随机变量及其分布列经典例题

随机变量及其分布列典型例题

【知识梳理】

一．离散型随机变量的定义

1定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量． ①随机变量是一种对应关系；②实验结果必须与数字对应； ③数字会随着实验结果的变化而变化.

2.表示：随机变量常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示．

3.所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) .

二．离散型随机变量的分布列

1.一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n, X 取每一个值

x i (i =1,2，…，n )的概率P (X =x i )=p i ，则称表：

为离散型随机变量X

P (X =x i )=p i ，

i =1,2，…，n, 也可以用图象来表示X 的分布列．

2.离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0，i =1,2，…，n ；②11

=∑=n

i i

p

．

三．两个特殊分布 1.两点分布),1(~P B X

若随机变量X 的分布列具有上表形式，则称服从两点分布，并称p =P (X =1)为成功概率． 2.超几何分布),,(~n M N H X

一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则

P (X =k )=

n

N

k n M

N k M C C C --，k =0,1,2，…，m ，其中m =min {}n M ,，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *

.

三．二项分布

一般地，在

n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X =k )=C k n p k

(1－p )

n －k

，k =0,1,2，…，n .此时称随机变量X 服从二项分布，

记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．易得二项分布的分布列如下;

【典型例题】

题型一、随机变量分布列的性质

【例1】设随机变量X 的分布列为,3,2,1,)3

2

()(=⋅==i a i X P i ，则a 的值为____.

题型二、随机变量的分布列

【例3】 口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X 表示取出的最大号码，求X 的分布列．

【例4】安排5个大学生到A ，B ，C 三所学校支教，设每个大学生去任何一所学校是等可能的．

（1）求5个大学生中恰有2个人去A 校支教的概率； （2）设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的分布列．

【例5】一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止． （1）求恰好摸4次停止的概率；

（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X ，求随机变量X 的分布列．

【例6】从6名男生和4名女生中任选4人参加比赛，设被选中女生的人数为随机变量ξ，

求：（1）ξ的分布列；（2）所选女生不少于2人的概率．

【例7】甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．

（Ⅰ）求乙得分的分布列；

（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．

【例8】某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为：若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为．每台仪器各项费用如表：项目生产成本检验费/次调试费出厂价

金额（元）10001002003000

（Ⅰ）求每台仪器能出厂的概率；

（Ⅱ）假设每台仪器是否合格相互独立，记X为生产两台仪器所获得的利润，求X的分布列和数学期望．

【例9】某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球.顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励.

(1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；

(2)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，随机变量X的分布列.