2012年(全国卷II)高考文科数学

2012年普通高等学校招生全国统一考试（2全国卷）

数学(文)试题

一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)

1．已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( )

A ．A

B B ．C

B C ．D

C D ．A

D

2．函数1y x =+x ≥－1)的反函数为( ) A ．y ＝x 2－1(x ≥0) B ．y ＝x 2－1(x ≥1) C ．y ＝x 2＋1(x ≥0) D ．y ＝x 2＋1(x ≥1) 3．若函数()sin 3

x f x ϕ

+=(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( ) A ．

π2 B ．2π3 C ．3π2 D ．5π3

4．已知α为第二象限角，3

sin 5

α=，则sin2α＝( ) A ．2425-

B ．1225-

C ．12

25

D ．2425 5．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为( )

A ．2211612x y +

= B ．22

1128x y += C ．22184x y +

= D ．22

1124

x y += 6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )

A ．2n －1

B ．13()2n -

C ．12()3n -

D ．112

n -

7． 6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )

A ．240种

B ．360种

C ．480种

D ．720种

8．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，122CC =E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为( )

A ．2 B

C

D ．1

9．△ABC 中，AB 边的高为CD ．若CB u u u r ＝a ，CA u u u r

＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |

＝2，则AD u u u r

＝( )

A ．1133-a b

B ．2233-a b

C ．3355-a b

D ．4455

-a b

10．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )

A ．

14 B ．35 C ．34 D ．45

11．已知x ＝ln π，y ＝log 52，1

2

=e z -，则( ) A ．x ＜y ＜z B ．z ＜x ＜y C ．z ＜y ＜x D ．y ＜z ＜x

12．正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF

＝1

3

.动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为( )

A ．8

B ．6

C ．4

D ．3

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

13．(x ＋

12x

)8

的展开式中x 2的系数为__________． 14．若x ，y 满足约束条件10,30,330,x y x y x y -+≥⎧⎪

+-≤⎨⎪+-≥⎩

则z ＝3x －y 的最小值为__________．

15．当函数y ＝sin x

x (0≤x ＜2π)取得最大值时，x ＝__________. 16．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，CC 1的中点，那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为__________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．△ABC中，内角A，B，C成等差数列，其对边a，b，c满足2b2＝3ac，求A．

18．已知数列{a n}中，a1＝1，前n项和

2

3

n n

n

S a

+

=.

(1)求a2，a3；

(2)求{a n}的通项公式．

19．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，P A⊥底面ABCD，

AC=P A＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC．

(1)证明：PC⊥平面BED；

(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．

20．乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．

(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；

(2) 求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．

21．已知函数f(x)＝1

3

x3＋x2＋ax.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)设f(x)有两个极值点x1，x2，若过两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))的直线l与x 轴的交点在曲线y＝f(x)上，求a的值．

22．已知抛物线C：y＝(x＋1)2与圆M：(x－1)2＋(y－1

2

)2＝r2(r＞0)有一个

公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l.

(1)求r；

(2)设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．