统考版2022届高考数学一轮复习第6章数列第2节等差数列及其前n项和教师用书教案北师大版

等差数列及其前n 项和

[考试要求]

1.理解等差数列的概念.

2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.

3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.

4.了解等差数列与一次函数的关系．

1．等差数列

(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *)，d 为常数．

(2)等差中项：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫作

a 与

b 的等差中项，即A ＝

a ＋b

2

.

2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋

n n －1

2

d ＝

n a 1＋a n

2

.

3．等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系

(1)当d ≠0时，等差数列{a n }的通项公式a n ＝dn ＋(a 1－d )是关于d 的一次函数．

(2)当d ≠0时，等差数列{a n }的前n 项和S n ＝d

2

n 2＋⎝

⎛⎭

⎪⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数．

4．等差数列的前n 项和的最值

在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．

[常用结论]

等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．

(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．

(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．

(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(m ∈N *)也是等差数列，公差为m 2d .

(5)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差是{a n }的公

差的12

.

(6)若等差数列{a n }的项数为偶数2n ，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 偶－S 奇＝nd ，

S 奇

S 偶＝

a n

a n ＋1

.

(7)若{a n }，{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ，T n ，则.

(8)若等差数列{a n }的项数为奇数2n ＋1，则 ①S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；②

S 奇S 偶

＝

n ＋1n

.

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )

(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的. ( )

(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋

a n ＋2.( )

(4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×

二、教材习题衍生

1．等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝10，a 10＝6，则公差d 等于( ) A ．14 B ．12 C ．2 D ．－12

A [∵a 4＋a 8＝2a 6＝10，∴a 6＝5， 又a 10＝6，∴公差d ＝

a 10－a 610－6

＝

6－54

＝1

4

.故选A.]

2．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于

( )

A ．31

B ．32

C ．33

D ．34

B [设数列{a n }的公差为d ， 法一：由S 5＝5a 3＝30得a 3＝6， 又a 6＝2，

∴S 8＝8a 1＋a 82＝8a 3＋a 6

2

＝86＋2

2

＝32.

法二：由⎩

⎪⎨⎪⎧

a 1＋5d ＝2，5a 1

＋5×4

2d

＝30，得⎩⎪⎨⎪

⎧

a 1＝263

，

d ＝－43.

∴S 8＝8a

1＋8×72d ＝8×263－28×4

3

＝32.]

3．已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列的第100项为________．

487 [依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a 100＝－8＋99×5＝487.] 4．某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为________．

820 [设第n 排的座位数为a n (n ∈N *)，数列{a n }为等差数列，其公差d ＝2，则a n ＝a 1

＋(n －1)d ＝a 1＋2(n －1)．由已知a 20＝60，得60＝a 1＋2×(20－1)，解得a 1＝22，则剧场总共的座位数为20a 1＋a 202＝20×22＋60

2

＝820.]

考点一 等差数列基本量的运算

解决等差数列运算问题的思想方法