高中数学函数的概念教案 新课标 人教版 必修1(A)

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人教课标版高中数学必修1《函数的概念(第1课时)》教学设计

人教课标版高中数学必修1《函数的概念(第1课时)》教学设计

1.2.1函数的概念(第1课时)一、教学目标 (一)核心素养通过这节课学习,了解构成函数的基本要素,理解并掌握函数的概念,熟悉用“区间”、“无穷大”等符号表示取值范围,在数学抽象、数学建模中体会对应关系在刻画函数概念中的作用. (二)学习目标 1.通过实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型.2.学习用集合语言和对应关系刻画函数,并明确函数的基本要素,掌握判别两个函数是否相同的方法.3.会求一些简单函数的定义域,并能正确使用“区间”表示.(三)学习重点 1.体会函数的重要模型化思想,了解构成函数的要素并理解函数的概念.2.会求一些简单函数的定义域,并能正确使用“区间”表示.(四)学习难点1.体会并理解函数概念中的“任意性”和“唯一性”.2.符号“y=f (x )”的含义. 二、教学设计 (一)课前设计 1.预习任务(1)读一读:阅读教材第15页至第18页,填空:设B A ,是非空数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()x f 和它对应,那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数,记作()x f y =,A x ∈.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做定义域,与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合(){}A x x f ∈叫做函数的值域. (2)写一写:区间(设a <b ){x |a ≤x ≤b } 闭区间 [a ,b ] {x |a <x <b } 开区间 (a ,b ){x |a ≤x <b } 半开半闭区间 [a ,b ) {x |a <x ≤b } 半开半闭区间 (a ,b ] {x |x ≥a } 半开半闭区间 [a ,+∞) {x |x >a } 开区间 (a ,+∞) {x |x ≤a } 半开半闭区间 (-∞,a ] {x |x <a } 开区间(-∞,a )2.预习自测(1)()x f 与()a f 的区别与联系?答:()a f 表示当a x =时函数()x f 的值,是一个常量,而()x f 是自变量x 的函数,在一般情况下,它是一个变量;()a f 是()x f 的一个特殊值.(2)通过学习函数的概念,你觉得函数的基本要素有哪些?定义两个函数是否相等时,是否需要函数的几个基本要素必须都相同?答:基本要素有定义域、对应关系、值域。

人教A版数学必修一《函数的概念》教案【精品教案】.docx

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福建省光泽第一中学高中数学人教版必修一《函数的概念》教案【教材内-容分析】通过学生的回顾,再现初中变量观点描述函数的概念,为后面用集合和对应的观点来定义函数奠定基础。

通过对实例的探究,让学生感受、体验对应关系在刻画函数概念中的作用,使学生对数学的高度抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性有进一步认识,提高抽象概括、分析总结、数学表达交流等基本数学思维能力;培养学生分析问题、解决问题的能力。

【学情分析】通过实例使学生进一步认识生活中充满变量间的依赖关系;激发学生学习数学的兴趣,提高发散思维能力【教学目标】知识目标:(1)会用集合与对应的语言刻画函数;(2)理解函数三要素(3)会求一些简单函数的定义域和值域,并初步■掌握换元法的简单应用情感目标:通过师生、生生互动的教学活动过程,让学生体会成功的愉悦,培养学生热爱数学的态度,提高数学学习的兴趣,树立学好数学的信心.【重点、难点】重点是函数概念的理解,难点是对函数符号y=f (x)的理解。

教具准备:教学手段:多媒体辅助教学,增强直观性,增大课容量,提高效率【课时安排】一课时【教学方法】学.案教学法,通过不同实例的探究,让学生积极参与教学活动【教学过程和步骤】二、函数的概念 设集合A 是一个非空的数集,对A 内任意数 x,按照确定的法则f,都有唯一确定的数值y 与它对应,则这种对应关系叫做集合A 上 的一个函数,记作y=f(x),xeA, 其中x 叫做自变量,自变量的取值范围(数 集A)叫做这个函数的凫义域。

如果自变量取值a,则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值,记作y=f (a),所 总结出 有函数宿将成的集合{y I y=f (x), xEA }叫 函数关系 做这个函数的值域。

进一步理解函数概念定实质 义域、对应法则、值域三者关系深刻理解 f(x)中的f 与x 的关系 3、怎样判断两个函数是否是同一个函数? 例1:判断下列函数,是否是同一函数 例广例3 y=x 2, xER;s=t 2, t£R 第一问均 y=x 2,xeR;s=2t 2, teR 让学生疝 y=x 2, x e Z; s=t 2, t e R 立进行 f(x)= x2,xeR ;g(x-2) = (x-2)2, xeR ; 然后师生 例2:求下列函数定义域 交流分享 f(x)=2x, 例 3 第 2 f(x)= 问及例4 f(x)= 交流后教 f (x) = (2.X-3) 际讲解板例3:求函数f (x)= ,乂,在乂=0、1、2处的 书 函数值和值域 例4: 1)已知函数f(x)= x2,求f(x-l)2)已知函数 f(x-l)= X ,,求 f(x)请同学们把下面集合用数轴表示出来 学生实物 设a 、b£R, a<b 投影展示 1、 {x | aWxWb, xWR }2、 {x I a<x<b, xER 教学环节课题引入教学内容 师生活动 概念形成回顾、实例引入1)复习初中的常量、变量 与函数的概念在一个变化过程中,有两个变 量x 和y ,如果给定了一个x 值,相应地就确 定唯一的一个y 值,那么我们称y 是x 的函 数,其中.x 是自变量,y 是因变量。

统编人教A版数学高中必修第一册《3.1 函数的概念及其表示》优秀教案教学设计

统编人教A版数学高中必修第一册《3.1 函数的概念及其表示》优秀教案教学设计
2≤2,则 y∈(-1,1].
1+x
所以所求函数的值域为(-1,1].
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
1.定义
3.1.1 函数的概念
例1 例2
例3 例4
例5
2.区间
七、作业
课本 67 页练习、72 页 1-5
本节课主要通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动,培养学生从“特殊到一般”的分析问题的
题型三
区间
例 3 已知集合 A={x|5-x≥0},集合 B={x||x|-3≠0},则 A∩B 用区间可表示为
.
【答案】(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]
【解析】∵A={x|5-x≥0},∴A={x|x≤5}.
∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x≠±3}.
∴A∩B={x|x<-3 或-3<x<3 或 3<x≤5},
.
x+1
x+1
x+1
6

4
≠0,∴y≠3,
x+1
3x-1
∴y=
的值域为{y|y∈R 且 y≠3}.
x+1
12 15
2
2
④(换元法)设 t= x-1,则 t≥0 且 x=t +1,所以 y=2(t +1)-t=2 t- + ,由 t≥0,再结合函
4 8
15

数的图象(如图),可得函数的值域为 ,+∞.
1.试判断以下各组函数是否表示同一函数: ①f(x)=
√x
x
x
,g(x)=x-1;
x
②f(x)= ,g(x)= ;
√x
2
③f(x)=√(x + 3) ,g(x)=x+3;

人教A版(2019)高中数学必修第一册第三章3.1函数的基本概念教案

人教A版(2019)高中数学必修第一册第三章3.1函数的基本概念教案

函数的基本概念教学目标:1.理解函数的概念,掌握函数三要素及求法.2.掌握函数解析式的求法,以及同一函数的判断标准.3.学会转化与化归、数形结合思想.问题导入:1.函数的定义:一般地,设A,B 是非空的实数集,如果对于A 中的任意一个数x ,按照某种确定的对应关系f ,在集合B 中都有唯一确定的数y 与之对应,那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数,记作)(x f y =,A x ∈.注:判断对应关系是否为函数,主要从以下三个方面去判断:(1)A ,B 必须是非空实数集;(2)A 中任何一个元素在B 中必须有元素与其对应;(3)A 中任何一个元素在B 中的对应元素必须唯一.2.函数三要素:定义域、值域、对应关系 .定义域:x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域.值域:函数值的集合{}f (x )|x ∈A 叫做函数的值域同一函数:如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数是同一个函数. 注:函数定义域及值域的求法总结(1)常见函数求定义域:①分式函数中分母不为0;①偶次根式函数被开方式大于等于0;①对数函数的定义域大于0.(2)抽象函数求定义域:①已知原函数)(x f 的定义域为()b a ,,求复合函数()[]x g f 的定义域:只需解不等式b x g a <<)(,不等式的解集即为所求函数定义域.①已知复合函数()[]x g f 的定义域为()b a ,,求原函数)(x f 的定义域:只需根据b x a <<求出)(x g 的值域,即得原函数)(x f 的定义域.(3)求值域的常规方法ⓐ观察法:一些简单函数,通过观察法求值域.ⓑ配方法:“二次函数类”用配方法求值域.ⓒ换元法:形如y =ax +b ±cx +d (a ,b ,c ,d 均为常数,且ac ≠0)的函数常用换元法求值域,形如y =ax +a -bx 2的函数也可以用换元法代换求值域.ⓓ分离常数法:形如y =cx +dax +b (a ≠0)的函数可用此法求值域.ⓔ单调性法:函数单调性的变化是求最值和值域的依据,根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域.ⓕ数形结合法:画出函数的图象,找出坐标的范围或分析条件的几何意义,在图上找其变化范围. 3. 求函数解析式的方法(1)待定系数法:当函数的类型已知时,可设出函数解析式,根据条件列出方程(组),进而求得函数的解析式.(2)配凑法:由已知条件f (g (x ))=F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的表达式,然后以x 替代g (x ),便得f (x )的表达式.(3)换元法:已知)]([x g f y =,求)(x f 的解析式:令)(x g t =,并写出t 的取值范围,用t 表示x ,再将用t 表示的x 回代入原式,求出解析式.(4)方程组法:已知关于f (x )与)(xf 1或f (-x )的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f (x ).4.分段函数的概念:若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数被称为分段函数. 分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是同一个函数.注:(1)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集.(2) 分段函数是一个函数而不是几个函数,处理分段函数问题时,首先确定自变量的取值属于哪个区间,再选取相应的对应关系,离开定义域讨论分段函数是毫无意义的.知识点1:函数定义[例1] 下列图象中,可作为函数图象的是________.(填序号)[对点演练1]下列对应关系式中是A 到B 的函数的是( )A .A ⊆R ,B ⊆R ,x 2+y 2=1B .A ={-1,0,1},B ={1,2},f :x →y =|x |+1C .A =R ,B =R ,f :x →y =1x -2D .A =Z ,B =Z ,f :x →y =2x -1知识点2:求函数的定义域和值域[例2] 下列选项中能表示同一个函数的是( )A .y =x +1与y =x 2-1x -1B .y =x 2+1与s =t 2+1C .y =2x 与y =2x (x ≥0)D .y =(x +1)2与y =x 2[例3] 求下列函数的定义域.(1) y =2x -1-7x ;(2) y =(x +1)0x +2;(3) y =4-x 2+1x.[例4] 求下列函数的定义域:(1)已知函数的定义域为,求函数的定义域.(2)已知函数的定义域为,求函数的定义域. (3)已知函数的定义域为,求函数的定义域.[例5]求下列函数的值域.(1)y =x 2+2x (x ∈[0,3]);(2) y =1-x 21+x 2; (3)3254)(-+-=x x x f[对点演练2]1. 下列各组式子是否表示同一函数?为什么?(1) f (x )=|x |,φ(t )=t 2;(2) y =1+x ·1-x ,y =1-x 2;(3) y =(3-x )2,y =x -3.[2,2]-2(1)y f x =-(24)y f x =+[0,1]f (x)f (x)[1,2]-2(1)(1)y f x f x =+--2. 求下列函数的定义域.(1) y =(x +1)2x +1-1-x ;(2) y =2x 2-3x -2+14-x. 3.已知函数)(x f y =的定义域是]2,0[,那么)1lg(1)()(2++=x x f x g 的定义域是? 4. 求下列函数的值域(1)f(x)=x -3x +1;(2)f(x)=x 2-x x 2-x +1. (3)f(x)=x 2-1x 2+1;(4)f(x)=1x -x 2.知识点3:求函数解析式[例6]待定系数:若)(x f 是一次函数,[()]94f f x x =+,则)(x f = _________________.[例7].配凑:函数2(1)f x x -=,则函数()f x =[例8].换元:已知2(1)2f x x x +=+,求函数)(x f 的解析式为 .[例9] 方程组:已知函数()f x 满足()2()f x f x x --=-,则()f x =________.[对点演练3]1.若f (x )为二次函数且f (0)=3,f (x +2)-f (x )=4x +2,则f (x )的解析式为________.2.若,,则( )A .9B .17C .2D .3()43f x x =-()()21g x f x -=()2g =3.已知函数2)1(2-=x x f ,则f (x )=________. 4.已知函数f (x )的定义域为(0,+∞),且f (x )=2)1(xf ·x -1,则f (x )=________.知识点4:分段函数[例10]. 已知函数f (x )=-x 2+2,g (x )=x ,令φ(x )=min{f (x ),g (x )}(即f (x )和g (x )中的较小者). (1)分别用图象法和解析式表示φ(x );(2)求函数φ(x )的定义域,值域.[对点演练4]2. 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ x +1,x ∈[-1,0],x 2+1,x ∈(0,1],则函数f (x )的图象是()习题演练:1.下列四种说法中,不正确的一个是( )A .在函数值域中的每一个数,在定义域中都至少有一个数与之对应B .函数的定义域和值域一定是无限集合C .定义域和对应关系确定后,函数的值域也就确定了D .若函数的定义域中只含有一个元素,则值域也只含有一个元素2. 下列各组函数中,表示同一个函数的是( )A .y =x -1和y =x 2-1x +1B .y =x 0和y =1C .f (x )=(x -1)2和g (x )=(x +1)2D .f (x )=(x )2x 和g (x )=x(x )23.下列函数中,与函数y =x 相等的是( )A .y =(x )2B .y =3x 3C .y =x 2D .y =x 2x3. 函数y =6-x|x |-4的定义域用区间表示为________.4. 若函数y =f (x )的定义域M ={x |-2≤x ≤2},值域为N ={y |0≤y ≤2},则函数y =f (x )的图象可能是()5.已知函数f (x )=x +3+1x +2.(1)求函数的定义域;(2)求f (-3),)32(f 的值; (3)当a >0时,求f (a ),f (a -1)的值.6.函数y =x +1+12-x 的定义域为________.7.已知函数()2y f x =-定义域是[]0,4,则()11f x y x +=-的定义域是 .8. 求下列函数的值域:(1)y =3x +1x -2; (2)y =52x 2-4x +3; (3)y =x +41-x9.已知)(x f 是一次函数且满足()())(,1721213x f x x f x f 求+=--+.10. 若二次函数g (x )满足g (1)=1,g (-1)=5,且图象过原点,则g (x )的解析式为( )A .g (x )=2x 2-3xB .g (x )=3x 2-2xC .g (x )=3x 2+2xD .g (x )=-3x 2-2x 11. 已知函数()f x 满足()2()f x f x x --=-,则()f x =________.12. 定义在)1,1(-内的函数)(x f 满足)1lg()()(2+=--x x f x f ,求函数)(x f 的解析式.13.已知f (x )满足2f (x )+)1(xf =3x ,则f (x )的解析式为 .14.已知1)f x =+,求函数)(x f 的解析式.15.已知f (2x +1)=3x -4,f (a )=4,则a =________.。

高中数学人教A版必修1第一章《12函数及其表示通用》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案

高中数学人教A版必修1第一章《12函数及其表示通用》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案

高中数学人教A版必修1第一章《12函数及其表示通用》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案高中数学人教A版必修1第一章《函数及其表示通用》优质课公开课教案一、教学目标1. 理解函数的定义,能够用恰当的方式描述函数的特点;2. 掌握用图象和方程表示函数的方法;3. 能够利用函数式关系解决实际问题。

二、教学重难点1. 函数的定义和特点;2. 函数图象和函数方程的表示方法;3. 实际问题转化为函数式关系的解决方法。

三、教学准备1. 教师准备(1)白板、黑板笔;(2)教材、教辅资料和多媒体资源。

2. 学生准备(1)预习上述知识点;(2)听课和做笔记。

四、教学过程1. 探究新课(15分钟)(1)引入新知识,谈论函数在什么情况下会出现;(2)引导学生讨论什么是自变量和因变量;(3)通过举例子,引导学生了解函数的定义。

2. 学习新知(30分钟)(1)教师讲解并示范如何用图象和方程表示函数;(2)指导学生进行练习,巩固理论知识。

3. 整合知识(20分钟)(1)教师通过例题展示如何将实际问题转化为函数式关系;(2)鼓励学生提问,并进行讨论。

4. 拓展延伸(15分钟)(1)教师展示一些有趣的数学问题,引导学生思考并解决;(2)鼓励学生独立思考和探索,发展数学思维。

五、课堂小结(10分钟)(1)教师对本节课进行总结,回顾重要概念和方法;(2)鼓励学生提问,解决疑惑。

六、作业布置(5分钟)(1)布置相关习题,巩固所学知识;(2)要求学生自主学习,并提出问题。

七、教学反思本节课通过启发学生的思维、解决实际问题,激发了学生的学习兴趣和积极性。

在教学过程中,我注意提问的方式和节奏的掌握,使得学生能够主动思考和回答问题。

同时,我也鼓励学生们互相合作,共同解决问题,培养了他们的团队合作精神。

总结起来,本节课培养了学生的数学思维和解决问题的能力,使他们对函数及其表示通用有了更深入的理解。

在今后的教学中,我将继续提倡学生自主学习和探索,培养他们的创造力和分析能力。

人教版高中数学必修一《函数概念》教学设计

人教版高中数学必修一《函数概念》教学设计

《1.2.1函数的概念》
教学设计
《函数的概念》的教学设计
一、教学目标
知识与技能——通过函数概念这节课的学习,了解函数的定义及其三要素,掌握区间的符号表
示,会求简单函数的定义域和值域。

培养学生分析、判断、抽象、归纳概括的逻辑思维能力
过程与方法——通过函数定义获得的学习过程,体会由具体逐步过渡到符号化、代数化,特殊到
一般的数学思想。

情感态度与价值观—— 通过本节的学习,培养学生的抽象思维能力、渗透静与动的辩证唯物主
义观点;树立“数学源于实践,又服务于实践”的数学应用意识。

二、教学重点与难点
重点:了解函数定义及其三要素,掌握区间的符号表示方法,会求简单函数的定义域和值域。

难点:理解函数符号)(x f y 的含义,掌握区间的符号表示方法及无穷大的概念。

高中数学_函数概念说课稿_新人教A版必修1

高中数学_函数概念说课稿_新人教A版必修1

《函数的概念》说课稿各位专家、评委:大家好!我说课的内容是数学人教版普通高中新课程标准实验教科书必修1函数第一课时。

我将从背景分析、教学目标设计、教法与学法选择、教学过程设计、教学媒体选择及教学评价设计六个方面来汇报我对这节课的教学设想.一、背景分析1.学习任务分析函数是中学数学一个重要的基本概念,其核心内涵为非空数集到非空数集的一个对应,函数思想是整个高中数学最重要的数学思想之一,而函数概念是函数思想的基础;它不仅对前面学习的集合作了巩固和发展,而且它是学好后继知识的基础和工具.函数与代数式﹑方程﹑不等式﹑数列、三角函数、解析几何、导数等内容的联系也非常密切,函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其他学科中有着广泛的应用;函数概念及其反映出的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域,是进一步学习数学的重要基础.为此本节课设定的教学重点是“函数概念的形成”.2.学情分析从学生知识层面看:学生在初中初步探讨了函数的相关知识,有一定的基础;通过高一第一节“集合”的学习,对集合思想的认识也日渐提高,为重新定义函数,从根本上揭示函数的本质提供了知识保证.从学生能力层面看:通过以前的学习,学生已有一定的分析、推理和概括能力,初步具备了学习函数概念的基本能力.教学中由实例抽象归纳出函数概念时,要求学生必须通过自己的努力探索才能得出,对学生的能力要求比较高.因此,我认为发展学生的抽象思维能力以及对函数概念本质的理解是本节课的教学难点.鉴于上述分析我制定了本节课的教学目标.二、教学目标设计目标了解:通过丰富实例让学生了解函数是非空数集到非空数集的一个对应;了解构成函数的三要素;理解:函数概念的本质;抽象的函数符号)f a(a为常数)与()f x的区别与联系;会求一f的意义;()(x些简单函数的定义域;经历:让学生经历函数概念的形成过程,函数的辨析过程,函数定义域的求解过程以及求函数值的过程;渗透归纳推理、发展学生的抽象思维能力;体验:通过经历以上过程,让学生体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学会用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;体验函数思想;通过师生互动、生生互动,让学生在民主、和谐的课堂氛围中,感受数学的抽象性和简洁美.[设计意图]:这样设计目标,可操作性强,容易检测目标的达成度,同时也体现了素质教育的要求.三、教法与学法选择任何一堂课都是各种不同教学方法综合作用的结果,但我们认为本堂课有以下主要的教法和学法. 1.问题式教学法:本堂课的特点是概念教学,根据学生的心理特征和认知规律,我采取问题式教学法;以问题串为主线,通过设置几个具体问题情景,发现问题中两个变量的关系,让学生归纳、概括出函数概念的本质,这刚好也符合建构主义的教学理论.2.探究式学法:新课程要求课堂教学的着力点是尊重学生的主体地位,发挥学生的主动精神,培养学生的创新能力,使学生真正成为学习的主体,结合本堂课的特点,我倡导的是探究式学法;让学生在探究问题的过程中,通过老师的引导归纳概括出函数的概念,通过问题的解决,达到熟练理解函数概念的目的,从而让学生由“被动学会”变成“主动会学”. 四、教学过程设计 (一).结构分析为达到本节课的教学目标,突出重点,突破难点,我把教学过程设计为七个阶段:(二).教学过程 课题引入2010年9月5日0时14分,我国在西昌卫星发射中心用“长征三号乙”运载火箭,成功将“鑫诺六号”通信广播卫星送入太空。

函数的概念教学设计--高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

函数的概念教学设计--高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

单元目标要求帮助学生建立完整的函数概念,不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具,也把函数理解为实数集合之间的对应关系。

课时目标要求在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.课时重难点重点:通过四个实际情景,引导学生构建完整的函数概念;熟悉函数本质,明确函数三要素;能够利用函数概念解决问题。

难点:找到不同函数情景中,所包含的共同特征;理解教师给出的f(x)的含义;熟练使用函数语言。

在教学过程中需要注意W:学习方向和原因H:教学要吸引学生并保持他们的注意力E:准备必要的经验、工具和知识,使学生体验知识的探索过程,从而获得知识R:让学生重新思考,并修改自己不当的想法观念E-2:引导学生进行自我评估T:强调个性化,为每个学生量身定制O:对于所有元素进行合理的组织-有效的组织活动也可以算作是O阶段1—确定单元学习预期结果所确定的目标:依据课程标准,在本节课学习完成后在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域理解:1、理解函数是实数集之间的对应关系2、理解对应关系f的含义3、理解新的符号表示,即y=f(x),理解函数的三要素回答的基本问题:1、什么是函数学生应掌握的知识:1、函数概念以及函数的三要素。

2、区间的定义及表示。

学生应形成的技能:能够根据新的函数定义判断函数关系,对于给定的自变量能够求出对应的函数值。

能够用区间正确表示函数的定义域与值域阶段2—确定评估证据评估水平评估方法本节课函数单调性的学习,主要针对前两个理解水平,即感知水平与释义水平表现性任务依据函数概念,主动构建与解析式相关的函数,从而深化对于函数的认识。

高中数学必修一(人教A版) 函数的概念 教案1

高中数学必修一(人教A版)  函数的概念 教案1

必修一 1.2.1 函数概念
【教学目标】
1、通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;
2、了解构成函数的要素;
3、会求一些简单函数的定义域和值域;
4、能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域.
【重点难点】
重点:理解函数的模型化思想,用合与对应的语言来刻画函数;
难点:符号“y=f(x)”的含义,函数定义域和值域的区间表示;函数的概念,函数的三要素.
【教学策略与方法】
讲述法、讲练结合法
【教学过程】
的取值范围:数集A={t|0≤t≤26}
t的取值范围:数集A={t|1979≤t≤2001} S的取值范围:数集B={S|0≤S≤26} (3) 国际上常用恩格尔系数反映一个国家
思考:你能从图表中看出自变量和因变量么?它们的关系怎样?
(二)典型例题
例1、已知函数2
13)(+++=x x x f
(1)求函数的定义域;(2)求f(-3), f(3
2
)
练习、 下列各组中的两个函数是否为相等 的函数?
到再到后到理器。

高中数学必修一 《3 1 函数的概念及其表示》优秀教案教学设计

高中数学必修一 《3 1 函数的概念及其表示》优秀教案教学设计

【新教材】3.1.1 函数的概念(人教A版)函数在高中数学中占有很重要的比重,因而作为函数的第一节内容,主要从三个实例出发,引出函数的概念.从而就函数概念的分析判断函数,求定义域和函数值,再结合三要素判断函数相等.课程目标1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则。

2.掌握判定函数和函数相等的方法。

3.学会求函数的定义域与函数值。

数学学科素养1.数学抽象:通过教材中四个实例总结函数定义;2.逻辑推理:相等函数的判断;3.数学运算:求函数定义域和求函数值;4.数据分析:运用分离常数法和换元法求值域;5.数学建模:通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动,培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力,提高学生的抽象概括能力。

重点:函数的概念,函数的三要素。

难点:函数概念及符号y=f(x)的理解。

教学方法:以学生为主体,采用诱思探究式教学,精讲多练。

教学工具:多媒体。

一、情景导入初中已经学过:正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等,那么在初中函数是怎样定义的?高中又是怎样定义?要求:让学生自由发言,教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本,引入新课阅读课本60-65页,思考并完成以下问题1. 在集合的观点下函数是如何定义?函数有哪三要素?2. 如何用区间表示数集?3. 相等函数是指什么样的函数?要求:学生独立完成,以小组为单位,组内可商量,最终选出代表回答问题。

三、新知探究1.函数的概念(1)函数的定义:设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任何一个属x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x)x∈A.(2)函数的定义域与值域:函数y=f(x)中,x叫做自变量,x的取值范围叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然,值域是集合B的子集.2.区间概念(a,b为实数,且a<b)3.其它区间的表示四、典例分析、举一反三题型一 函数的定义例1 下列选项中(横轴表示x 轴,纵轴表示y 轴),表示y 是x 的函数的是( )【答案】D解题技巧:(判断是否为函数)1.(图形判断)y 是x 的函数,则函数图象与垂直于x 轴的直线至多有一个交点.若有两个或两个以上的交点,则不符合函数的定义,所对应图象不是函数图象.2.(对应关系判断)对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系;“一对多”的不是函数关系. 跟踪训练一1.集合A={x|0≤x ≤4},B={y|0≤y ≤2},下列不表示从A 到B 的函数的是( )【答案】C题型二 相等函数例2 试判断以下各组函数是否表示同一函数:(1)f(x)=(√x )2,g(x)=√x 2;(2)y=x 0与y=1(x ≠0);(3)y=2x+1(x ∈Z)与y=2x-1(x ∈Z). 【答案】见解析【解析】:(1)因为函数f(x)=(√x )2的定义域为{x|x≥0},而g(x)=√x 2的定义域为{x|x ∈R},它们的定义域不同,所以它们不表示同一函数.(2)因为y=x 0要求x ≠0,且当x ≠0时,y=x 0=1,故y=x 0与y=1(x ≠0)的定义域和对应关系都相同,所以它们表示同一函数.(3)y=2x+1(x ∈Z)与y=2x-1(x ∈Z)两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故它们不表示同一函数. 解题技巧:(判断函数相等的方法) 定义域优先原则1.先看定义域,若定义域不同,则函数不相等.2.若定义域相同,则化简函数解析式,看对应关系是否相等. 跟踪训练二1.试判断以下各组函数是否表示同一函数: ①f(x)=x 2-x x,g(x)=x-1;②f(x)=√x x,g(x)=√x;③f(x)=√(x +3)2,g(x)=x+3;④f(x)=x+1,g(x)=x+x 0;⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t ≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x ≤5). 其中表示相等函数的是 (填上所有正确的序号). 【答案】⑤【解析】①f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数; ②f(x)与g(x)的解析式不同,不是同一函数; ③f(x)=|x+3|,与g(x)的解析式不同,不是同一函数; ④f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;⑤f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同,是同一函数. 题型三 区间例3 已知集合A={x|5-x ≥0},集合B={x||x|-3≠0},则A ∩B 用区间可表示为 . 【答案】(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5] 【解析】∵A={x|5-x ≥0},∴A={x|x ≤5}. ∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x ≠±3}. ∴A ∩B={x|x<-3或-3<x<3或3<x ≤5}, 即A ∩B=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]. 解题技巧:(如何用区间表示集合)1.正确利用区间表示集合,要特别注意区间的端点值能否取到,即“小括号”和“中括号”的区别.2.用区间表示两集合的交集、并集、补集运算时,应先求出相应集合,再用区间表示. 跟踪训练三1.集合{x|0<x<1或2≤x ≤11}用区间表示为 .2. 若集合A=[2a-1,a+2],则实数a 的取值范围用区间表示为 . 【答案】(1)(0,1)∪[2,11] (2)(-∞,3)【解析】 (2)由区间的定义知,区间(a,b)(或[a,b])成立的条件是a<b. ∵A=[2a-1,a+2],∴2a-1<a+2.∴a<3, ∴实数a 的取值范围是(-∞,3). 题型四 求函数的定义域 例4 求下列函数的定义域: (1)y=(x+2)|x |-x; (2)f(x)=x 2-1x -1−√4-x .【答案】(1) (-∞,-2)∪(-2,0) (2) (-∞,1)∪(1,4]【解析】(1)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足{x +2≠0,|x |-x ≠0,即{x ≠-2,|x |≠x ,解得x<0,且x ≠-2.故原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).(2)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足{4-x ≥0,x -1≠0,即{x ≤4,x ≠1.故原函数的定义域为(-∞,1)∪(1,4]. 解题方法(求函数定义域的注意事项)(1)如果函数f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R;(2)如果函数f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数组成的集合;(3)如果函数f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数组成的集合; (4)如果函数f(x)是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成的,那么函数的定义域是使各式子都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集). 跟踪训练四1.求函数y=√2x +3√2-x1x的定义域.2.已知函数f(x)的定义域是[-1,4],求函数f(2x+1)的定义域. 【答案】(1) {x |-32≤x <2,且x ≠0} (2) [-1,32]【解析】(1)要使函数有意义,需{2x +3≥0,2-x >0,x ≠0,解得-32≤x<2,且x ≠0,所以函数y=√2x +3−1√2-x+1x的定义域为{x |-32≤x <2,且x ≠0}.(2)已知f(x)的定义域是[-1,4],即-1≤x≤4. 故对于f(2x+1)应有-1≤2x+1≤4, ∴-2≤2x≤3,∴-1≤x≤32. ∴函数f(2x+1)的定义域是[-1,32]. 题型五 求函数值(域) 例5 (1)已知f(x)=11+x(x ∈R ,且x ≠-1),g(x)=x 2+2(x ∈R),则f(2)=________,f(g(2))=________. (2)求下列函数的值域:①y =x +1; ②y =x 2-2x +3,x ∈[0,3); ③y =3x−11+x ; ④y =2x -√x −1. 【答案】(1)1317 (2)① R ② [2,6) ③ {y|y ∈R 且y≠3} ④ ⎣⎢⎡⎭⎪⎫158,+∞ 【解析】(1) ∵f (x)=11+x ,∴f(2)=11+2=13.又∵g (x)=x 2+2,∴g (2)=22+2=6, ∴f ( g(2))=f (6)=11+6=17.(2) ①(观察法)因为x ∈R ,所以x +1∈R ,即函数值域是R.②(配方法)y =x 2-2x +3=(x -1)2+2,由x ∈[0,3),再结合函数的图象(如图),可得函数的值域为[2,6).③(分离常数法)y =3x -1x +1=3x +3-4x +1=3-4x +1.∵4x +1≠0,∴y≠3, ∴y =3x -1x +1的值域为{y|y ∈R 且y≠3}.④(换元法)设t =x -1,则t≥0且x =t 2+1,所以y =2(t 2+1)-t =2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫t -142+158,由t≥0,再结合函数的图象(如图),可得函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158,+∞.解题方法(求函数值(域)的方法)1.已知f(x)的表达式时,只需用数a 替换表达式中的所有x 即得f(a)的值.2.求f(g(a))的值应遵循由内到外的原则.3. 求函数值域常用的4种方法(1)观察法:对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到;(2)配方法:当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时,可利用配方法或二次函数图像求其值域;(3)分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为 “反比例函数类”的形式,便于求值域;(4)换元法:即运用新元代换,将所给函数化成值域易确定的函数,从而求得原函数的值域.对于f (x )=ax+b+√cx +d (其中a ,b ,c ,d 为常数,且a ≠0)型的函数常用换元法. 跟踪训练五1.求下列函数的值域:(1)y = √2x +1 +1;(2)y =1−x 21+x 2. 【答案】(1) [1,+∞) (2) (-1,1]【解析】(1)因为2x +1≥0,所以2x +1+1≥1,即所求函数的值域为[1,+∞). (2)因为y =1-x 21+x 2=-1+21+x2,又函数的定义域为R ,所以x 2+1≥1,所以0<21+x 2≤2,则y ∈(-1,1]. 所以所求函数的值域为(-1,1]. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计 七、作业课本67页练习、72页1-5本节课主要通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动,培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力,尤其在求抽象函数定义域时,先根据特殊函数的规律总结一般规律.。

函数的概念 教学设计 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

函数的概念 教学设计 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

3.1.1函数的概念教学设计- 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册主备人备课成员教学内容分析本节课的主要教学内容是函数的概念,这一部分出自2023-2024学年高一上学期数学人教A 版(2019)必修第一册,第3章第1节。

本节课的内容与学生已有的知识有密切的联系。

首先,学生已经学习了函数的概念,了解了一些函数的基本性质。

其次,学生已经学习了函数的图像和性质,如单调性、奇偶性等,这些知识为本节课的学习打下了基础。

此外,学生还学习了函数的定义域和值域,这些概念在本节课中也会有所涉及。

本节课的主要内容包括函数的定义、函数的性质和函数的图像。

通过本节课的学习,学生将能够理解函数的概念,掌握函数的性质和图像,并能够运用这些知识解决实际问题。

本节课的教学重点是函数的定义和性质,教学难点是函数的图像。

在教学过程中,教师需要引导学生通过实际例子理解函数的概念,并通过实例介绍函数的性质和图像。

同时,教师需要注重学生的实践操作,让学生通过动手绘制函数的图像来加深对函数概念的理解。

教学目标本节课的教学目标是使学生掌握函数的概念,理解函数的性质和图像,并能够运用这些知识解决实际问题。

具体来说,教学目标可以分为以下几个方面:1. 知识与技能目标:学生能够理解函数的概念,掌握函数的定义和性质,了解函数的图像。

例如,通过实例介绍函数的单调性、奇偶性等性质,让学生能够判断函数的单调区间和奇偶性。

2. 过程与方法目标:学生能够运用函数的概念和性质解决实际问题,提高解决问题的能力。

例如,通过实际例子介绍函数的应用,如函数在经济学、物理学等领域的应用,让学生能够运用函数的知识解决实际问题。

3. 情感态度与价值观目标:学生能够对函数产生兴趣,认识到函数在现实生活中的重要性。

例如,通过介绍函数在生活中的应用,让学生了解函数与日常生活的密切关系,激发学生对函数的兴趣和热情。

4. 思维能力目标:学生能够通过实例分析和理解函数的性质和图像,提高逻辑思维和分析问题的能力。

人教A版(2019)高中数学必修第一册3.1.1函数的概念第1课时教学设计

人教A版(2019)高中数学必修第一册3.1.1函数的概念第1课时教学设计

3.1.1 函数的概念(第1课时)教材分析:函数是现代数学最基本的概念,是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具.在高中阶段,函数不仅贯穿数学课程的始终,而且也是学习方程、不等式、数列、导数等内容的工具和基础,在物理、化学、生物等其它学科中也有广泛应用;在高等数学中,函数是基本数学对象;在实际应用中,函数是数学建模的重要基础.学生在初中学习了函数概念.函数定义采用“变量说”.高中阶段要建立函数的“对应关系说”,它比“变量说”更具一般性.与初中的“变量说”相比,高中用集合语言与对应关系表述函数概念;明确了定义域、值域;引入抽象符号f(x).函数概念的核心是“对应关系”:两个非空数集A,B间有一种确定的对应关系f.即对于数集A中每一个x,数集B中都有唯一确定的y和它对应.这里的关键词是“每一个”,“唯一确定”.集合A,B及对应关系f是一个整体,是两个集合的元素间的一种对应关系,这种“整体观”很重要.基于以上分析,确定本节课的教学重点:用集合语言与对应关系建立函数概念.学情分析:学生在初中学习函数概念时,没有涉及自变量与函数值的取值范围,也不知道为何要研究变量的取值范围,这是教学中首先遇到的问题.教学中应结合教科书实例1与实例2的分析、比较,让学生认识到研究自变量、函数值取值范围的必要性.如何认识函数的对应关系,就成为了第二个教学问题.教学中,要让学生通过四个实例建立解析式、图象、表格与函数对应关系的联系,通过具体的解析式、图象与表格去体会变量之间如何对应,由此抽象出函数的对应关系f的本质.在对四个实例分析的基础上,学生认识到了函数自变量的取值范围、函数值的取值范围及对应关系对于函数的重要性,但如何在此基础上让学生进行归纳,抽象出函数概念,并以此培养学生数学抽象素养,成为第三个教学问题,也是本节课的教学难点.教学中可以将四个实例各自得到的三个要素表格化,让学生从表格中抽象出函数要素及其表示,并在此基础上给出一般的函数概念.在得出函数概念后,如何用新的函数概念重新认识已经学习过的函数,建立知识之间的联系,是第四个教学问题.教学中,除让学生按函数定义,仿照四个实例的分析去具体表述一次函数、二次函数、反比例函数外,还必须重视让学生采用教科书中的练习题与习题进行练习,也可以根据学生的学习状态适当增加一些问题供他们练习.教学目标:(1)建立“对应关系说”观点下用集合语言表述的函数概念.(2)理解的含义,能用函数的定义刻画简单具体的函数.(3)在具体函数实例到一般函数概念的概括过程中,培养学生的数学抽象素养.教学过程:导入:在初中我们已经接触过函数的概念,知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具. 例如,正方形的周长l与边长x的对应关系是l=4x,而且对于每一个确定的x 都有唯一的l与之对应,所以l是x的函数.这个函数与正比例函数y=4x相同吗?又如,你能用已有的函数知识判断y=x与是否相同吗?要解决这些问题,就需要进一步学习函数概念.(一)函数概念的抽象问题1:请同学们根据如下情境回答问题:某“复兴号”高速列车加速到350 km∕h后保持匀速运行半小时.(1)这段时间内,列车行进的路程S(单位:km)与运行时间t(单位:h)的关系如何表示?这是一个函数吗?为什么?(2)如果有人说:“根据对应关系S=350 t,这趟列车加速到350 km∕h后,运行1 h 就前进了350 km.”你认为这个说法正确吗?(3)你认为如何表述S与t的对应关系才是精确的?师生活动:教师给出问题后让学生先独立思考并写出回答要点,再小组交流,并提醒学生先不要看教科书.让学生分组收集并归纳问题的回答要点,并将要点反馈给教师(有条件的学校可以利用信息技术平台收集与呈现学生的回答要点),教师在全班交流的基础上进行适当点评.学生对问题(3)可能会有困难,教师可以在学生回答的基础上给出精确表述的示范.设计意图:问题(1)是为了让学生回顾初中所学函数概念,用“是否满足定义要求”来回答问题;问题(2)是要激发认知冲突,发现其中的不严谨;问题(3)是为了让学生关注到t的变化范围,并尝试用精确的语言表述.问题2:某电气维修公司要求工人每周工作至少1天,至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元,而且每周付一次工资,那么:(1)你认为该怎样确定一个工人每周的工资?(2)一个工人的工资w(单位:元)是他工作天数d的函数吗?(3)你能仿照问题1中对S与t的对应关系的精确表示,给出这个问题中w与d的对应关系的精确表示吗?追问:问题1和2中的函数对应关系相同,你认为它们是同一个函数吗?为什么?师生活动:学生阅读题目后,自主回答.设计意图:问题(1)是引导学生使用不同方法,例如表格的形式:解析式w=350d;等等.问题(3)是让学生模仿问题1的方法给出描述,既让他们熟悉表述方法,同时训练抽象概括能力.通过追问,使学生进一步关注到定义域、值域问题.问题3:如图所示是北京市2016年11月23日的空气质量指数(Air Quality Index,简称AQI)变化图.(1)如何根据该图确定这一天内任一时刻t的空气质量指数(AQI)的值I?(2)你认为这里的I是t的函数吗?如果是,你能仿照前面的方法描述I与t的对应关系吗?师生活动:教师用PPT或其他方式呈现问题3,给学生适当时间阅读思考.有些学生可能认为I不是时间t的函数,对此可进行如下追问.追问:(1)你能根据图3.1-1找到中午12时的AQI的值吗?这个值是否唯一存在?(2)对于数集A3={t|0≤t≤24}中的任意一个值t,你会用什么方法寻找此时对应的I 值?在追问的基础上,教师阐释:因为对于数集A3={t|0≤t≤24}中的任意一个值t,都有唯一确定的AQI的值与之对应,所以我们可以根据初中所学的函数定义,得出I是t的函数,而且还可以断定I的取值范围也是确定的,不过从图中我们不能确定这个范围.如果我们设I的取值范围为C,那么从图中可以确定,对于数集A3中的任一时刻t,按照图3.1-1中曲线所给定的对应关系,在数集B3中都有唯一确定的AQI的值I与之对应,因此I是t的函数.设计意图:学生根据图象描述对应关系有困难,特别是在值域不能完全确定时,通过引入一个较大范围的集合,使函数值“落入其中”,这是学生经验中不具备的.实际上,如果用映射的观点看,这时的映射就是非满射.为此,在问题(1)之后,先让学生认可图象表示一个函数,然后再通过教师讲解,给出对应关系的描述方法,从而化解难点.这里,只要学生能够理解I是t的函数,并能够接受这种描述方式就可以了.(1)你认为按表3.1-1给出的对应关系,恩格尔系数r是年份y的函数吗?为什么?(2)如果是,你能仿照前面的说法给出精确的语言刻画吗?(3)如果我们引入B4={ r|0≤r≤1},将对应关系表述为“对于任意一个年份y,都有B4中唯一确定的r与之对应”,你认为有道理吗?师生活动:教师用PPT呈现上述内容和问题,学生思考后,通过信息技术平台或其它方式对“恩格尔系数r是年份y的函数吗?”进行“是”与“不是”的选择性投票,教师根据投票情况进行点评,从而解决问题(1).让学生不看教科书,分组练习用集合与对应的语言刻画函数,并让学生代表发言,教师给予点评,从而解决问题(2).学生给出的函数值取值范围可能是表中r的10个值,教师在肯定的基础上进行引导:根据恩格尔系数的定义,r的取值范围是B4={ r|0≤r≤1},以B4为年份与所对应的r值所在的集合更具有一般性.设计意图:与问题3的情况类似,学生对用表格表示的对应关系是否为函数关系的判断存在疑惑,通过问题引导学生思考,教师再作适当讲解,从而使学生接受之.另外,对于函数值所在的集合B4的合理性,以教师从恩格尔系数的定义的角度进行解释即可.问题5:上述问题1~问题4中的函数有哪些共同特征?由此你能概括出函数的本质特征吗?师生活动:给学生充分思考的时间,引导学生重新回顾用集合语言与对应关系刻画函数的过程.如果学生归纳、概括有困难,可以给出下表帮助学生思考:教师引导学生得出:(Ⅰ)都包含两个非空数集,用A,B来表示;(Ⅱ)都有一个对应关系;(Ⅲ)尽管对应关系的表示方法不同,但它们都有如下特性:对于数集A中的任意一个数x,按照对应关系,在数集B中都有唯一确定的数y和它对应.在上述归纳的基础上,教师讲解:事实上,除解析式、图象、表格外,还有其他表示对应关系的方法.为了表示方便,我们引进符号f统一表示对应关系.然后给出函数的一般性定义,并解释函数的记号y=f(x),x∈A.设计意图:让学生通过归纳四个实例中函数的共同特征,体会数学抽象过程,概括出用集合与对应语言刻画的一般性函数概念.在此过程中,要突破“如何在四个实例基础上让学生进行归纳、概括、抽象出函数概念,并以此培养学生数学抽象素养”这一难点,突出“在学生初中已有函数认识基础上,通过实例归纳概括出函数的基本特征(要素),用集合与对应的语言建立函数的概念”这一教学重点.(二)函数概念的初步应用问题6:如果让你用函数的定义重新认识一次函数、二次函数与反比例函数,那么你会怎样表述这些函数?师生活动:在学生思考后,教师用一次函数与二次函数进行示范,学生用反比例函数进行练习.学生完成教科书中的练习第1题~第3题,教师对学生的练习进行点评.设计意图:用函数定义重新认识已学函数,加深对函数定义的理解,进一步体会定义域、对应关系与值域是函数的三个要素.问题7:你能构建一个问题情境,使其中函数的对应关系为y=x(10-x)吗?师生活动:在学生思考后,教师以例1进行示范.如果学生学习基础好,可以让他们完成教科书例1后的探究:“构建其它问题情景,并用解析式y=x(10-x)描述其中的变量关系”;对学习基础一般的同学,要求他们完成教科书练习第4题.设计意图:让学生在完成例1的过程中,进一步体会函数模型应用的广泛性,加深对函数概念的理解.(三)课堂小结、布置作业教师引导学生回顾本节课的学习内容,并引导学生回答下列问题:(1)什么是函数?其三要素是什么?(2)对于对应关系f,你有哪些认识?(3)与初中学习过的函数概念相比,你对函数又有什么新的认识?(4)本节课我们是怎样得到函数概念的?结合本节课的学习,你对如何学习数学又有什么体会?师生活动:教师出示问题后,先由学生思考后再进行全班交流,最后教师再进行总结.要强调如下几点:(1)函数的定义是判断一个对应关系是不是函数的标准;(2)要通过具体例子理解函数的对应关系f的特征,特别是对于“A中任意一个数”“B中都有唯一确定的数”等关键词的含义要认真体会;(3)对应关系f的表示形式可以是解析式、图象、表格等多种形式,但它们的实质相同,在后续的学习中要注意积累用适当的方式表示函数的经验;等等.设计意图:引导学生从函数概念的内涵、要素的归纳过程、关键词的理解等角度进行小结,进一步加深对函数概念的理解.布置作业:教科书习题3.1第1,11,14题.六、目标检测设计1.近几十年来,大气层中的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧层空洞问题.图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979~2001年的变化情况.(1)臭氧层空洞的面积是时间的函数,这个函数的对应关系是;(2)上述函数的定义域是______________值域是__________设计意图:考查学生对函数三个要素的认识,巩固函数概念.2.习题3.1第8题:如图,矩形的面积为10.如果矩形的长为x,宽为y,对角线为d,周长为l,那么你能获得关于这些量的哪些函数?设计意图:考查学生运用函数概念刻画实际问题.。

高中数学函数的概念教案 新课标 人教版 必修1A 教案

高中数学函数的概念教案 新课标 人教版 必修1A 教案

函数的概念一、教学目标1、知识与技能:函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系,同时还用集合与对应的语言刻画函数,高中阶段更注重函数模型化的思想与意识.2、过程与方法:(1)通过实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;(2)了解构成函数的要素;(3)会求一些简单函数的定义域和值域;(4)能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域;3、情态与价值,使学生感受到学习函数的必要性的重要性,激发学习的积极性。

二、教学重点与难点:重点:理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数;难点:符号“y=f(x)”的含义,函数定义域和值域的区间表示;三、学法与教学用具1、学法:学生通过自学、思考、交流、讨论和概括,从而更好地完成本节课的教学目标 .2、教学用具:投影仪 .四、教学思路(一)创设情景,揭示课题1、复习初中所学函数的概念,强调函数的模型化思想;2、阅读课本引例,体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想:(1)炮弹的射高与时间的变化关系问题;(2)南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题;(3)“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题3、分析、归纳以上三个实例,它们有什么共同点。

4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系;5、根据初中所学函数的概念,判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系.(二)研探新知1、函数的有关概念(1)函数的概念:设A 、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数(function ).记作: y =f (x ),x ∈A .其中,x 叫做自变量,x 的取值X 围A 叫做函数的定义域(domain );与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{f (x )| x ∈A }叫做函数的值域(range ).注意:①“y =f (x )”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y =g (x )”;②函数符号“y =f (x )”中的f (x )表示与x 对应的函数值,一个数,而不是f 乘x .(2)构成函数的三要素是什么?定义域、对应关系和值域(3)区间的概念①区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;②无穷区间;③区间的数轴表示.(4)初中学过哪些函数?它们的定义域、值域、对应法则分别是什么?通过三个已知的函数:y =ax +b (a ≠0)y =ax 2+b x +c (a ≠0)y =xk (k ≠0) 比较描述性定义和集合,与对应语言刻画的定义,谈谈体会。

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函数的概念
一、教学目标
1、知识与技能:
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.高中阶段不仅把函数看成变量之间
的依赖关系,同时还用集合与对应的语言刻画函数,高中阶段更注重函数模型化的思想与意识.
2、过程与方法:
(1)通过实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;
(2)了解构成函数的要素;
(3)会求一些简单函数的定义域和值域;
(4)能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域;
3、情态与价值,使学生感受到学习函数的必要性的重要性,激发学习的积极性。

二、教学重点与难点:
重点:理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数;
难点:符号“y=f(x)”的含义,函数定义域和值域的区间表示;
三、学法与教学用具
1、学法:学生通过自学、思考、交流、讨论和概括,从而更好地完成本节课的教学目标 .
2、教学用具:投影仪 .
四、教学思路
(一)创设情景,揭示课题
1、复习初中所学函数的概念,强调函数的模型化思想;
2、阅读课本引例,体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想:
(1)炮弹的射高与时间的变化关系问题;
(2)南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题;
(3)“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题
3、分析、归纳以上三个实例,它们有什么共同点。

4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系;
5、根据初中所学函数的概念,判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系.
(二)研探新知
1、函数的有关概念
(1)函数的概念:
设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数(function).记作:y=f(x),x∈A.
其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域(domain);与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域(range).
注意:
①“y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”;
②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值,一个数,而不是f乘x.
(2)构成函数的三要素是什么?
定义域、对应关系和值域
(3)区间的概念
①区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;
②无穷区间; ③区间的数轴表示.
(4)初中学过哪些函数?它们的定义域、值域、对应法则分别是什么? 通过三个已知的函数:y =ax +b (a ≠0)
y =ax 2+b x +c (a ≠0)
y =x
k (k ≠0) 比较描述性定义和集合,与对应语言刻画的定义,谈谈体会。

师:归纳总结
(三)质疑答辩,排难解惑,发展思维。

1、如何求函数的定义域
例1:已知函数f (x ) = 3+x +
21+x (1)求函数的定义域;
(2)求f (-3),f (3
2)的值; (3)当a >0时,求f (a ),f (a -1)的值.
分析:函数的定义域通常由问题的实际背景确定,如前所述的三个实例.如果只给出解析式y =f (x ),而没有指明它的定义域,那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合,函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.
解:略
例2、设一个矩形周长为80,其中一边长为x ,求它的面积关于x 的函数的解析式,并写出定义域. 分析:由题意知,另一边长为
2280x -,且边长为正数,所以0<x <40. 所以s=8022
x x -⋅ = (40-x )x (0<x <40) 引导学生小结几类函数的定义域:
(1)如果f (x )是整式,那么函数的定义域是实数集R .
(2)如果f (x )是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .
(3)如果f (x )是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.
(4)如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.(即求各集合的交集)
(5)满足实际问题有意义.
巩固练习:课本P 22第1
2、如何判断两个函数是否为同一函数
例3、下列函数中哪个与函数y=x 相等?
(1)y = (x )2 ; (2)y = (33x ) ;
(3)y =2x
; (4)y =x x 2
分析:

1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)
○2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。

解:(略)
课本P 21例2
(四)巩固深化,反馈矫正:
(1)课本P 22第2题
(2)判断下列函数f (x )与g (x )是否表示同一个函数,说明理由?
① f ( x ) = (x -1) 0;g ( x ) = 1
② f ( x ) = x ; g ( x ) = 2x
③ f ( x ) = x 2;f ( x ) = (x + 1) 2
④ f ( x ) = | x | ;g ( x ) = 2x
(3)求下列函数的定义域
① 1()||
f x x x =- ② 1
()11f x x =+
③ f (x ) = 1+x +x
-21 ④ f (x ) = 2
4++x x ⑤
()1f x = (五)归纳小结
①从具体实例引入了函数的概念,用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念;②初步介绍了求函数定义域和判断同一函数的基本方法,同时引出了区间的概念。

(六)设置问题,留下悬念
1、课本P 28 习题1.2(A 组) 第1—7题 (B 组)第1题
2、举出生活中函数的例子(三个以上),并用集合与对应的语言来描述函数,同时说出函数的定义域、值域和对应关系。

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