北京邮电大学2015年离散数学期末考试题
离散数学期末试题及答案完整版
离散数学期末试题及答案HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】326《离散数学》期末考试题(B )一、填空题(每小题3分，共15分)1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )，)(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ).2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数.3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ⌝∧∃∧→∀中量词x ∀的辖域为( ), 量词y ∃的辖域为( ).4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元.5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=⨯||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个.2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射.3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧⌝)(； (5)q q p →→)(.4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ).5. 设G 是(7, 15)简单平面图，则G 一定是( )图，且其每个面恰由( )条边围成，G 的面数为( ).三．1.设}}{},,{{c b a A =，}}{},,{},{{c c b a B =，则)(=⋃B A ，)(=⋂B A ，)()(=A P .2.集合},,{c b a A =，其上可定义( )个封闭的1元运算，( )个封闭的2元运算，( )个封闭的3元运算.3.命题公式1)(↑∧q p 的对偶式为( ).4.所有6的因数组成的集合为( ).5.不同构的5阶根树有( )棵.四、(10分)设B A f →:且C B g →:，若g f 是单射，证明f 是单射，并举例说明g 不一定是单射.五、(15分)设},,,{d c b a A =,A 上的关系)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(c d b d a d c c b c a c c a b a a a R =,1.画出R 的关系图R G .2.判断R 所具有的性质.3.求出R 的关系矩阵R M .六、(10分)利用真值表求命题公式))(())((p q r r q p A →→↔→→=的主析取范式和主合取范式.七、(10分) 边数30<m 的简单平面图G ，必存在节点v 使得4)deg(≤v . 八、(10分) 有六个数字，其中三个1，两个2，一个3，求能组成四位数的个数.《离散数学》期末考试题(B)参考答案一、1. {{a , b }, a , b , ?}， {{a , b }, a , b }，16.2.92, 27.3.)()(x Q x P →, )()(y P y Q ⌝∧.4. 2, 4, 6, 12.5.4≤，奇数.二、1.22,2,m mn mn ., g , g . ,2,4.，不存在，不存在. 5.连通，3，10.三、1. }}{},,{},,{},{{c c b b a a B A =⋃，}}{{c B A =⋂，{)(=A P ?, {{a , b }}, {{c }}, {{a , b }, {c }}}.2.27933,3,3. 3.0)(↓∨q p .4.{-1，-2，-3，-6，1，2，3，6}. .四、证 对于任意A y x ∈,，若)()(y f x f =，则))(())((y f g x f g =，即))(())((y g f x g f =. 由于g f 是单射，因此y x =，于是f 是单射.例如取},,{},3,2,1(},,{γβα===C B b a A ，令)}2,(),1,{(b a f =，)},3(),,2(),,1{(ββα=g ，这时)},(),,{(βαb a g f = 是单射，而g 不是单射.五、解 1. R 的关系图R G 如下：2.(1)由于R b b ∉),(，所以R 不是自反的. (2)由于R a a ∈),(，所以R 不是反自反的.(3)因为R b d ∈),(，而R d b ∉),(，因此R 不是对称的. (4)因R a c c a ∈),(),,(，于是R 不是反对称的.(5)经计算知R c d a d c c b c a c c a b a a a R R ⊆=)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{( ，进而R 是传递的.综上所述，所给R 是传递的.3.R 的关系矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0111011100000111R M .六、解 命题公式))(())((p q r r q p A →→↔→→=的真值表如下:由表可知，))(())((p q r r q p A →→↔→→=的主析取范式为A 的主合取范式为)()(r q p r q p A ⌝∨⌝∨∧∨⌝∨⌝=.七、证 不妨设G 的阶数3≥n ，否则结论是显然的. 根据推论1知，63-≤n m . 若G 的任意节点v 的度数均有5)deg(≥v ，由握手定理知n v m v5)deg(2≥=∑.于是m n 52≤，进而652363-⋅≤-≤m n m . 因此30≥m ，与已知矛盾. 所以必存在节点v 使得4)deg(≤v .八、解 设满足要求的r 位数的个数有a r 种，r = 0，1，2，…，则排列计数生成函数65432121211219619431x x x x x x ++++++=,因而38!412194=⋅=a .。
北京邮电大学计算机学院 离散数学 9.1~9.3-relations
A B = {(a, b) | a A and b B}
2015-2-5
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5
A1 A2 Am
The Cartesian product A1 A2 Am of the nonempty sets A1, A2, , Am is the set of all ordered m-tuples (m元组) (al, a2, ... , am), where ai Ai, i = 1, 2, . . . , m Thus
9.1 Relations and Their Properties 关系及关系性质 9.2 n-ary Relations and Their Applications n元关系及应用 9.3 Representing Relations 关系的表示 9.4 Closures of Relations 关系闭包 9.5 Equivalence Relations 等价关系 9.6 Partial Orderings 偏序关系
R(A1) = {y B | x R y for some x in A1}
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15
Theorem
Let R be a relation from A to B, and let A1 and A2 be subsets of A. Then
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北邮离散数学期末复习题
北邮离散数学期末复习题 第一章集合论 一、判断题（1）空集是任何集合的真子集． （ 错 ）（2）{}φ是空集． （ 错 ） （3）{}{}a a a },{∈ （ 对 ） （4）设集合{}{}{}{}AA 22,1,2,1,2,1⊆=则. ( 对 ） （5）如果B A a ⋃∉，则A a ∉或B a ∉． （ 错 ）解 B A a ⋃∉则B A B A a ⋂=⋃∈，即A a ∈且B a ∈，所以A a ∉且B a ∉（6）如果A ∪.,B A B B ⊆=则 （ 对 ）（7）设集合},,{321a a a A =，},,{321b b b B =，则},,,,,{332211><><><=⨯b a b a b a B A （ 错 ）（8）设集合}1,0{=A ，则}1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><=φφρ是A2到A 的关系． （ 对 ）解 A 2}},1{},0{,{A φ=， =⨯A A 2}1,,0,,1},1{,0},1{,1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><><><><><A A φφ（9）关系的复合运算满足交换律． （ 错 ）（10）.条件具有传递性的充分必要上的关系是集合ρρρρA =ο （ 错 ）（11）设.~,上的传递关系也是则上的传递关系是集合A A ρρ ( 对 ) （12）集合A 上的对称关系必不是反对称的. （ 错 ）（13）设21,ρρ为集合A 上的等价关系, 则21ρρ⋂也是集合A 上的等价关系( 对 )（14）设ρ是集合A 上的等价关系, 则当ρ>∈<b a ,时， ρρ][][b a = ( 对 )（15）设21,ρρ为集合 A 上的等价关系, 则 ( 错 )二、单项选择题（1）设R 为实数集合，下列集合中哪一个不是空集 （ A ）A. {}R x x x ∈=-且,01|2 B ．{}R x x x ∈=+且,09|2C. {}R x x x x ∈+=且,1|D. {}R x x x ∈-=且,1|2（2）设B A ,为集合，若φ=B A \，则一定有 （ C ）A. φ=B B ．φ≠B C. B A ⊆ D. B A ⊇（3）下列各式中不正确的是 （ C ）A. φφ⊆ B ．{}φφ∈ C. φφ⊂ D. {}}{,φφφ∈ （4）设{}}{,a a A =，则下列各式中错误的是 （ B ）A. {}A a 2∈ B ．{}A a 2⊆ C. {}A a 2}{∈ D. {}Aa 2}{⊆ （5）设{}2,1=A ，{}c b a B ,,=，{}d c C ,=，则)(C B A I ⨯为 （ B ） A. {}><><c c ,2,1, B ．{}><><c c ,2,,1C. {}><><2,,,1c cD. {}><><2,,1,c c（6）设{}b A ,0=，{}3,,1b B =，则B A Y 的恒等关系为 （ A ） A. {}><><><><3,3,,,1,1,0,0b b B ．{}><><><3,3,1,1,0,0C. {}><><><3,3,,,0,0b bD. {}><><><><0,3,3,,,1,1,0b b（7）设{}c b a A ,,=上的二元关系如下，则具有传递性的为 （ D ）A. {}><><><><=a b b a a c c a ,,,,,,,1ρB ． {}><><=a c c a ,,,2ρC. {}><><><><=c b a b c c b a ,,,,,,,3ρD. {}><=a a ,4ρ（8）设ρ为集合A 上的等价关系，对任意A a ∈，其等价类[]ρa 为 （ B ）A. 空集； B ．非空集； C. 是否为空集不能确定； D. }|{A x x ∈.（9）映射的复合运算满足 （ B ）A. 交换律 B ．结合律 C. 幂等律 D. 分配律（10）设A ，B 是集合，则下列说法中（ C ）是正确的.A ．A 到B 的关系都是A 到B 的映射B ．A 到B 的映射都是可逆的C ．A 到B 的双射都是可逆的D ．B A ⊂时必不存在A 到B 的双射（11）设A 是集合，则（ B ）成立.A ．A A #22#=B ．A X X A⊆↔∈2 C ．{}A2∈φ D ．{}AA 2∈ （12）设A 是有限集（n A =#），则A 上既是≤又是～的关系共有（B ）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．n 个三、填空题1. 设}}2,1{,2,1{=A ，则=A2____________.填}}},2,1{,2{}},2,1{,1{},2,1{}},2,1{{},2{},1{,{2A A φ=2.设}}{,{φφ=A ，则A 2= . 填}}},{{},{,{2A A φφφ=3.设集合B A ,中元素的个数分别为5#=A ，7#=B ，且9)(#=⋃B A ，则集合B A ⋂中元素的个数=⋂)(#B A .34.设集合}4,1001|{Z x x x x A ∈≤≤=的倍数，是，}5,1001|{Z x x x x B ∈≤≤=的倍数，是，则B A Y 中元素的个数为 .405.设 },{b a A =, ρ 是 A2 上的包含于关系，,则有ρ= .},,},{,}{},{,},{,}{},{,,,}{,,}{,,,{><><><><><><><><><A A A b b b A a a a A b a φφφφφ6.设21,ρρ为集合 A 上的二元关系, 则=21ρρο .~1~2ρρο7.集合A 上的二元关系ρ为传递的充分必要条件是 ．ρρρ⊆ο8. 设集合{}{}><><==0,2,2,02,1,01ρ上的关系A 及集合A 到集合{}4,2,0=B 的关系=2ρ｛><b a ,|><b a ,A b a B A ∈⨯∈,且∩}=21,ρρο则B ___________________.填 }2,2,0,2,2,0,0,0{><><><><四、解答题1. 设 A d c b a A },,,,{=上的关系 },,,,,,,,,,,,,,,{><><><><><><><><=c d d c a b b a d d c c b b a a ρ（1）写出ρ的关系矩阵；（2）验证ρ是A 上的等价关系；（3）求出A 的各元素的等价类。
离散数学期末考试题附答案和含解析
离散数学期末考试题附答案和含解析LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020一、填空2．A，B，C表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 (B⊕C)-A4．公式P RSRP⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为)()(RSPRSP∨⌝∨⌝∧∨∨⌝。
5．若解释I的论域D仅包含一个元素，则)()(xxPxxP∀→∃在I下真值为 1 。
6．设A={1，2，3，4}，A上关系图如下，则 R^2= {(1,1),(1,3),(2,2),(2,4)} 。
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111R⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11112R自补图:一个图如果同构于它的补图,则是自补图9．设A={a，b，c，d} ，A上二元运算如下：* a b c dabcda b c db c d ac d a bd a b c那么代数系统<A，*>的幺元是 a ，有逆元的元素为 a,b,c,d ，它们的逆元分别为 a,b,c,d 。
∈}}{{}{aa⊆}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ}},{{ΦΦ∈Φ}}{{}{Φ∈ΦΦ⋃ΦΦ332⨯223⨯2n2SRSR SR SR RS SR|}||(|)(,|,{tsApt st sR=∧∈><=ΦΦ⊆→→⨯→→⇒A CX c b a ∈∀,,R >c ,a <,>b ,a <∈R a ,c <,>a ,b <∈>R >c ,b <∈⇐R>b ,a <∈R >c ,a <∈R >c ,b <∈X b a ∈,R >a ,a <∈R >b ,a <∈R >a ,b < ∈∴R>b ,a <∈R >c b,<∈R c b, R >a b,<>∈<∧∈R >c ,a < ∈∴)}()(|{1x g x f G x x =∈且C b a ∈∀,)()(),()(b g b f a g a f ==)()(,)()(1111b g b g b fb f ----==)()()()(1111----===∴b g b g b f b f a f (∴a g b g a g b f a f b ()(*)()(*)()111===---)1-b a ∴C b ∈-1∴≥2)2(--≤k v k e rk F d e r i i ≥=∑=1)(2k e r 2≤2=+-r e v k e e v r e v 22+-≤+-=2)2(--≤k v k e 10,15,5===v e k 2)2(--≤k v k e )()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀→∀⇒→∀)(x xP ∀)(c P ))()((x Q x P x →∀)()(c Q c P →)(c Q )(x xQ ∀)()(x xQ x xP ∀→∀⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000100001010010R M ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==00000000101001012R R R M M M ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==000000000101101023R R R M M M ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==000000001010010134R R R M M M ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++=0000100011111111432)(R R R R R t M M M M M > , < b , d > , < c , d > }。
离散数学期末考试试题(配答案)
离散数学期末考试试题(配答案)1. 谓词公式)()(x xQ x xP ∃→∀的前束范式是___________。
2. 设全集{}{}{},5,2,3,2,1,5,4,3,2,1===B A E 则A ∩B =____；=A _____；=B A Y __ _____3. 设{}{}b a B c b a A ,,,,==；则=-)()(B A ρρ__ __________；=-)()(A B ρρ_____ ______。
二．选择题（每小题2分；共10分）1. 与命题公式)(R Q P →→等价的公式是（ ）（A ）R Q P →∨)( （B ）R Q P →∧)( （C ）)(R Q P ∧→ （D ）)(R Q P ∨→ 2. 设集合{}c b a A ,,=；A 上的二元关系{}><><=b b a a R ,,,不具备关系( )性质 （A ） (A)传递性 (B)反对称性 (C)对称性 (D)自反性 三．计算题（共43分）1. 求命题公式r q p ∨∧的主合取范式与主析取范式。
（6分）2. 设集合{}d c b a A ,,,=上的二元关系R 的关系矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000000011010001R M ；求)(),(),(R t R s R r 的关系矩阵；并画出R ；)(),(),(R t R s R r 的关系图。
（10分）5. 试判断),(≤z 是否为格？说明理由。
（5分）（注：什么是格？Z 是整数；格：任两个元素；有最小上界和最大下界的偏序）四．证明题（共37分）1. 用推理规则证明D D A C C B B A ⌝⇒∧⌝⌝⌝∧∨⌝→)(,)(,。
（10分）2. 设R 是实数集；b a b a f R R R f +=→⨯),(,:；ab b a g R R R g =→⨯),(,:。
求证：g f 和都是满射；但不是单射。
（10分）一；1； _ ∃x ∃y¬P(x)∨Q(y)2； {2} {4；5} {1；3；4；5}3； {{c}；{a ；c}；{b ；c}；{a ；b ；c}} Φ_ 二；B D三；解：主合取方式：p ∧q ∨r ⇔(p ∨q ∨r)∧(p ∨¬q ∨r)∧(¬p ∨q ∨r)= ∏0.2.4主析取范式：p ∧q ∨r ⇔(p ∧q ∧r) ∨(p ∧q ∧¬r) ∨(¬p ∧q ∧r) ∨(¬p ∧¬q ∧r) ∨(p ∧¬q ∧r)= ∑1.3.5.6.7 四；1；证明：编号 公式 依据 （1） （¬B∨C ）∧¬C 前提 （2） ¬B∨C ；¬C （1） （3） ¬B （2） （4） A →B （3） （5） ¬A （3）（4） （6） ¬（¬A∧D ） 前提 （7） A ∨¬D （6） （8）¬D （5）（6）2；证明：要证f 是满射；即∀y ∈R ；都存在（x1；x2）∈R ×R ；使f （x1；x2）=y ；而f （x1；x2）=x1+x2；可取x1=0；x2=y ；即证得；再证g 是满射；即∀y ∈R ；；都存在（x1；x2）∈R ×R ；使g （x1；x2）=y ；而g （x1；x2）=x1x2；可取x1=1；x2=y ；即证得；最后证f 不是单射；f （x1；x2）=f （x2；x1）取x1≠x2；即证得；同理：g （x1；x2）=g （x2；x1）；取x1≠x2；即证得。
离散数学期末考试题及答案
离散数学期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个选项是图的边数与顶点数的关系？A. 边数小于顶点数B. 边数等于顶点数C. 边数大于顶点数D. 边数与顶点数无固定关系答案：D2. 有限自动机的英文缩写是什么？A. FAB. PDAC. TMAD. NFA答案：A3. 布尔代数中，德摩根定律是指什么？A. ¬(A ∧ B) 等于¬ A ∨ ¬ BB. ¬(A ∨ B) 等于¬ A ∧ ¬ BC. A ∧ B 等于¬(A ∨ B)D. A ∨ B 等于¬(¬ A ∧ ¬B)答案：B4. 在命题逻辑中，以下哪个符号表示蕴含？A. ∧B. ∨C. →D. ↔答案：C5. 集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A ∪ B等于：A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 2, 3}C. {2, 3, 4}D. {1, 3, 4}答案：A6. 以下哪个选项是正确的递归定义？A. 一个数是偶数当且仅当它是2的倍数B. 一个数是偶数当且仅当它不是2的倍数C. 一个数是偶数当且仅当它是另一个偶数加1D. 以上都是正确的递归定义答案：A7. 有向图和无向图的主要区别是什么？A. 有向图的边有方向，无向图的边没有方向B. 有向图的顶点有方向，无向图的顶点没有方向C. 有向图的边可以相交，无向图的边不可以相交D. 有向图可以有环，无向图不可以有环答案：A8. 在命题逻辑中，以下哪个公式是矛盾的？A. A ∧ ¬ AB. A ∨ ¬ AC. A → BD. A ∧ B ∧ ¬ A答案：A9. 以下哪个是图的同义术语？A. 网络B. 矩阵C. 树D. 以上全部答案：A10. 以下哪个命题逻辑公式是有效的？A. (A → B) ∧ (B → A)B. (A ∧ B) → AC. (A ∨ B) → AD. (A ∧ B) → B答案：B二、填空题（每题2分，共20分）11. 在命题逻辑中，_________ 表示一个命题是真的，而 _________ 表示一个命题是假的。
大学离散数学期末考试题库和答案
大学离散数学期末考试题库和答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，以下哪个符号表示“属于”？A. ∈B. ∉C. ⊆D. ⊂答案：A2. 如果A和B是两个集合，那么A∪B表示什么？A. A和B的交集B. A和B的并集C. A和B的差集D. A和B的补集答案：B3. 以下哪个命题是真命题？A. ∀x∈N, x^2 > xB. ∃x∈N, x^2 = x + 1C. ∀x∈N, x^2 ≥ xD. ∃x∈N, x^2 < x答案：C4. 在图论中，一个无向图的边数为E，顶点数为V，那么这个图的生成树的边数是多少？A. EB. V-1C. VD. E-1答案：B5. 以下哪个算法是用于解决旅行商问题（TSP）的？A. 动态规划B. 贪心算法C. 分支限界法D. 回溯法答案：D6. 在逻辑中，以下哪个符号表示“蕴含”？A. ∧B. ∨C. →D. ↔答案：C7. 以下哪个是二进制数？A. 1010B. 2A3C. 12BD. ZYX答案：A8. 在关系数据库中，以下哪个操作用于删除表中的行？A. SELECTB. INSERTC. UPDATED. DELETE答案：D9. 以下哪个是布尔代数的基本运算？A. 并集B. 交集C. 差集D. 所有以上答案：D10. 在离散数学中，以下哪个概念用于描述两个集合之间的关系？A. 函数B. 映射C. 序列D. 所有以上答案：D二、多项选择题（每题3分，共15分）11. 以下哪些是集合的基本运算？A. 并集B. 交集C. 差集D. 补集答案：ABCD12. 在图论中，以下哪些是图的基本类型？A. 无向图B. 有向图C. 完全图D. 二分图答案：ABCD13. 在逻辑中，以下哪些是命题逻辑的基本连接词？A. 与（∧）B. 或（∨）C. 非（¬）D. 蕴含（→）答案：ABCD14. 在关系数据库中，以下哪些是SQL的基本操作？A. SELECTB. INSERTC. UPDATED. DELETE答案：ABCD15. 在离散数学中，以下哪些是组合数学的基本概念？A. 排列B. 组合C. 二项式系数D. 图论答案：ABC三、填空题（每题3分，共30分）16. 如果集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，那么A∩B=______。
离散数学期末考试题及答案
离散数学期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，以下哪个选项不是集合的基本运算？A. 并集B. 交集C. 差集D. 乘法答案：D2. 命题逻辑中，以下哪个命题不是基本的逻辑连接词？A. 与（∧）B. 或（∨）C. 非（¬）D. 等于（=）答案：D3. 在图论中，一个图的度数之和等于边数的几倍？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B4. 以下哪个是布尔代数的基本定理？A. 德摩根定律B. 布尔代数的分配律C. 布尔代数的结合律D. 所有选项都是答案：D5. 以下哪个不是组合数学中的计数原理？A. 加法原理B. 乘法原理C. 排列D. 组合答案：C6. 在关系数据库中，以下哪个操作不是基本的数据库操作？A. 选择B. 投影C. 连接D. 排序答案：D7. 以下哪个是有限自动机的组成部分？A. 状态B. 转移C. 输入符号D. 所有选项都是答案：D8. 以下哪个命题逻辑表达式是真命题？A. (p ∧ ¬p) ∨ qB. (p ∨ ¬p) ∧ qC. (p → q) ∧ (q → p)D. (p → q) ∧ (¬p → ¬q)答案：D9. 以下哪个是归纳法证明的基本步骤？A. 基础步骤B. 归纳步骤C. 反证法D. 所有选项都是答案：B10. 以下哪个是图的遍历算法？A. 深度优先搜索（DFS）B. 广度优先搜索（BFS）C. Dijkstra算法D. 所有选项都是答案：A二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述命题逻辑中的德摩根定律。
答案：德摩根定律是命题逻辑中描述否定命题的两个重要定律。
它们分别是：- ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q- ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q2. 解释什么是图的连通分量，并给出一个例子。
答案：图的连通分量是指图中最大的连通子图。
《离散数学》期末练习题考试卷和答案
a , b, c , d , e, f , g，那么 所对应的 19. 设集合 A a , b , c , d , e , f , g ， A 上有一个划分
等价关系 R 应有（ ）个序偶。 ）。
20. 在有理数集合 Q 上定义二元运算*： a * b a b ab ，则 Q , * 的幺元是（
等价关系 R 应有（ ）个序偶。 ）。
25. 在有理数集合 Q 上定义二元运算*： a * b a b ab ，则 Q , * 的幺元是（
26. 一个（
）称为布尔代数。
27．P Q P Q 的主析取范式是
。(写出一般
5
表示形式即可) 28．设集合 A a , b , c , d ， R 是 A 上的二元关系，且 R a , b , b , a , b , c , c , d , a , c ， 则 R 的传递闭包 t R 。
C． x x是正整数, x 5
D． x x是有理数, x 5
。
6．下面有关集合之间的包含和属于关系的说法，正确的是 Ⅰ． Ⅲ．
Ⅱ． , ,
Ⅳ．
a, b a, b, a, b
B．Ⅰ和Ⅲ
a, b a, b, a, b, c
二、填空题 1．设 A 为非空集合，且 A n ，则 A 上不同的二元关系的个数为 为 。 时， P Q 的真值为 1。 ， A 上不同的映射的个数
2．设 P 、 Q 为两个命题，当且仅当
3. 在运算表中的空白处填入适当符号，使 a , b , c, * 成为群。 *
a a
a b c
4. 当 n 为 数时， K n n 3 必为欧拉图。
离散数学期末考试试题及答案
离散数学试题(B卷答案1）一、证明题（10分）1)(⌝P∧(⌝Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)⇔R证明: 左端⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨((Q∨P)∧R)⇔((⌝P∧⌝Q)∧R))∨((Q∨P)∧R)⇔(⌝(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)⇔(⌝(P∨Q)∨(Q∨P))∧R⇔(⌝(P∨Q)∨(P∨Q))∧R⇔T∧R(置换)⇔R2) ∃x (A(x)→B(x))⇔∀xA(x)→∃xB(x)证明：∃x(A(x)→B(x))⇔∃x(⌝A(x)∨B(x))⇔∃x⌝A(x)∨∃xB(x)⇔⌝∀xA(x)∨∃xB(x)⇔∀xA(x)→∃xB(x)二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）。
证明：(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)⇔⌝(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))⇔（⌝P∧(⌝Q∨⌝R)）∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧⌝Q)∨(⌝P∧⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧Q∧⌝R))∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔m0∨m1∨m2∨m7⇔M3∨M4∨M5∨M6三、推理证明题（10分）1）C∨D， (C∨D)→⌝E，⌝E→(A∧⌝B)， (A∧⌝B)→(R∨S)⇒R∨S 证明：(1) (C∨D)→⌝E P(2) ⌝E→(A∧⌝B) P(3) (C∨D)→(A∧⌝B) T(1)(2)，I(4) (A∧⌝B)→(R∨S) P(5) (C∨D)→(R∨S) T(3)(4)， I(6) C∨D P(7) R∨S T(5)，I2) ∀x(P(x)→Q(y)∧R(x))，∃xP(x)⇒Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))证明(1)∃xP(x) P(2)P(a) T(1)，ES(3)∀x(P(x)→Q(y)∧R(x)) P(4)P(a)→Q(y)∧R(a) T(3)，US(5)Q(y)∧R(a) T(2)(4)，I(6)Q(y) T(5)，I(7)R(a) T(5)，I(8)P(a)∧R(a) T(2)(7)，I(9)∃x(P(x)∧R(x)) T(8)，EG(10)Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x)) T(6)(9)，I四、某班有25名学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。
离散数学期末考试题及答案
离散数学期末考试题及答案1. 题目描述：以下是离散数学期末考试的题目。
请仔细阅读每个问题，并在题后给出相应的答案。
请注意，答案应尽量详细和准确，以确保得分。
1.1 命题与谓词逻辑（20分）1.1.1 什么是命题逻辑？它可以用于解决哪些问题？1.1.2 简要解释谓词逻辑的概念和其在离散数学中的应用。
1.2 集合和图论（30分）1.2.1 定义两个集合的并、交和差的概念。
1.2.2 解释有向图和无向图的区别，并给出一个实际应用中的例子。
1.3 关系和函数（40分）1.3.1 什么是关系？请给出一个实际应用中关系的例子。
1.3.2 定义函数的概念，并解释函数与关系的区别。
1.4 计数原理（20分）1.4.1 简要阐述乘法原理和加法原理的概念，并给出一个应用实例。
1.4.2 什么是排列和组合？请说明它们的应用场景，并给出一个例子。
2. 答案解析：2.1 命题与谓词逻辑1.1.1 命题逻辑是一种数学分支，用于研究命题之间的关系和推理规则。
其应用范围广泛，包括数学、计算机科学、哲学等领域。
1.1.2 谓词逻辑是一种扩展了命题逻辑的逻辑体系，它考虑了命题中的变量、谓词和量词等元素。
在离散数学中，谓词逻辑常用于描述集合、函数和关系等概念。
2.2 集合和图论1.2.1 集合的并（∪）是指将两个或多个集合中的所有元素取出形成一个新的集合；交（∩）指仅包含两个或多个集合中共有的元素；差（-）是指从一个集合中去除另一个集合中的元素。
1.2.2 有向图中，边是具有方向性的；而在无向图中，边是没有方向性的。
例如，在社交网络中，有向图可以表示人与人之间的关注关系，而无向图可以表示人与人之间的好友关系。
2.3 关系和函数1.3.1 关系是集合之间的一种特殊的子集，它描述了元素之间的某种联系。
例如，家族中的血亲关系可以看作是一个关系。
关系可以用图、矩阵等方式表示。
1.3.2 函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
电大离散数学本科期末复习题
离散数学（本）一、单项选择题1．设P ：a 是偶数，Q ：b 是偶数。
R ：a + b 是偶数，则命题“若a 是偶数，b 是偶数，则a + b 也是偶数”符号化为（D ． P Q →R ）。
2．表达式∀x （P （x ，y ）∨Q （z ））∧∃y （Q （x ，y ）→∀zQ （z ））中∀x 的辖域是（P （x ，y ） Q （z ））。
3．设)(}),({},{,4321∅=∅=∅=∅=P S P S S S 则命题为假的是（42S S ∈）。
4．设G 是有n 个结点的无向完全图，则G 的边数（ 1/2 n （n-1））。
5．设G 是连通平面图，有v 个结点，e 条边，r 个面，则r=（ e-v+2）。
6．若集合A ={1，{2}，{1，2}}，则下列表述正确的是( {1}⊂A )．7．已知一棵无向树T 中有8个顶点，4度、3度、2度的分支点各一个，T 的树叶数为( 5 )．8．设无向图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡010*******000011100111110则G 的边数为( 7 )． 9．设集合A ={a }，则A 的幂集为({∅，{a }} )．10．下列公式中 (⌝A ∧⌝B ↔ ⌝(A ∨B ) )为永真式．11．若G 是一个汉密尔顿图，则G 一定是( 连通图 )．12．集合A ={1, 2, 3, 4}上的关系R ={<x ，y >|x =y 且x , y ∈A }，则R 的性质为（传递的 ）．13．设集合A ={1，2，3，4，5}，偏序关系≤是A 上的整除关系，则偏序集<A ，≤>上的元素5是集合A 的（极大元 ）．14．图G 如图一所示，以下说法正确的是 ( {(a, d ) ,(b, d )}是边割集 )．图一15．设A （x ）：x 是人，B （x ）：x 是工人，则命题“有人是工人”可符号化为（(∃x )(A (x )∧B (x )) ）．16．若集合A ={1，2}，B ={1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是(A ⊂B ，且A ∈B )．17．设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如图一所示，则下列结论成立的是 ( （d ）是强连通的 )．18．设图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡010*******000011100100110则G 的边数为( 5 )． 19．无向简单图G 是棵树，当且仅当(G 连通且边数比结点数少1 )．20．下列公式 ((P →(⌝Q →P ))↔(⌝P →(P →Q )) )为重言式．21．若集合A ＝{ a ，{a }，{1，2}}，则下列表述正确的是({a }⊆A )．22．设图G ＝<V , E >，v ∈V ，则下列结论成立的是 (E v Vv 2)deg(=∑∈ ) ．23．命题公式（P ∨Q ）→R 的析取范式是 (（⌝P ∧⌝Q ）∨R )24．下列等价公式成立的为(P →(⌝Q →P ) ⇔⌝P →(P →Q ) )．25．设A ={a , b }，B ={1, 2}，R 1，R 2，R 3是A 到B 的二元关系，且R 1={<a ，2>, <b ，2>}，R 2={<a ，1>, <a ，2>, <b ，1>}，R 3={<a ，1>, <b ，2>}，则（ R 2 ）不是从A 到B 的函数．26．设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R 是A 上的整除关系，B ={2, 4, 6}，则集合B 的最大元、最小元、上界、下界依次为 (无、2、无、2)．27．若集合A 的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（1024）．28．如图一所示，以下说法正确的是 (e 是割点)．图一29．设完全图K n 有n 个结点(n ≥2)，m 条边，当（ n 为奇数）时，K n 中存在欧拉回路．30．已知图G 的邻接矩阵为，则G 有（ 5点，7边 ）．二、填空题（每小题3分，共15分） 1．设A ，B 为任意命题公式，C 为重言式，若A ∧C ⇔B ∧C ，那么A ↔B 是 重言 式（重言式、矛盾式或可满足式）。