标为（）A．B．（1，0）C．D．（﹣1，0）7．如图，在圆内接五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝CD＝DE，且∠D＝100°，连接AC和EC．则∠ACE的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．48°8．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝78°，则∠EAC的度数为（）A．22°B．24°C．27°D．30°9．如图，在平面直角坐标系中．点A的坐标是（20，0），点B的坐标是（16，0），点C，D在以OA为直径的半圆M上，四边形OCDB是平行四边形．则点C的坐标为（）A．（1，7）B．（2，6）C．（2，7）D．（1，6）10．如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连结AC，BD相交于点P，连结AD，OD．已知OD⊥AC于点E，AB＝2．下列结论：①AD2+BC2＝4；②sin∠DAC＝；③若AC＝BD，则DE＝OE；④若点P为BD的中点，则DE＝2OE．其中确的是（）A．①②③B．②③④C．③④D．②④11．如图，圆心为M的量角器的直径的两个端点A，B分别在x轴，y轴正半轴上（包括原点O），AB＝4．点P，Q分别在量角器60°，120°刻度线外端，连结MP．量角器从点A 与点Q重合滑动至点Q与点O重合的过程中，线段MP扫过的面积为（）A．π+B．πC．π+2D．312．如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC．直径AD交BC于点E，F是AE的中点，连结CF，若AD＝6．则CF的最大值为（）A．6 B．5 C．4 D．313．如图，△ABC内接于⊙O，将沿BC翻折，交AC于点D，连接BD，若∠BAC＝66°，则∠ABD的度数是（）A．66°B．44°C．46°D．48°14．如图，半径为3的⊙O与五边形ABCDE的边相切于点A，C，连接OA交BC于点H，连接OB，AB．若∠D+∠E＝240°，HC＝3BH，则△ABO的面积为（）A．3B．C．D．215．如图，点A，B，C是⊙O上三点，AC＝BC，点M为⊙O上一点，CE⊥AM，垂足为点E，AE＝2，BM＝，CM＝，则的长为（）A．πB．πC．πD．π16．如图，在△ABC中，∠C＝40°，∠A＝60°．以B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB，BC于点D，E；分别以D，E为圆心，大于DE长度为半径作弧，两弧交于点F；作射线BP，交AC于点P，过点P作PM⊥AB于M；以P为圆心，PM的长为半径作⊙P．则下列结论中，错误的是（）A．∠PBA＝40°B．PC＝PBC．PM＝MB D．⊙P与△ABC有4个公共点17．如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4，以BC的中点O为圆心作圆，分别与AB、AC相切于D、E两点，则的长是（）A．πB．πC．πD．318．如图，在边长为8的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是（）A．18﹣3πB．18﹣πC．32﹣16πD．18﹣9π19．如图，5×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，设经过图中格点A，C，B三点的圆弧与AE交于H，则弧AH的弧长为（）A．πB．πC．πD．π20．如图，△ACD内接于⊙O，AB是⊙O的切线，∠C＝45°，∠B＝30°．AD＝4，则AB长为（）A．4 B．C．D．参考答案1．解：连接CA、CD；根据折叠的性质，知所对的圆周角等于∠CBD，又∵所对的圆周角是∠CBA，∵∠CBD＝∠CBA，∴AC＝CD（相等的圆周角所对的弦相等）；∴△CAD是等腰三角形；过C作CE⊥AB于E．∵AD＝4，则AE＝DE＝2；∴BE＝BD+DE＝7；在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得：BC2＝BE•AB＝7×9＝63；故BC＝3．故选：A．2．解：如图，过点P作PH⊥OA于H，由题意知，OA＝OP＝1，OH＝x，PH＝y，由切线的性质定理可知AT⊥OA，在Rt△POH中，∠AOP＝∠α，∴sinα＝＝＝y，cosα＝＝＝x，故A，B正确；在Rt△TOA中，tanα＝＝＝m，故C正确，在Rt△POH中，OH2+PH2＝OP2，∴x2+y2＝1，故D错误；故选：D．3．解：如图，设点E是两圆的公共点，连接AE，取AC，AB的中点G，H．在Rt△ABC中，∵∠CAB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝4，∴AC＝2，AB＝2，∠C＝60°，∴∠AHE＝60°，∠AGE＝120°，∴S阴＝S扇形HAE﹣S△AEH+S扇形GEA﹣S△AEG＝﹣×（）2+﹣×1×＝﹣，故选：C．4．解：∵＝，∴∠CBD＝∠ABD，∵CD∥AB，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB，∴CB＝CD，∵BE是⊙O的直径，∴＝，∴AB＝BC＝CD，∵CD∥AB，∴四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD，∵∠AOF＝3∠FOE，设∠FOE＝x，则∠AOF＝3x，∠AOD＝∠FOE+∠AOF＝4x，∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA＝（180﹣3x）°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝2x，∴∠ABC＝4x，∵BC∥AD，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∴4x+2x+（180﹣3x）＝180，解得：x＝20°，∴∠AOF＝3x＝60°，∠AOE＝80°，∴∠COF＝80°×2﹣60°＝100°，∵OA＝OF，∴△AOF是等边三角形，∴OF＝AF＝2，∴的长＝＝π，故选：C．5．解：如图，设⊙O交BC于J，连接AJ，JF，EJ，过点F作FM⊥AD于M交BC于N．设AB ＝3a．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BAD＝∠BCD＝90°，AD∥BC，AD＝AB＝BC＝CD＝3a，∴AJ是⊙O的直径，∴∠AFJ＝∠AEJ＝90°，∵FM⊥AD，AD∥CB，∴MN⊥BC，∴∠MNC＝∠BCD＝∠D＝90°，∴四边形MNCD是矩形，四边形ABJE是矩形，∴MN＝CD＝3a，AE＝BJ，∴＝，∴∠BAJ＝∠AFE，∴tan∠BAJ＝tan∠AFE＝，∴BJ＝AE＝a，JC＝2a，∵∠JAF＝∠JEC，∴tan∠JAF＝tan∠JEC，∴＝＝，∵∠AFM+∠JFN＝90°，∠JFN+∠FJN＝90°，∴∠AFM＝∠FJN，∵∠AMF＝∠FNJ＝90°，∴△AMF∽△FNJ，∴＝＝＝，设JN＝2x，则FM＝3x，∵AM＝AE+EM＝a+2x，∴FN＝AM＝（a+2x），∵FM+FN＝3a，∴3x+（a+2x）＝3a，∴9x+2a+4x＝9a，∴x＝a，∴CN＝2a﹣2x＝2a﹣a＝a，∵EM∥CN，∴＝＝＝，故选：B．6．解：∵A（1，0），O为正六边形的中心，∴OA＝AB＝1，连接OB，作BG⊥OA于点G，则AG＝OA＝，BG＝，∴B（，），∴C（﹣，），E（﹣，﹣），∵正六边形的边长＝1，∴正六边形的周长＝6，∵点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，∴第1次相遇需要的时间为：6÷（1+2）＝2（秒），此时点P的路程为1×2＝2，点的Q路程为2×2＝4，此时P，Q相遇地点的坐标在点C（﹣，），以此类推：第二次相遇地点在点E（﹣，﹣），第三次相遇地点在点A（1，0），…如此下去，∵2020÷3＝673…1，∴第2020次相遇地点在点C，C的坐标为（﹣，）．故选：A．7．解：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝（180°﹣100°）＝40°，∵BC＝CD，∴＝，∴∠BAC＝∠CED＝40°，∵∠EAC+∠EDC＝180°，∴∠EAC＝180°﹣100°＝80°，∴∠EAB＝∠EAC+∠BAC＝120°，∴∠ECB＝180°﹣∠EAB＝60°，∵AE＝AB，∴＝，∴∠ACE＝∠ACB＝∠ECB＝30°，故选：A．8．解：∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣78°）＝51°，∵AD∥BC，∴∠ACE＝∠DAC＝51°，∵四边形AECD是⊙O的内接四边形，∴∠AEC＝180°﹣78°＝102°，∴∠EAC＝180°﹣102°﹣51°＝27°，故选：C．9．解：如图，连接OD，AD，DM，作DF⊥OA于F．∵A（20，0），B（16，0），∴OA＝20，OB＝16，∴AB＝20﹣16＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥OB，CD＝OB＝16，OC＝BD，∴∠CDO＝∠DOA，∴＝，∴OC＝AD＝BD，∵DF⊥BA，∴BF＝FA＝2，∴OF＝18，∴在Rt△DMF中．DF＝＝＝6，∴D（18，6），C（2，6），故选：B．10．解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴AC2+BD2＝AB2＝4，∵AC＞AD，∴AD2+BC2＜4，故①错误，∵∠DAC＝∠CBD，∴sin∠DAC＝sin∠CBD＝，故②正确，∵AE⊥OE，假设DE＝EO，则AD＝AO＝OD，∴△ADO是等边三角形，显然不符合题意，故③错误，∵∠DEP＝∠BCP＝90°，DP＝PB，∠DPE＝∠BPC，∴△PDE≌△PBC（AAS），∴DE＝BC，∵OE∥BC，AO＝OB，∴AE＝EC，∴BC＝2OE，∴DE＝2OE，故④正确．故选：D．11．解：由题意可知，点M的运动轨迹是以O为圆心，2为半径，圆心角为60°的扇形，点P在第四象限内时，∠AOB是弧AP所对的圆周角，所以∠AOP＝30°，点P在第二象限内时，∠BOP是弧BP所对的圆周角，所以∠BOP＝60°，所以点P的运动路径是一条线段，当量角器从点A与O重合滑动至点Q与点O重合时，MP扫过的图形是如图所示的阴影部分，它是由两个边长为2的等边三角形与一个扇形组成，所以PM扫过的面积为：+2××22＝π+2，故选：C．12．解：∵F是AE的中点，∴设AF＝EF＝x，则AE＝2x，∴DE＝6﹣2x，∵AB＝AC，∴＝，∵AD为⊙O的直径，∴BC⊥AD，∠ABD＝90°∴BE＝CE，∠ABE+∠DBE＝∠DBE+∠D＝90°，∴∠ABE＝∠D，∵∠AEB＝∠DEB＝90°，∴△ABE∽△BDE，∴，∴BE2＝AE•DE＝2x（6﹣x），∴CE2＝2x（6﹣x），在Rt△CEF中，CF2＝EF2+CE2＝x2+2x（6﹣x）＝﹣3（x﹣2）2+36，∴当x＝2时，CF的最大值为6，故选：A．13．解：∵将沿BC翻折，交AC与点D，∴∠BAC+∠BDC＝180°，∵∠BAC＝66°，∴∠BDC＝114°，∴∠ADB＝180°﹣∠BDC＝66°，∴∠ABD＝180°﹣66°﹣66°＝48°，故选：D．14．解：连接OC，过点C，B分别作AO的垂线，垂足分别为M，N，∵半径为3的⊙O与五边形ABCDE的边相切于点A，C，∴∠OAE＝∠OCD＝90°，∵∠AOC+∠OCD+∠D+∠E+∠OAE＝540°，∠D+∠E＝240°，∴∠AOC＝120°，∴∠MOC＝180°﹣∠AOC＝60°，∵OC＝3，∴，∵CM⊥AO，BN⊥AO，∴CM∥BN，∴△HCM∽△HBN，∴，∴，∴，故选：C．15．解：在AE上截取AG＝BM，连接CG，∵AC＝BC，∠A＝∠B，∴△ACG≌△BCM（SAS），∴CG＝CM＝，∵AE＝2，AG＝BM＝，∴GE＝，∵CE⊥AM，∴CE＝＝＝2，∴tan∠A＝＝，∴∠A＝30°，∴∠COM＝60°，连接OM，CO，∵OC＝OM，∴△COM是等边三角形，∴OC＝，∴的长＝＝，故选：A．16．解：∵∠C＝40°，∠A＝60°，∴∠ABC＝80°，由题意得，BP平分∠ABC，∴∠ABP＝ABC＝40°，故选项A正确；∵∠PBC＝∠PBA＝ABC＝40°，∴∠C＝∠PBC，∴PC＝PB，故选项B正确；∵PM⊥AB，∴∠BMP＝90°，∴∠BPM＝50°，∴∠BPM≠∠MBP，∴PM≠BM，故C选项错误；∵点P在∠ABC的角平分线上，∴P到AB和BC的距离＝PM＝⊙P的半径，∴AB，BC与⊙P相切，∵PA＞PM，PC＞PM，∴⊙P与AC相交，∴⊙P与△ABC有4个公共点，故D选项正确，故选：C．17．解：连接OA，OE，OD，∵AB、AC与⊙O相切于D、E两点，∴∠OEC＝∠ODB＝∠AEO＝∠ADO＝90°，∵∠BAC＝60°，∴∠DOE＝120°，∵点O为BC的中点，∴OB＝OC，∵OE＝OD，∴Rt△OEC≌RtODB（HL），∴∠C＝∠B，∴AC＝AB＝4，AO⊥BC，∴∠CAO＝，∴AO＝AC＝2，∴OE＝AO＝，∴的长是＝π，故选：C．18．解：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴AD＝AB＝8，∠ADC＝180°﹣60°＝120°，∵DF是菱形的高，∴DF⊥AB，∴DF＝AD•sin60°＝8×＝4，∴图中阴影部分的面积＝菱形ABCD的面积﹣扇形DEG的面积＝8×4﹣＝32﹣16π．故选：C．19．解：连接EB，BH，AB，∵BE＝AB＝＝，AE＝＝，∴BE2+AB2＝AE2，∴∠ABE＝90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵∠ACB＝90°，∴AB是圆的直径，∴∠AHB＝90°，∴BH⊥AH，∴∠ABH＝∠BAH＝45°，∴弧AH所对的圆心角为90°，∴的长＝＝．故选：B．20．解：如图，连接OA、OD，∵∠C＝45°．∴∠AOD＝2∠C＝90°．又∵OA＝OD，AD＝4，∴AD2＝2OA2＝16，则OA＝2．又∵AB是⊙O的切线，∴∠OAB＝90°．∵∠B＝30°，OA＝2，∴AB＝OA＝2．故选：D．。
人教版数学九年级上册：24《圆》专题练习(附答案)
word版初中数学第二十四章《圆》专题练习目录专题1 与圆周角有关的辅助线作法 (1)专题2圆周角定理 (3)专题3 证明切线的两种常用方法 (4)专题4与切线长有关的教材变式 (5)专题5与圆的切线有关的计算与证明 (6)专题6 求阴影部分的面积 (8)专题1 与圆周角有关的辅助线作法类型1 构造同弧或等弧所对的圆周角或圆心角1．如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，∠AOC ＝140°，点B 是AC ︵的中点，则∠D 的度数是( )A ．70°B ．55°C ．35.5°D ．35°2．如图，点A ，B ，C ，D 分别是⊙O 上的四点，∠BAC ＝50°，BD 是直径，则∠DBC 的度数是( )A ．40°B ．50°C ．20°D ．35°3．如图，A ，B ，C ，D 四个点均在⊙O 上，∠AOD ＝50°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为( ) A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°4．如图，A ，B ，C 在⊙O 上，∠ACB ＝40°，点D 在ACB ︵上，M 为半径OD 上一点，则∠AMB 的度数不可能为( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．85°类型2 利用直径构造直角三角形5．如图，在⊙O 中，∠OAB ＝20°，则∠C 的度数为 ．6．如图，在⊙O 中，AB 为直径，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，AB ＝6，则BD ＝ ．7．如图，⊙A 过点O ，C ，D ，点C 的坐标为(3，0)，点B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连接BO ，BD ，已知∠OBD ＝30°，则⊙A 的半径等于 ．8．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD ⊥BC 于点D ，AC ＝5，DC ＝3，AB ＝42，则⊙O 的半径为 ．类型3 构造圆内接四边形9．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是()A．50° B．60°C．80° D．100°10．如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，⊙O的直径AB＝2 3.若∠ACD＝120°，则线段AD的长为．专题2 圆周角定理1．如图，四边形APBC 是圆内接四边形，延长BP 至E ，若∠EPA ＝∠CPA ，判断△ABC 的形状，并证明你的结论．2．如图，A ，P ，B ，C 是半径为8的⊙O 上的四点，且满足∠BAC ＝∠APC ＝60°. (1)求证：△ABC 是等边三角形； (2)求圆心O 到BC 的距离OD.3．如图，点A ，B ，C ，D 在同一个圆上，且C 点为一动点(点C 不在BAD ︵上，且不与点B ，D 重合)，∠ACB ＝∠ABD ＝45°.(1)求证：BD 是该圆的直径； (2)连接CD ，求证：2AC ＝BC ＋CD.专题3 证明切线的两种常用方法类型1 直线与圆有交点：连半径，证垂直 (一)借助角度转换证垂直1．如图，△ABC 内接于⊙O ，CD 是⊙O 的直径，AB 与CD 交于点E ，点P 是CD 延长线上的一点，AP ＝AC ，且∠B ＝2∠P.求证：PA 是⊙O 的切线．(二)利用平行证垂直2．如图，AB 是⊙O 的直径，点F ，C 是⊙O 上两点，且点C 为BF ︵的中点，连接AC ，AF ，过点C 作CD ⊥AF 交AF 延长线于点D.求证：CD 是⊙O 的切线．(三)利用全等证垂直3．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB 于点B ，连接OC 交⊙O 于点E ，弦AD ∥OC.求证： (1)DE ︵＝BE ︵； (2)CD 是⊙O 的切线．(四)利用勾股定理的逆定理证垂直4．(南充中考改编)如图，C 是⊙O 上一点，点P 在直径AB 的延长线上，⊙O 的半径为3，PB ＝2，PC ＝4.求证：PC 是⊙O 的切线．类型2 不确定直线与圆是否有交点：作垂直，证半径5．如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，腰AB 与⊙O 相切于点D ，OB 与⊙O 相交于点E.求证：AC 是⊙O 的切线．专题4 与切线长有关的教材变式1．如图，AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于点E ，F ，G ，若∠BOC ＝90°，求证：AB ∥CD.2．如图，⊙O的直径AB＝12 cm，AM和BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C 两点．设AD＝x，BC＝y，求y关于x的函数解析式．3．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，且AC＝13，AB＝12，∠ABC＝90°，则⊙O 的半径为．4．如图，△ABC的周长为18，其内切圆⊙O分别切三边于D，E，F三点，AF＝3，FC＝4，则BE＝．5．已知一个三角形的三边长分别为5，7，8，则其内切圆的半径为()A.32B.32C. 3 D．2 3专题5 与圆的切线有关的计算与证明1．如图，过⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA ，PB ，切点分别是A ，B ，OP 交⊙O 于点C ，点D 是优弧ABC ︵上不与点A ，点C 重合的一个动点，连接AD ，CD.若∠APB ＝80°，则∠ADC 的度数是( )A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°2．如图，将正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转30°，得正方形AB 1C 1D 1，B 1C 1交CD 于点E ，AB ＝3，则四边形AB 1ED 的内切圆半径为( )A.3＋12 B.3－32 C.3＋13 D.3－333．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，连接AC ，⊙P 和⊙Q 分别是△ABC 和△ADC 的内切圆，则PQ 的长是( )A.52B. 5C.52D ．2 24．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 为⊙O 的直径，点E 为△ABC 的内心，连接AE 并延长交⊙O 于点D ，连接BD 并延长至点F ，使得BD ＝DF ，连接CF ，BE.求证： (1)DB ＝DE ；(2)直线CF 为⊙O 的切线．5．如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.(1)求证：直线PB与⊙O相切；(2)PO的延长线与⊙O交于点E，若⊙O的半径为3，PC＝4.求弦CE的长．6.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠APB＝60°，连接PO并延长与⊙O交于C点，连接AC，BC.(1)求证：四边形ACBP是菱形；(2)若⊙O 的半径为1，求菱形ACBP 的面积．7．如图，⊙O 是边长为6的等边△ABC 的外接圆，点D 为BC ︵的中点，过点D 作DE ∥BC ，DE 交AC 的延长线于点E ，连接AD ，CD.(1)DE 与⊙O 的位置关系是相切； (2)求△ADC 的内切圆半径r.专题6 求阴影部分的面积类型1 直接利用公式求面积1．如图，从一块直径为2 m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为( ) A.π2 m 2 B.32π m 2 C ．π m 2 D ．2π m 2类型2 利用和差法求面积2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝23，以点B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交AB 于点D.若点D 为AB 的中点，则阴影部分的面积是( )A ．23－23πB ．43－23πC ．23－43π D.23π3．如图，在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，正方形CDEF 的顶点C 是AB ︵的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为22时，则阴影部分的面积为( )A ．2π－4B ．4π－8C ．2π－8D ．4π－44．如图，分别以五边形ABCDE 的顶点为圆心，以1为半径作五个圆，则图中阴影部分的面积之和为( )A.32π B ．3π C.72π D ．2π5．如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，点O ，B 的对应点分别为O ′，B ′，连接BB ′，则图中阴影部分的面积是( )A.2π3 B ．23－π3 C ．23－2π3 D ．43－2π36．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝12，点E 为BC 的中点，以CD 为直径作半圆CFD ，点F 为半圆的中点，连接AF ，EF ，图中阴影部分的面积是( )A ．18＋36πB ．24＋18πC ．18＋18πD ．12＋18π7．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＜AD ，∠D ＝30°，CD ＝4，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点E ，则阴影部分的面积为 ．8．如图，在Rt △ABC ，∠B ＝90°，∠C ＝30°，O 为AC 上一点，OA ＝2，以O 为圆心，以OA 为半径的圆与CB 相切于点E ，与AB 相交于点F ，连接OE ，OF ，则图中阴影部分的面积是 ．类型3 利用等积转化法求面积9．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝23，则阴影部分的面积为( )A ．2πB ．Π C.π3 D.2π310．如图，在正方形ABCD中，O为对角线交点，将扇形AOD绕点O顺时针旋转一定角度得到扇形EOF，则在旋转过程中图中阴影部分的面积()A．不变 B．由大变小C．由小变大 D．先由小变大，后由大变小11．如图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A，B，C，D，得到四边形ABCD.若AC ＝10 cm，∠BAC＝36°，则图中阴影部分的面积为()A．5π cm2 B．10π cm2 C．15π cm2 D．20π cm212．运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB＝10，CD ＝6，EF＝8.则图中阴影部分的面积是()A.252π B．10π C．24＋4π D．24＋5π13．如图，在△ACB中，∠BAC＝90°，AC＝2，AB＝3，现将△ACB绕点A逆时针旋转90°得到△AC1B1，则阴影部分的面积为．参考答案：专题1 与圆周角有关的辅助线作法1．D2．A3．D4．D5．110°__．67．1．829．D11．3．专题2 圆周角定理——教材P90T14的变式与应用1．解：△ABC是等腰三角形，理由：∵四边形APBC是圆内接四边形，∴∠EPA＝∠ACB.∵∠EPA＝∠CPA，∠CPA＝∠ABC，∴∠ACB＝∠ABC.∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．2．解：(1)证明：∵∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠APC＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°.∴△ABC是等边三角形．(2)连接OB ，OC.可得∠BOC ＝2∠BAC ＝2×60°＝120°. ∵OB ＝OC ，∴∠OBD ＝∠OCD ＝12×(180°－120°)＝30°.∵∠ODB ＝90°，∴OD ＝12OB ＝4.3．证明：(1)∵∠ACB ＝∠ADB ＝45°， ∠ABD ＝45°， ∴∠BAD ＝90°. ∴BD 是该圆的直径．(2)在CD 的延长线上截取DE ＝BC ，连接EA. ∵∠ABD ＝∠ADB ，∴AB ＝AD.∵∠ADE ＋∠ADC ＝180°，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∴∠ABC ＝∠ADE. 在△ABC 和△ADE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADE ，BC ＝DE ，∴△ABC ≌△ADE (SAS )． ∴∠BAC ＝∠DAE.∴∠BAC ＋∠CAD ＝∠DAE ＋∠CAD. ∴∠BAD ＝∠CAE ＝90°.∵∠ACD＝∠ABD＝45°，∴△CAE是等腰直角三角形．∴2AC＝CE.∴2AC＝DE＋CD＝BC＋CD.专题3 证明切线的两种常用方法1．证明：连接OA，AD.∵∠B＝2∠P，∠B＝∠ADC.∴∠ADC＝2∠P.又∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACP.∴∠ADC＝2∠ACP.∵CD为直径，∴∠DAC＝90°.∴∠ADC＝60°，∠ACD＝30°.∴△ADO为等边三角形．∴∠AOP＝60°.而∠P＝∠ACP＝30°，∴∠OAP＝90°.∴OA⊥PA.又∵AO为⊙O的半径，∴PA是⊙O的切线．2．证明：连接OC，∵CF ︵＝CB ︵，OA ＝OC ， ∴∠DAC ＝∠BAC ＝∠ACO. ∴AD ∥OC. ∵CD ⊥AF 于点D ， ∴∠DCO ＝90°. 又∵OC 为⊙O 的半径， ∴CD 为⊙O 的切线． 3．证明：(1)连接OD. ∵AD ∥OC ，∴∠DAO ＝∠COB ，∠ADO ＝∠DOC. 又∵OA ＝OD ，∴∠DAO ＝∠ADO. ∴∠COB ＝∠COD. ∴DE ︵＝BE ︵.(2)由(1)知∠DOE ＝∠BOE ， 在△COD 和△COB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧CO ＝CO ，∠DOC ＝∠BOC ，OD ＝OB ，∴△COD ≌△COB (SAS )． ∴∠CDO ＝∠B.又∵BC ⊥AB ，∴∠CDO ＝∠B ＝90°.∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线．4．证明：连接OC.∵⊙O的半径为3，∴OC＝OB＝3.又∵BP＝2，∴OP＝5.在△OCP中，OC2＋PC2＝32＋42＝52＝OP2，∴△OCP为直角三角形，∠OCP＝90°.∴OC⊥PC.∵C是⊙O上一点，∴PC为⊙O的切线．5．证明：连接OA，OD，作OF⊥AC于点F，垂足为F. ∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC.∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB.而OF⊥AC，∴OF＝OD.∴AC是⊙O的切线．专题4 与切线长有关的教材变式1．证明：∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＋∠OCB＝90°.又∵BE与BF为⊙O的切线，∴BO为∠EBF的平分线．∴∠OBE＝∠OBF.同理可得∠OCB＝∠OCG.∴∠OBE＋∠OCG＝90°.∴∠OBC＋∠OCB＋∠OBE＋∠OCG＝180°，即∠ABF＋∠DCF＝180°.∴AB∥CD.2．解：过点D作DF⊥BC于点F.∵AD，BC分别是⊙O的切线，∴∠OAD＝∠OBF＝90°.又∵DF⊥BC，∴四边形ABFD为矩形．∴DF＝AB＝12 cm，BF＝AD.∵AD，BC，DC分别为⊙O的切线，∴DE＝DA＝x，CE＝CB＝y.∴DC＝x＋y，CF＝y－x.在Rt △DCF 中，由勾股定理，得DC 2＝CF 2＋DF 2，即(x ＋y )2＝(y －x )2＋122，整理，得xy ＝36.∴y ＝36x. ∴y 关于x 的函数解析式y ＝36x(x>0)． 3．2．4．2．5．C专题5 与圆的切线有关的计算与证明1．C2．B3．B4．证明：(1)∵E 为△ABC 的内心，∴∠DAC ＝∠DAB ，∠CBE ＝∠EBA.又∵∠DBC ＝∠DAC ，∠DBE ＝∠DBC ＋∠CBE ，∠DEB ＝∠EAB ＋∠EBA ，∴∠DBE ＝∠DEB.∴DB ＝DE.(2)连接OD.∵BD ＝DF ，O 是BC 的中点，∴OD ∥CF.又∵BC 为⊙O 的直径，OB ＝OD ，∴∠ODB ＝∠DBO ＝∠DAC ＝45°.∴∠OCF ＝∠BOD ＝90°.∴OC ⊥CF.又∵OC 为⊙O 的半径，∴直线CF 为⊙O 的切线．5．解：(1)证明：过点O 作OD ⊥PB ，连接OC.∵AP 与⊙O 相切，∴OC ⊥AP.又∵OP 平分∠APB ，∴OD ＝OC.∴PB 是⊙O 的切线．(2)过点C 作CF ⊥PE 于点F.在Rt △OCP 中，OP ＝OC2＋CP2＝5.∵S △OCP ＝12OC ·CP ＝12OP ·CF ，∴CF ＝125. 在Rt △COF 中，OF ＝CO2－CF2＝95. ∴FE ＝3＋95＝245.在Rt △CFE 中，CE ＝CF2＋EF2＝1255. 6.解：(1)证明：连接AO ，BO.∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，PA ＝PB ，∠APO ＝∠BPO ＝12∠APB ＝30°. ∴∠AOP ＝60°.∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA.∴∠AOP ＝∠CAO ＋∠ACO.∴∠ACO ＝30°.∴∠ACO ＝∠APO.∴AC ＝AP.同理BC ＝PB ，∴AC ＝BC ＝BP ＝AP.∴四边形ACBP 是菱形．(2)连接AB 交PC 于点D ，则AD ⊥PC.在Rt △AOD 中，∠AOD ＝60°，∴∠OAD ＝30°.∴OD ＝12OA ＝12. ∴AD ＝OA2－OD2＝12－（12）2＝32.∴PA ＝2AD ＝3，AB ＝2AD ＝ 3.∴OP ＝OA2＋PA2＝2，PC ＝OP ＋OC ＝2＋1＝3.∴菱形ACBP 的面积为12AB ·PC ＝332. 7．解：∵D 为BC ︵的中点，∴BD ︵＝DC ︵.∴∠BAD ＝∠DAC ＝30°.又∵AB ＝AC ，∴AD 垂直平分BC.∴AD 为⊙O 的直径．∴∠ACD ＝90°.在Rt △ACD 中，∠DAC ＝30°，设DC ＝x ，则AD ＝2x.由勾股定理，得AD 2＝DC 2＋AC 2，即(2x )2＝x 2＋62.解得x ＝2 3.∴DC ＝23，AD ＝4 3.作Rt △ADC 的内切圆⊙O ′，分别切AD ，AC ，DC 于点F ，G ，H ，易知CG ＝CH ＝r ， ∴AG ＝AF ＝6－r ，DH ＝DF ＝23－r.∵AF ＋DF ＝AD ，∴6－r ＋23－r ＝4 3.∴r ＝3－ 3.专题6 求阴影部分的面积1．A2．A3．A4．C5．C6．C73823 9．D10．A11．B12．A13．94π．。
2020年九年级数学 中考第二轮专题训练 圆 (含答案)
2020年九年级数学中考第二轮专题训练圆1、已知：如图，⊙O的直径A B与弦C D相交于E，＝，⊙O的切线B F与弦A D的延长线相交于点F．（1）求证：C D∥B F．（2）连接B C，若⊙O 的半径为4，cos∠BCD ＝，求线段A D、C D的长．2、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．（1）判断D E与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；（2）如果⊙O的直径为9，cos B＝，求D E的长．3、如图，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，以A B为直径作⊙O，点D 为⊙O上一点，且C D＝C B，连接D O并延长交C B的延长线于点E．（1）判断直线C D与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若BE＝2，DE＝4，求圆的半径及A C的长．4、如图，BC 是⊙O的直径，CE 是⊙O的弦，过点E 作⊙O 的切线，交C B的延长线于点G，过点B作B F⊥G E于点F，交C E的延长线于点A．（1）求证：∠ABG＝2∠C；（2）若G F＝33，GB＝6，求⊙O的半径．5、如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，P是C D延长线上的点，且A P＝A C．（1）求证：A P是⊙O的切线；（2）若A C＝3，求P D 的长．6、如图，在矩形A B C D中，CD＝2，AD ＝4，点P在B C上，将△A B P沿A P折叠，点B 恰好落在对角线A C上的E点，O为A C上一点，⊙O经过点A，P（1）求证：BC 是⊙O的切线；（2）在边C B上截取C F＝C E，点F是线段B C的黄金分割点吗？请说明理由．7、已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，点O在A B上，以O为圆心，O A 长为半径的圆与A C，A B分别交于点D，E，且∠CB D＝∠A．（1）判断直线B D与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若B C＝2，B D＝，求的值．8、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF是⊙O的切线．（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．9、如图，在△A B C中，A B＝A C，以A B为直径的⊙O分别交B C、A C于点D、E，连接E B交O D于点F．（1）求证：O D⊥B E；（2）若D E＝，A B＝，求A E的长．10、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：直线D F是⊙O的切线；（2）求证：B C2＝4C F•A C；（3）若⊙O的半径为 4，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积．11、如图，A B是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为O D延长线上一点，且∠C A E＝2∠C，AC 与B D交于点H，与O E交于点F．（1）求证：AE 是⊙O的切线；（2）若DH＝9，tan C＝，求直径A B的长．12、已知Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，以A B为直径作⊙O交A C于点D，连接B D．（1）如图 1，若BD ：CD ＝3：4，AD ＝3，求⊙O的直径A B的长；（2）如图 2，若E是B C的中点，连接E D，请你判断直线E D与⊙O的位置关系，并证明你的结论．13、如图，△A B C内接于⊙O，A B为直径，作O D⊥A B交A C于点D，延长B C，O D交于点F，过点C作⊙O的切线C E，交O F于点E．（1）求证：E C＝E D；（2）如果OA＝4，EF＝3，求弦A C的长．14、以坐标原点为圆心，1 为半径的圆分别交x，y轴的正半轴于点A，B．（1）如图一，动点P从点A处出发，沿x轴向右匀速运动，与此同时，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动．若点Q的运动速度比点P的运动速度慢，经过 1 秒后点P运动到点（2，0），此时P Q 恰好是⊙O的切线，连接O Q．求∠Q O P的大小；（2）若点Q按照（1）中的方向和速度继续运动，点P停留在点（2，0）处不动，求点Q 再经过 5 秒后直线PQ被⊙O截得的弦长．15、如图，已知半径为 1 的⊙O1 与x轴交于A，B两点，O M 为⊙O1 的切线，切点为M，圆心O1的坐标为（2，0），二次函数y＝﹣x2+b x+c的图象经过A，B两点．（1）求二次函数的解析式；（2）求切线O M的函数解析式；（3）线段O M 上存在一点P，使得以P，O，A为顶点的三角形与△O O1M 相似．请问有几个符合条件的点P 并分别求出它们的坐标．16、（1）方法选择如图①，四边形A B C D是⊙O的内接四边形，连接A C，B D，A B＝B C＝A C．求证：B D＝A D+C D．小颖认为可用截长法证明：在D B上截取D M＝A D，连接A M…小军认为可用补短法证明：延长C D至点N，使得D N＝A D…请你选择一种方法证明．（2）类比探究【探究 1】如图②，四边形A B C D是⊙O的内接四边形，连接A C，B D，B C是⊙O的直径，A B＝A C．试用等式表示线段A D，B D，C D之间的数量关系，井证明你的结论．【探究 2】如图③，四边形A B C D是⊙O的内接四边形，连接A C，B D．若B C是⊙O的直径，∠ABC ＝30°，则线段A D，B D，C D之间的等量关系式是．（3）拓展猜想如图④，四边形A B C D是⊙O的内接四边形，连接A C，B D．若B C是⊙O的直径，B C：A C：A B＝a：b：c，则线段A D，B D，C D之间的等量关系式是．17、如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以B C上一点O为圆心作圆与A B相切于点D，与B C分别交于点F、N，连接D F并延长交A C的延长线点E．（1）求证：A E＝A D；（2）过点D作D H⊥B C于点B，连接A F并延长交⊙O于点G，连接D G，若D O平分∠G D H．求证：∠A F D＝2∠D F N；（3）在（2）的条件下，延长D G交A E的延长线于点P，连接P F并延长交⊙O于点M，若FM＝5，FH ＝9，求O H的长．参考答案1、（1）证明：∵直径A B平分，∴AB⊥CD．∵BF与⊙O相切，AB是⊙O的直径，∴A B⊥B F．∴C D∥B F．（2）解：连接BD，BC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．在Rt△ADB中，∵cos∠BAF＝c os∠BCD＝，AB＝4×2＝8．∴AD＝AB •c o s∠BAF＝8×＝6．∵AB⊥CD于E，在Rt△AED中，c os∠BAF＝c os∠BCD＝，sin∠BAF＝．∴DE＝AD •s i n∠BAF＝6×．∵直径A B平分，∴C D＝2D E＝3．2、解：（1）答：D E是⊙O的切线．证明：连接O D，A D，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，即A D⊥B C，∵O D＝O A，∴∠O D A＝∠O A D，∴∠O A D＝∠C A D，∴∠O D A＝∠C A D，又∵D E⊥A C，∴∠EDA+∠CAD＝90°，∴∠EDA+∠ODA＝90°，即：O D⊥D E，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△ADB中，∵cos∠B＝＝，AB＝9，∴B D＝C D＝3，在Rt△CDE中，∵cos∠C＝，∴CE＝CD•cos∠C＝3•cos∠B＝3×＝1，∴D E＝＝2．3、（1）证明：连接O C．∵CB＝CD，CO＝CO，OB＝OD，∴△O C B≌△O C D（S S S），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥DC，∴DC是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r．在Rt△O B E中，∵O E2＝E B2+O B2，∴（4﹣r）2＝r2+22，∴r＝1.5，∵tan∠E＝＝，∴＝，∴CD＝BC＝3，在Rt△ABC中，A C＝＝＝3．∴圆的半径为1.5，AC 的长为3．4、（1）证明：连接O E，∵EG是⊙O的切线，∴O E⊥E G，∵B F⊥G E，∴O E∥A B，∴∠A＝∠OEC，∵OE＝OC，∴∠O E C＝∠C，∴∠A＝∠C，∵∠ABG＝∠A+∠C，∴∠ABG＝2∠C；（2）解：∵BF⊥GE，∴∠BFG＝90°，∵GF＝3，GB＝6，∴B F＝＝3，∵BF∥OE，∴△B G F∽△O G E，∴＝，∴＝，∴OE＝6，∴⊙O的半径为 6．5、解：（1）证明：连接O A，∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，∵OA＝OC，∴∠ACP＝∠CAO＝30°，∴∠AOP＝60°，又∵A P＝A C，∴∠P＝∠ACP＝30°，∴∠OAP＝90°，即O A⊥A P，∵点A在⊙O上，∴AP是⊙O的切线．（2）解：连接A D，∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD＝90°，∴AD＝AC∙tan30°＝，C D＝2A D＝2，∴D O＝A O＝C D＝，在Rt△P A O中，由勾股定理得：P A2+A O2＝P O2，∴32+（）2＝（P D+）2，∵PD的值为正数，∴P D＝．6、解：（1）连接O P，则∠P A O＝∠A P O，而△A E P是由△A B P沿A P折叠而得：故A E＝A B＝4，∠O A P＝∠P A B，∴∠BAP＝∠OPA，∴AB∥OP，∴∠OPC＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）C F＝C E＝A C﹣A E＝﹣4＝2﹣2，＝，故：点F是线段B C的黄金分割点． 7、解：（1）直线B D与⊙O相切．证明：如图 1，连接O D．∵OA＝OD，∴∠A＝∠A D O．∵∠C＝90°，∴∠CBD +∠CDB＝90°．又∵∠C B D＝∠A，∴∠ADO+∠CDB＝90°．∴∠ODB＝90°．∴直线BD与⊙O相切．（2）解法一：如图 1，连接DE．∵∠C＝90°，BC＝2，BD＝∴．∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°．∴．∵∠CBD＝∠A，∴＝＝．∵AE＝2AO，∴＝．解法二：如图 2，过点O作OH⊥AD于点H．∴．∴∵∠C＝90°，BC＝2，BD＝∴．∵∠CBD＝∠A，∴＝＝．∴＝．8、（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACD＝90°，∵点F是ED的中点，∴CF＝EF＝DF，∴∠AEO＝∠FEC＝∠FCE，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵OD⊥AB，∴∠OAC+∠AEO＝90°，∴∠OCA+∠FCE＝90°，即OC⊥FC，∴CF与⊙O相切；（2）解：∵OD⊥AB，AC⊥BD，∴∠AOE＝∠ACD＝90°，∵∠AEO＝∠DEC，∴∠OAE＝∠CDE＝22.5°，∵A O＝B O，∴A D＝B D，∴∠ADO＝∠BDO＝22.5°，∴∠ADB＝45°，∴∠CAD＝∠ADC＝45°，∴AC＝CD．9、证明：（1）连接A D．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠AEB＝90°，∵A B＝A C，∴D C＝D B．∵O A＝O B，∴O D∥A C．∴∠OFB＝∠AEB＝90°，∴OD⊥BE．（2）设AE＝x，∵OD⊥BE，∴可得OD是BE的中垂线，∴DE＝DB，∴∠1＝∠2，∴B D＝E D＝，∵O D⊥E B，∴F E＝F B．∴O F＝A E＝，D F＝O D﹣O F＝．在Rt△DFB 中，；在Rt△OFB 中，；∴＝．解得，即．10、解：（1）如图所示，连接O D，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，而OB＝OD，∴∠ODB＝∠ABC＝∠C，∵DF⊥AC，∴∠CDF+∠C＝90°，∴∠CDF+∠ODB＝90°，∴∠ODF＝90°，∴直线DF是⊙O的切线；（2）连接A D，则A D⊥B C，则A B＝A C，则D B＝D C＝，∵∠CDF+∠C＝90°，∠C+∠DAC＝90°，∴∠CDF＝∠DCA，而∠D F C＝∠A D C＝90°，∴△C F D∽△C D A，∴C D2＝C F•A C，即B C2＝4C F•A C；（3）连接O E，∵∠CDF＝15°，∠C＝75°，∴∠OAE＝30°＝∠OEA，∴∠AOE＝120°，S△O A E＝A E×O E sin∠O E A＝×2×O E×cos∠O E A×O E sin∠O E A＝4，S ＝﹣S ＝×π×42﹣4 ＝﹣4 ．阴影部分S扇形OAE △OAE11、解：（1）∵D是的中点，∴OE⊥AC，∴∠AFE＝90°，∴∠E+∠EAF＝90°，∵∠AOE＝2∠C，∠CAE＝2∠C，∴∠CAE＝∠AOE，∴∠E+∠AOE＝90°，∴∠EAO＝90°，∴AE是⊙O的切线；（2）∵∠C＝∠B，∵OD＝OB，∴∠B＝∠O D B，∴∠O D B＝∠C，∴tan C＝tan∠ODB＝＝，∴设HF＝3x，DF＝4x，∴DH＝5x＝9，∴x＝，∴D F＝，H F＝，∵∠C＝∠FDH，∠DFH＝∠CFD，∴△D F H∽△C F D，∴＝，∴C F＝＝，∴A F＝C F＝，设O A＝O D＝x，∴O F＝x﹣，∵A F2+O F2＝O A2，∴（）2+（x﹣）2＝x2，解得：x＝10，∴OA＝10，∴直径AB的长为 20．12、解：（1）如图，∵A B是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．则∠CDB＝∠ADB＝90°．∴∠C+∠CBD＝90°．∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝90°．∴∠C＝∠A B D．∴△A D B∽△B D C．∴．∵BD：CD＝3：4，AD＝3，∴BD＝4．在Rt△A B D中，A B＝；（3 分）（2）直线E D与⊙O相切．证明：如图，连接O D．由（1）得∠BDC＝90°．∵E是BC的中点，∴D E＝B E＝B C，∴∠E D B＝∠E B D，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD．∵∠OBD+∠EBD＝90°，∴∠ODB+∠EDB＝∠ODE＝90°．∵点D在⊙O上，且OD⊥DE∴ED是⊙O的切线．（5 分）13、（1）证明：连接O C，∵CE与⊙O相切，为C是⊙O的半径，∴OC⊥CE，∴∠OCA+∠ACE＝90°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∴∠ACE+∠A＝90°，∵OD⊥AB，∴∠ODA+∠A＝90°，∵∠ODA＝∠CDE，∴∠CDE+∠A＝90°，∴∠CDE＝∠ACE，∴EC＝ED；（2）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△DCF中，∠DCE+∠ECF＝90°，∠DCE＝∠CDE，∴∠CDE +∠ECF＝90°，∵∠CDE +∠F＝90°，∴∠ECF＝∠F，∴E C＝E F，∵EF＝3，∴EC＝DE＝3，∴O E＝＝5，∴OD＝OE﹣DE＝2，在Rt△OAD中，A D＝＝2，在Rt△AOD 和Rt△ACB 中，∵∠A＝∠A，∠A C B＝∠A O D，∴Rt△AOD∽Rt△ACB，∴，即，∵∴O C ＝ ＝ ．． ∴A C ＝ ．14、解：（1）如图一，连接A Q ．由题意可知：O Q ＝O A ＝1．∵OP ＝2，∴A 为 OP 的中点．∵PQ 与⊙O 相切于点 Q ，∴△O Q P 为直角三角形．∴．即△OAQ 为等边三角形．∴∠QOP ＝60°．（2）由（1）可知点 Q 运动 1 秒时经过的弧长所对的圆心角为 30°，若 Q 按照（1）中的方向和速度继续运动，那么再过 5 秒，则 Q 点落在⊙O 与 y 轴负半轴的交点处（如图二）．设 直线 P Q 与⊙O 的另外一个交点为 D ，过 O 作 OC ⊥QD 于点 C ，则 C 为 QD 的中点．∵∠QOP ＝90°，OQ ＝1，OP ＝2，∴Q P ＝． ， ∵O C ⊥Q D ，O Q ＝1，O C ＝ ，∴Q C ＝＝ ．∴QD ＝15、解：（1）∵圆心的坐标为O1（2，0），⊙O1 半径为 1，∴A（1，0），B（3，0），∵二次函数y＝﹣x2+b x+c的图象经过点A，B，∴可得方程组，解得：，∴二次函数解析式为y＝﹣x2+4x﹣3．（2）过点M作M F⊥X轴，垂足为F．∵O M是⊙O1 的切线，M为切点，∴O1M⊥O M（圆的切线垂直于经过切点的半径）．在R T△O O1M中，sin∠O1O M＝＝，∵∠O1O M为锐角，∴∠O1O M＝30°，∴O M＝O O1•cos30°＝，在R T△M O F中，OF＝OM •cos30°＝．MF＝O M sin30°＝．∴点M坐标为（），设切线O M的函数解析式为y＝k x（k≠0），由题意可知＝k，∴k＝，∴切线O M的函数解析式为y＝x（3）两个，①过点A作A P1⊥x轴，与O M交于点P1，可得 Rt△A P1O∽Rt△M O1O（两角对应相等两三角形相似），P1A＝O A•tan∠A O P1＝，∴P1（1，）；②过点A作A P2⊥O M，垂足为，过P2 点作P2 H⊥O A，垂足为H．可得 Rt△O P2A∽Rt△O1 M O（两角对应相等两三角形相似），在Rt△O P2A中，∵OA＝1，∴P2＝O A•cos30°＝，在Rt△O P2 H中，O H＝O P2•cos∠A O P2＝，P2H＝O P2 •sin∠A O P2＝，P2（，），∴符合条件的P点坐标有（1，），（，）．16、解：（1）方法选择：∵A B＝B C＝A C，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，如图①，在BD上截取DEMAD，连接AM，∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴△ADM是等边三角形，∴AM＝AD，∵∠ABM＝∠ACD，∵∠AMB＝∠ADC＝120°，∴△A B M≌△A C D（A A S），∴BM＝CD，∴BD＝BM+DM＝CD+AD；（2）类比探究：如图②，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，过A作A M⊥A D交B D于M，∵∠ADB＝∠ACB＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AM＝AD，∠AMD＝45°，∴D M＝A D，∴∠AMB＝∠ADC＝135°，∵∠ABM＝∠ACD，∴△A B M≌△A C D（A A S），∴BM＝CD，∴B D＝B M+D M＝C D+A D；【探究 2】如图③，∵若BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，∴∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，过A作A M⊥A D交B D于M，∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠AMD＝30°，∴MD＝2AD，∵∠ABD＝∠ACD，∠AMB＝∠ADC＝150°，∴△ABM∽△ACD，∴＝，∴B M＝C D，∴B D＝B M+D M＝C D+2A D；故答案为：B D＝C D+2A D；（3）拓展猜想：B D＝B M+D M＝C D+A D；理由：如图④，∵若B C是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，过A作AM⊥AD交BD于M，∴∠MAD＝90°，∴∠B A M＝∠D A C，∴△A B M∽△A C D，∴＝，∴B M＝C D，∵∠ADB＝∠ACB，∠BAC＝∠NAD＝90°，∴△ADM∽△ACB，∴＝＝，∴D M＝A D，∴B D＝B M+D M＝C D+A D．故答案为：B D＝C D+A D17、解：（1）证明：∵∠A C B＝90°∴∠E+∠CFE＝∠ACB＝90°∵∠CFE＝∠OFD∴∠E+∠OFD＝90°∵AB切⊙O于D∴OD⊥AB∴∠ODF+∠ADE＝90°∵OD＝OF∴∠OFD＝∠ODF∴∠E＝∠ADE∴AE＝AD（2）证明：连接D N∵DO平分∠GDH∴设∠ODG＝∠ODH＝α，设∠FDG＝β，则∠FDH＝2α+β∵OF＝OD∴∠DFN＝∠ODF＝α+β∵DH⊥FN∴∠DHF＝90°∴∠DFN+∠FDH＝90°，即α+β+2α+β＝3α+2β＝90°∵FN为⊙O直径∴∠FDN＝90°∴∠DNF＝90°﹣∠DFN＝90°﹣（2α+β）＝3α+2β﹣（α+β）＝2α+β∴∠G＝∠DNF＝2α+β∵∠AFD＝∠G+∠FDG＝2α+β+β＝2α+2β∴∠AFD＝2∠DFN（3）过O作O Q∥A B交F M于点Q∵∠AEF+∠EFC＝90°，∠DFN+∠FDH＝90°，∠EFC＝∠DFN∴∠AEF＝∠FDH＝2α+β∴∠ADE＝∠AEF＝2α+β∴∠FAD＝180°﹣∠AFD﹣∠ADF＝2（3α+2β）﹣（2α+2β）﹣（2α+β）＝2α+β 即∠F A D＝∠A D F∴AF＝DF∴F在AD的垂直平分线上∵∠AEF＝∠FGD＝2α+β，∠AFE＝∠DFG∴∠EAF＝∠FDG＝β∴∠PAD＝∠PDA＝β+（2α+β）＝2α+2β∴PA＝PD∴P在A D的垂直平分线上即P M垂直平分A D∴OQ⊥FM∴∠OQF＝90°，FQ＝F M＝∵OQ∥AB∴∠FOQ＝∠B∵∠B+∠DOH＝∠DOH+∠ODH＝90°∴∠B＝∠ODH∴∠F O Q＝∠O D H在△F O Q与△O D H中∴△FOQ≌△ODH（AAS）∴OH＝FQ＝。
2020 人教版 九年级 圆专题复习练习题(有部分答案)
圆一、单选题1．如图所示，MN 为⊙O 的弦，52N ∠=o ，则MON ∠的度数为（ ）A ．38oB ．52oC ．76oD ．104o2．如图，点A ，B ，C 是⊙O 上的三点，若∠BOC=50°，则∠A 的度数是（ ）A ．25°B ．20°C ．80°D ．100°3．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 与⊙O 交于点D ，连结OD ．若50C ∠=︒，则∠AOD 的度数为（ ）A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．100︒4．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠OCA ＝40°，AB ＝6，则弧BC 的长为（ ）A ．83πB ．103πC ．53πD ．43π5．如果，AB 是⊙O 的切线，A 为切点，，AB=5，AC 是⊙O 的弦，OH ⊥AC ，垂足为H ，若OH=3，则弦AC 的长为（ ）A．5 B．6 C．8 D．106．如图，已知⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，点E 是弧AD 上任意一点，则∠BEC 的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P的读数为35°，则∠CBD的度数是（）A．55°B．45°C．35°D．258．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（）A．175πcm2B．350πcm2C．8003πcm2D．150πcm29．下列说法正确的是( )A．等弧所对的圆心角相等B．平分弦的直径垂直于这条弦C．经过三点可以作一个圆D．相等的圆心角所对的弧相等10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC．若∠AOC＝∠ABC，则∠D的大小为（ ）A．50°B．60°C．80°D．120°11．如图，从一张腰长为90cm，顶角为120︒的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（）A．15cm B．12cm C．10cm D．20cm12．如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（）A．πB．54πC．3+πD．8﹣π二、填空题13．若圆锥的底面积为16π cm2，母线长为12 cm，则它的侧面展开图的圆心角为__________．14．已知扇形的圆心角100°，所对的弧长为53π，则此扇形的面积是_________．15．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，AE＝CD，若⊙O的半径为5，则弦CD的长为_____．16．如图，∆ABC 是圆O 的内接三角形，连接OA 、OC ，若∠AOC =∠ABC ，弦AC =则圆O 的半径为__________．17．如图，直线y=-34x-3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点P 是x 轴上一动点，以点P 为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P ，当⊙P 与直线AB 相切时，点P 的坐标是_______．18．如图，菱形ABCD 中，2AB =，60C ∠=°，菱形ABCD 在直线L 上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60︒叫一次操作，则经过45次这样的操作菱形中心O 所经过的路径总长为______．（结果保留π）19．如图，四边形ABCD 内接于O e ，若四边形ABCO 是平行四边形，则ADC ∠的大小为_______．20．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是_____（结果保留π）三、解答题21．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O 经过点E，且交BC于点F．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．22．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC=CD，∠ACD=120°. （1）求证：CD是⊙O的切线；e的半径为2，求图中阴影部分的面积.（2）若O23．如图，△ABC 内接于⊙O，∠B=60°，CD 是⊙O 的直径，点P 是CD 延长线上的一点且AP=AC．（1）求证：P A 是⊙O 的切线；（2）若2AB =+，4BC =，求⊙O 的半径24．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，D 是AC 中点，直线OD 与⊙O 相交于E ，F 两点，P 是⊙O 外一点，P 在直线OD 上，连接P A ，PC ，AF ，且满足∠PCA ＝∠ABC ．（1）证明：EF 2＝4OD •OP ；（2）若tan ∠AFP ＝23，求DE BC的值． 25．已知如图，以Rt △ABC 的AC 边为直径作⊙O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC 的延长线于点D ，点F 为BC 的中点，连接EF（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为3，∠EAC ＝60°，求AD 的长。
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3
B ． 10π
A ． 8π
3
D ． 4π
5
圆
一、单选题
1．如图所示， MN 为⊙O 的弦， ∠N = 52o ，则 ∠MON 的度数为（ ）
A ． 38o
B ． 52o
C ． 76o
D ．104o
2．如图，点 A ，B ，C 是⊙O 上的三点，若∠BOC=50°，则∠A 的度数是（
）
A ．25°
B ．20°
C ．80°
D ．100°
3．如图，AB 是⊙ O 的直径，AC 是⊙ O 的切线，A 为切点，BC 与⊙ O 交于点 D ，连结 OD ．若 ∠C = 50︒ ，则∠AOD 的度数为（
）
A ． 40︒
B ． 50︒
C ． 80︒
D ．100︒
4．如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，若∠OCA ＝40°，AB ＝6，则弧 BC 的长为（ ）
3
C ．
π
3
5．如果，AB 是⊙O 的切线，A 为切点，OB=5 2 ，AB=5，AC 是⊙O 的弦，OH ⊥AC ，
垂足为 H ，若 OH=3，则弦 AC 的长为（ ）
A．175πcm2B．350πcm2C．800
3D．150πcm2
A．5B．6C．8D．10
6．如图，已知⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E是弧AD上任意一点，则∠BEC的度数为（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
7．以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P的读数为35°，则∠CBD的度数是（）
A．55°B．45°C．35°D．25
8．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（）
πcm2
9．下列说法正确的是()
A．等弧所对的圆心角相等C．经过三点可以作一个圆B．平分弦的直径垂直于这条弦D．相等的圆心角所对的弧相等
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC．若∠AOC＝∠ABC，则∠D的大小
B ． 5π 5
为（
）
A ．50°
B ．60°
C ．80°
D ．120°
11．如图，从一张腰长为 90cm ，顶角为120 ︒ 的等腰三角形铁皮 O AB 中剪出一个最大的扇
形 OCD ，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗） 则该圆锥的底面半径为
（
）
A ．15cm
B ．12cm
C ．10cm
D ． 20cm
12．如图，在 △Rt
AOB 中，∠AOB =90°，OA =3，OB =2，将 △Rt AOB 绕点 O 顺时针旋转 90°
后得 △Rt FOE ，将线段 EF 绕点 E 逆时针旋转 90°后得线段 ED ，分别以 O ，E 为圆心，OA 、
ED 长为半径画弧 AF 和弧 DF ，连接 AD ，则图中阴影部分面积是（
）
A ．π
4 C ．3+π
D ．8﹣π
二、填空题
13．若圆锥的底面积为 16π cm 2，母线长为 12 cm ，则它的侧面展开图的圆心角为__________．
14．已知扇形的圆心角 100°，所对的弧长为 π
，则此扇形的面积是_________．
3
15．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ⊥CD 于点 E ，AE ＝CD ，若⊙O 的半径
为 5，则弦 CD 的长为_____．
16．如图，∆ABC是圆O的内接三角形，连接OA、OC，若∠AOC=∠ABC，弦AC=63则圆O的半径为__________．
17．如图，直线y=-
3
4
x-3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是_______．
18．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，菱形ABCD在直线L上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60︒叫一次操作，则经过45次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为______．（结果保留π）
19．如图，四边形ABCD内接于e O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为_______．
）
20．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是_____（结果保留π
三、解答题
21．在△Rt ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O 经过点E，且交BC于点F．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．
22．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC=CD，∠ACD=120°.（1）求证：C D是⊙O的切线；
（2）若e O的半径为2，求图中阴影部分的面积.
23．如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点且AP=AC．
（2）若tan∠AFP＝
2
（1）求证：P A是⊙O的切线；
（2）若AB=2+15，BC=4，求⊙O的半径
24．如图，⊙O△是ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接P A，PC，AF，且满足∠PCA＝∠ABC．
（1）证明：EF2＝4OD OP；
DE
，求的值．
3BC
25．已知如图，以△Rt ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长。
26．如图，⊙O△是ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥AC，垂足为D点，直线OD与⊙O 相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接P A，PB，PC，且满足∠PCA
（3）若BC＝8，
AB
3，0）或P（-
17
17．（-
7
＝∠ABC
（1）求证：P A＝PC；
（2）求证：P A是⊙O的切线；
3
=，求DE的长．
DF2
参考答案1．C
2．A
3．C
4．D
5．C
6．B
7．C
8．B
9．A
10．B
11．A
12．D
13．120°
5
14．π
2
15．8
16．6
3，0）
18．103π+5π19．600
20．8﹣2π21．（1）略；（2）CE=4．22．（1）略
（2）图中阴影部分的面积为23．（1）略；（2）32 3π.
24．(1)略；(2)4 5．
25．（2）37
26．（1）略；（2）略；（3）DE＝8。