随机变量及其分布列经典例题
随机变量的分布列
的次品可能是0件,1件,2件,3件,4件。 (3) 掷一枚硬币,可能出现正面或反面。 (4) 掷一个骰子向上的点数。 (5) 掷一个骰子向上的点数为奇数或偶数。
5
例2:一袋中装有6个同样大小的小球,编号为1、2、3、4、5、6,现从中随机取出
3个小球,以ξ表示取出球的最大号码,求ξ的分布列.
解:ξ的所有取值为:3、4、5、6.
“ 3” 表示其中一个球号码等于“3”,另两个都比“3”小
“ 4” 表示其中一个球号码等于“4”,另两个都比“4”小
“ 5” 表示其中一个球号码等于“5”,另两个都比“5”小
Cnk pk qnk b(k; n, p)
例 : 某人射击击中目标的概率是0.2,射击中每次射击 的结果是相互独立的,求他在10次射击中击中目标的 次数不超过5次的概率(精确到0.01)。
解: 设在这10次射击中击中目标的次数是ξ,则 ξ~B(10,0.2).
P( 5) P( 0) P( 1) P( 5)
1
12
6
1 12
例4:已知随机变量ξ的分布列如下:
-2 -1 0 1 2 3
P
1
1
1
1
1
1
12
4
3
12
6
12
分别求出随机变量
解:(2)由2
(1)1
1;
2
(2)2
2得2的取值为0,1, 4, 9.
2
.的分布列.
P(2 P(2
0) 4)
P( 0) P( 2)
1 3
高三数学随机变量的分布列试题
高三数学随机变量的分布列试题1.随机变量X的概率分布规律为P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a是常数,则P(<X<)的值为()A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意得,+++=1,解得a=.于是P(<X<)=P(X=1)+P(X=2)=+=a=,故选D.2. [2014·四川模拟]在四次独立重复试验中,事件A在每次试验中出现的概率相同,若事件A至少发生一次的概率为,则事件A恰好发生一次的概率为()A.B.C.D.【答案】C【解析】设事件A在每次试验中发生的概率为p,则事件A在4次独立重复试验中,恰好发生k 次的概率为pk=p k(1-p)4-k(k=0,1,2,3,4),∴p0=p0(1-p)4=(1-p)4,由条件知1-p=,∴(1-p)4=,∴1-p=,∴p=.∴p1=p·(1-p)3=4××()3=,故选C.3.[2014·唐山检测]2013年高考分数公布之后,一个班的3个同学都达到一本线,都填了一本志愿,设Y为被录取一本的人数,则关于随机变量Y的描述,错误的是()A.Y的取值为0,1,2,3B.P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)+P(Y=3)=1C.若每录取1人学校奖励300元给班主任,没有录取不奖励,则班主任得奖金数为300Y D.若每不录取1人学校就扣班主任300元,录取不奖励,则班主任得奖金数为-300Y【答案】D【解析】由题意知A、B正确.易知C正确.对于D,若每不录取1人学校就扣班主任300元奖金,录取不奖励,则班主任得奖金数为-300(3-Y)=300Y-900.4.设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此两球所得分数之和,求ξ分布列;(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若E(η)=,V(η)=,求a∶b∶c.【答案】(1)ξ的分布列为(2)3∶2∶1【解析】(1)由已知得到:当两次摸到的球分别是红红时ξ=2,此时P(ξ=2)==;当两次摸到的球分别是黄黄、红蓝、蓝红时ξ=4时,P(ξ=4)==;当两次摸到的球分别是红黄,黄红时ξ=3时,P(ξ=3)==;当两次摸到的球分别是黄蓝,蓝黄时ξ=5时,P(ξ=5)==;当两次摸到的球分别是蓝蓝时ξ=6时,P(ξ=6)==.所以ξ的分布列为ξ23456由已知得到:η有三种取值即1,,所以η的分布列为所以,所以b=2c,a=3c,所以a∶b∶c=3∶2∶1.5.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5,购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的.(1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率;(2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率;(3)记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数,求ξ的分布列.【答案】(1)0.5(2)0.8(3)ξ0123【解析】解:记A表示事件:进入商场的1位顾客购买甲种商品;记B表示事件:进入商场的1位顾客购买乙种商品;记C表示事件:进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种;记D 表示事件:进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种.(1)C=A·B+A·B,P(C)=P(A·B+A·B)=P(A·B)+P(A·B)=P(A)·P(B)+P()·P(B)=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5.(2)D=A·B,P(D)=P(A·B)=P(A)·P(B)=0.5×0.4=0.2,P(D)=1-P(D)=0.8.(3)ξ~B(3,0.8),故ξ的分布列P(ξ=0)=0.23=0.008;P(ξ=1)=×0.8×0.22=0.096;P(ξ=2)=×0.82×0.2=0.384;P(ξ=3)=0.83=0.512.6.甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是,假设各局比赛结果相互独立.(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率;(2)若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3∶2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X的分布列.【答案】(1)、、(2)X的分布列为【解析】(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1,“甲队以3∶1胜利”为事件A2,“甲队以3∶2胜利”为事件A3,由题意,各局比赛结果相互独立,故P(A1)==,P(A2)=××=,P(A3)=××=.所以,甲队以3∶0、3∶1、3∶2胜利的概率分别是、、;(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4,由题意,各局比赛结果相互独立,所以P(A4)=××=.由题意,随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3,根据事件的互斥性得P(X=0)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=,P(X=1)=P(A3)=,P(X=2)=P(A)=,4P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=.故X的分布列为7.一个袋子中装有7个小球,其中红球4个,编号分别为1,2,3,4,黄球3个,编号分别为2,4,6,从袋子中任取4个小球(假设取到任一小球的可能性相等).(1)求取出的小球中有相同编号的概率;(2)记取出的小球的最大编号为,求随机变量的分布列和数学期望.【答案】(1);(2)随机变量的分布列为:346随机变量的数学期望 .【解析】(1)应用古典概型概率的计算公式,关键是利用组合知识,确定事件数;(2) 随机变量的可能取值为.计算相应概率即得随机变量的分布列为:数学期望 .试题解析:(1):设取出的小球中有相同编号的事件为,编号相同可分成一个相同和两个相同 2分4分(2) 随机变量的可能取值为:3,4,6 6分, 7分, 8分9分所以随机变量的分布列为:346所以随机变量的数学期望 . 12分【考点】古典概型,互斥事件,离散型随机变量的分布列及数学期望.8.某商场为吸引顾客消费推出一项促销活动,促销规则如下:到该商场购物消费满100元就可转动如图所示的转盘一次,进行抽奖(转盘为十二等分的圆盘),满200元转两次,以此类推;在转动过程中,假定指针停在转盘的任一位置都是等可能的;若转盘的指针落在A区域,则顾客中一等奖,获得10元奖金;若转盘落在B区域或C区域,则顾客中二等奖,获得5元奖金;若转盘指针落在其他区域,则不中奖(若指针停到两区间的实线处,则重新转动).若顾客在一次消费中多次中奖,则对其奖励进行累加.已知顾客甲到该商场购物消费了268元,并按照规则参与了促销活动.(1)求顾客甲中一等奖的概率;(2)记X为顾客甲所得的奖金数,求X的分布列及其数学期望.【答案】(1)(2)【解析】(1)设事件A表示该顾客中一等奖,P(A)=×+2××=,所以该顾客中一等奖的概率是.(2)X的可能取值为20,15,10,5,0,P(X=20)=×=,P(X=15)=2××=,P(X=10)=×+2××=,P(X=5)=2××=,P(X=0)=×=.所以X的分布列为数学期望E(X)=20×+15×+10×+5×=.9.辽宁某大学对参加全运会的志愿者实施“社会教育实践”学分考核,因该批志愿者表现良好,该大学决定考核只有合格和优秀两个等次,若某志愿者考核为合格,授予0.5个学分;考核为优秀,授予1个学分,假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、,他们考核所得的等次相互独立.(1)求在这次考核中,志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率;(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量X,求随机变量X的分布列.(3)求X的数学期望.【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)记“甲考核为优秀”为事件A,“乙考核为优秀”为事件B,“丙考核为优秀”为事件C,“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E.则P(E)=1-P( )=1-P()P()P( )=1-××=.(2)由题意,得X的可能取值是,2,,3.因为P(X=)=P()=,P(X=2)=P(A )+P(B)+P(C )=,P(X=)=P(AB)+P(A C)+P( B C)==,P(X=3)=P(ABC)=,所以X的分布列为:(3)由(2)知E(X)=×+2×+×+3×==.10.随机变量的分布列如右:其中成等差数列,若,则的值是.【答案】.【解析】由题意,则.【考点】随机变量的期望和方差.11.一个盒子中装有分别标有数字1、2、3、4的4个大小、形状完全相同的小球,现从中有放回地随机抽取2个小球,抽取的球的编号分别记为、,记.(Ⅰ)求取最大值的概率;(Ⅱ)求的分布列及数学期望.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)所以的分布列:数学期望.【解析】(1)随机变量的分布列问题,首先确定随机变量的所有可能值;(2))本题属古典概型,各随机变量所对应的事件包含的基本事件无法用公式求出,需一一列举出来.列举时要注意避免重复和遗漏,这是极易出错的地方试题解析:(Ⅰ)当时,最大。
随机变量及其分布列
中装有3个红球、2个白球、
中装有3个红球、2个白球、
5个黑球,它们大小形状
5个黑球,它们大小形状完
完全相同。现从10个球中
全相同。现从10个球中任
有放回的抽取3次,并做
意抽取3个。
好记录。
(1)求抽取的3个球是来自2
(1)求抽取的3个球中恰有2
种不同颜色球的概率;
个球是黑色的概率;
所以抽取的 5 辆汽车中恰有 2 辆是蓝色汽车的概率 P=C25
3312 135
=
.
512
4 4
返回
(2)在试驾体验过程中,发现蓝色汽车存在一定质量问
题, 监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部
门作进一步抽样检测,并规定:若抽到的是黄色汽车,则将
其放回市场,并继续随机地抽取下一辆汽车;若抽到的是蓝
,
125
8
3 2 3
P(X=3)=C3 5 =
,
125
∴X的分布列为
X
0
1
2
27
54
36
P
125
125
125
27
54
36
8
6
∴E(X)=0×
+1×
+2×
+3×
= .
125
125
125
125 5
3
8
125
返回
2
法二:∵随机变量X~B3,5,
k 2 k 3 3-k
3n-1 1
3n
+…+(n-1)×4
随机变量及其分布列习题(含解析)
一.解答题(共8小题)1.(1)100件产品中有10件次品,从中有放回地任取5件,求其中次品数ξ的分布列;(2)某批数量较大的商品的次品率为10%,从中任意地连续抽取5件,求其中次品数η的分布列.2.为创建国家级文明城市,某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”,该城市某出租车公司共200名司机,他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示.(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数;(2)从这200名司机中任选2人,设这2人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X,求X的概率分布.3.从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试.(1)求选出的3名同学中至少有1名女生的概率;(2)设ξ表示选出的3名同学中男生的人数,求ξ的分布列.4.甲袋中有2个黑球,4个白球,乙袋中有3个黑球,3个白球,从两袋中各取一球.(Ⅰ)求“两球颜色相同”的概率;(Ⅱ)设ξ表示所取白球的个数,求ξ的概率分布列.5.设X是一个离散型随机变量,其分布列为:X−101P1﹣2q q2(1)求q的值;(2)求P(X<0),P(X<1).6.某射手进行射击训练,假设每次射击击中目标的概率为,且每次射击的结果互不影响.(1)求射手在3次射击中,至少有两次连续击中目标的概率(用数字作答);(2)求射手第3次击中目标时,恰好射击了4次的概率(用数字作答);(3)设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数,求ξ的分布列.7.袋中有3个红球,4个黑球,从袋中任取4个球.(1)求红球个数X的分布列;(2)若取到一个红球得2分,取到一个黑球得1分,求得分不小于6分的概率.8.从5名男生和3名女生中任选2人去参加学校组织的“低碳杯”知识抢答赛,用ξ表示选出的女生的人数.(1)求随机变量ξ的分布列;(2)求事件“选出的2学生至少有一女生”的概率.参考答案与试题解析一.解答题(共8小题)1.(1)100件产品中有10件次品,从中有放回地任取5件,求其中次品数ξ的分布列;(2)某批数量较大的商品的次品率为10%,从中任意地连续抽取5件,求其中次品数η的分布列.【解答】解:(1)由题意知ξ的可能取值为0,1,2,3,4,5,每次取出次品的概率为:,相当于5次独立重复实验,ξ~B(5,),P(ξ=0)==0.59059,P(ξ=1)==0.32805,P(ξ=2)==0.07329,P(ξ=3)==0.0081,P(ξ=4)==0.00045,P(ξ=5)==0.00001,∴ξ的分布列为:ξ012345P0.590590.328050.07290.00810.000450.00001(2)由题意知η的可能取值为0,1,2,3,4,5,且η~B(5,0.1),∴η的分布列为:η012345P0.590590.328050.07290.00810.000450.000012.为创建国家级文明城市,某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”,该城市某出租车公司共200名司机,他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示.(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数;(2)从这200名司机中任选2人,设这2人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X,求X的概率分布.【解答】解:(1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人,送考2次的有100人,送考3次的有80人,∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为;(2)从该公司任选两名司机,记“这两人中﹣人送考1次,另一人送考2次”为事件A,“这两人中一人送考2次,另一人送考3次“为事件B,“这两人中﹣人送考1次,另一人送考3次”为事件C,“这两人送考次数相同”为事件D,由题意知X的所有可能取值为0,1,2,,,,所以X的分布列为:X012P3.从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试.(1)求选出的3名同学中至少有1名女生的概率;(2)设ξ表示选出的3名同学中男生的人数,求ξ的分布列.【解答】解:(1)由意可知,选出的3名同学全是男生的概率为=,∴选出的3名同学中至少有1名女生的概率为P=1﹣=.(2)根据题意,ξ的可能取值为0,1,2,3,P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,∴ξ的分布列为:ξ0123P4.甲袋中有2个黑球,4个白球,乙袋中有3个黑球,3个白球,从两袋中各取一球.(Ⅰ)求“两球颜色相同”的概率;(Ⅱ)设ξ表示所取白球的个数,求ξ的概率分布列.【解答】解:(I)从甲中取出黑球的概率为,取出白球的概率为,从乙中取出黑球的概率为,取出白球的概率为,故“两球颜色相同”的概率P=.(II)由题意可得,ξ所有可能取值为0,1,2,P(ξ=0)==,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,故ξ的分布列为:ξ012P5.设X是一个离散型随机变量,其分布列为:X−101P1﹣2q q2(1)求q的值;(2)求P(X<0),P(X<1).【解答】解:(1)依题意,得,解得或(舍去),所以.(2)由(1)得,,所以,.6.某射手进行射击训练,假设每次射击击中目标的概率为,且每次射击的结果互不影响.(1)求射手在3次射击中,至少有两次连续击中目标的概率(用数字作答);(2)求射手第3次击中目标时,恰好射击了4次的概率(用数字作答);(3)设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数,求ξ的分布列.【解答】解:(1)设事件该射手第i次射击,击中目标为A i,i=1,2,3,则,所以,事件射手在3次射击中,至少有两次连续击中目标可表示为,因为事件,,A1A2A3互斥,所以又事件A1,A2,A3相互独立,所以==;(2)事件射手第3次击中目标时,恰好射击了4次等于事件前3次中恰好击中两次目标且第四次击中目标,又各次击中目标的概率为,所以前3次中恰有两次击中目标的概率为,第四次击中目标的概率为,所以事件射手第3次击中目标时,恰好射击了4次的概率;(3)由已知ξ的取值有3,4,5,⋅⋅⋅,n,⋅⋅⋅,又,,,⋅⋅⋅,,所以随机变量ξ的分布列为:ξ345…n…P……7.袋中有3个红球,4个黑球,从袋中任取4个球.(1)求红球个数X的分布列;(2)若取到一个红球得2分,取到一个黑球得1分,求得分不小于6分的概率.【解答】解:(1)由题意可得,X可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,故X的分布列为:X0123P(2)设得分为Y,则得分Y可以取4,5,6,7,分别对应4个黑球,3黑1红,2黑2红,1黑3红四种情况,P(Y≥6)=P(Y=6)+P(Y=7)=,故得分不小于6分的概率为.8.从5名男生和3名女生中任选2人去参加学校组织的“低碳杯”知识抢答赛,用ξ表示选出的女生的人数.(1)求随机变量ξ的分布列;(2)求事件“选出的2学生至少有一女生”的概率.【解答】解:(1)由题意得ξ的可能取值为0,1,2,P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,∴随机变量ξ的分布列为:ξ012P(2)事件“选出的2学生至少有一女生”的概率为:P=P(ξ=1)+P(ξ=2)==.。
概率论典型例题
20
4
故Y
~
B
⎛ ⎜⎝
3,
1 4
⎞ ⎟⎠
。
于是
C P{Y = 2} =
2⎛ 3 ⎜⎝
1 4
⎞2 ⎟⎠
⎛ ⎜⎝
3 4
⎞ ⎟⎠
=
9 64
。
注:本例既需要掌握二项分布的由来及其概率分布,还需掌握连续型随机变
量由密度函数求其在某个区间上的取值概率。 有离散也有连续,需要区分清楚,
掌握牢固,这是容易出问题的地方。
解:(1)当 y > 0 时,
FY ( y) = P(Y
≤
y)
=
P
⎛ ⎜⎝
1 X
≤
y
⎞ ⎟⎠
=
P
⎛ ⎜⎝
1 X
≤
0
⎞ ⎟⎠
+
P
⎛ ⎜⎝
0
<
1 X
≤
y
⎞ ⎟⎠
当 y < 0 时,
=
P(X
<
0) +
⎛ P⎜
⎝
X
≥
1 y
⎞ ⎟ ⎠
=
FX
(0) +1−
FX
⎛ ⎜ ⎝
1 y
⎞ ⎟
;
⎠
FY ( y) =
P(Y
≤
X2 0
1
4
9
pk 0.1 0.3 0.3 0.3
注:对离散型随机变量,其函数的分布列的求法比较简单。只要从分布列定
义中包含的两部分:可能取值与对应概率出发,必定能求出。
另外,值得提醒的是,如果分布列中有未知参数,一定要通过分布列的性质
(一般是归一性的应用),将其求出,再进行其他计算。
专题01 离散型随机变量分布列(解析版)
概率与统计专题01 离散型随机变量分布列常见考点考点一 离散型随机变量分布列典例1.某校组织“百年党史”知识比赛,每组有两名同学进行比赛,有2道抢答题目.已知甲、乙两位同学进行同一组比赛,每人抢到每道题的机会相等.抢到题目且回答正确者得100分,没回答者得0分;抢到题目且回答错误者得0分,没抢到者得50分,2道题目抢答完毕后得分多者获胜.已知甲答对每道题目的概率为45.乙答对每道题目的概率为35,且两人各道题目是否回答正确相互独立.(1)求乙同学得100分的概率;(2)记X 为甲同学的累计得分,求X 的分布列和数学期望. 【答案】(1)37100; (2)分布列见解析,()100E X =. 【解析】 【分析】(1)应用独立事件乘法公式及互斥事件的概率求法,求乙同学得100分的概率;(2)由题意知X 可能值为{0,50,100,150,200},分别求出对应概率,写出分布列,进而求期望. (1)由题意,乙同学得100分的基本事件有{乙抢到两题且一道正确一道错误}、{甲乙各抢到一题都回答正确}、{甲抢到两题且回答错误},所以乙同学得100分的概率为1312141311113722252525252525100⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. (2)由题意,甲同学的累计得分X 可能值为{0,50,100,150,200},1111111313134(0)225252525252525P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=;121112134(50)222525252525P X ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=;1212111414139(100)2225252525252525P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=;14124(150)2252525P X ==⨯⨯⨯⨯=;14144 (200)252525P X==⨯⨯⨯=;分布列如下:所以期望44944()050100150200100 2525252525E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.变式1-1.第24届冬季奥林匹克运动会(The XXIV Olympic Winter Games),即2022年北京冬季奥运会,于2022年2月4日星期五开幕,2月20日星期日闭幕.北京冬季奥运会设7个大项,15个分项,109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目;延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目;张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目.某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪.比赛分为初赛和决赛,其中初赛有两轮,只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为34;乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为45和58;丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和32p-,其中34p<<.(1)甲、乙、丙三人中,谁进入决赛的可能性最大;(2)若甲、乙、丙三人中恰有两人进人决赛的概率为2972,求p的值;(3)在(2)的条件下,设进入决赛的人数为ξ,求ξ的分布列.【答案】(1)甲进入决赛可能性最大(2)23 p=(3)分布列见解析【解析】【分析】(1)分别求出甲、乙、丙三人初赛的两轮均获胜的概率,然后比较即可;(2)利用相互独立事件的概率的求法分别求出甲和乙进入决赛的概率、乙和丙进入决赛的概率、甲和丙进入决赛的概率,即可通过甲、乙、丙三人中恰有两人进人决赛的概率为2972,列方程求解;(3)先确定进入决赛的人数为ξ的取值,依次求出每一个ξ值所对应的概率,列表即可.(1)甲在初赛的两轮中均获胜的概率为:13394416P =⨯= 乙在初赛的两轮中均获胜的概率为:2451582P =⨯=丙在初赛的两轮中均获胜的概率为:233322P P P P P ⎛⎫=⋅-=-+ ⎪⎝⎭∵3043012p p ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩,∵1324p <<,∵2339941616P P ⎛⎫=--+< ⎪⎝⎭ ∵甲进入决赛可能性最大. (2)()()()123132231111P P P PP P P P P P =⨯++⨯---222913931139111162216222216p p p p p p ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯--+⨯-⨯-+⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2972=整理得21827100p p -+=,解得23p =或56p =,又∵1324p <<,∵23p =; (3)由(2)得,丙在初赛的两轮中均获胜的概率为:345199P =-=, 进入决赛的人数为ξ可能取值为0,1 ,2,3,71417(0)162972P ξ==⨯⨯=, 71591471411(1)16291629162932P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=, 91495171529(2)16291692162972P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=, 9155(3)162932P ξ==⨯⨯=, ∵ξ的分布列为变式1-2.从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为12,13,14.(1)若有一辆车独立地从甲地到乙地,求这一辆车未遇到红灯的概率;(2)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】(1)14(2)分布列见解析,1312【解析】 【分析】(1)利用相互独立事件概率计算公式,计算出所求概率.(2)结合相互独立事件概率计算公式,计算出分布列并求得数学期望. (1)设“一辆车未遇到红灯”为事件A , 则()11111112344P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅-⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(2)随机变量X 的所以可能的取值为0,1,2,3, 则(0)P X ==1111(1)(1)(1)2344-⋅-⋅-=(1)P X ==1111111111111111123423423424⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-⋅-+-⋅⋅-+-⋅-⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2)P X ==11111111111112342342344⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-+⋅-⋅+-⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (3)P X ==111123424⋅⋅=. 随机变量X 的分布列:随机变量X 的数学期望:1111113()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 变式1-3.对飞机进行射击,按照受损伤影响的不同,飞机的机身可分为∵,∵,∵三个部分.要击落飞机,必须在∵部分命中一次,或在∵部分命中两次,或在∵部分命中三次.设炮弹击落飞机时,命中∵部分的概率是16,命中∵部分的概率是13,命中∵部分的概率是12,射击进行到击落飞机为止.假设每次射击均击中飞机,且每次射击相互独立. (1)求恰好在第二次射击后击落飞机的概率; (2)求击落飞机的命中次数X 的分布列和数学期望. 【答案】(1)14; (2)分布列见解析,83. 【解析】 【分析】(1)把恰好在第二次射击后击落飞机的事件拆成两个互斥事件的和,再利用独立事件概率公式计算作答.(2)求出X 的可能值,并求出每个取值的概率,列出分布列并求出期望作答. (1)设恰好第二次射击后击落飞机为事件A 是第一次未击中∵部分,在第二次击中∵部分的事件与两次都击中∵部分的事件的和,它们互斥,所以25111()()6634P A =⨯+=.(2)依题意,X 的可能取值为1,2,3,4,1X =的事件是射击一次击中∵部分的事件,1(1)6P X ==,由(1)知,1(2)4P X ==, 3X =的事件是前两次射击击中∵部分、∵部分各一次,第三次射击击中∵部分或∵部分的事件,与前两次射击击中∵部分,第三次射击击中∵部分或∵部分的事件的和,它们互斥,12211111111(3)C ()()()32632623P X ==⨯⨯⨯++⨯+=, 4X =的事件是前三次射击击中∵部分一次,∵部分两次,第四次射击的事件,123111(4)C ()1324P X ==⨯⨯⨯=,所以X的分布列为:X的数学期望()11118 123464343E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】关键点睛:利用概率加法公式及乘法公式求概率,把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和,相互独立事件的积是解题的关键.典例2.高三学生甲、乙为缓解紧张的学习压力,相约本星期日进行“某竞技体育项目”比赛.比赛采用三局二胜制,先胜二局者获胜.商定每局比赛(决胜局第三局除外)胜者得3分,败者得1分,决胜局胜者得2分,败者得0分.已知每局比赛甲获胜的概率为23,各局比赛相互独立.(1)求比赛结束,乙得4分的概率;(2)设比赛结束,甲得X分,求X的概率分布与数学期望.【答案】(1)827;(2)分布列见解析,()14227E X=.【解析】【分析】(1)根据题意,求得得4分的事件,即可求得其概率;(2)根据题意,求得X的取值,再求概率从而求得分布列,再根据分布列求得数学期望即可.(1)若比赛结束,乙得4分,则比赛结果是甲以2:1获胜,故前两局比赛,甲胜1场,败1场,最后一局比赛,甲胜.则比赛结束,乙得4分的概率为122128 33327C⨯⨯⨯=.(2)若甲连胜2局结束比赛,甲得6分,其概率为224 39⎛⎫=⎪⎝⎭;若甲连败2局结束比赛,甲得2分,其概率为21139⎛⎫= ⎪⎝⎭;若甲以2:1结束比赛,甲得6分,其概率为12212833327C ⨯⨯⨯=; 若乙以2:1结束比赛,甲得4分,其概率为12211433327C ⨯⨯⨯=; 故X 的分布列如下所示:故()14201422469272727E X =⨯+⨯+⨯=. 变式2-1.现有甲、乙、丙三道多选题,某同学独立做这三道题,根据以往成绩,该同学多选题的得分只有2分和0分两种情况.已知该同学做甲题得2分的概率为34,分别做乙、丙两题得2分的概率均为23.假设该同学做完了以上三道题目,且做每题的结果相互独立. (1)求该同学做完了以上三题恰好得2分的概率; (2)求该同学的总得分X 的分布列和数学期望()E X . 【答案】(1)736(2)分布列见解析,数学期望()256E X = 【解析】 【分析】(1)根据相互独立事件的概率公式进行求解即可;(2)写出随机变量X 的所有可能取值,求出对应概率,从而可求出分布列,再根据期望公式即可求出期望. (1)解:记“该同学做完了以上三题恰好得2分”为事件A ,“该同学做甲题得2分”为事件B ,“该同学做乙题得2分”为事件C .“该同学做丙题得2分”为事件D ,由题意知32(),()()43P B P C P D ===, 因为A BCD BCD BCD =++,所以()()P A P BCD BCD BCD =++()()()P BCD P BCD P BCD =++()()()()()P B P C P D P B P C =+⋅()()()()P D P B P C P D +322322322711111143343343336⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭; (2)解:根据题意,X 的可能取值为0,2,4,6, 所以3221(0)11143336P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由(1)知7(2)36P X ==, 322121(6)433363P X ==⨯⨯==4(4)1(0)(2)(6)9P X P X P X P X ==-=-=-==, 故X 的分布列为所以174125()024********E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 变式2-2.某运动会中,新增加的“趣味乒乓球单打”是这届运动会的热门项目,比赛规则如下:两人对垒,开局前抽签决定由谁先发球(机会均等),此后均由每个球的赢球者发下一个球,对于每一个球,若发球者贏此球,发球者得1分,对手得0分;若对手赢得此球,发球者得0分,对手得2分.当有一人累计得分超过5分时,比赛就结束,得分高者获胜.已知在选手甲和乙的对垒中,发球一方赢得此球的概率都是0.6,各球结果相互独立.(1)假设开局前抽签结果是甲发第一个球,求比赛出现比分2:2的概率;(2)已知现在比分3:3,接下来由甲发球,两人又打了X 个球后比赛结束,求X 的分布列及数学期望.【答案】(1)0.304;(2)分布列见解析,() 2.904E X =. 【解析】 【分析】(1)把比赛出现比分2:2的事件拆成两个互斥的和,再分别求出每个事件的概率即可得解. (2)求出X 的所有可能值,再分析计算求出各个值的概率,列出分布列,求出期望作答.(1)比赛出现比分2:2的事件A 是甲发三球,前两球甲赢,第三球乙赢的事件1A 与甲发球乙赢、乙发球甲赢的事件2A 的和,事件1A 与2A 互斥,1()0.60.60.40.144P A =⨯⨯=,2()0.40.40.16P A =⨯=, 因此,12()()0.1440.160.304P A P A A =+=+=, 所以比赛出现比分2:2的概率为0.304. (2)X 的所有可能值为:2,3,4,因比分已是3:3,接下来由甲发球,且有一人累计得分超过5分时,比赛就结束,2X =的事件是甲发球乙赢,乙发球乙赢比赛结束的事件,(2)0.40.60.24P X ==⨯=,3X =的事件是以下3个互斥事件的和:甲发三球甲赢,比赛结束的事件;甲发第一球甲赢,发第二球乙赢,乙发球比赛结束的事件;甲发第一球乙赢,乙发第二球甲赢,甲发球比赛结束的事件,3(3)0.60.60.410.40.410.616P X ==+⨯⨯+⨯⨯=,4X =的事件是甲发前两球甲赢,发第三球乙赢,乙再发球比赛结束的事件,2(4)0.60.410.144P X ==⨯⨯=,所以X 的分布列为:X 的数学期望:()20.2430.61640.144 2.904E X =⨯+⨯+⨯=.变式2-3.为进一步加强未成年人心理健康教育,如皋市教育局决定在全市深入开展“东皋大讲堂”进校园心理健康教育宣讲活动,为了缓解高三学生压力,高三年级某班级学生在开展“东皋大讲堂”过程中,同座两个学生之间进行了一个游戏,甲盒子中装有2个黑球1个白球,乙盒子中装有3个白球,现同座的两个学生相互配合,从甲、乙两个盒子中各取一个球,交换后放入另一个盒子中,重复进行n 次这样的操作,记甲盒子中黑球的个数为n X ,恰好有2个黑球的概率为n a ,恰好有1个黑球的概率为n b .(1)求第二次操作后,甲盒子中没有黑球的概率; (2)求3X 的概率分布和数学期望()3E X .【答案】(1)427; (2)答案见解析,()32827E X = 【解析】 【分析】(1)由题意得1112,33a b ==,然后分析第二次操作后,甲盒子中没有黑球的情况,从而求解出对应概率;(2)先计算22,a b ,判断3X 的取值为0,1,2,分别计算对应的概率,列出分布列,利用期望公式求解()3E X . (1)由题意知,1112,33a b ==,两次后甲盒子没有黑球时,必须第一次甲盒子中取出一个黑球,第二次甲盒子(黑1白2)再取出一个黑球,乙盒子中(黑1白2)取出一个白球,则11243327P b =⨯⨯= (2)211121733327b a a =⨯+⨯⨯=,21121122163333327b a b ⎛⎫=⨯+⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭,由题意,3X 的取值为0,1,2,则32124144(0)33273243P X b ==⨯⨯+⨯=,3222112242146(1)33333273243P X a b ⎛⎫==⨯+⨯+⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭,32212153(2)333243P X a b ==⨯+⨯⨯=所以3X 的分布列为所以()314653281224324327E X =⨯+⨯= 【点睛】求解分布列的问题时,一般需要先判断变量的可能取值,然后分析题目中的情况计算每个取值对应的概率,从而列出分布列,代入期望公式求解期望.巩固练习练习一 离散型随机变量分布列1.暑假里大学二年级的H 同学去他家附近的某个大型水果超市打工.他发现该超市每天以10元/千克的价格从中心仓库购进若干A 水果,然后以15元/千克的价格出售;若有剩余,则将剩余的水果以8元/千克的价格退回中心仓库.H 同学记录了打工期间A 水果最近50天的日需求量(单位:千克),整理得下表:以上表中各日需求量的频率作为各日需求量的概率,解答下面的两个问题.(1)若超市明天购进A 水果150千克,求超市明天获得利润X (单位:元)的分布列及期望; (2)若超市明天可以购进A 水果150千克或160千克,以超市明天获得利润的期望为决策依据,在150千克与160千克之中应当选择哪一个?若受市场影响,剩余的水果只能以7元/千克的价格退回水果基地,又该选哪一个?请说明理由. 【答案】(1)分布列见解析,数学期望为743元 (2)超市应购进160千克,理由见解析. 【解析】 【分析】(1)求出X 的可能取值及相应的概率,进而得到分布列及数学期望;(2)设该超市一天购进水果160千克,当天利润为Y 元,求出Y 的可能取值及相应的概率,求出数学期望,与第一问求出的期望值相比,得到结论. (1)若A 水果日需求量为140千克,则()()()1401510150140108680X =⨯---⨯-=,且()56800.150P X ===, 若A 水果日需求量不少于150千克,则()1501510750X =⨯-=,且()75010.10.9P X ==-=,故X 的分布列为:()6800.17500.9743E X =⨯+⨯=元(2)设该超市一天购进水果160千克,当天利润为Y 元,则Y 的可能取值为140×5-20×2,150×5-10×2,160×5,即660,730,800 且()56600.150P Y ===,()107300.250P Y ===,()358000.750P Y ===,则()6600.17300.28000.7772E Y =⨯+⨯+⨯=,因为772>743,所以超市应购进160千克.2.某工厂生产一种产品,由第一、第二两道工序加工而成,两道工序的加工结果相互独立,每道工序的加工结果只有A ,B 两个等级.两道工序的加工结果直接决定该产品的等级:两道工序的加工结果均为A 级时,产品为一等品;两道工序恰有一道.工序加工结果为B 级时,产品为二等品;其余均为三等品.每一道工序加工结果为A 级的概率如表一所示,一件产品的利润(单位:万元)如表二所示: 表一表二(1)用η(万元)表示一件产品的利润,求η的分布列和均值;(2)工厂对于原来的生产线进行技术升级,计划通过增加检测成本对第二工序进行改良,假如在改良过程中,每件产品检测成本增加()04x x ≤≤万元(即每件产品利润相应减少x 万元)时,第二工序加工结果为A 级的概率增加0.1x ,问该改良方案对一件产品的利润的均值是否会产生影响?并说明理由.【答案】(1)分布列答案见解析,()33.6E η=(2)该改良方案对一件产品的利润的均值会产生影响,理由见解析【解析】 【分析】(1)由题意η的可能取值为50,20,10,分别求出其概率得分布列,再由期望公式计算出期望; (2)设改良后一件产品的利润为ξ,同(1)求出ξ的各可能取值的概率,计算出期望,由期望函数()E ξ与()E η比较可得结论. (1)由题意可知,η的可能取值为50,20,10, 产品为一等品的概率为0.8×0.6=0.48, 产品为二等品的概率为0.8×0.4+0.2×0.6=0.44, 产品为三等品的概率为1-0.48-0.44=0.08, 所以η的分布列为()500.48200.44100.0833.6E η=⨯+⨯+⨯=.(2)改良方案对一件产品的利润的均值会产生影响,理由如下:由题意可知,改良过程中,每件产品检测成本增加()04x x ≤≤万元时,第二工序加工结果为A 级的概率增加0.1x ,设改良后一件产品的利润为ξ,则ξ可能的取值为50x -,20x -,10x -, 所以一等品的概率为()0.80.10.60.480.08x x ⨯+=+,二等品的概率为()()()0.810.60.110.80.60.10.440.06x x x ⨯-++-⨯+=-⎡⎤⎣⎦, 三等品的概率为()()10.480.080.440.060.080.02x x x -+--=-, 所以()()()()()()()0.480.08500.440.06200.080.0210 1.633.6E x x x x x x x ξ=+⨯-+-⨯-+-⨯-=+,因为()E ξ在[]0,4上单调递增,故当4x =时,()E ξ取到最大值为40, 又因为()()E E ξη≥,所以该改良方案对一件产品的利润的均值会产生影响.3.2022年北京冬奥会有包括中国队在内的12支男子冰球队参加比赛,12支参赛队分为三组,每组四队,2月9号至13号将进行小组赛,小组赛采取单循环赛制,即每个小组的四支参赛队在比赛中均能相遇一次,最后按各队在比赛中的得分多少来排列名次.小组赛结果的确定规则如下: ∵在常规时间里,获得最多进球的队为获胜者,获胜者得3分;∵在常规时间里,如果双方进球相等,每队各得1分.比赛继续进行,以突然死亡法(即在规定的时间内有一方进球)加时赛决出胜负,突然死亡法加时赛中获胜的队将额外获得1分;∵在突然死亡法加时赛中,如果双方都没有得分,那么进行点球赛,直至决出胜负,在点球赛中获胜的队将额外获得1分.若在小组赛中,甲队与乙队相遇,在常规时间里甲队获胜的概率为12,进球数相同的概率为14;在突然死亡法加时赛中,甲队获胜的概率为23,双方都没有得分的概率为16;在点球赛中,甲队获胜的概率为23,假设各比赛结果相互独立.(1)在甲队与乙队的比赛中,求甲队得2分获胜的概率;(2)在甲队与乙队的比赛中,求甲队得分X 的分布列及数学期望. 【答案】(1)736; (2)分布列见解析;3518. 【解析】 【分析】(1)由题可得甲队得2分获胜有两种情况,甲在加时赛中获胜或甲在点球赛中获胜,分别计算概率即得;(2)由题可得X 可取0,1,2,3,分别计算概率即得分布列,然后利用期望计算公式即得. (1)设甲在加时赛中获胜为事件A ,甲在点球赛中获胜为事件B , 则()(),121112143646336P A P B =⨯==⨯⨯=, ∵甲队得2分获胜的概率为()()11763636P P A P B =+=+=. (2)甲队得分X 可取0,1,2,3,()11101244P X ==--=,()121112111143646318P X ⎛⎫⎛⎫==⨯--+⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()7236P X ==, ()132P X ==, ∵X 的分布列为∵甲队得分X 的数学期望为()117135012341836218E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 4.为进一步完善公共出行方式,倡导“绿色出行”和“低碳生活”,某市建立了公共自行车服务系统,为了鼓励市民租用公共自行车出行,同时希望市民尽快还车,方便更多的市民使用,公共自行车按每次的租用时间进行缴费,具体缴费标准如下:∵租用时间不超过1小时,免费;∵超出一小时后每小时1元(不足一小时按一小时计算),一天24小时最高收费10元.某日甲、乙两人独立出行,各租用公共自行车一次,且两人租车时间都不会超过3小时,设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是0.5,0.4;租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.2,0.4. (1)求甲比乙付费多的概率;(2)设甲、乙两人付费之和为随机变量ξ,求ξ的分布列和数学期望. 【答案】(1)0.32 (2)分布列见解析,1.6 【解析】 【分析】(1)用合适的字母表达每个事件,并按照题意搞清楚事件之间的关系以及每个事件的概率即可; (2)求分布列和数学期望就是要搞清楚随机变量的可能取值范围,以及每个值都是由那些事件构成的. (1)根据题意,记“甲付费为0元、1元、2元、”为事件1A ,2A ,3A它们彼此互斥,且()10.5p A =,()20.2p A =,()()()31210.3p A P A P A =-+=⎡⎤⎣⎦, 同理,记“乙付费为0元、1元、2元”为事件1B ,2B ,3B它们彼此互斥,且()10.4p B =,()20.4p B =,()()()31110.2p B P B P B =-+=⎡⎤⎣⎦, 由题知,事件1A ,2A ,3A 与事件1B ,2B ,3B相互独立记,甲比乙付费多为事件M ,则有:213132M A B A B A B =++可得:()()()()()()()2131320.20.40.30.40.30.40.32P M P A P B P A P B P A P B =++=⨯+⨯+⨯= 故:甲比乙付费多的概率为:0.32; (2)由题知,ξ的可能取值为:0,1,2,3,4 则有:()()()1100.50.40.2P P A P B ξ===⨯=,()()()()()122110.50.40.20.40.28P P A P B P A P B ξ==+=⨯+⨯=,()()()()()()()13312220.50.20.30.40.20.40.3P P A P B P A P B P A P B ξ==++=⨯+⨯+⨯=, ()()()()()233230.20.20.30.40.16P P A P B P A P B ξ==+=⨯+⨯=, ()()()3340.30.20.06P P A P B ξ===⨯=;所以ξ的分布列为:ξ的数学期望:()00.210.2820.330.1640.06 1.6E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,故答案为:0.32,1.6.5.随着2022年北京冬季奥运会的如火如茶的进行.2022年北京冬季奥运会吉祥物“冰墩墩”受到人们的青睐,现某特许商品专卖店每天均进货一次,卖一个吉祥物“冰墩墩”可获利50元,若供大于求,则每天剩余的吉祥物“冰墩墩”需交保管费10元/个;若供不应求,则可从其他商店调剂供应,此时调剂的每一个吉祥物“冰墩墩”该店仅获利20元.该店调查上届冬季奥运会吉祥物每天(共计20天)的需求量(单位:个),统计数据得到下表:以上述20天吉祥物的需求量的频率作为各需求量发生的概率.记X表示每天吉祥物“冰墩墩”的需求量.(1)求X的分布列;(2)若该店某一天购进164个吉祥物“冰墩墩”,则当天的平均利润为多少元.【答案】(1)(2)8187(元)【解析】【分析】(1)X可取162,163,164,165,166,求出对应概率,然后再写出分布列即可;(2)设Y表示每天的利润,求出所有Y的取值,再根据期望公式即可得解.(1)解:X可取162,163,164,165,166,()21P X===,1622010()41P X===,163205()63P X===,1642010()51P X===,165204()3P X==,16620所以分布列为:(2)设Y 表示每天的利润,当162X =时,162502108080Y =⨯-⨯=, 当163X =时,16350108140Y =⨯-=, 当164X =时,164508200Y =⨯=, 当165X =时,16450208220Y =⨯+=, 当166X =时,164502208240Y =⨯+⨯=, 所以平均利润为1131380808140820082208240818710510420⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(元). 6.在中国共产党的正确领导下,我国顺利实现了第一个百年奋斗目标——全面建成小康社会.某地为了巩固扶贫成果,决定继续对甲、乙两家乡镇企业进行指导.指导方式有两种,一种是精准指导,一种是综合指导.已知对甲企业采用精准指导时,投资50万元,增加100万元收入的概率为0.2,增加200万元收入的概率为0.8,采用综合指导时,投资100万元,增加200万元收入的概率为0.6,增加400万收入的概率为0.4;对乙企业采用精准指导时,投资50万元,增加100万元收入的概率为0.3,增加200万元收入的概率为0.7,采用综合指导时,投资100万元,增加200万元收入的概率为0.7,增加400万元收入的概率为0.3.指导结果在两家企业之间互不影响.(1)若决策部门对甲企业进行精准指导、对乙企业进行综合指导,设两家企业增加的总收入为X 万元,求X 的分布列;(2)若有150万元无息贷款可供甲、乙两家企业使用,对两家企业应分别进行哪种指导总收入最高?请说明理由.【答案】(1)分布列见解析;(2)对甲企业进行综合指导、对乙企业进行精准指导总收入最高,理由见解析. 【解析】 【分析】(1)根据题意确定随机变量X 的所有可能取值,再求出每个取值对应事件的概率并列出分布列即可; (2)由条件知指导方案共有三种:对两家企业均进行精准指导;对甲企业精准指导、对乙企业综合指导;对甲企业综合指导、对乙企业精准指导,然后求出每种方案增加的总收入的数学期望,比较它们大小即可.(1)由题意知X 可能取值为300,400,500,600,则()3000.20.70.14P X ==⨯=,()4000.80.70.56P X ==⨯=,()5000.20.30.06P X ==⨯=,()6000.80.30.24P X ==⨯=,∵当决策部门对甲企业进行精准指导、对乙企业进行综合指导时,两家企业增加的总收入X 的分布列为(2)指导方案1:对甲、乙两家企业均进行精准指导.设两家企业增加的总收入为Y 万元,则Y 可能取值为200,300,400,且()2000.20.30.06P Y ==⨯=,()3000.20.70.80.30.38P Y ==⨯+⨯=,()4000.80.70.56P Y ==⨯=,()2000.063000.384000.56350E Y =⨯+⨯+⨯=(万元);指导方案2:对甲企业进行精准指导、对乙企业进行综合指导. 由(1)得()3000.144000.565000.066000.24440E X =⨯+⨯+⨯+⨯=(万元); 指导方案3:对甲企业进行综合指导、对乙企业进行精准指导.设两家企业增加的总收入为Z ,则Z 的可能取值为300,400,500,600, 且()3000.60.30.18P Z ==⨯=,()4000.70.60.42P Z ==⨯=,()5000.40.30.12P Z ==⨯=,()6000.40.70.28P Z ==⨯=, ()3000.184000.425000.126000.28450E Z =⨯+⨯+⨯+⨯=(万元).∵350440450<<,∵指导方案3:对甲企业进行综合指导、对乙企业进行精准指导总收入最高.7.2021年10月16日,神舟十三号载人飞船与天宫空间站组合体完成自主快速交会对接,航天员翟志刚、王亚平、叶光富顺利进驻天和核心舱,由此中国空间站开启了有人长期驻留的时代.为普及航天知识,某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏,规则如下:不透明的口袋中有3个红球,2个白球,这些球除颜色外完全相同.参与者每一轮从口袋中一次性取出3个球,将其中的红球个数记为该轮得分X ,记录完得分后,将摸出的球全部放回袋中.当参与完成第n 轮游戏,且其前n 轮的累计得分恰好为2n 时,游戏过关,可领取纪念品,同时游戏结束,否则继续参与游戏.若第3轮后仍未过关,则游戏也结束.每位参与者只能参加一次游戏. (1)求随机变量X 的分布列及数学期望;(2)若甲参加该项游戏,求甲能够领到纪念品的概率. 【答案】(1)分布列见解析,数学期望为1.8 (2)0.696 【解析】 【分析】(1)先得出随机变量X 可取的,并求出相应概率,列出分布列,计算数学期望;(2)分别求出甲取球1次后、取球2次后、取球3次后可领取纪念的概率,再相加得出甲能够领到纪念品的概率. (1)由题意得,随机变量X 可取的值为1,2,3,易知()10.3P X ==,()20.6P X ==,所以()30.1P X ==, 则随机变量X 的分布列如下:所以()10.320.630.1 1.8E X =⨯+⨯+⨯= (2)由(1)可知,参与者每轮得1分,2分,3分的概率依次为0.3,0.6,0.1, 记参与者第i 轮的得分为i X ,则其前n 轮的累计得分为12n Y X X X =+++,若参与者取球1次后可领取纪念品,即参与者得2分,则()20.6P Y ==;若参与者取球2次后可领取纪念品,即参与者获得的分数之和为4分,有“13+”、“31+”的情形, 则()420.30.10.06P Y ==⨯⨯=;若参与者取球3次后可领取纪念品,即参与者获得的分数之和为6分, 有“123++”、“321++”的情形,则()620.30.10.60.036P Y ==⨯⨯⨯=;记“参与者能够领取纪念品”为事件A ,则()()()()2460.60.060.0360.696P A P Y P Y P Y ==+=+==++=.8.为庆祝中国共产党建党100周年,某单位举办了以“听党召唤,使命在肩”为主题的知识竞赛活动,经过初赛、复赛,小张和小李进入决赛,决赛试题由3道小题组成,每道小题选手答对得1分,答错得0分,假设小张答对第一、第二、第三道小题的概率依次是45,34,12,小李答对每道小题的概率都是34.且他们每道小题解答正确与否相互之间没有影响,用X 表示小张在决赛中的得分,用Y 表示小李在决赛中的得分.(1)求随机变量X 的分布列和数学期望E (X ),并从概率与统计的角度分析小张和小李在决赛中谁的得分能力更强一些;(2)求在事件“4X Y +=”发生的条件下,事件“X Y >”的概率.【答案】(1)分布列答案见解析,数学期望:2.05,小李的得分能力更强一些 (2)431 【解析】【分析】(1)结合相互独立事件、独立重复试验的知识计算出X 的分布列以及()(),E X E Y ,由此作出判断. (2)利用条件概型概率计算公式,计算出事件“X Y >”的概率.(1)由题设知X 的可能取值为0,1,2,3所以()4311011154240P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭; ()431431431111111115425425425P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()43143143119211154254254240P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ()4313354210P X ==⨯⨯=, 所以随机变量X 的分布列为。
第二章随机变量及其分布
第⼆章随机变量及其分布第⼆章随机变量及其分布习题2.1 P732. ⼀颗骰⼦抛两次,以X 表⽰两次中所得的最⼩点数. (1) 试求X 的分布列;(2) 写出X 的分布函数, 并作图.4. 有3个盒⼦,第⼀个盒⼦装有1个⽩球,4个⿊球; 第⼆个盒⼦装有2个⽩球,3个⿊球; 第三个盒⼦装有3个⽩球,2个⿊球. 现任取⼀个盒⼦,从中任取3个球. 以X 表⽰所取到的⽩球数.(1) 试求X 的概率分布列;(2) 取到的⽩球数不少于2个的概率是多少?6. 设随机变量X 的分布函数为≥<≤<≤<≤<=.6,1;63,2/1;31,3/1;10,4/1;0,0)(x x x x x x F试求X 的概率分布列及P(X<3),P(X ≤3),P(X>1),P(X ≥1).11. 如果X 的密度函数为<≤-<≤=其他,021,210,)(x x x x x p试求P(X ≤1.5).13. 设连续随机变量X 的分布函数为≥<≤<=.1,1;10,;0,0)(2x x Ax x x F试求 (1) 系数A;(2) X 落在区间(0.3,0.7)内的概率;(3) X 的密度函数.15. 设随机变量X 和Y 同分布,X 的密度函数为<<=.,0;20,83)(2其他x x x p 已知事件A={X>a}和B={Y>a 独⽴, 且P(A ∪B)=3/4,求常数a.16. 设连续随机变量X 的密度函数p(x)是⼀个偶函数,F(x)为X 的分布函数, 求证对任意实数a>0, 有(1);)(5.0)(1)(0-=-=-adx x p a F a F(2);1)(2)|(|-=习题2.2 P811.设离散型随机变量X 的分布列为试求E(X)和5. ⽤天平称某种物品的质量(砝码仅允许放在⼀个盘中), 现有三组砝码(甲)1,2,2.5,10(g); (⼄)1,2,3,4,10(g); (丙)1,1,2,5,10(g), 称重时只能使⽤⼀组砝码. 问:当物品的质量为1g, 2g, …, 10g 的概率是相同的, ⽤哪⼀组砝码称重所⽤的平均砝码数最少?7. 对⼀批产品进⾏检查, 如查到第a 件全为合格品, 就认为这批产品合格;若在前a 件中发现不合格品即停⽌检查,且认为这批产品不合格. 设产品的数量很⼤, 可认为每次查到不合格品的概率都是p, 问每批产品平均要查多少件?11. 设随机变量X 的分布函数如下, 试求E(X).≥-<≤<=--.1,211;10,21;0,2)()1(21x ex x e x F x x12. 某⼯程队完成某项⼯程的时间X(单位:⽉)是⼀个随机变量,它的分布列为(1) (2) 设该⼯程队所获利润为Y=50(13-X),单位为万元. 试求⼯程队的平均利润; (3) 若该⼯程队⾼速安排,完成该项⼯程的时间1X (单位:⽉)的分布为13. 设随机变量X 的概率密度函数为≤≤=.,0;0,2cos 21)(其他πx x x p 对X 独⽴重复观察4次,Y 表⽰观察值⼤于π/3的次数,求Y 2的数学期望. 习题2.3P884. 设随机变量X 的分布函数为≥-<≤<=--,1,211;10,21;0,2)()1(21x ex x e x F x x试求Var(X).5. 设随机变量X 的密度函数为≤<-≤<-+=,,0;10,1;01,1)(其他x x x x x p试求Var(3X+2).7. 设随机变量X 仅在区间[a,b]上取值,试证.)2()(,)(2a b X Var b X E a -≤≤≤9. 设g(x)为随机变量X 取值的集合上的⾮负不减函数,且E(g(X))存在,证明:对任意的ε>0,有.)())(()(εεg X g E X P ≤>11. 已知正常成⼈男性每升⾎液中的⽩细胞数平均是7.3×109,标准差是0.7×109. 试利⽤切⽐雪夫不等式估计每升⾎液中的⽩细胞数在5.2×109⾄9.4×109之间的概率的下界. 习题2.4P1013. 某优秀射⼿命中10环的概率为0.7, 命中9环的概率为0.3. 试求该射⼿三次射击所是的环数不少于29环的概率.5. 设随机变量X~b(n,p),已知E(X)=2.4, Var(X)=1.44, 求两个参数n 与p 各为多少?7. ⼀批产品的不合格品率为0.02, 现从中任取40件进⾏检查,若发现两件或两件以上不合格品就拒收这批产品. 分别⽤以下⽅法求拒收的概率:(1)⽤⼆项分布作精确计算;(2)⽤泊松分布作近似计算.9. 已知某商场⼀天来的顾客数X 服从参数为λ的泊松分布,⽽每个来到商场的顾客购物的概率为p,证明:此商场⼀天内购物的顾客数服从参数为λp 的泊松分布.12. 设随机变量X 的密度函数为<<=.,0;10,2)(其他x x x p以Y 表⽰对X 的三次独⽴重复观察中事件{X ≤1/2}出现的次数,试求P(Y=2).13. 某产品的不合格品率为0.1,每次随机抽取10件进⾏检验,若发现其中不合格品数多于1, 就去调整设备.若检验员每天检验4次,试问每天平均要⾼速⼏次设备. 习题2.5P1153. 设K 服从(1,6)上的均匀分布,求⽅程012=++Kx x 有实根的概率.6. 设某种商品每周的需求量X 服从区间(10,30)上均匀分布,⽽商店进货数为区间(10,30)中的某⼀整数,商店每销售1单位商品可获利500元;若供⼤于求则削价处理,每处理1单位商品亏损100元;若供不应求,则可从外部调剂供应,此时每1单位商品仅获利300元.为使商店所获利润期望值不少于9280元,试确定最少进货量.10. 某种设备的使⽤寿命X(以年讲)服从指数分布,其平均寿命为4年.制造此种设备的⼚家规定,若设备在使⽤⼀年之内损坏,则可以予以调换.如果设备制造⼚每售出⼀台设备可赢利100元,⽽调换⼀台设备制造⼚需花费300元.试求每台设备的平均利润. 11. 设顾客在某银⾏的窗⼝等待服务的时间X(以min 计)服从指数分布,其密度函数为>=-.,0;0,51)(5其他x e x p x某顾客在窗⼝等待服务,若超过10min,他就离开,他⼀个⽉要到银⾏5次,以Y 表⽰⼀个⽉内他未等到服务⽽离开窗⼝的次数,试求P(Y ≥1).13. 设随机变量X 的密度函数为≤>=-.0,0;0,)(x x e x p x λλ(λ>0)试求k,使得P(X>k)=0.5.20. 设X~N(3,22),(1)求P(22);(3)确定c 合得P(X>c)=P(X(1) 该机在下午2:30以后到达⼄地的概率是多少? (2) 该机在下午2:20以前到达⼄地的枝率是多少? (3) 该机在下午1:50⾄2:30之间到达⼄地的概率是多少?24. 某单位招聘员⼯,共有10000⼈报考.假设考试成绩服从正态分布,且已知90分以上有359⼈,60分以下有1151⼈.现按考试成绩从⾼分到低分依次录⽤2500⼈,试问被录⽤者最低分为多少?30. 设随机变量X~N(µ,σ2),求E|X-µ|. 习题2.6P1231. 已知离散随机变量X 的分布列为试求Y=X 2与Z=|X|3. 设随机变量X 服从(-1,2)上的均匀分布,记<-≥=.0,1;0,1X X Y 试求Y 的分布列.7. 设随时机变量X 服从区间(1,2)上的均匀分布,试求Xe Y 2=的密度函数.8. 设随机变量X 服从区间(0,2)上的均匀分布,(1)求Y=X 2的密度函数.(2)P(Y<2).13. 设),(~2σµN X ,求Xe Y =的数学期望与⽅差.15. 设随机变量X 的密度函数为≤>=-.0,0;0,)(x x e x p x 若若试求以下Y 的密度函数(1) Y=2X+1; (2)Xe Y =; (3)2X Y =.17. 设),(~2σµLN X ,试证:).,(~ln 2σµN X Y =。
随机变量及其分布函数习题
第2章 随机变量及其分布习题 21.设有函数⎩⎨⎧≤=其它,,0,0,sin )(πx x x F试说明)(x F 能否是某随机变量的分布函数。
解:不能,易知对21x x <,有:),()(}1{}{}{12221x F x F x X P x X P x X x P -=<-<=<<又)()(,0}{1221x F x F x X x P ≥≥<<,因此)(x F 在定义域内必为单调递增函数。
然而)(x F 在),0(π上不是单调递增函数,所以不是某随机变量的分布函数。
2.-筐中装有7只蓝球,编号为1,2.3,4,5,6,7。
在筐中同时取3只,以X 表示取出的3只当中的最大号码,写出随机变量X 的分布列。
解:X 的可能值为3,4,5,6,7。
在7只篮球中任取3个共有37C 种取法。
}3{=X 表示取出的3只篮球以3为最大值,其余两个数是1,2,仅有这一种情况,故3515673211)3(37=⋅⋅⋅⋅===C X P}4{=X 表示取出的3只篮球以4为最大值,其余两个数可以在1,2,3中任取两个,共有23C 种取法,故35356732113)4(3723=⋅⋅⋅⋅===C C X P 。
}5{=X 表示取出的3只篮球以5为最大值,其余两个数可在1,2,3,4中任取2个,共有24C 种取法,故3565673212134)5(3724=⋅⋅⋅⋅⋅⋅===C C X P , }6{=X 表示取出的3只篮球以6为最大值,其余两个数可在1,2,3,4,5中任取2个,共有25C 种取法,故35105673212145)6(3725=⋅⋅⋅⋅⋅⋅===C C X P ,}7{=X 表示取出的3只篮球以7为最大值,其余两个数可在1,2,3,4,5,6中任取2个,共有26C 种取法,故35155673212156)7(3726=⋅⋅⋅⋅⋅⋅===C C X P 。
3. 设X 服从)10(-分布,其分布列为,)1(}{1kkp p k X P --== ,1,0=k 求X 的分布函数,并作出其图形。
随机变量及其分布习题解答
+随机变量及其分布习题解答(共16页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--1第二章 随机变量及其分布1、解:设公司赔付金额为X ,则X 的可能值为; 投保一年内因意外死亡:20万,概率为 投保一年内因其他原因死亡:5万,概率为投保一年内没有死亡:的分布律为:2、一袋中有53、4、5,在其中同时取三只,以X 表示取出的三只球中的最大号码,写出随机变量X 的分布律解:X 可以取值3,4,5,分布律为1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522=⨯====⨯====⨯===C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为也可列为下表 X : 3, 4,5 P :106,103,1013、设在15只同类型零件中有2只是次品,在其中取三次,每次任取一只,作不放回抽样,以X 表示取出次品的只数,(1)求X 的分布律,(2)画出分布律的图形.解:任取三只,其中新含次品个数X 可能为0,1,2个.3522)0(315313===C C X P 3512)1(31521312=⨯==C C C X P 351)2(31511322=⨯==C C C X P 再列为下表 X : 0, 1, 2 P : 351,3512,352224、进行重复独立实验,设每次成功的概率为p ,失败的概率为q =1-p (0<p <1)(1)将实验进行到出现一次成功为止,以X 表示所需的试验次数,求X 的分布律.(此时称X 服从以p 为参数的几何分布.)(2)将实验进行到出现r 次成功为止,以Y 表示所需的试验次数,求Y 的分布律.(此时称Y 服从以r, p 为参数的巴斯卡分布.)(3)一篮球运动员的投篮命中率为45%,以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数,写出X 的分布律,并计算X 取偶数的概率.解:(1)P (X=k )=q k -1p k=1,2,……(2)Y=r+n={最后一次实验前r+n -1次有n 次失败,且最后一次成功} ,,2,1,0,)(111 ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1-p ,或记r+n=k ,则 P {Y=k }= ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k (3)P (X=k ) = k -k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P5、 一房间有3扇同样大小的窗子,其中只有一扇是打开的.有一只鸟自开着的窗子飞入了房间,它只能从开着的窗子飞出去.鸟在房子里飞来飞去,试图飞出房间.假定鸟是没有记忆的,鸟飞向各扇窗子是随机的.(1)以X 表示鸟为了飞出房间试飞的次数,求X 的分布律.(2)户主声称,他养的一只鸟,是有记忆的,它飞向任一窗子的尝试不多于一次.以Y 表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数,如户主所说是确实的,试求Y 的分布律.(3)求试飞次数X 小于Y 的概率;求试飞次数Y 小于X 的概率. 解:(1)X 的可能取值为1,2,3,…,n ,…P {X=n }=P {前n -1次飞向了另2扇窗子,第n 次飞了出去}=31)32(1⋅-n , n=1,2,……(2)Y 的可能取值为1,2,3 P {Y=1}=P {第1次飞了出去}=31P {Y=2}=P {第1次飞向 另2扇窗子中的一扇,第2次飞了出去} =312132=⨯P {Y=3}=P {第1,2次飞向了另2扇窗子,第3次飞了出去} =31!3!2=3∑∑===<===<==<3231}|{}{}|{}{}{)3(k k k Y Y X P k Y P k Y Y X P k Y P Y X P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛==<0}1|{Y Y X P 全概率公式并注意到 278313231313131}{}{32=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯+⨯=<==∑=k k X P k Y P }{}|{,k X P k Y Y X P Y X <==<独立即注意到同上,∑======31}|{}{}{k k Y Y X P k Y P Y X P81192743192313131}{}{31=⨯+⨯+⨯====∑=k k X P k Y P故8138){}{1}{==-<-=<Y X P Y X P X Y P 6、一大楼装有5个同类型的供水设备,调查表明在任一时刻t 每个设备使用的概率为,问在同一时刻(1)恰有2个设备被使用的概率是多少0729.0)9.0()1.0()2(322525225=⨯⨯===-C q p C X P (2)至少有3个设备被使用的概率是多少00856.0)1.0()9.0()1.0()9.0()1.0()3(5554452335=⨯+⨯⨯+⨯⨯=≥C C C X P (3)至多有3个设备被使用的概率是多少3225415505)9.0()1.0()9.0(1.0)9.0()3(⨯⨯+⨯⨯+=≤C C C X P99954.0)9.0()1.0(2335=⨯⨯+C(4)至少有一个设备被使用的概率是多少 40951.059049.01)0(1)1(=-==-=≥X P X P7、设事件A 在每一次试验中发生的概率为,当A 发生不少于3次时,指示灯发出信号.(1)进行了5 次独立试验,求指示灯发出信号的概率 .(2)进行了7次独立试验,求指示灯发出信号的概率解: 设X 为 A 发生的次数. 则()0.3,.X B n n=5,7B:“指示等发出信号“① (){}3P B P X =≥55530.30.70.163k k k k C -===∑②(){}3P B P X =≥={}{}7231k P X K P X K ===-=∑∑71622510.70.30.70.30.70.353G G =--⋅⨯-⨯≈ 8、甲、乙二人投篮,投中的概率各为, ,令各投三次.求4(1)二人投中次数相等的概率. 记X 表甲三次投篮中投中的次数 Y 表乙三次投篮中投中的次数由于甲、乙每次投篮独立,且彼此投篮也独立. P (X =Y )=P (X =0, Y=0)+P (X =2, Y=2)+P (X=3, Y=3)= P (X =0) P (Y=0)+ P (X =1) P (Y=1)+ P (X =2) P (Y=2)+ P (X =3) P (Y=3)= 3× 3+ [])3.0(7.0[])4.0(6.0213213⨯⨯⨯⨯⨯C C3223223)6.0(]3.)7.0([]4.0)6.0([+⨯⨯⨯⨯⨯+C C 321.0)7.0(3=⨯(2)甲比乙投中次数多的概率.P (X>Y )=P (X =1, Y=0)+P (X =2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+ P (X =3) P (Y=0)+ P (X =3) P (Y=1)+ P (X =3) P (Y=2) =P (X =1) P (Y=0) + P (X =2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+ P (X =3) P (Y=0)+ P (X =3) P (Y=1)+ P (X =3) P (Y=2)=+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯82233213)3.0(]4.0)6.0([)3.0(])4.0(6.0[C C 3213223)6.0(])3.0(7.0[]4.0)6.0([+⨯⨯⨯⨯⨯C C321333)6.0(])3.0(7.0[)6.0()3.0(+⨯⨯⨯+⨯C 243.0]3.0)7.0([223=⨯⨯⨯C9、有一大批产品,其验收方案如下,先做第一次检验:从中任取10件,经验收无次品接受这批产品,次品数大于2拒收;否则作第二次检验,其做法是从中再任取5件,仅当5件中无次品时接受这批产品,若产品的次品率为10%,求(1)这批产品经第一次检验就能接受的概率 (2)需作第二次检验的概率(3)这批产品按第2次检验的标准被接受的概率(4)这批产品在第1次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率(5)这批产品被接受的概率解:X 表示10件中次品的个数,Y 表示5件中次品的个数,由于产品总数很大,故X~B (10,),Y~B (5,)(近似服从) (1)P {X =0}=≈(2)P {X ≤2}=P {X =2}+ P {X =1}=581.09.01.09.01.0911082210≈+C C (3)P {Y =0}= 5≈(4)P {0<X ≤2,Y=0} ({0<X ≤2}与{ Y=2}独立) = P {0<X ≤2}P {Y=0}=×≈(5)P {X =0}+ P {0<X ≤2,Y=0} ≈+=510、有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯.如果从中挑4杯,能将甲种酒全部挑出来,算是试验成功一次.(1)某人随机地去猜,问他试验成功一次的概率是多少(2)某人声称他通过品尝能区分两种酒.他连续试验10次,成功3次.试问他是猜对的,还是他确有区分的能力(设各次试验是相互独立的.)解:(1)P (一次成功)=701148=C(2)P (连续试验10次,成功3次)= 100003)7069()701(73310=C .此概率太小,按实际推断原理,就认为他确有区分能力.11. 尽管在几何教科书中已经讲过用圆规和直尺三等分一个任意角是不可能的.但每年总有一些“发明者”撰写关于用圆规和直尺将角三等分的文章.设某地区每年撰写此类文章的篇数X 服从参数为6的泊松分布.求明年没有此类文章的概率.解: ().6~πX 6=λ{}0025.01066≈===∴-ee X P12. 一电话交换台每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的泊松分布.求(1)每分钟恰有8次呼唤的概率.(2)某一分钟的呼唤次数大于3的概率.()4~πX 4=λ(1){}∑∑∞=∞=--⋅-⋅==899484!!8r r r e r e X P λλ 029771.0021363.0051134.0=-= (2)566530.0}4{}3{=≥=>X P X P13. 某一公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为(1/2)t 的泊松分布,而与时间间隔的起点无关(时间以小时计).(1)求某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率.(2)求某一天中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率.解:2tλ= ()X πλ①32λ= {}3200.2231P X e -===②52λ= {} 2.512.510.918!k k e P X k -∞=≥==∑14、解:~(2)X t π(1)、10t =分钟时16t =小时,6{}131310.2388!1k ee P X k κλ--====(2)、{}00.5P X =≥故()0220.50.346571tt e t -≥⇒≥(小时)所以0.34657*6020.79t ≥≈(分钟) 15、解:{}()(){}10500005000100.001510.0015100.8622k kk P X k P X -=⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭≤≈∑ 16、解:{}{}{}011000,0.0001,0.12101110.99530.00470!1!n p np P X P X P X e e λλλλλ--====≥=-=-==--≈-=17、解:设X 服从()01分布,其分布率为{}()11,0,1kk P X k p p k -==-=,求X 的分布函数,并作出其图形.解一:X 0 1 k p1p - p()0,1XX 的分布函数为:()0010111x F x p x x , <⎧⎪=- , ≤<⎨⎪ , ≥⎩718.在区间[]0,a 上任意投掷一个质点,以X 表示这个质点的坐标.设这个质点落在[]0,a 中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例,试求X 的分布函数.解:① 当0X <时.{}X x ≤是不可能事件,(){}0F X P X x =≤=②当0x a ≤≤时, {}0P X x kx ≤≤= 而 {}0X a ≤≤是必然事件 {}101P X x ka k a∴≤≤==⇒= {}0x P X x kx a∴≤≤==则 (){}{}{}00x F x P X x P X P X x a=≤=≤+≤≤=③当x a >时,{}X x ≤是必然事件,有(){}1F x P X x =≤=()0001x x F x x a a x a , < ⎧⎪⎪∴ , ≤≤⎨⎪ , >⎪⎩19、以X 表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间(以分计),X 的分布函数是⎩⎨⎧<≥-=-000,1)(4.0x x e x F x X求下述概率:(1)P {至多3分钟};(2)P {至少4分钟};(3)P {3分钟至4分钟之间};(4)P {至多3分钟或至少4分钟};(5)P {恰好分钟} 解:(1)P {至多3分钟}= P {X ≤3} =2.11)3(--=e F X (2)P {至少4分钟} P (X ≥4) =6.1)4(1-=-e F X(3)P {3分钟至4分钟之间}= P {3<X ≤4}=6.12.1)3()4(---=-e e F F X X (4)P {至多3分钟或至少4分钟}= P {至多3分钟}+P {至少4分钟} =6.12.11--+-e e (5)P {恰好分钟}= P (X ==020、设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.,1,1,ln ,1,0)(e x e x x x x F X ,求(1)P (X<2), P {0<X ≤3}, P (2<X<25);(2)求概率密度f X (x ).解:(1)P (X ≤2)=F X (2)= ln2, P (0<X ≤3)= F X (3)-F X (0)=1,45ln 2ln 25ln )2()25(252(=-=-=<<X X F F X P8(2)⎪⎩⎪⎨⎧<<==其它,0,1,1)(')(e x x x F x f21、设随机变量X 的概率密度)(x f 为(1)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其它01112)(2x x x f π(2)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤=其他021210)(x x x x x f求X 的分布函数F (x ),并作出(2)中的f (x )与F (x )的图形.解:(1)当-1≤x ≤1时:21arcsin 111arcsin 211212120)(212121++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-+=---∞-⎰⎰x πx x πx x x πdx x πdx x F Xx当1<x 时:10120)(11121=+-+=⎰⎰⎰--∞-xdx dx x πdx x F故分布函数为:⎪⎩⎪⎨⎧<≤≤-++--<=x x x πx x πx x F 111121arcsin 11110)(2解:(2)⎰∞-=≤=xdt t f x X P x F )()()(⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+-++=<--=-++=≤≤=+=<≤==<∞-∞-∞-∞-122121120010)2(0)(,2122)2(0)(,2120)(,1000)(,0xxxxdt dt t dt t dt x F x xx dt t dt t dt x F x x dt t dt x F x dt x F x 时当时当时当时当故分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤≤--<≤<=xx x x x x x x F 212112210200)(22(2)中的f (x )与F (x )的图形如下f (x )(Maxwell)分布,其概率密度为()220xbAx e xf x-⎧⎪ , >=⎨,⎪⎩其它其中2b m kT=,k为Boltzmann常数,T为绝对温度,m是分子的质量.试确定常数A.解: ①()1x dx+∞-∞=⎰即()22xbf x dx Ax e dx-+∞+∞-∞=⎰⎰222xbAb xxe db-+∞⎛⎫=--⎪⎝⎭⎰22200()|222x x xb b bAb Ab Abxd e xe e dx---+∞+∞+∞=-=-+⎰⎰2212002xbAbe dx d x--+∞+∞⎤==⎥⎦⎰1122Ab==221122uduπ+∞-⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎰A∴=②当0t<时,()00tTF t dt-∆=⋅=⎰当0t≥时,()()()2411241xt tT TF t f x dt F t e dt--∞=⋅==⎰⎰2411te-=-()2410,01,0tTtF te t-<⎧⎪∴=⎨⎪- ≥⎩{}{}{}()()501001005010050P T P T P T F F∴<<=<-≤=-50100e e--=-或{}()1005050100P T f t dt<<=⎰50100100241241241501241te dt e e---==-⎰xF (x)923、某种型号的电子的寿命X (以小时计)具有以下的概率密度:⎪⎩⎪⎨⎧>=其它010001000)(2x x x f现有一大批此种管子(设各电子管损坏与否相互独立).任取5只,问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少解:一个电子管寿命大于1500小时的概率为32)321(1)1(1000110001)1500(1)1500(15001000150010002=--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=-=≤-=>⎰x dx x X P X P令Y 表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”.则)32,5(~B Y ,{}24323224311132511)31()32()31(1)1()0(1)2(1)2(54155=-=⨯+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅⋅+-==+=-=<-=≥C Y P Y P Y P Y P24、设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X (以分计)服从指数分布,其概率密度为:⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它,00,51)(5x e x F xX某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次.以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,写出Y 的分布律.并求P (Y ≥1).解:该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为21051051051)()10(-∞+-∞+-∞+=-===>⎰⎰e edx edx x f X P xx X因此5,4,3,2,1(,)1(5)().,5(~5222=-⎪⎭⎫ ⎝⎛==----k e e k k Y P e B Y kk 即.5167.04833.018677.01)1353363.01(1)389.711(1)1(1)0(1)1(1)1(55552=-=-=--=--=--==-=<-=≥-e Y P Y P Y P 25、设K 在(0,5)上服从均匀分布,求方程02442=+++K xK x 有实根的概率∵K 的分布密度为:⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他50051)(K K f要方程有根,就是要K 满足(4K )2-4×4× (K+2)≥0. 解不等式,得K ≥2时,方程有实根. ∴53051)()2(5522=+==≥⎰⎰⎰∞+∞+dx dx dx x f K P 26、设X ~N ()(1)求P (2<X ≤5),P (-4)<X ≤10),P {|X|>2},P (X>3) ∵ 若X ~N (μ,σ2),则P (α<X ≤β)=φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-σμβφ⎪⎭⎫ ⎝⎛-σμα∴P (2<X ≤5) =φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-235φ⎪⎭⎫ ⎝⎛-232=φ(1)-φ(- =-=P (-4<X ≤10) =φ-⎪⎭⎫⎝⎛-2310φ⎪⎭⎫ ⎝⎛--234=φ-φ(-=-=P (|X |>2)=1-P (|X |<2)= 1-P (-2< P <2 )=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-2322321 =1-φ(- +φ(- =1-+=P (X >3)=1-P (X ≤3)=1-φ⎪⎭⎫⎝⎛-233=1-= (2)决定C 使得P (X > C )=P (X ≤C )∵ P (X > C )=1-P (X ≤C )= P (X ≤C ) 得 P (X ≤C )=21=又P (X ≤C )=φ023,5.023=-=⎪⎭⎫⎝⎛-C C 查表可得∴ C =327、某地区18岁的女青年的血压(收缩区,以mm-Hg 计)服从)12,110(2N 在该地区任选一18岁女青年,测量她的血压X .求(1)P (X ≤105),P (100<X ≤120). (2)确定最小的X 使P (X>x ) ≤ .解:3384.06616.01)4167.0(1)4167.0()12110105()105()1(=-=Φ-=-Φ=-Φ=≤X P 5952.017976.021)8333.0(21)65(2)65()65()12110100()12110120()120100(=-⨯=-Φ=-Φ=-Φ-Φ=-Φ--Φ=≤<X P.74.129.74.12974.19110.645.112110.95.0)12110(05.0)12110(1)(1)()2(==+≥⇒≥-≥-Φ⇒≤-Φ-=≤-=>X x x x x x X P x X P 故最小的查表得28、由某机器生产的螺栓长度(cm )服从参数为μ=,σ=的正态分布.规定长度在范围±内为合格品,求一螺栓为不合格的概率是多少设螺栓长度为X P {X 不属于-, + =1-P -<X <+=1-⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--Φ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+Φ06.005.10)12.005.10(06.005.10)12.005.10( =1-{φ(2)-φ(-2)}=1-{-} =29、一工厂生产的电子管的寿命X (以小时计)服从参数为μ=160,σ(未知)的正态分布,若要求P (120<X ≤200==,允许σ最大为多少∵ P (120<X ≤200)=80.04040160120160200=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫⎝⎛-Φσσσσ又对标准正态分布有φ(-x )=1-φ(x )∴ 上式变为80.040140≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ--⎪⎭⎫ ⎝⎛Φσσ 解出9.040:40≥⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ⎪⎭⎫ ⎝⎛Φσσ便得 再查表,得25.31281.140281.140=≤≥σσ30、解:[]{}{}{}223120~(120,2) ~(0,1)2P 118,122P 1181222P 12(10.8413)0.31745(1)0.32042V V N X N V V V X p p -=∉=<⋃>=->=-=⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭则p=31、解:0 ,0()0.20.8/30 ,0301 ,30x F x x x x <⎧⎪=+≤<⎨⎪≥⎩32、解:[]()0,()0,01()(1)()0()(1)()()(1)()(1)1f xg x a af x a g x af x a g x dx a f x dx a g x dx a a ∞∞∞-∞-∞-∞≥≥<<∴+-≥+-=+-=+-=⎰⎰⎰且所以()(1)()af x a g x +-为概率密度函数 33、设随机变量X 的分布律为: X :-2, -1, 0, 1, 3P :51,61, 51, 151,3011求Y=X 2的分布律 ∵ Y=X 2:(-2)2 (-1)2 (0)2(1)2(3)2 P : 516151 1513011 再把X 2的取值相同的合并,并按从小到大排列,就得函数Y 的分布律为:∴ Y : 0 1 4 9P : 5115161+ 51301134、设随机变量X 在(0,1)上服从均匀分布 (1)求Y=e X 的分布密度 ∵ X 的分布密度为:⎩⎨⎧<<=为其他x x x f 0101)(Y=g (X ) =e X 是单调增函数 又 X=h (Y )=lnY ,反函数存在 且 α = min [g (0), g (1)]=min (1, e )=1 =βmax [g (0), g (1)]=max (1, e )= e∴ Y 的分布密度为:⎪⎩⎪⎨⎧<<⋅=⋅=为其他y e y yy h y h f y ψ0111|)('|)]([)((2)求Y=-2lnX 的概率密度.∵ Y= g (X )=-2lnX 是单调减函数又 2)(Y e Y h X -== 反函数存在. 且 α = min [g (0), g (1)]=min (+∞, 0 )=0 β=max [g (0), g (1)]=max (+∞, 0 )= +∞∴ Y 的分布密度为:⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<=-⋅=⋅=--为其他y y e ey h y h f y ψy y 0021211|)('|)]([)(2235、设X ~N (0,1) (1)求Y=e X 的概率密度 ∵ X 的概率密度是+∞<<∞-=-x e πx f x ,21)(22Y= g (X )=e X 是单调增函数 又 X= h (Y ) = lnY 反函数存在 且 α = min [g (-∞), g (+∞)]=min (0, +∞)=0 β = max [g (-∞), g (+∞)]= max (0, +∞)= +∞ ∴ Y 的分布密度为:⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<⋅=⋅=-为其他y y y e πy h y h f y ψy 00121|)('|)]([)(2)(ln 2 (2)求Y=2X 2+1的概率密度.在这里,Y=2X 2+1在(+∞,-∞)不是单调函数,没有一般的结论可用. 设Y 的分布函数是F Y (y ), 则 F Y ( y )=P (Y ≤y )=P (2X 2+1≤y ) =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≤≤--2121y X y P 当y<1时:F Y ( y )=0当y ≥1时:⎰----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤--=212122212121)(y y x y dx e πy X y P y F故Y 的分布密度ψ( y )是:当y ≤1时:ψ( y )= [F Y ( y )]' = (0)' =0当y>1时,ψ( y )= [F Y ( y )]' ='⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎰----21212221y y x dx eπ=41)1(21---y ey π(3)求Y=| X |的概率密度. ∵ Y 的分布函数为 F Y ( y )=P (Y ≤y )=P ( | X |≤y ) 当y<0时,F Y ( y )=0当y ≥0时,F Y ( y )=P (| X |≤y )=P (-y ≤X ≤y )=⎰--y yx dx e π2221∴ Y 的概率密度为:当y ≤0时:ψ( y )= [F Y ( y )]' = (0)' =0当y>0时:ψ( y )= [F Y ( y )]' =2222221y y yx e πdx e π---='⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎰36、(1)设随机变量X 的概率密度为f (x ),求Y = X 3的概率密度. ∵ Y=g (X )= X 3 是X 单调增函数, 又 X =h (Y ) =31Y ,反函数存在, 且 α = min [g (-∞), g (+∞)]=min (0, +∞)=-∞ β = max [g (-∞), g (+∞)]= max (0, +∞)= +∞ ∴ Y 的分布密度为:ψ( y )= f [h ( h )]·| h' ( y )| = 0,,31)(3231≠+∞<<∞-⋅-y y y y f 但0)0(=ψ(2)设随机变量X 服从参数为1的指数分布,求Y=X 2的概率密度.法一:∵ X 的分布密度为:⎩⎨⎧≤>=-00)(x x e x f xY =x 2是非单调函数当 x<0时 y =x 2 反函数是y x -= 当 x<0时 y =x 2y x =∴ Y ~ f Y (y ) = ))(())(('+'--y y f y y f -y y=⎪⎩⎪⎨⎧≤>=+--00,21210y y e ye yyy法二:)()()()()(~y X P y X P y X y P y Y P y Y F Y -≤-≤=≤<-=≤=⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=+--⎰,00,100y y e dx e y y x∴ Y ~ f Y (y ) =⎪⎩⎪⎨⎧≤>-.0,0.0,21y y e y y37、设X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=为其他x πx πxx f 002)(2xOyy=x 2求Y =sin X 的概率密度. ∵ F Y ( y )=P (Y ≤y ) = P (sin X ≤y ) 当y<0时:F Y ( y )=0当0≤y ≤1时:F Y ( y ) = P (sin X ≤y ) = P (0≤X ≤arc sin y 或π-arc sin y ≤X ≤π)=⎰⎰-+πy πy dx πx dx πxarcsin 2arcsin 0222当1<y 时:F Y ( y )=1∴ Y 的概率密度ψ( y )为:y ≤0时,ψ( y )=[ F Y ( y )]' = (0 )' = 0 0<y <1时,ψ( y )=[ F Y ( y )]' ='⎪⎭⎫⎝⎛+⎰⎰-πy πydx πx dx πxarcsin 2arcsin 0222=212yπ-1≤y 时,ψ( y )=[ F Y ( y )]' = )1(' = 038、设电流I 是一个随机变量,它均匀分布在9安11安之间.若此电流通过2欧的电阻,在其上消耗22.W I =求W 的概率密度.解:I 在()9,11上服从均匀分布I ∴的概率密度为:()1,1120,q x f x ⎧ <<⎪=⎨⎪ ⎩其它22W I =的取值为162242W <<分布函数 (){}{}2222w w F w P W w P I w P I ⎧⎫=≤=≤=≤⎨⎬⎩⎭()q P Q i f x dx ⎧⎪=<≤=⎨⎪⎩12q q ⎫==⎪⎪⎭()()',1622420,w w w f w F w <<∴== ⎩其它 39、某物体的温度T (o F )是一个随机变量,且有T ~N (,2),试求θ(℃)的概率密度.[已知)32(95-=T θ]法一:∵ T 的概率密度为+∞<<∞-=⨯--t et f t ,221)(22)6.98(2π又 )32(95)(-==T T g θ 是单调增函数. 3259)(+==θθh T 反函数存在.且 α = min [g (-∞), g (+∞)]=min (-∞, +∞)=-∞ β = max [g (-∞), g (+∞)]= max (-∞, +∞)= +∞ ∴ θ的概率密度ψ(θ)为59221|)('|)]([)(4)6.983259(2⋅=⋅=-+-θeπθh θh f θψ +∞<<∞-=--θeπθ,109100)37(812法二:根据定理:若X ~N (α1, σ1),则Y=aX+b ~N (aα1+b, a 2 σ2 ) 由于T ~N (, 2)故 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-=295,9333295,91606.9895~91609522N N T θ故θ的概率密度为:+∞<<∞-==--⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫⎝⎛--θππθψθθ,10929521)(100)37(8129529333222ee。
随机变量及其分布方法总结经典习题及解答
随机变量及其分布方法总结经典习题及解答一、离散型随机变量及其分布列1、离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量。
常用大写英文字母X、Y等或希腊字母ξ、η等表示。
2、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为:x1,x2,…,x3,…,ξ取每一个值xi(i=1,2,…)的概率为,则称表ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…为随机变量ξ的分布列3、分布列的两个性质:⑴Pi≥0,i=1,2,… ⑵P1+P2+…=1、常用性质来判断所求随机变量的分布列是否正确!二、热点考点题型考点一: 离散型随机变量分布列的性质1、随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ=n)=(n=1,2,3,4),其中a是常数,则P(<ξ<)的值为A、B、C、D、答案:D考点二:离散型随机变量及其分布列的计算2、有六节电池,其中有2只没电,4只有电,每次随机抽取一个测试,不放回,直至分清楚有电没电为止,所要测试的次数为随机变量,求的分布列。
解:由题知2,3,4,5∵ 表示前2只测试均为没电,∴ ∵ 表示前两次中一好一坏,第三次为坏,∴ ∵ 表示前四只均为好,或前三只中一坏二好,第四个为坏,∴ ∵ 表示前四只三好一坏,第五只为坏或前四只三好一坏第五只为好∴ ∴ 分布列为2345P三、条件概率、事件的独立性、独立重复试验、二项分布与超几何分布1、条件概率:称为在事件A发生的条件下,事件B发生的概率。
2、相互独立事件:如果事件A(或B)是否发生对事件B (或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。
①如果事件A、B是相互独立事件,那么,A与、与B、与都是相互独立事件②两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积。
我们把两个事件A、B同时发生记作AB,则有P(AB)= P(A)P(B)推广:如果事件A1,A2,…An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积。
离散型随机变量及其分布列测试题(含答案)
离散型随机变量及其分布列测试题一、选择题:1、如果X 是一个离散型随机变量,则假命题是( )A.X 取每一个可能值的概率都是非负数;B.X 取所有可能值的概率之和为1;C.X 取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和;D.X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和2①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数X ;②在(0,1)区间内随机的取一个数X ;③某超市一天中的顾客量X 其中的X 是离散型随机变量的是( ) A .①; B .②; C .③; D .①③3、设离散型随机变量ξ的概率分布如下,则a 的值为( )X1 2 3 4P16 13 16aA .12 B .16 C .13 D .144、设随机变量X 的分布列为()()1,2,3,,,k P X k k n λ===⋯⋯,则λ的值为( )A .1;B .12; C .13; D .145.给出下列四个命题:①15秒内,通过某十字路口的汽车的数量是随机变量; ②在一段时间内,某侯车室内侯车的旅客人数是随机变量; ③一条河流每年的最大流量是随机变量;④一个剧场共有三个出口,散场后某一出口退场的人数是随机变量. 其中正确的个数是( D )A.1 B.2 C.3 D.46、设随机变量X 等可能取1、2、3...n 值,如果(4)0.4p X ≤=,则n 值为( )A. 4B. 6C. 10D. 无法确定7、投掷两枚骰子,所得点数之和记为X ,那么4X =表示的随机实验结果是( )A. 一枚是3点,一枚是1点B. 两枚都是2点C. 两枚都是4点D. 一枚是3点,一枚是1点或两枚都是2点8.盒中有10只螺丝钉,其中有3只是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是310的事件为( )A .恰有1只是坏的B .4只全是好的C .恰有2只是好的D .至多有2只是坏的9.(2007年湖北卷第1题)如果nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223 的展开式中含有非零常数项,则正整数n 的最小值为A.3B.5C.6D.1010.(2007年湖北卷第9题)连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ,记向量a =(m,n)与向量b =(1,-1)的夹角为θ,则⎥⎦⎤ ⎝⎛π∈θ20,的概率是A.125 B.21 C.127 D.65 11.(2007年北京卷第5题)记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一行,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有A .1440种 B.960种 C .720种 D.480种12.(2007年全国卷Ⅱ第10题)从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有 (A)40种 (B) 60种 (C) 100种 (D) 120种 二、填空题:13、下列表中能成为随机变量X 的分布列的是(把全部正确的答案序号填上)()2,1,2,3,,21n P X k k n ===-14、已知2Y X =为离散型随机变量,Y 的取值为1,2,3,,10,则X 的取值为15、一袋中装有5只同样大小的白球,编号为1,2,3,4,5现从该袋内随机取出3只球,被取出的球的最大号码数X 可能取值为16.(2007年重庆卷第4题)若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为_____三、解答题:17、某城市出租汽车的起步价为10元,行驶路程不超出4km ,则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km ,则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足1km 的部分按lkm 计).从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km.某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客,由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定,每停车5分钟按lkm 路程计费),这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量,他收旅客的租车费可也是一个随机变量 (1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式; (2)已知某旅客实付租车费38元,而出租汽车实际行驶了15km ,问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?18、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球,已知红球个数是绿球个数的两倍,黄球个数是绿球个数的一半.现从该盒中随机取出一个球,若取出红球得1分,取出黄球得0分,取出绿球得-1分,试写出从该盒中取出一球所得分数X 的分布列.分析:欲写出ξ的分布列,要先求出ξ的所有取值,以及ξ取每一值时的概率. 19.(2007年重庆卷第6题)从5张100元,3张200元,2张300元的奥运预赛门票中任取3张,则所取3张中至少有2张价格相同的概率20.(2007年辽宁卷)一个坛子里有编号为1,2,…,12的12个大小相同的球,其中1到6号球是红球,其余的是黑球. 若从中任取两个球,则取到的都是红球,且至少有1个球的号码是偶数的概率为多少21、一个类似于细胞分裂的物体,一次分裂为二,两次分裂为四,如此继续分裂有限多次,而随机终止.设分裂n 次终止的概率是n21(n =1,2,3,…).记X 为原物体在分裂终止后所生成的子块数目,求(10)P X ≤.22.(本题满分12分)(2010·浙江杭州高二检测)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A ,B ,C ,D 四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率;X -1 0 1 p0.3 0.4 0.4X 1 2 3 p0.4 0.7 -0.1X 5 0 -5 p0.3 0.6 0.1②()1,2,3,4,5,P X k k k===④ ⑤(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;(3)设随机变量X 为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数,求X 的分布列.高中数学系列2—3单元测试题(2.1)参考答案一、选择题:1、D2、D3、C4、B5、D6、C7、D8、C9、B 10、C 11、B 12、B 二、填空题: 13、 ③④14、13579,1,,2,,3,,4,,52222215、 3,4,5 16、 20三、解答题:17、解:(1)依题意得η=2(ξ-4)+10,即η=2ξ+2 (2)由38=2ξ+2,得ξ=18,5×(18-15)=15. 所以,出租车在途中因故停车累计最多15分钟. 18、解:设黄球的个数为n ,由题意知绿球个数为2n ,红球个数为4n ,盒中的总数为7n .∴44(1)77n P X n ===,1(0)77n P X n ===,22(1)77n P X n =-==. 所以从该盒中随机取出一球所得分数X 的分布列为X 10 -1 P74 71 72 19、解从总数为10的门票中任取3张,总的基本事件数是C 310=120,而“至少有2张价格相同”则包括了“恰有2张价格相同”和“恰有3张价格相同”,即C 25+C 9033351822172315=++⋅+⋅⋅C C C C C C (种).所以,所求概率为.4312090= 20解P (A )=112211122232562122326=⨯⨯-⨯=-C C C .21、解:依题意,原物体在分裂终止后所生成的数目X 的分布列为X2 4 8 16 ...n 2 ... P21 41 81 161 ... n21 ...∴(10)(2)(4)(8)P X P X P X P X ≤==+=+==8842=++.22.[解析] (1)记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件E A ,那么P (E A )=A 33C 25A 44=140.即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140.(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ,那么P (E )=A 44C 25A 44=110.所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P (E )=1-P (E )=910.(3)随机变量X 可能取的值为1,2,事件“X =2”是指有两人同时参加A 岗位服务,则P (X =2)=C 25A 33C 25A 44=14.所以P (X =1)=1-P (X =2)=34,X 的分布列为:。
常见离散型随机变量分布列示例
常见随机事件的概率与分布列示例1、耗用子弹数的分布列例 某射手有5发子弹,射击一次命中概率为0.9,如果命中就停止射击,否则一直到子弹用尽,求耗用子弹数ξ的分布列.分析:确定ξ取哪些值以及各值所代表的随机事件概率,分布列即获得.解:本题要求我们给出耗用子弹数ξ的概率分布列.我们知道只有5发子弹,所以ξ的取值只有1,2,3,4,5.当1=ξ时,即9.0)1(==ξP ;当2=ξ时,要求第一次没射中,第二次射中,故09.09.01.0)2(=⨯==ξP ;同理,3=ξ时,要求前两次没有射中,第三次射中,009.09.01.0)3(2=⨯==ξP ;类似地,0009.09.01.0)4(3=⨯==ξP ;第5次射击不同,只要前四次射不中,都要射第5发子弹,也不考虑是否射中,所以41.0)5(==ξP ,所以耗用子弹数ξ的分布列为:ξ0 1 2 3P 0.9 0.09 0.009 0.0001说明:搞清5=ξ的含义,防止这步出错.5=ξ时,可分两种情况:一是前4发都没射中,恰第5发射中,概率为0.14×0.9;二是这5发都没射中,概率为0.15,所以,541.09.01.0)5(+⨯==ξP .当然,5=ξ还有一种算法:即0001.0)0009.0009.009.09.0(1)5(=+++-==ξP .2、独立重复试验某事件发生偶数次的概率例 如果在一次试验中,某事件A 发生的概率为p ,那么在n 次独立重复试验中,这件事A 发生偶数次的概率为________.分析:发生事件A的次数()p n B ,~ξ,所以,),,2,1,0,1(,)(n k p q q p C k p kn k k n =-===-ξ其中的k 取偶数0,2,4,…时,为二项式n q p )(+ 展开式的奇数项的和,由此入手,可获结论.解:由题,因为()p n B ,~ξ且ξ取不同值时事件互斥,所以,[][]n n n n n n n n n p p q p q q p C q p C q p C P P P P )21(121)()(21)4()2()0(44422200-+=-++=+++=+=+=+==-- ξξξ.(因为1=+q p ,所以p p q 21-=-)说明:如何获得二项展开式中的偶数次的和?这需要抓住np q )(+与np q )(-展开式的特点:联系与区分,从而达到去除p 奇次,留下p 偶次的目的.3、根据分布列求随机变量组合的分布列例 已知随机变量ξ 的分布列为ξ-2 -1 0 1 2 3P121123 124 121 122 121 分别求出随机变量221,2ξ η ξ η ==的分布列. 解: 由于ξ η 211=对于不同的ξ 有不同的取值x y 21=,即2321,121,2121,021,2121,121665544332211========-==-==x y x y x y x y x y x y ,所以1η 的分布列为1η-121- 021 132 P121123 124 121 122 121 22ξ η =对于ξ 的不同取值-2,2及-1,1,2η分别取相同的值4与1,即2η 取4这个值的概率应是ξ 取-2与2值的概率121与122合并的结果,2η 取1这个值的概率就是ξ 取-1与1值的概率123与121合并的结果,故2η 的分布列为 2η0 1 4 9P124 124 123 121 说明:在得到的1η 或2η 的分布列中,1η 或2η 的取值行中无重复数,概率得中各项必须非负,且各项之和一定等于1.4、成功咨询人数的分布列例 某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为43,某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心.且每人只拨打一次,求他们中成功咨询的人数ξ的分布列.分析:3个人各做一次试验,看成三次独立重复试验,拨通这一电话的人数即为事件的发生次数ξ,故符合二项分布.解:由题:⎪⎭⎫ ⎝⎛43,3~B ξ,所以3,2,1,0,4143)(33=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k C k P kk k ξ,分布列为ξ 0 1 2 3P641 649 6427 6427说明:次独立重复实验中,以事件发生的次数ξ为随机变量.5、盒中球上标数于5关系的概率分布列例 盒中装有大小相等的球10个,编号分别为0,1,2,…,9,从中任取1个,观察号码是“小于5”“等于5”“大于5”三类情况之一.规定一个随机变量,并求其概率分布列.分析:要求其概率的分布列可以先求个小球所对应的概率.解:分别用321,,x x x 表示题设中的三类情况的结果:1x 表示“小于5”的情况,2x 表示“等于5”的情况,3x 表示“大于5”的情况.设随机变量为ξ ,它可能取的值为ξ ,,,321x x x 取每个值的概率为P x P ==)(1ξ (取出的球号码小于5)=105, P x P ==)(2ξ (取出的球号码等于5)=101, P x P ==)(3ξ (取出的球号码大于5)=104. 故ξ 的分布列为ξ1x 2x 3xP21101 52小结:分布列是我们进一步解决随机变量有关问题的基础,因此准确写出随机变量的分布列是很重要的,但是我们不能保证它的准确性,这时我们要注意运算的准确性外,还可以利用11=∑=ni ip进行检验.6、求随机变量的分布列例 一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取3只,以ξ 表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量ξ 的分布列.分析:由于任取三个球,就不是任意排列,而要有固定的顺序,其中球上的最大号码只有可能是3,4,5,可以利用组合的方法计算其概率.解:随机变量ξ 的取值为3,4,5.当ξ =3时,即取出的三只球中最大号码为3,则其他二球的编号只能是1,2,故有;101C C )3(3523===ξ P当ξ =4时,即取出的三只球中最大号码为4,则其他二球只能在编号为1,2,3的3球中取2个,故有;103C C )4(3523===ξ P当ξ =5时,即取出的三只球中最大号码为5,则其他二球只能在编号为1,2,3,4的4球中取2个,故有.53106C C )5(3523====ξ P因此,ξ 的分布列为ξ3 4 5P101103 106 说明:对于随机变量ξ 取值较多或无穷多时,应由简单情况先导出一般的通式,从而简化过程.7、取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列例 一批零件中有9个合格品与3个不合格品.安装机器时,从这批零件中任取一个.如果每次取出的不合格品不再放回去,求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列.分析:取出不合格品数的可能值是0,1,2,3,从而确定确定随机变量的可能值.解:以ξ 表示在取得合格品以前取出的不合格品数,则ξ 是一个随机变量,由题设ξ 可能取的数值是0,1,2,3.当ξ =0时,即第一次就取到合格品,其概率为;750.0123)0(===ξ P 当ξ =1时,即第一次取得不合格品,不放回,而第二次就取得合格品,其概率为;204.0119123)1(≈⋅==ξ P 当ξ =2时,即第一、二次取得不合格品,不放回,第三次取得合格品,其概率为;041.0119112123)2(≈⋅⋅==ξ P 当ξ =3时,即第一、二、三次均取得不合格品,而第四次取得合格品,其概率为.005.099101112123)3(≈⋅⋅⋅==ξ P 所以ξ 的分布列为ξ0 1 2 3 P0.7500.2040.0410.005说明:一般分布列的求法分三步:(1)首先确定随机变量ξ的取值哟哪些;(2)求出每种取值下的随机事件的概率;(3)列表对应,即为分布列.8、关于取球的随机变量的值和概率例 袋中有1个红球,2个白球,3个黑球,现从中任取一球观察其颜色.确定这个随机试验中的随机变量,并指出在这个随机试验中随机变量可能取的值及取每个值的概率.分析:随机变量变量是表示随机试验结果的变量,随机变量的可能取值是随机试验的所有可能的结果组成.解: 设集合},,{321x x x M =,其中1x 为“取到的球为红色的球”,2x 为“取到的球为白色的球”,3x 为“取到的球为黑色的球”. 我们规定:)3,2,1()(===i i x i ξ ξ ,即当i x x =时,i x =)(ξ,这样,我们确定)(x ξ 就是一个随机变量,它的自变是量x 取值不是一个实数,而是集合M 中的一个元素,即M x ∈,而随机变量ξ 本身的取值则为1,2,3三个实数,并且我们很容易求得ξ 分别取1,2,3三个值的概率,即.2163)3(,3162)2(,61)1(========ξ ξ ξ P P P说明:确定随机变量的取值是根据随机试验的所有可能的结果.。
随机变量及其分布列、期望与方差
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4.离散型随机变量的方差、标准差
(1)定义 n
①D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn=___∑ i_=_1_(_xi_-__E_(_X_)_)2_p_i ____为 随机变量 X 的方差,有时也记为 Var(X),并称 D(X)为随机变量 X 的标准差,记为 σ(X). ②公式:D(X)=___E_(_X_2_)-__[_E_(_X_)_]2___.
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2.离散型随机变量的分布列
(1)一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有___唯__一__的__实__数__X_(ω__)___ 与之对应,我们称X为随机变量.可能取值为有限个或可以__一__一__列__举____的随机变 量,我们称为离散型随机变量. (2)一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi 的概率___P_(_X_=__x_i_)=__p_i___,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列. (3)离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0(i=1,2,…,n);②p1+p2+…+pn=___1__.
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第二章随机变量及其分布练习题
第二章随机变量及其分布练习题1.甲、乙两人各进行一次射击,甲击中目标的概率是0.8,乙击中目标的概率是0.6,则两人都击中目标的概率是〔 〕A.1.4 B.0.9C.0.6 D.0.48 2.设随机变量1~62X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,则(3)P X =等于〔 〕 A.516 B.316 C.58 D.7163.设随机变量X 的概率分布列为X1 2 3 P 16 13 12则E (X +2)的值为 ( ).A.113 B .9 C.133 D.734.两台相互独立工作的电脑,产生故障的概率分别为a ,b ,则产生故障的电脑台数的均值为〔 〕A.abB.a b + C.1ab - D.1a b --5.某一般高校招生体育专业测试合格分数线确定为60分.甲、乙、丙三名考生独立参加测试,他们能到达合格的概率分别是0.9,0.8,0.75,则三人中至少有一人达标的概率为( )A .0.015B .0.005 6.设随机变量~()X B n p ,,则22()()DX EX 等于〔 〕 A.2p B.2(1)p - C.np D.2(1)p p -7.对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测,不放回地依次摸出2件.在第一次摸出正品的条件下,第二次也摸到正品的概率是().A.35 B.25 C.110 D.598.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A=“取到的2个数之和为偶数〞,事件B=“取到的2个数均为偶数〞,则P(B|A)=().A.18 B.14 C.25 D.129.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),P(ξ>1)=p,则P(-1<ξ<0)等于().A.12p B.1-p C.1-2p D.12-p10.已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),且P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.954 4,P(μ-σ<X<μ+σ)=0.682 6.假设μ=4,σ=1,则P(5<X<6)=( ) A.0.135 9 B.0.135 8C.0.271 8 D.0.271 611.甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3局2胜〞,即以先赢2局者为胜.依据经验,每局比赛中甲获胜的概率为0.6,则本次比赛甲获胜的概率是().A.0.216 B.0.36 C.0.432 D.0.648 12.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表:处字迹模糊,但能断定这两个“?〞处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案E(ξ)=________.13.如图,EFGH是以O为圆心、半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内〞,B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影局部)内〞,则(1)P(A)=________;(2)P(B|A)=________.14.某灯泡厂生产大批灯泡,其次品率为1.5%,从中任意地陆续取出100个,则其中正品数X的均值为个,方差为.15.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠,假设该电梯在底层载有5位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为1 3,用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数,则P(X=4)=________.16.在口袋中有不同编号的3个白球和2个黑球.如果不放回地依次取两个球,求在第1次取到白球的条件下,第2次也取到白球的概率.17.某商场为刺激消费,拟按以下方案进行促销:顾客每消费500元便得到奖券一张,每张奖券的中奖概率为12,假设中奖,商场返回忆客现金100元.某顾客现购置价格为2 300元的台式电脑一台,得到奖券4张.(1)设该顾客中奖的奖券张数为X,求X的分布列;(2)设该顾客购置台式电脑的实际支出为Y元,用X表示Y,并求Y的数学期望.18.某公司“咨询热线〞共有8路外线,经长期统计发觉,在8点到10点这段时间内,外线同时打入情况如下表所示:同时0 1 2 3 4 5 6 7 8打入个数x概率p 0.13 0.35 0.27 0.14 0.08 0.02 0.01 0 0〔1〕假设这段时间内,公司只安排了2位接线员〔一个接线员一次只能接一个〕①求至少一路不能一次接通的概率;②在一周五个工作日中,如果有三个工作日的这段时间〔8点至10点〕内至少一路不能一次接通,那么公司的形象将受到损害,现用至少一路不能一次接通的概率表示公司形象的“损害度〞,求上述情况下公司形象的“损害度〞.〔2〕求一周五个工作日的这段时间〔8点至10点〕内,同时打入数X的均值.19.某仪表厂从供给商处购置元器件20件,双方协商的验货规则是:从中任取3件进行质量检测,假设3件中无不合格品,则这批元器件被接受,否则就要重新对这批元器件逐个检查.(1)假设该批元器件的不合格率为10%,求需对这批元器件逐个检查的概率;(2)假设该批元器件的不合格率为20%,求3件中不合格元器件个数的分布列与期望.20.某商店试销某种商品20天,获得如下数据:日销售量(件)012 3频数159 5该商品3件,当天营业结束后检查存货.假设发觉存量少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货.将频率视为概率.(1)求当天商店不进货的概率;(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数.求X的分布列和数学期望.21.设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.。
随机变量及其分布列经典例题
随机变量及其分布列典型例题【知识梳理】一.离散型随机变量的定义1定义:在随机试验中,确定一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下,数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量. ①随机变量是一种对应关系;②实验结果必须与数字对应; ③数字会随着实验结果的变化而变化.2.表示:随机变量常用字母X ,Y ,ξ,η,…表示.3.所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) . 二.离散型随机变量的分布列1.一般地,若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1,x 2,…,x i ,…,x n, X 取每一个值x i (i =1,2,…,n )的概率P (X =x i )=p i ,则称表:为离散型随机变量X P(X =x i )=p i ,i =1,2,…,n, 也可以用图象来表示X 的分布列. 2.离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0,i =1,2,…,n ;②11=∑=ni ip.三.两个特殊分布 1.两点分布),1(~P B X若随机变量X 并称p =P (X =1)为成功概率. 2.超几何分布),,(~n M N H X一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P (X =k )=nNk n MN k M C C C --,k =0,1,2,…,m ,其中m =min {}n M ,,且n ≤N ,M ≤N ,n ,M ,N ∈N *.三.二项分布一般地,在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率为p ,则P (X =k )=C k n p k (1-p )n -k,k =0,1,2,…,n .此时称随机变量X 服从二项分布,记作X ~B (n ,p ),并称p 为成功概率.易得二项分布的分布列如下;【典型例题】题型一、随机变量分布列的性质【例1】设随机变量X 的分布列为,3,2,1,)32()(=⋅==i a i X P i ,则a 的值为____.题型二、随机变量的分布列【例3】 口袋中有6个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,现从中随机取出3个球,用X 表示取出的最大号码,求X 的分布列.【例4】安排5个大学生到A ,B ,C 三所学校支教,设每个大学生去任何一所学校是等可能的.(1)求5个大学生中恰有2个人去A 校支教的概率; (2)设有大学生去支教的学校的个数为ξ,求ξ的分布列.【例5】一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球,从中有放回地摸球,每次摸出一个,若有3次摸到红球即停止. (1)求恰好摸4次停止的概率;(2)记4次之内(含4次)摸到红球的次数为X ,求随机变量X 的分布列.【例6】从6名男生和4名女生中任选4人参加比赛,设被选中女生的人数为随机变量ξ,求:(1)ξ的分布列;(2)所选女生不少于2人的概率.【例7】甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是,乙能答对其中的5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,答对一题加10分,答错一题(不答视为答错)减5分,至少得15分才能入选.(Ⅰ)求乙得分的分布列;(Ⅱ)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.【例8】某仪器经过检验合格才能出厂,初检合格率为:若初检不合格,则需要进行调试,经调试后再次对其进行检验;若仍不合格,作为废品处理,再检合格率为.每台仪器各项费用如表:项目生产成本检验费/次调试费出厂价金额(元)1000 100 200 3000(Ⅰ)求每台仪器能出厂的概率;(Ⅱ)假设每台仪器是否合格相互独立,记X为生产两台仪器所获得的利润,求X的分布列和数学期望.【例9】某超市在节日期间进行有奖促销,凡在该超市购物满300元的顾客,将获得一次摸奖机会,规则如下:奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球,1个黄球,1个白球和1个黑球.顾客不放回地每次摸出1个球,若摸到黑球则停止摸奖,否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励10元,摸到白球或黄球奖励5元,摸到黑球不奖励.(1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率;(2)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额,随机变量X的分布列.。
数学-随机变量及其分布 试题版
第七章随机变量及其分布目录第七章随机变量及其分布 27.1条件概率与全概率公式 27.1.1条件概率 27.1.2全概率公式 3习题7.1 47.2离散型随机变量及其分布列 5习题7.2 67.3离散型随机变量的数字特征 77.3.1离散型随机变量的均值 77.3.2离散型随机变量的方差 9习题7.3 107.4二项分布与超几何分布 117.4.1二项分布 117.4.2超几何分布 13习题7.4 147.5正态分布 15习题7.5 16复习参考题7 17随机变量及其分布7.1条件概率与全概率公式7.1.1条件概率思考原理一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B∣A)=P(AB) P(A)为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率(conditional probability ).思考原理由条件概率的定义,对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B∣A)我们称上式为概率的乘法公式(multiplication formula).1在5道试题中有3道代数题和2道几何题,每次从中随机抽出1道题,抽出的题不再放回.求:(1)第1次抽到代数题目第2次抽到几何题的概率;(2)在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率.2已知3张奖券中只有1张有奖,甲、乙、丙3名同学依次无放回地各抽一张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗?3银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时,忘记了密码的最后1位数字,求:(1)任意按最后1位数字,不超过2次就按对的概率;(2)如果记得密码的最后1位是偶数,不超过2次就按对的概率.练习1.设A⊆B,且P(A)=0.3,P(B)=0.6.根据事件包含关系的意义及条件概率的意义,直接写出P(B∣A)和P(A∣B)的值再由条件概率公式进行验证.2.从一副不含大小王的52张扑克牌中,每次从中随机抽出1张扑克牌,抽出的牌不再放回.已知第1次抽到A牌,求第2次抽到A牌的概率.3.袋子中有10个大小相同的小球,其中7个白球,3个黑球.每次从袋子中随机摸出1个球,摸出的球不再放回.求:(1)在第1次摸到白球的条件下,第2次摸到白球的概率;(2)两次都摸到白球的概率.7.1.2全概率公式探究公式一般地,设A 1,A 2,⋯,A n 是一组两两互斥的事件,A 1∪A 2∪⋯∪A n =Ω,且P A i >0,i =1,2,⋯,n ,则对任意的事件B ⊆Ω,有P (B )=ni =1 P A i P B ∣A i .我们称上面的公式为全概率公式(t otalprobability formula ).4某学校有A ,B 两家餐厅,王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A 餐厅,那么第2天去A 餐厅的概率为0.6;如果第1天去B 餐厅,那么第2天去A 餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A 餐厅用餐的概率.5有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.(1)任取一个零件,计算它是次品的概率;(2)如果取到的零件是次品,计算它是第式£=1,2,3)台车床加工的概率.探究公式贝叶斯公式(Bayes formula ):设A 1,A 2,⋯,A n 是一组两两互斥的事件,A 1∪A 2∪⋯∪A n =Ω,且P A i >0,i =1,2,⋯,n ,则对任意的事件B ⊆Ω,贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯(T .Bayes ,1702-1761)发现的,它用来描述两个条件概率之间的关系.P (B )>0,有P A i ∣B =P A i P B ∣A iP (B )=P A i P B ∣A ink =1P A k P B ∣A k,i =1,2,⋯,n6在数字通信中心信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1;发送信号1时,接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.(1)分别求接收的信号为0和1的概率;(2)已知接收的信号为0,求发送的信号是1的概率.练习1.现有12道四选一的单选题,学生张君对其中9道题有思路,3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为0.9,没有思路的题只好任意猜一个答案,猜对答案的概率为0.25.张君从这12道题中随机选择1题,求他做对该题的概率.2.两批同种规格的产品,第一批占40%,次品率为5%;第二批占60%,次品率为4%.将两批产品混合,从混合产品中任取1件.(1)求这件产品是合格品的概率;(2)已知取到的是合格品,求它取自第一批产品的概率.习题7.1复习巩固1.为了研究不同性别学生患色盲的比例,调查了某学校2000名学生,数据如下表所示.男女合计色盲60262非色盲11407981938合计12008002000从这2000人中随机选择1个人.(1)已知选到的是男生,求他患色盲的概率;(2)已知选到的学生患色盲,求他是男生的概率.2.从人群中随机选出1人,设B=“选出的人患有心脏病”,C=“选出的人是年龄大于50岁的心脏病患者”,请你判断P(B)和P(C)的大小,并说明理由.3.甲、乙两人同时向一目标射击,已知甲命中目标的概率为0.6,乙命中目标的概率为0.5.已知目标至少被命中1次,求甲命中目标的概率.4.甲和乙两个箱子中各装有10个球,其中甲箱中有5个红球、5个白球,乙箱中有8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子,如果点数为1或2,从甲箱子随机摸出1个球;如果点数为3,4,5,6,从乙箱子中随机摸出1个球.求摸到红球的概率.5.在A、B、C三个地区爆发了流感,这三个地区分别有6%、5%、4%的人患了流感假设这三个地区的人口数的比为5:7:8,现从这三个地区中任意选取一个人.(1)求这个人患流感的概率;(2)如果此人患流感,求此人选自A地区的概率.6.已知P(A)>0,P(B)>0,P(B∣A)=P(B),证明:P(A∣B)=P(A).综合运用7.一批产品共有100件,其中5件为不合格品.收货方从中不放回地随机抽取产品进行检验,并按以下规则判断是否接受这批产品:如果抽检的第1件产品不合格,则拒绝整批产品;如果抽检的第1件产品合格,则再抽1件,如果抽检的第2件产品合格,则接受整批产品,否则拒绝整批产品.求这批产品被拒绝的概率.8.在孟德尔豌豆试验中,子二代的基因型为DD、Dd、dd,其中D为显性基因,d为隐性基因,且这三种基因型的比为1:2:1.如果在子二代中任意选取2颗豌豆作为父本杂交,那么子三代中基因型为dd的概率是多大?9.证明条件概率的性质(1)和(2).拓广探索10.证明:当P(AB)>0时,P(ABC)=P(A)P(B∣A)P(C∣AB).据此你能发现计算P A1A2⋅⋅⋅A n的公式吗?7.2离散型随机变量及其分布列思考原理一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X (ω)与之对应,我们称X 为随机变量(random var iable ).思考原理可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称为离散型随机变量(discrete random var iable ).通常用大写英文字母表示随机变量,例如X ,Y ,Z ;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x ,y ,z .思考原理一般地,设离散型随机变量X 的可能取值为x 1,x 2,⋯,x n ,我们称X 取每一个值x i 的概率P X =x i =p i ,i =1,2,⋯,n为X 的概率分布列(list of probability distribution ),简称分布列.探究公式对于只有两个可能结果的随机试验,用A 表示“成功”,A表示“失败”,定义X =1,A 发生,0,A发生.如果P (A )=p ,则P (A)=1-p ,那么X 的分布列如表7.2-3所示.表7.2-3X 01P1-pp我们称X 服从两点分布(two -po int distribution )或0-1分布.1一批产品中次品率为5%,随机抽取1件,定义X =1,抽到次品,0,抽到正品. 求X 的分布列.2某学校高二年级有200名学生,他们的体育综合测试成绩分5个等级,每个等级对应的分数和人数如表7.2-4所示.表7.2-4等级不及格及格中等良优分数12345人数2050604030从这200名学生中任意选取1人,求所选同学分数X 的分布列,以及P (X ≥4).3一批笔记本电脑共有10台,其中A 品牌3台,B 品牌7台.如果从中随机挑选2台,求这2台电脑中A 品牌台数的分布列.练习1.举出两个离散型随机变量的例子.2.下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示?若能,请写出各随机变量可能的取值,并说明这些值所表示的随机试验的结果.(1)抛掷2枚骰子,所得点数之和;(2)某足球队在5次点球中射进的球数;(3)任意抽取一瓶标有1500mL的饮料,其实际含量与规定含量之差.3.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7,求他罚球1次的得分的分布列.4.抛掷一枚质地均匀的硬币2次,写出正面向上次数X的分布列.习题7.2复习巩固1.张同学从学校回家要经过4个红绿灯路口,每个路口可能遇到红灯或绿灯.(1)写出随机试验的样本空间;(2)设他可能遇到红灯的次数为X,写出X的可能取值,并说明这些值所表示的随机事件.2.某位同学求得一个离散型随机变量的分布列为:X0123P0.20.30.150.45试说明该同学的计算结果是否正确.3.在某项体能测试中,跑1km时间不超过4min为优秀.某位同学跑1km所花费的时间X是离散型随机变量吗?如果只关心该同学是否能够取得优秀成绩,应该如何定义随机变量?4.某位射箭运动员命中目标的环数X的分布列为:X678910P0.050.150.250.350.20如果命中9环或10环为优秀,那么他一次射击成绩为优秀的概率是多少?综合运用5.老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵,规定至少要背出其中2篇才能及格,某同学只能背诵其中的6篇,试求:(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列;(2)他能及格的概率.6.某种资格证考试,每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过,便可领取资格证书.不再参加以后的考试,否则就继续参加考试,直到用完3次机会.李明决定参加考试,如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,且每次考试是否通过相互独立,试求:(1)李明在一年内参加考试次数X的分布列;(2)李明在一年内领到资格证书的概率.7.3离散型随机变量的数字特征7.3.1离散型随机变量的均值探究公式一般地,若离散型随机变量X的分布列如表7.3-2所示,表7.3-2X x1x2⋯x nP p1p2⋯p n则称E(X)=x1p1+x2p2+⋯+x n p nn=x i p ii=1为随机变量X的均值(m ean)或数学期望(mathematical exp ectation),数学期望简称期望.1在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8.那么他罚球1次的得分X的均值是多少?2抛掷一枚质地均匀的骰子,设出现的点数为X,求X的均值.3猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目,猜对每首歌曲的歌名相互独立,猜对三首歌曲A,B,C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表7.3-3所示.表7.3-3歌曲A B:C 猜对的概率0.80.60.4获得的公益基金额/元100020003000规则如下:按照A,B,C的顺序猜,只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.探究公式一般地,下面的结论成立:E(aX+b)=aE(X)+b.4根据天气预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01,该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失60600元,遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备,有以下3种方案:方案1运走设备,搬运费为3800元;方案2建保护围墙,建设费为2000元,但围墙只能防小洪水;方案3不采取措施.工地的领导该如何决策呢?练习1.已知随机变量X的分布列为:X12345P0.10.30.40.10.1(1)求E(X);(2)求E(3X+2).2.抛掷一枚硬币,规定正面向上得1分,反面向上得-1分,求得分X的均值.3.甲、乙两台机床生产同一种零件,它们生产的产量相同,在1h内生产出的次品数分别为X1,X2其分布列分别为:甲机床次品数的分布列X10123P0.40.30.20.1乙机床次品数的分布列X2012P0.30.50.2哪台机床更好?请解释你所得出结论的实际含义?7.3.2离散型随机变量的方差探究公式我们称D (X )=x 1-E (X ) 2p 1+x 2-E (X ) 2p 2+⋯+x n -E (X ) 2p n=ni =1 x i -E (X ) 2p i为随机变量X 的方差(va r iance ),有时也记为V ar (X ),并称D (X )为随机变量X 的标准差(s ta n dard deviation ),记为σ(X ).探究公式在方差的计算中,利用下面的结论经常可以使计算简化.D (X )=ni =1 x i -E (X ) 2p i=n i =1 x 2i -2E (X )x i +(E (X ))2p i=ni =1x 2i p i -2E (X )ni =1x i p i +(E (X ))2ni =1p i=ni =1x 2i p i -(E (X ))2.5抛掷一枚质地均匀的骰子,求掷出的点数X 的方差.6投资A ,B 两种股票,每股收益的分布列分别如表7.3-9和表7.3-10所示.表7.3-9股票A 收益的分布列收益X /元-102概率0.10.30.6表7.3-10股票B 收益的分布列收益Y /元012概率0.30.40.3(1)投资哪种股票的期望收益大?(2)投资哪种股票的风险较高?练习1.已知随机变量X 的分布列为:X 1234P0.20.30.40.1求D (X )和σ(2X +7).2.若随机变量X 满足P (X =c )=1,其中c 为常数,求D (X ).3.甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度,其误差(精确到1cm )X 和Y 的分布列如下:甲班的目测误差分布列X-2-1012P0.10.20.40.20.1乙班的目测误差分布列Y-2-1012P0.050.150.60.150.05先直观判断X和Y的分布哪一个离散程度大,再分别计算X和Y的方差,验证你的判断.!习题7.3复习巩固1.某品牌手机投放市场,每部手机可能发生按定价售出、打折后售出、没有售出而收回三种情况.按定价售出每部利润100元,打折后售出每部利润0元,没有售出而收回每部利润-300元.据市场分析,发生这三种情况的概率分别为0.6,0.3,0.1.求每部手机获利的均值和方差.2.现要发行10000张彩票,其中中奖金额为2元的彩票1000张,10元的彩票300张,50元的彩票100张,100元的彩票50张,1000元的彩票5张.1张彩票可能中奖金额的均值是多少元?3.随机变量X的分布列为P(X=0)=0.2,P(X=1)=a,P(X=2)=b,若E(X)=1,求a和b.4.在单项选择题中,每道题有4个选项,其中仅有一个选项正确.如果从四个选项中随机选一个,选对的概率为0.25.请给选对和选错分别赋予合适的分值,使得随机选择时得分的均值为0.5.证明:D(aX+b)=a2D(X).综合运用6.有A和B两道谜语,张某猜对A谜语的概率为0.8,猜对得奖金10元;猜对B谜语的概率为0.5,猜对得奖金20元,规则规定:只有在猜对第一道谜语的情况下,才有资格猜第二道.如果猜谜顺序由张某选择,他应该选择先猜哪一道谜语?7.甲、乙两种品牌的手表,它们的日走时误差分别为X和Y(单位:s),其分布列为:甲品牌的走时误差分布列X-101P0.10.80.1乙品牌的走时误差分布列Y-2-1012P0.10.20.40.20.1试比较甲、乙两种品牌手表的性能.拓广探索8.设E(X)=μ,a是不等于μ的常数,探究X相对于μ的偏离程度与X相对于a的偏离程度的大小,并说明结论的意义.7.4二项分布与超几何分布7.4.1二项分布思考原理我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验(Bernoulli trials ).思考原理我们将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为n 重伯努利试验.显然,n 重伯努利试验具有如下共同特征:(1)同一个伯努利试验重复做n 次;(2)各次试验的结果相互独立.探究公式一般地,在n 重伯努利试验中,设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p <1),用X 表示事件A 发生的次数,则X 的分布列为P (X =k )=C k n p k (1-p )n -k ,k =0,1,2,⋯,n如果随机变量X 的分布列具有上式的形式,则称随机变量X 服从二项分布(binomialdistribution ),记作X ∼B (n ,p ).1将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次,求:(1)恰好出现5次正面朝上的概率;(2)正面朝上出现的频率在0.4,0.6 内的概率.2如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉,小木钉之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入,小球下落的过程中,每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下,最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0,1,2,⋯,10,用X 表示小球最后落入格子的号码,求X 的分布列.3甲、乙两选手进行象棋比赛,如果每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更看利?归纳一般地,确定一个二项分布模型的步骤如下:(1)明确伯努利试验及事件A的意义,确定事件A发生的概率p;(2)确定重复试验的次数n,并判断各次试验的独立性;(3)设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数,则X∼B(n,p).探究公式一般地,可以证明:如果X∼B(n,p),那么E(X)=np,D(X)=np(1-p).练习1.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次,X表示“正面朝上”出现的次数.(1)求X的分布列;(2)E(X)=,D(X)=.2.鸡接种一种疫苗后,有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫苗,求:(1)没有鸡感染病毒的概率;(2)恰好有1只鸡感染病毒的概率.3.判断下列表述正确与否,并说明理由:(1)12道四选一的单选题,随机猜结果,猜对答案的题目数X~B(12,0.25);(2)100件产品中包含10件次品,不放回地随机抽取6件,其中的次品数Y~B(6,0.1).4.举出两个服从二项分布的随机变量的例子.7.4.2超几何分布探究公式一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X 表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=C k M C n-k N-kC n N,k=m,m+1,m+2,⋯,r其中n,N,M∈N∗,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布(hypergeometric distribution).探究公式随机变量X服从超几何分布,则E(X)=nM N4从50名学生中随机选出5名学生代表,求甲被选中的概率.5一批零件共有30个,其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行检测,求至少有1件不合格的概率.6一个袋子中有100个大小相同的球,其中有40个黄球、60个白球,从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.(1)分别就有放回摸球和不放回摸球,求X的分布列;(2)分别就有放回摸球和不放回摸球,用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例,求误差不超过0.1的概率:练习1.一箱24罐的饮料中4罐有奖券,每张奖券奖励饮料一罐,从中任意抽取2罐,求这2罐中有奖券的概率.2.学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会,已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到,求甲班恰有2名同学被选到的概率.3.举出两个服从超几何分布的随机变量的例子.习题7.4复习巩固1.抛掷一枚骰子,当出现5点或6点时,就说这次试验成功,求在30次试验中成功次数X的均值和方差.2.若某射手每次射击击中目标的概率为0.9,每次射击的结果相互独立,则在他连续4次的射击中,恰好有一次未击中目标的概率是多大.3.如图,一个质点在随机外力的作用下,从原点0出发,每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位,共移动6次.求下列事件的概率.(1)质点回到原点;(2)质点位于4的位置.4.从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张,求至少有2张A牌的概率(精确到0.00001).综合运用5.某射手每次射击击中目标的概率为0.8,共进行10次射击,求(精确到0.01):(1)恰有8次击中目标的概率;(2)至少有8次击中目标的概率.6.有一个摸奖游戏,在一个口袋中装有10个红球和20个白球,这些球除颜色外完全相同,一次从中摸出5个球,至少摸到3个红球就中奖.求中奖的概率(精确到0.001).7.一个车间有3台车床,它们各自独立工作.设同时发生故障的车床数为X,在下列两种情形下分别求X的分布列.(1)假设这3台车床型号相同,它们发生故障的概率都是20%;(2)这3台车床中有A型号2台,B型号1台,A型车床发生故障的概率为10%,B型车床发生故障的概率为20%.拓广探索8.某药厂研制一种新药,宣称对治疗某种疾病的有效率为90%.随机选择了10个病人,经过使用该药治疗后,治愈的人数不超过6人,你是否怀疑药厂的宣传.7.5正态分布思考原理取值往往充满某个区间甚至整个实轴,但取一点的概率为0,我们称这类随机变量为连续型随机变量(continuous random var iable).思考原理对任意的x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方.可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线,如图7.5-4所示.若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布(normal distribution ),记为X∼Nμ,σ2.特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.思考原理由X的密度函数及图象可以发现,正态曲线还有以下特点:(1)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;(2)曲线在x=μ处达到峰值1;σ2π(3)当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.探究公式若X∼Nμ,σ2,则E(X)=μ,D(X)=σ2.1李明上学有时坐公交车,有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,经数据分析得到:坐公交车平均用时30min,样本方差为36;骑自行车平均用时34min,样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.(1)估计X,Y的分布中的参数;(2)根据(1)中的估计结果,利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线;(3)如果某天有38min可用,李明应选择哪种交通工具?如果某天只有34min可用,又应该选择哪种交通工具?请说明理由.练习1.设随机变量X~N(0,1),则X的密度函数为,P X≤0≈,P X ≤1≈,P X≤1≈,P(X>1)≈.(精确到0.0001.)2.设随机变量X~N0,22,随机变量Y~N0,32,画出分布密度曲线草图,并指出P(X≤-2)与P(X≤2)的关系,以及P(|X|≤1)与P(|Y|≤1)之间的大小关系.3.举出两个服从正态分布的随机变量的例子.习题7.5复习巩固1.对某地区数学考试成绩的数据分析,男生成绩X服从正态分布N72,82,女生成绩Y服从正态分布N74,62.请你从不同角度比较男、女生的考试成绩.2.某市高二年级男生的身高X(单位:cm)近似服从正态分布N170,52,随机选择一名本市高二年级的男生,求下列事件的概率:(1)165<X≤175;(2)X≤165;(3)X>175.3.若X~Nμ,σ2,则X位于区域[μ,μ+σ]内的概率是多少?综合运用4.袋装食盐标准质量为400g,规定误差的绝对值不超过4g就认为合格.假设误差服从正态分布,随机抽取100袋食盐,误差的样本均值为0,样本方差为4.请你估计这批袋装食盐的合格率.复习参考题7复习巩固1.举例说明P(B)与P(B∣A)没有确定的大小关系.2.抛掷两枚质地均匀的骰子,求:(1)两个点数都出现偶数的概率;(2)已知第一枚骰子的点数是偶数的条件下,第二枚骰子的点数也是偶数的概率.3.假设有两箱零件,第一箱内装有10件,其中有2件次品;第二箱内装有20件,其中有3件次品.现从两箱中随意挑选一箱,然后从该箱中随机取1个零件.(1)求取出的零件是次品的概率;(2)已知取出的是次品,求它是从第一箱取出的概率.4.已知离散型随机变量X的分布列如下表所示:X012P0.361-2q q2求:(1)常数q的值;(2)E(X)和D(X).5.已知随机变量X取可能的值1,2,⋯,n是等可能的,且E(X)=10,求n的值.6.已知每门大炮击中目标的概率都是0.3,现存n门大炮同时对某一目标各射击一次.(1)当n=10时,求恰好击中目标3次的概率(精确到0.001);(2)如果使目标至少被击中一次的概率超过95%,至少需要多少门大炮?综合运用7.长时间玩手机可能影响视力.据调查,某校学生大约40%的人近视,而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1h,这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1h的学生中任意调查一名学生,求他近视的概率.8.某商场要在国庆节开展促销活动,促销活动可以在商场内举行,也可以在商场外举行.统计资料表明,每年国庆节商场内的促销活动可获得利润2万元;商场外的促销活动,如果不遇到有雨天气可获得利润8万元,如果遇到有雨天气则会带来经济损失3万元.9月30日气象台预报国庆节当地的降水概率是40%,商场应该选择哪种促销方式?9.一份某种意外伤害保险费为20元,保险金额为50万元.某城市的一家保险公司一年能销售10万份保单,而需要赔付的概率为10-5.利用计算工具求(精确到0.0001):(1)这家保险公司亏本的概率;(2)这家保险公司一年内获利不少于100万元的概率.拓广探索10.甲、乙、丙三人相互做传球训练,第1次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人,求n次传球后球在甲手中的概率.11.某单位有10000名职工,想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者.假设携带病毒的人占5%,如果对每个人的血样逐一化验,就需要化验10000次.统计专家提出了一种化验方法:随机地按5人一组分组,然后将各组5个人的血样混合再化验.如果混合血样呈阴性,说明这5个人全部阴性;如果混合血样呈阳性,说明其中至少有一人的血样呈阳性,就。
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随机变量及其分布列典型例题
【知识梳理】
一.离散型随机变量的定义
1定义:在随机试验中,确定一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下,数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量. ①随机变量是一种对应关系;②实验结果必须与数字对应; ③数字会随着实验结果的变化而变化.
2.表示:随机变量常用字母X ,Y ,ξ,η,…表示.
3.所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) .
二.离散型随机变量的分布列
1.一般地,若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1,x 2,…,x i ,…,x n, X 取每一个值
x i (i =1,2,…,n )的概率P (X =x i )=p i ,则称表:
为离散型随机变量X
P (X =x i )=p i ,
i =1,2,…,n, 也可以用图象来表示X 的分布列.
2.离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0,i =1,2,…,n ;②11
=∑=n
i i
p
.
三.两个特殊分布 1.两点分布),1(~P B X
若随机变量X 的分布列具有上表形式,则称服从两点分布,并称p =P (X =1)为成功概率. 2.超几何分布),,(~n M N H X
一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则
P (X =k )=
n
N
k n M
N k M C C C --,k =0,1,2,…,m ,其中m =min {}n M ,,且n ≤N ,M ≤N ,n ,M ,N ∈N *
.
三.二项分布
一般地,在
n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率为p ,则P (X =k )=C k n p k
(1-p )
n -k
,k =0,1,2,…,n .此时称随机变量X 服从二项分布,
记作X ~B (n ,p ),并称p 为成功概率.易得二项分布的分布列如下;
【典型例题】
题型一、随机变量分布列的性质
【例1】设随机变量X 的分布列为,3,2,1,)3
2
()(=⋅==i a i X P i ,则a 的值为____.
题型二、随机变量的分布列
【例3】 口袋中有6个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,现从中随机取出3个球,用X 表示取出的最大号码,求X 的分布列.
【例4】安排5个大学生到A ,B ,C 三所学校支教,设每个大学生去任何一所学校是等可能的.
(1)求5个大学生中恰有2个人去A 校支教的概率; (2)设有大学生去支教的学校的个数为ξ,求ξ的分布列.
【例5】一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球,从中有放回地摸球,每次摸出一个,若有3次摸到红球即停止. (1)求恰好摸4次停止的概率;
(2)记4次之内(含4次)摸到红球的次数为X ,求随机变量X 的分布列.
【例6】从6名男生和4名女生中任选4人参加比赛,设被选中女生的人数为随机变量ξ,
求:(1)ξ的分布列;(2)所选女生不少于2人的概率.
【例7】甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是,乙能答对其中的5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,答对一题加10分,答错一题(不答视为答错)减5分,至少得15分才能入选.
(Ⅰ)求乙得分的分布列;
(Ⅱ)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.
【例8】某仪器经过检验合格才能出厂,初检合格率为:若初检不合格,则需要进行调试,经调试后再次对其进行检验;若仍不合格,作为废品处理,再检合格率为.每台仪器各项费用如表:项目生产成本检验费/次调试费出厂价
金额(元)10001002003000
(Ⅰ)求每台仪器能出厂的概率;
(Ⅱ)假设每台仪器是否合格相互独立,记X为生产两台仪器所获得的利润,求X的分布列和数学期望.
【例9】某超市在节日期间进行有奖促销,凡在该超市购物满300元的顾客,将获得一次摸奖机会,规则如下:奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球,1个黄球,1个白球和1个黑球.顾客不放回地每次摸出1个球,若摸到黑球则停止摸奖,否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励10元,摸到白球或黄球奖励5元,摸到黑球不奖励.
(1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率;
(2)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额,随机变量X的分布列.。