第5章 通信网中的流量优化

(三)、算法复杂度
在一次迭代中，标记过程需比较： (n−1)+(n−2)+…+1=0.5n(n −1)次; 在增广过程的第2步需进行加法/减法运算为：≤(n-1)次； 若网络可增的最大流量为fst，则算法复杂度为O(fst•n2)。

M算法推广
1. 无向网和混合网中的最大流 无向网和混合网中的最大流 在无向图或混合网G‘中，无向边(x, y)可理解为：C(x, y)=c(y, x)；c(x, y)≥f(x, y), c(x, y)≥f(y, x)且 f(x, y)•f(y, x)=0。 求无向网或混合网G’中最大流的一般过程为： 1）．先将混合网G’(V, E’, c’, f)中的每条无向边变换成一 对有向边(x, y)和(y, x)；且c(x, y)= c(y, x)=c’(x, y)。
5.1 流量优化的一般性问题

用有向图 G (V , E ) 表示通信网。其中端集： V {v1 , v2 ,, vn } 。对于各边，设为有向边，其中e 表示从 Vi到Vj的边。每条边能够通过的最大流量称为边的容量， 以Cij表示；而这条边上实际的流量记为fij。一组流量的安 排｛fij｝称为网内的一个流。 若这个流使得从源端到宿端有总流量F，则，fij必须满足以 下条件： （1）非负性和有限性

＝ aij f ij
eij E
最小。
更复杂的问题是： 流量fij可以调整；容量Cij可选择，但边有容量的限制；各 端有转接容量的限制；源端和宿端可能有多个；各边中单 位容量的费用βij；各端中转接容量的费用βii；
则转接容量 Cij＝ f ji ； j 目标函数即总费用： ＝
C

例：图5－6负价环求最佳流的N算法。
V1 3,2 V2
7,2 Vs
6
5,6 V3 3,1 7,4 Vt
V1
1
V2
Vs 5
1 6 V3 （b）fij 可行流 Vt
（a）Cij ,aij容量和费用
6,-2 V1 Vs 1,2 5,-6 V3
1,-2 V2 2,2 2,1 1,-1 1,4 Vt 6,-4
e ji E}
具有m条边、n个端的图共有2m＋n-1个限制条件，其 中包括：m个非负性条件，因为m条边的非负性；m个有 限性条件，因为m条边的有限性；n－1个连续性条件，因 为对应于n个端的n个等式，有一个不是独立的，故只有n －1个端的连续性。则满足（1）和（2）条件的称为可行 流。



不同的流量分配可得不同的可行流。一般有两种优化可行 流的问题： （1）最大流问题：研究变更可行流中各fij值，使得总流量 最大。 （2）最佳流问题（即最小费用流）：由于各条边的参数 中，有容量Cij的规定，费用aij的差别，即单位流量所需的 费用。调整fij使得总费用：




求节点-弧限容量的一般过程： 1．在节点-弧限容量网G(V,E,c,f)中的每一节点i,对应仅有 弧限的容量网G’(V’,E’,c’,f’)中的两点i’，i’’, 其中i’，i’’∈V’； 2．G网中的弧(i,j)∈E，则对应G’中的弧(i’, j’’)∈E’；同时， G’网中弧容量为：C’(i’, j’’)=C(i,j); C(i’’,i’)=h(i), i∈V； 3．对弧限网G’，用前面介绍的福特-福克森算法求G’网中 s’’到t’的最大流fmax，这即是网G的最大流。
(b).对所有(y,x)∈E的未标记节点y，若f(y,x)>0，则对节点 y标记（−, x, w(y)），其中w(y) = min[w(x), f(y, x)]；在x 的标记 + 或 - 上加上圆圈，x就成为已检查的标记节点。 第3步：A.若节点t被标记，则转至算法的增广过程； B.若节点t虽然未被标记，但标记过程不能继续下去，就结 束算法；否则，就返回标记过程的第2步。 2．增广过程 第1步：设节点Z = t，转至下面的第2步； (逆向增广) 第2步：若Z的标记(+, q, w(z))，或(⊕, q, w(z))，将流f(q, z)变成f(q, z)+ w(z)；若Z标记(−, q, w(z))，或(Θ, q, w(z))， 将流f(z,q)变成 f(z,q) −w(z)； 第3步：若 q = s，取消网G中所有节点的标记，并转至算 法标记过程第1步，进行下一次迭代过程；若 q ≠ s，设q = Z，返回增广过程第2步。


3. 多源多宿最大流问题 将Vs与网络内所有源端用容量为∞的有向边相连接；z将Vt 与网络内所有宿端用容量为∞的有向边相连接；上2步将多 源多宿问题转变为单源单宿问题；如何使用介绍的M算法， 求Vs到Vt的最大流量方法也就解决了多源多宿总流量最大 的问题。
5.3 最佳流问题


给定网络的结构：G＝（V，E）；边容量Cij；eij为流量， 其边费用aij；总流量要求Fst，计算总的 Φ＝Σaijcij最小。 最佳流的算法，一般使用负价环算法(N算法)： 如果网络的源宿端之间有两条以上的径，则源宿之间的可 行流在保持总量不变的情况下，总有改变流量分配的可能 性，即按照不同的路径分配流量。由于各路径的可行流不 同，将使得总经费（或其它参数）最佳。
6 Vs
V1
3
V2
3 3 6 V3 （d)降低费用后的可行流 Vt
（c)补图和负价环






补图：调整网络中路径的可行流，使得网络的运行状况改 变。此图对于原图，称为补图。 负价环：补图上如果存在一个有向环，环上各边的aij之和 是负数，则称此环为负价环。 负价环的特性：若网络沿负价环方向增流，并不破坏环上 诸端的流量连续性，也不破坏各边的非负性和有限性。结 果得到一个Fst不变的可行流，其总费用将有所降低。 由此可见，降低任一可行流的总费用，可归结为在该流的 补图上寻找负价环。当一个可行流的补图上不存在负价环 时，此流就是最佳流或者是最小费用流。 若在补图上存在零价环（补图各边之和为0），则在环上 增流可得到总费用相同的另外一组可行流。 最佳流可以有几种，但是总费用是一样的。

由于和流量必不大于容量，得
f ( X , X ) c( X , X )

再由流量的非负性和，得(2)
F c( X , X )




饱和边： fij＝Cij的前向边称为饱和边； fij<Cij的前向边称 为非饱和边;反向边则分为零流量和非零流量： 可增流路：从Vs→Vt的一条路径P中，如果所有的前向边 都未饱和，所有的反向边都是非零流量，则此条路径称为 可增流路。 可增流路的性质： 在可增流路上，所有正向边的流量均可增加不致破坏流量 的有限性；所有反向边上均可减流不致破坏非负性；可减 流路上的减流相当于正向边上增流； 含有多条边的可增流链路上的增流（包含反向边上减流） 的最小值，应当是：

对所有X中的 vi 求和，可得
vi X v j V
f
ji

vi X v j V
f
ij
F

求和时一项为正，一项为负而抵消，所以可得
vi X v j X

f ji
vi X v j X

f ij F

根据定义可得 （1），如下
f ( X , X ) f ( X , X ) F
第5章 通信网中的流量优化

引言
网的作用主要是将业务流从源端送到宿端。为了充分 利用网资源，包括线路、转接设备等，总希望合理的分配 流量，以使从源到宿的流量尽可能大，传输代价尽可能小 等。流量分配的好坏将直接关系到网的使用效率和相应的 经济效益，是网运行的重要指标之一。 网内流量的分配并不是任意的，它受限于网的拓扑结 构、边和端的容量，所以流量分配实际上是在某些限制条 件下的优化问题。
vi X ,v j X

源宿端的总流量F符合两个关系：
(1) (2)

F f ( X , X ) f ( X , X ) F c( X , X )
vi
证明：由连续性公式，对于
X ，有
v j V
f
ij
v j V
F f ji 0
vi =vs vi vs





2）．为了保证混合网G’(V, E’, c’, f)的无向边的流量只在 一个方向上流动，即在有向网G(V, E, c, f)中，满足： max[f(x, y)，f(y, x)]= f’(x, y)，且f(x, y)•f(y, x) = 0； 3）．应用前面介绍的求最大流方法，求有向网G的最大 流fmax。 4）. 应用公式f’(x, y) = max[0, |f(x, y)-f(y, x)|]，构造原网 G’可行流型。 2. 节点—弧限容量网的流 求节点-弧限容量网最大流方法：把节点弧容量网G转化为 弧限容量网G’，在G’中求出最大流，即是G网的最大流。 对每个节点和弧有： 可行流存在的条件; h i f i, v , i t , i, v E; h t f t, v , t, v E




1. 未标记节点：所有未赋标记的节点； 2. 未检查的标记节点：如果节点 x 已有标记，但其邻接节 点y 没有完全标记，则x称为未检验的标记节点； 3.已检查的标记节点：若节点 x 已标记， x 所有邻接的节 点都 已标记，则x 称为已检验的标记节点；





标记：(+，x，w)或(−，x，w)表示，其中x∈V，w是标记 值。 M算法中图G的节点标记有三种情况： （1）. 未标记节点：所有未赋标记的节点； （2）. 未检查的标记节点：如果节点 x 已有标记，但其邻 接节点y没有完全标记，则x称为未检验的标记节点； （3）.已检查的标记节点：若节点 x 已标记 x 所有邻接 的节点都已标记，则x 称为已检验的标记节点； 1．标记过程 第1步：对源节点S标记(+, s, ∞)； 第2步：任选一个未检查的标记节点x，对与x邻接未标记 节点y： (a).对所有(x, y)∈E的未标记节点y，若f(x, y)<C(x, y)，则 对节点y标记(+, x, w(y))，其中w(y) = min[w(x), c(x, y) − f(x, y)] 。

算法步骤 M0：初始，令fij＝0，标出其相邻端的流量、方向；选择任一链路； M1: 标源端为（＋，s，∞）； M2：查已标、未查端Vi，标出其所有的邻端.
方法：若eij在已标域E，且cij> fij,即可增流，则标（＋，i，ei），表示i －j有边，可增流ei 其中ej＝min（Cij－fij，ei）；
min(min(cij fij ), min f ji )
eij P e ji P

此处eij代表链路中的正向边，eji代表反向边。可增流路在 增流以后（反向边上减流），可得一新的可行流并使源宿 端间的流量增加。



如果可行流｛fij｝已经使得源宿端间的流量得到最大值， 则从Vs－Vt的每一条路上，至少有一个饱和的前向边，或 一个零流的反向边，也就是不存在一条可增流（可减流） 的路。 最大流量－最小割量定理：当源宿间的流量达到最大，每 个割集( X , X )中的前向流量 f ( X , X )都等于最大流量Fmax， 并且总存在这样一个割集，其每条正向边都是饱和的，其 割量在各个割集中达到最小值，并且也等于Fmax，也可以 看出，这个最小割量的割集影响到这个网络的最大流量。 最大流量的标志算法称M算法 基本思想：寻找源—宿端流可增广路径，使网络流的流量 得到增加，直到最大流为止。算法分2个过程：1是标记过 程，通过标记过程找到一条可增广路径；2是增广过程， 即沿增广路径增加网络流量的过程。
ij


0 fij cij

（2）连续性
i j
其中，
v j ( vi )

fij
v j 、 vi ) (

j i
F 若vi为源端vs fij F 若vi为源端vd 0 其它
( vi )={v j : ij
( vi )={v j :
、
e E}
ij i, j
ij
。
5.2 最大流量问题

有向图G ＝（V，E），设X是端集V的一个真子集，并且 源端Vs∈X，宿端Vt∈G－X；（X， X ）表示X和 X 的界上的边集，这个边集是把Vs和Vt分开的一个割集（最 小割边集）。取Vs－Vt的方向为割集的方向。与割集方向 一致的边，称为前向边；与割集方向相反的边，称为反向 边；显然，前向边的集合可以割断Vs－Vt的通路。定义割 集中前向边容量之和为其割容量，或简称割量。记 为 c( X , X ) cij ；