有限元习题册-2010
有限元习题与答案
习题2.1 解释如下的概念：应力、应变，几何方程、物理方程、虚位移原理。
解 ○1应力是某截面上的应力在该处的集度。
○2 应变是指单元体在某一个方向上有一个ΔU 的伸长量，其相对变化量就是应变。
X U Xx ∆∆=ε表示在x 轴的方向上的正应变，其包括正应变和剪应变。
○3几何方程是表示弹性体内节点的应变分量与位移分量之间的关系，其完整表示如下：Txz yz xy z y x x w z u zv y w y u x v z w y vx u x w z u z v y w y u x v z w y v x u ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=γγγεεεε○4物理方程：表示应力和应变关系的方程某一点应力分量与应变分量之间的关系如下：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=666564636261565554535251464545434241363534333231262524232221161514131211αααααααααααααααααααααααααααααααααααατττσσσσxz yz xy z y x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡xz yz xy zz yy xx γγγεεε○5虚位移原理：在弹性有一虚位移情况下，由于作用在每个质点上的力系，在相应的虚位移上虚功总和为零，即为：若弹性体在已知的面力和体力的作用下处于平衡状态，那么使弹性体产生虚位移，所有作用在弹性体上的体力在虚位移上所做的工就等于弹性体所具有的虚位能。
2.2说明弹性体力学中的几个基本假设。
○1 连续性假设：就是假定整个物体的体积都被组成该物体的介质所填满，不存在任何间隙。
(完整word版)有限元法复习题(word文档良心出品)
《有限元法》复习题一. 单选题1.平面刚架单元坐标转换矩阵的阶数为（ ） A ．2⨯2 B ．2⨯4 C ．4⨯4 D ．6⨯62.图示的四根杆组成的平面刚架结构，用杆单元进行有限元分析，单元和节点的划分如图示，则总体刚度矩阵的大小为（ ） A.8⨯8阶矩阵 B.10⨯10阶矩阵 C.12⨯12阶矩阵 D.16⨯16阶矩阵3.坐标转换矩阵可归类为（ ）A.正交矩阵B.奇异矩阵C.正定矩阵D.对称矩阵 4.图示弹簧系统的总体刚度矩阵为（ ）A 11112322244434000000k k k k k k k k k k k k k k -⎡⎤⎢⎥-++-⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥-+⎣⎦ B. 1111222244434000000k k k k k k k k k k k k k -⎡⎤⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥-+⎣⎦C. 11112323224434340000k k k k k k k k k k k k k k k k -⎡⎤⎢⎥-++--⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥--+⎣⎦D. 1111223224434340000k k k k k k k k k k k k k k k -⎡⎤⎢⎥-+--⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥--+⎣⎦5.确定已知三角形单元的局部码为1(e),2(e),3(e)，对应总码依次为3，6，4，则其单元的刚度矩阵中的元素k 24应放在总体刚度矩阵的( )。
A.1行2列B.3行12列C.6行12列D.3行6列 6.对一根只受轴向载荷的杆单元，k 12为负号的物理意义可理解为（ ） A.当节点2沿轴向产生位移时，在节点1引起的载荷与其方向相同 B.当节点2沿轴向产生位移时，在节点1引起的载荷与其方向相反 C.当节点2沿轴向产生位移时，在节点1引起的位移与其方向相同 D.当节点2沿轴向产生位移时，在节点1引起的位移与其方向相反7.平面桁架中，节点3处铅直方向位移为已知，若用置大数法引入支承条件，则应将总体刚度矩阵中的（ ）A.第3行和第3列上的所有元素换为大数AB.第6行第6列上的对角线元素乘以大数AC.第3行和第3列上的所有元素换为零D.第6行和第6列上的所有元素换为零 8.在任何一个单元内（ ）A.只有节点符合位移模式B.只有边界点符合位移模式C.只有边界点和节点符合位移模式D.单元内任意点均符合位移模式 9.平面应力问题中(Z 轴与该平面垂直)，所有非零应力分量均位于（ ） A.XY 平面内 B.XZ 平面内 C.YZ 平面内 D.XYZ 空间内 12.刚架杆单元与平面三角形单元（ ）A.单元刚度矩阵阶数不同B.局部坐标系的维数不同C.无任何不同D.节点截荷和位移分量数不同 13.图示平面结构的总体刚度矩阵［Ｋ］和竖带矩阵［K *］的元素总数分别是（ ）A.400和200B.400和160C.484和200D.484和160 14.在有限元分析中，划分单元时，在应力变化大的区域应该（ ）A.单元数量应多一些，单元尺寸小一些B.单元数量应少一些，单元尺寸大一些C.单元数量应多一些，单元尺寸大一些D.单元尺寸和数量随便确定 15.在平面应力问题中，沿板厚方向（ ）A.应变为零，但应力不为零B.应力为零，但应变不为零C.应变、应力都为零D.应变、应力都不为零16.若把平面应力问题的单元刚度矩阵改为平面应变问题的单元刚度矩阵只需将（ ） A. E 换成E/(1-μ2)，μ换成μ/(1-μ2) B. E 换成E/(1-μ2)，μ换成μ/(1-μ) C. E 换成E/(1-μ)，μ换成μ/(1-μ2) D. E 换成E/(1-μ)，μ换成μ/(1-μ) 17.图示三角形单元非节点载荷的节点等效载荷为（ ） A.F yi =-100KN F yj =-50KN F yk =0 B. F yi =-80KN F yj =-70KN F yk =0 C. F yi =-70KN F yj =-80KN F yk =0 D. F yi =-50KN F yj =-100KN F yk =018.半斜带宽矩阵r 行s 列的元素对应于竖带矩阵元素( )。
有限元习题及答案ppt课件
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
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有限元试题及答案
有限元试题及答案一、选择题1. 有限元方法是一种用于求解工程和物理问题的数值技术，其核心思想是将连续域划分为有限数量的离散子域。
以下哪项不是有限元方法的特点？A. 网格划分B. 边界条件处理C. 局部近似D. 整体求解答案：D2. 在有限元分析中，以下哪项不是网格划分的常见类型？A. 三角形网格B. 四边形网格C. 六边形网格D. 圆形网格答案：D3. 对于线性弹性问题，以下哪种元素类型不适用于有限元分析？A. 线性三角形元素B. 二次三角形元素C. 线性四边形元素D. 三次四边形元素答案：D二、填空题1. 在有限元分析中，单元刚度矩阵的计算通常涉及到单元的_________。
答案：形状函数2. 有限元方法中，边界条件可以分为_________和_________。
答案：Dirichlet边界条件；Neumann边界条件3. 有限元软件通常采用_________方法来求解大型稀疏方程组。
答案：迭代三、简答题1. 简述有限元方法的基本步骤。
答案：有限元方法的基本步骤包括：- 定义问题的几何域和边界条件。
- 将几何域划分为有限数量的小单元。
- 为每个单元定义形状函数。
- 计算单元刚度矩阵和载荷向量。
- 组装全局刚度矩阵和载荷向量。
- 施加边界条件。
- 求解线性方程组，得到节点位移。
- 计算单元应力和应变。
2. 为什么在有限元分析中需要进行网格划分？答案：网格划分是有限元分析中的一个重要步骤，因为它允许将连续的几何域离散化，使得问题可以被数值方法求解。
通过网格划分，可以： - 简化复杂几何形状的分析。
- 适应不同的材料属性和边界条件。
- 提供足够的细节以捕捉应力和位移的局部变化。
- 减少计算复杂度，提高求解效率。
四、计算题1. 假设有一个平面应力问题，已知材料的弹性模量E=210GPa，泊松比ν=0.3。
请计算一个边长为10mm的正方形单元在单轴拉伸下的单元刚度矩阵。
答案：单元刚度矩阵\[ K \]可以通过以下公式计算：\[K = \frac{E}{(1-\nu^2)} \int_{\Omega} \left[ B^T B \right] d\Omega\]其中，\( B \)是应变-位移矩阵，\( \Omega \)是单元的面积。
有限元2010期末考试试卷b卷
诚实答卷，舞弊后果严重
华南理工大学机械与汽车工程学院 2010-2011年第 1 学期期末考试
《 汽车有限元法 》全日制本科 试卷（B 卷）
（.本试卷共有 三大题，满分 100 分，考试时间 120 分钟）
一．简答题(共24分)
1．弹性力学与材料力学在研究对象上的区别（2分）
2．弹性力学中的五点假设（5分）
3．列出应力-应变之间的物理方程（6分）
题号 一 二 三 总分 得分 评卷人
办学单位：机械与汽车工程学院 年级专业： 姓名： 学号： 成绩：
4．列出应力－外力之间的运动平衡方程（3分）
5．弹性力学的求解方法有哪几种？（2分）
6.有限元法分析工程问题的基本步骤（6分）
二．计算题（20分）
1.求解等截面直杆在自重作用下的拉伸，已知：单位杆长重量为q＝60KN/m，
杆长为L=3m，截面面积为A=100mm2，弹性模数为E=200GPa,分别用材料力学和有限元法（3个单元）
三．推导题
1.推导三节点三角形平面单元的位移函数（16分）
2.推导三节点三角形平面单元的单元刚度矩阵（15分）
3.在上题基础上分析整体刚度矩阵并计算该平面应力问题。
P y1＝100KN ，P y3＝50KN ，a ＝1M ，P x2＝100KN ，P x3＝50KN ，E ＝210GPa ，t=0.1,u=0.3，求出各节点处的位移与应力。
（25分）
2
¢Û¢
Ü¢
Ù¢
Ú3
y P 3
x P 3
1
4
5
6
2
x P 1
y P a
a
a
a。
有限元基础-讲稿-习题解答
2010/12/29
13
习题解答
1.35 −0.65 −0.7 0.6 −0.65 0.05 −0.65K11 1.35 0.7 −2 −0.05 0.65 −0.7 0.7 1.4 0 −0.7 −0.7 E (1) [K ] = 2 −2 0 4 −0.6 −2 4(1 − µ ) 0.6 −0.65 −0.05 −0.7 −0.6 1.35 0.65 K 33 0.65 1.35 0.05 0.65 −0.7 −2
T
u3
0]
T
2010/12/29
15
习题解答
代入（3）得：
0 1.35 −0.65 −0.7 0.6 −0.65 0 −0.65 1.35 0.7 −2 −0.05 0 −0.7 0.7 1.4 0 −0.7 E 4 = 10 4(1 − µ 2 ) 0.6 −2 0 4 −0.6 0 −0.65 −0.05 −0.7 −0.6 1.35 0 0.65 0.05 0.65 −0.7 −2 0.05 u1 0.65 0 −0.7 0 −2 v2 0.65 u3 1.35 0
0.6 − 0.65 u1 0 1.35 E 0 .6 v 4 − 0 .6 2 10 = 2 0 4(1 − µ ) − 0.65 − 0.6 1.35 u 3
2010/12/29
16
习题解答
整理后得： 1.35u1 + 0.6v2 − 0.65u3 = 0 4(1 − µ 2 ) 0.6u1 + 4v2 − 0.6u3 = 104 ⋅ E −0.65u1 − 0.6v2 + 1.35u3 = 0 解方程得：
有限元复习题及答案
1.两种平面问题的根本概念和根本方程；答：弹性体在满足一定条件时，其变形和应力的分布规律可以用在某一平面内的变形和应力的分布规律来代替，这类问题称为平面问题。
平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
平面应力问题设有张很薄的等厚薄板，只在板边上受到平行于板面并且不沿厚度变化的面力，体力也平行于板面且不沿厚度变化。
由于平板很薄，外力不沿厚度变化，因此在整块板上有：，，剩下平行于XY面的三个应力分量未知。
平面应变问题设有很长的柱体，支承情况不沿长度变化，在柱面上受到平行于横截面而且不沿长度变化的面力，体力也如此分布。
平面问题的根本方程为：平衡方程几何方程物理方程〔弹性力学平面问题的物理方程由广义虎克定律得到〕•平面应力问题的物理方程平面应力问题有•平面应变问题的物理方程平面应变问题有在平面应力问题的物理方程中，将E替换为、替换为，可以得到平面应变问题的物理方程；在平面应变问题的物理方程中，将E替换为、替换为，可以得到平面应力问题的物理方程。
2弹性力学中的根本物理量和根本方程；答：根本物理量有：空间弹性力学问题共有15个方程，3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程。
其中包括6个应力分量，6个应变分量，3个位移分量。
平面问题共8个方程，2个平衡方程，3个几何方程，3个物理方程，相应3个应力分量，3个应变分量，2个位移分量。
根本方程有：1.平衡方程及应力边界条件：平衡方程：边界条件：2.几何方程及位移边界条件：几何方程：边界条件：3.物理方程:3.有限元中使用的虚功方程。
对于刚体，作用在其上的平衡力系在任意虚位移上的总虚功为0，这就是刚体的平衡条件，或者称为刚体的虚功方程。
对于弹性变形体，其虚位移原理为：在外力作用下处于平衡的弹性体，当给予物体微小的虚位移时，外力的总虚功等于物体的总虚应变能。
设想一处于平衡状态的弹性体发生了任意的虚位移,相应的虚应变为,作用在微元体上的平衡力系有〔X,Y,Z〕和面力。
外力的总虚功为实际的体力和面力在虚位移上所做的功，即：在物体产生微小虚变形过程中，整个弹性体内应力在虚应变上所做的功为总虚应变能，即：其中为弹性体单位体积内的应力在相应的虚应变上做的虚功，由此得到虚功方程：4.节点位移，单元位移及它们的关系。
有限元试题2010及答案
（1）对图中网格进行结点编号，并使其系统总刚度矩阵的带 宽最小；
（2）计算在你的结点编号下的系统刚度矩阵的半带宽； （3）给出约束节点自由度的已知位移信息。
3
p
10
y
8 99
7
x
5 66 8 7
12 3 4 5
12 3 4
4 0 0）T p
（2）．长度因子：a 略写
单元1： 0.5, bi y j ym 0, bj 1, bm 1
ci x j xm 1, c j 1, cm 0
kii
E0h 0.5 2 0
0 1
kij
E0h 2
0.5 0
0.5 1
kim
E0h 2
0 0
0.5 0
13
k jj
6
2 1
1 2
m2
l
6
2 1
1 2
k 1
2E
l
1 1
1 1
整体一致质量矩阵和刚阵
k 2
E
l
1 1
1 1
4 2 0
M
l
6
2
6
1
0 1 2
2 2 0
K
E
l
2
3
1
0 1 1
9
2） 因为节点3固结， u3 0 ；
在 K M 0 中划去第3行和第3列，系统振动的特
征方程为：
K
M
AE l
2 2
Ni 0 ； Ni 1 。
2）位移模式必须能反映单元的刚体位移； 位移模式移的连续性。
2
3）在有限单元法中最普遍采用的是等参变换，即单元几何形 状的变换和单元内的场函数采用相同数目的节点参数及相 同的插值函数进行变换。采用等参变换的单元称之为等参 元。所谓“等参元”是指几何形状插值形函数和单元上的 位移插值形函数相同，参数个数相等。 相邻等参元之间，位移场是连续的，应力场不连续。
有限元习题册-2010
1．简述弹性力学平面问题有限元法中单元特性分析的过程。
2．简述建立整体有限元平衡方程的过程。
3．平面三节点三角形单元中位移、应变和应力具有什么特征？有何优缺点？
4．四节点矩形单元中位移、应变和应力具有什么特征？有何优缺点？
5．简单三角形单元刚度矩阵元素的大小与哪些因素有关？与哪些因素无关？
（1）节点2位移；
（2）每根杆应力。
9．如图所示三杆钢桁架，节点1、节点3处固定，节点2处受力 ， ，所有杆件材料相同，弹性模量为E，截面积均为A，求各杆受力。
10．如图所示2杆结构，每根杆的弹性模量均为E，横截面积均为A。建立坐标系和节点系统如图所示，在节点1处作用x方向的力F，求 ， 。
11．证明杆单元变换矩阵 。
4.建立实体单元（一维杆单元、三节点三角形平面单元等）的刚度方程时，须应用作为平衡条件。
5.弹性力学几何方程反映弹性体变形时和之间的关系。
6.单元位移模式 中 称为矩阵。该方程的含义是。
7.单元某节点i的形函数Ni在该点的值为，在其它节点的值均为。一个单元所有节点形函数之和等于。
8.作用在单元上的载荷须按的原则移置到节点上，因为。
47．如图所示桁架结构，各元件的E，A，L均相同，1-4杆做短了 。试求
（1）节点位移；
（2）1-4杆应力。
48．利用对称条件，处理以下结构（要求画出简化图以及给出其边界条件）。
49．如图所示杆结构，杆剖面面积为A,材料的弹性模量都为E.求2点作用载荷为P时节点的位移。
50．如图所示的自由体结构，在平衡力系作用下，用有限元分析问题时边界条件如何处理？
6．画出三节点三角形单元形函数的图形，并分析其在边界上的分布特点。
7．对一个给定的弹性力学问题，有那些途径可以提高有限元法求解精度？
有限元考试题库及答案
有限元考试题库及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 有限元法中，单元刚度矩阵的计算是基于（）。
A. 材料力学B. 结构力学C. 弹性力学D. 流体力学答案：C2. 在有限元分析中，边界条件不包括以下哪一项？（）A. 位移边界条件B. 载荷边界条件C. 温度边界条件D. 速度边界条件答案：D3. 有限元分析中，以下哪种类型的单元是二维的？（）A. 杆单元B. 梁单元C. 壳单元D. 体单元答案：C4. 有限元分析中，以下哪种类型的网格划分方法适用于复杂几何形状？（）A. 结构化网格B. 非结构化网格C. 规则网格D. 混合网格答案：B5. 在有限元分析中，以下哪种方法用于求解线性方程组？（）A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 有限差分法D. 有限体积法答案：A二、多项选择题（每题3分，共15分）6. 有限元分析中，以下哪些因素会影响网格划分的质量？（）A. 网格大小B. 网格形状C. 网格数量D. 网格排列答案：ABCD7. 在有限元分析中，以下哪些是常见的单元类型？（）A. 三角形单元B. 四边形单元C. 六面体单元D. 楔形单元答案：ABCD8. 有限元分析中，以下哪些是常见的边界条件？（）A. 固定边界B. 自由边界C. 压力边界D. 位移边界答案：ACD9. 在有限元分析中，以下哪些是常见的求解器类型？（）A. 直接求解器B. 迭代求解器C. 混合求解器D. 并行求解器答案：ABD10. 有限元分析中，以下哪些是常见的后处理技术？（）A. 应力云图B. 位移云图C. 模态分析D. 频率响应分析答案：ABCD三、简答题（每题5分，共20分）11. 简述有限元分析中网格划分的基本原则。
答案：有限元分析中网格划分的基本原则包括：确保网格的几何形状规则、避免过度扭曲的单元、保持网格大小的一致性、在应力集中区域细化网格、以及考虑分析的精度和计算成本。
12. 描述有限元分析中单元刚度矩阵的物理意义。
有限元作业试题及答案.doc
2
答：一般选用三角形或四边形单元，在满足一定精度情况,
有限元划分网格的基本原则是:
1、拓朴正确性原则。即单元间是靠单元顶点、或单元边、或单元面连接
2、几何保形原则。即网格划分后，单元的集合为原结构近似
3、特性一致原则。即材料相同，厚度相同
4、单元形状优良原则。单元边、角相差尽可能小
c j二elcm= —a
Ni = l/a2 • a x = x/a
同理可得：Nj二y/a
有限元方法及应用试题
1
答：单元离散（划分、剖分）一单元分析一整体分析
有限元分析的主要步骤主要有：
A结构的离散化
B单元分析。选择位移函数、根据几何方程建立应变与位移的关系、根据物理方程建立应力
与位移的关系、根据虚功原理建立节点力与节点位移的关系（单元刚度方程）
C等效节点载荷计算
D整体分析，建立整体刚度方程
7、图示三角形ijni为等边三角形单元，边长为1,单位面积材料密度位P,集 中力F垂直作用于nij边的中点，集度为q的均布载荷垂直作用于im边。写出三 角形单元的节点载荷向量。
q:移到m, i点F:移到m, j点重力：移到m, I, j点
要证{8}=0
只需证，Nm = 0
Nm= 1/2A (am+bmx +cmy)
(d)平面三角形单元，29个节点，38个自由度
4、什么是等参数单元？。
如果坐标变换和位移插值采用相同的节点，并且单元的形状变换函数与位移插值的形函
数一样，则称这种变换为等参变换，这样的单元称为等参单元。
5பைடு நூலகம்
v(x, y)=
答：不能取这样的位移模式，因为在平面三节点三角形单元中，位移模式应该是呈线性的。
有限元边界元习题答案2010
=
1 2 (ui, j
+ u j,i ) ，可以看出所出现的物理量关于位移 u，v
的最高阶导数是 1，因此 m=1。由完备性准则可知，形状函数至少应包含完整的一次多项式，即
u(x, y) = a0 + a1x + a2 y v(x, y) = b0 + b1x + b2 y
这代表刚体位移和常应变的位移模式。 综上所述，可知在完备性准则和协调性准则中，都自动具备单元的常应变项（或常应力项）。亦即单元的常应力项或常 应变项是保证收敛性的前提条件。
ki2 + ki3 ⋅ l + ki4 = 0 (i = 1, 2, 3, 4) 考虑到（2）式，（3）式也可写成 ki2 + ki4 = ki1 ⋅ l (i = 1, 2, 3, 4)
总结以上讨论，梁单元的刚度矩阵具有以下性质：
（2） （3）
1、在梁单元中，对应于 C0 型位移的刚度系数有如下关系： ki1 + ki3 = 0 (i = 1, 2, 3, 4) 2、在梁单元中，对应于 C1 型位移的刚度系数有如下关系： ki2 + ki4 = ki1 ⋅ l (i = 1, 2, 3, 4)
单元的特征
∂N1 ∂x
(1)
应变：
{ε
}
=
[B]{d}
=
0
∂N1 ∂y
0
∂N1 ∂y ∂N1 ∂x
∂N2 ∂x
0
∂N2 ∂y
0
∂N2 ∂y ∂N2 ∂x
∂N3 ∂x
0
∂N3 ∂y
0
∂N3 ∂y ∂N3 ∂x
u1 uuvvv13232
所以，[B] = Bi
有限元试题及答案[1]
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∴ 又因
证明3、如图所示纯弯梁
梁的厚度很薄，外载沿厚度方向无变化，其中性层为y层，梁长为， 弹性模量为E，基本变量为：
位移（对中性层） 应力（为主应力，其方向很小，不考虑） 应变（为主要应变，中性层取微段莱推导三大方程）
解：根据力得平衡方程（体积力为零时） 知 上两个等式成立，即平衡方程成立，即此情况满足平衡条件。 其边界应力，
， ，
作图如下： 故边界下应力如图2.2所示：
其边界得剪应力如图2.3所示：
四、如图所示 已知，，（平面应力问题）
求：（1）斜面上应力，的表达式 （2）最大主应力，最小主应力及此时斜面的方向余弦。
衡。 （2） 当时，、并不一定为零，此情况下平衡方程并不一定成立，
故此情况下不满足平衡，只有在时，才满足平衡。 （3） 当时，平衡方程成立，故此情况下满足平衡。 （4） 所有均为非零时，只有当，时，平衡方程才成立，才能够满
足平衡，否则不平衡。 三、下列应力分布是否满足平衡条件（体积力为零），（2D平面应力问 题），描述就如图所示平面结构，该应力函数所表示时得边界应力。
解之知 所以： 所以，其形态函数矩阵 又因 所以几何矩阵 又 所以其应力矩阵 单元的势能为： 其刚度矩阵为： 十五、如图所示，为一由两根杆组成的结构（二杆分别沿X,Y）方向， 结构参数 试写成下列FEM分析
（1） 写出各单元的刚度矩阵 （2） 写出总刚度矩阵 （3） 求出节点2的位移 （4） 求各单元应力
如图所示8.4所示力的平衡：
几何方程：由变形后的几何关系可知 其中y为距中性层坐标，为挠度曲率。 即 由虎克定律知物理方程为： 整理上述方程得知下基本方程组 故纯弯梁的应变能： 九、如图所示为1个1D拉压问题 （1）写出描写该问题的所有基本变量 （2）写出所有基本方程，包括BC （3）写出应变能，外力功 （4）写出最小势能原理的一般表达式（1D问题） （5）证明（4）（即该原理与原基本方程的关系） 解（1）基本变量 位移 应力 应变 （2）基本方程 平衡方程 几何方程 物理方程 BC()： BC(p)： 由平衡方程得知 （待定） 由几何方程得知 （待定） 由BC（）知 由BC（p）知 ∴ （3）应变能 外力功 （4）最小势能一般表达式（1D问题）
弹性力学有限元考试卷与答案(AB卷)
2009-2010学年第一学期《弹性力学有限元》课内考试A卷授课班号年级专业学号姓名一、判断正误（×）1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置（√）2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元（×）3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型（√）4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元（×）5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化处理的话会得到一样的答案（×）6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析（√）7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好（×）8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度（×）9. 线性应力分析也可以得到极大的变形（√）10. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小二、填空1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板，但前者受力特点是：平行于板面且沿厚度均布载荷作用，变形发生在板面内；后者受力特点是：垂直于板面的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。
（3分）2．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量：σx，σy，τxy，三个独立的应变分量：εx，εy，γxy，但对应的弹性体几何形状前者为薄板，后者为长柱体。
（3分）3．位移模式需反映刚体位移 ，反映 常变形 ，满足 单元边界上位移连续 。
（3分）4．单元刚度矩阵的特点有：对称性 ， 奇异性 ，还可按节点分块。
（2分） 5．薄板弯曲问题每个节点有个3自由度，分别是：w 、θx 、θy ，但其中只有 一个是独立的，其余两个可以用它表示为：,x y w wy xθθ∂∂==-∂∂。
（3分） 6．用有限元程序计算分析一结构的强度须提供（4分） ① 几何信息：节点坐标，单元节点组成，板厚度，梁截面等 ② 材料信息：弹性模量，泊松比，密度等 ③ 约束信息：固定约束，对称约束等④ 载荷信息：集中力，集中力矩，分布面力，分布体力等7．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元 ，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为 二 维问题处理。
有限元 第2章习题
（1 ）
（2）
3.一平面应力问题的三结点 直角三角形单元，设E为常 数，μ=1/6，t=1，试按线 性位移模式求出： （1）形函数矩阵[N]； （2）应力矩阵[s]； （3）单元刚度矩阵； （4）当vj=-1,其余节点位移 分量为0时单元的应力分量。
4. 对于图示的六节点矩形单元，应该取什么样 的位移模式，试求出形函数。
2 2 ？？？ u ( x, y) 1 2 x 3 y 4 xy 5 x 6 x y
5. 用局部坐标（ξ,η）表示的母单元，当取单元结点 数为9节点时，应该取什么样的位移模式。
9
U 1 2 3 4 2 5 6 2 7 2 8 2 9 2 2
？？？
6. 对于图示的8节点矩形单元，应该取什么样的位移 模式，并计算形函数。
？？？
U 1 2 x 3 y 4 x 2 5 xy 6 y 2 7 x 2 y 8 xy 2 U 1 2 x 3 y 4 xy 5 x 2 6 x 2 y 7 x3 8 x3 y
？？？
1. 试求图示6节点三角形单元的等效节点荷载，设 节点坐标已知，单元厚度为t。
练习： 1. 在平面三结点三角形单元中，能否选取如 下的位移模式，为什么？ 2
u ( x, y ) 1 2 x 3 y v ( x, y ) 4 5 x 6 y 2
2. 当单元采用线性位移模式时，试列出各单元的等 效节点荷载列阵？
有限元习题3
有限元习题3第一章1.有限单元法求得的解为：[ ]3A.精确解B.解析解C.近似解D.整数解2.弹性力学问题的基本解法有：[ ] ABDA.按位移求解B.按应力求解C.按单元刚度求解D. 混合求解E.按整体刚度求解23.弹性力学问题的基本解法有：按位移求解，按应力求解和[ ]3A. 按单元刚度求解B. 按整体刚度求解C. 混合求解D.按平衡方程求解24.弹性力学问题的基本解法有：按位移求解，混合求解和[]4A. 按平衡方程求解B. 按单元刚度求解C. 按整体刚度求解D. 按应力求解25.弹性力学问题的基本解法有：按应力求解，混合求解和[ ]2A. 按整体刚度求解B. 按位移求解C. 按单元刚度求解D. 按平衡方程求解3.用弹性力学经典解法解决实际问题的主要困难在于：[ ]4A.对弹性体离散化的复杂性B.刚度矩阵求解的困难性C.受力分析的复杂性D.求解偏微分方程的复杂性4.用三角形单元的节点位移，可以表示单元中的：[ ]BDEA.弯矩B.应变C.扭矩D.应力E.结点力26.用三角形单元的节点位移，可以表示单元中的应变，应力和[ ]3A. 扭矩B. 弯矩C. 结点力D.外力27.用三角形单元的节点位移，可以表示单元中的应变，结点力和[ ]4A.弯矩B. 外力C. 扭矩D. 应力28. 用三角形单元的节点位移，可以表示单元中的应力，结点力和[ ]4，A. 外力B. 扭矩C. 弯矩D. 应变5.将各个单元集合成离散化的结构模型进行整体分析，问题最后归结为求解[ ]。
2A.结点位移B. 以结点位移为未知量的线性方程组C.整体刚度矩阵D.单元刚度矩阵6.对于三角形三结点单元，其结点按照[]顺序进行排列。
3A.从左至右B. 顺时针C. 逆时针D.以上均可7.对于三角形三结点单元，每个结点位移在单元平面内有[ ]个分量2A.1B.2C.3D.48.对于三角形三结点单元，共有[ ]个位移分量。
4A.3B.4C.5D.69.形函数N在结点i上的值等于[ ]。
有限元边界元习题2010
有限元边界元习题2010有限元部分1.什么是单元的协调性和完备性要求？为什么要满足这些要求？平面问题三角形单元如何满足这些要求？矩形4节点平面单元呢？2.对于平面3节点三角形单元，如果在单元内假定位移模式为2212322456αααααα?=++?=++?u x xy y v x xy y 试讨论此时单元的形状函数矩阵、单元刚度矩阵以及这种单元的特征。
3.就平面梁单元而言，在刚体位移的状态下，讨论刚度矩阵的性质。
4.一般情况下，有限元方法总是过高计算了结构的刚度，因而求得的位移小于真实解，为什么？如果单元不满足协调性要求，情况如何？为什么？5.证明：单元的常应力项或常应变项是保证收敛性的前提条件。
6.对于弹性结构，若给定的荷载列阵为{}P ，对应的位移列阵为{}d ，则势能泛函中的外力功为{}{}T P d ，但静力加载过程中做的功为1{}{}2TP d ，为什么？ 7.证明：单元的刚度矩阵是半正定的。
8.证明面积坐标与直角坐标满足下列转换关系=++??=++?i i j j k k i i j j k k x x L x L x L y y L y L y L 9.证明二维平行四边形单元的Jacobi 矩阵是常数矩阵。
10.为什么虚位移原理可适用于线性与非线性问题，而最小势能原理只适用于线弹性问题？11.用最小势能原理推导单元刚度矩阵。
12.如图3个三角形单元，画出完整多项式各项的Pascal 三角形。
13.证明常应变三角形单元形函数N j 在j 、k 边界上的值与i 节点坐标无关。
14.证明常应变三角形单元发生刚体位移时，不会在单元内产生应力。
15.证明常应变四面体单元是完备协调元。
16.证明常应变四面体单元是等参元。
17.证明常应变三角形单元形函数满足1=∑i i N。
18.导出矩阵[]ij H 、[]ij G ()=i j 中元素H 12和G 11的表达式。
19.推证格林公式。
20.试由,,()0λ+++=i ij j ii j G u Gu b ，写出其直角坐标表达式。
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（4）建立结构的有限元平衡方程。
（5）求解节点2的位移和各杆的应力。
（6）如果P=0，且所有杆上受沿x方向作用的均匀线分布力q，求未知节点位移和固定端反力。
8.平面桁架由2根相同的杆组成（E，A，L）。求：
14. 简单（纯弯）梁单元的节点位移分量、单元自由度？
15. 平面梁单元的节点有几个自由度？其在局部坐标系下节点位移分量有哪些？
16. 弹性力学的基本假设？弹性力学有哪些基本方程和边界条件？
17. 一维杆单元、三节点三角形平面单元、三节点三角形空间轴对称单元的形函数矩阵、应变矩阵、单元刚度矩阵的行数和列数分别是多少？
27．根据材料力学知识和单元刚度矩阵物理意义推导出简单梁单元刚度矩阵的第三列和第四列元素。
28．对图示有限元模型，用符号“△”标出总刚度矩阵中非零子块的分布，并计算半带宽。
29．对图示平面问题，考虑到对称性，试用图形表示出其有限元模型，要求：
（1）划分单元，单元数目适当；
（2）给出节点编号方案；
（3）标出节点载荷和位移约束。
14.建立任意形状和方位平面四边形单元和空间六面体单元时，需要采用与单元位移模式中相同的用局部坐标表示的节点形函数对节点坐标进行插值以获得一种坐标变换，这种变换称为，采用等参变换的单元称为。
15.节点数越多的单元，其位移模式多项式，单元的能力越强，所以精度。
16.弹性力学几何方程反映弹性体变形时和之间的关系。
（1）建立结构的有限元平衡方程；
（2）如果节点1被固定（u1=0），Q2=P，Q3=0，通过建立的平衡方程求各节点位移、节点1约束反力。
（3）如果Q2=0，Q3=P，其他条件不变，试根据问题（2）的解答和有关力学概念直接给出节点2、3的位移。
6. 图示杆-弹簧系统，材料弹性模量为E。试列出其有限元平衡方程，并进行约束处理。
有限元法基础及应用
习题集
一、填空
1.有限元法是求解连续场力学和物理问题的一种方法。用有限元法求解连续体或结构的力学问题的三个主要步骤是：①；②；③。
2.离散化就是把连续体或结构分割成若干个在处相互连接，尺寸有限的结合体来代替原来的连续结构。
3.单元分析阶段导出的单元刚度方程建立了和之间的关系。单元刚度方程的核心是矩阵。该矩阵具有性和性，且主对角元素。
18．对于平面问题简单三角形单元，为什么单元刚度矩阵是常数矩阵？
19．什么是等参变换？等参变换的基本条件是什么？哪些情况使等参变换不成立？划分等参单元时应注意哪些问题？
20．应用等参单元时，为什么要采用高斯积分？高斯积分的数目如何确定？
21．弹性力学平面问题求解时应用的三角形单元是等参单元吗？为什么？
9.单元刚度矩阵奇异性的力学意义是：。
10.结构有限元平衡方程 建立了有限元离散结构中节点的和之间的关系。该方程的力学意义是有限元离散结构中节点的和之间的平衡。
11.整体刚度矩阵具有如下性质：①②③④。
12.对一定的有限元网格，整体刚度矩阵的半带宽与有关。半带宽越小，求解时占用计算机资源。
13.为保证有限元解的收敛性，单元位移模式应满足和。
21．什么是等参单元，等参单元的主要优点是什么？
22．写出平面四节点等参元的坐标变换的雅克比（Jacobian）矩阵。
23．非节点载荷为什么要等效变换成节点载荷，如何变换？作变换时应注意什么问题？
24．结构原始平衡方程式为什么要做约束处理？
25．试述平面应力问题和平面应变问题的几何、受力和变形特征。
47．如图所示桁架结构，各元件的E，A，L均相同，1-4杆做短了 。试求
（1）节点位移；
（2）1-4杆应力。
48．利用对称条件，处理以下结构（要求画出简化图以及给出其边界条件）。
49．如图所示杆结构，杆剖面面积为A,材料的弹性模量都为E.求2点作用载荷为P时节点的位移。
50．如图所示的自由体结构，在平衡力系作用下，用有限元分析问题时边界条件如何处理？
44．如图所示的结构，各杆的弹性模量和横截面积都为 ,试求解该结构的节点位移、单元应力以及支反力。
45．如图所示的等剖面梁，弯曲刚度为EI,承受分布载荷 q(x)作用，求：
（1）各梁的等效结构载荷；
（2）节点位移；
（3）单元的节点力。
46．一悬臂梁的一端由弹簧支持，弹簧的刚度系数为k,在载荷P作用下，求端点2的位移及转角。
34. 对三节点三角形单元证明其形函数满足：
35．图示三角形单元：①按公式求形函数和形函数矩阵；②求该单元的应变矩阵。
36．计算图示平面三角形单元的等效节点载荷列阵。设单元厚度为h。
37．如图所示，两个形状相似的三节点三角形平面单元，对应边长比为2:1，材料、厚度相同，方位相同。约束左边上2个节点x，y方向位移，自由节点N1，N2均受铅直向下集中力P。两个模型分别用有限元软件计算后，发现计算结果有下列关系：1）节点N1和节点N2的位移相等；2）单元①的应力是单元②应力的二分之一。试对上述现象进行解释。
6．画出三节点三角形单元形函数的图形，并分析其在边界上的分布特点。
7．对一个给定的弹性力学问题，有那些途径可以提高有限元法求解精度？
8．按位移求解的有限元法中：（1）应用了哪些弹性力学的基本方程？（2）应力边界条件及位移边界条件是如何反映的？（3）力的平衡条件是如何满足的？（4）变形协调条件是如何满足的？
41．如图所示正方形桁架，周边长a，桁架由五条杆单元组成，弹性模量为E，截面积为A，求P载荷作用下2、3点的位移。
42．如图所示二节点杆单元ij，沿杆轴线分别作用一均布载荷 （如图（a））和分布载荷（如图（b））。分别求两种情况下的等效节点载荷。
43．采用杆单元的方法，求解如图所示结构的所有节点的位移、三个杆单元的应力、支座反力。相关的材料参量和尺寸为 ， 。
12．如图所示刚架由两根等截面工字型钢构成，两端固支，系统所受载荷如图所示。梁截面积A=0.006m2，截面惯性距 ，弹性模量 ，每根梁长 。
求：每根梁所示内力。
13．试推导梁单元的坐标变换矩阵
其中， ， 。
14．如图所示刚架结构，所有梁材料和截面尺寸相同，截面积为A，惯性距为I，材料弹性模量为E。试写出每根梁单元的刚度矩阵和结构的总体刚度矩阵。
26．平面应力问题和平面应变问题有什么区别？
27．举例说明，在什么样情况下可以将工程问题转化成平面应力问题？在什么情况下可以将工程问题转化为平面应变问题？
28．为什么说平面三节点三角形单元为常应力单元，如何解决由于这种单元的特点所引起的计算精度不高的问题？
29．用示意图画出空间结构常用的单元类型。
30．简单四面体单元为什么说是一种常应变单元？
（3）支座反力。
24．平面桁架如图所示， ， 。求节点位移和单元内力，并利用节点1的平衡检验计算结果。
25．下图中结构分别采用（b）、（c）两种编节点号方式，分别求其刚度矩阵带宽。
26．教材P20练习题1-9中，求下列2种情况下节点位移、节点1约束反力。
（1）节点1位移为0，Q2= Q3=P
（2）节点1位移为0，Q2= Q3=0，整个杆受到沿轴线的均匀线分布力q，方向向右。
4.建立实体单元（一维杆单元、三节点三角形平面单元等）的刚度方程时，须应用作为平衡条件。
5.弹性力学几何方程反映弹性体变形时和之间的关系。
6.单元位移模式 中 称为矩阵。该方程的含义是。
7.单元某节点i的形函数Ni在该点的值为，在其它节点的值均为。一个单元所有节点形函数之和等于。
8.作用在单元上的载荷须按的原则移置到节点上，因为。
38. 计算图示平面三角形单元的等效节点载荷列阵。设单元厚度为h。
39. 将图示水坝作为平面应变问题，试用图形表示出你的有限元模型，要求：
（1）用三角形单元离散，建议单元边长1m左右或小于1m
（2）给出节点编号方案
（3）写出节点载荷和位移边界条件
40．函数 如图所示，求其在 和 之间有效的一维线性插值多项式。
9．有限元的收敛条件是什么？证明三节点三角形单元满足收敛条件。
10．平面应力三角形单元和空间轴对称三角形单元分别代表物理空间中什么样的物体？
11. 试述所学各类单元节点数、节点位移分量、单元自由度数目。
12.位移函数应满足哪些要求？写出梁单元的位移函数。
13.空间轴对称问题的位移分量、应变分量、应力分量有哪些？
求：（1）其总刚度矩阵；
（2）节点1、2、3的位移；
（3）节点4、5的反力；
（4）弹簧1、2、3、4中的力。
4．如下图所示，5个弹簧连接在一起，各弹簧的刚度系数如图上标出。
求：（1）系统刚度矩阵；
（2）节点3处作用F力后，各节点的位移 ，固定节点1、6处的反作用力。
5．如图所示一维杆系由两个材料相同截面不同的直杆单元（1）与（2）组成，弹性模量E。在节点1、2、3上作用有轴向集中载荷Q1、Q2、Q3而平衡。试求解下列各问题：
51．如图所示杆板结构，按下列情况划分，选取单元：
（1）结构由10个两节点杆单元和8个三节点三角形板单元集合而成；
（2）结构由5个节点杆单元和2个六节点三角形板单元集合而成
（1）节点2位移；
（2）每根杆应力。
9．如图所示三杆钢桁架，节点1、节点3处固定，节点2处受力 ， ，所有杆件材料相同，弹性模量为E，截面积均为A，求各杆受力。
10．如图所示2杆结构，每根杆的弹性模量均为E，横截面积均为A。建立坐标系和节点系统如图所示，在节点1处作用x方向的力F，求 ， 。
11．证明杆单元变换矩阵 。
二、简答题
1．简述弹性力学平面问题有限元法中单元特性分析的过程。
2．简述建立整体有限元平衡方程的过程。
3．平面三节点三角形单元中位移、应变和应力具有什么特征？有何优缺点？