时间抽样定理实验

实验4 时间抽样定理

1、实验内容

给定连续时间信号 1. 以足够小的时间间隔，在足够长的时间内画出信号时域图形。

2. 用公式计算信号的频谱 。以足够小的频率间隔，在足够大的频率范围内，画出其频谱图，估计信号的带宽。

3. 以抽样频率3000Hz 对x(t)抽样，得到离散时间信号x(n)，画出其图形，标明坐标轴。

1) 用DTFT 计算x(n)的频谱 ，画出频谱图形，标明坐标轴。

2) 由 1）得到原信号x(t)的频谱的估计 ，在模拟频域上考察对原信号频谱的逼近程度，计算均方误差。

3) x(n)理想内插后得到原信号的估计，从连续时间域上考察信号的恢复程度，计算均方误差。

4. 抽样频率为800 samples/second ，重做3。

5. 对比和分析，验证时域抽样定理。

2、编程原理、思路和公式

对x （t ）进行等间隔采样，得到x （n ），T=1/fs 。采样信号的频谱函数是原模拟信号频谱的周期延拓，延拓周期是2*pi*fs 。对频带限于fc 的模拟信号，只有当fs>2fc 时，采样后频谱才不会发生频谱混叠失真。

Matlab 中无法计算连续函数。但是可以让fs 足够大，频谱混叠可以忽略不计，从而可以对采样序列进行傅里叶变换，这里使用之前编好的子程序dtft 。

程序分别设定了3种采样频谱，10000Hz 、3000Hz 、800Hz 分别对应题目1、3、4。采样时间区间均为0.1s 。同时，画的是幅度归一化的频谱图，便于比较。

在网上查到一种内插函数的算法：理想内插运用内插公式xa （t ）=x （n ）g （t-nT ）求和。其中g （t ）=sinc （Fs*t ），编程时，设定一个ti 值求xa （ti ），一个行向量x （n ）和一个等长的由n ’构1000()t

x t e -=()X j Ω()j X e ωˆ()

X j Ω

成的列向量g（ti-n’T）相乘。构成一个行数与n同长而列数与t同长的矩阵，因此要把两项分别扩展成这样的序列。这只要把t右乘列向量ones（length（n）,1）,把n’T左乘行向量ones（1，length （t））即可。

设t向量长为M，n=1：N-1，就可生成t-n’T的矩阵，把它命名为TNM，则TNM=ones（length（n）,1）-n’T*ones（1，length（t））。

3、程序脚本，并注释

4、仿真结果、图形

运行后

连续时间信号

00.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

频谱图

采样序列x1（fs1=3kHz ）

x1的幅度频谱

采样序列x2（fs1=800Hz）1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

x2的幅度频谱

1

0.95

0.9

0.85

0.8

0.75

0.7

0.65

0.6

0.55

(均方误差结果)运行：

00.0010.0020.0030.0040.0050.0060.0070.0080.0090.01

Fs=3000Hz 的采样序列x(n)重构的信

号

00.0010.0020.0030.0040.0050.0060.0070.0080.0090.01

Fs=800Hz 的采样序列x(n)重构的信号

5、结果分析和结论

由不同fs 条件下的频谱图可以看出：当f>2000Hz 时，频谱幅度的值很小。所以，Fs=3000Hz 的采样序列的频谱混叠很小；而fs=800Hz 时，频谱混叠较大。

以奈奎斯特采样频率Fs/2处的频谱幅度来比较其混叠，可以看出采样频率减小，混叠现象越大。 由计算出的均方误差也可以看出，采样频率越大，频率的逼近程度越大。

内插结果如图的连续曲线所示，图中的离散序列是原始模拟信号的采样真值。图和均方误差中容易看出，Fs=3000Hz的采样序列内插重构的信号误差比Fs=400Hz时小得多。可见，误差主要由频率混叠失真引起。当然，采样序列的样本较少也会引起误差增大。

另外，xa（t）的变化程度越大处误差也越大。

我自行设置内插函数g（t）的采样间隔dt为x（n）的采样间隔T的1/3，所以，误差数组xa-xo 每隔两点就出现一次零。这与时域内插定理也是相符的。

6、遇到的问题、解决方法及收获

采样定理以占有带宽来换取传输质量，一直在频谱图中体现fs大时，所占的带宽也大，但是最终也没有实现。但是fs本身就是其频带宽带，也可以证明该点。

内插定理理解不透彻，导致算法理解费力，最终还是实现了预期结果。