大数运算及排列组合
大数的四则运算
进位规则：当两个数的和超过10时，需要进位 进位方法：将超过10的部分加到下一位
进位示例：12+34=46，其中2+4=6，超过10，需要将6的个位加到下一位
进位注意事项：进位时，需要注意位数的变化，避免错误
减法运算的基本原理 减法运算的注意事项
位数不同时的减法方法 减法运算的应用实例
相同位数的大 数减法，首先 将两个数对齐， 从低位开始相
余数定义：在除法运算中，被除数不能被除数整除的部分
余数性质：余数小于除数
余数应用：在计算中，余数可以用来判断除法运算的结果是否正确
余数处理方法：在计算中，可以通过余数来判断是否需要进行下一次除法运算， 或者进行其他处理。
仔细阅读题目，理解题意
认真检查计算过程，避免 漏算、错算
使用计算器或计算机进行 辅助计算，提高准确性
科学计数法：用E或e表示乘以10的幂次 指数表示法：用指数表示大数的大小 符号表示法：用符号表示大数的正负 组合表示法：用组合表示大数的位数和位数之间的关系
大数是指位数较多的数，通常超过计算机能够直接表示的范围
大数的位数通常用科学计数法表示，如10^100
大数的位数可以通过计算得到，例如10^100的位数为101 大数的位数也可以根据实际情况进行估计，例如10^100的位数大约为 100
加法原理：将两个数的每一位 相加，得到新的数
进位处理：当某一位相加结果 大于10时，需要进位
结果表示：将每一位相加的结 果和进位结果组合成新的数
示例：*** + *** = ***
加法法则：相同位数相加，从低位到高位依次相加 进位处理：当低位相加结果大于等于10时，需要进位 结果表示：将进位结果加到高位，得到最终结果 示例：*** + *** = ***
高考数学总复习计数原理、排列组合知识讲解
高考数学总复习计数原理、排列组合知识讲解高考总复习：计数原理、排列组合【考纲要求】1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.2．理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；能解决简单的实际问题.【知识网络】【考点梳理】要点一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2方案中有n种不同的方法。
那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。
要点诠释：如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中哪一种方法都能完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；在解题时，应首先分清楚怎样才算完成这件事，有些题目在解决时需要进行分类讨论，分类时要适当地确定分类的标准，按照分类的原则进行，做到不重不漏。
2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。
要点诠释：如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，计算完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理。
解题时，关键是分清楚完成这件事是分类还分步，在应用分步乘法计数原理时，各个步骤都完成，才算完成这件事，步骤之间互不影响，即前一步用什么方法，不影响后一步采取什么方法，运用分步乘法计数原理，要确定好次序，还要注意元素是否可以重复选取。
3．两个计数原理的综合应用（1）在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而是可能同应用计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成的，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求。
另外，具体问题是先分类后分步，还是先分步后分类，应视问题的特点而定。
解题时经常是两个原理交叉在一起使用，分类的关键在于要做到“不重不漏”，分类的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步。
排列组合的运算法则
排列组合的运算法则
排列组合的运算法则是指通过计算排列或组合的计算公式和规则来求解问题。
其中，排列是指从一组元素中，选取出若干个元素按照一定的顺序排列，而组合是指从一组元素中，选取出若干个元素不考虑顺序。
以下是常见的排列组合运算法则：
1. 排列：
- 有放回排列：如果元素可重复使用，且每个元素在每个位
置上都有可能出现，那么排列数为元素个数的指数幂，即An
= n^r。
- 无放回排列：如果元素不可重复使用，那么排列数为元素
个数的阶乘除以剩余位置数的阶乘，即An = n!/(n-r)!。
2. 组合：
- 有放回组合：如果元素可重复使用，且不考虑元素的顺序，那么组合数为元素个数的组合数，即C(n+r-1, r)。
- 无放回组合：如果元素不可重复使用，且不考虑元素的顺序，那么组合数为元素个数的阶乘除以选取的元素的阶乘乘以剩余位置的阶乘，即C(n, r) = n!/r!(n-r)!。
通过排列组合的运算法则，可以求解各种问题，如排列组合问题、概率问题、形成小组等问题。
数学运算之排列组合专题
但此类题型还是可以用挡板法，只需做一些小变化，可以假想从每个盒子中借一个球，
这样共有 11 个球，然后用挡板法进行计算考虑，故有 C120 = 45 种分法。
（二）9 个完全相同的球全部放入 3 个相同的盒子中，每个盒子要求至少有一个，
有
种不同的分法。
【解析】本题跟上面两题又有所差别，放入三个相同的盒子，就要考虑排除盒子排列产生的
多余次数，即除以 A33 。但是直接拿 C82 来除显然有问题，因为比如像（1，1，7）（2，2， 5）（4，4，1）这样的情况只有 3 种排列可能，并不是 A33 种排序，所以要在除以 A33 之前补 足，同样 3，3，3 也是一种特殊情况，要补足 5 种，这样就有了答案共[ C82 +3*3+5]/ A33 =7
【例九】六人站成一排，求： ①甲不在排头，乙不在排尾的排列数； ②甲在乙的前面的排列数； ③甲乙丙按从左到右依次排列的排列数。
【解析】特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑
5
①方法一：上图，A 为甲在排头的情况种数，B 为乙在排尾的情况种数，T 为符合两种情况 的种数，M 为 6 人排列种数。根据题目要求可知蓝色区域种数=M-A-B+T=6！-5！-5！ +4！=504 种。 方法二：可以判断出先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类（甲、乙 均可）。
6
【例十】对某件产品的 6 件不同正品和 4 件不同次品进行一一测试，至区分出所 有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有 多少种可能?
【解析】由题意可得，第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而可按下列
步骤分步完成。
①
Байду номын сангаас
高考数学 计数原理、排列与组合
( )
Ｄ.４２０ 个
解析 依题意ꎬ要使各位数字之和为奇数ꎬ则
可能是 ３ 个 奇 数 １ 个 偶 数 或 ３ 个 偶 数 １ 个
奇数.
若为 ３ 个奇数 １ 个偶数ꎬ则偶数一定排在个位ꎬ
则有 Ｃ１４ Ａ３５ ＝ ２４０ 个ꎻ
若为 ３ 个偶数 １ 个奇数ꎬ则有 Ｃ１５ Ｃ１３ Ａ３４ ＝ ３６０ 个.
种是 Ａ 社区安排了两名志愿者ꎬ所以从剩余 ３
( 多选) (２０２３ 届重庆八中月考一ꎬ９) 将
名志愿者中选择一个ꎬ分到 Ａ 社区ꎬ再把剩余 ２
甲、乙、丙、丁 ４ 名志愿者分别安排到 ＡꎬＢꎬＣ 三
第二种是 Ａ 社区只安排了甲志愿者ꎬ此时剩余
例3
个社区进行暑期社会实践活动ꎬ要求每个社区
至少安排一名志愿者ꎬ则下列选项正确的是
成有多种不同的方法ꎬ则完成这件事的不同
方法种数是各步骤的不同方法数的乘积ꎬ这
就是分步计数原理.
2.排列
１)排列数公式:Ａ ｍｎ ＝ ｎ( ｎ － １) ( ｎ －ｍ ＋ １) .
２)全排列:ｎ 个不同元素全部取出的一个排列ꎬ
叫做 ｎ 个不同元素的一个全排列ꎬＡ ｎｎ ＝ ｎ( ｎ
－ １) ( ｎ － ２) ３２１ ＝ ｎ!. 于是排列
专
题
十
计
数
原
理
３１９
答案 Ａ
例2
综上ꎬ一共有 ２４０ ＋ ３６０ ＝ ６００ 个.故选 Ａ.
(２０１７ 浙江ꎬ１６ꎬ４ 分) 从 ６ 男 ２ 女共 ８ 名
生ꎬ共有 种不同的选法.(用数字作答)
学生中选出队长 １ 人ꎬ副队长 １ 人ꎬ普通队员 ２
人组成 ４ 人服务队ꎬ要求服务队中至少有 １ 名女
大学数学排列组合的7大方法
大学数学排列组合的7大方法
大学数学排列组合的7大方法
导语：数学必背各类公式，尤其是一些常考常用的重点公式，一定要背下来，且能灵活的运用。
下面就由小编为大家带来大学数学排列组合的7大方法，大家一起去看看怎么做吧！
1.元素分析法
【例】求7人站一队，甲必须站在当中的不同站法。
【解析】要求甲必须站在当中，因此只需对其它6人全排列即可，不同的站法共有几种。
2.位置分析法
【例】求7人站一队，甲、乙都不能站在两端的不同站法。
【解析】先站在两端的位置有几种站法，再站其它位置有几种站法，因此所有不同的站法共有几种站法。
3.间接法
【例】求7人站一队，甲、乙不都站两端的不同站法。
【解析】考虑对立事件为甲乙都站在两端，共有几种站法;7人站成一队所有的站法共几种，所以甲乙不都站两端的不同站法共几种。
4.捆绑法
【例】求7人站一队，甲、乙、丙三人都相邻的不同站法。
【解析】先将甲、乙、丙看成一个人，即相当于5个人站成一队，有几种站法，再对这三个人全排列即得所有的.不同站法共几种。
5.插空法
【例】求7人站一队，甲、乙两人不相邻的不同站法。
【解析】先将其它五人全排列，然后将甲、乙两人插入所产生的6个空中即可，共几种不同的站法。
6.留出空位法
【例】求7人站一队，甲在乙前，乙在丙前的不同站法。
【解析】由于甲、乙、丙三人的顺序一定，因此只要其余4人站好，这7个人就站好了，不同的站法共有几种。
7.单排法
【例】求9个人站三队，每排3人的不同站法。
【解析】由于对人和对位置都无任何的要求，因此，相当于9个人站成一排，不同的站法显然共有几种。
组合与排列的计算方法(知识点总结)
组合与排列的计算方法（知识点总结）组合和排列是离散数学中的两个重要概念，用于描述从一组元素中选择出一部分元素的方式。
在实际生活和数学问题中，我们经常需要计算不同元素的排列或组合情况。
下面将介绍组合和排列的定义、计算方法及应用。
1. 组合的计算方法组合指的是从一个元素集合中选出若干个元素，不考虑元素的顺序。
假设有n个元素，要从中选出k个元素的组合数可以用C(n, k)表示。
计算组合数的公式为：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
例如，从5个元素中选出3个元素的组合数为：C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 5! / (3! * 2!) = 102. 排列的计算方法排列指的是从一个元素集合中选出若干个元素，考虑元素的顺序。
同样假设有n个元素，要从中选出k个元素的排列数可以用P(n, k)表示。
计算排列数的公式为：P(n, k) = n! / (n-k)!例如，从5个元素中选出3个元素的排列数为：P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 603. 组合与排列的应用组合和排列的计算方法在实际生活和数学问题中有广泛的应用。
在数学问题中，组合和排列的计算方法可以用于计算概率。
例如，在一个抽奖活动中，有10个人参与，每人只能抽出一张奖券，那么获奖的组合数为C(10, 1) = 10。
如果要计算中奖概率，则需要将获奖的组合数除以总的可能组合数。
在计算机科学中，组合和排列的计算方法可以用于算法设计。
例如，在某个问题中，需要对一组数据进行全排列的处理，即将这组数据的所有可能的排列情况都生成出来。
通过排列的计算方法，可以快速计算出所有排列的结果。
在实际生活中，组合和排列的计算方法常用于安排座位、制定菜单、组织比赛等场景下。
例如，某个宴会上有8个座位，要从10个人中选出来安排座位，那么可能的座位组合数为C(10, 8) = 45。
排列组合的运算法则
排列组合的运算法则排列组合是数学中的一个重要概念，它用于描述一组对象的不同排列或组合方式。
在实际应用中，排列组合常常用于解决问题，例如在概率和统计、组合数学、计算机科学、经济学和工程学等领域。
本文将介绍排列组合的基本概念和运算法则，以及相关的参考内容。
一、基本概念：1. 排列：指从n个不同元素中选取m个元素进行排序。
排列通常用P(n, m)来表示，其中n为总的元素个数，m为选取的元素个数。
排列的计算公式为P(n, m) = n! / (n-m)!2. 组合：指从n个不同元素中选取m个元素，不考虑其排序。
组合通常用C(n, m)来表示，其中n为总的元素个数，m为选取的元素个数。
组合的计算公式为C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)3. 阶乘：指从1到某个正整数n的连续整数相乘的结果。
阶乘通常用n!来表示，其中n! = n * (n-1) * ... * 2 * 1。
二、运算法则：排列组合的运算法则主要包括加法法则、乘法法则和递推法则。
1. 加法法则：对于排列和组合来说，加法法则指的是将问题分解为多个独立的情况，并将它们的结果相加。
例如，要从10个不同的球中选取3个球，有两种情况：第一种情况是选取了红球，第二种情况是选取了蓝球。
根据加法法则，这两种情况下的选球数相加即为总的结果：C(10,3) =C(5,3) + C(5,3) = 10.2. 乘法法则：对于排列和组合来说，乘法法则指的是将多个步骤的结果相乘。
例如，从4个不同的元素中选取2个进行排列，有两个步骤：第一步是选取第一个元素，有4种情况；第二步是选取第二个元素，有3种情况。
根据乘法法则，这两个步骤的结果相乘即为总的排列数：P(4,2) = 4 * 3 = 12.3. 递推法则：递推法则是一种利用已知结果推导出未知结果的方法。
例如，计算组合数C(n, m)时，可以利用以下递推关系：C(n, m) = C(n-1, m) + C(n-1, m-1)。
数学中的排列与组合的应用与计算
介绍了排列与组合在编码和密码学中的具体应用，如利用排列组合 原理设计密码、破译密码等。
优化问题中的应用
通过一些实际问题，展示了如何利用排列组合知识进行优化决策， 如资源分配、路径规划等。
未来发展趋势预测
排列与组合理论的深入研 究
随着数学理论的不断发展，排列与组合的理 论体系将进一步完善，为解决更复杂的问题 提供有力支持。
Hale Waihona Puke 在解决分组问题时，可以将问题转化为在特定数量的元素中插
入一定数量的隔板的问题。
确定插板位置
02
根据分组的数量和每组元素的数量，确定需要插入的隔板数量
和位置。
计算组合数
03
根据插板的位置和数量，计算所有可能的组合数，从而得到分
组的结果。
其他计算技巧和方法
优先考虑特殊元素和特殊位置
利用排列组合公式进行计算
排列与组合的区别
主要在于顺序是否有关。排列是 把有顺序要求的元素组合起来， 而组合则是把没有顺序要求的元 素组合起来。
常见计算公式
排列数公式
P(n,m)=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)=n!/(n-m)!，其中n!表示n 的阶乘，即n!=n(n-1)(n-2)...3×2×1。
组合数公式
05 复杂排列组合问 题解析及实例演 练
复杂问题类型及特点
01
涉及多个对象或条件的排列组合问题，如分组、定 序、环排等。
02
含有限制条件的排列组合问题，如至少、至多、不 相邻等。
03
需要运用多种计数原理和方法进行求解的综合性问 题。
解题思路和步骤
01
认真审题，明确问题类型和限制 条件。
排列组合的计算方法
排列组合的计算方法排列组合是数学中的一个重要概念，它涉及到对一组元素进行不同方式的排列和组合。
在实际生活中，排列组合的概念经常被用于解决各种问题，比如在概率论、统计学、计算机科学等领域。
本文将介绍排列组合的基本概念和计算方法，帮助读者更好地理解和运用这一概念。
首先，我们来了解一下排列的概念。
排列是指从给定的元素中取出一部分进行排列，要求每个元素只能出现一次，而且顺序是重要的。
在数学上，排列的计算公式为P(n, m) = n! / (n-m)!，其中n表示总的元素个数，m表示取出的元素个数，n!表示n的阶乘。
举个例子，如果有5个元素，要取出3个进行排列，那么排列的总数就是P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 60。
接下来，我们来了解一下组合的概念。
组合是指从给定的元素中取出一部分进行组合，要求每个元素只能出现一次，而且顺序不重要。
在数学上，组合的计算公式为C(n, m) = n! / (m! (n-m)!)，其中n表示总的元素个数，m表示取出的元素个数，n!表示n的阶乘。
举个例子，如果有5个元素，要取出3个进行组合，那么组合的总数就是C(5, 3) = 5! / (3! (5-3)!) = 10。
在实际问题中，排列组合经常被用于解决各种问题。
比如在概率论中，我们需要计算某个事件发生的可能性，就可以利用排列组合的方法来进行计算。
在统计学中，我们需要对样本进行排列组合，来得到不同的排列组合情况。
在计算机科学中，排列组合的概念经常被用于算法设计和优化。
总之，排列组合是数学中的重要概念，它涉及到对一组元素进行不同方式的排列和组合。
通过本文的介绍，相信读者对排列组合的基本概念和计算方法有了更清晰的理解，能够更好地运用这一概念解决实际问题。
希望本文能够帮助读者更好地掌握排列组合的知识，为进一步学习和应用打下坚实的基础。
数学中的排列和组合计算方法
数学中的排列和组合计算方法在数学中，排列和组合是一些重要的计算方法，广泛应用于概率统计、组合数学、组合优化等领域。
排列和组合可以用于计算不同的排列顺序和选择组合方式的数量，为解决实际问题提供了数学工具和方法。
一、排列计算方法排列是指从一组元素中取出一部分元素按照一定的顺序进行排列。
在排列中，元素的顺序是重要的，不同的排列顺序会得到不同的结果。
下面介绍几种常见的排列计算方法。
1. 直接计算法：直接计算法是一种比较常见且直观的排列计算方法。
对于n个元素的排列，取出第一个元素有n种选择，取出第二个元素有n-1种选择，依此类推，取出第k个元素有n-k+1种选择，直到取完所有的元素。
因此，n个元素的排列数为n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1，即n的阶乘（n!）。
2. 公式计算法：当排列元素的个数n较大时，直接计算法会产生大量的中间结果，计算量较大。
这时可以使用排列的计算公式来简化计算过程。
对于从n 个元素中取出k个元素的排列，公式可以表示为P(n,k) = n! / (n-k)!。
3. 递归计算法：排列问题可以使用递归来求解。
递归的思想是将大问题逐渐分解为小问题，然后将小问题的解合并起来得到大问题的解。
对于排列问题，可以递归地将问题分解为取一个元素和取其他元素的排列问题。
具体实现时，可以选择一个元素作为第一个元素，然后递归求解剩余元素的排列，最后合并所有的排列结果。
二、组合计算方法组合是指从一组元素中取出一部分元素，不考虑元素的排列顺序。
在组合中，元素的顺序是不重要的，不同的组合顺序得到的结果是一样的。
下面介绍几种常见的组合计算方法。
1. 直接计算法：直接计算法是一种比较简单的组合计算方法。
对于n个元素的组合，如果选择了其中的k个元素，则还剩下n-k个元素没有选择。
因此，n个元素的组合数可以表示为C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!）。
2. 公式计算法：组合的计算公式可以用于快速计算组合数。
高中数学排列组合及概率的基本公式、概念及应用及高中数学排列组合相关公式
高中数学排列组合及概率的基本公式、概念及应用1 分类计数原理（加法原理）：12n N m m m =+++.分步计数原理（乘法原理）：12n N m m m =⨯⨯⨯.2 排列数公式 ：mn A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．规定1!0=.3 组合数公式：mnC =m n m mA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤).组合数的两个性质:(1)m n C =m n n C - ;(2) m n C +1-m n C =m n C 1+.规定10=n C .4 二项式定理 n n n r r n r n n n n n n nn b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ; 二项展开式的通项公式rr n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =.2012()()n n n f x ax b a a x a x a x =+=++++的展开式的系数关系：012(1)n a a a a f ++++=； 012(1)(1)n n a a a a f -+++-=-；0(0)a f =。
5 互斥事件A ，B 分别发生的概率的和：P(A ＋B)=P(A)＋P(B)． n 个互斥事件分别发生的概率的和：P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )．6 独立事件A ，B 同时发生的概率：P(A ·B)= P(A)·P(B).n 个独立事件同时发生的概率：P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )．7 n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率：()(1).k k n kn n P k C P P -=-8 数学期望：1122n n E x P x P x P ξ=++++数学期望的性质（1）()()E a b aE b ξξ+=+. （2）若ξ～(,)B n p ,则E np ξ=. (3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ-===，则1E pξ=. 9方差：()()()2221122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-⋅+-⋅++-⋅+标准差：σξ=ξD .方差的性质：(1)()2D a b a D ξξ+=；(2）若ξ～(,)B n p ，则(1)D np p ξ=-.(3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ-===，则2q D pξ=. 方差与期望的关系：()22D E E ξξξ=-.10正态分布密度函数：()()()2226,,x f x x μ--=∈-∞+∞，式中的实数μ，σ（σ>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差. 对于2(,)N μσ，取值小于x 的概率：()x F x μσ-⎛⎫=Φ⎪⎝⎭.()()()12201x x P x x P x x x P <-<=<<11 )(x f 在0x 处的导数（或变化率）：00000()()()limlim x x x x f x x f x yf x y x x=∆→∆→+∆-∆''===∆∆. 瞬时速度：00()()()lim limt t s s t t s t s t t tυ∆→∆→∆+∆-'===∆∆. 瞬时加速度：00()()()lim limt t v v t t v t a v t t t∆→∆→∆+∆-'===∆∆. 12 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.13 几种常见函数的导数：(1) 0='C （C 为常数）.(2) 1()()n n x nxn Q -'=∈.(3) x x cos )(sin ='.(4) x x sin )(cos -='. (5) x x 1)(ln ='；1(log )log a a x e x'=.(6) x x e e =')(; a a a xx ln )(='.14 导数的运算法则：（1）'''()u v u v ±=±.（2）'''()uv u v uv =+.（3）'''2()(0)u u v uv v v v-=≠. 15 判别)(0x f 是极大（小）值的方法：当函数)(x f 在点0x 处连续时，（1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，则)(0x f 是极大值； （2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，则)(0x f 是极小值. 16 复数的相等：,a bi c di a c b d +=+⇔==.（,,,a b c d R ∈）17 复数z a bi =+的模（或绝对值）||z =||a bi +18 复平面上的两点间的距离公式：12||d z z =-=（111z x y i =+，222z x y i =+）.19实系数一元二次方程的解实系数一元二次方程20ax bx c ++=，①若240b ac ∆=->,则1,2x =②若240b ac ∆=-=,则122bx x a==-;③若240b ac ∆=-<，它在实数集R 内没有实数根；在复数集C 内有且仅有两个共轭复数根240)x b ac =-<.20解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．21解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法，还记得什么时候用隔板法？22排列数公式是： 组合数公式是： 排列数与组合数的关系是：mnm n C m P ⋅=！组合数性质：mnC=m n nC-m nC+1-m n C=mn C1+∑=nr r nC=n21121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C二项式定理：nn n r r n r n n n n n nnn bC b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(二项展开式的通项公式：rr n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =概率统计23有关某一事件概率的求法：把所求的事件转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)，转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率，利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率，看作某一事件在n 次实验中恰有k 次发生的概率，但要注意公式的使用条件。
大数的认识知识点总结
大数的认识知识点总结大数是一个普遍存在的概念，在生活和工作中都经常会遇到。
虽然大数看起来很简单，但实际上涉及到许多知识点和技巧。
本文将从多个角度总结大数的认识知识点，帮助读者更好地理解和应用大数。
一、大数的概念大数是指超过一定范围或量级的数字或数量。
具体来说，大数分为正数和负数，可以用科学计数法或中文数字表示，例如1亿、1千万、1百万亿等等。
在实际应用中，常常需要进行大数的运算、比较、转化等操作。
二、大数的进位规律当数位进入到一定位数，就需要进行进位处理。
一般情况下，我们都采用十进位的方法进行进位。
这种方法的进位规律如下：•如果某一数位达到9，则按照正常情况进位。
•如果某一数位为0，则看其前一位数字，如果前一位数字不是0，则进位。
如果前一位数字是0，则继续向前寻找非0数位，直到找到为止。
例如将999999+1，则先将最后一位数字加一，得到进位前的数字为1000000。
三、大数的表示方法大数可以用不同的表示方法来体现不同的意义。
其中，科学计数法是最常用的表示方法之一。
科学计数法可以将大数表示为一个数字乘以10的幂次方的形式，例如105的科学计数法为1.05x10^5。
除此之外，中文数字也经常被用来表示大数。
中文数字有严格的用法和读法，例如“亿”、“万亿”等都是一定量级的单位。
需要注意的是，中文数字在使用中需要特别注意其读音和书写细节，避免产生歧义和误解。
四、大数的计算大数的计算是一个比较复杂的问题，需要掌握一些基本的技巧和方法。
1. 基本加减法大数的加减法基本原则与小数相同，可以先对齐小数点，然后将数位对齐。
需要注意的是，加减时要注意进位和借位处理。
此外，要注意防止精度误差和溢出问题的产生。
2. 科学计数法的加减法科学计数法的加减法也遵循相同的原则，需要先将指数相同，然后将小数位与整数位对齐。
加减时，只需要对浮点数部分进行计算，而指数部分不变。
3. 乘法大数的乘法通常采用竖式计算法。
首先将两个数的每一位进行相乘，然后将所有结果相加。
高中数学中的概率统计计算组合数与排列数的技巧
高中数学中的概率统计计算组合数与排列数的技巧概率统计是数学中一门重要的分支，它研究的是事件发生的可能性以及事件之间的关联性。
在概率统计中，组合数与排列数是非常常见且重要的计算方法，它们可以帮助我们计算事件发生的可能性以及确定事件的排列方式。
本文将介绍高中数学中的概率统计计算组合数与排列数的一些技巧。
一、组合数的计算技巧组合数是从给定的集合中选择出若干个元素而不考虑元素的顺序的方式数。
在高中数学中，常用的组合数计算方法有两种常用技巧：公式法和杨辉三角形。
1. 公式法组合数的计算可以利用组合数公式进行。
给定集合中有n个元素，要从中选择出k个元素进行组合，组合数的计算公式为：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
通过这个公式，我们可以直接计算出组合数的值。
需要注意的是，在使用公式计算组合数时，我们要特别关注被除数的数值是否会导致计算结果过大，从而超出计算机的计算范围。
2. 杨辉三角形杨辉三角形是中国古代著名数学家杨辉发明的一种特殊的数列形式，它可以用来计算组合数。
杨辉三角形的特点是每个数等于它上方两数之和。
下面是一个示例的杨辉三角形：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1在杨辉三角形中，每个数都是上方两个数之和。
通过观察杨辉三角形中的数值，我们可以发现第n行第k列的数值就是组合数C(n, k)的值。
利用杨辉三角形，我们可以方便地计算出组合数的值，而不需要进行阶乘的运算。
二、排列数的计算技巧排列数是指从给定的集合中选择若干个元素，考虑元素的顺序进行排列的方式数。
在高中数学中，我们常用的排列数计算方法有两种技巧：公式法和循环法。
1. 公式法排列数的计算可以利用排列数公式进行。
给定集合中有n个元素，要从中选择出k个元素进行排列，排列数的计算公式为：P(n, k) = n! / (n-k)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
数学高中排列组合知识和典例
1．排列与排列数(1)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A m n.2．组合与组合数(1)组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C m n.排列数、组合数的公式及性质顺序有关，组合问题与顺序无关．一、排列问题排列典型例题：有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻．解：(1)从7人中选5人排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．(2)分两步完成，先选3人站前排，有A37种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A37·A44＝5 040(种)．(3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3 600(种)．法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A26种排法，其他有A55种排法，共有A26A55＝3 600(种)．(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576(种)．(5)(插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A35种方法，共有A44·A35＝1 440(种)．1.用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A．324 B．648C．328 D．3602.用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为________．3.甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有()A．10种B．16种C．20种D．24种二、组合问题组合典型例题：某运动队有男运动员6名，女运动员4名，若选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员．解：(1)任选3名男运动员，方法数为C36，再选2名女运动员，方法数为C24，共有C36·C24＝120(种)方法．(2)法一：(直接法)至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，由分类加法计数原理可得总选法数为C14C46＋C24C36＋C34C26＋C44C16＝246(种)．法二：(间接法)“至少有1名女运动员”的反面是“全是男运动员”，因此用间接法求解，不同选法有C510－C56＝246(种)．1.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有()A．30种B．36种C．60种D．72种2.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种三、排列组合综合问题(1)简单的排列与组合的综合问题；(2)分组、分配问题．1.将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为()A．15 B．20C．30 D．422.将5位同学分别保送到大学、交通大学、大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有()A ．150种B ．180种C ．240种D ．540种此题是高考出现频率最高的题型，我把他称为均分问题：对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m ！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．(3)涂色问题：涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。
数的排列组合用数学的方式解决排列问题
数的排列组合用数学的方式解决排列问题数的排列组合是组合数学中的一个重要分支，它涉及到将一组元素按照特定的顺序进行排列。
它在实际问题中有广泛的应用，如密码学、统计学、计算机算法等领域。
数的排列组合可以通过数学的方式解决排列问题，本文将详细介绍数的排列组合的定义、计算公式和应用。
一、排列问题的定义排列是指将一组元素按照一定的顺序进行排列。
例如，给定元素{A, B, C}，它们的所有可能的排列有ABC、ACB、BAC、BCA、CAB和CBA。
排列问题的关键是确定元素的顺序，因此排列问题的解决方法需要考虑元素顺序的不同情况。
二、组合问题的定义组合是指从一组元素中选择若干个元素组成一个集合，忽略元素的顺序。
例如，给定元素{A, B, C}，从中选择两个元素的组合有{A, B}、{A, C}和{B, C}。
组合问题的关键是确定元素的选择，而不考虑元素的顺序。
三、排列组合的计算公式1. 排列的计算公式排列问题的计算公式可以表示为“n个元素中取出m个元素进行排列，有P(n, m)种可能”，其中P(n, m)表示排列的总数。
排列数的计算公式为：P(n, m) = n! / (n-m)!在公式中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1。
2. 组合的计算公式组合问题的计算公式可以表示为“n个元素中取出m个元素进行组合，有C(n, m)种可能”，其中C(n, m)表示组合的总数。
组合数的计算公式为：C(n, m) = n! / (m! × (n-m)!)在计算组合数时，我们需要注意到组合数和排列数的不同点是组合不考虑元素的顺序，因此需要除以m!来剔除重复的排列。
四、排列组合的应用1. 密码学密码学中经常使用排列组合来生成和破解密码。
通过对字符、数字和符号的排列组合，可以生成强密码来保护用户的信息安全。
同时，破解密码也经常使用排列组合的方法，通过穷举所有可能的密码组合来尝试破解密码。
大数运算与组合数学
例子
例子
解法： 1）t=1 It’s easy to see that it’s answer isn’t a integer with less than 100 digits. 2）a=b It’s easy to see that it’s answer is 1. 3）if(a %b != 0) It’s answer isn’t a integer with less than 100 digits. 証明： 令(t^a - 1)/(t^b -1) = n, n是整數，証明a%b=0 (t^a - 1)/ (t^b - 1) = t^(a-b) +t^(a-2b)+t^(a3b)+……+t^(a-nb) 因為一定除的進(這是我們的假設)，所以a-nb = 0,∴ a%b = 0 ∵ p->q, -q->-p, ∴a%b!=0,就不會是整數。
輸入呢?
輸入成字串 再把字串分解成陣列中各個元素. 需要一個parse字串的副程式.
void parse(char *s, int *a){ int i,j; j=strlen(s); for(i=0;i<j;i++){ a[j-1-i]=s[0]-30; } } void add(int *a, int *b, int *sum){ int i,c; c=0; for(i=0;i<100;i++){ sum[i]=a[i]+b[i]+c; if(sum[i]>=10){ sum[i]=sum[i]-10; c=1; } else { c=0; } } }
例子
令x=t^b, a/b=y, y是正整數，(t^a - 1)/(t^b -1) = (x^y1)/(x-1) (x^y-1)/(x-1) = x^(y-1)+x^(y-2)+x^(y-3)+….+x^0 ∵x^(y-1) > x^(y-2)+x^(y-3)+….+x^0 ∴x^(y-1) 加上 x^(y-2)+x^(y-3)+….+x^0 最多進一位數。 Log10(x^(y-1)) = log10(t^(a-b)) = (a-b)*log10(t) ∴if((a-b)*log10(t) >=99),就一定會大於100位數 若沒有大於100位數，有可能等於100位數，所以要算 出來。 5、(x^y-1)/(x-1) = x^(y-1)+x^(y-2)+x^(y-3)+….+x^0 將這個值算出來.
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2. 3 大数乘法
大数乘法运算实现算法如下: (1)通过每一层循环 ,实现乘法的加法化; (2)对结果做进位调整。 思路：乘法比加法稍微复杂一些，进位多， 先计算后统一处理进位的方法比较好.
总结：大数乘法是二重循环，先乘，后统 一进位.
2. 4 大数除法
解题思路 基本的思想是反复做减法，看看从被除数里最多能 减去多少个除数，商就是多少。一个一个减显然太慢， 如何减得更快一些呢？ 以 7546 除以 23 为例来看一下：开始商为 0。先 减去 23 的 100 倍，就是 2300，发现够减 3 次，余下 646。于是商的值就增加 300。然后用 646减去 230， 发现够减 2 次，余下 186，于是商的值增加 20。最后 用 186 减去 23，够减 8 次，因此最终商就是 328。 所以本题的核心是要写一个大整数的减法函数，然 后反复调用该函数进行减法操作。 计算除数的 10 倍、100 倍的时候，不用做乘法，直接 在除数后面补 0 即可。
大整数运算
由于编程语言提供的基本数值数据类型表 示的数值范围有限，不能满足较大规模的 高精度数值计算，因此需要利用其他方法 实现高精度数值的计算，于是产生了大数 运算。
思路： 但凡大数运算思路一致，都是 用数组存，然后处理进位
1.大数存储的实现
作为实现大数存储最常见的一类方法是利 用数组。将一 个有 n 位的大数存入数组 , 每个数组的一个元素表示一位十 进制数 ,若 是 n 没有超过普通 PC 机允许的定义范围 , 这种算 法是简单易行的。 如果出现超大数 , 则可以采用万进制的方法加以存储 ,在 此就 不多做介绍了。
2.大数计算的算法
2. 1 大数加法 大数加法运算实现算法如下: (1)将数组A、 B 按位对齐; （数组一般都是先从低位开始存放） (2)低位开始逐位相加; (3)对结果做进位调整。
2. 2 大数减法
大数减法运算实现算法如下: (1)将 A、 B 按位对齐; (2)低位开始逐位相减; (3)对结果做借位调整。
Байду номын сангаас
基本公式整理
只要记住下面公式，就会计算排列组合：(在列式中n为下标,m为上标) 排列 A(n,m)＝n(n-1)(n-2)……(n-m+1)＝n!/(n-m)! 组合 C(n,m)=A(n,m)/A(m,m)=A(n,m)/m! C(n,m)=C(n,n-m)=n!/m!(n,m)! 例如 A(4,2)=4!/2!=4x3=12 C(4,2)=4!/(2!x2!)=(4x3x2)/(2x2)=6
排列用符号A(n,m)表示，m≦n。 计算公式是：A(n,m)＝n(n-1)(n-2)……(n-m+1)＝n!/(n-m)! 此外规定0!=1，n!表示n(n-1)(n-2)…1
组合的定义及其计算公式
组合的定义有两种。定义的前提条件是m≦n。 ① 从n个不同元素中，任取m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合。 ② 从n个不同元素中，取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素 中取出m个元素的组合数。 ③ 用例子来理解定义：从4种颜色中，取出2种颜色，能形成多少种组合。 组合用符号C(n,m)表示，m≦n。 公式是：C(n,m)=A(n,m)/m! 或 C(n,m)=C(n,n-m)。
2. 5 大数取模
在取模运算中用到了上面的除法运算 ,只需 返回余数即可。
排列组合
排列的定义及其计算公式
排列有两种定义，但计算方法只有一种，凡是符合这两种定义的都用这种方法计算。 定义的前提条件是m≦n，m与n均为自然数。 ① 从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元 素中取出m个元素的一个排列。 ② 从n个不同元素中，取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取 出m个元素的排列数。 ③ 用具体的例子来理解上面的定义：4种颜色按不同颜色，进行排列，有多少种排 列方法，如果是6种颜色呢。从6种颜色中取出4种进行排列呢。